frakcijski broj.
Decimalni zapis razlomka broja je skup od dvije ili više cifara od $0$ do $9$, između kojih se nalazi takozvani \textit (decimalna točka).
Primjer 1
Na primjer, $35.02$; $100.7$; $123\$456.5; $54.89$.
Krajnja lijeva cifra u decimalnom zapisu broja ne može biti nula, jedini izuzetak je kada je decimalna točka odmah iza prve cifre $0$.
Primjer 2
Na primjer, $0,357$; $0,064$.
Često se decimalni zarez zamjenjuje decimalnim zarezom. Na primjer, $35.02$; $100.7$; $123\456.5$; $54.89$.
Decimalna definicija
Definicija 1
Decimale-- ovo su razlomci koji su predstavljeni decimalnim zapisom.
Na primjer, 121,05 USD; $67.9$; $345.6700$.
Decimale se koriste za kompaktnije zapisivanje pravih razlomaka, čiji su nazivnici brojevi $10$, $100$, $1\000$, itd. i mješoviti brojevi čiji su nazivnici razlomaka brojevi $10$, $100$, $1\000$, itd.
Na primjer, obični razlomak $\frac(8)(10)$ može se napisati kao decimalni razlomak $0,8$, i mješoviti broj$405\frac(8)(100)$ -- kao decimalni razlomak od 405,08$.
Čitanje decimala
Decimalni razlomci, koji odgovaraju regularnim razlomcima, čitaju se isto kao i obični razlomci, samo se ispred dodaje fraza "nula cijeli broj". Na primjer, obični razlomak $\frac(25)(100)$ (čitaj “dvadeset pet stotinki”) odgovara decimalnom razlomku $0,25$ (čitaj “nulta tačka dvadeset pet stotinki”).
Decimalni razlomci koji odgovaraju mješovitim brojevima čitaju se na isti način kao i mješoviti brojevi. Na primjer, mješoviti broj $43\frac(15)(1000)$ odgovara decimalnom razlomku $43,015$ (čitaj “četrdeset tri zareze petnaest hiljaditih”).
Mjesta u decimalama
U pisanju decimalnog razlomka, značenje svake cifre zavisi od njenog položaja. One. u decimalnim razlomcima koncept se također primjenjuje kategorija.
Mjesta u decimalnim razlomcima prije decimalnog zareza nazivaju se isto kao i mjesta u prirodni brojevi. Decimalna mjesta iza decimalnog zareza navedena su u tabeli:
Slika 1.
Primjer 3
Na primjer, u decimalnom razlomku $56.328$, cifra $5$ je na mjestu desetica, $6$ je na mjestu jedinica, $3$ je na mjestu desetina, $2$ je na mjestu stotinke, $8$ je na hiljaditim. mjesto.
Mjesta u decimalnim razlomcima razlikuju se po prioritetu. Kada čitate decimalni razlomak, pomaknite se s lijeva na desno - od senior rang to mlađi.
Primjer 4
Na primjer, u decimalnom razlomku $56.328$, najznačajnije (najviše) mjesto je mjesto desetica, a najniže (najniže) mjesto je mjesto hiljaditih.
Decimalni razlomak se može proširiti na znamenke slične razgradnji cifara prirodnog broja.
Primjer 5
Na primjer, podijelimo decimalni razlomak $37,851$ na znamenke:
$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$
Završne decimale
Definicija 2
Završne decimale nazivaju se decimalni razlomci čiji zapisi sadrže konačan broj znakova (cifre).
Na primjer, $0.138$; $5.34$; $56.123456$; $350,972.54.
Bilo koji konačni decimalni razlomak može se pretvoriti u razlomak ili mješoviti broj.
Primjer 6
Na primjer, konačni decimalni razlomak $7,39$ odgovara razlomak broj$7\frac(39)(100)$, a konačni decimalni razlomak $0.5$ odgovara tačnom običan razlomak$\frac(5)(10)$ (ili bilo koji razlomak koji mu je jednak, kao što je $\frac(1)(2)$ ili $\frac(10)(20)$.
