Procenti u matematici. Problemi koji uključuju procente.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijala u Posebnom dijelu 555.
Za one koji su veoma "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Procenti u matematici.
Šta se desilo procenti u matematici? Kako odlučiti posto problema? Ova pitanja se nameću, avaj, iznenada... Kad maturant čita zadatak Jedinstvenog državnog ispita. I stavili su ga u ćorsokak. Ali uzalud. Ovo su vrlo jednostavni koncepti.
Jedina stvar koju treba da zapamtite je šta je to jedan posto . Ovaj koncept je glavni ključ na rješavanje problema koji uključuju procente i na rad sa procentima općenito.
Jedan posto je stoti dio broja . To je sve. Nema više mudrosti.
Razumno pitanje - šta je sa stotim dijelom? kog datuma ? Ali broj o kojem se govori u zadatku. Ako se govori o cijeni, jedan posto je stoti dio cijene. Ako govorimo o brzini, jedan posto je stoti dio brzine. I tako dalje. Jasno je da je sam broj u pitanju uvijek 100%. A ako nema samog broja, onda procenti nemaju značenje...
Druga stvar je da je u složeni zadaci oh, sam broj će biti toliko skriven da ga nećete naći. Ali mi još ne ciljamo na komplikovano. Hajde da se pozabavimo procenti u matematici.
Nije uzalud što naglašavam riječi jedan posto, stoti dio. Sećanje šta je to jedan posto, lako možete pronaći i dva posto, i trideset četiri, i sedamnaest, i sto dvadeset i šest! Naći ćete onoliko koliko vam treba.
A ovo je, inače, glavna vještina za rješavanje problema u procentima.
Hoćemo li pokušati?
Nađimo 3% od 400. Prvo da nađemo jedan posto. Ovo će biti stoti, tj. 400/100 = 4. Jedan posto je 4. Koliko posto nam je potrebno? Tri. Dakle, množimo 4 sa tri. Dobijamo 12. To je to. Tri posto od 400 je 12.
5% od 20 je 20 podijeljeno sa 100 (stoti dio je 1%) i pomnoženo sa pet (5%):
5% od 20 će biti 1. To je to.
Ne može biti jednostavnije. Vežbajmo brzo pre nego što zaboravimo!
Saznajte koliko će to biti:
5% od 200 rubalja.
8% od 350 kilometara.
120% od 10 litara.
15% od 60 stepeni.
4% odličnih učenika od 25 učenika.
10% siromašnih učenika od 20 ljudi.
Odgovori (u potpunom neredu): 9, 10, 2, 1, 28, 12.
Ovi brojevi su broj rubalja, diploma, studenata itd. Nisam napisao koliko čega, da bi bilo zanimljivije odlučiti...
Šta ako treba da zapišemo X% od nekog broja, na primjer, od 50? Da, sve je isto. Jedan posto od 50 – koliko? Tako je, 50/100 = 0,5. I imamo ovaj procenat - X. Pa, pomnožimo 0,5 sa X! Shvatili smo to X% od 50 ovo je – 0,5x.
nadam se procenti u matematici imaš to. I lako možete pronaći bilo koji postotak od bilo kojeg broja. To je jednostavno. Sada možete riješiti otprilike 60% svih procentualnih problema! Već više od polovine. Pa, hajde da završimo ostalo? U redu, šta god kažeš!
U problemima koji uključuju procente, često se dešava suprotna situacija. Oni nam daju količine (bilo koje), ali moramo pronaći interes . Savladajmo ovaj jednostavan proces.
3 osobe od 120 – koji procenat? Ne znam? Pa, neka bude X posto.
Hajde da izračunamo X% od 120 ljudi. U ljudima. To je ono što možemo učiniti. Podijelite 120 sa 100 (izračunajte 1%) i pomnožite sa X(računamo X%). Dobijamo 1.2 X.
Hajde da razumemo rezultat.
X posto od 120 ljudi, ovo je 1,2 X Čovjek . A imamo tri takva čovjeka. Ostaje da izjednačimo:
Sjećamo se da smo za X uzeli broj postotaka. To znači da su 3 osobe od 120 ljudi 2,5%.
To je sve.
Može se i drugačije. Možete to učiniti jednostavnom genijalnošću, bez ikakvih jednadžbi. Hajde da razmislimo , koliko puta 3 osobe manje od 120? Podijelite 120 sa 3 i dobijete 40. To znači da je 3 40 puta manje od 120.
Potreban broj ljudi u procentima će biti isti broj puta manje od 100%. Uostalom, 120 ljudi je 100%. Podijelite 100 sa 40, 100/40 = 2,5
To je sve. Dobili smo 2,5%.
Postoji i metoda proporcija, ali to je u suštini ista stvar u skraćenoj verziji. Sve ove metode su ispravne. Šta god vam je zgodnije, poznatije i razumljivije – smatrajte to tako.
Opet treniramo.
Izračunajte procenat:
3 osobe od 12.
10 rubalja od 800.
4 udžbenika od 160 knjiga.
24 tačna odgovora na 32 pitanja.
2 pogodjena odgovora na 32 pitanja.
9 pogodaka od 10 hitaca.
Odgovori (redom): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.
U procesu izračunavanja možete naići na razlomke. Uključujući i one nezgodne, poput 1,333333... Ko vam je rekao da koristite kalkulator? Sebe? Nema potrebe. Count bez kalkulatora , kao što je napisano u temi “Razlomci”. Ima raznih postotaka...
Tako smo savladali prelazak sa količina na procente i nazad. Možete preuzeti zadatke.
Problemi koji uključuju procente.
IN Zadaci objedinjenog državnog ispita po interesu su veoma popularni. Od najjednostavnijih do najsloženijih. U ovom dijelu radimo s jednostavnim zadacima. IN jednostavni zadaci, po pravilu, morate prijeći sa postotaka na količine o kojima se govori u problemu. Na rublje, kilograme, sekunde, metre i tako dalje. Ili obrnuto. Već znamo kako to da uradimo. Nakon toga, problem postaje jasan i lako ga je riješiti. Ne vjerujete mi? Uvjerite se sami.
Pustite nas da imamo takav problem.
„Vožnja autobusom košta 14 rubalja. U danima školski raspust Za studente je uveden popust od 25%. Koliko košta putovanje autobusom tokom školskih raspusta?
Kako odlučiti? Ako saznamo koliko 25% u rubljama– onda nema šta da se odlučuje. Oduzmimo popust od originalne cijene - i to je to!
Ali mi to već znamo prepoznati! Koliko će jedan posto od 14 rubalja? Stoti deo. To jest, 14/100 = 0,14 rubalja. I imamo 25 takvih postotaka, pa pomnožimo 0,14 rubalja sa 25. Dobijamo 3,5 rubalja. To je sve. Utvrdili smo iznos popusta u rubljama, ostaje samo da saznate novu tarifu:
14 – 3,5 = 10,5.
Deset i po rubalja. Ovo je odgovor.
Čim smo prešli s kamata na rublje, sve je postalo jednostavno i jasno. Ovo je opći pristup rješavanju procentualnih problema.
Jasno je da nisu svi zadaci podjednako elementarni. Ima i komplikovanijih. Samo razmisli! Sada ćemo i njih riješiti. Poteškoća je u tome što je obrnuto. Date su nam neke količine, ali moramo pronaći procente. Na primjer, ovaj zadatak:
„Ranije je Vasja tačno rešio dva zadatka od dvadeset. Nakon što je proučio temu na jednom korisnom sajtu, Vasja je počeo tačno da rešava 16 od 20 problema. Za koji procenat je Vasja postao mudriji? Smatramo da je 20 riješenih problema 100% pametno.”
Pošto se radi o procentima (a ne rubljama, kilogramima, sekundama itd.), onda prelazimo na procente. Hajde da saznamo koji je procenat Vasya riješio prije razumijevanje, koji procenat poslije – i to je u torbi!
Mi računamo. Dva problema od 20 – koji procenat? 2 je 10 puta manje od 20, zar ne? To znači broj problema u procentima biće 10 puta manji od 100%. To jest, 100/10 = 10.
10%. Da, Vasja je malo odlučio... Nema se šta raditi na Jedinstvenom državnom ispitu. Ali sada je postao mudriji, i rješava 16 zadataka od 20. Hajde da izračunamo koji će to postotak biti? Koliko puta je 16 manje od 20? Ne možete odmah reći... Morat ćete to podijeliti.
5/4 puta. Pa, sada dijelimo 100 sa 5/4:
Evo. 80% je već solidno. I što je najvažnije – nebo je granica!
Ali ovo još nije odgovor! Ponovo čitamo problem kako ne bismo napravili grešku iz vedra neba. Da, pitaju nas koliko dugo Da li je Vasja postao za procenat mudriji? Pa, to je jednostavno. 80% - 10% = 70%. Za 70%.
70% je tačan odgovor.
Kao što vidite, u jednostavnim problemima dovoljno je zadate vrijednosti pretvoriti u procente, ili date procente u vrijednosti, i sve postaje jasnije. Jasno je da problem može sadržavati dodatna zvona i zviždaljke. Koje, često, nemaju nikakve veze sa procentima. Ovdje je najvažnije pažljivo pročitati stanje i, korak po korak, polako razvijati problem. O tome ćemo razgovarati u sljedećoj temi.
Ali postoji jedna ozbiljna zasjeda u problemima koji uključuju procente! Mnogi ljudi upadaju u to, da... Ova zasjeda izgleda sasvim nevino. Na primjer, evo problema.
“Prekrasna bilježnica ljeti košta 40 rubalja. Prije početka školske godine, prodavac je podigao cijenu za 25%. Međutim, bilježnice su se tako slabo počele prodavati da je snizio cijenu za 10%. I dalje ga ne uzimaju! Morao je smanjiti cijenu za još 15%. Tu je trgovina počela! Koja je bila konačna cijena notebooka?”
Pa, kako? Osnovno?
Ako ste brzo i radosno odgovorili "40 rubalja!", onda ste upali u zasedu...
Trik je u tome što se kamata uvijek obračunava nešto .
Dakle, računamo. Koliko dugo rubalja da li je prodavac naduvao cenu? 25% od 40 rubalja - to je 10 rubalja. Odnosno, notebook, koji je postao skuplji, sada košta 50 rubalja. Ovo je razumljivo, zar ne?
A sada moramo smanjiti cijenu za 10% sa 50 rubalja. Od 50, ne 40! 10% od 50 rubalja je 5 rubalja. Shodno tome, nakon prvog smanjenja cijene, notebook je počeo koštati 45 rubalja.
Razmatramo drugo smanjenje cijene. 15% od 45 rubalja ( od 45, ne 40, ili 50! ) iznosi 6,75 rubalja. Dakle, konačna cijena notebook-a je:
45 – 6,75 = 38,25 rubalja.
Kao što vidite, kvaka je u tome što se kamata svaki put obračunava od nove cijene. Od poslednjeg. Ovo se dešava skoro uvek. Ako u problemu sekvencijalnog povećanja-smanjenja vrijednosti nije navedeno u otvorenom tekstu, iz onoga što Da biste izbrojali procente, morate ih prebrojati od posljednje vrijednosti. I to je istina. Otkud prodavac zna koliko je puta ova sveska prije njega poskupjela i snizila i koliko je koštala na samom početku...
Usput, sada možda razmišljate, zašto je posljednja fraza napisana u problemu o pametnom Vasji? Ovaj: " Smatramo li 20 riješenih problema 100% pametnim?Čini se da je sve jasno... Uh-uh... Kako reći. Ako ova fraza nije tu, Vasya bi mogao računati svoje početne uspjehe kao 100%. Odnosno, dva riješena problema. A 16 zadataka je osam puta više. One. 800%! Vasya će moći opravdano pričati o vlastitoj mudrosti čak 700%!
