Το περιεχόμενο του άρθρου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ,ένας κλάδος των μαθηματικών που παρέχει μεθόδους για την ποσοτική μελέτη διαφόρων διαδικασιών αλλαγής. ασχολείται με τη μελέτη του ρυθμού μεταβολής (διαφορικός λογισμός) και τον προσδιορισμό των μηκών των καμπυλών, των εμβαδών και των όγκων των σχημάτων που οριοθετούνται από καμπύλα περιγράμματα και επιφάνειες (ολοκληρωτικός λογισμός). Είναι χαρακτηριστικό για τα προβλήματα μαθηματικής ανάλυσης ότι η επίλυσή τους συνδέεται με την έννοια του ορίου.

Η αρχή της μαθηματικής ανάλυσης τέθηκε το 1665 από τον I. Newton και (γύρω στο 1675) ανεξάρτητα από τον G. Leibniz, αν και σημαντική προπαρασκευαστική εργασία πραγματοποιήθηκε από τους I. Kepler (1571–1630), F. Cavalieri (1598–1647), P. Fermat (1601– 1665), J. Wallis (1616–1703) και I. Barrow (1630–1677).

Για να γίνει πιο ζωντανή η παρουσίαση, θα καταφύγουμε στη γλώσσα των γραφικών. Επομένως, μπορεί να είναι χρήσιμο για τον αναγνώστη να εξετάσει το άρθρο ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ πριν αρχίσει να διαβάζει αυτό το άρθρο.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Εφαπτόμενες.

Στο Σχ. Το 1 δείχνει ένα τμήμα της καμπύλης y = 2Χ – Χ 2, που περικλείεται μεταξύ Χ= –1 και Χ= 3. Αρκετά μικρά τμήματα αυτής της καμπύλης φαίνονται ευθεία. Με άλλα λόγια, αν Rείναι ένα αυθαίρετο σημείο αυτής της καμπύλης, τότε υπάρχει μια ορισμένη ευθεία γραμμή που διέρχεται από αυτό το σημείο και η οποία είναι μια προσέγγιση της καμπύλης σε μια μικρή γειτονιά του σημείου R, και όσο μικρότερη είναι η γειτονιά, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση. Μια τέτοια ευθεία ονομάζεται εφαπτομένη στην καμπύλη στο σημείο R. Το κύριο καθήκον του διαφορικού λογισμού είναι να κατασκευάσει μια γενική μέθοδο που επιτρέπει σε κάποιον να βρει την κατεύθυνση μιας εφαπτομένης σε οποιοδήποτε σημείο μιας καμπύλης στην οποία υπάρχει μια εφαπτομένη. Δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς μια καμπύλη με απότομη θραύση (Εικ. 2). Αν Rείναι η κορυφή μιας τέτοιας διακοπής, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε μια κατά προσέγγιση ευθεία γραμμή P.T. 1 – στα δεξιά του σημείου Rκαι μια άλλη κατά προσέγγιση ευθεία RT 2 – στα αριστερά του σημείου R. Αλλά δεν υπάρχει καμία ευθεία γραμμή που να διέρχεται από ένα σημείο R, που προσέγγιζε την καμπύλη εξίσου καλά στην περιοχή του σημείου Πκαι στα δεξιά και στα αριστερά, άρα η εφαπτομένη στο σημείο Πδεν υπάρχει.

Στο Σχ. 1 εφαπτομένη ΑΠΟαντλείται από την προέλευση ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ= (0,0). Η κλίση αυτής της γραμμής είναι 2, δηλ. όταν η τετμημένη αλλάζει κατά 1, η τεταγμένη αυξάνεται κατά 2. Αν ΧΚαι y– συντεταγμένες αυθαίρετου σημείου επί ΑΠΟ, τότε, απομακρυνόμενος από ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕσε απόσταση Χμονάδες προς τα δεξιά, απομακρυνόμαστε από ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕστις 2 yμονάδες επάνω. Ως εκ τούτου, y/Χ= 2, ή y = 2Χ. Αυτή είναι η εφαπτομένη εξίσωση ΑΠΟπρος την καμπύλη y = 2Χ – Χ 2 στο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ.

Είναι τώρα απαραίτητο να εξηγήσουμε γιατί, εκτός του συνόλου των γραμμών που διέρχονται από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, επιλέγεται η ευθεία ΑΠΟ. Σε τι διαφέρει μια ευθεία με κλίση 2 από άλλες ευθείες; Υπάρχει μια απλή απάντηση, και είναι δύσκολο να αντισταθείς στον πειρασμό να την δώσεις χρησιμοποιώντας την αναλογία μιας εφαπτομένης σε έναν κύκλο: η εφαπτομένη ΑΠΟέχει μόνο ένα κοινό σημείο με την καμπύλη, ενώ κάθε άλλη μη κάθετη γραμμή που διέρχεται από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, τέμνει την καμπύλη δύο φορές. Αυτό μπορεί να επαληθευτεί ως εξής.

Από την έκφραση y = 2Χ – ΧΤο 2 μπορεί να ληφθεί με αφαίρεση Χ 2 από y = 2Χ(εξισώσεις ευθείας γραμμής ΑΠΟ), μετά τις τιμές yυπάρχει λιγότερη γνώση για το γράφημα yγια ευθεία γραμμή σε όλα τα σημεία εκτός από το σημείο Χ= 0. Επομένως, το γράφημα βρίσκεται παντού εκτός από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, που βρίσκεται παρακάτω ΑΠΟ, και αυτή η γραμμή και το γράφημα έχουν μόνο ένα κοινό σημείο. Επιπλέον, εάν y = mx- εξίσωση κάποιας άλλης ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, τότε σίγουρα θα υπάρχουν δύο σημεία τομής. Πραγματικά, mx = 2Χ – Χ 2 όχι μόνο όταν Χ= 0, αλλά και στο Χ = 2 – Μ. Και μόνο όταν Μ= 2 και τα δύο σημεία τομής συμπίπτουν. Στο Σχ. 3 δείχνει την περίπτωση όταν Μείναι μικρότερο από 2, άρα στα δεξιά του ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕεμφανίζεται ένα δεύτερο σημείο τομής.

Τι ΑΠΟ– η μόνη μη κάθετη ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕκαι έχοντας μόνο ένα κοινό σημείο με το γράφημα, όχι την πιο σημαντική του ιδιότητα. Πράγματι, αν στραφούμε σε άλλα γραφήματα, σύντομα θα καταστεί σαφές ότι η εφαπτομενική ιδιότητα που σημειώσαμε δεν ικανοποιείται στη γενική περίπτωση. Για παράδειγμα, από το Σχ. 4 είναι σαφές ότι κοντά στο σημείο (1,1) η γραφική παράσταση της καμπύλης y = ΧΤο 3 προσεγγίζεται καλά από μια ευθεία γραμμή RTπου όμως έχει περισσότερα από ένα κοινά σημεία μαζί του. Ωστόσο, θα θέλαμε να εξετάσουμε RTεφαπτομένη σε αυτό το γράφημα στο σημείο R. Επομένως, είναι απαραίτητο να βρούμε κάποιον άλλο τρόπο για να τονίσουμε την εφαπτομένη από αυτόν που μας εξυπηρέτησε τόσο καλά στο πρώτο παράδειγμα.

Ας το υποθέσουμε μέσα από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕκαι ένα αυθαίρετο σημείο Q = (η,κ) στο γράφημα της καμπύλης y = 2Χ – Χ 2 (Εικ. 5) σχεδιάζεται μια ευθεία γραμμή (που ονομάζεται διατομή). Αντικατάσταση των τιμών στην εξίσωση της καμπύλης Χ = ηΚαι y = κ, το καταλαβαίνουμε κ = 2η – η 2, επομένως, ο γωνιακός συντελεστής της τομής είναι ίσος με

Σε πολύ μικρό ηέννοια Μκοντά στο 2. Επιπλέον, επιλέγοντας ηαρκετά κοντά στο 0 μπορούμε να κάνουμε Μαυθαίρετα κοντά στο 2. Μπορούμε να πούμε ότι Μ«τείνει στο όριο» ίσο με 2 όταν ητείνει στο μηδέν, ή οποιοδήποτε άλλο όριο Μισούται με 2 στο ητείνει στο μηδέν. Συμβολικά γράφεται ως εξής:

Στη συνέχεια η εφαπτομένη στο γράφημα στο σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕορίζεται ως μια ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ, με κλίση ίση με αυτό το όριο. Αυτός ο ορισμός της εφαπτομένης ισχύει στη γενική περίπτωση.

Ας δείξουμε τα πλεονεκτήματα αυτής της προσέγγισης με ένα ακόμη παράδειγμα: ας βρούμε την κλίση της εφαπτομένης στο γράφημα της καμπύλης y = 2Χ – Χ 2 σε οποιοδήποτε σημείο Π = (Χ,y), δεν περιορίζεται στην απλούστερη περίπτωση όταν Π = (0,0).

Αφήνω Q = (Χ + η, y + κ) – το δεύτερο σημείο του γραφήματος, που βρίσκεται σε απόσταση ηστα δεξιά του R(Εικ. 6). Πρέπει να βρούμε την κλίση κ/ηδιατέμνων PQ. Τελεία Qβρίσκεται σε απόσταση

πάνω από τον άξονα Χ.

Ανοίγοντας τις αγκύλες, βρίσκουμε:

Αφαιρώντας από αυτή την εξίσωση y = 2Χ – Χ 2, βρείτε την κατακόρυφη απόσταση από το σημείο Rμέχρι κάποιο σημείο Q:

Ως εκ τούτου, η κλίση Μδιατέμνων PQισοδυναμεί

Τώρα αυτό ητείνει στο μηδέν, Μτείνει στο 2 – 2 Χ; Θα πάρουμε την τελευταία τιμή ως γωνιακό συντελεστή της εφαπτομένης P.T.. (Το ίδιο αποτέλεσμα θα προκύψει αν ηπαίρνει αρνητικές τιμές, που αντιστοιχεί στην επιλογή ενός σημείου Qστα αριστερά του Π.) Σημειώστε ότι όταν Χ= 0 το αποτέλεσμα που προκύπτει συμπίπτει με το προηγούμενο.

