Svrha lekcije:
- Uvesti koncept pouzdanih, nemogućih i slučajnih događaja.
- Razviti znanje i vještine za određivanje vrste događaja.
- Razviti: računarske vještine; pažnja; sposobnost analize, zaključivanja, zaključivanja; veštine grupnog rada.
Tokom nastave
1) Organizacioni momenat.
Interaktivna vježba: djeca moraju rješavati primjere i dešifrirati riječi; na osnovu rezultata dijele se u grupe (tačne, nemoguće i slučajne) i određuju temu časa.
1 kartica.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kartica
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kartica
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Ažuriranje naučenog znanja.
Igra "Pamuk": čak broj- pljesak, čudno - ustaj.
Zadatak: od ovu seriju brojevi 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... određuju parne i neparne.
3) Proučavanje nove teme.
Na vašim stolovima su kocke. Pogledajmo ih pobliže. Šta vidiš?
Gdje se koriste kockice? Kako?
Rad u grupama.
Provođenje eksperimenta.
Koja predviđanja možete napraviti kada bacate kocku?
Prvo predviđanje: pojaviće se jedan od brojeva 1,2,3,4,5 ili 6.
Događaj koji će se sigurno dogoditi u datom iskustvu naziva se pouzdan.
Drugo predviđanje: pojaviće se broj 7.
Mislite li da će se predviđeni događaj dogoditi ili ne?
Ovo je nemoguće!
Događaj koji se ne može dogoditi u datom iskustvu naziva se nemoguće.
Treće predviđanje: pojavit će se broj 1.
Hoće li se ovaj događaj dogoditi?
Događaj koji se može ili ne mora dogoditi u datom iskustvu naziva se nasumično.
4) Objedinjavanje proučenog gradiva.
I. Odredite vrstu događaja
-Sutra će padati crveni snijeg.
Sutra će padati jak snijeg.
Sutra će, iako je jul, padati snijeg.
Sutra, iako je jul, snijega neće biti.
Sutra će padati snijeg i bit će mećava.
II. Dodaj ovaj prijedlog riječ na takav način da događaj postane nemoguć.
Kolja je dobio peticu iz istorije.
Saša nije uradio nijedan zadatak na testu.
Oksana Mihajlovna (nastavnica istorije) će objasniti novu temu.
III. Navedite primjere nemogućih, slučajnih i pouzdanih događaja.
IV. Rad iz udžbenika (u grupama).
Opišite događaje o kojima se govori u zadacima ispod kao pouzdane, nemoguće ili slučajne.
br. 959. Petya planira prirodni broj. Događaj je sljedeći:
a) predviđen je paran broj;
b) predviđen je neparan broj;
c) zamišljen je broj koji nije ni paran ni neparan;
d) zamišljen je broj koji je paran ili neparan.
Br. 960. Otvorili ste ovaj udžbenik na bilo kojoj stranici i odabrali prvu imenicu koja se pojavila. Događaj je sljedeći:
a) u pisanju odabrane riječi postoji samoglasnik;
b) slovo “o” sadrži odabranu riječ;
c) u pisanju odabrane riječi nema samoglasnika;
d) postoji meki znak u pisanju odabrane riječi.
Riješi br. 961, br. 964.
Diskusija o riješenim zadacima.
5) Refleksija.
1. O kojim događajima ste naučili na lekciji?
2. Navedite koji od sljedećih događaja je siguran, koji je nemoguć, a koji slučajan:
A) letnji odmor neće biti;
b) sendvič će pasti puterom nadole;
V) akademske godineće ikada završiti.
6) Domaći zadatak:
Smislite dva pouzdana, slučajna i nemoguća događaja.
Napravite crtež za jednog od njih.
1.1. Neke informacije iz kombinatorike
1.1.1. Placements
Razmotrimo najjednostavnije koncepte povezane s odabirom i rasporedom određenog skupa objekata.
Brojanje načina na koje se ove radnje mogu izvesti često se radi prilikom rješavanja vjerojatnosnih problema.
Definicija. Smještaj od n elementi po k (k ≤n) je bilo koji uređeni podskup k elemenata skupa koji se sastoji od n razni elementi.
Primjer. Sljedeći nizovi brojeva su položaji 2 elementa iz 3 elementa skupa (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Imajte na umu da se položaji razlikuju po redoslijedu elemenata koji su u njih uključeni i njihovom sastavu. Plasmani 12 i 21 sadrže iste brojeve, ali njihov redoslijed je drugačiji. Stoga se ovi plasmani smatraju različitim.
Broj različitih plasmana od n elementi po k se označava i izračunava po formuli:
,
Gdje n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(čita " n- faktorijal").
Broj dvocifrenim brojevima, koji se može sastaviti od brojeva 1, 2, 3, pod uslovom da se nijedan broj ne ponavlja jednak: .
1.1.2. Preuređenje
Definicija. Permutacije iz n elementi se nazivaju takvim položajima n elementi koji se razlikuju samo po lokaciji elemenata.
Broj permutacija od n elementi P n izračunato po formuli: P n=n!
Primjer. Na koliko načina može 5 ljudi stati u red? Broj načina je jednak broju permutacija 5 elemenata, tj.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definicija. Ako među n elementi k identične, a zatim preuređenje ovih n elemenata naziva se permutacija s ponavljanjima.
Primjer. Neka su 2 od 6 knjiga identične. Svaki raspored svih knjiga na polici je preuređenje s ponavljanjem.
Broj različitih permutacija s ponavljanjima (od n elemente, uključujući k identičan) se izračunava pomoću formule: .
U našem primjeru, broj načina na koje se knjige mogu rasporediti na policu je: .
1.1.3. Kombinacije
Definicija. Kombinacije od n elementi po k takvi plasmani se nazivaju n elementi po k, koji se međusobno razlikuju u najmanje jednom elementu.
Broj različitih kombinacija n elementi po k se označava i izračunava po formuli: .
Po definiciji, 0!=1.
Sljedeća svojstva se primjenjuju na kombinacije:
1.
2.
3.
4.
Primjer. Ima 5 cvjetova različitih boja. Za buket su odabrana 3 cvijeta. Broj različitih buketa od 3 od 5 cvijeća jednak je: .
1.2. Slučajni događaji
1.2.1. Događaji
Poznavanje stvarnosti u prirodne nauke nastaje kao rezultat testiranja (eksperimenta, posmatranja, iskustva).
Test
ili iskustvo je implementacija određenog skupa uslova koji se mogu reprodukovati po želji veliki broj jednom.
Slučajno
je događaj koji se može ili ne mora dogoditi kao rezultat nekog testa (iskustva).
Dakle, događaj se smatra rezultatom testa.
Primjer. Bacanje novčića je izazov. Pojava orla tokom bacanja je događaj.
Događaji koje posmatramo razlikuju se po stepenu mogućnosti njihovog nastanka i po prirodi međusobne povezanosti.
Događaj se zove pouzdan
, ako je sigurno da će se pojaviti kao rezultat ovog testa.
Primjer. Student koji na ispitu dobije pozitivnu ili negativnu ocjenu je pouzdan događaj ako se ispit odvija po uobičajenim pravilima.
Događaj se zove nemoguće
, ako se ne može dogoditi kao rezultat ovog testa.
Primjer. Uklanjanje bijele kugle iz urne koja sadrži samo obojene (nebijele) kuglice je nemoguć događaj. Imajte na umu da pod drugim eksperimentalnim uvjetima nije isključena pojava bijele kuglice; dakle, ovaj događaj je nemoguć samo pod uslovima našeg iskustva.