Također možete preuzeti 16 zadataka za 100%. I dobiti novi odgovor. Takođe tačno...
Otuda zaključak: Najvažnija stvar u problemima koji uključuju procente je da se jasno odredi iz kog se jednog ili drugog procenta treba izračunati.
Inače, ovo je neophodno i u životu. Gdje se koriste procenti. U trgovinama, bankama, na svakojakim promocijama. Inače očekujete popust od 70%, ali dobijate 7%. I ne sniženja, nego poskupljenja... I sve je pošteno, pogrešno sam se izračunao.
Pa, imaš ideju o procentima u matematici. Zapazimo ono najvažnije.
1. U problemima koji uključuju procente, prelazimo sa postotaka na određene količine. Ili, ako je potrebno, od određenih vrijednosti do postotaka. Pažljivo pročitajte zadatak!
2. Učimo veoma pažljivo, iz onoga što kamata se mora obračunati. Ako to nije direktno navedeno, nužno se podrazumijeva. Kada se vrijednost mijenja uzastopno, procenti se pretpostavljaju od posljednje vrijednosti. Pažljivo pročitajte zadatak!
3. Nakon što ste riješili problem, pročitajte ga ponovo. Sasvim je moguće da ste pronašli srednji odgovor, a ne konačan. Pažljivo pročitajte zadatak!
Riješite nekoliko problema koji uključuju procente. Da se konsoliduju, da tako kažem. U ovim zagonetkama pokušao sam prikupiti sve glavne poteškoće koje čekaju rješavače. One grablje na koje se najčešće gazi. Evo ih:
1. Elementarna logika u analizi jednostavnih problema.
2. Pravi izbor iznos od kojeg se moraju izračunati procenti. Koliko je ljudi naišlo na ovo! Ali postoji vrlo jednostavno pravilo...
3. Kamata na kamatu. To je mala stvar, ali je stvarno dosadna...
4. I još vile. Odnos između postotaka i razlomaka i dijelova. Prevodeći ih jedno u drugo.
“Na matematičkoj olimpijadi učestvovalo je 50 ljudi. 68% učenika riješilo je nekoliko zadataka. 75% preostalih je riješilo umjerene probleme, a ostali su riješili mnoge probleme. Koliko ljudi je riješilo mnoge probleme?
Clue. Ako dobijete učenike sa razlomcima, ovo je pogrešno. Pažljivo pročitajte problem, tu je jedna bitna riječ... Još jedan problem:
“Vasja (da, isti!) jako voli krofne sa džemom. Koje se peku u pekari, na jednoj stanici od kuće. Krofne koštaju 15 rubalja po komadu. Imajući na raspolaganju 43 rublje, Vasja je otišao u pekaru autobusom za 13 rubalja. A u pekari je bila akcija “Popust na sve - 30%!!!”. Pitanje: koliko dodatnih krofni Vasja nije mogao kupiti zbog svoje lijenosti (mogao je prošetati, zar ne?)
Kratki problemi.
Koliki je postotak 4 manji od 5?
Koliki je postotak 5 veći od 4?
Dug zadatak...
Kolja je dobio jednostavan posao koji uključuje obračunavanje kamata. Tokom intervjua, šef je sa lukavim osmijehom ponudio Kolji dvije opcije za naknadu. Prema prvoj opciji, Kolya je odmah dobila stopu od 15.000 rubalja mjesečno. Prema drugom Kolya, ako pristane, prva 2 mjeseca isplatit će mu platu umanjenu za 50%. Nekako kao novajlija. Ali onda će mu povećati smanjenu platu za čak 80%!
Kolya je posjetio korisnu stranicu na internetu... Stoga je, nakon šest sekundi razmišljanja, uz blagi osmijeh odabrao prvu opciju. Šef se osmehnuo i odredio Kolji stalnu platu od 17.000 rubalja.
Pitanje: Koliko je novca godišnje (u hiljadama rubalja) Kolja osvojio na ovom intervjuu? U poređenju sa najgorom opcijom? I još nešto: zašto su se sve vreme smejali!?)
Još jedan kratak problem.
Pronađite 20% od 50%.
I opet dugo.)
Brzi voz br. 205 "Krasnojarsk - Anapa" zaustavio se na stanici "Syzran-Gorod". Vasilij i Kiril otišli su u radnju na stanici po sladoled za Lenu i hamburger za sebe. Kada su kupili sve što im je bilo potrebno, čistačica prodavnice je rekla da je njihov voz već otišao... Vasilij i Kiril su brzo potrčali i uspeli da uskoče u vagon. Pitanje: da li bi svetski šampion trkač imao vremena da uskoči u kočiju pod ovim uslovima?
Vjerujemo da pod normalnim uvjetima svjetski šampion trči 30% brže od Vasilija i Kirila. Međutim, želja da sustignu kočiju (bila je posljednja), počaste Lenu sladoledom i pojedu hamburger, povećala im je brzinu za 20%. A sladoled sa hamburgerom u rukama šampiona i japankama na nogama smanjio bi mu brzinu za 10%...
Ali evo problema bez postotaka... Pitam se zašto je ovdje?)
Odredi koliko je teška 3/4 jabuke ako je cijela jabuka teška 200 grama?
I poslednji.
U brzom vozu broj 205 "Krasnojarsk - Anapa" saputnici su rešavali ukrštenicu. Lena je pogodila 2/5 svih riječi, a Vasilij jednu trećinu preostalih. Tada se Kiril uključio i riješio 30% cijele ukrštenice! Serjoža je pogodio poslednjih 5 reči. Koliko je riječi bilo u skeni? Je li istina da je Lena pogodila najviše riječi?
Odgovori su u tradicionalnom neredu i bez naziva jedinica. Gdje su krofne, gdje su studenti, gdje su rublje sa kamatama - to ste vi...
10; 50; Da; 4; 20; No; 54; 2; 25; 150.
Pa kako je? Ako se sve poklopi - čestitamo! Kamate nisu vaš problem. Možete sigurno ići na posao u banku.)
Nešto nije u redu? Ne radi? Ne znate kako brzo izračunati procente broja? Ne znate vrlo jednostavna i jasna pravila? Od čega računati kamatu, na primjer? Ili, kako pretvoriti razlomke u procente?
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Novac je toliko ušao u naše živote da se svi mi, bez obzira na godine, pol i način sticanja prihoda, s vremena na vrijeme nađemo u situacijama u kojima smo primorani donositi odluke koje zahtijevaju finansijske kalkulacije. A onda od naše sposobnosti da poslujemo sa određenim finansijskim kategorijama zavisi koliko će opcija koju odaberemo biti isplativa. U ovom članku ćemo pogledati glavne kategorije finansijske matematike i pokazati kako ih koristiti za donošenje ispravnih odluka u raznim situacijama.
Interes. Složena kamata. Kapitalizacija kamate (složena)
Kamata je prihod primljen kao plaćanje za pozajmljivanje novca u bilo kom obliku. Procenti se mogu izraziti u apsolutnom ili relativnom obliku. Apsolutni oblik je određeni iznos za određeni period. Relativna - u obliku kamatne stope vezane za određeni period (godina, mjesec ili dan). Da biste izračunali akumulirani iznos (S), pod kojim mislimo na iznos glavnice plus akumulirane kamate, trebate koristiti sljedeću formulu:
(1) S = P * (1 + i * n),
gdje je P iznos na koji se obračunava kamata, i je kamatna stopa, N je broj obračunskih perioda.
Primjer
Prijatelju ste dali kredit u iznosu od 10.000$ na 3 mjeseca, pod kojim vam on obećava da će vam plaćati 2% mjesečno. Morate izračunati iznos koji ćete dobiti na kraju roka kredita. Dobijamo 10.000 * (1 + 2% * 3) = 10.600 $.
Često možete naići na situaciju da se kamata ne plaća, već se dodaje na uloženi iznos, a od novog perioda se obračunava na iznos uzimajući u obzir prethodno pripisanu kamatu. Takva kamata se naziva složena kamata, a proces obračuna kamate na kamatu se naziva kapitalizacija kamate. U slučaju složene kamate, obračunati iznos se izračunava drugačije:
(2) S = P * (1 + i) ^ n,
gdje je značenje slova isto kao u gornjoj formuli, a znak “^” znači eksponencijalnost.
Koja je razlika između složene i proste kamate? Ako prosta kamata raste linearno (za isti iznos u svakom periodu), onda složena kamata raste eksponencijalno (svaki naredni period iznos kamate je veći nego u prethodnom). Zahvaljujući ovom efektu, iznos stavljen pod složenu kamatu na duži period je višestruko veći od rasta iznosa stavljenog pod prostu kamatu. Ispod su rezultati rasta depozita (6% godišnje) uz prostu i složenu kamatu. Ako u početku razlika ostane mala, onda kasnije dostiže kritičnu vrijednost. Tako će u 80. godini depozit sa prostom kamatom dostići 58.000 dolara, dok će depozit sa složenom kamatom dostići 1.057.960 dolara.
U praksi često postoji praksa u kojoj se period obračuna kamate razlikuje od cijelog broja. U takvoj situaciji, formula za izračun obračunanog iznosa sa jednostavnom kamatom ima oblik:
(3) S = P * (1 + i * d / 365),
gdje je d kamatni period izražen u danima.
Postoje i situacije kada je kamatna stopa izražena na godišnjem nivou, a kamata se obračunava mjesečno. U takvim slučajevima, formula za izračunavanje obračunatog iznosa (u pravilu se u ovom slučaju koristi složena kamata) će izgledati ovako:
(4) S = P * (1 + i/m) ^ (n*m),
gdje je m broj perioda obračuna kamate unutar perioda (obično se koristi 12 prema broju mjeseci u godini).
I na kraju, napominjemo da se, bez obzira na vrstu kamate, sve formule za izračunavanje akumuliranog iznosa mogu svesti na opći oblik:
(5) S = P * k,
gdje je k koeficijent akumulacije, koji se izračunava na različite načine u zavisnosti od vrste kamate. Ovaj zaključak će nam uvelike olakšati razumijevanje narednih matematičkih operacija.
Diskontiranje i njegova suština
Koncept kamate o kojem smo gore govorili odražava vremensku vrijednost novca. Drugim riječima, budući da nam novac koji danas posjedujemo može donijeti prihod sutra kao rezultat njegovog ulaganja uz određenu kamatnu stopu, budući novčani primici imaju nižu sadašnju vrijednost. Ovaj princip je osnova matematičke operacije koja se zove diskontovanje. Diskontovanje znači dovođenje budućih plaćanja na sadašnju vrijednost i, u svom značenju, predstavlja obrnutu operaciju povećanja kamata. Odnosno, diskontovanje razmatra buduća plaćanja kao akumulirani iznos (S), a zadatak investitora je da izračuna njihovu trenutnu vrijednost (P) na osnovu kamatne stope koja mu je dostupna (i). U zavisnosti od vrste kamate, formula popusta će biti sledeća: ili
(6) P = S/(1+i*n)
(7) P = S/(1+i)^n
Svrha diskonta je da nam pokaže koliko danas vrijedi novac koji ćemo dobiti u budućnosti, kako ne bismo preplatili buduća plaćanja u smislu investicione alternative koja nam je dostupna. Pogledajmo nekoliko uobičajenih operacija u kojima se koristi popust.
Kupovina niza budućih plaćanja (računovodstvene transakcije)
Obveznica nominalne vrijednosti od 1.000 dolara sa kamatnom stopom od 6% godišnje se nudi za kupovinu, uz plaćanje kamate tromjesečno i otkup na kraju godine. Zadatak je izračunati trenutnu vrijednost obaveze na osnovu diskontne stope 15% godišnje.