Pretvaranje razlomka u decimalu
Pretvaranje razlomaka sa nazivnicima $10, 100, \dots$ u decimale
Prije pretvaranja nekih pravih razlomaka u decimale, oni se prvo moraju "pripremiti". Rezultat takve pripreme trebao bi biti isti broj cifara u brojniku i isti broj nula u nazivniku.
Suština “preliminarne pripreme” pravih običnih razlomaka za pretvaranje u decimalne razlomke je dodavanje tolikog broja nula lijevo u brojiocu da ukupan broj cifara postane jednak broju nula u nazivniku.
Primjer 7
Na primjer, pripremimo razlomak $\frac(43)(1000)$ za konverziju u decimalu i dobijemo $\frac(043)(1000)$. A obični razlomak $\frac(83)(100)$ ne treba nikakvu pripremu.
Hajde da formulišemo pravilo za pretvaranje pravilnog običnog razlomka sa nazivnikom od $10$, ili $100$, ili $1\000$, $\dots$ u decimalni razlomak:
napisati $0$;
nakon njega stavite decimalni zarez;
zapišite broj iz brojila (zajedno sa dodanim nulama nakon pripreme, ako je potrebno).
Primjer 8
Pretvorite odgovarajući razlomak $\frac(23)(100)$ u decimalu.
Rješenje.
Imenilac sadrži broj $100$, koji sadrži $2$ i dvije nule. Brojač sadrži broj $23$, koji je napisan sa $2$.cifre. To znači da nema potrebe pripremati ovaj razlomak za pretvaranje u decimalu.
Hajde da napišemo $0$, stavimo decimalni zarez i zapišemo broj $23$ iz brojila. Dobijamo decimalni razlomak $0.23$.
Odgovori: $0,23$.
Primjer 9
Zapišite odgovarajući razlomak $\frac(351)(100000)$ kao decimalu.
Rješenje.
Brojač ovog razlomka sadrži $3$ znamenke, a broj nula u nazivniku je $5$, tako da ovaj obični razlomak mora biti pripremljen za konverziju u decimalu. Da biste to učinili, trebate dodati $5-3=2$ nule lijevo u brojiocu: $\frac(00351)(100000)$.
Sada možemo formirati željeni decimalni razlomak. Da biste to učinili, zapišite $0$, zatim dodajte zarez i zapišite broj iz brojilaca. Dobijamo decimalni razlomak $0,00351$.
Odgovori: $0,00351$.
Hajde da formulišemo pravilo za pretvaranje nepravilnih razlomaka sa nazivnicima $10$, $100$, $\dots$ u decimalne razlomke:
zapišite broj iz brojilaca;
Koristite decimalni zarez da odvojite onoliko znamenki na desnoj strani koliko ima nula u nazivniku originalnog razlomka.
Primjer 10
Pretvorite nepravilan razlomak $\frac(12756)(100)$ u decimalu.
Rješenje.
Zapišimo broj iz brojila $12756$, a zatim odvojimo cifre $2$ na desnoj strani decimalnim zarezom, jer nazivnik originalnog razlomka $2$ je nula. Dobijamo decimalni razlomak $127.56$.
| Završne decimale |
| Množenje i dijeljenje decimala sa 10, 100, 1000, 10000 itd. |
| Pretvaranje zadnje decimale u razlomak |
Decimale se dijele u sljedeće tri klase: konačne decimale, beskonačne periodične decimale i beskonačne neperiodične decimale.
Završne decimale
Definicija . Konačni decimalni razlomak (decimalni razlomak) naziva se razlomak ili mješoviti broj koji ima imenilac 10, 100, 1000, 10000 itd.
