Ερευνητικά θέματα για τη λογική. Ερευνητική εργασία στα μαθηματικά «επίλυση λογικών προβλημάτων». Προτεινόμενες εργασίες για την Ενιαία Κρατική Εξέταση

Εισαγωγή. 3

1. Μαθηματική λογική (λογική χωρίς νόημα) και λογική «κοινή λογική» 4

2. Μαθηματικές κρίσεις και συμπεράσματα. 6

3. Μαθηματική λογική και «κοινή λογική» στον 21ο αιώνα. έντεκα

4. Αφύσικη λογική στα θεμέλια των μαθηματικών. 12

Συμπέρασμα. 17

Παραπομπές… 18

Η επέκταση της περιοχής των λογικών ενδιαφερόντων συνδέεται με γενικές τάσεις στην ανάπτυξη της επιστημονικής γνώσης. Έτσι, η εμφάνιση της μαθηματικής λογικής στα μέσα του 19ου αιώνα ήταν το αποτέλεσμα αιώνων φιλοδοξιών μαθηματικών και λογικών να οικοδομήσουν μια καθολική συμβολική γλώσσα, απαλλαγμένη από τα «ελαττώματα» της φυσικής γλώσσας (κυρίως την πολυσημία της, δηλ. την πολυσημία). .

Η περαιτέρω ανάπτυξη της λογικής συνδέεται με τη συνδυασμένη χρήση κλασικής και μαθηματικής λογικής σε εφαρμοσμένα πεδία. Οι μη κλασικές λογικές (δεοντολογική, σχετική, νομική λογική, λογική λήψης αποφάσεων κ.λπ.) συχνά ασχολούνται με την αβεβαιότητα και τη ασάφεια των υπό μελέτη αντικειμένων, με τη μη γραμμική φύση της ανάπτυξής τους. Έτσι, όταν αναλύονται μάλλον πολύπλοκα προβλήματα σε συστήματα τεχνητής νοημοσύνης, προκύπτει το πρόβλημα της συνέργειας μεταξύ διαφορετικών τύπων συλλογισμών κατά την επίλυση του ίδιου προβλήματος. Οι προοπτικές για την ανάπτυξη της λογικής σύμφωνα με τη σύγκλιση με την επιστήμη των υπολογιστών συνδέονται με τη δημιουργία μιας ορισμένης ιεραρχίας πιθανών μοντέλων συλλογισμού, συμπεριλαμβανομένου του συλλογισμού στη φυσική γλώσσα, του εύλογου συλλογισμού και των επίσημων απαγωγικών συμπερασμάτων. Αυτό μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας κλασική, μαθηματική και μη κλασική λογική. Έτσι, δεν μιλάμε για διαφορετικές «λογικές», αλλά για διαφορετικούς βαθμούς επισημοποίησης της σκέψης και τη «διάσταση» των λογικών σημασιών (λογική δύο αξιών, πολλών αξιών κ.λπ.).

Προσδιορισμός των κύριων κατευθύνσεων της σύγχρονης λογικής:

1. γενική ή κλασική λογική.

2. συμβολική ή μαθηματική λογική.

3. μη κλασική λογική.

Η μαθηματική λογική είναι μια μάλλον ασαφής έννοια, λόγω του γεγονότος ότι υπάρχουν επίσης άπειρες μαθηματικές λογικές. Εδώ θα συζητήσουμε μερικά από αυτά, αποτίοντας περισσότερο φόρο τιμής στην παράδοση παρά στην κοινή λογική. Επειδή, πολύ πιθανόν, αυτό είναι κοινή λογική... Λογικό;

Η μαθηματική λογική σας διδάσκει να συλλογίζεστε λογικά όχι περισσότερο από οποιονδήποτε άλλο κλάδο των μαθηματικών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η «λογικότητα» του συλλογισμού στη λογική καθορίζεται από την ίδια τη λογική και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σωστά μόνο στην ίδια τη λογική. Στη ζωή, όταν σκεφτόμαστε λογικά, κατά κανόνα, χρησιμοποιούμε διαφορετικές λογικές και διαφορετικές μεθόδους λογικού συλλογισμού, ανακατεύοντας ξεδιάντροπα την έκπτωση με την επαγωγή... Επιπλέον, στη ζωή χτίζουμε το συλλογισμό μας με βάση αντιφατικές προϋποθέσεις, για παράδειγμα, «Ντον «Αναβάλετε για αύριο αυτό που μπορεί να γίνει σήμερα» και «Θα κάνετε τους ανθρώπους να γελούν βιαστικά». Συμβαίνει συχνά ένα λογικό συμπέρασμα που δεν μας αρέσει να οδηγεί σε αναθεώρηση των αρχικών υποθέσεων (αξιώματα).

Ίσως ήρθε η ώρα να πούμε για τη λογική, ίσως το πιο σημαντικό: η κλασική λογική δεν ασχολείται με το νόημα. Ούτε υγιής ούτε κανένα άλλο! Για τη μελέτη της κοινής λογικής, παρεμπιπτόντως, υπάρχει ψυχιατρική. Αλλά στην ψυχιατρική, η λογική είναι μάλλον επιβλαβής.

Φυσικά, όταν διαφοροποιούμε τη λογική από την αίσθηση, εννοούμε πρώτα από όλα την κλασική λογική και την καθημερινή κατανόηση της κοινής λογικής. Δεν υπάρχουν απαγορευμένες κατευθύνσεις στα μαθηματικά, επομένως η μελέτη του νοήματος με τη λογική, και αντίστροφα, σε διάφορες μορφές είναι παρούσα σε πολλούς σύγχρονους κλάδους της λογικής επιστήμης.

(Η τελευταία πρόταση λειτούργησε καλά, αν και δεν θα προσπαθήσω να ορίσω τον όρο «λογική επιστήμη» ούτε κατά προσέγγιση). Το νόημα, ή η σημασιολογία, αν θέλετε, αντιμετωπίζεται, για παράδειγμα, από τη θεωρία μοντέλων. Και γενικά ο όρος σημασιολογία συχνά αντικαθίσταται από τον όρο ερμηνεία. Και αν συμφωνούμε με τους φιλοσόφους ότι η ερμηνεία (εμφάνιση!) ενός αντικειμένου είναι η κατανόησή του σε κάποια δεδομένη πτυχή, τότε οι οριακές σφαίρες των μαθηματικών, που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιτεθούν στο νόημα στη λογική, γίνονται ακατανόητες!

Σε πρακτικούς όρους, ο θεωρητικός προγραμματισμός αναγκάζεται να ενδιαφέρεται για τη σημασιολογία. Και σε αυτό, εκτός από την απλή σημασιολογία, υπάρχει και λειτουργική, και δηλωτική, και διαδικαστική κ.λπ. και ούτω καθεξής. σημασιολογία...

Ας αναφέρουμε απλώς την αποθέωση - Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ, η οποία έφερε τη σημασιολογία σε μια τυπική, σκοτεινή σύνταξη, όπου το νόημα είναι ήδη τόσο απλό - τοποθετημένο στα ράφια που είναι εντελώς αδύνατο για έναν απλό θνητό να φτάσει στο κάτω μέρος της ... Αυτό είναι για την ελίτ.

Τι κάνει λοιπόν η λογική; Τουλάχιστον στο πιο κλασικό του κομμάτι; Η λογική κάνει μόνο αυτό που κάνει. (Και το ορίζει εξαιρετικά αυστηρά). Το κύριο πράγμα στη λογική είναι να το ορίσουμε αυστηρά! Ορίστε τα αξιωματικά. Και τότε τα λογικά συμπεράσματα θα έπρεπε να είναι (!) σε μεγάλο βαθμό αυτόματα...

Η συλλογιστική για αυτά τα συμπεράσματα είναι άλλο θέμα! Όμως αυτά τα επιχειρήματα ξεπερνούν ήδη τα όρια της λογικής! Επομένως, απαιτούν αυστηρή μαθηματική αίσθηση!

Μπορεί να φαίνεται ότι πρόκειται για μια απλή λεκτική πράξη εξισορρόπησης. ΟΧΙ! Ως παράδειγμα ενός συγκεκριμένου λογικού (αξιωματικού) συστήματος, ας πάρουμε το γνωστό παιχνίδι 15. Ας ορίσουμε (ανακατεύουμε) την αρχική διάταξη των τετράγωνων μαρκών. Στη συνέχεια, το παιχνίδι (λογικό συμπέρασμα!), και συγκεκριμένα η μετακίνηση των μαρκών σε έναν κενό χώρο, μπορεί να χειριστεί κάποια μηχανική συσκευή και μπορείτε να παρακολουθήσετε υπομονετικά και να χαρείτε όταν, ως αποτέλεσμα πιθανών κινήσεων, μια ακολουθία από το 1 έως το 15 Κανείς όμως δεν απαγορεύει τη μηχανική συσκευή ελέγχου και την προτρέπει, ΒΑΣΕΙ ΚΟΙΝΗΣ ΛΟΓΗΣ, με τις σωστές κινήσεις των τσιπ για να επιταχύνει τη διαδικασία. Ή ίσως ακόμη και να αποδείξετε, χρησιμοποιώντας για λογικό συλλογισμό, για παράδειγμα, έναν κλάδο των μαθηματικών όπως η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ, ότι με μια δεδομένη αρχική διάταξη τσιπ είναι αδύνατο να αποκτήσετε καθόλου τον απαιτούμενο τελικό συνδυασμό!

Δεν υπάρχει πιο κοινή λογική σε εκείνο το τμήμα της λογικής που ονομάζεται ΛΟΓΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Εδώ εισάγονται ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ και ορίζονται οι ιδιότητές τους. Όπως έχει δείξει η πρακτική, σε ορισμένες περιπτώσεις οι νόμοι αυτής της άλγεβρας μπορεί να αντιστοιχούν στη λογική της ζωής, αλλά σε άλλες όχι. Λόγω μιας τέτοιας ασυνέπειας, οι νόμοι της λογικής δεν μπορούν να θεωρηθούν νόμοι από την άποψη της πρακτικής της ζωής. Η γνώση και η μηχανική χρήση τους μπορεί όχι μόνο να βοηθήσει, αλλά και να βλάψει. Ειδικά ψυχολόγοι και δικηγόροι. Η κατάσταση περιπλέκεται από το γεγονός ότι, μαζί με τους νόμους της άλγεβρας της λογικής, που μερικές φορές αντιστοιχούν ή δεν αντιστοιχούν στη λογική της ζωής, υπάρχουν λογικοί νόμοι που ορισμένοι λογικοί κατηγορηματικά δεν αναγνωρίζουν. Αυτό ισχύει πρωτίστως για τους λεγόμενους νόμους της ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗΣ ΤΡΙΤΗΣ και ΑΝΤΙΦΑΣΗΣ.

2. Μαθηματικές κρίσεις και συμπεράσματα

Στη σκέψη, οι έννοιες δεν εμφανίζονται χωριστά· συνδέονται μεταξύ τους με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Η μορφή σύνδεσης των εννοιών μεταξύ τους είναι μια κρίση. Σε κάθε κρίση, εδραιώνεται κάποια σύνδεση ή κάποια σχέση μεταξύ των εννοιών, και αυτό επιβεβαιώνει έτσι την ύπαρξη μιας σύνδεσης ή σχέσης μεταξύ των αντικειμένων που καλύπτονται από τις αντίστοιχες έννοιες. Εάν οι κρίσεις αντικατοπτρίζουν σωστά αυτές τις αντικειμενικά υπάρχουσες εξαρτήσεις μεταξύ των πραγμάτων, τότε τις ονομάζουμε αληθείς, διαφορετικά οι κρίσεις θα είναι ψευδείς. Έτσι, για παράδειγμα, η πρόταση "κάθε ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο" είναι μια αληθινή πρόταση. η πρόταση «κάθε παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος» είναι ψευδής πρόταση.

Έτσι, η κρίση είναι μια μορφή σκέψης που αντανακλά την παρουσία ή την απουσία του ίδιου του αντικειμένου (την παρουσία ή την απουσία οποιουδήποτε από τα χαρακτηριστικά και τις συνδέσεις του).

Το να σκέφτεσαι σημαίνει να κάνεις κρίσεις. Με τη βοήθεια των κρίσεων, η σκέψη και η έννοια λαμβάνουν την περαιτέρω ανάπτυξή τους.

Δεδομένου ότι κάθε έννοια αντανακλά μια συγκεκριμένη κατηγορία αντικειμένων, φαινομένων ή σχέσεων μεταξύ τους, οποιαδήποτε κρίση μπορεί να θεωρηθεί ως συμπερίληψη ή μη (μερική ή πλήρης) μιας έννοιας στην κατηγορία μιας άλλης έννοιας. Για παράδειγμα, η πρόταση «κάθε τετράγωνο είναι ένας ρόμβος» υποδηλώνει ότι η έννοια «τετράγωνο» περιλαμβάνεται στην έννοια «ρόμβος». Η πρόταση «οι τεμνόμενες ευθείες δεν είναι παράλληλες» υποδηλώνει ότι οι τεμνόμενες γραμμές δεν ανήκουν στο σύνολο των γραμμών που ονομάζονται παράλληλες.

Μια κρίση έχει το δικό της γλωσσικό κέλυφος - μια πρόταση, αλλά δεν είναι κάθε πρόταση κρίση.

Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας κρίσης είναι η υποχρεωτική παρουσία αλήθειας ή ψεύδους στην πρόταση που την εκφράζει.

Για παράδειγμα, η πρόταση "το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές" εκφράζει κάποια κρίση. η πρόταση "Θα είναι το ABC ισοσκελές;" δεν εκφράζει κρίση.

Κάθε επιστήμη ουσιαστικά αντιπροσωπεύει ένα ορισμένο σύστημα κρίσεων για τα αντικείμενα που αποτελούν το αντικείμενο της μελέτης της. Κάθε μια από τις κρίσεις επισημοποιείται με τη μορφή μιας συγκεκριμένης πρότασης, που εκφράζεται με όρους και σύμβολα που είναι εγγενείς σε αυτή την επιστήμη. Τα μαθηματικά αντιπροσωπεύουν επίσης ένα ορισμένο σύστημα κρίσεων που εκφράζεται σε μαθηματικές προτάσεις μέσω μαθηματικών ή λογικών όρων ή των αντίστοιχων συμβόλων τους. Οι μαθηματικοί όροι (ή σύμβολα) δηλώνουν εκείνες τις έννοιες που συνθέτουν το περιεχόμενο μιας μαθηματικής θεωρίας, οι λογικοί όροι (ή σύμβολα) δηλώνουν λογικές πράξεις με τη βοήθεια των οποίων κατασκευάζονται άλλες μαθηματικές προτάσεις από ορισμένες μαθηματικές προτάσεις, από ορισμένες κρίσεις σχηματίζονται άλλες κρίσεις , το σύνολο του οποίου συνιστά τα μαθηματικά ως επιστήμη.

Σε γενικές γραμμές, οι κρίσεις σχηματίζονται στη σκέψη με δύο βασικούς τρόπους: άμεσα και έμμεσα. Στην πρώτη περίπτωση, το αποτέλεσμα της αντίληψης εκφράζεται με τη βοήθεια μιας κρίσης, για παράδειγμα, "αυτό το σχήμα είναι ένας κύκλος". Στη δεύτερη περίπτωση, η κρίση προκύπτει ως αποτέλεσμα μιας ειδικής νοητικής δραστηριότητας που ονομάζεται συμπέρασμα. Για παράδειγμα, «το σύνολο των δεδομένων σημείων σε ένα επίπεδο είναι τέτοιο ώστε η απόστασή τους από ένα σημείο να είναι ίδια. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το σχήμα είναι ένας κύκλος».

Στη διαδικασία αυτής της νοητικής δραστηριότητας, συνήθως γίνεται μια μετάβαση από μία ή περισσότερες αλληλένδετες κρίσεις σε μια νέα κρίση, η οποία περιέχει νέα γνώση για το αντικείμενο μελέτης. Αυτή η μετάβαση είναι το συμπέρασμα, το οποίο αντιπροσωπεύει την υψηλότερη μορφή σκέψης.

Έτσι, το συμπέρασμα είναι η διαδικασία λήψης ενός νέου συμπεράσματος από μία ή περισσότερες δεδομένες κρίσεις. Για παράδειγμα, η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα (πρώτη πρόταση).

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 2d (δεύτερη πρόταση).

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με 4d (νέο συμπέρασμα).

Η γνωστική αξία των μαθηματικών συμπερασμάτων είναι εξαιρετικά μεγάλη. Διευρύνουν τα όρια της γνώσης μας για αντικείμενα και φαινόμενα του πραγματικού κόσμου, λόγω του γεγονότος ότι οι περισσότερες μαθηματικές προτάσεις αποτελούν συμπέρασμα από έναν σχετικά μικρό αριθμό βασικών κρίσεων, οι οποίες λαμβάνονται, κατά κανόνα, μέσω άμεσης εμπειρίας και οι οποίες αντικατοπτρίζουν απλούστερες και πιο γενικές γνώσεις για τα αντικείμενά του.

Το συμπέρασμα διαφέρει (ως μορφή σκέψης) από τις έννοιες και τις κρίσεις στο ότι είναι μια λογική λειτουργία μεμονωμένων σκέψεων.

Κάθε συνδυασμός κρίσεων μεταξύ τους δεν συνιστά συμπέρασμα: πρέπει να υπάρχει μια ορισμένη λογική σύνδεση μεταξύ των κρίσεων, που να αντικατοπτρίζει την αντικειμενική σύνδεση που υπάρχει στην πραγματικότητα.

Για παράδειγμα, δεν μπορεί κανείς να βγάλει συμπέρασμα από τις προτάσεις «το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 2d» και «2*2=4».

