Nerješivi problemi su 7 zanimljivih matematičkih problema. Svaki od njih su svojevremeno predložili poznati naučnici, obično u obliku hipoteza. Mnogo decenija matematičari širom sveta zbunjuju svoje rešenje. Oni koji uspiju bit će nagrađeni sa milion američkih dolara, koje nudi Clay Institute.
Clay Institute
Ovo je naziv privatne neprofitne organizacije sa sjedištem u Cambridgeu, Massachusetts. Osnovali su ga 1998. godine matematičar sa Harvarda A. Jeffy i biznismen L. Clay. Cilj Instituta je popularizacija i razvoj matematičkih znanja. Da bi to postigla, organizacija dodjeljuje nagrade naučnicima i sponzorima istraživanja koja obećavaju.
Početkom 21. veka Matematički institut Claye je ponudio nagradu onima koji rješavaju probleme za koje se zna da su najteži nerešivi zadaci, navodeći njihovu listu Problemi milenijumske nagrade. Samo je Riemannova hipoteza uključena u Hilbertovu listu.
Milenijumski izazovi
Lista Instituta Clay prvobitno je uključivala:
- hipoteza Hodgeovog ciklusa;
- jednadžbe kvantne teorije Yang - Mills;
- Poincaréova pretpostavka;
- problem jednakosti klasa P i NP;
- Riemannova hipoteza;
- postojanje i glatkoću njegovih rješenja;
- problem Birch-Swinnerton-Dyer.
Ovi otvoreni matematički problemi su od velikog interesa, jer mogu imati mnogo praktičnih implementacija.
Ono što je Grigorij Perelman dokazao
Godine 1900., poznati naučnik-filozof Henri Poincaré sugerirao je da je svaka jednostavno povezana kompaktna 3-mnogostrukost bez granica homeomorfna 3-sferi. U opštem slučaju, njegov dokaz nije pronađen već jedan vek. Tek 2002-2003. matematičar iz Sankt Peterburga G. Perelman objavio je niz članaka o rješenju Poincaréovog problema. Imali su efekat eksplozije bombe. Godine 2010. Poincaréova hipoteza je isključena sa liste "Neriješenih problema" Instituta Clay, a od samog Perelmana je zatraženo da zbog njega dobije značajnu nagradu, što je ovaj odbio, ne obrazlažući razloge svoje odluke.
Najrazumljivije objašnjenje onoga što je ruski matematičar uspeo da dokaže može se dati tako što se zamisli da se gumeni disk navuče preko krofne (torusa), a zatim pokušavaju da povuku ivice njegovog kruga u jednu tačku. Ovo očigledno nije moguće. Druga je stvar ako ovaj eksperiment izvodite s loptom. U ovom slučaju, naizgled trodimenzionalna sfera, nastala iz diska, čiji je obim hipotetičkim užetom uvučen u tačku, bit će trodimenzionalna u razumijevanju običnog čovjeka, ali dvodimenzionalna u smislu matematike.
Poincaré je sugerirao da je trodimenzionalna sfera jedini trodimenzionalni "objekat", čija se površina može skupiti u jednu tačku, a Perelman je to uspio dokazati. Dakle, lista "neriješivih zadataka" danas se sastoji od 6 problema.
Yang-Mills teorija
Ovaj matematički problem predložili su njegovi autori 1954. godine. Naučna formulacija teorije je sljedeća: za bilo koju jednostavnu kompaktnu mjernu grupu, kvantna teorija prostora koju su kreirali Yang i Mills postoji i nema defekt mase.
Na jeziku koji običan čovjek razumije, interakcije između prirodni lokaliteti(čestice, tijela, talasi itd.) dijele se na 4 tipa: elektromagnetne, gravitacijske, slabe i jake. Dugi niz godina fizičari pokušavaju da stvore opšta teorija polja. Trebalo bi da postane alat za objašnjenje svih ovih interakcija. Yang-Millsova teorija je matematički jezik uz pomoć kojeg je postalo moguće opisati 3 od 4 osnovne sile prirode. Ne odnosi se na gravitaciju. Stoga se ne može pretpostaviti da su Young i Mills uspjeli stvoriti teoriju polja.
Osim toga, nelinearnost predloženih jednačina čini ih izuzetno teškim za rješavanje. Za male konstante sprezanja, one se mogu približno riješiti u obliku niza teorije perturbacije. Međutim, još nije jasno kako se ove jednačine mogu riješiti za jaku spregu.
Navier-Stokesove jednadžbe
Ovi izrazi opisuju procese kao što su strujanja vazduha, protok fluida i turbulencija. Za neke posebne slučajeve već su pronađena analitička rješenja Navier-Stokesove jednadžbe, ali to za opći slučaj još niko nije uspio. Istovremeno, numeričke simulacije za određene vrijednosti brzine, gustine, pritiska, vremena i tako dalje daju odlične rezultate. Ostaje za nadati se da će neko moći primijeniti Navier-Stokesove jednačine obrnuti smjer, odnosno da se uz njihovu pomoć izračunaju parametri ili da se dokaže da ne postoji metoda rješenja.
Birch - Swinnerton-Dyer problem
U kategoriju "Neriješeni problemi" spada i hipoteza koju su predložili britanski naučnici sa Univerziteta u Kembridžu. Još prije 2300 godina, starogrčki naučnik Euklid dao je potpuni opis rješenja jednačine x2 + y2 = z2.
Ako za svaki od prostih brojeva izbrojimo broj tačaka na krivoj po modulu, dobićemo beskonačan skup cijelih brojeva. Ako je posebno "zalijepite" u 1 funkciju kompleksne varijable, tada ćete dobiti Hasse-Weil zeta funkciju za krivulju trećeg reda, označenu slovom L. Sadrži informacije o ponašanju po modulu svih prostih brojeva odjednom.
Brian Birch i Peter Swinnerton-Dyer su postavili hipotezu o eliptičnim krivuljama. Prema njenim riječima, struktura i broj skupa njegovih racionalnih odluka vezani su za ponašanje L-funkcije na jedinici. Unproven on ovog trenutka Birch - Swinnerton-Dyerova pretpostavka zavisi od opisa algebarskih jednačina stepena 3 i jedina je relativno jednostavna opšta metoda za izračunavanje ranga eliptičkih krivulja.
Da bi se shvatila praktična važnost ovog problema, dovoljno je reći da se u modernoj kriptografiji na eliptičnim krivuljama zasniva čitava klasa asimetričnih sistema, a na njihovoj primjeni se zasnivaju domaći standardi digitalnog potpisa.
Jednakost klasa p i np
Ako su ostali milenijumski problemi čisto matematički, onda je ovaj povezan sa trenutnom teorijom algoritama. Problem koji se tiče jednakosti klasa p i np, poznat i kao Cook-Levinov problem, može se lako formulisati na sljedeći način. Pretpostavimo da se pozitivan odgovor na određeno pitanje može provjeriti dovoljno brzo, odnosno u polinomskom vremenu (PV). Da li je onda ispravno reći da se odgovor na njega može naći prilično brzo? Zvuči još jednostavnije: nije li rješenje problema zaista teže provjeriti nego pronaći? Ako se ikada dokaže jednakost klasa p i np, onda se svi problemi selekcije mogu riješiti u PV. Trenutno mnogi stručnjaci sumnjaju u istinitost ove izjave, iako ne mogu dokazati suprotno.
