Uvod
Relevantnost teme istraživanja. Konusni presjeci su već bili poznati matematičarima Ancient Greece(na primjer, Menehmo, 4. vek pne); Uz pomoć ovih krivulja riješeni su neki konstrukcijski problemi (udvostručavanje kocke i sl.), koji su se pokazali nedostupnima pri korištenju najjednostavnijih alata za crtanje - šestara i ravnala. U prvim studijama koje su došle do nas, grčki geometri dobijali su konusne presjeke crtajući ravninu sečenja okomitu na jednu od generatrisa, iu zavisnosti od ugla otvaranja na vrhu konusa (tj. najvećeg ugla između generatrisa). jedne šupljine), linija presjeka je ispala elipsa, ako je ovaj ugao oštar, parabola ako je pravi ugao i hiperbola ako je tup. Najkompletniji rad na ovim krivuljama bili su Konični preseci Apolonija iz Perge (oko 200. godine pne). Dalji napredak u teoriji konusnih presjeka povezan je sa stvaranjem u 17. stoljeću. nove geometrijske metode: projektivne (francuski matematičari J. Desargues, B. Pascal) i posebno koordinatne (francuski matematičari R. Descartes, P. Fermat).
Interes za konusne presjeke oduvijek je bio potkrijepljen činjenicom da se te krivulje često nalaze u raznim prirodnim pojavama iu ljudska aktivnost. U nauci su konusni presjeci dobili poseban značaj nakon što je njemački astronom I. Kepler otkrio iz posmatranja, a engleski naučnik I. Newton teorijski potkrijepio zakone kretanja planeta, od kojih jedan kaže da planete i komete Solarni sistem krećući se duž konusnih presjeka, u čijem se jednom od žarišta nalazi Sunce. Sljedeći primjeri odnose se na određene vrste konusnih presjeka: parabola je opisana projektilom ili kamenom bačenim koso na horizont ( ispravan oblik kriva je malo izobličena otporom zraka); neki mehanizmi koriste eliptični zupčanici („eliptični zupčanici“); hiperbola služi kao graf inverzne proporcionalnosti, koji se često opaža u prirodi (na primjer, Boyle-Mariotteov zakon).
Cilj rada:
Proučavanje teorije konusnih presjeka.
Tema istraživanja:
Konusni presjeci.
Svrha studije:
Teorijski proučiti karakteristike konusnih presjeka.
Predmet studija:
Konusni presjeci.
Predmet studija:
Istorijski razvoj konusnih presjeka.
1. Formiranje konusnih presjeka i njihovi tipovi
Konusni presjeci su linije koje se formiraju u presjeku pravog kružnog konusa s različitim ravnima.
Imajte na umu da je konusna površina površina nastala kretanjem prave linije koja uvijek prolazi kroz fiksnu tačku (vrh konusa) i stalno siječe fiksnu krivulju - vodilicu (u našem slučaju kružnicu).
Klasifikacijom ovih linija prema prirodi položaja reznih ravnina u odnosu na generatrise stošca, dobijaju se tri tipa krivulja:
I. Krivulje nastale sečenjem konusa ravninama koje nisu paralelne nijednoj od generatrisa. Takve krive će biti različite kružnice i elipse. Ove krive se nazivaju eliptične krive.
II. Krivulje formirane presjekom stošca ravninama, od kojih je svaka paralelna s jednom od generatrica stošca (slika 1 b). Takve krive će biti samo parabole.
III. Krivulje formirane presjekom konusa ravninama, od kojih je svaka paralelna s neke dvije generatrise (slika 1c). takve krive će biti hiperbole.
Više ne može postojati bilo kakav IV tip krivulja, jer ne može postojati ravan paralelna sa tri generatrise konusa odjednom, jer tri generatrise konusa više ne leže u istoj ravni.
Imajte na umu da se konus može presjeći ravninama tako da presjek proizvodi dvije prave linije. Da biste to učinili, rezne ravnine moraju se povući kroz vrh konusa.
2. Elipsa
Za proučavanje svojstava konusnih presjeka važne su dvije teoreme:
Teorema 1. Neka je dat ravan kružni konus koji je raščlanjen ravnima b 1, b 2, b 3, okomitim na njegovu osu. Tada su svi segmenti generatora stošca između bilo kojeg para kružnica (dobijenih u presjeku sa datim ravnima) jednaki jedni drugima, tj. A 1 B 1 = A 2 B 2 = itd. i B 1 C 1 = B 2 C 2 = itd. Teorema 2. Ako su date sferna površina i neka tačka S van nje, tada će tangentni segmenti povučeni iz tačke S na sfernu površinu biti međusobno jednaki, tj. SA 1 =SA 2 =SA 3, itd.
2.1 Osnovno svojstvo elipse
Secirajmo ravan kružni konus sa ravninom koja siječe sve njegove sastavnice.U presjeku dobijemo elipsu. Nacrtajmo ravan okomitu na ravan kroz osu konusa.
Upišimo dvije kuglice u konus tako da se nalaze na suprotnim stranama ravnine i dodiruju se konusna površina, svaki od njih je u nekom trenutku dodirnuo avion.
Neka jedna lopta dodirne ravan u tački F 1 i dodirne konus duž kružnice C 1, a druga u tački F 2 i dodirne konus duž kružnice C 2.
Uzmimo proizvoljnu tačku P na elipsi.
To znači da će svi zaključci izvedeni u vezi s tim vrijediti za bilo koju tačku elipse. Nacrtajmo generatricu OP konusa i označimo tačke R 1 i R 2 u kojima on dodiruje konstruisane kuglice.
Spojimo tačku P sa tačkama F 1 i F 2. Tada su RF 1 =RR 1 i RF 2 =RR 2, pošto su RF 1, RR 1 tangente povučene iz tačke P na jednu loptu, a RF 2, RR 2 su tangente povučene iz tačke P na drugu loptu (Teorema 2). Sabirajući obje jednakosti pojam po član, nalazimo
RF 1 + RF 2 = RR 1 + RR 2 = R 1 R 2 (1)
Ovaj odnos pokazuje da je zbir udaljenosti (RF 1 i RF 2) proizvoljne tačke P elipse do dve tačke F 1 i F 2 konstantna vrednost za datu elipsu (odnosno, ne zavisi od položaj tačke P na elipsi).