Είναι σαφές τι σημασία έχει στο σύστημα των μαθηματικών μας γνώσεων η ικανότητα να κατασκευάζουμε σωστά διάφορες μαθηματικές προτάσεις ή να βγάζουμε συμπεράσματα στη διαδικασία του συλλογισμού. Ο προφορικός λόγος δεν είναι κατάλληλος για την έκφραση ορισμένων κρίσεων, πολύ λιγότερο για τον προσδιορισμό της λογικής δομής του συλλογισμού. Επομένως, είναι φυσικό να υπήρχε ανάγκη βελτίωσης της γλώσσας που χρησιμοποιήθηκε στη διαδικασία συλλογισμού. Η μαθηματική (ή μάλλον, συμβολική) γλώσσα αποδείχθηκε η πιο κατάλληλη για αυτό. Το ειδικό πεδίο της επιστήμης που εμφανίστηκε τον 19ο αιώνα, η μαθηματική λογική, όχι μόνο έλυσε πλήρως το πρόβλημα της δημιουργίας μιας θεωρίας μαθηματικής απόδειξης, αλλά είχε επίσης μεγάλη επιρροή στην ανάπτυξη των μαθηματικών στο σύνολό τους.

Η τυπική λογική (η οποία προέκυψε στα αρχαία χρόνια στα έργα του Αριστοτέλη) δεν ταυτίζεται με τη μαθηματική λογική (η οποία προέκυψε τον 19ο αιώνα στα έργα του Άγγλου μαθηματικού J. Boole). Αντικείμενο της τυπικής λογικής είναι η μελέτη των νόμων της σχέσης κρίσεων και εννοιών σε συμπεράσματα και κανόνες απόδειξης. Η μαθηματική λογική διαφέρει από την τυπική λογική στο ότι, με βάση τους βασικούς νόμους της τυπικής λογικής, διερευνά τα πρότυπα των λογικών διαδικασιών που βασίζονται στη χρήση μαθηματικών μεθόδων: «Οι λογικές συνδέσεις που υπάρχουν μεταξύ κρίσεων, εννοιών κ.λπ., εκφράζονται σε τύπους, η ερμηνεία των οποίων είναι απαλλαγμένη από ασάφειες που θα μπορούσαν εύκολα να προκύψουν από τη λεκτική έκφραση. Έτσι, η μαθηματική λογική χαρακτηρίζεται από επισημοποίηση των λογικών πράξεων, πληρέστερη αφαίρεση από το συγκεκριμένο περιεχόμενο των προτάσεων (εκφράζοντας οποιαδήποτε κρίση).

Ας το ερμηνεύσουμε αυτό με ένα παράδειγμα. Εξετάστε το ακόλουθο συμπέρασμα: «Αν όλα τα φυτά είναι κόκκινα και όλα τα σκυλιά είναι φυτά, τότε όλα τα σκυλιά είναι κόκκινα».

Καθεμία από τις κρίσεις που χρησιμοποιήθηκαν εδώ και η κρίση που λάβαμε ως αποτέλεσμα συγκρατημένων συμπερασμάτων φαίνεται να είναι ανοησία. Ωστόσο, από τη σκοπιά της μαθηματικής λογικής, εδώ έχουμε να κάνουμε με μια αληθή πρόταση, αφού στη μαθηματική λογική το αληθές ή το ψεύδος ενός συμπεράσματος εξαρτάται μόνο από την αλήθεια ή το ψεύδος των συνιστωσών του και όχι από το συγκεκριμένο περιεχόμενό τους. Επομένως, εάν μία από τις βασικές έννοιες της τυπικής λογικής είναι μια κρίση, τότε η ανάλογη έννοια της μαθηματικής λογικής είναι η έννοια μιας δήλωσης-δήλωσης, για την οποία έχει νόημα μόνο να πούμε αν είναι αλήθεια ή ψευδές. Δεν πρέπει να πιστεύει κανείς ότι κάθε δήλωση χαρακτηρίζεται από έλλειψη «κοινής λογικής» στο περιεχόμενό της. Απλώς το σημαντικό μέρος της πρότασης που συνθέτει αυτή ή εκείνη τη δήλωση ξεθωριάζει στο παρασκήνιο στη μαθηματική λογική και είναι ασήμαντο για τη λογική κατασκευή ή ανάλυση αυτού ή εκείνου του συμπεράσματος. (Αν και, φυσικά, είναι απαραίτητο για την κατανόηση του περιεχομένου αυτού που συζητείται κατά την εξέταση αυτού του θέματος.)

Είναι σαφές ότι στα ίδια τα μαθηματικά λαμβάνονται υπόψη σημαντικές δηλώσεις. Καθιερώνοντας διάφορες συνδέσεις και σχέσεις μεταξύ των εννοιών, οι μαθηματικές κρίσεις επιβεβαιώνουν ή αρνούνται οποιεσδήποτε σχέσεις μεταξύ αντικειμένων και φαινομένων της πραγματικότητας.

3. Μαθηματική λογική και «κοινή λογική» στον 21ο αιώνα.

Η λογική δεν είναι μόνο μια καθαρά μαθηματική, αλλά και μια φιλοσοφική επιστήμη. Στον 20ο αιώνα, αυτές οι δύο αλληλένδετες υποστάσεις της λογικής αποδείχτηκαν χωρισμένες σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Από τη μια πλευρά, η λογική νοείται ως η επιστήμη των νόμων της σωστής σκέψης και από την άλλη, παρουσιάζεται ως ένα σύνολο χαλαρά συνδεδεμένων τεχνητών γλωσσών, οι οποίες ονομάζονται επίσημα λογικά συστήματα.

Για πολλούς είναι προφανές ότι η σκέψη είναι μια σύνθετη διαδικασία με τη βοήθεια της οποίας λύνονται καθημερινά, επιστημονικά ή φιλοσοφικά προβλήματα και γεννιούνται λαμπρές ιδέες ή μοιραίες αυταπάτες. Η γλώσσα κατανοείται από πολλούς απλώς ως ένα μέσο με το οποίο τα αποτελέσματα της σκέψης μπορούν να μεταδοθούν στους σύγχρονους ή να αφεθούν στους απογόνους. Όμως, έχοντας συνδέσει στη συνείδησή μας τη σκέψη με την έννοια της «διαδικασίας» και τη γλώσσα με την έννοια του «μέσου», ουσιαστικά σταματάμε να παρατηρούμε το αμετάβλητο γεγονός ότι σε αυτή την περίπτωση το «μέσο» δεν υποτάσσεται πλήρως στη «διαδικασία». , αλλά ανάλογα με τη σκόπιμη ή ασυνείδητη επιλογή μας ορισμένων ή λεκτικών κλισέ έχει ισχυρή επιρροή στην πορεία και το αποτέλεσμα της ίδιας της «διαδικασίας». Επιπλέον, υπάρχουν πολλές περιπτώσεις όπου μια τέτοια «αντίστροφη επιρροή» αποδεικνύεται όχι μόνο εμπόδιο στη σωστή σκέψη, αλλά μερικές φορές ακόμη και ως καταστροφέας της.

Από φιλοσοφική άποψη, το έργο που τέθηκε στο πλαίσιο του λογικού θετικισμού δεν ολοκληρώθηκε ποτέ. Συγκεκριμένα, στις μεταγενέστερες μελέτες του, ένας από τους ιδρυτές αυτής της τάσης, ο Λούντβιχ Βιτγκενστάιν, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η φυσική γλώσσα δεν μπορεί να μεταρρυθμιστεί σύμφωνα με το πρόγραμμα που ανέπτυξαν οι θετικιστές. Ακόμη και η γλώσσα των μαθηματικών στο σύνολό της αντιστάθηκε στην ισχυρή πίεση του «λογικισμού», αν και πολλοί όροι και δομές της γλώσσας που πρότειναν οι θετικιστές μπήκαν σε ορισμένα τμήματα διακριτών μαθηματικών και τα συμπλήρωσαν σημαντικά. Η δημοτικότητα του λογικού θετικισμού ως φιλοσοφικής τάσης στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα μειώθηκε αισθητά - πολλοί φιλόσοφοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η απόρριψη πολλών «παραλογισμών» της φυσικής γλώσσας, μια προσπάθεια συμπίεσης της στο πλαίσιο των θεμελιωδών αρχών Ο λογικός θετικισμός συνεπάγεται την απανθρωποποίηση της διαδικασίας της γνώσης και ταυτόχρονα την απανθρωποποίηση του ανθρώπινου πολιτισμού στο σύνολό του.

Πολλές συλλογιστικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στη φυσική γλώσσα είναι συχνά πολύ δύσκολο να αντιστοιχιστούν με σαφήνεια στη γλώσσα της μαθηματικής λογικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μια τέτοια χαρτογράφηση οδηγεί σε σημαντική παραμόρφωση της ουσίας του φυσικού συλλογισμού. Και υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι αυτά τα προβλήματα είναι συνέπεια της αρχικής μεθοδολογικής θέσης της αναλυτικής φιλοσοφίας και του θετικισμού σχετικά με το παράλογο της φυσικής γλώσσας και την ανάγκη για ριζική μεταρρύθμισή της. Το πολύ πρωτότυπο μεθοδολογικό σκηνικό του θετικισμού επίσης δεν αντέχει στην κριτική. Το να κατηγορείς τον προφορικό λόγο ότι είναι παράλογο είναι απλώς παράλογο. Στην πραγματικότητα, η παραλογικότητα δεν χαρακτηρίζει την ίδια τη γλώσσα, αλλά πολλοί χρήστες αυτής της γλώσσας που απλά δεν ξέρουν ή δεν θέλουν να χρησιμοποιήσουν τη λογική και αντισταθμίζουν αυτό το ελάττωμα με ψυχολογικές ή ρητορικές τεχνικές επηρεασμού του κοινού ή στη συλλογιστική τους. ως λογική ένα σύστημα που λέγεται λογική μόνο από παρανόηση. Ταυτόχρονα, υπάρχουν πολλοί άνθρωποι των οποίων η ομιλία διακρίνεται από σαφήνεια και λογική, και αυτές οι ιδιότητες δεν καθορίζονται από τη γνώση ή την άγνοια των θεμελίων της μαθηματικής λογικής.

Στο σκεπτικό όσων μπορούν να ταξινομηθούν ως νομοθέτες ή οπαδοί της επίσημης γλώσσας της μαθηματικής λογικής, συχνά αποκαλύπτεται ένα είδος «τύφλωσης» σε σχέση με στοιχειώδη λογικά λάθη. Ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς, ο Henri Poincaré, επέστησε την προσοχή σε αυτή την τύφλωση στα θεμελιώδη έργα των G. Cantor, D. Hilbert, B. Russell, J. Peano και άλλων στις αρχές του αιώνα μας.

Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας παράλογης προσέγγισης στο συλλογισμό είναι η διατύπωση του περίφημου παραδόξου Russell, στο οποίο δύο καθαρά ετερογενείς έννοιες «στοιχείο» και «σύνολο» συγχέονται αδικαιολόγητα. Σε πολλά σύγχρονα έργα για τη λογική και τα μαθηματικά, στα οποία είναι αισθητή η επίδραση του προγράμματος του Χίλμπερτ, δεν εξηγούνται πολλές δηλώσεις που είναι σαφώς παράλογες από την άποψη της φυσικής λογικής. Η σχέση μεταξύ «στοιχείου» και «συνόλου» είναι το απλούστερο παράδειγμα αυτού του είδους. Πολλά έργα προς αυτή την κατεύθυνση υποστηρίζουν ότι ένα συγκεκριμένο σύνολο (ας το ονομάσουμε Α) μπορεί να είναι στοιχείο ενός άλλου συνόλου (ας το ονομάσουμε Β).

Για παράδειγμα, σε ένα πολύ γνωστό εγχειρίδιο για τη μαθηματική λογική θα βρούμε την ακόλουθη φράση: «Τα σύνολα μπορούν να είναι στοιχεία συνόλων, έτσι, για παράδειγμα, το σύνολο όλων των συνόλων ακεραίων αριθμών έχει σύνολα ως στοιχεία». Σημειώστε ότι αυτή η δήλωση δεν είναι απλώς μια αποποίηση ευθύνης. Περιέχεται ως «κρυμμένο» αξίωμα στην τυπική θεωρία συνόλων, την οποία πολλοί ειδικοί θεωρούν το θεμέλιο των σύγχρονων μαθηματικών, καθώς και στο επίσημο σύστημα που έχτισε ο μαθηματικός K. Gödel όταν απέδειξε το περίφημο θεώρημά του για την ατελότητα των τυπικών συστημάτων. Αυτό το θεώρημα αναφέρεται σε μια μάλλον στενή κατηγορία τυπικών συστημάτων (περιλαμβάνουν την επίσημη θεωρία συνόλων και την τυπική αριθμητική), η λογική δομή των οποίων σαφώς δεν αντιστοιχεί στη λογική δομή του φυσικού συλλογισμού και αιτιολόγησης.

Ωστόσο, για περισσότερο από μισό αιώνα αποτελεί αντικείμενο έντονης συζήτησης μεταξύ λογικών και φιλοσόφων στο πλαίσιο της γενικής θεωρίας της γνώσης. Με μια τόσο ευρεία γενίκευση αυτού του θεωρήματος, αποδεικνύεται ότι πολλές στοιχειώδεις έννοιες είναι θεμελιωδώς άγνωστες. Αλλά με μια πιο νηφάλια προσέγγιση, αποδεικνύεται ότι το θεώρημα του Gödel έδειξε μόνο την ασυνέπεια του προγράμματος επίσημης αιτιολόγησης των μαθηματικών που πρότεινε ο D. Hilbert και το οποίο υιοθετήθηκε από πολλούς μαθηματικούς, λογικούς και φιλοσόφους. Η ευρύτερη μεθοδολογική πτυχή του θεωρήματος του Γκέντελ δύσκολα μπορεί να θεωρηθεί αποδεκτή μέχρι να απαντηθεί το ακόλουθο ερώτημα: είναι το πρόγραμμα του Χίλμπερτ για την αιτιολόγηση των μαθηματικών το μόνο δυνατό; Για να κατανοήσουμε την ασάφεια της δήλωσης "το σύνολο Α είναι στοιχείο του συνόλου Β", αρκεί να θέσουμε μια απλή ερώτηση: "Από ποια στοιχεία σχηματίζεται το σύνολο Β σε αυτήν την περίπτωση;" Από την άποψη της φυσικής λογικής, μόνο δύο αλληλοαποκλειόμενες εξηγήσεις είναι δυνατές. Εξήγηση πρώτη. Τα στοιχεία του συνόλου Β είναι τα ονόματα ορισμένων συνόλων και, ειδικότερα, το όνομα ή ο προσδιορισμός του συνόλου Α. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των ζυγών αριθμών περιέχεται ως στοιχείο στο σύνολο όλων των ονομάτων (ή ονομασιών) συνόλων που διακρίνονται από ορισμένα χαρακτηριστικά από το σύνολο όλων των ακεραίων. Για να δώσουμε ένα πιο ξεκάθαρο παράδειγμα: το σύνολο όλων των καμηλοπαρδάλεων περιέχεται ως στοιχείο στο σύνολο όλων των γνωστών ζωικών ειδών. Σε ένα ευρύτερο πλαίσιο, το σύνολο Β μπορεί επίσης να διαμορφωθεί από εννοιολογικούς ορισμούς συνόλων ή αναφορές σε σύνολα. Εξήγηση δύο. Τα στοιχεία του συνόλου Β είναι τα στοιχεία κάποιων άλλων συνόλων και, ειδικότερα, όλα τα στοιχεία του συνόλου Α. Για παράδειγμα, κάθε ζυγός αριθμός είναι στοιχείο του συνόλου όλων των ακεραίων ή κάθε καμηλοπάρδαλη είναι στοιχείο του σύνολο όλων των ζώων. Στη συνέχεια όμως αποδεικνύεται ότι και στις δύο περιπτώσεις η έκφραση «το σύνολο Α είναι στοιχείο του συνόλου Β» δεν έχει νόημα. Στην πρώτη περίπτωση, αποδεικνύεται ότι το στοιχείο του συνόλου Β δεν είναι το ίδιο το σύνολο Α, αλλά το όνομά του (ή ο προσδιορισμός ή η αναφορά σε αυτό). Σε αυτή την περίπτωση, δημιουργείται σιωπηρά μια σχέση ισοδυναμίας μεταξύ του συνόλου και της ονομασίας του, η οποία είναι απαράδεκτη ούτε από την άποψη της κοινής λογικής, ούτε από την άποψη της μαθηματικής διαίσθησης, η οποία είναι ασυμβίβαστη με τον υπερβολικό φορμαλισμό. Στη δεύτερη περίπτωση, αποδεικνύεται ότι το σύνολο Α περιλαμβάνεται στο σύνολο Β, δηλ. είναι υποσύνολο του, αλλά όχι στοιχείο. Και εδώ υπάρχει μια προφανής υποκατάσταση των εννοιών, αφού η σχέση συμπερίληψης συνόλων και η σχέση μέλους (που είναι στοιχείο ενός συνόλου) στα μαθηματικά έχουν θεμελιωδώς διαφορετικές σημασίες. Το περίφημο παράδοξο του Russell, το οποίο υπονόμευσε την εμπιστοσύνη των λογικών στην έννοια ενός συνόλου, βασίζεται σε αυτόν τον παραλογισμό - το παράδοξο βασίζεται στη διφορούμενη υπόθεση ότι ένα σύνολο μπορεί να είναι στοιχείο ενός άλλου συνόλου.