Riemannova hipoteza
Do 1859. nije identifikovan obrazac koji bi opisao kako su prosti brojevi raspoređeni među prirodnim. Možda je to bilo zbog činjenice da se nauka bavila drugim pitanjima. Međutim, sredinom 19. stoljeća situacija se promijenila i oni su postali jedni od najrelevantnijih u kojima su matematičari počeli studirati.
Riemannova hipoteza, koja se pojavila u ovom periodu, je pretpostavka da postoji određeni obrazac u raspodjeli prostih brojeva.
Danas mnogi moderni naučnici vjeruju da će, ako se to dokaže, mnogi od osnovnih principa moderne kriptografije morati biti revidirani, koji čine osnovu većine mehanizama e-trgovine.
Prema Riemannovoj hipotezi, priroda raspodjele prostih brojeva može biti značajno drugačija od onoga što se trenutno pretpostavlja. Činjenica je da do sada nije otkriven sistem u raspodjeli prostih brojeva. Na primjer, postoji problem "blizanaca", razlika između kojih je 2. Ovi brojevi su 11 i 13, 29. Ostali prosti brojevi formiraju klastere. To su 101, 103, 107 itd. Naučnici su dugo sumnjali da takvi skupovi postoje među vrlo velikim prostim brojevima. Ako se pronađu, onda će snaga modernih kripto ključeva biti dovedena u pitanje.
Hipoteza Hodgeovih ciklusa
Ovaj još uvijek neriješen problem formuliran je 1941. godine. Hodgeova hipoteza pretpostavlja mogućnost aproksimacije oblika bilo kojeg objekta "lijepljenjem" jednostavnih tijela veće dimenzije. Ova metoda je dugo bila poznata i uspješno se primjenjuje. Međutim, nije poznato u kojoj mjeri je moguće pojednostavljenje.
Sada znate koji nerešivi problemi postoje u ovom trenutku. Predmet su istraživanja hiljada naučnika širom svijeta. Ostaje za nadati se da će oni biti riješeni u bliskoj budućnosti, i to njihovi praktična upotreba pomoći će čovječanstvu da uđe u novu fazu tehnološkog razvoja.
Dakle, Fermatova posljednja teorema (često nazvana Fermatova posljednja teorema), koju je 1637. godine formulirao briljantni francuski matematičar Pierre Fermat, u suštini je vrlo jednostavna i razumljiva svakoj osobi sa srednjim obrazovanjem. Kaže da formula a na stepen n + b na stepen n = c na stepen n nema prirodna (tj. nerazlomačka) rešenja za n> 2. Čini se da je sve jednostavno i jasno, ali najbolji matematičari i obični amateri borili su se oko traženja rješenja više od tri i po vijeka.
Zašto je tako poznata? Sad ćemo saznati...
Ima li malo dokazanih, nedokazanih i još nedokazanih teorema? Poenta je da je Fermatova posljednja teorema najveći kontrast između jednostavnosti formulacije i složenosti dokaza. Fermatova posljednja teorema je nevjerovatno težak zadatak, a ipak, njenu formulaciju mogu razumjeti svi sa 5. razredom srednje škole, ali dokaz nije ni svaki profesionalni matematičar. Ni u fizici, ni u hemiji, ni u biologiji, ni u istoj matematici nema nijednog problema koji bi bio tako jednostavno formuliran, a tako dugo ostao neriješen. 2. Od čega se sastoji?
Počnimo od Pitagorinih pantalona. Formulacija je zaista jednostavna - na prvi pogled. Kao što znamo iz djetinjstva, "pitagorine pantalone su jednake na sve strane." Problem izgleda tako jednostavno jer je zasnovan na matematičkoj tvrdnji koju svi znaju - Pitagorinoj teoremi: u bilo kojem pravokutnom trokutu kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na katetama.
U 5. veku pne. Pitagora je osnovao pitagorejsko bratstvo. Pitagorejci su, između ostalog, proučavali trojke cijelih brojeva koje zadovoljavaju jednakost x² + y² = z². Dokazali su da postoji beskonačno mnogo Pitagorinih trojki i dobili opće formule za njihovo pronalaženje. Verovatno su pokušali da traže trojke ili više visoki stepeni... Uvjereni da to nije uspjelo, Pitagorejci su odustali od uzaludnih pokušaja. Članovi bratstva bili su više filozofi i esteti nego matematičari.
Odnosno, lako je pronaći skup brojeva koji savršeno zadovoljavaju jednakost x² + y² = z²
Počevši od 3, 4, 5 - zaista, učenik osnovne škole razumije da je 9 + 16 = 25.
Ili 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Odlično.
I tako dalje. A ako uzmemo sličnu jednačinu x³ + y³ = z³? Možda ima i takvih brojeva?
I tako dalje (sl. 1).
Dakle, ispada da NISU. Ovdje počinje ulov. Jednostavnost je očigledna, jer je teško dokazati ne prisustvo nečega, već, naprotiv, odsustvo. Kada je potrebno dokazati da postoji rješenje, možete i trebate samo dati ovo rješenje.
Dokazivanje odsustva je teže: na primjer, neko kaže: takva i takva jednačina nema rješenja. Staviti ga u lokvicu? lako: bam - evo ga, rešenje! (molimo navedite rješenje). I to je to, protivnik je ubijen. Kako dokazati odsustvo?
Recite: "Nisam našao takva rješenja"? Ili ste možda loše izgledali? A šta ako su, samo jako veliki, pa, vrlo, takvi da čak ni super-moćni kompjuter još nema dovoljno snage? To je ono što je teško.
U vizualnom obliku, to se može prikazati na sljedeći način: ako uzmete dva kvadrata odgovarajućih veličina i rastavite na jedinične kvadrate, onda iz ove gomile jediničnih kvadrata dobijete treći kvadrat (slika 2):
A ako uradimo isto sa trećom dimenzijom (slika 3), to neće raditi. Nema dovoljno kockica, ili su ostale dodatne:
Ali matematičar iz 17. veka, Francuz Pierre de Fermat, entuzijastično je proučavao opšta jednačina x n + y n = z n ... I konačno, došao sam do zaključka: ne postoje cjelobrojna rješenja za n> 2. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rukopisi gore! Ostala je samo njegova primjedba u Diofantovoj Aritmetici: "Pronašao sam zaista nevjerovatan dokaz ove tvrdnje, ali su margine ovdje preuske da bi ga sadržavale."
Zapravo, teorema bez dokaza naziva se pretpostavka. Ali za Fermata je učvršćena slava da nikada nije pogriješio. Čak i ako nije ostavio dokaze o bilo kakvoj izjavi, ona je naknadno potvrđena. Osim toga, Fermat je dokazao svoju tezu za n = 4. Tako je hipoteza francuskog matematičara ušla u istoriju kao Fermatova poslednja teorema.
Nakon Fermata, veliki umovi poput Leonarda Eulera radili su na potrazi za dokazom (1770. je predložio rješenje za n = 3),
Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ovi naučnici su zajedno pronašli dokaz za n = 5 1825.), Gabriel Lame (koji je pronašao dokaz za n = 7) i mnogi drugi. Sredinom 80-ih godina prošlog vijeka postalo je jasno da je naučni svijet na putu konačnog rješenja. Velika teorema Fermat, međutim, tek 1993. godine matematičari su vidjeli i vjerovali da je trovjekovna saga o pronalaženju dokaza Fermatove posljednje teoreme praktički završena.
