Событие – это результат испытания. Что такое событие? Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие. В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух. Да, оно произошло. Нет, оно не произошло. Возможный исход эксперимента, называется элементарным событием, а множество таких исходов называется просто событием.


Непредсказуемые события называются случайными. Событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. При бросании кубика выпадет шестерка. У меня есть лотерейный билет. После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня событие – выигрыш тысячи рублей, либо происходит, либо не происходит. Пример.


Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называются совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - несовместные. Пример.


Событие, которое происходит всегда, называют достоверным. Событие, которое не может произойти, называется невозможным. Пусть, например, из урны, содержащей только черные шары, вынимают шар. Тогда появление черного шара – достоверное событие; появление белого шара – невозможное событие. Примеры. В следующем году снег не выпадет. При бросании кубика выпадет семерка. Это невозможные события. В следующем году снег выпадет. При бросании кубика выпадет число, меньше семи. Ежедневный восход солнца. Это достоверные события.


Решение задач Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным. 1.Из 25 учащихся класса двое справляют день рождения а) 30 января; б) 30 февраля. 2. Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается: а) с буквы «К»; б) с буквы «Ъ».


3. Сегодня в Сочи барометр показывает нормальное атмосферное давление. При этом: а) вода в кастрюле закипела при температуре 80º С; б) когда температура упала до -5º С, вода в луже замёрзла. 4. Бросают две игральные кости: а) на первой кости выпало 3 очка, а на второй – 5 очков; б) сумма выпавших на двух костях очков равна 1; в) сумма выпавших на двух костях очков равна 13; г) на обеих костях выпало по 3 очка; д) сумма очков на двух костях меньше 15. Решение задач


5. Вы открыли книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что: а) в написании выбранного слова есть гласная буква; б) в написании выбранного слова есть буква «О»; в) в написании выбранного слова нет гласных букв; г) в написании выбранного слова есть мягкий знак. Решение задач

5 класс. Введение в вероятность (4 ч.)

(разработка 4х уроков по этой теме)

Учебные цели : - ввести определение случайного, достоверного и невозможного события;

Вести первые представления о решении комбинаторных задач: с помощью дерева вариантов и с помощью правила умножения.

Воспитательная цель: развитие мировоззрения учащихся.

Развивающая цель : развитие пространственного воображения, совершенствование навыка работы с линейкой.

    Достоверные, невозможные и случайные события (2ч.)

    Комбинаторные задачи (2ч.)

Достоверные, невозможные и случайные события.

Первый урок

Оборудование урока: игральный кубик, монета, нарды.

Наша жизнь во многом состоит из случайностей. Существует такая наука «Теория вероятностей». Пользуясь ее языком, можно описать многие явления и ситуации.

Еще первобытный вождь понимал, что у десятка охотников «вероятность» поразить копьем зубра больше, чем у одного. Поэтому и охотились тогда коллективно.

Такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали не только на доблесть и искусство воинов, но и на случай.

Математику многие любят за вечные истины дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон и т. д. В любой задаче, которую вы решали, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе в течение ближайшего часа захотят позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными .

Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орел» выпадет приблизительно в половине случаев, чего нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. «Приблизительно» не означает половину. Это, как правило, может быть так, а может и не быть. Закон вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет. Такие закономерности изучает специальный раздел математики – Теория вероятностей . С ее помощью можно с большей степенью уверенности (но все равно не наверняка) предсказать и дату выпадения первого снега, и количество телефонных звонков.

Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает нам замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, нарды, рулетка или даже колода карт. Каждый из этих предметов так или иначе связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее частом виде. И первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш.

Современная теория вероятностей ушла от азартных игр, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Поупражнявшись с рулеткой и кубиком, вы научитесь вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать оптимальные решения не только в играх и лотереях.

Решая вероятностные задачи, будьте очень внимательны, старайтесь обосновывать каждый свой шаг, ибо никакая другая область математики не содержит такое количество парадоксов. Как теория вероятностей. И пожалуй главное объяснение этому - ее связь с реальным миром, в котором мы живем.

