Osnovne metode za rješavanje jednačina

Šta je rješenje jednačine?

Identična transformacija. Basic

vrste transformacija identiteta.

Strani korijen. Gubitak korijena.

Rješavanje jednačine je proces koji se uglavnom sastoji od zamjene zadata jednačina druga jednačina koja joj je ekvivalentna . Ova zamjena se zoveidentična transformacija . Basic transformacije identiteta sljedeće:

1.

Zamjena jednog izraza drugim koji mu je identično jednak. Na primjer, jednadžba (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10 se može zamijeniti sljedećim ekvivalentom:9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Prenošenje članova jednačine s jedne strane na drugu s obrnutim predznacima. Dakle, u prethodnoj jednačini možemo prenijeti sve njene članove s desne strane na lijevu sa znakom “-”: 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x – 10 = 0, nakon čega dobijamo:9 x 2 – 3 x – 6 = 0 .

3.

Množenje ili dijeljenje obje strane jednačine istim izrazom (brojem) koji nije nula. Ovo je veoma važno jernova jednačina možda neće biti ekvivalentna prethodnoj ako izraz kojim množimo ili dijelimo može biti jednak nuli.

PRIMJER Jednačinax – 1 = 0 ima jedan korijenx = 1.

Množenje obje strane sax – 3 , dobijamo jednačinu

( x – 1)( x – 3) = 0, koji ima dva korijena:x = 1 ix = 3.

Posljednja vrijednost nije korijen date jednadžbe

x – 1 = 0. Ovo je tzvvanjski korijen .

Suprotno tome, podjela može dovesti dogubitak korijena . Dakle

u našem slučaju, ako (x – 1 )( x – 3 ) = 0 je original

jednadžba, zatim korijenx = 3 će biti izgubljeno u diviziji

obje strane jednačine nax – 3 .

U posljednjoj jednadžbi (stavka 2), možemo podijeliti sve njene članove sa 3 (ne nula!) i konačno dobiti:

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Ova jednadžba je ekvivalentna originalnoj:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Možepodići obje strane jednačine na neparan stepen iliizvući neparni korijen sa obje strane jednačine . Treba imati na umu da:

a) izgradnja učak stepen može uzrokovatido sticanja stranih korena ;

b)pogrešno ekstrakcijačak i root može dovesti dogubitak korijena .

PRIMJERI. Jednačina 7x = 35 ima jedan korijenx = 5 .

Kvadriranjem obe strane ove jednačine dobijamo

jednadžba:

49 x 2 = 1225 .

ima dva korijena:x = 5 Ix = – 5. Zadnja vrijednost

je vanjski korijen.

Netačno uzimajući kvadratni korijen oba

dijelovi jednačine 49x 2 = 1225 rezultata u 7x = 35,

i gubimo svoje korijenex = – 5.

Tačno uzimanje kvadratnog korijena rezultira

jednadžba: | 7x | = 35, A dakle na dva slučaja:

1) 7 x = 35, Ondax = 5 ; 2) – 7 x = 35, Ondax = – 5 .

Stoga, kadaispravan vađenje kvadrata

korijene ne gubimo korijene jednadžbe.

Šta značiU redu izvaditi korijen? Ovdje se srećemo

sa veoma važnim konceptomaritmetički korijen

(cm. ).

Gubitak korijena i stranih korijena pri rješavanju jednadžbi

Opštinska obrazovna ustanova „Srednja škola br.2 sa dubinska studija pojedinačni objekti" grada Vsevolozhsk. Istraživački rad pripremio učenik 11B razreda: Vasilij Vasiljev. Rukovodilac projekta: Egorova Ljudmila Aleksejevna.