Rješenje
Izračunajmo kvartalni prihod od kamata i izgradimou programu Excel tabela novčanog toka. Nađimo trenutnu vrijednost koristeći ugrađenu formulu NPV. Dakle, po diskontnoj stopi od 15% godišnje, trenutna vrijednost ove finansijske obaveze iznosi 916,22 dolara
Bilješka
2) U formulu NPV umjesto kamatne stope stavljamo godišnji procenat podijeljen sa 12
Finansijska ekvivalencija
Strane se dogovaraju o uslovima plaćanja poslovnog prostora. Cijena lokala je 24.000 dolara. Prodavac je saglasan sa plaćanjem na rate pod sledećim uslovima: 8.000$ odmah, ostalo u jednakim dijelovima u roku od 4 mjeseca. Međutim, spreman je razmotriti i duži rok na rate ukoliko mu prodavac ponudi veći iznos za prostor koji se prodaje.
Rješenje
Odrazimo početne uslove otplate u obliku tabele u Excel-u. Modelirajmo u istoj tabeli ponudu sa povećanjem mjesečnih plaćanja, zbog čega će cijena lokala porasti na 24.400 dolara. Izračunajmo trenutnu vrijednost svake opcije da uporedimo njihovu ekvivalentnost na osnovu kamatne stope od 10% godišnje. Računica pokazuje da je druga opcija, čak i uz veću nabavnu cijenu, za kupca isplativija od prve
Konsolidacija plaćanja
Konsolidacija plaćanja je operacija spajanja više obaveza plaćanja u jedno plaćanje (S0) u određenom vremenskom periodu (T0). Posebnost ove operacije je u tome što se sve isplate za koje se očekuje da će biti primljene prije ovog datuma obračunavaju obračunavanjem, a one koje se očekuju nakon njega obračunavaju se diskontom. Ovisno o vrsti korištenog procenta, formula konsolidacije je sljedeća:
(8) S = ∑ Pn * (1 + i * (T0 - Tn))
(9) S = ∑ Pn* (1 + i) ^ (T0 - Ta))
Primjer
Otvorili ste bankovni depozit od $10,000 na 12 mjeseci uz 10% godišnje. Koliko novca trebate uplatiti na svoj račun za 14. mjesec da nakon 3 godine imate 15.000$ na računu?
Rješenje
Zamislimo problem u vidu konsolidacije plaćanja, gdje će postojeći doprinos biti izražen kao pozitivan broj, a očekivani iznos u budućnosti će biti izražen kao negativan broj. S obzirom da se kamata obračunava po složenoj kamatnoj stopi, dobijamo sljedeću kalkulaciju: 10.000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-0) - 15.000 * (1 + 10% / 12) ^ (14-36) = 11.232 - 12.496 = -1.264 dolara.
Određivanje interne stope prinosa
U poslovanju i ulaganju često se dešavaju situacije kada investitor zna buduća plaćanja i iznos ulaganja, te treba izračunati stopu rasta po kojoj će iznos budućih isplata svedenih na sadašnju vrijednost biti numerički jednak iznosu ulaganja. . Faktor povećanja za koji se izvodi ovo stanje, naziva se interna stopa prinosa (IRR, na engleskom - IRR, interni prinos). Za izračunavanje interne stope povrata koristi se ugrađena funkcija programa Excel - IRR.
Primjer
Investitor razmatra investicioni prijedlog, koji predstavlja vlasničko učešće u otvaranju picerije (vidi ovdje). Znamo: a) iznos tražene investicije; b) finansijski plan (prognoza novčanih tokova); c) šema za distribuciju novčanih tokova. Sažetak investicijskog prijedloga (vidi tabelu) sadrži 6 opcija isplativosti. Potrebno je utvrditi ukupnu isplativost investicionog prijedloga zapoređenja sa drugim opcijama ulaganja.
Rješenje
U Excel-u napravimo tabelu novčanih tokova koje će investitor dobiti prema finansijskom planu (vidi tabelu). Izračunajmo internu stopu prinosa koristeći ugrađenu IRR formulu, gdje sve vrijednosti plaćanja, uključujući početnu investiciju, označavamo kao raspon vrijednosti. Rezultirajuća interna stopa povrata (IRR) = 38,47%. Dakle, ukupan očekivani povrat na investicioni prijedlog koji se razmatra iznosi 38,47% godišnje.
Bilješka
1) U periodima kada nema plaćanja, postavite “0”.
2) Da biste dobili godišnju stopu VSD, pomnožite rezultirajuću vrijednost sa 12.
Anuitet (finansijska renta)
Tok plaćanja, čije su sve komponente pozitivne, a vremenski intervali između plaćanja isti, naziva se anuitet ili finansijska renta. Na primjer, anuitet je redoslijed primanja kamate na obveznicu, plaćanja potrošačkog kredita, redovnih doprinosa po akumulativnim ugovorima o osiguranju i isplate penzija. Anuitete karakterišu sledeći parametri: 1) iznos svake pojedinačne uplate; 2) interval između plaćanja; 3) trajanje plaćanja (postoje trajni anuiteti); 4) kamatna stopa. Zbog složenosti formule za izračunavanje, najbolje je koristiti ugrađene formule Excela za izračunavanje različitih komponenti anuiteta. Pogledajmo glavne.
Prilikom obračuna kredita koriste se sljedeće formule: PLT (obračunava iznos mjesečne uplate), OSPLT (obračunava iznos otplate glavnice u sklopu određene mjesečne uplate), PRPLT (izračunava iznos kamate kao dio određene mjesečne uplate).
Primjer
Potrebno je obračunati mjesečnu uplatu i sastaviti plan otplate kredita, iznos je 10.000$, kamata 20%, rok je 20 mjeseci.
Rješenje
Za izračunavanje uplate koristimo formulu PMT. Umjesto kamatne stope zamjenjujemo mjesečnu vrijednost (godišnja vrijednost podijeljena sa 12), kao sadašnju vrijednost označavamo iznos kredita, buduću vrijednost - označavamo 0. Iste vrijednosti koristimo za OSPLT i PRPLT formule , u kojem je samo serijski broj period. Dobijene vrijednosti prikazujemo u obliku tabele:
Ista PMT formula se može koristiti za izračunavanje mjesečnih doprinosa za akumuliranje iznosa datom trenutku vrijeme. Da bismo to uradili, stavljamo iznos kapare umesto sadašnje vrednosti, a traženi iznos umesto buduće vrednosti.
Primjer
Imaš 25 godina. Otvarate penzioni štedni račun sa kamatnom stopom od 6% godišnje i deponujete 10.000 dolara svoje štednje na njega. Hajde da izračunamo mjesečnu uplatu koju ćete morati uplatiti na svoj račun da biste dostigli 100.000 dolara do 45. godine.
Rješenje
Koristimo PMT funkciju. Kamatna stopa je 6%/12, broj perioda je 20 * 12, sadašnja vrijednost je 10.000 dolara, buduća vrijednost je 100.000 dolara. U ovom slučaju, kompletirana formula će izgledati ovako =PLT(6%/12;20*12;10000;100,000). Primamo mjesečni iznos od 288 USD.
Kao što ste primijetili, u gornjim primjerima smo izračunali iznos mjesečne uplate, ostali parametri anuiteta su nam bili poznati. Excel nam omogućava da izračunamo druge parametre anuiteta - sadašnju vrijednost, buduću vrijednost, broj periodičnih uplata. Pogledajmo primjere kako ove formule rade.
Primjer izračuna sadašnje vrijednosti
Za 10. rođendan vašeg sina odlučujete da otvorite štedni račun kako bi on mogao uštedjeti 10.000 dolara na svoj 18. rođendan. Koju kaparu trebate uplatiti na ovaj račun ako su vaši planirani mjesečni doprinosi 50 USD?
Rješenje
Koristimo PS funkciju. Kamatna stopa je 6% / 12, broj uplata je 8 * 12, periodična isplata je 50 dolara, buduća vrijednost je minus 10.000 dolara. U ovom slučaju, kompletirana formula će izgledati ovako =PS(6%/12;8*12;50;-10000). Rezultirajuća vrijednost učešća je 2390 USD.
Bilješka
Negativna vrijednost u formulama PS i BS znači “primaću”, pozitivna vrijednost znači “plaćam”.
Primjer izračuna buduće vrijednosti i broja uplata
Dva prijatelja su odlučila da sebi obezbede dodatnu penziju. Da bi to uradili, svaki od njih je otvorio štedni račun sa prinosom od 6% godišnje, jedan je dao početni doprinos u iznosu od 3.000 dolara, a drugi - 5.000 dolara. Prvi ima 25 godina, drugi 30, oboje žele u penziju do 45. Obojica su spremni da doprinose 50 dolara mjesečno. Iz akumuliranih sredstava potrebno je izračunati iznos njihove penzione štednje i broj mjeseci penzije, ako se planiraju isplate penzija u iznosu od 150$.
Rješenje
Prvo, izračunajmo iznos penzione štednje. Da bismo to učinili, koristimo formulu BS. U prvom slučaju, broj plaćanja će biti jednak 20 * 12, u drugom - 15 * 12, sadašnja vrijednost u prvom slučaju je 3000 dolara, u drugom - 5000 dolara, kamatna stopa u oba slučaja će biti jednaka do 6% / 12, a periodična isplata će biti 50 USD. Sastavljena formula u prvom slučaju će izgledati kao = BS(6%/12;20*12;50;3000), u drugom = BS(6%/12;15*12;50;5000). U prvom slučaju penziona štednja iznosiće 33.032 dolara, u drugom 26.811 dolara. Sada izračunajmo period tokom kojeg akumulirani iznos može obezbijediti gore navedene penzije. Da bismo to učinili, koristit ćemo funkciju NPER, gdje označavamo 6%/12 kao kamatnu stopu, postavljamo 150 USD kao iznos plaćanja i zamjenjujemo rezultirajuće vrijednosti kao sadašnju vrijednost. Dobijamo iznos u mjesecima - 149 za prvi i 128 za drugi.
Bilješka
Negativna vrijednost u formuli označava da primamo uplate, u slučaju da se formula primjenjuje za izračunavanje uplata koje treba platiti, rezultirajuća vrijednost će biti pozitivna.
Stalni anuitet (perpetuity) i Gordonov model
Poseban slučaj rente je niz isplata čije trajanje nije uslovno određeno, pa se stoga ovaj anuitet smatra trajnom. Primjer trajnog anuiteta bi bile konzole, vrsta vrijednosnih papira (obveznica) na koje se kamata obračunava na neodređeno vrijeme, ali se nominalna vrijednost ne vraća. U praksi, takva vrijednosne papire su prilično rijetke. Češći primjer trajnog anuiteta su dugoročne isplate dividendi koje neke kompanije plaćaju svojim dioničarima. Za izračunavanje troškova trajne rente koristi se Gordonov model:
(10) S = P * (1+g) / (r - g) , gdje je S trošak anuiteta, P je tekuća isplata, g je stopa rasta tekućeg plaćanja, r je stopa povrata.
Gore navedene formule su glavna lista alata za proračune različitih vrsta i omogućavaju vam izračune u odnosu na bilo koju situaciju. U komentarima na ovaj članak možete opisati situacije koje zahtijevaju financijske proračune, a ja ću pokušati pokazati kako će vam gornji matematički aparat pomoći u njihovom rješavanju.
U pripremi članka, materijali iz nastavno pomagalo“Finansijska matematika” Shirshova E.V., N.I. Petrika, Tutygina A.G., Menshikova T.V., Moskva, ur. "Knorus", 2010
Pogledajmo primjer:
Cijena frižidera u trgovini je porasla za. Koja je bila cijena ako je frižider u početku koštao RUR?
Rješenje:
Prvo, hajde da odredimo za koliko se rubalja cijena hladnjaka promijenila (u ovom slučaju porasla).
