Linije drugog reda.
Elipsa i njena kanonska jednadžba. Krug
Nakon temeljnog proučavanja prave linije u ravni Nastavljamo sa proučavanjem geometrije dvodimenzionalnog svijeta. Ulozi su udvostručeni i pozivam vas da posjetite slikovitu galeriju elipsa, hiperbola, parabola, koje su tipični predstavnici linije drugog reda. Ekskurzija je već počela, i to prva kratke informacije o cjelokupnoj izložbi na različitim katovima muzeja:
Pojam algebarske linije i njen red
Prava na ravni se zove algebarski, ako je u afini koordinatni sistem njegova jednadžba ima oblik , gdje je polinom koji se sastoji od članova oblika ( – realni broj, – nenegativni cijeli brojevi).
Kao što vidite, jednadžba algebarske linije ne sadrži sinuse, kosinuse, logaritme i druge funkcionalne beaumonde. Samo X i Y su unutra nenegativni cijeli brojevi stepeni.
Redosled jednaka maksimalnoj vrijednosti termina uključenih u njega.
Prema odgovarajućoj teoremi, koncept algebarske linije, kao ni njen red, ne zavise od izbora afini koordinatni sistem, stoga, radi lakšeg postojanja, pretpostavljamo da se svi kasniji proračuni odvijaju u Kartezijanske koordinate.
Opšta jednačina red drugog reda ima oblik , gdje 
– proizvoljno realni brojevi (Uobičajeno je da se piše sa faktorom dva), a koeficijenti nisu jednaki nuli u isto vrijeme.
Ako je , tada se jednadžba pojednostavljuje na 
, a ako koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli, onda je to tačno opšta jednačina “ravne” linije, što predstavlja linija prve narudžbe.
Mnogi su shvatili značenje novih pojmova, ali, ipak, da bismo 100% savladali gradivo, guramo prste u utičnicu. Da biste odredili redoslijed linija, potrebno je ponoviti svi uslovi njegove jednačine i pronađite za svaku od njih zbir stepeni dolazne varijable.
Na primjer:
izraz sadrži “x” na 1. stepen;
izraz sadrži “Y” na 1. stepen;
U pojmu nema varijabli, tako da je zbir njihovih moći nula.
Sada hajde da shvatimo zašto jednačina definiše liniju sekunda red:
izraz sadrži “x” na 2. stepen;
sabir ima zbir stepena varijabli: 1 + 1 = 2;
izraz sadrži “Y” na 2. stepen;
svi ostali uslovi - manje stepeni.
Maksimalna vrijednost: 2
Ako dodatno dodamo, recimo, našoj jednadžbi, onda će ona već odrediti linija trećeg reda. Očigledno je da opći oblik jednadžbe trećeg reda sadrži “pun skup” pojmova, zbir stepena varijabli u kojem je jednak tri:
, pri čemu koeficijenti nisu jednaki nuli u isto vrijeme.
U slučaju da dodate jedan ili više odgovarajućih pojmova koji sadrže 
, onda ćemo već pričati o tome Linije 4. reda, itd.
Morat ćemo više puta susresti algebarske linije 3., 4. i višeg reda, posebno prilikom upoznavanja polarni koordinatni sistem.
Međutim, vratimo se općoj jednadžbi i prisjetimo se njenih najjednostavnijih školskih varijacija. Kao primjer, javlja se parabola, čija se jednadžba može lako svesti na opći oblik, i hiperbola s ekvivalentnom jednadžbom. Međutim, nije sve tako glatko...
Značajan nedostatak opšta jednačina je da gotovo uvijek nije jasno koju liniju postavlja. Čak i u najjednostavnijem slučaju, nećete odmah shvatiti da je ovo hiperbola. Takvi rasporedi su dobri samo na maskenbalima, pa se tipičan problem razmatra u toku analitičke geometrije dovodeći jednadžbu 2. reda u kanonski oblik.
Koji je kanonski oblik jednačine?
Ovo je općeprihvaćeni standardni oblik jednadžbe, kada za nekoliko sekundi postane jasno koji geometrijski objekt definira. Osim toga, kanonski oblik je vrlo pogodan za rješavanje mnogih praktični zadaci. Tako, na primjer, prema kanonskoj jednadžbi "ravno" ravno, prvo, odmah je jasno da je ovo prava linija, a drugo, tačka koja joj pripada i vektor smjera su lako vidljivi.
Očigledno je da bilo koji Linija 1. reda je prava linija. Na drugom spratu nas više ne čeka stražar, već mnogo raznovrsnije društvo od devet kipova:
Klasifikacija linija drugog reda
Koristeći poseban skup akcija, svaka jednadžba linije drugog reda se svodi na jedan od sljedećih oblika:
(i pozitivni su realni brojevi)
1) 
– kanonska jednačina elipse;
2) – kanonska jednačina hiperbole;
3) 
– kanonska jednačina parabole;
4) – imaginarni elipsa;
5) – par linija koje se seku;
6) – par imaginarni linije koje se seku (sa jednom važećom tačkom preseka u početku);
7) – par paralelnih pravih;
8) – par imaginarni paralelne linije;
9) – par podudarnih linija.
Neki čitaoci mogu imati utisak da je lista nepotpuna. Na primjer, u tački br. 7, jednačina specificira par direktno, paralelno s osi, i postavlja se pitanje: gdje je jednadžba koja određuje prave paralelne s ordinatnom osom? Odgovor: to ne smatra se kanonskim. Prave linije predstavljaju isti standardni slučaj, rotiran za 90 stepeni, a dodatni unos u klasifikaciji je suvišan, jer ne donosi ništa suštinski novo.
Dakle, postoji devet i samo devet različitih tipova linija 2. reda, ali su u praksi najčešći elipsa, hiperbola i parabola.
Pogledajmo prvo elipsu. Kao i obično, fokusiram se na one tačke koje imaju veliki značaj za rješavanje problema, a ako vam je potrebno detaljno izvođenje formula, dokazi teorema, pogledajte, na primjer, udžbenik Bazylev/Atanasyan ili Aleksandrov.
Elipsa i njena kanonska jednadžba
Pravopis... nemojte ponavljati greške nekih korisnika Yandexa koje zanima "kako napraviti elipsu", "razliku između elipse i ovala" i "ekscentričnost elipse".
