Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

  • Kada podnesete zahtjev na stranici, možemo prikupiti različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

  • Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
  • S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
  • Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
  • Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

  • Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
  • U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Neka
(1)
je diferencijabilna funkcija varijable x. Prvo ćemo ga pogledati za skup vrijednosti x za koji y uzima pozitivne vrijednosti: . U nastavku ćemo pokazati da su svi dobijeni rezultati primjenjivi i za negativne vrijednosti .

U nekim slučajevima, da bi se pronašao izvod funkcije (1), zgodno je prethodno ga logaritamirati
,
a zatim izračunati izvod. Zatim, prema pravilu diferencijacije kompleksne funkcije,
.
Odavde
(2) .

Izvod logaritma funkcije naziva se logaritamski izvod:
.

Logaritamski izvod funkcije y = f(x) je derivat prirodni logaritam ova funkcija: (ln f(x))′.

Slučaj negativnih y vrijednosti

Sada razmotrite slučaj kada varijabla može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. U ovom slučaju, uzmite logaritam modula i pronađite njegovu derivaciju:
.
Odavde
(3) .
To jest, u opštem slučaju, morate pronaći derivaciju logaritma modula funkcije.

Upoređujući (2) i (3) imamo:
.
To jest, formalni rezultat izračunavanja logaritamskog izvoda ne zavisi od toga da li smo uzeli modul ili ne. Stoga, kada izračunavamo logaritamski izvod, ne moramo da brinemo o tome koji predznak ima funkcija.

Ova situacija se može razjasniti pomoću kompleksnih brojeva. Neka je za neke vrijednosti x negativna: . Ako samo uzmemo u obzir realni brojevi, tada funkcija nije definirana. Međutim, ako uvedemo u razmatranje kompleksni brojevi, tada dobijamo sljedeće:
.
To jest, funkcije i razlikuju se po kompleksnoj konstanti:
.
Pošto je derivacija konstante nula, onda
.

Svojstvo logaritamskog izvoda

Iz takvog razmatranja proizilazi da logaritamski izvod se neće promijeniti ako pomnožite funkciju sa proizvoljnom konstantom :
.
Zaista, koristeći svojstva logaritma, formule derivat suma I derivat konstante, imamo:

.

Primjena logaritamskog izvoda

Pogodno je koristiti logaritamski izvod u slučajevima kada se originalna funkcija sastoji od umnožaka stepena ili eksponencijalne funkcije. U ovom slučaju, logaritamska operacija pretvara proizvod funkcija u njihov zbir. Ovo pojednostavljuje izračunavanje derivacije.

Primjer 1

Pronađite derivaciju funkcije:
.

Rješenje

Logaritamo originalnu funkciju:
.

Hajde da napravimo razliku s obzirom na varijablu x.
U tabeli derivata nalazimo:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija.
;
;
;
;
(A1.1) .
pomnoži sa:

.

Dakle, pronašli smo logaritamski izvod:
.
Odavde nalazimo derivaciju originalne funkcije:
.

Bilješka

Ako želimo koristiti samo realne brojeve, onda bismo trebali uzeti logaritam modula originalne funkcije:
.
Onda
;
.
I dobili smo formulu (A1.1). Stoga se rezultat nije promijenio.

Odgovori

Primjer 2

Koristeći logaritamski izvod, pronađite izvod funkcije
.

Rješenje

Uzmimo logaritme:
(A2.1) .
Diferencirati s obzirom na varijablu x:
;
;

;
;
;
.

pomnoži sa:
.
Odavde dobijamo logaritamski izvod:
.

Derivat originalne funkcije:
.

Bilješka

Ovdje je originalna funkcija nenegativna: . Definiran je na . Ako ne pretpostavimo da se logaritam može definirati za negativne vrijednosti argumenta, tada formulu (A2.1) treba napisati na sljedeći način:
.
Zbog

I
,
ovo neće uticati na konačni rezultat.

Odgovori

Primjer 3

Pronađite izvod
.

Rješenje

Diferencijaciju vršimo pomoću logaritamskog izvoda. Uzmimo logaritam, uzimajući u obzir da:
(A3.1) .

Diferenciranjem dobijamo logaritamski izvod.
;
;
;
(A3.2) .

Od tada

.

Bilješka

Izvršimo proračune bez pretpostavke da se logaritam može definirati za negativne vrijednosti argumenta. Da biste to učinili, uzmite logaritam modula originalne funkcije:
.
Tada umjesto (A3.1) imamo:
;

.
Upoređujući sa (A3.2) vidimo da se rezultat nije promijenio.


Prilikom razlikovanja, to je indikativno funkcija snage ili glomaznih frakcijskih izraza, zgodno je koristiti logaritamski izvod. U ovom članku ćemo pogledati primjere njegove primjene s detaljnim rješenjima.

Dalje izlaganje pretpostavlja sposobnost korištenja tablice izvoda, pravila diferencijacije i poznavanje formule za izvod kompleksne funkcije.


Derivacija formule za logaritamski izvod.

