MATEMATIČKI MODEL - prikaz fenomena ili procesa koji se proučava u konkretnom naučnom znanju jezikom matematičkih pojmova. U ovom slučaju se očekuje da će se kroz proučavanje stvarnih matematičkih karakteristika modela dobiti određeni broj svojstava fenomena koji se proučava. Izgradnja M.m. najčešće diktira potreba za kvantitativnom analizom pojava i procesa koji se proučavaju, bez koje je, pak, nemoguće eksperimentalno provjerljiva predviđanja o njihovom toku.
Proces matematičkog modeliranja, po pravilu, prolazi kroz sljedeće faze. U prvoj fazi identifikuju se veze između glavnih parametara budućeg M.m. Riječ je prije svega o kvalitativnoj analizi proučavanih pojava i formuliranju obrazaca koji povezuju glavne objekte istraživanja. Na osnovu toga se identifikuju objekti koji se mogu kvantitativno opisati. Faza se završava izgradnjom hipotetičkog modela, drugim riječima, bilježenjem jezikom matematičkih pojmova kvalitativnih ideja o odnosima između glavnih objekata modela, koji se mogu kvantitativno okarakterizirati.
U drugoj fazi se proučavaju stvarni matematički problemi do kojih konstruisani hipotetički model vodi. Glavna stvar u ovoj fazi je dobiti empirijski provjerljive teorijske posljedice (rješenje direktnog problema) kao rezultat matematičke analize modela. Istovremeno, česti su slučajevi kada, u cilju konstruisanja i proučavanja M.m. u različitim oblastima konkretnog naučnog znanja koristi se isti matematički aparat (npr. diferencijalne jednačine) i javljaju se matematički problemi istog tipa, iako vrlo netrivijalni u svakom konkretnom slučaju. Osim toga, u ovoj fazi, upotreba brzih računara (računara) postaje od velike važnosti, što omogućava da se dobiju približna rješenja problema, često nemogućih u okviru čiste matematike, sa stepenom preciznosti do tada nedostupnog ( bez upotrebe računara).
Treću fazu karakterišu aktivnosti na utvrđivanju stepena adekvatnosti konstruisanog hipotetičkog M.M. one pojave i procese za koje je bila namijenjena proučavanju. Naime, ako su svi parametri modela specificirani, istraživači pokušavaju otkriti u kojoj mjeri su, u granicama tačnosti opservacije, njihovi rezultati u skladu sa teorijskim posljedicama modela. Odstupanja iznad granica tačnosti posmatranja ukazuju na neadekvatnost modela. Međutim, česti su slučajevi kada pri konstruisanju modela ostane određeni broj njegovih parametara
neizvjesno. Problemi u kojima se parametarske karakteristike modela uspostavljaju na način da su teorijske posljedice uporedive, u granicama tačnosti opservacije, s rezultatima empirijskih ispitivanja nazivaju se inverzni problemi.
U četvrtoj fazi, uzimajući u obzir identifikaciju stepena adekvatnosti izgrađenog hipotetičkog modela i pojavu novih eksperimentalnih podataka o proučavanim pojavama, dolazi do naknadne analize i modifikacije modela. Ovde doneta odluka varira od bezuslovnog odbacivanja primenjenih matematičkih alata do prihvatanja konstruisanog modela kao temelja za izgradnju fundamentalno nove naučne teorije.
Prvi M.m. pojavio u antičkoj nauci. Dakle, da bi modelirao Sunčev sistem, grčki matematičar i astronom Eudoxus dao je svakoj planeti četiri sfere, čija je kombinacija kretanja stvorila nilskog konja - matematičku krivulju sličnu posmatranom kretanju planete. Kako, međutim, ovaj model nije mogao objasniti sve uočene anomalije u kretanju planeta, kasnije je zamijenjen epicikličkim modelom Apolonija iz Perge. Posljednji model je u svojim studijama koristio Hiparh, a zatim, nakon što ga je podvrgnuo nekim modifikacijama, Ptolomej. Ovaj model, kao i njegovi prethodnici, zasnivao se na vjerovanju da planete prolaze ravnomjerno kružno kretanje, čije preklapanje objašnjava očigledne nepravilnosti. Treba napomenuti da je Kopernikanski model bio fundamentalno nov samo u kvalitativnom smislu (ali ne kao M.M.). I samo je Kepler, na osnovu zapažanja Tycho Brahea, izgradio novi M.M. Sunčev sistem, dokazujući da se planete ne kreću kružnim, već eliptičnim orbitama.
Trenutno se najadekvatnijim smatraju oni koji su konstruisani za opisivanje mehaničkih i fizičkih pojava. O adekvatnosti M.m. izvan fizike se može, uz neke izuzetke, govoriti s priličnom dozom opreza. Ipak, fiksiranje hipotetičke prirode, a često i jednostavno neadekvatnosti M.m. u različitim oblastima znanja ne treba potcenjivati njihovu ulogu u razvoju nauke. Česti su slučajevi kada su čak i modeli koji su daleko od adekvatnih značajno organizovali i potaknuli dalja istraživanja, uz pogrešne zaključke koji su sadržavali i zrnca istine koja su u potpunosti opravdala napore uložene u razvoj ovih modela.
književnost:
Matematičko modeliranje. M., 1979;
Ruzavin G.I. Matematizacija naučnih saznanja. M., 1984;
Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Diferencijalne jednadžbe u ekologiji: povijesna i metodološka refleksija // Pitanja povijesti prirodnih znanosti i tehnologije. 1997. br. 3.
Rječnik filozofskih pojmova. Naučno izdanje profesora V.G. Kuznetsova. M., INFRA-M, 2007, str. 310-311.
Prema udžbeniku Sovjetova i Jakovljeva: „model (lat. modulus – mjera) je zamjenski objekt za originalni objekt, koji osigurava proučavanje nekih svojstava originala.” (str. 6) “Zamjena jednog objekta drugim kako bi se dobile informacije o najvažnijim svojstvima originalnog objekta pomoću objekta modela naziva se modeliranje.” (str. 6) „Pod matematičkim modeliranjem podrazumijevamo proces uspostavljanja korespondencije datog realnog objekta sa određenim matematičkim objektom, koji se naziva matematički model, i proučavanje ovog modela, koji nam omogućava da dobijemo karakteristike realnog objekta. predmet koji se razmatra. Vrsta matematičkog modela zavisi kako od prirode stvarnog objekta, tako i od zadataka proučavanja objekta i zahtevane pouzdanosti i tačnosti rešavanja ovog problema.”
Konačno, najsažetija definicija matematičkog modela: „Jednačina koja izražava ideju».