Tačke F 1 i F 2 nazivaju se fokusi elipse. Tačke u kojima prava linija F 1 F 2 seče elipsu nazivaju se vrhovi elipse. Segment između vrhova naziva se glavna os elipse.
Dužina segmenta generatrise R 1 R 2 jednaka je velikoj osi elipse. Tada se glavno svojstvo elipse formulira na sljedeći način: zbir udaljenosti proizvoljne tačke P elipse do njenih žarišta F 1 i F 2 je konstantna vrijednost za datu elipsu, jednaka dužini njene glavne ose .
Imajte na umu da ako se žarišta elipse poklapaju, onda je elipsa kružnica, tj. krug - poseban slučaj elipsa.
2.2 Jednačina elipse
Da bismo konstruisali jednačinu elipse, elipsu moramo posmatrati kao lokus tačaka koje imaju neko svojstvo koje karakteriše ovaj lokus. Uzmimo glavno svojstvo elipse kao njenu definiciju: Elipsa je mjesto tačaka na ravni za koje je zbir udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 i F 2 ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost jednaka dužini njegove glavne ose.
Neka je dužina segmenta F 1 F 2 = 2c, a dužina glavne ose 2a. Da bismo izveli kanonsku jednačinu elipse, biramo ishodište O Dekartovog koordinatnog sistema u sredini segmenta F 1 F 2 i usmeravamo ose Ox i Oy kao što je prikazano na slici 5. (Ako se žarišta poklapaju, onda O se poklapa sa F 1 i F 2, a izvan ose Ox može biti bilo koja osa koja prolazi kroz O). Zatim u odabranom koordinatnom sistemu tačke F 1 (c, 0) i F 2 (-c, 0). Očigledno, 2a>2c, tj. a>c. Neka je M(x, y) tačka na ravni koja pripada elipsi. Neka je MF 1 =r 1, MF 2 =r 2. Prema definiciji elipse, jednakost
r 1 +r 2 =2a (2) je neophodan i dovoljan uslov za lokaciju tačke M (x, y) na datoj elipsi. Koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke, dobijamo
r 1 =, r 2 =. Vratimo se na jednakost (2):
Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadriramo ga:
Smanjenjem dobijamo:
Predstavljamo slične, smanjite za 4 i uklonite radikal:
Kvadratura
Otvorite zagrade i skratite na:
gdje dobijamo:
(a 2 -c 2) x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2). (3)
Imajte na umu da je 2 -c 2 >0. Zaista, r 1 +r 2 je zbir dviju stranica trougla F 1 MF 2, a F 1 F 2 je njegova treća stranica. Dakle, r 1 +r 2 > F 1 F 2, ili 2a>2c, tj. a>c. Označimo a 2 -c 2 =b 2. Jednačina (3) će izgledati ovako: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Izvršimo transformaciju koja dovodi jednadžbu elipse u kanonski (doslovno: uzet kao model) oblik, naime, podijelimo obje strane jednačine sa 2 b 2:
(4) - kanonska jednadžba elipse.
Kako je jednačina (4) algebarska posljedica jednačine (2*), x i y koordinate bilo koje tačke M elipse će također zadovoljiti jednačinu (4). Budući da bi se tokom algebarskih transformacija vezanih za uklanjanje radikala mogli pojaviti “dodatni korijeni”, potrebno je osigurati da se bilo koja tačka M, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (4), nalazi na ovoj elipsi. Da biste to učinili, dovoljno je dokazati da vrijednosti r 1 i r 2 za svaku tačku zadovoljavaju relaciju (2). Dakle, neka x i y koordinate tačke M zadovoljavaju jednačinu (4). Zamjenom vrijednosti y 2 iz (4) u izraz r 1, nakon jednostavnih transformacija nalazimo da je r 1 =. Pošto je onda r 1 =. Na potpuno isti način nalazimo da je r 2 =. Dakle, za razmatranu tačku M r 1 =, r 2 =, tj. r 1 +r 2 =2a, pa se tačka M nalazi na elipsi. Veličine a i b nazivaju se glavna i mala poluos elipse, respektivno.
2.3 Proučavanje oblika elipse pomoću njene jednačine
Postavimo oblik elipse koristeći njen kanonska jednačina.
1. Jednačina (4) sadrži x i y samo u parnim potencijama, pa ako tačka (x, y) pripada elipsi, tada sadrži i tačke (x, - y), (-x, y), (- x, - y). Iz toga slijedi da je elipsa simetrična u odnosu na ose Ox i Oy, kao i u odnosu na tačku O (0,0), koja se naziva središte elipse.
2. Naći tačke preseka elipse sa koordinatnim osa. Postavljanjem y=0 nalazimo dvije tačke A 1 (a, 0) i A 2 (-a, 0), u kojima osa Ox seče elipsu. Stavljajući x=0 u jednačinu (4), nalazimo tačke preseka elipse sa Oy osom: B 1 (0, b) i. B 2 (0, - b) Tačke A 1, A 2, B 1, B 2 nazivaju se vrhovi elipse.
3. Iz jednačine (4) slijedi da svaki član na lijevoj strani ne prelazi jedan, tj. dešavaju se nejednakosti i ili i. Prema tome, sve tačke elipse leže unutar pravougaonika formiranog od pravih linija.
4. U jednačini (4), zbir nenegativnih članova i jednak je jedan. Shodno tome, kako se jedan pojam povećava, drugi će se smanjivati, tj. ako se x povećava, onda se y smanjuje i obrnuto.
Iz navedenog proizilazi da elipsa ima oblik prikazan na sl. 6 (ovalna zatvorena kriva).
Imajte na umu da ako je a = b, tada će jednačina (4) imati oblik x 2 + y 2 = a 2 . Ovo je jednadžba kruga. Elipsa se može dobiti iz kruga poluprečnika a ako se kompresuje faktorom duž ose Oy. Sa takvom kompresijom, tačka (x; y) će se pomeriti do tačke (x; y 1), gde. Zamjenom krugova u jednačinu dobijamo jednačinu elipse: .
Uvedemo još jednu veličinu koja karakteriše oblik elipse.
Ekscentricitet elipse je omjer žižne daljine 2c i dužine 2a njene glavne ose.
Ekscentricitet se obično označava e: e=Od c< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.
