Μέχρι τώρα, η εστίασή μας ήταν στο απλούστερο από τα πολύγωνα - το τρίγωνο. Σε αυτό το κεφάλαιο θα μελετήσουμε πιο σύνθετα πολύγωνα, κυρίως διαφορετικούς τύπους τετράπλευρων: παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβο, τετράγωνο. Επιπλέον, αυτό το κεφάλαιο θα μιλήσει για τη συμμετρία των γεωμετρικών σχημάτων, συμπεριλαμβανομένων των υποδεικνυόμενων τετράπλευρων. Η συμμετρία παίζει σημαντικό ρόλο όχι μόνο στη γεωμετρία, αλλά και στην τέχνη, την αρχιτεκτονική και την τεχνολογία. Στο περιβάλλον βλέπουμε πολλά συμμετρικά αντικείμενα - προσόψεις κτιρίων, σχέδια σε χαλιά και υφάσματα, φύλλα δέντρων.
Θεωρήστε ένα σχήμα που αποτελείται από τμήματα AB, BC, CD, ..., EF, FG έτσι ώστε παρακείμενα τμήματα(δηλαδή τα τμήματα AB και BC, BC και CD, ..., EF και FG) δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αυτό το σχήμα ονομάζεται σπασμένη γραμμή ABCD...FG (Εικ. 150, α). Τα τμήματα που συνθέτουν μια διακεκομμένη γραμμή ονομάζονται του συνδέσεις, και τα άκρα αυτών των τμημάτων είναι κορυφές μιας διακεκομμένης γραμμής. Το άθροισμα των μηκών όλων των συνδέσμων ονομάζεται το μήκος της διακεκομμένης γραμμής. Τα άκρα της διακεκομμένης γραμμής ABCD ... FG, δηλαδή τα σημεία A και G, μπορεί να είναι διαφορετικά ή μπορεί να συμπίπτουν (Εικ. 150, β). Στην τελευταία περίπτωση, ονομάζεται η διακεκομμένη γραμμή κλειστό, και οι σύνδεσμοί του FG και AB θεωρούνται επίσης γειτονικοί. Εάν οι μη γειτονικοί σύνδεσμοι μιας κλειστής διακεκομμένης γραμμής δεν έχουν κοινά σημεία, τότε καλείται αυτή η διακεκομμένη γραμμή πολύγωνο, οι σύνδεσμοί του ονομάζονται πλευρές του πολυγώνου και το μήκος της διακεκομμένης γραμμής περίμετρος του πολυγώνου.
Ρύζι. 150
Ένα πολύγωνο με n κορυφές ονομάζεται n-γώνο. έχει n πλευρές. Ένα παράδειγμα πολυγώνου είναι ένα τρίγωνο. Το σχήμα 151 δείχνει ένα τετράπλευρο ABCD και ένα εξάγωνο A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6.
Ρύζι. 151
Το σχήμα που φαίνεται στο Σχήμα 152 δεν είναι πολύγωνο, καθώς τα μη γειτονικά τμήματα C 1 C 5 και C 2 C 3 (καθώς και τα C 3 C 4 και C 1 C 5) έχουν ένα κοινό σημείο.
Ρύζι. 152
Καλούνται δύο κορυφές ενός πολυγώνου που ανήκουν στην ίδια πλευρά γειτονικός. Καλείται ένα τμήμα που συνδέει οποιεσδήποτε δύο μη γειτονικές κορυφές πολύγωνο διαγώνιο.
Οποιοδήποτε πολύγωνο χωρίζει το επίπεδο σε δύο μέρη, ένα από τα οποία ονομάζεται εσωτερικός, και το άλλο - εξωτερική περιοχή του πολυγώνου.
Στο Σχήμα 153, οι εσωτερικές περιοχές των πολυγώνων είναι σκιασμένες. Ένα σχήμα που αποτελείται από τις πλευρές ενός πολυγώνου και την εσωτερική του περιοχή ονομάζεται επίσης πολύγωνο.
Ρύζι. 153
Κυρτό πολύγωνο
Ένα πολύγωνο ονομάζεται κυρτό αν βρίσκεται στη μία πλευρά κάθε ευθείας που διέρχεται από τις δύο γειτονικές κορυφές του.
