1. Inercijski referentni sistemi. Newtonovi zakoni. Masa, impuls, sila. Jednačina kretanja materijalna tačka.
2. Koncept zatvorenog sistema. Zakon održanja impulsa. Centar mase mehaničkog sistema, zakon kretanja centra masa.
3. Kretanje tijela promjenljive mase. jednadžba Meščerskog. Formula Ciolkovskog.
Ciljevi:
· upoznati pojmove inercijalnog i neinercijalnog referentnog sistema, mase, impulsa, sile, zatvorenog sistema;
· proučavati Newtonove zakone;
· izvesti i formulisati zakon održanja impulsa;
· opisati kretanje tijela promjenljive mase;
· izvesti jednadžbu Meščerskog i formulu Ciolkovskog.
književnost:
1. Trofimova T.I. kurs fizike: tutorial za inženjerske i tehničke specijalnosti univerziteta - M.: Academia, 2006, 2007 i 2008.
2. Grabovsky R.I. Kurs fizike [ Elektronski resurs]: udžbenik / R. I. Grabovski - Sankt Peterburg [i drugi]: Lan, 2012.
3. Kurs Zisman G. A. opšta fizika[Elektronski izvor]: [udžbenik za studente visokog obrazovanja obrazovne institucije studenti tehničkih, prirodnih i pedagoških oblasti i specijalnosti]: U 3 toma / G. A. Zisman, O. M. Todes - Sankt Peterburg [itd.]: Lan, 2007- T. 2: Elektricitet i magnetizam.
4. Liventsev N.M. Kurs fizike [Elektronski izvor]: udžbenik - Sankt Peterburg: Lan, 2012.
5. Babaev V.S., Legusha F.F. Korektivni kurs fizike [Elektronski izvor] - Sankt Peterburg: Lan, 2011.
6. Kalašnjikov N.P. Osnovi fizike: udžbenik za univerzitete: u 2 toma / N.P. Kalašnjikov, M.A. Smondyrev - M.: Drfa, 2007.
7. Rogachev N. M. Kurs fizike [Elektronski izvor]: [udžbenik za studente koji studiraju u oblasti inženjerstva i tehnologije] / N. M. Rogachev - Sankt Peterburg [etc.]: Lan, 2010.
8. Aleksandrov I.V. i sl. Moderna fizika[Elektronski izvor]: udžbenik za studente svih oblika obrazovanja koji studiraju tehničko-tehnološke oblasti i specijalnosti - Ufa: UGATU, 2008.
Dinamika materijalne tačke i translatorno kretanje solidan
Prvi Newtonov zakon. Težina. Force
Dinamika je glavni dio mehanike; zasniva se na tri Newtonova zakona, koje je on formulirao 1687. Newtonovi zakoni igraju izuzetnu ulogu u mehanici i (kao i svi fizički zakoni) generalizacija rezultata ogromnog ljudskog iskustva. Oni se vide kao sistem međusobno povezanih zakona a eksperimentalnom testiranju nije svaki pojedinačni zakon, već cijeli sistem u cjelini.
Prvi Newtonov zakon: svaka materijalna tačka (tijelo) održava stanje mirovanja ili uniforme pravolinijsko kretanje sve dok je uticaj drugih tela ne primora da promeni ovo stanje. Želja tijela za održavanjem stanja mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja naziva se inercija. Stoga se naziva i prvi Newtonov zakon zakon inercije.
Mehaničko kretanje je relativno, a njegova priroda ovisi o referentnom okviru. Njutnov prvi zakon nije zadovoljen u svakom referentnom okviru, a oni sistemi u odnosu na koje je zadovoljen nazivaju se inercijski referentni sistemi. Inercijski referentni sistem je referentni sistem u odnosu na koji je materijalna tačka, oslobođen od spoljnih uticaja, bilo u mirovanju ili se kreću jednoliko i pravolinijski. Prvi Newtonov zakon navodi postojanje inercijalnih referentnih okvira.
Eksperimentalno je utvrđeno da se heliocentrični (zvjezdani) referentni sistem može smatrati inercijskim (početak koordinata nalazi se u centru Sunca, a osi su usmjerene u pravcu određenih zvijezda). Referentni okvir povezan sa Zemljom je, striktno govoreći, neinercijalan, ali efekti zbog njegove neinercijalnosti (Zemlja se rotira oko vlastita osovina i oko Sunca), pri rješavanju mnogih zadataka su zanemarljivi, pa se u tim slučajevima može smatrati inercijskim.
Iz iskustva je poznato da pod istim uticajima različita tela različito menjaju brzinu svog kretanja, odnosno dobijaju različita ubrzanja. Ubrzanje zavisi ne samo od veličine udara, već i od svojstava samog tijela (njegove mase).
Težina tijela - fizička količina, što je jedna od glavnih karakteristika materije, koja određuje njenu inerciju ( inertna masa) i gravitacioni ( gravitaciona masa) svojstva. Trenutno se može smatrati dokazanim da su inercijska i gravitaciona masa jedna drugoj (sa tačnošću od najmanje 10-12 njihovih vrijednosti).
Da bi se opisali utjecaji spomenuti u prvom Newtonovom zakonu, uvodi se pojam sile. Pod uticajem sila, tela ili menjaju brzinu kretanja, odnosno dobijaju ubrzanje (dinamička manifestacija sila), ili se deformišu, odnosno menjaju oblik i veličinu (statička manifestacija sila). U svakom trenutku, sila je okarakterisana numeričkom vrednošću, smerom u prostoru i tačkom primene. dakle, sila je vektorska veličina koja je mjera mehaničkog udara na tijelo od drugih tijela ili polja, uslijed čega tijelo dobiva ubrzanje ili mijenja svoj oblik i veličinu.
Njutnov drugi zakon
Njutnov drugi zakon - osnovni zakon dinamike translacionog kretanja - odgovara na pitanje kako se mehaničko kretanje materijalne tačke (tijela) mijenja pod utjecajem sila koje se na nju primjenjuju.
Ako uzmemo u obzir djelovanje različitih sila na isto tijelo, ispada da je ubrzanje koje tijelo postiže uvijek direktno proporcionalno rezultanti primijenjenih sila:
a ~ F (t = const). (6.1)
Kada ista sila djeluje na tijela različite mase, njihova ubrzanja su različita, tj
a ~ 1 /t (F= const). (6.2)
Koristeći izraze (6.1) i (6.2) i uzimajući u obzir da su sila i ubrzanje vektorske veličine, možemo napisati
a = kF/m. (6.3)
Odnos (6.3) izražava drugi Newtonov zakon: ubrzanje koje postiže materijalna tačka (tijelo), proporcionalno sili koja ga uzrokuje, poklapa se s njom u smjeru i obrnuto je proporcionalna masi materijalne točke (tijela).
U SI koeficijent proporcionalnosti k= 1. Onda
(6.4)
S obzirom da je masa materijalne tačke (tijela) u klasičnoj mehanici konstantna veličina, u izraz (6.4) može se unijeti pod predznakom izvodnice:
Vektorska količina
brojčano jednak proizvodu mase materijalne tačke i njene brzine i ima smjer brzine naziva se impuls (količina pokreta) ovu materijalnu tačku.
Zamjenom (6.6) u (6.5) dobijamo
Ovaj izraz - općenitiju formulaciju drugog Newtonovog zakona: brzina promjene impulsa materijalne tačke jednaka je sili koja na nju djeluje. Poziva se izraz (6.7). jednačina kretanja materijalne tačke.
SI jedinica za snagu je newton(N): 1 N je sila koja daje ubrzanje od 1 m/s 2 masi od 1 kg u smjeru sile:
1 N = 1 kg×m/s 2.
Drugi Newtonov zakon vrijedi samo u inercijalnim referentnim okvirima. Prvi Newtonov zakon može se izvesti iz drugog. Zaista, ako su rezultantne sile jednake nuli (u nedostatku utjecaja drugih tijela na tijelo), ubrzanje (vidi (6.3)) je također nula. kako god Prvi Newtonov zakon viđen kao nezavisno pravo(a ne kao posledica drugog zakona), budući da je on taj koji tvrdi postojanje inercijalnih referentnih okvira, u kojima je zadovoljena samo jednačina (6.7).