Во многих играх используют кубик, у которого на каждой грани отмечено различное количество точек от 1 до 6. Играющий бросает кубик, смотрит, сколько точек выпало (на той грани, которая располагается сверху), и делает соответствующее число ходов:1,2,3,4,5, или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – событием. Людям обычно очень интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Первое предсказание: выпадет одна из цифр 1,2,3,4,5, или 6.Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, обязательно наступит. Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Второе предсказание : выпадет цифра 7. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно не наступит, это просто невозможно. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

Третье предсказание : выпадет цифра 1. Как вы думаете, предсказанное событие наступи или нет? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку предсказанное событие может наступить, а может и не наступить. Событие, которое в данном опыте может наступить, а может и не наступить, называют случайным событием.

Задание : охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных ниже заданиях. Как достоверные, невозможные или случайные.

    Подбрасываем монету. Появился герб. (случайное)

    Охотник стрелял в волка и попал. (случайное)

    Школьник каждый вечер выходит на прогулку. Во время прогулки, в понедельник, он встретил трех знакомых. (случайное)

    Проведем мысленно следующий эксперимент: стакан с водой перевернем вверх дном. Если этот эксперимент проводить не в космосе, а дома или в классе, то вода выльется. (достоверное)

    Произведено три выстрела по мишени». Произошло пять попаданий» (невозможное)

    Бросаем камень вверх. Камень остается висеть в воздухе. (невозможное)

    Буквы слова «антагонизм» наугад переставляем. Получится слово «анахроизм». (невозможное)

№959. Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:

а) задумано четное число; (случайное) б) задумано нечетное число; (случайное)

в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; (невозможное)

г) задумано число, являющееся четным или нечетным. (достоверное)

№ 961. Петя и толя сравнивают свои дни рождения. Событие состоит в следующем:

а) их дни рождения не совпадают; (случайное) б) их дни рождения совпадают; (случайное)

г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год(1 января) и День независимости России(12 июня). (случайное)

№ 962. При игре в нарды используют два игральных кубика. Число ходов, которые делает участник игры, определяется сложением цифр на двух выпавших гранях кубика, а если выпадает «дубль» (1+1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6),то число ходов удваивается. Вы бросаете кубики и вычисляете, сколько ходов вам предстоит сделать. Событие состоит в следующем:

а) вы должны сделать один ход; б) вы должны сделать 7 ходов;

в) вы должны сделать 24 хода; г) вы должны сделать 13 ходов.

а) – невозможное (1 ход можно сделать, если выпадет комбинация 1 + 0, но числа 0 на кубиках нет).

б) – случайное (если выпадет 1 + 6 или 2 + 5).

в) – случайное (если выпадет комбинация 6 +6).

г) – невозможное (не существует комбинаций чисел от 1 до 6, сумма которых равна 13; это число не может получиться и при выпадении «дубля», т.к. оно нечетное).

Проверь себя. (математический диктант)

1)Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие – достоверные, какие – случайные:

    Футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью. (случайное)

    Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее (достоверное)

    В полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце. (невозможное)

    Завтра будет контрольная по математике. (случайное)

    Вас изберут президентом США. (невозможное)

    Вас изберут президентом России. (случайное)

2)Вы купили в магазине телевизор, на который фирма – производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:

    Телевизор не сломается в течение года. (случайное)

    Телевизор не сломается в течение двух лет. (случайное)

    В течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора. (достоверное)

    Телевизор сломается на третий год. (случайное)

3)Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:

    Все пассажиры выйдут из автобуса на разных остановках. (невозможное)

    Все пассажиры выйдут на одной остановке. (случайное)

    На каждой остановке хоть кто- то выйдет. (случайное)

    Найдется остановка, на которой никто не выйдет. (случайное)

    На всех остановках выйдет четное число пассажиров. (невозможное)

    На всех остановках выйдет нечетное число пассажиров. (невозможное)

Домашнее задание : п. 53 №960, 963, 965 (придумайте сами по два достоверных, случайных и невозможных события).

Второй урок.

    Проверка домашнего задания. (устно)

а) Объясните, что такое достоверное, случайное и невозможное события.

б) Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое – невозможное, какое –случайное:

    Летних каникул не будет. (невозможное)

    Бутерброд упадет маслом вниз. (случайное)

    Учебный год когда – нибудь закончится. (достоверное)

    Меня завтра спросят на уроке. (случайное)

    Мне сегодня встретится черная кошка. (случайное)

№ 960. Вы открыли этот учебник на любой странице и выбрали первое попавшееся существительное. Событие состоит в следующем:

а) в написании выбранного слова есть гласная буква. ((достоверное)

б) в написании выбранного слова есть буква «о». (случайное)

в) в написании выбранного слова нет гласных букв. (невозможное)

г) в написании выбранного слова есть мягкий знак. (случайное)

№ 963. Вы снова играете в нарды. Охарактеризуйте следующее событие:

а) игрок должен сделать не более двух ходов. (невозможное – при комбинации наименьших чисел 1 + 1 игрок делает 4 хода; комбинация 1 + 2 дает 3 хода; все остальные комбинации дают более 3 ходов)

б) игрок должен сделать более двух ходов. (достоверное – любая комбинация дает 3 или более ходов)

в) игрок должен сделать не более 24 ходов. (достоверное – комбинация наибольших чисел 6 + 6 дает 24 хода, а все остальные – менее 24 ходов)

г) игрок должен сделать двузначное число ходов. (случайное –например, комбинация 2 + 3 дает однозначное число ходов: 5, а выпадение двух четверок – двузначное число ходов)

2. Решение задач.

№ 964. В мешке лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие:

а) из мешка вынули 4 шара, и все они синие; (невозможное)

б) из мешка вынули 4 шара, и все они красные; (случайное)

в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета; (невозможное)

г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета. (достоверное)

Задача 1 . В коробке лежит 10 красных, 1 зеленая и 2 синих ручки. Из коробки наугад вынимают два предмета. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие –достоверные:

а) вынуты две красные ручки (случайное)

б) вынуты две зеленые ручки; (невозможное)

в) вынуты две синие ручки; (случайное)

г) вынуты ручки двух разных цветов; (случайное)

д) вынуты две ручки; (достоверное)

е) вынуты два карандаша. (невозможное)

Задача 2. Винни –Пух, Пятачок и все – все –все садятся за круглый стол праздновать день рождения. При каком количестве всех – всех –всех событие «Винни Пух и Пятачок будут сидеть рядом»является достоверным, а при каком – случайным?

(если всех – всех –всех всего 1, то событие достоверное, если больше 1, то – случайное).

Задача 3. Среди 100 билетов благотворительной лотереи 20 выигрышных Сколько билетов вам надо купить, чтобы событие «вы ничего не выиграете» было невозможным?

Задача 4. В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек. Какие из следующих событий являются для такого класса невозможными, какие –случайными, какие – достоверными

    В классе есть два человека, родившиеся в разные месяцы. (случайное)

    В классе есть два человека, родившиеся в одном месяце. (достоверное)

    В классе есть два мальчика, родившихся в одном месяце. (случайное)

    В классе есть две девочки, родившиеся в одном месяце. (достоверное)

    Все мальчики родились в разные месяцы. (достоверное)

    Все девочки родились в разные месяцы. (случайное)

    Есть мальчик и девочка, родившиеся в одном месяце. (случайное)

    Есть мальчик и девочка, родившиеся в разные месяцы. (случайное)

Задача 5. В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад 4 шара. Рассмотрим событие «Среди вынутых шаров окажутся шары ровно М цветов». Для каждого М от 1 до 4 определите, какое это событие – невозможное, достоверное или случайное, и заполните таблицу:

Самостоятельная работа.

I вариант

а) число дня рождения вашего друга меньше 32;

в) завтра будет контрольная по математике;

г) В следующем году первый снег в Москве выпадет в воскресенье.

    Бросают игральный кубик. Охарактеризуйте событие:

а) кубик, упав, встанет на ребро;

б) выпадет одно из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

в) выпадет число 6;

г) выпадет число, кратное 7.

    В коробке лежат 3 красных, 3 желтых и 3 зеленых шара. Охарактеризуйте событие:

а) все вынутые шары одного цвета;

б) все вынутые шары разных цветов;

в) среди вынутых шаров есть шары разных цветов;

с) среди вынутых шаров есть красный, желтый и зеленый шар.

II вариант

    Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное:

а) свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз;

б) в Москве в полночь выпадет снег, а через 24 ч. Будет светить солнце;

в) вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

г) в следующем году в мае раздастся весенний первый гром.