Jednadžba Prvo, pogledajmo različite načine rješavanja ove jednačine sinx+cosx =- 1

Rješenje br. 1 sinx+cosx =-1 i Y x 0 1 sin(x+)=- 1 sin(x+)=- x+ =- +2 x+ = +2 + x=- +2 x= +2 Odgovor: + 2

Rješenje br. 2 sinx+cosx = - 1. odgovor: +2 y x 0 1 2 sincos+ - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin)= 0 cos =0 cos + sin =1 = + m tan =-1 = + m =- + x=- +2 x= +2

Rješenje br. 3 I y x 0 1 sinx+cosx =- 1 2 = x= x+ x sin2x=0 2x= x= Odgovor:

sinx+cosx =-1 Rješenje br. 4 i y x 0 1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n Odgovor: - + 2 n

Hajde da uporedimo rešenja Ispravna rešenja Hajde da shvatimo u kojim slučajevima se mogu pojaviti strani koreni i zašto br. 2 Odgovor: +2 br. 3. Odgovor: br. 4. Odgovor: + 2 n. br. 1. Odgovor: +2

Provjera rješenja Da li je potrebno provjeriti? Trebam li provjeriti korijenje za svaki slučaj, da budem na sigurnoj strani? Ovo je naravno korisno kada je lako zamijeniti, ali matematičari su racionalni ljudi i ne rade nepotrebne stvari. Pogledajmo različite slučajeve i sjetimo se kada je provjera zaista potrebna.

1. Najjednostavnije gotove formule c osx =a x=a =a s inx =a t gx =a U slučajevima kada se korijeni pronalaze korištenjem najjednostavnijih, gotovih formula, provjeru nije potrebno vršiti. Međutim, kada koristite takve formule, trebali biste zapamtiti uvjete pod kojima se mogu koristiti. Na primjer, formula = se može koristiti pod uslovom a 0, -4ac 0 A odgovor x= arccos2+2 za jednačinu cosx =2 se smatra grubom greškom, jer formula x= arccos a +2 može biti samo koristi se za korijene jednadžbe cosx =a, gdje je | a | 1

2. Transformacije Češće, kada rješavate jednačine, morate izvršiti mnogo transformacija. Ako se jednadžba zamijeni novom koja ima sve korijene prethodne, te se transformira tako da ne dođe do gubitka ili sticanja korijena, tada se takve jednadžbe nazivaju ekvivalentne. 1. Prilikom prenošenja komponenti jednačine iz jednog dijela u drugi. 2. Prilikom dodavanja istog broja na obje strane. 3. Kada se obje strane jednačine pomnože sa istim brojem koji nije nula. 4 . Prilikom primjene identiteta koji su istiniti na skupu svih realni brojevi. Međutim, provjera nije potrebna!

Međutim, ne može se svaka jednačina riješiti ekvivalentnim transformacijama. Češće je potrebno koristiti ekvivalentne transformacije. Često se takve transformacije zasnivaju na korištenju formula koje ne vrijede za sve realne vrijednosti. U ovom slučaju se posebno mijenja domen definicije jednačine. Ova greška se nalazi u rješenju #4. Pogledajmo grešku, ali prvo pogledajmo ponovo rješenje br. 4. sinx+cosx=-1 + =-1 2tg +1- =-1- 2tg =-2 =- + n x = - + 2 n Greška je u formuli sin2x= Ova formula se može koristiti, ali je potrebno dodatno provjeriti da li su korijeni brojevi oblika + za koje tg nije definirano. Sada je jasno da je rješenje gubitak korijena. Hajde da to vidimo do kraja.

Rješenje br. 4 i y x 0 1 Provjerimo brojeve = + n zamjenom: x= + 2 n sin(+ 2 n)+ cos (+ 2 n)=sin + cos =0+(-1)=- 1 Dakle x= +2 n je korijen jednadžbe Odgovor: +2 sinx+cosx =-1 + =- 1 2tg +1- =-1- 2tg =- 2 =- + n x= - + 2 n

Razmotrili smo jedan od načina za gubljenje korijena u matematici, pa ih morate pažljivo riješiti, pamteći sva pravila. Kao što možete izgubiti korijene jednadžbe, također možete dobiti dodatne u toku njenog rješavanja. Razmotrimo rješenje br. 3 u kojem je napravljena takva greška.