Lako je pokazati da je dovoljno dokazati Fermatov teorem samo za prost n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za kompozit n, dokaz ostaje validan. Ali postoji i beskonačno mnogo prostih brojeva...
Godine 1825, primjenjujući metodu Sophie Germain, žene matematičarke, Dirichlet i Legendre su nezavisno dokazale teoremu za n = 5. Godine 1839, koristeći istu metodu, Francuz Gabriel Lame je pokazao istinitost teoreme za n = 7. Postepeno, teorema je dokazana za skoro sve n manje od sto.
Konačno, nemački matematičar Ernst Kumer je u briljantnoj studiji pokazao da se teorema u opštem obliku ne može dokazati metodama matematike 19. veka. Nagrada Francuske akademije nauka, ustanovljena 1847. za dokaz Fermaove teoreme, nije dodijeljena.
Godine 1907., bogati njemački industrijalac Paul Wolfskel, iz neuzvraćene ljubavi, odlučio je da izvrši samoubistvo. Kao pravi Nijemac, odredio je datum i vrijeme samoubistva: tačno u ponoć. Posljednjeg dana sastavio je testament i pisao pisma prijateljima i rođacima. Posao je završen prije ponoći. Moram reći da je Paula zanimala matematika. Pošto nije imao potrebe, otišao je u biblioteku i počeo da čita čuveni Kumerov članak. Odjednom mu se učini da je Kummer pogriješio u toku svog rasuđivanja. Wolfskel je počeo raščlanjivati ovaj odlomak članka s olovkom u rukama. Ponoć je prošla, jutro je došlo. Praznina u dokazima je popunjena. I sam razlog za samoubistvo sada je izgledao potpuno smiješan. Paul je pocijepao oproštajna pisma i prepisao oporuku.
Ubrzo je umro prirodnom smrću. Nasljednici su bili prilično iznenađeni: 100.000 maraka (više od 1.000.000 sadašnjih funti sterlinga) prebačeno je na račun Kraljevskog naučnog društva Göttingen, koje je iste godine raspisalo konkurs za Wolfskehlovu nagradu. 100.000 maraka je bilo zbog dokazivanja Fermatove teoreme. Ni fening nije trebao opovrgnuti teoremu...
Većina profesionalnih matematičara smatrala je potragu za dokazom Fermatove posljednje teoreme beznadežnim zadatkom i odlučno je odbijala gubiti vrijeme na tako beskorisnu vježbu. Ali amateri su se divno brčkali. Nekoliko sedmica nakon objave, lavina "dokaza" pogodila je Univerzitet u Getingenu. Profesor E.M. Landau, čija je dužnost bila da analizira dostavljene dokaze, podijelio je kartice svojim studentima:
Dragi. ... ... ... ... ... ... ...
Hvala vam na rukopisu koji ste mi poslali s dokazom Fermatove posljednje teoreme. Prva greška je na stranici ... u redu .... Zbog toga su svi dokazi ništavni.
Profesor E. M. Landau
Godine 1963. Paul Cohen je, oslanjajući se na Gedelove zaključke, dokazao neodlučivost jednog od Hilbertova dvadeset tri problema - hipoteze kontinuuma. Šta ako je i Fermatova posljednja teorema neodlučiva?! Ali pravi fanatici Velike teoreme nisu bili ni najmanje razočarani. Pojava kompjutera neočekivano je dala matematičare nova metoda dokaz. Nakon Drugog svjetskog rata, grupe programera i matematičara dokazale su Fermatovu posljednju teoremu za sve vrijednosti od n do 500, zatim do 1.000, a kasnije i do 10.000.
Osamdesetih je Samuel Wagstaff podigao granicu na 25.000, a 90-ih matematičari su proglasili da je Fermatova posljednja teorema tačna za sve vrijednosti od n do 4 miliona. Ali ako od beskonačnosti oduzmete čak i trilion triliona, on neće postati manji. Matematičare statistika ne uvjerava. Dokazati Veliku teoremu značilo je dokazati je za SVE n ide u beskonačnost.
Godine 1954. dva mlada japanska prijatelja matematičara počela su proučavati modularne forme. Ovi oblici generiraju redove brojeva, svaki sa svojim redom. Taniyama je igrom slučaja uporedio ove serije sa nizovima generisanim eliptičnim jednačinama. Poklopili su se! Ali modularni oblici su geometrijski objekti, a eliptičke jednadžbe su algebarske. Nikada nisu pronađene veze između tako različitih objekata.
Ipak, prijatelji, nakon pažljivog testiranja, iznijeli su hipotezu: svaka eliptična jednadžba ima dvostruku - modularnu formu, i obrnuto. Upravo je ova hipoteza postala temelj čitavog smjera u matematici, ali sve dok hipoteza Taniyama – Shimura nije dokazana, cijela zgrada bi se svakog trenutka mogla srušiti.
Godine 1984. Gerhard Frey je pokazao da rješenje Fermatove jednačine, ako postoji, može biti uključeno u neku eliptičku jednačinu. Dvije godine kasnije, profesor Ken Ribet je dokazao da ova hipotetička jednačina ne može imati pandan u modularnom svijetu. Od sada je Fermatova posljednja teorema bila neraskidivo povezana s Taniyama – Shimura pretpostavkom. Nakon što smo dokazali da je bilo koja eliptična kriva modularna, zaključujemo da eliptična jednačina sa rješenjem Fermatove jednačine ne postoji, a Fermatova posljednja teorema bi bila odmah dokazana. Ali trideset godina hipoteza Taniyama-Shimura nije mogla biti dokazana, a bilo je sve manje nade za uspjeh.
Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles je već bio fasciniran matematikom. Kada je saznao za Veliku teoremu, shvatio je da od nje ne može odstupiti. Kao školarac, student, postdiplomac, pripremao se za ovaj zadatak.
Saznavši za zaključke Kena Ribeta, Wiles je bezglavo uronio u dokaz hipoteze Taniyama – Shimura. Odlučio je raditi u potpunoj izolaciji i tajnosti. "Shvatio sam da sve što ima veze s Fermatovom posljednjom teoremom izaziva previše interesovanja... Previše gledatelja namjerno ometa postizanje cilja." Sedam godina napornog rada je urodilo plodom, Wiles je konačno završio dokaz Taniyama – Shimura pretpostavke.
Godine 1993. engleski matematičar Andrew Wiles predstavio je svijetu svoj dokaz Fermatove posljednje teoreme (Wiles je pročitao svoj senzacionalni izvještaj na konferenciji na Sir Isaac Newton Institute u Cambridgeu.), na kojem je rad trajao više od sedam godina.
Dok se hajka u štampi nastavila, počeo je ozbiljan rad na provjeri dokaza. Svaki dokaz mora biti pažljivo ispitan prije nego što se dokaz može smatrati rigoroznim i tačnim. Wiles je proveo užurbano ljeto čekajući povratne informacije recenzenata, nadajući se da će dobiti njihovo odobrenje. Krajem avgusta vještaci su pronašli nedovoljno obrazloženu presudu.