U nastavku će slučajni događaji biti označeni velikim latiničnim slovima slova A,B,C... Pouzdan događaj označavamo slovom Ω, nemoguć događaj Ø.
Pozivaju se dva ili više događaja podjednako moguće
u datom testu ako postoji razlog za vjerovanje da nijedan od ovih događaja nije više ili manje moguć od ostalih.
Primjer. Sa jednim bacanjem kocke, pojavljivanje 1, 2, 3, 4, 5 i 6 bodova su podjednako mogući događaji. Pretpostavlja se, naravno, da kockice izrađen od homogenog materijala i ima ispravan oblik.
Dva događaja se zovu nekompatibilno
u datom testu, ako pojava jednog od njih isključuje pojavu drugog, i joint
inače.
Primjer. Kutija sadrži standardne i nestandardne dijelove. Uzmimo jedan detalj za sreću. Pojava standardnog dijela eliminira izgled nestandardnog dijela. Ovi događaji su nekompatibilni.
Formira se nekoliko događaja kompletna grupa događaja
u datom testu, ako se barem jedan od njih sigurno javlja kao rezultat ovog testa.
Primjer. Događaji iz primjera čine potpunu grupu jednako mogućih i parova nekompatibilni događaji.
Zovu se dva nekompatibilna događaja koji čine kompletnu grupu događaja u datom ispitivanju suprotnih događaja.
Ako je jedan od njih označen od strane A, onda se drugi obično označava sa (čitaj „ne A»).
Primjer. Pogodak i promašaj sa jednim udarcem u metu su suprotni događaji.
1.2.2. Klasična definicija vjerovatnoće
Vjerovatnoća događaja
– brojčana mjera mogućnosti njenog nastanka.
Događaj A pozvao povoljno
događaj IN ako kad god dođe do nekog događaja A, događaj dolazi IN.
Događaji A 1 , A 2 , ..., An formu dijagram slučaja
, ako oni:
1) podjednako moguće;
2) parno nekompatibilni;
3) formirati kompletnu grupu.
U shemi slučajeva (i samo u ovoj shemi) odvija se klasična definicija vjerovatnoće P(A) događaji A. Ovdje je slučaj svaki od događaja koji pripada odabranoj kompletnoj grupi jednako mogućih i po parovima nekompatibilnih događaja.
Ako n je broj svih slučajeva u šemi, i m– broj slučajeva koji pogoduju događaju A, To vjerovatnoća događaja
A određuje se jednakošću:
Sljedeća svojstva proizlaze iz definicije vjerovatnoće:
1. Vjerovatnoća pouzdanog događaja jednaka je jedan.
Zaista, ako je događaj siguran, onda svaki slučaj u shemi slučajeva favorizira događaj. U ovom slučaju m = n i zbog toga 
2. Vjerovatnoća nemogući događaj jednak nuli.
Zaista, ako je događaj nemoguć, onda nijedan slučaj u obrascu slučajeva ne favorizira događaj. Zbog toga m=0 i stoga 
Vjerovatnoća slučajnog događaja je pozitivan broj između nule i jedan.
Zaista, samo dio ukupnog broja slučajeva u obrascu slučajeva favorizira slučajni događaj. Stoga 0<m<n, što znači 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Dakle, vjerovatnoća bilo kog događaja zadovoljava nejednakosti
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Trenutno su svojstva vjerovatnoće definirana u obliku aksioma koje je formulirao A.N. Kolmogorov.
Jedna od glavnih prednosti klasične definicije vjerovatnoće je mogućnost direktnog izračunavanja vjerovatnoće događaja, tj. bez pribjegavanja eksperimentima, koji su zamijenjeni logičkim zaključivanjem.
Problemi direktnog izračunavanja vjerovatnoća
Problem 1.1. Kolika je vjerovatnoća parnog broja poena (događaj A) kada se baci kocka?
Rješenje. Razmotrite događaje Ai- odustao i naočale, i= 1, 2, …, 6. Očigledno je da ovi događaji čine obrazac slučajeva. Zatim broj svih slučajeva n= 6. Slučajevi pogoduju bacanju parnog broja bodova A 2 , A 4 , A 6, tj. m= 3. Onda 
.
Problem 1.2. U urni se nalazi 5 bijelih i 10 crnih kuglica. Kuglice se dobro izmiješaju, a zatim se 1 loptica vadi nasumično. Kolika je vjerovatnoća da će izvučena lopta biti bijela?
Rješenje. Postoji ukupno 15 slučajeva koji čine obrazac slučajeva. Štaviše, očekivani događaj A– izgled bele lopte favorizuje njih 5, dakle 
.
Problem 1.3. Dete se igra sa šest slova abecede: A, A, E, K, R, T. Nađite verovatnoću da će uspeti da nasumično formira reč KOČIJA (događaj A).
Rješenje. Rješenje je komplicirano činjenicom da među slovima postoje identična - dva slova "A". Dakle, broj svih mogućih slučajeva u datom testu jednak je broju permutacija sa ponavljanjem od 6 slova:
.
Ovi slučajevi su podjednako mogući, parno nedosledni i čine kompletnu grupu događaja, tj. formira dijagram slučajeva. Samo jedna šansa ide u prilog događaju A. Zbog toga
.
Problem 1.4. Tanja i Vanja su se dogovorili da Novu godinu dočekaju u društvu od 10 ljudi. Oboje su zaista želeli da sede jedno pored drugog. Kolika je vjerovatnoća da će im se želja ispuniti ako je uobičajeno da se mjesta među prijateljima dijele žrijebom?
Rješenje. Označimo sa A događaj "ispunjenje Tanjinih i Vanjinih želja." 10 ljudi može sjediti za stolom od 10! Različiti putevi. Koliko ovih n= 10! jednako mogući načini su povoljni za Tanju i Vanju? Tanja i Vanja, sjedeći jedno pored drugog, mogu zauzeti 20 različitih pozicija. U isto vrijeme, osam njihovih prijatelja može sjediti za stolom od 8! na različite načine, dakle m= 20∙8!. dakle, 
.
Problem 1.5. Grupa od 5 žena i 20 muškaraca bira tri delegata. Uz pretpostavku da se svaki od prisutnih može izabrati sa jednakom vjerovatnoćom, naći vjerovatnoću da će biti izabrane dvije žene i jedan muškarac.
Rješenje. Ukupan broj jednako mogućih ishoda testa jednak je broju načina na koji se mogu izabrati tri delegata od 25 osoba, tj. . Izbrojimo sada broj povoljnih slučajeva, tj. broj slučajeva u kojima se dešava interesni događaj. Muški delegat se može izabrati na dvadeset načina. Istovremeno, preostala dva delegata moraju biti žene, a možete izabrati dvije žene od pet. Dakle, . Zbog toga
.
Problem 1.6.Četiri loptice su nasumično razbacane po četiri rupe, svaka loptica upadne u jednu ili drugu rupu sa jednakom vjerovatnoćom i nezavisno od ostalih (nema prepreka da više loptica upadne u istu rupu). Nađite vjerovatnoću da će u jednoj od rupa biti tri lopte, jedna u drugoj, a da u druge dvije rupe neće biti loptice.