U mehanici veliki značaj Ima princip nezavisnog delovanja snaga: ako više sila istovremeno djeluje na materijalnu tačku, onda svaka od tih sila daje ubrzanje materijalnoj tački prema drugom Newtonovom zakonu, kao da ne postoje druge sile. Prema ovom principu, sile i ubrzanja se mogu razložiti na komponente, čija upotreba dovodi do značajnog pojednostavljenja rješavanja problema. Na primjer, na sl. 10 efektivna sila F= m a se razlaže na dvije komponente: tangencijalnu silu F t (usmjerenu tangentu na putanju) i normalnu silu F n(usmjeren normalno na centar zakrivljenosti). Koristeći izraze i i , možemo napisati:
Ako više sila istovremeno djeluje na materijalnu tačku, tada se, prema principu neovisnosti djelovanja sila, F u drugom Newtonovom zakonu shvaća kao rezultirajuća sila.
Njutnov treći zakon
Određuje se interakcija između materijalnih tačaka (tijela). Njutnov treći zakon: svako djelovanje materijalnih tačaka (tijela) jedna na drugu je u prirodi interakcije; sile kojima materijalne tačke djeluju jedna na drugu uvijek su jednake po veličini, suprotno usmjerene i djeluju duž prave linije koja spaja ove tačke:
F 12 = – F 21, (7.1)
gdje je F 12 sila koja djeluje na prvu materijalnu tačku iz druge;
F 21 - sila koja djeluje na drugu materijalnu tačku od prve. Ove sile se primenjuju na drugačije materijalne tačke (tela), uvek deluju u parovima i su sile iste prirode.
Njutnov treći zakon dozvoljava prelazak sa dinamike odvojeno materijalna tačka na dinamiku sistema materijalne tačke. Ovo proizilazi iz činjenice da se za sistem materijalnih tačaka interakcija svodi na sile parne interakcije između materijalnih tačaka.
Sile trenja
U dosadašnjem razgovoru o silama, nismo bili zainteresovani za njihovo porijeklo. Međutim, u mehanici ćemo razmatrati različite sile: trenje, elastičnost, gravitaciju.
Iz iskustva je poznato da svako tijelo koje se kreće duž horizontalne površine drugog tijela, u nedostatku drugih sila koje na njega djeluju, s vremenom usporava svoje kretanje i na kraju prestaje. Ovo se može objasniti postojanjem sile trenja, koji sprečava klizanje dodirnih tijela jedno u odnosu na drugo. Sile trenja zavise od relativnih brzina tijela. Sile trenja mogu biti različite prirode, ali se kao rezultat njihovog djelovanja mehanička energija uvijek pretvara u unutrašnju energiju dodirujućih tijela.
Postoji vanjsko (suvo) i unutrašnje (tečno ili viskozno) trenje. Eksterno trenje naziva se trenje koje se javlja u ravnini dodira dvaju dodirujućih tijela tokom njihovog relativnog kretanja. Ako su tijela u dodiru nepomična jedno u odnosu na drugo, govore o statičkom trenju, ali ako postoji relativno kretanje ovih tijela, tada, ovisno o prirodi njihovog relativnog kretanja, govore o trenje klizanja, valjanje ili spinning.
Unutrašnje trenje naziva se trenje između dijelova istog tijela, na primjer između različitih slojeva tekućine ili plina, čija brzina varira od sloja do sloja. Za razliku od vanjskog trenja, ovdje nema statičkog trenja. Ako tijela klize jedno u odnosu na drugo i razdvojena su slojem viskozne tekućine (maziva), tada dolazi do trenja u sloju maziva. U ovom slučaju govore o hidrodinamičko trenje(sloj maziva je prilično debeo) i granično trenje (debljina sloja maziva je »0,1 mikrona ili manje).
Hajde da razmotrimo neke obrasce spoljašnjeg trenja. Ovo trenje nastaje zbog hrapavosti dodirnih površina; u slučaju vrlo glatkih površina, trenje je uzrokovano silama međumolekularne privlačnosti.
Razmotrimo tijelo koje leži na ravni (slika 11) na koje je primijenjena horizontalna sila F. Tijelo će se početi kretati tek kada primijenjena sila F bude veća od sile trenja F tr. Francuski fizičari G. Amonton (1663-1705) i C. Coulomb (1736-1806) eksperimentalno su ustanovili sljedeće zakon: sila trenja klizanja F tr je proporcionalan sili N normalan pritisak kojim jedno tijelo djeluje na drugo:
F tr = f N ,
Gdje f- koeficijent trenja klizanja, u zavisnosti od svojstava dodirnih površina.
Nađimo vrijednost koeficijenta trenja. Ako se tijelo nalazi na nagnutoj ravni sa uglom nagiba a (slika 12), onda se počinje kretati tek kada je tangencijalna komponenta F sile teže P veća od sile trenja F tr. Dakle, u graničnom slučaju (početak klizanja tijela) F=F tr. ili P sin a 0 = f N = f P cos a 0 , odakle
f = tga 0.
Dakle, koeficijent trenja jednaka tangenti ugao a 0 pod kojim tijelo počinje kliziti kosoj ravni.
Za glatke površine, međumolekularna privlačnost počinje igrati određenu ulogu. Za njih se primjenjuje zakon trenja klizanja
F tr = f ist ( N + Sp 0) ,
Gdje R 0 - dodatni pritisak uzrokovan intermolekularnim privlačnim silama, koje se brzo smanjuju s povećanjem udaljenosti između čestica; S- kontaktno područje između tijela; f ist - pravi koeficijent trenja klizanja.
Trenje igra veliku ulogu u prirodi i tehnologiji. Zahvaljujući trenju, vozila se kreću, drži se ekser zabijen u zid itd.
U nekim slučajevima, sile trenja imaju štetan učinak i stoga ih je potrebno smanjiti. Da biste to učinili, na površine za trljanje nanosi se mazivo (sila trenja se smanjuje za oko 10 puta), koja popunjava neravnine između ovih površina i stavlja se u tankom sloju između njih tako da se čini da površine prestaju dodirivati jedna drugu. , a pojedinačni slojevi tečnosti klize jedan u odnosu na drugi. Tako je vanjsko trenje čvrstih tijela zamijenjeno mnogo manjim unutrašnjim trenjem tekućine.
Radikalan način smanjenja trenja je zamjena trenja klizanja trenjem kotrljanja (kuglični i valjkasti ležajevi, itd.). Sila trenja kotrljanja određena je prema zakonu koji je ustanovio Coulomb:
F tr = f To N/r , (8.1)
Gdje r- radijus kotrljajućeg tijela; f k - koeficijent trenja kotrljanja, dimenzija dim f k =L. Iz (8.1) slijedi da je sila trenja kotrljanja obrnuto proporcionalna polumjeru kotrljajućeg tijela.
Zakon održanja impulsa. Centar mase
Da biste izveli zakon održanja impulsa, razmotrite neke koncepte. Skup materijalnih tačaka (tijela) koji se smatraju jedinstvenom cjelinom naziva se mehanički sistem. Sile interakcije između materijalnih tačaka mehaničkog sistema nazivaju se - interni. Zovu se sile kojima vanjska tijela djeluju na materijalne tačke sistema vanjski. Mehanički sistem tijelo na koje ne djeluju vanjske sile naziva se zatvoreno(ili izolovan). Ako imamo mehanički sistem koji se sastoji od mnogo tijela, tada će, prema trećem Newtonovom zakonu, sile koje djeluju između ovih tijela biti jednake i suprotno usmjerene, tj. geometrijski zbir unutrašnje sile jednak nuli.
Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od n tijela čija su masa i brzina jednake m 1 , m 2 , .... m n, i v 1 , v 2 ,..., v n. Neka je rezultantne unutrašnje sile koje djeluju na svako od ovih tijela, a biti rezultanta spoljne sile. Zapišimo drugi Newtonov zakon za svaki od njih n tijela mehaničkog sistema:
Sabirajući ove jednačine pojam po član, dobijamo
Ali pošto je geometrijski zbir unutrašnjih sila mehaničkog sistema prema Njutnovom trećem zakonu jednak nuli, onda
(9.1)
gdje je impuls sistema. Dakle, vremenski izvod impulsa mehaničkog sistema jednak je geometrijskom zbiru vanjskih sila koje djeluju na sistem.
U nedostatku vanjskih sila (smatramo zatvoreni sistem)
Poslednji izraz je zakon održanja impulsa: Impuls sistema zatvorene petlje je očuvan, odnosno ne menja se tokom vremena.
Zakon održanja impulsa vrijedi ne samo u klasična fizika, iako je dobijen kao posljedica Newtonovih zakona. Eksperimenti dokazuju da to važi i za zatvorene sisteme mikročestica (pokoravaju se zakonima kvantne mehanike). Ovaj zakon je univerzalan, tj. zakon održanja količine kretanja - osnovni zakon prirode.