Μια άλλη πιθανή εξήγηση είναι δυνατή. Έστω ένα σύνολο A να ορίζεται με μια απλή απαρίθμηση των στοιχείων του, για παράδειγμα, A = (a, b). Το σύνολο Β, με τη σειρά του, καθορίζεται απαριθμώντας ορισμένα σύνολα, για παράδειγμα, B = ((a, b), (a, c)). Σε αυτή την περίπτωση, φαίνεται προφανές ότι το στοιχείο του Β δεν είναι το όνομα του συνόλου Α, αλλά το ίδιο το σύνολο Α. Αλλά και σε αυτήν την περίπτωση, τα στοιχεία του συνόλου Α δεν είναι στοιχεία του συνόλου Β και το σύνολο Το Α θεωρείται εδώ ως μια αχώριστη συλλογή, η οποία μπορεί κάλλιστα να αντικατασταθεί από το όνομά της. Αλλά αν θεωρούσαμε όλα τα στοιχεία των συνόλων που περιέχονται σε αυτό ως στοιχεία του Β, τότε στην περίπτωση αυτή το σύνολο Β θα ήταν ίσο με το σύνολο (a, b, c), και το σύνολο Α σε αυτήν την περίπτωση δεν θα ήταν στοιχείο του Β, αλλά ένα υποσύνολο αυτού. Έτσι, αποδεικνύεται ότι αυτή η εκδοχή της εξήγησης, ανάλογα με την επιλογή μας, καταλήγει στις επιλογές που αναφέρονται προηγουμένως. Και αν δεν προσφέρεται επιλογή, τότε προκύπτει στοιχειώδης ασάφεια, η οποία συχνά οδηγεί σε «ανεξήγητα» παράδοξα.

Θα ήταν δυνατό να μην δοθεί ιδιαίτερη προσοχή σε αυτές τις ορολογικές αποχρώσεις εάν όχι για μία περίσταση. Αποδεικνύεται ότι πολλά από τα παράδοξα και τις ασυνέπειες της σύγχρονης λογικής και των διακριτών μαθηματικών είναι άμεση συνέπεια ή μίμηση αυτής της ασάφειας.

Για παράδειγμα, στη σύγχρονη μαθηματική συλλογιστική, χρησιμοποιείται συχνά η έννοια της «αυτο-εφαρμοσσιμότητας», η οποία βρίσκεται κάτω από το παράδοξο του Russell. Στη διατύπωση αυτού του παραδόξου, η αυτο-εφαρμογή συνεπάγεται την ύπαρξη συνόλων που είναι στοιχεία του εαυτού τους. Αυτή η δήλωση οδηγεί αμέσως σε ένα παράδοξο. Αν λάβουμε υπόψη το σύνολο όλων των συνόλων "μη αυτο-εφαρμόσιμο", αποδεικνύεται ότι είναι και "αυτοεφαρμόσιμο" και "μη αυτο-εφαρμόσιμο".

Η μαθηματική λογική συνέβαλε πολύ στην ταχεία ανάπτυξη της τεχνολογίας της πληροφορίας τον 20ο αιώνα, αλλά η έννοια της «κρίσης», που εμφανίστηκε στη λογική στην εποχή του Αριστοτέλη και πάνω στην οποία, ως θεμέλιο, στηρίζεται η λογική βάση της φυσικής γλώσσας , έπεσε έξω από το οπτικό του πεδίο. Μια τέτοια παράλειψη δεν συνέβαλε καθόλου στην ανάπτυξη μιας λογικής κουλτούρας στην κοινωνία και μάλιστα δημιούργησε την ψευδαίσθηση σε πολλούς ότι οι υπολογιστές δεν μπορούν να σκέφτονται χειρότερα από τους ίδιους τους ανθρώπους. Πολλοί δεν ντρέπονται καν από το γεγονός ότι στο πλαίσιο της γενικής μηχανογράφησης στις παραμονές της τρίτης χιλιετίας, οι λογικοί παραλογισμοί εντός της ίδιας της επιστήμης (για να μην αναφέρουμε την πολιτική, τη νομοθεσία και την ψευδοεπιστήμη) είναι ακόμη πιο συνηθισμένοι από ό,τι στα τέλη του 19ου αιώνα. . Και για να κατανοήσουμε την ουσία αυτών των παραλογών, δεν χρειάζεται να στραφούμε σε πολύπλοκες μαθηματικές δομές με σχέσεις πολλαπλών τόπων και αναδρομικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στη μαθηματική λογική. Αποδεικνύεται ότι για να κατανοήσουμε και να αναλύσουμε αυτούς τους παραλογισμούς, αρκεί να εφαρμόσουμε μια πολύ απλούστερη μαθηματική δομή κρίσης, η οποία όχι μόνο δεν έρχεται σε αντίθεση με τα μαθηματικά θεμέλια της σύγχρονης λογικής, αλλά κατά κάποιο τρόπο τα συμπληρώνει και τα διευρύνει.

Βιβλιογραφία

1. Vasiliev N. A. Φανταστική λογική. Επιλεγμένα έργα. - Μ.: Επιστήμη. 1989; - σελ. 94-123.

2. Kulik B.A. Βασικές αρχές της φιλοσοφίας της κοινής λογικής (γνωστική πτυχή) // Artificial Intelligence News, 1996, No. 3, p. 7-92.

3. Kulik B.A. Λογικές βάσεις της κοινής λογικής / Επιμέλεια Δ.Α. Ποσπελόφ. - Αγία Πετρούπολη, Πολυτεχνείο, 1997. 131 σελ.

4. Kulik B.A. Η λογική της κοινής λογικής. - Common Sense, 1997, Αρ. 1(5), σελ. 44 - 48.

5. Styazhkin N.I. Σχηματισμός μαθηματικής λογικής. Μ.: Nauka, 1967.

6. Soloviev A. Διακριτά μαθηματικά χωρίς τύπους. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html

XI ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑ “KOLMOGOROV READINGS”

Ενότητα "Μαθηματικά"

Θέμα

«Επίλυση Λογικών Προβλημάτων»

Δημοτικός προϋπολογισμός γενικής εκπαίδευσης

σχολείο Νο 2 στ. Arkhonskaya,

7η τάξη.

Επιστημονικός Διευθυντής

καθηγήτρια μαθηματικών ΜΒΟΥ λυκείου Νο 2 στ. Arkhonskaya

Trimasova N.I.

«Επίλυση Λογικών Προβλημάτων»

7η τάξη

δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

σχολείο Νο 2, στ. Arkhonskaya.

σχόλιο

Αυτή η εργασία συζητά διαφορετικούς τρόπους επίλυσης λογικών προβλημάτων και μια ποικιλία τεχνικών. Κάθε ένα από αυτά έχει τη δική του περιοχή εφαρμογής. Επιπλέον, στην εργασία μπορείτε να εξοικειωθείτε με τις βασικές έννοιες της κατεύθυνσης των «μαθηματικών χωρίς τύπους» - μαθηματική λογική και να μάθετε για τους δημιουργούς αυτής της επιστήμης. Μπορείτε επίσης να δείτε τα αποτελέσματα της διαγνωστικής «επίλυσης λογικών προβλημάτων μεταξύ μαθητών μεσαίου επιπέδου».

Περιεχόμενο

1. Εισαγωγή_____________________________________________________ 4

2. Οι θεμελιωτές της επιστήμης της «λογικής»_________________________ 6

3. Πώς να μάθετε να λύνετε λογικά προβλήματα;_____________________ _8

4. Τύποι και μέθοδοι επίλυσης λογικών προβλημάτων_____________________ 9

4.1 Προβλήματα του τύπου «Ποιος είναι Ποιος;». 9

α) Γραφική μέθοδος_________________________________________________ 9

β) Πίνακας μέθοδος________________________________________________ 11

4.2 Τακτικές εργασίες________________________________________________ 13

α) τρόπος συλλογισμού_________________________________________________ 13

4.3 Προβλήματα εύρεσης τομής ή ένωσης συνόλων________________________________________________ 14

α) Κύκλοι Euler________________________________________________ 14

4.5 Προβλήματα αλήθειας________________________________________________ 17

4.6 Προβλήματα τύπου «καπέλο»_________________________________________________ 18

5. Πρακτικό μέρος________________________________________________________________ 19

5.1 Μελέτη του επιπέδου λογικής σκέψης των μαθητών μέσης εκπαίδευσης________________________________________________________________ 19

6. Συμπέρασμα_________________________________________________________________ 23

7. Λογοτεχνία_________________________________________________________________ 24

«Επίλυση Λογικών Προβλημάτων»

Krutogolova Diana Alexandrovna

7η τάξη

Δημοτικός προϋπολογισμός γενικής εκπαίδευσης

δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

σχολείο Νο 2, στ. Arkhonskaya.

1. Εισαγωγή

Η ανάπτυξη δημιουργικής δραστηριότητας, πρωτοβουλίας, περιέργειας και εφευρετικότητας διευκολύνεται με την επίλυση μη τυπικών προβλημάτων.Παρά το γεγονός ότι το μάθημα των σχολικών μαθηματικών περιέχει μεγάλο αριθμό ενδιαφέροντων προβλημάτων, πολλά χρήσιμα προβλήματα δεν καλύπτονται. Αυτές οι εργασίες περιλαμβάνουν λογικές εργασίες.

Η επίλυση λογικών προβλημάτων είναι πολύ συναρπαστική. Φαίνεται να μην υπάρχουν μαθηματικά σε αυτά - ούτε αριθμοί, ούτε συναρτήσεις, ούτε τρίγωνα, ούτε διανύσματα, αλλά υπάρχουν μόνο ψεύτες και σοφοί, αλήθεια και ψέματα. Ταυτόχρονα, το πνεύμα των μαθηματικών γίνεται πιο καθαρά αισθητό σε αυτά - η μισή λύση σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα (και μερικές φορές πολύ περισσότερο από το μισό) είναι να κατανοήσουμε σωστά την κατάσταση, να ξεδιαλύνουμε όλες τις συνδέσεις μεταξύ των συμμετεχόντων αντικειμένων.

Ένα μαθηματικό πρόβλημα βοηθά πάντα στην ανάπτυξη σωστών μαθηματικών εννοιών, στην καλύτερη κατανόηση διαφόρων πτυχών των σχέσεων στη γύρω ζωή και καθιστά δυνατή την εφαρμογή των θεωρητικών αρχών που μελετώνται. Ταυτόχρονα, η επίλυση προβλημάτων συμβάλλει στην ανάπτυξη της λογικής σκέψης.

Κατά την προετοιμασία αυτής της εργασίας, έστησαστόχος - αναπτύξτε την ικανότητά σας να συλλογίζεστε και να βγάζετε σωστά συμπεράσματα. Μόνο η επίλυση ενός δύσκολου, μη τυπικού προβλήματος φέρνει τη χαρά της νίκης. Όταν λύνετε λογικά προβλήματα, έχετε την ευκαιρία να σκεφτείτε μια ασυνήθιστη συνθήκη και λόγο. Αυτό μου προκαλεί και διατηρεί το ενδιαφέρον μου για τα μαθηματικά. Μια λογική απόφαση είναι ο καλύτερος τρόπος για να απελευθερώσετε τη δημιουργικότητά σας.

Συνάφεια. Στις μέρες μας, πολύ συχνά η επιτυχία ενός ατόμου εξαρτάται από την ικανότητά του να σκέφτεται καθαρά, να συλλογίζεται λογικά και να εκφράζει ξεκάθαρα τις σκέψεις του.

Καθήκοντα: 1) εξοικείωση με τις έννοιες της «λογικής» και της «μαθηματικής λογικής». 2) μελέτη βασικών μεθόδων για την επίλυση λογικών προβλημάτων. 3) διεξαγωγή διαγνωστικών για τον προσδιορισμό του επιπέδου λογικής σκέψης των μαθητών στις τάξεις 5-8.

Ερευνητικές μέθοδοι: συλλογή, μελέτη, γενίκευση πειραματικού και θεωρητικού υλικού

2. Οι ιδρυτές της επιστήμης της «λογικής»

Η λογική είναι μια από τις αρχαιότερες επιστήμες. Επί του παρόντος δεν είναι δυνατό να προσδιοριστεί ακριβώς ποιος, πότε και πού στράφηκε για πρώτη φορά σε εκείνες τις πτυχές της σκέψης που αποτελούν το αντικείμενο της λογικής. Μερικές από τις απαρχές της λογικής διδασκαλίας βρίσκονται στην Ινδία, στα τέλη της 2ης χιλιετίας π.Χ. μι. Ωστόσο, αν μιλάμε για την ανάδειξη της λογικής ως επιστήμης, δηλαδή για ένα περισσότερο ή λιγότερο συστηματοποιημένο σύνολο γνώσεων, τότε θα ήταν δίκαιο να θεωρήσουμε τον μεγάλο πολιτισμό της Αρχαίας Ελλάδας ως γενέτειρα της λογικής. Ήταν εδώ στους αιώνες V-IV π.Χ. μι. Κατά την περίοδο της ραγδαίας ανάπτυξης της δημοκρατίας και της συναφούς πρωτοφανούς αναβίωσης της κοινωνικοπολιτικής ζωής, τα θεμέλια αυτής της επιστήμης τέθηκαν από τα έργα του Δημόκριτου, του Σωκράτη και του Πλάτωνα.

Θεμελιωτής της λογικής ως επιστήμης είναι ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και επιστήμονας Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.). Πρώτα ανέπτυξε τη θεωρία της εξαγωγής, δηλαδή τη θεωρία της λογικής συμπερασμάτων. Ήταν αυτός που επέστησε την προσοχή στο γεγονός ότι στη συλλογιστική συνάγουμε άλλες από ορισμένες δηλώσεις, με βάση όχι το συγκεκριμένο περιεχόμενο των δηλώσεων, αλλά μια ορισμένη σχέση μεταξύ των μορφών και των δομών τους.

Ακόμη και τότε δημιουργήθηκαν σχολεία στην Αρχαία Ελλάδα στα οποία οι άνθρωποι μάθαιναν να συζητούν. Οι μαθητές αυτών των σχολείων έμαθαν την τέχνη να αναζητούν την αλήθεια και να πείθουν τους άλλους ότι είχαν δίκιο. Έμαθαν να επιλέγουν τα απαραίτητα από μια ποικιλία γεγονότων, να χτίζουν αλυσίδες συλλογισμών που συνδέουν μεμονωμένα γεγονότα μεταξύ τους και να βγάζουν τα σωστά συμπεράσματα.
Ήδη από τότε, ήταν γενικά αποδεκτό ότι η λογική είναι μια επιστήμη για τη σκέψη και όχι για αντικείμενα αντικειμενικής αλήθειας.

Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης (330-275 π.Χ.) ήταν ο πρώτος που επιχείρησε να οργανώσει τις εκτενείς πληροφορίες για τη γεωμετρία που είχαν συσσωρευτεί μέχρι εκείνη την εποχή. Έθεσε τα θεμέλια για την κατανόηση της γεωμετρίας ως αξιωματικής θεωρίας και όλων των μαθηματικών ως συνόλου αξιωματικών θεωριών.
Κατά τη διάρκεια πολλών αιώνων, διάφοροι φιλόσοφοι και ολόκληρες φιλοσοφικές σχολές συμπλήρωσαν, βελτίωσαν και άλλαξαν τη λογική του Αριστοτέλη. Αυτό ήταν το πρώτο, προ-μαθηματικό, στάδιο στην ανάπτυξη της τυπικής λογικής. Το δεύτερο στάδιο συνδέεται με τη χρήση μαθηματικών μεθόδων στη λογική, η οποία ξεκίνησε από τον Γερμανό φιλόσοφο και μαθηματικό G. W. Leibniz (1646-1716). Προσπάθησε να οικοδομήσει μια καθολική γλώσσα με τη βοήθεια της οποίας θα επιλύονταν οι διαφορές μεταξύ των ανθρώπων και στη συνέχεια «να αντικαταστήσει πλήρως όλες τις ιδέες με υπολογισμούς».
Μια σημαντική περίοδος στη διαμόρφωση της μαθηματικής λογικής ξεκινά με το έργο του Άγγλου μαθηματικού και λογικού George Boole (1815-1864) «Mathematical Analysis of Logic» (1847) και «Investigations into the Laws of Thought» (1854). Εφάρμοσε στη λογική τις μεθόδους της σύγχρονης άλγεβρας - τη γλώσσα των συμβόλων και των τύπων, τη σύνθεση και τη λύση των εξισώσεων. Δημιούργησε ένα είδος άλγεβρας - την άλγεβρα της λογικής. Την περίοδο αυτή διαμορφώθηκε ως προτασιακή άλγεβρα και αναπτύχθηκε σημαντικά στα έργα του Σκωτσέζου λογικού A. de Morgan (1806-1871), του αγγλικού - W. Jevons (1835-1882), του αμερικανικού - C. Pierce και άλλοι.Η δημιουργία της άλγεβρας της λογικής ήταν ο τελικός κρίκος στην ανάπτυξη της τυπικής λογικής.

Σημαντική ώθηση σε μια νέα περίοδο στην ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής έδωσε η δημιουργία στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα από τον μεγάλο Ρώσο μαθηματικό N. I. Lobachevsky (1792-1856) και ανεξάρτητα από τον Ούγγρο μαθηματικό J. Bolyai (1802- 1860) μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Επιπλέον, η δημιουργία της ανάλυσης των απειροελάχιστων οδήγησε στην ανάγκη να τεκμηριωθεί η έννοια του αριθμού ως θεμελιώδης έννοια όλων των μαθηματικών. Τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν στα τέλη του 19ου αιώνα στη θεωρία συνόλων συμπλήρωναν την εικόνα: έδειχναν ξεκάθαρα ότι οι δυσκολίες τεκμηρίωσης των μαθηματικών ήταν δυσκολίες λογικής και μεθοδολογικής φύσης. Έτσι, η μαθηματική λογική αντιμετώπισε προβλήματα που δεν προέκυψαν πριν από τη λογική του Αριστοτέλη. Στην ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής διαμορφώθηκαν τρεις κατευθύνσεις στην τεκμηρίωση των μαθηματικών, στις οποίες οι δημιουργοί προσπάθησαν με διαφορετικούς τρόπους να ξεπεράσουν τις δυσκολίες που προέκυψαν.

