Rješavanje zadataka B8 na osnovu otvorenih bankarskih materijala Problemi na objedinjenom državnom ispitu iz matematike 2012. Prava y = 4x + 11 paralelna je tangenti na graf funkcije y = x2 + 8x + 6. Nađi apscisu tačke tangentnosti. Br. 1 Rješenje: Ako je prava paralelna sa tangenta na graf funkcije u nekoj tački (nazovimo je xo), tada je njen ugaoni koeficijent (u našem slučaju k = 4 iz jednačine y = 4x +11) jednak vrijednosti derivacije funkcije na tačka xo: k = f ′(xo) = 4 Derivat funkcije f′(x) = (x2+8x + 6)′= 2x +8. To znači da je za pronalaženje željene tačke tangentnosti potrebno da je 2xo + 8 = 4, od čega je xo = – 2. Odgovor: – 2. Prava linija y = 3x + 11 tangenta je na grafik

  • funkcije y = x3−3x2− 6x + 6.
  • Pronađite apscisu tangentne tačke.
    • Br. 2 Rješenje: Imajte na umu da ako je prava tangenta na graf, onda njen nagib (k = 3) mora biti jednak derivaciji funkcije u tački tangentnosti, iz koje imamo Zx2 − 6x − 6 = 3 , odnosno Zx2 − 6x − 9 = 0 ili x2 − 2x − 3 = 0. Ovo je kvadratna jednačina ima dva korena: −1 i 3. Dakle, postoje dve tačke u kojima tangenta na graf funkcije y = x3 − 3x2 − 6x + 6 ima nagib jednak 3. Da bismo odredili koja od ove dve tačke prava linija y = 3x + 11 dodiruje graf funkcije, izračunajmo vrijednosti funkcije u tim tačkama i provjerimo da li one zadovoljavaju jednadžbu tangente. Vrijednost funkcije u tački −1 je y(−1) = −1 − 3 + 6 + 6 = 8, a vrijednost u tački 3 je y(3) = 27 − 27 − 18 + 6 = −12. Imajte na umu da tačka sa koordinatama (−1; 8) zadovoljava jednadžbu tangente, pošto je 8 = −3 + 11. Ali tačka (3; −12) ne zadovoljava tangentnu jednačinu, pošto −12 ≠ 9 + 11. Ovo znači da je tražena apscisa tangentne tačke −1. Odgovor: −1 Na slici je prikazan grafik y = f ′(x) – derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (–10; 8). U kojoj tački segmenta [–8; –4] funkcija f(x) uzima najmanju vrijednost Br 3 Rješenje: Imajte na umu da na segmentu [–8; –4] derivacija funkcije je negativna, što znači da je sama funkcija opadajuća, što znači da zauzima najmanju vrijednost na ovom segmentu na desnom kraju segmenta, odnosno u tački –4.u = f ′(x) f(x) – Odgovor: –4 .Na slici je prikazan grafik y = f ′(x) – derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (–8; 8). Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(x), koji pripadaju segmentu [– 6; 6].Broj 4Rješenje: U tački ekstrema, derivacija funkcije je jednaka 0 ili ne postoji. Može se vidjeti da postoje takve tačke koje pripadaju segmentu [–6; 6] tri. U ovom slučaju, u svakoj tački derivacija mijenja predznak ili iz “+” u “–”, ili iz “–” u “+”.u = f ′(x) ++–– Odgovor: 3. Slika prikazuje graf u = f ′(x) – izvod funkcije f(x), definisan na intervalu (–8; 10). Odrediti tačku ekstrema funkcije f(x) na intervalu (– 4; 8). Br. 5. Rješenje: Imajte na umu da se na intervalu (–4; 8) izvod u tački xo = 4 pretvara u 0 i pri prolasku kroz ovu tačku mijenja derivaciju predznaka sa “–” na “+”, tačka 4 je željena tačka ekstrema funkcije na datom intervalu. y = f ′(x) +–Odgovor: 4. Na slici je prikazan grafik y = f ′(x) – derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (–8; 8). Pronađite broj tačaka u kojima je tangenta na graf funkcije f(x) paralelna pravoj y = –2x + 2 ili se poklapa s njom. Broj 6 Rješenje: Ako je tangenta na graf funkcije f (x) je paralelna pravoj y = –2x+ 2 ili se poklapa s njom, tada njen nagib k = –2, što znači da treba pronaći broj tačaka u kojima je derivacija funkcije f ′(x) = – 2. Da biste to učinili, nacrtajte liniju y = –2 na grafu derivacije i prebrojite broj tačaka na grafu derivacije koje leže na ovoj pravoj. Takve tačke su 4. y = f ′(x) y = –2 Odgovor: 4. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x), definisane na intervalu (–6; 5). Odredite broj cjelobrojnih tačaka u kojima je izvod funkcije negativan Broj 7y Rješenje: Imajte na umu da je izvod funkcije negativan ako se sama funkcija f(x) smanjuje, što znači da je potrebno pronaći broj cjelobrojnih tačaka uključenih u intervale opadajuće funkcije Postoji 6 takvih tačaka: x = −4, x = −3, x = −2, x = −1, x = 0, x = 3.y = f(x ) x–6–45–1–20–33 Odgovor: 6. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x), definisane na intervalu (–6; 6) Odrediti broj tačaka u kojima je tangenta na grafik funkcije je paralelan pravoj liniji y = –5. Br. 8y Rješenje: Prava linija y = −5 je horizontalna, što znači da ako je tangenta na graf funkcije paralelna s njom, onda je i ona horizontalna. Shodno tome, nagib u traženim tačkama k = f′(x)= 0. U našem slučaju, to su tačke ekstrema. Takvih tačaka ima 6. on u tački apscise xo. Odrediti vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački xo. Br. 9 Rješenje: Vrijednost izvoda funkcije f′(ho) = tanα = k na koeficijent jednakokutne tangente povučene na grafik ove funkcije u datoj tački. U našem slučaju, k > 0, pošto je α oštar ugao (tgα > 0) Da bismo pronašli ugaoni koeficijent, biramo dve tačke A i B koje leže na tangenti, čije su apscise i ordinate celi brojevi. Sada odredimo modul ugaonog koeficijenta. Za ovo ćemo izgraditi trougao ABC. tgα =VS: AC = 5: 4 = 1,25 u = f(x) Vα5hoαS4A Odgovor: 1,25 Slika prikazuje grafik funkcije u = f(x), definisanu na intervalu (–10; 2) i tangentu na u tački sa apscisom xo.Nađi vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački xo. Br. 10 Rješenje: Vrijednost derivacije funkcije f′(ho) = tanα = k na koeficijent jednakokutne tangente povučene na grafik ove funkcije u datoj tački. U našem slučaju k< 0, так как α– tupi ugao(tgα< 0).Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим треугольник ABC. tg(180°−α) = ВС: АС = 6: 8 = 0,75 tgα = − tg (180°−α) = −0,75Ву = f(x) α6хо180°− αСА8Ответ: −0,75.На рисунке изображен график производной у = f ′(x) –функции f(x), определенной на интервале (–11; 11). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−10; 10]. №11.Решение: В точке экстремума производная функции равна 0 либо не существует. Видно, что таких точек принадлежащих отрезку [−10; 10] пять. В точках х2и х4 производная меняет знак с «+» на «−» – это точки максимума.уу = f ′(x) +++–100–––х10f(x) х3х5х2х4х1maxmaxОтвет: 2.Прямая у = 4х – 4является касательной к графику функции ах2+ 34х + 11. Найдите а.№12Решение:Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за хo принять абсциссу точки касания, имеем: 2ахo+ 34 = 4. То есть ахo =–15. Найдем значение исходной функции в точке касания:ахo2 + 34хo + 11 = –15xo+ 34хo + 11 = 19хo + 11.Так как прямая у = 4х – 4– касательная, имеем: 19хo + 11 =4хo–4, откуда хo = –1. А значитa = 15. Ответ: 15.Прямая у = –4х – 5 является касательной к графику функции 9х2+bх + 20. Найдите b,учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.№13Решение. Если хо– абсцисса точки касания, то 18xo+ b = –4, откуда b = –4 –18хо. Аналогично задаче№12 найдем хо:9xo2+ (–4 –18хо)xo+20 = – 4хo – 5, 9xo2–4xo –18хо2+20 + 4хo + 5 = 0,–9xo2+25 = 0,хо2 = 25/9. Откуда xo = 5/3или xo = –5/3. Условию задачи соответствует только положительный корень, значит xo = 5/3, следовательно b = –4 –18∙ 5/3, имеем b = –34. Ответ: –34.Прямая у = 2х – 6является касательной к графику функции х2+ 12х + с. Найдите с.№14Решение. Аналогично предыдущим задачам обозначим абсциссу точки касания хо и приравняем значение производной функции в точке хо угловому коэффициенту касательной. 2хо + 12 = 2, откуда xo= –5. Значение исходной функции в точке –5 равно: 25 – 60 + с = с – 35, значит с – 35 = 2∙(–5) – 6, откуда с = 19. Ответ: 19.Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t– время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.№15Решение. Так как мгновенная скорость точки в момент времени to, pravolinijsko kretanje izvedena po zakonu x = x(t), jednaka je vrijednosti derivacije funkcije xnput = to, željena brzina će biti x ′(t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2.x ′ (6) = 6 – 2 = 4 m/s Odgovor: 4. Materijalna tačka se kreće pravolinijski prema zakonu x(t) = 0,5t2 – 2t – 22, gdje je x udaljenost od referentne tačke u metrima, t je vrijeme u sekundama, mjereno od početka pokreta. U kom trenutku (u sekundama) je njegova brzina bila jednaka 4 m/s? Br. 16 Rešenje. Budući da je trenutna brzina tačke u trenutku do, pravolinijskog kretanja izvršenog prema zakonu x = x(t), jednaka vrijednosti derivacije funkcije xnput = to, željena brzina će biti x ′(to) = 0,5 ∙ 2 do – 2 = do – 2, jer po uslovu, x ′(to) = 4, zatim na – 2 = 4, odakle je to = 4 + 2 = 6 m/s Odgovor: 6. Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x), definisane na intervalu (– 8; 6).Naći zbir tačaka ekstrema funkcije f(x).Br.17Rješenje: Ekstremne tačke su tačke minimuma i maksimuma. Može se vidjeti da postoji pet takvih tačaka koje pripadaju intervalu (–8; 6). Nađimo zbir njihovih apscisa: -6 + (-4) + (-2) + 2 + 4 = 6.u = f ′(x) Odgovor: 6. Na slici je prikazan grafik izvoda y = f ′ (x) – funkcija f (x), definirana na intervalu (–10; 8). Naći intervale rastuće funkcije f(x). U svom odgovoru navedite zbir cijelih bodova uključenih u ove intervale. Rješenje: Imajte na umu da se funkcija f(x) povećava ako je izvod funkcije pozitivan; što znači da je potrebno pronaći zbir cijelih tačaka uključenih u intervale rastuće funkcije.Takvih tačaka ima 7: x = −3, x = −2, x = 3, x = 4, x = 5, x = 6, x = 7. Njihov zbir: −3+(−2)+3+4+5+6+7 = 20u = f ′(x) ++3-357 Odgovor: 20. Korišteni materijali
  • Jedinstveni državni ispit 2012. Matematika. Problem B8. Geometrijsko značenje derivacije. Radna sveska/ Ed. A.L. Semenov i I.V. Yashchenko. 3rd ed. stereotip. − M.: MTsNMO, 2012. − 88 str.
  • http://mathege.ru/or/ege/Main− Materijali otvorene banke zadataka iz matematike 2012.