Έκφραση 2 – 2 Χονομάζεται παράγωγος του 2 Χ – Χ 2. Τα παλιά χρόνια η παράγωγος ονομαζόταν και «διαφορικός λόγος» και «διαφορικός συντελεστής». Αν με την έκφραση 2 Χ – Χ 2 ορίζω φά(Χ), δηλ.

τότε η παράγωγος μπορεί να συμβολιστεί

Για να βρείτε την κλίση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = φά(Χ) σε κάποιο σημείο, είναι απαραίτητο να γίνει αντικατάσταση φάў ( Χ) τιμή που αντιστοιχεί σε αυτό το σημείο Χ. Έτσι, η κλίση φά• (0) = 2 στο Χ = 0, φά• (0) = 0 στο Χ= 1 και φά• (2) = –2 στο Χ = 2.

Συμβολίζεται και το παράγωγο στοў , dy/dx, D x yΚαι Du.

Το γεγονός ότι η καμπύλη y = 2Χ – ΧΤο 2 κοντά σε ένα δεδομένο σημείο πρακτικά δεν διακρίνεται από την εφαπτομένη του σε αυτό το σημείο, μας επιτρέπει να μιλάμε για τον γωνιακό συντελεστή της εφαπτομένης ως «γωνιακό συντελεστή της καμπύλης» στο σημείο της εφαπτομένης. Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι η κλίση της καμπύλης που εξετάζουμε έχει κλίση 2 στο σημείο (0,0).Μπορούμε επίσης να πούμε ότι όταν Χ= 0 ρυθμός μεταβολής yσχετικά Χισούται με 2. Στο σημείο (2,0) η κλίση της εφαπτομένης (και της καμπύλης) είναι –2. (Το πρόσημο μείον σημαίνει ότι όσο αυξάνουμε Χμεταβλητός yμειώνεται.) Στο σημείο (1,1) η εφαπτομένη είναι οριζόντια. Λέμε ότι είναι καμπύλη y = 2Χ – ΧΤο 2 έχει μια σταθερή τιμή σε αυτό το σημείο.

Υψηλά και χαμηλά.

Μόλις δείξαμε ότι η καμπύλη φά(Χ) = 2Χ – Χ 2 είναι ακίνητο στο σημείο (1,1). Επειδή φάў ( Χ) = 2 – 2Χ = 2(1 – Χ), είναι σαφές ότι όταν Χ, λιγότερο από 1, φάў ( Χ) είναι θετικό και επομένως yαυξάνει? στο Χ, μεγάλο 1, φάў ( Χ) είναι αρνητικό και επομένως yμειώνεται. Έτσι, κοντά στο σημείο (1,1), που φαίνεται στο Σχ. 6 γράμμα Μ, έννοια στομεγαλώνει σε ένα σημείο Μ, ακίνητο στο σημείο Μκαι μειώνεται μετά το σημείο Μ. Αυτό το σημείο ονομάζεται "μέγιστο" επειδή η τιμή στοσε αυτό το σημείο υπερβαίνει οποιαδήποτε από τις τιμές του σε μια αρκετά μικρή γειτονιά. Ομοίως, το "ελάχιστο" ορίζεται ως το σημείο κοντά στο οποίο όλες οι τιμές yυπερβαίνει την τιμή στοσε αυτό ακριβώς το σημείο. Μπορεί επίσης να συμβεί ότι αν και το παράγωγο του φά(Χ) σε ένα ορισμένο σημείο και εξαφανίζεται· το σημάδι του στην περιοχή του σημείου αυτού δεν αλλάζει. Ένα τέτοιο σημείο, που δεν είναι ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο, ονομάζεται σημείο καμπής.

Για παράδειγμα, ας βρούμε το ακίνητο σημείο της καμπύλης

Η παράγωγος αυτής της συνάρτησης είναι ίση με

και πηγαίνει στο μηδέν στο Χ = 0, Χ= 1 και Χ= –1; εκείνοι. στα σημεία (0,0), (1, –2/15) και (–1, 2/15). Αν Χλίγο λιγότερο από –1, λοιπόν φάў ( Χ) είναι αρνητικό. Αν Χλίγο περισσότερο από –1, λοιπόν φάў ( Χ) είναι θετικό. Επομένως, το σημείο (–1, 2/15) είναι το μέγιστο. Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι το σημείο (1, –2/15) είναι ελάχιστο. Αλλά το παράγωγο φάў ( Χ) είναι αρνητικό τόσο πριν από το σημείο (0,0) όσο και μετά από αυτό. Επομένως, το (0,0) είναι το σημείο καμπής.

Η μελέτη του σχήματος της καμπύλης, καθώς και το γεγονός ότι η καμπύλη τέμνει τον άξονα Χστο φά(Χ) = 0 (δηλαδή όταν Χ= 0 ή ) μας επιτρέπει να παρουσιάσουμε το γράφημά του περίπου όπως φαίνεται στο Σχ. 7.

Γενικά, αν εξαιρέσουμε τις ασυνήθιστες περιπτώσεις (καμπύλες που περιέχουν ευθύγραμμα τμήματα ή άπειρο αριθμό κάμψεων), υπάρχουν τέσσερις επιλογές για τη σχετική θέση της καμπύλης και την εφαπτομένη στην περιοχή του εφαπτομένου σημείου R. (Εκ. ρύζι. 8, στο οποίο η εφαπτομένη έχει θετική κλίση.)

1) Και στις δύο πλευρές του σημείου Rη καμπύλη βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη (Εικ. 8, ΕΝΑ). Σε αυτή την περίπτωση λένε ότι η καμπύλη στο σημείο Rκυρτό προς τα κάτω ή κοίλο.

2) Και στις δύο πλευρές του σημείου Rη καμπύλη βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη (Εικ. 8, σι). Σε αυτή την περίπτωση, η καμπύλη λέγεται ότι είναι κυρτή προς τα πάνω ή απλώς κυρτή.

3) και 4) Η καμπύλη βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη στη μία πλευρά του σημείου Rκαι από κάτω - από την άλλη. Σε αυτήν την περίπτωση R– σημείο καμπής.

Σύγκριση τιμών φάў ( Χ) και στις δύο πλευρές του Rμε την αξία του στο σημείο R, μπορεί κανείς να προσδιορίσει ποια από αυτές τις τέσσερις περιπτώσεις πρέπει να αντιμετωπίσει σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα.

Εφαρμογές.

Όλα τα παραπάνω έχουν σημαντικές εφαρμογές σε διάφορους τομείς. Για παράδειγμα, εάν ένα σώμα πεταχτεί κατακόρυφα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα 200 πόδια ανά δευτερόλεπτο, τότε το ύψος μικρό, επί του οποίου θα βρίσκονται μέσω tδευτερόλεπτα σε σύγκριση με το σημείο εκκίνησης θα είναι

Προχωρώντας με τον ίδιο τρόπο όπως στα παραδείγματα που εξετάσαμε, βρίσκουμε

αυτή η ποσότητα μηδενίζεται στο c. Παράγωγο φάў ( Χ) είναι θετικό μέχρι την τιμή c και αρνητικό μετά από αυτό το χρονικό διάστημα. Ως εκ τούτου, μικρόαυξάνεται σε , μετά γίνεται ακίνητο και μετά μειώνεται. Αυτή είναι μια γενική περιγραφή της κίνησης ενός σώματος που ρίχνεται προς τα πάνω. Από αυτό γνωρίζουμε πότε το σώμα φτάνει στο υψηλότερο σημείο του. Στη συνέχεια, αντικατάσταση t= 25/4 V φά(t), έχουμε 625 πόδια, το μέγιστο ύψος ανύψωσης. Σε αυτό το πρόβλημα φάў ( t) έχει φυσική σημασία. Αυτή η παράγωγος δείχνει την ταχύτητα με την οποία το σώμα κινείται σε μια στιγμή t.

Ας εξετάσουμε τώρα μια εφαρμογή άλλου τύπου (Εικ. 9). Από ένα φύλλο χαρτονιού εμβαδού 75 cm2, πρέπει να φτιάξετε ένα κουτί με τετράγωνο πάτο. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις αυτού του κουτιού για να έχει μέγιστο όγκο; Αν Χ– πλευρά της βάσης του κουτιού και ηείναι το ύψος του, τότε ο όγκος του κουτιού είναι V = Χ 2 η, και η επιφάνεια είναι 75 = Χ 2 + 4xh. Μετασχηματίζοντας την εξίσωση, παίρνουμε:

Παράγωγο του Vαποδεικνύεται ίσο

και πηγαίνει στο μηδέν στο Χ= 5. Τότε

Και V= 125/2. Γράφημα μιας συνάρτησης V = (75Χ – Χ 3)/4 φαίνεται στο Σχ. 10 (αρνητικές τιμές Χπαραλείπεται ότι δεν έχει φυσικό νόημα σε αυτό το πρόβλημα).

Παράγωγα.

Ένα σημαντικό έργο του διαφορικού λογισμού είναι η δημιουργία μεθόδων που σας επιτρέπουν να βρίσκετε γρήγορα και εύκολα παραγώγους. Για παράδειγμα, είναι εύκολο να το υπολογίσεις

(Η παράγωγος μιας σταθεράς είναι, φυσικά, μηδέν.) Δεν είναι δύσκολο να εξαχθεί ένας γενικός κανόνας:

Οπου n– κάθε ακέραιος αριθμός ή κλάσμα. Για παράδειγμα,

(Αυτό το παράδειγμα δείχνει πόσο χρήσιμοι είναι οι κλασματικοί εκθέτες.)