Prema stanju - uključeno.
Ali od čega?
Naravno, od samog početnog troška frižidera - trljajte.
Ispada da moramo pronaći od rubalja:
Sada znamo da je cijena porasla za RUB.
Ostaje samo da se, po pravilu, na početni trošak doda iznos promjene:
Nova cijena u rubljama.
Još jedan primjer(pokušajte sami odlučiti):
Knjiga "Matematika za lutke" košta RUR u prodavnici. Za vrijeme promocije sve knjige se prodaju uz popust
Koliko ćete sada morati da platite za ovu knjigu?
Rješenje:
Šta je popust, verovatno znate? Popust znači da je cijena proizvoda smanjena za
Koliko je smanjena cijena knjige (u rubljama)?
Od početne cijene u rubljama morate pronaći:
Cijena se smanjila, što znači da morate od početne cijene oduzeti koliko je smanjena:
Nova cijena u rubljama.
Nije li jednostavno?
Ali postoji način da ova odluka bude još lakša i kraća!
Pogledajmo primjer:
Povećajte broj za.
Čemu su jednaki iz?
Kako smo ranije saznali, hoće.
Sada povećajmo sam broj x za ovaj iznos:
Ispada da smo kao rezultat dodali decimalni zapis i pomnožili sa brojem.
Hajde da rezimiramo ovo pravilo:
Recimo da trebamo povećati broj za.
od broja - ovo je.
Tada će novi broj biti jednak: .
Na primjer, povećajmo broj za:
Sada probajte sami:
- Povećaj broj za
- Povećaj broj za
- Za koliko postotaka je broj veći od broja?
rješenja:
3) Pustite potrebnu količinu posto jednaki.
To znači da ako se broj poveća za, to će biti:
Odgovori na.
Ako broj x treba smanjiti za, sve je slično:
Dakle, pravilo:
primjeri:
1) Smanjite broj za.
2) Uključeno koji procenat da li je broj manji od broja?
3) Cijena proizvoda sa popustom jednaka je p. Koja je cijena bez popusta?
rješenja:
2) Broj je smanjen za x posto i dobio:
Odgovori na.
3) Neka cijena bez popusta bude jednaka. Ispada da je x smanjen za i dobili smo:
Na kraju, pogledajmo drugu vrstu problema koji često izaziva zabunu.
Rješavanje složenih problema koji uključuju procente
Broj je veći od broja za. On koji procenat da li je broj manji od broja?
Kakvo čudno pitanje: naravno da ne!
zar ne?
Ali ne.
Ako je, na primjer, masa jednog ormarića 25 kg više mase drugog, onda je, bez sumnje, masa drugog ormarića 25 kg manja od mase prvog.
Nos posto Neće tako funkcionirati!
Zaista, u prvom slučaju, kada kažemo da je broj veći od broja, računamo od broja; a u drugom slučaju, kada kažemo da je broj manji od broja, računamo od broja. A pošto su brojevi različiti, onda će i ovi brojevi biti drugačiji!
Da bismo ispravno riješili ovaj problem, zapišimo uvjet kao jednadžbu:
Broj je veći od broja za. To znači da ako se broj poveća za, dobijamo broj:
Zapišimo sada pitanje u istom obliku: ako se broj a smanji za posto, dobijamo broj:
Izrazimo broj iz jednakosti (1):
I zamijenite u (2):
Iz toga slijedi da:
Dakle, dobijamo da je broj manji od broja!
Slični problemi se često susreću na Jedinstvenom državnom ispitu.
Na primjer:
U ponedjeljak su dionice kompanije porasle za određeni iznos posto, a u utorak su pojeftinile za isto toliko posto. Kao rezultat toga, postali su jeftiniji nego kada je trgovanje počelo u ponedjeljak. On koji procenat da li su akcije kompanije poskupele u ponedeljak?
Rješenje:
Neka cijena akcija u ponedjeljak bude jednaka, a potrebna količina posto, napisano kao decimalni razlomak (to jest, već podijeljeno sa), jednako je.
Zapišimo formulu kolika je vrijednost dionice nakon povećanja cijene:
Poznato je da je ova konačna cijena manja od početne cijene. Odnosno, ako smanjimo za, dobijamo:
Zamenimo ono što je ranije rečeno:
Prema zdrav razum Prikladno je samo pozitivno rješenje:
Podsjetimo se sada da je ovo još uvijek samo decimalni zapis tražene količine posto, odnosno ovu količinu posto, podijeljena. Za pretvaranje u interes, potrebno je pomnožiti sa 100%:
Gdje koristimo procente u životu?
Pa, na primjer, u bankarskim proizvodima: depozitima, kreditima, hipotekama itd.
Ako dobro razumete šta je kamata i znate kako da rešavate jednačine, onda možete lako izračunati, na primer, veličinu mesečne otplate kredita.
Ili koliko ćete morati preplatiti podizanjem hipoteke. Takav zadatak postoji na Jedinstvenom državnom ispitu pod brojem 17.
Interes. Ukratko o glavnoj stvari
Jedan posto bilo kojeg broja je stoti dio tog broja.
1. Procenti i decimale
2. Promijenite broj za određeni postotak
Recimo da trebamo povećati broj za.
od broja - ovo je.
Tada će novi broj biti jednak: .
Da biste broj povećali za, morate ga pomnožiti sa.
Ako broj treba smanjiti za, tada:
Smanjiti broj za neki iznos znači oduzeti ovu vrijednost od njega:
Da biste broj smanjili za, morate ga pomnožiti sa.
, serija članaka o ličnim finansijama.Danas ćemo pričati o kamatama.
Nemoguće je investirati bez razumijevanja šta je kamata i kako se izračunava profitabilnost.
U pravilu, nema problema s jednostavnom kamatom, svako ko je ikada držao novac na depozitu u banci razumije da je, na primjer, kamatna stopa 10% godišnje na depozit od 50.000 rubalja. daće 5000 prihoda godišnje.
Teže je razumeti efekat složene kamate, ali je veoma važan kod dugoročnog ulaganja, tj. kada se ulažu u cilju postizanja finansijske slobode.
U suštini, sa složenom kamatom, prihod od kamata se reinvestira, povećavajući veličinu depozita. Evo primjera, recimo da imate 100.000 rubalja. i na njih dobijate 10% prihoda, tj. 10.000 rub. u godini.
Prve godine ste dobili 10.000 rubalja. a vaš doprinos je povećan za ovih 10.000, što iznosi 110.000 rubalja.
U drugoj godini vaš prihod će već biti 10% od 110.000 rubalja, tj. 11.000 rubalja, koje takođe dodajete depozitu, koji postaje 110.000 + 11.000 = 121.000 rubalja.
Treća godina: Vaših 121 hiljada rubalja ponovo donosi 10%, što je 12.100 rubalja u rubljama, a vaš doprinos na kraju treće godine biće 121.000 + 12.100 = 133.100 rubalja.
itd.
U formalizovanom obliku, složena kamata se piše na sledeći način:
FV = PV (1 + r)^n
Gdje F.V.– buduća vrijednost depozita;PV– početni trošak depozita;r– stopa prinosa (profitabilnosti);n– broj perioda.
Pa, provjerite formulu koristeći naš primjer FV = 10.000 (1 + 0.1)^3 = 133.100 rubalja. Kao što vidite, sve se poklopilo :)
Kada investirate na dugi rok, onda se značaj složene kamate uvelike povećava.
Zamislite ovaj primjer: ako mlijeko poskupi za 10% godišnje, koliko će koštati za 20 godina? Ako danas mlijeko košta 30 rubalja po litri, onda ako se cijena mlijeka poveća za 10% godišnje, za 20 godina mlijeko će koštati FV = 30 (1+0,1)^20 = 201 rublje 82 kopejke!
Ovaj primjer, inače, vrlo dobro pokazuje potrebu ulaganja i očuvanja vlastitog kapitala, jer se i on depresira po formuli složene kamate.
Ova formula se još naziva i „Rothschild formula“, „đavolja formula“, a u engleskom i u finansijskim krugovima naziva se „spojivanjem“.
Sve se na zemlji mijenja prema formuli složenih kamata: inflacija, povećana potrošnja nafte ili pšenice, mijenja se stanovništvo zemlje, itd.
Kada uložite postotak radi za vas, evo primjeraRanije sam pomenuo penzije:
Koliko će novca prosječan Rus moći uštedjeti ako uloži 3.000 rubalja? mjesečno 30 godina? Pretpostavimo da će rast njegovih investicija iznositi 5% godišnje, a povraćaj ulaganja iznositi 17% godišnje.
Nakon 30 godina, akumuliraće se 32.022.812 rubalja. Ovo je način na koji složena kamata funkcionira za vas, djelujući kao poluga koja povećava vaš doprinos.
Ali to djeluje i protiv toga kada uzimate kredite, na primjer.
U principu, postoje programi koji vam omogućavaju da izračunate složene kamate i formule anuiteta koje su s njima povezane (anuitet se smatra nizom plaćanja koja su ista (ili se mijenjaju prema obrascu) i razmaknuta su jedna od druge za isti period vremena; primjer sa akumulacijom od 3.000 rubalja u mjesecu također se smatra anuitetom. mjesec veći i jednake mjesečne otplate kredita tokom vremena).
Možete i sami da probate, ja ga koristimkao ovaj program za iPad , besplatno je, a imaju i opcije za Android.
Na slici je prikazan primjer izračunavanja iznosa otplate kredita pomoću ovog programa.
Tamo možete isprobati i druge finansijske izračune, na primjer, izračunavanje složenih kamata i anuiteta.
Pokušajte, glavna stvar je razumjeti sam princip.
Nastavljamo sa proučavanjem elementarnih problema iz matematike. Ova lekcija govori o problemima u procentima. Razmotrićemo nekoliko problema, a takođe ćemo se dotaknuti onih tačaka koje nismo ranije spomenuli prilikom proučavanja procenata, s obzirom da u početku stvaraju poteškoće za učenje.
Većina problema koji uključuju procente svode se na pronalaženje procenta broja, pronalaženje broja po procentima, izražavanje nekog dijela u procentima ili izražavanje u procentima odnosa između nekoliko objekata, brojeva, veličina.
Preliminarne vještine Sadržaj lekcijeMetode za pronalaženje procenta
Postotak se može pronaći na različite načine. Najpopularniji način je podijeliti broj sa 100 i rezultat pomnožiti sa željenim postotkom.
Na primjer, da biste pronašli 60% od 200 rubalja, prvo morate podijeliti ovih 200 rubalja na sto jednakih dijelova:
200 rubalja: 100 = 2 rublje.
Kada podijelimo broj sa 100, nalazimo jedan posto tog broja. Dakle, dijeleći 200 rubalja na 100 dijelova, automatski smo pronašli 1% od dvije stotine rubalja, odnosno saznali smo koliko je rubalja po dijelu. Kao što se može vidjeti iz primjera, jedan dio (jedan posto) iznosi 2 rublje.
1% od 200 rubalja - 2 rublje
Znajući koliko je rubalja u jednom dijelu (1%), možete saznati koliko je rubalja u dva dijela, tri, četiri, pet itd. To jest, možete pronaći bilo koji broj postotaka. Da biste to učinili, samo pomnožite ove 2 rublje s potrebnim brojem dijelova (postotaka). Hajde da nađemo šezdeset komada (60%)
2 rublje × 60 = 120 rubalja.
2 rublje × 5 = 10 rubalja.
Hajde da nađemo 90%
2 rublje × 90 = 180 rubalja.
Naći ćemo 100%
2 rublje × 100 = 200 rubalja.
100% je svih sto delova i oni čine svih 200 rubalja.
