Ο αντίστροφος πίνακας για έναν δεδομένο πίνακα είναι ένας τέτοιος πίνακας, πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό με τον οποίο δίνει τον πίνακα ταυτότητας: Μια υποχρεωτική και επαρκής προϋπόθεση για την παρουσία ενός αντίστροφου πίνακα είναι ο προσδιοριστής του αρχικού πίνακα να είναι όχι ίσο με μηδέν (που με τη σειρά του σημαίνει ότι ο πίνακας πρέπει να είναι τετράγωνος). Εάν η ορίζουσα ενός πίνακα είναι ίση με μηδέν, τότε ονομάζεται ενικός και ένας τέτοιος πίνακας δεν έχει αντίστροφο. Στα ανώτερα μαθηματικά, οι αντίστροφοι πίνακες είναι σημαντικοί και χρησιμοποιούνται για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων. Για παράδειγμα, στις βρίσκοντας τον αντίστροφο πίνακακατασκευάστηκε μια μέθοδος μήτρας για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Το σέρβις μας το επιτρέπει υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα onlineδύο μέθοδοι: η μέθοδος Gauss-Jordan και η χρήση του πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών. Ο πρώτος περιλαμβάνει μεγάλο αριθμό στοιχειωδών μετασχηματισμών εντός του πίνακα, ο δεύτερος περιλαμβάνει τον υπολογισμό της ορίζουσας και των αλγεβρικών προσθηκών σε όλα τα στοιχεία. Για τον υπολογισμό της ορίζουσας μιας μήτρας στο διαδίκτυο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την άλλη υπηρεσία μας - Υπολογισμός της ορίζουσας μιας μήτρας στο διαδίκτυο

.

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα για τον ιστότοπο

δικτυακός τόποςσας επιτρέπει να βρείτε αντίστροφη μήτρα σε απευθείας σύνδεσηγρήγορα και δωρεάν. Στο site γίνονται υπολογισμοί με χρήση της υπηρεσίας μας και δίνεται το αποτέλεσμα με αναλυτική λύση για εύρεση αντίστροφη μήτρα. Ο διακομιστής δίνει πάντα μόνο μια ακριβή και σωστή απάντηση. Σε εργασίες εξ ορισμού αντίστροφη μήτρα σε απευθείας σύνδεση, είναι απαραίτητο η ορίζουσα μήτρεςήταν μη μηδενικό, κατά τα άλλα δικτυακός τόποςθα αναφέρει την αδυναμία εύρεσης του αντίστροφου πίνακα λόγω του γεγονότος ότι η ορίζουσα του αρχικού πίνακα είναι ίση με μηδέν. Το έργο της εύρεσης αντίστροφη μήτρασυναντάται σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, αποτελώντας μια από τις πιο βασικές έννοιες της άλγεβρας και μαθηματικό εργαλείο σε εφαρμοσμένα προβλήματα. Ανεξάρτητος ορισμός του αντίστροφου πίνακααπαιτεί σημαντική προσπάθεια, πολύ χρόνο, υπολογισμούς και μεγάλη προσοχή για να αποφευχθούν τυπογραφικά λάθη ή μικρά λάθη στους υπολογισμούς. Επομένως η υπηρεσία μας εύρεση του αντίστροφου πίνακα onlineθα κάνει το έργο σας πολύ πιο εύκολο και θα γίνει ένα απαραίτητο εργαλείο για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων. Ακόμα και αν εσύ βρείτε τον αντίστροφο πίνακασας συνιστούμε να ελέγξετε τη λύση σας στον διακομιστή μας. Εισαγάγετε τον αρχικό σας πίνακα στον ιστότοπό μας Υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα ηλεκτρονικά και ελέγξτε την απάντησή σας. Το σύστημά μας δεν κάνει ποτέ λάθη και βρίσκει αντίστροφη μήτραδεδομένη διάσταση στη λειτουργία Σε σύνδεσηστη στιγμή! Στην τοποθεσία δικτυακός τόποςΟι καταχωρίσεις χαρακτήρων επιτρέπονται σε στοιχεία μήτρες, σε αυτήν την περίπτωση αντίστροφη μήτρα σε απευθείας σύνδεσηθα παρουσιαστεί σε γενική συμβολική μορφή.

