Pozicija materijalna tačka u svemiru u ovog trenutka vrijeme je određeno u odnosu na neko drugo tijelo, koje se zove referentno tijelo.
Kontaktira ga referentni okvir- skup koordinatnih sistema i satova povezanih sa tijelom u odnosu na koje se proučava kretanje nekih drugih materijalnih tačaka. Izbor referentnog sistema zavisi od ciljeva studije. U kinematičkim studijama svi referentni sistemi su jednaki (kartezijanski, polarni). U problemima dinamike, dominantnu ulogu imaju inercijski sistemi odbrojavanje, u odnosu na koje diferencijalne jednadžbe kretanja imaju jednostavniji oblik.
U kartezijanskom koordinatnom sistemu, pozicija tačke A u datom trenutku vremena u odnosu na ovaj sistem određena je sa tri koordinate X, at I z, ili radijus vektor (slika 1.1). Kada se materijalna tačka kreće, njene koordinate se mijenjaju tokom vremena. Općenito, njegovo kretanje je određeno jednadžbama
ili vektorska jednačina
=(t). (1.2)
Ove jednačine se nazivaju kinematičke jednačine kretanja materijalna tačka.
Isključujući vrijeme t u sistemu jednačina (1.1), dobijamo jednačinu putanje kretanja materijalna tačka. Na primjer, ako su kinematičke jednadžbe gibanja točke date u obliku:
zatim, isključujući t, dobijamo:
one. tačka se kreće u ravni z= 0 duž eliptičnog puta sa jednakim poluosama a I b.
Trajektorija kretanja materijalne tačke je linija opisana ovom tačkom u prostoru. U zavisnosti od oblika putanje, kretanje može biti direktno I krivolinijski.
Razmotrimo kretanje materijalne tačke duž proizvoljne putanje AB(Sl. 1.2). Počećemo da računamo vreme od trenutka kada je tačka bila na poziciji A (t= 0). Dužina dionice putanje AB kroz koju materijalna tačka prolazi od trenutka t= 0, pozvan dužina staze i skalarna je funkcija vremena. Vektor povučen od početne pozicije pokretne tačke do njenog položaja u datom trenutku se zove vektor pomaka. Tokom pravolinijskog kretanja, vektor pomaka se poklapa s odgovarajućim dijelom putanje i njegov modul je jednak prijeđenoj udaljenosti.
Brzina- ovo je vektor fizička količina, uveden za određivanje brzine kretanja i njegovog smjera u datom trenutku.
Neka se materijalna tačka kreće duž zakrivljene putanje iu trenutku vremena t odgovara radijus vektoru. (Sl. 1.3). Tokom malog vremenskog intervala, tačka će preći putanju i dobiti beskonačno mali pomak. Postoje prosječne i trenutne brzine.
Vektor prosječne brzine naziva se omjer povećanja radijus vektora tačke i vremenskog perioda:
Vektor je usmjeren na isti način kao . Uz neograničeno smanjenje, prosječna brzina teži graničnoj vrijednosti, koja se naziva trenutnu brzinu ili jednostavno brzina:
Dakle, brzina je vektorska veličina jednaka prvom izvodu radijus vektora pokretne tačke u odnosu na vrijeme. Kako se sekansa u granici poklapa sa tangentom, vektor brzine je usmjeren tangentno na putanju u smjeru kretanja.
Kako se dužina luka smanjuje, ona se sve više približava dužini tetive koja ga skuplja, tj. numerička vrijednost brzine materijalne tačke jednaka je prvom izvodu dužine njenog puta u odnosu na vrijeme:
dakle,
Iz izraza (1.5) dobijamo: Integrirajući kroz vrijeme od do , nalazimo dužinu puta koju je prešla materijalna tačka u vremenu:
Ako se smjer vektora trenutne brzine ne mijenja tokom kretanja materijalne tačke, to znači da se tačka kreće duž putanje, tangente na koju u svim tačkama imaju isti smjer. Ovo svojstvo imaju samo ravne putanje. To znači da će pokret u pitanju biti direktno.
Ako se smjer vektora brzine materijalne točke mijenja tokom vremena, tačka će se opisati krivolinijski putanja.
Ako brojčana vrijednost trenutne brzine točke ostane konstantna za vrijeme kretanja, onda se takvo kretanje naziva uniforma. U ovom slučaju
To znači da u proizvoljnim jednakim vremenskim periodima materijalna tačka putuje duž putanje jednake dužine.