Rješenje #3 I y x 0 1 2 2 i dodatni korijeni! Strani korijeni bi se mogli pojaviti kada su obje strane jednadžbe na kvadrat. U ovom slučaju, potrebno je provjeriti. Za n=2k imamo sin k+cos k=-1; cos k=-1 za k=2m-1 , Tada je n=2(2m+1)=4m+2 , x= = +2 m , Odgovor: +2 Za n=2k+1 imamo sin +cos =- 1 sin(+ k)+ cos (+ k)=- 1 cos k-sin k=- 1 cos k=-1 pri k=2m+1 n=2(2m+1)+ 1=2m+3 x= (4m+3)= +2 m=- +2 sinx+cosx =- 1 = x= x+ x sin2x=0 2x= x=

Dakle, pogledali smo nekoliko mogućih slučajeva, kojih ima jako puno. Pokušajte da ne gubite vrijeme i ne pravite glupe greške.

Može dovesti do pojave takozvanih stranih korijena. U ovom članku ćemo prvo detaljno analizirati šta je strani koreni. Drugo, hajde da razgovaramo o razlozima njihovog nastanka. I treće, koristeći primjere, razmotrit ćemo glavne metode filtriranja stranih korijena, odnosno provjeru korijena na prisutnost stranih među njima kako bismo ih isključili iz odgovora.

Strani korijeni jednadžbe, definicija, primjeri

IN školski udžbenici algebra ne daje definiciju stranog korijena. Tamo se ideja o stranom korijenu formira opisom sljedeće situacije: uz pomoć nekih transformacija jednadžbe, vrši se prijelaz s izvorne jednadžbe na korolarnu jednadžbu, pronalaze se korijeni rezultirajuće korolarne jednadžbe , a pronađeni korijeni se provjeravaju zamjenom u originalnu jednadžbu, što pokazuje da neki od pronađenih korijena nisu korijeni izvorne jednadžbe, ti korijeni se nazivaju vanjskim korijenima za originalnu jednadžbinu.

Polazeći od ove baze, možete prihvatiti za sebe sljedeću definiciju stranog korijena:

Definicija

Strani korijeni- ovo su korijeni korolarne jednadžbe dobivene kao rezultat transformacija, a koji nisu korijeni izvorne jednačine.

Dajemo primjer. Razmotrimo jednačinu i posledicu ove jednačine x·(x−1)=0, dobijenu zamenom izraza sa identično jednakim izrazom x·(x−1) . Originalna jednadžba ima jedan korijen 1. Jednačina dobijena kao rezultat transformacije ima dva korijena 0 i 1. To znači da je 0 vanjski korijen za originalnu jednadžbu.

Razlozi mogućeg pojavljivanja stranih korijena

Ako za dobivanje korolarne jednadžbe ne koristite nikakve “egzotične” transformacije, već koristite samo osnovne transformacije jednadžbi, onda se strani korijeni mogu pojaviti samo iz dva razloga:

  • zbog proširenja ODZ i
  • zbog podizanja obje strane jednadžbe na isti parni stepen.

Ovdje je vrijedno podsjetiti da se proširenje ODZ-a kao rezultat transformacije jednadžbe uglavnom događa

  • Pri redukciji frakcija;
  • Prilikom zamjene proizvoda s jednim ili više nultih faktora za nulu;
  • Prilikom zamjene razlomka s nulom brojnik sa nulom;
  • Kada se koriste neka svojstva potencija, korijena, logaritma;
  • Kada koristite neke trigonometrijske formule;
  • Kada se obje strane jednačine pomnože istim izrazom, ona nestaje za ODZ za tu jednačinu;
  • Prilikom oslobađanja od logaritamskih znakova u procesu rješavanja.