Για κάθε μη ενικό πίνακα A υπάρχει ένας μοναδικός πίνακας A -1 τέτοιος ώστε

A*A -1 =A -1 *A = E,

όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας των ίδιων τάξεων με τον A. Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφος του πίνακα A.

Σε περίπτωση που κάποιος ξέχασε, στον πίνακα ταυτότητας, εκτός από τη διαγώνιο που είναι γεμάτη με μονάδες, όλες οι άλλες θέσεις γεμίζονται με μηδενικά, ένα παράδειγμα πίνακα ταυτότητας:

Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο του πρόσθετου πίνακα

Ο αντίστροφος πίνακας ορίζεται από τον τύπο:

όπου Α ij - στοιχεία α ij.

Εκείνοι. Για να υπολογίσετε τον αντίστροφο πίνακα, πρέπει να υπολογίσετε την ορίζουσα αυτού του πίνακα. Στη συνέχεια, βρείτε τα αλγεβρικά συμπληρώματα για όλα τα στοιχεία του και συνθέστε έναν νέο πίνακα από αυτά. Στη συνέχεια, πρέπει να μεταφέρετε αυτόν τον πίνακα. Και διαιρέστε κάθε στοιχείο του νέου πίνακα με την ορίζουσα του αρχικού πίνακα.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Βρείτε το A -1 για έναν πίνακα

Λύση Ας βρούμε το A -1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του πρόσθετου πίνακα. Έχουμε det A = 2. Ας βρούμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του πίνακα Α. Στην περίπτωση αυτή, τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του πίνακα θα είναι τα αντίστοιχα στοιχεία του ίδιου του πίνακα, που λαμβάνονται με πρόσημο σύμφωνα με τον τύπο

Έχουμε Α 11 = 3, Α 12 = -4, Α 21 = -1, Α 22 = 2. Σχηματίζουμε τον συνημμένο πίνακα

Μεταφέρουμε τον πίνακα A*:

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Παίρνουμε:

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθετου πίνακα, βρείτε το A -1 if

Λύση Πρώτα απ 'όλα, υπολογίζουμε τον ορισμό αυτού του πίνακα για να επαληθεύσουμε την ύπαρξη του αντίστροφου πίνακα. Εχουμε

Εδώ προσθέσαμε στα στοιχεία της δεύτερης σειράς τα στοιχεία της τρίτης σειράς, πολλαπλασιασμένα προηγουμένως με (-1), και στη συνέχεια επεκτείναμε την ορίζουσα για τη δεύτερη σειρά. Δεδομένου ότι ο ορισμός αυτού του πίνακα είναι μη μηδενικός, υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας του. Για να κατασκευάσουμε τον συνημμένο πίνακα, βρίσκουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων αυτού του πίνακα. Εχουμε

Σύμφωνα με τον τύπο

πίνακας μεταφοράς A*:

Στη συνέχεια σύμφωνα με τον τύπο

Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών

Εκτός από τη μέθοδο εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, που προκύπτει από τον τύπο (μέθοδος πρόσθετου πίνακα), υπάρχει μια μέθοδος εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, που ονομάζεται μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα

Οι ακόλουθοι μετασχηματισμοί ονομάζονται μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα:

1) αναδιάταξη σειρών (στήλες).

2) πολλαπλασιασμός μιας σειράς (στήλης) με έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν.

3) προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς (στήλης) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης), πολλαπλασιασμένα προηγουμένως με έναν ορισμένο αριθμό.

Για να βρούμε τον πίνακα A -1, κατασκευάζουμε έναν ορθογώνιο πίνακα B = (A|E) τάξεων (n; 2n), εκχωρώντας στον πίνακα A στα δεξιά τον πίνακα ταυτότητας E μέσω μιας διαχωριστικής γραμμής:

Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, βρείτε το Α -1 αν

Λύση Σχηματίζουμε τον πίνακα Β:

Ας συμβολίσουμε τις σειρές του πίνακα Β με α 1, α 2, α 3. Ας εκτελέσουμε τους παρακάτω μετασχηματισμούς στις σειρές του πίνακα Β.

Ο πίνακας $A^(-1)$ ονομάζεται αντίστροφος του τετραγωνικού πίνακα $A$ εάν η συνθήκη $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ ικανοποιείται, όπου $E $ είναι ο πίνακας ταυτότητας, η σειρά του οποίου είναι ίση με τη σειρά του πίνακα $A$.