Εδώ είναι μερικές από τις πιο σημαντικές φόρμουλες:

Υπάρχουν επίσης οι ακόλουθοι κανόνες: 1) εάν καθεμία από τις δύο συναρτήσεις σολ(Χ) Και φά(Χ) έχει παραγώγους, τότε η παράγωγος του αθροίσματος τους είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων και η παράγωγος της διαφοράς είναι ίση με τη διαφορά των παραγώγων, δηλ.

2) η παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

3) η παράγωγος του λόγου δύο συναρτήσεων έχει τη μορφή

4) η παράγωγος μιας συνάρτησης πολλαπλασιαζόμενη με μια σταθερά είναι ίση με τη σταθερά πολλαπλασιασμένη με την παράγωγο αυτής της συνάρτησης, δηλ.

Συχνά συμβαίνει ότι οι τιμές μιας συνάρτησης πρέπει να υπολογίζονται βήμα προς βήμα. Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε την αμαρτία Χ 2, πρέπει πρώτα να βρούμε u = Χ 2 και στη συνέχεια υπολογίστε το ημίτονο του αριθμού u. Βρίσκουμε την παράγωγο τέτοιων σύνθετων συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τον λεγόμενο «κανόνα της αλυσίδας»:

Στο παράδειγμά μας φά(u) = αμαρτία u, φάў ( u) = κοσ u, ως εκ τούτου,

Αυτοί και άλλοι παρόμοιοι κανόνες σάς επιτρέπουν να γράφετε αμέσως παραγώγους πολλών συναρτήσεων.

Γραμμικές προσεγγίσεις.

Το γεγονός ότι, γνωρίζοντας την παράγωγο, μπορούμε σε πολλές περιπτώσεις να αντικαταστήσουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης κοντά σε ένα συγκεκριμένο σημείο με την εφαπτομένη της σε αυτό το σημείο, έχει μεγάλη σημασία, καθώς είναι ευκολότερο να δουλέψουμε με ευθείες γραμμές.

Αυτή η ιδέα βρίσκει άμεση εφαρμογή στον υπολογισμό των κατά προσέγγιση τιμών των συναρτήσεων. Για παράδειγμα, είναι αρκετά δύσκολο να υπολογιστεί η τιμή όταν Χ= 1.033. Αλλά μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι ο αριθμός 1.033 είναι κοντά στο 1 και ότι . Κοντά Χ= 1 μπορούμε να αντικαταστήσουμε το γράφημα με μια εφαπτομένη καμπύλη χωρίς να κάνουμε σοβαρά λάθη. Ο γωνιακός συντελεστής μιας τέτοιας εφαπτομένης είναι ίσος με την τιμή της παραγώγου ( Χ 1/3)ў = (1/3) Χ–2/3 στο x = 1, δηλ. 1/3. Εφόσον το σημείο (1,1) βρίσκεται στην καμπύλη και ο γωνιακός συντελεστής της εφαπτομένης στην καμπύλη σε αυτό το σημείο είναι ίσος με 1/3, η εξίσωση εφαπτομένης έχει τη μορφή

Σε αυτή την ευθεία Χ = 1,033

Ληφθείσα αξία yπρέπει να είναι πολύ κοντά στην πραγματική τιμή y; και, πράγματι, είναι μόνο 0,00012 περισσότερο από το αληθινό. Στη μαθηματική ανάλυση, έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι που καθιστούν δυνατή την αύξηση της ακρίβειας αυτού του είδους γραμμικών προσεγγίσεων. Αυτές οι μέθοδοι διασφαλίζουν την αξιοπιστία των κατά προσέγγιση υπολογισμών μας.

Η διαδικασία που μόλις περιγράφηκε προτείνει μια χρήσιμη σημείωση. Αφήνω Π– σημείο που αντιστοιχεί στο γράφημα της συνάρτησης φάμεταβλητός Χκαι αφήστε τη λειτουργία φά(Χ) είναι διαφοροποιήσιμο. Ας αντικαταστήσουμε τη γραφική παράσταση της καμπύλης κοντά στο σημείο Rεφαπτομένη σε αυτό που σχεδιάζεται σε αυτό το σημείο. Αν Χαλλαγή κατά τιμή η, τότε η τεταγμένη της εφαπτομένης θα αλλάξει κατά το ποσό η H φά ў ( Χ). Αν ηείναι πολύ μικρή, τότε η τελευταία τιμή χρησιμεύει ως καλή προσέγγιση για την πραγματική αλλαγή στην τεταγμένη yΓΡΑΦΙΚΕΣ ΤΕΧΝΕΣ. Αν αντ' αυτού ηθα γράψουμε ένα σύμβολο dx(αυτό δεν είναι προϊόν!), αλλά αλλαγή τεταγμένης yας υποδηλώσουμε dy, τότε παίρνουμε dy = φά ў ( Χ)dx, ή dy/dx = φά ў ( Χ) (εκ. ρύζι. έντεκα). Επομένως, αντί για Dyή φά ў ( Χ) το σύμβολο χρησιμοποιείται συχνά για να δηλώσει μια παράγωγο dy/dx. Η ευκολία αυτού του συμβολισμού εξαρτάται κυρίως από τη ρητή εμφάνιση του κανόνα της αλυσίδας (διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης). στη νέα σημείωση αυτός ο τύπος μοιάζει με αυτό:

όπου υπονοείται ότι στοεξαρτάται από u, ΕΝΑ uμε τη σειρά του εξαρτάται από Χ.

Μέγεθος dyπου ονομάζεται διαφορικό στο; στην πραγματικότητα εξαρτάται από δύομεταβλητές, δηλαδή: από Χκαι προσαυξήσεις dx. Όταν η προσαύξηση dxπολύ μικρό μέγεθος dyείναι κοντά στην αντίστοιχη μεταβολή της τιμής y. Ας υποθέσουμε όμως ότι η προσαύξηση dxλίγο, δεν χρειάζεται.

Παράγωγος συνάρτησης y = φά(Χ) ορίσαμε φά ў ( Χ) ή dy/dx. Συχνά είναι δυνατό να ληφθεί το παράγωγο του παραγώγου. Το αποτέλεσμα ονομάζεται δεύτερη παράγωγος του φά (Χ) και συμβολίζεται φά ўў ( Χ) ή ρε 2 y/dx 2. Για παράδειγμα, εάν φά(Χ) = Χ 3 – 3Χ 2, λοιπόν φά ў ( Χ) = 3Χ 2 – 6ΧΚαι φά ўў ( Χ) = 6Χ– 6. Παρόμοιος συμβολισμός χρησιμοποιείται για παράγωγα υψηλότερης τάξης. Ωστόσο, για να αποφευχθεί ένας μεγάλος αριθμός πινελιών (ίσος με τη σειρά της παραγώγου), η τέταρτη παράγωγος (για παράδειγμα) μπορεί να γραφτεί ως φά (4) (Χ), και το παράγωγο n-η σειρά ως φά (n) (Χ).

Μπορεί να φανεί ότι η καμπύλη σε ένα σημείο είναι κυρτή προς τα κάτω εάν η δεύτερη παράγωγος είναι θετική και κυρτή προς τα πάνω εάν η δεύτερη παράγωγος είναι αρνητική.

Αν μια συνάρτηση έχει δεύτερη παράγωγο, τότε η αλλαγή στην τιμή y, που αντιστοιχεί στην προσαύξηση dxμεταβλητός Χ, μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση χρησιμοποιώντας τον τύπο

Αυτή η προσέγγιση είναι συνήθως καλύτερη από αυτή που δίνεται από το διαφορικό φάў ( Χ)dx. Αντιστοιχεί στην αντικατάσταση μέρους της καμπύλης όχι με ευθεία γραμμή, αλλά με παραβολή.

Εάν η συνάρτηση φά(Χ) υπάρχουν παράγωγα υψηλότερων τάξεων, λοιπόν

Ο υπόλοιπος όρος έχει τη μορφή

Οπου Χ- κάποιος αριθμός μεταξύ ΧΚαι Χ + dx. Το παραπάνω αποτέλεσμα ονομάζεται τύπος Taylor με υπόλοιπο όρο. Αν φά(Χ) έχει παράγωγα όλων των παραγγελιών, τότε συνήθως Rn® 0 σε n ® Ґ .

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Τετράγωνα.

Κατά τη μελέτη των περιοχών των καμπυλόγραμμων επιπέδων σχημάτων, αποκαλύπτονται νέες πτυχές της μαθηματικής ανάλυσης. Οι αρχαίοι Έλληνες προσπάθησαν να λύσουν προβλήματα αυτού του είδους, για τους οποίους ο καθορισμός, για παράδειγμα, του εμβαδού ενός κύκλου ήταν ένα από τα πιο δύσκολα καθήκοντα. Ο Αρχιμήδης πέτυχε μεγάλη επιτυχία στην επίλυση αυτού του προβλήματος, ο οποίος κατάφερε επίσης να βρει την περιοχή ενός παραβολικού τμήματος (Εικ. 12). Χρησιμοποιώντας πολύ περίπλοκο συλλογισμό, ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι το εμβαδόν ενός παραβολικού τμήματος είναι τα 2/3 του εμβαδού του περιγεγραμμένου ορθογωνίου και, επομένως, σε αυτή την περίπτωση είναι ίσο με (2/3)(16) = 32/ 3. Όπως θα δούμε στη συνέχεια, αυτό το αποτέλεσμα μπορεί εύκολα να επιτευχθεί με μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης.

Οι προκάτοχοι του Newton και του Leibniz, κυρίως ο Kepler και ο Cavalieri, έλυσαν προβλήματα υπολογισμού των περιοχών των καμπυλόγραμμων σχημάτων χρησιμοποιώντας μια μέθοδο που δύσκολα μπορεί να ονομαστεί λογικά ορθή, αλλά που αποδείχθηκε εξαιρετικά γόνιμη. Όταν ο Wallis το 1655 συνδύασε τις μεθόδους του Kepler και του Cavalieri με τις μεθόδους του Descartes (αναλυτική γεωμετρία) και εκμεταλλεύτηκε τη νεοεμφανιζόμενη άλγεβρα, το στάδιο ήταν πλήρως προετοιμασμένο για την εμφάνιση του Newton.