Pokazalo se da ovo rješenje sadrži veliku grešku, iako je u cjelini ispravno. Wiles nije odustajao, pozvao je u pomoć poznatog stručnjaka za teoriju brojeva Richarda Taylora, a već 1994. godine objavili su ispravljen i dopunjen dokaz teoreme. Najnevjerovatnije je da je ovaj rad zauzeo čak 130 (!) stranica u matematičkom časopisu "Annals of Mathematics". Ali ni tu se priča nije završila - posljednja tačka je stavljena tek sljedeće, 1995. godine, kada je objavljena konačna i "idealna", s matematičke tačke gledišta, verzija dokaza.
“…Pola minute nakon početka svečane večere povodom njenog rođendana, Nadi sam poklonio rukopis kompletnog dokaza” (Andrew Waltz). Jesam li rekao da su matematičari čudni ljudi?
Ovaj put nije bilo sumnje u dokaz. Dva članka su podvrgnuta najpažljivijoj analizi i objavljena su u maju 1995. u Annals of Mathematics.
Od tog trenutka je prošlo dosta vremena, ali u društvu još uvijek postoji mišljenje da je Fermatova posljednja teorema neodlučiva. Ali čak i oni koji znaju za pronađeni dokaz nastavljaju da rade u ovom pravcu - malo ljudi je zadovoljno da Velika teorema zahteva rešenje od 130 stranica!
Stoga su sada snage velikog broja matematičara (uglavnom amatera, a ne profesionalnih naučnika) bačene u potragu za jednostavnim i lakonskim dokazom, ali ovaj put, najvjerovatnije, neće nikuda voditi ...
Nema toliko ljudi na svijetu koji nikada nisu čuli za Fermatovu posljednju teoremu - možda je ovo jedini matematički problem koji je dobio tako široku popularnost i postao prava legenda. Spominje se u mnogim knjigama i filmovima, dok je glavni kontekst gotovo svih referenci nemogućnost dokazivanja teoreme.
Da, ova teorema je vrlo poznata i u određenom smislu postala je "idol" kojeg obožavaju matematičari amateri i profesionalci, ali malo ljudi zna da je njen dokaz pronađen, a to se dogodilo davne 1995. godine. Ali prvo stvari.
Dakle, Fermatova posljednja teorema (često nazvana Fermatova posljednja teorema), koju je 1637. godine formulirao briljantni francuski matematičar Pierre Fermat, u suštini je vrlo jednostavna i razumljiva svakoj osobi sa srednjim obrazovanjem. Kaže da formula a na stepen n + b na stepen n = c na stepen n nema prirodna (tj. nerazlomačka) rešenja za n> 2. Čini se da je sve jednostavno i jasno, ali najbolji matematičari i obični amateri borili su se oko traženja rješenja više od tri i po vijeka.
Zašto je tako poznata? Sad ćemo saznati...
Ima li malo dokazanih, nedokazanih i još nedokazanih teorema? Poenta je da je Fermatova posljednja teorema najveći kontrast između jednostavnosti formulacije i složenosti dokaza. Fermatova posljednja teorema je nevjerovatno težak zadatak, a njenu formulaciju mogu razumjeti svi sa 5. razredom srednje škole, ali dokaz nije ni svaki profesionalni matematičar. Ni u fizici, ni u hemiji, ni u biologiji, ni u istoj matematici nema nijednog problema koji bi bio tako jednostavno formuliran, a tako dugo ostao neriješen. 2. Od čega se sastoji?
Počnimo od Pitagorinih pantalona. Formulacija je zaista jednostavna - na prvi pogled. Kao što znamo iz djetinjstva, "pitagorine pantalone su jednake na sve strane." Problem izgleda tako jednostavno jer je zasnovan na matematičkoj tvrdnji koju svi znaju - Pitagorinoj teoremi: u bilo kojem pravokutnom trokutu kvadrat izgrađen na hipotenuzi jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na katetama.
U 5. veku pne. Pitagora je osnovao pitagorejsko bratstvo. Pitagorejci su, između ostalog, proučavali trojke cijelih brojeva koje zadovoljavaju jednakost x² + y² = z². Dokazali su da postoji beskonačno mnogo Pitagorinih trojki i dobili opće formule za njihovo pronalaženje. Vjerovatno su pokušali tražiti trojke i više diplome. Uvjereni da to nije uspjelo, Pitagorejci su odustali od uzaludnih pokušaja. Članovi bratstva bili su više filozofi i esteti nego matematičari.
Odnosno, lako je pronaći skup brojeva koji savršeno zadovoljavaju jednakost x² + y² = z²
Počevši od 3, 4, 5 - zaista, učenik osnovne škole razumije da je 9 + 16 = 25.
Ili 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Odlično.
Dakle, ispada da NISU. Ovdje počinje ulov. Jednostavnost je očigledna, jer je teško dokazati ne prisustvo nečega, već, naprotiv, odsustvo. Kada je potrebno dokazati da postoji rješenje, možete i trebate samo dati ovo rješenje.
Dokazivanje odsustva je teže: na primjer, neko kaže: takva i takva jednačina nema rješenja. Staviti ga u lokvicu? lako: bam - evo ga, rešenje! (molimo navedite rješenje). I to je to, protivnik je ubijen. Kako dokazati odsustvo?
Recite: "Nisam našao takva rješenja"? Ili ste možda loše izgledali? A šta ako su, samo jako veliki, pa, vrlo, takvi da čak ni super-moćni kompjuter još nema dovoljno snage? To je ono što je teško.
U vizualnom obliku, to se može prikazati na sljedeći način: ako uzmete dva kvadrata odgovarajućih veličina i rastavite na jedinične kvadrate, onda iz ove gomile jediničnih kvadrata dobijete treći kvadrat (slika 2): 
A ako uradimo isto sa trećom dimenzijom (slika 3), to neće raditi. Nema dovoljno kockica, ili su ostale dodatne:
Ali matematičar iz 17. veka, Francuz Pierre de Fermat, sa entuzijazmom je proučavao opštu jednačinu x n + y n = z n. I konačno, došao sam do zaključka: ne postoje cjelobrojna rješenja za n> 2. Fermatov dokaz je nepovratno izgubljen. Rukopisi gore! Ostala je samo njegova primjedba u Diofantovoj Aritmetici: "Pronašao sam zaista nevjerovatan dokaz ove tvrdnje, ali su margine ovdje preuske da bi ga sadržavale."
Zapravo, teorema bez dokaza naziva se pretpostavka. Ali za Fermata je učvršćena slava da nikada nije pogriješio. Čak i ako nije ostavio dokaze o bilo kakvoj izjavi, ona je naknadno potvrđena. Osim toga, Fermat je dokazao svoju tezu za n = 4. Tako je hipoteza francuskog matematičara ušla u istoriju kao Fermatova poslednja teorema.
Nakon Ferma, veliki umovi poput Leonarda Eulera radili su na potrazi za dokazom (1770. godine predložio je rješenje za n = 3),
Adrien Legendre i Johann Dirichlet (ovi naučnici su zajedno pronašli dokaz za n = 5 1825.), Gabriel Lame (koji je pronašao dokaz za n = 7) i mnogi drugi. Sredinom 80-ih godina prošlog veka postalo je jasno da je naučni svet na putu ka konačnom rešenju Fermatove poslednje teoreme, ali tek 1993. matematičari su videli i poverovali da je trovekovna saga o pronalaženju dokaza Fermatovog posljednja teorema je praktično gotova.