Ένας μη ενικός πίνακας είναι ένας πίνακας του οποίου η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν. Κατά συνέπεια, ένας ενικός πίνακας είναι αυτός του οποίου η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

Ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$ υπάρχει εάν και μόνο εάν ο πίνακας $A$ δεν είναι μοναδικός. Εάν υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$, τότε είναι μοναδικός.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα, και θα δούμε δύο από αυτούς. Αυτή η σελίδα θα συζητήσει τη μέθοδο πρόσθετου πίνακα, η οποία θεωρείται τυπική στα περισσότερα ανώτερα μαθήματα μαθηματικών. Η δεύτερη μέθοδος εύρεσης του αντίστροφου πίνακα (η μέθοδος των στοιχειωδών μετασχηματισμών), η οποία περιλαμβάνει τη χρήση της μεθόδου Gauss ή της μεθόδου Gauss-Jordan, συζητείται στο δεύτερο μέρος.

Μέθοδος πρόσθετης μήτρας

Ας δοθεί ο πίνακας $A_(n\times n)$. Για να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$, απαιτούνται τρία βήματα:

  1. Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα $A$ και βεβαιωθείτε ότι $\Delta A\neq 0$, δηλ. ότι ο πίνακας Α είναι μη ενικός.
  2. Συνθέστε αλγεβρικά συμπληρώματα $A_(ij)$ για κάθε στοιχείο του πίνακα $A$ και γράψτε τον πίνακα $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ από τον αλγεβρικό που βρέθηκε συμπληρώνει.
  3. Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Ο πίνακας $(A^(*))^T$ ονομάζεται συχνά πρόσθετος (αμοιβαίος, συμμαχικός) στον πίνακα $A$.

Εάν η λύση γίνει χειροκίνητα, τότε η πρώτη μέθοδος είναι καλή μόνο για πίνακες σχετικά μικρών παραγγελιών: δεύτερη (), τρίτη (), τέταρτη (). Για να βρεθεί το αντίστροφο ενός πίνακα υψηλότερης τάξης, χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι. Για παράδειγμα, η μέθοδος Gauss, η οποία συζητείται στο δεύτερο μέρος.

Παράδειγμα Νο. 1

Βρείτε το αντίστροφο του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Εφόσον όλα τα στοιχεία της τέταρτης στήλης είναι ίσα με μηδέν, τότε $\Delta A=0$ (δηλαδή ο πίνακας $A$ είναι ενικός). Εφόσον $\Delta A=0$, δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας για τον πίνακα $A$.

Απάντηση: ο πίνακας $A^(-1)$ δεν υπάρχει.

Παράδειγμα Νο. 2

Βρείτε το αντίστροφο του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. Εκτελέστε έλεγχο.

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της πρόσθετης μήτρας. Αρχικά, ας βρούμε την ορίζουσα του δεδομένου πίνακα $A$:

$$ \Δέλτα A=\αριστερά| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Αφού $\Delta A \neq 0$, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας, επομένως θα συνεχίσουμε τη λύση. Εύρεση αλγεβρικών συμπληρωμάτων

\begin(στοιχισμένο) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(στοίχιση)

Συνθέτουμε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Μεταφέρουμε τον προκύπτοντα πίνακα: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (το Ο προκύπτων πίνακας ονομάζεται συχνά πρόσθετος ή συμμαχικός πίνακας με τον πίνακα $A$). Χρησιμοποιώντας τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, έχουμε:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Έτσι, βρέθηκε ο αντίστροφος πίνακας: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\δεξιά) $. Για να ελέγξετε την αλήθεια του αποτελέσματος, αρκεί να ελέγξετε την αλήθεια μιας από τις ισότητες: $A^(-1)\cdot A=E$ ή $A\cdot A^(-1)=E$. Ας ελέγξουμε την ισότητα $A^(-1)\cdot A=E$. Για να δουλέψουμε λιγότερο με κλάσματα, θα αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A^(-1)$ όχι με τη μορφή $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, και με τη μορφή $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array )\right)$:

$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array)\right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array )\δεξιά) =E $$

Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Παράδειγμα Νο. 3

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα για τον πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$ . Εκτελέστε έλεγχο.

