Sada ćemo pogledati pitanje kako nacrtati trigonometrijske funkcije višestrukih uglova ωx, Gdje ω - neki pozitivan broj.
Za grafički prikaz funkcije y = sin ωx Uporedimo ovu funkciju sa funkcijom koju smo već proučavali y = sin x. Pretpostavimo da kada x = x 0 funkcija y = sin x uzima vrijednost jednaku 0. Onda
y 0 = sin x 0 .
Transformirajmo ovaj odnos na sljedeći način:
Dakle, funkcija y = sin ωx at X = x 0 / ω uzima istu vrijednost at 0 , što je isto kao i funkcija y = sin x at x = x 0 . To znači da je funkcija y = sin ωx ponavlja svoja značenja u ω puta češće od funkcije y = sin x. Dakle, graf funkcije y = sin ωx dobiveno "komprimiranjem" grafa funkcije y = sin x V ω puta duž x ose.
Na primjer, graf funkcije y = sin 2x dobijeno "komprimiranjem" sinusoida y = sin x dva puta duž x-ose.
Grafikon funkcije y = sin x / 2 se dobija „istezanjem“ sinusoide y = sin x dva puta (ili „komprimovanjem“ za 1 / 2 puta) duž x ose.
Od funkcije y = sin ωx ponavlja svoja značenja u ω
puta češće od funkcije
y = sin x, tada je njegov period ω
puta manje od perioda funkcije y = sin x. Na primjer, period funkcije y = sin 2x jednaki 2π/2 = π
, i period funkcije y = sin x / 2
jednaki π
/
x/ 2
= 4π .
Zanimljivo je proučavati ponašanje funkcije y = sin ax koristeći primjer animacije, koja se vrlo lako može kreirati u programu Maple:
Grafovi drugih trigonometrijskih funkcija više uglova konstruišu se na sličan način. Na slici je prikazan graf funkcije y = cos 2x, koji se dobija „komprimovanjem“ kosinusnog talasa y = cos x dva puta duž x-ose.
Grafikon funkcije y = cos x / 2 dobijeno “istezanjem” kosinusnog vala y = cos x udvostručeno duž x ose.
Na slici vidite grafikon funkcije y = tan 2x, dobijeno “komprimiranjem” tangentoida y = tan x dva puta duž x-ose.
Grafikon funkcije y = tg x/ 2 , dobijeno “istezanjem” tangentoida y = tan x udvostručeno duž x ose.
I na kraju, animacija koju izvodi program javor:
Vježbe
1. Konstruisati grafove ovih funkcija i označiti koordinate tačaka preseka ovih grafova sa koordinatnim osa. Odredite periode ovih funkcija.
A). y = sin 4x/ 3 G). y = tan 5x/ 6 i). y = cos 2x/ 3
b). y= cos 5x/ 3 d). y = ctg 5x/ 3 h). y=ctg x/ 3
V). y = tan 4x/ 3 e). y = sin 2x/ 3
2. Odredite periode funkcija y = sin (πh) I y = tg (πh/2).
3. Navedite dva primjera funkcija koje uzimaju sve vrijednosti od -1 do +1 (uključujući ova dva broja) i koje se periodično mijenjaju s periodom 10.
4 *. Navedite dva primjera funkcija koje uzimaju sve vrijednosti od 0 do 1 (uključujući ova dva broja) i povremeno se mijenjaju s tačkom π/2.
5. Navedite dva primjera funkcija koje uzimaju sve realne vrijednosti i periodično variraju s periodom 1.
6 *. Navedite dva primjera funkcija koje prihvataju sve negativne vrijednosti i nula, ali nije prihvaćeno pozitivne vrijednosti i periodično menjati sa periodom od 5.
Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcija y=sin(x). Definicije i svojstva"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Rješavamo probleme iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci za 7-10 razred
Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.1"
Šta ćemo proučavati:
- Svojstva funkcije Y=sin(X).
- Funkcijski graf.
- Kako napraviti grafikon i njegovu skalu.
- Primjeri.