Kanonska jednadžba elipsa ima oblik , gdje su pozitivni realni brojevi, i . Kasnije ću formulirati samu definiciju elipse, ali za sada je vrijeme da se odmorimo od pričaonice i riješimo uobičajeni problem:
Kako napraviti elipsu?
Da, samo uzmi i nacrtaj. Zadatak se javlja često, a značajan dio učenika se ne snalazi pravilno sa crtežom:
Primjer 1
Konstruirajte elipsu zadanu jednadžbom
Rješenje: Prvo, dovedimo jednačinu u kanonski oblik: 
Zašto donijeti? Jedna od prednosti kanonske jednadžbe je ta što vam omogućava da odmah odredite vrhove elipse, koji se nalaze na tačkama. Lako je vidjeti da koordinate svake od ovih tačaka zadovoljavaju jednačinu.
U ovom slučaju : 
Segment linije pozvao glavna osovina elipsa;
linijski segment – sporedna os;
broj 
pozvao poluglavna osovina elipsa;
broj 
– sporedna os.
u našem primjeru: .
Da biste brzo zamislili kako određena elipsa izgleda, samo pogledajte vrijednosti "a" i "be" njene kanonske jednadžbe.
Sve je u redu, glatko i lijepo, ali postoji jedno upozorenje: crtež sam napravio pomoću programa. A crtež možete napraviti koristeći bilo koju aplikaciju. Međutim, u surovoj stvarnosti, na stolu je kockasti papir, a miševi plešu u krugovima na našim rukama. Ljudi sa umetničkim talentom, naravno, mogu da se svađaju, ali imate i miševe (iako manje). Nije uzalud čovječanstvo izmislilo ravnalo, šestar, kutomjer i druge jednostavne uređaje za crtanje.
Iz tog razloga, malo je vjerovatno da ćemo moći precizno nacrtati elipsu znajući samo vrhove. U redu je ako je elipsa mala, na primjer, s poluosama. Alternativno, možete smanjiti razmjer i, shodno tome, dimenzije crteža. Ali općenito, vrlo je poželjno pronaći dodatne bodove.
Postoje dva pristupa konstruisanju elipse - geometrijski i algebarski. Ne volim konstrukciju pomoću šestara i ravnala jer algoritam nije najkraći i crtež je znatno zatrpan. U hitnim slučajevima pogledajte udžbenik, ali u stvarnosti je mnogo racionalnije koristiti alate algebre. Iz jednačine elipse u nacrtu brzo izražavamo: 
Jednačina se tada rastavlja na dvije funkcije: 
– definira gornji luk elipse; 
– definira donji luk elipse.
Elipsa definisana kanonskom jednačinom je simetrična u odnosu na koordinatne ose, kao iu odnosu na ishodište. I ovo je sjajno - simetrija je gotovo uvijek preteča besplatnih. Očigledno, dovoljno je pozabaviti se 1. koordinatnom četvrtinom, pa nam je potrebna funkcija 
. Potrebno je pronaći dodatne tačke sa apscisama 
. Dodirnite tri SMS poruke na kalkulatoru: 
Naravno, također je lijepo da ako se napravi ozbiljna greška u proračunima, to će odmah postati jasno tokom izgradnje.
Označimo tačke na crtežu (crveno), simetrične tačke na preostalim lukovima (plavo) i pažljivo spojimo cijelo društvo linijom: 
Bolje je početnu skicu nacrtati vrlo tanko, a tek onda pritisnuti olovkom. Rezultat bi trebao biti sasvim pristojna elipsa. Usput, želite li znati koja je ova kriva?
Definicija elipse. Fokusi elipse i ekscentricitet elipse
Elipsa je poseban slučaj ovalni Riječ "oval" ne treba shvatiti u filistarskom smislu ("dijete je nacrtalo oval" itd.). Ovo je matematički termin koji ima detaljnu formulaciju. Svrha ove lekcije nije razmatranje teorije ovala i njihovih različitih tipova, kojima se praktički ne pridaje pažnja u standardnom kursu analitičke geometrije. I, u skladu sa aktuelnijim potrebama, odmah prelazimo na striktnu definiciju elipse:
Elipsa je skup svih tačaka ravni, zbir rastojanja do svake od dve date tačke, tzv. trikovi elipsa, je konstantna veličina, numerički jednaka dužini glavne ose ove elipse: .
U ovom slučaju, udaljenosti između fokusa su manje od ove vrijednosti: .
Sada će sve biti jasnije: 
Zamislite da plava tačka "putuje" duž elipse. Dakle, bez obzira koju tačku elipse uzmemo, zbir dužina segmenata će uvijek biti isti:
Uvjerimo se da je u našem primjeru vrijednost sume zaista jednaka osam. Mentalno postavite tačku “hm” na desni vrh elipse, a zatim: , što je trebalo provjeriti.
Druga metoda crtanja zasniva se na definiciji elipse. Viša matematika je ponekad uzrok napetosti i stresa, pa je vrijeme za još jednu sesiju rasterećenja. Uzmite whatman papir ili veliki list kartona i pričvrstite ga na stol sa dva eksera. To će biti trikovi. Zavežite zeleni konac na izbočene glave noktiju i povucite ga do kraja olovkom. Olovka će završiti u određenoj tački koja pripada elipsi. Sada počnite pomicati olovku po komadu papira, držeći zeleni konac zategnutim. Nastavite proces dok se ne vratite na početnu tačku... super... crtež može provjeriti doktor i učitelj =)
Kako pronaći fokuse elipse?
U gornjem primjeru prikazao sam "gotove" žarišne tačke, a sada ćemo naučiti kako ih izvući iz dubina geometrije.
Ako je elipsa data kanonskom jednadžbom, tada njena žarišta imaju koordinate 
, gdje je udaljenost od svakog fokusa do centra simetrije elipse.
Izračuni su jednostavniji od jednostavnih: 
! Specifične koordinate žarišta ne mogu se identificirati sa značenjem “tse”! Ponavljam da je to UDALJENOST od svakog fokusa do centra(koji u opštem slučaju ne mora da se nalazi tačno na početku).