3. Πώς να μάθετε να λύνετε λογικά προβλήματα;

Πολλοί άνθρωποι σκέφτονται μόνο αυτό που σκέφτονται.

Θεωρούν δυσάρεστη τη διαδικασία σκέψης:

αυτό απαιτεί δεξιότητες και κάποια προσπάθεια,

Γιατί να ασχολείσαι όταν μπορείς να το κάνεις χωρίς αυτό.

Όγκντεν Νας

Λογικό ήμη αριθμητική Τα προβλήματα αποτελούν μια ευρεία κατηγορία μη τυπικών προβλημάτων. Αυτό περιλαμβάνει, πρώτα απ 'όλα, προβλήματα λέξεων στα οποία είναι απαραίτητο να αναγνωρίσουμε αντικείμενα ή να τα τακτοποιήσουμε με μια συγκεκριμένη σειρά σύμφωνα με τις υπάρχουσες ιδιότητες. Σε αυτήν την περίπτωση, ορισμένες από τις δηλώσεις των συνθηκών του προβλήματος μπορεί να έχουν διαφορετικές τιμές αλήθειας (να είναι true ή false).

Τα προβλήματα λογικής κειμένου μπορούν να χωριστούν στους ακόλουθους τύπους:

Συνιστάται να εξασκηθείτε στην επίλυση κάθε είδους προβλήματος σταδιακά, βήμα προς βήμα.

Έτσι, θα μάθουμε πώς τα λογικά προβλήματα μπορούν να λυθούν με διαφορετικούς τρόπους. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν πολλές τέτοιες τεχνικές, είναι ποικίλες και καθεμία από αυτές έχει τη δική της περιοχή εφαρμογής. Αφού εξοικειωθούμε λεπτομερώς, θα καταλάβουμε σε ποιες περιπτώσεις είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μία ή άλλη μέθοδο.

4. Είδη και μέθοδοι επίλυσης λογικών προβλημάτων

4.1 Προβλήματα τύπου «Ποιος είναι ποιος;».

Προβλήματα όπως «Ποιος είναι ποιος;» πολύ διαφορετικά σε πολυπλοκότητα, περιεχόμενο και ικανότητα επίλυσης. Σίγουρα έχουν ενδιαφέρον.

α) Γραφική μέθοδος

Ένας τρόπος είναι να λύσετε χρησιμοποιώντας γραφήματα. Ένα γράφημα είναι πολλά σημεία, μερικά από τα οποία συνδέονται μεταξύ τους με τμήματα ή βέλη (στην περίπτωση αυτή, το γράφημα ονομάζεται προσανατολισμένο). Ας πρέπει να δημιουργήσουμε μια αντιστοιχία μεταξύ δύο τύπων αντικειμένων (συνόλων). Οι τελείες δηλώνουν στοιχεία συνόλων και την αντιστοιχία μεταξύ τους - τμήματα. Η διακεκομμένη γραμμή θα συγχωνεύσει δύο στοιχεία που δεν αντιστοιχούν μεταξύ τους.

Πρόβλημα 1 . Τρεις φίλοι Belova, Krasnova και Chernova συναντήθηκαν. Ο ένας φορούσε μαύρο φόρεμα, ο άλλος κόκκινο φόρεμα και ο τρίτος λευκό. Ένα κορίτσι με λευκό φόρεμα λέει στην Τσέρνοβα: «Πρέπει να αλλάξουμε φορέματα, διαφορετικά το χρώμα των φορεμάτων μας δεν ταιριάζει με τα επώνυμά μας». Ποιος φορούσε τι φόρεμα;

Λύση. Η επίλυση του προβλήματος είναι απλή εάν λάβετε υπόψη ότι:

Κάθε στοιχείο ενός συνόλου αντιστοιχεί απαραίτητα σε ένα στοιχείο άλλου συνόλου, αλλά μόνο ένα

Εάν ένα στοιχείο κάθε συνόλου συνδέεται με όλα τα στοιχεία (εκτός από ένα) ενός άλλου συνόλου με διακεκομμένα τμήματα, τότε συνδέεται με το τελευταίο με ένα συμπαγές τμήμα.

Αντί για τμήματα συμπαγούς γραμμής, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χρωματιστά, οπότε η λύση είναι πιο πολύχρωμη,

Ας υποδηλώσουμε τα επώνυμα των κοριτσιών στην εικόνα με τα γράμματα B, Ch, K και συνδέσουμε το γράμμα B και το λευκό φόρεμα με μια διακεκομμένη γραμμή, που θα σημαίνει: "Η Belova δεν είναι με λευκό φόρεμα". Στη συνέχεια, έχουμε τρεις ακόμη διακεκομμένες γραμμές που αντιστοιχούν στα μείον του πίνακα. Ένα λευκό φόρεμα μπορεί να φορεθεί μόνο από την Krasnova - θα συνδέσουμε το γράμμα K και το λευκό φόρεμα με μια συμπαγή γραμμή, που θα σημαίνει "Krasnova με λευκό φόρεμα" κ.λπ.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να βρείτε αντιστοιχία μεταξύ τριών σετ.

Εργασία 2. Τρεις φίλοι συναντήθηκαν σε ένα καφέ: ο γλύπτης Belov, ο βιολονίστας Chernov και ο καλλιτέχνης Ryzhov. «Είναι υπέροχο που ένας από εμάς έχει άσπρα μαλλιά, ο άλλος έχει μαύρα και ο τρίτος έχει κόκκινα μαλλιά, αλλά κανένα από τα χρώματα των μαλλιών μας δεν ταιριάζει με το επώνυμό μας», παρατήρησε ο μαυρομάλλης. «Έχεις δίκιο», είπε ο Μπέλοφ. Τι χρώμα είναι τα μαλλιά του καλλιτέχνη;

Λύση. Πρώτον, όλες οι συνθήκες απεικονίζονται στο διάγραμμα. Η λύση καταλήγει στην εύρεση τριών συμπαγών τριγώνων με κορυφές σε διαφορετικά σύνολα (Εικ. 2.).

Belov Chernov Ryzhov

γλύπτης βιολιστής καλλιτέχνης

λευκό μαύρο κόκκινο

Ο καλλιτέχνης είναι μαυρομάλλης

Όταν λύνουμε, μπορούμε να πάρουμε τρίγωνα τριών τύπων:

α) όλες οι πλευρές είναι συνεχή τμήματα (λύση του προβλήματος).

β) η μία πλευρά είναι συμπαγές τμήμα και οι άλλες είναι διακεκομμένες.

γ) όλες οι πλευρές είναι διακεκομμένα τμήματα.

Έτσι, είναι αδύνατο να ληφθεί ένα τρίγωνο στο οποίο οι δύο πλευρές είναι συμπαγή τμήματα και η τρίτη είναι ένα διακεκομμένο τμήμα.

Εργασία 3. Ποιος που?

Δρυς,σφενδάμι, πεύκο, σημύδα, κούτσουρο!

Κρύβονται πίσω τους, καραδοκούν

Κάστορας, λαγός, σκίουρος, λύγκας, ελάφι.

Ποιος που? Προσπάθησε να το καταλάβεις».

Πού είναι ο λύγκας, ούτε λαγός ούτε κάστορας

Ούτε στα αριστερά ούτε στα δεξιά - είναι ξεκάθαρο.

ΚΑΙδίπλα στον σκίουρο - αυτό είναι πονηρό -

Μην τα ψάχνεις και μάταια.

Δίπλα στο ελάφι δεν υπάρχει λύγκας.

Και δεν υπάρχει λαγός δεξιά και αριστερά.

Και ο σκίουρος στα δεξιά είναι εκεί που είναι το ελάφι!

Τώρα ξεκινήστε την αναζήτησή σας με σιγουριά.

Και θέλει να σας δώσει συμβουλές

Ένα ψηλό κούτσουρο καλυμμένο με βρύα:

- Ποιος που? Βρείτε το σωστό μονοπάτι

Ένας σκίουρος και ένα ελάφι θα βοηθήσουν.

Λύση. Ας βρούμε την απάντηση χρησιμοποιώντας γραφήματα, δηλώνοντας κάθε ζώο με μια τελεία και την τοποθέτησή του με βέλη. Το μόνο που μένει είναι να μετρήσουμε τα βέλη (Εικ.)

Λαγός Λυγξ

Squirrel Hare Beaver Deer Squirrel Lynx

Κουτσούνι σημύδας από σφένδαμο πεύκο ελαφιού

κάστορας

β) Πίνακας μέθοδος

Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης λογικών προβλημάτων - χρησιμοποιώντας πίνακες - είναι επίσης απλός και διαισθητικός, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια αντιστοιχία μεταξύ δύο συνόλων. Είναι πιο βολικό όταν τα σετ έχουν πέντε ή έξι στοιχεία.

Εργασία 4. Μια μέρα, επτά παντρεμένα ζευγάρια μαζεύτηκαν σε μια οικογενειακή γιορτή. Τα επώνυμα των ανδρών: Vladimirov, Fedorov, Nazarov, Viktorov, Stepanov, Matveev και Tarasov. Τα ονόματα των γυναικών είναι: Tonya, Lyusya, Lena, Sveta, Masha, Olya και Galya.

Λύση. Όταν λύνουμε το πρόβλημα, γνωρίζουμε ότι κάθε άντρας έχει ένα επίθετο και μία γυναίκα.

Κανόνας 1: Κάθε γραμμή και κάθε στήλη του πίνακα μπορεί να περιέχει μόνο ένα σύμβολο που ταιριάζει (για παράδειγμα, "+").

Κανόνας 2: Εάν σε μια σειρά (ή στήλη) όλες οι "θέσεις", εκτός από μία, καταλαμβάνονται από μια στοιχειώδη απαγόρευση (ένα σύμβολο ασυμφωνίας, για παράδειγμα "-"), τότε πρέπει να βάλετε ένα σύμβολο "+" στον ελεύθερο χώρο. εάν υπάρχει ήδη ένα σύμβολο "+" σε μια σειρά (ή στήλη), τότε οι υπόλοιπες θέσεις θα πρέπει να καταλαμβάνονται από ένα σύμβολο "-".

Έχοντας σχεδιάσει έναν πίνακα, πρέπει να τοποθετήσετε γνωστές απαγορεύσεις σε αυτό με βάση τις συνθήκες του προβλήματος. Έχοντας συμπληρώσει τον πίνακα σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, λαμβάνουμε αμέσως λύσεις: (Εικ. 3).

Τόνια

Λούσι

Λένα

Σβέτα

Μάσα

Olya

Galya

Βλαντιμίροφ

Φεντόροφ

Ναζάροφ

Βικτόροφ

Στεπάνοφ

Matveev

Ταράσοφ

4.2 Τακτικά καθήκοντα

Η επίλυση προβλημάτων τακτικής και θεωρητικών συνόλων περιλαμβάνει την κατάρτιση ενός σχεδίου δράσης που οδηγεί στη σωστή απάντηση. Η δυσκολία είναι ότι η επιλογή πρέπει να γίνει από έναν πολύ μεγάλο αριθμό επιλογών, δηλ. αυτές οι δυνατότητες δεν είναι γνωστές, πρέπει να εφευρεθούν.

α) Τα προβλήματα μετακίνησης ή σωστής τοποθέτησης κομματιών μπορούν να λυθούν με δύο τρόπους: πρακτικό (ενέργειες σε κινούμενα κομμάτια, επιλογή) και νοητικό (σκέφτομαι μια κίνηση, πρόβλεψη του αποτελέσματος, μαντεύοντας μια λύση -μέθοδος συλλογισμού ).

Στη μέθοδο συλλογισμού βοηθούν κατά την επίλυση: διαγράμματα, σχέδια, σύντομες σημειώσεις, δυνατότητα επιλογής πληροφοριών, δυνατότητα χρήσης του κανόνα απαρίθμησης.

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση απλών λογικών προβλημάτων.

Πρόβλημα 5 . Η Lena, η Olya, η Tanya συμμετείχαν στον αγώνα των 100 μ. Η Lena έτρεξε 2 δευτερόλεπτα νωρίτερα από την Olya, η Olya έτρεξε 1 δευτερόλεπτο αργότερα από την Tanya. Ποιος ήρθε νωρίτερα: η Τάνια ή η Λένα και σε πόσα δευτερόλεπτα;

Λύση. Ας κάνουμε ένα διάγραμμα:

Λένα Όλια Τάνια

Απάντηση. Νωρίτερα, η Λένα έφτασε στην 1η.

Ας εξετάσουμε ένα απλό πρόβλημα.

Πρόβλημα 6 . Θυμούμενοι τον σταυρό του φθινοπώρου, οι σκίουροι διαφωνούν για δύο ώρες:

Ο λαγός κέρδισε τον αγώνα.ΕΝΑο δεύτερος ήταν αλεπού!

- Όχι, λέει ένας άλλος σκίουρος,

- Εσύ για μένααστεία

Το πρώτο, θυμάμαι, ήταν άλκες!

- «Εγώ», είπε η σημαντική κουκουβάγια,

- Δεν θα εμπλακώ στη διαμάχη κάποιου άλλου.

Αλλά σε κάθε σου λέξη

Υπάρχει ένα λάθος.

Οι σκίουροι βούρκωσαν θυμωμένα.

Τους έγινε δυσάρεστο.

Αφού ζυγίσεις τα πάντα, αποφασίζεις

Ποιος ήταν πρώτος, ποιος δεύτερος.

Λύση.

Λαγός - 1 2

Αλεπού - 2

Άλκες - 1

Αν υποθέσουμε ότι η σωστή πρόταση είναι ο λαγός ήρθε 1, τότε η αλεπού 2 δεν είναι αληθής, δηλ. στη δεύτερη ομάδα δηλώσεων, και οι δύο επιλογές παραμένουν λανθασμένες, αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση. Απάντηση: Άλκη - 1, Αλεπού - 2, Λαγός - 3.

4.3 Προβλήματα εύρεσης τομής ή ένωσης συνόλων (κύκλοι Eulerian)

Ένας άλλος τύπος προβλήματος είναι αυτό στο οποίο είναι απαραίτητο να βρεθεί κάποια τομή συνόλων ή η ένωσή τους, παρατηρώντας τις συνθήκες του προβλήματος.

Ας λύσουμε το πρόβλημα 7:

Από τους 52 μαθητές, οι 23 συγκεντρώνουν κονκάρδες, οι 35 συλλέγουν γραμματόσημα και οι 16 συγκεντρώνουν και κονκάρδες και γραμματόσημα. Οι υπόλοιποι δεν ενδιαφέρονται να εισπράξουν. Πόσοι μαθητές δεν ενδιαφέρονται να συλλέξουν;

Λύση. Οι συνθήκες αυτού του προβλήματος δεν είναι τόσο εύκολο να κατανοηθούν. Αν προσθέσετε 23 και 35, παίρνετε περισσότερα από 52. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι μετρήσαμε δύο μαθητές εδώ, δηλαδή αυτούς που συλλέγουν και κονκάρδες και γραμματόσημα.Για να διευκολύνουμε τη συζήτηση, ας χρησιμοποιήσουμε τους κύκλους Euler

Υπάρχει ένας μεγάλος κύκλος στην εικόναυποδηλώνει τους 52 εν λόγω μαθητές· Ο κύκλος 3 απεικονίζει μαθητές να συλλέγουν κονκάρδες και ο κύκλος Μ απεικονίζει μαθητές να συλλέγουν γραμματόσημα.

Ο μεγάλος κύκλος χωρίζεται από τους κύκλους 3 και M σε πολλές περιοχές. Η διασταύρωση των κύκλων 3 και Μ αντιστοιχεί σε μαθητές που συλλέγουν τόσο κονκάρδες όσο και γραμματόσημα (Εικ.). Το τμήμα του κύκλου 3 που δεν ανήκει στον κύκλο Μ αντιστοιχεί σε μαθητές που συλλέγουν μόνο κονκάρδες και το τμήμα του κύκλου Μ που δεν ανήκει στον κύκλο 3 αντιστοιχεί σε μαθητές που συλλέγουν μόνο γραμματόσημα. Το ελεύθερο μέρος του μεγάλου κύκλου αντιπροσωπεύει μαθητές που δεν ενδιαφέρονται να συλλέξουν.

Θα συμπληρώσουμε διαδοχικά το διάγραμμα μας, εισάγοντας τον αντίστοιχο αριθμό σε κάθε περιοχή. Σύμφωνα με την προϋπόθεση, τόσο τα διακριτικά όσο και τα γραμματόσημα συλλέγονται από 16 άτομα, οπότε στη διασταύρωση των κύκλων 3 και M θα γράψουμε τον αριθμό 16 (Εικ.).

Εφόσον 23 μαθητές συλλέγουν κονκάρδες και 16 μαθητές συλλέγουν και κονκάρδες και γραμματόσημα, τότε 23 - 16 = 7 άτομα συλλέγουν κονκάρδες μόνοι τους. Με τον ίδιο τρόπο συγκεντρώνονται μόνο γραμματόσημα από 35 - 16 = 19 άτομα. Ας γράψουμε τους αριθμούς 7 και 19 στις αντίστοιχες περιοχές του διαγράμματος.