Klasifikacija modela
Formalna klasifikacija modela
Formalna klasifikacija modela zasniva se na klasifikaciji korištenih matematičkih alata. Često se konstruiše u obliku dihotomija. Na primjer, jedan od popularnih skupova dihotomija:
i tako dalje. Svaki konstruisani model je linearan ili nelinearan, deterministički ili stohastički,... Naravno, mogući su i mešoviti tipovi: koncentrisani u jednom pogledu (u smislu parametara), raspoređeni u drugom itd.
Klasifikacija prema načinu na koji je predmet predstavljen
Uz formalnu klasifikaciju, modeli se razlikuju po načinu na koji predstavljaju objekt:
- Strukturni ili funkcionalni modeli
Strukturni modeli predstavljaju objekat kao sistem sa svojom strukturom i mehanizmom funkcionisanja. Funkcionalni modeli ne koriste takve reprezentacije i odražavaju samo spoljašnje percipirano ponašanje (funkcionisanje) objekta. U svom ekstremnom izrazu nazivaju se i modelima “crne kutije”. Mogući su i kombinovani tipovi modela, koji se ponekad nazivaju „ siva kutija».
Sadržajni i formalni modeli
Gotovo svi autori koji opisuju proces matematičkog modeliranja ukazuju da se prvo gradi posebna idealna struktura, tj. model sadržaja. Ovdje nema utvrđene terminologije, a drugi autori ovaj objekt nazivaju idealnim konceptualni model , spekulativni model ili premodel. U ovom slučaju se zove konačna matematička konstrukcija formalni model ili jednostavno matematički model dobijen kao rezultat formalizacije datog smislenog modela (predmodela). Konstrukcija smislenog modela može se izvršiti korištenjem skupa gotovih idealizacija, kao u mehanici, gdje idealne opruge, kruta tijela, idealna klatna, elastični mediji itd. daju gotove strukturne elemente za smisleno modeliranje. Međutim, u oblastima znanja u kojima ne postoje potpuno završene formalizovane teorije (najbolje fizike, biologije, ekonomije, sociologije, psihologije i većine drugih oblasti), stvaranje smislenih modela postaje dramatično teže.
Sadržajna klasifikacija modela
Nijedna hipoteza u nauci ne može se dokazati jednom za svagda. Richard Feynman je ovo vrlo jasno formulirao:
“Uvijek imamo priliku da opovrgnemo teoriju, ali imajte na umu da nikada ne možemo dokazati da je tačna. Pretpostavimo da ste iznijeli uspješnu hipotezu, izračunali kuda ona vodi i ustanovili da su sve njene posljedice eksperimentalno potvrđene. Da li to znači da je vaša teorija tačna? Ne, to jednostavno znači da to niste uspjeli opovrgnuti.”
Ako se izgradi model prvog tipa, to znači da je privremeno prihvaćen kao istina i da se može koncentrirati na druge probleme. Međutim, to ne može biti poenta istraživanja, već samo privremena pauza: status modela prvog tipa može biti samo privremen.
Tip 2: Fenomenološki model (ponašamo se kao da…)
Fenomenološki model sadrži mehanizam za opisivanje fenomena. Međutim, ovaj mehanizam nije dovoljno uvjerljiv, ne može se dovoljno potvrditi dostupnim podacima ili se ne uklapa dobro sa postojećim teorijama i akumuliranim znanjem o objektu. Stoga fenomenološki modeli imaju status privremenih rješenja. Vjeruje se da je odgovor još uvijek nepoznat i da se potraga za “pravim mehanizmima” mora nastaviti. Peierls uključuje, na primjer, kalorijski model i kvarkov model elementarnih čestica kao drugi tip.
Uloga modela u istraživanju može se vremenom mijenjati, a može se dogoditi da novi podaci i teorije potvrde fenomenološke modele i da se promovišu u status hipoteze. Isto tako, nova znanja mogu postepeno doći u sukob sa modelima-hipotezama prvog tipa, a mogu se prevesti u drugi. Dakle, model kvarka postepeno prelazi u kategoriju hipoteza; atomizam u fizici nastao je kao privremeno rešenje, ali je tokom istorije postao prvi tip. Ali eterski modeli su prošli put od tipa 1 do tipa 2 i sada su izvan nauke.
Ideja pojednostavljivanja je vrlo popularna pri izgradnji modela. Ali pojednostavljenje dolazi u različitim oblicima. Peierls identificira tri vrste pojednostavljenja u modeliranju.
Tip 3: Aproksimacija (smatramo nečim vrlo velikim ili vrlo malim)
Ako je moguće konstruisati jednačine koje opisuju sistem koji se proučava, to ne znači da se one mogu rešiti čak i uz pomoć računara. Uobičajena tehnika u ovom slučaju je korištenje aproksimacija (modeli tipa 3). Među njima modeli linearnog odziva. Jednačine se zamjenjuju linearnim. Standardni primjer je Ohmov zakon.
Ovdje dolazi Tip 8, koji je široko rasprostranjen u matematičkim modelima bioloških sistema.
Tip 8: Demonstracija funkcije (glavna stvar je pokazati unutrašnju konzistentnost mogućnosti)
Ovo su također misaoni eksperimenti sa imaginarnim entitetima koji to pokazuju navodni fenomen u skladu sa osnovnim principima i interno konzistentan. To je glavna razlika u odnosu na modele tipa 7, koji otkrivaju skrivene kontradikcije.
Jedan od najpoznatijih ovih eksperimenata je geometrija Lobačevskog (Lobačevski ju je nazvao "imaginarna geometrija"). Drugi primjer je masovna proizvodnja formalno kinetičkih modela hemijskih i bioloških vibracija, autotalasa, itd. Paradoks Einstein-Podolsky-Rosen je zamišljen kao model tipa 7 kako bi se demonstrirala nekonzistentnost kvantne mehanike. Na potpuno neplanski način, na kraju se pretvorio u model tipa 8 – demonstraciju mogućnosti kvantne teleportacije informacija.
Primjer
Zamislite mehanički sistem koji se sastoji od opruge, fiksirane na jednom kraju, i mase mase, pričvršćene na slobodni kraj opruge. Pretpostavit ćemo da se opterećenje može kretati samo u smjeru ose opruge (na primjer, kretanje se događa duž šipke). Hajde da napravimo matematički model ovog sistema. Stanje sistema ćemo opisati rastojanjem od centra opterećenja do njegovog ravnotežnog položaja. Opišimo interakciju opruge i opterećenja pomoću Hookeov zakon() a zatim koristite drugi Newtonov zakon da ga izrazite u obliku diferencijalne jednadžbe:
gdje znači drugi izvod od s obzirom na vrijeme: .
Rezultirajuća jednačina opisuje matematički model razmatranog fizičkog sistema. Ovaj model se naziva "harmonički oscilator".
Prema formalnoj klasifikaciji, ovaj model je linearan, deterministički, dinamičan, koncentrisan, kontinuiran. U procesu njegove izgradnje dali smo mnoge pretpostavke (o odsustvu vanjskih sila, odsustvu trenja, malenosti odstupanja itd.), koje u stvarnosti možda neće biti ispunjene.