Ας ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα $A$. Άρα, η ορίζουσα του πίνακα $A$ είναι:

$$ \Δέλτα A=\αριστερά| \begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Αφού $\Delta A\neq 0$, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας, επομένως θα συνεχίσουμε τη λύση. Βρίσκουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα κάθε στοιχείου ενός δεδομένου πίνακα:

$$ \begin(στοιχισμένη) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \end(ευθυγραμμισμένο) $$

Συνθέτουμε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών και τον μεταφέρουμε:

$$ A^*=\left(\begin(array) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\αρχή(πίνακας) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \δεξιά) . $$

Χρησιμοποιώντας τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, παίρνουμε:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Άρα $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Για να ελέγξετε την αλήθεια του αποτελέσματος, αρκεί να ελέγξετε την αλήθεια μιας από τις ισότητες: $A^(-1)\cdot A=E$ ή $A\cdot A^(-1)=E$. Ας ελέγξουμε την ισότητα $A\cdot A^(-1)=E$. Για να δουλέψουμε λιγότερο με κλάσματα, θα αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A^(-1)$ όχι με τη μορφή $\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$ και με τη μορφή $\frac(1)(26 )\cdot \left( \begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

$$ A\cdot(A^(-1)) =\αριστερά(\αρχή(πίνακας)(cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end (πίνακας) \right)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (cccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\ end (πίνακας) \δεξιά) =\αριστερά(\αρχή(πίνακας) (cccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end (πίνακας) \δεξιά) =E $$

Ο έλεγχος ήταν επιτυχής, ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$ βρέθηκε σωστά.

Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Παράδειγμα αρ. 4

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Για έναν πίνακα τέταρτης τάξης, η εύρεση του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας αλγεβρικές προσθήκες είναι κάπως δύσκολη. Ωστόσο, τέτοια παραδείγματα υπάρχουν σε δοκιμαστικά έγγραφα.

Για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα $A$. Ο καλύτερος τρόπος για να γίνει αυτό σε αυτήν την περίπτωση είναι με την αποσύνθεση της ορίζουσας κατά μήκος μιας σειράς (στήλης). Επιλέγουμε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη και βρίσκουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα κάθε στοιχείου της επιλεγμένης γραμμής ή στήλης.

Για παράδειγμα, για την πρώτη γραμμή παίρνουμε:

$$ A_(11)=\αριστερά|\begin(array)(cccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(cccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\αριστερά|\begin(array)(cccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(cccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$

Η ορίζουσα του πίνακα $A$ υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14 )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

$$ \αρχή(στοιχισμένη) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \end(ευθυγραμμισμένο) $$

Πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\end(array)\right)$.

Συνημμένος πίνακας: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\right)$.

Αντίστροφος πίνακας:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(array) \right) $$

Ο έλεγχος, εάν επιθυμείτε, μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στα προηγούμενα παραδείγματα.

Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end(πίνακας) \δεξιά) $.

Στο δεύτερο μέρος, θα εξετάσουμε έναν άλλο τρόπο εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, ο οποίος περιλαμβάνει τη χρήση μετασχηματισμών της μεθόδου Gauss ή της μεθόδου Gauss-Jordan.

Ας συνεχίσουμε τη συζήτηση για ενέργειες με πίνακες. Δηλαδή, κατά τη διάρκεια της μελέτης αυτής της διάλεξης θα μάθετε πώς να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα. Μαθαίνω. Ακόμα κι αν τα μαθηματικά είναι δύσκολα.

Τι είναι ένας αντίστροφος πίνακας; Εδώ μπορούμε να σχεδιάσουμε μια αναλογία με τους αντίστροφους αριθμούς: θεωρήστε, για παράδειγμα, τον αισιόδοξο αριθμό 5 και τον αντίστροφό του. Το γινόμενο αυτών των αριθμών είναι ίσο με ένα: . Όλα είναι παρόμοια με τις μήτρες! Το γινόμενο ενός πίνακα και του αντίστροφου πίνακα του είναι ίσο με - μήτρα ταυτότητας, που είναι το ανάλογο μήτρας της αριθμητικής μονάδας. Ωστόσο, πρώτα πρώτα – ας λύσουμε πρώτα ένα σημαντικό πρακτικό ζήτημα, δηλαδή, να μάθουμε πώς να βρίσκουμε αυτόν τον πολύ αντίστροφο πίνακα.

