Uredio Ivanitskaya V.P. - M.: Državna prosvetna i pedagoška izdavačka kuća Ministarstva prosvete RSFSR, 1959. - 272 str.
Skinuti(direktan link) : egnnsholaster1959.djvu Prethodni 1 .. 11 > .. >> Sljedeći

Ako su susjedni uglovi jednaki, onda se svaki od njih naziva pravim uglom. Njihova zajednička strana naziva se okomita na pravu koju čine druge dvije strane. Također možemo reći da je simetrala obrnutog ugla okomita na pravu koju čine njegove stranice.

Teorema. Ako su uglovi jednaki, onda su i susjedni uglovi jednaki.

Neka (h, k) = ^. (I, m) i neka su ^ (h!, k) i ^ (/", t) odgovarajući susjedni uglovi (slika 20). Neka je, dalje, / kretanje pri kojem je ^ (h, k) prikazano u (I, tri). Ovim kretanjem, prošireni ^ (h, K) će biti mapiran u prošireni (I, /"). Iz toga slijedi da će ^(h", k) biti preslikano u ^(V, m), tj. ^(h!, k) = ^(V, m).

Teorema. Postoji simetrala bilo kojeg ugla i, osim toga, jedinstvena.

Neka je ^(A, k) različito od proširenog i neka je njegova unutrašnja oblast konveksna. Položimo jednake segmente OA i OB na njegove strane od temena O (slika 21, a) i spojimo tačke A i B. B jednakokraki trougao AOB A = ^B (§ 8). Povezivanjem sredine C segmenta AB sa tačkom O dobijamo trouglove L OS i BOC koji su jednaki u prvom atributu, pa je AOC = BOC, pa je zrak OS simetrala (h, k).

Ako (h, k) nije konveksan (na crtežu njegovo unutrašnje područje nije zasjenjeno), onda prema prethodnom

6}
t^

Prema teoremi, njegova simetrala je zrak m komplementaran zraku /.

Iz jednakosti trouglova ACO i BCO također slijedi da je ^ ACO = BCO1, tj. zraka CO je simetrala obrnutog ugla sa stranicama CA i CB.

Neka je sada dat prošireni ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB je prikazan u

(p, q). CO snop se preslikava u t snop. Kako je ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO i ^ACO= = (q, t), onda je (p, t) = = ^(q, t), tj. t - simetrala (p, q ).

Neka je / simetrala

(A, A), a G je proizvoljna zraka koja izlazi iz vrha ugla i leži u njegovom unutrašnjem području. Ako Γ leži u unutrašnjem području ^(A, /), onda ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Stoga, ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Posledica 1. Postoji jedna i samo jedna okomita na datu pravu, koja izlazi iz date tačke na njoj i leži u datoj poluravni ograničenoj ovom pravom.

Posledica 2. Polovine jednakih uglova su jednake jedna drugoj.

Zaista, ako je ^(A, A) = ^(A", A"), tada postoji kretanje / u kojem je jedno od njih preslikano u drugo. Prema dokazanoj teoremi, njihove simetrale / i Γ za dato kretanje također treba preslikati jedna u drugu. Prema tome ^(A, /) = ^(A", G).

Pošto su svi pravi uglovi jednaki, poseban slučaj posledica 2 je tvrdnja: svi pravi uglovi su međusobno jednaki.

Prave a i A koje formiraju prave uglove kada se seku nazivaju se okomite (a ± b).

Odraz od prave linije. Neka prava a leži u ravni a. Poluravnine formirane u ovom slučaju biće označene sa X i p. (Slika 22). Uzmimo zraku A na pravu

koji izlazi iz tačke O. Po svojstvu 6 kretanja (§ 7), postoji jedinstveno kretanje koje preslikava zrak h u sebe i poluravninu X u poluravninu jx. Sve tačke ove zrake, prema svojstvu 5 kretanja, preslikavaju se u sebe. Sve tačke zraka k, komplementarne direktnom zraku h, također su preslikane na sebe.

Dakle, tokom razmatranog kretanja, sve tačke prave a se preslikavaju na sebe. Dalje, to je lako vidjeti

Uzmimo sada tačku izvan prave a.