Ako u proizvoljnim jednakim vremenskim intervalima tačka prelazi puteve različitih dužina, tada se brojčana vrijednost njene brzine mijenja tokom vremena. Ovaj pokret se zove neujednačen. U ovom slučaju koristite skalarnu količinu tzv prosječna brzina neravnomjernog kretanja na ovoj dionici putanje. Jednaka je brojčanoj vrijednosti brzine takvog ravnomjernog kretanja, u kojem se na prelazak putanje troši isto vrijeme kao i za dato neravnomjerno kretanje:
Ako materijalna tačka istovremeno učestvuje u nekoliko kretanja, onda zakon nezavisnosti kretanja njegov rezultujući pomak jednak je vektorskom zbiru pomaka koje napravi za isto vrijeme u svakom kretanju posebno. Stoga se brzina rezultujućeg kretanja nalazi kao vektorska suma brzine svih onih kretanja u kojima učestvuje materijalna tačka.
U prirodi se najčešće uočavaju kretanja kod kojih se brzina mijenja i po veličini (modulu) i po smjeru, tj. moraju se nositi s neravnomjernim pokretima. Da bi se okarakterizirala promjena brzine takvih pokreta, uvodi se koncept ubrzanje.
Pustite da se pokretna tačka pomakne sa pozicije A na poziciju IN(Sl. 1.4). Vektor postavlja brzinu tačke na poziciji A. Trudna IN tačka je stekla brzinu različitu od i po veličini i po pravcu i postala jednaka . Pomerimo vektor u tačku A i naći ćemo ga.
Srednje ubrzanje neravnomjerno kretanje u vremenskom intervalu od do naziva se vektorska veličina, jednak omjeru promjene brzine u vremenski interval:
Očigledno, vektor se poklapa u smjeru s vektorom promjene brzine.
Trenutno ubrzanje ili ubrzanje materijalna tačka u trenutku će postojati granica prosječnog ubrzanja:
Dakle, ubrzanje je vektorska veličina jednaka prvom izvodu brzine u odnosu na vrijeme.
Razložimo vektor na dvije komponente. Da biste to uradili iz tačke A u smjeru brzine crtamo vektor jednake veličine . Tada vektor jednak određuje promjenu brzine modulo(vrijednost) za vrijeme, tj. . Druga komponenta vektora karakterizira promjenu brzine tokom vremena prema - .
Komponenta ubrzanja koja određuje promjenu brzine u veličini se naziva tangencijalna komponenta. Numerički, jednaka je prvoj vremenskoj derivaciji modula brzine:
Nađimo drugu komponentu ubrzanja, tzv normalna komponenta. Pretpostavimo da je poenta IN dovoljno blizu stvari A, stoga se putanja može smatrati lukom kružnice nekog radijusa r, ne razlikuje se mnogo od akorda AB. Iz sličnosti trouglova AOB I EAD sledi to
odakle je u granici na dakle druga komponenta ubrzanja jednaka:
Ona je u smjeru i usmjerena prema centru zakrivljenosti putanje duž normale. Ona se takođe zove centripetalno ubrzanje.
Puno ubrzanje tijela je geometrijski zbir tangencijalne i normalne komponente:
Od sl. 1.5 slijedi da je ukupni modul ubrzanja jednak:
Smjer ukupnog ubrzanja određen je kutom između vektora i . Očigledno je da
Ovisno o vrijednostima tangencijalne i normalne komponente ubrzanja, kretanje tijela se različito klasificira. Ako (veličina brzine se ne mijenja u veličini), kretanje je uniforma. Ako je > 0, poziva se kretanje ubrzano, Ako< 0 - sporo. Ako je = const0, tada se poziva kretanje podjednako varijabilna. Konačno, u bilo kojem pravolinijskom kretanju (nema promjene u smjeru brzine).
Dakle, kretanje materijalne tačke može biti sljedećih tipova:
1) - pravolinijsko ravnomjerno kretanje ();
2) - pravolinijsko ravnomjerno kretanje. Sa ovom vrstom kretanja
Ako je početni trenutak vremena , a početna brzina je , tada, označavajući i , dobivamo:
gdje . (1.16)
Integracijom ovog izraza u rasponu od nule do proizvoljne tačke u vremenu, dobijamo formulu za pronalaženje dužine putanje koju prelazi tačka tokom ravnomjernog kretanja:
3) - linearno kretanje sa promenljivim ubrzanjem;
4) - apsolutna brzina se ne mijenja, što pokazuje da radijus zakrivljenosti mora biti konstantan. Dakle, ovo kružno kretanje je jednolično;
5) - ravnomerno krivolinijsko kretanje;
6) - krivolinijsko ravnomerno kretanje;
7) - krivolinijsko kretanje s promjenjivim ubrzanjem.
