C 11 sve radnje sa razlomacima. Radnje sa razlomacima. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

496. Find NS, ako:

497. 1) Ako 10 1/2 dodate na 3/10 nepoznatog broja, dobit ćete 13 1/2. Pronađite nepoznati broj.

2) Ako od 7/10 nepoznatog broja oduzmete 10 1/2, dobit ćete 15 2/5. Pronađite nepoznati broj.

498 *. Ako od 3/4 nepoznatog broja oduzmete 10 i dobijenu razliku pomnožite s 5, dobit ćete 100. Pronađite broj.

499 *. Ako nepoznati broj povećate za 2/3, dobivate 60. Koji je to broj?

500 *. Ako nepoznatom broju dodate isti iznos, pa čak i 20 1/3, dobit ćete 105 2/5. Pronađite nepoznati broj.

501. 1) Prinos krompira sa zasadom četvrtastog gnijezda u prosjeku iznosi 150 centara po hektaru, a uz konvencionalnu sadnju 3/5 ove količine. Koliko se još krumpira može ubrati sa površine od 15 hektara ako se krompir sadi metodom kvadratnog gnijezda?

2) Iskusni radnik napravio je 18 dijelova za 1 sat, a neiskusni radnik 2/3 ove količine. Koliko će još dijelova iskusni radnik napraviti za 7 sati dnevno?

502. 1) Pioniri su tokom tri dana sakupili 56 kg različitog sjemena. Prvog dana požnjeveno je 3/14 ukupne količine, drugog - jedan i po puta više, a trećeg dana - ostatak žita. Koliko kilograma sjemena su pioniri sakupili trećeg dana?

2) Prilikom mljevenja pšenice pokazalo se: brašno 4/5 ukupne količine pšenice, griz - 40 puta manje od brašna, a ostalo su mekinje. Koliko ste brašna, griza i mekinja odvojeno dobili mljevenjem 3 tone pšenice?

503. 1) U tri garaže ima 460 automobila. Broj automobila u prvoj garaži je 3/4 automobila u drugoj, au trećoj garaži ima 1 1/2 puta više automobila nego u prvoj. Koliko automobila stane u svaku garažu?

2) Pogon, koji ima tri radionice, zapošljava 6.000 radnika. U drugoj radionici 1 1/2 puta manje posla nego u prvoj, a broj radnika u trećoj radionici je 5/6 od broja radnika u drugoj radionici. Koliko radnika ima u svakoj radionici?

504. 1) Prvo je iz rezervoara izliveno 2/5 kerozina, zatim 1/3 ukupnog kerozina, a nakon toga je u rezervoaru ostalo 8 tona kerozina. Koliko je kerozina bilo u spremniku na početku?

2) Biciklisti su se trkali tri dana. Prvog dana prevalili su 4/15 cijelog puta, drugog - 2/5, a trećeg dana preostalih 100 km. Kojim putem su biciklisti krenuli za tri dana?

505. 1) Ledolomac se probijao kroz ledeno polje tri dana. Prvog dana prešao je 1/2 cijele staze, drugog dana 3/5 preostale staze, a trećeg dana preostala 24 km. Pronađite dužinu puta koji je ledolomac prešao za tri dana.

2) Tri grupe školaraca sadile su drveće za uređenje sela. Prva eskadrila zasadila je 7/20 svih stabala, druga 5/8 preostalih stabala, a treća preostalih 195 stabala. Koliko stabala su posadila tri odreda?

506. 1) Kombajn je požnjeo pšenicu sa jedne parcele u tri dana. Prvog dana ubrao je 5/18 ukupne površine parcele, drugog dana sa 7/13 preostale površine i trećeg dana sa preostale površine od 30 1/2 hektara. U prosjeku je sa svakog hektara požnjeveno 20 centara pšenice. Koliko je pšenice požnjeveno na cijeloj parceli?

2) Učesnici mitinga prvog dana prešli su 3/11 cijele staze, drugog dana 7/20 preostale staze, trećeg dana 5/13 novog ostatka, a četvrtog dana preostalih 320 km. Koliko traje reli ruta?

507. 1) Automobil je prvog dana prošao 3/8 cijele staze, drugog 15/17 onog koji je prošao prvog, a trećeg dana preostalih 200 km. Koliko je benzina potrošeno ako automobil potroši 1 3/5 kg benzina na 10 km putovanja?

2) Grad se sastoji od četiri okruga. I u prvom okrugu živi 4/13 svih stanovnika grada, u drugom 5/6 stanovnika prvog okruga, u trećem 4/11 stanovnika prvog; dva okruga zajedno, a četvrti okrug je dom za 18 hiljada ljudi. Koliko hljeba treba čitavom stanovništvu grada za 3 dana, ako u prosjeku jedna osoba konzumira 500 g dnevno?

508. 1) Turist je prvog dana prešao 10/31 cijele staze, drugog 9/10 onog koji je prošao prvog dana, a trećeg ostatak puta, a trećeg dana je prešao 12 km više nego drugog dana. Koliko je kilometara turist prešao svaki od tri dana?

2) Automobil je putovao sve od grada A do grada B za tri dana. Prvog dana automobil je prešao 7/20 ukupne udaljenosti, drugog dana 8/13 preostale udaljenosti, a trećeg dana automobil je prešao 72 km manje nego prvog dana. Kolika je udaljenost između gradova A i B?

509. 1) Izvršni odbor je dodijelio zemljište radnicima tri fabrike za vrtne parcele. Prvom pogonu dodijeljeno je 9/25 od ukupnog broja lokacija, drugom postrojenju 5/9 od broja lokacija dodijeljenih za prvo, a trećem - preostalim lokacijama. Koliko je parcela dodijeljeno radnicima tri tvornice, ako je prvoj tvornici dodijeljeno 50 parcela manje od treće?

2) Avion je iz Moskve u tri dana dopremio zimsku zimsku promjenu na polarnu stanicu. Prvog dana preletio je 2/5 cijele rute, drugog - 5/6 rute koju je prešao prvog dana, a trećeg je letio 500 km manje nego drugog dana. Koliko je avion preletio u tri dana?

510. 1) Pogon je imao tri radionice. Broj radnika u prvoj radnji je 2/5 svih radnika u pogonu; u drugoj radnji je 1 1/2 puta manje radnika nego u prvoj, a u trećoj radnji 100 radnika više nego u drugoj. Koliko radnika ima u fabrici?

2) U kolektivnu farmu ulaze stanovnici tri susjedna sela. Broj porodica u prvom selu je 3/10 od svih porodica kolektivne farme; u drugom selu broj porodica je 1 1/2 puta veći nego u prvom, a u trećem selu je broj porodica za 420 manji nego u drugom. Koliko porodica ima u kolektivnoj farmi?

511. 1) Artel je u prvoj sedmici potrošio 1/3 zaliha sirovina, a u drugoj 1/3 ostatka. Koliko je sirovine ostalo u artelu, ako je u prvoj sedmici potrošnja sirovina bila 3/5 tona veća nego u drugoj sedmici?

2) Od uvezenog uglja za grijanje kuće u prvom mjesecu potrošeno je 1/6, a u drugom mjesecu 3/8 ostatka. Koliko uglja ostaje za grijanje kuće ako je u drugom mjesecu potrošeno 1 3/4 više nego u prvom mjesecu?

512. 3/5 cjelokupnog zemljišta kolektivnog poljoprivrednog gospodarstva dodijeljeno je za sjetvu žitarica, 13/36 ostatka zauzimaju povrtnjaci i livade, ostatak zemljišta je šuma, a zasijane površine kolektivnog gazdinstva su 217 hektara više od površine šuma, 1/3 zemljišta predviđenog za sjetvu žita zasijano je raži, a ostatak je pšenica. Koliko hektara zemlje je kolektivno gazdinstvo zasijalo pšenicom, a koliko raži?

513. 1) Tramvajska trasa je duga 14 3/8 km. Na ovoj ruti tramvaj čini 18 stajališta, trošeći u prosjeku do 1 1/6 minuta po stajalištu. Prosječna brzina tramvaja duž cijele rute je 12 1/2 km na sat. Koliko traje tramvaju da završi jedno putovanje?

2) Ruta autobusa je 16 km. Tokom ove rute, autobus pravi 36 stajališta po 3/4 min. u proseku svaki. Prosječna brzina autobusa je 30 km na sat. Koliko treba autobusu da prođe jednom rutom?

514 *. 1) Sada je 6 sati. večeri. Koji dio je ostatak dana iz prošlosti, a koji dio dana je preostao?

2) Parobrod nizvodno pokriva udaljenost između dva grada za 3 dana. i nazad na istu udaljenost za 4 dana. Koliko dana će splavovi plutati od grada do grada?

515. 1) Koliko će se dasaka upotrijebiti za podove u prostoriji dužine 6 2/3 m i širine 5 1/4 m, ako je dužina svake daske 6 2/3 m, a širina 3/80 dužina?

2) Pravokutna platforma ima dužinu od 45 1/2 m, a širina joj je 5/13 dužine. Ovo područje omeđeno je stazom širine 4/5 m. Pronađite područje staze.

516. Pronađi aritmetičku sredinu brojeva:

517. 1) Aritmetička sredina dva broja 6 1/6. Jedan od brojeva 3 3/4. Pronađi drugi broj.

2) Aritmetička sredina dva broja 14 1/4. Jedan od ovih brojeva je 15 5/6. Pronađi drugi broj.

518. 1) Teretni voz je bio na putu tri sata. U prvom satu prešao je 36 1/2 km, u drugom 40 km, a u trećem 39 3/4 km. Odredite prosječnu brzinu vlaka.

2) Automobil je u prva dva sata prešao 81 1/2 km, a u sljedeća 2 1/2 sata 95 km. Koliko je kilometara u prosjeku pješačio?

519. 1) Traktorist je obavio zadatak oranja zemlje u tri dana. Prvog dana je orao 12 1/2 ha, drugog dana 15 3/4 ha i trećeg dana 14 1/2 ha. U prosjeku, koliko hektara zemlje je orao traktorista dnevno?