I, stoga, rastojanje između žarišta takođe se ne može vezati za kanonski položaj elipse. Drugim riječima, elipsa se može pomjeriti na drugo mjesto i vrijednost će ostati nepromijenjena, dok će fokusi prirodno promijeniti svoje koordinate. Molimo razmotrite ovog trenutka tokom daljeg proučavanja teme.
Ekscentričnost elipse i njeno geometrijsko značenje
Ekscentricitet elipse je omjer koji može uzeti vrijednosti unutar raspona.
u našem slučaju:
Hajde da saznamo kako oblik elipse zavisi od njenog ekscentriciteta. Za ovo popraviti lijevi i desni vrh elipse koja se razmatra, odnosno, vrijednost glavne poluose će ostati konstantna. Tada će formula ekscentriciteta poprimiti oblik: .
Počnimo približavati vrijednost ekscentriciteta jedinici. Ovo je moguće samo ako . Šta to znači? ...zapamti trikove 
. To znači da će se žarišta elipse „razdvojiti“ duž ose apscise do bočnih vrhova. A budući da „zeleni segmenti nisu gumeni“, elipsa će se neminovno početi spljoštavati, pretvarajući se u sve tanju i tanju kobasicu nanizanu na os.
dakle, što je vrijednost ekscentriciteta elipse bliža jedinici, to je elipsa izduženija.
Sada modelirajmo suprotan proces: žarišta elipse 
hodali jedno prema drugom, približavajući se centru. To znači da vrijednost “ce” postaje sve manja i, shodno tome, ekscentricitet teži nuli: .
U ovom slučaju, „zeleni segmenti“ će, naprotiv, „postati gužve“ i počeće da „guraju“ liniju elipse gore-dole.
dakle, Što je vrijednost ekscentriciteta bliža nuli, to je elipsa sličnija... pogledajte granični slučaj kada se žarišta uspješno ponovo ujedine u izvorištu:
Krug je poseban slučaj elipse
Zaista, u slučaju jednakosti poluosi, kanonska jednadžba elipse poprima oblik , koji se refleksno transformira u jednadžbu kružnice sa centrom u početnom dijelu polumjera „a“, dobro poznatu iz škole.
U praksi se češće koristi notacija sa "govornim" slovom "er": . Radijus je dužina segmenta, pri čemu je svaka tačka kruga udaljena od centra za poluprečnik udaljenosti.
Imajte na umu da definicija elipse ostaje potpuno tačna: žarišta se poklapaju, a zbir dužina podudarnih segmenata za svaku tačku na kružnici je konstanta. Budući da je udaljenost između žarišta , Tada ekscentricitet bilo koje kružnice je nula.
Izgradnja kruga je jednostavna i brza, samo koristite kompas. Međutim, ponekad je potrebno saznati koordinate nekih njegovih tačaka, u ovom slučaju idemo poznatim putem - dovodimo jednadžbu do veselog Matanovog oblika:
– funkcija gornjeg polukruga;
– funkcija donjeg polukruga.
Nakon čega nalazimo tražene vrijednosti, razlikovati, integrisati i činite druge dobre stvari.
Članak je, naravno, samo za referencu, ali kako možete živjeti u svijetu bez ljubavi? Kreativni zadatak za nezavisna odluka
Primjer 2
Sastavite kanonsku jednačinu elipse ako je poznato jedno od njenih žarišta i male ose (centar je u ishodištu). Pronađite vrhove, dodatne tačke i nacrtajte liniju na crtežu. Izračunajte ekscentricitet.
Rješenje i crtež na kraju lekcije
Dodajmo akciju:
Rotirajte i paralelno prevedite elipsu
Vratimo se kanonskoj jednadžbi elipse, naime, stanju, čija misterija muči radoznale umove od prvog spominjanja ove krive. Pa smo pogledali elipsu 
, ali zar nije moguće u praksi ispuniti jednačinu 
? Ipak, i ovdje se čini da je elipsa!
Ova vrsta jednadžbe je rijetka, ali se sreće. I zapravo definira elipsu. Hajde da demistifikujemo: 
Kao rezultat konstrukcije, dobijena je naša izvorna elipsa, rotirana za 90 stepeni. To je, 
- Ovo nekanonski unos elipsa 
. Record!- jednačina 
ne definira nijednu drugu elipsu, jer na osi nema tačaka (fokusa) koje bi zadovoljile definiciju elipse.
Krive drugog reda na ravni su linije definisane jednadžbama u kojima je varijabla koordinata x I y sadržani su u drugom stepenu. To uključuje elipsu, hiperbolu i parabolu.
Opšti oblik jednadžbe krivulje drugog reda je sljedeći:
Gdje A, B, C, D, E, F- brojevi i najmanje jedan od koeficijenata A, B, C nije jednako nuli.
Prilikom rješavanja zadataka sa krivuljama drugog reda najčešće se uzimaju u obzir kanonske jednadžbe elipse, hiperbole i parabole. Lako je prijeći na njih iz općih jednačina; tome će biti posvećen primjer 1 zadataka s elipsama.
Elipsa data kanonskom jednadžbom
Definicija elipse. Elipsa je skup svih tačaka ravni za koje je zbir udaljenosti do tačaka koje se nazivaju žarišta konstantna vrijednost veća od udaljenosti između žarišta.
Fokusi su prikazani kao na slici ispod.
Kanonska jednadžba elipse ima oblik:
Gdje a I b (a > b) - dužine poluosi, odnosno polovina dužina segmenata odsječenih elipsom na koordinatnoj osi.
Prava linija koja prolazi kroz žarišta elipse je njena osa simetrije. Druga osa simetrije elipse je prava linija koja prolazi kroz sredinu segmenta okomita na ovaj segment. Dot O presek ovih linija služi kao centar simetrije elipse ili jednostavno centar elipse.
Os apscise elipse seče u tačkama ( a, O) I (- a, O), a osa ordinata je u tačkama ( b, O) I (- b, O). Ove četiri tačke se nazivaju vrhovi elipse. Segment između vrhova elipse na x-osi naziva se njena velika os, a na osi ordinata - njena mala os. Njihovi segmenti od vrha do centra elipse nazivaju se polu-ose.