Teorema. Kroz bilo koju tačku koja ne leži na pravoj prolazi jedna prava okomita na datu pravu.

Dokaz. Neka je M tačka koja leži izvan prave a (slika 23). Prava a dijeli ravan definiranu ovom pravom i

tačku M, na dvije poluravnine: poluravninu X koja sadrži tačku M i poluravninu jx. Kada se reflektuje od prave a, tačka M se preslikava u tačku M" poluravnine jx. Pošto tačke M i M" leže u različitim poluravninama,

ah, onda pravo MM" i Prokletstvo 23

seku na nekima

tačka M0, koja se, kada se reflektuje, preslikava na sebe. Iz toga slijedi da je prava linija MM" preslikana na sebe, pa se stoga uglovi / i 2 formirani njome sa pravom a (vidi sliku 23) preslikavaju jedan u drugi.

Poluravnina jx je mapirana u poluravninu X.

Kretanje koje se razmatra naziva se refleksijom od prave a.

Iz postojanja simetrale obrnutog ugla slijedi da je kroz bilo koju tačku koja leži na pravoj a uvijek moguće povući pravu b okomitu na pravu a.

To znači da su ovi uglovi jednaki, a pošto su, pored toga, susedni, onda je MM" ± a. Neka se sada kroz M povuče još jedna prava, koja siječe pravu a u nekoj tački Af0. Ona će se preslikati u pravu M "N0, a ^ MN0M0 će se preslikati u M"N0M0. Dakle, ^ 3 = ^i4. Ali na osnovu Aksioma 1 (§ 2), tačke M1 N0 i M" ne leže na istoj pravoj liniji, i dakle zbir uglova 3 i 4, tj. ^ MN0M", nije obrnuti ugao. Iz toga sledi da su uglovi 3 i 4 različiti od pravog ugla i prava linija MN0 neće biti okomita na pravu a. prava MM" je dakle jedina prava prava okomita na a i koja prolazi kroz tačku M.

Svaki ugao, ovisno o svojoj veličini, ima svoje ime:

Tip kuta Veličina u stepenima Primjer
Začinjeno Manje od 90°
Pravo Jednako 90°.

Na crtežu se pravi ugao obično označava simbolom koji se povlači od jedne do druge strane ugla.
Blunt Više od 90°, ali manje od 180°
Prošireno Jednako 180°

Pravi ugao jednak je zbiru dva prava ugla, a pravi ugao je polovina pravog ugla.
Konveksna Više od 180°, ali manje od 360°
Pun Jednako 360°

Dva ugla se nazivaju susjedni, ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge dvije strane čine pravu liniju:

Uglovi MOP I PON susjedni, budući da greda OP- zajednička strana, i druge dvije strane - OM I ON napravi pravu liniju.

Zajednička strana susjednih uglova naziva se koso do ravno, na kojoj leže druge dvije strane, samo u slučaju kada susjedni uglovi nisu međusobno jednaki. Ako su susjedni uglovi jednaki, onda će njihova zajednička strana biti okomito.

Zbir susjednih uglova je 180°.

Dva ugla se nazivaju vertikalno, ako strane jednog ugla nadopunjuju stranice drugog ugla u prave linije:

Uglovi 1 i 3, kao i uglovi 2 i 4, su vertikalni.

Vertikalni uglovi su jednaki.

Dokažimo da su vertikalni uglovi jednaki:

Zbir ∠1 i ∠2 je pravi ugao. A zbir ∠3 i ∠2 je pravi ugao. Dakle, ova dva iznosa su jednaka:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

U ovoj jednakosti nalazi se identičan član lijevo i desno - ∠2. Jednakost neće biti narušena ako se izostavi ovaj pojam s lijeve i desne strane. Onda ćemo dobiti.

Pitanje 1. Koji se uglovi nazivaju susjednim?
Odgovori. Dva ugla se nazivaju susjednim ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su komplementarne poluprave.
Na slici 31, uglovi (a 1 b) i (a 2 b) su susedni. Imaju zajedničku stranu b, a stranice a 1 i a 2 su dodatne poluprave.