Ο Wallis χώρισε το σχήμα, το εμβαδόν του οποίου έπρεπε να υπολογιστεί, σε πολύ στενές λωρίδες, καθεμία από τις οποίες θεωρούσε περίπου ένα ορθογώνιο. Στη συνέχεια άθροισε τα εμβαδά των παραλληλόγραμμων που προσεγγίζουν και στις απλούστερες περιπτώσεις έλαβε την τιμή στην οποία έτεινε το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων όταν ο αριθμός των λωρίδων έτεινε στο άπειρο. Στο Σχ. Το σχήμα 13 δείχνει ορθογώνια που αντιστοιχούν σε κάποια διαίρεση σε λωρίδες της περιοχής κάτω από την καμπύλη y = Χ 2 .

Κύριο θεώρημα.

Η μεγάλη ανακάλυψη του Newton και του Leibniz κατέστησε δυνατή την εξάλειψη της επίπονης διαδικασίας της μετάβασης στο όριο του αθροίσματος των περιοχών. Αυτό έγινε χάρη σε μια νέα ματιά στην έννοια της περιοχής. Το θέμα είναι ότι πρέπει να φανταστούμε την περιοχή κάτω από την καμπύλη όπως δημιουργείται από μια τεταγμένη που κινείται από αριστερά προς τα δεξιά και να ρωτήσουμε με ποιο ρυθμό αλλάζει η περιοχή που σαρώνεται από τις τεταγμένες. Θα λάβουμε το κλειδί για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση εάν λάβουμε υπόψη δύο ειδικές περιπτώσεις στις οποίες η περιοχή είναι γνωστή εκ των προτέρων.

Ας ξεκινήσουμε με την περιοχή κάτω από τη γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης y = 1 + Χ, αφού σε αυτή την περίπτωση το εμβαδόν μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας στοιχειώδη γεωμετρία.

Αφήνω ΕΝΑ(Χ) – τμήμα του επιπέδου που περικλείεται μεταξύ της ευθείας y = 1 + Χκαι ένα τμήμα Ο ΚΙΟΥ(Εικ. 14). Κατά την οδήγηση QPδεξιά περιοχή ΕΝΑ(Χ) αυξάνεται. Με τι ταχύτητα; Δεν είναι δύσκολο να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, αφού γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του ύψους του και το μισό του αθροίσματος των βάσεων του. Ως εκ τούτου,

Ρυθμός αλλαγής περιοχής ΕΝΑ(Χ) καθορίζεται από την παράγωγό του

Το βλέπουμε αυτό ΕΝΑў ( Χ) συμπίπτει με τη τεταγμένη στοσημεία R. Είναι σύμπτωση αυτό; Ας προσπαθήσουμε να ελέγξουμε την παραβολή που φαίνεται στο Σχ. 15. Περιοχή ΕΝΑ (Χ) κάτω από την παραβολή στο = Χ 2 στην περιοχή από 0 έως Χίσο με ΕΝΑ(Χ) = (1 / 3)(Χ)(Χ 2) = Χ 3/3. Ο ρυθμός μεταβολής αυτής της περιοχής καθορίζεται από την έκφραση

που συμπίπτει ακριβώς με τη τεταγμένη στοκινούμενο σημείο R.

Αν υποθέσουμε ότι αυτός ο κανόνας ισχύει στη γενική περίπτωση έτσι ώστε

είναι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού κάτω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = φά(Χ), τότε αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για υπολογισμούς και άλλες περιοχές. Στην πραγματικότητα, η αναλογία ΕΝΑў ( Χ) = φά(Χ) εκφράζει ένα θεμελιώδες θεώρημα που θα μπορούσε να διατυπωθεί ως εξής: η παράγωγος ή ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού ως συνάρτηση του Χ, ίση με την τιμή της συνάρτησης φά (Χ) στο σημείο Χ.

Για παράδειγμα, για να βρείτε την περιοχή κάτω από το γράφημα μιας συνάρτησης y = Χ 3 από 0 έως Χ(Εικ. 16), ας βάλουμε

Μια πιθανή απάντηση είναι:

αφού το παράγωγο του ΧΤο 4/4 είναι πραγματικά ίσο Χ 3. Εκτός, ΕΝΑ(Χ) ισούται με μηδέν στο Χ= 0, όπως θα έπρεπε να είναι αν ΕΝΑ(Χ) είναι πράγματι μια περιοχή.

Η μαθηματική ανάλυση αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει άλλη απάντηση εκτός από την παραπάνω έκφραση για ΕΝΑ(Χ), δεν υπάρχει. Ας δείξουμε ότι αυτή η δήλωση είναι εύλογη χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο ευρετικό (μη αυστηρό) συλλογισμό. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποια δεύτερη λύση ΣΕ(Χ). Αν ΕΝΑ(Χ) Και ΣΕ(Χ) "ξεκινήστε" ταυτόχρονα από μηδενική τιμή στο Χ= 0 και αλλάζουν με τον ίδιο ρυθμό όλη την ώρα, τότε οι τιμές τους δεν μπορούν να είναι Χδεν μπορεί να γίνει διαφορετικό. Πρέπει να συμπίπτουν παντού. επομένως, υπάρχει μια μοναδική λύση.

Πώς μπορείς να δικαιολογήσεις τη σχέση; ΕΝΑў ( Χ) = φά(Χ) γενικά? Αυτή η ερώτηση μπορεί να απαντηθεί μόνο με τη μελέτη του ρυθμού μεταβολής του εμβαδού σε συνάρτηση με Χγενικά. Αφήνω Μ– η μικρότερη τιμή της συνάρτησης φά (Χ) στην περιοχή από Χπριν ( Χ + η), ΕΝΑ Μ– η μεγαλύτερη τιμή αυτής της συνάρτησης στο ίδιο διάστημα. Στη συνέχεια, η αύξηση της περιοχής κατά τη μετάβαση από ΧΠρος την ( Χ + η) πρέπει να περικλείεται μεταξύ των περιοχών δύο ορθογωνίων (Εικ. 17). Οι βάσεις και των δύο ορθογωνίων είναι ίσες η. Το μικρότερο ορθογώνιο έχει ύψος Μκαι περιοχή mh, μεγαλύτερο, αντίστοιχα, ΜΚαι Mh. Στη γραφική παράσταση της περιοχής έναντι Χ(Εικ. 18) είναι σαφές ότι όταν η τετμημένη αλλάζει σε η, η τεταγμένη τιμή (δηλ. εμβαδόν) αυξάνεται κατά το ποσό μεταξύ mhΚαι Mh. Η κλίση τομής σε αυτό το γράφημα είναι μεταξύ ΜΚαι Μ. τι συμβαίνει οταν ητείνει στο μηδέν; Αν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y = φά(Χ) είναι συνεχής (δηλ. δεν περιέχει ασυνέχειες), τότε Μ, Και Μτείνω να φά(Χ). Ως εκ τούτου, η κλίση ΕΝΑў ( Χ) γράφημα της περιοχής σε συνάρτηση με Χισοδυναμεί φά(Χ). Αυτό ακριβώς είναι το συμπέρασμα που έπρεπε να βγει.

Ο Leibniz πρότεινε για την περιοχή κάτω από μια καμπύλη y = φά(Χ) από 0 έως ΕΝΑονομασία

Σε μια αυστηρή προσέγγιση, αυτό το λεγόμενο οριστικό ολοκλήρωμα θα πρέπει να οριστεί ως το όριο ορισμένων ποσών με τον τρόπο του Wallis. Λαμβάνοντας υπόψη το αποτέλεσμα που λήφθηκε παραπάνω, είναι σαφές ότι αυτό το ολοκλήρωμα υπολογίζεται με την προϋπόθεση ότι μπορούμε να βρούμε μια τέτοια συνάρτηση ΕΝΑ(Χ), το οποίο εξαφανίζεται όταν Χ= 0 και έχει παράγωγο ΕΝΑў ( Χ), ίσο με φά (Χ). Η εύρεση μιας τέτοιας συνάρτησης συνήθως ονομάζεται ολοκλήρωση, αν και θα ήταν πιο σωστό να ονομαστεί αυτή η λειτουργία αντι-διαφοροποίηση, που σημαίνει ότι είναι κατά κάποια έννοια το αντίστροφο της διαφοροποίησης. Στην περίπτωση ενός πολυωνύμου, η ολοκλήρωση είναι απλή. Για παράδειγμα, εάν

που είναι εύκολο να επαληθευτεί με διαφοροποίηση ΕΝΑ(Χ).

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ΕΝΑ 1 κάτω από την καμπύλη y = 1 + Χ + Χ 2/2, που περικλείεται μεταξύ των τεταγμένων 0 και 1, γράφουμε απλώς

και αντικαθιστώντας Χ= 1, παίρνουμε ΕΝΑ 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3. τετράγωνο ΕΝΑ(Χ) από 0 έως 2 ισούται με ΕΝΑ 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3. Όπως φαίνεται από το Σχ. 19, το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ των τεταγμένων 1 και 2 είναι ίσο με ΕΝΑ 2 – ΕΝΑ 1 = 11/3. Συνήθως γράφεται ως οριστικό ολοκλήρωμα

Τόμοι.

Παρόμοιος συλλογισμός καθιστά εκπληκτικά εύκολο τον υπολογισμό των όγκων των σωμάτων περιστροφής. Ας το δείξουμε με το παράδειγμα του υπολογισμού του όγκου μιας σφαίρας, ένα άλλο κλασικό πρόβλημα που οι αρχαίοι Έλληνες, χρησιμοποιώντας τις γνωστές τους μεθόδους, κατάφεραν να λύσουν με μεγάλη δυσκολία.