Zakon održanja količine kretanja posljedica je određenog svojstva simetrije prostora - njegove homogenosti. Homogenost prostora je da prilikom paralelnog prenosa u prostoru zatvorenog sistema tela u celini fizička svojstva a zakoni kretanja se ne mijenjaju, drugim riječima, ne zavise od izbora pozicije početka inercijalnog referentnog sistema.
Imajte na umu da je, prema (9.1), impuls zadržan za otvoreni sistem ako je geometrijski zbir svih vanjskih sila jednak nuli.
U Galileo-Newton mehanici, zbog nezavisnosti mase od brzine, impuls sistema se može izraziti kroz brzinu njegovog centra mase. Centar mase(ili centar inercije) sistema materijalnih tačaka naziva se imaginarna tačka WITH, čiji položaj karakteriše distribuciju mase ovog sistema. Njegov radijus vektor je jednak
Gdje m i I r i- vektor mase i radijusa i th materijalna tačka; n- broj materijalnih tačaka u sistemu; – masa sistema. Centar mase brzine
S obzirom na to pi = m i v i, a postoji impuls R sistema, možete napisati
odnosno impuls sistema jednak je proizvodu mase sistema i brzine njegovog centra mase.
Zamjenom izraza (9.2) u jednačinu (9.1) dobijamo
(9.3)
odnosno centar mase sistema se kreće kao materijalna tačka u kojoj je koncentrisana masa čitavog sistema i na koju deluje sila jednaka geometrijskom zbiru svih spoljnih sila primenjenih na sistem. Izraz (9.3) je zakon kretanja centra masa.
U skladu sa (9.2), iz zakona održanja količine kretanja proizlazi da centar mase zatvorenog sistema ili se kreće pravolinijski i jednoliko ili ostaje nepomičan.
Jednačina kretanja tijela promjenljive mase
Kretanje nekih tijela je praćeno promjenom njihove mase, na primjer, masa rakete se smanjuje zbog odljeva plinova koji nastaju prilikom sagorijevanja goriva itd.
Izvedemo jednačinu kretanja tijela promjenljive mase na primjeru kretanja rakete. Ako u ovom trenutku t raketna masa m, a njegova brzina je v, zatim nakon vremena d t njegova masa će se smanjiti za d m i postaće jednaki T - d m, a brzina će postati jednaka v + dv. Promjena impulsa sistema tokom određenog vremenskog perioda d t
gdje je u brzina strujanja gasa u odnosu na raketu. Onda
(uzmite u obzir da d m dv - mali višeg reda mali u odnosu na ostale). Ako na sistem djeluju vanjske sile, tada je dp=Fd t, Zbog toga
(10.1)
Drugi član na desnoj strani (10.1) se zove reaktivna sila Fp. Ako je u suprotnom smjeru od v, tada se raketa ubrzava, a ako se poklapa sa v, tada usporava.
Dakle, dobili smo jednadžba kretanja tijela promjenljive mase
koji je prvi razvio I. V. Meshchersky (1859-1935).
Ideju o korištenju reaktivne sile za stvaranje aviona izrazio je 1881. N. I. Kibalchich (1854-1881). K. E. Tsiolkovsky (1857-1935) objavio je članak 1903. u kojem je predložio teoriju kretanja rakete i osnove teorije mlaznog motora s tekućinom. Stoga se smatra osnivačem ruske kosmonautike.
Primijenimo jednačinu (10.1) na kretanje rakete na koju ne djeluju nikakve vanjske sile. Uz pretpostavku F=0 i uz pretpostavku da je brzina emitovanih gasova u odnosu na raketu konstantna (raketa se kreće pravolinijski), dobijamo
Vrijednost integracijske konstante WITH određujemo iz početnih uslova. Ako je u početnom trenutku brzina rakete nula, a njena lansirna masa m 0, onda WITH= u ln( m 0). dakle,
v= u ln ( m 0 /m). (10.3)
Ovaj omjer se zove Formula Ciolkovskog. To pokazuje da: 1) što je veća konačna masa rakete T,što bi trebalo da bude veća lansirna masa rakete m 0 ; 2) što je veća brzina izduvnih gasova I gasova, veća konačna masa može biti za datu lansirnu masu rakete.
Izrazi (10.2) i (10.3) su dobijeni za nerelativistička kretanja, odnosno za slučajeve kada su brzine v i u su male u poređenju sa brzinom c prostiranja svjetlosti u vakuumu.
Kontrolna pitanja
Jednadžba za dinamiku translacijskog kretanja tijela:
Gdje m- tjelesna masa, 
– njegovo ubrzanje, 
– zbir svih sila koje deluju na telo.
Impuls tijela je proizvod mase tijela i njegove brzine: 
.
Zakon promjene impulsa:
=
.
Rad sile F u pokretu ds Proizvod projekcije sile na smjer kretanja i ovog kretanja naziva se:
dA = F s ds = Fds cosα,
gdje je α ugao između smjerova sile i pomaka.
Rad koji izvrši promjenjiva sila izračunava se na sljedeći način:
A
=
.
Snaga je rad obavljen u jedinici vremena: N
=
.
Trenutna snaga jednaka je skalarnom proizvodu sile koja djeluje na tijelo i njegove brzine:
N
=
.
Kinetička energija tijela pri translacijskom kretanju:
,
Gdje m- tjelesna masa, υ - njegovu brzinu.
Potencijalna energija tijela
– u jednoličnom gravitacionom polju:
E P = mgh
(m - tjelesna masa, g – ubrzanje slobodan pad, h – visina tijela iznad tačke u kojoj se pretpostavlja da je potencijalna energija nula);
– u polju elastičnih sila:
E n = 
(k– koeficijent krutosti elastičnog tijela, x– pomak iz ravnotežnog položaja).
U zatvorenom sistemu čestica, ukupni impuls sistema se ne menja tokom njegovog kretanja:
Σ
=
konst.
U zatvorenom konzervativnom sistemu čestica, ukupna mehanička energija je očuvana:
E=E k + E P = konst.
Rad koji vrše sile otpora jednak je smanjenju ukupne energije sistema čestica ili tijela: A konp = E 1 – E 2 .
Primjeri rješavanja problema
Problem 5
Uže leži na stolu tako da njegov dio visi sa stola i počinje kliziti kada dužina visećeg dijela iznosi 25% njegove ukupne dužine. Koliki je koeficijent trenja između užeta i stola?
Rješenje
Hajde da mentalno presiječemo konopac na krivini i spojimo oba dijela bestežinskom, nerastegljivom niti. Kada uže tek počne kliziti, sve sile će biti uravnotežene (pošto se još uvijek kreće bez ubrzanja), a sila trenja dostiže veličinu sile trenja klizanja, F tr = μ Ν .
Uslovi za ravnotežu snaga:
mg
= N
F
tr = T
mg
=
T
m 
Odavde: μ mg= mg,
Problem 6
Blok bez težine je pričvršćen na vrhu nagnute ravni koja sa horizontom čini ugao α = 30°. Tijela A I IN jednaka masa m 1 = m 2 =1kg povezano navojem. Naći: 1) ubrzanje kojim se tijela kreću, 2) napetost niti. Trenje bloka i trenje tijela IN zanemariti nagnutu ravan.
Rješenje
x y Zapišimo jednačine gibanja oba tijela:
O:m 
=
m 
+
x x xU:m 
=
m 
+
+
U projekcijama za tijelo O:
– ma= T–mg (3)
Za tijelo IN duž ose X:
– ma =–T+mg grijeh (4)
0= N–mg cos (5)
Ako saberemo jednadžbe (3) i (4), dobićemo:
–2ma =– mg + mg grijeh , ili
a
=
g
Zamjenom ove vrijednosti, na primjer, u jednačinu (3) (može biti u (4)), dobijamo: T
=
mg
–
ma
=
mg
Zamijenite numeričke vrijednosti:
a
= 9,8
=
= 2,45
T
= 1
∙
9,8
= 7,35 H
Zadatak 7
Automobil težak 20 tona, koji se ravnomjerno kretao, stao je nakon nekog vremena pod utjecajem sile trenja od 6 kN. Početna brzina automobila je 54 km/h. Naći: 1) rad sila trenja; 2) udaljenost koju će automobil prijeći prije zaustavljanja.
Rješenje
Rad je jednak porastu kinetičke energije tijela:
A tr = 0 – 
= –
,
Znak “–” znači da je rad sila trenja negativan, jer su sile trenja usmjerene protiv kretanja.
S druge strane, rad koji vrši sila trenja može se izračunati množenjem sile i puta:
A tr = F tr. S,
odavde S=
=
Zamjena brojčanih vrijednosti:
m = 2 . 10 4 kg, F tr = 6 . 10 3 N, υ = 15 ,
A tr = 
= 2,25. 10 6 J = 2,25 MJ,
S
=
= 358 m.