U odnosu na stvarnost, najčešće se radi o modelu tipa 4 pojednostavljenje(„izostavićemo neke detalje radi jasnoće“), budući da su neke bitne univerzalne karakteristike (na primjer, disipacija) izostavljene. U nekoj aproksimaciji (recimo, dok je odstupanje opterećenja od ravnoteže malo, sa malim trenjem, ne previše vremena i podložan određenim drugim uslovima), takav model prilično dobro opisuje stvarni mehanički sistem, jer odbačeni faktori imaju zanemariv uticaj na njegovo ponašanje. Međutim, model se može poboljšati uzimajući u obzir neke od ovih faktora. To će dovesti do novog modela, sa širim (iako opet ograničenim) opsegom primjene.
Međutim, prilikom usavršavanja modela, složenost njegovog matematičkog istraživanja može se značajno povećati i učiniti model praktično beskorisnim. Često jednostavniji model omogućava bolje i dublje istraživanje stvarnog sistema od složenijeg (i, formalno, „ispravnijeg“).
Ako model harmonijskog oscilatora primenimo na objekte daleko od fizike, njegov sadržajni status može biti drugačiji. Na primjer, kada se ovaj model primjenjuje na biološke populacije, najvjerovatnije bi ga trebalo klasificirati kao tip 6 analogija(„uzmimo u obzir samo neke karakteristike“).
Tvrdi i mekani modeli
Harmonski oscilator je primjer takozvanog “tvrdog” modela. Dobija se kao rezultat snažne idealizacije realnog fizičkog sistema. Da bismo riješili pitanje njegove primjenjivosti, potrebno je razumjeti koliko su značajni faktori koje smo zanemarili. Drugim riječima, potrebno je proučavati “meki” model koji se dobija malim perturbacijom “tvrdog”. Može se dati, na primjer, sljedećom jednadžbom:
Evo neke funkcije koja može uzeti u obzir silu trenja ili ovisnost koeficijenta krutosti opruge o stupnju njenog rastezanja - neki mali parametar. Eksplicitni oblik funkcije trenutno nas ne zanima. Ako dokažemo da se ponašanje mekog modela suštinski ne razlikuje od ponašanja tvrdog (bez obzira na eksplicitni tip uznemirujućih faktora, ako su dovoljno mali), problem će se svesti na proučavanje tvrdog modela. Inače, primjena rezultata dobivenih proučavanjem krutog modela zahtijevat će dodatna istraživanja. Na primjer, rješenje jednadžbe harmonijskog oscilatora su funkcije oblika , odnosno oscilacije sa konstantnom amplitudom. Da li iz ovoga slijedi da će pravi oscilator oscilirati neograničeno s konstantnom amplitudom? Ne, jer uzimajući u obzir sistem sa proizvoljno malim trenjem (uvek prisutno u realnom sistemu), dobijamo prigušene oscilacije. Ponašanje sistema se kvalitativno promijenilo.
Ako sistem održava svoje kvalitativno ponašanje pod malim poremećajima, kaže se da je strukturno stabilan. Harmonski oscilator je primjer strukturno nestabilnog (nehrapavog) sistema. Međutim, ovaj model se može koristiti za proučavanje procesa u ograničenom vremenskom periodu.
Raznovrsnost modela
Najvažniji matematički modeli obično imaju važno svojstvo svestranost: Fundamentalno različite stvarne pojave mogu se opisati istim matematičkim modelom. Na primjer, harmonijski oscilator opisuje ne samo ponašanje opterećenja na oprugu, već i druge oscilatorne procese, često potpuno drugačije prirode: male oscilacije klatna, fluktuacije u nivou tekućine u posudi u obliku slova A. , ili promjena jačine struje u oscilatornom krugu. Dakle, proučavanjem jednog matematičkog modela, mi odmah proučavamo čitavu klasu fenomena opisanih njime. Upravo je ovaj izomorfizam zakona izraženih matematičkim modelima u različitim segmentima naučnog znanja inspirisao Ludwiga von Bertalanffyja da stvori „Opću teoriju sistema“.
Direktni i inverzni problemi matematičkog modeliranja
Mnogo je problema povezanih s matematičkim modeliranjem. Prvo morate smisliti osnovni dijagram modeliranog objekta, reproducirati ga u okviru idealizacije ove nauke. Tako se vagon pretvara u sistem ploča i složenijih tijela od različitih materijala, svaki materijal je specificiran kao njegova standardna mehanička idealizacija (gustina, moduli elastičnosti, standardne karakteristike čvrstoće), nakon čega se sastavljaju jednačine, a usput neki detalji se odbacuju kao nevažni, vrše se proračuni, upoređuju se sa mjerenjima, model se rafinira i tako dalje. Međutim, za razvoj tehnologija matematičkog modeliranja, korisno je rastaviti ovaj proces na njegove glavne komponente.
Tradicionalno, postoje dvije glavne klase problema povezanih s matematičkim modelima: direktni i inverzni.
Direktan zadatak: struktura modela i svi njegovi parametri se smatraju poznatim, glavni zadatak je provesti studiju modela kako bi se izvukla korisna znanja o objektu. Koje će statičko opterećenje most izdržati? Kako će reagovati na dinamičko opterećenje (na primjer, na marš čete vojnika, ili na prolazak voza različitim brzinama), kako će avion savladati zvučnu barijeru, hoće li se raspasti od lepršanja - ovo su tipični primjeri direktnog problema. Postavljanje pravog direktnog problema (postavljanje pravog pitanja) zahtijeva posebnu vještinu. Ako se ne postavljaju prava pitanja, most se može srušiti, čak i ako je izgrađen dobar model za njegovo ponašanje. Tako se 1879. godine u Velikoj Britaniji srušio metalni most preko rijeke Tay, čiji su projektanti izgradili model mosta, izračunali da ima 20-struki sigurnosni faktor za djelovanje korisnog tereta, ali su zaboravili na vjetrove stalno duva na tim mestima. I nakon godinu i po dana je propao.
U najjednostavnijem slučaju (jedna oscilatorna jednadžba, na primjer), direktni problem je vrlo jednostavan i svodi se na eksplicitno rješenje ove jednačine.
Inverzni problem: poznato je mnogo mogućih modela, mora se odabrati određeni model na osnovu dodatnih podataka o objektu. Najčešće je poznata struktura modela i potrebno je odrediti neke nepoznate parametre. Dodatne informacije mogu se sastojati od dodatnih empirijskih podataka ili zahtjeva za objekt ( problem dizajna). Dodatni podaci mogu stići bez obzira na proces rješavanja inverznog problema ( pasivno posmatranje) ili biti rezultat eksperimenta posebno planiranog tokom rješenja ( aktivni nadzor).