Svojstva sinusa. Y=sin(X)
Ljudi, već smo se upoznali s trigonometrijskim funkcijama numerički argument. Sjećate li ih se?
Pogledajmo pobliže funkciju Y=sin(X)
Zapišimo neka svojstva ove funkcije:
1) Područje definicije je skup realnih brojeva.
2) Funkcija je neparna. Prisjetimo se definicije neparna funkcija. Funkcija se naziva neparnom ako vrijedi jednakost: y(-x)=-y(x). Kao što se sjećamo iz formula duhova: sin(-x)=-sin(x). Definicija je ispunjena, što znači da je Y=sin(X) neparna funkcija.
3) Funkcija Y=sin(X) raste na segmentu i opada na segmentu [π/2; π]. Kada se krećemo duž prve četvrtine (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu), ordinata se povećava, a kada se krećemo kroz drugu četvrtinu opada.
4) Funkcija Y=sin(X) je ograničena odozdo i odozgo. Ovo svojstvo proizilazi iz činjenice da
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Najmanja vrijednost funkcije je -1 (pri x = - π/2+ πk). Najveća vrijednost funkcije je 1 (pri x = π/2+ πk).
Koristimo svojstva 1-5 da nacrtamo funkciju Y=sin(X). Napravit ćemo naš graf uzastopno, primjenjujući naša svojstva. Počnimo graditi graf na segmentu.
Posebnu pažnju treba obratiti na skalu. Na ordinatnoj osi je pogodnije uzeti jedinični segment jednak 2 ćelije, a na osi apscise je pogodnije uzeti jedinični segment (dvije ćelije) jednak π/3 (vidi sliku).
_2.png)
Iscrtavanje sinusne funkcije x, y=sin(x)
Izračunajmo vrijednosti funkcije na našem segmentu:
_3.png)
Napravimo graf koristeći naše tačke, uzimajući u obzir treće svojstvo.
_4.png)
Tablica konverzije za formule duhova
Koristimo drugo svojstvo, koje kaže da je naša funkcija neparna, što znači da se može reflektirati simetrično u odnosu na ishodište:
_5.png)
Znamo da je sin(x+ 2π) = sin(x). To znači da na intervalu [- π; π] graf izgleda isto kao na segmentu [π; 3π] ili ili [-3π; - π] i tako dalje. Sve što treba da uradimo je da pažljivo ponovo nacrtamo grafik na prethodnoj slici duž cele x-ose.
_6.png)
Graf funkcije Y=sin(X) naziva se sinusoida.
Napišimo još nekoliko svojstava prema konstruiranom grafu:
6) Funkcija Y=sin(X) raste na bilo kom segmentu oblika: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k je cijeli broj i opada na bilo kojem segmentu oblika: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – cijeli broj.
7) Funkcija Y=sin(X) – kontinuirana funkcija. Pogledajmo graf funkcije i uvjerimo se da naša funkcija nema prekida, to znači kontinuitet.
8) Raspon vrijednosti: segment [- 1; 1]. To je također jasno vidljivo iz grafa funkcije.
9) Funkcija Y=sin(X) - periodična funkcija. Pogledajmo ponovo graf i vidimo da funkcija uzima iste vrijednosti u određenim intervalima.
Primjeri problema sa sinusom
1. Riješite jednačinu sin(x)= x-π
Rješenje: Napravimo 2 grafika funkcije: y=sin(x) i y=x-π (vidi sliku).
Naši grafovi se seku u jednoj tački A(π;0), ovo je odgovor: x = π
_7.png)
2. Grafikujte funkciju y=sin(π/6+x)-1
Rješenje: Željeni graf će se dobiti pomicanjem grafika funkcije y=sin(x) π/6 jedinica ulijevo i 1 jedinica dolje.
_8.png)
Rješenje: Nacrtajmo funkciju i razmotrimo naš segment [π/2; 5π/4].
Grafikon funkcije pokazuje da se najveća i najmanja vrijednost postižu na krajevima segmenta, u tačkama π/2 i 5π/4, respektivno.