Kinematika rotacionog kretanja krutog tijela
Kao što je već napomenuto, rotacijsko kretanje apsolutno krutog tijela oko fiksne ose je takvo kretanje u kojem se sve točke tijela kreću u ravninama okomitim na fiksnu pravu liniju, koja se naziva osa rotacije, i opisuju kružnice čiji centri leže na ovu osovinu.
Hajde da razmotrimo solidan, koji rotira oko fiksne ose (slika 1.6). Tada će pojedine tačke ovog tijela opisati kružnice različitih polumjera, čiji centri leže na osi rotacije. Neka se neka tačka A kreće duž kružnice poluprečnika R. Njegov položaj nakon određenog vremenskog perioda će biti postavljen uglom.
Ugaona brzina rotacija je vektor koji je numerički jednak prvom izvodu ugla rotacije tijela u odnosu na vrijeme i usmjeren duž ose rotacije prema pravilu desnog zavrtnja:
Jedinica za ugaonu brzinu je radijani po sekundi (rad/s).
Dakle, vektor određuje smjer i brzinu rotacije. Ako je , tada se zove rotacija uniforma.
Ugaona brzina se može povezati sa linearnom brzinom proizvoljne tačke A. Neka tačka putuje dužinom puta duž luka kružnice u vremenu. Tada će linearna brzina tačke biti jednaka:
Sa ravnomjernom rotacijom, može se okarakterizirati period rotacije T- vrijeme za koje tačka tijela napravi jedan puni okret, tj. rotira za ugao od 2π:
Naziva se broj potpunih okretaja koje tijelo napravi za vrijeme ravnomjernog kretanja po krugu u jedinici vremena brzina rotacije:
Da bi se okarakterizirala neravnomjerna rotacija tijela, uvodi se koncept ugaono ubrzanje. Kutno ubrzanje je vektorska veličina jednaka prvom izvodu ugaone brzine s obzirom na vrijeme:
Kada se tijelo rotira oko fiksne ose, vektor ugaonog ubrzanja je usmjeren duž ose rotacije prema vektoru ugaone brzine (slika 1.7); kod ubrzanog kretanja, vektor je usmjeren u istom smjeru kao , a u suprotnom smjeru sa sporom rotacijom.
Izrazimo tangencijalnu i normalnu komponentu ubrzanja tačke A rotirajućeg tijela kroz kutnu brzinu i ugaono ubrzanje:
U slučaju ravnomjernog kretanja tačke duž kružnice ():
gdje je početna ugaona brzina.
Translaciono i rotaciono kretanje krutog tela samo su najjednostavniji tipovi njegovog kretanja. Općenito, kretanje krutog tijela može biti vrlo složeno. Međutim, u teorijskoj mehanici je dokazano da se svako složeno kretanje krutog tijela može predstaviti kao kombinacija translacijskog i rotacijskog kretanja.
Kinematske jednadžbe translacijskog i rotacijskog kretanja sažete su u tabeli. 1.1.
Tabela 1.1
| Progresivna | Rotacijski |
| Uniforma | |
| Jednako varijabilna | |
| Neujednačeno | |
Kratki zaključci:
Dio fizike koji proučava obrasce mehaničko kretanje a uzroci koji uzrokuju ili mijenjaju ovo kretanje se nazivaju mehanika. Klasična mehanika (Newton-Galileo mehanika) proučava zakone kretanja makroskopskih tijela čije su brzine male u poređenju sa brzinom svjetlosti u vakuumu.
- Kinematički- grana mehanike čiji je predmet proučavanja kretanje tijela bez razmatranja razloga zbog kojih je to kretanje uzrokovano.
U mehanici, da se opiše kretanje tela, zavisno od uslova konkretnih problema, različito fizički modeli: materijalna tačka, apsolutno kruto tijelo, apsolutno elastično tijelo, apsolutno neelastično tijelo.
Kretanje tijela odvija se u prostoru i vremenu. Dakle, da bismo opisali kretanje materijalne tačke, potrebno je znati na kojim se mjestima u prostoru ta tačka nalazila i u kojim trenucima je prošla ovaj ili onaj položaj. Kombinacija referentnog tijela, koordinatnog sistema koji je s njim povezan i satova koji su sinhronizirani jedan s drugim naziva se referentni sistem.
Vektor povučen od početne pozicije pokretne tačke do njenog položaja u datom trenutku se zove vektor pomaka. Poziva se linija opisana pokretnom materijalnom tačkom (tijelom) u odnosu na odabrani referentni sistem putanja kretanja. U zavisnosti od oblika putanje, postoje pravolinijski I krivolinijski pokret. Dužina dionice putanje koju je prešla materijalna tačka u datom vremenskom periodu naziva se dužina staze.