Τι πρέπει να γνωρίζετε και να είστε σε θέση να κάνετε για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα; Πρέπει να μπορείς να αποφασίσεις προκριματικά. Πρέπει να καταλάβετε τι είναι μήτρακαι να μπορείς να κάνεις κάποιες ενέργειες μαζί τους.

Υπάρχουν δύο κύριες μέθοδοι για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα:
με τη χρήση αλγεβρικές προσθήκεςΚαι χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Σήμερα θα μελετήσουμε την πρώτη, απλούστερη μέθοδο.

Ας ξεκινήσουμε με το πιο τρομερό και ακατανόητο. Ας σκεφτούμε τετράγωνομήτρα. Ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Όπου είναι η ορίζουσα του πίνακα, είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Η έννοια του αντίστροφου πίνακα υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακες, πίνακες «δύο επί δύο», «τρία επί τρία» κ.λπ.

Ονομασίες: Όπως ίσως έχετε ήδη παρατηρήσει, ο αντίστροφος πίνακας συμβολίζεται με έναν εκθέτη

Ας ξεκινήσουμε με την απλούστερη περίπτωση - έναν πίνακα δύο προς δύο. Τις περισσότερες φορές, φυσικά, απαιτείται "τρία επί τρία", αλλά, ωστόσο, συνιστώ ανεπιφύλακτα να μελετήσετε μια απλούστερη εργασία για να κατανοήσετε τη γενική αρχή της λύσης.

Παράδειγμα:

Βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα

Ας αποφασίσουμε. Είναι βολικό να αναλύετε την ακολουθία των ενεργειών σημείο προς σημείο.

1) Πρώτα βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα.

Εάν δεν κατανοείτε καλά αυτήν την ενέργεια, διαβάστε το υλικό Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Σπουδαίος!Εάν η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με ΜΗΔΕΝ– αντίστροφος πίνακας ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, όπως αποδείχθηκε, , που σημαίνει ότι όλα είναι εντάξει.

2) Βρείτε τον πίνακα των ανηλίκων.

Για να λύσουμε το πρόβλημά μας, δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τι είναι ανήλικο, ωστόσο, καλό είναι να διαβάσετε το άρθρο Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα.

Ο πίνακας των ανηλίκων έχει τις ίδιες διαστάσεις με τον πίνακα, δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση.
Το μόνο που μένει είναι να βρείτε τέσσερις αριθμούς και να τους βάλετε αντί για αστερίσκους.

Ας επιστρέψουμε στο matrix μας
Ας δούμε πρώτα το επάνω αριστερό στοιχείο:

Πώς να το βρείτε ανήλικος?
Και αυτό γίνεται ως εξής: Διαγράφετε ΝΟΗΤΙΚΑ τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται αυτό το στοιχείο:

Ο αριθμός που απομένει είναι ήσσονος σημασίας αυτού του στοιχείου, που γράφουμε στη μήτρα των ανηλίκων:

Εξετάστε το ακόλουθο στοιχείο μήτρας:

Διαγράψτε νοερά τη γραμμή και τη στήλη στην οποία εμφανίζεται αυτό το στοιχείο:

Αυτό που μένει είναι το ελάσσονα αυτού του στοιχείου, το οποίο γράφουμε στον πίνακα μας:

Ομοίως, εξετάζουμε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς και βρίσκουμε τα δευτερεύοντα στοιχεία τους:


Ετοιμος.

Είναι απλό. Στη μήτρα των ανηλίκων χρειάζεσαι ΑΛΛΑΞΤΕ ΣΗΜΑΔΙΑδύο αριθμοί:

Αυτοί είναι οι αριθμοί που κύκλωσα!

– πίνακας αλγεβρικών προσθηκών των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Και απλά...

4) Να βρείτε τον μετατιθέμενο πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών.

– μετατιθέμενος πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

5) Απάντηση.

Ας θυμηθούμε τη φόρμουλα μας
Όλα βρέθηκαν!