Problem 8
Kamen je bačen pod uglom α = 60 o prema horizontu pri brzini υ 0 =15 m/s. Odrediti kinetičku, potencijalnu i ukupnu energiju kamena: 1) jednu sekundu nakon početka kretanja; 2) na najvišoj tački putanje. Masa kamena m = 0,2 kg. Zanemarite otpor vazduha.
Rješenje
Odaberimo osu X- horizontalno, i os at- vertikalno.
Projekcije brzine:
υ x = υ 0 cos , (6)
υ O υ y = υ 0 grijeh – GT (7)
x U trenutku t Modul brzine će se odrediti iz relacije:
υ 2 = υ 0 2 cos 2 + (υ 0 grijeh – GT) 2 = υ 0 2 – 2 υ 0 GT sin + g 2 t 2 .
Visina kamena iznad zemlje u jednom trenutku t određuje se iz relacije:
h
= υ
0 sin -
.
(8)
Pronalaženje kinetičke, potencijalne i ukupne energije u trenutku t:
E k
=
=
(
υ
0 2
–
2
υ
0
GT sin +
g 2 t 2),
E P
=mgh=
(2
υ
0
GT grijeh –
g 2 t 2),
E
=
E k
+
E P =
.
Na najvišoj tački putanje υ
y= 0. Kamen dostiže ovu tačku u vremenu 
=
(od (7)), i maksimalnu visinu podizanja h max = 
(od (8)).
E k
=
=
,
E P
= mgh max
=
,
E = E k
+E P
=
.
Zamijenite numeričke vrijednosti. U trenutku t = 1 s.
E k = 17,4 J, E P = 5,1 J, E = 22,5 J.
Na najvišoj tački putanje:
E k = 16,9 J, E n = 5,6 J, E = 22,5 J.
Zadatak9
Na šinama je platforma sa masom m 1 = 10 t, top s masom od m 2 = 5 tona, iz koje se ispaljuje hitac duž šina. Masa projektila m 3 = 100 kg, njegova početna brzina u odnosu na top υ 0 = 500 m/s. Odredite brzinu υ x platforme u prvom trenutku, ako: 1) platforma miruje, 2) platforma se kretala brzinom υ 1 = 18 km/h, a hitac je ispaljen u pravcu njegovog kretanja, 3) platforma se kretala brzinom υ 1 = 18 km/h, a hitac je ispaljen u smjeru suprotnom od njegovog kretanja.
Rješenje
Prema zakonu održanja impulsa, impuls zatvorenog sistema prije bilo kojeg događaja (u ovom slučaju hitca) mora biti jednak njegovom impulsu nakon događaja. Za pozitivno, biramo smjer brzine projektila. Prije metka, cijeli sistem je imao zamah ( m 1 +m 2 +m 3)υ 1, nakon hica, platforma sa puškom se kreće velikom brzinom υ x, njihov zamah ( m 1 +m 2)υ x, a projektil se u odnosu na tlo kreće brzinom υ 0 + υ 1, njegov zamah m 3 (υ 0 +υ 1). Zakon održanja impulsa piše se na sljedeći način:
(m 1 + m 2 + m 3) υ 1 = (m 1 + m 2) υ x + m 3 (υ 0 + υ 1),
odavde
υ
x
=
=υ
1
–
υ
0 .
Zamjenjujemo vrijednosti mase, υ 1 i υ 0:
1) υ 1 = 0
υ x = – 3,33 m/s.
Znak minus znači da se platforma sa pištoljem kreće suprotno od smjera projektila;
2) υ 1 = 18 km/h = 5 m/s,
υ x = 5 – 3,33 = 1,67 m/s.
Platforma s pištoljem nastavlja se kretati u smjeru pucnja, ali manjom brzinom;
3) υ 1 = – 18 km/h = – 5 m/s
υ x = – 5 – 3,33 = – 8,33 m/s.
Povećava se brzina platforme koja se kreće u smjeru suprotnom od smjera pucanja.
Problem 10
Metak koji leti horizontalno pogodi loptu okačenu na laganu krutu šipku i zaglavi se u njoj. Masa metka je 1000 puta manja od mase lopte. Udaljenost od tačke ovjesa štapa do centra lopte je 1 m. Nađite brzinu metka ako je poznato da je štap sa loptom odstupio od udarca pod uglom od 10°.
Rješenje.
E 
Ako se metak zaglavi u lopti, onda udarac
apsolutno neelastična, i samo je zakon održanja impulsa zadovoljen. Prije udara metak je imao zamah mυ , lopta nije imala zamaha. Odmah nakon udara, metak i lopta imaju zajedničku brzinu υ 1, njihov zamah ( M+ m) υ 1 .
Zakon održanja impulsa:
m υ = (M+ m) υ 1 ,
odavde
υ
1
=
υ.
Lopta i metak su dobili kinetičku energiju u trenutku udara:
E k =
υ
1 2
=
υ
2
=
.
Zahvaljujući toj energiji lopta se podigla u visinu h, dok se njegova kinetička energija pretvara u potencijalnu:
E k = E p
=
(M+
m)
gh.
(9)
Visina h može se izraziti kroz udaljenost od tačke suspenzije do centra lopte i ugao odstupanja od vertikale
h = L – L cos = L(1 – cos ).
Zamjenom posljednjeg izraza u relaciju (9) dobijamo:
L
=
gL(1 – cos ),
h i odredi brzinu metka:
υ
=
.
Zamjenom brojčanih vrijednosti dobijamo:
υ
= 1001
543 m/s.
Problem 11
Kamen vezan za uže jednoliko se rotira u vertikalnoj ravni. Nađite masu kamena ako je poznato da je razlika između maksimalne i minimalne napetosti užeta 9,8 N.
Rješenje
U gornjoj tački putanje, i gravitacija i 
Sila zatezanja užeta usmjerena je prema dolje.
L Jednačina kretanja u gornjoj tački ima oblik:
=
mg
+ T 1 .
U najnižoj tački putanje, sila gravitacije je usmjerena prema dolje, a sila zatezanja užeta i normalno ubrzanje usmjereni su prema gore. Jednačina kretanja u donjoj tački:
ma n
=
m
=
T 2
–
mg.
Pod uslovom, kamen se rotira konstantnom brzinom, tako da su leve strane obe jednačine iste. To znači da možemo izjednačiti prave strane:
mg + T 1 = T 2 – mg,
odavde T 2 – T 1 = 2mg,
m
=
.
Zamjena brojeva: m
=
= 0,5 kg.
Problem 12
Autoput ima krivinu sa nagibom od 10° sa radijusom krivine puta od 100 m. Za koju brzinu je predviđena krivina?
Rješenje
Dodaje se sila koja djeluje na automobil
od gravitacije 
i normalne sile pritiska 
. Zbir ovih sila određuje normalno ubrzanje automobila pri skretanju.
Iz trougla sila može se vidjeti da: 
=tg .
Hajde da izračunamo a n, smanjujući masu
= preplanulost ,
odavde υ
=
=41,5 m/s.
DINAMIKA KRETANJA NAPRIJED
Prvi Newtonov zakon
U kinematici se razmatra opis najjednostavnijih tipova mehaničkim pokretima. U ovom slučaju se ne utječu na razlozi koji uzrokuju promjenu položaja tijela u odnosu na druga tijela, a referentni sistem se bira iz razloga pogodnosti prilikom rješavanja određenog problema. U principu, može se uzeti bilo koji od beskonačnog broja referentnih sistema.
Međutim, zakoni mehanike u razni sistemičitanja imaju, strogo govoreći, različite forme. Problem nastaje u odabiru referentnog sistema u kojem bi zakoni mehanike bili što jednostavniji. Takav referentni sistem je očigledno najpogodniji za opisivanje mehaničkih pojava.
Hajde da saznamo od čega zavisi ubrzanje čestice u nekom proizvoljnom referentnom okviru. Koji je razlog za ovo ubrzanje? Eksperimentalno je utvrđeno da ovaj razlog može biti i djelovanje određenih tijela na datu česticu i svojstva samog referentnog sistema (vidi. §1.8).
Njutn je sugerisao da postoji referentni sistem u kojem je ubrzanje materijalne tačke posledica samo njene interakcije sa drugim telima i ne zavisi od izbora referentnog sistema. Materijalna tačka, koja nije podložna dejstvu nijednog drugog tela, kreće se u odnosu na takav referentni okvir pravolinijski i jednoliko, ili, kako kažu, po inerciji. Takav referentni sistem se zove inercijalni,
Izjava to inercijski sistemi reference postoje, predstavlja sadržaj prvog zakona klasične mehanike - Galilejev - Njutnov zakon inercije - je li ovo: Postoje referentni sistemi koji se nazivaju inercijski, u kojima, u nedostatku utjecaja drugih tijela, čestica održava stacionarno stanje kretanja: kreće se ravnomjerno i pravolinijsko (u određenom slučaju miruje).