Στο Σχήμα 154, το πολύγωνο F 1 είναι κυρτό και το πολύγωνο F 2 είναι μη κυρτό.
Ρύζι. 154
Εξετάστε το κυρτό n-gon που φαίνεται στο Σχήμα 155a. Οι γωνίες A n A 1 A 2, A 1 A 2 A 3, ..., A n-1 A n A 1 ονομάζονται γωνίεςαυτό το πολύγωνο. Ας βρούμε το άθροισμά τους.
Ρύζι. 155
Για να το κάνετε αυτό, συνδέστε την κορυφή A 1 με διαγώνιες σε άλλες κορυφές. Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε n - 2 τρίγωνα (Εικ. 155, β), το άθροισμα των γωνιών των οποίων είναι ίσο με το άθροισμα των γωνιών του n-γωνίου. Το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι 180°, άρα το άθροισμα των γωνιών του πολυγώνου AxAg... An είναι (n - 2) 180°.
Ετσι, το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι (n - 2) 180°.
Εξωτερική γωνία κυρτού πολυγώνουΜια γωνία δίπλα σε μια γωνία ενός πολυγώνου ονομάζεται. Αν σε κάθε κορυφή ενός κυρτού πολυγώνου A 1 A 2 ... A n πάρουμε μία εξωτερική γωνία, τότε το άθροισμα αυτών των εξωτερικών γωνιών θα είναι ίσο
180° - A 1 + 180° - A 2 + ... + 180° - A n =
= n 180° - (A 1 + A 2 +... + A n) =
= n 180° - (n - 2) 180° = 360°.
Ετσι, το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου είναι 360°.
Τετράπλευρο
Κάθε τετράπλευρο έχει τέσσερις κορυφές, τέσσερις πλευρές και δύο διαγώνιες (Εικ. 156). Δύο μη γειτονικές πλευρές ενός τετράπλευρου ονομάζονται απεναντι απο. Καλούνται επίσης δύο κορυφές που δεν είναι γειτονικές απεναντι απο.
Ρύζι. 156
Τα τετράγωνα μπορεί να είναι κυρτά ή μη. Το Σχήμα 156, o δείχνει ένα κυρτό τετράγωνο, και το Σχήμα 156, β - ένα μη κυρτό.
Κάθε διαγώνιος ενός κυρτού τετράπλευρου το χωρίζει σε δύο τρίγωνα. Μία από τις διαγώνιες ενός μη κυρτού τετράπλευρου το χωρίζει επίσης σε δύο τρίγωνα (βλ. Εικ. 156, β).
Εφόσον το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού n-gon είναι (n - 2) 180°, τότε το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού τετράπλευρου είναι 360°.
Καθήκοντα
363. Σχεδιάστε ένα κυρτό πεντάγωνο και ένα εξάγωνο. Σε κάθε πολύγωνο, σχεδιάστε όλες τις διαγώνιους από κάποια κορυφή. Σε πόσα τρίγωνα χωρίζουν κάθε πολύγωνο οι διαγώνιοι που σχεδιάζονται;
364. Να βρείτε το άθροισμα των γωνιών του κυρτού:
α) πεντάγωνο·
β) εξάγωνο.
γ) ένα δεκάγωνο.
365. Πόσες πλευρές έχει ένα κυρτό πολύγωνο, κάθε γωνία του οποίου είναι ίση με:
α) 90°;
β) 60°;
γ) 120°;
δ) 108°;
366. Να βρείτε τις πλευρές ενός τετράπλευρου αν η περίμετρός του είναι 8 cm και η μία πλευρά είναι μεγαλύτερη από κάθε μία από τις άλλες πλευρές κατά 3 mm, 4 mm και 5 mm αντίστοιχα.
367. Να βρείτε τις πλευρές ενός τετράπλευρου αν η περίμετρός του είναι 66 cm, η πρώτη πλευρά είναι 8 cm μεγαλύτερη από τη δεύτερη και το ίδιο μικρότερη από την τρίτη πλευρά και η τέταρτη είναι τρεις φορές μεγαλύτερη από τη δεύτερη.