Από την εικόνα φαίνεται ξεκάθαρα πόσα άτομα ασχολούνται με τη συλλογή. Για να το μάθετε αυτόπρέπει να προσθέσετε τους αριθμούς 7, 9 και 16. Παίρνουμε 42 άτομα. Αυτό σημαίνει ότι 52 - 42 = 10 μαθητές παραμένουν αδιάφοροι για τη συλλογή. Αυτή είναι η απάντηση στο πρόβλημα· μπορεί να εισαχθεί στο ελεύθερο πεδίο του μεγάλου κύκλου.

Η μέθοδος του Euler είναι απαραίτητη για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων και επίσης απλοποιεί σε μεγάλο βαθμό τη συλλογιστική.

4.4 Γρίφοι γραμμάτων και προβλήματα με αστερίσκους

Παζλ γραμμάτων και παραδείγματα με αστερίσκους λύνονται επιλέγοντας και εξετάζοντας διάφορες επιλογές.

Τέτοια προβλήματα ποικίλλουν ως προς την πολυπλοκότητα και το σχήμα λύσης. Ας δούμε ένα τέτοιο παράδειγμα.

Πρόβλημα 8 Λύστε ένα παζλ αριθμών

CIS

KSI

ISK

Λύση. Ποσό ΚΑΙ+ Γ (στη θέση των δεκάδων) τελειώνει σε C, αλλά I ≠ 0 (βλ. το μέρος των μονάδων). Αυτό σημαίνει ότι I = 9 και 1 δέκα στη θέση των μονάδων θυμάται. Τώρα είναι εύκολο να βρείτε το Κ στη θέση των εκατοντάδων: K = 4. Για το C απομένει μόνο μία πιθανότητα: C = 5.

4.5 Προβλήματα αλήθειας

Θα ονομάσουμε προβλήματα αλήθειας στα οποία είναι απαραίτητο να διαπιστωθεί η αλήθεια ή το ψεύδος των δηλώσεων.

Πρόβλημα 9 . Τρεις φίλοι Kolya, Oleg και Petya έπαιζαν στην αυλή και ένας από αυτούς έσπασε κατά λάθος το τζάμι του παραθύρου με μια μπάλα. Ο Κόλια είπε: «Δεν ήμουν εγώ που έσπασα το τζάμι». Ο Όλεγκ είπε: «Η Πέτια έσπασε το ποτήρι». Αργότερα ανακαλύφθηκε ότι μία από αυτές τις δηλώσεις ήταν αληθινή και η άλλη ψευδής. Ποιο αγόρι έσπασε το τζάμι;

Λύση. Ας υποθέσουμε ότι ο Όλεγκ είπε την αλήθεια, τότε ο Κόλια είπε επίσης την αλήθεια, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες του προβλήματος. Ως εκ τούτου, ο Oleg είπε ένα ψέμα και ο Kolya είπε την αλήθεια. Από τις δηλώσεις τους προκύπτει ότι ο Όλεγκ έσπασε το τζάμι.

Πρόβλημα 10 Τέσσερις μαθητές - Vitya, Petya, Yura και Sergei - πήραν τέσσερις πρώτες θέσεις στη Μαθηματική Ολυμπιάδα. Όταν ρωτήθηκαν ποια μέρη πήραν, δόθηκαν οι ακόλουθες απαντήσεις:

α) Petya - δεύτερη, Vitya - τρίτη.

β) Σεργκέι - δεύτερος, Petya - πρώτος.

γ) Yura - δεύτερος, Vitya - τέταρτος.

Υποδείξτε ποιος πήρε ποια θέση, αν μόνο ένα μέρος κάθε απάντησης είναι σωστό.

Λύση. Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση "Peter - II" είναι αληθινή, τότε και οι δύο δηλώσεις του δεύτερου προσώπου είναι λανθασμένες και αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες του προβλήματος.

Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση "Sergey - II" είναι αληθινή, τότε και οι δύο δηλώσεις του πρώτου προσώπου είναι λανθασμένες και αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες του προβλήματος.

Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση "Jura - II" είναι σωστή, τότε η πρώτη δήλωση του πρώτου προσώπου είναι ψευδής και η δεύτερη είναι αληθινή. Και η πρώτη δήλωση του δεύτερου προσώπου είναι λανθασμένη, αλλά η δεύτερη είναι σωστή.

Απάντηση: πρώτη θέση - Petya, δεύτερη θέση - Yura, τρίτη θέση - Vitya, τέταρτη θέση Sergey.

4.6 Προβλήματα τύπου «καπέλα».

Το πιο διάσημο πρόβλημα αφορά τους σοφούς που πρέπει να καθορίσουν το χρώμα του καπέλου στο κεφάλι τους. Για να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα, πρέπει να επαναφέρετε την αλυσίδα του λογικού συλλογισμού.

Πρόβλημα 11 . «Τι χρώμα είναι οι μπερέδες;»

Τρεις φίλοι, η Anya, η Shura και η Sonya, κάθισαν στο αμφιθέατρο η μία μετά την άλλη χωρίς μπιρέτες. Η Sonya και η Shura δεν μπορούν να κοιτάξουν πίσω. Η Shura βλέπει μόνο το κεφάλι της Sonya να κάθεται από κάτω της και η Anya βλέπει τα κεφάλια και των δύο φίλων. Από ένα κουτί που περιείχε 2 λευκούς και 3 μαύρους μπερέδες (και οι τρεις φίλοι το γνωρίζουν), έβγαλαν τρεις και τους έβαλαν στο κεφάλι, για να μην πω τι χρώμα ήταν ο μπερές. δύο μπερέδες έμειναν στο κουτί. Όταν η Anya ρωτήθηκε για το χρώμα του μπερέ που της έβαλαν, δεν μπόρεσε να απαντήσει. Η Shura άκουσε την απάντηση της Anya και είπε ότι επίσης δεν μπορούσε να προσδιορίσει το χρώμα του μπερέ της. Με βάση τις απαντήσεις των φίλων της, μπορεί η Sonya να καθορίσει το χρώμα του μπερέ της;

Λύση. Μπορείτε να συλλογιστείτε με αυτόν τον τρόπο. Από τις απαντήσεις της Anya, και οι δύο φίλες κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι και οι δύο δεν μπορούσαν να έχουν δύο λευκούς μπερέδες στο κεφάλι τους. (Διαφορετικά η Anya θα έλεγε αμέσως ότι είχε μαύρο μπερέ στο κεφάλι της). Έχουν είτε δύο μαύρα, είτε άσπρο και μαύρο. Ωστόσο, αν η Sonya είχε ένα λευκό μπερέ στο κεφάλι της, τότε η Shura είπε επίσης ότι δεν ήξερε ποιο μπερέ είχε στο κεφάλι της, τότε, επομένως, η Sonya είχε ένα μαύρο μπερέ στο κεφάλι της.

5. Πρακτικό μέρος

1. Μελέτη του επιπέδου λογικής σκέψης μαθητών Γυμνασίου.

Στο πρακτικό μέρος της ερευνητικής εργασίας επέλεξα λογικά προβλήματα όπως:Ποιος είναι ποιος?

Οι εργασίες αντιστοιχούσαν στο επίπεδο γνώσεων της Ε' και ΣΤ', Ζ' και 8ης τάξης αντίστοιχα. Οι μαθητές έλυσαν αυτά τα προβλήματα και εγώ ανέλυσα τα αποτελέσματα. Ας εξετάσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν με περισσότερες λεπτομέρειες.

Οι ακόλουθες εργασίες προτάθηκαν για τις τάξεις 5 και 6:

Πρόβλημα 1. Θυμούμενοι τον σταυρό του φθινοπώρου, οι σκίουροι διαφωνούν για δύο ώρες:

Ο λαγός κέρδισε τον αγώνα.ΕΝΑο δεύτερος ήταν αλεπού!

- Όχι, λέει ένας άλλος σκίουρος,

- Εσύ για μένααστείαπετάξτε αυτά. Ο λαγός ήταν δεύτερος, φυσικά,

Το πρώτο, θυμάμαι, ήταν άλκες!

- «Εγώ», είπε η σημαντική κουκουβάγια,

- Δεν θα εμπλακώ στη διαμάχη κάποιου άλλου.

Αλλά σε κάθε σου λέξη

Υπάρχει ένα λάθος.

Οι σκίουροι βούρκωσαν θυμωμένα.

Τους έγινε δυσάρεστο.

Αφού ζυγίσεις τα πάντα, αποφασίζεις

Ποιος ήταν πρώτος, ποιος δεύτερος.

Εργασία 2. Τρεις φίλοι της Μπέλοβα, ο Κράσνοβα και ο Τσέρνοβα συναντήθηκαν. Ο ένας φορούσε μαύρο φόρεμα, ο άλλος κόκκινο φόρεμα και ο τρίτος λευκό. Ένα κορίτσι με λευκό φόρεμα λέει στην Τσέρνοβα: «Πρέπει να αλλάξουμε φορέματα, διαφορετικά το χρώμα των φορεμάτων μας δεν ταιριάζει με τα επώνυμά μας». Ποιος φορούσε τι φόρεμα;

Μεταξύ των μαθητών στις τάξεις 5 και 6, υπήρχαν 25 άτομα με προτεινόμενες εργασίες όπως "Ποιος είναι ποιος;" Το ολοκλήρωσαν 11 άτομα, μεταξύ των οποίων 5 κορίτσια και 6 αγόρια. Τα αποτελέσματα της επίλυσης λογικών προβλημάτων από τους μαθητές των τάξεων 5 και 6 παρουσιάζονται στο σχήμα:

Το σχήμα δείχνει ότι το 44% έλυσε με επιτυχία και τα δύο προβλήματα «Ποιος είναι ποιος;». Σχεδόν όλοι οι μαθητές αντιμετώπισαν την πρώτη εργασία· η δεύτερη εργασία, χρησιμοποιώντας γραφήματα ή πίνακες, προκάλεσε δυσκολίες στα παιδιά.

Συνοψίζοντας, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι, γενικά, οι μαθητές της 5ης και της 6ης τάξης αντιμετωπίζουν απλούστερες εργασίες, αλλά αν προστεθούν λίγο περισσότερα στοιχεία στη συλλογιστική, τότε δεν αντιμετωπίζουν όλοι τέτοιες εργασίες.

Προτάθηκαν οι ακόλουθες εργασίες για την 7η και την 8η τάξη:

Πρόβλημα 1. Η Lena, η Olya, η Tanya συμμετείχαν στον αγώνα των 100 m. Η Lena έτρεξε 2 δευτερόλεπτα νωρίτερα από την Olya, η Olya έτρεξε 1 δευτερόλεπτο αργότερα από την Tanya. Ποιος ήρθε νωρίτερα: η Τάνια ή η Λένα και σε πόσα δευτερόλεπτα;

Πρόβλημα 2. Τρεις φίλοι συναντήθηκαν σε ένα καφέ: ο γλύπτης Belov, ο βιολονίστας Chernov και ο καλλιτέχνης Ryzhov. «Είναι υπέροχο που ένας από εμάς έχει άσπρα μαλλιά, ο άλλος έχει μαύρα και ο τρίτος έχει κόκκινα μαλλιά, αλλά κανένα από τα χρώματα των μαλλιών μας δεν ταιριάζει με το επώνυμό μας», παρατήρησε ο μαυρομάλλης. «Έχεις δίκιο», είπε ο Μπέλοφ. Τι χρώμα είναι τα μαλλιά του καλλιτέχνη;

Πρόβλημα 3. Μια φορά κι έναν καιρό μαζεύονταν επτά παντρεμένα ζευγάρια σε οικογενειακές διακοπές. Τα επώνυμα των ανδρών: Vladimirov, Fedorov, Nazarov, Viktorov, Stepanov, Matveev και Tarasov. Τα ονόματα των γυναικών είναι: Tonya, Lyusya, Lena, Sveta, Masha, Olya και Galya.Το βράδυ, ο Vladimirov χόρεψε με τη Lena και τη Sveta, ο Nazarov - με τη Masha και τη Sveta, ο Tarasov - με τη Lena και την Olya, ο Viktorov - με τη Lena, ο Stepanov - με τη Sveta, ο Matveev - με την Olya. Μετά άρχισαν να παίζουν χαρτιά. Πρώτα, οι Viktorov και Vladimirov έπαιξαν με τους Olya και Galya, μετά οι Stepanov και Nazarov αντικατέστησαν τους άνδρες και οι γυναίκες συνέχισαν το παιχνίδι. Και τέλος, ο Stepanov και ο Nazarov έπαιξαν ένα παιχνίδι με την Tonya και τη Lena.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιος είναι παντρεμένος με ποιον, αν είναι γνωστό ότι το βράδυ δεν χόρεψε ούτε ένας άντρας με τη γυναίκα του και ούτε ένα παντρεμένο ζευγάρι δεν κάθισε ταυτόχρονα στο τραπέζι κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού.

Στην 7η και 8η τάξη ανάμεσα σε 33 άτομα με όλα τα προβλήματα όπως «Ποιος είναι ποιος;» Το ολοκλήρωσαν 18 άτομα, μεταξύ των οποίων 8 κορίτσια και 10 αγόρια.

Τα αποτελέσματα της επίλυσης λογικών προβλημάτων από μαθητές της 7ης και της 8ης τάξης παρουσιάζονται στο σχήμα:

Το σχήμα δείχνει ότι το 55% των μαθητών αντιμετώπισε όλες τις εργασίες, το 91% ολοκλήρωσε την πρώτη εργασία, το 67% έλυσε με επιτυχία τη δεύτερη εργασία και η τελευταία εργασία αποδείχθηκε η πιο δύσκολη για τα παιδιά και μόνο το 58% την ολοκλήρωσε.

Αναλύοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν, γενικά μπορούμε να πούμε ότι οι μαθητές της 7ης και της 8ης τάξης αντιμετώπισαν καλύτερα την επίλυση λογικών προβλημάτων. Οι μαθητές της 5ης και της 6ης τάξης παρουσίασαν χειρότερα αποτελέσματα, ίσως ο λόγος για αυτό είναι ότι η επίλυση αυτού του τύπου προβλήματος απαιτεί καλή γνώση των μαθηματικών· οι μαθητές της Ε' τάξης δεν έχουν ακόμη εμπειρία στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων.

Έκανα και κοινωνικά. έρευνα μεταξύ των μαθητών των τάξεων 5-8. Έθεσα σε όλους την ερώτηση: «Ποια προβλήματα επιλύονται πιο εύκολα: μαθηματικά ή λογικά; Στην έρευνα συμμετείχαν 15 άτομα. 10 άτομα απάντησαν - μαθηματικά, 3-λογικά, 2 - δεν μπορούν να λύσουν τίποτα. Τα αποτελέσματα της έρευνας φαίνονται στο σχήμα:

Το σχήμα δείχνει ότι τα μαθηματικά προβλήματα επιλύονται ευκολότερα για το 67% των ερωτηθέντων, τα λογικά προβλήματα για το 20% και το 13% δεν θα είναι σε θέση να λύσει κανένα πρόβλημα.

6. Συμπέρασμα

Σε αυτή την εργασία εξοικειωθείτε με λογικά προβλήματα. Με τι λογική είναι. Έχουμε φέρει στην προσοχή σας διάφορες λογικές εργασίες που βοηθούν στην ανάπτυξη λογικής και ευφάνταστης σκέψης.

Κάθε φυσιολογικό παιδί έχει μια επιθυμία για γνώση, μια επιθυμία να δοκιμάσει τον εαυτό του. Τις περισσότερες φορές, οι ικανότητες των μαθητών παραμένουν ανεξερεύνητες για τον εαυτό τους, δεν είναι σίγουροι για τις ικανότητές τους και αδιαφορούν για τα μαθηματικά.

Για τέτοιους μαθητές, προτείνω τη χρήση λογικών εργασιών. Αυτές οι εργασίες μπορούν να εξεταστούν σε τάξεις συλλόγου και σε μαθήματα επιλογής.

Πρέπει να είναι προσβάσιμα, να αφυπνίζουν τη νοημοσύνη τους, να τραβούν την προσοχή τους, να εκπλήσσουν, να τους αφυπνίζουν σε ενεργή φαντασία και ανεξάρτητες αποφάσεις.

Πιστεύω επίσης ότι η λογική μας βοηθά να ανταπεξέλθουμε σε όποιες δυσκολίες στη ζωή μας, και ότι κάνουμε θα πρέπει να κατανοείται και να δομείται λογικά.

Λογικά και λογικά προβλήματα δεν συναντάμε μόνο στο σχολείο στα μαθήματα των μαθηματικών, αλλά και σε άλλα μαθήματα.

7. Βιβλιογραφία

Dorofeev G.V. Μαθηματικά Στ ́ τάξη.-Διαφωτισμός,: 2013.

Matveeva G. Λογικά προβλήματα // Μαθηματικά. - 1999. Αρ. 25. - Σ. 4-8.

Orlova E. Μέθοδοι λύσης λογικά προβλήματα και προβλήματα αριθμών //

Μαθηματικά. - 1999. Αρ. 26. - Σ. 27-29.

4. Sharygin I.F. , Shevkin E.A. Καθήκοντα για εφευρετικότητα.-Μόσχα,: Εκπαίδευση, 1996.-65 σελ.

Προσοχή μαθητές! Το μάθημα ολοκληρώνεται ανεξάρτητα σε αυστηρή συμφωνία με το επιλεγμένο θέμα. Δεν επιτρέπονται διπλότυπα θέματα! Σας παρακαλούμε να ενημερώσετε τον καθηγητή για το επιλεγμένο θέμα με οποιονδήποτε βολικό τρόπο, είτε μεμονωμένα είτε σε λίστα που να αναφέρει το πλήρες όνομά σας, τον αριθμό της ομάδας και τον τίτλο της εργασίας του μαθήματος.