Primer iz prethodnog paragrafa članka ilustruje pojavu stranog korena usled ekspanzije ODZ-a, koji se javlja pri prelasku sa jednačine na korolnu jednačinu x·(x−1)=0. ODZ za originalnu jednačinu je skup svih realnih brojeva, sa izuzetkom nule, ODZ za rezultirajuću jednačinu je skup R, odnosno ODZ se proširuje za broj nula. Ovaj broj se u konačnici ispostavi da je vanjski korijen.

Navest ćemo i primjer pojave stranog korijena zbog podizanja obje strane jednadžbe na isti parni stepen. Iracionalna jednadžba ima jedan korijen 4, a posljedica ove jednačine, dobijena iz nje kvadriranjem obje strane jednačine, odnosno jednačine , ima dva korijena 1 i 4. Iz ovoga je jasno da je kvadriranje obje strane jednadžbe dovelo do pojave stranog korijena za originalnu jednadžbu.

Imajte na umu da proširenje ODZ-a i podizanje obje strane jednadžbe na istu parnu potenciju ne dovodi uvijek do pojave stranih korijena. Na primjer, kada se pređe sa jednadžbe na posljedičnu jednačinu x=2, ODZ se širi od skupa svih nenegativnih brojeva na skup svih realnih brojeva, ali se ne pojavljuju vanjski korijeni. 2 je jedini korijen i prve i druge jednadžbe. Također, ne pojavljuju se strani korijeni kada se prelazi sa jednadžbe na posljedičnu jednačinu. Jedini korijen i prve i druge jednačine je x=16. Zato ne govorimo o razlozima pojave stranih korijena, već o razlozima moguće pojave stranih korijena.

Šta je odstranjivanje stranih korijena?

Izraz „prosijavanje stranih korijena“ može se samo uz natezanje nazvati ustaljenim; on se ne nalazi u svim udžbenicima algebre, ali je intuitivan, zbog čega se obično koristi. Šta se podrazumijeva pod odvajanjem stranih korijena postaje jasno iz sljedeće fraze: „... verifikacija je obavezan korak u rješavanju jednadžbe, koji će pomoći da se otkriju strani korijeni, ako ih ima, i da se odbace (obično kažu „odstraniti korov ”).”

dakle,

Definicija

Odstranjivanje stranih korijena- ovo je otkrivanje i odbacivanje stranih korijena.

Sada možete preći na metode skriniranja stranih korijena.

Metode za skriniranje stranih korijena

Provjera zamjene

Glavni način filtriranja stranih korijena je test zamjene. Omogućava vam da izbacite vanjske korijene koji bi mogli nastati i zbog proširenja ODZ-a i zbog podizanja obje strane jednadžbe na istu parnu snagu.

Test zamjene je sljedeći: pronađeni korijeni korolarne jednadžbe zamjenjuju se naizmjenično u originalnu jednadžbu ili u bilo koju jednačinu koja joj je ekvivalentna, oni koji daju ispravnu numeričku jednakost su korijeni izvorne jednadžbe, a oni koji daju netačna brojčana jednakost ili izraz su korijeni originalne jednačine, su strani korijeni za originalnu jednadžbu.

Pokažimo na primjeru kako filtrirati strane korijene zamjenom u originalnu jednačinu.

U nekim je slučajevima svrsishodnije filtrirati strane korijene drugim metodama. Ovo se uglavnom odnosi na one slučajeve kada je provjera zamjenom povezana sa značajnim računskim poteškoćama ili kada standardna metoda rješavanja jednačina određenog tipa zahtijeva još jednu provjeru (na primjer, odstranjivanje stranih korijena pri rješavanju razlomaka racionalnih jednadžbi provodi se prema uslov da imenilac razlomka nije jednak nuli). Pogledajmo alternativne načine uklanjanja stranih korijena.