368. Να βρείτε τις γωνίες ενός κυρτού τετράπλευρου αν είναι ίσες μεταξύ τους.
369. Να βρείτε τις γωνίες Α, Β και Γ ενός κυρτού τετραπλεύρου ΑΒΓΔ αν ∠A = ∠B = ∠C, και AD = 135°.
370. Να βρείτε τις γωνίες ενός κυρτού τετράπλευρου αν είναι ανάλογες με τους αριθμούς 1, 2, 4, 5.
Απαντήσεις σε προβλήματα
364. α) 540°; β) 720°; γ) 1440°.
365. α) Τέσσερα· β) τρεις? Στις έξι η ώρα; δ) πέντε.
366. 23 mm, 20 mm, 19 mm, 18 mm.
367. 15 εκ., 7 εκ., 23 εκ., 21 εκ.
368. 90°. 369,75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°.
Στόχοι:
- διδάξτε πώς να σχεδιάζετε, να ορίζετε και να ονομάζετε γωνίες, να γράφετε το όνομα των γωνιών χρησιμοποιώντας το σύμβολο "; » και γράμματα?
- να αναπτύξουν τη μαθηματική ομιλία των μαθητών και την ικανότητα να καθιερώνουν πρότυπα·
- βελτιώστε την ικανότητα χρήσης ενός εργαλείου σχεδίασης - ενός χάρακα, την ικανότητα μέτρησης και σχεδίασης ενός τμήματος ενός δεδομένου μήκους.
- καλλιεργούν ενδιαφέρον για τη μελέτη των μαθηματικών.
Εξοπλισμός:εφαρμογές γεωμετρικών σχημάτων, πίνακες.
Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων
1. Επικαιροποίηση γνώσεων. - Δες τις εφαρμογές και πες μου από ποια γεωμετρικά σχήματα είναι φτιαγμένα τα αντράκια; (Κύκλος, οβάλ, τετράγωνο, ορθογώνιο, τρίγωνο, τετράγωνο.)
Σε ποιες ομάδες μπορούν να χωριστούν αυτοί οι αριθμοί; (Σχήματα με γωνίες και σχήματα χωρίς γωνίες.)
Ονομάστε τα γεωμετρικά σχήματα «χωρίς γωνίες», π.χ. φιγούρες που οριοθετούνται από καμπύλες κλειστές γραμμές. (Οβάλ και κύκλος.)
Ονομάστε τις φιγούρες από την ομάδα των «με γωνίες». (Τετράγωνο, ορθογώνιο, τρίγωνο, εξάγωνο.)
Ποιο είναι το άλλο όνομα για ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο; (Τετράγωνα.)
Πώς να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα "με γωνίες" σε έναν όρο; (Πολύγωνα.)
Ονομάστε τους τύπους πολυγώνων. (Τετράγωνο, τρίγωνο, πεντάγωνο, εξάγωνο.)
Τι καθορίζει το όνομα ενός πολυγώνου; (Ανάλογα με τον αριθμό των γωνιών σε αυτό.)
Έτσι, μια γωνία είναι ένα στοιχείο ενός πολυγώνου, αλλά πρέπει ακόμα να διευκρινίσετε ποιο σχήμα ονομάζεται πολύγωνο. Τα σχήματα που αντιπροσωπεύουν τα καπέλα των ανθρώπων είναι πολύγωνα;
2. Ισοπέδωση γνώσεων.
Ο Dunno ετοίμασε μια εργασία, ποιες γραμμές σχεδίασε." Φωνάξτε τους με το όνομά τους. (Ευθεία γραμμή a, τμήμα AB, ακτίνα OM.)
Ποια ευθεία ονομάζεται ευθεία, τμήμα, ακτίνα; (Μια ευθεία γραμμή είναι μια γραμμή που δεν έχει αρχή και τέλος, η οποία πρέπει να σχεδιαστεί χρησιμοποιώντας έναν χάρακα. Ένα τμήμα είναι ένα μέρος μιας γραμμής που έχει μια αρχή και ένα τέλος. Μια ακτίνα είναι ένα μέρος μιας γραμμής που έχει μια αρχή .)