    На карточках записаны все двузначные числа. Наугад выбирают одну карточку. Охарактеризуйте событие:

а) на карточке оказался нуль;

б) на карточке оказалось число, кратное 5;

в) на карточке оказалось число, кратное 100;

г) на карточке оказалось число, большее 9 и меньшее 100.

    В коробке лежат 10 красных, 1 зеленая и 2 синих ручки. Из коробки наугад вынимают два предмета. Охарактеризуйте событие:

а) вынуты две синие ручки;

б) вынуты две красные ручки;

в) вынуты две зеленые ручки;

г) вынуты зеленая и черная ручки.

Домашнее задание: 1). Придумать по два достоверных, случайных и невозможных события.

2). Задача . В коробке 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара. Вытаскиваем наугад N шаров. Рассмотрим событие «среди вынутых шаров окажутся шары ровно трех цветов». Для каждого N от 1 до 9 определите, какое это событие – невозможное, достоверное или случайное, и заполните таблицу:

Комбинаторные задачи.

Первый урок

    Проверка домашнего задания. (устно)

а) проверяем задачи, которые придумали учащиеся.

б)дополнительную задачу.

    Читаю отрывок из книги В. Левшина «Три дня в Карликании».

«Сначала под звуки плавного вальса числа образовали группу: 1+ 3 + 4 + 2 = 10. Потом юные фигуристы стали меняться местами, образуя все новые и новые группы: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 и т. д.

Так продолжалось до тех пор, пока конькобежцы не вернулись к исходному положению».

Сколько раз они поменялись местами?

Сегодня на уроке мы с вами научимся решать такие задачи. Они называются комбинаторными.

3. Изучение нового материала.

Задача 1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3?

Решение: 11, 12, 13

31, 32, 33. Всего 9 чисел.

При решении этой задачи мы осуществили перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят в этих случаях. Всех возможных комбинаций. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными. Просчитывать возможные (или невозможные) варианты в жизни приходится довольно часто, поэтому полезно познакомиться с комбинаторными задачами.

№ 967. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?

Решение. Предположим, что первая полоса – белая. Тогда вторая полоса может быть синей или красной, а третья полоса соответственно, красной или синей. Получилось два варианта: белая, синяя, красная или белая, красная, синяя.

Пусть теперь первая полоса синего цвета, тогда опять получим два варианта: белая, красная, синяя или синяя, красная, белая.

Пусть первая полоса красного цвета, тогда еще два варианта: красная, белая, синяя или красная, синяя, белая.

Всего получилось 6 возможных вариантов. Такой флаг могут использовать 6 стран.

Итак, при решении этой задачи мы искали способ перебора возможных вариантов. Во многих случаях оказывается полезным прием построения картинки – схемы перебора вариантов. Это, во – первых, наглядно, во- вторых, позволяет нам все учесть, ничего не пропустить.

Эту схему еще называют деревом возможных вариантов.

Первая полоса

Вторая полоса

Третья полоса

Полученная комбинация

№ 968. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 4, 6, 8?

Решение. У интересующих нас двузначных чисел на первом месте может находиться любая из заданных цифр, кроме 0. Если на первое место мы поставим цифру 2, то на втором месте может находиться любая из заданных цифр. Получится пять двузначных чисел: 2.,22, 24, 26, 28. Точно так же будет пять двузначных чисел с первой цифрой 4, пять двузначных чисел с первой цифрой 6 и пять двузначных чисел с первой цифрой 8.

Ответ: всего получится 20 чисел.

Построим дерево возможных вариантов для решения этой задачи.

Двузначные числа

Первая цифра

Вторая цифра

Полученные числа

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

С помощью построения дерева возможных вариантов решите следующие задачи.

№ 971. Руководство некоторой страны решило сделать свой государственный флаг таким: на одноцветном прямоугольном фоне в одном из углов помещается круг другого цвета. Цвета решено выбрать из трех возможных: красный, желтый, зеленый. Сколько вариантов такого флага

существует? На рисунке представлены некоторые из возможных вариантов.

Ответ: 24 варианта.

№ 973. а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3, 5,? (27 чисел)

б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3, 5 при условии, что цифры не должны повторяться? (6 чисел)

№ 979. Современные пятиборцы в течение двух дней участвуют в соревновании по пяти видам спорта: конкур, фехтование, плавание, стрельба, бег.

а) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования? (120 вариантов)

б) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег? (24 варианта)

в) Сколько существует вариантов порядка прохождения видов соревнования, если известно, что последним видом должен быть бег, а первым – конкур? (6 вариантов)

№ 981. В двух урнах имеется по пять шаров в каждой пяти различных цветов: белого, синего, красного, желтого, зеленого. Из каждой урны одновременно вынимается по одному шару.

а) сколько всего существует различных комбинаций вынутых шаров (комбинации типа «белый – красный» и «красный – белый» считаются одинаковыми)?

(15 комбинаций)

б) Сколько существует комбинаций, при которых вынутые шары одного цвета?

(5 комбинаций)

в) сколько существует комбинаций, при которых вынутые шары разных цветов?

(15 – 5 = 10 комбинаций)

Домашнее задание: п. 54, № 969, 972 , придумать самим комбинаторную задачу.

№ 969. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех вертикальных полос одинаковой ширины разных цветов: зеленого, черного, желтого. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?

№ 972. а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что цифры не должны повторяться?

Второй урок

    Проверка домашнего задания. а) № 969 и № 972а) и № 972б) – на доске построить дерево возможных вариантов.

б) устно проверяем составленные задачи.

    Решение задач .

Итак, до этого мы с вами научились решать комбинаторные задачи с помощью дерева вариантов. Это хороший способ? Наверное, да, но очень громоздкий. Давайте попробуем домашнюю задачу № 972 решить по -другому. Кто догадается, как это можно сделать?

Ответ: на каждый из пяти цветов футболок приходится 4 цвета трусов. Всего: 4 * 5 = 20 вариантов.

№ 980. В урнах имеется по пять шаров в каждой пяти различных цветов: белого, синего, красного, желтого, зеленого. Из каждой урны одновременно вынимается по одному шару. Охарактеризуйте указанное ниже событие как достоверное, случайное или невозможное:

а) вынутые шары разного цвета; (случайное)

б) вынутые шары одного цвета; (случайное)

в) вынуты черный и белый шары; (невозможное)

г) вынуты два шара, причем оба оказались окрашены в один из следующих цветов: белый, синий, красный, желтый, зеленый. (достоверное)

№ 982. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком. Сколько вариантов похода могут выбрать туристы? Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?

(12 вариантов маршрута, из них 8 – с использованием велосипедов)

Самостоятельная работа.

1 вариант

    а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 3, 5, 7?

б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр: 0, 1, 3, 5, 7, при условии, что цифры не должны повторяться?

    У Атоса, Портоса и Арамиса есть только шпага, кинжал и пистолет.

а) Сколькими способами можно вооружить мушкетеров?

б) Сколько существует вариантов вооружения, если шпагой должен владеть Арамис?

в) Сколько существует вариантов вооружения, если шпагой должен владеть Арамис, а пистолетом – Портос?

    Вороне где – то бог послал кусочек сыра, а также брынзы, колбасы, белого и черного хлеба. На ель ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж собралась, да призадумалась: сколькими способами можно составить бутерброды из этих продуктов?

2 вариант

    а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр: 0, 2, 4, 6, 8?

б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр: 0, 2, 4, 6, 8 при условии, что цифры не должны повторяться?

    Граф Монте – Кристо решил подарить принцессе Гайдэ серьги, ожерелье и браслет. Каждое украшение должно содержать драгоценные камни одного из видов: алмазы, рубины или гранаты.

а) Сколько существует вариантов сочетания украшений из драгоценных камней?

б) Сколько существует вариантов украшений, если серьги должны быть алмазными?

в) Сколько существует вариантов украшений, если серьги должны быть алмазными, а браслет гранатовым?

    На завтрак можно выбрать плюшку, бутерброд или пряник с кофе или кефиром. Сколько вариантов завтрака можно составить?

Домашнее задание : № 974, 975. (составлением дерева вариантов и с помощью правила умножения)

№ 974 . а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4?

б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4 при условии, что цифры не должны повторяться?

№ 975 . а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3, 5,7?

б) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3, 5,7 при условии. Что цифры не должны повторяться?

Номера задач взяты из учебника

«Математика-5», И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович, 2004 год.