Prema DL

Za razliku od testiranja zamjenom, filtriranje stranih korijena pomoću ODZ-a nije uvijek prikladno. Činjenica je da vam ova metoda omogućuje filtriranje samo stranih korijena koji nastaju zbog širenja ODZ-a, a ne jamči prosijavanje stranih korijena koji bi mogli nastati iz drugih razloga, na primjer, zbog podizanja obje strane jednadžbe na istu parnu potenciju . Štaviše, nije uvijek lako pronaći OD za jednačinu koja se rješava. Ipak, metod prosijavanja stranih korijena pomoću ODZ-a vrijedi zadržati u upotrebi, jer njegova upotreba često zahtijeva manje računskog rada nego korištenje drugih metoda.

Odstranjivanje stranih korijena prema ODZ-u provodi se na sljedeći način: svi pronađeni korijeni korolarne jednadžbe provjeravaju se da li pripadaju rasponu dopuštenih vrijednosti varijable za izvornu jednadžbu ili bilo koju jednačinu koja joj je ekvivalentna, oni koji pripadaju ODZ-u su korijeni originalne jednadžbe, a oni koji pripadaju ODZ-u su korijeni originalne jednadžbe, a oni koji ne pripadaju ODZ-u su strani korijeni za originalnu jednadžbinu.

Analiza pruženih informacija dovodi do zaključka da je preporučljivo procijediti strane korijene pomoću ODZ-a ako istovremeno:

  • lako je pronaći ODZ za originalnu jednadžbu,
  • strani korijeni mogli su nastati samo zbog širenja ODZ-a,
  • Testiranje zamjene povezano je sa značajnim računskim poteškoćama.

Pokazat ćemo kako se uklanjanje stranih korijena provodi u praksi.

Prema uslovima DL

Kao što smo rekli u prethodnom paragrafu, ako su strani korijeni mogli nastati samo zbog proširenja ODZ-a, onda se oni mogu eliminirati korištenjem ODZ-a za originalnu jednačinu. Ali nije uvijek lako pronaći ODZ u obrascu set brojeva. U takvim slučajevima moguće je izdvojiti vanjske korijene ne prema ODZ-u, već prema uvjetima koji određuju ODZ. Objasnimo kako se u uvjetima ODZ-a vrši uklanjanje stranog korijena.

Pronađeni korijeni se zauzvrat zamjenjuju uvjetima koji određuju ODZ za originalnu jednačinu ili bilo koju jednačinu koja joj je ekvivalentna. Oni koji zadovoljavaju sve uslove su koreni jednačine. A oni od njih koji ne zadovoljavaju barem jedan uslov ili daju izraz koji nema smisla su strani korijeni za originalnu jednadžbinu.

Navedimo primjer odstranjivanja stranih korijena prema uvjetima ODZ-a.

Uklanjanje stranih korijena koji proizlaze iz podizanja obje strane jednadžbe na paran stepen

Jasno je da se uklanjanje stranih korijena koji proizlaze iz podizanja obje strane jednačine na istu parnu snagu može izvršiti zamjenom u originalnu jednačinu ili u bilo koju jednačinu koja joj je ekvivalentna. Ali takva provjera može uključivati ​​značajne računske poteškoće. U ovom slučaju, vrijedno je znati alternativnu metodu prosijavanja stranih korijena, o kojoj ćemo sada govoriti.

Odstranjivanje stranih korijena koji se mogu pojaviti kada se obje strane iracionalne jednadžbe oblika podižu na isti parni stepen , gdje je n neki čak broj, može se izvesti prema uslovu g(x)≥0. Ovo slijedi iz definicije korijena parnog stepena: korijen parnog stepena n je nenegativan broj, čiji je n-ti stepen jednak radikalnom broju, odakle . Dakle, navedeni pristup predstavlja svojevrsnu simbiozu metode podizanja obje strane jednadžbe na isti stepen i metode rješavanja iracionalnih jednačina određivanjem korijena. Odnosno, jednačina , gdje je n paran broj, rješava se podizanjem obje strane jednadžbe na isti paran stepen, a eliminacija stranih korijena se vrši prema uvjetu g(x)≥0, preuzetom iz metode rješavanja iracionalnih jednadžbi po određivanje korena.