Τι κοινό έχουν μια ευθεία γραμμή, μια ακτίνα, ένα τμήμα; (Η ακτίνα και το τμήμα είναι μέρος της γραμμής.)
Πώς είναι διαφορετικοί? (Ένα τμήμα μπορεί να μετρηθεί, αλλά μια ευθεία γραμμή και μια ακτίνα δεν μπορούν να μετρηθούν, είναι άπειρα.)
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ευθείας γραμμής και δοκού; (Μια ευθεία γραμμή μπορεί να επεκταθεί προς δύο κατευθύνσεις, αλλά μια ακτίνα μπορεί να επεκταθεί μόνο προς μία κατεύθυνση. Εξάλλου, στην άλλη πλευρά περιορίζεται από ένα σημείο. Αυτή είναι η αρχή της ακτίνας.)
3. Κατασκευή γωνιών.
Ποια σχήματα: μια ευθεία γραμμή, μια ακτίνα ή ένα τμήμα - θα πρέπει να επιλέξετε να κατασκευάσετε μια γωνία; (Πρέπει να επιλέξετε δύο ακτίνες.)
Ο Dunno επέλεξε δύο δοκάρια.
Έφτιαξε τη γωνία; (Οχι.)
Γιατί; (Δεν ξέρω δεν ταιριάζει με την αρχή των ακτίνων.)
Πώς πρέπει να τοποθετηθούν οι ακτίνες; (Οι ακτίνες πρέπει να βγαίνουν από ένα σημείο.)
Πώς λέγεται αυτό το σημείο; (Στην κορυφή της γωνίας.)
Πώς ονομάζονται οι ακτίνες; (Οι πλευρές της γωνίας.)
Λοιπόν, τι πρέπει να επιλέξετε για να δημιουργήσετε μια γωνία; (Πρέπει να επιλέξετε ένα σημείο και να σχεδιάσετε δύο ακτίνες από αυτό.)
Τώρα ο καθένας σας θα χτίσει μια γωνιά στο σημειωματάριό σας.
Τι εργαλείο θα χρησιμοποιήσετε; (Με χάρακα.)
Σημειώστε το πάνω μέρος με ένα κόκκινο μολύβι, τα πλαϊνά με μπλε και πράσινο.
Ας προσπαθήσουμε να διατυπώσουμε τη γωνία. Τι είναι μια γωνία; (Η γωνία είναι ένα γεωμετρικό σχήμα, για να το κατασκευάσετε πρέπει να επιλέξετε ένα σημείο και να σχεδιάσετε δύο ακτίνες από αυτό.)
4. Δήλωση εκπαιδευτικού προβλήματος και επίλυσή του.
Χαίρομαι πολύ που σήμερα και οι 27 μαθητές της τάξης μας είναι παρόντες στο μάθημα. Πόσες γωνίες έχετε φτιάξει; (Ο ίδιος αριθμός, 27.)
Πώς να ξεχωρίσετε έναν τέτοιο αριθμό γωνιών μεταξύ τους; (Πρέπει να δώσετε ονόματα στις γωνίες.)
Πώς πιστεύετε ότι μπορεί να οριστεί μια γωνία; (Μπορείτε να το ονομάσετε κορυφή.)
Ονομάστε τη γωνία (Γωνία Α)
Και αν σχεδιάσω πολλές γωνίες με την κορυφή στο σημείο Α, πώς μπορώ να τις ξεχωρίσω; (Πρέπει κάπως να «προσδιορίσουμε πληρέστερα τις γωνίες.)
Έχει κανείς άλλες επιλογές χαρακτηρισμού; (Οι ακτίνες μπορούν να χαρακτηριστούν: ακτίνα AB και ακτίνα AC.)
Έτσι, σημειώσαμε τη γωνία, προσπαθήστε να την ονομάσετε, διαβάστε το όνομα. (Γωνία BAC, γωνία CAB, γωνία ACB, γωνία ABC, γωνία Α.)
Πρέπει να επιλέξουμε τα σωστά ονόματα από τα δεδομένα από τις προτάσεις σας. Για να το κάνετε αυτό, προτείνω να πάτε στον πίνακα και να δείξετε τη γωνία.