    • “B8 na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike” - Minimum bodova. Izvod funkcije je negativan. Pronađite vrijednost derivacije funkcije. Pronađite apscisu tangentne tačke. Brzina. Vrijednost derivacije funkcije. Derivat. Vrijeme. Grafikon derivacije funkcije. Pronađite izvod funkcije. Intervali rastuće funkcije. Rješavanje Jedinstvenog državnog ispitnog zadatka B8 iz matematike.

    “B3 iz matematike” - Memorandum za učenika. CT vještine. Prototip zadatka. Sadržaj zadatka B3. Prototip zadatka B3. Prototip zadatka B3. Jednačina. Osnovna svojstva korijena. Pronađite korijen jednačine. Logaritmi. Logaritmi sa po istoj osnovi. Stepen. Priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike. Zadaci za nezavisna odluka.

    “Rješavanje zadataka B11” - Zadaci. Počeci matematičke analize. Nađi najveća vrijednost funkcije na segmentu. Formule. Pronađite najveću vrijednost funkcije. CT vještine. Zadaci za samostalno rješavanje. Pronađite najmanju vrijednost funkcije na segmentu. Pronađite najmanju vrijednost funkcije. Ispitivanje. Rješenje. Memorandum za studenta.

    “B1 na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike” - Najmanji broj. Bun. Ulaznica. Američki auto. Kuhalo za vodu. Reklamna kampanja. Dan. Terminal za plaćanje. Lijek. Zadaci B1. Klijent. Motorni brod. General notebook. Mjerač protoka tople vode. Željeznička karta. Penzioneri.

    “Jedinstveni državni ispitni zadaci iz matematike” - zadatak B 13. Moramo riješiti još par primjera. Zadatak B 6. Pronađite brzinu motocikliste. Zadatak B 1. Koliko bi nivo vode trebao porasti nakon kiše? Pronađite područje. Nakon kiše nivo vode u bunaru može porasti. Zadatak B 5. Zadatak B 12. Samostalan rad. Priprema za Jedinstveni državni ispit. Zadatak B 3.

    “B1 u matematici” - Marmelada. Reklamna kampanja. Popust na dan rasprodaje. Ampula. Veš mašina. Autobus. Porez na prihod. Boca šampona. Notebook. Najmanji broj. Mobilni telefon. Međugradska autobuska karta. Vozač taksija. Prodavnica. Ulaznica. Štapić putera. Rose. Zadaci B1 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Rješenje.

    U ovoj temi ima ukupno 33 prezentacije

    Rješavanje zadataka B8 Jedinstveni državni ispit iz matematike Na slici je prikazan grafikon funkcije y = f(x), definisan na intervalu (−5; 5). Odrediti broj tačaka u kojima je izvod f'(x) jednako 0

    • Odgovor: 4
    f(x), definisan na intervalu (−10; 8). Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) na segmentu [−9;6].
    • Rješenje. Maksimalne tačke odgovaraju tačkama u kojima se predznak derivacije menja sa plus na minus. Na segmentu [−9;6] funkcija ima dvije maksimalne tačke x= − 4 i x= 4. Odgovor: 2.
    Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x), definisane na intervalu (−1; 12). Odrediti broj cjelobrojnih točaka u kojima je derivacija funkcije negativna.
    • Rješenje.