Теория вероятности, как и любой раздел математики, оперирует определённым кругом понятий. Большинству понятий теории вероятностей даются определение, но некоторые принимаются за первичные, не определяемые, как в геометрии точка, прямая, плоскость. Первичным понятием теории вероятностей является событие. Под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух:

  • · Да, оно произошло.
  • · Нет, оно не произошло.

Например, у меня есть лотерейный билет. После опубликования результатов розыгрыша лотереи интересующее меня событие - выигрыш тысячи рублей либо происходит, либо не происходит. Любое событие происходит вследствие испытания (или опыта). Под испытанием (или опытом) понимают те условия, в результате которых происходит событие. Например, подбрасывание монеты - испытание, а появление на ней «герба» - событие. Событие принято обозначать заглавными латинскими буквами: A,B,C,… . События в материальном мире можно разбить на три категории - достоверные, невозможные и случайные.

Достоверное событие - это такое событие, о котором заранее известно, что оно произойдёт. Его обозначают буквой W. Так, достоверным является выпадение не более шести очков при бросании обычной игральной кости, появление белого шара при извлечении из урны, содержащей только белые шары, и т.п.

Невозможное событие - это событие, о котором заранее известно, что оно не произойдёт. Его обозначают буквой E. Примерами невозможных событий являются извлечение более четырёх тузов из обычной карточной колоды, появление красного шара из урны, содержащей лишь белые и чёрные шары, и т.п.

Случайное событие - это событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания. События А и В называют несовместными, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Так появление любого возможного числа очков при бросании игральной кости (событие А) несовместно с появлением иного числа (событие В). Выпадение чётного числа очков несовместно с выпадением нечётного числа. Наоборот, выпадение чётного очков (событие А) и числа очков, кратного трём (событие В),не будут несовместными, ибо выпадение шести очков означает наступление и события А, и события В, так что наступление одного из них не исключает наступление другого. С событиями можно совершать операции. Объединением двух событий С=АUВ называется событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий А и В. Пересечением двух событий D=A?? В называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события и А и В.

Тема урока: «Случайные, достоверные и невозможные события»

Место урока в учебном плане: «Комбинаторика. Случайные события» урок 5/8

Тип урока: Урок формирования новых знаний

Цели урока:

Образовательные:

o ввести определение случайного, достоверного и невозможного события;

o научить в процессе реальной ситуации определять термины теории вероятностей: достоверные, невозможные, равновероятностные события;

Развивающие:

o способствовать развитию логического мышления,

o познавательного интереса учащихся,

o умения сравнивать и анализировать,

Воспитательные:

o воспитание интереса к изучению математики,

o развитие мировоззрения учащихся.

o владение интеллектуальными умениями и мыслительными операциями;

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, математический диктант.

УМК: Математика: учебник для 6 кл. под редакцией, и др., изд-во «Просвещение», 2008 г., Математика, 5-6: кн. для учителя / [, [ , ]. - М. : Просвещение, 2006.

Дидактический материал: плакаты на доску.

Литература:

1. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ , и др.]; под ред. , ; Рос. акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». - 10-е изд. - М. : Просвещение, 2008.-302 с.: ил. - (Академический школь­ный учебник).

2. Математика, 5-б: кн. для учителя / [, ]. - М. : Просвещение, 2006. - 191 с. : ил.

4. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 классы. / авт.- сост. . Изд. 2-е, испр. - Волгоград: Учитель, 2006. -428 с.

5. Уроки математики с применением информационных технологий . 5-10 классы. Методическое - пособие с электронным приложением / и др. 2-е изд., стереотип. - М.: Издательство «Глобус», 2010. - 266 с. (Coвременная школа).

6. Преподавание математики в современной школе. Методические рекомендации. Владивосток: Издательство ПИППКРО, 2003.

ПЛАН УРОКА

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

III. Изучение нового материала.

IV. Формирование умений и навыков.

V. Итоги урока.

V. Домашнее задание.

ХОД УРОКА

1. Оргмомент

2. Актуализация знаний

15*(-100)

Устная работа:

3. Объяснение нового материала

Учитель: Наша жизнь во многом состоит из случайностей. Существует такая наука «Теория вероятностей». Пользуясь ее языком, можно описать многие явления и ситуации.