Iz posljednje jednakosti lako je dobiti geometrijsku interpretaciju ekscentriciteta elipse. Kada su veoma mali, brojevi a i b su skoro jednaki, odnosno elipsa je blizu kruga. Ako je blizu jedan, onda je broj b vrlo mali u odnosu na broj a i elipsa je jako izdužena duž glavne ose. Dakle, ekscentricitet elipse karakterizira mjeru elongacije elipse.
3. Hiperbola
3.1 Glavno svojstvo hiperbole
Proučavanjem hiperbole koristeći konstrukcije slične onima koje su izvedene za proučavanje elipse, otkrit ćemo da hiperbola ima svojstva slična onima elipse.
Secirajmo ravan kružni konus sa ravninom b koja siječe obje njegove ravni, tj. paralelno sa svoja dva generatora. Poprečni presjek će rezultirati hiperbolom. Povucimo ravan ASB kroz os ST stošca, okomitu na ravan b.
Upišimo dvije kugle u stožac - jednu u jednu njegovu šupljinu, drugu u drugu, tako da svaka dodiruje stožastu površinu i sekuntnu ravan. Neka prva lopta dodirne ravan b u tački F 1 i dodirne konusnu površinu duž kružnice U´V´. Neka druga kuglica dodirne ravan b u tački F 2 i dodirne konusnu površinu duž UV kruga.
Odaberimo proizvoljnu tačku M na hiperboli, kroz nju nacrtaj generatrisu konusa MS i označi tačke d i D u kojima dodiruje prvu i drugu kuglu. Povežimo tačku M sa tačkama F 1, F 2, koje ćemo nazvati fokusima hiperbole. Tada je MF 1 =Md, pošto su oba segmenta tangenta na prvu loptu, povučenu iz tačke M. Slično, MF 2 =MD. Oduzimajući drugi član jednakosti od prvog, nalazimo
MF 1 -MF 2 =Md-MD=dD,
gdje je dD konstantna vrijednost (kao generator konusa sa bazama U´V´ i UV), nezavisna od izbora tačke M na hiperboli. Označimo sa P i Q tačke u kojima prava F 1 F 2 seče hiperbolu. Ove tačke P i Q nazivaju se vrhovi hiperbole. Segment PQ naziva se realna os hiperbole. U toku elementarne geometrije dokazuje se da je dD=PQ. Stoga MF 1 -MF 2 =PQ.
Ako se tačka M nalazi na grani hiperbole blizu koje se nalazi fokus F 1, onda je MF 2 -MF 1 = PQ. Tada konačno dobijamo MF 1 -MF 2 =PQ.
Modul razlike između udaljenosti proizvoljne tačke M hiperbole od njenih žarišta F 1 i F 2 je konstantna vrijednost jednaka dužini realne ose hiperbole.
3.2 Hiperbola jednadžba
Uzmimo glavno svojstvo hiperbole kao njenu definiciju: Hiperbola je mjesto tačaka na ravni za koje je modul razlike udaljenosti do dvije fiksne tačke F 1 i F 2 ove ravni, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost jednaka dužini njegove realne ose.
Neka je dužina segmenta F 1 F 2 = 2c, a dužina realne ose 2a. Za izvođenje jednadžbe kanonske hiperbole biramo ishodište O kartezijanskog koordinatnog sistema u sredini segmenta F 1 F 2 i usmjeravamo ose Ox i Oy kao što je prikazano na slici 5. Zatim u odabranom koordinatnom sistemu tačke F 1 (c, 0) i F 2 ( -s, 0). Očigledno 2a<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство
r 1 -r 2 =2a (5) je neophodan i dovoljan uslov za lokaciju tačke M (x, y) na datoj hiperboli. Koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke, dobijamo
r 1 =, r 2 =. Vratimo se na jednakost (5):
Kvadirajmo obje strane jednakosti
(x+c) 2 +y 2 =4a 2 ±4a+(x-c) 2 +y 2
Smanjenjem dobijamo:
2 xc=4a 2 ±4a-2 xc
±4a=4a 2 -4 xc
a 2 x 2 -2a 2 xc+a 2 c 2 +a 2 y 2 =a 4 -2a 2 xc+x 2 c 2
x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 = a 2 (c 2 -a 2) (6)
Imajte na umu da je sa 2 -a 2 >0. Označimo c 2 -a 2 =b 2 . Jednačina (6) će izgledati ovako: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2. Izvršimo transformaciju koja dovodi jednadžbu hiperbole u kanonski oblik, naime, podijelimo obje strane jednačine sa a 2 b 2: (7) - kanonska jednadžba hiperbole, veličine a i b su realna i imaginarna poluos hiperbole, respektivno.
Moramo biti sigurni da jednačina (7), dobijena algebarskim transformacijama jednačine (5*), nije dobila nove korijene. Da bismo to učinili, dovoljno je dokazati da za svaku tačku M, čije koordinate x i y zadovoljavaju jednačinu (7), vrijednosti r 1 i r 2 zadovoljavaju odnos (5). Provodeći argumente slične onima koji se navode prilikom izvođenja formule elipse, nalazimo sljedeće izraze za r 1 i r 2:
Dakle, za razmatranu tačku M imamo r 1 -r 2 =2a, pa se stoga nalazi na hiperboli.
3.3 Proučavanje jednačine hiperbole
Pokušajmo sada, na osnovu razmatranja jednadžbe (7), dobiti predstavu o lokaciji hiperbole.