§ 1. IZGUBLJENI I IZVAĐENI KORIJENI PRI RJEŠAVANJU JEDNAČINA (PREMA PRIMJERIMA)

REFERENTNI MATERIJAL

1. U dve teoreme iz § 3 Poglavlje VII raspravljalo se o tome koje radnje na jednačine ne narušavaju njihovu ekvivalenciju.

2. Razmotrimo sada takve operacije nad jednačinama koje mogu dovesti do nove jednačine koja je nejednaka originalnoj jednačini. Umjesto općih razmatranja, ograničit ćemo se na razmatranje samo konkretnih primjera.

3. Primjer 1. Zadana jednačina Otvorite zagrade u ovoj jednačini, pomjerite sve članove na lijevu stranu i riješite kvadratna jednačina. Njegovi koreni su

Ako smanjite obje strane jednačine za zajednički faktor, dobit ćete jednačinu koja je nejednaka originalnoj, jer ima samo jedan korijen

Dakle, smanjenje obje strane jednačine faktorom koji sadrži nepoznatu može rezultirati gubitkom korijena jednadžbe.

4. Primjer 2. Ova jednadžba ima jedan korijen i dobijemo dva korijena.

Vidimo da nova jednadžba nije ekvivalentna originalnoj jednadžbi, korijen je korijen jednačine koji, nakon kvadriranja obje strane, vodi do jednačine.

5. Strani korijeni se također mogu pojaviti kada se obje strane jednačine pomnože faktorom koji sadrži nepoznatu, ako ovaj faktor nestane za realne vrijednosti x.

Primjer 3. Ako pomnožimo obje strane jednačine sa tada dobijamo novu jednačinu koja, nakon prijenosa člana s desne strane na lijevu i faktoringa, daje jednačinu iz bilo koje

Korijen ne zadovoljava jednačinu koja ima samo jedan korijen

Odavde zaključujemo: pri kvadriranju obje strane jednadžbe (općenito na paran stepen), kao i pri množenju faktorom koji sadrži nepoznato i nestaje pri stvarnim vrijednostima nepoznatog, mogu se pojaviti strani korijeni.

Sva razmatranja koja su ovdje izražena u vezi s gubitkom i pojavom stranih korijena jednadžbe važe podjednako za sve jednačine (algebarske, trigonometrijske, itd.).

6. Jednačina se naziva algebarskom ako zadovoljava samo nepoznatu algebarske operacije- sabiranje, oduzimanje, množenje, deljenje, stepenovanje i vađenje korena sa prirodnim eksponentom (a broj takvih operacija je konačan).

Tako, na primjer, jednadžbe

su algebarske, a jednačine

U prošloj lekciji koristili smo tri koraka za rješavanje jednačina.

Prva faza je tehnička. Koristeći lanac transformacija iz originalne jednadžbe, dolazimo do prilično jednostavne, koju rješavamo i pronalazimo korijene.

Druga faza je analiza rješenja. Analiziramo transformacije koje smo izvršili i saznajemo da li su ekvivalentne.

Treća faza je verifikacija. Provjera svih pronađenih korijena zamjenom u originalnu jednadžbu je obavezna kada se izvode transformacije koje mogu dovesti do korolarne jednadžbe

Da li je prilikom rješavanja jednadžbe uvijek potrebno razlikovati tri faze?

Naravno da ne. Kao, na primjer, u rješavanju ove jednadžbe. IN Svakodnevni život obično nisu izolovani. Ali sve ove faze treba „imati na umu“ i provesti u ovom ili onom obliku. Imperativ je analizirati ekvivalentnost transformacija. A ako analiza pokaže da treba izvršiti provjeru, onda je ona obavezna. Inače, jednačina se ne može smatrati ispravno riješenom.