Inercijski referentni okvir je heliocentrični referentni okvir, čije je porijeklo povezano sa Suncem. Referentni sistemi koji se ravnomjerno kreću pravolinijski u odnosu na inercijski okvir su također inercijalni. Referentni okviri koji se kreću ubrzanjem u odnosu na inercijski okvir su neinercijalni.
Iz ovih razloga, Zemljina površina je, striktno govoreći, neinercijalni referentni okvir. Međutim, u mnogim problemima, referentni okvir povezan sa Zemljom može se smatrati inercijskim u odnosu na prvu aproksimaciju.
Pitanja za samokontrolu
Koji se referentni sistemi nazivaju inercijalnim? Zašto su ovi sistemi veoma korisni za opisivanje mehaničkih pokreta?
Koji faktori određuju vrijednost ubrzanja u inercijalnim referentnim sistemima?
Može li se referentni okvir povezan sa Zemljom smatrati inercijskim?
Navedite prvi Newtonov zakon.
Sposobnost tijela da održava stanje ravnomjernog pravolinijskog kretanja ili mirovanja u inercijalnim referentnim okvirima naziva se inercija tela. Mjera inercije tijela je težina. Masa je skalarna veličina, mjerena u kilogramima (kg) u SI sistemu.
Mjera interakcije je veličina tzv silom. Sila je vektorska veličina, mjerena u Njutnima (N) u SI sistemu.
Njutnov drugi zakon. U inercijalnim sistemima, materijalna tačka se kreće ubrzanjem ako zbroj svih sila koje na nju djeluju nije jednak nuli, a proizvod mase tačke i njenog ubrzanja jednak je zbiru tih sila, tj.
Pošto je masa tačke pozitivna veličina, njen vektor ubrzanja je uvek usmeren duž zbira svih sila koje na nju deluju, tj. 
.
Prilikom rješavanja problema koristeći Newtonov drugi zakon, važno je zapamtiti sljedeće:
ako se točka kreće pravocrtno, tada je njen vektor ubrzanja usmjeren duž kretanja s ubrzanom prirodom kretanja, za sporu prirodu kretanja - protiv kretanja;
ako se tačka kreće u krugu ubrzanom brzinom, tada je tangencijalni vektor ubrzanja usmjeren duž vektora linearne brzine; ako je kretanje sporo, tačno je suprotno. Vektor normalnog ubrzanja usmjeren je prema centru rotacije.
.
Treba imati na umu da se sile, kao mjere interakcije, uvijek rađaju u parovima.
Ako tijelo napravi translacijsko kretanje 1, tada se vektori sila koje djeluju na njega prenose u centar mase ovog tijela. To nam omogućava da problem svedemo na kretanje jedne materijalne tačke krutog tijela.
Za uspješno rješavanje većine problema korištenjem Newtonovih zakona, potrebno je pridržavati se određenog slijeda radnji (neke vrste algoritma).
Glavne tačke algoritma.
1. Analizirajte stanje problema i saznajte s kojim tijelima je u interakciji predmetna materijalna tačka. Na osnovu toga odredite količinu sila koje na njega djeluju. (Pretpostavimo da je broj sila koje djeluju na tijelo jednak 
.) Zatim napravite šematski ispravan crtež na kojem će se ucrtati sve sile koje djeluju na tačku.
2. Koristeći uslov zadatka odredite smjer ubrzanja tačke koja se razmatra i na slici prikažite vektor ubrzanja.
3. Napišite drugi Newtonov zakon u vektorskom obliku, tj.:
Gdje 
sile koje deluju na tačku.
4. Odaberite inercijski referentni sistem. Nacrtajte na slici pravougaoni Dekartov koordinatni sistem, čija je osa OX obično usmerena duž vektora ubrzanja, a OY i OZ ose su usmerene okomito na OX osu.
5. Koristeći osnovno svojstvo vektorskih jednakosti, zapišite drugi Newtonov zakon za projekcije vektora na koordinatne ose, tj.
(2.3)
6. Ako je u zadatku, pored sila i ubrzanja, potrebno odrediti koordinate i brzinu, onda je pored drugog Newtonovog zakona potrebno koristiti i kinematičke jednadžbe kretanja. Nakon što smo zapisali sistem jednačina, potrebno je obratiti pažnju na činjenicu da je broj jednačina jednak broju nepoznatih u ovom zadatku.
Pitanja za samokontrolu
Definišite snagu. U kojim SI jedinicama se mjeri sila?
Koja je osobina inercije tijela? Koja fizička veličina je mjera inercije tijela? U kojim SI jedinicama se mjeri masa tijela?
Dajte formulaciju drugog Newtonovog zakona za inercijalne referentne okvire.
Navedite formulaciju trećeg Newtonovog zakona.
Primjer 1.
U kabini lifta, teret mase visi na dinamometru 
. Dinamometar pokazuje snagu 
. Odredite ubrzanje opterećenja. Da li je moguće odgovoriti na pitanje u kom smjeru se kreće teret?
R 
odluka. Na tijelu koje se kreće ubrzano 
, djeluju dva tijela: Zemlja sa gravitacijom 
i opruge sa snagom 
. Opišimo sile na slici. Pretpostavimo da je vektor ubrzanja lifta usmjeren prema gore. Oslikajmo vektor na slici. Drugi Newtonov zakon pišemo u vektorskom obliku:
.
Odabiremo OX os u smjeru ubrzanja. Pišemo drugi Newtonov zakon za projekcije vektora na ovu osu:
Iz ove jednakosti nalazimo projekciju ubrzanja na osu OX:
.
Budući da je projekcija ubrzanja na osu OX pozitivna, pretpostavka da je vektor ubrzanja dizala usmjeren vertikalno prema gore je tačna. Nije moguće odrediti smjer kretanja lifta, jer naznačeni smjer vektora ubrzanja odgovara dvije vrste kretanja: a) ravnomerno ubrzano kretanje vertikalno gore; b) ravnomjerno usporeno kretanje vertikalno prema dolje.
Drugi Newtonov zakon u neinercijalnim referentnim okvirima. Inercijske sile.
2 Razmotrite neinercijalni referentni okvir 
, rotirajući konstantnom ugaonom brzinom 
oko ose koja se translatorno kreće brzinom 
u odnosu na inerciju 
sistemima.
U ovom slučaju, ubrzanje tačke u inercijskom okviru () povezano je sa ubrzanjem u neinercijskom okviru ( 
) odnos (vidi §1.8):
Gdje 
– ubrzanje neinercijalnog sistema u odnosu na inercijski sistem 
, 
linearna brzina tačke u neinercijskom okviru.
Iz posljednje relacije, umjesto ubrzanja, zamjenjujemo u jednakost (1), dobijamo izraz:
Ovaj omjer je Drugi Newtonov zakon za neinercijalni referentni okvir.
Inercijske sile. Hajde da uvedemo neke konvencije:
1. 
– inercijalna sila napred;
2. 
– Coriolisova sila;
3
– centrifugalna sila inercija.
U problemima, translaciona sila inercije je prikazana naspram vektora ubrzanja translacionog kretanja neinercijalnog referentnog okvira ( 
), centrifugalna sila inercije –– od centra rotacije duž poluprečnika ( 
); smjer Coriolisove sile određen je pravilom gimlet Za vektorski proizvod vektori 
.
Strogo govoreći, inercijalne sile nisu u svakom smislu, silom, jer Njutnov treći zakon ne važi za njih, tj. oni nisu upareni i nastaju samo tokom prelaska iz inercijalnih referentnih okvira u neinercijalne okvire.
Pitanja za samokontrolu
§2.4. Sile u mehanici
U mehanici se smatra jedna beskontaktna sila velikog dometa - sila univerzalna gravitacija , koji na dotično tijelo može djelovati na velikoj udaljenosti (npr. Zemlja privlači Mjesec) i pet kontaktnih sila: elastična sila, sila reakcije, tjelesna težina, sila elastičnosti, sila trenja i sila otpora.
§2.5. Sila univerzalne gravitacije. Gravitacija.
Ubrzanje gravitacije.
Sila univerzalne gravitacije nastaje u procesu interakcije između tijela sa masama i izračunava se iz relacije:
.
.
(2.6)
dobio ime gravitaciona konstanta. Njegova vrijednost u SI sistemu je jednaka 
.