Jedan od prvih primjera majstorskog rješenja inverznog problema uz potpunu upotrebu dostupnih podataka bila je metoda koju je konstruirao I. Newton za rekonstrukciju sila trenja iz uočenih prigušenih oscilacija.
Drugi primjer je matematička statistika. Zadatak ove nauke je da razvije metode za snimanje, opisivanje i analizu opservacijskih i eksperimentalnih podataka kako bi se izgradili probabilistički modeli masovnih slučajnih pojava. One. skup mogućih modela je ograničen na probabilističke modele. U specifičnim zadacima skup modela je ograničeniji.
Sistemi kompjuterske simulacije
Za podršku matematičkom modeliranju razvijeni su kompjuterski matematički sistemi, na primjer, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, itd. Oni vam omogućavaju da kreirate formalne i blok modele jednostavnih i složenih procesa i uređaja i lako mijenjate parametre modela tokom modeliranje. Blok modeli predstavljeni su blokovima (najčešće grafičkim), čiji je skup i veza specificiran dijagramom modela.
Dodatni primjeri
Malthusov model
Stopa rasta je proporcionalna trenutnoj veličini populacije. Opisuje se diferencijalnom jednadžbom
gdje je određeni parametar određen razlikom između nataliteta i stope smrtnosti. Rješenje ove jednadžbe je eksponencijalna funkcija. Ako stopa nataliteta premašuje stopu smrtnosti (), veličina populacije se povećava neograničeno i vrlo brzo. Jasno je da se to u stvarnosti ne može dogoditi zbog ograničenih resursa. Kada se dostigne određena kritična veličina populacije, model prestaje da bude adekvatan, jer ne uzima u obzir ograničene resurse. Rafiniranje Malthusovog modela može biti logistički model, koji je opisan Verhulstovom diferencijalnom jednadžbom
gdje je "ravnotežna" veličina populacije, pri kojoj je stopa nataliteta tačno kompenzirana stopom smrtnosti. Veličina populacije u takvom modelu teži ravnotežnoj vrijednosti i ovo ponašanje je strukturno stabilno.
Sistem predator-plijen
Recimo da na određenom području žive dvije vrste životinja: zečevi (jedu biljke) i lisice (jedu zečeve). Neka je broj zečeva, broj lisica. Koristeći Malthusov model sa potrebnim amandmanima da se uzme u obzir jedenje zečeva od strane lisica, dolazimo do sljedećeg sistema pod nazivom modeli Tacne - Volterra:
Ovaj sistem ima ravnotežno stanje kada je broj zečeva i lisica konstantan. Odstupanje od ovog stanja dovodi do fluktuacija u broju zečeva i lisica, slično fluktuacijama harmonijskog oscilatora. Kao i kod harmonijskog oscilatora, ovo ponašanje nije strukturno stabilno: mala promjena u modelu (na primjer, uzimajući u obzir ograničene resurse potrebne zečevima) može dovesti do kvalitativne promjene ponašanja. Na primjer, stanje ravnoteže može postati stabilno, a fluktuacije u brojevima će izumrijeti. Moguća je i suprotna situacija, kada će svako malo odstupanje od ravnotežnog položaja dovesti do katastrofalnih posljedica, sve do potpunog izumiranja jedne od vrsta. Volterra-Lotka model ne daje odgovor na pitanje koji se od ovih scenarija ostvaruje: ovdje su potrebna dodatna istraživanja.
Bilješke
- "Matematički prikaz stvarnosti" (Encyclopaedia Britanica)
- Novik I. B., O filozofskim pitanjima kibernetičkog modeliranja. M., Znanje, 1964.
- Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2
- Samarsky A. A., Mihajlov A. P. Matematičko modeliranje. Ideje. Metode. Primjeri. - 2. izd., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
- Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
- Sevostyanov, A.G. Modeliranje tehnoloških procesa: udžbenik / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. – M.: Laka i prehrambena industrija, 1984. - 344 str.
- Vikirječnik: matematički model
- CliffsNotes.com. Glosar nauke o Zemlji. 20. septembar 2010
- Model redukcije i pristupi grubog zrna za fenomene više razmjera, Springer, Complexity serija, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 str. ISBN 3-540-35885-4
- “Teorija se smatra linearnom ili nelinearnom u zavisnosti od vrste matematičkog aparata – linearnog ili nelinearnog – i kakve linearne ili nelinearne matematičke modele koristi. ...ne poričući ovo drugo. Savremeni fizičar, kada bi morao ponovo da kreira definiciju tako važnog entiteta kao što je nelinearnost, najverovatnije bi delovao drugačije i, dajući prednost nelinearnosti kao važnijoj i raširenoj od dve suprotnosti, definisao bi linearnost kao „nelinearnost“. nelinearnost.” Danilov Yu. A., Predavanja o nelinearnoj dinamici. Elementarni uvod. Serija "Sinergetika: od prošlosti do budućnosti." Izdanje 2. - M.: URSS, 2006. - 208 str. ISBN 5-484-00183-8
- „Dinamički sistemi modelovani konačnim brojem običnih diferencijalnih jednačina nazivaju se koncentrisanim ili tačkastim sistemima. Oni su opisani korištenjem konačno-dimenzionalnog faznog prostora i karakterizirani su konačnim brojem stupnjeva slobode. Isti sistem pod različitim uslovima može se smatrati ili koncentrisanim ili distribuiranim. Matematički modeli distribuiranih sistema su parcijalne diferencijalne jednačine, integralne jednačine ili obične jednačine kašnjenja. Broj stepeni slobode distribuiranog sistema je beskonačan, a za određivanje njegovog stanja potreban je beskonačan broj podataka.” Anishchenko V. S., Dinamički sistemi, Soros obrazovni časopis, 1997, br. 11, str. 77-84.