Ας περιστρέψουμε μέρος του επιπέδου που περιέχεται μέσα σε ένα τέταρτο κύκλου ακτίνας r, σε γωνία 360° γύρω από τον άξονα Χ. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα ημισφαίριο (Εικ. 20), τον όγκο του οποίου συμβολίζουμε V(Χ). Πρέπει να καθορίσουμε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται V(Χ) με αύξηση Χ. Μετακίνηση από ΧΠρος την Χ + η, είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η αύξηση της έντασης είναι μικρότερη από την ένταση Π(r 2 – Χ 2)ηκυκλικός κύλινδρος με ακτίνα και ύψος η, και περισσότερο από όγκο Π[r 2 – (Χ + η) 2 ]ηακτίνα και ύψος κυλίνδρου η. Επομένως, στο γράφημα της συνάρτησης V(Χ) ο γωνιακός συντελεστής της τομής είναι μεταξύ Π(r 2 – Χ 2) και Π[r 2 – (Χ + η) 2 ]. Οταν ητείνει στο μηδέν, η κλίση τείνει να

Στο Χ = rπαίρνουμε

για τον όγκο του ημισφαιρίου και επομένως 4 p r 3/3 για τον όγκο ολόκληρης της μπάλας.

Μια παρόμοια μέθοδος επιτρέπει σε κάποιον να βρει τα μήκη των καμπυλών και τις περιοχές των καμπύλων επιφανειών. Για παράδειγμα, εάν ένα(Χ) - μήκος τόξου PRστο Σχ. 21, τότε το καθήκον μας είναι να υπολογίσουμε έναў( Χ). Σε ευρετικό επίπεδο, θα χρησιμοποιήσουμε μια τεχνική που μας επιτρέπει να μην καταφεύγουμε στο συνηθισμένο πέρασμα στο όριο, το οποίο είναι απαραίτητο για μια αυστηρή απόδειξη του αποτελέσματος. Ας υποθέσουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης ΕΝΑ(Χ) στο σημείο Rτο ίδιο όπως θα ήταν αν η καμπύλη αντικαταστάθηκε από την εφαπτομένη της P.T.στο σημείο Π. Αλλά από το Σχ. Το 21 είναι άμεσα ορατό όταν πατάτε ηδεξιά ή αριστερά του σημείου Χκατά μήκος RTέννοια ΕΝΑ(Χ) αλλάζει σε

Επομένως, ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης ένα(Χ) είναι

Για να βρείτε την ίδια τη συνάρτηση ένα(Χ), απλά πρέπει να ενσωματώσετε την έκφραση στη δεξιά πλευρά της ισότητας. Αποδεικνύεται ότι η ενσωμάτωση είναι αρκετά δύσκολη για τις περισσότερες λειτουργίες. Επομένως, η ανάπτυξη μεθόδων ολοκληρωτικού λογισμού αποτελεί μεγάλο μέρος της μαθηματικής ανάλυσης.

Αντιπαράγωγα.

Κάθε συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι ίση με τη δεδομένη συνάρτηση φά(Χ), ονομάζεται αντιπαράγωγο (ή πρωτόγονο) για φά(Χ). Για παράδειγμα, Χ 3/3 – αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση Χ 2 αφού ( Χ 3 /3)ў = Χ 2. Φυσικά ΧΤο 3/3 δεν είναι το μόνο αντιπαράγωγο της συνάρτησης Χ 2 γιατί Χ 3 /3 + ντοείναι επίσης παράγωγο για Χ 2 για οποιαδήποτε σταθερά ΜΕ. Ωστόσο, σε όσα ακολουθούν συμφωνούμε να παραλείψουμε τέτοιες προσθετικές σταθερές. Γενικά

Οπου nείναι θετικός ακέραιος, αφού ( x n + 1/(n+ 1))ў = x n. Η σχέση (1) ικανοποιείται με μια ακόμη γενικότερη έννοια αν nαντικαταστήστε με οποιονδήποτε ρητό αριθμό κ, εκτός από –1.

Μια αυθαίρετη αντιπαράγωγη συνάρτηση για μια δεδομένη συνάρτηση φά(Χ) ονομάζεται συνήθως το αόριστο ολοκλήρωμα του φά(Χ) και να το δηλώσετε στη μορφή

Για παράδειγμα, αφού (αμαρτ Χ)ў = κοσ Χ, ο τύπος είναι έγκυρος

Σε πολλές περιπτώσεις όπου υπάρχει ένας τύπος για το αόριστο ολοκλήρωμα μιας δεδομένης συνάρτησης, μπορεί να βρεθεί σε πολλούς ευρέως δημοσιευμένους πίνακες αόριστων ολοκληρωμάτων. Τα ολοκληρώματα των στοιχειωδών συναρτήσεων είναι πινακοποιημένα (περιλαμβάνουν δυνάμεις, λογάριθμους, εκθετικές συναρτήσεις, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις, καθώς και τους πεπερασμένους συνδυασμούς τους που λαμβάνονται χρησιμοποιώντας τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού και διαίρεσης). Χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα πίνακα, μπορείτε να υπολογίσετε ολοκληρώματα πιο πολύπλοκων συναρτήσεων. Υπάρχουν πολλοί τρόποι υπολογισμού αόριστων ολοκληρωμάτων. Η πιο κοινή από αυτές είναι η μέθοδος μεταβλητής υποκατάστασης ή υποκατάστασης. Συνίσταται στο ότι αν θέλουμε να αντικαταστήσουμε στο αόριστο ολοκλήρωμα (2) Χσε κάποια διαφοροποιήσιμη συνάρτηση Χ = σολ(u), τότε για να παραμείνει αμετάβλητο το ολοκλήρωμα, είναι απαραίτητο Χαντικαταστάθηκε από σολў ( u)du. Με άλλα λόγια, η ισότητα

(αντικατάσταση 2 Χ = u, από όπου 2 dx = du).

Ας παρουσιάσουμε μια άλλη μέθοδο ολοκλήρωσης - τη μέθοδο ολοκλήρωσης ανά μέρη. Βασίζεται στην ήδη γνωστή φόρμουλα

Ενσωματώνοντας την αριστερή και τη δεξιά πλευρά και λαμβάνοντας υπόψη αυτό

Αυτός ο τύπος ονομάζεται τύπος ολοκλήρωσης με μέρη.

Παράδειγμα 2. Πρέπει να βρείτε . Δεδομένου ότι η κοσ Χ= (αμαρτ Χ)ў , μπορούμε να το γράψουμε αυτό

Από (5), υποθέτοντας u = ΧΚαι v= αμαρτία Χ, παίρνουμε

Και αφού (–κοσ Χ)ў = αμαρτία Χτο βρίσκουμε

Θα πρέπει να τονιστεί ότι περιοριστήκαμε μόνο σε μια πολύ σύντομη εισαγωγή σε ένα πολύ τεράστιο θέμα στο οποίο έχουν συσσωρευτεί πολυάριθμες έξυπνες τεχνικές.

Συναρτήσεις δύο μεταβλητών.

Λόγω της καμπύλης y = φά(Χ) εξετάσαμε δύο προβλήματα.

1) Να βρείτε τον γωνιακό συντελεστή της εφαπτομένης της καμπύλης σε ένα δεδομένο σημείο. Αυτό το πρόβλημα λύνεται με τον υπολογισμό της τιμής της παραγώγου φάў ( Χ) στο καθορισμένο σημείο.

2) Βρείτε την περιοχή κάτω από την καμπύλη πάνω από το τμήμα του άξονα Χ, που οριοθετείται από κάθετες γραμμές Χ = ΕΝΑΚαι Χ = σι. Αυτό το πρόβλημα λύνεται με τον υπολογισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος.

Κάθε ένα από αυτά τα προβλήματα έχει ένα ανάλογο στην περίπτωση μιας επιφάνειας z = φά(Χ,y).

1) Βρείτε το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια σε ένα δεδομένο σημείο.

2) Βρείτε τον όγκο κάτω από την επιφάνεια πάνω από το τμήμα του επιπέδου xy, που οριοθετείται από μια καμπύλη ΜΕ, και από την πλευρά – κάθετα στο επίπεδο xyπερνώντας από τα σημεία της οριακής καμπύλης ΜΕ (εκ. ρύζι. 22).

Τα ακόλουθα παραδείγματα δείχνουν πώς επιλύονται αυτά τα προβλήματα.

Παράδειγμα 4. Βρείτε το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια

στο σημείο (0,0,2).

Ένα επίπεδο ορίζεται αν δίνονται δύο τεμνόμενες ευθείες που βρίσκονται σε αυτό. Μία από αυτές τις ευθείες γραμμές ( μεγάλο 1) μπαίνουμε στο αεροπλάνο xz (στο= 0), δευτερόλεπτο ( μεγάλο 2) – στο αεροπλάνο yz (Χ = 0) (εκ. ρύζι. 23).

Πρώτα απ 'όλα, αν στο= 0, λοιπόν z = φά(Χ,0) = 2 – 2Χ – 3Χ 2. Παράγωγο σε σχέση με Χ, συμβολίζεται φάў Χ(Χ,0) = –2 – 6Χ, στο ΧΤο = 0 έχει τιμή –2. Ευθεία μεγάλο 1 που δίνεται από τις εξισώσεις z = 2 – 2Χ, στο= 0 – εφαπτομένη σε ΜΕ 1, γραμμές τομής της επιφάνειας με το επίπεδο στο= 0. Ομοίως, αν Χ= 0, λοιπόν φά(0,y) = 2 – y – y 2 , και το παράγωγο σε σχέση με στομοιάζει με

Επειδή φάў y(0,0) = –1, καμπύλη ΜΕ 2 – γραμμή τομής της επιφάνειας με το επίπεδο yz– έχει εφαπτομένη μεγάλο 2 που δίνονται από τις εξισώσεις z = 2 – y, Χ= 0. Το επιθυμητό επίπεδο εφαπτομένης περιέχει και τις δύο ευθείες μεγάλο 1 και μεγάλο 2 και γράφεται από την εξίσωση

Αυτή είναι η εξίσωση ενός αεροπλάνου. Επιπλέον, λαμβάνουμε απευθείας μεγάλο 1 και μεγάλο 2, υποθέτοντας, αντίστοιχα, στο= 0 και Χ = 0.