    Derivat funkcije je negativan na onim intervalima na kojima funkcija opada, odnosno na intervalima (0,5; 3), (6; 10) i (11; 12). Sadrže cijele točke 1, 2, 7, 8 i 9. Ukupno ima 5 bodova. Odgovor: 5.

    Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (−10; 4). Naći intervale opadanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

    • Rješenje. Smanjenje intervala funkcije f(x) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije negativna, odnosno interval (−9; −6) dužine 3 i interval (−2; 3) dužine 5. Dužina najvećeg od njih je 5 Odgovor: 5.
    Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definisan na intervalu (−7; 14). Pronađite broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) na intervalu [−6; 9].
    • Rješenje. Maksimalne tačke odgovaraju tačkama gde se predznak derivacije menja iz pozitivnog u negativan. Na segmentu [−6; 9] funkcija ima jednu maksimalnu tačku x= 7. Odgovor: 1.
    Na slici je prikazan grafik derivacije funkcije f(x), definisane na intervalu (−8; 6). Naći intervale povećanja funkcije f(x). U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.
    • Rješenje. Intervali rastuće funkcije f(x) odgovaraju intervalima na kojima je derivacija funkcije pozitivna, odnosno intervalima (−7; −5), (2; 5). Najveći od njih je interval (2; 5), čija je dužina 3.
    Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definisan na intervalu (−7; 10). Pronađite broj minimalnih tačaka funkcije f(x) na intervalu [−3; 8].
    • Rješenje. Minimalne tačke odgovaraju tačkama gde se predznak derivacije menja sa minusa na plus. Na segmentu [−3; 8] funkcija ima jednu minimalnu tačku x= 4. Odgovor: 1.
    Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definisan na intervalu (−16; 4). Odrediti broj točaka ekstrema funkcije f(x) na segmentu [−14; 2].
    • Rješenje. Ekstremne tačke odgovaraju tačkama u kojima se menja predznak izvoda – nuli derivacije prikazane na grafikonu. Izvod nestaje u tačkama −13, −11, −9, −7. Na segmentu [−14; 2] funkcija ima 4 ekstremne tačke. Odgovor: 4.
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x), definisan na intervalu (−2; 12). Naći zbir točaka ekstrema funkcije f(x).
    • Rješenje. Data funkcija ima maksimume u tačkama 1, 4, 9, 11 i minimume u tačkama 2, 7, 10. Dakle, zbir tačaka ekstrema je 1 + 4 + 9 + 11 + 2 + 7 + 10 = 44. Odgovor : 44.
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangenta na nju u tački apscise x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .
    • Rješenje. Vrijednost derivacije u tački tangente jednaka je nagibu tangente, koja je zauzvrat jednaka tangentu ugla nagiba ove tangente na osu apscise. Konstruirajmo trougao sa vrhovima u tačkama A (2; −2), B (2; 0), C (−6; 0). Ugao nagiba tangente na osu apscise će biti jednaka uglu, uz ugao ACB
    Na slici je prikazan grafik funkcije y = f(x) i tangenta na ovaj graf u tački apscise jednaka 3. Pronađite vrijednost izvoda ove funkcije u tački x = 3.

    Za rješavanje koristimo geometrijsko značenje derivacija: vrijednost derivacije funkcije u tački jednaka je nagibu tangente na graf ove funkcije nacrtan u toj tački. Ugao tangente jednak je tangenti ugla između tangente i pozitivnog smjera x-ose (tg α). Ugao α = β, kao poprečni uglovi sa paralelnim linijama y=0, y=1 i sekantom-tangentom. Za trougao ABC

    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i tangente na nju u tački sa apscisom xo. Odrediti vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački xo.

    • Prema svojstvima tangente, formula za tangentu na funkciju f(x) u tački x 0 jednaka je
    • y=f ′ (x 0)⋅x+b, b=konst
    • Slika pokazuje da tangenta na funkciju f(x) u tački x0 prolazi kroz tačke (-3;2), (5,4). Stoga možemo kreirati sistem jednačina
    Na slici je prikazan grafikon y=f’(x)- derivat funkcije f(x), definisan na intervalu (−6; 6). Pronađite broj tačaka u kojima je tangenta na graf f(x) je paralelan ili se poklapa sa pravom linijom y = -3x-11.
    • Odgovor: 4

    f’(x0)=-3

    Izvori

    • http://reshuege.ru/
    • http://egemat.ru/prepare/B8.html
    • http://bankege.ru/

    Ciljevi:

    • Obrazovni: ponoviti osnovne formule i pravila diferencijacije, geometrijsko značenje izvoda; razvijanje sposobnosti sveobuhvatne primjene znanja, vještina, sposobnosti i njihovog prenošenja u nove uslove; provjeriti znanja, vještine i sposobnosti učenika na ovu temu u pripremi za Jedinstveni državni ispit.
    • Razvojni: promovirati razvoj mentalne operacije: analiza, sinteza, generalizacija; formiranje vještina samopoštovanja.
    • Obrazovni: promovirati želju za stalnim usavršavanjem znanja

    Oprema:

    • Multimedijalni projektor.