Такие древние полководцы, как Александр Македонский или Дмитрий Донской, готовясь к сражению, уповали не только на доблесть и искусство воинов, но и на случай.

Математику многие любят за вечные истины дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон и т. д. В любой задачах, которые вы решали, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Реальная жизнь не так проста и однозначна. Исходы многих явлений заранее предсказать невозможно. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет подброшенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в городе в течение ближайшего часа захотят позвонить по телефону. Такие непредсказуемые явления называются случайными .

Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений. Если подбросить монету 1000 раз, то «орел» выпадет приблизительно в половине случаев, чего нельзя сказать о двух или даже десяти бросаниях. «Приблизительно» не означает половину. Это, как правило, может быть так, а может и не быть. Закон вообще ничего не утверждает наверняка, но дает определенную степень уверенности в том, что некоторое случайное событие произойдет.

Такие закономерности изучает специальный раздел математики – Теория вероятностей . С ее помощью можно с большей степенью уверенности (но все равно не наверняка) предсказать и дату выпадения первого снега, и количество телефонных звонков.

Теория вероятностей неразрывно связана с нашей повседневной жизнью. Это дает нам замечательную возможность установить многие вероятностные законы опытным путем, многократно повторяя случайные эксперименты. Материалами для этих экспериментов чаще всего будут обыкновенная монета, игральный кубик, набор домино, нарды, рулетка или даже колода карт. Каждый из этих предметов, так или иначе, связан с играми. Дело в том, что случай здесь предстает в наиболее частом виде. И первые вероятностные задачи были связаны с оценкой шансов игроков на выигрыш.

Современная теория вероятностей ушла от азартных игр, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая. Поупражнявшись с рулеткой и кубиком, вы научитесь вычислять вероятность случайных событий в реальных жизненных ситуациях, что позволит вам оценивать свои шансы на успех, проверять гипотезы, принимать оптимальные решения не только в играх и лотереях.

Решая вероятностные задачи, будьте очень внимательны, старайтесь обосновывать каждый свой шаг, ибо никакая другая область математики не содержит такое количество парадоксов. Как теория вероятностей. И, пожалуй, главное объяснение этому - ее связь с реальным миром, в котором мы живем.

Во многих играх используют кубик, у которого на каждой грани отмечено различное количество точек от 1 до 6. Играющий бросает кубик, смотрит, сколько точек выпало (на той грани, которая располагается сверху), и делает соответствующее число ходов:1,2,3,4,5, или 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – событием. Людям обычно очень интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик?

Первое предсказание: выпадет одна из цифр 1,2,3,4,5, или 6.Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно, обязательно наступит.

Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Второе предсказание : выпадет цифра 7. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? Конечно не наступит, это просто невозможно.

Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

Третье предсказание : выпадет цифра 1. Как вы думаете, предсказанное событие наступит или нет? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку предсказанное событие может наступить, а может и не наступить.

События, которые в одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти, называются случайными .

Пример. В коробке лежат 5 конфет в синей обертке и одна в белой. Не глядя в коробку, наугад вынимают одну конфету. Можно ли сказать заранее, какого она будет цвета?

Задание : охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных ниже заданиях. Как достоверные, невозможные или случайные.

1. Подбрасываем монету. Появился герб. (случайное)

2. Охотник стрелял в волка и попал. (случайное)

3. Школьник каждый вечер выходит на прогулку. Во время прогулки, в понедельник, он встретил трех знакомых. (случайное)

4. Проведем мысленно следующий эксперимент: стакан с водой перевернем вверх дном. Если этот эксперимент проводить не в космосе, а дома или в классе, то вода выльется. (достоверное)

5. Произведено три выстрела по мишени». Произошло пять попаданий» (невозможное)

6. Бросаем камень вверх. Камень остается висеть в воздухе. (невозможное)

Пример Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:

а) задумано четное число; (случайное)

б) задумано нечетное число; (случайное)

в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; (невозможное)

г) задумано число, являющееся четным или нечетным. (достоверное)

События, которые при данных условиях имеют равные шансы, называются равновероятными .

Случайные события, которые имеют равные шансы, называют равновозможными или равновероятными .

Поместить на доску плакат.