Na primjer,
Decimalni razlomci također uključuju one razlomke koji se mogu svesti na razlomke koji imaju nazivnik 10, 100, 1000, 10000, itd., koristeći osnovno svojstvo razlomaka.
Na primjer,
Izjava . Nesvodljivi prosti razlomak ili nesvodljivi mješoviti necijeli broj je konačni decimalni razlomak ako i samo ako faktorizacija njihovih nazivnika u proste faktore sadrži samo brojeve 2 i 5 kao faktore, i to u proizvoljnim potencijama.
Za decimalne razlomke postoji poseban način snimanja , koristeći zarez. Lijevo od decimalnog zareza ispisuje se cijeli dio razlomka, a desno brojilac razlomka, ispred kojeg se dodaje toliki broj nula tako da je broj cifara iza decimalnog zareza jednak broj nula u nazivniku decimalnog razlomka.
Na primjer,
Imajte na umu da se decimalni razlomak neće promijeniti ako dodate nekoliko nula desno ili lijevo od njega.
Na primjer,
3,14 = 3,140 =
=
3,1400 = 003,14 .
Brojevi prije decimalnog zareza (lijevo od decimalnog zareza) u decimalni zapis konačnog decimalnog razlomka, formiraju broj tzv cijeli dio decimalni.
Brojevi iza decimalnog zareza (desno od decimalnog zareza) u decimalnom zapisu konačnog decimalnog razlomka nazivaju se decimale.
Konačna decimala ima konačan broj decimalnih mjesta. Decimalni oblik razlomak decimale.
Množenje i dijeljenje decimala sa 10, 100, 1000 itd.
Da bi pomnožite decimalu sa 10, 100, 1000, 10000 itd., dosta pomerite zarez udesno sa 1, 2, 3, 4, itd. decimalnih mjesta.
Postoji još jedan prikaz racionalnog broja 1/2, različit od prikaza oblika 2/4, 3/6, 4/8, itd. Mislimo na prikaz u obliku decimalnog razlomka 0,5. Neki razlomci imaju konačan decimalni prikaz, npr.
dok su decimalni prikazi drugih razlomaka beskonačni:
Ove beskonačne decimale se mogu dobiti iz odgovarajućih racionalnih razlomaka dijeljenjem brojnika sa nazivnikom. Na primjer, u slučaju razlomka 5/11, dijeljenje 5.000... sa 11 daje 0.454545...
Koji racionalni razlomci imaju konačan decimalni prikaz? Prije nego što općenito odgovorimo na ovo pitanje, pogledajmo konkretan primjer. Uzmimo, recimo, konačni decimalni razlomak 0,8625. Znamo to
i da se bilo koji konačni decimalni razlomak može napisati kao racionalni decimalni razlomak sa nazivnikom jednakim 10, 100, 1000 ili nekom drugom stepenu broja 10.
Svodeći razlomak na desnoj strani na nesvodljivi razlomak, dobijamo
Imenilac od 80 se dobija dijeljenjem 10.000 sa 125 - najvećim zajedničkim djeliteljem 10.000 i 8625. Dakle, prost faktorizacija broja 80, kao i broj 10.000, uključuje samo dva prosta faktora: 2 i 5. Ako nismo početi sa 0, 8625, i sa bilo kojim drugim konačnim decimalnim razlomkom, onda bi rezultirajući nesvodljivi racionalni razlomak također imao ovo svojstvo. Drugim riječima, proširenje nazivnika b u proste faktore može uključiti samo proste brojeve 2 i 5, pošto je b djelitelj nekog stepena 10, a . Ova okolnost se pokazuje kao odlučujuća, naime vrijedi sljedeća opšta izjava:
Nesvodljivi racionalni razlomak ima konačan decimalni prikaz ako i samo ako broj b nema prosti faktor 2 i 5.