Άρα ο αντίστροφος πίνακας είναι:

Είναι καλύτερα να αφήσετε την απάντηση ως έχει. ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙδιαιρέστε κάθε στοιχείο του πίνακα με το 2, αφού το αποτέλεσμα είναι κλασματικοί αριθμοί. Αυτή η απόχρωση συζητείται λεπτομερέστερα στο ίδιο άρθρο. Δράσεις με πίνακες.

Πώς να ελέγξετε τη λύση;

Πρέπει να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό πίνακα ή

Εξέταση:

Έχει ήδη αναφερθεί μήτρα ταυτότηταςείναι ένας πίνακας με ένα από κύρια διαγώνιοκαι μηδενικά σε άλλα μέρη.

Έτσι, ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται σωστά.

Εάν πραγματοποιήσετε τη δράση, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένας πίνακας ταυτότητας. Αυτή είναι μια από τις λίγες περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι ανταλλάξιμος, περισσότερες λεπτομέρειες μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Ιδιότητες πράξεων σε πίνακες. Εκφράσεις μήτρας. Σημειώστε επίσης ότι κατά τη διάρκεια του ελέγχου, η σταθερά (κλάσμα) μεταφέρεται προς τα εμπρός και υποβάλλεται σε επεξεργασία στο τέλος - μετά τον πολλαπλασιασμό του πίνακα. Αυτή είναι μια τυπική τεχνική.

Ας προχωρήσουμε σε μια πιο κοινή περίπτωση στην πράξη - τον πίνακα τρία προς τρία:

Παράδειγμα:

Βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα

Ο αλγόριθμος είναι ακριβώς ο ίδιος με την περίπτωση «δύο επί δύο».

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο: , όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

1) Να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα.


Εδώ αποκαλύπτεται η ορίζουσα στην πρώτη γραμμή.

Επίσης, μην ξεχνάτε αυτό, που σημαίνει ότι όλα είναι καλά - υπάρχει αντίστροφος πίνακας.

2) Βρείτε τον πίνακα των ανηλίκων.

Ο πίνακας των ανηλίκων έχει διάσταση "τρία επί τρία" , και πρέπει να βρούμε εννέα αριθμούς.

Θα εξετάσω λεπτομερώς μερικά ανήλικα:

Εξετάστε το ακόλουθο στοιχείο μήτρας:

Διαγράψτε ΝΟΗΤΙΚΑ τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται αυτό το στοιχείο:

Γράφουμε τους υπόλοιπους τέσσερις αριθμούς στην ορίζουσα «δύο επί δύο».

Αυτός ο καθοριστικός παράγοντας δύο προς δύο και είναι η ελάσσονα αυτού του στοιχείου. Πρέπει να υπολογιστεί:


Αυτό είναι όλο, το ανήλικο βρέθηκε, το γράφουμε στη μήτρα των ανηλίκων:

Όπως πιθανώς μαντέψατε, πρέπει να υπολογίσετε εννέα προσδιοριστές δύο προς δύο. Η διαδικασία, φυσικά, είναι κουραστική, αλλά η υπόθεση δεν είναι η πιο σοβαρή, μπορεί να είναι χειρότερη.

Λοιπόν, για να ενοποιήσουμε - βρίσκοντας ένα άλλο ανήλικο στις φωτογραφίες:

Προσπαθήστε να υπολογίσετε μόνοι σας τα υπόλοιπα ανήλικα.

Τελικό αποτέλεσμα:
– πίνακας ανηλίκων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Το ότι όλοι οι ανήλικοι αποδείχθηκαν αρνητικοί είναι καθαρά ατύχημα.

3) Να βρείτε τον πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών.

Στο matrix των ανηλίκων είναι απαραίτητο ΑΛΛΑΞΤΕ ΣΗΜΑΔΙΑαυστηρά για τα ακόλουθα στοιχεία:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Δεν εξετάζουμε το ενδεχόμενο να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα για έναν πίνακα «τέσσερα επί τέσσερα», καθώς μια τέτοια εργασία μπορεί να δοθεί μόνο από έναν σαδιστή δάσκαλο (για να υπολογίσει ο μαθητής μια ορίζουσα «τέσσερα επί τέσσερα» και 16 «τρία επί τρία» ορίζοντες ). Στην πρακτική μου, υπήρχε μόνο μία τέτοια περίπτωση και ο πελάτης του τεστ πλήρωσε πολύ ακριβά το μαρτύριο μου =).