(Τα παιδιά δείχνουν γωνίες με διαφορετικούς τρόπους.)
Παιδιά, στα μαθηματικά συνηθίζεται να φαίνεται η γωνία από μια από τις πλευρές προς την κορυφή και από την κορυφή προς την πλευρά. Ποιο από τα ονόματα γωνιών που δώσατε πιστεύετε ότι θα είναι σωστό; (Γωνία BAC, Γωνία CAB, Γωνία Α.)
Σωστά. Πρέπει να θυμόμαστε ότι το γράμμα με το οποίο συμβολίζουμε την κορυφή της γωνίας πρέπει να ονομάζεται δεύτερο.
Η λέξη «γωνία» στα μαθηματικά υποδηλώνεται με το σύμβολο «? "
Λοιπόν, πόσα γράμματα μπορεί να υπάρχουν σε ένα όνομα γωνίας; (Ένα γράμμα ή τρία.)
Σημειώστε στο τετράδιό σας το όνομα της γωνίας που σχεδιάσατε. Θα γράψω τα ονόματα των γωνιών στον πίνακα και θα μου πείτε. (Γωνία BAC, γωνία CAB ή απλά γωνία Α.)
Πώς να γράψετε τα ονόματα των γωνιών όταν ένα σημείο είναι η αρχή πολλών ακτίνων; (Πρώτα πρέπει να ορίσετε τις ακτίνες, να τακτοποιήσετε τα γράμματα M, K, S, D.)
Πόσες γωνίες πήραμε; (Δύο, τρία, ακόμα περισσότερα.)
Για να δείξουμε ποιες γωνίες πρέπει να ονομαστούν, συμβολίζονται με τόξα. Ονομάστε και γράψτε τις γωνίες που ορίζω. (Γωνία MAC, γωνία SAD, γωνία MAC.)
Υπάρχουν άλλες γωνίες σε αυτό το σχέδιο; (Ναι, γωνία MAD, γωνία KAD, γωνία CAM.)
Αν υπάρχει δυσκολία, ο δάσκαλος δείχνει τη γωνία και τα παιδιά την ονομάζουν. Αυτό το καθήκον είναι για «δυνατούς» μαθητές, για την ανάπτυξή τους. Άλλοι μαθαίνουν μετά από αυτούς.
5. Γενίκευση. Εμβάθυνση γνώσεων για τα πολύγωνα.
Τι πρέπει να θυμάστε όταν ονομάζετε και γράφετε γωνίες; (Ονομάζουμε το γράμμα που δηλώνει την κορυφή στη μέση.)
Πώς να δείξετε μια γωνία; (Πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν δείκτη για να "περπατήσετε" κατά μήκος της δοκού - από τη μια πλευρά στην κορυφή και μετά από την κορυφή στην άλλη πλευρά.)
6. Φυσική άσκηση.
Θα σας δείξω κάρτες με γεωμετρικά σχήματα. Όταν βλέπετε ένα πολύγωνο, πρέπει να καθίσετε. Όταν βλέπετε μια φιγούρα που δεν είναι πολύγωνο, πρέπει να σηκωθείτε.
Ενα δύο τρία τέσσερα πέντε,
Όλοι μπορούμε να μετρήσουμε
Ξέρουμε επίσης πώς να χαλαρώνουμε -
Ας βάλουμε τα χέρια μας πίσω από την πλάτη μας
Ας σηκώσουμε το κεφάλι ψηλά
Και ας αναπνεύσουμε εύκολα.
7. Ενοποίηση σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο.
Σελίδα 29 Αρ. 68. Γράψτε τα ονόματα των γωνιών χρησιμοποιώντας αυτό το σύμβολο «; " Αυτή η εργασία ολοκληρώνεται με σχόλια.
Πόσα ονόματα μπορεί να έχει μια γωνιά; (Τρία ονόματα.)
8. Ενοποίηση νέου υλικού σε ομάδες. (Επτά ομάδες).
Κάθε ομάδα καλείται να δώσει τρεις επιλογές για το όνομα της γωνίας.