Lako je pokazati da je dovoljno dokazati Fermatov teorem samo za prost n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Za kompozit n, dokaz ostaje validan. Ali postoji i beskonačno mnogo prostih brojeva...
Godine 1825, primjenjujući metodu Sophie Germain, žene matematičarke, Dirichlet i Legendre su nezavisno dokazale teoremu za n = 5. Godine 1839, koristeći istu metodu, Francuz Gabriel Lame je pokazao istinitost teoreme za n = 7. Postepeno, teorema je dokazana za skoro sve n manje od sto.
Konačno, nemački matematičar Ernst Kumer je u briljantnoj studiji pokazao da se teorema u opštem obliku ne može dokazati metodama matematike 19. veka. Nagrada Francuske akademije nauka, ustanovljena 1847. za dokaz Fermaove teoreme, nije dodijeljena.
Godine 1907., bogati njemački industrijalac Paul Wolfskel, iz neuzvraćene ljubavi, odlučio je da izvrši samoubistvo. Kao pravi Nijemac, odredio je datum i vrijeme samoubistva: tačno u ponoć. Posljednjeg dana sastavio je testament i pisao pisma prijateljima i rođacima. Posao je završen prije ponoći. Moram reći da je Paula zanimala matematika. Pošto nije imao potrebe, otišao je u biblioteku i počeo da čita čuveni Kumerov članak. Odjednom mu se učini da je Kummer pogriješio u toku svog rasuđivanja. Wolfskel je počeo raščlanjivati ovaj odlomak članka s olovkom u rukama. Ponoć je prošla, jutro je došlo. Praznina u dokazima je popunjena. I sam razlog za samoubistvo sada je izgledao potpuno smiješan. Paul je pocijepao oproštajna pisma i prepisao oporuku.
Ubrzo je umro prirodnom smrću. Nasljednici su bili prilično iznenađeni: 100.000 maraka (više od 1.000.000 sadašnjih funti sterlinga) prebačeno je na račun Kraljevskog naučnog društva Göttingen, koje je iste godine raspisalo konkurs za Wolfskehlovu nagradu. 100.000 maraka je bilo zbog dokazivanja Fermatove teoreme. Ni fening nije trebao opovrgnuti teoremu...
Većina profesionalnih matematičara smatrala je potragu za dokazom Fermatove posljednje teoreme beznadežnim zadatkom i odlučno je odbijala gubiti vrijeme na tako beskorisnu vježbu. Ali amateri su se divno brčkali. Nekoliko sedmica nakon objave, lavina "dokaza" pogodila je Univerzitet u Getingenu. Profesor E.M. Landau, čija je dužnost bila da analizira dostavljene dokaze, podijelio je kartice svojim studentima:
Dragi. ... ... ... ... ... ... ...
Hvala vam na rukopisu koji ste mi poslali s dokazom Fermatove posljednje teoreme. Prva greška je na stranici ... u redu .... Zbog toga su svi dokazi ništavni.
Profesor E. M. Landau
Godine 1963. Paul Cohen je, oslanjajući se na Gedelove zaključke, dokazao neodlučivost jednog od Hilbertova dvadeset tri problema - hipoteze kontinuuma. Šta ako je i Fermatova posljednja teorema neodlučiva?! Ali pravi fanatici Velike teoreme nisu bili ni najmanje razočarani. Pojava kompjutera neočekivano je dala matematičarima novu metodu dokaza. Nakon Drugog svjetskog rata, grupe programera i matematičara dokazale su Fermatovu posljednju teoremu za sve vrijednosti od n do 500, zatim do 1.000, a kasnije i do 10.000.
Osamdesetih je Samuel Wagstaff podigao granicu na 25.000, a 90-ih matematičari su proglasili da je Fermatova posljednja teorema tačna za sve vrijednosti od n do 4 miliona. Ali ako od beskonačnosti oduzmete čak i trilion triliona, on neće postati manji. Matematičare statistika ne uvjerava. Dokazati Veliku teoremu značilo je dokazati je za SVE n ide u beskonačnost.
Godine 1954. dva mlada japanska prijatelja matematičara počela su proučavati modularne forme. Ovi oblici generiraju redove brojeva, svaki sa svojim redom. Taniyama je igrom slučaja uporedio ove serije sa nizovima generisanim eliptičnim jednačinama. Poklopili su se! Ali modularni oblici su geometrijski objekti, a eliptičke jednadžbe su algebarske. Nikada nisu pronađene veze između tako različitih objekata.
Ipak, prijatelji, nakon pažljivog testiranja, iznijeli su hipotezu: svaka eliptična jednadžba ima dvostruku - modularnu formu, i obrnuto. Upravo je ova hipoteza postala temelj čitavog smjera u matematici, ali sve dok hipoteza Taniyama-Shimura nije dokazana, cijela zgrada bi se svakog trenutka mogla srušiti.
Godine 1984. Gerhard Frey je pokazao da rješenje Fermatove jednačine, ako postoji, može biti uključeno u neku eliptičku jednačinu. Dvije godine kasnije, profesor Ken Ribet je dokazao da ova hipotetička jednačina ne može imati pandan u modularnom svijetu. Od sada je Fermatova poslednja teorema bila neraskidivo povezana sa Tanijama-Šimura pretpostavkom. Nakon što smo dokazali da je bilo koja eliptična kriva modularna, zaključujemo da eliptična jednačina sa rješenjem Fermatove jednačine ne postoji, a Fermatova posljednja teorema bi bila odmah dokazana. Ali trideset godina nije bilo moguće dokazati hipotezu Taniyama-Shimura, a bilo je sve manje nade za uspjeh.
Godine 1963., kada je imao samo deset godina, Andrew Wiles je već bio fasciniran matematikom. Kada je saznao za Veliku teoremu, shvatio je da od nje ne može odstupiti. Kao školarac, student, postdiplomac, pripremao se za ovaj zadatak.
Nakon što je saznao za nalaze Kena Ribeta, Wiles je bezglavo krenuo u dokazivanje hipoteze Taniyama-Shimura. Odlučio je raditi u potpunoj izolaciji i tajnosti. "Shvatio sam da sve što ima veze s Fermatovom posljednjom teoremom izaziva previše interesovanja... Previše gledatelja namjerno ometa postizanje cilja." Sedam godina napornog rada urodilo je plodom, Wiles je konačno završio dokaz Tanijama-Šimura pretpostavke.
Godine 1993. engleski matematičar Andrew Wiles predstavio je svijetu svoj dokaz Fermatove posljednje teoreme (Wiles je pročitao svoj senzacionalni izvještaj na konferenciji na Sir Isaac Newton Institute u Cambridgeu.), na kojem je rad trajao više od sedam godina.
Dok se hajka u štampi nastavila, počeo je ozbiljan rad na provjeri dokaza. Svaki dokaz mora biti pažljivo ispitan prije nego što se dokaz može smatrati rigoroznim i tačnim. Wiles je proveo užurbano ljeto čekajući povratne informacije recenzenata, nadajući se da će dobiti njihovo odobrenje. Krajem avgusta vještaci su pronašli nedovoljno obrazloženu presudu.