Drugi način je da se predstavlja procenat kao običan razlomak i pronađite ovaj razlomak od broja od kojeg želite pronaći postotak.
Na primjer, pronađimo istih 60% od 200 rubalja. Prvo, predstavimo 60% kao razlomak. 60% je šezdeset dijelova od sto, odnosno šezdeset stotinki:
Sada se zadatak može shvatiti kao « pronađi od 200rubalja" . To je ono što smo ranije proučavali. Podsjetimo vas da da biste pronašli razlomak broja, trebate ovaj broj podijeliti sa nazivnikom razlomka i pomnožiti rezultat s brojnikom razlomka
200: 100 = 2
2 × 60 = 120
Ili pomnožite broj sa razlomkom ():
Treći način je da se procenat predstavi kao decimala i broj pomnoži sa decimalom.
Na primjer, pronađimo istih 60% od 200 rubalja. Za početak, predstavite 60% kao razlomak. 60% posto je šezdeset dijelova od sto
Uradimo dijeljenje u ovom razlomku. Pomaknimo decimalni zarez u broju 60 za dvije cifre ulijevo:
Sada nalazimo 0,60 od 200 rubalja. Da biste pronašli decimalni razlomak broja, morate ovaj broj pomnožiti sa decimalnim razlomkom:
200 × 0,60 = 120 rub.
Gornji način pronalaženja procenta je najpogodniji, pogotovo ako je osoba navikla koristiti kalkulator. Ova metoda vam omogućava da pronađete postotak u jednom koraku.
Obično, izražavanje procenta kao decimalni razlomak nije poseban rad. Dovoljno je dodati “nula cijeli broj” prije procenta ako taj postotak predstavlja dvocifreni broj, ili dodajte “nula cijeli broj” i još jednu nulu ako je postotak jednocifreni broj. primjeri:
60% = 0,60 - dodati nula cijelih brojeva prije broja 60, pošto je broj 60 dvocifreni
6% = 0,06 - dodaje se nula cijelih brojeva i još jedna nula ispred broja 6, pošto je broj 6 jednocifren.
Prilikom dijeljenja sa 100 koristili smo metodu pomicanja decimalnog zareza dvije cifre ulijevo. U odgovoru 0,60 zadržana je nula iza broja 6. Ali ako ovo dijeljenje obavite uglom, nula nestaje - dobijate odgovor 0,6
Moramo zapamtiti da su decimalni razlomci 0,60 i 0,6 jednaki istoj vrijednosti:
0,60 = 0,6
U istom "ćošku" možete nastaviti dijeljenje neograničeno, svaki put dodajući nulu ostatku, ali to će biti besmislena radnja:
Procente možete izraziti kao decimalni razlomak ne samo dijeljenjem sa 100, već i množenjem. Sam simbol procenta (%) zamjenjuje množitelj od 0,01. A ako uzmemo u obzir da su broj postotaka i znak postotka napisani zajedno, onda između njih postoji "nevidljivi" znak množenja (×).
Dakle, unos od 45% zapravo izgleda ovako:
Zamijenite znak postotka faktorom 0,01
Ovo množenje sa 0,01 se izvodi pomeranjem decimalnog zareza za dve cifre ulevo:
Problem 1. Porodični budžet je 75 hiljada rubalja mjesečno. Od toga, 70% je novac koji je zaradio tata. Koliko je mama zaradila?
Rješenje
Ukupno je 100 posto.Ako je tata zaradio 70% novca, onda je mama zaradila preostalih 30% novca.
Problem 2. Porodični budžet je 75 hiljada rubalja mjesečno. Od toga je 70% novac koji je zaradio tata, a 30% novac koji je zaradila mama. Koliko je novca svaka osoba zaradila?
Rješenje
Naći ćemo 70 i 30 posto od 75 hiljada rubalja. Na ovaj način ćemo odrediti koliko je novca svaka osoba zaradila. Radi praktičnosti zapisujemo 70% i 30% kao decimalne razlomke:
75 × 0,70 = 52,5 (tata zaradio hiljadu rubalja)
75 × 0,30 = 22,5 (hiljadu rubalja koje je zaradila majka)
Ispitivanje
52,5 + 22,5 = 75
75 = 75
Odgovori: 52,5 hiljada rubalja. Tata je zaradio 22,5 rubalja. Mama je zaradila novac.
Problem 3. Prilikom hlađenja, hljeb gubi do 4% svoje mase kao rezultat isparavanja vode. Koliko će kilograma ispariti kada se 12 tona hljeba ohladi?
Rješenje
Pretvorimo 12 tona u kilograme. Jedna tona sadrži hiljadu kilograma, a 12 tona sadrži 12 puta više:
1000 × 12 = 12 000 kg
Sada pronađimo 4% od 12000. Dobijeni rezultat će biti odgovor na problem:
12.000 × 0,04 = 480 kg
Odgovori: Kada se 12 tona hleba ohladi, ispariće 480 kilograma.
Problem 4. Kada se osuše, jabuke gube 84% svoje mase. Koliko sušenih jabuka ćete dobiti od 300 kg svježih?
Nađimo 84% od 300 kg
300: 100 × 84 = 252 kg
300 kg svježih jabuka će izgubiti 252 kg svoje mase kao rezultat sušenja. Da biste odgovorili na pitanje koliko sušenih jabuka ćete dobiti, potrebno je da od 300 oduzmete 252
300 − 252 = 48 kg
Odgovori: od 300 kg svježih jabuka dobijete 48 kg suhih.
Problem 5. Sjemenke soje sadrže 20% ulja. Koliko ulja sadrži 700 kg soje?
Rješenje
Nađimo 20% od 700 kg
700 × 0,20 = 140 kg
Odgovori: 700 kg soje sadrži 140 kg ulja
Problem 6. Heljda sadrži 10% proteina, 2,5% masti i 60% ugljenih hidrata. Koliko ovih proizvoda sadrži 14,4 kg heljde?
Rješenje
Pretvorimo 14,4 centnera u kilograme. U jednom centneru ima 100 kilograma, u 14,4 centna 14,4 puta više
100 × 14,4 = 1440 kg
Nađimo 10%, 2,5% i 60% od 1440 kg
1440 × 0,10 = 144 (kg proteina)
1440 × 0,025 = 36 (kg masti)
1440 × 0,60 = 864 (kg ugljikohidrata)
Odgovori: 14,4 kg heljde sadrži 144 kg proteina, 36 kg masti, 864 kg ugljenih hidrata.
Problem 7. Školarci su za rasadnik sakupili 60 kg sjemena hrasta, bagrema, lipe i javora. Žir je činio 60%, sjemenke javora 15%, sjemenke lipe 20% svih sjemenki, a ostalo su sjemenke bagrema. Koliko su kilograma bagremovog sjemena sakupili školarci?
Rješenje
Uzmimo sjeme hrasta, bagrema, lipe i javora kao 100%. Oduzmimo od ovih 100% postotke koji izražavaju sjemenke hrasta, lipe i javora. Ovako saznajemo koliki je procenat sjemenki bagrema:
100% − (60% + 15% + 20%) = 100% − 95% = 5%
Sada nalazimo sjemenke bagrema:
60 × 0,05 = 3 kg
Odgovori: Učenici su sakupili 3 kg bagremovog sjemena.
Ispitivanje:
60 × 0,60 = 36
60 × 0,15 = 9
60 × 0,20 = 12
60 × 0,05 = 3
36 + 9 + 12 + 3 = 60
60 = 60
Problem 8. Čovek je kupio namirnice. Mlijeko košta 60 rubalja, što je 48% cijene svih kupovina. Odredite ukupan iznos novca potrošen na namirnice.
Rješenje
Ovo je zadatak pronalaženja broja po procentu, odnosno po poznatom dijelu. Ovaj problem se može riješiti na dva načina. Prvi je izraziti poznati broj postotaka kao decimalni razlomak i pronaći nepoznati broj iz ovog razlomka
Izrazite 48% kao decimalu
48% : 100 = 0,48
Znajući da je 0,48 60 rubalja, možemo odrediti iznos svih kupovina. Da biste to učinili, morate pronaći nepoznati broj pomoću decimalnog razlomka:
60: 0,48 = 125 rubalja
To znači da je ukupan iznos novca potrošen na namirnice 125 rubalja.
Drugi način je da prvo saznate koliko novca iznosi jedan posto, a zatim rezultat pomnožite sa 100
48% je 60 rubalja. Ako 60 rubalja podijelimo sa 48, saznat ćemo koliko rubalja čini 1%
60: 48% = 1,25 rubalja
1% iznosi 1,25 rubalja. Ukupno je 100 posto. Ako pomnožimo 1,25 rubalja sa 100, dobićemo ukupan iznos novca potrošen na proizvode
1,25 × 100 = 125 rubalja
Problem 9. Svježe šljive daju 35% sušenih šljiva. Koliko je svježih šljiva potrebno da dobijete 140 kg suvih šljiva? Koliko ćete suvih šljiva dobiti od 600 kg svježih?
Rješenje
Izrazimo 35% kao decimalni razlomak i pronađimo nepoznati broj koristeći ovaj razlomak:
35% = 0,35
140: 0,35 = 400 kg
Da biste dobili 140 kg suvih šljiva, potrebno je uzeti 400 kg svježih.
Odgovorimo na drugo pitanje zadatka - koliko ćete suvih šljiva dobiti od 600 kg svježih? Ako iz svježih šljiva proizlazi 35% suhih šljiva, onda je dovoljno pronaći ovih 35% od 600 kg svježih šljiva
600 × 0,35 = 210 kg
Odgovori: za 140 kg suvih šljiva potrebno je uzeti 400 kg svježih. Od 600 kg svježih šljiva dobijate 210 kg suvih.
Problem 10. Apsorpcija masti u ljudskom tijelu je 95%. U toku mjesec dana, učenik je potrošio 1,2 kg masti. Koliko masti njegovo tijelo može apsorbirati?
Rješenje
Pretvorite 1,2 kg u grame
1,2 × 1000 = 1200 g
Nađimo 95% od 1200 g
1200 × 0,95 = 1140 g
Odgovori: 1140 g masti može da apsorbuje telo učenika.
Izražavanje brojeva u procentima
Procenat, kao što je ranije spomenuto, može se izraziti kao decimalni razlomak. Da biste to učinili, samo podijelite broj ovih postotaka sa 100. Na primjer, zamislite 12% kao decimalni razlomak:
Komentar. Sada ne nalazimo postotak nečega, već ga jednostavno zapisujemo kao decimalni razlomak.
Ali moguć je i obrnuti proces. Decimalni razlomak se može predstaviti kao procenat. Da biste to učinili, trebate pomnožiti ovaj razlomak sa 100 i staviti znak za postotak (%)
Predstavimo decimalni razlomak 0,12 kao procenat
0,12 × 100 = 12%
Ova akcija se zove izražavajući broj kao procenat ili izražavanje brojeva u stotinkama.
Množenje i dijeljenje su inverzne operacije. Na primjer, ako je 2 × 5 = 10, onda je 10: 5 = 2
Na isti način, dijeljenje se može napisati obrnutim redoslijedom. Ako je 10: 5 = 2, onda je 2 × 5 = 10:
Ista stvar se dešava kada decimalu izrazimo kao procenat. Dakle, 12% je izraženo kao decimala na sljedeći način: 12: 100 = 0,12, ali je onda istih 12% „vraćeno” množenjem, zapisivanjem izraza 0,12 × 100 = 12%.