WITH 
Sile međusobnog privlačenja usmjerene su duž jedne prave linije koja povezuje ove materijalne tačke. Zakon univerzalne gravitacije vrijedi za tijela čije su veličine male u odnosu na udaljenost između njih. Ako su veličine tijela usporedive s udaljenosti između njih, tada za izračunavanje sile interakcije između njih postupite na sljedeći način.
Svako od tijela podijeljeno je na beskonačno male dijelove, čije se veličine mogu zanemariti u odnosu na udaljenost između njih. Zatim se izračunavaju sile interakcije između svakog dijela jednog tijela i svakog dijela drugog tijela. Ukupna sila međusobnog privlačenja jednaka je zbiru sila koje djeluju iz svih elemenata jednog tijela na sve elemente drugog tijela.
Provodeći takvo rezoniranje za homogene kuglice, može se pokazati da se rezultujuća sila privlačenja izračunava prema ranije datoj formuli. U ovom slučaju uzima se masa kuglica, a udaljenost između centara kuglica se uzima kao udaljenost.
Za tijelo koje komunicira s planetom, udaljenost od centra planete do centra mase tijela uzima se kao udaljenost. Dajemo formulu za silu privlačenja između tijela i planeta:
.
(2.7)
Obično se sila privlačenja tijela na planetu naziva gravitacija, čija se vrijednost obično izračunava pomoću formule 
,
Gdje 
tjelesna masa, 
veličina vektora ubrzanja slobodnog pada .
Sila gravitacije je usmjerena prema centru Zemlje, primijenjena na težište tijela.
Relacija (2.7) nam omogućava da uspostavimo vezu između veličine ubrzanja gravitacije i mase planete, njenog poluprečnika i visine od dotične tačke do površine planete:
. (2.8)
Na površini planete, tj. Kada 
, za ubrzanje slobodnog pada vrijedi formula
.
(2.9)
Pitanja za samokontrolu
Po kom omjeru se izračunava veličina sile univerzalne gravitacije?
Definišite gravitaciju.
Šta određuje ubrzanje tijela koja slobodno padaju?
Reakcione sile nastaju kada tijelo stupi u interakciju s različitim strukturama koje ograničavaju njegov položaj u prostoru. Na primjer, na tijelo okačeno na niti djeluje sila reakcije, koja se obično naziva sila tenzija. Sila zatezanja konca uvijek je usmjerena duž konca. Ne postoji formula za izračunavanje njegove vrijednosti. Obično se njegova vrijednost nalazi ili iz prvog ili drugog Newtonovog zakona.
Reakcione sile također uključuju sile koje djeluju na česticu na glatkoj površini. Zovu je normalna sila reakcije, označavaju 
. Sila reakcije je uvijek usmjerena okomito na površinu koja se razmatra. Sila koja djeluje na glatku površinu sa strane tijela naziva se normalna sila pritiska (
). Prema trećem Newtonovom zakonu, sila reakcije je po veličini jednaka sili normalnog pritiska, ali su vektori ovih sila suprotni po smjeru.
Tjelesna težina- to je sila kojom tijelo, zbog gravitacije Zemlje, pritiska horizontalni oslonac ili rasteže vertikalni ovjes.
Ako se vaga kreće ubrzano, tada težina može biti veća ili manja od sile gravitacije.
Pitanja za samokontrolu
Koje se sile obično nazivaju silama reakcije?
Definišite tjelesnu težinu.
U kojim slučajevima su tjelesna težina i gravitacija iste?
P 
primjer5
.
Odredite težinu dječakove mase 
u liftu koji se kreće okomito prema gore uz ubrzanje 
. Koliko puta se težina dječaka razlikuje od težine?
Rješenje. Na dječaka u liftu djeluju dva tijela: a) Zemlja gravitacijom; b) sprat lifta sa reakcijskom silom 
. Opišimo ove sile na slici. Pokažimo na ovoj slici smjer vektora ubrzanja dizala. Zapišimo drugi Newtonov zakon u vektorskom obliku:
.
Biramo Zemljinu površinu kao inercijski referentni sistem i usmeravamo OX osu duž vektora ubrzanja lifta. Napišimo drugi Newtonov zakon u projekciji na ovu osu:
Iz ove jednadžbe nalazimo veličinu sile reakcije:
.
Zamjenom digitalnih podataka u SI sistemu, nalazimo silu reakcije:
Po definiciji, težina je brojčana jednaka sili reakcije, tj. 
.
Pronađimo koliko puta se težina dječaka razlikuje od sile gravitacije:
.
WITH 
elastičnost mulja.
Sile elastičnosti nastaju u telima ako su tela deformisana, tj. ako se promijeni oblik tijela ili njegov volumen. Kada deformacija prestane, elastične sile nestaju. Treba napomenuti da, iako elastične sile nastaju prilikom deformacije tijela, deformacija ne dovodi uvijek do pojave elastičnih sila.
Sile elastičnosti nastaju u tijelima koja su sposobna vratiti svoj oblik nakon prestanka vanjskog utjecaja. Takva tijela i odgovarajuće deformacije nazivaju se elastična. At plastika deformacijske promjene ne nestaju u potpunosti nakon prestanka vanjskog utjecaja.
Upečatljiv primjer manifestacije elastičnih sila mogu biti sile koje nastaju u oprugama koje su podložne deformaciji. Za elastične deformacije koje se javljaju u deformisanim tijelima, elastična sila je uvijek proporcionalna veličini deformacije, tj.
, (5)
Gdje 
koeficijent elastičnosti (ili krutosti) opruge, 
vektor deformacije opruge.
Ova izjava se zove Hookeov zakon.
Što je tijelo veća krutost, to se manje deformiše pod datom silom. Magnituda 
određena geometrijskim dimenzijama tijela i materijalom od kojeg je napravljena. Ako se oblik tijela (šip, opruga ili gumica) počne značajno mijenjati, tada proporcionalnost između 
I 
je prekršen (vidi sliku 2.2).
Sila elastičnosti je usmjerena duž navoja, šipke ili opruge. Sila se primjenjuje na mjestu kontakta.
Nit– model tijela nulte mase i namjenske ose, koje se može savijati pod beskonačno malim opterećenjem. Stoga se može baciti preko bloka, a sila zatezanja će biti svugdje ista.
Proljeće– model tijela (obično sa nultom masom) koje na dotično tijelo djeluje ne samo u opruženom, već i u komprimiranom stanju. Štaviše, Hookeov zakon vrijedi za oprugu ne samo u napetosti, već iu kompresiji.
Pitanja za samokontrolu
Koje sile se obično nazivaju elastičnim silama?
Koje deformacije se nazivaju elastične, a koje plastične?
Formulirajte Hookeov zakon i naznačite granice primjenjivosti Hookeovog zakona.
Primjer 6
.
Konac se baca kroz lagani rotirajući blok bez trenja. Na jednom kraju konca nalazi se tijelo mase 
, s druge strane - tijelo mase 
. Odrediti veličinu sile zatezanja niti i veličinu ubrzanja tijela.
Rješenje. Opišimo sve sile koje djeluju na tijela i na blok. Razmotrimo proces kretanja tijela povezanih niti prebačenom preko bloka. Nit je bestežinska i nerastegljiva, stoga će veličina sile zatezanja na bilo kojem dijelu niti biti ista, tj. 
I 
.
P 
pomaci tijela u bilo kojem vremenskom periodu bit će isti, pa će stoga u svakom trenutku vrijednosti brzina i ubrzanja ovih tijela biti iste.
Budući da se blok rotira bez trenja i da je bez težine, slijedi da će sila zatezanja niti na obje strane bloka biti ista, tj.: 
.
To podrazumijeva jednakost sila zatezanja niti koje djeluju na prvo i drugo tijelo, tj. 
.
Opišimo na slici vektore ubrzanja prvog i drugog tijela. Predstavimo dvije ose OX. Usmjerimo prvu os duž vektora ubrzanja prvog tijela, drugu - duž vektora ubrzanja drugog tijela.
Napišimo drugi Newtonov zakon za svako tijelo u projekciji na ove koordinatne ose:
S obzirom na to 
, i izražavanje iz prve jednačine 
, zamenimo ga u drugu jednačinu, dobijamo
Iz posljednje jednakosti nalazimo vrijednost ubrzanja:
.
Iz jednakosti (1) nalazimo veličinu sile zatezanja:
Sila trenja. Zakon suvog trenja.
Kada tijela dođu u kontakt, među njima se opaža interakcija. Sila koja karakterizira ovu interakciju naziva se površinska reakcijska sila, označena 
, i predstavljeni su kao zbir sila koje ga čine: 
, Gdje 
– normalna površinska sila reakcije, usmjeren okomito na ovu površinu, 
– sila trenja, usmjerena duž ove površine.