1. Kao prvo, jednačina (7) pokazuje da je hiperbola simetrična oko obje ose. Ovo se objašnjava činjenicom da jednačina krive uključuje samo parne stepene koordinata. 2. Označimo sada površinu ravni na kojoj će ležati kriva. Jednadžba hiperbole, riješena s obzirom na y, ima oblik:
Pokazuje da y postoji uvijek kada je x 2? a 2. Znači li to na x? a i za x? - a ordinata y će biti realna, a za - a Nadalje, kako se x povećava (a a je veće), ordinata y će također rasti cijelo vrijeme (posebno, odavde je jasno da kriva ne može biti valovita, tj. takva da kako se apscisa x povećava, ordinata y ili se povećava ili smanjuje). H. Centar hiperbole je tačka u odnosu na koju svaka tačka hiperbole ima tačku na sebi koja je simetrična sama sebi. Tačka O(0,0), ishodište, kao i za elipsu, je centar hiperbole definisane kanonskom jednačinom. To znači da svaka tačka hiperbole ima simetričnu tačku na hiperboli u odnosu na tačku O. To proizilazi iz simetrije hiperbole u odnosu na ose Ox i Oy. Svaka tetiva hiperbole koja prolazi kroz njen centar naziva se prečnik hiperbole. 4. Točke presjeka hiperbole sa pravom na kojoj leže njena žarišta nazivaju se vrhovi hiperbole, a segment između njih naziva se realna os hiperbole. U ovom slučaju, prava os je Ox os. Imajte na umu da se realna os hiperbole često naziva i segment 2a i sama prava linija (Ox osa) na kojoj ona leži. Nađimo tačke preseka hiperbole sa Oy osom. Jednačina za osu Oy je x=0. Zamjenom x = 0 u jednačinu (7), nalazimo da hiperbola nema točaka presjeka sa Oy osom. To je razumljivo, jer u traci širine 2a, koja pokriva osu Oy, nema hiperbola tačaka. Prava linija okomita na realnu osu hiperbole i koja prolazi kroz njen centar naziva se imaginarna os hiperbole. U ovom slučaju se poklapa sa Oy osom. Dakle, nazivnici članova sa x 2 i y 2 u jednadžbi hiperbole (7) sadrže kvadrate realne i imaginarne poluose hiperbole. 5. Hiperbola siječe pravu y = kx u tački k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет. Dokaz Da biste odredili koordinate tačaka preseka hiperbole i prave linije y = kx, potrebno je da rešite sistem jednačina Eliminišući y, dobijamo ili Za b 2 -k 2 a 2 0, odnosno za k rezultirajuća jednačina, a samim tim i sistem, nema rješenja. Prave sa jednadžbama y= i y= nazivaju se asimptote hiperbole. Za b 2 -k 2 a 2 >0, odnosno za k< система имеет два решения: Prema tome, svaka prava linija koja prolazi kroz ishodište, sa nagibom k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы. 6. Optičko svojstvo hiperbole: optički zraci koji izlaze iz jednog fokusa hiperbole, reflektujući se od njega, izgleda da izlaze iz drugog fokusa. Ekscentricitet hiperbole je odnos žižne daljine 2c i dužine 2a njene realne ose? = Pošto je c > a, onda je e > 1, što znači da su žarišta hiperbole, kao u slučaju elipse, nalazi se unutar krivine, 3.4 Konjugirana hiperbola Uz hiperbolu (7), razmatra se i takozvana hiperbola konjugata njoj. Konjugirana hiperbola je definirana kanonskom jednadžbom. Na sl. 10 prikazuje hiperbolu (7) i njenu konjugiranu hiperbolu. Konjugirana hiperbola ima iste asimptote kao i data, ali F 1 (0, c), 4. Parabola
4.1 Osnovno svojstvo parabole Ustanovimo osnovna svojstva parabole. Secirajmo ravan kružni konus sa vrhom S ravninom koja je paralelna jednom od njegovih generatora. U poprečnom presjeku dobijamo parabolu. Povučemo ravan ASB kroz os ST konusa, okomitu na ravan (slika 11). Generatorica SA koja leži u njemu bit će paralelna s ravninom. U konus upišemo sfernu površinu, tangentu na konus duž kružnice UV i tangentu na ravan u tački F. Povučemo pravu liniju kroz tačku F paralelnu generatrisi SA. Označimo točku njenog preseka sa generatricom SB sa P. Tačka F se naziva fokus parabole, tačka P je njen vrh, a prava linija PF koja prolazi kroz vrh i fokus (i paralelna sa generatricom SA ) naziva se osa parabole. Parabola neće imati drugi vrh - tačku preseka PF ose sa SA generatricom: ova tačka "ide u beskonačnost". Nazovimo direktrisu (u prevodu „vodič”) prava q 1 q 2 preseka ravni sa ravninom u kojoj leži kružnica UV. Uzmite proizvoljnu tačku M na paraboli i povežite je sa vrhom konusa S. Prava linija MS dodiruje loptu u tački D koja leži na kružnici UV. Spojimo tačku M sa fokusom F i spustimo okomitu MK iz tačke M na direktrisu. Tada se ispostavlja da su udaljenosti proizvoljne tačke M parabole do fokusa (MF) i do direktrise (MK) jednake jedna drugoj (glavno svojstvo parabole), tj. MF=MK. Dokaz: MF=MD (kao tangente na loptu iz jedne tačke). Označimo ugao između bilo koje generatrice stošca i ST ose sa c. Projektujmo segmente MD i MK na ST osu. Segment MD formira projekciju na ST osu jednaku MDcosc, pošto MD leži na generatrisi konusa; segment MK formira projekciju na ST osu jednaku MKsosc, pošto je segment MK paralelan sa generatricom SA. (Zaista, direktrisa q 1 q 1 je okomita na ravan ASB. Prema tome, prava PF seče direktrisu u tački L pod pravim uglom. Ali prave MK i PF leže u istoj ravni, a MK je takođe okomito na direktrisu). Projekcije oba segmenta MK i MD na ST osu su međusobno jednake, jer je jedan njihov kraj - tačka M - zajednički, a druga dva D i K leže u ravni okomitoj na ST osu (Sl. . Tada je MDcosc = MKcosc ili MD = MK. Dakle, MF=MK. Nekretnina 1.