Το γεγονός ότι η εξίσωση (7) ορίζει πραγματικά ένα εφαπτόμενο επίπεδο μπορεί να επαληθευτεί σε ευρετικό επίπεδο σημειώνοντας ότι αυτή η εξίσωση περιέχει όρους πρώτης τάξης που περιλαμβάνονται στην εξίσωση (6) και ότι όροι δεύτερης τάξης μπορούν να αναπαρασταθούν ως -. Επειδή αυτή η έκφραση είναι αρνητική για όλες τις τιμές ΧΚαι στο, εκτός Χ = στο= 0, η επιφάνεια (6) βρίσκεται κάτω από το επίπεδο (7) παντού, εκτός από το σημείο R= (0,0,0). Μπορούμε να πούμε ότι η επιφάνεια (6) είναι κυρτή προς τα πάνω στο σημείο R.

Παράδειγμα 5. Βρείτε το επίπεδο της εφαπτομένης στην επιφάνεια z = φά(Χ,y) = Χ 2 – y 2 στην προέλευση 0.

Στην επιφάνεια στο= 0 έχουμε: z = φά(Χ,0) = Χ 2 και φάў Χ(Χ,0) = 2Χ. Επί ΜΕ 1, γραμμές τομής, z = Χ 2. Στο σημείο Οη κλίση είναι ίση με φάў Χ(0,0) = 0. Στο αεροπλάνο Χ= 0 έχουμε: z = φά(0,y) = –y 2 και φάў y(0,y) = –2y. Επί ΜΕ 2, γραμμές τομής, z = –y 2. Στο σημείο Οκλίση καμπύλης ΜΕ 2 είναι ίσο φάў y(0,0) = 0. Αφού οι εφαπτομένες σε ΜΕ 1 και ΜΕ 2 είναι άξονες ΧΚαι στο, το εφαπτομενικό επίπεδο που τα περιέχει είναι το επίπεδο z = 0.

Ωστόσο, στη γειτονιά της αρχής, η επιφάνειά μας δεν βρίσκεται στην ίδια πλευρά του εφαπτομενικού επιπέδου. Πράγματι, μια καμπύλη ΜΕ 1 παντού, εκτός από το σημείο 0, βρίσκεται πάνω από το επίπεδο της εφαπτομένης και την καμπύλη ΜΕ 2 – αντίστοιχα κάτω από αυτό. Η επιφάνεια τέμνει εφαπτομενικό επίπεδο z= 0 σε ευθείες γραμμές στο = ΧΚαι στο = –Χ. Μια τέτοια επιφάνεια λέγεται ότι έχει ένα σημείο σέλας στην αρχή (Εικ. 24).

Μερικά παράγωγα.

Σε προηγούμενα παραδείγματα χρησιμοποιήσαμε παράγωγα του φά (Χ,y) Με Χκαι από στο. Ας εξετάσουμε τώρα τέτοια παράγωγα με μια γενικότερη έννοια. Αν έχουμε συνάρτηση δύο μεταβλητών, για παράδειγμα, φά(Χ,y) = Χ 2 – xy, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε σε κάθε σημείο δύο από τις «μερικές παράγωγές» της, μία διαφοροποιώντας τη συνάρτηση ως προς Χκαι στερέωση στο, το άλλο – διαφοροποίηση από στοκαι στερέωση Χ. Το πρώτο από αυτά τα παράγωγα συμβολίζεται ως φάў Χ(Χ,y) ή ¶ φά/¶ Χ; δεύτερο - πώς φά f ў y. Αν και τα δύο μικτά παράγωγα (από ΧΚαι στο, Με στοΚαι Χ) είναι συνεχείς, τότε ¶ 2 φά/¶ Χy= ¶ 2 φά/¶ yΧ; στο παράδειγμά μας ¶ 2 φά/¶ Χy= ¶ 2 φά/¶ yΧ = –1.

Μερική παράγωγος φάў Χ(Χ,y) υποδεικνύει το ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης φάστο σημείο ( Χ,y) προς την κατεύθυνση της αύξησης Χ, ΕΝΑ φάў y(Χ,y) – ρυθμός αλλαγής συνάρτησης φάπρος την κατεύθυνση της αύξησης στο. Ρυθμός αλλαγής συνάρτησης φάστο σημείο ( Χ,στο) προς την κατεύθυνση μιας ευθείας γραμμής που δημιουργεί γωνία qμε κατεύθυνση θετικού άξονα Χ, ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης φάπρος; Η τιμή του είναι ένας συνδυασμός δύο μερικών παραγώγων της συνάρτησης Η f στο επίπεδο εφαπτομένης είναι σχεδόν ίση (στο μικρό dxΚαι dy) αληθινή αλλαγή zστην επιφάνεια, αλλά ο υπολογισμός της διαφοράς είναι συνήθως ευκολότερος.

Ο τύπος που έχουμε ήδη εξετάσει από την αλλαγή της μεθόδου μεταβλητής, γνωστός ως παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης ή κανόνας αλυσίδας, στη μονοδιάστατη περίπτωση όταν στοεξαρτάται από Χ, ΕΝΑ Χεξαρτάται από t, έχει τη μορφή:

Για συναρτήσεις δύο μεταβλητών, ένας παρόμοιος τύπος έχει τη μορφή:

Οι έννοιες και οι σημειώσεις της μερικής διαφοροποίησης είναι εύκολο να γενικευτούν σε υψηλότερες διαστάσεις. Ειδικότερα, εάν η επιφάνεια προσδιορίζεται σιωπηρά από την εξίσωση φά(Χ,y,z) = 0, η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου στην επιφάνεια μπορεί να δοθεί πιο συμμετρική μορφή: η εξίσωση του εφαπτομένου επιπέδου στο σημείο ( x(x 2 /4)], στη συνέχεια ενσωματώθηκε Χαπό 0 έως 1. Το τελικό αποτέλεσμα είναι 3/4.

Ο τύπος (10) μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως ένα λεγόμενο διπλό ολοκλήρωμα, δηλ. ως όριο του αθροίσματος των όγκων των στοιχειωδών «κυψελών». Κάθε τέτοιο κελί έχει μια βάση D Χρε yκαι ύψος ίσο με το ύψος της επιφάνειας πάνω από κάποιο σημείο της ορθογώνιας βάσης ( εκ. ρύζι. 26). Μπορεί να αποδειχθεί ότι και οι δύο απόψεις για τον τύπο (10) είναι ισοδύναμες. Τα διπλά ολοκληρώματα χρησιμοποιούνται για την εύρεση κέντρων βάρους και πολλών ροπών που συναντώνται στη μηχανική.

Μια πιο αυστηρή αιτιολόγηση του μαθηματικού μηχανισμού.

Μέχρι στιγμής έχουμε παρουσιάσει τις έννοιες και τις μεθόδους της μαθηματικής ανάλυσης σε διαισθητικό επίπεδο και δεν διστάσαμε να καταφύγουμε σε γεωμετρικά σχήματα. Απομένει να εξετάσουμε εν συντομία τις πιο αυστηρές μεθόδους που εμφανίστηκαν τον 19ο και τον 20ό αιώνα.

Στις αρχές του 19ου αιώνα, όταν τελείωσε η εποχή της καταιγίδας και της πίεσης στη «δημιουργία της μαθηματικής ανάλυσης», ήρθαν στο προσκήνιο τα ερωτήματα για την αιτιολόγησή της. Στα έργα του Abel, του Cauchy και ορισμένων άλλων εξαιρετικών μαθηματικών, καθορίστηκαν επακριβώς οι έννοιες «όριο», «συνεχής συνάρτηση», «συγκλίνουσα σειρά». Αυτό ήταν απαραίτητο προκειμένου να εισαχθεί η λογική τάξη στη βάση της μαθηματικής ανάλυσης προκειμένου να γίνει αξιόπιστο ερευνητικό εργαλείο. Η ανάγκη για μια διεξοδική αιτιολόγηση έγινε ακόμη πιο προφανής μετά την ανακάλυψη το 1872 από τον Weierstrass συναρτήσεων που ήταν παντού συνεχείς αλλά πουθενά διαφοροποιήσιμες (το γράφημα τέτοιων συναρτήσεων έχει μια συστροφή σε κάθε σημείο). Αυτό το αποτέλεσμα είχε μια εκπληκτική επίδραση στους μαθηματικούς, καθώς έρχεται σε σαφή αντίφαση με τη γεωμετρική τους διαίσθηση. Ένα ακόμη πιο εντυπωσιακό παράδειγμα της αναξιοπιστίας της γεωμετρικής διαίσθησης ήταν η συνεχής καμπύλη που κατασκεύασε ο D. Peano, η οποία γεμίζει πλήρως ένα ορισμένο τετράγωνο, δηλ. περνώντας από όλα τα σημεία του. Αυτές και άλλες ανακαλύψεις έδωσαν αφορμή για το πρόγραμμα της «αριθμητοποίησης» των μαθηματικών, δηλ. καθιστώντας το πιο αξιόπιστο γειώνοντας όλες τις μαθηματικές έννοιες χρησιμοποιώντας την έννοια του αριθμού. Η σχεδόν πουριτανική αποχή από τη σαφήνεια στις εργασίες για τα θεμέλια των μαθηματικών είχε την ιστορική της δικαίωση.