На устном экзамене уче­ник берет один из разложенных перед ним билетов. Шансы взять любой из экзаменационных билетов равны. Равновероятным явля­ется выпадение любого числа очков от 1 до 6 при бросании играль­ного кубика, а также «орла» или «решки» при бросании монеты.

Но не все события являются равновозможными . Может не за­звонить будильник, перегореть лампочка, сломаться автобус, но в обычных условиях такие события маловероятны. Более вероятно, что будильник зазвонит, лампочка загорится, автобус поедет.

У одних событий шансов произойти больше, значит, они более вероятны - ближе к достоверным. А у других шансов меньше, они менее вероятны - ближе к невозможным.

У невозможных событий нет никаких шансов произойти, а до­стоверные события имеют все шансы произойти, при определенных условиях они произойдут обязательно.

Пример Петя и Коля сравнивают свои дни рождения. Событие состоит в следующем:

а) их дни рождения не совпадают; (случайное)

б) их дни рождения совпадают; (случайное)

г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год (1 января) и День независимости России (12 июня). (случайное)

3.Формирование умений и навыков

Задача из учебника № 000. Какие из перечисленных ниже случайных событий достоверные, воз­можные:

а) черепаха научится говорить;

б) вода в чайнике, стоящем на плите, закипит;

г) вы выиграете, участвуя в лотерее;

д) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;

е) вы проиграете партию в шахматы;

ж) вы завтра встретите инопланетянина;

з) на следующей неделе испортится погода; и) вы нажали на звонок, а он не зазвонил; к) сегодня - четверг;

л) после четверга будет пятница; м) после пятницы будет четверг?

В коробках лежат 2 красных, I желтый и 4 зеленых шара. Из коробки наугад вынимают три шара. Какие из следующих событий невозможные, случайные, достоверные:

А: будут вытянуты три зеленых шара;

В: будут вытянуты три красных шара;

С: будут вытянуты шары двух цветов;

D: будут вытянуты шары одного цвета;

Е: среди вытянутых шаров есть синий;

F: среди вытянутых есть шары трех цветов;

G: среди вытянутых есть два желтых шара?

Проверь себя. (математический диктант)

1)Укажите, какие из следующих событий невозможные, какие – достоверные, какие – случайные:

· Футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью (случайное)

· Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее (достоверное)

· В полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце (невозможное)

· Завтра будет контрольная по математике. (случайное)

· Вас изберут президентом США. (невозможное)

· Вас изберут президентом России. (случайное)

2) Вы купили в магазине телевизор, на который фирма – производитель дает два года гарантии. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:

· Телевизор не сломается в течение года. (случайное)

· Телевизор не сломается в течение двух лет. (случайное)

· В течение двух лет вам не придется платить за ремонт телевизора. (достоверное)

· Телевизор сломается на третий год. (случайное)

3)Автобусу, в котором едет 15 пассажиров, предстоит сделать 10 остановок. Какие из следующих событий невозможные, какие – случайные, какие – достоверные:

· Все пассажиры выйдут из автобуса на разных остановках. (невозможное)

· Все пассажиры выйдут на одной остановке. (случайное)

· На каждой остановке хоть кто - то выйдет. (случайное)

· Найдется остановка, на которой никто не выйдет. (случайное)

· На всех остановках выйдет четное число пассажиров. (невозможное)

· На всех остановках выйдет нечетное число пассажиров. (невозможное)

Итоги урока

Вопросы учащимся:

Какие события называются случайными?

Какие события называются равновероятными?

Какие события называются достоверными? невозможными?

Какие события называются более вероятными? менее вероятными?

Домашнее задание : п. 9.3

№ 000. Придумайте по три примера достоверных, невозможных событий, а также событий, о которых нельзя сказать, что они обязательно произойдут.

902. В коробке лежат 10 красных, 1 зеленая и 2 синие ручки. Из коробки наугад вынимают две ручки. Какие из следующих событий невозможные, достоверные:

А: будут вынуты две красные ручки; В: будут вынуты две зеленые ручки; С: будут вынуты две синие ручки; D: будут вынуты две ручки разных цветов;

Е: будут вынуты два карандаша? 03. Егор и Данила договорились: если стрелка вертушки (рис. 205) остановится на белом поле, то забор будет красить Егор, а если на голубом поле - Данила. У кого из мальчиков больше шансов красить забор?