2) Odred školaraca, koji je krenuo na trodnevno turističko putovanje, bio je na putu prvog dana 6 1/3 sata, drugog 7 sati. i trećeg dana - 4 2/3 sata. Koliko su prosječno sati školarci putovali svaki dan?

520. 1) U kući žive tri porodice. Prva porodica ima 3 električne sijalice za osvjetljavanje stana, druga 4 i treća 5 žarulja. Koliko bi svaka porodica trebala platiti električnu energiju ako su sve lampe iste, a ukupni račun (za cijelu kuću) za plaćanje električne energije iznosio je 7 1/5 rubalja?

2) Ribaljka je trljala podove stana u kojem su živjele tri porodice. Prva porodica imala je stambenu površinu od 36 1/2 kvadratnih metara. m, drugi u 24 1/2 sq. m, a treći je 43 m². m. Za sav rad plaćeno je 2 rubalja. 08 kopecks Koliko je svaka porodica platila?

521. 1) Na vrtnoj parceli krumpir je sakupljen sa 50 grmova po 1 1/10 kg po jednom grmu, sa 70 grmova po 4/5 kg po jednom grmu, sa 80 grmova po 9/10 kg po jednom grmu. Koliko se kilograma krompira u prosjeku ubere sa svakog grma?

2) Tim za obradu polja na površini od 300 hektara primio je usjev od 20 1/2 centara ozime pšenice po hektaru, sa 80 hektara do 24 centara po hektaru, a sa 20 hektara - 28 1/2 centara po hektaru hektara. Koliki je prosječan prinos po 1 ha brigade?

522. 1) Zbir dva broja je 7 1/2. Jedan broj je 4 4/5 veći od drugog. Pronađite ove brojeve.

2) Ako zbrojimo brojeve koji izražavaju širinu Tatara i širinu Kerčanskog tjesnaca, dobivamo 11 7/10 km. Tatarski tjesnac je 3 1/10 km širi od Kerčanskog tjesnaca. Kolika je širina svakog tjesnaca?

523. 1) Zbir tri broja je 35 2/3. Prvi broj više od drugog za 5 1/3 i više od trećeg za 3 5/6. Pronađite ove brojeve.

2) Ostrva Nova Zemlja, Sahalin i Severna Zemlja zajedno zauzimaju površinu od 196 7/10 hiljada kvadratnih metara. km. Površina Nove Zemlje je 44 1/10 hiljada kvadratnih metara. km više od površine Severne Zemlje i 5 1/5 tisuća četvornih metara. km više od područja Sahalina. Kolika je površina svakog od navedenih otoka?

524. 1) Stan se sastoji od tri sobe. Površina prve sobe je 24 3/8 m². m i iznosi 13/36 cijele površine stana. Površina druge sobe je 8 1/8 m². m više od površine treće. Kolika je površina druge sobe?

2) Biciklist je putovao 3 1/4 sata tokom trodnevnog takmičenja prvog dana, što je bilo 13/43 od ukupnog vremena putovanja. Drugog dana jahao je 1 1/2 sata više nego trećeg dana. Koliko je sati biciklist putovao drugog dana natjecanja?

525. Tri komada željeza zajedno teže 17 1/4 kg. Ako se težina prvog komada smanji za 1 1/2 kg, a drugog za 2 1/4 kg, tada će sva tri komada imati istu težinu. Koliko je težio svaki komad željeza?

526. 1) Zbir dva broja je 15 1/5. Ako se prvi broj smanji za 3 1/10, a drugi poveća za 3 1/10, tada će ti brojevi biti jednaki. Šta je jednako svakom broju?

2) U dvije kutije bilo je 38 1/4 kg žitarica. Ako sipate 4 3/4 kg žitarica iz jedne kutije u drugu, tada će u obje kutije biti jednake količine žitarica. Koliko žitarica ima u svakoj kutiji?

527 ... 1) Zbir dva broja je 17 17/30. Ako od prvog broja oduzmete 5 1/2 i dodate drugom, tada će prvi i dalje biti 2 17/30 veći od drugog. Pronađi oba broja.

2) U dve kutije ima 24 jabuke od 1/4 kg. Ako prebacite 3 1/2 kg iz prve kutije u drugu, tada će u prvoj i dalje biti 3/5 kg više jabuka nego u drugoj. Koliko kilograma jabuka ima u svakoj kutiji?

528 *. 1) Zbir dva broja je 8 11/14, a razlika je 2 3/7. Pronađite ove brojeve.

2) Brod je išao nizvodno od rijeke brzinom od 15 1/2 km na sat, a protiv trenutnih 8 1/4 km na sat. Kolika je brzina rijeke?

529. 1) U dvije garaže ima 110 automobila, a u jednoj je 1 1/5 puta više nego u drugoj. Koliko automobila ima u svakoj garaži?

2) Stambena površina stana koji se sastoji od dvije sobe je 47 1/2 m². m. Površina jedne sobe je 8/11 površine druge. Pronađite površinu svake sobe.

530. 1) Legura koja se sastoji od bakra i srebra teži 330 g. Težina bakra u ovoj leguri je 5/28 težine srebra. Koliko srebra ima u leguri, a koliko bakra?

2) Zbir dva broja je 6 3/4, a količnik 3 1/2. Pronađite ove brojeve.

531. Zbir tri broja je 22 1/2. Drugi broj je 3 1/2 puta, a treći 2 1/4 puta prvi. Pronađite ove brojeve.

532. 1) Razlika dva broja je 7; količnik dijeljenja većeg broja na manji broj 5 2/3. Pronađite ove brojeve.

2) Razlika dva broja je 29 3/8, a njihov višestruki omjer jednak je 8 5/6. Pronađite ove brojeve.

533. U razredu je broj odsutnih učenika jednak 3/13 od broja prisutnih. Koliko učenika ima odjeljenje na listi, ako je prisutno 20 ljudi više nego odsutnih?

534. 1) Razlika dva broja je 3 1/5. Jedan broj je 5/7 drugog. Pronađite ove brojeve.

2) Otac stariji od sina za 24 godine. Broj godina sina jednak je 5/13 od broja godina oca. Koliko otac ima, a koliko sin?

535. Nazivnik razlomka je 11 jedinica veći od njegovog brojnika. Šta je razlomak ako je njegov nazivnik 3 3/4 puta brojnik?

Br. 536 - 537 usmeno.

536. 1) Prvi broj je 1/2 drugog. Koliko je puta drugi broj veći od prvog?

2) Prvi broj je 3/2 drugog. Koji dio prvog broja je drugi broj?

537. 1) 1/2 prvog broja jednako je 1/3 drugog. Koji dio prvog broja je drugi broj?

2) 2/3 prvog broja jednako je 3/4 drugog broja. Koji dio prvog broja je drugi broj? Koji dio drugog broja je prvi?

538. 1) Zbir dva broja je 16. Nađi ove brojeve ako je 1/3 drugog broja jednako 1/5 prvog.

2) Zbir dva broja je 38. Nađite ove brojeve ako je 2/3 prvog broja jednako 3/5 drugog.

539 *. 1) Dva dječaka su zajedno skupila 100 gljiva. 3/8 broja gljiva koje je sakupio prvi dječak numerički je jednako 1/4 broja gljiva koje je sakupio drugi dječak. Koliko je gljiva sakupio svaki dječak?

2) U ustanovi je zaposleno 27 ljudi. Koliko muškaraca radi, a koliko žena, ako je 2/5 svih muškaraca jednako 3/5 svih žena?

540 *. Tri dečaka kupila su odbojku. Odredite doprinos svakog dječaka, znajući da je 1/2 doprinosa prvog dječaka jednako 1/3 doprinosa drugog, odnosno 1/4 doprinosa trećeg, te da je doprinos trećeg dječaka dječak je 64 kopejke više od doprinosa prvog.

541 *. 1) Jedan broj je veći od drugog za 6. Pronađite ove brojeve ako je 2/5 jednog broja jednako 2/3 drugog.

2) Razlika dva broja je 35. Nađite ove brojeve ako je 1/3 prvog broja jednako 3/4 drugog broja.

542. 1) Prvi tim može obaviti neki posao za 36 dana, a drugi za 45 dana. Koliko dana će oba tima, radeći zajedno, završiti ovaj posao?

2) Putnički voz pređe udaljenost između dva grada za 10 sati, a teretni za ovu udaljenost za 15 sati. Oba voza su krenula iz ovih gradova istovremeno kako bi se sastali. Za koliko sati će se sastati?

543. 1) Brzi voz pređe udaljenost između dva grada za 6 1/4 sata, a putnički voz za 7 1/2 sata. Za koliko sati će se ti vozovi sastati ako krenu iz oba grada u isto vrijeme jedan prema drugom? (Odgovor zaokružite na najbliži 1 sat.)

2) Dva motociklista napustila su dva grada istovremeno jedan prema drugom. Jedan motociklist može prijeći cijelu udaljenost između ovih gradova za 6 sati, a drugi za 5 sati. Koliko sati nakon odjave će se motoristi sastati? (Odgovor zaokružite na najbliži 1 sat.)

544. 1) Tri vozila različite nosivosti mogu nositi određeni teret, radeći odvojeno: prvo za 10 sati, drugo za 12 sati. i treći za 15 sati. Koliko sati mogu prevoziti isti teret radeći zajedno?

2) Dva voza istovremeno napuštaju dvije stanice jedan prema drugom: prvi voz prelazi udaljenost između ovih stanica za 12 1/2 sata, a drugi za 18 3/4 sata. Koliko sati nakon polaska će se vozovi sastati?

545. 1) Dva slavina su spojena na kadu. Kroz jedan od njih, kupka se može napuniti za 12 minuta, kroz drugu 1 1/2 puta brže. Koliko minuta će trebati da se napuni 5/6 cijele kade ako otvorite obje slavine odjednom?

2) Dva daktilografa moraju prekucati rukopis. Prvi ašinist može obaviti ovaj posao za 3 1/3 dana, a drugi 1 1/2 puta brže. U koje će dane oba daktilografa završiti posao ako rade u isto vrijeme?

546. 1) Bazen se napuni prvom cijevi za 5 sati, a kroz drugu cijev se može isprazniti za 6 sati. Koliko sati će se cijeli bazen napuniti ako se obje cijevi otvore istovremeno?

Indikacija. Za sat vremena bazen se napuni do (1/5 - 1/6 svog kapaciteta.)

2) Dva traktora su orala polje za 6 sati. Prvi traktor, koji radi sam, mogao bi orati ovo polje za 15 sati.Koliko sati bi drugi traktor orao ovo polje, radeći sam?

547 *. Dva voza istovremeno napuštaju dvije stanice jedan prema drugom i sastaju se 18 sati kasnije. nakon objavljivanja. Koliko je potrebno da drugi voz pređe udaljenost između stanica, ako prvi voz pređe ovu udaljenost za 1 dan i 21 sat?

548 *. Bazen je ispunjen s dvije cijevi. Prvo je otvorena prva cijev, a zatim je nakon 3 3/4 sata, kad je polovica bazena bila puna, otvorena druga cijev. Nakon 2 1/2 sata raditi zajedno bazen je bio pun. Odredite kapacitet bazena ako se kroz drugu cijev na sat izlije 200 kanti vode.

549. 1) Kurirski voz krenuo je iz Lenjingrada za Moskvu, koji prevali 1 km za 3/4 minute. 1/2 sata nakon polaska ovog voza iz Moskve za Lenjingrad krenuo je brzi voz čija je brzina bila jednaka 3/4 brzine kurira. Koliko će vozovi biti udaljeni jedan od drugog 2 1/2 sata nakon polaska kurirskog vlaka, ako je udaljenost između Moskve i Lenjingrada 650 km?

2) Od kolektivne farme do grada 24 km. Kamion je napustio kolektivnu farmu, koja pređe 1 km za 2 1/2 minute. Nakon 15 minuta. nakon što je ovaj automobil napustio grad, biciklist je krenuo prema kolektivnoj farmi, brzinom upola manjom od brzine kamiona. Koliko je potrebno biciklisti da nakon napuštanja sretne kamion?

550. 1) Pešak je izašao iz jednog sela. 4 1/2 sata nakon što je pješak izašao, biciklist je otišao u istom smjeru, čija je brzina 2 1/2 puta veća od brzine pješaka. Koliko sati nakon što pješak napusti biciklista?

2) Brzi voz pređe 187 1/2 km za 3 sata, a teretni 288 km za 6 sati. 7 1/4 sata nakon izlaska teretnog voza, ekspresni voz polazi u istom smjeru. Koliko će trebati da brzi voz stigne teretni voz?

551. 1) Iz dva kolektivna poljoprivredna gazdinstva, kroz koja prolazi put do regionalnog centra, dvojica kolektivnih farmera krenula su istovremeno na konjima. Prvi od njih je putovao 8 3/4 km na sat, a drugi 1 1/7 puta više od prvog. Drugi kolektivni farmer sustigao je prvog za 3 4/5 sati. Odredite udaljenost između kolektivnih farmi.

2) 26 1/3 sata nakon polaska voza Moskva-Vladivostok, čija je prosječna brzina 60 km na sat, avion TU-104 poletio je u istom smjeru, brzinom 14 1/6 puta većom od brzina voza. Koliko sati nakon polaska će avion stići voz?

552. 1) Udaljenost između gradova duž rijeke je 264 km. Parobrod je ovu udaljenost nizvodno prešao za 18 sati, trošeći 1/12 ovog vremena na zaustavljanjima. Brzina rijeke je 1 1/2 km na sat. Koliko bi trajalo parobrod bez zaustavljanja na 87 km stajaća voda?

2) Motorni čamac prešao je 207 km duž rijeke za 13 1/2 sata, potrošivši 1/9 ovog vremena na zaustavljanja. Brzina rijeke je 1 3/4 km na sat. Koliko kilometara ovaj brod može prijeći u mirnoj vodi za 2 1/2 sata?

553. Brod na rezervoaru prešao je udaljenost od 52 km bez zaustavljanja za 3 sata i 15 minuta. Nadalje, idući uz rijeku protiv struje, čija je brzina 1 3/4 km na sat, ovaj je čamac prešao 28 1/2 km za 2 1/4 sata, čineći 3 zaustavljanja jednaka u vremenu. Koliko minuta se čamac zaustavio na svakom stajalištu?

554. Od Lenjingrada do Kronštata u 12 sati. napustio se dnevno parobrod i prešao cijelu udaljenost između ovih gradova za 1 1/2 sata. Usput je sreo još jedan parobrod, koji je krenuo iz Kronštata za Lenjingrad u 12 sati i 18 minuta. i hodanje brzinom 1 1/4 puta brže od prve. U koje vrijeme je održan susret oba broda?

555. Voz je trebao prijeći udaljenost od 630 km za 14 sati. Prešavši 2/3 ove udaljenosti, zadržan je u pritvoru 1 sat i 10 minuta. Koliko brzo treba nastaviti putem kako bi bez odlaganja stigao na odredište?

556. U 4 sata i 20 minuta. Ujutro je teretni voz krenuo iz Kijeva za Odesu prosječne brzine 31 1/5 km na sat. Nakon nekog vremena, iz Odese mu je krenuo poštanski voz, čija je brzina 1 17/39 puta veća od brzine teretnog voza, i susreo se s teretnim vozom 6 1/2 sata nakon polaska. U koje vrijeme je poštanski vlak krenuo iz Odese, ako je udaljenost između Kijeva i Odese 663 km?

557 *. Sat pokazuje podne. Koliko će vremena trebati da se kazaljke na satu i minuti poklope?

558. 1) Postrojenje ima tri radionice. Broj radnika u prvoj radnji je 9/20 svih radnika pogona, u drugoj radnji je 1 1/2 puta manje radnika nego u prvoj, a u trećoj radnji 300 radnika manje nego u sekunda. Koliko radnika ima u fabrici?

2) U gradu postoje tri srednje škole. Broj učenika u prvoj školi je 3/10 od svih učenika u ove tri škole; u drugoj školi ima 1 1/2 puta više učenika nego u prvoj, a u trećoj školi ima 420 učenika manje nego u drugoj. Koliko učenika ima tri škole?

559. 1) Dva kombinovača radila su na istoj lokaciji. Nakon što je jedan kombajn požnjeo 9/16 cijele parcele, a drugi 3/8 iste parcele, pokazalo se da je prvi kombajn ubrao 97 1/2 ha više od drugog. U prosjeku je sa svakog hektara izmlaćeno 32 1/2 centara žita. Koliko je centara žita dao svaki kombajn?

2) Dva brata su kupila fotoaparat. Jedan je imao 5/8, a drugi 4/7 cijene kamere, a prvi 2 rublje. 25 kopejki više od drugog. Svaki je platio pola cijene aparata. Koliko novca svima ostaje?

560. 1) Iz grada A u grad B, na udaljenosti između 215 km, putnički automobil krenuo je brzinom od 50 km na sat. Istovremeno s njim iz grada B krenuo je kamion za grad A. Koliko je kilometara putnički automobil prešao prije nego što je naišao na kamion, ako je brzina kamiona po satu bila 18/25 brzine putničkog automobila?

2) Između gradova A i B 210 km. Putnički automobil napustio je grad A za grad B. Istovremeno s njom, kamion je krenuo iz grada B u grad A. Koliko je kilometara kamion prešao prije susreta sa osobnim automobilom, ako je putnički automobil putovao brzinom od 48 km na sat, a brzina kamiona na sat iznosila je 3/4 brzine osobnog automobila?

561. Kolektivna farma je požnjela pšenicu i raž. Pšenica je zasijana 20 hektara više od raži. Ukupna žetva raži iznosila je 5/6 ukupne žetve pšenice sa prinosom od 20 centara po hektaru i za pšenicu i za raž. Kolektivna farma prodala je državi 7/11 ukupne žetve pšenice i raži, a ostatak žita je ostavila da podmiri svoje potrebe. Koliko putovanja su prevezla vozila od dvije tone da prevezu žito prodano državi?

562. U pekaru je dovoženo raženo i pšenično brašno. Težina pšeničnog brašna iznosila je 3/5 težine raženog brašna, a raženo brašno je uvezeno 4 tone više od pšeničnog brašna. Koliko će pšenice, a koliko raženog hljeba pekara peći od ovog brašna, ako je pečenje 2/5 cijelog brašna?

563. U roku od tri dana, tim radnika završio je 3/4 cjelokupnog posla na popravci autoputa između dvije kolektivne farme. Prvog dana popravljeno je 2 2/5 km ovog autoputa, drugog dana 1 1/2 puta više nego prvog, a trećeg dana 5/8 onoga što je popravljeno u prva dva dana zajedno. Odredite dužinu autoputa između kolektivnih farmi.

564. Popunite prazna mjesta u tablici, gdje je S površina pravokutnika, a je osnova pravokutnika, a h-visina (širina) pravokutnika.

565. 1) Dužina pravokutnog zemljišta iznosi 120 m, a širina parcele je 2/5 njegove dužine. Pronađite obod i površinu parcele.

2) Širina pravokutnog presjeka je 250 m, a njegova dužina je 1 1/2 puta veća od širine. Pronađite obod i površinu parcele.

566. 1) Obim pravougaonika je 6 1/2 dm, njegova osnova je 1/4 dm veća od visine. Pronađite površinu ovog pravokutnika.

2) Obim pravougaonika je 18 cm, njegova visina je 2 1/2 cm manja od osnove. Pronađi površinu pravokutnika.

567. Izračunajte površine figura prikazanih na slici 30 tako da ih podijelite u pravokutnike i mjerenjem pronađete dimenzije pravokutnika.

568. 1) Koliko će listova suhog gipsa biti potrebno za tapeciranje stropa prostorije dugačke 4 1/2 m i široke 4 m, ako su dimenzije gipsane ploče 2 mx l 1/2 m?

2) Koliko dasaka dužine 4 1/2 L i širine 1/4 m je potrebno za pod od 4 1/2 m i 3 1/2 m širine?

569. 1) Parcela pravokutnog oblika dužine 560 m i širine 3/4 njegove dužine zasijana je grahom. Koliko je sjemena bilo potrebno za zasijavanje parcele ako je na 1 hektar zasijano 1 centar?

2) Pšenica je požnjevena sa pravokutnog polja od 25 centara po hektaru. Koliko je pšenice požnjeveno sa cijelog polja ako je polje dugačko 800 m, a širina jednaka 3/8 njegove dužine?

570 ... 1) Pravokutni komad zemlje, dugačak 78 3/4 m i širok 56 4/5 m, izgrađen je tako da 4/5 njegove površine zauzimaju zgrade. Odredite površinu zemljišta ispod zgrada.

2) Na pravokutnom komadu zemlje, čija je dužina 9/20 km, a širina 4/9 njegove dužine, zadruga namjerava postaviti vrt. Koliko će drveća biti posađeno u ovom vrtu ako je u prosjeku potrebno 36 kvadratnih metara prostora za svako drvo?

571. 1) Za normalno dnevno osvjetljenje prostorije potrebno je da površina svih prozora bude najmanje 1/5 površine poda. Utvrdite ima li dovoljno svjetla u prostoriji dugačkoj 5 1/2 m i širokoj 4 m. Ima li soba jedan prozor 1 1/2 mx 2 m?

2) Koristeći uvjete iz prethodnog problema, saznajte ima li dovoljno svjetla u vašem razredu.

572. 1) Štala ima dimenzije 5 1/2 mx 4 1/2 mx 2 1/2 m m sijena teži 82 kg?

2) Drvena greda za ogrjev ima oblik pravokutnog paralelepipeda, čije su dimenzije 2 1/2 mx 3 1/2 mx 1 1/2 m. Kolika je težina drvene gomile ako je 1 kubni metar. m drva za ogrjev teži 600 kg?

573. 1) Pravokutni akvarij ispunjen je vodom do 3/5 visine. Dužina akvarija 1 1/2 m, širina 4/5 m, visina 3/4 m. Koliko litara vode se ulije u akvarijum?

2) Bazen, koji ima oblik pravokutnog paralelepipeda, ima dužinu od 6 1/2 m, širinu 4 m i visinu od 2 m. Bazen se puni vodom do 3/4 svoje visine . Izračunajte količinu vode izlivene u bazen.

574. Ograda bi trebala biti izgrađena oko pravokutnog komada zemlje dužine 75 m i širine 45 m. Koliko kubičnih metara ploča treba otići na njegov uređaj ako je debljina ploče 2 1/2 cm, a visina ograde 2 1/4 m?

575. 1) Koliki je ugao minute i satne kazaljke u 13 sati? u 15 sati? u 17 sati? u 21 sat? u 23 sata i 30 minuta?

2) Za koliko stepeni će se kazaljka sata okrenuti za 2 sata? 5 sati? 8 sati? 30 minuta.?

3) Koliko stepeni sadrži luk jednak pola kruga? 1/4 kruga? 1/24 krug? 5/24 krug?

576. 1) Nacrtajte kutomjerom: a) prav ugao; b) ugao od 30 °; c) ugao od 60 °; d) ugao od 150 °; e) ugao od 55 °.

2) Izmjerite uglove figure kutomjerom i pronađite zbir svih uglova svake figure (slika 31).

577. Slijedite korake:

578. 1) Polukrug je podijeljen na dva luka, od kojih je jedan 100 ° veći od drugog. Odredite veličinu svakog luka.

2) Polukrug je podijeljen na dva luka, od kojih je jedan 15 ° manji od drugog. Odredite veličinu svakog luka.

3) Polukrug je podijeljen na dva luka, od kojih je jedan dvostruko veći od drugog. Odredite veličinu svakog luka.

4) Polukrug je podijeljen na dva luka, od kojih je jedan 5 puta manji od drugog. Odredite veličinu svakog luka.

579. 1) Dijagram "Pismenost stanovništva u SSSR -u" (slika 32) prikazuje broj pismenih na sto ljudi. Prema dijagramu i njegovoj razmjeri odredite broj pismenih muškaraca i žena za svaku od navedenih godina.

Zapišite rezultate u tabelu:

2) Koristeći podatke iz dijagrama "Sovjetski izaslanici u svemir" (slika 33), sastavite zadatke.

580. 1) Prema tortnom grafikonu "Način dana za učenika V razreda" (slika 34), popunite tabelu i odgovorite na pitanja: koji dio dana se spava? zadaća? u školu?

2) Napravite tortni grafikon o svojoj dnevnoj rutini.

Radnje sa razlomacima. U ovom ćemo članku analizirati primjere, sve je detaljno objašnjeno. Razmotrit ćemo obične razlomke. U budućnosti ćemo analizirati i decimalna mjesta. Preporučujem da sve to pogledate i proučite uzastopno.

1. Zbir razlomaka, razlika razlomaka.

Pravilo: pri dodavanju razlomaka s jednakim nazivnicima rezultat je razlomak - čiji nazivnik ostaje isti, a njegov brojnik bit će jednak zbroju brojnika razlomaka.

Pravilo: pri izračunavanju razlike razlomka s istim nazivnicima dobivamo razlomak - nazivnik ostaje isti, a brojnik drugog oduzima se od brojnika prvog razlomka.

Formalni zapis zbroja i razlike razlomaka sa jednakim nazivnicima:

Primjeri (1):

Jasno je da je, kada se daju obični razlomci, sve jednostavno, ali ako se pomiješa? Nista komplikovano ...

Opcija 1- možete ih pretvoriti u obične i zatim ih izračunati.

Opcija 2- možete zasebno "raditi" s cjelobrojnim i razlomačnim dijelovima.

Primjeri (2):

Ipak:

A ako se navede razlika dva mješovite frakcije a brojnik prvog razlomka bit će manji od brojača drugog? Takođe možete djelovati na dva načina.

Primjeri (3):

* Prevedeno u obične razlomke, izračunata razlika, nastali netočni razlomak pretvoren u mješoviti.

* Podijeljeno na cijele i razlomljene dijelove, dobiveno je trostruko, zatim predstavljeno 3 kao zbroj 2 i 1, pri čemu je jedinica predstavljena kao 11/11, a zatim je pronađena razlika između 11/11 i 7/11 i izračunat rezultat. Značenje gornjih transformacija je uzeti (odabrati) jedinicu i predstaviti je kao razlomak s nazivnikom koji nam je potreban, a zatim možemo oduzeti još jedan od ovog razlomka.

Još jedan primjer:

Zaključak: postoji univerzalni pristup - da biste izračunali zbir (razliku) mješovitih razlomaka s jednakim nazivnicima, uvijek ih možete prevesti u netočne, a zatim izvršiti potrebnu radnju. Nakon toga, ako kao rezultat dobijemo pogrešan razlomak, pretvaramo ga u mješoviti.

Gore smo pogledali primjere s razlomacima koji imaju jednake nazivnike. Šta ako su nazivnici različiti? U tom slučaju se razlomci svode na isti nazivnik i izvršava se navedena radnja. Za promjenu (transformaciju) razlomka koristi se glavno svojstvo razlomka.

Pogledajmo nekoliko jednostavnih primjera:

U ovim primjerima odmah vidimo kako se jedan od razlomaka može transformirati da dobije jednake nazivnike.

Ako odredimo načine svođenja razlomaka na jedan nazivnik, tada će se ovaj zvati METODA PRVA.

Odnosno, odmah pri "ocjenjivanju" razlomka morate procijeniti hoće li ovaj pristup funkcionirati - provjeravamo je li veći nazivnik podijeljen s manjim. A ako se podijeli, tada izvršavamo transformaciju - množimo brojnik i nazivnik tako da nazivnici oba razlomka postaju jednaki.

Sada pogledajte ove primjere:

Ovaj pristup nije primjenjiv na njih. Postoje i načini da razlomke dovedete do zajedničkog nazivnika, razmotrite ih.

Metoda DRUGA.

Brojnik i nazivnik prvog razlomka množimo s nazivnikom drugog, a brojnik i nazivnik drugog razlomka nazivnikom prvog:

* Zapravo, razlomke dovodimo u oblik kada nazivnici postanu jednaki. Zatim koristimo pravilo za dodavanje majica s jednakim nazivnicima.

Primjer:

* Ova metoda se može nazvati univerzalnom i uvijek radi. Jedini nedostatak je što ćete nakon proračuna možda dobiti razlomak koji će biti potrebno dodatno smanjiti.

Razmotrimo primjer:

Može se vidjeti da su brojnik i nazivnik djeljivi sa 5:

Metoda TREĆA.

Nađi najmanji zajednički višekratnik (LCM) nazivnika. Ovo će biti zajednički nazivnik. Koji je ovo broj? To je najmanji prirodni broj koji je djeljiv sa svakim od brojeva.

Gledajte, evo dva broja: 3 i 4, postoji mnogo brojeva koji su djeljivi sa njima - to su 12, 24, 36, ... Najmanji od njih je 12. Ili 6 i 15, djeljivi su sa 30, 60, 90 .... Najmanji 30. Pitanje je - kako odrediti ovaj najmanji zajednički višekratnik?

Postoji jasan algoritam, ali često se to može učiniti odmah bez kalkulacija. Na primjer, prema gornjim primjerima (3 i 4, 6 i 15), nije potreban nikakav algoritam, uzeli smo velike brojeve (4 i 15) i udvostručili ih i vidjeli da su djeljivi s drugim brojem, ali parovi brojeva mogu biti i drugi, na primjer 51 i 119.

Algoritam. Da biste odredili najmanji zajednički višekratnik nekoliko brojeva, morate:

- razložiti svaki od brojeva na PRIMARNE faktore

- napišite razgradnju većine njih

- pomnožite s NESTALIM faktorima drugih brojeva

Pogledajmo neke primjere:

50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

proširenju većeg broja nedostaje jedna petica

=> LCM (50,60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 5 ∙ 5 = 300

48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

proširenje većeg broja nedostaje dva i tri

=> LCM (48.72) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 = 144

* Najmanji zajednički višekratnik dva prosta broja jednak je njihovom proizvodu

Pitanje! I zašto je korisno pronaći najmanji zajednički višekratnik, jer možete koristiti drugu metodu i jednostavno poništiti rezultirajući razlomak? Da, možete, ali nije uvijek zgodno. Pogledajte koji će nazivnik biti brojevi 48 i 72 ako ih jednostavno pomnožite 48 ∙ 72 = 3456. Složite se da je ugodnije raditi s manjim brojevima.

Pogledajmo neke primjere:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

proširenju većeg broja nedostaje trojka

=> LCM (51,119) = 3 ∙ 7 ∙ 17

Primijenimo sada prvu metodu:

* Pogledajte razliku u izračunima, u prvom slučaju ih je minimalno, a u drugom morate zasebno raditi na komadu papira, pa čak i dio koji ste dobili morate smanjiti. Pronalaženje LCM -a znatno pojednostavljuje posao.

Još primjera:

* U drugom primjeru možete vidjeti da je najmanji broj djeljiv sa 40 i 60 120.

UKUPNO! OPĆI ALGORITAM IZRAČUNA!

- svedite razlomke na obične, ako ih ima ceo deo.

- razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika (prvo gledamo je li jedan nazivnik podijeljen s drugim, ako je podijeljen, tada množimo brojnik i nazivnik ovog drugog razlomka; ako nije podijeljen, djelujemo kroz drugi gore navedene metode).

- primivši razlomke s jednakim nazivnicima, izvršavamo radnje (zbrajanje, oduzimanje).

- ako je potrebno, smanjujemo rezultat.

- ako je potrebno, odaberite cijeli dio.

2. Proizvod razlomaka.

Pravilo je jednostavno. Prilikom množenja razlomaka, njihovi se brojnici i nazivnici množe:

Primjeri:

Ovaj članak pokriva radnje na razlomcima. Formirat će se i opravdati pravila sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja ili eksponentiranja razlomaka oblika A B, gdje A i B mogu biti brojevi, numerički izrazi ili izrazi s varijablama. U zaključku ćemo razmotriti primjere rješenja s detaljnim opisom.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Opća pravila za izvođenje radnji s numeričkim razlomom

Numerički razlomci općeg oblika imaju brojnik i nazivnik u kojima postoje cijeli brojevi ili numeričkih izraza. Ako uzmemo u obzir razlomke poput 3 5, 2, 8 4, 1 + 2 3 4 + π, 2 0, 5 ln 3, onda je jasno da brojnik i nazivnik mogu imati ne samo brojeve, već i izraze različitih plan.

Definicija 1

Postoje pravila za izvođenje radnji s običnim razlomom. Pogodan je i za opće razlomke:

• Prilikom oduzimanja razlomaka s istim nazivnicima dodaju se samo brojnici, a nazivnik ostaje isti, naime: a d ± c d = a ± c d, vrijednosti a, c i d ≠ 0 su neki brojevi ili numerički izrazi.
• Prilikom zbrajanja ili oduzimanja razlomaka s različitim nazivnicima potrebno je smanjiti na ukupnu vrijednost, a zatim zbrojiti ili oduzeti dobivene razlomke s istim pokazateljima. Doslovno izgleda ovako a b ± c d = a p ± c r s, gdje su vrijednosti a, b ≠ 0, c, d ≠ 0, p ≠ 0, r ≠ 0, s ≠ 0 realni brojevi i b p = d r = s. Kada je p = d i r = b, tada je a b ± c d = a d ± c d b d.
• Prilikom množenja razlomaka, radnja se izvodi s brojnicima, zatim s nazivnicima, tada dobivamo a b c d = a c b d, gdje a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 djeluju kao stvarni brojevi.
• Kada dijelimo razlomak s razlomom, prvi množimo s drugim inverznim, odnosno zamjenjujemo brojnik i nazivnik: a b: c d = a b d c.

Obrazloženje za pravila

Definicija 2

Prilikom izračunavanja morate se osloniti na sljedeće matematičke točke:

• razlomačna traka znači znak podjele;
• podjela brojem smatra se množenjem recipročno;
• primena svojstava radnji sa realnim brojevima;
• primjena osnovnog svojstva razlomaka i numeričkih nejednačina.

Uz njihovu pomoć možete napraviti transformacije oblika:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s; ab cd = a db d b cb d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 B d - 1 = a d b cb d b d - 1 = (a c) (b d) - 1 = a cb d

Primjeri

U prethodnom paragrafu je rečeno o radnjama sa razlomacima. Nakon toga razlomak treba pojednostaviti. Ova tema je detaljno obrađena u odlomku o pretvaranju razlomka.

Prvo, pogledajmo primjer zbrajanja i oduzimanja razlomaka s istim nazivnikom.

Primjer 1

S obzirom na razlomke 8 2, 7 i 1 2, 7, tada je prema pravilu potrebno dodati brojnik i prepisati nazivnik.

Rešenje

Tada dobivamo razlomak oblika 8 + 1 2, 7. Nakon dovršetka zbrajanja dobivamo razlomak oblika 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3. Dakle, 8 2, 7 + 1 2, 7 = 8 + 1 2, 7 = 9 2, 7 = 90 27 = 3 1 3.

Odgovor: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Postoji još jedno rješenje. Za početak se vrši prijelaz u oblik običnog razlomka, nakon čega izvršavamo pojednostavljenje. To izgleda ovako:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Primjer 2

Oduzmite od 1 - 2 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1 razlomaka oblika 2 3 3 · log 2 3 · log 2 5 + 1.

Budući da su nazivnici jednaki, to znači da razlomak računamo s istim nazivnikom. Shvatili smo to

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Postoje primjeri izračunavanja razlomaka s različitim nazivnicima. Važna tačka je svođenje na zajednički nazivnik. Bez ovoga nećemo moći izvesti daljnje radnje s razlomacima.

Proces nejasno podsjeća na smanjenje zajedničkog nazivnika. Odnosno, traži se najmanji zajednički faktor u nazivniku, nakon čega se u razlomke dodaju nedostajući faktori.

Ako frakcije koje se dodaju nemaju zajedničke faktore, tada njihov proizvod može postati.

Primjer 3

Razmotrimo primjer zbrajanja razlomaka 2 3 5 + 1 i 1 2.

Rešenje

U ovom slučaju zajednički nazivnik je proizvod nazivnika. Tada dobijamo da je 2 · 3 5 + 1. Zatim, pri postavljanju dodatnih faktora, imamo da je prvom razlomku jednako 2, a drugom 3 5 + 1. Nakon množenja, razlomci se reduciraju u oblik 4 2 · 3 5 + 1. Opća uloga 1 2 imat će oblik 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1. Dodamo rezultirajuće razlomačke izraze i dobivamo to

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Odgovor: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Kad imamo posla s općim razlomom, tada najmanji zajednički nazivnik obično nije slučaj. Neisplativo je uzimati umnožak brojnika kao nazivnik. Prvo morate provjeriti postoji li broj manje vrijednosti od njihovog proizvoda.

Primjer 4

Uzmimo, na primjer, 1 6 2 1 5 i 1 4 2 3 5, kada je njihov proizvod 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5. Zatim uzimamo 12 · 2 3 5 kao zajednički nazivnik.

Razmotrimo primjere množenja općih razlomaka.

Primjer 5

Da biste to učinili, morate pomnožiti 2 + 1 6 i 2 · 5 3 · 2 + 1.

Rešenje

Sljedeće pravilo mora biti prepisano i proizvod brojnika mora biti napisan u obliku nazivnika. Dobijamo da je 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1. Kada se razlomak razmnoži, mogu se napraviti skraćenice kako bi se pojednostavio. Tada je 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10.

Koristeći pravilo prijelaza s podjele na množenje inverznim razlomom, dobijamo inverz datog razlomka. Da biste to učinili, brojnik i nazivnik se zamjenjuju. Uzmimo primjer:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Zatim moraju izvršiti množenje i pojednostaviti rezultirajući razlomak. Ako je potrebno, riješite se iracionalnosti u nazivniku. Shvatili smo to

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Odgovor: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Ova klauzula je primjenjiva kada se broj ili numerički izraz može predstaviti kao razlomak s nazivnikom jednakim 1, tada se radnja s takvim razlomom smatra zasebnom klauzulom. Na primjer, izraz 1 6 · 7 4 - 1 · 3 pokazuje da se korijen 3 može zamijeniti drugim izrazom 3 1. Tada će ovaj zapis izgledati kao množenje dva razlomka oblika 1 6 · 7 4 - 1 · 3 = 1 6 · 7 4 - 1 · 3 1.

Izvođenje radnje na frakcijama koje sadrže varijable

Pravila o kojima se govori u prvom članku primjenjuju se na radnje s razlomom koji sadrži varijable. Razmotrimo pravilo oduzimanja kada su nazivnici isti.

Potrebno je dokazati da A, C i D (D nije jednako nuli) mogu biti bilo koji izrazi, a jednakost A D ± C D = A ± C D ekvivalentna je njegovom rasponu dopuštenih vrijednosti.

Potrebno je uzeti skup DHS varijabli. Tada A, C, D moraju uzeti odgovarajuće vrijednosti a 0, c 0 i d 0... Zamjena oblika A D ± C D daje razliku oblika a 0 d 0 ± c 0 d 0, gdje prema pravilu sabiranja dobivamo formulu oblika a 0 ± c 0 d 0. Ako zamijenimo izraz A ± C D, tada ćemo dobiti isti dio oblika a 0 ± c 0 d 0. Stoga zaključujemo da se odabrane vrijednosti koje zadovoljavaju ODZ, A ± C D i A D ± C D smatraju jednakim.

Za bilo koju vrijednost varijabli ti izrazi će biti jednaki, odnosno nazivaju se identično jednaki. To znači da se ovaj izraz smatra dokazivom jednakošću oblika A D ± C D = A ± C D.

Primjeri zbrajanja i oduzimanja razlomaka s varijablama

Kada su nazivnici isti, potrebno je samo dodati ili oduzeti brojnike. Ovaj se razlomak može pojednostaviti. Ponekad morate raditi s razlozima koji su identično jednaki, ali na prvi pogled to je nevidljivo, jer je potrebno izvršiti neke transformacije. Na primjer, x 2 3 x 1 3 + 1 i x 1 3 + 1 2 ili 1 2 sin 2 α i sin a cos a. Najčešće je potrebno pojednostavljenje izvornog izraza kako bi se vidjeli isti nazivnici.

Primjer 6

Izračunajte: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2), x - 1 x - 1 + xx + 1.

Rešenje

1. Za izračun morate oduzeti razlomke koji imaju isti nazivnik. Tada dobijamo da je x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2. Nakon toga, zagrade možete proširiti smanjenjem sličnih pojmova. Dobijamo da je x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Budući da su nazivnici isti, ostaje samo dodati brojnike, ostavljajući nazivnik: lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (lgx + 2) = lg 2 x + 4 + 4 x (lgx + 2)
   Dodavanje je završeno. Može se vidjeti da je moguće smanjiti razlomak. Njegov se brojnik može presaviti prema formuli kvadrata zbroja, tada dobivamo (l g x + 2) 2 iz skraćenih formula množenja. Onda shvatamo to
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Dati razlomci oblika x - 1 x - 1 + x x + 1 s različitim nazivnicima. Nakon transformacije, možete nastaviti s dodavanjem.

Razmislite o dvostrukom rješenju.

Prvi način je da se nazivnik prvog razlomka razloži na faktore pomoću kvadrata, a sa njegovim naknadnim umanjenjem. Dobivamo dio oblika

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Dakle, x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1.

U ovom slučaju potrebno je riješiti se iracionalnosti u nazivniku.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Drugi način je pomnožiti brojnik i nazivnik drugog razlomka izrazom x - 1. Tako se rješavamo iracionalnosti i prelazimo na dodavanje razlomaka u prisustvu istog nazivnika. Onda

x - 1 x - 1 + xx + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - xx - 1 = x - 1 + xx - xx - 1

Odgovor: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - xx + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) lg 2 x + 4 x (lgx + 2) + 4 lgxx (Lgx + 2) = lgx + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + xx + 1 = x - 1 + xx - xx - 1.

V posljednji primjer da je svođenje na zajednički nazivnik neizbježno. Da biste to učinili, potrebno je pojednostaviti razlomke. Za sabiranje ili oduzimanje uvijek morate tražiti zajednički nazivnik, koji izgleda kao proizvod nazivnika s dodatnim faktorima koji se dodaju brojnicima.

Primjer 7

Izračunajte vrijednosti razlomaka: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin xx 5 ln (x + 1) (2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos xx + x

Rešenje

1. Nazivnik ne zahtijeva nikakve komplicirane izračune, pa morate odabrati njihov proizvod oblika 3 x 7 + 2 2, zatim se x 7 + 2 2 na prvi razlomak bira kao dodatni faktor, a 3 na drugi. Prilikom množenja dobivamo razlomak oblika x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = xx 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Može se vidjeti da su nazivnici predstavljeni kao proizvod, što znači da dodatne transformacije nisu potrebne. Zajednički nazivnik će biti proizvod oblika x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4. Dakle x 4 je komplementarni faktor prvom razlomku, a ln (x + 1) do drugog. Zatim oduzimamo i dobivamo:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = xx 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4)
3. Ovaj primjer ima smisla pri radu s nazivnicima razlomaka. Za razliku kvadrata i kvadrata zbroja potrebno je primijeniti formule, jer će one omogućiti prelazak na izraz oblika 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2. Može se vidjeti da se razlomci svode na zajednički nazivnik. Dobijamo da je cos x - x · cos x + x 2.

Onda shvatamo to

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x Cos x + x 2

Odgovor:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin xx 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = xx 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos xx + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2.

Primjeri množenja razlomaka s varijablama

Prilikom množenja razlomaka, brojnik se množi brojnikom, a nazivnik nazivnikom. Tada se može primijeniti svojstvo smanjenja.

Primjer 8

Pomnožite razlomke x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 i 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Rešenje

Potrebno je izvršiti množenje. Shvatili smo to

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 X + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Broj 3 se prenosi radi lakšeg izračuna na prvo mjesto, a razlomak možete smanjiti za x 2, tada dobivamo izraz oblika

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Odgovor: x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x).

Division

Podjela za razlomke slična je množenju, jer se prvi razlomak množi s drugim inverznim. Uzmemo li, na primjer, razlomak x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 i podijelimo s 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, tada se može zapisati kao

x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x), zatim zamijenite proizvodom oblika x + 2 xx 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Eksponentiranje

Prijeđimo na razmatranje radnji sa općim razlomcima s podizanjem na stepen. Ako postoji stupanj s prirodnim eksponentom, tada se radnja smatra množenjem istih razlomaka. Ali preporučuje se korištenje općeg pristupa zasnovanog na svojstvima stepena. Bilo koji izrazi A i C, gdje C nije identično jednak nuli, i svako realno r na ODZ -u za izraz oblika A C r, jednakost A C r = A r C r je tačna. Rezultat je razlomak povećan na stepen. Na primjer, razmislite o:

x 0,7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2, 5 = = x 0,7 - π ln 3 x - 2 - 5 2,5 x + 1 2, 5

Redoslijed radnji sa razlomacima

Radnje na razlomcima izvode se prema određenim pravilima. U praksi primjećujemo da izraz može sadržavati nekoliko razlomaka ili razlomačkih izraza. Tada je potrebno sve radnje izvesti u strogom redoslijedu: podići na stepen, pomnožiti, podijeliti, a zatim zbrajati i oduzimati. Ako postoje zagrade, prva radnja se izvodi u njima.

Primjer 9

Procijenite 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x.

Rešenje

Budući da imamo isti nazivnik, tada 1 - x cos x i 1 c o s x, ali je nemoguće oduzeti prema pravilu, prvo se izvode radnje u zagradama, zatim množenje, a zatim sabiranje. Zatim, prilikom izračunavanja, to otkrijemo

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Zamjenom izraza u izvornik dobivamo da je 1 - x cos x - 1 cos x x + 1 x. Prilikom množenja razlomaka imamo: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x. Kad izvršimo sve zamjene, dobivamo 1 - x cos x - x + 1 cos x x. Sada morate raditi s razlomcima koji imaju različite nazivnike. Dobijamo:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Odgovor: 1 - x cos x - 1 c o s x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x.

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Kalkulator razlomka dizajniran za brzo izračunavanje operacija s razlomom, pomoći će vam u jednostavnom zbrajanju, množenju, dijeljenju ili oduzimanju razlomaka.

Moderni školarci počinju učiti frakcije već u petom razredu, svake godine vježbe s njima postaju sve kompliciranije. Matematički pojmovi i vrijednosti koje učimo u školi rijetko su nam korisni u odrasloj dobi. Međutim, za razliku od logaritama i ovlaštenja, razlomci su uobičajeni u svakodnevnom životu (mjerenje udaljenosti, vaganje robe itd.). Naš kalkulator je dizajniran za brzo izvođenje operacija s razlomom.

Prvo, definirajmo šta su razlomci i šta su oni. Razlomci su omjer jednog broja prema drugom, ovo je broj koji se sastoji od cijelog broja razlomaka od jedan.

Vrste razlomka:

• Običan
• Decimal
• Mešovito

Primjer uobičajeni razlomci:

Gornja vrijednost je brojnik, donja vrijednost je nazivnik. Crtica nam pokazuje da je gornji broj djeljiv sa donjim. Umjesto pisanja u sličnom formatu s vodoravnom crtom, možete ga napisati drugačije. Možete postaviti koso liniju, na primjer:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Decimalni razlomci su najpopularnija vrsta razlomka. Sastoje se od cijelog dijela i razlomljenog dijela, odvojenih zarezom.

Primjer decimalnih razlomaka:

0,2, ili 6,71 ili 0,125

Sastoje se od cijelog broja i razlomljenog dijela. Da biste saznali značenje ovog razlomka, morate dodati cijeli broj i razlomak.

Primjer mješovitih razlomaka:

Kalkulator razlomka na našoj web stranici može brzo izvesti bilo koju matematičku operaciju s razlomcima na mreži:

• Dodatak
• Oduzimanje
• Množenje
• Division

Da biste izvršili izračun, morate unijeti brojeve u polja i odabrati radnju. Za razlomke morate popuniti brojnik i nazivnik, cijeli broj se možda neće upisati (ako je razlomak običan). Ne zaboravite kliknuti na dugme jednako.

Prikladno, kalkulator odmah nudi postupak rješavanja primjera s razlomacima, a ne samo gotov odgovor. Zahvaljujući postavljenom rješenju ovaj materijal možete koristiti pri rješavanju školski zadaci i za bolje savladavanje obrađenog materijala.

Morate izračunati primjer:

Nakon unosa pokazatelja u polja obrasca, dobivamo:

Da biste napravili neovisan izračun, unesite podatke u obrazac.

Sadržaj lekcije

Dodavanje razlomaka sa istim nazivnikom

Postoje dvije vrste sabiranja razlomaka:

1. Dodavanje razlomaka sa istim nazivnikom
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, proučimo sabiranje razlomaka sa istim nazivnicima. Ovde je sve jednostavno. Da biste dodali razlomke s istim nazivnikom, dodajte njihove brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen. Na primjer, dodajte razlomke i. Dodajte brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na četiri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete pizze:

Primjer 2. Dodajte razlomke i.

Odgovor je ispao neprikladan razlomak... Ako dođe do kraja problema, uobičajeno je riješiti se netočnih razlomaka. Da biste se riješili pogrešnog razlomka, morate odabrati cijeli dio u njemu. U našem se slučaju cijeli dio lako razlikuje - dva podijeljena s dva jednaka su jednoj:

Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na dva dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu:

Primjer 3... Dodajte razlomke i.

Opet dodajte brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na tri dijela. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete pizze:

Primjer 4. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj je primjer riješen na isti način kao i prethodni. Brojnici se moraju dodati, a nazivnik ostaviti nepromijenjen:

Pokušajmo prikazati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu i dodate pizzu pizzi, dobit ćete 1 cijelu i više pizza.

Kao što vidite, nema ništa komplicirano u dodavanju razlomaka sa istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste dodali razlomke s istim nazivnikom, dodajte njihove brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen;

Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima

Sada naučimo kako dodavati razlomke s različitim nazivnicima. Prilikom zbrajanja razlomaka, nazivnici tih razlomaka trebaju biti isti. Ali nisu uvijek isti.

Na primjer, razlomci i se mogu dodati jer imaju iste nazivnike.

No, razlomci se ne mogu dodati odmah, budući da ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Postoji nekoliko načina da razlomke dovedete do istog nazivnika. Danas ćemo razmotriti samo jednu od njih, budući da se ostale metode početniku mogu činiti teškim.

Suština ove metode je da se prvo traži (LCM) za nazivnike oba razlomka. Tada se LCM dijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobiva se prvi dodatni faktor. Učinite isto s drugim razlomom - LCM se dijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobiva se drugi dodatni faktor.

Zatim se brojnici i nazivnici razlomaka množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih radnji, razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju se u razlomke s istim nazivnicima. I već znamo kako zbrajati takve razlomke.

Primjer 1... Dodajte razlomke i

Prije svega, nalazimo najmanji zajednički višekratnik nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je 3, a nazivnik drugog razlomaka 2. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 6

LCM (2 i 3) = 6

Sada se vraćamo na razlomke i. Prvo podijelite LCM s nazivnikom prvog razlomka i dobijte prvi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik prvog razlomka broj 3. Podijelimo 6 sa 3, dobivamo 2.

Rezultirajući broj 2 prvi je dodatni faktor. Zapisujemo ga do prvog razlomka. Da biste to učinili, napravite malu kosu liniju iznad razlomka i napišite dodatni faktor koji se nalazi iznad nje:

Isto radimo i s drugim razlomom. LCM dijelimo s nazivnikom drugog razlomka i dobivamo drugi dodatni faktor. LCM je broj 6, a nazivnik drugog razlomka broj 2. Podijelimo 6 sa 2, dobićemo 3.

Rezultirajući broj 3 drugi je dodatni faktor. Zapisujemo to na drugi razlomak. Opet, nacrtamo malu kosu liniju iznad drugog razlomka i napišemo dodatni faktor koji se nalazi iznad njega:

Sada smo spremni za dodavanje. Ostaje pomnožiti brojnike i nazivnike razlomaka s vašim dodatnim faktorima:

Pažljivo pogledajte do čega smo došli. Došli smo do zaključka da su se razlomci s različitim nazivnicima pretvorili u razlomke s istim nazivnicima. I već znamo kako zbrajati takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

Dakle, primjer završava. Ispada da se dodaje.

Pokušajmo prikazati naše rješenje pomoću slike. Ako pizzi dodate pizzu, dobit ćete jednu cijelu pizzu i drugu šestu pizzu:

Smanjivanje razlomaka na isti (zajednički) nazivnik može se prikazati i pomoću slike. Smanjujući razlomke i na zajednički nazivnik dobili smo razlomke i. Ove dvije frakcije bit će predstavljene istim kriškama pizze. Jedina razlika je u tome što će ovaj put biti podijeljene na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik).

Prvi crtež prikazuje razlomak (četiri od šest komada), a drugi crtež prikazuje razlomak (tri od šest komada). Sastavljajući ove dijelove dobivamo (sedam komada od šest). Ovaj razlomak nije točan, pa smo u njemu odabrali cijeli dio. Kao rezultat toga dobili smo (jednu cijelu pizzu i drugu šestu pizzu).

Imajte na umu da smo slikali dat primjer previše detaljno. V obrazovne institucije nije običaj da se tako opširno piše. Morate biti u mogućnosti brzo pronaći LCM oba nazivnika i dodatnih faktora uz njih, kao i brzo pomnožiti pronađene dodatne faktore svojim brojnicima i nazivnicima. Dok smo bili u školi, morali bismo ovaj primjer napisati na sljedeći način:

Ali postoji i to zadnja strana medalje. Ako u prvim fazama proučavanja matematike ne pravite detaljne bilješke, počinju se pojavljivati ​​takva pitanja „Odakle dolazi ta brojka?“ „Zašto se razlomci odjednom pretvaraju u potpuno različite razlomke? «.

Da biste olakšali dodavanje razlomaka s različitim nazivnicima, možete koristiti sljedeće korak-po-korak upute:

1. Nađi LCM nazivnika razlomaka;
2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijte dodatni faktor za svaki razlomak;
3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka svojim dodatnim faktorima;
4. Dodajte razlomke koji imaju isti nazivnik;
5. Ako se ispostavi da je odgovor neispravan razlomak, odaberite cijeli njegov dio;

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza .

Koristimo gornja uputstva.

Korak 1. Pronađite LCM nazivnika razlomaka

Nađi LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnici razlomaka su brojevi 2, 3 i 4.

Korak 2. Podijelite LCM s nazivnikom svakog razlomka i dobijte dodatni faktor za svaki razlomak

LCM dijelimo na nazivnik prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka broj 2. Podijelimo 12 sa 2, dobivamo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada dijelimo LCM na nazivnik drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobivamo 4. Dobili smo drugi dodatni faktor 4. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada dijelimo LCM na nazivnik trećeg razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik trećeg razlomka broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobivamo 3. Dobili smo treći dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Korak 3. Pomnožite brojnike i nazivnike razlomaka svojim dodatnim faktorima

Pomnožimo brojnike i nazivnike s našim dodatnim faktorima:

Korak 4. Dodajte razlomke sa istim nazivnicima

Došli smo do zaključka da su se razlomci s različitim imeniteljima pretvorili u razlomke s istim (zajedničkim) nazivnicima. Ostaje dodati ove razlomke. Dodajemo:

Dodatak nije stao u jedan red, pa smo preostali izraz premjestili u sljedeći red. To je dozvoljeno u matematici. Kada izraz ne stane u jedan red, prenosi se u sljedeći red, a potrebno je staviti znak jednakosti (=) na kraj prvog retka i na početak novog retka. Znak jednakosti u drugom retku označava da je ovo nastavak izraza koji je bio u prvom retku.

Korak 5. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, odaberite cijeli dio u njemu

U odgovoru smo dobili pogrešan razlomak. Moramo izabrati cijeli dio iz njega. Istakni:

Primljen je odgovor

Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom

Postoje dvije vrste oduzimanja razlomaka:

1. Oduzimanje razlomaka sa istim nazivnikom
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Prvo, proučimo oduzimanje razlomaka s istim nazivnikom. Ovde je sve jednostavno. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, morate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostaviti isti.

Na primjer, pronađimo vrijednost izraza. Da biste riješili ovaj primjer, oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen. Pa uradimo to:

Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na četiri dijela. Ako izrežete pizze iz pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza.

Opet oduzmite brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjen:

Ovaj primjer možete lako razumjeti ako razmislite o pizzi koja je podijeljena na tri dijela. Ako izrežete pizze iz pizze, dobit ćete pizze:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Ovaj je primjer riješen na isti način kao i prethodni. Od brojnika prvog razlomka morate oduzeti brojnike preostalih razlomaka:

Kao što vidite, nema ništa teško u oduzimanju razlomaka s istim nazivnicima. Dovoljno je razumjeti sljedeća pravila:

1. Da biste oduzeli drugi od jednog razlomka, morate oduzeti brojnik drugog razlomka od brojnika prvog razlomka i ostaviti nazivnik nepromijenjen;
2. Ako se ispostavi da je odgovor netočan razlomak, morate odabrati cijeli dio u njemu.

Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima

Na primjer, možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju isti nazivnik. Ali ne možete oduzeti razlomak od razlomka, jer ti razlomci imaju različite nazivnike. U takvim slučajevima razlomci se moraju svesti na isti (zajednički) nazivnik.

Zajednički nazivnik se nalazi po istom principu koji smo koristili pri dodavanju razlomaka s različitim nazivnicima. Prije svega, pronađite LCM nazivnika oba razlomka. Tada se LCM dijeli s nazivnikom prvog razlomka i dobiva se prvi dodatni faktor koji se zapisuje preko prvog razlomka. Slično, LCM se dijeli s nazivnikom drugog razlomka i dobiva se drugi dodatni faktor koji se zapisuje preko drugog razlomka.

Zatim se razlomci množe s njihovim dodatnim faktorima. Kao rezultat ovih operacija, razlomci s različitim nazivnicima pretvaraju se u razlomke s istim nazivnicima. Već znamo kako oduzeti takve razlomke.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza:

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih morate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

Prvo pronalazimo LCM nazivnika oba razlomka. Nazivnik prvog razlomka je 3, a nazivnik drugog razlomaka 4. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 12

LCM (3 i 4) = 12

Sada se vratimo na razlomke i

Pronađimo dodatni faktor za prvu frakciju. Da bismo to učinili, dijelimo LCM na nazivnik prvog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik prvog razlomka broj 3. Podijelimo 12 sa 3, dobivamo 4. Napisujemo četiri preko prvog razlomka:

Isto radimo i s drugim razlomom. LCM dijelimo s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 12, a nazivnik drugog razlomka broj 4. Podijelimo 12 sa 4, dobit ćemo 3. Napiši tri preko drugog razlomka:

Sada smo spremni za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s vašim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci s različitim nazivnicima pretvorili u razlomke s istim nazivnicima. Već znamo kako oduzeti takve razlomke. Završimo ovaj primjer do kraja:

Primljen je odgovor

Pokušajmo prikazati naše rješenje pomoću slike. Ako izrežete pizze iz pizze, dobit ćete pizzu

to detaljna verzija rešenja. U školi bismo ovaj primjer morali rješavati na kraći način. Takvo rješenje bi izgledalo ovako:

Smanjivanje razlomaka i na zajednički nazivnik također se može prikazati pomoću slike. Dovođenjem ovih razlomaka do zajedničkog nazivnika dobili smo razlomke i. Ovi razlomci bit će predstavljeni istim kriškama pizze, ali ovog puta bit će podijeljeni na jednake dijelove (svedene na isti nazivnik):

Prvi crtež prikazuje razlomak (osam od dvanaest komada), a drugi crtež prikazuje razlomak (tri od dvanaest komada). Odrezujući tri komada od osam komada, dobivamo pet komada od dvanaest. Ulomi i opisuje ovih pet komada.

Primjer 2. Pronađite vrijednost izraza

Ovi razlomci imaju različite nazivnike, pa ih prvo morate dovesti do istog (zajedničkog) nazivnika.

Nađi LCM nazivnika ovih razlomaka.

Nazivnici razlomaka su 10, 3 i 5. Najmanji zajednički višekratnik ovih brojeva je 30

LCM (10, 3, 5) = 30

Sada pronalazimo dodatne faktore za svaki razlomak. Da bismo to učinili, dijelimo LCM na nazivnik svakog razlomka.

Pronađimo dodatni faktor za prvu frakciju. LCM je broj 30, a nazivnik prvog razlomka broj 10. Podijelimo 30 sa 10, dobićemo prvi dodatni faktor 3. Zapisujemo ga preko prvog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za drugi razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom drugog razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik drugog razlomka broj 3. Podijelimo 30 sa 3, dobićemo drugi dodatni faktor 10. Zapisujemo ga preko drugog razlomka:

Sada nalazimo dodatni faktor za treći razlomak. Podijelite LCM s nazivnikom trećeg razlomka. LCM je broj 30, a nazivnik trećeg razlomka broj 5. Podijelimo 30 sa 5, dobićemo treći dodatni faktor 6. Zapisujemo ga preko trećeg razlomka:

Sada je sve spremno za oduzimanje. Ostaje pomnožiti razlomke s vašim dodatnim faktorima:

Došli smo do zaključka da su se razlomci s različitim nazivnicima pretvorili u razlomke s istim (zajedničkim) nazivnicima. Već znamo kako oduzeti takve razlomke. Završimo ovaj primjer.

Nastavak primjera neće stati u jednu liniju, pa prenosimo nastavak u sljedeću liniju. Ne zaboravite na znak jednakosti (=) u novom retku:

Odgovor se pokazao kao tačan razlomak i čini se da nam sve odgovara, ali je previše glomazan i ružan. Trebali smo to olakšati. Šta se može učiniti? Ovu frakciju možete skratiti.

Da biste smanjili razlomak, morate podijeliti njegov brojnik i nazivnik s (GCD) brojevima 20 i 30.

Dakle, nalazimo GCD brojeva 20 i 30:

Sada se vraćamo na naš primjer i brojnik i nazivnik razlomka dijelimo s pronađenim GCD -om, odnosno sa 10

Primljen je odgovor

Množenje razlomka brojem

Da biste razlomak razložili brojem, morate pomnožiti brojnik tog razlomka s ovim brojem i ostaviti nazivnik nepromijenjenim.

Primjer 1... Pomnožite razlomak s 1.

Pomnožite brojnik razlomka sa 1

Snimanje se može shvatiti kao da traje pola vremena. Na primjer, ako pice pijete 1 put, dobit ćete pizze

Iz zakona množenja znamo da ako se množitelj i množitelj obrnu, tada se umnožak neće promijeniti. Ako je izraz napisan kao, tada će proizvod i dalje biti jednak. Opet, pravilo za množenje cijelog broja i razlomka funkcionira:

Ovaj zapis se može shvatiti kao uzimanje polovine jednog. Na primjer, ako postoji 1 cijela pizza, a mi uzmemo polovicu, dobit ćemo pizzu:

Primjer 2... Pronađite vrijednost izraza

Pomnožite brojnik razlomka sa 4

Odgovor je netačan razlomak. Odaberimo cijeli dio u njemu:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje dvije četvrtine 4 puta. Na primjer, ako uzmete pizze 4 puta, dobit ćete dvije cijele pizze.

A ako zamijenimo množitelj i množitelj na mjestima, dobit ćemo izraz. Takođe će biti jednako 2. Ovaj izraz se može shvatiti kao uzimanje dve pice iz četiri cele pice:

Dopušten je broj koji se množi s razlomkom i nazivnikom razlomka ako imaju zajednički faktor veći od jedan.

Na primjer, izraz se može procijeniti na dva načina.

Prvi način... Pomnožite 4 s brojnikom razlomka i ostavite nazivnik razlomka nepromijenjen:

Drugi način... Pomnoženo četiri i četiri u nazivniku razlomka može se poništiti. Ove četvorke možete otkazati za 4, budući da je najveći zajednički djelitelj za dvije četvorke same četiri:

Isti rezultat je dobiven 3. Nakon smanjenja četvorki, na njihovom mjestu se formiraju novi brojevi: dva. Ali množenje jedan s tri, a zatim dijeljenje s jedan, ne mijenja ništa. Stoga se rješenje može napisati kraće:

Smanjivanje se može izvesti čak i kada smo odlučili koristiti prvu metodu, ali u fazi množenja broja 4 i brojnika 3 odlučili smo upotrijebiti smanjenje:

No, na primjer, izraz se može izračunati samo na prvi način - pomnožite 7 s nazivnikom razlomka i ostavite nazivnik nepromijenjenim:

To je zbog činjenice da broj 7 i nazivnik razlomka nemaju zajednički djelitelj, veći od jedan, pa se stoga ne poništavaju.

Neki učenici greškom skraćuju pomnoženi broj i brojnik razlomka. To se ne može učiniti. Na primjer, sljedeće nije točno:

Smanjenje razlomka to implicira i brojnik i nazivnik bit će podijeljen s istim brojem. U situaciji s izrazom, podjela se vrši samo u brojniku, budući da je zapisivanje isto što i zapisivanje. Vidimo da se podjela vrši samo u brojniku, a u nazivniku ne dolazi do podjele.

Množenje razlomaka

Da biste razmnožili razlomke, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Ako se ispostavi da je odgovor pogrešan razlomak, morate odabrati cijeli dio u njemu.

Primjer 1. Pronađite vrijednost izraza.

Dobili smo odgovor. Poželjno je skratiti ovu frakciju. Razlomak se može smanjiti za 2. Tada će konačna odluka poprimiti sljedeći oblik:

Izraz se može shvatiti kao uzimanje pizze od pola pizze. Recimo da imamo pola pizze:

Kako dobiti dvije trećine ove polovine? Prvo morate ovu polovicu podijeliti na tri jednaka dijela:

I uzmite dva od ova tri komada:

Napravićemo picu. Sjetite se kako pizza izgleda podijeljena na tri dijela:

Jedna kriška ove pizze i dvije kriške koje smo uzeli imat će iste dimenzije:

Drugim riječima, govorimo o istoj veličini pizze. Stoga je vrijednost izraza

Primjer 2... Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je netačan razlomak. Odaberimo cijeli dio u njemu:

Primjer 3. Pronađite vrijednost izraza

Pomnožimo brojnik prvog razlomka s brojnikom drugog razlomka, a nazivnik prvog razlomka s nazivnikom drugog razlomka:

Odgovor je tačan razlomak, ali bilo bi dobro ako ga smanjite. Da biste smanjili ovaj razlomak, morate podijeliti brojnik i nazivnik tog razlomka s najvećim zajedničkim djeliteljem (GCD) brojeva 105 i 450.

Dakle, pronađimo GCD brojeva 105 i 450:

Sada dijelimo brojnik i nazivnik našeg odgovora na GCD, koji smo sada pronašli, odnosno sa 15

Razlomljeni prikaz cijelog broja

Bilo koji cijeli broj može biti predstavljen kao razlomak. Na primjer, broj 5 se može predstaviti kao. Od toga pet neće promijeniti svoju vrijednost, jer izraz znači "broj pet podijeljen s jedan", a to je, kao što znate, jednako pet:

Obrnuti brojevi

Sada ćemo se upoznati sa veoma zanimljiva tema iz matematike. Zove se "povratni brojevi".

Definicija. Inverzni broja je broj koji se, pomnožen saa daje jedan.

Zamijenimo u ovoj definiciji umjesto varijable a broj 5 i pokušajte pročitati definiciju:

Inverzni broj 5 je broj koji se, pomnožen sa 5 daje jedan.

Možete li pronaći broj koji, pomnožen sa 5, daje jedinicu? Ispostavilo se da možeš. Predstavimo pet kao razlomak:

Zatim pomnožite ovaj razlomak sam po sebi, samo zamijenite mjesta brojnika i nazivnika. Drugim riječima, razmnožavamo razlomak sam po sebi, samo obrnuto:

Šta će biti rezultat ovoga? Ako nastavimo rješavati ovaj primjer, dobit ćemo jedan:

To znači da je inverzni broj 5 broj, budući da se 5 množi sa jedan.

Uzajamnost se može pronaći i za bilo koji drugi cijeli broj.

Možete pronaći i recipročnu vrijednost za bilo koji drugi razlomak. Da biste to učinili, samo ga okrenite.

Dijeljenje razlomka brojem

Recimo da imamo pola pizze:

Podijelimo ga jednako na dva dijela. Koliko će pizza dobiti svaki?

Može se vidjeti da nakon podjele polovice pizze postoje dvije jednake kriške, od kojih svaka čini pizzu. Pa svi dobiju pizzu.