Ako a = b, tada jednadžba elipse poprima oblik . Ovo je jednadžba kružnice s polumjerom a, a krug je poseban slučaj elipse. Elipsa se može dobiti iz kruga poluprečnika a, ako ga komprimirate u a/b puta duž ose Oy .
Primjer 1. Provjerite da li je prava data općom jednadžbom 
, elipsa.
Rješenje. Transformišemo opštu jednačinu. Koristimo prijenos slobodnog člana na desnu stranu, dijeljenje jednačine po član istim brojem i smanjenje razlomaka:
Odgovori. Jednačina dobijena kao rezultat transformacija je kanonska jednačina elipse. Dakle, ova linija je elipsa.
Primjer 2. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako su njene poluose 5, odnosno 4.
Rješenje. Gledamo formulu za kanonsku jednadžbu elipse i zamjene: velika poluos je a= 5, poluosa je b= 4 . Dobijamo kanonsku jednačinu elipse:
Tačke i , označene zelenom bojom na glavnoj osi, gdje
su pozvani trikovi.
pozvao ekscentričnost elipsa.
Stav b/a karakteriše "spljoštenost" elipse. Što je ovaj odnos manji, to je elipsa više izdužena duž glavne ose. Međutim, stupanj izduženja elipse češće se izražava kroz ekscentricitet, formula za koju je gore navedena. Za različite elipse, ekscentricitet varira od 0 do 1, uvijek ostaje manji od jedinice.
Primjer 3. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako je udaljenost između žarišta 8 i glavne ose 10.
Rješenje. Hajde da napravimo nekoliko jednostavnih zaključaka:
Ako je glavna os jednaka 10, tada je njena polovina, tj. a = 5 ,
Ako je udaljenost između žarišta 8, onda je broj cžarišnih koordinata jednaka je 4.
Zamjenjujemo i izračunavamo:
Rezultat je kanonska jednadžba elipse:
Primjer 4. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako je njena glavna os 26, a ekscentricitet .
Rješenje. Kao što slijedi i iz veličine glavne ose i iz jednadžbe ekscentriciteta, velika poluos elipse a= 13. Iz jednačine ekscentriciteta izražavamo broj c, potrebno za izračunavanje dužine male poluose:
.
Izračunavamo kvadrat dužine male poluose:
Sastavljamo kanonsku jednačinu elipse:
Primjer 5. Odrediti žarište elipse dato kanonskom jednačinom.
Rješenje. Nađi broj c, koji određuje prve koordinate žarišta elipse:
.
Dobijamo fokuse elipse:
Primjer 6. Fokusi elipse nalaze se na osi Ox simetrično oko porekla. Sastavite kanonsku jednačinu elipse ako:
1) udaljenost između fokusa je 30, a glavna os je 34
2) mala osa 24, a jedan od fokusa je u tački (-5; 0)
3) ekscentricitet, a jedno od žarišta je u tački (6; 0)
Nastavimo zajedno rješavati probleme elipse
Ako je proizvoljna tačka elipse (označena zelenom bojom u gornjem desnom dijelu elipse na crtežu) i udaljenost do te točke od žarišta, tada su formule za udaljenosti sljedeće:
Za svaku tačku koja pripada elipsi, zbir udaljenosti od žarišta je konstantna vrijednost jednaka 2 a.
Prave definirane jednadžbama
su pozvani ravnateljice elipsa (na crtežu su crvene linije duž ivica).
Iz gornje dvije jednačine slijedi da za bilo koju tačku elipse
,
gdje i su udaljenosti ove točke do direktrisa i .
Primjer 7. Zadana elipsa. Napišite jednačinu za njegove direktrise.
Rješenje. Gledamo jednadžbu direktrise i nalazimo da trebamo pronaći ekscentricitet elipse, tj. Za to imamo sve podatke. Računamo:
.
Dobijamo jednačinu direktrisa elipse:
Primjer 8. Sastavite kanonsku jednadžbu elipse ako su njena žarišta tačke, a direktrise prave.
Kanonska jednadžba elipse ima oblik
gdje je a velika poluosa; b – mala poluosa. Tačke F1(c,0) i F2(-c,0) − c se nazivaju
a, b - poluose elipse.
Pronalaženje fokusa, ekscentriciteta, direktrisa elipse, ako je poznata njena kanonska jednadžba.
Definicija hiperbole. Hiperbolni trikovi.
Definicija. Hiperbola je skup tačaka na ravni za koji je modul razlike udaljenosti od dvije date tačke, koje se nazivaju fokusi, konstantna vrijednost manja od udaljenosti između žarišta.
Po definiciji |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – fokusi hiperbole. F1F2 = 2c.
Kanonska jednadžba hiperbole. Polu-ose hiperbole. Konstruisanje hiperbole ako je poznata njena kanonska jednadžba.
Kanonska jednadžba:
Velika poluos hiperbole je polovina minimalne udaljenosti između dvije grane hiperbole, na pozitivnoj i negativnoj strani ose (lijevo i desno u odnosu na ishodište). Za podružnicu koja se nalazi na sa pozitivne strane, poluosa će biti jednaka:
Ako to izrazimo kroz konusni presek i ekscentričnost, tada će izraz dobiti oblik:
Pronalaženje fokusa, ekscentriciteta, direktrisa hiperbole, ako je poznata njena kanonska jednadžba.
Ekscentričnost hiperbole
Definicija. Omjer se naziva ekscentricitet hiperbole, gdje je c –
polovina udaljenosti između žarišta, i prava je polu-osa.
Uzimajući u obzir činjenicu da je c2 – a2 = b2:
Ako je a = b, e = , tada se hiperbola naziva jednakostranična (jednakostranična).
Directrixe hiperbole
Definicija. Dvije prave okomite na realnu osu hiperbole i smještene simetrično u odnosu na centar na udaljenosti a/e od njega nazivaju se direktrise hiperbole. Njihove jednačine su: .
Teorema. Ako je r udaljenost od proizvoljne tačke M hiperbole do bilo kojeg fokusa, d je udaljenost od iste tačke do direktrise koja odgovara ovom fokusu, tada je omjer r/d konstantna vrijednost jednaka ekscentricitetu.
Definicija parabole. Fokus i direktrisa parabole.