Pokazalo se da ovo rješenje sadrži veliku grešku, iako je u cjelini ispravno. Wiles nije odustajao, pozvao je u pomoć poznatog stručnjaka za teoriju brojeva Richarda Taylora, a već 1994. godine objavili su ispravljen i dopunjen dokaz teoreme. Najnevjerovatnije je da je ovaj rad zauzeo čak 130 (!) stranica u matematičkom časopisu "Annals of Mathematics". Ali ni tu se priča nije završila - posljednja tačka je stavljena tek sljedeće, 1995. godine, kada je objavljena konačna i "idealna", s matematičke tačke gledišta, verzija dokaza.
“…Pola minute nakon početka svečane večere povodom njenog rođendana, Nadi sam poklonio rukopis kompletnog dokaza” (Andrew Waltz). Jesam li rekao da su matematičari čudni ljudi?
Ovaj put nije bilo sumnje u dokaz. Dva članka su podvrgnuta najpažljivijoj analizi i objavljena su u maju 1995. u Annals of Mathematics.
Od tog trenutka je prošlo dosta vremena, ali u društvu još uvijek postoji mišljenje o neodlučnosti Fermove posljednje teoreme. Ali čak i oni koji znaju za pronađeni dokaz nastavljaju da rade u ovom pravcu - malo ljudi je zadovoljno da Velika teorema zahteva rešenje od 130 stranica!
Stoga su sada snage velikog broja matematičara (uglavnom amatera, a ne profesionalnih naučnika) bačene u potragu za jednostavnim i konciznim dokazom, ali ovaj put, najvjerovatnije, neće voditi nikuda ...
izvor
1 Murad:
Jednakost Zn = Xn + Yn smatrali smo Diofantovom jednačinom ili Fermatovom velikom teoremom, a ovo je rješenje jednadžbe (Zn-Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Tada je Zn = - (Xn + Yn) rješenje jednadžbe (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Ove jednadžbe i rješenja odnose se na svojstva cijelih brojeva i akcije na njih. Znači ne znamo svojstva cijelih brojeva?! Sa tako ograničenim znanjem, nećemo otkriti istinu.
Razmotrimo rješenja Zn = + (Xn + Yn) i Zn = - (Xn + Yn) kada je n = 1. Cijeli brojevi + Z se formiraju pomoću 10 znamenki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9. Oni su djeljivi sa 2 cijeli brojevi+ X - parne, zadnje desne cifre: 0, 2, 4, 6, 8 i + Y - neparne, zadnje desne cifre: 1, 3, 5, 7, 9, tj. + X = + Y. Broj Y = 5 - neparnih i X = 5 - parnih brojeva je: Z = 10. Zadovoljava jednačinu: (Z - X) X = (Z - Y) Y, a rješenje + Z = + X + Y = + (X + Y).
Cijeli brojevi -Z sastavljeni su od konkatenacije -X - paran i -Y - neparan, i zadovoljavaju jednačinu:
(Z + X) X = (Z + Y) Y i rješenje -Z = - X - Y = - (X + Y).
Ako je Z / X = Y ili Z / Y = X, tada je Z = XY; Z / -X = -Y ili Z / -Y = -X, zatim Z = (-X) (- Y). Dijeljenje se provjerava množenjem.
Nedvosmisleno pozitivno i negativni brojevi sastoji se od 5 neparnih i 5 neparnih brojeva.
Razmotrimo slučaj n = 2. Tada je Z2 = X2 + Y2 rješenje jednadžbe (Z2 - X2) X2 = (Z2 - Y2) Y2 i Z2 = - (X2 + Y2) je rješenje jednadžbe (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Smatrali smo da je Z2 = X2 + Y2 Pitagorina teorema, a onda je rješenje Z2 = - (X2 + Y2) ista teorema. Znamo da je dijagonala kvadrata podijeljena na 2 dijela, gdje je dijagonala hipotenuza. Tada su tačne jednakosti: Z2 = X2 + Y2, i Z2 = - (X2 + Y2) gdje su X i Y kraci. I više rješenja R2 = X2 + Y2 i R2 = - (X2 + Y2) su kružnice, centri su ishodište kvadratnog koordinatnog sistema i poluprečnika R. Mogu se zapisati kao (5n) 2 = (3n) 2 + (4n) 2 , gdje su n pozitivni i negativni cijeli brojevi i 3 uzastopna broja. Takođe rešenja su 2 -bitne brojeve XY koji počinje u 00 i završava na 99 su 102 = 10x10 i broje 1 vijek = 100 godina.
Razmotrimo rješenja kada je n = 3. Tada su Z3 = X3 + Y3 rješenja jednačine (Z3 - X3) X3 = (Z3 - Y3) Y3.
Trocifreni brojevi XYZ počinju sa 000 i završavaju se sa 999 i 103 = 10x10x10 = 1000 godina = 10 vekova
Od 1000 kockica iste veličine i boje, možete napraviti rubik od oko 10. Zamislite rubik od oko + 103 = + 1000 - crveni i -103 = -1000 - plavi. Sastoje se od 103 = 1000 kocki. Ako proširimo i stavimo kocke u jedan red ili jednu na drugu, bez razmaka, onda ćemo dobiti horizontalni ili vertikalni segment dužine 2000. Rubik je velika kocka, prekrivena malim kockama, počevši od veličine 1 butto = 10st.-21, i ne može mu se dodati niti oduzeti jedna kocka.
- (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
- (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
- (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
Svaki cijeli broj 1. Dodajte 1 (jedinice) 9 + 9 = 18, 10 + 9 = 19, 10 +10 = 20, 11 +10 = 21, a proizvodi:
111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
0111111111x1111111110 = 0123456789876543210; 01111111111x1111111110 = 01234567899876543210.
Ove operacije se mogu izvesti sa 20-bitnim kalkulatorima.
Poznato je da je + (n3 - n) uvijek deljivo sa +6, a - (n3 - n) je uvek deljivo sa -6. Znamo da je n3 - n = (n-1) n (n + 1). Ovo su 3 uzastopna broja (n-1) n (n + 1), gdje je n paran, zatim je djeljiv sa 2, (n-1) i (n + 1) su neparni, podijeljeni sa 3. Tada (n -1) n (n + 1) je uvijek djeljiv sa 6. Ako je n = 0, tada je (n-1) n (n + 1) = (- 1) 0 (+1), n = 20, tada (n-1) n (n + 1) = (19) (20) (21).
Znamo da je 19 x 19 = 361. To znači da je jedan kvadrat okružen sa 360 kvadrata, a onda je jedna kocka okružena sa 360 kocki. Jednakost je ispunjena: 6 n - 1 + 6n. Ako je n = 60, onda je 360 - 1 + 360, i n = 61, onda je 366 - 1 + 366.
Generalizacije proizlaze iz gornjih izjava:
n5 - 4n = (n2-4) n (n2 + 4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3 + 9); n9 -16 n = (n4-16) n (n4 + 16);
0 ... (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1) n (n +1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5) (n + 6) (n + 7) (n + 8) (n + 9)… 2n
(n + 1) x (n + 1) = 0123 ... (n-3) (n-2) (n-1) n (n + 1) n (n-1) (n-2) (n -3 ) ... 3210
n! = 0123 ... (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3) ... 3210; (n + 1)! = n! (n +1).
0 +1 + 2 + 3 + ... + (n-3) + (n-2) + (n-1) + n = n (n + 1) / 2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ... + 3 + 2 + 1 + 0 = n (n + 1) / 2;
n (n + 1) / 2 + (n + 1) + n (n + 1) / 2 = n (n + 1) + (n + 1) = (n + 1) (n + 1) = (n +1) 2.