(Fokalno svojstvo parabole). Udaljenost od bilo koje tačke parabole do sredine glavne tetive jednaka je njenoj udaljenosti od direktrise. Dokaz. Tačka F je presjek prave linije QR i glavne tetive. Ova tačka leži na osi simetrije Oy. Zaista, trouglovi RNQ i ROF su jednaki, kao i pravougli trouglovi trouglovi sa ranjenim nogama (NQ=OF, OR=RN). Stoga, bez obzira koju tačku N uzmemo, od nje konstruisana ravna linija će preseći glavnu tetivu u njenoj sredini F. Sada je jasno da je trougao FMQ jednakokrak. Zaista, segment MR je i medijana i visina ovog trougla. Iz toga slijedi da je MF=MQ. Nekretnina 2.(Optičko svojstvo parabole). Svaka tangenta na parabolu čini jednake uglove sa žarišnim radijusom povučenim u tačku tangente i zrakom koji prolazi iz tačke tangente i kosmeran sa osom (ili će zrake koje izlaze iz jednog fokusa, reflektovane od parabole, ići paralelno do ose). Dokaz. Za tačku N koja leži na samoj paraboli važi jednakost |FN|=|NH|, a za tačku N" koja leži u unutrašnjem delu parabole, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём: |FM"|=|M"K"|>|M"K"|, odnosno tačka M" leži u vanjsko područje parabole. Dakle, cijela prava linija l, osim tačke M, leži u vanjskom području, odnosno unutrašnje područje parabole leži na jednoj strani l, što znači da je l tangenta na parabolu. Ovo pruža dokaz optičkog svojstva parabole: ugao 1 jednaka uglu 2, jer je l simetrala ugla FMC. 4.2 Jednačina parabole Na osnovu glavnog svojstva parabole, formulišemo njenu definiciju: parabola je skup svih tačaka ravni, od kojih je svaka jednako udaljena od date tačke, koja se zove fokus, i date prave linije, koja se zove direktrisa . Udaljenost od fokusa F do direktrise naziva se parametar parabole i označava se sa p (p > 0). Za izvođenje jednačine parabole biramo koordinatni sistem Oxy tako da os Ox prolazi kroz fokus F okomito na direktrisu u smjeru od direktrise do F, a ishodište koordinata O nalazi se u sredini između fokus i direktrisa (slika 12). U odabranom sistemu fokus je F(, 0), a jednadžba direktrise ima oblik x = -, ili x + = 0. Neka je m (x, y) proizvoljna tačka parabole. Povežimo tačku M sa F. Nacrtaj segment MH okomit na direktrisu. Prema definiciji parabole MF = MN. Koristeći formulu za udaljenost između dvije tačke nalazimo: Dakle, kvadriranjem obe strane jednačine dobijamo one. (8) Jednačina (8) se zove kanonska jednačina parabole. 4.3 Proučavanje oblika parabole pomoću njene jednadžbe 1. U jednačini (8) varijabla y se pojavljuje u parnom stepenu, što znači da je parabola simetrična oko ose Ox; Osa Ox je osa simetrije parabole. 2. Kako je c > 0, iz (8) slijedi da je x>0. Prema tome, parabola se nalazi desno od ose Oy. 3. Neka je x = 0, tada je y = 0. Dakle, parabola prolazi kroz ishodište. 4. Kako se x neograničeno povećava, modul y također raste beskonačno. Parabola y 2 =2 px ima oblik (oblik) prikazan na slici 13. Tačka O (0; 0) se naziva vrh parabole, segment FM = r se naziva fokalni radijus tačke M. Jednačine y 2 = -2 px, x 2 = - 2 py, x 2 =2 py (p>0) takođe definišu parabole. 1.5. Direktorijsku osobinu konusnih presjeka .
Ovdje ćemo dokazati da se svaki ne-kružni (nedegenerirani) konusni presjek može definirati kao skup tačaka M tako da je omjer udaljenosti MF od fiksne tačke F do udaljenosti MP od fiksne prave d koja ne prolazi kroz tačka F je jednaka konstantnoj vrijednosti e: gdje je F - fokus konusnog presjeka, prava d je direktrisa, a omjer e je ekscentricitet. (Ako tačka F pripada pravoj d, onda uslov definiše skup tačaka koji je par pravih, tj. degenerisani konusni presek; za e = 1, ovaj par pravih se spaja u jednu pravu. Da biste to dokazali, razmotrite konus formiran rotacijom linije l oko nje koja je siječe u tački O prave linije p koja čini ugao b sa l< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности). Upišimo kuglu K u konus, tangentu na ravan p u tački F i tangentu na konus duž kružnice S. Liniju preseka ravni p sa ravninom y kružnice S označavamo sa d. Sada povezujemo proizvoljnu tačku M koja leži na pravoj A presjeka ravni p i konusa sa vrhom O konusa i sa tačkom F i spuštamo okomitu MP iz M na pravu d; Označimo sa E i točku presjeka generatrike MO konusa sa kružnicom S. U ovom slučaju, MF = ME, kao segmenti dvije tangente na loptu K povučene iz jedne tačke M. Dalje, segment ME formira konstantan ugao b sa osom p konusa (tj. nezavisno od izbora tačke M), a segment MP formira konstantni ugao c; stoga su projekcije ova dva segmenta na osu p jednake ME cos b i MP cos c. Ali ove projekcije se poklapaju, budući da segmenti ME i MP imaju zajedničko ishodište M, a njihovi krajevi leže u ravni y okomitoj na osu p. Dakle, ME cos b = MP cos c, ili, pošto je ME = MF, MF cos b = MP cos c, iz čega slijedi da Takođe je lako pokazati da ako tačka M ravni p ne pripada konusu, onda. Dakle, svaki dio pravog kružnog konusa može se opisati kao skup tačaka na ravni za koju. S druge strane, promjenom vrijednosti uglova b i c, možemo dati ekscentricitet bilo koju vrijednost e > 0; nadalje, iz razmatranja sličnosti nije teško razumjeti da je udaljenost FQ od fokusa do direktrise direktno proporcionalna poluprečniku r lopte K (ili udaljenosti d ravnine p od vrha O od kornet). Može se pokazati da, na taj način, odgovarajućim odabirom udaljenosti d, možemo dati udaljenosti FQ bilo koju vrijednost. Prema tome, svaki skup tačaka M za koji omjer udaljenosti od M do fiksne točke F i od fiksne prave linije d ima konstantnu vrijednost može se opisati kao kriva koja se dobije u presjeku pravog kružnog konusa ravninom . Dakle, dokazano je da (nedegenerisani) konusni presjeci također mogu biti definirani svojstvom o kojem se govori u ovom paragrafu. Ovo svojstvo konusnih presjeka naziva se oni direktorsko svojstvo. Jasno je da ako je c > b, onda e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. S druge strane, lako je vidjeti da ako je β > b, tada ravan p siječe konus duž zatvorene ograničene linije; ako je β = b, tada ravan p siječe konus duž neograničene linije; ako u< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17). Konusni presjek za koji e< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >1 se naziva hiperbola. Elipse također uključuju krug, koji se ne može specificirati svojstvom direktorija; budući da za kružnicu omjer postaje 0 (budući da je u ovom slučaju β = 90ê), konvencionalno se smatra da je krug konusni presjek sa ekscentricitetom od 0. 