Odgovor: sin(π/2) = 1 – najveća vrijednost, sin(5π/4) = najmanja vrijednost.
_9.png)
Sinusni problemi za samostalno rješenje
- Riješite jednačinu: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Grafikujte funkciju y=sin(π/3+x)-2
- Grafikujte funkciju y=sin(-2π/3+x)+1
- Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije y=sin(x) na segmentu
- Odrediti najveću i najmanju vrijednost funkcije y=sin(x) na intervalu [- π/3; 5π/6]
"Koledž uslužnih tehnologija Yoshkar-Ola"
Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijska funkcija y=sinx u tabeliGOSPOĐA Excel
/metodološka izrada/
Yoshkar – Ola
Predmet. Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcijey = sinx u MS Excel tabeli
Vrsta lekcije– integrisani (sticanje novih znanja)
Ciljevi:
Didaktička svrha - istražiti ponašanje grafova trigonometrijskih funkcijay= sinxovisno o izgledima korištenjem kompjutera
edukativni:
1. Saznaj promjenu u grafu trigonometrijske funkcije y= grijeh x zavisno od kvote
2. Pokažite implementaciju kompjuterska tehnologija u nastavi matematike, integrišući dva predmeta: algebru i računarstvo.
3. Razvijati vještine korištenja računarske tehnologije na časovima matematike
4. Ojačati vještine proučavanja funkcija i konstruiranja njihovih grafova
edukativni:
1. Razvijati kognitivni interes učenika za akademske discipline i sposobnost primjene znanja u praktičnim situacijama
2. Razviti sposobnost analiziranja, poređenja, naglašavanja glavne stvari
3. Doprinijeti poboljšanju ukupnog nivoa razvoja učenika
Obrazovanje :
1. Negujte nezavisnost, tačnost i naporan rad
2. Negujte kulturu dijaloga
Oblici rada na času - kombinovano
Didaktički sadržaji i oprema:
1. Računari
2. Multimedijalni projektor
4. Materijali
5. Slajdovi prezentacije
Tokom nastave
I. Organizacija početka časa
· Pozdravljanje učenika i gostiju
· Raspoloženje za čas
II. Postavljanje ciljeva i ažuriranje tema
Potrebno je puno vremena da se prouči funkcija i izgradi njen graf, morate izvršiti mnogo glomaznih proračuna, nije zgodno, kompjuterska tehnologija dolazi u pomoć.
Danas ćemo naučiti kako napraviti grafikone trigonometrijskih funkcija u okruženju proračunskih tablica MS Excel 2007.
Tema naše lekcije je „Konstrukcija i proučavanje grafa trigonometrijske funkcije y= sinx u tabličnom procesoru"
Iz predmeta algebra znamo šemu za proučavanje funkcije i konstruisanje njenog grafa. Prisjetimo se kako to učiniti.
Slajd 2
Shema proučavanja funkcija
1. Domen funkcije (D(f))
2. Opseg funkcije E(f)
3. Određivanje pariteta
4. Frekvencija
5. Nule funkcije (y=0)
6. Intervali predznaka konstante (y>0, y<0)
7. Periodi monotonije
8. Ekstremi funkcije
III. Primarno usvajanje novog nastavnog materijala
Otvorite MS Excel 2007.
Nacrtajmo funkciju y=sin x
Izrada grafikona u procesoru proračunskih tablicaGOSPOĐA Excel 2007
Nacrtaćemo graf ove funkcije na segmentu xÊ [-2π; 2π]
Vrijednosti argumenta ćemo uzimati u koracima , kako bi graf bio precizniji.
Pošto uređivač radi sa brojevima, hajde da pretvorimo radijane u brojeve, znajući to P ≈ 3.14 . (tabela prijevoda u brošuri).
1. Pronađite vrijednost funkcije u tački x=-2P. Za ostalo, uređivač automatski izračunava odgovarajuće vrijednosti funkcije.
2. Sada imamo tablicu sa vrijednostima argumenta i funkcije. Sa ovim podacima, moramo iscrtati ovu funkciju pomoću Čarobnjaka za grafikone.