Ako 0123 ... (n-3) (n-2) (n-1) n (n + 1) n (n-1) (n-2) (n-3)… 3210 h 11 =
= 013 ... (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n + 1) (2n + 1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)… 310.
Bilo koji cijeli broj n je stepen 10, ima: - n i + n, + 1 / n i -1 / n, neparan i paran:
- (n + n + ... + n) = -n2; - (n x n x ... x n) = -nn; - (1 / n + 1 / n +… + 1 / n) = - 1; - (1 / n x 1 / n x ... x1 / n) = -n-n;
+ (n + n + ... + n) = + n2; + (n x n x ... x n) = + nn; + (1 / n + ... + 1 / n) = + 1; + (1 / n x 1 / n x… x1 / n) = + n-n.
Jasno je da ako se bilo koji cijeli broj doda sam po sebi, onda će se povećati 2 puta, a proizvod će biti kvadrat: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Ovo se smatralo Vietinom teoremom – greškom!
Ako u dati broj zbrojite i oduzmite broj b, tada se zbir ne mijenja, ali se proizvod mijenja, na primjer:
X = a + b, Y = a - b, X + Y = a + b + a - b = 2a; XY = (a + b) x (a –b) = a2- b2.
X = a + √b, Y = a -√b, X + Y = a + √b + a - √b = 2a; XY = (a + √b) x (a -√b) = a2- b.
X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY = (a + bi) x (a –bi) = a2 + b2.
X = a + √b i, Y = a - √bi, X + Y = a + √bi + a - √bi = 2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2 + b.
Ako umjesto slova a i b stavimo cijele brojeve, onda dobijamo paradokse, apsurde i nepovjerenje prema matematici.
Brzo je krenuo dalje. Našao je dovoljne uslove za postojanje maksimuma, naučio da odredi tačke pregiba i povukao tangente na sve poznate krive drugog i trećeg reda. Još nekoliko godina i on pronalazi novu čistu algebarska metoda pronalaženje kvadratura za parabole i hiperbole proizvoljnog reda (tj. integrala funkcija oblika y p = Cx q i y p x q = S), izračunava površine, zapremine, momente inercije tela obrtanja. Bio je to pravi proboj. Osjećajući to, Fermat počinje tražiti komunikaciju s matematičkim autoritetima tog vremena. Siguran je u sebe i žudi za priznanjem.
Godine 1636. napisao je prvo pismo Njegovoj velečasnoj Maren Mersenne: „Sveti oče! Izuzetno sam vam zahvalan na časti koju ste mi ukazali dajući mi nadu da ćemo moći pismeno razgovarati; ... Biće mi veoma drago da čujem od vas o svim novim raspravama i knjigama o matematici koje su se pojavile u proteklih pet do šest godina. ... Pronašao sam i mnoge analitičke metode za različite probleme, numeričke i geometrijske, za koje je Vietina analiza nedovoljna. Sve ću to podijeliti s vama kad god poželite, i štaviše, bez ikakve arogancije, od koje sam slobodniji i udaljeniji od bilo koje druge osobe na svijetu.”
Ko je otac Mersenne? Ovo je franjevački redovnik, učenjak skromnih darova i divan organizator, koji je 30 godina vodio pariški matematički krug, koji je postao pravi centar Francuska nauka... Nakon toga, Mersenov krug dekretom Louis XIV biće transformisana u Parisku akademiju nauka. Mersenne je neumorno vodio ogromnu prepisku, a njegova ćelija u samostanu Reda Minima na Kraljevom trgu bila je svojevrsna "pošta za sve naučnike u Evropi, od Galilea do Hobbesa". Prepiska je tada zamijenila naučne časopise, koji su se pojavili mnogo kasnije. Mersenneova okupljanja održavala su se svake sedmice. Jezgro kruga činili su najsjajniji prirodnjaci tog vremena: Roberville, Pascal otac, Desargues, Midorge, Hardy i, naravno, poznati i univerzalno priznati Descartes. René du Perron Descartes (Cartesius), plemićki plašt, dva porodična imanja, osnivač kartezijanizma, „otac“ analitičke geometrije, jedan od osnivača nove matematike, kao i Mersenov prijatelj i drug na jezuitskom koledžu. Ovo divna osoba postaće noćna mora za Farmu.
Mersenne je smatrao Fermatove rezultate dovoljno zanimljivim da uvede provincijalca u svoj elitni klub. Farma odmah započinje prepisku sa mnogim članovima kruga i doslovno zaspi s pismima samog Mersennea. Osim toga, on šalje završene rukopise sudu stručnjaka: "Uvod u ravna i tjelesna mjesta", a godinu dana kasnije - "Metod za pronalaženje maksimuma i minimuma" i "Odgovori na pitanja B. Cavalierija". Ono što je Fermat izložio bilo je apsolutno novo, ali senzacija se nije dogodila. Savremenici nisu zadrhtali. Nisu mnogo razumjeli, ali su našli nedvosmislen pokazatelj da je Fermat ideju algoritma maksimizacije posudio iz rasprave Johannesa Keplera sa smiješnim naslovom “Nova stereometrija vinskih bačvi”. Zaista, u Keplerovom rasuđivanju postoje fraze kao što su „Obim figure je najveći ako je na obje strane mjesta najveća vrednost smanjenje je isprva neosjetljivo”. Ali ideja o malom prirastu funkcije u blizini ekstrema uopće nije bila u zraku. Najbolji analitički umovi tog vremena nisu bili spremni da manipulišu malim količinama. Činjenica je da se u to vrijeme algebra smatrala nekom vrstom aritmetike, odnosno matematikom druge vrste, primitivnim improviziranim alatom razvijenim za potrebe osnovne prakse („samo trgovci misle dobro“). Tradicija je nalagala pridržavanje čisto geometrijskih metoda dokazivanja koje datiraju još iz antičke matematike. Fermat je prvi shvatio da se beskonačno male količine mogu dodavati i poništavati, ali ih je prilično teško predstaviti u obliku segmenata.
Trebalo je skoro čitav vek da Jean d'Alembert prizna u čuvenoj Enciklopediji: „Fermat je bio pronalazač novog računa. Kod njega se susrećemo s prvom primjenom diferencijala za pronalaženje tangenti.” Krajem 18. vijeka Joseph Louis Comte de Lagrange će se izraziti još određenije: „Ali geometri - Fermaovi savremenici - nisu razumjeli ovu novu vrstu računa. Vidjeli su samo posebne slučajeve. I ovaj izum, koji se pojavio malo prije Descartesove geometrije, ostao je sterilan četrdeset godina." Lagrange se poziva na 1674. godinu, kada su objavljena predavanja Isaaca Barrowa, koja su detaljno pokrivala Fermatovu metodu.