Pitanje 2. Dokažite da je zbir susjednih uglova 180°.
Odgovori. Teorema 2.1. Zbir susjednih uglova je 180°.
Dokaz. Neka su ugao (a 1 b) i ugao (a 2 b) dati susedni uglovi (vidi sliku 31). Zraka b prolazi između stranica a 1 i a 2 pravog ugla. Dakle, zbir uglova (a 1 b) i (a 2 b) jednak je nesavijenom uglu, odnosno 180°. Q.E.D.

Pitanje 3. Dokažite da ako su dva ugla jednaka, onda su i njihovi susjedni uglovi jednaki.
Odgovori.

Iz teoreme 2.1 Iz toga slijedi da ako su dva ugla jednaka, onda su i njihovi susjedni uglovi jednaki.
Recimo da su uglovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki. Moramo dokazati da su uglovi (a 2 b) i (c 2 d) također jednaki.
Zbir susjednih uglova je 180°. Iz ovoga slijedi da je a 1 b + a 2 b = 180° i c 1 d + c 2 d = 180°. Dakle, a 2 b = 180° - a 1 b i c 2 d = 180° - c 1 d. Pošto su uglovi (a 1 b) i (c 1 d) jednaki, dobijamo da je a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Po svojstvu tranzitivnosti znaka jednakosti slijedi da je a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Pitanje 4. Koji ugao se naziva pravi (oštar, tup)?
Odgovori. Ugao jednak 90° naziva se pravi ugao.
Ugao manji od 90° naziva se oštar ugao.
Ugao veći od 90° i manji od 180° naziva se tup.

Pitanje 5. Dokažite da je ugao koji se nalazi pored pravog ugla pravi ugao.
Odgovori. Iz teoreme o zbiru susednih uglova sledi da je ugao pored pravog ugla pravi ugao: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Pitanje 6. Koji uglovi se nazivaju vertikalni?
Odgovori. Dva ugla se nazivaju vertikalnim ako su stranice jednog ugla komplementarne poluprave stranica drugog.

Pitanje 7. Dokažite da su vertikalni uglovi jednaki.
Odgovori. Teorema 2.2. Vertikalni uglovi su jednaki.
Dokaz. Neka su (a 1 b 1) i (a 2 b 2) dati vertikalni uglovi (slika 34). Ugao (a 1 b 2) graniči sa uglom (a 1 b 1) i sa uglom (a 2 b 2). Odavde, koristeći teoremu o zbiru susjednih uglova, zaključujemo da svaki od uglova (a 1 b 1) i (a 2 b 2) nadopunjuje ugao (a 1 b 2) do 180°, tj. uglovi (a 1 b 1) i (a 2 b 2) su jednaki. Q.E.D.

Pitanje 8. Dokažite da ako je, kada se dvije prave seku, jedan od uglova pravi, onda su i ostala tri ugla prava.
Odgovori. Pretpostavimo da se prave AB i CD sijeku u tački O. Pretpostavimo da je ugao AOD 90°. Pošto je zbir susjednih uglova 180°, dobijamo da je AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Ugao COB je okomit u odnosu na ugao AOD, tako da su jednaki. To jest, ugao COB = 90°. Ugao COA je okomit u odnosu na ugao BOD, tako da su jednaki. To jest, ugao BOD = 90°. Dakle, svi uglovi su jednaki 90°, odnosno svi su pravi uglovi. Q.E.D.

Pitanje 9. Koje se prave nazivaju okomiti? Koji znak se koristi za označavanje okomitosti linija?
Odgovori. Dvije prave se nazivaju okomiti ako se sijeku pod pravim uglom.
Okomitost linija je označena znakom \(\perp\). Unos \(a\perp b\) glasi: "Prava a je okomita na pravu b."

Pitanje 10. Dokažite da kroz bilo koju tačku na pravoj možete povući pravu okomitu na nju, i to samo jednu.
Odgovori. Teorema 2.3. Kroz svaku liniju možete povući pravu okomitu na nju, i to samo jednu.
Dokaz. Neka je a data prava, a A data tačka na njoj. Označimo sa a 1 jednu od poluprava prave a sa početnom tačkom A (slika 38). Oduzmimo ugao (a 1 b 1) jednak 90° od poluprave a 1. Tada će prava linija koja sadrži zraku b 1 biti okomita na pravu a.