Σε πολλά εγχειρίδια και εγχειρίδια μπορείτε να βρείτε μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα, αλλά συνιστώ να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο λύσης που περιγράφεται παραπάνω. Γιατί; Γιατί η πιθανότητα σύγχυσης στους υπολογισμούς και τα σημάδια είναι πολύ μικρότερη.

Μέθοδοι εύρεσης του αντίστροφου πίνακα. Θεωρήστε έναν τετράγωνο πίνακα

Ας συμβολίσουμε Δ = det A.

Ο τετραγωνικός πίνακας Α ονομάζεται μη εκφυλισμένος,ή όχι ιδιαίτερο, αν η ορίζουσα του είναι μη μηδενική, και εκφυλισμένος,ή ειδικός, ΑνΔ = 0.

Ένας τετράγωνος πίνακας Β είναι για έναν τετράγωνο πίνακα Α ίδιας τάξης εάν το γινόμενο του είναι A B = B A = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της ίδιας τάξης με τους πίνακες A και B.

Θεώρημα . Για να έχει ο πίνακας Α αντίστροφο πίνακα, είναι απαραίτητο και αρκετό η ορίζοντή του να είναι διαφορετική από το μηδέν.

Ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα Α, που συμβολίζεται με Α- 1, άρα B = A - 1 και υπολογίζεται με τον τύπο

, (1)

όπου A i j είναι αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων a i j του πίνακα A..

Ο υπολογισμός του A -1 χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) για πίνακες υψηλής τάξης είναι πολύ εντάσεως εργασίας, επομένως στην πράξη είναι βολικό να βρεθεί το A -1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών (ET). Οποιοσδήποτε μη μοναδικός πίνακας Α μπορεί να αναχθεί στον πίνακα ταυτότητας Ε μέσω ED μόνο στηλών (ή μόνο σειρών Εάν τα ED που τελειοποιήθηκαν πάνω από τον πίνακα Α εφαρμοστούν με την ίδια σειρά στον πίνακα ταυτότητας Ε, τότε το αποτέλεσμα είναι). έναν αντίστροφο πίνακα. Είναι βολικό να εκτελείτε EP στους πίνακες Α και Ε ταυτόχρονα, γράφοντας και τους δύο πίνακες δίπλα-δίπλα μέσα από μια γραμμή. Ας σημειώσουμε για άλλη μια φορά ότι κατά την αναζήτηση της κανονικής μορφής ενός πίνακα, για να τον βρείτε, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μετασχηματισμούς σειρών και στηλών. Εάν χρειάζεται να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μόνο γραμμές ή μόνο στήλες κατά τη διαδικασία μετασχηματισμού.

Παράδειγμα 1. Για μήτρα βρείτε το Α -1.

Λύση.Πρώτα βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα Α
Αυτό σημαίνει ότι ο αντίστροφος πίνακας υπάρχει και μπορούμε να τον βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο: , όπου A i j (i,j=1,2,3) είναι αλγεβρικές προσθήκες στοιχείων a i j του αρχικού πίνακα.

Οπου .

Παράδειγμα 2. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, βρείτε το A -1 για τον πίνακα: A = .

Λύση.Αντιστοιχίζουμε στον αρχικό πίνακα στα δεξιά έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας σειράς: . Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς των στηλών, θα μειώσουμε το αριστερό «μισό» στο ταυτιστικό, εκτελώντας ταυτόχρονα ακριβώς τους ίδιους μετασχηματισμούς στον δεξιό πίνακα.
Για να το κάνετε αυτό, αλλάξτε την πρώτη και τη δεύτερη στήλη: ~ . Στην τρίτη στήλη προσθέτουμε την πρώτη και στη δεύτερη - την πρώτη, πολλαπλασιασμένη με -2: . Από την πρώτη στήλη αφαιρούμε τη δεύτερη διπλασιασμένη και από την τρίτη - τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη με 6. . Ας προσθέσουμε την τρίτη στήλη στην πρώτη και τη δεύτερη: . Πολλαπλασιάστε την τελευταία στήλη με -1: . Ο τετραγωνικός πίνακας που λαμβάνεται στα δεξιά της κατακόρυφης ράβδου είναι ο αντίστροφος πίνακας του δεδομένου πίνακα Α. Άρα,
.