Slično, bilo koje druge brojeve, uključujući cijele brojeve, možete izraziti u procentima. Na primjer, izrazimo broj 3 kao postotak dati broj za 100 i rezultatu dodajte znak postotka:
3 × 100 = 300%
Veliki procenti poput 300% mogu u početku biti zbunjujući jer su ljudi navikli da 100% misle kao maksimalni procenat. Iz dodatnih informacija o razlomcima znamo da se jedan cijeli objekt može označiti jednim. Na primjer, ako postoji cijela nerazrezana torta, onda se može označiti sa 1
Isti kolač se može označiti kao 100% kolač. U ovom slučaju, i jedan i 100% će značiti isti cijeli kolač:
Preseći tortu na pola. U ovom slučaju, jedan će postati decimalni broj 0,5 (pošto je polovina jedinice), a 100% će postati 50% (pošto je 50 pola od sto)
Vraćamo cijelu tortu, jednu jedinicu i 100%
Hajde da prikažemo još dva takva kolača sa istim oznakama:
Ako je jedan kolač jedinica, onda su tri torte tri jedinice. Svaka torta je 100% cela. Ako zbrojite ovih tri stotine dobijate 300%.
Stoga, kada pretvaramo cijele brojeve u procente, te brojeve množimo sa 100.
Problem 2. Izrazite broj 5 kao procenat
5 × 100 = 500%
Problem 3. Izrazite broj 7 kao procenat
7 × 100 = 700%
Problem 4. Izrazite broj 7,5 kao procenat
7,5 × 100 = 750%
Problem 5. Izrazite broj 0,5 kao procenat
0,5 × 100 = 50%
Problem 6. Izrazite broj 0,9 kao procenat
0,9 × 100 = 90%
Primjer 7. Izrazite broj 1,5 kao procenat
1,5 × 100 = 150%
Primjer 8. Izrazite broj 2,8 u procentima
2,8 × 100 = 280%
Problem 9. George se vraća kući iz škole. U prvih petnaest minuta hodao je 0,75 puta. Ostatak vremena je pješačio preostalih 0,25 puta. Izrazite postotak udaljenosti koju je prešao George.
Rješenje
0,75 × 100 = 75%
0,25 × 100 = 25%
Problem 10. John je počašćen sa pola jabuke. Izrazite ovu polovinu kao procenat.
Rješenje
Pola jabuke zapisuje se kao razlomak 0,5. Da biste ovaj razlomak izrazili kao postotak, pomnožite ga sa 100 i rezultatu dodajte znak postotka.
0,5 × 100 = 50%
Analogi u obliku frakcija
Vrijednost izražena u postocima ima svoj pandan u obliku običnog razlomka. Dakle, analog za 50% je frakcija. Pedeset posto se može nazvati i "pola".
Ekvivalent za 25% je razlomak. Dvadeset pet posto se može nazvati i četvrtinom.
Ekvivalent za 20% je razlomak. Dvadeset posto se može nazvati i petinom.
Analog za 40% je frakcija.
Analog za 60% je frakcija
Primjer 1. Pet centimetara je 50% decimetra, ili samo polovina. U svim slučajevima govorimo o istoj vrijednosti - pet centimetara od deset
Primjer 2. Dva i po centimetra je 25% decimetra ili samo četvrtina
Primjer 3. Dva centimetra su 20% decimetra ili
Primjer 4. Četiri centimetra je 40% decimetra ili
Primjer 5. Šest centimetara je 60% decimetra ili
Smanjenje i povećanje kamata
Prilikom povećanja ili smanjenja vrijednosti izražene u procentima, koristi se prijedlog “do”.
Primjeri:
- Povećanje za 50% znači povećanje vrijednosti za 1,5 puta;
- Povećanje za 100% znači povećanje vrijednosti za 2 puta;
- Povećanje za 200% znači povećanje za 3 puta;
- Smanjenje za 50% znači smanjenje vrijednosti za 2 puta;
- Smanjenje za 80% znači smanjenje za 5 puta.
Primjer 1. Deset centimetara povećano je za 50%. Koliko ste centimetara dobili?
Da biste riješili takve probleme, morate uzeti početnu vrijednost kao 100%. Originalna vrijednost je 10 cm.50% njih je 5 cm
Originalnih 10 cm je povećano za 50% (za 5 cm), što znači da je ispalo 10+5 cm, odnosno 15 cm
Ekvivalent povećanja deset centimetara za 50% je množitelj od 1,5. Ako pomnožite 10 cm sa njim dobijate 15 cm
10 × 1,5 = 15 cm
Dakle, izrazi “povećati za 50%” i “povećati za 1,5 puta” znače istu stvar.
Primjer 2. Pet centimetara povećano za 100%. Koliko ste centimetara dobili?
Uzmimo originalnih pet centimetara kao 100%. Sto posto od ovih pet centimetara bit će sami 5 cm. Ako 5 cm povećate za istih 5 cm, dobit ćete 10 cm
Analog povećanja od pet centimetara za 100% je faktor 2. Ako pomnožite 5 cm s njim, dobit ćete 10 cm
5 × 2 = 10 cm
Dakle, izrazi "povećati za 100%" i "povećati za 2 puta" znače istu stvar.
Primjer 3. Pet centimetara povećano za 200%. Koliko ste centimetara dobili?
Uzmimo originalnih pet centimetara kao 100%. Dvjesto posto je dva puta sto posto. To jest, 200% od 5 cm će biti 10 cm (5 cm za svakih 100%). Ako povećate 5 cm za ovih 10 cm, dobićete 15 cm
Ekvivalent povećanja pet centimetara za 200% je faktor 3. Ako pomnožite 5 cm s tim, dobit ćete 15 cm
5 × 3 = 15 cm
Dakle, izrazi "povećati za 200%" i "povećati za 3 puta" znače istu stvar.
Primjer 4. Deset centimetara smanjeno za 50%. Koliko je centimetara ostalo?
Uzmimo originalnih 10 cm kao 100%. Pedeset posto od 10 cm je 5 cm. Ako smanjite 10 cm za ovih 5 cm, ostat će vam 5 cm
Analog smanjenja deset centimetara za 50% je djelitelj 2. Ako s njim podijelite 10 cm, dobit ćete 5 cm
10: 2 = 5 cm
Dakle, izrazi „smanjiti za 50%“ i „smanjiti za 2 puta“ znače istu stvar.
Primjer 5. Deset centimetara smanjeno je za 80%. Koliko je centimetara ostalo?
Uzmimo originalnih 10 cm kao 100%. Osamdeset posto od 10 cm je 8 cm. Ako smanjite 10 cm za ovih 8 cm, ostat će vam 2 cm
Analog smanjenja deset centimetara za 80% je djelitelj 5. Ako s njim podijelite 10 cm, dobit ćete 2 cm
10:5 = 2 cm
Dakle, izrazi „smanjiti za 80%“ i „smanjiti za 5 puta“ znače istu stvar.
Kada rješavate probleme koji uključuju smanjenje i povećanje procenta, možete pomnožiti/podijeliti vrijednost faktorom navedenim u zadatku.
Problem 1. Za koliko se postotaka promijenila vrijednost ako se povećala za 1,5 puta?
Vrijednost navedena u zadatku može se označiti kao 100%. Zatim pomnožite ovih 100% sa faktorom 1,5
100% × 1,5 = 150%
Sada od primljenih 150% oduzimamo prvobitnih 100% i dobijamo odgovor na zadatak:
150% − 100% = 50%
Problem 2. Za koliko se postotaka promijenila vrijednost ako se smanjila za 4 puta?
Ovaj put će se vrijednost smanjiti, pa ćemo izvršiti dijeljenje. Označimo vrijednost navedenu u zadatku kao 100%. Zatim podijelite ovo 100% sa djeliteljem 4
Od početnih 100% oduzmite rezultirajućih 25% i dobijete odgovor na problem:
100% − 25% = 75%
To znači da kada se vrijednost smanji za 4 puta, ona se smanjuje za 75%.
Problem 3. Za koliko se postotaka promijenila vrijednost ako se smanjila za 5 puta?
Označimo vrijednost navedenu u zadatku kao 100%. Zatim podijelite ovo 100% sa djeliteljem 5
Od početnih 100% oduzmite rezultirajućih 20% i dobijete odgovor na problem:
100% − 20% = 80%
To znači da kada se vrijednost smanji za 5 puta, ona se smanjuje za 80%.
Problem 4. Za koliko se postotaka promijenila vrijednost ako se smanjila za 10 puta?
Označimo vrijednost navedenu u zadatku kao 100%. Zatim podijelite ovo 100% sa djeliteljem 10
Od početnih 100% oduzmite rezultirajućih 10% i dobijete odgovor na problem:
100% − 10% = 90%
To znači da kada se vrijednost smanji za 10 puta, ona se smanjuje za 90%.
Problem sa pronalaženjem procenta
Da biste nešto izrazili u procentima, prvo morate zapisati razlomak koji pokazuje koliki je dio prvog broja od drugog, zatim podijeliti ovaj razlomak i rezultat izraziti kao postotak.
Na primjer, neka bude pet jabuka. U ovom slučaju, dvije jabuke su crvene, tri su zelene. Izrazimo crvene i zelene jabuke u procentima.
Prvo morate saznati koji dio su crvene jabuke. Ukupno ima pet jabuka i dvije crvene. To znači da su dvije od pet ili dvije petine crvene jabuke:
Ima tri zelene jabuke. To znači da su tri od pet ili tri petine zelene jabuke:
Imamo dva razlomka i . Uradimo dijeljenje u ovim razlomcima
Dobili smo decimalne razlomke 0,4 i 0,6. Sada izrazimo ove decimalne razlomke u procentima:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
To znači da su 40% crvene jabuke, 60% zelene.
I svih pet jabuka čine 40%+60%, odnosno 100%
Problem 2. Moja majka je dala moja dva sina 200 rubalja. Moja majka je mom mlađem bratu dala 80 rubalja, a starijem bratu 120 rubalja. Izrazite u procentima novac dat svakom bratu.
Rješenje
Mlađi brat je dobio 80 rubalja od 200 rubalja. Zapisujemo razlomak osamdeset i dvije stotinke:
Stariji brat je dobio 120 rubalja od 200 rubalja. Zapisujemo razlomak sto dvadeset i dve stotinke:
Imamo razlomke i . Uradimo dijeljenje u ovim razlomcima
Izrazimo dobijene rezultate u procentima:
0,4 × 100 = 40%
0,6 × 100 = 60%
To znači da je mlađi brat dobio 40% novca, a stariji 60%.
Neki razlomci koji pokazuju koji je dio prvog broja od drugog mogu se smanjiti.
Na ovaj način se razlomci mogu smanjiti. Ovo ne bi promijenilo odgovor na problem:
Problem 3. Porodični budžet je 75 hiljada rubalja mjesečno. Od toga, 52,5 hiljada rubalja. - novac koji je zaradio tata. 22,5 hiljada rubalja. - novac koji je zaradila mama. Izrazite kao postotak novac koji su zaradili mama i tata.
Rješenje
Ovaj zadatak, kao i prethodni, je zadatak pronalaženja procenta.
Izrazimo novac koji je tata zaradio u procentima. Zaradio je 52,5 hiljada rubalja od 75 hiljada rubalja
Uradimo dijeljenje u ovom razlomku:
0,7 × 100 = 70%
To znači da je tata zaradio 70% novca. Dalje, nije teško pretpostaviti da je preostalih 30% novca zaradila moja majka. Uostalom, 75 hiljada rubalja je 100% novac. Hajde da proverimo da budemo sigurni. Mama je zaradila 22,5 hiljada rubalja. od 75 hiljada rubalja. Zapisujemo razlomak, vršimo dijeljenje i rezultat izražavamo kao postotak:
Problem 4. Učenik trenira da izvodi zgibove na šipki. Prošlog mjeseca je mogao napraviti 8 zgibova po seriji. Ovog mjeseca može napraviti 10 zgibova po seriji. Za koji procenat je povećao broj zgibova?