Δείγματα θεμάτων για μαθήματα στον κλάδο
«Μαθηματική λογική»

1. Η μέθοδος επίλυσης και η εφαρμογή της σε προτασιακή άλγεβρα και άλγεβρα κατηγορήματος.

2. Αξιωματικά συστήματα.

3. Ελάχιστα και συντομότερα CNF και DNF.

4. Εφαρμογή μεθόδων μαθηματικής λογικής στη θεωρία των τυπικών γλωσσών.

5. Οι τυπικές γραμματικές ως λογικοί λογισμοί.

6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων λογικής κειμένου.

7. Συστήματα λογικού προγραμματισμού.

8. Παιχνίδι λογικής.

9. Αναποφασιστικότητα της λογικής πρώτης τάξης.

10. Μη τυποποιημένα μοντέλα αριθμητικής.

11. Μέθοδος διαγωνοποίησης στη μαθηματική λογική.

12. Μηχανές Turing και διατριβή του Church.

13. Υπολογισιμότητα στον άβακα και αναδρομικές συναρτήσεις.

14. Αναπαραστασιμότητα αναδρομικών συναρτήσεων και αρνητικών αποτελεσμάτων μαθηματικής λογικής.

15. Επιλυτότητα αριθμητικής πρόσθεσης.

16. Λογική δεύτερης τάξης και ορισμός στην αριθμητική.

17. Η μέθοδος των υπερπροϊόντων στη θεωρία μοντέλων.

18. Το θεώρημα του Gödel για την ατελότητα της τυπικής αριθμητικής.

19. Επιλύσιμες και αναποφάσιστες αξιωματικές θεωρίες.

20. Το λήμμα παρεμβολής του Craig και οι εφαρμογές του.

21. Οι απλούστεροι μετατροπείς πληροφοριών.

22. Κυκλώματα μεταγωγής.

24. Δομές επαφής.

25. Εφαρμογή συναρτήσεων Boolean σε κυκλώματα επαφής αναμετάδοσης.

26. Εφαρμογή Boolean συναρτήσεων στη θεωρία αναγνώρισης προτύπων.

27. Μαθηματική λογική και συστήματα τεχνητής νοημοσύνης.

Η εργασία του μαθήματος πρέπει να αποτελείται από 2 μέρη: το θεωρητικό περιεχόμενο του θέματος και ένα σύνολο προβλημάτων σχετικά με το θέμα (τουλάχιστον 10) με λύσεις. Επιτρέπεται επίσης η συγγραφή μιας εργασίας όρου ερευνητικού τύπου, αντικαθιστώντας το δεύτερο μέρος (επίλυση προβλημάτων) με μια ανεξάρτητη ανάπτυξη (για παράδειγμα, έναν αλγόριθμο εργασίας, πρόγραμμα, δείγμα κ.λπ.) που δημιουργήθηκε με βάση το θεωρητικό υλικό που συζητήθηκε στο πρώτο μέρος της εργασίας.

1) Barwise J. (επιμ.) Βιβλίο αναφοράς για τη μαθηματική λογική. - Μ.: Nauka, 1982.

2) Αδέρφια των γλωσσών προγραμματισμού. - Μ.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., computability and logic. - Μ.: Μιρ, 1994.

4) Χίντικιν λογική στα προβλήματα. - Μ., 1972.

5), Λογική Palyutin. - Μ.: Nauka, 1979.

6) Επιλυτότητα Ershov και εποικοδομητικά μοντέλα. - Μ.: Nauka, 1980.

7), θεωρία Taitslin // Uspekhi Mat. Nauk, 1965, 20, No. 4, p. 37-108.

8) Igoshin - εργαστήριο για τη μαθηματική λογική. - Μ.: Εκπαίδευση, 1986.

9) Λογική Igoshin και θεωρία αλγορίθμων. - Saratov: Εκδοτικός οίκος Sarat. Πανεπιστήμιο, 1991.

10) Στο Ts., χρησιμοποιώντας Turbo Prolog. - Μ.: Μιρ, 1993.

11) εισαγωγή στα μεταμαθηματικά. - Μ., 1957.

12) αθηματική λογική. - Μ.: Μιρ, 1973.

13) ogics στην επίλυση προβλημάτων. - Μ.: Nauka, 1990.

14) Λογική Kolmogorov: ένα εγχειρίδιο για τα πανεπιστήμια μαθηματικά. ειδικότητες /, - M.: Publishing house URSS, 2004. - 238 p.

15) ιστορία με κόμπους / Μετάφρ. από τα Αγγλικά - Μ., 1973.

16) λογικό παιχνίδι / Μτφρ. από τα Αγγλικά - Μ., 1991.

17), Maksimov για τη θεωρία συνόλων, τη μαθηματική λογική και τη θεωρία των αλγορίθμων. - 4η έκδ. - Μ., 2001.

18), λογική Σουκάτσεβα. Μάθημα διάλεξης. Βιβλίο πρακτικών προβλημάτων και λύσεις: Οδηγός μελέτης. 3η έκδ., αναθ. - Αγία Πετρούπολη.

19) Εκδοτικός οίκος "Λαν", 2008. - 288 σελ.

20) Lyskova στην επιστήμη των υπολογιστών / , . - Μ.: Εργαστήριο Βασικής Γνώσης, 2001. - 160 σελ.

21) Μαθηματική λογική / Υπό τη γενική έκδοση και άλλα - Μινσκ: Ανώτατο Σχολείο, 1991.

22) εισαγωγή στη μαθηματική λογική. - Μ.: Nauka, 1984.

23) Moshchensky για τη μαθηματική λογική. - Μινσκ, 1973.

24) Νικόλσκαγια με μαθηματική λογική. - Μ.: Ψυχολογικό και Κοινωνικό Ινστιτούτο Μόσχας: Flint, 1998. - 128 σελ.

25) Νικολσκαγια λογικη. - Μ., 1981.

26) Novikov μαθηματική λογική. - Μ.: Nauka, 1973.

27) Θεωρία Rabin. Στο βιβλίο: Βιβλίο αναφοράς για τη μαθηματική λογική, μέρος 3. Θεωρία αναδρομής. - Μ.: Nauka, 1982. - Σελ. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. et al. Λογική προσέγγιση στην τεχνητή νοημοσύνη. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. et al. Λογική προσέγγιση στην τεχνητή νοημοσύνη. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Μαθηματική λογική και αυτόματη απόδειξη θεωρημάτων. - Μ.: Nauka, 1983.

31) εισαγωγή στη μαθηματική λογική. - Μ.: Μιρ, 1960.

32) Λογική Shabunin. Προτασιακή λογική και προστακτική λογική: σχολικό βιβλίο /, ρεπ. εκδ. ; Κράτος Τσουβάς Πανεπιστήμιο που πήρε το όνομά του . - Cheboksary: Εκδοτικός Οίκος Τσουβάς. Πανεπιστήμιο, 2003. - 56 σελ.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΗΣ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ ΤΗΣ BURYATIA

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΡΟΫΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

"ΜΑΛΟΚΟΥΝΤΑΡΙΝΣΚΑΓΙΑ ΛΕΥΤΕΡΗ ΣΧΟΛΕΙΟ"

ΕΡΕΥΝΑ

Θέμα: «Λογικές εργασίες

Ολοκληρώθηκε η εργασία:

Igumnov Matvey, μαθητής Γ' τάξης

MBOU "Γυμνάσιο Malokudarinskaya"

Επικεφαλής: Serebrennikova M.D.

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ …………………………………………………………..3-4

2. ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ

Τι είναι η λογική……………………………………………………………. …5

Τύποι λογικών προβλημάτων……………………………………………………………6

Επίλυση λογικού προβλήματος…………………………………………………….10

Πρακτικό μέρος …………………………………………………….. 10-12

3. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ………………………………………………………… 14

4. ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΝΑΦΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΗΓΩΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ………. 15

5.ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Εισαγωγή

Η ανάπτυξη δημιουργικής δραστηριότητας, πρωτοβουλίας, περιέργειας και εφευρετικότητας διευκολύνεται με την επίλυση μη τυπικών και λογικών προβλημάτων.

Η επίλυση λογικών προβλημάτων είναι πολύ συναρπαστική. Φαίνεται να μην υπάρχουν μαθηματικά σε αυτά - δεν υπάρχουν αριθμοί, δεν υπάρχουν γεωμετρικά σχήματα, αλλά υπάρχουν μόνο ψεύτες και σοφοί, αλήθεια και ψέματα. Ταυτόχρονα, το πνεύμα των μαθηματικών γίνεται πιο καθαρά αισθητό σε αυτά - η μισή λύση σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα (και μερικές φορές πολύ περισσότερο από το μισό) είναι να κατανοήσουμε σωστά την κατάσταση, να ξεμπερδέψουμε όλες τις συνδέσεις μεταξύ των αντικειμένων του προβλήματος .

Κατά την προετοιμασία αυτής της εργασίας, έστησα στόχος- αναπτύξτε την ικανότητά σας να συλλογίζεστε και να βγάζετε σωστά συμπεράσματα. Μόνο η επίλυση ενός δύσκολου, μη τυπικού προβλήματος φέρνει τη χαρά της νίκης. Όταν λύνετε λογικά προβλήματα, έχετε την ευκαιρία να σκεφτείτε μια ασυνήθιστη συνθήκη και λόγο. Αυτό μου προκαλεί και διατηρεί το ενδιαφέρον μου για τα μαθηματικά. Συνάφεια.Στις μέρες μας, πολύ συχνά η επιτυχία ενός ατόμου εξαρτάται από την ικανότητά του να σκέφτεται καθαρά, να συλλογίζεται λογικά και να εκφράζει ξεκάθαρα τις σκέψεις του.

Σκοπός έρευνας:μπορεί ένα πρόβλημα λογικής να έχει πολλές σωστές απαντήσεις;

Καθήκοντα: 1) εξοικείωση με τις έννοιες της "λογικής" και τους τύπους λογικών προβλημάτων. 2) επίλυση ενός λογικού προβλήματος, προσδιορισμός της εξάρτησης της αλλαγής στην απάντηση του προβλήματος από το μέγεθος των καρυδιών

Ερευνητικές μέθοδοι:συλλογή, μελέτη υλικού, σύγκριση, ανάλυση

ΥπόθεσηΑν αλλάξουμε το μέγεθος των παξιμαδιών, θα αλλάξει η απάντηση στο πρόβλημα;
Πεδίο σπουδών: λογικό πρόβλημα.

Τι είναι η λογική;

Οι ακόλουθοι ορισμοί της λογικής μπορούν να βρεθούν στην επιστημονική βιβλιογραφία:

Η λογική είναι η επιστήμη των αποδεκτών μεθόδων συλλογισμού.

Η λογική είναι η επιστήμη των μορφών, των μεθόδων και των νόμων της πνευματικής γνωστικής δραστηριότητας, που επισημοποιείται με τη χρήση λογικής γλώσσας.

Η λογική είναι η επιστήμη της σωστής σκέψης.

Η λογική είναι μια από τις αρχαιότερες επιστήμες. Μερικές από τις απαρχές της λογικής διδασκαλίας βρίσκονται στην Ινδία, στα τέλη της 2ης χιλιετίας π.Χ. Θεμελιωτής της λογικής ως επιστήμης είναι ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και επιστήμονας Αριστοτέλης. Ήταν αυτός που επέστησε την προσοχή στο γεγονός ότι στη συλλογιστική συνάγουμε άλλες από ορισμένες δηλώσεις, με βάση όχι το συγκεκριμένο περιεχόμενο των δηλώσεων, αλλά μια ορισμένη σχέση μεταξύ των μορφών και των δομών τους.

Πώς να μάθετε να λύνετε λογικά προβλήματα;Λογικό ή μη αριθμητικήΤα προβλήματα αποτελούν μια ευρεία κατηγορία μη τυπικών προβλημάτων. Αυτό περιλαμβάνει, πρώτα απ 'όλα, προβλήματα λέξεων στα οποία είναι απαραίτητο να αναγνωρίσουμε αντικείμενα ή να τα τακτοποιήσουμε με μια συγκεκριμένη σειρά σύμφωνα με τις υπάρχουσες ιδιότητες. Σε αυτήν την περίπτωση, ορισμένες από τις δηλώσεις των συνθηκών του προβλήματος μπορεί να έχουν διαφορετικές τιμές αλήθειας (να είναι true ή false). Έτσι, θα μάθουμε πώς τα λογικά προβλήματα μπορούν να λυθούν με διαφορετικούς τρόπους. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν πολλές τέτοιες τεχνικές, είναι ποικίλες και καθεμία από αυτές έχει τη δική της περιοχή εφαρμογής.

Τύποι λογικών προβλημάτων

1 "Ποιος είναι ποιος;"

2 Τακτικές εργασίεςΗ επίλυση προβλημάτων τακτικής και θεωρητικών συνόλων περιλαμβάνει την κατάρτιση ενός σχεδίου δράσης που οδηγεί στη σωστή απάντηση. Η δυσκολία είναι ότι η επιλογή πρέπει να γίνει από έναν πολύ μεγάλο αριθμό επιλογών, δηλ. αυτές οι δυνατότητες δεν είναι γνωστές, πρέπει να εφευρεθούν.

3 Προβλήματα στην εύρεση της τομής ή της ένωσης συνόλων

4 Παζλ με γράμματα και αριθμούς και προβλήματα με αστέρια

Παζλ γραμμάτων και παραδείγματα με αστερίσκους λύνονται επιλέγοντας και εξετάζοντας διάφορες επιλογές.

5 Εργασίες που απαιτούν τη διαπίστωση της αλήθειας ή της ψευδούς δήλωσης

6 Προβλήματα τύπου «καπέλα».

ΕΠΙΛΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

Υπάρχουν πολλά είδη ξηρών καρπών. Ας μάθουμε αν η απάντηση σε αυτό το πρόβλημα εξαρτάται από το μέγεθος των ξηρών καρπών;
Ας δούμε μερικά από αυτά.

ΚΑΡΥΔΙΑ

Διάμετρος 2-3 cm

Τα κιτρινοκαφέ παξιμάδια έχουν σχεδόν σφαιρικό σχήμα, μήκος 15-25 mm και πλάτος 12-20 mm.

ΠΑΞΙΔΙ ΝΕΡΟΥ

με μέγεθος 2-2,5 εκατοστά

Το μέγεθος τους κυμαίνεται από 1,5 έως 1,7 cm.

από 4 έως 6 cm σε διάμετρο

ΜΟΣΧΟΚΑΡΥΔΟ

Το τελειωμένο παξιμάδι έχει ωοειδές σχήμα, 2-3 cm σε μήκος και 1,5-2 cm σε πλάτος.

ΜΑΚΑΔΑΜΙΑ

Ένα ώριμο καρύδι έχει σφαιρικό σχήμα και διάμετρο 1,5-2 cm.

Ο καρπός είναι αρκετά μεγάλος και μπορεί να φτάσει σε μήκος περίπου 5 εκατοστά.

ΒΡΑΖΙΛΙΑΝΙΚΟ ΠΑΞΙΔΙ

Τα μεγέθη των καρπών φτάνουν τα 10-15 cm σε διάμετρο και 1-2 kg σε βάρος.

ΠΟΥΚΟΥΚΟΥ

Τα κουκουνάρια θεωρούνται τα πιο μικρά. Επιπλέον, τα μεγέθη τους εξαρτώνται από τον τύπο. Οι ξηροί καρποί του ευρωπαϊκού κέδρου, του νάνου κέδρου της Σιβηρίας και του κορεατικού κέδρου διαφέρουν σε μέγεθος. Μεταξύ αυτών, τα μικρότερα είναι τα νάνοι κουκουνάρια. Το μήκος τους είναι 5 mm.

Συμπέρασμα:Υπάρχουν πολλά είδη ξηρών καρπών. Έχουν διαφορετικά μεγέθη: σε διάμετρο. Επομένως, αντικαθιστούμε παξιμάδια διαφορετικών μεγεθών στο πρόβλημα.

ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

Πρακτική δουλειά.
Εργασία Νο. 1. Πρακτική εργασία με καρύδια.
Εργαλεία και υλικά: χάρακας, κιμωλία, χρωματιστά μέτρα, 10 καρύδια.
Προπαρασκευαστικές εργασίες. Κόψαμε μετρήσεις από χρωματιστό χαρτόνι: 3 μετρήσεις από πράσινο χαρτόνι, 2 cm μήκος και 2 cm πλάτος, για την πρώτη σειρά και 5 μετρήσεις από κίτρινο χαρτόνι, 1 cm μήκος και 2 cm πλάτος, για τη δεύτερη σειρά.
Περιγραφή της δουλειάς.Σημειώστε ένα σημείο στο τραπέζι με κιμωλία. Του βάζουμε ένα παξιμάδι. Τοποθετήστε ένα μεζούρα 2 εκ. και ένα δεύτερο παξιμάδι, ένα μεζούρα 2 εκ. και ένα τρίτο παξιμάδι, ένα μεζούρα 2 εκ. και ένα τέταρτο παξιμάδι. Με κιμωλία σημειώνουμε την αρχή και το τέλος του μήκους της πρώτης σειράς. Η αρχή της δεύτερης σειράς σημειώνεται καθαρά με κιμωλία κάτω από την αρχή

πρώτο και βάλε ένα παξιμάδι, ένα μέτρο 1 εκ. και ένα δεύτερο παξιμάδι, ένα μέτρο 1 εκ. και ένα τρίτο, ένα μέτρο και ένα τέταρτο, ένα μέτρο και ένα πέμπτο, ένα μέτρο και ένα έκτο. Σημειώνουμε το τέλος του μήκους της δεύτερης σειράς με κιμωλία. Συγκρίνετε τα μήκη των σειρών.
Απάντηση: η δεύτερη σειρά είναι μεγαλύτερη.
2. Πρακτική εργασία με κουκουνάρι. (Δείτε περιγραφή θέσης εργασίας #1.)