Da li je uvijek moguće provjeriti korijene jednadžbe samo zamjenom?

Ako su pri rješavanju jednadžbe korištene ekvivalentne transformacije, provjera nije potrebna. Prilikom provjere korijena jednadžbe vrlo se često koristi ODZ (dozvoljeni raspon vrijednosti) Ako je teško provjeriti pomoću ODZ-a, onda se to izvodi zamjenom u originalnu jednačinu.

Vježba 1

Riješite jednačinu Kvadratni korijen od dva x plus tri jednako je jedan plus x.

Rješenje

ODZ jednačine je određen sistemom dvije nejednakosti: dva x plus tri je veća ili jednaka nuli, a jedan plus x je veća ili jednaka nuli. Rješenje je x veće ili jednako minus jedan.

Kvadratirajmo obje strane jednačine, pomjerimo članove s jedne strane jednačine na drugu i damo sličnim terminima, dobijamo kvadratnu jednačinu x na kvadrat jednako dva. Njegovi koreni su

x prvo, drugo jednako je plus ili minus kvadratni korijen od dva.

Ispitivanje

Vrijednost x prva je jednaka kvadratnom korijenu od dva je korijen jednadžbe, budući da je uključena u ODZ.
Vrijednost x sekunde jednaka je minus kvadratni korijen od dva nije korijen jednadžbe, jer nije uključen u DZ.
Provjerimo da je korijen x jednak kvadratnom korijenu od dva, zamjenjujući ga u originalnu jednakost, dobićemo

jednakost je tačna, što znači da je x jednak kvadratnom korijenu od dva korijen jednadžbe.

Odgovor: kvadratni korijen od dva.

Zadatak 2

Riješite jednačinu kvadratni korijen od x minus osam je jednako pet minus x.

Rješenje

ODZ iracionalne jednačine je određen sistemom dvije nejednačine: x minus osam je veće ili jednako nuli, a pet minus x je veće ili jednako nuli. Rješavajući ga, nalazimo da ovaj sistem nema rješenja. Korijen jednadžbe ne može biti nijedna od vrijednosti varijable x.

Odgovor: nema korijena.

Zadatak 3

Riješite jednadžbu kvadratni korijen od x kubnog plus četiri x minus jedan minus osam kvadratni korijeni x na četvrti stepen minus x je jednako kvadratnom korijenu od x kubnog minus jedan plus dva kvadratna korijena od x.

Rješenje

Pronalaženje ODZ-a u ovoj jednadžbi je prilično teško.

Izvršimo transformaciju: kvadrirajte obje strane ove jednadžbe,

Premjestimo sve članove na lijevu stranu jednačine i dovedemo slične članove, upišemo dva korijena ispod jednog, dobijemo slične radikale, dovedemo slične, podijelimo sa koeficijentom minus 12 i faktorizuj radikalni izraz, dobićemo jednačinu u oblik proizvoda dva faktora jednaka nuli. Nakon što smo to riješili, nalazimo korijene:

x prvo je jednako jedan, x drugo je jednako nuli.

Pošto smo obje strane jednadžbe podigli na paran stepen, provjera korijena je obavezna.

Ispitivanje

Ako je x jednako jedan, onda

dobijamo tačnu jednakost, što znači da je x jednako jedan je korijen jednačine.

Ako je x nula, tada je kvadratni korijen od minus jedan nedefiniran.

To znači da je x jednak nuli strani korijen.

Odgovor: jedan.

Zadatak 4

Riješite logaritam jednačine izraza x na kvadrat plus pet x plus dva osnova dva je jednako tri.

Rješenje

Nađimo ODZ jednačinu. Da bismo to učinili, rješavamo nejednakost x na kvadrat plus pet x plus dva preko nule.