Rješenje. Ukupan broj slučajeva n=4 4 . Broj načina na koji se može izabrati jedna rupa u kojoj će biti tri loptice, . Broj načina na koji možete odabrati rupu u kojoj će biti jedna lopta, . Broj načina na koji se tri od četiri loptice mogu odabrati za postavljanje u prvu rupu je . Ukupan broj povoljnih slučajeva. Vjerovatnoća događaja: 
Problem 1.7. U kutiji se nalazi 10 identičnih loptica, označenih brojevima 1, 2, ..., 10. Šest loptica se izvlači za sreću. Odrediti vjerovatnoću da će među izvađenim kuglicama biti: a) kugla br. 1; b) lopte br. 1 i br. 2.
Rješenje. a) Ukupan broj mogućih elementarnih ishoda testa jednak je broju načina na koje se šest loptica može izdvojiti iz deset, tj.
Pronađimo broj ishoda koji favorizuju događaj koji nas zanima: među odabranih šest lopti nalazi se kuglica broj 1, pa prema tome preostalih pet lopti imaju različite brojeve. Broj takvih ishoda je očito jednak broju načina na koje se pet loptica može odabrati od preostalih devet, tj.
Tražena vjerovatnoća jednaka je omjeru broja ishoda povoljnih za dotični događaj i ukupnog broja mogućih elementarnih ishoda:
b) Broj ishoda koji pogoduju događaju koji nas zanima (među odabranim kuglicama su kuglice br. 1 i br. 2, dakle četiri lopte imaju različite brojeve) jednak je broju načina na koje četiri lopte mogu biti izvučen iz preostalih osam, tj. Potrebna vjerovatnoća 
1.2.3. Statistička vjerovatnoća
Statistička definicija vjerovatnoće se koristi kada ishodi eksperimenta nisu jednako mogući.
Relativna učestalost događaja
A određuje se jednakošću:
,
Gdje m– broj ispitivanja u kojima je događaj A stiglo je n– ukupan broj izvršenih testova.
J. Bernoulli je dokazao da će se s neograničenim povećanjem broja eksperimenata relativna učestalost pojavljivanja događaja gotovo proizvoljno malo razlikovati od nekog konstantnog broja. Ispostavilo se da je ovaj konstantni broj vjerovatnoća da će se događaj dogoditi. Stoga je prirodno relativnu učestalost pojave događaja sa dovoljno velikim brojem pokušaja nazvati statističkom vjerovatnoćom, za razliku od ranije uvedene vjerovatnoće.
Primjer 1.8. Kako približno odrediti broj riba u jezeru?
Pustite u jezero X riba Bacimo mrežu i, recimo, nađemo u njoj n riba Svaku od njih obilježavamo i puštamo nazad. Nekoliko dana kasnije, po istom vremenu i na istom mjestu, bacili smo istu mrežu. Pretpostavimo da u njemu nalazimo m riba, među kojima k tagged. Neka događaj A- “ulovljena riba je označena.” Zatim po definiciji relativne frekvencije.
Ali ako je u jezeru X ribu i pustili smo je u nju n označeno, zatim .
Jer R * (A) » R(A), To .
1.2.4. Operacije na događajima. Teorema sabiranja vjerovatnoće
Iznos, ili unija više događaja, je događaj koji se sastoji od pojave najmanje jednog od ovih događaja (u istom ispitivanju).
Suma A 1 + A 2 + … + An označeno kako slijedi: 
ili 
.
Primjer. Bacaju se dvije kockice. Neka događaj A sastoji se od bacanja 4 poena na 1 kocku i događaja IN– kada se 5 poena baci na drugu kockicu. Događaji A I IN joint. Stoga događaj A +IN sastoji se od bacanja 4 boda na prvom kocku, ili 5 bodova na drugom kocku, ili 4 boda na prvom kocku i 5 bodova na drugom u isto vrijeme.
Primjer. Događaj A– dobitak za 1 pozajmicu, događaj IN– dobitak na 2. pozajmici. Onda događaj A+B– osvajanje najmanje jednog kredita (eventualno dva odjednom).
Posao ili ukrštanje nekoliko događaja je događaj koji se sastoji od zajedničke pojave svih ovih događaja (u istom ispitivanju).
Posao IN događaji A 1 , A 2 , …, An označeno kako slijedi:
.
Primjer. Događaji A I IN sastoji se od uspješnog prolaska prvog, odnosno drugog kruga po prijemu na institut. Onda događaj A×B sastoji se od uspješnog završetka oba kruga.
Koncepti zbira i proizvoda događaja imaju jasnu geometrijsku interpretaciju. Neka događaj A postoji tačka koja ulazi u to područje A, i događaj IN– tačka ulaska u područje IN. Onda događaj A+B postoji tačka koja ulazi u zajednicu ovih oblasti (slika 2.1) i događaj AIN postoji tačka koja pogađa presek ovih oblasti (slika 2.2).
Rice. 2.1 Sl. 2.2
Teorema. Ako događaji A i(i = 1, 2, …, n) su parno nedosljedni, tada je vjerovatnoća zbira događaja jednaka zbroju vjerovatnoća ovih događaja: 
.
Neka A I Ā
– suprotni događaji, tj. A + Ā= Ω, gdje je Ω pouzdan događaj. Iz teoreme sabiranja slijedi da
R(Ω) = R(A) + R(Ā
) = 1, dakle
R(Ā
) = 1 – R(A).
Ako događaji A 1 i A 2 su kompatibilni, tada je vjerovatnoća zbira dva istovremena događaja jednaka:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Teoreme sabiranja vjerovatnoće nam omogućavaju da pređemo sa direktnog izračunavanja vjerovatnoća na određivanje vjerovatnoća nastanka složenih događaja.
Problem 1.8. Strijelac ispaljuje jedan hitac u metu. Verovatnoća za postizanje 10 poena (događaj A), 9 bodova (događaj IN) i 8 bodova (događaj WITH) jednaki su 0,11, respektivno; 0,23; 0.17. Pronađite vjerovatnoću da će strijelac jednim udarcem postići manje od 8 poena (događaj D).
Rješenje. Pređimo na suprotan događaj - jednim udarcem strijelac će postići najmanje 8 poena. Događaj se dešava ako se dogodi A ili IN, ili WITH, tj. . Od događaja A, B, WITH su parno nekonzistentni, onda, prema teoremi sabiranja,
, gdje .
Problem 1.9. Iz ekipe brigade, koju čini 6 muškaraca i 4 žene, biraju se dvije osobe za sindikalnu konferenciju. Kolika je vjerovatnoća da će među odabranima barem jedna žena (događaj A).
Rješenje. Ako dođe do nekog događaja A, tada će se definitivno dogoditi jedan od sljedećih nekompatibilnih događaja: IN– “muškarac i žena su izabrani”; WITH- “Odabrane su dvije žene.” Stoga možemo napisati: A=B+C. Nađimo vjerovatnoću događaja IN I WITH. Dvije od 10 osoba mogu se izabrati na različite načine. Dvije od 4 žene mogu biti odabrane na različite načine. Muškarac i žena se mogu odabrati na 6 × 4 načina. Onda . Od događaja IN I WITH su nedosljedni, dakle, prema teoremi sabiranja,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problem 1.10. Na polici biblioteke nasumično je raspoređeno 15 udžbenika, od kojih pet ukoričeno. Bibliotekar nasumce uzima tri udžbenika. Naći vjerovatnoću da će barem jedan od preuzetih udžbenika biti uvezan (događaj A).
Rješenje. Prvi način. Zahtjev - barem jedan od tri ukoričena udžbenika - bit će ispunjen ako se dogodi bilo koji od sljedeća tri nekompatibilna događaja: IN– jedan ukoričeni udžbenik, WITH– dva ukoričena udžbenika, D– tri ukoričena udžbenika.