Απάντηση: η δεύτερη σειρά είναι μεγαλύτερη.

3. Πρακτική εργασία με φουντούκια (φουντούκια).

(Δείτε περιγραφή θέσης εργασίας #1.)
Απάντηση: η δεύτερη σειρά είναι μεγαλύτερη.
4. Πρακτική εργασία με φιστίκια. (Εικ.4)

(Δείτε περιγραφή θέσης εργασίας #1.)
Απάντηση: : η δεύτερη σειρά είναι μεγαλύτερη.
Συμπέρασμα:η απάντηση στο πρόβλημα δεν αλλάζει ανάλογα με το μέγεθος αυτών των παξιμαδιών.

Όλοι οι ξηροί καρποί περισσότερο από 5 mm.
ΜΠΛΟΥΕΠΡΙΝΤΑ
Ας το ελέγξουμε αυτό στα σχέδια χρησιμοποιώντας κλίμακα.
Κλίμακα 1. Ο λόγος του μήκους των γραμμών σε χάρτη ή σχέδιο προς το πραγματικό μήκος.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ
Η υπόθεσή μου επιβεβαιώθηκε: όταν αλλάζει το μέγεθος των καρυδιών, αλλάζει η απάντηση στο πρόβλημα
Συμπέρασμα: Για παξιμάδια μεγέθους έως 5 mm, η πρώτη σειρά είναι μεγαλύτερη.
Όταν το μέγεθος του παξιμαδιού είναι 5 mm, το μήκος των σειρών είναι το ίδιο.
Για παξιμάδια μεγαλύτερα από 5 mm, η δεύτερη σειρά είναι μεγαλύτερη.

Πρακτική σημασία. Οι λύσεις που προτείνονται στην εργασία είναι πολύ απλές· κάθε μαθητής μπορεί να τις χρησιμοποιήσει. Τα έδειξα στους φίλους μου. Πολλοί μαθητές ενδιαφέρθηκαν για αυτό το έργο. Τώρα, όταν λύνονται λογικά προβλήματα, όλοι θα σκεφτούν την απάντησή του.
Προοπτικές: Μου άρεσε πολύ να πειραματίζομαι με ξηρούς καρπούς, να τους τακτοποιώ, να ψάχνω την απάντηση. Μοιράστηκα όλα τα ευρήματά μου με φίλους και συμμαθητές. Λογικά προβλήματα με ενδιέφεραν: στο μέλλον θέλω να προσπαθήσω να δημιουργήσω το δικό μου πρόβλημα που είναι εξίσου ενδιαφέρον, με διαφορετικές επιλογές απαντήσεων.

Προσπάθησα να αλλάξω την κατάσταση του προβλήματος. Πήρα μέτρα για τα κενά ανάμεσα στα παξιμάδια. Αντικαθιστώντας τα παξιμάδια διαφορετικών μεγεθών, πήρα την ίδια απάντηση: η πρώτη σειρά είναι μεγαλύτερη. Γιατί συμβαίνει αυτό; Άρχισα να μετράω τα πάντα ξανά: όλα ήταν ίδια. Εάν αύξησα τα διαστήματα κατά 100 φορές, τότε το μέγεθος των παξιμαδιών θα πρέπει επίσης να αυξηθεί κατά 100 φορές. Τώρα συνειδητοποίησα ότι δεν έχω τόσο μεγάλο παξιμάδι 50 cm ή περισσότερο. Όλα τα παξιμάδια είναι μικρότερα από 50 εκ. Σύμφωνα με το συμπέρασμά μου, για να είναι ίσα τα μήκη, το παξιμάδι πρέπει να είναι 50 εκ. και αν είναι πάνω από 50 εκ., τότε η δεύτερη σειρά θα είναι μεγαλύτερη. Αυτό σημαίνει ότι το συμπέρασμά μου είναι κατάλληλο και για αυτό το έργο.

6. Συμπέρασμα

Σε αυτή την εργασία εξοικειωθείτε με λογικά προβλήματα. Προσφέρθηκαν στην προσοχή σας διάφορες επιλογές για την επίλυση ενός λογικού προβλήματος.

Για τέτοιους μαθητές, προτείνω τη χρήση λογικών εργασιών.

Βιβλιογραφία
1. Ozhegov S.I. και Shvedova N.Yu. Επεξηγηματικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας: 80.000 λέξεις και φρασεολογικές εκφράσεις / Ρωσική Ακαδημία Επιστημών. Ινστιτούτο Ρωσικής Γλώσσας με το όνομα V.V. Vinogradov. - 4η έκδοση, συμπληρωμένο. – M.: Azbukovnik, 1999. – 944 pp.

2. Εγκυκλοπαίδεια για παιδιά. Βιολογία. Τόμος 2. “Avanta+”, M. Aksenov, S. Ismailova,

Μ.: «Avanta+», 1995

3. Εξερευνώ τον κόσμο: Det.Entsik.: Plants / Comp. L.A. Bagrova; Khud.A.V.Kardashuk, O.M.Voitenko;

Υπό γενική εκδ. Ο.Γ. Hinn. – M.: AST Publishing House LLC, 2000. – 512 p.

4. Εγκυκλοπαίδεια της ζωντανής φύσης - M.: AST-PRESS, 2000. - 328 p.

5. Ρικ Μόρις. Τα μυστικά της ζωντανής φύσης (μετάφραση από τα αγγλικά από τον A.M. Golov), M.: "Rosman", 1996.

6. David Burney. Μεγάλη εικονογραφημένη εγκυκλοπαίδεια της ζωντανής φύσης (μετάφραση από τα αγγλικά) M.: “Swallowtail”, 2006

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Η ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΤΗΣ ΛΕΥΚΟΡΩΣΙΑΣ

Περιφέρεια Μινσκ Περιφέρεια Μπορίσοφ

Κρατικό εκπαιδευτικό ίδρυμα

"Γυμνάσιο της περιοχής Loshnitsa"

Ερευνα

μαθηματικά

Karpovich Anna Igorevna, μαθήτρια της 11ης τάξης,

Melech Alexey Vladimirovich, μαθητής της 9ης τάξης,

Demidchik Artyom Alekseevich, μαθητής της 9ης τάξης

Επόπτης:

Yakimenko Ivan Viktorovich, καθηγητής μαθηματικών

Loshnitsa, 2006-2008

Εισαγωγή 3

Συνάφεια του επιλεγμένου θέματος 3

Ανασκόπηση βιβλιογραφίας για το θέμα 4

Σχηματισμός εννοιών 4

Επίπεδο ανάπτυξης του προβλήματος 4

Αντικείμενο μελέτης 5

Θέτοντας στόχους 5

Καθορισμός στόχων 5

Κύριο μέρος 6

Εμπειρική βάση της μελέτης 6

Περιγραφή ερευνητικών μονοπατιών και μεθόδων 6

1. Μελέτη βιβλιογραφίας 6

2. Δοκιμή και σφάλμα 6

3. Παραλλαγή 7

Αποτελέσματα έρευνας 8

Αξιοπιστία των αποτελεσμάτων που προέκυψαν 8

Συμπέρασμα 9

Συνοψίζοντας. Συμπεράσματα 9

Πρακτική σημασία των αποτελεσμάτων που προέκυψαν 9

Επιστημονική καινοτομία των αποτελεσμάτων που ελήφθησαν 9

Εφαρμογές 10

Παράρτημα 1. Ταξινόμηση λογικών παιχνιδιών 10

Παράρτημα 2. Κανόνες του παιχνιδιού “Dozen” 10

Παράρτημα 3. Κανόνες του παιχνιδιού “Devil's Dozen” 10

Παράρτημα 4. Ταξινόμηση φιγούρων στο παιχνίδι “Dozen” 11

Παράρτημα 5. Πρόσθετα κομμάτια του παιχνιδιού “Dozen” 12

Παράρτημα 6. Φιγούρες του παιχνιδιού “Devil's Dozen” 17

Λογοτεχνία 18

Εισαγωγή

Συνάφεια του επιλεγμένου θέματος

Κανένα παιδί, από την πρώτη τάξη μέχρι το πτυχίο, δεν έχει αρνηθεί να παίξει, ειδικά αντί ή κατά τη διάρκεια ενός μαθήματος.

Δεν χρειάζεστε ειδικό εξοπλισμό για αυτό, μόνο ένα φύλλο σημειωματάριου και ένα στυλό. Τα σχολικά παιχνίδια παίζονται εύκολα, έχουν πάντα ένα τέλος και εγγυώνται και τα τρία αποτελέσματα: νίκη, ήττα, ισοπαλία.

Ωστόσο, τα περισσότερα από τα παιχνίδια που παίζουν οι μαθητές είναι από καιρό γνωστά, και ως εκ τούτου μελετημένα και χωρίς ενδιαφέρον. Για παράδειγμα, δύο δυνατοί παίκτες δεν θα χάσουν ποτέ ο ένας από τον άλλο στο τικ-τακ. Αυτό το «κενό παιχνιδιού» οδηγεί αναπόφευκτα σε αναζήτηση καινοτομίας σε μία από τις ακόλουθες κατευθύνσεις:

- στους κανόνες του παιχνιδιού ry ("Tic Tac Toe" έως πέντε),

- στο μέγεθος του αγωνιστικού χώρου(χωρίς διάσταση "γωνίες"),

- στον αριθμό των παικτών(crossover "Θωρηκτό").

Από αυτή την άποψη, θεωρούμε σκόπιμο να εφεύρουμε, να δοκιμάσουμε και να εξερευνήσουμε νέα παιχνίδια για μαθητές.

Η συνάφεια του ερευνητικού θέματος επιβεβαιώνεται από το αδιάψευστο ενδιαφέρον για τις παρωδίες, τα rebus και τα παζλ, τα οποία χρησιμεύουν ως πεδίο δοκιμών για τους μαθητές να δοκιμάσουν τις δυνατότητές τους στην επίλυση προβλημάτων και εργασιών οποιασδήποτε πολυπλοκότητας. Με άλλα λόγια, αναπτύσσοντας τη λογική, μαθαίνουμε να επιβιώνουμε.

Ο Gottfried-Wilhelm Leibniz σημείωσε σε επιστολή του προς τον συνάδελφό του: «...ακόμα και τα παιχνίδια, τόσο αυτά που απαιτούν επιδεξιότητα όσο και αυτά που βασίζονται στην τύχη, παρέχουν τεράστιο υλικό για επιστημονικές μελέτες. Επιπλέον, η πιο συνηθισμένη παιδική διασκέδαση θα μπορούσε να τραβήξει την προσοχή του μεγαλύτερου μαθηματικού».(, σσ. 19-20).

Και τέλος, μας στοίχειωσαν οι δάφνες του Erne Rubik, του εφευρέτη του πιο διάσημου (και πιο εμπορικού!) παζλ - του κύβου του Rubik.

Κατά τη διάρκεια του προηγούμενου έτους, δημιουργήσαμε το παιχνίδι "Dozen" (βλ. Παράρτημα 2). Οι εργασίες για το παιχνίδι συνεχίστηκαν φέτος με στόχο τη βελτίωση, την έρευνα συνδυασμών παιχνιδιών και την ανάπτυξη νέων επιλογών παιχνιδιού.

Ανασκόπηση βιβλιογραφίας για το θέμα

Διαμόρφωση εννοιών

Λογικές. 1. Η επιστήμη των νόμων της σκέψης και των μορφών της. 2. Πορεία συλλογισμού, συμπεράσματα. 3. Λογικότητα, εσωτερική κανονικότητα.(, σελ. 167)

Ενα παιχνίδι. Κάνοντας κάτι που χρησιμεύει για ψυχαγωγία, χαλάρωση ή συμμετοχή σε διαγωνισμούς σε κάτι.(, σελ. 127)

Ακόμη και στην πρώτη σύγκριση, η ασυνέπεια αυτών των δύο εννοιών είναι εντυπωσιακή, ακόμη και η φράση «λογικά παιχνίδια»γενικά φαίνεται σαν λεκτική ανοησία.

Με βάση τους παραπάνω ορισμούς, ένα παιχνίδι λογικής μπορεί να θεωρηθεί ως δραστηριότητα για ψυχαγωγία και ανάπτυξη της σκέψης.

Οι ακόλουθοι όροι θα χρησιμοποιηθούν σε αυτή την εργασία:

"Παιχνίδι από χαρτί"είναι ένα παιχνίδι για δύο ή περισσότερους παίκτες που χρησιμοποιεί ένα κομμάτι χαρτί και ένα στυλό.

Κάτω από "παιχνίδι υπολογιστή"θα κατανοήσουμε ένα χαρτί ή άλλο λογικό παιχνίδι για το οποίο υπάρχει ή μπορεί να δημιουργηθεί μια έκδοση υπολογιστή.

Ορος "παιχνίδι απογραφής"νοείται ως ένα παιχνίδι που απαιτεί πρόσθετο, ειδικά κατασκευασμένο εξοπλισμό.

"Παιχνίδι μαθηματικών"- ένα παιχνίδι που απαιτεί μαθηματικές γνώσεις από διάφορους κλάδους της άλγεβρας ή της γεωμετρίας.

«Στρατηγική νίκης»ερμηνεύεται με τη συνήθη έννοια, δηλαδή ως τρόπος παιχνιδιού που οδηγεί αναπόφευκτα στη νίκη.

"Αποτέλεσμα παιχνιδιού"- τέλος του παιχνιδιού. Υπάρχουν τρία πιθανά αποτελέσματα παιχνιδιού: νίκη, ήττα, ισοπαλία.

Βαθμός ανάπτυξης του προβλήματος

Μελετώντας τη βιβλιογραφία για το υπό μελέτη ζήτημα, σημειώσαμε ότι, όταν έρθουν στην προσοχή των μαθηματικών, κάθε γεγονός, εξάρτηση, φαινόμενο μετριέται αμέσως, υπολογίζεται, ταξινομείται κ.λπ.

"Το πρόβλημα της βασίλισσας"(, σελ. 100) περιγράφεται λεπτομερώς στη θεωρία και για n=8 έχει αποδεδειγμένα 92 λύσεις (ibid.).

Αρχαία μαθηματικά διασκέδαση "Bashe's Game", "Jianshizi"Και "Νιμ"ονομάζονται γενικά παιχνίδια, «η θεωρία των οποίων έχει αναπτυχθεί με εξαντλητική πληρότητα» (σελ. 59).

Ωστόσο, στις πηγές που μελετήθηκαν, δεν υπήρχε καν αναφορά για ένα τόσο διάσημο παιχνίδι όπως "Αποσιωπητικά".

Το διαδεδομένο πρόβλημα της πλήρωσης ενός σκακιστικού πεδίου με την κίνηση ενός σκακιστή ιππότη (, σελ. 104) εξετάζεται τόσο για το πεδίο nxn όσο και για το πεδίο mxn. Ωστόσο, στη βιβλιογραφία το πρόβλημα έχει μόνο μία παραλλαγή για ένα περικομμένο πεδίο 9x9 χωρίς γωνίες (, σελ. 20), που σημαίνει ότι μπορεί να έχει άλλες, ανεξερεύνητες αρχικές συνθήκες.

Το ερώτημα αν υπάρχουν λύσεις για "Μαγικά τετράγωνα"οποιουδήποτε μεγέθους παραμένει ανοιχτό (, σελ.25, , σελ.89).

Έτσι, η μελέτη στη βιβλιογραφία των λογικών παιχνιδιών, των εργασιών ευρηματικότητας, των εργασιών παιχνιδιού και ψυχαγωγίας δεν εξαντλεί όλη την ποικιλία των συνθηκών και των λύσεων, πράγμα που σημαίνει ο βαθμός ανάπτυξης του προβλήματος μπορεί να οριστεί ως ανεπαρκής.

Αντικείμενο μελέτης

Το αντικείμενο της μελέτης είναι εκπαιδευτικόςΚαι δημιουργικά ενδιαφέροντα των μαθητών 8-11 τάξεις.

Αντικείμενο μελέτης

Αντικείμενο της μελέτης είναι ένα παιχνίδι που δημιουργήθηκε από τους συγγραφείς "Ντουζίνα"και η συνέχειά του - το παιχνίδι «Baker's dozen».

Θέτοντας στόχους

Ο σκοπός αυτής της μελέτης είναι ανάπτυξη, δοκιμή και μελέτη νέων παιχνιδιών λογικής.

Θέτοντας στόχους

Η υλοποίηση αυτού του στόχου απαιτεί την επίλυση των παρακάτω ειδικών εργασιών:

Μελετήστε βιβλιογραφία για ένα θέμα που σας ενδιαφέρει.
Ταξινομήστε τα νικηφόρα αποτελέσματα του παιχνιδιού (κομμάτια).
Βελτιώστε και επεκτείνετε το δικό σας παιχνίδι.
Διευκρινίστε τη συνάφεια και τη ζήτηση των παιχνιδιών που δημιουργήθηκαν.
Διατυπώστε προτάσεις για τη δημιουργία παιχνιδιών.

Κύριο μέρος

Εμπειρική βάση της μελέτης

Η εμπειρική βάση της έρευνάς μας είναι τα αποτελέσματα μετά τη δοκιμή του παιχνιδιού "Ντουζίνα".