Σύμφωνα με τους σύγχρονους κανόνες λογικής αυστηρότητας, είναι απαράδεκτο να μιλάμε για την περιοχή κάτω από την καμπύλη y = φά(Χ) και πάνω από το τμήμα του άξονα Χ, ακόμη και φά- μια συνεχής συνάρτηση, χωρίς να ορίζεται προηγουμένως η ακριβής σημασία του όρου «περιοχή» και χωρίς να διαπιστωθεί ότι η περιοχή που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο υπάρχει στην πραγματικότητα. Αυτό το πρόβλημα επιλύθηκε με επιτυχία το 1854 από τον B. Riemann, ο οποίος έδωσε έναν ακριβή ορισμό της έννοιας ενός ορισμένου ολοκληρώματος. Έκτοτε, η ιδέα της άθροισης πίσω από την έννοια ενός ορισμένου ολοκληρώματος έχει αποτελέσει αντικείμενο πολλών εις βάθος μελετών και γενικεύσεων. Ως αποτέλεσμα, σήμερα είναι δυνατό να δοθεί νόημα στο οριστικό ολοκλήρωμα, ακόμα κι αν το ολοκλήρωμα είναι παντού ασυνεχές. Οι νέες έννοιες της ολοκλήρωσης, στη δημιουργία των οποίων ο A. Lebesgue (1875–1941) και άλλοι μαθηματικοί συνέβαλαν σημαντικά, αύξησαν τη δύναμη και την ομορφιά της σύγχρονης μαθηματικής ανάλυσης.

Δεν θα ήταν σκόπιμο να υπεισέλθουμε σε λεπτομέρειες για όλες αυτές και άλλες έννοιες. Θα περιοριστούμε μόνο στο να δώσουμε αυστηρούς ορισμούς για το όριο και το οριστικό ολοκλήρωμα.

Συμπερασματικά, ας πούμε ότι η μαθηματική ανάλυση, όντας ένα εξαιρετικά πολύτιμο εργαλείο στα χέρια ενός επιστήμονα και μηχανικού, εξακολουθεί να προσελκύει την προσοχή των μαθηματικών σήμερα ως πηγή γόνιμων ιδεών. Ταυτόχρονα, η σύγχρονη ανάπτυξη φαίνεται να δείχνει ότι η μαθηματική ανάλυση απορροφάται όλο και περισσότερο από εκείνους που κυριαρχούσαν στον 20ό αιώνα. κλάδους των μαθηματικών όπως η αφηρημένη άλγεβρα και η τοπολογία.

Στην οποία εξετάσαμε τις απλούστερες παραγώγους, και επίσης γνωρίσαμε τους κανόνες διαφοροποίησης και ορισμένες τεχνικές τεχνικές για την εύρεση παραγώγων. Έτσι, εάν δεν είστε πολύ καλοί με τις παραγώγους συναρτήσεων ή κάποια σημεία σε αυτό το άρθρο δεν είναι απολύτως ξεκάθαρα, τότε διαβάστε πρώτα το παραπάνω μάθημα. Σας παρακαλώ να έχετε μια σοβαρή διάθεση - το υλικό δεν είναι απλό, αλλά θα προσπαθήσω να το παρουσιάσω απλά και καθαρά.

Στην πράξη, πρέπει να ασχολείσαι με την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης πολύ συχνά, θα έλεγα μάλιστα, σχεδόν πάντα, όταν σου ανατίθενται εργασίες να βρεις παραγώγους.

Εξετάζουμε τον πίνακα στον κανόνα (Νο. 5) για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης:

Ας το καταλάβουμε. Πρώτα απ 'όλα, ας προσέξουμε το λήμμα. Εδώ έχουμε δύο συναρτήσεις - και , και η συνάρτηση, μεταφορικά μιλώντας, είναι ένθετη μέσα στη συνάρτηση . Μια συνάρτηση αυτού του τύπου (όταν μια συνάρτηση είναι ένθετη μέσα σε μια άλλη) ονομάζεται σύνθετη συνάρτηση.

Θα καλέσω τη συνάρτηση εξωτερική λειτουργίακαι τη συνάρτηση – εσωτερική (ή ένθετη) λειτουργία.

! Αυτοί οι ορισμοί δεν είναι θεωρητικοί και δεν πρέπει να εμφανίζονται στον τελικό σχεδιασμό των εργασιών. Χρησιμοποιώ άτυπες εκφράσεις "εξωτερική λειτουργία", "εσωτερική" λειτουργία μόνο για να σας διευκολύνω να κατανοήσετε το υλικό.

Για να διευκρινίσετε την κατάσταση, σκεφτείτε:

Παράδειγμα 1

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Κάτω από το ημίτονο δεν έχουμε μόνο το γράμμα "X", αλλά μια ολόκληρη έκφραση, οπότε η εύρεση της παραγώγου αμέσως από τον πίνακα δεν θα λειτουργήσει. Παρατηρούμε επίσης ότι είναι αδύνατο να εφαρμοστούν οι τέσσερις πρώτοι κανόνες εδώ, φαίνεται να υπάρχει μια διαφορά, αλλά το γεγονός είναι ότι το ημίτονο δεν μπορεί να «σκιστεί σε κομμάτια»:

Σε αυτό το παράδειγμα, είναι ήδη διαισθητικά σαφές από τις εξηγήσεις μου ότι μια συνάρτηση είναι μια σύνθετη συνάρτηση και το πολυώνυμο είναι μια εσωτερική συνάρτηση (ενσωμάτωση) και μια εξωτερική συνάρτηση.

Το πρώτο βήμααυτό που πρέπει να κάνετε όταν βρίσκετε την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι να να κατανοήσουν ποια συνάρτηση είναι εσωτερική και ποια εξωτερική.

Στην περίπτωση απλών παραδειγμάτων, φαίνεται ξεκάθαρο ότι ένα πολυώνυμο είναι ενσωματωμένο κάτω από το ημίτονο. Τι γίνεται όμως αν όλα δεν είναι προφανή; Πώς να προσδιορίσετε με ακρίβεια ποια λειτουργία είναι εξωτερική και ποια εσωτερική; Για να γίνει αυτό, προτείνω να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη τεχνική, η οποία μπορεί να γίνει νοερά ή σε προσχέδιο.

Ας φανταστούμε ότι πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης στο σε μια αριθμομηχανή (αντί για ένα μπορεί να υπάρχει οποιοσδήποτε αριθμός).

Τι θα υπολογίσουμε πρώτα; Πρωτα απο ολαθα χρειαστεί να εκτελέσετε την ακόλουθη ενέργεια: , επομένως το πολυώνυμο θα είναι μια εσωτερική συνάρτηση:

κατα δευτερονθα χρειαστεί να βρεθεί, άρα το ημιτονικό – θα είναι μια εξωτερική συνάρτηση:

Μετά εμείς ΕΞΑΝΤΛΗΜΕΝΑμε εσωτερικές και εξωτερικές λειτουργίες, ήρθε η ώρα να εφαρμόσουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των πολύπλοκων συναρτήσεων .

Ας αρχίσουμε να αποφασίζουμε. Από το μάθημα Πώς να βρείτε το παράγωγο;θυμόμαστε ότι ο σχεδιασμός μιας λύσης σε οποιαδήποτε παράγωγο ξεκινά πάντα έτσι - περικλείουμε την έκφραση σε παρενθέσεις και βάζουμε μια πινελιά πάνω δεξιά:

Αρχικάβρίσκουμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης (ημιτονοειδές), κοιτάμε τον πίνακα παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων και παρατηρούμε ότι . Όλοι οι τύποι πίνακα ισχύουν επίσης εάν το "x" αντικατασταθεί με μια σύνθετη έκφραση, σε αυτήν την περίπτωση:

Σημειώστε ότι η εσωτερική λειτουργία δεν έχει αλλάξει, δεν το αγγίζουμε.

Λοιπόν, είναι προφανές ότι

Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του τύπου στην τελική του μορφή μοιάζει με αυτό:

Ο σταθερός παράγοντας τοποθετείται συνήθως στην αρχή της έκφρασης:

Εάν υπάρχει κάποια παρεξήγηση, γράψτε τη λύση σε χαρτί και διαβάστε ξανά τις εξηγήσεις.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όπως πάντα, γράφουμε:

Ας δούμε πού έχουμε μια εξωτερική λειτουργία και πού μια εσωτερική. Για να γίνει αυτό, προσπαθούμε (διανοητικά ή σε προσχέδιο) να υπολογίσουμε την τιμή της έκφρασης στο . Τι πρέπει να κάνετε πρώτα; Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να υπολογίσετε με τι ισούται η βάση: επομένως, το πολυώνυμο είναι η εσωτερική συνάρτηση:

Και μόνο τότε εκτελείται η εκτόξευση, επομένως, η συνάρτηση ισχύος είναι μια εξωτερική συνάρτηση:

Σύμφωνα με τον τύπο , πρώτα πρέπει να βρείτε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, σε αυτήν την περίπτωση, τον βαθμό. Αναζητούμε τον απαιτούμενο τύπο στον πίνακα: . Επαναλαμβάνουμε ξανά: οποιοσδήποτε τύπος πίνακα ισχύει όχι μόνο για το "X", αλλά και για μια σύνθετη έκφραση. Έτσι, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης Επόμενο:

Τονίζω ξανά ότι όταν παίρνουμε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης, η εσωτερική μας συνάρτηση δεν αλλάζει:

Τώρα το μόνο που μένει είναι να βρείτε μια πολύ απλή παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και να τροποποιήσετε λίγο το αποτέλεσμα:

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Για να εμπεδώσω την κατανόησή σας για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης, θα δώσω ένα παράδειγμα χωρίς σχόλια, προσπαθήστε να το καταλάβετε μόνοι σας, αιτιολογήστε πού βρίσκεται η εξωτερική και πού η εσωτερική συνάρτηση, γιατί οι εργασίες λύνονται με αυτόν τον τρόπο;

Παράδειγμα 5

α) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

β) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ έχουμε μια ρίζα, και για να διαφοροποιηθεί η ρίζα, πρέπει να αναπαρασταθεί ως δύναμη. Έτσι, πρώτα φέρνουμε τη συνάρτηση στη μορφή που είναι κατάλληλη για διαφοροποίηση:

Αναλύοντας τη συνάρτηση, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το άθροισμα των τριών όρων είναι εσωτερική συνάρτηση και η αύξηση σε ισχύ είναι εξωτερική συνάρτηση. Εφαρμόζουμε τον κανόνα της διαφοροποίησης των μιγαδικών συναρτήσεων :

Και πάλι παριστάνουμε τον βαθμό ως ρίζα (ρίζα) και για την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης εφαρμόζουμε έναν απλό κανόνα για τη διαφοροποίηση του αθροίσματος:

Ετοιμος. Μπορείτε επίσης να μειώσετε την έκφραση σε έναν κοινό παρονομαστή σε αγκύλες και να γράψετε τα πάντα ως ένα κλάσμα. Είναι όμορφο, φυσικά, αλλά όταν λαμβάνετε δυσκίνητα μακροπρόθεσμα παράγωγα, είναι καλύτερα να μην το κάνετε αυτό (είναι εύκολο να μπερδευτείτε, να κάνετε ένα περιττό λάθος και θα είναι άβολο για τον δάσκαλο να ελέγξει).