6. Elipsa, hiperbola i parabola kao konusni presjeci hiperbola elipse konusnog presjeka Drevni grčki matematičar Menahmus, koji je otkrio elipsu, hiperbolu i parabolu, definirao ih je kao presjeke kružnog konusa ravninom koja je okomita na jednu od generatrisa. Dobivene krivulje nazvao je presjecima oštrih, pravokutnih i tupih konusa, ovisno o aksijalnom kutu konusa. Prva, kao što ćemo vidjeti u nastavku, je elipsa, druga je parabola, treća je jedna grana hiperbole. Nazive "elipsa", "hiperbola" i "parabola" uveo je Apolonije. Gotovo u potpunosti (7 od 8 knjiga) do nas je došlo djelo Apolonija “O konusnim presjecima”. U ovom radu, Apolonije razmatra obje polovine konusa i siječe konus ravninama koje nisu nužno okomite na jednu od generatrisa. Teorema. Presijecanjem bilo kojeg ravnog kružnog konusa sa ravninom (koja ne prolazi kroz njen vrh) određuje se kriva koja može biti samo hiperbola (slika 4), parabola (slika 5) ili elipsa (slika 6). Štaviše, ako ravan siječe samo jednu ravan stošca i duž zatvorene krive, onda je ova kriva elipsa; ako ravan siječe samo jednu ravan duž otvorene krive, tada je ova kriva parabola; ako rezna ravan siječe obje ravni konusa, tada se u presjeku formira hiperbola. Elegantan dokaz ove teoreme predložio je 1822. Dandelin, koji je koristio sfere koje se danas obično nazivaju Dandelinovim sferama. Hajde da razmotrimo ovaj dokaz. Upišimo dvije sfere u konus, tangentu na presječnu ravan P sa različite strane. Označimo sa F1 i F2 tačke kontakta ove ravni sa sferama. Uzmimo proizvoljnu tačku M na liniji presjeka konusa ravninom P. Na generatrici konusa koji prolazi kroz M označavamo tačke P1 i P2 koje leže na kružnicama k1 i k2 duž kojih kugle dodiruju konus. Jasno je da je MF1=MP1 kao segmenti dvije tangente na prvu sferu koja izlazi iz M; slično, MF2=MP2. Dakle, MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = R1R2. Dužina segmenta P1P2 je ista za sve tačke M našeg preseka: ovo je generatriksa skraćenog konusa, ograničenog paralelnim ravnima 1 i 11, u kojima leže kružnice k1 i k2. Prema tome, linija presjeka stošca ravninom P je elipsa sa žarištima F1 i F2. Validnost ove teoreme se takođe može utvrditi na osnovu činjenice opšti položaj da je presjek površine drugog reda s ravninom prava drugog reda. Književnost
1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Geometrija. U 2 dijela. Prvi dio. Tutorial za studente fizike i matematike. ped. U - druže-M.: Prosvjeta, 1986. 2. Bazylev V.T. i dr. Geometrija. Udžbenik priručnik za studente 1. godine fizike. - mat. fak-tov ped. in. - Drug-M.: Prosvjeta, 1974. 3. Pogorelov A.V. Geometrija. Udžbenik za 7-11 razred. avg. škola - 4. izdanje - M.: Obrazovanje, 1993. 4. Istorija matematike od antičkih vremena do početkom XIX vekovima. Yushkevich A.P. - M.: Nauka, 1970. 5. Boltyansky V.G. Optička svojstva elipse, hiperbole i parabole. // Quantum. - 1975. - br. 12. - Sa. 19 - 23. 6. Efremov N.V. Kratki kurs analitička geometrija. - M: Nauka, 6. izdanje, 1967. - 267 str. Koncept konusnih presjeka. Konusni presjeci su sjecišta ravnina i konusa. Vrste konusnih presjeka. Konstrukcija konusnih presjeka. Konusni presjek je mjesto tačaka koje zadovoljavaju jednačinu drugog reda. sažetak, dodan 10.05.2008 "Konični preseci" od Apolonija. Izvođenje jednadžbe krivulje za presjek pravokutnog stošca okretanja. Izvođenje jednadžbe za parabolu, za elipsu i hiperbolu. Invarijantnost konusnih presjeka. Dalji razvoj teorije konusnih presjeka u djelima Apolonija. sažetak, dodan 04.02.2010 Koncept i historijska referenca o konusu, karakteristikama njegovih elemenata. Značajke formiranja konusa i vrste konusnih presjeka. Konstrukcija Dandelinove sfere i njeni parametri. Primjena svojstava konusnih presjeka. Proračun površina konusa. prezentacija, dodano 04.08.2012 Matematički koncept krive. Opća jednačina krivulje drugog reda. Jednadžbe kruga, elipse, hiperbole i parabole. Osi simetrije hiperbole. Proučavanje oblika parabole. Krive trećeg i četvrtog reda. Anesi uvojak, kartezijanski list. teza, dodana 14.10.2011 Pregled i karakteristike različitih metoda za konstruisanje presjeka poliedara, utvrđivanje njihovih snaga i slabosti. Metoda pomoćnih presjeka kao univerzalna metoda za konstruisanje presjeka poliedara. Primjeri rješavanja problema na temu istraživanja. prezentacija, dodano 19.01.2014 Opća jednačina krivulje drugog reda. Sastavljanje jednadžbi elipse, kruga, hiperbole i parabole. Ekscentricitet hiperbole. Fokus i direktrisa parabole. Konverzija opšta jednačina kanonskom obliku. Ovisnost tipa krive o invarijantama. prezentacija, dodano 10.11.2014 Elementi geometrije trougla: izogonalna i izotomska konjugacija, izuzetne tačke i linije. Konici povezani s trouglom: svojstva konusnih presjeka; konike opisane oko trougla i upisane u njega; aplikacija za