    Vrsta lekcije: sistematizacije i generalizacije.
    Obim znanja: dva časa (90 min.)
    Očekivani rezultat: nastavnici koriste stečeno znanje u praktična primjena, uz razvijanje komunikacijskih, kreativnih i tragačkih vještina, te sposobnosti analize primljenog zadatka.

    Struktura lekcije:

    1. Org. Trenutak, ažuriranje znanja potrebnih za rješenje praktični zadaci iz materijala Jedinstvenog državnog ispita.
    2. Praktični dio (provjera znanja učenika).
    3. Refleksija, kreativni domaći zadatak

    Napredak konsultacija

    I. Organizacioni momenat.

    Poruka teme časa, ciljevi časa, motivacija obrazovne aktivnosti(kroz stvaranje problematične teorijske baze znanja).

    II. Ažuriranje subjektivnog iskustva učenika i njihovog znanja.

    Pregledajte pravila i definicije.

    1) ako je u nekoj tački funkcija kontinuirana i u njoj derivacija menja predznak sa plusa na minus, onda je to tačka maksimuma;

    2) ako je u nekoj tački funkcija kontinuirana i u njoj derivacija mijenja predznak iz minusa u plus, onda je to tačka minimuma.

    • Kritične tačke – to su unutrašnje tačke domene definicije funkcije u kojima izvod ne postoji ili je jednak nuli.
    • Dovoljan znak povećanja, silazno funkcije .
    • Ako je f "(x)>0 za sve x iz intervala (a; b), tada funkcija raste na intervalu (a; b).
    • Ako je f "(x)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).
    • Algoritam za pronalaženje najvećeg i najmanje vrijednosti funkcije na segmentu [a;b], ako je dat graf derivacije funkcije:

    Ako je izvod na segmentu pozitivan, tada je a najmanja vrijednost, b je najveća vrijednost.

    Ako je izvod na segmentu negativan, tada je a najveća, a b najmanja vrijednost.

    Geometrijsko značenje izvedenice je sljedeće. Ako je moguće nacrtati tangentu na graf funkcije y = f(x) u tački sa apscisom x0 koja nije paralelna sa y-osi, tada f"(x0) izražava nagib tangente: κ = f "(x0). Pošto je κ = tanα, jednakost f"(x0) = tanα je tačna

    Razmotrimo tri slučaja:

    1. Tangenta povučena na graf funkcije formirala je oštar ugao sa OX osom, tj. α< 90º. Производная положительная.
    2. Tangenta je formirala tupi ugao sa OX osom, tj. α > 90º. Izvod je negativan.
    3. Tangenta je paralelna sa OX osom. Izvod je nula.

    Vježba 1. Na slici je prikazan grafikon funkcije y = f(x) i tangenta na ovaj graf povučena u tački sa apscisom -1. Odrediti vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x0 = -1

    Rješenje: a) Tangenta povučena na graf funkcije formira tupi ugao sa OX osom. Koristeći formulu redukcije, nalazimo tangent ovog ugla tg(180º - α) = - tanα. To znači f "(x) = - tanα. Iz onoga što smo ranije proučavali, znamo da je tangenta jednaka omjeru suprotne strane prema susjednoj strani.

    Da bismo to učinili, gradimo pravokutni trokut tako da su vrhovi trokuta na vrhovima ćelija. Brojimo ćelije suprotne i susjedne strane. Podijelite suprotnu stranu susjednom stranom (Slajd 44)

    b) Tangenta povučena na graf funkcije formira oštar ugao sa OX osom.

    f "(x)= tgα. Odgovor će biti pozitivan. (Slajd 30)

    Vježbajte 2. Slika prikazuje grafikon derivat funkcija f(x), definirana na intervalu (-4; 13). Pronađite intervale u kojima funkcija opada. U svom odgovoru navedite dužinu najvećeg od njih.

    Rješenje: f "(x)< 0 функция убывает. Находим длину,который имеет наибольший участок.(Слайд 34)

    Praktični dio.
    35 min. Pripremljeni slajdovi zahtijevaju teorijsko znanje o temi lekcije. Svrha slajdova je osposobljavanje učenika za usavršavanje i praktičnu primjenu znanja.
    Koristeći slajdove možete:
    - frontalno istraživanje (uzimaju se u obzir individualne karakteristike učenika);
    - pojašnjena je informaciona formulacija glavnih pojmova, svojstava, definicija;
    - algoritam za rješavanje problema. Učenici moraju odgovoriti na slajdove.