Događaj od interesa za nas A može se predstaviti kao zbir događaja: A=B+C+D. Prema teoremi sabiranja,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Nađimo vjerovatnoću događaja B, C I D(vidi kombinatorne šeme): 
Predstavljajući ove vjerovatnoće u jednakosti (2.1), konačno dobijamo
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Drugi način. Događaj A(najmanje jedan od tri uzeta udžbenika je ukoričen) i Ā
(nijedan od preuzetih udžbenika nije ukoričen) – suprotno, dakle P(A) + P(Ā) = 1 (zbir vjerovatnoća dva suprotna događaja je jednak 1). Odavde P(A) = 1 – P(Ā). Vjerovatnoća nastanka događaja Ā
(nijedan od preuzetih udžbenika nije ukoričen)
Potrebna vjerovatnoća
P(A) = 1 – P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Uslovna vjerovatnoća. Teorema množenja vjerovatnoće
Uslovna vjerovatnoća P(B/A) je vjerovatnoća događaja B, izračunata pod pretpostavkom da se događaj A već dogodio.
Teorema. Verovatnoća zajedničkog nastupa dva događaja jednaka je proizvodu verovatnoće jednog od njih i uslovne verovatnoće drugog, izračunato pod pretpostavkom da se prvi događaj već dogodio:
P(A∙B) = P(A)∙P( IN/A). (2.2)
Dva događaja se nazivaju nezavisnim ako pojava jednog od njih ne mijenja vjerovatnoću pojave drugog, tj.
P(A) = P(A/B) ili P(B) = P(B/A). (2.3)
Ako događaji A I IN su nezavisni, onda iz formula (2.2) i (2.3) slijedi
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Tačna je i suprotna izjava, tj. ako jednakost (2.4) vrijedi za dva događaja, onda su ti događaji nezavisni. Zaista, iz formula (2.4) i (2.2) slijedi
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/A), gdje P(A) = P(B/A).
Formula (2.2) se može generalizirati na slučaj konačnog broja događaja A 1 , A 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙P(A n/A 1 A 2 …A n -1).
Problem 1.11. Iz urne koja sadrži 5 bijelih i 10 crnih loptica izvlače se dvije kugle u nizu. Pronađite vjerovatnoću da su obje lopte bijele (događaj A).
Rješenje. Pogledajmo događaje: IN– prva izvučena loptica je bijela; WITH– druga izvučena lopta je bijela. Onda A = BC.
Eksperiment se može izvesti na dva načina:
1) sa povratkom: izvađena lopta se nakon fiksiranja boje vraća u urnu. U ovom slučaju događaji IN I WITH nezavisni:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) bez vraćanja: uklonjena lopta se stavlja u stranu. U ovom slučaju događaji IN I WITH zavisan:
P(A) = P(B)∙R(S/IN).
Za događaj IN uslovi su isti, i za WITH situacija se promenila. Desilo se IN, dakle u urni je ostalo 14 kuglica, uključujući 4 bijele.
Dakle, .
Problem 1.12. Od 50 sijalica, 3 su nestandardne. Pronađite vjerovatnoću da su dvije sijalice snimljene u isto vrijeme nestandardne.
Rješenje. Pogledajmo događaje: A– prva sijalica je nestandardna, IN– druga sijalica je nestandardna, WITH– obe sijalice su nestandardne. To je jasno C = A∙IN. Događaj A 3 slučaja od 50 mogućih su povoljna, tj. P(A) = 3/50. Ako je događaj A je već stigao, onda događaj IN dva slučaja od 49 mogućih su povoljna, tj. P(B/A) = 2/49. dakle,
.
Problem 1.13. Dva sportista nezavisno jedan od drugog gađaju istu metu. Verovatnoća da prvi sportista pogodi metu je 0,7, a drugi 0,8. Kolika je vjerovatnoća da će cilj biti pogođen?
Rješenje. Meta će biti pogođena ako je pogodi ili prvi strijelac, ili drugi, ili oboje, tj. desiće se događaj A+B, gdje je događaj A sastoji se od prvog sportaša koji pogodi metu i događaja IN- sekunda. Onda
P(A+IN)=P(A)+P(B)–P(A∙IN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problem 1.14.Čitaonica ima šest udžbenika iz teorije vjerovatnoće, od kojih su tri ukoričena. Bibliotekarka je nasumce uzela dva udžbenika. Naći vjerovatnoću da će dva udžbenika biti povezana.
Rješenje. Hajde da uvedemo oznake događaja : A– prvi uzeti udžbenik je ukoričen, IN– drugi udžbenik je ukoričen. Vjerovatnoća da je prvi udžbenik uvezan je
P(A) = 3/6 = 1/2.
Vjerovatnoća da je drugi udžbenik uvezan, pod uslovom da je prvi uzet udžbenik bio uvezan, tj. uslovna verovatnoća događaja IN, je ovako: P(B/A) = 2/5.
Željena vjerovatnoća da su oba udžbenika vezana, prema teoremi množenja vjerovatnoća događaja, jednaka je
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problem 1.15. U radionici radi 7 muškaraca i 3 žene. Tri osobe su odabrane nasumično koristeći njihove brojeve osoblja. Pronađite vjerovatnoću da će sve odabrane osobe biti muškarci.
Rješenje. Hajde da predstavimo oznake događaja: A– prvi se bira muškarac, IN– drugi odabran je muškarac, SA - Treći izabrani bio je muškarac. Verovatnoća da će muškarac biti prvi izabran je P(A) = 7/10.
Verovatnoća da je muškarac izabran drugi, pod uslovom da je muškarac već izabran prvi, tj. uslovna verovatnoća događaja IN sljedeći : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Verovatnoća da će muškarac biti izabran treći, s obzirom na to da su dva muškarca već izabrana, tj. uslovna verovatnoća događaja WITH je li ovo: P(C/AB) = 5/8.
Željena vjerovatnoća da će sve tri odabrane osobe biti muškarci P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.
1.2.6. Formula ukupne vjerovatnoće i Bayesova formula
Neka B 1 , B 2 ,…, Bn– parno nekompatibilni događaji (hipoteze) i A– događaj koji se može dogoditi samo zajedno sa jednim od njih.
Obavijestite nas također P(B i) I P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Pod ovim uslovima važe formule: 
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) se zove formula ukupne vjerovatnoće
. Izračunava vjerovatnoću događaja A(totalna vjerovatnoća).
Formula (2.6) se zove Bayesova formula
. Omogućava vam da ponovo izračunate vjerovatnoće hipoteza ako je događaj A dogodilo.
Prilikom sastavljanja primjera zgodno je pretpostaviti da hipoteze čine potpunu grupu.
Problem 1.16. Korpa sadrži jabuke sa četiri stabla iste sorte. Od prve - 15% svih jabuka, od druge - 35%, od treće - 20%, od četvrte - 30%. Zrele jabuke su 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Kolika je vjerovatnoća da će nasumično uzeta jabuka biti zrela (događaj A).
b) S obzirom da se slučajno uzeta jabuka pokaže zrelom, izračunajte vjerovatnoću da je sa prvog stabla.
Rješenje. a) Imamo 4 hipoteze:
B 1 – nasumično uzeta jabuka uzima se sa 1. drveta;
B 2 – nasumično uzeta jabuka uzima se sa 2. drveta;
B 3 – nasumično uzeta jabuka uzima se sa 3. drveta;
B 4 – nasumično uzeta jabuka se uzima sa 4. drveta.