Pretpostavimo da postoji još jedna prava, koja takođe prolazi kroz tačku A i okomita na pravu a. Označimo sa c 1 polupravu ove prave koja leži u istoj poluravni sa zrakom b 1 .
Uglovi (a 1 b 1) i (a 1 c 1), svaki jednak 90°, položeni su u jednoj poluravni od poluprave a 1. Ali iz poluprave a 1 u datu poluravninu može se staviti samo jedan ugao jednak 90°. Dakle, ne može postojati druga prava koja prolazi kroz tačku A i okomita na pravu a. Teorema je dokazana.

Pitanje 11.Šta je okomito na pravu?
Odgovori. Okomita na datu pravu je odsječak prave koji je okomit na datu pravu, čiji je jedan od krajeva u točki presjeka. Ovaj kraj segmenta se zove osnovu okomito.

Pitanje 12. Objasnite od čega se sastoji dokaz kontradikcijom.
Odgovori. Metoda dokaza koju smo koristili u teoremi 2.3 naziva se dokaz kontradikcijom. Ova metoda dokaza sastoji se u tome da se prvo napravi pretpostavka suprotna od onoga što teorema navodi. Zatim, rasuđivanjem, oslanjajući se na aksiome i dokazane teoreme, dolazimo do zaključka koji je u suprotnosti ili sa uslovima teoreme, ili sa jednom od aksioma, ili sa prethodno dokazanom teoremom. Na osnovu toga zaključujemo da je naša pretpostavka bila netačna, te je stoga tvrdnja teoreme tačna.

Pitanje 13.Šta je simetrala ugla?
Odgovori. Simetrala ugla je zraka koja izlazi iz vrha ugla, prolazi između njegovih stranica i dijeli ugao na pola.

Uglovi.

Osnovni koncepti.

Ugao je figura koju čine dvije zrake koje izlaze iz jedne tačke.

Gornji ugao- ovo je tačka iz koje izlaze dve zrake koje formiraju ovaj ugao.

Simetrala- Ovo je zrak koji izlazi iz vrha ugla i dijeli ugao na pola.

Pravi ugao- je ugao čije stranice leže u istoj ravni; jednako 180? i pravo je.

Pravi ugao- ovo je ugao jednak polovini rasklopljenog ugla; jednako 90?.

Oštar ugao je ugao koji je manji od pravog ugla.

Tupi ugao- ovo je ugao koji je veći od pravog ugla, ali manji od pravog ugla.

Ugao lomi ravan na dva dela. Svaki dio se zove ravan ugao.

Zovu se ravni uglovi sa zajedničkim stranicama dodatno.

Ako je ravan ugao dio poluravnine, tada se njegova mjera stepena naziva stepenom mjera običnog ugla sa istim stranicama.

Ako ravan ugao sadrži poluravninu, onda je njegova mjera stepena jednaka 360 º - α, gdje je α stepena mjera dodatnog ravnog ugla.

Jednaki uglovi.

Ovo su uglovi koji se poklapaju kada se preklapaju.

Susedni uglovi.

Dva ugla se nazivaju susjedni, ako imaju jednu zajedničku stranu, a druge strane ovih uglova su dodatne poluprave.

Uglovi na slici (oglas) I (cd) susjedni. Oni imaju stranu d general i strane a I c- dodatne poluprave linije.

Teorema:

Zbir susjednih uglova je 180º.

Iz teoreme slijedi:

Ako su dva ugla jednaka, onda su i njihovi susjedni uglovi jednaki.

Ako ugao nije rotiran, tada je njegova mjera stepena manja od 180º.

Ugao pored pravog ugla je pravi ugao.

Vertikalni uglovi.

Dva ugla se nazivaju vertikalno, ako su strane jednog ugla komplementarne poluprave stranica drugog. Nastaju presekom dve prave i nisu susedne, imaju zajednički vrh i isti stepen.

Na slici su uglovi (A 1 B 1) i (A 2 B 2) vertikalni. Stranice A 2 i B 2 drugog ugla su komplementarne poluprave stranica A 1 i B 1 prvog ugla.

Teorema:

Vertikalni uglovi su jednaki.

Centralni ugao.