- Brzina je vektorska fizička veličina koja karakterizira brzinu kretanja i njegov smjer u datom trenutku. Trenutna brzina određen je prvim izvodom radijus vektora pokretne tačke u odnosu na vrijeme:
Vektor trenutne brzine je usmjeren tangencijalno na putanju u smjeru kretanja. Apsolutna vrijednost trenutne brzine materijalne tačke jednaka je prvom izvodu dužine njene putanje u odnosu na vrijeme:
- Ubrzanje- vektorska fizička veličina za karakteristiku neujednačen pokreta. Određuje brzinu promjene brzine u veličini i smjeru. Trenutno ubrzanje- vektorska količina jednaka prvom izvodu brzine u odnosu na vrijeme:
Tangencijalna komponenta ubrzanja karakteriše brzinu promene brzine u veličini(usmjeren tangencijalno na putanju kretanja):
Normalna komponenta ubrzanja karakteriše brzinu promene brzine prema(usmjeren prema centru zakrivljenosti putanje):
Puno ubrzanje za krivolinijsko kretanje - geometrijski zbir tangencijalne i normalne komponente:
3. Šta je referentni okvir? Šta je vektor pomaka?
4. Koje kretanje se naziva translacijskim? Rotaciona?
5. Šta karakterišu brzina i ubrzanje? Definirajte prosječnu brzinu i prosječno ubrzanje, trenutnu brzinu i trenutno ubrzanje.
6. Napišite jednadžbu za putanju tijela bačenog vodoravno brzinom v 0 sa određene visine. Zanemarite otpor vazduha.
7. Šta karakterišu tangencijalna i normalna komponenta ubrzanja? Koji su njihovi moduli?
8. Kako se kretanje može klasificirati u zavisnosti od tangencijalne i normalne komponente ubrzanja?
9. Kako se nazivaju ugaona brzina i ugaona ubrzanja? Kako se određuju njihovi pravci?
10. Koje formule povezuju linearne i ugaone karakteristike kretanja?
Primjeri rješavanja problema
Problem 1. Zanemarujući otpor vazduha, odredite ugao pod kojim je telo bačeno prema horizontu ako je maksimalna visina uzdizanja tela jednaka 1/4 njegovog dometa leta (slika 1.8).
Brzina je vektorska veličina koja karakterizira ne samo brzinu kretanja čestice duž putanje, već i smjer u kojem se čestica kreće u svakom trenutku vremena.
Prosječna brzina tokom vremena od t 1 prije t 2 jednak je omjeru kretanja za to vrijeme i vremenskog perioda tokom kojeg se ovo kretanje dogodilo:
Zabilježit ćemo činjenicu da je ovo prosječna brzina zatvaranjem prosječne vrijednosti u ugaone zagrade:<...>, kao što je gore urađeno.
Gornja formula za vektor prosječne brzine je direktna posljedica opšteg matematička definicija prosječna vrijednost<f(x)> proizvoljna funkcija f(x) na intervalu [ a,b]:
Zaista
Prosječna brzina može biti pregruba mjera kretanja. Na primjer, prosječna brzina tokom perioda osciliranja je uvijek nula, bez obzira na prirodu ovih oscilacija, iz jednostavnog razloga što će se tokom nekog perioda - po definiciji perioda - oscilirajuće tijelo vratiti na svoju početnu tačku i stoga , pomak tokom perioda je uvijek nula. Iz ovog i niza drugih razloga uvodi se trenutna brzina – brzina u datom trenutku vremena. U budućnosti, što znači trenutnu brzinu, pisaćemo jednostavno: "brzina", izostavljajući riječi "trenutačno" ili "u datom trenutku" kad god to ne može dovesti do nesporazuma. Da biste dobili brzinu u trenutku u vremenu t mora biti urađeno očigledna stvar: izračunajte granicu omjera kako vremenski interval teži t 2 – t 1 na nulu. Napravimo neke redizajniranja: t 1 = t I t 2 = t + i prepiši gornju relaciju kao:
Brzina na vreme t jednaka granici odnosa kretanja tokom vremena i vremenskog perioda tokom kojeg se ovo kretanje odvijalo, pošto potonje teži nuli
Rice. 2.5. Ka definiciji trenutne brzine.
U ovom trenutku ne razmatramo pitanje postojanja ove granice, pod pretpostavkom da ona postoji. Imajte na umu da ako postoji konačan pomak i konačan vremenski period, onda i - njihov granične vrijednosti: beskonačno mali pomak i beskonačno mali vremenski period. Dakle, desna strana definicije brzine
nije ništa više od razlomka - količnik dijeljenja sa, stoga se posljednja relacija može prepisati i vrlo često se koristi u obliku
By geometrijskog smisla derivacije, vektor brzine u svakoj tački putanje je usmjeren tangentno na putanju u ovoj tački u smjeru njenog kretanja.