U kontaktu sa glatkim površinama 
I 
. Najjednostavniji odnos između modula sila koji čine površinsku reakcijsku silu formuliran je u obliku zakona suhog trenja:
Kod klizanja, modul sile trenja je direktno proporcionalan modulu normalne sile reakcije:
.
Faktor proporcionalnosti 
– koeficijent trenja klizanja ne ovisi ni o površini dodirnih površina ni o brzini njihovog relativnog kretanja.
Ako do klizanja ne dođe, onda maksimalna moguća vrijednost Statička sila trenja jednaka je sili trenja klizanja:
.
Z 
Vrijednost i smjer statičke sile trenja određuju se iz stanja nepokretnosti tijela u odnosu na oslonac.
Uz postepeno povećanje (s vremenom) snage 
naneti duž trljajućih površina, javlja se sličan porast sile statičkog trenja (slika 2.3). Sile koje djeluju duž površine su kompenzirane, pa tijelo miruje.
Kada modul sile dostigne vrijednost 
, modul statičke sile trenja dostiže svoju maksimalnu vrijednost, a tada sila trenja više ne uravnotežuje vanjsku silu i tijelo počinje kliziti, ubrzavajući (slika 2.3).
Pitanja za samokontrolu
Primjeri rješavanja problema
Primjer 9
.
Na nagnutoj ravni sa uglom nagiba 
postoji tijelo mase 
. Koeficijent trenja između tijela i nagnute ravni je jednak 
. Na tijelo se primjenjuje sila usmjerena prema gore duž nagnute ravni. Kolika mora biti veličina ove sile da bi se tijelo ubrzalo kretalo uz nagnutu ravan?
R 
odluka. Na tijelo koje se kreće prema gore duž nagnute ravni djeluju vanjska tijela: a) Zemlja sa gravitacijom usmjerenom vertikalno naniže; b) nagnutu ravan sa reakcionom silom usmerenom okomito na nagnutu ravan; c) nagnuta ravan sa silom trenja 
, usmjerena protiv kretanja tijela; d) spoljašnje telo sa silom 
, usmjeren prema gore duž nagnute ravni.
Pod utjecajem ovih sila tijelo se kreće ravnomjerno ubrzano uz nagnutu ravninu, pa je stoga vektor ubrzanja usmjeren duž kretanja tijela.
Opišimo vektor ubrzanja na slici. Zapišimo drugi Newtonov zakon u vektorskom obliku:
Odaberimo pravougaoni Dekartov koordinatni sistem čija je osa OX usmjerena duž ubrzanja tijela, a osa OY usmjerena okomito na nagnutu ravan.
Napišimo drugi Newtonov zakon u projekcijama na ove koordinatne ose i dobijemo sljedeće jednačine:
Sila trenja klizanja povezana je sa silom reakcije sljedećim odnosom:
. (3)
Iz jednakosti (2) nalazimo veličinu sile reakcije 
i zamijenimo u jednakost (3), imamo sljedeći izraz za silu trenja:
. (4)
Zamjenom desne strane jednakosti (4) u jednakost (1) umjesto sile trenja, dobijamo sljedeću jednačinu za izračunavanje veličine tražene sile:
Izračunajmo veličinu sile 
:
Moć otpora.
Pri kretanju tijela u tekućinama i plinovima nastaju i sile trenja, ali se one bitno razlikuju od sila suhog trenja. Ove sile se nazivaju sile viskoznog trenja, ili sile otpora. Sile viskoznog trenja nastaju samo pri relativnom kretanju tijela. Sile otpora zavise od mnogih faktora, i to: od veličine i oblika tijela, od svojstava medija (gustina, viskoznost), od brzine relativnog kretanja. Pri malim brzinama sila otpora je direktno proporcionalna brzini tijela u odnosu na medij, tj.
, (2.11)
Gdje 
– vektor brzine kretanja tijela u odnosu na medij.
Pri velikim brzinama sila otpora je proporcionalna kvadratu brzine tijela u odnosu na medij, tj.:
, (2.12)
Gdje 
neki koeficijenti proporcionalnosti, tzv koeficijenti otpora.
Pitanja za samokontrolu
Pod kojim uslovima nastaje sila otpora?
Koja se formula koristi za izračunavanje sile trenja za male brzine?
Koja se formula koristi za izračunavanje sile trenja pri velikoj brzini?
Osnovna jednadžba dinamike materijalne tačke nije ništa drugo nego matematički izraz drugog Newtonovog zakona:
. (2.13)
U pravougaonom kartezijanskom koordinatnom sistemu osnovna jednadžba dinamike u projekcijama na koordinatne ose ima oblik:
(2.14)
U inercijskom referentnom okviru, zbir svih sila uključuje samo sile koje su mjere interakcije; u neinercijalnim okvirima, zbir sila uključuje inercijalne sile.
Sa matematičke tačke gledišta, relacija (9) jeste diferencijalna jednadžba pomeranja tačaka u vektorskom obliku. Njegovo rješenje je glavni problem dinamike materijalne tačke.
Pitanja za samokontrolu
Koji je odnos osnovna jednačina dinamike?
Kako izgledaju jednadžbe dinamike u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu?
Primjer 1. , dobijamo željenu zavisnost brzine od vremena: 
1 Translacijsko kretanje krutog tijela je takvo kretanje u kojem se svaka prava linija koja je uvijek povezana s tijelom kreće paralelno sa sobom.
2 Materijal za dodatno proučavanje
*Zadatak povećane složenosti
Dinamika materijalne tačke i translacijsko kretanje krutog tijela
Prvi Newtonov zakon. Težina. Force
Prvi Newtonov zakon: svaka materijalna tačka (telo) održava stanje mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok je uticaj drugih tela ne primora da promeni ovo stanje. Želja tijela za održavanjem stanja mirovanja ili ravnomjernog pravolinijskog kretanja naziva se inercija. Stoga se naziva i prvi Newtonov zakon zakon inercije.
Njutnov prvi zakon nije zadovoljen u svakom referentnom okviru, a oni sistemi u odnosu na koje je zadovoljen nazivaju se inercijalni referentni sistemi.
Težina tijelo - fizička veličina koja je jedna od glavnih karakteristika materije, koja određuje njenu inerciju ( inertna masa) i gravitacioni ( gravitaciona masa) svojstva. Trenutno se može smatrati dokazanim da su inercijska i gravitaciona masa jedna drugoj (sa tačnošću od najmanje 10-12 njihovih vrijednosti).
dakle, sila je vektorska veličina koja je mjera mehaničkog udara na tijelo od drugih tijela ili polja, uslijed čega tijelo dobiva ubrzanje ili mijenja svoj oblik i veličinu.
Njutnov drugi zakon
Njutnov drugi zakon - osnovni zakon dinamike translacionog kretanja - odgovara na pitanje kako se mehaničko kretanje materijalne tačke (tijela) mijenja pod utjecajem sila koje se na nju primjenjuju.
a~ F (T = konst) . (6.1)
a~ 1 /t (F = const). (6.2)
a =kF/ m. (6.3)
U SI koeficijent proporcionalnosti k= 1. Onda
(6.4)
(6.5)
Vektorska količina
(6.6)
brojčano jednak proizvodu mase materijalne tačke i njene brzine i ima smjer brzine naziva se impuls (količina pokreta) ovu materijalnu tačku.
Zamjenom (6.6) u (6.5) dobijamo
(6.7)
Poziva se izraz (6.7). jednačina kretanja materijalne tačke.
SI jedinica za snagu je newton(N): 1 N je sila koja daje ubrzanje od 1 m/s 2 masi od 1 kg u smjeru sile:
1 N = 1 kg gospođa 2 .
Drugi Newtonov zakon vrijedi samo u inercijalnim referentnim okvirima. Prvi Newtonov zakon može se izvesti iz drugog.
U mehanici je od velike važnosti princip nezavisnog delovanja snaga: ako više sila istovremeno djeluje na materijalnu tačku, onda svaka od tih sila daje ubrzanje materijalnoj tački prema drugom Newtonovom zakonu, kao da ne postoje druge sile.
|
|
|
Njutnov treći zakon
Određuje se interakcija između materijalnih tačaka (tijela). Njutnov treći zakon.
F 12 = – F 21 , (7.1)
Njutnov treći zakon dozvoljava prelazak sa dinamike odvojeno materijalna tačka na dinamiku sistema materijalne tačke.
Sile trenja
U mehanici ćemo razmatrati različite sile: trenje, elastičnost, gravitaciju.
Sile trenja, koji sprečavaju klizanje dodirnih tijela jedno u odnosu na drugo.