Njihove vjerovatnoće prema uslovu: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Uslovne vjerovatnoće događaja A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Vjerovatnoća da će nasumično uzeta jabuka biti zrela nalazi se pomoću formule ukupne vjerovatnoće:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Bayesova formula za naš slučaj izgleda ovako: 
.
Problem 1.17. Bijela kugla se baci u urnu u kojoj se nalaze dvije kuglice, nakon čega se jedna kuglica nasumično izvlači. Nađite vjerovatnoću da će izvučena lopta biti bijela ako su sve moguće pretpostavke o početnom sastavu loptica (na osnovu boje) jednako moguće.
Rješenje. Označimo sa A događaj – izvučena je bijela lopta. Moguće su sljedeće pretpostavke (hipoteze) o početnom sastavu loptica: B 1– nema bijelih kuglica, U 2– jedna bela lopta, U 3- dve bele lopte.
Pošto postoje ukupno tri hipoteze, a zbir vjerovatnoća hipoteza je 1 (pošto čine kompletnu grupu događaja), onda je vjerovatnoća svake od hipoteza 1/3, tj.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Uslovna vjerovatnoća da će bela kugla biti izvučena, s obzirom da u urni u početku nije bilo bijelih loptica, P(A/B 1)=1/3. Uslovna vjerovatnoća da će bela kugla biti izvučena, s obzirom da je u urni u početku bila jedna bela kugla, P(A/B 2)=2/3. Uslovna vjerovatnoća da će bela kugla biti izvučena s obzirom da su u urni u početku bile dvije bijele lopte P(A/B 3)=3/ 3=1.
Pronalazimo potrebnu vjerovatnoću da će bela kugla biti izvučena koristeći formulu ukupne vjerovatnoće:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problem 1.18. Dvije mašine proizvode identične dijelove koji idu na zajednički transporter. Produktivnost prve mašine je dvostruko veća od druge. Prva mašina proizvodi u prosjeku 60% dijelova odličnog kvaliteta, a druga - 84%. Nasumično uzet dio sa montažne trake pokazao se odličnog kvaliteta. Nađite vjerovatnoću da je ovaj dio proizvela prva mašina.
Rješenje. Označimo sa A događaj - detalj odličnog kvaliteta. Mogu se napraviti dvije pretpostavke: B 1– dio je proizvela prva mašina, i (pošto prva mašina proizvodi dvostruko više dijelova od druge) P(A/B 1) = 2/3; B 2 – dio je proizveden drugom mašinom, i P(B 2) = 1/3.
Uslovna vjerovatnoća da će dio biti odličnog kvaliteta ako ga proizvede prva mašina, P(A/B 1)=0,6.
Uslovna vjerovatnoća da će dio biti odličnog kvaliteta ako ga proizvede druga mašina je P(A/B 1)=0,84.
Vjerovatnoća da će nasumično uzet dio biti odličnog kvaliteta, prema formuli ukupne vjerovatnoće, jednaka je
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Potrebna vjerovatnoća da je odabrani odličan dio proizveden na prvoj mašini, prema Bayesovoj formuli, jednaka je
Problem 1.19. Postoje tri serije delova, od kojih svaka sadrži 20 delova. Broj standardnih dijelova u prvoj, drugoj i trećoj seriji je 20, 15, 10. Dio koji se pokazao kao standardni je nasumično uklonjen iz odabrane serije. Dijelovi se vraćaju u seriju, a dio se nasumično uklanja iz iste serije, što se također ispostavlja kao standard. Pronađite vjerovatnoću da su dijelovi uklonjeni iz treće serije.
Rješenje. Označimo sa A događaj - u svakom od dva pokušaja (sa povratkom) preuzet je standardni dio. Mogu se postaviti tri pretpostavke (hipoteze): B 1 – dijelovi se uklanjaju iz prve serije, IN 2
– dijelovi se uklanjaju iz druge serije, IN 3 – dijelovi se uklanjaju iz treće serije.
Dijelovi su izvađeni nasumično iz date serije, tako da su vjerovatnoće hipoteza iste: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Nađimo uslovnu vjerovatnoću P(A/B 1), tj. vjerovatnoća da će dva standardna dijela biti uzastopno uklonjena iz prve serije. Ovaj događaj je pouzdan, jer u prvoj seriji svi dijelovi su standardni, dakle P(A/B 1) = 1.
Nađimo uslovnu vjerovatnoću P(A/B 2), tj. vjerovatnoća da će dva standardna dijela biti uzastopno uklonjena (i vraćena) iz druge serije: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Nađimo uslovnu vjerovatnoću P(A/B 3), tj. vjerovatnoća da će dva standardna dijela biti uzastopno uklonjena (i vraćena) iz treće serije: P(A/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Željena vjerovatnoća da su oba ekstrahirana standardna dijela uzeta iz treće serije, prema Bayesovoj formuli, jednaka je 
1.2.7. Ponovljeni testovi
Ako se izvrši nekoliko testova, i vjerovatnoća događaja A u svakom testu ne zavisi od ishoda drugih testova, onda se takvi testovi nazivaju nezavisno u odnosu na događaj A. U različitim nezavisnim suđenjima događaj A mogu imati ili različite vjerovatnoće ili istu vjerovatnoću. Dalje ćemo razmotriti samo takve nezavisne testove u kojima je događaj A ima istu vjerovatnoću.
Neka se proizvede P nezavisnih suđenja, u svakom od kojih događaj A može se pojaviti ili ne mora. Složimo se da pretpostavimo da je vjerovatnoća događaja A u svakom ogledu je isti, odnosno jednak R. Dakle, vjerovatnoća da se događaj ne dogodi A u svakom ogledu je takođe konstantan i jednak 1– R. Ova probabilistička šema se zove Bernoullijeva šema. Postavimo sebi zadatak da izračunamo vjerovatnoću da kada P Bernoulli test događaj Aće se ostvariti k jednom ( k– broj uspjeha) i stoga se neće ostvariti P- jednom. Važno je naglasiti da nije obavezan događaj A tačno ponovljeno k puta u određenom nizu. Označavamo željenu vjerovatnoću R p (k).
Na primjer, simbol R 5(3) znači vjerovatnoću da će se u pet pokušaja događaj pojaviti tačno 3 puta i stoga se neće dogoditi 2 puta.
Postavljeni problem može se riješiti korištenjem tzv Bernoullijeve formule, koji izgleda ovako: 
.
Problem 1.20. Jednaka je vjerovatnoća da potrošnja električne energije u toku jednog dana neće premašiti utvrđenu normu R=0,75. Pronađite vjerovatnoću da u narednih 6 dana potrošnja električne energije za 4 dana neće premašiti normu.
Rješenje. Vjerovatnoća normalne potrošnje energije tokom svakog od 6 dana je konstantna i jednaka R=0,75. Shodno tome, vjerovatnoća prekomjerne potrošnje energije svakog dana je također konstantna i jednaka q= 1–R=1–0,75=0,25.
Tražena vjerovatnoća prema Bernoullijevoj formuli je jednaka
.
Problem 1.21. Dva jednaka šahista igraju šah. Šta je vjerovatnije: pobijediti u dvije utakmice od četiri ili tri utakmice od šest (remi se ne uzimaju u obzir)?