Video 2.1. Vektor brzine je usmjeren tangencijalno na putanju. Eksperimentirajte sa oštricom.
Bilo koji vektor se može proširiti u bazu (za jedinične vektore baze, drugim riječima, jedinične vektore koji definiraju pozitivne smjerove osi OX,OY,OZ koristimo notaciju , , ili , respektivno). Koeficijenti ove ekspanzije su projekcije vektora na odgovarajuće ose. Važno je sljedeće: u vektorskoj algebri je dokazano da je proširenje u odnosu na bazu jedinstveno. Proširimo radijus vektor neke pokretne materijalne tačke u bazu
Uzimajući u obzir konstantnost kartezijanskih jediničnih vektora , , , razlikujemo ovaj izraz s obzirom na vrijeme
S druge strane, ekspanzija u smislu baze vektora brzine ima oblik
suprotstavljanje posljednja dva izraza, uzimajući u obzir jedinstvenost ekspanzije bilo kojeg vektora u odnosu na bazu, daje sljedeći rezultat: projekcije vektora brzine na kartezijanske osi jednake su vremenskim derivatima odgovarajućih koordinata, tj. je
Veličina vektora brzine je jednaka
Dobijmo još jedan, važan izraz za veličinu vektora brzine.
Već je napomenuto da kada vrijednost || se sve manje razlikuje od odgovarajućeg puta (vidi sliku 2). Zbog toga
i u granici (>0)
Drugim riječima, modul brzine je derivacija prijeđene udaljenosti u odnosu na vrijeme.
Konačno imamo:
Prosječna veličina vektora brzine, definira se na sljedeći način:
Prosječna vrijednost modula vektora brzine jednaka je omjeru prijeđenog puta i vremena za koje je ovaj put pređen:
Evo s(t 1, t 2)- put u vremenu od t 1 prije t 2 i shodno tome, s(t 0 , t 2)- put u vremenu od t 0 prije t 2 I s(t 0 , t 2)- put u vremenu od t 0 prije t 1.
Vektor prosječne brzine ili jednostavno prosječna brzina kao što je gore navedeno je
Imajte na umu da je, prije svega, ovo vektor, njegov modul - modul srednjeg vektora brzine ne treba brkati sa prosječnom vrijednošću modula vektora brzine. U opštem slučaju, oni nisu jednaki: modul prosječnog vektora uopće nije jednak srednjem modulu ovog vektora. Dvije operacije: izračunavanje modula i izračunavanje prosjeka, u opštem slučaju, ne mogu se zamijeniti.
Pogledajmo primjer. Neka se tačka kreće u jednom smjeru. Na sl. 2.6. pokazuje grafik putanje koju je prešla s u od vremena (tokom vremena od 0 prije t). Koristeći fizičko značenje brzine, koristite ovaj grafikon da pronađete trenutak u vremenu u kojem je trenutna brzina jednaka prosječnoj brzini tla za prve sekunde kretanja točke.
Rice. 2.6. Određivanje trenutne i prosječne brzine tijela
Modul brzine u datom trenutku
budući da je derivacija putanje u odnosu na vrijeme, jednaka je ugaonom koeficijentu zamaha prema grafu zavisnosti tačke koja odgovara trenutku vremena t*. Prosječni modul brzine u vremenskom periodu od 0 prije t* je ugaoni koeficijent sekante koja prolazi kroz tačke istog grafa koji odgovaraju početku t = 0 i kraj t = t* vremenski interval. Moramo da pronađemo takav trenutak na vreme t*, kada se oba nagiba poklapaju. Da biste to učinili, povucite ravnu liniju kroz ishodište, tangentu na putanju. Kao što se može vidjeti sa slike, tačka tangente ovog pravog grafa je s(t) i daje t*. U našem primjeru ispada
Pet minuta:Zakon kretanja tačke dat je jednačinama
x=2m/s*t; y=2m/s*t-1m/s 2 *t 2
Pronađite koordinate tačke za vremena 0, 0.5s, 1s, 1.5s, 2s. Označite poziciju tačke u sistemu X-Y koordinate, nacrtati putanju, odrediti brzinu tačke (|v|) kao funkciju vremena.