rješavanje problema. kurs, dodan 17.06.2012 Elipsa, hiperbola, parabola kao krive drugog reda koje se koriste u višoj matematici. Koncept krive drugog reda je prava na ravni, koja je u nekom Dekartovom koordinatnom sistemu određena jednačinom. Pascampleova teorema i Brianchonova teorema. sažetak, dodan 26.01.2011 O poreklu problema udvostručavanja kocke (jedan od pet poznatih problema antike). Prvi poznati pokušaj rješavanja problema, rješenje Arhita iz Tarenta. Rješavanje problema u staroj Grčkoj nakon Arhita. Rješenja pomoću konusnih presjeka Menehma i Eratostena. sažetak, dodan 13.04.2014 Glavne vrste konusnih presjeka. Presjek formiran ravninom koja prolazi kroz os konusa (aksijalno) i kroz njegov vrh (trokut). Formiranje presjeka ravninom koja je paralelna (parabola), okomita (krug) a ne okomita (elipsa) na osu. V cilindar = S glavni. ∙h Primjer 2. Dat je pravi kružni konus ABC, jednakostraničan, BO = 10. Pronađite zapreminu konusa. Rješenje Nađimo poluprečnik osnove konusa. C=60 0, B=30 0, Neka OS = A, tada je BC = 2 A. Prema Pitagorinoj teoremi: odgovor: . Primjer 3. Izračunajte zapremine figura formiranih rotirajućim površinama ograničenim naznačenim linijama. Granice integracije a = 0, b = 4. V= Zadaci Opcija 1 1. Aksijalni presjek cilindra je kvadrat čija je dijagonala 4 dm. Pronađite zapreminu cilindra. 2. Spoljni prečnik šuplje lopte je 18 cm, debljina zidova je 3 cm.Nađite zapreminu zidova lopte. X
figure, ograničena linijama y 2 =x, y=0, x=1, x=2. Opcija 2 1. Poluprečniki tri lopte su 6 cm, 8 cm, 10 cm Odrediti poluprečnik lopte čija je zapremina jednaka zbiru zapremina ovih kuglica. 2. Površina osnove konusa je 9 cm 2, površina puna površina ima 24 cm 2. Pronađite zapreminu konusa. 3. Izračunajte zapreminu tijela nastalog rotacijom oko O ose X figura ograničena linijama y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4. 1. Napišite svojstva zapremina tijela. 2. Napišite formulu za izračunavanje volumena tijela okretanja oko ose Oy. Dijagnostički rad se sastoji iz dva dijela, uključujući 19 zadataka. Prvi dio sadrži 8 zadataka osnovnog nivoa težine sa kratkim odgovorom. Drugi dio sadrži 4 zadatka viši nivo poteškoće sa kratkim odgovorom i 7 zadataka naprednih i visoki nivoi poteškoće sa detaljnim odgovorom. TEKST TRANSKRIPTA ČASA: Nastavljamo s proučavanjem odjeljka stereometrije “Tijela rotacije”. Tijela rotacije uključuju: cilindre, čunjeve, kugle. Prisjetimo se definicija. Visina je udaljenost od vrha figure ili tijela do osnove figure (tijela). Inače, segment koji povezuje vrh i bazu figure i okomit na njega. Zapamtite, da biste pronašli površinu kruga morate pomnožiti pi s kvadratom radijusa. Površina kruga je jednaka. Prisjetimo se kako pronaći površinu kruga znajući promjer? Jer Stavimo to u formulu: Konus je takođe telo revolucije. Konus (tačnije, kružni konus) je tijelo koje se sastoji od kružnice - osnove stošca, tačke koja ne leži u ravni ove kružnice - vrha stošca i svih segmenata koji povezuju vrh konusa. konus sa baznim tačkama. Hajde da se upoznamo sa formulom za pronalaženje zapremine konusa. Teorema. Zapremina konusa jednaka je jednoj trećini proizvoda površine baze i visine. Dokažimo ovu teoremu. Dato: konus, S - površina njegove osnove, h - visina konusa Dokazati: V= Dokaz: Razmotrimo konus zapremine V, poluprečnika osnove R, visine h i vrha u tački O. Uvedemo osovinu Ox kroz OM - os konusa. Proizvoljni presjek stošca ravninom okomitom na os Ox je kružnica sa centrom u tački M1 - tačka preseka ove ravni sa Ox osom. Označimo poluprečnik ove kružnice sa R1, a površinu poprečnog preseka sa S(x), gde je x apscisa tačke M1. Od sličnosti pravokutnih trouglova OM1A1 i OMA (ے OM1A1 = ے OMA su prave linije, ے MOA je uobičajena, što znači da su trouglovi slični pod dva ugla) sledi da Slika pokazuje da je OM1=x, OM=h ili odakle, prema svojstvu proporcije, nalazimo R1 = . Budući da je poprečni presjek kružnica, onda je S(x)=πR12, zamijenite prethodni izraz umjesto R1, površina poprečnog presjeka je jednaka omjeru proizvoda kvadrata pier kvadrata od x i kvadrata visine: Primijenimo osnovnu formulu računajući zapremine tela, sa a=0, b=h, dobijamo izraz (1) Budući da je osnova stošca kružnica, površina S osnove stošca će biti jednaka kvadratu u formuli za izračunavanje zapremine tela vrednost kvadrata pier zamenjujemo površinom baze i nalazimo da je zapremina stošca jednaka jednoj trećini proizvoda površine bazu i visinu Teorema je dokazana. Posljedica teoreme (formula za volumen krnjeg stošca) Volumen V krnjeg stošca, čija je visina h, i površina baza S i S1, izračunava se po formuli Ve je jednako jednoj trećini osi pomnoženoj sa zbrojem površina baza i kvadratnog korijena proizvoda površina baze. Rješavanje problema Pravokutni trokut sa katetama 3 cm i 4 cm rotira oko hipotenuze. Odredite volumen rezultirajućeg tijela. Kada zarotiramo trokut oko hipotenuze, dobijamo konus. Prilikom rješavanja ovog problema važno je shvatiti da su moguća dva slučaja. U svakom od njih koristimo formulu da pronađemo zapreminu stošca: zapremina stošca jednaka je jednoj trećini umnoška baze i visine U prvom slučaju, crtež će izgledati ovako: dati konus. Neka je poluprečnik r = 4, visina h = 3 Površina baze jednaka je π puta kvadratu polumjera Tada je zapremina stošca jednaka jednoj trećini proizvoda broja π na kvadrat polumjera i visine. Zamijenimo vrijednost u formulu, ispada da je volumen konusa 16π. U drugom slučaju, ovako: dat je konus. Neka je