Imajte na umu da b ne mora imati oba broja 2 i 5 među svojim prostim faktorima: može biti djeljiv samo sa jednim od njih ili uopće ne biti djeljiv s njima. Na primjer,
ovdje je b jednako 25, 16 i 1. Ono što je značajno je da b nema drugih djelitelja osim 2 i 5.
Gornja rečenica sadrži izraz ako i samo ako. Do sada smo dokazali samo dio koji se odnosi na promet samo tada. Mi smo pokazali da će dekompozicija racionalnog broja na decimalni razlomak biti konačna samo u slučaju kada b nema prostih faktora osim 2 i 5.
(Drugim riječima, ako je b djeljiv prostim brojem koji nije 2 i 5, tada nesvodivi razlomak nema konačni decimalni izraz.)
Tadašnji dio rečenice kaže da ako cijeli broj b nema proste faktore osim 2 i 5, onda se nesvodljivi racionalni razlomak može predstaviti konačnim decimalnim razlomkom. Da bismo ovo dokazali, moramo uzeti arbitrarno nesvodljivo racionalni razlomak, za koje b nema prostih faktora osim 2 i 5, i pobrinite se da je odgovarajući decimalni razlomak konačan. Pogledajmo prvo primjer. Neka
Da bismo dobili decimalni razmak, ovaj razlomak transformiramo u razlomak čiji je nazivnik cijeli broj potenc od deset. To se može postići množenjem brojnika i nazivnika sa:
Gornje obrazloženje može se proširiti na opći slučaj na sljedeći način. Pretpostavimo da je b oblika , gdje su tip nenegativni cijeli brojevi (tj. pozitivni brojevi ili nula). Moguća su dva slučaja: ili manje ili jednako (ovaj uslov je napisan) ili veći (što je zapisano). Kada pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa
Budući da cijeli broj nije negativan (to jest, pozitivan ili jednak nuli), tada je , i stoga a pozitivan cijeli broj. Hajde da to stavimo. Onda
Sjećate se kako sam u prvoj lekciji o decimalima rekao da postoje brojčani razlomci koji se ne mogu predstaviti kao decimale (pogledajte lekciju “Decimale”)? Takođe smo naučili kako da rastavljamo nazivnike razlomaka da vidimo da li postoje drugi brojevi osim 2 i 5.
Dakle: lagao sam. A danas ćemo naučiti kako pretvoriti apsolutno bilo koji brojčani razlomak u decimalni. Istovremeno ćemo se upoznati s cijelom klasom razlomaka sa beskonačnim značajnim dijelom.
Periodična decimala je svaka decimala koja:
- Značajni dio se sastoji od beskonačnog broja cifara;
- U određenim intervalima ponavljaju se brojevi u značajnom dijelu.
Skup cifara koji se ponavljaju koji čine značajan dio naziva se periodični dio razlomka, a broj cifara u ovom skupu se naziva periodom razlomka. Preostali segment značajnog dijela, koji se ne ponavlja, naziva se neperiodični dio.
Budući da postoji mnogo definicija, vrijedno je razmotriti nekoliko od ovih razlomaka detaljno:
Ovaj razlomak se najčešće pojavljuje u problemima. Neperiodični dio: 0; periodični dio: 3; dužina perioda: 1.
Neperiodični dio: 0,58; periodični dio: 3; dužina perioda: ponovo 1.
Neperiodični dio: 1; periodični dio: 54; dužina perioda: 2.
Neperiodični dio: 0; periodični dio: 641025; dužina perioda: 6. Radi praktičnosti, dijelovi koji se ponavljaju odvojeni su jedan od drugog razmakom - to nije potrebno u ovom rješenju.
Neperiodični dio: 3066; periodični dio: 6; dužina perioda: 1.
Kao što vidite, definicija periodičnog razlomka zasniva se na konceptu značajan dio broja. Stoga, ako ste zaboravili šta je to, preporučujem da to ponovite - pogledajte lekciju “”.