Iz formule (1.3) slijedi da se brzina bilo kojeg kretanja može predstaviti kao rezultat zbrajanja brzina od tri pravolinijskim pokretima duž koordinata ose X,Y i Z, tj. svako složeno kretanje može se predstaviti kao zbir linearnih kretanja (princip superpozicije pokreta). Koristeći ovaj princip, određujemo, na primjer, vrijednost prve brzine bijega, tj. takvu brzinu paralelnu sa zemljinom površinom koju tijelo mora imati da nikada ne padne na zemlju. Problem se može riješiti na sljedeći način. Kretanje tijela duž zemljine površine može se predstaviti kao zbir dvaju kretanja: jednoliko horizontalno kretanje sa brzinom bacanja v i slobodan pad tijelo na Zemljinu površinu sa ubrzanjem g (ubrzanje gravitacije).
U kratkom vremenskom periodu Dt, telo će proći, krećući se okomito na Zemljin poluprečnik, od tačke A do tačke B (vidi sliku 1.9). U ovom slučaju, njegov radijus vektor će se rotirati za određeni mali ugao β. U isto vrijeme, brzina tijela će se povećati ∆v=g∆t duž poluprečnika Zemlje, tj. vektor brzine će se također rotirati za određeni ugao. Da bi se tijelo nastavilo kretati po površini zemlje, ovaj ugao se mora podudarati sa uglom rotacije radijus vektora tijela. Prema tome, ugao rotacije vektora brzine je i ugao β. Izjednačimo tangentu β pronađenu iz trokuta pomaka i trokuta brzine:
(1.7)
Nakon toga izražavamo veličinu brzine:
Kao što se može vidjeti iz izvođenja izraza za prvu kosmičku brzinu, svako tijelo, krećući se ovom brzinom oko Zemlje, mijenja smjer brzine zbog svog stalnog pada na tlo. a ova promjena dovodi do činjenice da je vektor brzine uvijek paralelan sa zemljinom površinom.
Kretanje sa vektorom konstantne brzine naziva se uniformno. Općenito, brzina varira i po veličini i po smjeru.
Da bi se okarakterizirala brzina promjene brzine, uvodi se koncept ubrzanje. Ubrzanje je omjer povećanja brzine u beskonačno malom vremenskom intervalu prema ovom intervalu, tj. derivat brzine u odnosu na vrijeme
Vektor ubrzanja se također može proširiti duž koordinatnih osa:
Modul vektora ubrzanja jednak je:
. (1.11)
Zamjenjujući u (1.9) izraz za brzinu kao derivaciju radijus vektora tijela, dobijamo izraz za ubrzanje u obliku drugog izvoda radijus vektora s obzirom na vrijeme:
Primjer. Radijus vektor pokretne tačke je dat sledećim izrazom:
Odredite prirodu kretanja, brzinu i ubrzanje.
Da bismo odredili prirodu kretanja, izračunavamo modul radijus vektora:
Dakle, kada se tačka pomeri |r|-const. Možemo zaključiti da se radi o kretanju u krugu polumjera R sa centrom u početku.
Izračunajmo brzinu tačke:
Modul brzine:
Modul brzine se također ne mijenja tokom vremena, dakle, ovo je kružno kretanje sa konstantnim modulom brzine.
Odredimo ubrzanje tačke:
Upoređujući formule za radijus vektor tačke i njeno ubrzanje, vidimo da one izražavaju suprotno usmjerene vektore. Ako je vektor radijusa usmjeren od centra putanje do točke, tada je vektor ubrzanja usmjeren od tačke do centra putanje. U ovom slučaju, modul ubrzanja se ne mijenja tokom vremena i jednak je |a|=Rω 2. Izračunajmo skalarni proizvod vektora brzine i ubrzanja:
Stoga, u u ovom primjeru vektori brzine i ubrzanja su okomiti jedan na drugi.
Općenito, vektori brzine i ubrzanja formiraju neku vrstu ugla. U ovom slučaju, zgodno je razložiti vektor ubrzanja na dvije komponente. Jedan od njih je paralelan (ili antiparalelan) vektoru brzine i naziva se tangencijalna komponenta ubrzanja. Drugi je okomit na vektor brzine, zove se normalno komponenta ubrzanja. Tangencijalna komponenta ubrzanja izražava promjenu modula brzine, a normalna komponenta izražava promjenu smjera brzine. U primjeru o kojem se gore govori, tangencijalna komponenta ubrzanja je nula. Kao rezultat, brzina se mijenja samo u smjeru, njen modul ostaje nepromijenjen.
U opštem slučaju, ukupni modul ubrzanja je određen Pitagorinom teoremom:
1.3. Kinematika rotacionog kretanja, vektor ugaone brzine, veza između linearne i ugaone brzine tačke, vektor ugaonog ubrzanja.
Kružno kretanje je posebna, ali vrlo česta vrsta kretanja. Za njega se uvode sljedeće dodatne kinematičke karakteristike: ugaona brzina - ω I ugaono ubrzanje - ε.