Eksterno trenje naziva se trenje koje se javlja u ravnini dodira dvaju dodirujućih tijela tokom njihovog relativnog kretanja.
U zavisnosti od prirode njihovog relativnog kretanja, oni govore trenje klizanja, valjanje ili spinning.
Unutrašnje trenje naziva se trenje između dijelova istog tijela, na primjer između različitih slojeva tekućine ili plina. Ako tijela klize jedno u odnosu na drugo i razdvojena su slojem viskozne tekućine (maziva), tada dolazi do trenja u sloju maziva. U ovom slučaju govore o hidrodinamičko trenje(sloj maziva je prilično debeo) i granično trenje (debljina sloja maziva je 0,1 µm ili manje). 
Sila trenja klizanja F tr je proporcionalan sili N normalan pritisak kojim jedno tijelo djeluje na drugo:
F tr = f N ,
Gdje f - koeficijent trenja klizanja, u zavisnosti od svojstava dodirnih površina.
U graničnom slučaju (početak klizanja tijela) F=F tr. ili P sin 0 = f N = f P cos 0, gdje
f = tg 0 .
Za glatke površine, međumolekularna privlačnost počinje igrati određenu ulogu. Za njih se primjenjuje zakon trenja klizanja
F tr = f ist (N + Sp 0 ) ,
Gdje R 0 - dodatni pritisak uzrokovan intermolekularnim privlačnim silama, koje se brzo smanjuju s povećanjem udaljenosti između čestica; S - kontaktno područje između tijela; f ist - pravi koeficijent trenja klizanja.
Radikalan način smanjenja trenja je zamjena trenja klizanja trenjem kotrljanja (kuglični i valjkasti ležajevi, itd.). Sila trenja kotrljanja određena je prema zakonu koji je ustanovio Coulomb:
F tr = f To N / r , (8.1)
Gdje r- radijus kotrljajućeg tijela; f k - koeficijent trenja kotrljanja, dimenzija dim f k =L. Iz (8.1) slijedi da je sila trenja kotrljanja obrnuto proporcionalna polumjeru kotrljajućeg tijela.
Zakon održanja impulsa. Centar mase
Skup materijalnih tačaka (tijela) koji se smatraju jedinstvenom cjelinom naziva se mehanički sistem. Sile interakcije između materijalnih tačaka mehaničkog sistema nazivaju se - interni. Zovu se sile kojima vanjska tijela djeluju na materijalne tačke sistema vanjski. Mehanički sistem tijela na koji ne djeluju vanjske sile naziva se zatvoreno(ili izolovan). Ako imamo mehanički sistem koji se sastoji od mnogo tijela, tada će, prema trećem Newtonovom zakonu, sile koje djeluju između ovih tijela biti jednake i suprotno usmjerene, odnosno geometrijski zbir unutrašnjih sila jednak je nuli.
Zapišimo drugi Newtonov zakon za svaki od njih n tijela mehaničkog sistema:
Sabirajući ove jednačine pojam po član, dobijamo
Ali pošto je geometrijski zbir unutrašnjih sila mehaničkog sistema prema Njutnovom trećem zakonu jednak nuli, onda
(9.1)
Gdje 
- impuls sistema. Dakle, vremenski izvod impulsa mehaničkog sistema jednak je geometrijskom zbiru vanjskih sila koje djeluju na sistem.
U nedostatku vanjskih sila (smatramo zatvoreni sistem)
Poslednji izraz je zakon održanja impulsa: Impuls sistema zatvorene petlje je očuvan, odnosno ne menja se tokom vremena.
Eksperimenti dokazuju da to važi i za zatvorene sisteme mikročestica (pokoravaju se zakonima kvantne mehanike). Ovaj zakon je univerzalan, tj. zakon održanja količine kretanja - osnovni zakon prirode.
Zakon održanja količine kretanja posljedica je određenog svojstva simetrije prostora - njegove homogenosti. Homogenost prostora leži u činjenici da se tokom paralelnog prenosa u prostoru zatvorenog sistema tela u celini, njegove fizičke osobine i zakoni kretanja ne menjaju, drugim rečima, ne zavise od izbora položaja porekla tela. inercijski referentni sistem.
Centar mase(ili centar inercije) sistema materijalnih tačaka naziva se imaginarna tačka WITH, čiji položaj karakteriše masovnu distribuciju ovog sistema. Njegov radijus vektor je jednak
Gdje m i I r i- vektor mase i radijusa i th materijalna tačka; n- broj materijalnih tačaka u sistemu; 
– masa sistema. Centar mase brzine
S obzirom na to pi
= m i v i,a 
postoji zamah R sistema, možete napisati
(9.2)
odnosno impuls sistema jednak je proizvodu mase sistema i brzine njegovog centra mase.
Zamjenom izraza (9.2) u jednačinu (9.1) dobijamo
(9.3)
odnosno centar mase sistema se kreće kao materijalna tačka u kojoj je koncentrisana masa čitavog sistema i na koju deluje sila jednaka geometrijskom zbiru svih spoljnih sila primenjenih na sistem. Izraz (9.3) je zakon kretanja centra masa.
Dinamika proučava kretanje tijela uzimajući u obzir razloge koji uzrokuju ovo kretanje.
Dinamika je zasnovana na Newtonovim zakonima.
Ja zakon. Postoje inercijski referentni sistemi (IRS), u kojima materijalna tačka (telo) održava stanje mirovanja ili ravnomernog pravolinijskog kretanja sve dok je uticaj drugih tela ne izvede iz tog stanja.
Svojstvo tijela da održava stanje mirovanja ili ravnomjerno pravolinijsko gibanje u odsustvu utjecaja drugih tijela na njega naziva se inercija.
ISO je referentni sistem u kojem tijelo, oslobođeno vanjskih utjecaja, miruje ili se ravnomjerno kreće pravolinijski.
Inercijski referentni sistem je onaj koji miruje ili se kreće jednoliko pravolinijski u odnosu na bilo koji ISO.
Referentni sistem koji se kreće ubrzanjem u odnosu na ISO je neinercijalan.
Prvi Newtonov zakon, koji se naziva i zakon inercije, prvi je formulisao Galileo. Njegov sadržaj se svodi na 2 izjave:
1) sva tela imaju svojstvo inercije;
2) postoje ISO-i.
Galilejev princip relativnosti: sve mehaničke pojave se javljaju na isti način u svim ISO, tj. Nemoguće je utvrditi bilo kakvim mehaničkim eksperimentima unutar ISO-a da li dati ISO miruje ili se kreće ravnomjerno u pravoj liniji.
U većini praktični problemi referentni sistem čvrsto povezan sa Zemljom može se smatrati ISO.
Iz iskustva je poznato da pod istim uticajima različita tijela različito mijenjaju brzinu, tj. stiču različita ubrzanja, ubrzanje tijela ovisi o njihovoj masi.
Težina- mjera inercijskih i gravitacijskih svojstava tijela. Uz pomoć preciznih eksperimenata ustanovljeno je da su inercijska i gravitaciona masa proporcionalne jedna drugoj. Birajući jedinice na način da koeficijent proporcionalnosti postane jednak jedan, dobijamo da je m i = m g, pa jednostavno govorimo o masi tijela.
[m]=1kg je masa platina-iridijum cilindra, čiji su prečnik i visina h=d=39mm.
Da bi se okarakterisalo djelovanje jednog tijela na drugo, uvodi se pojam sile.
Force- mjera interakcije tijela, uslijed koje tijela mijenjaju brzinu ili se deformišu.
Silu karakterizira njena brojčana vrijednost, smjer i tačka primjene. Prava linija duž koje djeluje sila naziva se linija dejstva sile. Istovremeno djelovanje više sila na tijelo jednako je djelovanju jedne sile tzv. rezultantno ili rezultujuće sile i jednaka je njihovom geometrijskom zbroju:
Drugi Newtonov zakon - osnovni zakon dinamike translacijskog kretanja - odgovara na pitanje kako se mijenja kretanje tijela pod utjecajem sila koje se na njega primjenjuju.
II zakon. Ubrzanje materijalne tačke je direktno proporcionalno sili koja deluje na nju, obrnuto proporcionalno njenoj masi i poklapa se u pravcu sa silom koja deluje.
Gdje je rezultujuća sila.
Sila se može izraziti formulom
, 
1N je sila pod čijim uticajem telo mase 1 kg dobija ubrzanje od 1 m/s 2 u pravcu sile.
Njutnov drugi zakon se može napisati u drugom obliku uvođenjem koncepta impulsa:
.
Puls- vektorska veličina, numerički jednaka proizvodu mase tijela i njegove brzine i kousmjerena s vektorom brzine.