Prijelaz na periodični decimalni razlomak
Razmotrimo običan razlomak oblika a /b. Razložimo njegov imenilac u proste faktore. Postoje dvije opcije:
- Proširivanje sadrži samo faktore 2 i 5. Ovi razlomci se lako pretvaraju u decimale - pogledajte lekciju “Decimale”. Takvi ljudi nas ne zanimaju;
- Postoji još nešto u proširenju osim 2 i 5. U ovom slučaju, razlomak se ne može predstaviti kao decimalni, ali se može pretvoriti u periodičnu decimalu.
Da biste definirali periodični decimalni razlomak, morate pronaći njegove periodične i neperiodične dijelove. Kako? Pretvorite razlomak u nepravilan razlomak, a zatim podijelite brojilac sa nazivnikom koristeći ugao.
dogodit će se sljedeće:
- Prvo će se razdvojiti cijeli dio, ako postoji;
- Može biti nekoliko brojeva iza decimalnog zareza;
- Nakon nekog vremena brojevi će početi ponovi.
To je sve! Brojevi koji se ponavljaju iza decimalnog zareza označavaju se periodičnim dijelom, a oni ispred neperiodičnih.
Zadatak. Pretvorite obične razlomke u periodične decimale:
Svi razlomci bez celobrojnog dela, tako da jednostavno podelimo brojilac sa nazivnikom sa "uglom":
Kao što vidite, ostaci se ponavljaju. Zapišimo razlomak u “tačnom” obliku: 1,733 ... = 1,7(3).
Rezultat je razlomak: 0,5833 ... = 0,58(3).
Zapisujemo ga u normalnom obliku: 4,0909 ... = 4,(09).
Dobijamo razlomak: 0,4141 ... = 0.(41).
Prijelaz s periodičnog decimalnog razlomka na obični razlomak
Razmotrimo periodični decimalni razlomak X = abc (a 1 b 1 c 1). Potrebno ga je pretvoriti u klasičnu "dvokatnicu". Da biste to učinili, slijedite četiri jednostavna koraka:
- Pronađite period razlomka, tj. izbroji koliko je cifara u periodičnom dijelu. Neka je ovo broj k;
- Odrediti vrijednost izraza X · 10 k. Ovo je ekvivalentno pomicanju decimalnog zareza udesno za punu tačku - pogledajte lekciju "Množenje i dijeljenje decimala";
- Originalni izraz mora se oduzeti od rezultirajućeg broja. U ovom slučaju, periodični dio je "spaljen" i ostaje običan razlomak;
- Pronađite X u rezultirajućoj jednadžbi. Sve decimalne razlomke pretvaramo u obične razlomke.
Zadatak. Smanjite na obično nepravilan razlomak brojevi:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Radimo s prvim razlomkom: X = 9, (6) = 9,666 ...
Zagrade sadrže samo jednu cifru, tako da je period k = 1. Zatim ovaj razlomak pomnožimo sa 10 k = 10 1 = 10. Imamo:
10X = 10 9,6666... = 96,666...
Oduzmite originalni razlomak i riješite jednačinu:
10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Pogledajmo sada drugi razlomak. Dakle, X = 32, (39) = 32,393939...
Period k = 2, pa pomnožite sve sa 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...
Ponovo oduzmite prvobitni razlomak i riješite jednačinu:
100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Pređimo na treći razlomak: X = 0,30(5) = 0,30555... Dijagram je isti, pa ću samo dati proračune:
Period k = 1 ⇒ pomnožiti sve sa 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.
Konačno, posljednji razlomak: X = 0, (2475) = 0,2475 2475... Opet, radi pogodnosti, periodični dijelovi su odvojeni jedan od drugog razmacima. Imamo:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10,000X = 10,000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10,000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
To racionalni broj m/n se zapisuje kao decimalni razlomak; potrebno je podijeliti brojilac sa nazivnikom. U ovom slučaju, količnik se zapisuje kao konačan ili beskonačan decimalni razlomak.