Veličina ugaone brzine w definisana je kao odnos prirasta ugla - dj, za koji će se radijus vektor tačke rotirati za vreme dt, prema ovom vremenskom intervalu, tj.
Ovo je potpuno prirodna definicija. Međutim, prema (1.18), i kut rotacije i kutna brzina definirani su kao vektorske veličine. U budućnosti ćemo vidjeti da će se takva definicija kutnih veličina pokazati vrlo zgodnom i produktivnom. Smjer vektora kuta rotacije određen je pravilom desnog vijka: ako se desni vijak okrene u smjeru prirasta pozitivnog kuta, tada će pomicanje vijka naprijed ukazati na smjer vektora prirasta kuta.
Slična definicija se već danas susrela prilikom definiranja vektorski proizvod. Zaista, ako izrazimo povećanje radijus vektora tačke koja se kreće u krug kada rotira za ugao ∆φ, dobićemo sljedeću formulu
(1.19)
Vektor linearne brzine kada se tačka kreće po kružnici sa ugaonom brzinom ω biće određen na osnovu (1.19)
Trajektorija kretanja materijalne tačke kroz radijus vektor
Pošto sam pomalo zaboravio ovaj dio matematike, u mom sjećanju, jednačine kretanja materijalne tačke su uvijek bile predstavljene korištenjem zavisnosti koja nam je svima poznata y(x), i gledajući tekst problema, bio sam malo zatečen kada sam vidio vektore. Pokazalo se da postoji prikaz putanje materijalne tačke pomoću radijus vektor— vektor koji specificira položaj tačke u prostoru u odnosu na neku unapred fiksiranu tačku, koja se naziva ishodište.
Formula za putanju materijalne tačke, pored radijus vektora, opisana je na isti način orts— jedinični vektori i, j, k u našem slučaju, poklapa se sa osama koordinatnog sistema. I na kraju, razmotrimo primjer jednadžbe za putanju materijalne točke (u dvodimenzionalnom prostoru):
Šta je zanimljivo u ovom primjeru? Putanja tačke je data sinusima i kosinusima Šta mislite kako će graf izgledati u poznatom prikazu y(x)? “Vjerovatno nešto jezivo”, pomislili ste, ali nije sve tako komplikovano kako se čini! Pokušajmo konstruirati putanju materijalne točke y(x), ako se kreće prema gore predstavljenom zakonu:
Ovdje sam primijetio kvadrat kosinusa, ako vidite kvadrat sinusa ili kosinus u bilo kojem primjeru, to znači da morate primijeniti osnovnu trigonometrijski identitet, što sam i uradio (druga formula) i transformisao koordinatnu formulu y, tako da umjesto sinusa u njega ubacite formulu promjene x:
Kao rezultat toga, strašni zakon kretanja tačke pokazao se običnim parabola, čije su grane usmjerene prema dolje. Nadam se da razumete približni algoritam za konstruisanje zavisnosti y(x) iz reprezentacije kretanja kroz vektor radijusa. Sada pređimo na naše glavno pitanje: kako pronaći vektor brzine i ubrzanja materijalne tačke, kao i njihove module.
Vektor brzine materijalne tačke
Svima je poznato da je brzina materijalne tačke količina puta koju tačka prijeđe u jedinici vremena, odnosno izvod formule za zakon kretanja. Da biste pronašli vektor brzine, morate uzeti derivaciju u odnosu na vrijeme. Pogledajmo konkretan primjer pronalaženja vektora brzine.
Primjer pronalaženja vektora brzine
Imamo zakon kretanja materijalne tačke:
Sada morate uzeti derivaciju ovog polinoma, ako ste zaboravili kako se to radi, evo ga. Kao rezultat toga, vektor brzine će imati sljedeći oblik:
Ispostavilo se da je sve jednostavnije nego što ste mislili, sada pronađite vektor ubrzanja materijalne tačke koristeći isti zakon koji je gore prikazan.
Kako pronaći vektor ubrzanja materijalne tačke
Vektor ubrzanja tačke ovo je vektorska veličina koja karakteriše promenu tokom vremena u veličini i smeru brzine tačke. Da biste pronašli vektor ubrzanja materijalne tačke u našem primjeru, trebate uzeti derivaciju, ali iz formule vektora brzine predstavljene malo iznad:
Modul vektora brzine tačke
Sada pronađimo veličinu vektora brzine materijalne tačke. Kao što znate iz 9. razreda, modul vektora je njegova dužina, u pravokutnim dekartovskim koordinatama jednak je kvadratni korijen iz zbira kvadrata njegovih koordinata. A gdje možemo dobiti njegove koordinate iz vektora brzine koji smo dobili gore, pitate se? Sve je vrlo jednostavno:
Sada samo trebate zamijeniti vrijeme navedeno u problemu i dobiti određenu numeričku vrijednost.