Rješenje
Hajde da saznamo koliko više zgibova učenik uradi u tekućem mjesecu nego u prošlom
Hajde da saznamo koji dio dva zgiba čine od osam zgibova. Da biste to učinili, pronađite omjer 2 prema 8
Uradimo dijeljenje u ovom razlomku
Izrazimo rezultat kao postotak:
0,25 × 100 = 25%
To znači da je učenik povećao broj zgibova za 25%.
Ovaj problem se može riješiti u sekundi, više brza metoda— saznajte koliko je puta 10 zgibova veće od 8 zgibova i izrazite rezultat u postocima.
Da biste saznali koliko puta je deset zgibova veće od osam zgibova, morate pronaći omjer 10 prema 8
Podijelimo rezultujući razlomak
Izrazimo rezultat kao postotak:
1,25 × 100 = 125%
Stopa povlačenja za tekući mjesec je 125%. Ova izjava se mora shvatiti upravo tako "je 125%", ne kako “indikator je povećan za 125%”. To su dvije različite tvrdnje koje izražavaju različite količine.
Izjavu „je 125%“ treba shvatiti kao „osam zgibova koji čine 100% plus dva zgiba koja čine 25% od osam zgibova“. Grafički to izgleda ovako:
A izjavu „povećan za 125%“ treba shvatiti kao „na trenutnih osam zgibova, koji su bili 100%, dodato je još 100% (još 8 zgibova) plus još 25% (2 zgiba). ” To je ukupno 18 zgibova.
100% + 100% + 25% = 8 + 8 + 2 = 18 zgibova
Grafički ova izjava izgleda ovako:
Ukupno ispada 225%. Ako nađemo 225% od osam zgibova, dobićemo 18 zgibova
8 × 2,25 = 18
Problem 5. Prošlog mjeseca plata je bila 19,2 hiljade rubalja. Ovog mjeseca iznosio je 20,16 hiljada rubalja. Za koji procenat je povećana plata?
Ovaj problem, kao i prethodni, može se riješiti na dva načina. Prvi je da prvo saznate za koliko je rubalja porasla plaća. Zatim saznajte koji je dio ovog povećanja od prošlomjesečne plate
Hajde da saznamo za koliko se rubalja povećala plaća:
20,16 − 19,2 = 0,96 hiljada rubalja.
Hajde da saznamo koji je dio 0,96 hiljada rubalja. kreće se od 19.2. Da bismo to učinili, nalazimo omjer 0,96 prema 19,2
Uradimo podjelu u rezultirajućem razlomku. Usput, da se prisjetimo:
Izrazimo rezultat kao postotak:
0,05 × 100 = 5%
To znači da je plata povećana za 5%.
Rešimo problem na drugi način. Hajde da saznamo koliko puta 20,16 hiljada rubalja. više od 19,2 hiljade rubalja. Da bismo to učinili, nalazimo omjer 20,16 prema 19,2
Podijelimo rezultirajući razlomak:
Izrazimo rezultat kao postotak:
1,05 × 100 = 105%
Plata je 105%. Odnosno, ovo uključuje 100%, što je iznosilo 19,2 hiljade rubalja, plus 5%, što je iznosilo 0,96 hiljada rubalja.
100% + 5% = 19,2 + 0,96
Problem 6. Cijena laptopa je ovog mjeseca porasla za 5%. Koja je njegova cijena ako je prošlog mjeseca koštao 18,3 hiljade rubalja?
Rješenje
Nađimo 5% od 18,3:
18,3 × 0,05 = 0,915
Dodajmo ovih 5% na 18,3:
18,3 + 0,915 = 19,215 hiljada rubalja.
Odgovori: cijena laptopa je 19.215 hiljada rubalja.
Problem 7. Cijena laptopa je ovog mjeseca smanjena za 10%. Koja je njegova cijena ako je prošlog mjeseca koštao 16,3 hiljade rubalja?
Rješenje
Nađimo 10% od 16,3:
16,3 × 0,10 = 1,63
Oduzmi ovih 10% od 16,3:
16,3 − 1,63 = 14,67 (hiljada rubalja)
Ovakvi zadaci se mogu ukratko napisati:
16,3 − (16,3 × 0,10) = 14,67 (hiljadu rubalja)
Odgovori: Cijena laptopa je 14,67 hiljada rubalja.
Problem 8. Prošlog mjeseca cijena laptopa bila je 21 hiljadu rubalja. Ovog mjeseca cijena je porasla na 22,05 hiljada rubalja. Za koji procenat je cijena porasla?
Rješenje
Odredimo za koliko je rubalja porasla cijena
22,05 − 21 = 1,05 (hiljadu rubalja)
Hajde da saznamo koji je dio 1,05 hiljada rubalja. je od 21 hiljade rubalja.
Izrazimo rezultat kao postotak
0,05 × 100 = 5%
Odgovori: cijena laptopa povećana za 5%
Problem 8. Radnik je prema planu trebao proizvesti 600 dijelova, ali je proizveo 900 dijelova. U kom procentu je ispunio plan?
Rješenje
Hajde da saznamo koliko je puta 900 delova više od 600 delova. Da biste to učinili, pronađite omjer 900 prema 600
Vrijednost ovog razlomka je 1,5. Izrazimo ovu vrijednost kao postotak:
1,5 × 100 = 150%
To znači da je radnik ispunio plan za 150%. Odnosno, završio ga je 100%, proizvodeći 600 dijelova. Zatim je napravio još 300 dijelova, što je 50% prvobitnog plana.
Odgovori: radnik je ispunio plan za 150%.
Poređenje procentualnih vrijednosti
Već smo mnogo puta upoređivali količine na različite načine. Naš prvi alat je bila razlika. Tako, na primjer, da bismo uporedili 5 rubalja i 3 rublje, zapisali smo razliku 5−3. Dobivši odgovor 2, moglo bi se reći da je "pet rubalja dvije rublje više od tri rublje."
Odgovor dobijen kao rezultat oduzimanja je Svakodnevni život se ne naziva "razlika", već "razlika".
Dakle, razlika između pet i tri rublje je dvije rublje.
Sljedeći alat koji smo koristili za poređenje vrijednosti bio je omjer. Omjer nam je omogućio da saznamo koliko je puta prvi broj više od drugog(ili koliko puta prvi broj sadrži drugi).
Tako, na primjer, deset jabuka je pet puta više od dvije jabuke. Ili drugačije rečeno, deset jabuka sadrži dvije jabuke pet puta. Ovo poređenje se može napisati pomoću relacije
Ali vrijednosti se mogu porediti i kao postoci. Na primjer, uporedite cijenu dvije robe ne u rubljama, već procijenite koliko je cijena jednog proizvoda veća ili manja od cijene drugog u postotku.
Da bi se uporedile procentualne vrijednosti, jedna od njih mora biti označena kao 100%, a druga na osnovu uslova problema.
Na primjer, hajde da saznamo u kojem postotku je deset jabuka više od osam jabuka.
100% je vrijednost s kojom nešto poredimo. Upoređujemo 10 jabuka sa 8 jabuka. Dakle, za 100% označavamo 8 jabuka:
Sada je naš zadatak da uporedimo koliki je procenat 10 jabuka veći od ovih 8 jabuka. 10 jabuka je 8+2 jabuke. To znači da ćemo dodavanjem još dvije jabuke na osam jabuka povećati 100% za još jedan broj postotaka. Da saznamo koja, hajde da odredimo koliki je procenat od osam jabuka dve jabuke
Dodavanjem ovih 25% na osam jabuka dobijamo 10 jabuka. A 10 jabuka je 8+2, odnosno 100% i još 25%. Ukupno dobijamo 125%
To znači da je deset jabuka 25% veće od osam jabuka.
Sada da riješimo inverzni problem. Hajde da saznamo koliko je posto osam jabuka manje od deset jabuka. Odgovor se odmah nameće: osam jabuka je 25% manje. Međutim, nije.
Upoređujemo osam jabuka sa deset jabuka. Dogovorili smo se da ćemo uzeti za 100% ono sa čime se poredimo. Stoga ovaj put uzimamo 10 jabuka za 100%:
Osam jabuka je 10−2, odnosno smanjenjem 10 jabuka za 2 jabuke smanjit ćemo ih za određeni postotak. Da saznamo koja, hajde da odredimo koliki je procenat od deset jabuka dve jabuke
Oduzmemo ovih 20% od deset jabuka, dobićemo 8 jabuka. A 8 jabuka je 10−2, odnosno 100% i minus 20%. Ukupno dobijamo 80%
To znači da je osam jabuka 20% manje od deset jabuka.
Problem 2. Za koji procenat je 5.000 rubalja više od 4.000 rubalja?
Rješenje
Uzmimo 4000 rubalja za 100%. 5 hiljada je više od 4 hiljade sa 1 hiljadu. To znači da ćemo povećanjem četiri hiljade za hiljadu povećati četiri hiljade za određeni procenat. Hajde da saznamo koji. Da bismo to učinili, određujemo koji je dio hiljadu od četiri hiljade:
Izrazimo rezultat kao postotak:
0,25 × 100 = 25%
1000 rubalja od 4000 rubalja je 25%. Ako dodate ovih 25% na 4000, dobićete 5000 rubalja. To znači da je 5.000 rubalja 25% više od 4.000 rubalja
Problem 3. Koliki je postotak 4000 rubalja manje od 5000 rubalja?
Ovaj put poredimo 4000 sa 5000. Uzmimo 5000 kao 100%. Pet hiljada je više od četiri hiljade sa hiljadu rubalja. Saznajte koji je dio hiljadu od pet hiljada
Hiljada od pet hiljada je 20%. Ako oduzmemo ovih 20% od 5.000 rubalja, dobićemo 4.000 rubalja.
To znači da je 4000 rubalja manje od 5000 rubalja za 20%
Problemi s koncentracijom, legure i smjese
Recimo da želite napraviti sok. Na raspolaganju imamo vodu i sirup od malina.
U čašu sipajte 200 ml vode:
Dodajte 50 ml sirupa od malina i promešajte dobijenu tečnost. Kao rezultat, dobićemo 250 ml soka od maline (200 ml vode + 50 ml sirupa = 250 ml soka)
Koji dio dobivenog soka je sirup od maline?
Sirup od maline čini sok. Izračunajmo ovaj omjer i dobijemo broj 0,20. Ovaj broj pokazuje količinu otopljenog sirupa u nastalom soku. Nazovimo ovaj broj koncentracija sirupa.
Koncentracija otopljene tvari je omjer količine otopljene tvari ili njene mase prema volumenu otopine.
Koncentracija se obično izražava u postocima. Izrazimo koncentraciju sirupa u postocima:
0,20 × 100 = 20%
Tako je koncentracija sirupa u soku od maline 20%.
Supstance u rastvoru mogu biti heterogene. Na primjer, pomiješajte 3 litre vode i 200 g soli.
Masa 1 litre vode je 1 kg. Tada će masa 3 litre vode biti 3 kg. Pretvorimo 3 kg u grame, dobijemo 3 kg = 3000 g.
Sada dodajte 200 g soli u 3000 g vode i pomiješajte dobivenu tekućinu. Rezultat će biti slani rastvor čija će ukupna masa biti 3000 + 200, odnosno 3200 g. Nađimo koncentraciju soli u rezultirajućem rastvoru. Da biste to učinili, pronađite omjer mase otopljene soli i mase otopine
To znači da pomešanjem 3 litre vode i 200 g soli dobijate 6,25% rastvor soli.
Slično, može se odrediti količina tvari u leguri ili smjesi. Na primjer, legura sadrži kalaj težine 210 g i srebro težine 90 g. Tada će masa legure biti 210 + 90, odnosno 300 g. Legura će sadržavati kalaj i srebro. Procenat kalaja će biti 70%, a srebra 30%
Kada se dva rastvora pomešaju, dobija se novo rešenje koje se sastoji od prvog i drugog rastvora. Nova otopina može imati drugačiju koncentraciju tvari. Korisna vještina je sposobnost rješavanja problema koji uključuju koncentraciju, legure i mješavine. Općenito, smisao takvih zadataka je praćenje promjena koje nastaju kada se miješaju otopine različitih koncentracija.