Zapiši dati broj kao decimalni razlomak.
Rješenje. Podijelite brojilac svakog razlomka u kolonu po nazivniku: A) podijeliti 6 sa 25; b) podijeliti 2 sa 3; V) podijelite 1 sa 2, a zatim dodajte dobijeni razlomak na jedan - cijeli broj ovog mješovitog broja.
Nesvodljivi obični razlomci čiji nazivnici ne sadrže proste faktore osim 2 I 5 , zapisuju se kao konačni decimalni razlomak.
IN primjer 1 kada A) imenilac 25=5·5; kada V) imenilac je 2, pa dobijamo konačne decimale od 0,24 i 1,5. Kada b) imenilac je 3, tako da se rezultat ne može zapisati kao konačna decimala.
Da li je moguće, bez dugog dijeljenja, pretvoriti u decimalni razlomak takav običan razlomak, čiji nazivnik ne sadrži druge djelitelje osim 2 i 5? Hajde da to shvatimo! Koji se razlomak naziva decimalom i piše se bez razlomka? Odgovor: razlomak sa nazivnikom 10; 100; 1000 itd. I svaki od ovih brojeva je proizvod jednaka broj dvojki i petica. U stvari: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 itd.
Posljedično, nazivnik nesmanjivog običnog razlomka morat će se predstaviti kao proizvod "dvojke" i "petice", a zatim pomnožiti sa 2 i (ili) 5 tako da "dvojke" i "petice" postanu jednake. Tada će imenilac razlomka biti jednak 10 ili 100 ili 1000, itd. Da bismo osigurali da se vrijednost razlomka ne promijeni, pomnožimo brojilac razlomka istim brojem kojim smo pomnožili imenilac.
Izrazite sljedeće obične razlomke kao decimale:
Rješenje. Svaki od ovih razlomaka je nesvodljiv. Razložimo imenilac svakog razlomka u proste faktore.
20=2·2·5. Zaključak: nedostaje jedno "A".
8=2·2·2. Zaključak: nedostaju tri "A".
25=5·5. Zaključak: nedostaju dvije “dvojke”.
Komentar. U praksi često ne koriste faktorizaciju nazivnika, već jednostavno postavljaju pitanje: sa koliko treba pomnožiti imenilac da bi rezultat bio jedan sa nulama (10 ili 100 ili 1000 itd.). I tada se brojilac množi sa istim brojem.
Dakle, u slučaju A)(primjer 2) od broja 20 možete dobiti 100 množenjem sa 5, dakle, trebate pomnožiti brojilac i imenilac sa 5.
Kada b)(primjer 2) iz broja 8 neće se dobiti broj 100, ali će se broj 1000 dobiti množenjem sa 125. I brojnik (3) i imenilac (8) razlomka se množe sa 125.
Kada V)(primjer 2) od 25 dobijete 100 ako pomnožite sa 4. To znači da se brojilac 8 mora pomnožiti sa 4.
Poziva se beskonačni decimalni razlomak u kojem se jedna ili više cifara uvijek ponavlja u istom nizu periodično kao decimalni. Skup cifara koje se ponavljaju naziva se period ovog razlomka. Radi kratkoće, period razlomka se piše jednom, u zagradama.
Kada b)(primjer 1) postoji samo jedna cifra koja se ponavlja i jednaka je 6. Dakle, naš rezultat 0,66... biće napisan ovako: 0,(6) . Čitaju: nula poena, šest u tački.
Ako postoji jedna ili više cifara koje se ne ponavljaju između decimalnog zareza i prve tačke, onda se takav periodični razlomak naziva mješoviti periodični razlomak.
Nesvodljivi obični razlomak čiji je imenilac zajedno sa drugima množitelj sadrži množitelj 2 ili 5 , postaje mješovito periodični razlomak.
Zapišite brojeve kao decimale.