Αυτό περιλαμβάνει επίσης πολλές χειρόγραφες εκδόσεις του ίδιου του παιχνιδιού, δοκιμασμένες από τους συγγραφείς και τους ερωτηθέντες, και ένα μίνι τουρνουά που πραγματοποιήθηκε στο πλαίσιο της εβδομάδας των ακριβών επιστημών.

Περιγραφή ερευνητικών μονοπατιών και μεθόδων

Κατά τη διάρκεια της εργασίας χρησιμοποιήθηκαν οι ακόλουθες μέθοδοι:

1. Μελέτη της βιβλιογραφίας

Σε αυτό το στάδιο, κατά τη μελέτη της βιβλιογραφίας για το θέμα του ενδιαφέροντος (κυρίως βιβλία για ψυχαγωγικά μαθηματικά), αναζητήσαμε παιχνίδια λογικής και τα ταξινομήσαμε σύμφωνα με ορισμένα κριτήρια (βλ. Παράρτημα 3).

Αποδείχθηκε ότι κανένα από τα παιχνίδια δεν είναι συγκεκριμένο, δηλ. δεν μπορεί να αναφέρεται μόνο σε ένα είδος.

Για παράδειγμα, το παιχνίδι "Πενταμινο"(, σελ. 13) αποτελείται από τη χρήση οποιωνδήποτε φιγούρων πεντόμινο (μια επίπεδη φιγούρα που αποτελείται από πέντε ίσα τετράγωνα) για να σχηματιστεί μια μεγάλη φιγούρα - ένα τετράγωνο, ένα ορθογώνιο κ.λπ. Σχεδιάζουμε πεντομινό σε καρό χαρτί - ένα χαρτοπαιχνίδι, τα κόβουμε από χαρτόνι - ένα παιχνίδι απογραφής. Αλλά είμαστε περισσότερο εξοικειωμένοι με αυτό το παιχνίδι ως συνέχεια του παιχνιδιού υπολογιστή. "Tetris" – "Pentix".

Επιπλέον, πειστήκαμε για άλλη μια φορά ότι όλα τα παιχνίδια είναι εκπαιδευτικά στον ένα ή τον άλλο βαθμό και αναπτύσσουν τις ικανότητες σκέψης των παικτών.

2. Δοκιμή και λάθος

Περιγράψτε συνοπτικά τους κανόνες του παιχνιδιού "Ντουζίνα"Όποιος πάρει πρώτος ένα από τα προσυμφωνημένα κομμάτια κερδίζει (βλ. Παραρτήματα 2,4,5).

Εκ πρώτης όψεως, με τέτοιους κανόνες το παιχνίδι δεν μπορεί να έχει ισοπαλία, γιατί μόνο ένας παίκτης κάνει την τελική κίνηση και είναι απλά αδύνατο να μην τραβήξεις τουλάχιστον ένα κομμάτι με τέτοια ποικιλία. Ωστόσο, και οι δύο παίκτες θα πρέπει να έχουν ίσες ευκαιρίες, οπότε ας τους επιτρέψουμε να κάνουν ίσο αριθμό κινήσεων και μετά μπορούν να "κερδίσουν και οι δύο".

Ας θυμηθούμε ότι το παιχνίδι πήρε το όνομά του από τον αριθμό των κινδύνων που συνθέτουν τη φιγούρα νίκης.

Η ανάπτυξη του θέματος ήταν η ερμηνεία μέσω υπολογιστή. Το παιχνίδι έχει τρεις ηλεκτρονικές εκδόσεις: μία στο MicroSoft Word και δύο στο MicroSoft Excel. Για να παίξω "Μια ντουζίνα", πρέπει να προσαρμόσετε τη διεπαφή του Office, για την οποία είναι βολικό να δημιουργήσετε έναν νέο πίνακα εργασίας.

3. Παραλλαγή

Η μέθοδος παραλλαγής αποτελείται από την αναπαραγωγή (διερεύνηση, σκέψη) διαφορετικών επιλογών για μια κατάσταση. Παραλλαγή είναι το έργο της λογικής σκέψης. Στην περίπτωσή μας είναι:

Διατύπωση των πιο εύκολων και πιο γρήγορα απομνημονευμένων κανόνων του παιχνιδιού,

Προσδιορισμός βέλτιστων μεγεθών πεδίου,

Αύξηση του αριθμού των πιθανών αριθμών.

Προσπαθώντας να βάλουμε τους εαυτούς μας στη θέση ενός ηγέτη ή ενός αουτσάιντερ, αναζητήσαμε τρόπους να βγούμε από τη σημερινή θέση στο γήπεδο. Το πιο σημαντικό σε αυτή τη δουλειά ήταν η αναζήτηση του δυνατού στρατηγική νίκης, γιατί αν βρεθεί κάτι τέτοιο, μετά από κάποιο χρονικό διάστημα το παιχνίδι μας θα γίνει το ίδιο χακαρισμένο με τα άλλα.

Ο αγωνιστικός χώρος είναι ένα σύνολο κινδύνων:

Οριζόντια – 6x7=42,

Κάθετη – 6x7=42,

Διαγώνιος – 2x36=72,

Σύνολο – 2x42+72=156.

Ένας στοιχειώδης υπολογισμός - 156:12 = 13 δείχνει ότι μπορούν να κατασκευαστούν 13 φιγούρες στο πεδίο ταυτόχρονα, που αποτελούνται από τους απαιτούμενους 12 βαθμούς. Η πολλαπλότητα του συνολικού αριθμού των κινδύνων στον αριθμό 13 έγινε η πρώτη ένδειξη για την αλλαγή των κανόνων του παιχνιδιού.

^ Γενικές οδηγίες Οι ακόλουθες αλλαγές στον κανόνα διαφοροποιήθηκαν:

απαγόρευση σχεδίασης δεύτερης διαγώνιου (επιταχύνει σημαντικά το παιχνίδι και παρέχει επιπλέον ευκαιρίες για ισοπαλία).
απαγόρευση χρήσης κινδύνων άλλων ανθρώπων (κάνει το παιχνίδι πολύ «διαφανές» για τον αντίπαλο).
αλλαγή μεγέθους ενός πεδίου (η αύξηση είχε αρνητικό αποτέλεσμα, όταν μειώνεται, χάνονται ορισμένα βασικά στοιχεία).
προσθήκη στο βασικό σετ νικηφόρων κομματιών (ασύμμετρα, μη κυρτά πολύγωνα, ανοιχτά σχήματα).
αύξηση του αριθμού των βαθμών στα βασικά στοιχεία .

Αποτελέσματα έρευνας

Ήταν οι δύο τελευταίες κατευθύνσεις σε παραλλαγή που έδωσαν τα πιο ενθαρρυντικά αποτελέσματα. Πρώτον, η ποικιλία των μορφών που προέκυψαν ήταν τόσο μεγάλη που έπρεπε να εφευρεθεί μια ειδική ταξινόμηση γι 'αυτούς (βλ. Παράρτημα 4). Επιπλέον, τα περισσότερα από τα σχήματα που λαμβάνονται σύμφωνα με τους κανόνες του παιχνιδιού είναι μη κυρτά αξονικά συμμετρικά πολύγωνα.

Δεύτερον, μεταβαίνοντας σε ασύμμετρες φιγούρες, νιώσαμε άμεση ανάγκηπροσθέστε άλλο ρίσκο στα νούμερα! Με την προσθήκη του 13ου βαθμού έγινε δύσκολο να επιτευχθεί συμμετρία. Αυτό έκανε το παιχνίδι ακόμα πιο συναρπαστικό. Το όνομα του νέου παιχνιδιού εμφανίστηκε από μόνο του: «Η δωδεκάδα του Μπέικερ».

Η έρευνα σε ένα εκσυγχρονισμένο παιχνίδι πιθανότατα θα οδηγήσει σε σημαντικές αλλαγές κανόνων. Για παράδειγμα, εάν επιτρέπετε διαφορετικά κομμάτια στο γήπεδο, σε ένα παιχνίδι μπορείτε να «κερδίσετε» όσους πόντους περιέχει κινδύνους το νικητήριο κομμάτι. Για τα κομμάτια διαφορετικά σχήματα(βλ. Ταξινόμηση) μπορείτε επίσης να εισάγετε πόντους μπόνους κ.λπ.

Αξιοπιστία των αποτελεσμάτων που προέκυψαν

Η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων της έρευνας διασφαλίζεται από:

πρακτική επιβεβαίωση των βασικών διατάξεων της μελέτης (το παιχνίδι που δημιουργήθηκε είναι ένα τεράστιο πεδίο έρευνας για μαθητές οποιασδήποτε ηλικίας);
προσεκτική επεξεργασία των δεδομένων που ελήφθησαν κατά τη διάρκεια της μελέτης (κατά την αλλαγή των κανόνων του παιχνιδιού, λαμβάνονται υπόψη όλες οι γενικές κατευθύνσεις των αλλαγών στα αποτελέσματα του παιχνιδιού και η στρατηγική νίκης).

συμπέρασμα

Συνοψίζοντας. συμπεράσματα

Ενα παιχνίδι "Ντουζίνα«μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη μελέτη των μαθηματικών σε όλες τις βαθμίδες της εκπαίδευσης.
Ενα παιχνίδι «Η δωδεκάδα του Μπέικερ«είναι μια συνέχεια, λογική εξέλιξη του παιχνιδιού "Ντουζίνα».
«Η δωδεκάδα του Μπέικερ» πληροί πλήρως τις απαιτήσεις που ορίζονται στον καθορισμό στόχων.
Το θέμα απαιτεί ανάπτυξη με τη μορφή μελέτης παιχνιδιών λογικής.

Πρακτική σημασία των αποτελεσμάτων που προέκυψαν

Το εκσυγχρονισμένο παιχνίδι έχει πρακτική αξία

Πως εκπαιδευτικό εργαλείοΓια:

Μαθηματικοί (ανάπτυξη λογικής σκέψης, εξοικείωση με γεωμετρικά σχήματα).
Επιστήμονες υπολογιστών (εξοικείωση με προγράμματα MicroSoft Office, δεξιότητες ποντικιού, εργασία με το πρόχειρο του Office).
Παιδιά πρωτοβάθμιας και δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης (εκσυγχρονισμός παιχνιδιών ως μέρος ερευνητικής εργασίας).

- Πως εργαλείο αναψυχήςΓια:

Παίκτες οποιασδήποτε ηλικίας (διαγωνισμοί, τουρνουά).

Επιστημονική καινοτομία των αποτελεσμάτων που προέκυψαν

Το αρχικό παιχνίδι "12" και το εκσυγχρονισμένο παιχνίδι "13", σύμφωνα με τον συγγραφέα, τον διευθυντή και τους ερωτηθέντες, δεν έχουν ανάλογα και αποτελούν πνευματική ιδιοκτησία των προγραμματιστών τους.

Εφαρμογές

Παράρτημα 1. Ταξινόμηση λογικών παιχνιδιών

Καταγραφή εμπορευμάτων

(σκάκι, πούλια, τάβλι, ντόμινο, χαρτιά, jianshizi κ.λπ.)

Χαρτί

(κουκκίδες, τικ-τακ σε διάφορες εκδόσεις, θαλάσσια μάχη κ.λπ.)

Εκπαιδευτικά (μαθηματικά)

(μαγικά τετράγωνα, μαγικά κόλπα, παρωδίες, προβλήματα τοποθέτησης)

Γλωσσικός

(«κρεμάλα», «κροκόδειλος», «σκραμπλ», scan-, cross-, αλυσιδωτές λέξεις, κ.λπ.)

Υπολογιστή

(ηλεκτρονικές ερμηνείες των παραπάνω παιχνιδιών + νέα χαρακτηριστικά: Tetris, φίδια, Pac-Man και άλλα δυναμικά)

Παράρτημα 2. Κανόνες του παιχνιδιού "Dozen"

Το παιχνίδι "Dozen" ("Δώδεκα") προορίζεται για μαθητές ηλικίας 6-16 ετών.

Το καθήκον του παίκτη είναι να σχεδιάσει ένα προσυμφωνημένο σχήμα που αποτελείται από 12 γραμμές πριν από τον αντίπαλο. Για να αποκτήσετε ένα κομμάτι, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τόσο το δικό σας όσο και τα ρίσκα του αντιπάλου σας.

Παράρτημα 3. Κανόνες του παιχνιδιού "Devil's Dozen"

Το παιχνίδι "Devil's Dozen" ("Thirteen") προορίζεται για μαθητές ηλικίας 10-17 ετών.

Ο αγωνιστικός χώρος είναι ένα τετράγωνο 6x6. Παίζουν δύο άτομα. Μια κίνηση θεωρείται ότι σχεδιάζετε μία από τις 4 γραμμές: την οριζόντια πλευρά του κελιού, την κάθετη πλευρά του κελιού ή οποιαδήποτε διαγώνιο του κελιού. Μια κίνηση μπορεί να γίνει μόνο από έναν ήδη τραβηγμένο κίνδυνο. Τα διαγώνια σημάδια μπορεί να τέμνονται.

Το καθήκον του παίκτη είναι να σχεδιάσει ένα προσυμφωνημένο σχήμα που αποτελείται από 13 γραμμές πριν από τον αντίπαλο. Για να αποκτήσετε ένα κομμάτι, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τόσο το δικό σας όσο και τα ρίσκα του αντιπάλου σας.

Μπόνους θεωρείται η παραλαβή ενός νέου κομματιού (με κοινή συμφωνία των παικτών).

Παράρτημα 4. Ταξινόμηση φιγούρων στο παιχνίδι "Dozen"

Με συμμετρία:

1) αξονική συμμετρία:

πλευρική συμμετρία (ο άξονας συμμετρίας εκτείνεται κατά μήκος της πλευράς του κελιού).
διαγώνια συμμετρία (ο άξονας συμμετρίας διατρέχει τη διαγώνιο του κελιού).
δευτερεύον (ο άξονας συμμετρίας διέρχεται μέσα στο κελί).

2) κεντρική συμμετρία.

3) καθολική συμμετρία (πλευρική, διαγώνια και κεντρική ταυτόχρονα).

4) ασυμμετρία.

Με κυρτότητα:

κυρτός;
μη κυρτό.

Σύμφωνα με τη μορφή:

γεωμετρικά σχήματα;
ζωοποιούν αντικείμενα?
άψυχα αντικείμενα.

Παράρτημα 5. Πρόσθετα κομμάτια του παιχνιδιού "Dozen"

καρδιά

σορτς

λύκος

μπούμερανγκ

πεταλούδα

ταχύς

Παράρτημα 6. Φιγούρες του παιχνιδιού "Devil's Dozen"

φίδι

λύκος

Σκατζόχοιρος

αεροπλάνο

Βιβλιογραφία

Barabanov E.A. και άλλοι Διεθνής μαθηματικός διαγωνισμός «Καγκουρό» στη Λευκορωσία - Μν.: ΜΚΟ «Bel. αναπλ. «Διαγωνισμός», 2005. – 96 σ.; Εγώ θα.
Bakhankov A.E.; Επεξηγηματικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας. Μν.: ΜΚΟ «Bel. αναπλ. «Διαγωνισμός», 2006. – 416 σελ.
Bondareva L.A. και τα λοιπά.; εργασίες με αστερίσκο. Μν.: ΜΚΟ «Bel. αναπλ. «Διαγωνισμός», 2006. – 159 σελ.
Germanovich P.Yu.; Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά για τη νοημοσύνη. Μ.: “Uchpedgiz”, 1960. – 224 p.
Domoryad A.P.; Μαθηματικά παιχνίδια και ψυχαγωγία. Μ.: Κρατικός Εκδοτικός Οίκος Φυσικομαθηματικής Λογοτεχνίας, 1961. – 264 σελ.
Zhikalkina T.K.; Εργασίες παιχνιδιού και ψυχαγωγίας στα μαθηματικά, Β' τάξη. Μ.: «Διαφωτισμός», 1987. – 62 σελ.
Kordemsky B.A.; Δοκίμια για μαθηματικά προβλήματα για ευρηματικότητα. Μ.: “Uchpedgiz”, 1958. – 116 p.
Leman Johannes, μετάφραση από τα γερμανικά από τον Danilov; Ch. συντάκτης L.A. Έρλυκιν. Συναρπαστικά μαθηματικά. Μ.: Εκδοτικός οίκος «Γνώση», 1985. - 270 σελ.
Lehman Johannes; επιμελητής Ε.Κ. Vakulina; 2x2 = αστείο. Μ.: «Διαφωτισμός» 1974. – 192 σελ.
Minskin E.M.; Από το παιχνίδι στη γνώση: Αναπτυξιακά και εκπαιδευτικά παιχνίδια για παιδιά δημοτικού. Μ.: Εκπαίδευση, 1982. - 192 σελ.; Εγώ θα.
Mikhailova Z.A.; επιμέλεια: L.G. Φρονίνα. Διασκεδαστικές εργασίες για παιδιά προσχολικής ηλικίας. Μ.: «Διαφωτισμός», 1990. – 95 σελ.
Petrakov I.S. Μαθηματικά κλαμπ στις τάξεις 8-10. Μ.: Εκπαίδευση, 1987. – 224 σελ.
Repkin V.V.; Εκπαιδευτικό λεξικό της ρωσικής γλώσσας. Μ.: Infoline, 1999. – 656 σελ.: ill.
Sobolevsky R.F.; Λογικά και μαθηματικά παιχνίδια. Μν., «Ναρ. Ασβέτα», 1977. – 96 σελ.
Εκδ. Hinn O.G.; Εξερευνώ τον κόσμο: Παιδική εγκυκλοπαίδεια: Μαθηματικά / M.: LLC "Firm Publishing House AST", 1999. - 480 p.