В элементарной геометрии прямоугольным треугольником называется фигура, состоящая из трёх отрезков соединённых в точках, с углами два из которых острые, а один прямой (то есть равен 90°). Прямоугольный треугольник характеризуется целым рядом важных свойств, многие из которых составляют основу тригонометрии (например, соотношения между его сторонами и углами). Еще со школьной скамьи все мы знаем, как вычислить площадь прямоугольного треугольника , а в повседневной жизни встречаемся с этой геометрической фигурой достаточно часто, порой даже не замечая этого. Достаточно широкое применение находит она в технике и поэтому такую задачу, как , часто приходится решать инженерам, конструкторам и архитекторам.

Зодчим определять эту величину требуется тогда, когда они проектируют здания с фронтонами, которые являются завершением фасадов и имеют треугольную форму ограниченную карнизом, а по бокам – скатами крыши. Нередко угол между скатами бывает прямой, и в таких случаях фронтон имеет форму прямоугольного треугольника. Определять его площадь требуется по той простой причине, что необходимо точно знать количество строительного материала, необходимого для его обустройства. Следует заметить, что фронтоны являются обязательными элементами малоэтажных строений (загородных домов, коттеджей, дач).

Нахождение площади прямоугольного треугольника

Формула расчёта площади прямоугольного треугольника

S ab

a - катет

b - катет

S - площадь прямоугольного треугольника

Форму прямоугольного треугольника имеют многие детали, из которых изготавливается современная мебель. Как известно, для того чтобы наиболее рационально использовать площадь помещений, все элементы обстановки должны размещаться в ней оптимальным образом. С пользой задействовать такие зоны, как углы, можно с помощью столов треугольной формы, столешницы которых в большинстве случаев представляют собой прямоугольные треугольники с катетами, вплотную прилегающими к стенам. При проектировании и расчете этих элементов конструкторы мебельного производства применяют формулу, по которой нахождение площади прямоугольного треугольника осуществляется на основе длины его сторон. Кроме того, им нередко приходится разрабатывать конструкции столиков, крепящихся непосредственно к стенам, в состав которых входят опорные элементы, также представляющие собой прямоугольные треугольники .

Строителям, занимающимся облицовочными работами, нередко в своей профессиональной деятельности приходится использовать керамическую плитку, имеющую форму прямоугольного треугольника с катетами одинаковой или различной длины. Им также приходится определять площадь этих элементов для того, чтобы выяснить необходимое их количество.

Форму прямоугольного треугольника имеет и такой важный и необходимый измерительный инструмент, как угольник. С его помощью производится построение и контроль прямых углов, а используется он очень широко и многими: от обычных школьников на уроках геометрии до конструкторов суперсовременной техники.

Треугольник – плоская геометрическая фигура с одним углом равным 90 °. При этом в геометрии очень часто требуется вычислить площадь такой фигуры. Как это сделать, мы расскажем далее.

Самая простая формула определения площади прямоугольного треугольника

Исходные данные, где: a и b – стороны треугольника, выходящие из прямого угла.

То есть, площадь равна половине произведения двух сторон, которые выходят из прямого угла. Конечно, существует формула Герона, используемая для вычисления площади обычного треугольника, но для определения величины необходимо знать длину трех сторон. Соответственно, вам придется рассчитать гипотенузу, а это лишнее время.

Найти площадь прямоугольного треугольника через формулу Герона

Это всем известная и исходная формула, но для этого вам придется посчитать гипотенузу по двум катетам, используя Теорему Пифагора.

В этой формуле: a, b, c – стороны треугольника, а p – полупериметр.

Найти площадь прямоугольного треугольника по гипотенузе и углу

Если в вашей задаче не известен ни один из катетов, то воспользоваться самым простым способом вы не сможете. Для определения величины вам нужно рассчитать длину катетов. Это сделать просто по гипотенузе и косинусу прилежащего угла.

b=c×cos(α)

Узнав длину одного из катетов, по теореме Пифагора вы сможете рассчитать вторую сторону, выходящую из прямого угла.

b 2 =c 2 -a 2

В этой формуле c и a – гипотенуза и катет соответственно. Теперь можете рассчитать площадь по первой формуле. Точно так же можно вычислить один из катетов, имея второй и угол. В таком случае одна из искомых сторон будет равна произведению катета на тангенс угла. Существуют и другие способы вычисления площади, но зная основные теоремы и правила, вы сможете легко найти искомую величину.

Если у вас нет ни одной из сторон треугольника, а имеется лишь медиана и один из углов, то вы сможете вычислить длину сторон. Для этого используйте свойства медианы делить прямоугольный треугольник на два. Соответственно, она может выступать гипотенузой, если выходит из острого угла. Воспользуйтесь теоремой Пифагора и определите длину сторон треугольника, выходящих из прямого угла.