Modul vektora ubrzanja
Kao što ste shvatili iz gore napisanog (i od 9. razreda), pronalaženje modula vektora ubrzanja odvija se na isti način kao i modula vektora brzine: uzimamo kvadratni korijen zbira kvadrata vektorskih koordinata , jednostavno je! Pa evo primjera za vas, naravno:
Kao što vidite, ubrzanje materijalne tačke prema gore datom zakonu ne zavisi od vremena i ima konstantnu veličinu i pravac.
Više primjera rješenja za problem nalaženja vektora brzine i ubrzanja
I ovdje možete pronaći primjere rješenja drugih problema iz fizike. A za one koji baš i ne razumiju kako pronaći vektor brzine i ubrzanja, evo još par primjera iz mreže bez ikakvih suvišnih objašnjenja, nadam se da će vam pomoći.
Ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u komentarima.
Na osnovu definicije brzine, možemo reći da je brzina vektor. On se direktno izražava kroz vektor pomaka koji se odnosi na vremenski period i mora imati sva svojstva vektora pomaka.
Smjer vektora brzine, kao i smjer vektora fizički malog pomaka, određuju se iz crteža putanje. To se može jasno vidjeti na jednostavnim primjerima.
Ako rotirajući kamen za oštrenje dodirnete željeznom pločom, piljevina uklonjena njome poprimi brzinu onih tačaka kamena koje je ploča dodirnula, a zatim odletjeti u smjeru vektora ove brzine. Sve tačke kamena kreću se u krug. Tokom eksperimenta, jasno je vidljivo da vruće čestice piljevine koje se skidaju tangente na ove kružnice, ukazujući na smjerove vektora brzina pojedinih tačaka rotirajućeg žrvnja.
Obratite pažnju na to kako se izlazne cijevi nalaze na kućištu centrifugalne pumpe za vodu ili na separatoru mlijeka. U ovim mašinama, čestice fluida su prisiljene da se kreću u krug i onda im se daje mogućnost da izađu u otvor koji se nalazi u pravcu vektora brzine koji imaju u trenutku izlaska. Smjer vektora brzine u ovom trenutku poklapa se sa smjerom tangente na putanju čestica fluida. I izlazna cijev je također usmjerena duž ove tangente.
Na isti način osiguravaju prinos čestica u modernim akceleratorima elektrona i protona tokom nuklearnih istraživanja.
Dakle, uvjereni smo da je smjer vektora brzine određen putanjom tijela. Vektor brzine je uvijek usmjeren duž tangente putanje u tački kroz koju prolazi tijelo koje se kreće.
Da biste odredili u kojem smjeru duž tangente je usmjeren vektor brzine i kolika je njegova veličina, morate se obratiti zakonu kretanja. Pretpostavimo da je zakon kretanja dat grafikom prikazanim na Sl. 1.54. Uzmimo prirast dužine puta koji odgovara malom vektoru kojim je određen vektor brzine. Podsetimo se da znak ukazuje
smjer kretanja duž putanje, te stoga određuje orijentaciju vektora brzine duž tangente. Očigledno, modul brzine će biti određen kroz modul ovog prirasta dužine puta.
Dakle, veličina vektora brzine i orijentacija vektora brzine duž tangente na putanju mogu se odrediti iz relacije
Ovdje je algebarska veličina, čiji predznak pokazuje u kojem smjeru je vektor brzine usmjeren duž tangente na putanju.
Dakle, uvjereni smo da se veličina vektora brzine može naći iz grafa zakona kretanja. Omjer određuje nagib a tangente na ovom grafu. Nagib tangente na grafu zakona kretanja bit će veći, što je veći, odnosno veća je brzina kretanja u odabranom trenutku.
Još jednom skrećemo pažnju na činjenicu da je za potpuno određivanje brzine potrebno istovremeno poznavanje putanje i zakona kretanja. Crtež putanje vam omogućava da odredite smjer brzine, a graf zakona kretanja omogućava vam da odredite njegovu veličinu i predznak.
Ako se sada ponovo okrenemo definiciji mehaničkog kretanja, uvjerit ćemo se da nakon uvođenja pojma brzine za puni opis bilo kakvo kretanje nije potrebno ništa više. Koristeći koncepte vektora radijusa, vektora pomaka, vektora brzine, dužine puta, putanje i zakona kretanja, možete dobiti odgovore na sva pitanja vezana za određivanje karakteristika bilo kojeg kretanja. Svi ovi koncepti su međusobno povezani, a poznavanje putanje i zakona kretanja omogućava vam da pronađete bilo koju od ovih veličina.