Parabola. Parabola je lokus tačaka od kojih je svaka jednako udaljena od date fiksne tačke i od date fiksne prave. Tačka na koju se pominje definicija naziva se fokus parabole, a prava je njena direktrisa.
Kanonska jednadžba parabole. Parabola parametar. Konstrukcija parabole.
Kanonska jednadžba parabole u pravokutnom koordinatnom sistemu: (ili, ako su osi zamijenjene).
Konstrukcija parabole za datu vrijednost parametra p izvodi se sljedećim redoslijedom:
Nacrtajte os simetrije parabole i na nju iscrtajte segment KF=p;
Direktrisa DD1 povučena je kroz tačku K okomito na osu simetrije;
Segment KF je podijeljen na pola kako bi se dobio vrh 0 parabole;
Niz proizvoljnih tačaka 1, 2, 3, 5, 6 se mjeri od vrha sa postupnim rastojanjem između njih;
Kroz ove tačke povucite pomoćne prave linije okomite na osu parabole;
Na pomoćnim pravim linijama napravite serife sa radijusom jednaka udaljenosti od direktnog do direktora;
Rezultirajuće tačke su povezane glatkom krivom.
Teorema. U kanonskom koordinatnom sistemu za elipsu, jednadžba elipse ima oblik:
Dokaz. Dokaz izvodimo u dvije faze. U prvoj fazi ćemo dokazati da koordinate bilo koje tačke koja leži na elipsi zadovoljavaju jednačinu (4). U drugoj fazi ćemo dokazati da svako rješenje jednačine (4) daje koordinate tačke koja leži na elipsi. Iz ovoga slijedi da jednačina (4) zadovoljavaju te i samo te tačke koordinatna ravan, koji leže na elipsi. Iz ovoga i definicije jednačine krive slijedi da je jednačina (4) jednačina elipse.
1) Neka je tačka M(x, y) tačka elipse, tj. zbir njegovih žarišnih radijusa je 2a:
Upotrijebimo formulu za udaljenost između dvije tačke na koordinatnoj ravni i koristimo ovu formulu da pronađemo žarišne polumjere date tačke M:
Odakle nam to:
Pomaknimo jedan korijen na desnu stranu jednakosti i kvadriramo ga:
Smanjenjem dobijamo:
Predstavljamo slične, smanjite za 4 i uklonite radikal:
.
Kvadratura
Otvorite zagrade i skratite za:
gdje dobijamo:
Koristeći jednakost (2) dobijamo:
.
Dijelimo posljednju jednakost sa , dobivamo jednakost (4) itd.
2) Neka sada par brojeva (x, y) zadovoljava jednačinu (4) i neka je M(x, y) odgovarajuća tačka na koordinatnoj ravni Oxy.
Tada iz (4) slijedi:
Ovu jednakost zamjenjujemo u izraz za žarišne polumjere tačke M:
.
Ovdje smo koristili jednakost (2) i (3).
Dakle, . Isto tako, .
Zapazite sada da iz jednakosti (4) slijedi da
Ili itd. , tada slijedi nejednakost:
Odavde slijedi, pak, da
Iz jednakosti (5) slijedi da, tj. tačka M(x, y) je tačka elipse, itd.
Teorema je dokazana.
Definicija. Jednačina (4) se zove kanonska jednačina elipse.
Definicija. Kanonske koordinatne ose za elipsu nazivaju se glavne ose elipse.
Definicija. Porijeklo kanonskog koordinatnog sistema za elipsu se naziva središte elipse.
Elipsa naziva se geometrijski lokus tačaka u ravni, za svaku od kojih je zbir udaljenosti do dvije date tačke iste ravni, koje se nazivaju fokusi elipse, konstantna vrijednost. Za elipsu se može dati još nekoliko ekvivalentnih definicija. Zainteresovani se sa njima mogu upoznati u ozbiljnijim udžbenicima iz analitičke geometrije. Ovdje samo napominjemo da je elipsa kriva dobijena kao projekcija na ravan kružnice koja leži u ravni koja formira oštri ugao sa avionom. Za razliku od kruga, nije moguće zapisati jednačinu elipse u proizvoljnom koordinatnom sistemu u „zgodnom“ obliku. Stoga je za fiksnu elipsu potrebno odabrati koordinatni sistem tako da njegova jednadžba bude prilično jednostavna. Neka i budu fokusi elipse. Postavimo početak koordinatnog sistema na sredinu segmenta. Osa je usmjerena duž ovog segmenta, a os je usmjerena okomito na ovaj segment
24)Hiperbola
Iz školskog predmeta matematike znamo da se kriva definirana jednadžbom, gdje je broj, naziva hiperbola. Međutim, ovo je poseban slučaj hiperbole (jednakostranična hiperbola). Definicija 12. 5 Hiperbola je mjesto tačaka na ravni, za svaku od njih apsolutna vrijednost razlika u udaljenostima do dvije fiksne tačke iste ravni, koje se nazivaju fokusi hiperbole, je konstantna vrijednost. Kao iu slučaju elipse, da bismo dobili jednačinu hiperbole, biramo odgovarajući koordinatni sistem. Postavimo ishodište koordinata u sredinu segmenta između fokusa, usmjerimo os duž ovog segmenta i usmjerimo os ordinate okomito na nju. Teorema 12. 3 Neka je udaljenost između žarišta i hiperbole jednaka, a apsolutna vrijednost razlike u udaljenostima od tačke hiperbole do žarišta jednaka. Tada hiperbola u gore odabranom koordinatnom sistemu ima jednačinu (12.8) gdje 
(12.9) Dokaz. Neka je trenutna tačka hiperbole (slika 12.9). 