Između ostalog, brzo je otkriveno da je Fermat bio skloniji formuliranju novih problema nego ponizno rješavanju problema koje su predlagali mjerači. U eri dvoboja, razmjena zadataka između stručnjaka bila je općenito prihvaćena kao oblik razjašnjavanja problema vezanih za podređenost. Međutim, Fermat očito ne zna mjeru. Svako njegovo pismo je izazov koji sadrži desetine teških neriješenih problema, i to na najneočekivanije teme. Evo primjera njegovog stila (upućenog Frénique de Bessy): „Stavka, koji je najmanji kvadrat koji će, kada se smanji za 109 i doda jedan, dati kvadrat? Ako mi ne pošaljete opće rješenje, onda mi pošaljite količnik za ova dva broja, koji sam odabrao mali, da vam ne bude baš teško. Nakon što dobijem vaš odgovor, ponudiću vam još neke stvari. Jasno je bez posebnih rezervi da moj prijedlog zahtijeva pronalaženje cijelih brojeva, jer u slučaju razlomci brojeva najbeznačajniji aritmetičar bi mogao doći do cilja." Fermat se često ponavljao, formulirajući ista pitanja nekoliko puta, i otvoreno blefirao, tvrdeći da ima neobično elegantno rješenje za predloženi problem. Ne bez direktnih grešaka. Neke od njih su zapazili savremenici, a neke podmukle izjave vekovima su zavaravale čitaoce.
Mersennov krug je reagovao na odgovarajući način. Samo Roberville, jedini član kruga koji je imao problema s porijeklom, zadržava prijateljski ton pisama. Dobri pastir otac Mersen je pokušao da urazumi „drzlog Tuluza“. Ali Ferma ne namjerava da se opravdava: „Časni oče! Pišete mi da je izlaganje mojih nemogućih problema naljutilo i zaledilo gospodu Saint-Martin i Frénicle, te da je to bio razlog za prekid njihovih pisama. Međutim, želim da im tvrdim da ono što se na prvi pogled čini nemogućim u stvari nije tako i da ima mnogo problema o kojima je, kako je rekao Arhimed...”i tako dalje..
Međutim, Fermat je neiskren. Frenikl je bio taj koji je poslao problem nalaženja pravougaonog trougla sa cijelim stranicama, čija je površina jednaka kvadratu cijelog broja. Poslao ga je, iako je znao da problem očito nema rješenja.
Descartes je zauzeo najneprijateljskiju poziciju prema Fermau. U njegovom pismu Mersenneu 1938. čitamo: „od kada sam saznao da je to ista osoba koja je prethodno pokušala da opovrgne moju „Dioptriju”, i pošto ste me obavestili da je ovo poslao nakon što je pročitao moju „Geometriju” i iznenađeno da nisam našao istu stvar, odnosno (kako to imam razloga tumačiti) poslao sam je da bih ušao u rivalstvo i pokazao da u tome zna više od mene, a pošto sam saznao da ima reputacija veoma dobrog geometra, smatram da sam dužan da mu odgovorim." Descartes će kasnije svečano označiti svoj odgovor kao “malo suđenje matematike protiv gospodina Fermata”.
Lako je shvatiti šta je razbjesnilo eminentnog naučnika. Prvo, u Fermatovom razmišljanju stalno se pojavljuju koordinatne ose i predstavljanje brojeva segmentima - tehnika koju Descartes sveobuhvatno razvija u svojoj upravo objavljenoj Geometriji. Fermat dolazi na ideju da crtež zamijeni proračunima potpuno neovisno, na neki način je čak dosljedniji od Descartesa. Drugo, Fermat briljantno demonstrira efikasnost svoje metode pronalaženja minimuma na primjeru problema najkraćeg puta svjetlosnog zraka, oplemenjujući i dopunjujući Descartesa njegovom “Dioptrom”.
Zasluge Descartesa kao mislioca i inovatora su ogromne, ali otvorimo modernu "Matematičku enciklopediju" i pogledajmo listu pojmova povezanih s njegovim imenom: "Kartezijanske koordinate" (Leibniz, 1692), "Kartezijanski list", " Descartes ovali". Nijedan od njegovih argumenata nije ušao u istoriju kao "Dekartova teorema". Descartes je prvenstveno ideolog: on je osnivač filozofske škole, on formira koncepte, unapređuje sistem slovne oznake, ali u njegovoj kreativnoj ostavštini ima nekoliko novih konkretnih tehnika. Nasuprot tome, Pierre Fermat malo piše, ali iz bilo kojeg razloga može smisliti mnogo duhovitih matematičkih trikova (vidi i “Fermatov teorem”, “Fermatov princip”, “Fermatov metod beskonačnog spuštanja”). Vjerovatno su s pravom bili ljubomorni jedno na drugo. Sudar je bio neizbježan. Uz jezuitsko posredovanje Mersennea, izbio je rat koji je trajao dvije godine. Međutim, i ovdje je Mersenne bio tik ispred istorije: žestoka bitka između dva titana, njihova intenzivna, blago rečeno, polemika doprinijela je razumijevanju ključnih pojmova matematičke analize.
Fermat je prvi izgubio interesovanje za diskusiju. Očigledno je razgovarao direktno sa Descartesom i nikada više nije dirao svog protivnika. U jednom od svojih posljednjih djela "Sinteza za prelamanje", čiji je rukopis poslao de la Chaumbri, Fermat se kroz riječ sjeća "najučenijeg Descartesa" i na svaki mogući način ističe njegov prioritet u pitanjima optike. U međuvremenu, upravo je ovaj rukopis sadržavao opis čuvenog "Fermatovog principa", koji pruža sveobuhvatno objašnjenje zakona refleksije i prelamanja svjetlosti. Poštovanje prema Descartesu u djelu ovog nivoa bilo je potpuno suvišno.
Šta se desilo? Zašto je Fermat, ostavivši po strani ponos, otišao na pomirenje? Čitajući Fermatova pisma tih godina (1638-1640), može se pretpostaviti najjednostavnije: u tom periodu njegov naučnih interesovanja su se dramatično promijenile. On napušta modernu cikloidu, prestaje da se zanima za tangente i područja i dugih 20 godina zaboravlja na svoju metodu pronalaženja maksimuma. Imajući velike zasluge u matematici kontinuiranog, Fermat se potpuno udubljuje u matematiku diskretnog, ostavljajući svojim protivnicima mrske geometrijske crteže. Njegova nova strast su brojevi. Zapravo, cijela "teorija brojeva", kao samostalna matematička disciplina, u potpunosti duguje svoje rođenje životu i djelu Fermata.
<…>Nakon Fermatove smrti, njegov sin Samuel objavio je 1670. očevu kopiju Aritmetike pod naslovom „Šest knjiga aritmetike Aleksandrijaca Diofanta, s komentarima L. G. Baschea i komentarima P. de Fermata, senatora od Toulousea“. Knjiga je uključivala i neka Descartesova pisma i puni tekst djela Jacquesa de Billyja "Novo otkriće u umjetnosti analize", napisana na osnovu Fermatovih pisama. Publikacija je postigla nevjerovatan uspjeh. Pred začuđenim specijalistima otvorio se neviđeno svetao svet. Neočekivanost, i što je najvažnije, pristupačnost, demokratska priroda Fermatovih rezultata teorije brojeva dovela je do mnogih imitacija. U to vrijeme malo ljudi je razumjelo kako se izračunava površina parabole, ali je svaki učenjak mogao razumjeti formulaciju Fermatove posljednje teoreme. Počeo je pravi lov na nepoznata i izgubljena pisma naučnika. Sve do kraja 17. vijeka. svaka riječ koju je pronašao bila je objavljena i ponovo objavljena. Ali burna istorija razvoja Fermatovih ideja tek je počela.