Prvo, uzimamo logaritme na bazu e, pojednostavljujemo oblik funkcije koristeći svojstva logaritma, a zatim pronalazimo izvod implicitno specificirane funkcije:

Na primjer, pronađimo izvod eksponencijalne funkcije stepena x na stepen x.

Uzimanje logaritma daje . Prema svojstvima logaritma. Razlikovanje obe strane jednakosti dovodi do rezultata:

odgovor: .

Isti primjer se može riješiti bez korištenja logaritamskog izvoda. Možete izvršiti neke transformacije i prijeći od diferenciranja eksponencijalne funkcije snage na pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Primjer.

Pronađite izvod funkcije .

Rješenje.

U ovom primjeru funkcija je razlomak i njegov izvod se može naći korištenjem pravila diferencijacije. Ali zbog glomaznosti izraza, ovo će zahtijevati mnoge transformacije. U takvim slučajevima razumnije je koristiti formulu logaritamskog izvoda . Zašto? Sada ćeš razumjeti.

Hajde da ga prvo pronađemo. U transformacijama ćemo koristiti svojstva logaritma (logaritam razlomka jednak je razlici logaritama, a logaritam proizvoda jednak je zbroju logaritama, a stepen izraza pod znakom logaritma može biti uzeti kao koeficijent ispred logaritma):

Ove transformacije su nas dovele do prilično jednostavan izraz, čiji se derivat lako može naći:

Dobijeni rezultat zamjenjujemo u formulu za logaritamski izvod i dobivamo odgovor:

Da bismo konsolidirali materijal, navest ćemo još nekoliko primjera bez detaljnih objašnjenja.


Primjer.

Naći izvod eksponencijalne funkcije snage

Osjećate li da ima još dosta vremena do ispita? Je li ovo mjesec? Dva? Godina? Praksa pokazuje da se student najbolje nosi sa ispitom ako se za njega počne pripremati unaprijed. Postoji mnogo teške zadatke, koji školarcima i budućim aplikantima stoje na putu do najviših bodova. Morate naučiti da savladate ove prepreke, a osim toga, to nije teško učiniti. Morate razumjeti princip rada s raznim zadacima iz tiketa. Tada neće biti problema sa novima.

Logaritmi na prvi pogled izgledaju nevjerovatno složeni, ali uz detaljnu analizu situacija postaje mnogo jednostavnija. Ako želite da polažete Jedinstveni državni ispit najviša ocjena, trebali biste razumjeti koncept koji je u pitanju, što je ono što predlažemo da uradite u ovom članku.

Prvo, razdvojimo ove definicije. Šta je logaritam (log)? Ovo je pokazatelj snage do koje se baza mora podići da bi se dobio navedeni broj. Ako nije jasno, pogledajmo elementarni primjer.

U ovom slučaju, baza na dnu mora biti podignuta na drugi stepen da se dobije broj 4.

Pogledajmo sada drugi koncept. Derivat funkcije u bilo kojem obliku je koncept koji karakterizira promjenu funkcije u datoj tački. Međutim, ovo školski program, a ako imate problema s ovim konceptima pojedinačno, vrijedi ponoviti temu.

Derivat logaritma

IN Zadaci objedinjenog državnog ispita Na ovu temu može se navesti nekoliko problema kao primjeri. Za početak, najjednostavniji logaritamski izvod. Potrebno je pronaći derivaciju sljedeće funkcije.

Moramo pronaći sljedeći izvod

Postoji posebna formula.

U ovom slučaju x=u, log3x=v. Zamjenjujemo vrijednosti iz naše funkcije u formulu.

Derivat od x će biti jednak jedan. Logaritam je malo teži. Ali razumjet ćete princip ako jednostavno zamijenite vrijednosti. Podsjetimo da je izvod od lg x izvod decimalni logaritam, a izvod ln x je izvod prirodnog logaritma (na osnovu e).

Sada samo dodajte rezultirajuće vrijednosti u formulu. Probajte sami, a onda ćemo provjeriti odgovor.

Šta bi nekima ovdje mogao biti problem? Uveli smo koncept prirodnog logaritma. Razgovarajmo o tome, a u isto vrijeme smislimo kako riješiti probleme s tim. Nećete vidjeti ništa komplikovano, pogotovo kada shvatite princip njegovog rada. Trebalo bi da se naviknete na to, jer se često koristi u matematici (u viš obrazovne institucije posebno).

Derivat prirodnog logaritma

U svojoj srži, to je izvod logaritma prema bazi e (ovo je iracionalan broj, što je otprilike 2,7). U stvari, ln je vrlo jednostavan, pa se često koristi u matematici općenito. Zapravo, ni rješavanje problema s njim neće biti problem. Vrijedi zapamtiti da će derivacija prirodnog logaritma prema bazi e biti jednaka jedinici podijeljenoj sa x. Rješenje sljedećeg primjera će biti najotkrivenije.

Zamislimo to kao složena funkcija, koji se sastoji od dva jednostavna.

Dovoljno je pretvoriti

Tražimo derivaciju od u u odnosu na x