Rice. 12 . 9 . Pošto je razlika između dvije strane trougla manja od treće strane, onda 
, to je , . Na osnovu posljednje nejednakosti postoji realan broj definiran formulom (12.9). Po konvenciji, fokusi su , . Koristeći formulu (10.4) za slučaj ravni, dobijamo Po definiciji hiperbole Ovu jednačinu pišemo u obliku Kvadriramo obje strane: Nakon što dovedemo slične članove i podijelimo sa 4, dolazimo do jednakosti 
Opet kvadriramo obje strane: Otvarajući zagradu i dovodeći slične članove, dobijamo Uzimajući u obzir formulu (12.9), jednačina poprima oblik 
Podijelimo obje strane jednačine sa i dobijemo jednačinu (12.8) Jednačina (12.8) se zove kanonska jednačina hiperbole. Prijedlog 12. 3 Hiperbola ima dvije međusobno okomite ose simetrije, od kojih jedna sadrži žarišta hiperbole, a centar simetrije. Ako je hiperbola data kanonskom jednadžbom, tada su njene ose simetrije
koordinatne ose i , a ishodište je centar simetrije hiperbole. Dokaz. Dokaz je sličan prijedlogu 12.1. Konstruirajmo hiperbolu datu jednačinom (12.8). Imajte na umu da je zbog simetrije dovoljno konstruirati krivu samo pod prvim koordinatnim kutom. Izrazimo iz kanonske jednadžbe kao funkciju, pod uvjetom da,
i izgradi graf ove funkcije. Područje definicije je interval , , funkcija raste monotono. Derivat 
postoji u cijelom domenu definicije, osim tačke. Dakle, graf je glatka kriva (bez uglova). Drugi derivat 
je negativan u svim tačkama intervala, stoga je graf konveksan prema gore. Provjerimo graf za prisustvo asimptote na . Neka asimptota ima jednadžbu . Zatim, prema pravilima matematičke analize 
Pomnožimo izraz pod znakom granice i podijelimo sa . Dobijamo: Dakle, graf funkcije ima asimptotu. Iz simetrije hiperbole slijedi da je i ona asimptota. Priroda krivulje u blizini tačke ostaje nejasna, odnosno da li se graf formira 
a dio hiperbole koji joj je simetričan u odnosu na osu u ovoj tački je ugao ili hiperbola u ovoj tački - glatka kriva (postoji tangenta). Da bismo riješili ovaj problem, izražavamo iz jednačine (12.8) kroz: 
Očigledno je da ova funkcija ima derivaciju u tački , , a u tački hiperbola ima vertikalnu tangentu. Koristeći dobijene podatke, crtamo graf funkcije (Sl. 12.10). 
Rice. 12 . 10. Grafikon funkcije Konačno, koristeći simetriju hiperbole, dobijamo krivulju sa slike 12.11. 
Rice. 12 . 11. Definicija hiperbole 12. 6 Točke presjeka hiperbole definirane kanonskom jednačinom (12.8) sa osom nazivaju se vrhovi hiperbole, a segment između njih naziva se realna os hiperbole. Segment ordinatne ose između tačaka naziva se imaginarna osa. Brojevi i nazivaju se realnom i imaginarnom poluosom hiperbole, respektivno. Porijeklo koordinata naziva se njegovo središte. Količina se naziva ekscentricitet hiperbole. Napomena 12. 3 Iz jednakosti (12.9) slijedi da je , To jest, za hiperbolu . Ekscentricitet karakteriše ugao između asimptota; što je bliži 1, to je ovaj ugao manji. Napomena 12. 4 Za razliku od elipse, u kanonskoj jednadžbi hiperbole, odnos između veličina i može biti proizvoljan. Konkretno, kada dobijemo jednakostranu hiperbolu, poznatu iz školskog kursa matematike. Njegova jednadžba ima poznati oblik ako uzmemo , i ose i usmjerimo ih duž simetrala četvrtog i prvog koordinatnog ugla (slika 12.12). 
Rice. 12 . 12. Jednakostranična hiperbola Da bi se odrazile kvalitativne karakteristike hiperbole na slici, dovoljno je odrediti njene vrhove, nacrtati asimptote i nacrtati glatku krivu koja prolazi kroz vrhove, približava se asimptoti i slično krivulji na slici 12.10. Primjer 12. 4 Konstruirajte hiperbolu, pronađite njena žarišta i ekscentricitet. Rješenje. Podijelimo obje strane jednačine sa 4. Dobijamo kanonsku jednačinu , . Crtamo asimptote i konstruišemo hiperbolu (slika 12.13). 
Rice. 12 . 13.Hiperbola Iz formule (12.9) dobijamo. Tada su trikovi , , . Primjer 12. 5 Konstruirajte hiperbolu. Pronađite njegove žarište i ekscentričnost. Rješenje. Pretvorimo jednačinu u oblik Ova jednačina nije kanonska jednačina hiperbole, budući da su predznaci ispred i nasuprot predznaka u kanonskoj jednadžbi. Međutim, ako preoznačimo varijable , , tada u novim varijablama dobijamo kanonsku jednadžbu. Realna os ove hiperbole leži na osi, odnosno na osi originalnog koordinatnog sistema, asimptote imaju jednačinu, tj. , jednadžba u originalnim koordinatama. Realna poluosa je jednaka 5, a imaginarna 2. U skladu sa ovim podacima izvodimo konstrukciju (slika 12.14). Rice. 12 . 14.Hiperbola sa jednačinom Iz formule (12.9) dobijamo, , žarišta leže na realnoj osi - , , gde su koordinate naznačene u originalnom koordinatnom sistemu.
Parabola
IN školski kurs matematika je dovoljno detaljno proučavala parabolu, koja je, po definiciji, bila graf kvadratni trinom. Ovdje ćemo dati još jednu (geometrijsku) definiciju parabole. Definicija 12. 7 Parabola je geometrijsko mjesto tačaka na ravni, za svaku od kojih je udaljenost do fiksne točke ove ravni, koja se zove fokus, jednaka udaljenosti do fiksne prave linije koja leži u istoj ravni i naziva se direktrisa parabole. Da bismo dobili jednačinu krive koja odgovara ovoj definiciji, uvodimo odgovarajući koordinatni sistem. Da biste to učinili, spustite okomicu od fokusa do direktrise. Postavimo početak koordinata u sredinu segmenta, a osu usmjerimo duž segmenta tako da se njegov smjer poklapa sa smjerom vektora. Nacrtajmo osu okomitu na osu (slika 12.15). 