Centralni ugao u krugu je ravan ugao sa vrhom u centru (slika 1).

Dio kruga koji se nalazi unutar ravnog ugla naziva se luk kružnice, koji odgovara ovom centralnom uglu (na slici 1, luk AB je luk kružnice).

Mera stepena luk kružnice naziva se stepenom mera odgovarajućeg centralnog ugla.

Uglovi upisani u krug.

Ugao čiji vrh leži na kružnici i čije stranice sijeku ovu kružnicu naziva se upisana u krug(Sl. 2).

Svojstva:

Uglovi na preseku dve prave sa trećom.

Kada se linije seku a I b secant c formira se osam uglova koji su na slici označeni brojevima. Neki parovi ovih uglova imaju posebne nazive:
odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;

poprečni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
jednostrani uglovi: 4 i 5, 3 i 6.

Znakovi paralelizma dvije prave

Teorema 1. Ako, kada se dvije prave seku sa sekantom:

    ukršteni uglovi su jednaki, ili

    odgovarajući uglovi su jednaki, ili

    tada je zbir jednostranih uglova 180°

prave su paralelne(Sl. 1).

Dokaz. Ograničavamo se na dokazivanje slučaja 1.

Neka su prave a i b ukrštene, a uglovi AB jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.

Pretpostavimo da prave a i b nisu paralelne. Tada se sijeku u nekoj tački M i stoga će jedan od uglova 4 ili 6 biti vanjski ugao trougla ABM. Radi određenosti, neka je ∠ 4 vanjski ugao trougla ABM, a ∠ 6 unutrašnji. Iz teoreme o spoljašnjem uglu trougla sledi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti sa uslovom, što znači da se prave a i 6 ne mogu seći, pa su paralelne.

Zaključak 1. Dvije različite prave u ravni okomitoj na istu pravu su paralelne(Sl. 2).

Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teoreme 1 nazivamo metodom dokaza kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoje prvo ime jer se na početku argumenta postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) onome što treba dokazati. To se naziva dovođenjem do apsurda zbog činjenice da, rezonujući na osnovu postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (do apsurda). Primanje takvog zaključka tjera nas da odbacimo pretpostavku iznesenu na početku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.

Zadatak 1. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku M i paralelna sa datom pravom a, a ne prolazi kroz tačku M.

Rješenje. Provlačimo pravu p kroz tačku M okomitu na pravu a (slika 3).

Zatim povučemo pravu b kroz tačku M okomitu na pravu p. Prava b je paralelna pravoj a prema posljedici teoreme 1.

Iz razmatranog problema proizlazi važan zaključak:
kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj uvek je moguće povući pravu paralelnu datoj.

Glavno svojstvo paralelnih linija je sljedeće.

Aksiom paralelnih pravih. Kroz datu tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi samo jedna prava paralelna sa datom.

Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravih koja slijede iz ovog aksioma.

1) Ako prava seče jednu od dve paralelne prave, onda seče i drugu (slika 4).

2) Ako su dvije različite prave paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne (slika 5).

Sljedeća teorema je također tačna.

Teorema 2. Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, onda:

    poprečni uglovi su jednaki;

    odgovarajući uglovi su jednaki;

    zbir jednostranih uglova je 180°.

Zaključak 2. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu(vidi sliku 2).

Komentar. Teorema 2 se naziva inverzna teorema 1. Zaključak teoreme 1 je uslov teoreme 2. A uslov teoreme 1 je zaključak teoreme 2. Nema svaka teorema inverzna, tj. ako je data teorema tačno, onda inverzna teorema može biti netačna.

Objasnimo ovo na primjeru teoreme o vertikalnim uglovima. Ova teorema se može formulirati na sljedeći način: ako su dva ugla okomita, onda su jednaki. Obrnuti teorem bi bio: ako su dva ugla jednaka, onda su vertikalni. A ovo, naravno, nije tačno. Dva jednaka ugla ne moraju biti vertikalna.

Primjer 1. Dvije paralelne prave se ukrštaju trećom. Poznato je da je razlika između dva unutrašnja jednostrana ugla 30°. Pronađite ove uglove.

Rješenje. Neka slika 6 ispuni uslov.