Rješenje. Igraju jednaki šahisti, pa je vjerovatnoća pobjede R= 1/2, dakle, verovatnoća gubitka q je takođe jednako 1/2. Jer u svim partijama je vjerovatnoća pobjede konstantna i nije bitno kojim redoslijedom se dobivaju partije, tada je primjenjiva Bernoullijeva formula.
Nađimo vjerovatnoću da će dvije od četiri utakmice biti dobijene:
Pronađimo vjerovatnoću da će tri utakmice od šest biti dobijene:
Jer P 4 (2) > P 6 (3), tada je veća vjerovatnoća da će pobijediti dvije utakmice od četiri nego tri od šest.
Međutim, može se vidjeti da korištenje Bernoullijeve formule za velike vrijednosti n prilično teško, jer formula zahtijeva operacije na ogromnim brojevima i stoga se greške nakupljaju tokom procesa izračunavanja; Kao rezultat toga, konačni rezultat može se značajno razlikovati od pravog.
Za rješavanje ovog problema postoji nekoliko graničnih teorema koje se koriste za slučaj velikog broja testova.
1. Poissonova teorema
Prilikom provođenja velikog broja testova korištenjem Bernoullijeve sheme (s n=> ∞) i sa malim brojem povoljnih ishoda k(pretpostavlja se da je vjerovatnoća uspjeha str mala), Bernulijeva formula se približava Poissonovoj formuli 
.
Primjer 1.22. Vjerovatnoća kvarova kada preduzeće proizvede jedinicu proizvoda jednaka je str=0,001. Kolika je vjerovatnoća da će pri proizvodnji 5000 jedinica proizvoda manje od 4 od njih biti neispravne (događaj A Rješenje. Jer n je velika, koristimo Laplaceov lokalni teorem: 
Hajde da izračunamo x:
Funkcija 
– parno, pa je φ(–1,67) = φ(1,67).
Koristeći tabelu u Dodatku A.1, nalazimo φ(1,67) = 0,0989.
Potrebna vjerovatnoća P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Laplasova integralna teorema
Ako je vjerovatnoća R pojava događaja A u svakom ogledu prema Bernoullijevoj shemi je konstantan i različit od nule i jedan, zatim sa velikim brojem pokušaja n, vjerovatnoća R p (k 1 , k 2) nastanak događaja A u ovim testovima od k 1 to k 2 puta približno jednako
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), Gdje 
– Laplaceova funkcija,
Definitivni integral u Laplaceovoj funkciji ne može se izračunati na klasi analitičkih funkcija, pa se za izračunavanje koristi tabela. Tačka 2, data u dodatku.
Primjer 1.24. Vjerovatnoća da se događaj dogodi u svakom od sto nezavisnih ispitivanja je konstantna i jednaka str= 0,8. Pronađite vjerovatnoću da će se događaj pojaviti: a) najmanje 75 puta i ne više od 90 puta; b) najmanje 75 puta; c) ne više od 74 puta.
Rješenje. Koristimo Laplaceovu integralnu teoremu:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), gdje je F( x) – Laplaceova funkcija,
a) Prema uslovu, n = 100, str = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Izračunajmo x"" I x" :
S obzirom da je Laplaceova funkcija neparna, tj. F(- x) = – F( x), dobijamo
P 100 (75;90) = F (2,5) – F(–1,25) = F(2,5) + F(1,25).
Prema tabeli P.2. naći ćemo aplikacije:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Potrebna vjerovatnoća
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Zahtjev da se događaj pojavi najmanje 75 puta znači da broj pojavljivanja događaja može biti 75, ili 76, ..., ili 100. Dakle, u slučaju koji se razmatra, treba ga prihvatiti k 1 = 75, k 2 = 100. Onda 
.
Prema tabeli P.2. primjenom nalazimo F(1.25) = 0.3944; F(5) = 0,5.
Potrebna vjerovatnoća
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Događaj –“ A pojavio najmanje 75 puta" i " A pojavio ne više od 74 puta" su suprotni, pa je zbir vjerovatnoća ovih događaja jednak 1. Dakle, željena vjerovatnoća
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
Teorija vjerojatnosti, kao i svaka grana matematike, djeluje s određenim rasponom koncepata. Većini koncepata teorije vjerovatnoće data je definicija, ali neki se uzimaju kao primarni, nedefinisani, poput tačke, prave linije, ravni u geometriji. Primarni koncept teorije vjerovatnoće je događaj. Događaj se shvata kao nešto o čemu se, nakon određenog vremena, može reći samo jedna od dve stvari:
- · Da, desilo se.
- · Ne, nije se dogodilo.
Na primjer, imam srećku. Nakon objavljivanja rezultata lutrije, događaj koji me zanima - osvajanje hiljadu rubalja - ili se dogodi ili se ne dogodi. Bilo koji događaj nastaje kao rezultat testa (ili iskustva). Test (ili iskustvo) se odnosi na one uslove zbog kojih se događaj javlja. Na primjer, bacanje novčića je test, a pojava "grba" na njemu je događaj. Događaj se obično označava velikim latiničnim slovima: A,B,C,…. Događaji u materijalnom svijetu mogu se podijeliti u tri kategorije - pouzdani, nemogući i slučajni.
Određeni događaj je događaj za koji se unaprijed zna da će se dogoditi. Označava se slovom W. Dakle, pouzdano je da se pri bacanju obične kocke ne pojavljuje više od šest poena, izgled bijele kuglice kada se izvadi iz urne koja sadrži samo bijele kuglice, itd.
Nemogući događaj je događaj za koji je unaprijed poznato da se neće dogoditi. Označava se slovom E. Primjeri nemogućih događaja su izvlačenje više od četiri asa iz regularnog špila karata, izvlačenje crvene kuglice iz urne koja sadrži samo bijele i crne kugle, itd.
Slučajni događaj je događaj koji se može ili ne mora dogoditi kao rezultat testa. Događaji A i B nazivaju se nespojivim ako pojava jednog od njih isključuje mogućnost pojave drugog. Dakle, pojavljivanje bilo kojeg mogućeg broja poena prilikom bacanja kocke (događaj A) nije kompatibilno sa pojavom drugog broja (događaj B). Bacanje parnog broja poena nije u skladu sa bacanjem neparnog broja. Naprotiv, bacanje parnog broja poena (događaj A) i broja poena koji je višekratnik tri (događaj B) neće biti nespojivo, jer bacanje šest poena znači nastup i događaja A i događaja B, pa pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Možete izvoditi operacije nad događajima. Unija dva događaja C=AUB je događaj C koji se javlja ako i samo ako se dogodi barem jedan od ovih događaja A i B. Presjek dva događaja D=A?? B je događaj koji se događa ako i samo ako se događaju A i B.
molimo prevedite tekst na engleski.Samo ne u online prevodiocu.
Zlatna vrata su simbol Kijeva, jedan od najstarijih primjera arhitekture koji je preživio do danas. Zlatna kapija Kijeva sagrađena su za vreme slavnog kijevskog kneza Jaroslava Mudrog 1164. godine. U početku su se zvali južni i bili su dio sistema odbrambenih utvrđenja grada, praktički se ne razlikuju od ostalih stražarskih vrata grada. Bila su to Južna vrata koju je prvi ruski mitropolit Ilarion nazvao „Velikim“ u svojoj „Besedi o zakonu i blagodati“. Nakon što je sagrađena veličanstvena crkva Aja Sofije, „Velika“ kapija postala je glavni kopneni ulaz u Kijev sa jugozapadne strane. Shvativši njihov značaj, Jaroslav Mudri je naredio izgradnju male crkve Blagovijesti iznad kapija kako bi odao počast dominantnoj kršćanskoj vjeri u gradu i Rusiji. Od tog vremena svi ruski hroničarski izvori počeli su da nazivaju južnu kapiju Kijeva Zlatnim vratima. Širina kapije je bila 7,5 m, visina prolaza 12 m, a dužina oko 25 m.
le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l"escalier et non pas l"ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l"ecole, tu fais du sport.