Rice. 12 . 15 . Teorema 12. 4 Neka udaljenost između fokusa i direktrisa parabole biti jednaka . Tada u odabranom koordinatnom sistemu parabola ima jednačinu (12.10) Dokaz. U odabranom koordinatnom sistemu fokus parabole je tačka, a direktrisa ima jednačinu (slika 12.15). Neka je trenutna tačka parabole. Tada prema formuli (10.4) za ravno kućište mi nalazimo 
Udaljenost od tačke do direktrise je dužina okomice spuštene na direktrisu iz tačke. Sa slike 12.15 je očigledno da . Tada po definiciji parabole, tj 
Kvadirajmo obje strane posljednje jednadžbe: 
gdje 
Nakon donošenja sličnih članova, dobijamo jednačinu (12.10). Jednačina (12.10) se zove kanonska jednačina parabole. Prijedlog 12. 4 Parabola ima os simetrije. Ako je parabola data kanonskom jednadžbom, tada se os simetrije poklapa sa osom. Dokaz. Postupite na isti način kao i dokaz (Propozicije 12.1). Tačka presjeka ose simetrije sa parabolom naziva se vrh parabole. Ako preoznačimo varijable , tada se jednačina (12.10) može napisati u obliku koji se poklapa sa uobičajenom jednačinom parabole u školskom kursu matematike. Stoga ćemo nacrtati parabolu bez dodatnog istraživanja (slika 12.16). 
Rice. 12 . 16. Primjer parabole 12. 6 Konstruirajte parabolu. Pronađite njen fokus i direktora. Rješenje. Jednačina je kanonska jednadžba parabole, , . Osa parabole je osa, vrh je u početku, grane parabole su usmjerene duž ose. Za konstruiranje ćemo pronaći nekoliko tačaka parabole. Da bismo to učinili, dodijelimo vrijednosti varijabli i pronađemo vrijednosti. Uzmimo bodove , , . Uzimajući u obzir simetriju oko ose, crtamo krivu (slika 12.17) 
Rice. 12 . 17. Parabola data jednačinom Fokus leži na osi na udaljenosti od vrha, odnosno ima koordinate . Direktrisa ima jednadžbu, to jest, . Parabola, poput elipse, ima svojstvo povezano sa refleksijom svjetlosti (slika 12.18). Hajde da ponovo formulišemo svojstvo bez dokaza. Prijedlog 12. 5 Neka biti fokus parabole, proizvoljna tačka parabole, i zraka sa svojim ishodištem u tački paralelnoj sa osom parabole. Tada normala na parabolu u tački dijeli ugao koji formiraju segment i zraka na pola. 
Rice. 12 . 18. Refleksija svjetlosnog zraka od parabole Ovo svojstvo znači da će zraka svjetlosti koja napušta fokus, reflektirana od parabole, tada ići paralelno s osom ove parabole. I obrnuto, sve zrake koje dolaze iz beskonačnosti i paralelne sa osom parabole će konvergirati u njenom fokusu. Ovo svojstvo se široko koristi u tehnologiji. Reflektori obično imaju ogledalo čija se površina dobija rotacijom parabole oko svoje ose simetrije (parabolično ogledalo). Izvor svjetlosti u reflektorima je postavljen u fokus parabole. Kao rezultat, reflektor proizvodi snop gotovo paralelnih zraka svjetlosti. Isto svojstvo se koristi u prijemnim antenama za svemirske komunikacije i u ogledalima teleskopa, koja prikupljaju tok paralelnih zraka radio talasa ili tok paralelnih zraka svjetlosti i koncentrišu ga u fokusu ogledala.
26) Definicija matrice. Matrica je pravokutna tablica brojeva koja sadrži određeni broj m redaka i određeni broj n stupaca.
Osnovni koncepti matrice: Brojevi m i n nazivaju se redovima matrice. Ako je m=n, matrica se poziva kvadrat, a broj m=n je njegov red.
U nastavku će se koristiti sljedeća notacija za pisanje matrice:
Iako se ponekad u literaturi oznaka pojavljuje:
Međutim, da bi se ukratko označila matrica, često se koristi jedno veliko slovo latinice (na primjer, A), ili simbol ||a ij ||, a ponekad i s objašnjenjem: A=||a ij ||= (a ij) (i =1,2,...,m; j=1,2,...n)
Brojevi a ij uključeni u ovu matricu nazivaju se njenim elementima. U unosu a ij, prvi indeks i označava broj reda, a drugi indeks j označava broj kolone.
Na primjer, matrica
ovo je matrica reda 2×3, njeni elementi su a 11 =1, a 12 =x, a 13 =3, a 21 =-2y, ...
Dakle, uveli smo definiciju matrice. Razmotrimo vrste matrica i damo odgovarajuće definicije.
Vrste matrica
Hajde da uvedemo koncept matrice: kvadrat, dijagonala, jedinica i nula.
Definicija kvadratne matrice: Kvadratna matrica Matrica n-tog reda naziva se matrica n×n.
U slučaju kvadratne matrice
Uvodi se koncept glavne i sekundarne dijagonale. Glavna dijagonala matrice je dijagonala koja ide od gornjeg lijevog ugla matrice do njenog donjeg desnog ugla.
Bočna dijagonala iste matrice naziva se dijagonala koja ide od donjeg lijevog ugla do gornjeg desnog ugla.
Koncept dijagonalne matrice: Dijagonala je kvadratna matrica u kojoj su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli.
Koncept matrice identiteta: Single(označeno E ponekad I) naziva se dijagonalna matrica sa jedinicama na glavnoj dijagonali.
Koncept nulte matrice: Null je matrica čiji su svi elementi nula.
Za dvije matrice A i B se kaže da su jednake (A=B) ako su iste veličine (to jest, imaju isti broj redova i isti broj stupaca i njihovi odgovarajući elementi su jednaki). Sta ako 
onda A=B, ako je a 11 =b 11, a 12 =b 12, a 21 =b 21, a 22 =b 22
Matrice posebnog tipa
Kvadratna matrica 
pozvao gornji trouglasti, ako na i>j, And donji trokutasti, ako na i
Opšti pogled na trouglaste matrice:
Imajte na umu da među dijagonalnim elementima 
mogu postojati elementi jednaki nuli. Matrix 
naziva se gornji trapez ako su ispunjena sljedeća tri uslova:
1. za i>j;
2. Postoji takva stvar prirodni broj r zadovoljavanje nejednakosti 
, Šta 
.