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι μερικές φορές αντί για τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας μιγαδικής συνάρτησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση ενός πηλίκου , αλλά μια τέτοια λύση θα μοιάζει με ασυνήθιστη διαστροφή. Ακολουθεί ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα:

Παράδειγμα 8

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου , αλλά είναι πολύ πιο κερδοφόρο να βρεθεί η παράγωγος μέσω του κανόνα διαφοροποίησης μιας σύνθετης συνάρτησης:

Προετοιμάζουμε τη συνάρτηση για διαφοροποίηση - μετακινούμε το μείον από το πρόσημο της παραγώγου και ανεβάζουμε το συνημίτονο στον αριθμητή:

Το συνημίτονο είναι μια εσωτερική συνάρτηση, η εκθετικότητα είναι μια εξωτερική συνάρτηση.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μας :

Βρίσκουμε την παράγωγο της εσωτερικής συνάρτησης και επαναφέρουμε το συνημίτονο:

Ετοιμος. Στο εξεταζόμενο παράδειγμα, είναι σημαντικό να μην μπερδεύεστε στα ζώδια. Παρεμπιπτόντως, προσπαθήστε να το λύσετε χρησιμοποιώντας τον κανόνα , οι απαντήσεις πρέπει να ταιριάζουν.

Παράδειγμα 9

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας (απάντηση στο τέλος του μαθήματος).

Μέχρι στιγμής έχουμε εξετάσει περιπτώσεις όπου είχαμε μόνο μία φωλιά σε μια σύνθετη συνάρτηση. Σε πρακτικές εργασίες, μπορείτε συχνά να βρείτε παράγωγα, όπου, όπως οι κούκλες που φωλιάζουν, η μία μέσα στην άλλη, 3 ή ακόμα και 4-5 συναρτήσεις είναι φωλιασμένες ταυτόχρονα.

Παράδειγμα 10

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Ας κατανοήσουμε τα συνημμένα αυτής της συνάρτησης. Ας προσπαθήσουμε να υπολογίσουμε την έκφραση χρησιμοποιώντας την πειραματική τιμή. Πώς θα υπολογίζαμε σε μια αριθμομηχανή;

Πρώτα πρέπει να βρείτε , που σημαίνει ότι το τόξο είναι η βαθύτερη ενσωμάτωση:

Αυτό το τόξο του ενός πρέπει στη συνέχεια να τετραγωνιστεί:

Και τέλος, ανεβάζουμε επτά σε δύναμη:

Δηλαδή, σε αυτό το παράδειγμα έχουμε τρεις διαφορετικές συναρτήσεις και δύο ενσωματώσεις, ενώ η πιο εσωτερική συνάρτηση είναι το τόξο και η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η εκθετική συνάρτηση.

Ας αρχίσουμε να αποφασίζουμε

Σύμφωνα με τον κανόνα Πρώτα πρέπει να πάρετε την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης. Κοιτάμε τον πίνακα των παραγώγων και βρίσκουμε την παράγωγο της εκθετικής συνάρτησης: Η μόνη διαφορά είναι ότι αντί για «x» έχουμε μια σύνθετη έκφραση, η οποία δεν αναιρεί την εγκυρότητα αυτού του τύπου. Άρα, το αποτέλεσμα της εφαρμογής του κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης Επόμενο.

Η επίλυση φυσικών προβλημάτων ή παραδειγμάτων στα μαθηματικά είναι εντελώς αδύνατη χωρίς γνώση της παραγώγου και των μεθόδων υπολογισμού της. Η παράγωγος είναι μια από τις πιο σημαντικές έννοιες στη μαθηματική ανάλυση. Αποφασίσαμε να αφιερώσουμε το σημερινό άρθρο σε αυτό το θεμελιώδες θέμα. Τι είναι η παράγωγος, ποια η φυσική και γεωμετρική της σημασία, πώς υπολογίζεται η παράγωγος μιας συνάρτησης; Όλες αυτές οι ερωτήσεις μπορούν να συνδυαστούν σε μία: πώς να κατανοήσουμε την παράγωγο;

Γεωμετρική και φυσική σημασία της παραγώγου

Ας υπάρχει μια συνάρτηση f(x) , καθορίζεται σε ένα ορισμένο διάστημα (α, β) . Τα σημεία x και x0 ανήκουν σε αυτό το διάστημα. Όταν το x αλλάζει, αλλάζει και η ίδια η συνάρτηση. Αλλαγή του επιχειρήματος - η διαφορά στις τιμές του x-x0 . Αυτή η διαφορά γράφεται ως δέλτα x και ονομάζεται προσαύξηση ορίσματος. Μια αλλαγή ή αύξηση μιας συνάρτησης είναι η διαφορά μεταξύ των τιμών μιας συνάρτησης σε δύο σημεία. Ορισμός παραγώγου:

Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι το όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο προς την αύξηση του ορίσματος όταν το τελευταίο τείνει στο μηδέν.

Διαφορετικά μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Τι νόημα έχει να βρεις ένα τέτοιο όριο; Και να τι είναι:

η παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας μεταξύ του άξονα OX και της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο.


Φυσική σημασία του παραγώγου: η παράγωγος της διαδρομής ως προς το χρόνο είναι ίση με την ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης.

Πράγματι, από τα σχολικά χρόνια όλοι γνωρίζουν ότι η ταχύτητα είναι μια ιδιαίτερη διαδρομή x=f(t) και του χρόνου t . Μέση ταχύτητα για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο:

Για να μάθετε την ταχύτητα κίνησης σε μια χρονική στιγμή t0 πρέπει να υπολογίσετε το όριο:

Κανόνας πρώτος: ορίστε μια σταθερά

Η σταθερά μπορεί να αφαιρεθεί από το παράγωγο πρόσημο. Επιπλέον, αυτό πρέπει να γίνει. Όταν λύνετε παραδείγματα στα μαθηματικά, πάρτε το ως κανόνα - Εάν μπορείτε να απλοποιήσετε μια έκφραση, φροντίστε να την απλοποιήσετε .

Παράδειγμα. Ας υπολογίσουμε την παράγωγο:

Κανόνας δεύτερος: παράγωγος του αθροίσματος των συναρτήσεων

Η παράγωγος του αθροίσματος δύο συναρτήσεων είναι ίση με το άθροισμα των παραγώγων αυτών των συναρτήσεων. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο της διαφοράς των συναρτήσεων.

Δεν θα δώσουμε μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά θα εξετάσουμε μάλλον ένα πρακτικό παράδειγμα.

Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης:

Κανόνας τρίτος: παράγωγος του γινομένου των συναρτήσεων

Η παράγωγος του γινομένου δύο διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων υπολογίζεται με τον τύπο:

Παράδειγμα: βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης:

Λύση:

Είναι σημαντικό να μιλήσουμε για τον υπολογισμό των παραγώγων μιγαδικών συναρτήσεων εδώ. Η παράγωγος μιας μιγαδικής συνάρτησης είναι ίση με το γινόμενο της παραγώγου αυτής της συνάρτησης ως προς το ενδιάμεσο όρισμα και την παράγωγο του ενδιάμεσου ορίσματος ως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στο παραπάνω παράδειγμα συναντάμε την έκφραση:

Σε αυτήν την περίπτωση, το ενδιάμεσο όρισμα είναι 8x στην πέμπτη δύναμη. Για να υπολογίσουμε την παράγωγο μιας τέτοιας έκφρασης, υπολογίζουμε πρώτα την παράγωγο της εξωτερικής συνάρτησης σε σχέση με το ενδιάμεσο όρισμα και στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε με την παράγωγο του ίδιου του ενδιάμεσου ορίσματος σε σχέση με την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Κανόνας τέταρτος: παράγωγος του πηλίκου δύο συναρτήσεων

Τύπος για τον προσδιορισμό της παραγώγου του πηλίκου δύο συναρτήσεων:

Προσπαθήσαμε να μιλήσουμε για παράγωγα για ομοιώματα από την αρχή. Αυτό το θέμα δεν είναι τόσο απλό όσο φαίνεται, γι' αυτό προειδοποιήστε: υπάρχουν συχνά παγίδες στα παραδείγματα, επομένως να είστε προσεκτικοί κατά τον υπολογισμό των παραγώγων.

Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις σχετικά με αυτό ή άλλα θέματα, μπορείτε να επικοινωνήσετε φοιτητική υπηρεσία. Σε σύντομο χρονικό διάστημα, θα σας βοηθήσουμε να λύσετε το πιο δύσκολο τεστ και να κατανοήσετε τις εργασίες, ακόμα κι αν δεν έχετε κάνει ποτέ στο παρελθόν υπολογισμούς παραγώγων.