Tema lekcije: “Slučajni, pouzdani i nemogući događaji”
Mjesto održavanja časa u nastavnom planu i programu: „Kombinatorika. Slučajni događaji" lekcija 5/8
Vrsta lekcije: Lekcija formiranja novih znanja
Ciljevi lekcije:
edukativni:
o uvesti definiciju slučajnog, pouzdanog i nemogućeg događaja;
o podučavaju u procesu realne situacije da definišu pojmove teorije verovatnoće: pouzdani, nemogući, jednako verovatni događaji;
edukativni:
o promoviše razvoj logičkog mišljenja,
o kognitivni interes učenika,
o sposobnost poređenja i analize,
edukativni:
o podsticanje interesovanja za proučavanje matematike,
o razvijanje pogleda na svijet učenika.
o ovladavanje intelektualnim vještinama i mentalnim operacijama;
Nastavne metode: objašnjavajući i ilustrativni, reproduktivni, matematički diktat.
UMK: Matematika: udžbenik za 6. razred. priredio i dr., Izdavačka kuća "Prosvjeta", 2008, Matematika, 5-6: knj. za nastavnika / [, [ ,]. - M.: Obrazovanje, 2006.
Didaktički materijal: posteri na tabli.
književnost:
1. Matematika: udžbenik. za 6. razred. opšte obrazovanje institucije/ itd.]; uređeno od , ; Ross. akad. Sciences, Ross. akad. obrazovanje, izdavačka kuća "Prosvjeta". - 10. izd. - M.: Obrazovanje, 2008.-302 str.: ilustr. - (Akademski školski udžbenik).
2. Matematika, 5-b: knj. za nastavnika / [, ]. - M.: Obrazovanje, 2006. - 191 str. : ill.
4. Rješavanje problema iz statistike, kombinatorike i teorije vjerovatnoće. 7-9 razredi. / auto - komp. . Ed. 2., rev. - Volgograd: Učitelj, 2006. -428 str.
5. Časovi matematike korištenjem informacionih tehnologija. 5-10 razreda. Metodički - priručnik sa elektronskom aplikacijom / itd. 2. izd., stereotip. - M.: Izdavačka kuća "Globus", 2010. - 266 str. (Moderna škola).
6. Nastava matematike u savremenoj školi. Smjernice. Vladivostok: Izdavačka kuća PIPPCRO, 2003.
PLAN LEKCIJE
I. Organizacioni momenat.
II. Usmeni rad.
III. Učenje novog gradiva.
IV. Formiranje vještina i sposobnosti.
V. Sažetak lekcije.
V. Domaći.
TOKOM NASTAVE
1. Organizacioni momenat
2. Ažuriranje znanja
15*(-100) |
Usmeni rad:
3. Objašnjenje novog materijala
Učitelj: Naš život se uglavnom sastoji od nezgoda. Postoji takva nauka kao "teorija vjerovatnoće". Koristeći njegov jezik, možete opisati mnoge pojave i situacije.
Takvi drevni zapovjednici poput Aleksandra Velikog ili Dmitrija Donskog, pripremajući se za bitku, oslanjali su se ne samo na hrabrost i umijeće ratnika, već i na slučaj.
Mnogi ljudi vole matematiku zbog vječnih istina: dvaput dva je uvijek četiri, zbir parnih brojeva je paran, površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih susjednih stranica, itd. U bilo kojem zadatku koji riješite, svi dobija isti odgovor - samo ne morate pogriješiti u odluci.
Stvarni život nije tako jednostavan i jasan. Ishod mnogih događaja ne može se unaprijed predvidjeti. Nemoguće je, na primjer, sa sigurnošću reći na koju će stranu pasti izbačeni novčić, kada će pasti prvi snijeg sljedeće godine ili koliko će ljudi u gradu htjeti da telefonira u narednih sat vremena. Takvi nepredvidivi događaji se nazivaju nasumično .
Međutim, slučaj ima i svoje zakone, koji se počinju manifestirati kada se slučajni fenomeni ponavljaju mnogo puta. Ako bacite novčić 1000 puta, on će iskrsnuti oko pola puta, što nije slučaj sa dva ili čak deset bacanja. "Približno" ne znači pola. Ovo generalno može, ali ne mora biti slučaj. Zakon ne navodi ništa sa sigurnošću, ali daje određeni stepen sigurnosti da će se dogoditi neki slučajni događaj.
Takve obrasce proučava posebna grana matematike - Teorija vjerovatnoće . Uz njegovu pomoć možete s većim stepenom pouzdanosti (ali još uvijek ne sa sigurnošću) predvidjeti i datum prve snježne padavine i broj telefonskih poziva.
Teorija vjerojatnosti je neraskidivo povezana s našim svakodnevnim životom. Ovo nam daje divnu priliku da eksperimentalno ustanovimo mnoge vjerojatnostne zakone, ponavljajući nasumične eksperimente mnogo puta. Materijali za ove eksperimente najčešće će biti običan novčić, kockice, set domina, backgammon, rulet ili čak špil karata. Svaka od ovih stavki je na ovaj ili onaj način povezana s igrama. Činjenica je da se slučaj ovdje pojavljuje u svom najčešćem obliku. A prvi probabilistički zadaci odnosili su se na procjenu šansi igrača za pobjedu.
Moderna teorija vjerovatnoće se udaljila od kockanja, ali njeni rekviziti i dalje ostaju najjednostavniji i najpouzdaniji izvor šanse. Nakon vježbanja s ruletom i kockom, naučit ćete izračunati vjerovatnoću slučajnih događaja u stvarnim životnim situacijama, što će vam omogućiti da procijenite svoje šanse za uspjeh, testirate hipoteze i donosite optimalne odluke ne samo u igrama i lutriji.
Kada rješavate probabilističke probleme, budite vrlo oprezni, pokušajte opravdati svaki korak koji napravite, jer nijedna druga oblast matematike ne sadrži toliko paradoksa. Kao teorija verovatnoće. I, možda, glavno objašnjenje za to je njegova povezanost sa stvarnim svijetom u kojem živimo.
Mnoge igre koriste kockicu s različitim brojem tačaka označenim na svakoj strani od 1 do 6. Igrač baca kocku, gleda koliko se tačaka pojavljuje (na strani koja se nalazi na vrhu) i čini odgovarajući broj poteza : 1,2,3,4,5 ili 6. Bacanje kockice se može smatrati iskustvom, eksperimentom, testom, a dobijeni rezultat može se smatrati događajem. Ljudi su obično veoma zainteresovani da pogode pojavu ovog ili onog događaja i predvide njegov ishod. Koja predviđanja mogu napraviti kada bace kockice?
Prvo predviđanje: pojavit će se jedan od brojeva 1,2,3,4,5 ili 6. Mislite li da će se predviđeni događaj dogoditi ili ne? Naravno, sigurno će doći.
Događaj koji će se sigurno dogoditi u datom iskustvu naziva se pouzdan događaj.
Drugo predviđanje : pojaviće se broj 7. Da li mislite da će se desiti predviđeni događaj ili ne? Naravno da se to neće desiti, jednostavno je nemoguće.
Događaj koji se ne može dogoditi u datom iskustvu naziva se nemoguće događaj.
Treće predviđanje : pojavit će se broj 1. Mislite li da će se predviđeni događaj dogoditi ili ne? Ne možemo sa potpunom sigurnošću odgovoriti na ovo pitanje, budući da se predviđeni događaj može dogoditi, ali i ne mora.
Događaji koji se mogu ili ne moraju dogoditi pod istim uslovima nazivaju se nasumično.
Primjer. Kutija sadrži 5 bombona u plavom omotu i jedan u bijelom omotu. Ne gledajući u kutiju, nasumce vade jedan slatkiš. Da li je moguće unaprijed reći koje će boje biti?
Vježbajte : Opišite događaje o kojima se govori u zadacima u nastavku. Kao izvjesno, nemoguće ili slučajno.
1. Bacite novčić. Pojavio se grb. (slučajno)
2. Lovac je pucao na vuka i pogodio ga. (slučajno)
3. Učenik ide u šetnju svako veče. Šetajući u ponedjeljak, sreo je tri poznanika. (slučajno)
4. Provedimo mentalno sljedeći eksperiment: okrenite čašu vode naopako. Ako se ovaj eksperiment ne provodi u svemiru, već kod kuće ili u učionici, voda će se izliti. (pouzdan)
5. Tri hica su ispaljena u metu.” Bilo je pet pogodaka." (nemoguće)
6. Baci kamen gore. Kamen ostaje da visi u vazduhu. (nemoguće)
Primjer Petya je pomislio na prirodan broj. Događaj je sljedeći:
a) predviđen je paran broj; (slučajno)
b) predviđen je neparan broj; (slučajno)
c) zamišljen je broj koji nije ni paran ni neparan; (nemoguće)
d) zamišljen je broj koji je paran ili neparan. (pouzdan)
Pozivaju se događaji koji imaju jednake šanse pod datim uslovima jednako vjerovatno.
Pozivaju se slučajni događaji koji imaju jednake šanse podjednako moguće ili jednako vjerovatno .
Postavite poster na ploču.
Na usmenom ispitu student uzima jednu od tiketa izloženih ispred njega. Šanse za polaganje bilo koje od ispitnih kartica su jednake. Jednako je vjerovatno da ćete dobiti bilo koji broj bodova od 1 do 6 kada bacite kocku, kao i "glave" ili "repove" kada bacite novčić.
Ali nisu svi događaji podjednako moguće. Alarm možda neće zvoniti, sijalica može da pregori, autobus se može pokvariti, ali u normalnim uslovima takvi događaji malo vjerovatno. Vjerovatnije će zazvoniti budilnik, upaliti se svjetlo i autobus će krenuti.
Neki događaji šanse dešavaju se više, što znači da su vjerovatnije - bliže izvjesnim. A drugi imaju manje šanse, manje su vjerovatne - bliže nemogućem.
Nemogući događaji nemaju šanse da se dogode, ali pouzdani događaji imaju sve šanse da se dogode; pod određenim uslovima će se sigurno dogoditi.
Primjer Petya i Kolya upoređuju svoje rođendane. Događaj je sljedeći:
a) njihovi rođendani se ne poklapaju; (slučajno)
b) da su im rođendani isti; (slučajno)
d) obojici rođendana padaju na praznike - Novu godinu (1. januar) i Dan nezavisnosti Rusije (12. jun). (slučajno)
3.Formiranje vještina i sposobnosti
Zadatak iz udžbenika br. 000. Koji od sljedećih slučajnih događaja su pouzdani i mogući:
a) kornjača će naučiti govoriti;
b) voda u kotliću koji stoji na šporetu će proključati;
d) dobit ćete učešćem u lutriji;
e) nećete osvojiti učešćem u dobitnoj lutriji;
f) izgubit ćete partiju šaha;
g) sutra ćete sresti vanzemaljca;
h) vrijeme će se pogoršati sljedeće sedmice; i) pritisnuli ste zvono, ali ono nije zazvonilo; j) danas je četvrtak;
k) nakon četvrtka biće petak; l) hoće li biti četvrtak poslije petka?
Kutije sadrže 2 crvene, 1 žutu i 4 zelene kuglice. Iz kutije se nasumično izvlače tri loptice. Koji od sljedećih događaja su nemogući, slučajni, sigurni:
O: tri zelene kuglice će biti izvučene;
B: tri crvene kuglice će biti izvučene;
C: kuglice dvije boje će biti izvučene;
D: kuglice iste boje će biti izvučene;
E: među izvučenim kuglicama nalazi se plava;
F: među nacrtanim su kuglice tri boje;
G: Ima li među izvučenim dvije žute lopte?
Provjerite sami. (matematički diktat)
1) Navedite koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su pouzdani, a koji su slučajni:
· Fudbalska utakmica "Spartak" - "Dinamo" završit će se neriješenim rezultatom (slučajno)
· Osvojit ćete učešćem u dobitnoj lutriji ( pouzdan)
Snijeg će padati u ponoć, a sunce će zasjati 24 sata kasnije (nemoguće)
· Sutra će biti test iz matematike. (slučajno)
· Bićete izabrani za predsednika Sjedinjenih Država. (nemoguće)
· Bićete izabrani za predsednika Rusije. (slučajno)
2) Kupili ste televizor u trgovini, za koji proizvođač daje dvogodišnju garanciju. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su pouzdani:
· Televizor se neće pokvariti godinu dana. (slučajno)
· Televizor se neće pokvariti dvije godine . (slučajno)
· Nećete morati da plaćate popravke televizora dve godine. (pouzdan)
· Televizor će se pokvariti u trećoj godini. (slučajno)
3) Autobus koji prevozi 15 putnika mora napraviti 10 zaustavljanja. Koji od sljedećih događaja su nemogući, koji su slučajni, koji su pouzdani:
· Svi putnici će izaći iz autobusa na različitim stanicama. (nemoguće)
· Svi putnici će izaći na istom stajalištu. (slučajno)
· Na svakoj stanici će barem neko sići. (slučajno)
· Biće stajalište gde niko ne silazi. (slučajno)
· Paran broj putnika će izaći na svim stajalištima. (nemoguće)
· Neparan broj putnika će izaći na svim stajalištima. (nemoguće)
Sažetak lekcije
Pitanja za studente:
Koji se događaji nazivaju slučajnim?
Koji se događaji nazivaju jednako vjerovatnim?
Koji se događaji nazivaju pouzdanim? nemoguće?
Koji se događaji smatraju vjerovatnijim? manje šanse?
Zadaća : klauzula 9.3
Br. 000. Navedite tri primjera pouzdanih, nemogućih događaja, kao i događaja za koje se ne može reći da se definitivno dešavaju.
902. U kutiji se nalazi 10 crvenih, 1 zelena i 2 plave olovke. Dvije olovke se nasumično vade iz kutije. Koji od sljedećih događaja su nemogući i sigurni:
O: Dvije crvene ručke će biti izvađene; B: dvije zelene ručke će biti izvađene; C: dvije plave ručke će biti izvađene; D: Dvije ručke različitih boja će biti izvađene;
E: hoće li se izvaditi dvije olovke? 03. Egor i Danila su se dogovorili: ako se strelica okretnog stola (Sl. 205) zaustavi na bijelom polju, onda će Egor ofarbati ogradu, a ako je na plavom polju, Danila će je ofarbati. Za koji dječak je veća vjerovatnoća da će ofarbati ogradu?