    IV. Individualni rad. Rješavanje problema pomoću slajdova.

    V. Sumiranje lekcije, razmišljanje.

    CT vještine Odrediti vrijednost funkcije po vrijednosti argumenta kada
    različiti načini specificiranja funkcije; opisati prema rasporedu
    ponašanje i svojstva funkcija, pronalaženje funkcija iz grafova
    najviše i najniže vrijednosti; graditi grafove
    proučavane funkcije
    Izračunati derivate i antiderivate elementarnog
    funkcije
    Istražite funkcije monotonosti u najjednostavnijim slučajevima,
    pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcija
    Sadržaj zadatka B8 o IES-u
    Function Research
    4.2.1 Primjena derivacije u proučavanju funkcija i
    zacrtavanje
    4.2.2 Primjeri korištenja derivata za pronalaženje
    najbolje rješenje u primijenjenim, uključujući i socio-ekonomske probleme

    Memorandum za studenta

    Zadatak B8 za izračunavanje izvoda. Za
    učenik mora biti sposoban da riješi zadatak
    izračunati vrijednost funkcije iz poznate
    argument za različite načine specificiranja
    funkcije i pronalaženje derivata i
    antiderivati ​​elementarnih funkcija.

    Table
    derivati
    f' (x)
    formule
    SA"
    0
    (x)"
    1
    (xa)"
    greh"x
    sjekira a 1
    kada je a≠1
    cos x
    sos"x
    sin x
    tg"x
    1
    cos 2 x
    1
    sin 2 x
    ctg"x
    (bivši)"
    ex
    (sjekira)"
    a x ln a
    ln"x
    1
    x
    loga"x
    1
    x ln a
    (f+g)"
    f"g"
    (f∙g)"
    f "g fg"
    (cf)"
    cf"
    f`
    g
    (f "g fg")
    g2
    (f(kx+b)) "
    kf " (kx b)
    (f(g(x))) "
    f " (g(x)) g" (x)

    Prototip zadatka B8 (br. 27485)

    Prava linija y=7x-5 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=x2+6x-8
    . Pronađite apscisu tangentne tačke.
    k=7 , tada je f "(x0)=7
    naći derivaciju funkcije y=x2+6x-8,
    dobijamo:
    f "(x)=2x+6; f "(x0)= 2x0+6
    f "(x0)=7
    2x0+6=7
    2x0=1
    x0=0,5
    Rješenje
    Odgovor:x0=0,5

    Zadatak B8 (br. 6009)
    Prava linija y=6x+8 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=x2-3x+5. Pronađite apscisu tačke
    dodir.
    Zadatak B8 (br. 6011)
    Prava linija y=7x+11 paralelna je sa tangentom na graf funkcije y=x2+8x+6. Pronađite apscisu tačke
    dodir.
    Zadatak B8 (br. 6013)
    Prava linija y=4x+8 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=x2-5x+7. Pronađite apscisu tangentne tačke.
    Zadatak B8 (br. 6015)
    Prava linija y=3x+6 paralelna je sa tangentom na graf funkcije y=x2-5x+8. Pronađite apscisu tačke
    dodir.
    Zadatak B8 (br. 6017)
    Prava linija y=8x+11 paralelna je sa tangentom na graf funkcije y=x2+5x+7. Pronađite apscisu tačke
    dodir.
    Zadatak B8 (br. 6019)
    Prava linija y=-5x+4 je paralelna sa tangentom na graf funkcije y=x2+3x+6. Pronađite apscisu tačke
    dodir.
    Ispitivanje
    ODGOVORI: Br. 6009: 4.5
    № 6011: -0,5
    № 6013: 4,5
    № 6015: 4
    № 6017: 1,5
    № 6019: -4

    Prototip zadatka B8 (br. 27487)

    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-6;8). Definiraj
    funkcija je pozitivna.
    f(x) raste za [-3;0] i za .
    To znači da je derivacija funkcije pozitivna na
    ovih segmenata, broj cjelobrojnih tačaka je 4
    Odgovor: 4
    Rješenje

    Zadaci za samostalno rješavanje

    Zadatak B8 (br. 6399)

    definisano na intervalu (-9;8). Definiraj
    broj cjelobrojnih tačaka u kojima je izvod
    funkcija f(x) je pozitivna.
    Zadatak B8 (br. 6869)
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x),
    definisano na intervalu (-5;6). Definiraj
    broj cjelobrojnih tačaka u kojima je izvod
    funkcija je pozitivna.
    ODGOVORI: br. 6399: 7
    № 6869: 5
    Ispitivanje

    Prototip zadatka B8 (br. 27488)
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) definisane na intervalu (-5;5) Odredite broj
    cjelobrojne točke u kojima je derivacija funkcije f(x) negativna.
    f(x) se smanjuje za [-4;1] i za .
    To znači da je derivacija funkcije negativna
    na ovim segmentima. Broj cijelih bodova 4
    Rješenje
    ODGOVOR:4