3. Ako je bilo koji dijagonalni element , tada svi elementi i-ti red a svi naredni redovi su jednaki nuli.
Opšti pogled na gornje trapezoidne matrice:
at 
.
u .
na r=n
na r=m=n.
Imajte na umu da kada je r=m=n, gornja trapezoidna matrica je trokutna matrica sa dijagonalnim elementima koji nisu nula.
27) Akcije sa matricama
Sabiranje matrice
Matrice iste veličine mogu se slagati.
Zbir dvije takve matrice A i B naziva se matrica C, čiji su elementi jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrica A i B. Simbolično ćemo to napisati ovako: A+B=C.
Lako je vidjeti da se zbrajanje matrica pokorava komutativnim i kombinacijskim zakonima:
(A+B)+C=A+(B+C).
Prilikom sabiranja matrica, nulta matrica igra ulogu obične nule pri sabiranju brojeva: A+0=A.
Oduzimanje matrica.
Razlika između dvije matrice A i B iste veličine je matrica C takva da
Iz ove definicije proizilazi da su elementi matrice C jednaki razlici odgovarajućih elemenata matrice A i B.
Razlika između matrica A i B označava se na sljedeći način: C=A – B.
3. Množenje matrice
Razmotrimo pravilo za množenje dvije kvadratne matrice drugog reda.
Proizvod matrice A i matrice B naziva se matrica C=AB.
Pravila za množenje pravokutnih matrica:
Množenje matrice A sa matricom B ima smisla u slučaju kada se broj stupaca matrice A poklapa sa brojem redova u matrici B.
Kao rezultat množenja dvije pravokutne matrice, dobiva se matrica koja sadrži onoliko redova koliko je bilo redova u prvoj matrici i onoliko stupaca koliko je bilo stupaca u drugoj matrici.
4. Množenje matrice brojem
Kada se matrica A pomnoži brojem , svi brojevi koji čine matricu A pomnože se brojem . Na primjer, pomnožimo matricu brojem 2. Dobijamo, tj. Prilikom množenja matrice brojem, faktor se „uvodi“ pod predznak matrice.
Matrix Transpose
Transponovana matrica je matrica AT dobijena iz originalne matrice A zamjenom redaka stupcima.
Formalno, transponovana matrica za matricu A dimenzija m*n je matrica AT dimenzija n*m, definisana kao AT = A.
Na primjer,
Svojstva transponovanih matrica
2. (A + B)T = AT + BT
28) Koncept determinante n-tog reda
Neka nam je data kvadratna tabela koja se sastoji od brojeva raspoređenih u n horizontalnih i n vertikalnih redova. Koristeći ove brojeve, prema određenim pravilima, izračunava se određeni broj koji se naziva determinanta n-tog reda i označava se na sljedeći način:
(1)
Horizontalni redovi u determinanti (1) nazivaju se redovi, okomiti redovi se nazivaju kolone, brojevi su elementi determinante (prvi indeks označava broj reda, drugi – broj kolone na čijem preseku se element nalazi i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n). Redoslijed determinante je broj njenih redova i stupaca.
Zamišljena prava linija koja povezuje elemente determinante za koje su oba indeksa ista, tj. elementi
naziva se glavna dijagonala, druga dijagonala se naziva sekundarna dijagonala.
Determinanta n-tog reda je broj koji je algebarski zbir od n! pojmove, od kojih je svaki proizvod n njegovih elemenata, uzetih samo po jedan iz svakih n redova i iz svakih n stupaca kvadratne tablice brojeva, pri čemu je polovina (određenih) članova uzeti s njihovim predznacima, a ostatak sa suprotnih znakova.
Pokažimo kako se izračunavaju determinante prva tri reda.
Odrednica prvog reda je sam element, tj.
Determinanta drugog reda je broj koji se dobije na sljedeći način:
(2)
Formula (3) pokazuje da su članovi uzeti sa svojim predznacima proizvod elemenata glavne dijagonale, kao i elemenata koji se nalaze u vrhovima dva trougla čije su osnove paralelne s njom; sa suprotnim - pojmovima koji su produkti elemenata bočne dijagonale, kao i elemenata koji se nalaze na vrhovima dvaju trokuta koji su s njom paralelni.
Primjer 2. Izračunajte determinantu trećeg reda:
Rješenje. Koristeći pravilo trougla, dobijamo
Izračunavanje determinanti četvrtog i narednih redova može se svesti na izračunavanje determinanti drugog i trećeg reda. To se može učiniti korištenjem svojstava determinanti. Sada prelazimo na njihovo razmatranje.
Svojstva determinante n-tog reda
Svojstvo 1. Prilikom zamjene redova kolonama (transpozicija) vrijednost determinante se neće mijenjati, tj.
Svojstvo 2. Ako se barem jedan red (red ili kolona) sastoji od nula, onda je determinanta jednaka nuli. Dokaz je očigledan.
U stvari, tada će u svakom članu determinante jedan od faktora biti nula.
Svojstvo 3. Ako se dva susedna paralelna reda (redovi ili kolone) zamene u determinanti, tada će determinanta promeniti predznak u suprotan, tj.
Svojstvo 4. Ako determinanta sadrži dva identična paralelna niza, tada je determinanta jednaka nuli:
Svojstvo 5. Ako su dva paralelna niza u determinanti proporcionalna, tada je determinanta jednaka nuli:
Svojstvo 6. Ako se svi elementi determinante koji se nalaze u istom redu pomnože sa istim brojem, tada će se vrijednost determinante promijeniti za ovaj broj puta:
Posljedica. Zajednički faktor sadržan u svim elementima jednog reda može se izvaditi iz predznaka determinante, na primjer:
Svojstvo 7. Ako su u determinanti svi elementi jednog niza predstavljeni kao zbir dva člana, onda je ona jednaka zbiru dvije determinante:
Svojstvo 8. Ako se elementima bilo kojeg niza doda proizvod odgovarajućih elemenata paralelnog niza konstantnim faktorom, tada se vrijednost determinante neće promijeniti:
Svojstvo 9. Ako se elementima i-te serije doda linearna kombinacija odgovarajućih elemenata nekoliko paralelnih nizova, tada se vrijednost determinante neće promijeniti:
mogu se konstruisati različiti minori prvog, drugog i trećeg reda.