3. Da biste napravili graf, potrebno je da odaberete traženi raspon podataka, linije sa argumentima i vrijednosti funkcije
4..jpg" width="667" height="236 src=">
Zaključke zapisujemo u svesku (Slajd 5)
Zaključak. Grafikon funkcije oblika y=sinx+k dobija se iz grafa funkcije y=sinx koristeći paralelnu translaciju duž ose op-ampa za k jedinica
Ako je k >0, onda se graf pomiče nagore za k jedinica
Ako je k<0, то график смещается вниз на k единиц
Konstrukcija i proučavanje funkcije formey=k*sinx,k- konst
Zadatak 2. Na poslu Sheet2 crtati grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu y= sinx y=2* sinx, y= * sinx, na intervalu (-2π; 2π) i gledajte kako se izgled grafa mijenja.
(Da ne bismo ponovo postavili vrijednost argumenta, kopirajmo postojeće vrijednosti. Sada morate postaviti formulu i napraviti graf koristeći rezultirajuću tablicu.)
Upoređujemo dobijene grafove. Zajedno sa studentima analiziramo ponašanje grafa trigonometrijske funkcije u zavisnosti od koeficijenata. (Slajd 6)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" width="16" height="41 src=">x , na intervalu (-2π; 2π) i gledajte kako se izgled grafa mijenja.
Upoređujemo dobijene grafove. Zajedno sa studentima analiziramo ponašanje grafa trigonometrijske funkcije u zavisnosti od koeficijenata. (Slajd 8)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" width="649" height="281 src=">
Zaključke zapisujemo u svesku (Slajd 11)
Zaključak. Grafikon funkcije oblika y=sin(x+k) dobija se iz grafa funkcije y=sinx koristeći paralelnu translaciju duž ose OX za k jedinica
Ako je k >1, tada se graf pomiče udesno duž ose OX
Ako je 0 IV. Primarna konsolidacija stečenog znanja Diferencirane kartice sa zadatkom konstruiranja i proučavanja funkcije pomoću grafa Y=6*grijeh(x) Y=1-2
grijehX Y=-
grijeh(3x+)
1.
Domain 2.
Raspon vrijednosti 3.
Paritet 4.
Periodičnost 5.
Intervali konstantnosti znaka 6.
Prazninemonotonija Funkcija se povećava Funkcija smanjuje 7.
Ekstremi funkcije Minimum Maksimum V. Organizacija domaćih zadataka Nacrtajte grafik funkcije y=-2*sinh+1, ispitajte i provjerite ispravnost konstrukcije u Microsoft Excel okruženju proračunskih tablica. (Slajd 12) VI. Refleksija Kako grafički prikazati funkciju y=sin x? Prvo, pogledajmo sinusni graf na intervalu. Uzimamo jedan segment dužine 2 ćelije u bilježnici. Na osi Oy označavamo jednu. Radi praktičnosti, zaokružujemo broj π/2 na 1,5 (a ne na 1,6, kako to zahtijevaju pravila zaokruživanja). U ovom slučaju, segment dužine π/2 odgovara 3 ćelije. Na osi Ox ne označavamo pojedinačne segmente, već segmente dužine π/2 (svake 3 ćelije). Prema tome, segment dužine π odgovara 6 ćelija, a segment dužine π/6 odgovara 1 ćeliji. Sa ovim izborom jediničnog segmenta, graf prikazan na listu sveske u kutiji odgovara što je više moguće grafu funkcije y=sin x. Napravimo tabelu sinusnih vrijednosti na intervalu: Rezultirajuće tačke označavamo na koordinatnoj ravni: Pošto je y=sin x neparna funkcija, sinusni graf je simetričan u odnosu na ishodište - tačku O(0;0). Uzimajući ovu činjenicu u obzir, nastavimo crtati graf lijevo, zatim tačke -π: Funkcija y=sin x je periodična sa periodom T=2π. Stoga se graf funkcije uzet na intervalu [-π;π] ponavlja beskonačan broj puta desno i lijevo.