Как видите, зная основные формулы и Теорему Пифагора, вы сможете рассчитать площадь прямоугольного треугольника, имея лишь один из углов и длину одной из сторон.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти несколькими способами. Прямой угол в составе любой фигуры добавляет ей свойств и это можно использовать для правильного и быстрого решения задач.

Прямоугольный треугольник

Для начала обсудим сам прямоугольный треугольник, его особенности и свойства. Прямоугольный треугольник это треугольник, в составе которого есть угол.

Прямоугольный треугольник не может быть тупоугольным, потому что тогда сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно.

В прямоугольном треугольнике две из трех высот совпадают со сторонами - катетами. По этой же причине точка пересечения высот прямоугольного треугольника совпадает с вершиной при прямом угле.

Рис. 1. Все высоты прямоугольного треугольника.

Эта же точка будет центром описанной окружности.

Площадь треугольника

Площадь треугольника обычно находится по стандартной формуле, как половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

$$S={1\over2}*a*h$$

Можно найти площадь как половину произведения сторон на синус угла между ними:

$$S={1\over2}*a*b*sin(g)$$

Существуют усложненные формулы нахождения площади, но они используются крайне редко.

Площадь прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника находится по тем же формулам, но в некоторых случаях эти формулы можно упростить.

Например, можно воспользоваться тем, что высоты в прямоугольном треугольнике совпадают с катетами. Тогда стандартная формула превратится в следующую:

$S={1\over2}*a*b$, где а и b это катеты прямоугольного треугольника.

Это одна из самых простых формул площади прямоугольного треугольника. Попробуем преобразовать вторую формулу.

$$S={1\over2}*a*b*sin(g)$$

Если вспомнить, что синус угла это отношение противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае, противолежащий катет обозначим за букву f, потому как а это прилежащий катет, а острый угол может быть заключен только между катетом и гипотенузой. Значит b это гипотенуза.

$S={1\over2}*a*b*sin(g)= {1\over2}*a*b*{f\over{b}}={1\over2}a*f$ - получается все та же формула.

Рис. 2. Рисунок к выводу.

Значит, первый вывод мы осуществили правильно, а у прямоугольного треугольника есть только одна специальная формула для нахождения площади. Если она не подойдет можно воспользоваться общими формулами. Это и есть два возможных пути расчета площади.

Например, если по условию задачи известна гипотенуза, то можно попробовать найти высоту, падающую на гипотенузу и определить площадь по общей формуле. По тому же принципу можно найти площадь через синус, если известны гипотенузы и катет.

Рис. 3. Высота, проведенная к гипотенузе.

Главное помнить, что у любой задачи всегда есть 3 решения и решать каждую наиболее удобным способом.

Что мы узнали?

Мы поговорили о прямоугольных треугольниках и вывели формулу площади прямоугольного треугольника через катеты. Обсудили общие формулы площади треугольников и сказали, что каждая из этих формул подойдет для решения прямоугольного треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.5 . Всего получено оценок: 115.

Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого один из углов равняется 90°. Его площадь можно найти, если известны два катета. Можно, конечно, пойти и длинным путем – найти гипотенузу и просчитать площадь по , но в большинстве случаев это только займет лишнее время. Именно поэтому формула площади прямоугольного треугольника выглядит так:

Площадь прямоугольного треугольника равняется половине произведения катетов.

Пример расчета площади прямоугольного треугольника.
Дан прямоугольный треугольник с катетами a = 8 см, b = 6 см.
Вычисляем площадь:
Площадь равна: 24 см 2

Также в прямоугольном треугольнике применяется теорема Пифагора. – сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы.
Формула площади равнобедренного прямоугольного треугольника вычисляется также как и обычного прямоугольного треугольника.

Пример расчета площади равнобедренного прямоугольного треугольника:
Дан треугольник с катетами a = 4 см, b = 4 см. Вычисляем площадь:
Вычисляем площадь:=8 см 2

Формула площади прямоугольного треугольника по гипотенузе может использоваться, если в условии дан один катет. Из теоремы Пифагора находим длину неизвестного катета. К примеру, дана гипотенуза c и катет a , катет b будет равен:
Далее вычисляем площадь по обычной формуле. Пример расчета формулы площади прямоугольного треугольника по гипотенузе идентичен описанному выше.

Рассмотрим интересную задачу, которая поможет закрепить знания формул для решения треугольника.
Задача : площадь прямоугольного треугольника равняется 180 кв. см. найдите меньший катет треугольника, если он меньше второго на 31 см.
Решение : обозначим катеты a и b . Теперь подставим данные в формулу площади:, еще мы знаем, что один катет меньше другого a – b = 31 см
Из первого условия получаем, что
Подставляем данное условие во второе уравнение:

Так как мы находили стороны, то знак минус убираем.
Получается, что катет a = 40 см, а b = 9 см.