    Zadaci za samostalno rješavanje

    Zadatak B8 (br. 6871)
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x),
    definisano na intervalu (-1;12). Definiraj
    broj cjelobrojnih tačaka u kojima je izvod
    funkcija je negativna.
    Zadatak B8 (br. 6873)
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x),
    definisano na intervalu (-7;7). Definiraj
    broj cjelobrojnih tačaka u kojima je izvod
    funkcija je negativna.
    ODGOVORI: br. 6771: 3
    № 6873: 3
    Ispitivanje

    Prototip zadatka B8 (br. 27489)

    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-5;5). Pronađite broj bodova
    u kojoj je tangenta na graf funkcije paralelna pravoj liniji y=6 ili se poklapa s njom.
    K=0
    Odgovor: 4 boda
    Rješenje

    Zadaci za samostalno rješavanje

    Zadatak B8 (br. 6401)
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x),
    definisano na intervalu (-9;8). Nađi
    broj tačaka u kojima je tangenta na graf
    funkcija paralelna pravoj y=10
    Zadatak B8 (br. 6421)
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x),
    definisano na intervalu (-5;5) Find
    broj tačaka u kojima je tangenta na
    grafik funkcije je paralelan pravoj liniji y=6
    ODGOVORI: br. 6401: 6
    № 6421: 4
    Ispitivanje

    Prototip zadatka B8 (br. 27490)

    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x), definirane na intervalu (-2;12).
    Naći zbir točaka ekstrema funkcije f(x).
    Funkcija ima 7 ekstremnih tačaka; 1, 2, 4, 7, 9, 10,
    11.
    Nađimo njihov zbir 1+2+4+7+9+10+11=44
    Rješenje
    ODGOVOR:44

    Zadaci za samostalno rješavanje

    Zadatak B8 (br. 7329)


    ekstremne tačke funkcije f(x).
    Ispitivanje
    Zadatak B8 (br. 7331)
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x),
    definisano na intervalu (-7;5). Pronađite iznos
    ekstremne tačke funkcije f(x).
    ODGOVORI: br. 7329: 0
    № 7331: -10

    Prototip zadatka B8 (br. 27491)

    Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-8;3). U kom trenutku
    segment [-3;2] f(x) uzima najveću vrijednost.
    Na segmentu [-3;2] f(x) uzima najveću
    vrijednost jednaka 0 pri x= -3.
    ODGOVOR: -3
    Rješenje

    Zadaci za samostalno rješavanje

    Zadatak B8 (br. 6413)

    funkcija f(x), definirana na intervalu (-6;6). IN
    koju tačku [-5;-1] segmenta f(x) zauzima
    najveća vrijednost.
    Zadatak B8 (br. 6415)
    Na slici je prikazan graf derivacije
    funkcija f(x) definirana na intervalu (-6:6). IN
    koju tačku segmenta f(x) zauzima
    najveća vrijednost.
    ODGOVORI: #6413: -5
    №6415: 3
    Ispitivanje

    Prototip zadatka B8 (br. 27492)

    Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-8;4). U kom trenutku
    segment [-7;-3] f(x) uzima najmanju vrijednost.
    Na segmentu [-7;-3] f(x) uzima
    najmanja vrijednost je 0 na x= -7.
    ODGOVOR: -7
    Rješenje

    Zadaci za samostalno rješavanje

    Zadatak B8 (br. 6403)

    f(x) definisano na intervalu (-9;8) . U kojem
    tačka segmenta [-8;-4] f(x) uzima najmanju
    značenje.
    Zadatak B8 (br. 6405)
    Na slici je prikazan graf derivacije
    funkcija f(x), definirana na intervalu (-9;8). IN
    koju tačku segmenta f(x) zauzima
    najniža vrijednost.
    ODGOVORI: Ne. 6403: -4
    №6405: 3
    Ispitivanje

    Prototip zadatka B8 (br. 27503)

    Na slici je prikazan grafik funkcije y=f(x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x0. Nađi

    α
    f(x0)= k= tgA
    Razmotrimo pravougli trougao. IN
    njemački tgα= 2/1 = 2
    f(x0)=2
    Rješenje
    ODGOVOR:2

    Zadaci za samostalno rješavanje

    Zadatak B8 (br. 9051)
    Na slici je prikazan graf funkcije y=f(x) i
    tangenta na nju u tački sa apscisom x0. Nađi
    vrijednost derivacije funkcije f(x) u tački x0.
    Zadatak B8 (br. 9055)
    Na slici je prikazan graf funkcije i
    tangenta na nju u tački apscise. Nađi
    vrijednost derivacije funkcije u tački.
    ODGOVORI: #9051: -0,25
    №9055: 0,5
    Ispitivanje

    Prototip zadatka B8 (br. 27494)

    Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x), definirane na intervalu (-7;14). Nađi
    broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) na segmentu [-6;9]
    Na segmentu [-6;9] funkcija f(x) se mijenja 5 puta
    karakter monotonije, od povećanja do
    opadajuće, što znači da ima 5 maksimalnih poena.
    Rješenje
    ODGOVOR:4