Nejednakost rješavamo metodom intervala. Da bismo to učinili, faktoriziramo njegovu lijevu stranu, nakon što smo prethodno riješili kvadratnu jednadžbu, i uzimajući u obzir znak nejednakosti, odredimo ODZ. ODZ je jednak uniji otvorenih zraka od minus beskonačno do minus razlomak pet plus kvadratni korijen od sedamnaest podijeljen sa dva, i od minus razlomak pet minus kvadratni korijen od sedamnaest podijeljen sa dva na plus beskonačnost.

Sada počnimo s pronalaženjem korijena jednadžbe. S obzirom da je tri jednako logaritmu od osam prema bazi dva, jednačinu zapisujemo na sljedeći način: logaritam izraza x kvadrat plus pet x plus dva na osnovu dva jednak je logaritmu od osam do osnove dva. Potencirajmo jednačinu, dobijemo i riješimo kvadratnu jednačinu.

Diskriminant je četrdeset devet.

Izračunajte korijene:

X prvi je jednako minus šest; x sekunda je jednaka jedan.

Ispitivanje

Minus šest pripada ODZ-u, jedan pripada ODZ-u, što znači da su oba broja korijeni jednadžbe.

Odgovor: minus šest; jedan.

U prošloj lekciji smo se bavili pitanjem pojave stranih korijena. Možemo ih otkriti provjerom. Da li je moguće izgubiti korijen pri rješavanju jednadžbe i kako to spriječiti?

Prilikom izvođenja takvih radnji nad jednadžbom, kao što je, prvo, dijeljenje obje strane jednačine istim izrazom ax od x (osim onih slučajeva kada se pouzdano zna da ax od x nije jednako nuli za bilo koji x od x domen definicije jednačine);

drugo, sužavanje OD jednadžbe tokom procesa rješavanja može dovesti do gubitka korijena jednačine.

Zapamtite!

Jednačina napisana kao

ef iz x pomnoženo pepelom iz x je jednako zhe iz x pomnoženo pepelom iz x rješava se na ovaj način:

potrebno je da faktorizujete tako što ćete zajednički faktor staviti iz zagrada;

zatim, izjednačiti svaki faktor sa nulom, čime se dobijaju dve jednačine.

Izračunavamo njihove korijene.

Vježba 1

Riješite jednačinu x kocka je jednako x.

Prvi način

Podijelimo obje strane ove jednadžbe sa x, dobićemo x kvadrat jednako jedan, čiji je korijen x prvi jednak jedan,

x sekunda je jednako minus jedan.

Drugi način

X kocka je jednaka X. Pomaknimo x na lijevu stranu jednačine, izvadimo x iz zagrada i dobićemo: x pomnoženo sa x na kvadrat minus jedan je nula.

Izračunajmo njegove korijene:

X prvo je jednako nuli, x drugo je jednako jedan, x treće je jednako minus jedan.

Jednačina ima tri korijena.

Prilikom rješavanja prve metode izgubili smo jedan korijen - x je nula.

Odgovor: minus jedan; nula; jedan.

Zapamtite! Smanjenje obje strane jednadžbe faktorom koji sadrži nepoznatu može rezultirati izgubljenim korijenima.

Zadatak 2

Riješite jednačinu: decimalni logaritam od x na kvadrat jednak je dva.

Rješenje

Prvi način

Po definiciji logaritma, dobijamo kvadratnu jednačinu x kvadrat jednak sto.

Njegovi korijeni: x prvo je deset; X sekunda je jednaka minus deset.

Drugi način

Po svojstvu logaritama imamo dva decimalna logaritma x je jednako dva.

Njegov korijen - x je jednak deset

Kod druge metode izgubljen je korijen x jednak minus deset. A razlog je taj što su primijenili pogrešnu formulu, sužavajući obim jednačine. Izraz za decimalni logaritam od x na kvadrat je definiran za sve x osim za x jednako nuli. Izraz za decimalni logaritam od x je za x veće od nule. Ispravna formula decimalni logaritam x kvadrat je jednak dva decimalni logaritmi modul x.

Zapamtite! Kada rješavate jednadžbu, mudro koristite dostupne formule.