poluprečnik r = 3, visina h = 4 Zapremina konusa jednaka je jednoj trećini proizvoda površine baze i visine: Površina baze jednaka je π puta kvadratu polumjera: Tada je zapremina stošca jednaka jednoj trećini umnoška broja π na kvadrat polumjera i visine: Zamjenom vrijednosti u formulu, ispada da je volumen konusa 12π. Odgovor: Zapremina konusa V je 16 π ili 12 π Zadatak 2. Dat je pravi kružni konus poluprečnika 6 cm, ugao BCO = 45. Pronađite zapreminu konusa. Rešenje: Za ovaj problem je obezbeđen gotov crtež. Zapišimo formulu za pronalaženje zapremine konusa: Izrazimo to kroz poluprečnik baze R: Nalazimo h =BO po konstrukciji - pravougaono, jer ugao BOC = 90 (zbir uglova trougla), uglovi u osnovi su jednaki, što znači da je trougao ΔBOC jednakokraki i BO = OC = 6 cm. Neka je zadan pravi kružni cilindar, horizontalna ravnina projekcije je paralelna sa njegovom bazom. Kada je cilindar presječen ravninom u općem položaju (pretpostavljamo da ravan ne siječe osnove cilindra), linija presjeka je elipsa, sam presjek ima oblik elipse, njegova horizontalna projekcija se poklapa sa projekcija osnove cilindra, a prednja takođe ima oblik elipse. Ali ako sekantna ravan čini ugao od 45° sa osom cilindra, tada se presek, koji ima oblik elipse, projicira krugom na ravan projekcije na koju je presek nagnut pod istim uglom. Ako rezna ravnina siječe bočnu površinu cilindra i jednu od njegovih osnova (slika 8.6), tada presječna linija ima oblik nepotpune elipse (dio elipse). Horizontalna projekcija presjeka u ovom slučaju je dio kružnice (projekcija osnove), a frontalna projekcija je dio elipse. Ravan se može postaviti okomito na bilo koju ravan projekcije, tada će se presek projektovati na ovu ravan projekcije kao prava linija (deo traga presečne ravni). Ako je cilindar presječen ravninom koja je paralelna generatrisi, tada su linije presjeka sa bočnom površinom ravne, a sam presjek ima oblik pravokutnika ako je cilindar ravan, odnosno paralelograma ako je cilindar nagnut. Kao što je poznato, i cilindar i konus su formirani od ravnih površina. Linija preseka (linija preseka) zacrtane površine i ravni u opštem slučaju je određena kriva, koja se konstruiše iz tačaka preseka generatrisa sa ravninom preseka. Neka se da pravi kružni konus. Kada je preseče ravan, linija preseka može imati oblik: trougla, elipse, kruga, parabole, hiperbole (slika 8.7) u zavisnosti od položaja ravni. Trokut se dobija kada rezna ravan, koja siječe konus, prođe kroz njegov vrh. U ovom slučaju, linije presjeka sa bočnom površinom su ravne linije koje se sijeku na vrhu stošca, koje zajedno sa linijom presjeka osnove tvore trokut projektovan na projekcijske ravnine sa iskrivljenjem. Ako ravan siječe os konusa, tada presjek stvara trokut čiji će ugao sa vrhom koji se poklapa sa vrhom konusa biti maksimalan za preseke trougla datog konusa. U ovom slučaju, presjek se projektuje na vodoravnu projekcijsku ravan (ona je paralelna s njegovom bazom) odsječkom prave linije. Presjek ravni i konusa bit će elipsa ako ravan nije paralelna ni sa jednom od generatrisa konusa. Ovo je ekvivalentno činjenici da ravan siječe sve generatore (cijela bočna površina konusa). Ako je sekantna ravnina paralelna s osnovom konusa, tada je linija presjeka kružnica, sam presjek se projektuje na vodoravnu ravninu projekcije bez izobličenja, a na frontalnu ravninu kao pravi segment. Linija preseka će biti parabola kada je rezna ravan paralelna samo sa jednom generatrisom konusa. Ako je rezna ravan paralelna sa dvije generatrise u isto vrijeme, tada je linija presjeka hiperbola. Skraćeni konus se dobije ako se ravan kružni konus presječe ravninom koja je paralelna osnovici i okomita na os konusa, a gornji dio se odbaci. U slučaju kada je horizontalna ravan projekcija paralelna sa osnovama krnjeg stošca, ove osnove se koncentričnim kružnicama projektuju na horizontalnu ravan projekcija bez izobličenja, a frontalna projekcija je trapez. Kada se krnji stožac presječe ravninom, ovisno o njegovoj lokaciji, linija reza može imati oblik trapeza, elipse, kruga, parabole, hiperbole ili dijela jedne od ovih krivulja, čiji su krajevi povezani pomoću duž.
one. sa strane njegove konkavnosti.Slični dokumenti
y 2 = 4x; y = 0; x = 4.
|
=32π
Za izvršenje dijagnostički rad iz matematike je predviđeno 3 sata i 55 minuta (235 minuta).
Odgovori na zadatke 1-12 zapisuju se kao cijeli ili konačni broj decimalni. Upišite brojeve u polja za odgovore u tekstu rada, a zatim ih prenesite u obrazac za odgovore br. 1. Prilikom ispunjavanja zadataka 13-19 potrebno je kompletno rješenje i odgovor upisati u obrazac za odgovore broj 2.
Svi obrasci moraju biti popunjeni jarkim crnim mastilom. Možete koristiti gel, kapilarna ili nalivpera.
Prilikom izvršavanja zadataka možete koristiti nacrt. Unosi u nacrt se ne uzimaju u obzir prilikom ocjenjivanja radova.
Bodovi koje dobijete za obavljene zadatke se zbrajaju.
Želimo vam uspjeh!Problemski uslovi
b) Pronađite sve korijene ove jednačine koji pripadaju segmentu
a) Dokažite da je dobijeni trokut u poprečnom presjeku tupougao.
b) Pronađite udaljenost od centra O osnove konusa na ravninu preseka.
a) Dokažite to MN = AC.
b) Nađi OS, ako su stranice trougla ABC jednaki su 5, 5 i 8.
ima jedinstveno rešenje
a) Može li igra trajati tačno tri kruga?
b) Postoje li dva početna broja takva da će partija trajati najmanje 9 poteza?
c) Anya je napravila prvi potez u igri. Pronađite najveći mogući omjer umnoška dva dobivena broja i proizvoda