    Zadaci za samostalno rješavanje

    Zadatak B8 (br. 7807)
    Na slici je prikazan graf derivacije funkcije
    f(x), definisan na intervalu (-4;16). Nađi
    broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) na
    segment.
    Zadatak B8 (br. 7817)
    Na slici je prikazan graf derivacije
    funkcija f(x), definirana na intervalu (13;8). Pronađite maksimalni broj bodova
    funkcija f(x) na intervalu [-8;6].
    ODGOVORI: br. 6413: 4
    №6415: 4
    Ispitivanje

    Spisak preporučene literature
    Najkompletnije izdanje standardnih verzija stvarnih Jedinstvenih državnih ispitnih zadataka: 2010: Matematika / autorska kompilacija. I. R. Vysotsky, D. D. Gushchin, P. I. Zakharov i drugi; uređeno od A.L. Semenova, I.V. Yashchenko. –
    M.:AST:Astrel, 2010. – 93, (3) str. – (Savezni zavod za pedagoška mjerenja)
    Matematika: tematsko planiranje časova u pripremi za ispit / Beloshistaya.V.
    A. – M: Izdavačka kuća “Ispit”, 2007. – 478 (2) str. (Serija „Jedinstveni državni ispit 2007. Lekcija
    planiranje")
    Matematika: samostalna priprema za Jedinstveni državni ispit / L.D. Lappo, M.A. Popov. – 3. izd.,
    prerađeno I dodatni - M.: Izdavačka kuća “Ispit”, 2009. – 381, (3) str. (Serija „Jedinstveni državni ispit.
    intenzivno")
    Matematika. Rješavanje problema grupe B / Yu.A. Glazkov, I.A. Varshavsky, M.Ya. Gaiashvilli.
    – M.: Izdavačka kuća “Ispit”, 2009. – 382 (2) str. (Serija “Jedinstveni državni ispit. 100 bodova”)
    Matematika: trening tematskih zadataka povećane težine sa odgovorima
    za pripremu za Jedinstveni državni ispit i druge oblike završnih i prijemnih ispita /komp.
    G.I.Kovaleva, T.I.Buzulina, O.L. Bezrukova, Yu.A. Rose. _ Volgograd: Učitelj, 20089, 494 str.
    Šabunin M.I. i dr. Algebra i počeci analize: Didaktički materijali za 10-11 razred. –
    3rd ed. – M.: Mnemosyne, 2000. – 251 str.: ilustr.

    Internet adrese
    www.fipi.ru – Federalni zavod za pedagoška mjerenja (FIPI). Obratite posebnu pažnju
    obratite pažnju na odjeljak "Otvoreni segment FBTZ" - ovo je sistem za pripremu za Jedinstveni državni ispit - online. Možete odgovarati na pitanja iz banke zadataka Jedinstvenog državnog ispita iz različitih predmeta, kao i
    odabranu temu.
    http://mathege.ru -Otvorena banka zadataka Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Glavni zadatak otvorene banke
    Zadaci objedinjenog državnog ispita iz matematike - dajte ideju koji će zadaci biti uključeni u opcije
    Jedinstveni državni ispit iz matematike 2010. i pomoć maturantima
    da vam pomognem da se pripremite za ispit. Ovdje možete pronaći sve ispite za Jedinstveni državni ispit
    matematike koja je već završena.
    http://egetrener.ru/ - matematika: video lekcije, rješavanje zadataka Jedinstvenog državnog ispita.
    http://ege-trener.ru/ - vrlo uzbudljiva i efikasna priprema za Jedinstveni državni ispit iz matematike.
    Registrirajte se i pokušajte ući u prvih 30!
    uztest.ru - besplatni materijali za pripremu za Jedinstveni državni ispit (i ne samo Jedinstveni državni ispit) iz matematike:
    interaktivni tematski simulatori, mogućnost upisa na besplatne on-line kurseve na
    priprema za Jedinstveni državni ispit.
    www.ege.edu.ru je zvanični informativni portal jedinstvenog državnog ispita.
    On-line video predavanja "Konsultacije o Jedinstvenom državnom ispitu" iz svih predmeta.
    Video snimci kategorije Jedinstvenog državnog ispita. Predavanja iz matematike
    http://www.alexlarin.narod.ru/ege.html - materijali za pripremu za Jedinstveni državni ispit iz matematike (web stranica
    Larin Aleksandar Aleksandrovič).
    http://www.diary.ru/~eek/ - zajednica koja pruža pomoć u rješavanju zadataka iz matematike,
    Ovdje možete preuzeti mnoge korisne knjige iz matematike, uključujući i one za pripremu za Jedinstveni državni ispit.
    http://4ege.ru/ - portal Jedinstvenog državnog ispita, sve najnovije za Jedinstveni državni ispit. Sve informacije o ispitu. Jedinstveni državni ispit 2010.