Pomiješajte dva soka od maline. Prvih 250 ml soka sadrži 12,8% sirupa od maline. A drugi sok od 300 ml sadrži 15% sirupa od maline. Sipajte ova dva soka u veliku čašu i pomiješajte. Kao rezultat, dobijamo novi sok zapremine 550 ml.
Sada odredimo koncentraciju sirupa u dobivenom soku. Prvih 250 ml ocijeđenog soka sadržavalo je 12,8% sirupa. A 12,8% od 250 ml je 32 ml. To znači da je prvi sok sadržavao 32 ml sirupa.
Drugi ocijeđeni sok od 300 ml sadržavao je 15% sirupa. A 15% od 300 ml je 45 ml. To znači da je drugi sok sadržavao 45 ml sirupa.
Zbrojimo količine sirupa:
32 ml + 45 ml = 77 ml
Ovih 77 ml sirupa nalazi se u novom soku, koji ima zapreminu od 550 ml. Odredimo koncentraciju sirupa u ovom soku. Da biste to učinili, pronađite omjer od 77 ml otopljenog sirupa i zapremine soka od 550 ml:
To znači da pri mešanju 12,8% soka od maline zapremine 250 ml i 15% soka od maline zapremine 300 ml dobije se 14% soka od maline zapremine 550 ml.
Problem 1. Postoje 3 otopine morske soli u vodi: prva otopina sadrži 10% soli, druga sadrži 15% soli, a treća sadrži 20% soli. Pomiješajte 130 ml prvog rastvora, 200 ml drugog rastvora i 170 ml trećeg rastvora. Odredite koliki je postotak morske soli u dobivenoj otopini.
Rješenje
Odredimo zapreminu rezultirajućeg rastvora:
130 ml + 200 ml + 170 ml = 500 ml
Budući da je prva otopina sadržavala 130 × 0,10 = 13 ml morske soli, druga otopina je sadržavala 200 × 0,15 = 30 ml morske soli, a treća je sadržavala 170 × 0,20 = 34 ml morske soli, tada će rezultirajuća otopina sadržavati 13 + 30 + 34 = 77 ml morske soli.
Odredimo koncentraciju morske soli u nastaloj otopini. Da biste to učinili, pronađite omjer od 77 ml morske soli prema zapremini otopine od 500 ml
To znači da dobijena otopina sadrži 15,4% morske soli.
Problem 2. Koliko grama vode treba dodati u 50 g rastvora koji sadrži 8% soli da bi se dobio 5% rastvor?
Rješenje
Imajte na umu da ako se u postojeću otopinu doda voda, količina soli u njoj neće se promijeniti. Samo će se njegov postotak promijeniti, jer će dodavanje vode u otopinu dovesti do promjene njegove mase.
Moramo dodati toliku količinu vode da osam posto soli postane pet posto.
Odredimo koliko grama soli sadrži 50 g otopine. Da biste to učinili, pronađite 8% od 50
50 g × 0,08 = 4 g
8% od 50 grama je 4 grama. Drugim riječima, osam dijelova od sto je 4 grama soli. Potrudimo se da ova 4 grama ne dolaze iz osam dijelova, već iz pet dijelova, odnosno 5%
4 grama - 5%
Sada, znajući da ima 4 grama na 5% otopine, možemo pronaći masu cijele otopine. Za ovo vam je potrebno:
4 g: 5 = 0,8 g
0,8 g × 100 = 80 g
80 grama rastvora je masa pri kojoj će biti 4 grama soli na 5% rastvora. A da biste dobili ovih 80 grama, morate dodati 30 grama vode na originalnih 50 grama.
To znači da za dobivanje 5% otopine soli potrebno je postojećem rastvoru dodati 30 g vode.
Problem 2. Grožđe sadrži 91% vlage, a grožđice - 7%. Koliko je kilograma grožđa potrebno za proizvodnju 21 kilograma grožđica?
Rješenje
Grožđe se sastoji od vlage i čiste materije. Ako svježe grožđe sadrži 91% vlage, onda će preostalih 9% biti čista tvar ovog grožđa:
Grožđice sadrže 93% čiste supstance i 7% vlage:
Imajte na umu da u procesu pretvaranja grožđa u grožđice nestaje samo vlaga ovog grožđa. Čista tvar ostaje nepromijenjena. Nakon što se grožđe pretvori u grožđice, dobijeno grožđe će imati 7% vlage i 93% čiste materije.
Odredimo koliko čiste tvari sadrži 21 kg grožđica. Da bismo to učinili, naći ćemo 93% od 21 kg
21 kg × 0,93 = 19,53 kg
Vratimo se sada na prvi crtež. Naš zadatak je bio da utvrdimo koliko je grožđa potrebno da dobijemo 21 kg grožđica. Čista tvar težine 19,53 kg činit će 9% grožđa:
Sada kada znamo da je 9% čiste supstance 19,53 kg, možemo odrediti koliko je grožđa potrebno za proizvodnju 21 kg grožđica. Da biste to učinili, morate pronaći broj prema njegovom postotku:
19,53 kg: 9 = 2,17 kg
2,17 kg × 100 = 217 kg
To znači da za dobijanje 21 kg grožđica potrebno je uzeti 217 kg grožđa.
Problem 3. U leguri kalaja i bakra, bakar čini 85%. Koliko legure treba uzeti da sadrži 4,5 kg kalaja?
Rješenje
Ako bakar čini 85% legure, tada će preostalih 15% biti kalaj:
Pitanje je koliko legure treba uzeti da sadrži 4,5 kalaja. Pošto legura sadrži 15% kalaja, 4,5 kg kalaja će činiti ovih 15%.
A znajući da 4,5 kg legure čini 15%, možemo odrediti masu cijele legure. Da biste to učinili, morate pronaći broj prema njegovom postotku:
4,5 kg: 15 = 0,3 kg
0,3 kg × 100 = 30 kg
To znači da trebate uzeti 30 kg legure tako da sadrži 4,5 kg kalaja.
Problem 4. Pomiješana količina 12% rastvora hlorovodonične kiseline sa istom količinom 20% rastvora iste kiseline. Pronađite koncentraciju nastale klorovodične kiseline.
Rješenje
Hajdemo da prvo rješenje na slici prikažemo kao pravu liniju i označimo 12% na njemu.
Budući da je broj otopina isti, može se nacrtati ista slika jedna do druge, koja ilustruje drugu otopinu sa sadržajem klorovodične kiseline od 20%
Imamo dve stotine delova rastvora (100% + 100%), od kojih je trideset dva dela hlorovodonične kiseline (12% + 20%)
Odredimo koji dio 32 dijela čine 200 dijelova
To znači da pri miješanju 12% otopine hlorovodonične kiseline sa istom količinom 20% rastvora iste kiseline dobije se 16% rastvor hlorovodonične kiseline.
Da biste provjerili, zamislite da je masa prvog rješenja bila 2 kg. Masa drugog rješenja također će biti 2 kg. Tada ćete, prilikom miješanja ovih otopina, dobiti 4 kg otopine. U prvom rastvoru hlorovodonične kiseline bilo je 2 × 0,12 = 0,24 kg, au drugom - 2 × 0,20 = 0,40 kg. Tada će u novom rastvoru hlorovodonične kiseline biti 0,24 + 0,40 = 0,64 kg. Koncentracija hlorovodonične kiseline biće 16%
Problemi koje treba riješiti samostalno
na , naći ćemo 60% broja
Sada povećajmo broj za pronađenih 60%, tj. po broju
odgovor: nova vrijednost je
Zadatak 12. Odgovorite na sljedeća pitanja:
1) Potrošeno 80% iznosa. Koliki je procenat od ovog iznosa?
2) Muškarci čine 75% svih radnika u fabrici. Koliki procenat zaposlenih u fabrici čine žene?
3) Djevojčice čine 40% razreda. Koliki procenat odeljenja čine dečaci?
A Rješenje
Koristimo varijablu. Neka P ovo je originalni broj koji se spominje u problemu. Uzmimo ovaj početni broj P za 100%
Smanjimo ovaj originalni broj P za 50%
Sada je novi broj 50% originalnog broja. Saznajte koliko je puta originalni broj P više od novog broja. Da biste to učinili, pronađite omjer od 100% do 50%
Originalni broj je duplo veći od novog. To se vidi čak i sa crteža. A da bi novi broj bio jednak originalnom, potrebno ga je udvostručiti. A udvostručenje broja znači povećanje za 100%.
To znači da novi broj, koji je upola manji od prvobitnog broja, treba povećati za 100%.
Kada se razmatra novi broj, on se takođe uzima kao 100%. Dakle, na gornjoj slici, novi broj je polovina originalnog broja i označen je kao 50%. U odnosu na prvobitni broj, novi broj je polovina. Ali ako ga posmatramo odvojeno od originalnog, mora se uzeti kao 100%.
Stoga je na slici novi broj, koji je predstavljen linijom, prvo označen kao 50%. Ali onda smo ovaj broj označili kao 100%.
odgovor: Da biste dobili originalni broj, novi broj se mora povećati za 100%.
Problem 16. Prošlog mjeseca u gradu se dogodilo 15 nesreća.
Ovog mjeseca ova brojka je pala na 6. Za koji procenat se smanjio broj nesreća?
Rješenje
Prošlog mjeseca dogodilo se 15 nesreća. Ovog mjeseca ih je 6. To znači da je broj nesreća smanjen za 9.
Uzmimo 15 nesreća kao 100%. Smanjenjem 15 saobraćajnih nesreća za 9, smanjićemo ih za određeni procenat. Da bismo saznali koja, saznaćemo koliki je dio od 9 nesreća od 15 nesreća
odgovor: koncentracija dobijenog rastvora je 12%.
Zadatak 18. Pomiješali smo određenu količinu 11% rastvora određene supstance sa istom količinom 19% rastvora iste supstance. Pronađite koncentraciju rezultirajuće otopine.
Rješenje
Masa oba rješenja je ista. Svako rješenje se može uzeti kao 100%. Nakon dodavanja rastvora dobija se 200% rastvor. Prva otopina je sadržavala 11% tvari, a druga otopina je sadržavala 19% tvari. Tada će rezultirajuća 200% otopina sadržavati 11% + 19% = 30% tvari.
Odredimo koncentraciju rezultirajuće otopine. Da bismo to učinili, saznajemo koji dio trideset dijelova tvari čini dvije stotine dijelova tvari:
1,10. To znači da će cijena za prvi mjesec biti 1.10.
U drugom mjesecu cijena je također porasla za 10%. Dodajte deset posto ove cijene trenutnoj cijeni od 1,10, dobićemo 1,10 + 0,10 × 1,10. Ovaj iznos je jednak izrazu 1.21 . To znači da će cijena za drugi mjesec biti 1,21.
U trećem mjesecu cijena je također porasla za 10%. Dodajte deset posto ove cijene trenutnoj cijeni od 1,21, dobićemo 1,21 + 0,10 × 1,21. Ovaj iznos je jednak izrazu 1,331 . Tada će cijena za treći mjesec postati 1.331.
Izračunajmo razliku između nove i stare cijene. Ako je početna cijena bila jednaka 1, tada je porasla za 1,331 − 1 = 0,331. Izrazimo ovaj rezultat kao postotak, dobićemo 0,331 × 100 = 33,1%
odgovor: za 3 mjeseca cijene hrane porasle su za 33,1%.
Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj novoj grupi VKontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama
