Svaki parcijalni derivat (po x i po y) funkcije dvije varijable je običan izvod funkcije jedne varijable za fiksnu vrijednost druge varijable:
(Gdje y= const),
(Gdje x= const).
Stoga se parcijalni derivati izračunavaju pomoću formule i pravila za izračunavanje izvoda funkcija jedne varijable, uzimajući u obzir drugu konstantu varijable.
Ako vam nije potrebna analiza primjera i minimalna teorija potrebna za to, već vam je potrebno samo rješenje vašeg problema, idite na online kalkulator parcijalnih derivata .
Ako je teško koncentrirati se pratiti gdje je konstanta u funkciji, onda u nacrtu rješenja primjera, umjesto varijable s fiksnom vrijednošću, možete zamijeniti bilo koji broj - tada možete brzo izračunati parcijalni izvod kao obični izvod funkcije jedne varijable. Samo treba da zapamtite da vratite konstantu (varijable sa fiksnom vrednošću) na njeno mesto kada završite finalni dizajn.
Gore opisano svojstvo parcijalnih izvoda proizlazi iz definicije parcijalnog izvoda, koje se može pojaviti u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali sa definicijom u nastavku, možete otvoriti teorijsku referencu.
Koncept kontinuiteta funkcije z= f(x, y) u tački definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.
Funkcija z = f(x, y) se naziva kontinuiranim u tački ako
Razlika (2) naziva se ukupni prirast funkcije z(dobija se kao rezultat povećanja oba argumenta).
Neka je funkcija data z= f(x, y) i tačka
Ako se funkcija promijeni z javlja se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, sa fiksnom vrijednošću drugog argumenta y, tada će funkcija dobiti povećanje
naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, y) By x.
Uzimajući u obzir promjenu funkcije z u zavisnosti od promjene samo jednog od argumenata, mi efektivno prelazimo na funkciju jedne varijable.
Ako postoji konačna granica
tada se naziva parcijalni izvod funkcije f(x, y) argumentom x i označen je jednim od simbola
(4)
Slično se određuje i parcijalni prirast z By y:
i parcijalni derivat f(x, y) By y:
(6)
Primjer 1.
Rješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":
(y fiksno);
Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":
(x fiksno).
Kao što možete vidjeti, nije bitno u kojoj mjeri je varijabla fiksna: u ovom slučaju to je jednostavno određeni broj koji je faktor (kao u slučaju običnog izvoda) varijable s kojom nalazimo parcijalni izvod . Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s promjenljivom s kojom nalazimo parcijalni izvod, tada ova usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju običnog izvoda, nestaje.
Primjer 2. Zadata funkcija
Pronađite parcijalne izvode
(po X) i (po Y) i izračunajte njihove vrijednosti u tački A (1; 2).
Rješenje. Kod fiksnog y derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije stepena ( tablica derivacijskih funkcija jedne varijable):
.
Kod fiksnog x derivat prvog člana nalazi se kao izvod eksponencijalna funkcija, a drugi – kao derivacija konstante:
Sada izračunajmo vrijednosti ovih parcijalnih izvoda u tački A (1; 2):
Rješenje za probleme parcijalnih derivata možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .
Primjer 3. Naći parcijalne izvode funkcije
Rješenje. U jednom koraku nalazimo
(y x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);
(x je fiksna i u ovom slučaju je množitelj na y).
Rješenje za probleme parcijalnih derivata možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .
Parcijalni izvod funkcije od tri ili više varijabli definiraju se slično.
Ako svaki skup vrijednosti ( x; y; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, To u zove se funkcija varijabli x, y, ..., t i označiti u= f(x, y, ..., t).
Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.
Također se određuju i izračunavaju parcijalni derivati funkcije više varijabli pod pretpostavkom da se mijenja samo jedna od nezavisnih varijabli, dok su ostale fiksne.
Primjer 4. Naći parcijalne izvode funkcije
.
Rješenje. y I z popravljeno:
x I z popravljeno:
x I y popravljeno:
Pronađite sami parcijalne izvode, a zatim pogledajte rješenja
Primjer 5.
Primjer 6. Naći parcijalne izvode funkcije.
Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli ima isto mehaničko značenje je isto što i derivacija funkcije jedne varijable, je stopa promjene funkcije u odnosu na promjenu jednog od argumenata.
Primjer 8. Kvantitativna vrijednost protoka P putnika željeznice može se izraziti funkcijom
Gdje P– broj putnika, N– broj stanovnika dopisnih punktova, R– udaljenost između tačaka.
Parcijalni izvod funkcije P By R, jednako
pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih tačaka sa istim brojem stanovnika u bodovima.
Parcijalni derivat P By N, jednako
pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja na istoj udaljenosti između tačaka.
Rješenje za probleme parcijalnih derivata možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .
Puni diferencijal
Proizvod parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:
Zbir parcijalnih diferencijala za sve nezavisne varijable daje ukupni diferencijal. Za funkciju dvije nezavisne varijable, ukupni diferencijal je izražen jednakošću
(7)
Primjer 9. Pronađite potpuni diferencijal funkcije
Rješenje. Rezultat korištenja formule (7):
Za funkciju koja ima totalni diferencijal u svakoj tački određene domene kaže se da je diferencijabilna u toj domeni.
Sami pronađite ukupni diferencijal, a zatim pogledajte rješenje
Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom domenu implicira njen kontinuitet u ovoj domeni, ali ne i obrnuto.
Formulirajmo bez dokaza dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije.
Teorema. Ako je funkcija z= f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode
u datom regionu, onda je on diferencibilan u ovom regionu i njegov diferencijal se izražava formulom (7).
Može se pokazati da je, baš kao što je u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je i u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal glavni, linearni dio priraštaja nezavisnih neke od varijabli puno povećanje funkcije.
Za funkciju od dvije varijable, ukupni prirast funkcije ima oblik
(8)
gdje su α i β beskonačno male na i .
Parcijalni derivati višeg reda
Parcijalne derivacije i funkcije f(x, y) sami su neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivate u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalni derivati višeg reda.
Praktični rad br. 2
"Diferencijalna funkcija"
Svrha lekcije: Naučite rješavati primjere i probleme na ovu temu.
Teorijska pitanja (osnovna):
1. Primjena derivata za proučavanje funkcija na ekstremu.
2. Diferencijal funkcije, njeno geometrijsko i fizičko značenje.
3. Puni diferencijal funkcije mnogih varijabli.
4. Stanje tijela kao funkcija mnogih varijabli.
5. Približni proračuni.
6. Pronalaženje parcijalnih izvoda i totalnih diferencijala.
7. Primjeri upotrebe ovih pojmova u farmakokinetici, mikrobiologiji itd.
(samopriprema)
1. odgovarati na pitanja o temi časa;
2. rješavati primjere.
Primjeri
Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:
| 1) | 2)  | 3)  |
4)  | 5)  | 6) |
7)  | 8) | 9)  |
10)  | 11) | 12)  |
13)  | 14)  | 15) |
16)  | 17) | 18)  |
19)  | 20)  |
Korištenje derivata za proučavanje funkcija
Uslov za povećanje funkcije y = f(x) na intervalu [a, b]
Uslov da se funkcija y=f(x) smanji na segmentu [a, b]
Uslov za maksimalnu funkciju y=f(x) na x=a
f"(a)=0 i f"" (a)<0
Ako su kod x=a derivacije f"(a) = 0 i f"(a) = 0, tada je potrebno proučiti f"(x) u blizini tačke x = a. Funkcija y=f( x) pri x=a ima maksimum, ako, prilikom prolaska kroz tačku x = a, derivacija f"(x) promijeni predznak sa "+" na "-", u slučaju minimuma - iz "-" na “+” Ako f"(x) ne promijeni predznak kada prolazi kroz tačku x = a, tada funkcija nema ekstrema
Funkcijski diferencijal.
Diferencijal nezavisne varijable jednak je njenom inkrementu:
Diferencijal funkcije y=f(x)
Diferencijal zbira (razlike) dvije funkcije y=u±v
Diferencijal proizvoda dviju funkcija y=uv
Diferencijal količnika dvije funkcije y=u/v
dy=(vdu-udv)/v 2
Povećanje funkcije
Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx
gdje je Δx: - prirast argumenta.
Približan izračun vrijednosti funkcije:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx
Primjena diferencijala u aproksimativnim proračunima
Diferencijal se koristi za izračunavanje apsolutnih i relativnih grešaka u indirektnim mjerenjima u = f(x, y, z.). Apsolutna greška rezultata mjerenja
du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…
Relativna greška rezultata mjerenja
du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u
DIFERENCIJALNA FUNKCIJA.
Diferencijal funkcije kao glavni dio inkrementa funkcije
I. Usko povezan s konceptom derivacije je koncept diferencijala funkcije. Neka funkcija f(x) je kontinuiran za date vrijednosti X i ima derivat 
D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), odakle je prirast funkcije Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Gdje a(Dx)® 0 at Dh® 0. Odredimo red beskonačno malog f¢(x)Dx Dx.:
Dakle, beskonačno mali f¢(x)Dx I Dx imaju isti red malenosti, tj f¢(x)Dx = O.
Odredimo red beskonačno malog a(Dh)Dh u odnosu na infinitezimalnu Dx:
Dakle, beskonačno mali a(Dh)Dh ima veći red malenosti u poređenju sa infinitezimalnim Dx, to je a(Dx)Dx = o.
Dakle, beskonačno mali prirast Df diferencijabilna funkcija se može predstaviti u obliku dva pojma: infinitezimalna f¢(x)Dx istog reda malenosti sa Dx i beskonačno mali a(Dh)Dh viši red malenosti u poređenju sa infinitezimalnim Dx. To znači da u jednakosti Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx at Dh® 0 drugi član teži nuli „brže“ od prvog, tj a(Dx)Dx = o.
Prvi mandat f¢(x)Dx, linearno u odnosu na Dx, zvao diferencijalna funkcija f(x) u tački X i označiti dy ili df(čitaj “de igrek” ili “de ef”). dakle,
dy = df = f¢(x)Dx.
Analitičko značenje diferencijala je da je diferencijal funkcije glavni dio prirasta funkcije Df, linearno u odnosu na prirast argumenta Dx. Diferencijal funkcije razlikuje se od priraštaja funkcije za infinitezimal višeg reda male veličine od Dx. stvarno, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx ili Df = df + a(Dx)Dx . Diferencijal argumenata dx jednaka njegovom prirastu Dx: dx=Dx.
Primjer. Izračunajte diferencijalnu vrijednost funkcije f(x) = x 3 + 2x, Kada X varira od 1 do 1,1.
Rješenje. Nađimo opći izraz za diferencijal ove funkcije:
Zamjenjivanje vrijednosti dx=Dx=1,1–1= 0,1 I x = 1 u posljednjoj formuli, dobijamo željenu vrijednost diferencijala: df½ x=1; = 0,5.
PARCIJALNI DERIVATI I DIFERENCIJALI.
Parcijalni derivati prvog reda. Parcijalni izvod prvog reda funkcije z = f(x,y ) argumentom X u predmetnoj tački (x;y) zove limit
ako postoji.
Parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) argumentom X označen je jednim od sljedećih simbola:
Slično, parcijalni izvod u odnosu na at označeno i definisano formulom:
Budući da je parcijalni izvod običan izvod funkcije jednog argumenta, nije teško izračunati. Da biste to učinili, morate koristiti sva do sada razmatrana pravila diferencijacije, uzimajući u obzir u svakom slučaju koji od argumenata se uzima kao „konstantni broj“, a koji služi kao „varijabla diferencijacije“.
Komentar. Da biste pronašli parcijalni izvod, na primjer, u odnosu na argument x – df/dx, dovoljno je pronaći običan izvod funkcije f(x,y), smatrajući ovo drugo funkcijom jednog argumenta X, A at– konstanta; naći df/dy- obrnuto.
Primjer. Pronađite vrijednosti parcijalnih izvoda funkcije f(x,y) = 2x 2 + y 2 u tački P(1;2).
Rješenje. Brojanje f(x,y) funkcija jednog argumenta X i koristeći pravila diferencijacije, nalazimo
U tački P(1;2) vrijednost derivata
Uzimajući u obzir f(x;y) funkciju jednog argumenta y, nalazimo
U tački P(1;2) vrijednost derivata
ZADATAK ZA SAMOSTALNI RAD UČENIKA:
Pronađite diferencijale sljedećih funkcija:
Riješite sljedeće probleme:
1. Za koliko će se smanjiti površina kvadrata sa stranicom x=10 cm ako se stranica smanji za 0,01 cm?
2. Zadata je jednačina kretanja tijela: y=t 3 /2+2t 2, gdje je s izraženo u metrima, t u sekundama. Odrediti put s koji tijelo pređe za t=1,92 s od početka kretanja.
LITERATURA
1. Lobotskaya N.L. Osnove više matematike - M.: “Viša škola”, 1978.C198-226.
2. Bailey N. Matematika u biologiji i medicini. Per. sa engleskog M.: "Mir", 1970.
3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Zbornik zadataka iz medicinske i biološke fizike - M.: “Viša škola”, 1987. P16-20.
Parcijalni izvod funkcije dvije varijable.
Koncept i primjeri rješenja
U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dvije varijable i razmotriti možda najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Vanredni studenti se, po pravilu, susreću sa parcijalnim izvedenicama u 1. godini u 2. semestru. Štaviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih izvoda gotovo se uvijek pojavljuje na ispitu.
Da biste efikasno proučili materijal u nastavku, vi neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "obične" izvode funkcija jedne varijable. Na lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? I Derivat kompleksne funkcije. Trebat će nam i tabela izvedenica elementarnih funkcija i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku. Referentni materijal možete dobiti na stranici Matematičke formule i tabele.
Hajde da brzo ponovimo koncept funkcije dve varijable, pokušaću da se ograničim na minimum. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.
Primjer: – funkcija dvije varijable.
Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.
Sa geometrijske tačke gledišta, funkcija dvije varijable najčešće predstavlja površinu u trodimenzionalnom prostoru (ravan, cilindar, sfera, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, u stvari, ovo je više analitička geometrija, a na našem dnevnom redu je matematička analiza, koju mi profesor sa univerziteta nikada nije dao da otpišem i moja je „jača strana“.
Pređimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one koji su popili nekoliko šoljica kafe i koji se bave nekim neverovatno teškim materijalom: parcijalni derivati su skoro isti kao i “obični” derivati funkcije jedne varijable.
Za parcijalne izvode vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika, koje ćemo sada upoznati:
...da, usput, za ovu temu sam kreirao mala pdf knjiga, što će vam omogućiti da „uvučete zube“ za samo nekoliko sati. Ali korištenjem stranice sigurno ćete dobiti isti rezultat - samo možda malo sporiji:
Primjer 1
Pronađite parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije
Prvo, pronađimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.
Oznake:
ili – parcijalni izvod u odnosu na “x”
ili – djelomični izvod u odnosu na “y”
Počnimo sa . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na “x”, varijabla se smatra konstantom (konstantnim brojem).
Komentari na izvršene radnje:
(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradi ispod premijera sa indeksom.
Pažnja, važno! MI NE GUBIMO indekse tokom procesa rješenja. U ovom slučaju, ako nacrtate "crticu" negdje bez , onda ga nastavnik, u najmanju ruku, može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio tačke zbog nepažnje).
(2) Koristimo pravila diferencijacije 
, . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se lako mogu primijeniti u jednom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, a svaka konstanta se može izvući iz predznaka derivacije, onda ga stavljamo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma - "sedam".
(3) Koristimo tablične derivate i .
(4) Hajde da pojednostavimo, ili, kako ja volim da kažem, „podesimo“ odgovor.
Sad . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na “y”, tada je varijablasmatra se konstantnim (konstantnim brojem).
(1) Koristimo ista pravila diferencijacije 
, . U prvom članu izvlačimo konstantu iz predznaka derivacije, u drugom ne možemo ništa izvaditi jer je već konstanta.
(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Promenimo mentalno sve "X" u tabeli u "ja". Odnosno, ova tabela je jednako važeća za (i zaista za skoro svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .
Šta je značenje parcijalnih izvoda?
U suštini, parcijalni derivati 1. reda liče "obični" derivat:
- Ovo funkcije, koji karakterišu stopa promjene funkcionira u smjeru osi i, respektivno. Tako, na primjer, funkcija 
karakteriše strminu "uzpona" i "kosina" površine u smjeru ose apscise, a funkcija nam govori o “reljefu” iste površine u smjeru ose ordinata.
! Bilješka : ovdje mislimo na smjernice koje paralelno koordinatne ose.
U svrhu boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu tačku na ravni i izračunajmo vrijednost funkcije ("visine") na njoj:
– a sada zamislite da ste ovdje (NA površini).
Izračunajmo parcijalni izvod u odnosu na "x" u datoj tački:
Negativni predznak derivata „X“ nam govori o tome opadajući funkcionira u tački u smjeru ose apscise. Drugim riječima, ako napravimo mali, mali (beskonačno malo) korak prema vrhu ose (paralelno sa ovom osom), onda ćemo se spustiti niz padinu površine.
Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru ordinatne ose:
Izvod u odnosu na “y” je pozitivan, dakle, u tački u smjeru ose funkcija povećava. Pojednostavljeno rečeno, ovdje nas čeka uspon.
Osim toga, parcijalni izvod u tački karakterizira stopa promjene funkcioniše u odgovarajućem pravcu. Što je veća rezultujuća vrijednost modulo– što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, „nagib“ u smjeru ose apscise je strmiji od „planine“ u smjeru ose ordinata.
Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da sa tačke na kojoj se nalazimo, (i općenito iz bilo koje točke na datoj površini) možemo krenuti u nekom drugom pravcu. Dakle, postoji interes za stvaranje opće "navigacijske karte" koja bi nas informirala o "pejzažu" površine ako je moguće u svakoj tački domenu definicije ove funkcije svim dostupnim stazama. O ovome i drugim zanimljivostima govorit ću u jednoj od sljedećih lekcija, ali za sada se vratimo na tehničku stranu problema.
Hajde da sistematizujemo elementarna primenjena pravila:
1) Kada diferenciramo u odnosu na , varijabla se smatra konstantom.
2) Kada se diferencijacija vrši prema, tada se smatra konstantom.
3) Pravila i tabela izvoda elementarnih funkcija važe i primjenjuju se za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) pomoću koje se vrši diferencijacija.
Drugi korak. Nalazimo parcijalne izvode drugog reda. Ima ih četiri.
Oznake:
ili – drugi izvod u odnosu na “x”
ili – drugi izvod u odnosu na “y”
ili - mješovito izvedenica od “x po igri”
ili - mješovito izvedenica od "Y"
Sa drugom izvodom nema problema. jednostavnim riječima, drugi izvod je derivat prvog izvoda.
Radi praktičnosti, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni: 
Prvo, pronađimo mješovite derivate:
Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju - ovaj put prema "Y".
Isto tako:
U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:
Dakle, preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo je zgodno provjeriti da li smo pravilno pronašli parcijalne izvode prvog reda.
Pronađite drugi izvod u odnosu na “x”.
Bez izuma, uzmimo 
i ponovo ga razlikovati sa "x":
Isto tako:
Treba napomenuti da prilikom pronalaženja morate pokazati povećana pažnja, pošto ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih proveravale.
Drugi derivati također nalaze široku praktičnu primjenu, posebno se koriste u problemu pronalaženja ekstremi funkcije dvije varijable. Ali sve ima svoje vreme:
Primjer 2
Izračunajte parcijalne izvode prvog reda funkcije u tački. Pronađite derivate drugog reda.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći derivat? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti pronaći takve derivate "u hodu".
Hajdemo bolje u složenijim primjerima:
Primjer 3
Provjerite to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.
Rješenje: Pronađite parcijalne izvode prvog reda: 
Obratite pažnju na indeks: , pored “X” nije zabranjeno u zagradi napisati da je konstanta. Ova napomena može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.
Dalji komentari:
(1) Sve konstante pomjeramo izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.
(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.
(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije; u ovom slučaju, konstanta je .
(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dviju funkcija lijevo, stoga moramo koristiti pravilo za diferenciranje proizvoda 
.
(3) Ne zaboravite da je ovo složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: 
.
Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:
To znači da su svi proračuni obavljeni ispravno.
Zapišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji se razmatra, nema smisla reći koliki je ukupni diferencijal funkcije dvije varijable. Važno je da ovaj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim problemima.
Totalni diferencijal prvog reda funkcija dvije varijable ima oblik: 
U ovom slučaju:
Odnosno, trebate samo glupo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda u formulu. U ovoj i sličnim situacijama najbolje je pisati diferencijalne znakove u brojiocima:
I prema uzastopnim zahtjevima čitalaca, kompletan diferencijal drugog reda.
izgleda ovako:
Pažljivo pronađemo "jednoslovne" derivate 2. reda: 
i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravljajući udvostručiti mješoviti derivat: 
U redu je ako se nešto čini teškim; na derivate se uvijek možete vratiti kasnije, nakon što savladate tehniku diferencijacije:
Primjer 4
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije 
. Provjerite to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.
Pogledajmo niz primjera sa složenim funkcijama:
Primjer 5
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije.
Rješenje: 
Primjer 6
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije 
.
Zapišite ukupni diferencijal.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije). Neću vam dati kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.
Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.
Primjer 7
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije 
.
(1) Koristimo pravilo za diferenciranje zbira
(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od “x” – samo “y”. Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, u tom smislu se ništa ne bi promijenilo da je umjesto nje data funkcija - bitno je da je to ovdje proizvod dvije funkcije, SVAKO zavisi od toga "X", i stoga morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.
(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži “Y”, stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje količnika: 
. Drugi član zavisi SAMO od “x”, što znači da se smatra konstantom i pretvara se na nulu. Za treći pojam koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije.
Za one čitaoce koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, za olakšanje ću vam ispričati stari vic o Mehmatovu:
Jednog dana se u prostoru funkcija pojavila zla izvedenica i počela je sve razlikovati. Sve funkcije su raštrkane na sve strane, niko ne želi da se transformiše! I samo jedna funkcija ne bježi. Izvodica joj prilazi i pita:
- Zašto ne pobegneš od mene?
- Ha. Ali nije me briga, jer ja sam "e na potenciju X", a ti mi nećeš ništa!
Na šta zli derivat sa podmuklim osmehom odgovara:
- Tu se varate, ja ću vas razlikovati po "Y", pa bi trebalo da budete nula.
Ko je shvatio vic, savladao je derivate, barem do nivoa "C").
Primjer 8
Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije 
.
Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Kompletno rješenje i primjer problema nalaze se na kraju lekcije.
Pa, to je skoro sve. Na kraju, ne mogu a da ne obradujem ljubitelje matematike još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svi imaju različit nivo matematičke spreme - ima ljudi (i ne tako retko) koji vole da se takmiče sa težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko složen koliko je glomazan sa računske tačke gledišta.
Parcijalni derivat funkcije z = f(x, y promenljivom x Izvod ove funkcije pri konstantnoj vrijednosti varijable y se zove, označava se sa ili z" x.
Parcijalni derivat funkcije z = f(x, y) promenljivom y naziva se derivacija u odnosu na y pri konstantnoj vrijednosti varijable y; označava se ili z" y.
Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli u odnosu na jednu varijablu definira se kao izvod te funkcije u odnosu na odgovarajuću varijablu, pod uvjetom da se preostale varijable drže konstantnim.
Puni diferencijal funkcija z = f(x, y) u nekoj tački M(X, y) naziva se izrazom
,
Gdje su i izračunate u tački M(x, y), a dx = , dy = y.
Primjer 1
Izračunajte ukupni diferencijal funkcije.
z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 u tački M(1; 2)
Rješenje:
1) Pronađite parcijalne izvode:
2) Izračunajte vrijednost parcijalnih izvoda u tački M(1; 2)
() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13
() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4
3) dz = - 13dx + 4 dy
Pitanja za samokontrolu:
1. Šta se naziva antiderivatom? Navedite svojstva antiderivata.
2. Šta se naziva neodređenim integralom?
3. Navedite svojstva neodređenog integrala.
4. Navedite osnovne formule integracije.
5. Koje metode integracije poznajete?
6. Šta je suština Newton–Leibnizove formule?
7. Dajte definiciju određenog integrala.
8. Koja je suština izračunavanja određenog integrala metodom zamjene?
9. Koja je suština metode izračunavanja određenog integrala po dijelovima?
10. Koja se funkcija naziva funkcijom dvije varijable? Kako se označava?
11. Koja funkcija se zove funkcija tri varijable?
12. Koji skup se naziva domenom definicije funkcije?
13. Koristeći koje nejednačine možete definirati zatvoreno područje D na ravni?
14. Koliki je parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) u odnosu na varijablu x? Kako se označava?
15. Koliki je parcijalni izvod funkcije z = f(x, y) u odnosu na varijablu y? Kako se označava?
16. Koji izraz se naziva totalni diferencijal funkcije
Tema 1.2 Obične diferencijalne jednadžbe.
Problemi koji vode do diferencijalnih jednadžbi. Diferencijalne jednadžbe sa odvojivim varijablama. Opća i specifična rješenja. Homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda. Linearne homogene jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima.
Praktična lekcija br. 7 “Pronalaženje općih i posebnih rješenja diferencijalnih jednadžbi sa odvojivim varijablama”*
Praktična lekcija br. 8 “Linearne i homogene diferencijalne jednadžbe”
Praktična lekcija br. 9 “Rješavanje diferencijalnih jednadžbi 2. reda sa konstantnim koeficijentima”*
L4, poglavlje 15, str. 243 – 256
Smjernice
Kako bismo pojednostavili snimanje i prezentaciju materijala, ograničit ćemo se na slučaj funkcija dvije varijable. Sve što slijedi vrijedi i za funkcije bilo kojeg broja varijabli.
Definicija. Parcijalni derivat funkcije z = f(x, y) nezavisnom varijablom X zove derivat
izračunato na konstantu at.
Slično se određuje parcijalni izvod u odnosu na varijablu at.
Za parcijalne izvode vrijede uobičajena pravila i formule diferencijacije.
Definicija. Proizvod parcijalnog izvoda i prirasta argumenta X(y) se zove parcijalni diferencijal po varijabli X(at) funkcije dvije varijable z = f(x, y) (simbol: ):
Ako je pod diferencijalom nezavisne varijable dx(dy) razumjeti prirast X(at), To
Za funkciju z = f(x, y) hajde da saznamo geometrijsko značenje njegovih frekvencijskih derivata i .
Razmotrite poentu, poentu P 0 (X 0 ,y 0 , z 0) na površini z = f(x,at) i krivulja L, koji se dobija rezanjem površine ravnim y = y 0 . Ova kriva se može posmatrati kao graf funkcije jedne varijable z = f(x, y) u avionu y = y 0 . Ako se drži na tački R 0 (X 0 , y 0 , z 0) tangenta na krivu L, zatim, prema geometrijskom značenju derivacije funkcije jedne varijable 
, Gdje a –
ugao koji formira tangenta s pozitivnim smjerom ose Oh.
Ili:
Popravimo na sličan način još jednu varijablu, tj. hajde da presečemo površinu z = f(x, y) avion x = x 0 . Zatim funkcija z = f(x 0 , y) može se smatrati funkcijom jedne varijable at:
Gdje b– ugao koji formira tangenta u tački M 0 (X 0 , y 0) sa pozitivnim smjerom ose Oy(Sl. 1.2).
Rice. 1.2. Ilustracija geometrijskog značenja parcijalnih izvoda
Primjer 1.6. Zadata funkcija z = x 2 – 3xy – 4at 2 – x + 2y + 1. Pronađite i .
Rješenje. Razmatrati at kao konstantu, dobijamo
Brojanje X konstanta, nalazimo