Μετά την ολοκλήρωση της εργασίας, ο διοικητής της ομάδας αναφέρει. Για παράδειγμα:
9. Βελτίωση των λεκτικών υπολογιστικών δεξιοτήτων.
Παιχνίδι "Αποκρυπτογραφήστε τη λέξη". Κάθε τιμή της έκφρασης αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο γράμμα. 4 - G, 5 - L, 6 - U, 7 - O.
10-8 + 4 = 6 U 2+7-5=4 σολ 8-3+2=7 ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ 1+9-5=5 μεγάλο
Διαβάστε τη λέξη. (Γωνία.)
10. Αναζητώντας γωνιές στη γύρω πραγματικότητα.
Κοιτάξτε γύρω σας προσεκτικά και ονομάστε αντικείμενα που έχουν γωνίες. (Πίνακας, σημειωματάριο, γραφείο, παράθυρο κ.λπ.)
11. Συμπέρασμα.
Ποια νέα πράγματα μάθατε στο μάθημα; (Έμαθα να ορίζει γωνίες.)
Πόσα ονόματα μπορεί να έχει μια γωνία; (Τρία.)
Τι σημαίνει το δεύτερο γράμμα; (Αυτό το γράμμα αντιπροσωπεύει την κορυφή της γωνίας.)
Ήταν όλα ξεκάθαρα κατά τη διάρκεια του μαθήματος; Μπορεί ο καθένας από εσάς να ονομάσει τη γωνία και να διαβάσει σωστά το όνομα της γωνίας; Αν ναι, σηκώστε μια κάρτα με θαυμαστικό, αν όχι, σηκώστε μια κάρτα με ερωτηματικό.
Σήμερα στο μάθημα όλοι βοήθησαν ενεργά τον Dunno να μάθει το νέο θέμα "Angle", αλλά και βελτίωσε τις γνώσεις του για τα πολύγωνα. Τι νέο έμαθε ο καθένας σας για αυτούς; (Ποιος είναι ο πιο βολικός τρόπος για να σχεδιάσετε ποιο είναι το περίγραμμα μιας γωνίας; Πώς να εμφανίσετε μια γωνία. Για να εμφανίσετε ένα πολύγωνο, πρέπει να ζωγραφιστεί.)
Στο σπίτι, τραβήξτε 3 γωνίες και δώστε τους ονόματα. Επίσης, κατασκευάστε ένα πολύγωνο και δείξτε τις γωνίες σε αυτό, δώστε του ένα όνομα.
Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.
Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών
Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.
Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.
Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:
- Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.
Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:
- Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
- Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
- Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
- Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.
Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους
Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.
Εξαιρέσεις:
- Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές αρχές στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
- Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.
Προστασία προσωπικών πληροφοριών
Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.
Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο
Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.
Αυτά τα γεωμετρικά σχήματα μας περιβάλλουν παντού. Τα κυρτά πολύγωνα μπορεί να είναι φυσικά, όπως μια κηρήθρα, ή τεχνητά (τεχνητά). Αυτές οι φιγούρες χρησιμοποιούνται στην παραγωγή διαφόρων τύπων επιστρώσεων, ζωγραφικής, αρχιτεκτονικής, κοσμημάτων κ.λπ. Τα κυρτά πολύγωνα έχουν την ιδιότητα όλα τα σημεία τους να βρίσκονται στη μία πλευρά μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται από ένα ζεύγος γειτονικών κορυφών αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Υπάρχουν και άλλοι ορισμοί. Κυρτό πολύγωνο είναι αυτό που βρίσκεται σε ένα μόνο ημιεπίπεδο σε σχέση με οποιαδήποτε ευθεία που περιέχει μια από τις πλευρές του.
Στο μάθημα της στοιχειώδους γεωμετρίας λαμβάνονται πάντα υπόψη μόνο τα απλά πολύγωνα. Για να κατανοήσουμε όλες τις ιδιότητες τέτοιων, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τη φύση τους. Αρχικά, θα πρέπει να καταλάβετε ότι κάθε γραμμή της οποίας τα άκρα συμπίπτουν ονομάζεται κλειστή. Επιπλέον, το σχήμα που σχηματίζεται από αυτό μπορεί να έχει ποικίλες διαμορφώσεις. