Grafikon sin 1. Funkcije y = sin x, y = cos x, njihova svojstva i grafovi - Hipermarket znanja. Izrazi kroz kompleksne varijable

Funkcijay = grijehx

Grafikon funkcije je sinusoida.

Kompletan dio sinusnog vala koji se ne ponavlja naziva se sinusni val.

Pola sinusnog vala naziva se polusinusni val (ili luk).

Svojstva funkcijey = grijehx:

3) Ovo je čudna funkcija. 4) Ovo kontinuirana funkcija. - sa apscisom: (πn; 0), - sa ordinatnom osom: (0; 0). 6) Na segmentu [-π/2; π/2] funkcija raste na intervalu [π/2; 3π/2] – smanjuje se. 7) Na intervalima koje funkcija uzima pozitivne vrijednosti. Na intervalima [-π + 2πn; 2πn] funkcija uzima negativne vrijednosti. 8) Intervali rastuće funkcije: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. Opadajući intervali funkcije: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]. 9) Minimalne tačke funkcije: -π/2 + 2πn. Maksimalne tačke funkcije: π/2 + 2πn najveća vrijednost 1.

Za grafički prikaz funkcije y= grijeh x Pogodno je koristiti sljedeće vage:

Na listu papira sa kvadratom uzimamo dužinu dva kvadrata kao jedinicu segmenta.

Na osi x Izmjerimo dužinu π. Istovremeno, radi praktičnosti, predstavljamo 3.14 u obliku 3 - to jest, bez razlomka. Tada će na listu papira u ćeliji π biti 6 ćelija (tri puta 2 ćelije). I svaka ćelija će dobiti svoje prirodno ime (od prvog do šestog): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Ovo su značenja x.

Na y-osi označavamo 1, koja uključuje dvije ćelije.

Kreirajmo tablicu vrijednosti funkcije koristeći naše vrijednosti x:

			√3 - 2		√3 - 2

Zatim ćemo kreirati raspored. Ispostaviće se da je to poluval, najviša tačka koji (π/2; 1). Ovo je graf funkcije y= grijeh x na segmentu. Dodamo simetričan polutalas konstruisanom grafu (simetričan u odnosu na ishodište, odnosno na segmentu -π). Vrh ovog polutalasa je ispod x-ose sa koordinatama (-1; -1). Rezultat će biti talas. Ovo je graf funkcije y= grijeh x na segmentu [-π; π].

Možete nastaviti val tako što ćete ga konstruirati na segmentu [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], itd. Na svim ovim segmentima, graf funkcije će izgledati isto kao na segmentu [-π; π]. Dobićete kontinuiranu talasastu liniju sa identičnim talasima.

Funkcijay = cosx.

Graf funkcije je sinusni val (ponekad se naziva kosinusni val).

Svojstva funkcijey = cosx:

1) Područje definicije funkcije je skup realnih brojeva. 2) Opseg vrijednosti funkcije je segment [–1; 1] 3) Ovo je parna funkcija. 4) Ovo je kontinuirana funkcija. 5) Koordinate presečnih tačaka grafa: - sa apscisnom osom: (π/2 + πn; 0), - sa ordinatnom osom: (0;1). 6) Na segmentu funkcija opada, na segmentu [π; 2π] – povećava se. 7) Na intervalima [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] funkcija uzima pozitivne vrijednosti. Na intervalima [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] funkcija uzima negativne vrijednosti. 8) Rastući intervali: [-π + 2πn; 2πn]. Smanjenje intervala: ; 9) Minimalne tačke funkcije: π + 2πn. Maksimalni broj tačaka funkcije: 2πn. 10) Funkcija je ograničena odozgo i odozdo. Najmanja vrijednost funkcije je –1, najveća vrijednost je 1. 11) Ovo periodična funkcija sa periodom 2π (T = 2π)

Funkcijay = mf(x).

Uzmimo prethodnu funkciju y=cos x. Kao što već znate, njegov graf je sinusni talas. Ako pomnožimo kosinus ove funkcije sa određenim brojem m, tada će se val proširiti od ose x(ili će se smanjiti, ovisno o vrijednosti m).
Ovaj novi talas će biti graf funkcije y = mf(x), gde je m bilo koji realan broj.

Dakle, funkcija y = mf(x) je poznata funkcija y = f(x) pomnožena sa m.

Akom< 1, то синусоида сжимается к оси x po koeficijentum. Akom > 1, tada se sinusoida rasteže od osex po koeficijentum.

Kada izvodite istezanje ili kompresiju, prvo možete nacrtati samo jedan poluval sinusnog vala, a zatim dovršiti cijeli grafikon.

Funkcijay = f(kx).

Ako je funkcija y =mf(x) dovodi do istezanja sinusoida od ose x ili kompresija prema osi x, tada funkcija y = f(kx) vodi do rastezanja od ose y ili kompresija prema osi y.

Štaviše, k je bilo koji realan broj.

U 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y po koeficijentuk. Akok > 1, tada se sinusoida sabija prema osiy po koeficijentuk.

Kada crtate ovu funkciju, prvo možete izgraditi jedan poluval sinusnog vala, a zatim ga koristiti za kompletiranje cijelog grafa.

Funkcijay = tgx.

Funkcijski graf y= tg x je tangenta.

Dovoljno je konstruisati dio grafa u intervalu od 0 do π/2, a zatim ga možete simetrično nastaviti u intervalu od 0 do 3π/2.

Svojstva funkcijey = tgx:

Funkcijay = ctgx

Funkcijski graf y=ctg x je takođe tangentoid (ponekad se naziva i kotangentoid).

Svojstva funkcijey = ctgx:

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Gvožđe rđa bez ikakve upotrebe,
Mirna voda trune ili se smrzava na hladnoći,
a ljudski um, ne nalazeći nikakvu upotrebu za sebe, vene.
Leonardo da Vinci

Korištene tehnologije: problemsko učenje, kritičko mišljenje, komunikativna komunikacija.

Ciljevi:

• Razvoj kognitivnog interesa za učenje.
• Proučavanje svojstava funkcije y = sin x.
• Formiranje praktičnih vještina konstruisanja grafa funkcije y = sin x na osnovu proučenog teorijskog materijala.

Zadaci:

1. Iskoristiti postojeći potencijal znanja o svojstvima funkcije y = sin x u određenim situacijama.

2. Primijeniti svjesno uspostavljanje veza između analitičkih i geometrijskih modela funkcije y = sin x.

Razvijati inicijativu, određenu volju i interes za pronalaženje rješenja; sposobnost donošenja odluka, ne zaustavljanja na tome, i odbrane svoje tačke gledišta.

Negovati kod učenika kognitivnu aktivnost, osjećaj odgovornosti, međusobnog poštovanja, međusobnog razumijevanja, međusobne podrške i samopouzdanja; kulture komunikacije.

Tokom nastave

Faza 1. Ažuriranje osnovnih znanja, motivisanje za učenje novog gradiva

"Ulazak u lekciju."

Na tabli su napisane 3 izjave:

1. Trigonometrijski jednačina greha t = a uvijek ima rješenja.
2. Raspored neparna funkcija može se konstruirati korištenjem transformacije simetrije oko ose Oy.
3. Raspored trigonometrijska funkcija može se konstruisati korišćenjem jednog glavnog polutalasa.

Učenici diskutuju u parovima: da li su tvrdnje tačne? (1 minuta). Rezultati početne rasprave (da, ne) se zatim unose u tabelu u koloni „Prije“.

Nastavnik postavlja ciljeve i zadatke časa.

2. Ažuriranje znanja (frontalno na modelu trigonometrijskog kruga).

Već smo se upoznali sa funkcijom s = sin t.

1) Koje vrijednosti može uzeti varijabla t. Koji je opseg ove funkcije?

2) U kom intervalu se nalaze vrijednosti izraza sin t? Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije s = sin t.

3) Riješite jednačinu sin t = 0.

4) Šta se dešava sa ordinatom tačke dok se kreće duž prve četvrtine? (ordinata raste). Šta se dešava sa ordinatom tačke dok se kreće duž druge četvrtine? (ordinata se postepeno smanjuje). Kako se to odnosi na monotonost funkcije? (funkcija s = sin t raste na segmentu i opada na segmentu ).

5) Zapišimo funkciju s = sin t u nama poznatom obliku y = sin x (konstruisaćemo je u uobičajenom koordinatnom sistemu xOy) i sastaviti tabelu vrednosti ove funkcije.

X	0
at	0			1			0

Faza 2. Percepcija, razumijevanje, primarna konsolidacija, nevoljno pamćenje

Faza 4. Primarna sistematizacija znanja i metoda djelovanja, njihov prijenos i primjena u novim situacijama

6. br. 10.18 (b,c)

Faza 5. Završna kontrola, korekcija, procjena i samoprocjena

7. Vraćamo se na iskaze (početak lekcije), raspravljamo o korištenju svojstava trigonometrijske funkcije y = sin x i popunjavamo kolonu “Nakon” u tabeli.

8. D/z: klauzula 10, br. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije daćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih problema korištenjem grafa funkcije i njenih svojstava.

Tema: Trigonometrijske funkcije

Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf

Kada se razmatra funkcija, važno je povezati svaku vrijednost argumenta s jednom vrijednošću funkcije. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.

Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .

Bilo koji realan broj odgovara jednoj tački na jedinični krug Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).

Svaka vrijednost argumenta je povezana s jednom vrijednošću funkcije.

Očigledna svojstva proizlaze iz definicije sinusa.

Slika to pokazuje jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.

Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je centralni ugao, mjereno u radijanima. Duž ose ćemo iscrtati realni brojevi ili uglovi u radijanima, duž ose odgovarajuće vrijednosti funkcije.

Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)

Dobili smo grafik funkcije u tom području, ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).

Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti kroz cijeli domen definicije.

Razmotrite svojstva funkcije:

1) Obim definicije:

2) Raspon vrijednosti:

3) Neparna funkcija:

4) Najmanji pozitivni period:

5) Koordinate tačaka preseka grafika sa apscisom:

6) Koordinate tačke preseka grafika sa ordinatnom osom:

7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:

8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:

9) Povećani intervali:

10) Smanjenje intervala:

11) Minimum bodova:

12) Minimalne funkcije:

13) Maksimalan broj bodova:

14) Maksimalne funkcije:

Pogledali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti prilikom rješavanja problema.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Tutorial za obrazovne institucije (nivo profila) ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i računica za 10. razred ( tutorial za učenike škola i odeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Detaljna studija algebra i matematička analiza.-M.: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi) - M.: Viša škola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi o algebri i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova) - M.: Prosveščenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Zadaća

Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni web resursi

3. Edukativni portal za pripremu ispita ().

U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije daćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih problema korištenjem grafa funkcije i njenih svojstava.

Tema: Trigonometrijske funkcije

Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf

Kada se razmatra funkcija, važno je povezati svaku vrijednost argumenta s jednom vrijednošću funkcije. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.

Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .

Svaki realan broj odgovara jednoj tački na jediničnom krugu.Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).

Svaka vrijednost argumenta je povezana s jednom vrijednošću funkcije.

Očigledna svojstva proizlaze iz definicije sinusa.

Slika to pokazuje jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.

Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je centralni ugao, mjeren u radijanima. Duž ose ćemo iscrtati realne brojeve ili uglove u radijanima, duž ose odgovarajuće vrednosti funkcije.

Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)

Dobili smo grafik funkcije u tom području, ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).

Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti kroz cijeli domen definicije.

Razmotrite svojstva funkcije:

1) Obim definicije:

2) Raspon vrijednosti:

3) Neparna funkcija:

4) Najmanji pozitivni period:

5) Koordinate tačaka preseka grafika sa apscisom:

6) Koordinate tačke preseka grafika sa ordinatnom osom:

7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:

8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:

9) Povećani intervali:

10) Smanjenje intervala:

11) Minimum bodova:

12) Minimalne funkcije:

13) Maksimalan broj bodova:

14) Maksimalne funkcije:

Pogledali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti prilikom rješavanja problema.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi) - M.: Viša škola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi o algebri i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova) - M.: Prosveščenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Zadaća

Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni web resursi

3. Edukativni portal za pripremu ispita ().

U ovoj lekciji ćemo detaljno pogledati funkciju y = sin x, njena osnovna svojstva i graf. Na početku lekcije daćemo definiciju trigonometrijske funkcije y = sin t na koordinatnoj kružnici i razmotriti graf funkcije na kružnici i pravoj. Pokažimo periodičnost ove funkcije na grafu i razmotrimo glavna svojstva funkcije. Na kraju lekcije riješit ćemo nekoliko jednostavnih problema korištenjem grafa funkcije i njenih svojstava.

Tema: Trigonometrijske funkcije

Lekcija: Funkcija y=sinx, njena osnovna svojstva i graf

Kada se razmatra funkcija, važno je povezati svaku vrijednost argumenta s jednom vrijednošću funkcije. Ovo zakon dopisivanja i naziva se funkcija.

Hajde da definiramo korespondencijski zakon za .

Svaki realan broj odgovara jednoj tački na jediničnom krugu.Tačka ima jednu ordinatu, koja se naziva sinusom broja (slika 1).

Svaka vrijednost argumenta je povezana s jednom vrijednošću funkcije.

Očigledna svojstva proizlaze iz definicije sinusa.

Slika to pokazuje jer je ordinata tačke na jediničnom krugu.

Razmotrimo graf funkcije. Prisjetimo se geometrijske interpretacije argumenta. Argument je centralni ugao, mjeren u radijanima. Duž ose ćemo iscrtati realne brojeve ili uglove u radijanima, duž ose odgovarajuće vrednosti funkcije.

Na primjer, ugao na jediničnom krugu odgovara tački na grafikonu (slika 2)

Dobili smo grafik funkcije u tom području, ali znajući period sinusa, možemo prikazati graf funkcije u cijelom domenu definicije (slika 3).

Glavni period funkcije je To znači da se graf može dobiti na segmentu, a zatim nastaviti kroz cijeli domen definicije.

Razmotrite svojstva funkcije:

1) Obim definicije:

2) Raspon vrijednosti:

3) Neparna funkcija:

4) Najmanji pozitivni period:

5) Koordinate tačaka preseka grafika sa apscisom:

6) Koordinate tačke preseka grafika sa ordinatnom osom:

7) Intervali u kojima funkcija poprima pozitivne vrijednosti:

8) Intervali u kojima funkcija poprima negativne vrijednosti:

9) Povećani intervali:

10) Smanjenje intervala:

11) Minimum bodova:

12) Minimalne funkcije:

13) Maksimalan broj bodova:

14) Maksimalne funkcije:

Pogledali smo svojstva funkcije i njenog grafa. Svojstva će se više puta koristiti prilikom rješavanja problema.

Bibliografija

1. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i matematička analiza za 10. razred (udžbenik za učenike škola i odjeljenja sa detaljnim proučavanjem matematike) - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Dubinski studij algebre i matematičke analize.-M.: Obrazovanje, 1997.

5. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate za visokoškolske ustanove (priredio M.I. Skanavi) - M.: Viša škola, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebarski simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemi o algebri i principi analize (priručnik za učenike 10-11 razreda opšteobrazovnih ustanova) - M.: Prosveščenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbirka zadataka iz algebre i principi analize: udžbenik. dodatak za 10-11 razred. sa dubinom studirao Matematika.-M.: Obrazovanje, 2006.

Zadaća

Algebra i početak analize, 10. ocjena (iz dva dijela). Problematika za obrazovne ustanove (profilni nivo), ur.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Dodatni web resursi

3. Edukativni portal za pripremu ispita ().