- “U zavisnosti od prirode procesa koji se proučavaju u sistemu S, sve vrste modeliranja mogu se podijeliti na determinističko i stohastičko, statičko i dinamičko, diskretno, kontinuirano i diskretno-kontinuirano. Determinističko modeliranje odražava determinističke procese, odnosno procese u kojima se pretpostavlja odsustvo bilo kakvih slučajnih uticaja; stohastičko modeliranje prikazuje probabilističke procese i događaje. ... Statičko modeliranje služi za opisivanje ponašanja objekta u bilo kojem trenutku, a dinamičko modeliranje odražava ponašanje objekta tokom vremena. Diskretno modeliranje se koristi za opisivanje procesa za koje se pretpostavlja da su diskretni, odnosno kontinuirano modeliranje nam omogućava da reflektujemo kontinuirane procese u sistemima, a diskretno-kontinuirano modeliranje se koristi za slučajeve kada se želi istaći prisustvo i diskretnih i kontinuiranih procesa. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
- Tipično, matematički model odražava strukturu (uređaj) modeliranog objekta, svojstva i odnose komponenti ovog objekta koji su bitni za potrebe istraživanja; takav model se naziva strukturnim. Ako model odražava samo kako objekt funkcionira – na primjer, kako reagira na vanjske utjecaje – onda se naziva funkcionalnim ili, figurativno, crnom kutijom. Mogući su i kombinovani modeli. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
- „Očigledna, ali najvažnija početna faza konstruisanja ili odabira matematičkog modela je dobijanje što jasnije slike o objektu koji se modelira i usavršavanje njegovog smislenog modela, na osnovu neformalnih diskusija. U ovoj fazi ne biste trebali štedjeti vrijeme i trud, od toga u velikoj mjeri ovisi uspjeh cijelog studija. Desilo se više puta da se značajan rad utrošen na rješavanje matematičkog problema pokazao nedjelotvornim ili čak uzaludan zbog nedovoljne pažnje ovoj strani stvari.” Myshkis A. D., Elementi teorije matematičkih modela. - 3. izd., rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
- « Opis konceptualnog modela sistema. U ovoj podfazi izgradnje modela sistema: a) konceptualni model M se opisuje apstraktnim terminima i konceptima; b) opis modela je dat koristeći standardne matematičke šeme; c) hipoteze i pretpostavke su konačno prihvaćene; d) izbor postupka za aproksimaciju stvarnih procesa prilikom konstruisanja modela je opravdan.” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modeliranje sistema: Proc. za univerzitete - 3. izd., revidirano. i dodatne - M.: Više. škola, 2001. - 343 str. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
- Blekhman I. I., Myshkis A. D.,
Instrukcije
Metoda statističkog modeliranja (statističko testiranje) je široko poznata kao Monte Carlo metoda. Ova metoda je poseban slučaj matematičkog modeliranja i zasniva se na kreiranju vjerojatnosnih modela slučajnih pojava. Osnova svake slučajnosti je slučajna varijabla ili slučajni proces. U ovom slučaju, slučajni proces sa probabilističke tačke gledišta se opisuje kao n-dimenzionalna slučajna varijabla. Potpuna vjerovatnoća slučajne varijable je data njenom gustinom vjerovatnoće. Poznavanje ovog zakona distribucije omogućava dobijanje digitalnih modela slučajnih procesa na računaru, umesto eksperimenata u punoj veličini sa njima. Sve je to moguće samo u diskretnom obliku iu diskretnom vremenu, što se mora uzeti u obzir pri kreiranju statičkih modela.
U statičkom modeliranju treba se odmaknuti od razmatranja specifičnog fenomena, fokusirajući se samo na njegove vjerovatnoće. Ovo omogućava korištenje jednostavnih fenomena za modeliranje koji imaju vjerojatnostne indikatore slične fenomenu koji se modelira. Na primjer, bilo koji događaj koji se dogodi s vjerovatnoćom od 0,5 može se simulirati jednostavnim bacanjem simetričnog novčića. Svaki pojedinačni korak statističkog modeliranja naziva se izvlačenje. Dakle, da bi se odredila procjena matematičkog očekivanja, biće potrebno N crteža slučajne varijable (SV) X.
Glavni alat za kompjutersko modeliranje su senzori nasumičnog broja ujednačeni na intervalu (0, 1). Dakle, u Pascal okruženju, takav slučajni broj se poziva pomoću naredbe Random. Kalkulatori imaju dugme RND za ovaj slučaj. Postoje i tabele takvih nasumičnih brojeva (do 1.000.000 zapremine). Vrijednost uniforme na (0, 1) SV Z je označena sa z.
Razmotrimo tehniku za modeliranje proizvoljne slučajne varijable koristeći nelinearnu transformaciju funkcije distribucije. Ova metoda nema metodoloških grešaka. Neka je zakon raspodjele kontinuiranog SV X zadan gustinom vjerovatnoće W(x). Ovdje počinjete da se pripremate i implementirate modeliranje.
Naći funkciju raspodjele X - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Uzmite Z=z i riješite jednačinu z=F(x) za x (ovo je uvijek moguće jer i Z i F(x) imaju vrijednosti u rasponu od nule do jedan). Napišite rješenje x=F^(-1 )( z). Ovo je algoritam za modeliranje. F^(-1) je inverzni F. Sve što ostaje je da se dosljedno dobiju vrijednosti xi digitalnog modela X* CD X koristeći ovaj algoritam.
Primjer. SV je određen gustinom vjerovatnoće W(x)=λexp(-λx), x≥0 (eksponencijalna distribucija). Pronađite digitalni model.Rješenje.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1- exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Budući da i z i 1-z imaju vrijednosti iz intervala (0, 1) i one su uniformne, tada (1-z) možemo zamijeniti z. 3. Postupak modeliranja eksponencijalnog SV provodi se prema formuli x=(-1/λ)∙lnz. Preciznije, xi=(-1/λ)ln(zi).
Šta je matematički model?
Koncept matematičkog modela.
Matematički model je vrlo jednostavan koncept. I veoma važno. Matematički modeli su ti koji povezuju matematiku i stvarni život.
jednostavnim riječima, matematički model je matematički opis bilo koje situacije. To je sve. Model može biti primitivan, ili može biti super složen. Kakva god da je situacija, takav je model.)
U bilo kom (ponavljam - u bilo kom!) u slučaju kada treba nešto prebrojati i izračunati - bavimo se matematičkim modeliranjem. Čak i ako ne sumnjamo.)
P = 2 CB + 3 CM
Ovaj unos će biti matematički model troškova naših kupovina. Model ne uzima u obzir boju pakovanja, rok trajanja, ljubaznost blagajnika itd. Zato ona model, nije stvarna kupovina. Ali troškovi, tj. šta nam treba- Saznaćemo sigurno. Naravno, ako je model ispravan.
Korisno je zamisliti šta je matematički model, ali to nije dovoljno. Najvažnije je da budete u mogućnosti da napravite ove modele.
Izrada (konstrukcija) matematičkog modela problema.
Stvoriti matematički model znači prevesti uslove problema u matematički oblik. One. pretvoriti riječi u jednačinu, formulu, nejednakost itd. Štaviše, transformirajte ga tako da ova matematika striktno odgovara izvornom tekstu. U suprotnom, na kraju ćemo dobiti matematički model nekog drugog nama nepoznatog problema.)
Tačnije, trebate
Na svijetu postoji beskrajan broj zadataka. Stoga ponudite jasne upute korak po korak za izradu matematičkog modela bilo koji zadaci su nemogući.
Ali postoje tri glavne tačke na koje morate obratiti pažnju.
1. Bilo koji problem sadrži tekst, što je čudno.) Ovaj tekst, po pravilu, sadrži eksplicitne, otvorene informacije. Brojevi, vrijednosti itd.
2. Bilo koji problem ima skrivene informacije. Ovo je tekst koji pretpostavlja dodatno znanje u vašoj glavi. Nema šanse bez njih. Osim toga, matematičke informacije su često skrivene iza jednostavnih riječi i... izmiču pozornosti.
3. Svaki zadatak se mora dati međusobno povezivanje podataka. Ova veza može biti data u običnom tekstu (nešto je jednako nečemu), ili može biti skrivena iza jednostavnih riječi. Ali jednostavne i jasne činjenice se često zanemaruju. A model nije sastavljen ni na koji način.
Odmah ću reći: da biste primijenili ove tri tačke, morate pročitati problem (i pažljivo!) nekoliko puta. Uobičajena stvar.
A sada - primjeri.
Počnimo sa jednostavnim problemom:
Petrović se vratio sa pecanja i ponosno predstavio svoj ulov porodici. Pažljivijim ispitivanjem ispostavilo se da je 8 riba došlo iz sjevernih mora, 20% svih riba je došlo iz južnih mora, a nijedna nije došla iz lokalne rijeke u kojoj je Petrović lovio. Koliko je ribe Petrović kupio u prodavnici morskih plodova?
Sve ove riječi treba pretvoriti u neku vrstu jednačine. Da biste to uradili trebate, ponavljam, uspostaviti matematičku vezu između svih podataka u problemu.
Gdje početi? Prvo, izdvojimo sve podatke iz zadatka. Počnimo redom:
Obratimo pažnju na prvu tačku.
Koji je ovde? eksplicitno matematičke informacije? 8 riba i 20%. Ne puno, ali nam ne treba puno.)
Obratimo pažnju na drugu tačku.
Tražite skriveno informacije. Ovdje je. ovo su riječi: „20% sve ribe“Ovdje treba shvatiti koji su procenti i kako se računaju. U suprotnom, problem se ne može riješiti. Upravo to je dodatna informacija koja bi trebala biti u vašoj glavi.
Tu je i matematički informacije koje su potpuno nevidljive. Ovo pitanje zadatka: "Koliko sam ribe kupio..." Ovo je takođe broj. A bez toga se neće formirati nijedan model. Stoga, označimo ovaj broj slovom "X". Još ne znamo čemu je x jednako, ali ova oznaka će nam biti vrlo korisna. Više detalja o tome šta treba poduzeti za X i kako se nositi s tim napisano je u lekciji Kako rješavati zadatke iz matematike? Zapišimo to odmah:
x komada - ukupan broj riba.
U našem problemu južne ribe su date u procentima. Moramo ih pretvoriti u komade. Za što? Šta onda unutra bilo koji problem modela mora biti nacrtan u istoj vrsti količina. Komadi - tako da je sve u komadima. Ako se daju, recimo, sati i minute, sve prevodimo u jednu stvar - ili samo sate, ili samo minute. Nije bitno šta je. Važno je da sve vrijednosti su bile istog tipa.
Vratimo se na otkrivanje informacija. Ko ne zna koliki je postotak, nikada to neće otkriti, da... Ali ko zna, odmah će reći da se ovdje procenti baziraju na ukupnom broju riba. A ovaj broj ne znamo. Ništa neće raditi!
Nije uzalud ukupan broj ribe (u komadima!) "X" određen. Neće se moći izbrojati broj južnjačkih riba, ali možemo ih zapisati? Volim ovo:
0,2 x komada - broj riba iz južnih mora.
Sada smo preuzeli sve informacije iz zadatka. I očigledne i skrivene.
Obratimo pažnju na treću tačku.
Tražite matematička veza između podataka zadatka. Ova veza je toliko jednostavna da je mnogi ne primjećuju... Ovo se često dešava. Ovdje je korisno jednostavno zapisati prikupljene podatke na hrpu i vidjeti šta je šta.
šta imamo? Jedi 8 komada sjeverne ribe, 0,2 x komada- južne ribe i x riba- ukupan iznos. Da li je moguće nekako povezati ove podatke? Yes Easy! Ukupan broj riba jednaki zbir južnog i severnog! Pa ko bi rekao...) Pa zapisujemo:
x = 8 + 0,2x
Ovo je jednadžba matematički model našeg problema.
Imajte na umu da u ovom problemu Od nas se ne traži ništa da preklopimo! Mi smo sami, van glave, shvatili da će nam zbir južne i sjeverne ribe dati ukupan broj. Stvar je toliko očigledna da ostaje neprimećena. Ali bez ovog dokaza, matematički model se ne može stvoriti. Volim ovo.
Sada možete koristiti punu snagu matematike da riješite ovu jednačinu). Upravo zbog toga je sastavljen matematički model. Rješavamo ovu linearnu jednačinu i dobijamo odgovor.
odgovor: x=10
Hajde da napravimo matematički model drugog problema:
Pitali su Petrovića: "Imaš li puno novca?" Petrović je počeo da plače i odgovorio: "Da, samo malo. Ako potrošim pola novca, a pola ostatka, ostaće mi samo jedna vreća novca..." Koliko novca ima Petrović ?
Opet radimo tačku po tačku.
1. Tražimo eksplicitne informacije. Nećete ga odmah pronaći! Eksplicitna informacija je jedan torba za novac. Ima još nekih polovina... Pa, to ćemo pogledati u drugom pasusu.
2. Tražimo skrivene informacije. Ovo su polovice. Šta? Nije baš jasno. Tražimo dalje. Postoji još jedno pitanje: "Koliko novca ima Petrović?" Označimo iznos novca slovom "X":
X- sav novac
I ponovo čitamo problem. Već znam da je Petrović X novac. Ovdje će polovice raditi! Zapisujemo:
0,5 x- pola novca.
Ostatak će također biti polovina, tj. 0,5 x. A pola pola se može napisati ovako:
0,5 0,5 x = 0,25x- polovina ostatka.
Sada su sve skrivene informacije otkrivene i snimljene.
3. Tražimo vezu između snimljenih podataka. Ovdje možete jednostavno pročitati Petrovičevu patnju i zapisati je matematički):
Ako potrošim pola novca...
Snimimo ovaj proces. Sav novac - X. pola - 0,5 x. Potrošiti znači oduzeti. Fraza se pretvara u snimak:
x - 0,5 x
da pola ostalo...
Oduzmimo drugu polovinu ostatka:
x - 0,5 x - 0,25x
onda će mi ostati samo jedna vreća novca...
I tu smo našli jednakost! Nakon svih oduzimanja ostaje jedna vreća novca:
x - 0,5 x - 0,25x = 1
Evo ga, matematički model! Ovo je opet linearna jednadžba, riješimo je, dobijemo:
Pitanje za razmatranje. Šta je četiri? Rublja, dolar, juan? I u kojim jedinicama je novac napisan u našem matematičkom modelu? U vrećama! To znači četiri torba novac od Petroviča. Dobro, također.)
Zadaci su, naravno, elementarni. Ovo je posebno da bi se uhvatila suština izrade matematičkog modela. Neki zadaci mogu sadržavati mnogo više podataka u kojima se može lako izgubiti. To se često dešava u tzv. zadaci kompetencije. Kako izdvojiti matematički sadržaj iz gomile riječi i brojeva prikazano je na primjerima
Još jedna napomena. U klasičnim školskim problemima (cijevi pune bazen, čamci koji negdje plutaju, itd.), svi podaci se po pravilu biraju vrlo pažljivo. Postoje dva pravila:
- ima dovoljno informacija u problemu da ga se riješi,
- U problemu nema nepotrebnih informacija.
Ovo je nagoveštaj. Ako je neka vrijednost ostala neiskorištena u matematičkom modelu, razmislite da li postoji greška. Ako nema dovoljno podataka, najvjerovatnije nisu sve skrivene informacije identificirane i zabilježene.
U poslovima vezanim za kompetencije i drugim životnim zadacima ova pravila se ne poštuju striktno. Nema pojma. Ali i takvi problemi se mogu riješiti. Ako, naravno, vježbate na klasičnim.)
Ako vam se sviđa ovaj sajt...
Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)
Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.
Zamislite avion: krila, trup, rep, sve to zajedno - pravi ogroman, ogroman, cijeli avion. Ili možete napraviti model aviona, mali, ali kao u stvarnom životu, ista krila itd., ali kompaktan. Takav je i matematički model. Postoji problem sa tekstom, glomazan, možete ga pogledati, pročitati, ali ga ne razumjeti sasvim, a još više nije jasno kako ga riješiti. Što ako napravite mali model velikog riječnog problema, matematički model? Šta znači matematički? To znači, koristeći pravila i zakone matematičke notacije, pretvoriti tekst u logički ispravan prikaz koristeći brojeve i aritmetičke znakove. dakle, matematički model je prikaz realne situacije koristeći matematički jezik.
Počnimo s jednostavnim: broj je veći od broja za. Ovo treba da zapišemo bez upotrebe reči, već samo jezikom matematike. Ako ima više po, onda se ispostavlja da ako oduzmemo od, onda će ista razlika ovih brojeva ostati jednaka. One. ili. Da li razumete poentu?
Sad je teže, sad će biti tekst koji bi trebalo da pokušate da predstavite u obliku matematičkog modela, nemojte još čitati kako ću to da uradim, pokušajte sami! Postoje četiri broja: , i. Proizvod je dvostruko veći od proizvoda.
Šta se desilo?
U obliku matematičkog modela to će izgledati ovako:
One. proizvod se odnosi na dva prema jedan, ali ovo se može dodatno pojednostaviti:
Pa, dobro, na jednostavnim primjerima shvatate poentu, mislim. Pređimo na punopravne probleme u kojima i ove matematičke modele treba riješiti! Evo izazova.
Matematički model u praksi
Problem 1
Nakon kiše nivo vode u bunaru može porasti. Dječak mjeri vrijeme pada sitnog kamenčića u bunar i izračunava udaljenost do vode koristeći formulu, gdje je udaljenost u metrima, a vrijeme pada u sekundama. Prije kiše vrijeme pada šljunka bilo je s. Za koliko mora porasti nivo vode nakon kiše da bi se izmjereno vrijeme promijenilo u s? Izrazite svoj odgovor u metrima.
Moj bože! Koje formule, kakav bunar, šta se dešava, šta da se radi? Jesam li ti pročitao misli? Opustite se, u problemima ovog tipa postoje još strašniji uslovi, najvažnije je zapamtiti da vas u ovom problemu zanimaju formule i odnosi između varijabli, a šta sve to znači u većini slučajeva nije mnogo bitno. Šta vidite ovdje korisnim? Ja to lično vidim. Princip rješavanja ovih problema je sljedeći: uzimate sve poznate količine i zamjenjujete ih.ALI, ponekad treba razmisliti!
Slijedeći moj prvi savjet i zamjenom svega poznatog u jednadžbu, dobivamo:
Ja sam zamenio vreme sekunde i pronašao visinu kojom je kamen poleteo pre kiše. Sada treba da prebrojimo posle kiše i pronađemo razliku!
Sada poslušajte drugi savjet i razmislite o tome, pitanje precizira „koliko nivo vode mora porasti nakon kiše da bi se izmjereno vrijeme promijenilo u s.“ Odmah morate shvatiti da nakon kiše nivo vode raste, što znači da je vrijeme spuštanja kamena do nivoa vode kraće, a ovdje kitnjasta fraza „da se izmjereno vrijeme mijenja“ dobija specifično značenje: padanje vrijeme se ne povećava, već se smanjuje za naznačene sekunde. To znači da u slučaju bacanja nakon kiše treba samo da oduzmemo c od početnog vremena c i dobijemo jednačinu za visinu kojom će kamen doletjeti nakon kiše:
I na kraju, da biste pronašli koliko nivo vode mora porasti nakon kiše da bi se izmjereno vrijeme promijenilo u s., samo trebate oduzeti drugi od prve visine pada!
Dobijamo odgovor: po metru.
Kao što vidite, nema ništa komplikovano, glavno je da se ne zamarate previše otkud takva nerazumljiva i ponekad složena jednačina u uslovima i šta sve u njoj znači, vjerujte mi na riječ, većina ove jednačine su preuzete iz fizike, a tamo je džungla gora nego u algebri. Ponekad mi se čini da su ovi zadaci izmišljeni da bi studenta na Jedinstvenom državnom ispitu zastrašili obiljem složenih formula i pojmova, a u većini slučajeva ne zahtijevaju gotovo nikakvo znanje. Samo pažljivo pročitajte uvjet i zamijenite poznate količine u formulu!
Evo još jednog zadatka, ne više iz fizike, već iz svijeta ekonomske teorije, iako ovdje opet nije potrebno poznavanje drugih nauka osim matematike.
Problem 2
Ovisnost obima potražnje (jedinica mjesečno) za proizvode monopolističkog preduzeća od cijene (hiljadu rubalja) data je formulom
Prihod preduzeća za mjesec (u hiljadama rubalja) izračunava se pomoću formule. Odredite najvišu cijenu po kojoj će mjesečni prihod biti najmanje hiljadu rubalja. Odgovor dajte u hiljadama rubalja.
Pogodi šta ću sada? Da, počeću da uključujem ono što znamo, ali opet ću morati malo da razmislim. Idemo od kraja, moramo pronaći na kojem. Dakle, postoji, nečemu je jednako, nađemo čemu je još ovo jednako, i jednako je tome, pa to zapišemo. Kao što vidite, ja se baš i ne opterećujem značenjem svih ovih veličina, samo gledam iz uslova da vidim šta je jednako čemu, to je ono što treba da uradite. Vratimo se problemu, već ga imate, ali kao što se sjećate iz jedne jednačine sa dvije varijable, ne možete pronaći nijednu od njih, šta da radite? Da, još uvijek imamo neiskorišteni komad u stanju. Sada već postoje dvije jednačine i dvije varijable, što znači da se sada obje varijable mogu naći - odlično!
– možete li riješiti takav sistem?
Rješavamo zamjenom; već je izraženo, pa ga zamijenimo u prvu jednačinu i pojednostavimo.
Dobijamo ovu kvadratnu jednačinu: , rješavamo, korijeni su ovako, . Zadatak zahtijeva pronalaženje najveće cijene po kojoj će biti ispunjeni svi uvjeti koje smo uzeli u obzir prilikom kreiranja sistema. Oh, ispostavilo se da je to bila cijena. Super, pa smo pronašli cijene: i. Najviša cijena, kažete? U redu, najveći od njih, očigledno, pišemo kao odgovor. Pa, je li teško? Mislim da nije, i nema potrebe da se previše upuštam u to!
A evo neke zastrašujuće fizike, odnosno još jednog problema:
Problem 3
Za određivanje efektivne temperature zvijezda koristi se Stefan-Boltzmann zakon, prema kojem je gdje je snaga zračenja zvijezde konstanta, površina zvijezde i temperatura. Poznato je da je površina određene zvijezde jednaka, a snaga njenog zračenja jednaka W. Pronađite temperaturu ove zvijezde u stepenima Kelvina.
Kako je jasno? Da, uslov kaže šta je jednako čemu. Ranije sam preporučivao zamjenu svih nepoznatih odjednom, ali ovdje je bolje prvo izraziti traženo nepoznato. Pogledajte kako je to jednostavno: postoji formula i u njoj znamo, i (ovo je grčko slovo “sigma”. Uglavnom, fizičari vole grčka slova, naviknite se na to). A temperatura je nepoznata. Izrazimo to u obliku formule. Nadam se da znaš kako se ovo radi? Takvi zadaci za državni ispit u 9. razredu obično se daju:
Sada sve što ostaje je zamijeniti brojeve umjesto slova na desnoj strani i pojednostaviti:
Evo odgovora: stepeni Kelvina! I kakav je to užasan zadatak bio!
Nastavljamo da mučimo probleme fizike.
Problem 4
Visina iznad tla bačene lopte mijenja se u skladu sa zakonom, gdje je visina u metrima, a vrijeme u sekundama koje je prošlo od trenutka bacanja. Koliko sekundi će lopta ostati na visini od najmanje tri metra?
To su sve bile jednadžbe, ali ovdje treba odrediti koliko je lopta bila dugačka na visini od najmanje tri metra, što znači na visini. Šta ćemo izmišljati? Nejednakost, tačno! Imamo funkciju koja opisuje kako lopta leti, gdje - ovo je potpuno ista visina u metrima, potrebna nam je visina. Sredstva
A sada jednostavno riješite nejednakost, glavna stvar je da ne zaboravite promijeniti znak nejednakosti sa više ili jednako na manje ili jednako kada množite s obje strane nejednakosti kako biste se riješili minusa ispred.
Ovo su korijeni, konstruiramo intervale za nejednakost:
Zanima nas interval u kojem je predznak minus, pošto nejednakost tamo poprima negativne vrijednosti, ovo je od do oba uključivo. Sada uključimo mozak i dobro razmislimo: za nejednakost smo koristili jednačinu koja opisuje let lopte, ona nekako leti po paraboli, tj. uzlijeće, dostiže vrh i pada, kako razumjeti koliko će dugo ostati na visini od najmanje metara? Pronašli smo 2 prekretnice, tj. onog trenutka kada se uzdigne iznad metara i kada padne dostigne istu oznaku, ove dvije tačke se izražavaju u obliku vremena, tj. znamo u kojoj sekundi leta je ušao u zonu koja nas zanima (iznad metara) a u kojoj je iz nje izašao (pao ispod metra). Koliko je sekundi bio u ovoj zoni? Logično je da uzmemo vrijeme izlaska iz zone i od njega oduzmemo vrijeme ulaska u ovu zonu. Prema tome: - bio je toliko dugo u zoni iznad metara, ovo je odgovor.
Imaš sreće što se većina primjera na ovu temu može uzeti iz kategorije zadataka iz fizike, pa uhvati još jedan, posljednji je, pa se natjeraj, ostalo je još malo!
Problem 5
Za grijaći element određenog uređaja eksperimentalno je dobivena ovisnost temperature o vremenu rada:
Gdje je vrijeme u minutama, . Poznato je da ako je temperatura grijaćeg elementa viša, uređaj se može pokvariti, pa se mora isključiti. Pronađite najduže vrijeme nakon početka rada koje vam je potrebno da isključite uređaj. Izrazite svoj odgovor za nekoliko minuta.
Djelujemo prema dobro utvrđenoj shemi, prvo zapišemo sve što je dato:
Sada uzimamo formulu i izjednačavamo je s temperaturom na koju se uređaj može zagrijati što je više moguće dok ne izgori, odnosno:
Sada umjesto slova zamjenjujemo brojeve tamo gdje su poznati:
Kao što vidite, temperatura tokom rada uređaja opisuje se kvadratnom jednačinom, što znači da je raspoređena duž parabole, tj. Uređaj se zagrijava do određene temperature, a zatim se hladi. Dobili smo odgovore i, stoga, na i na minutama grijanja temperatura je jednaka kritičnoj, ali između i minuta - čak je viša od granice!
To znači da morate isključiti uređaj nakon nekoliko minuta.
MATEMATIČKI MODELI. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA
Najčešće se u fizici koriste matematički modeli: vjerojatno ste morali zapamtiti desetke fizičkih formula. A formula je matematički prikaz situacije.
Na OGE i Jedinstvenom državnom ispitu postoje zadaci upravo na ovu temu. Na Jedinstvenom državnom ispitu (profilu) ovo je zadatak broj 11 (ranije B12). U OGE - zadatak broj 20.
Shema rješenja je očigledna:
1) Iz teksta uvjeta potrebno je "izolirati" korisne informacije - šta u zadacima iz fizike pišemo ispod riječi "Dato". Ova korisna informacija je:
- Formula
- Poznate fizičke veličine.
To jest, svako slovo iz formule mora biti povezano s određenim brojem.
2) Uzmite sve poznate količine i zamijenite ih u formulu. Nepoznata količina ostaje u obliku slova. Sada samo trebate riješiti jednačinu (obično prilično jednostavno) i odgovor je spreman.
Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.
Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada najvažnija stvar.
Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što ovo možda nije dovoljno...
Za što?
Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.
Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?
STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.
Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.
Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.
Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.
Kako? Postoje dvije opcije:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 899 RUR
Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.
Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.
U zakljucku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
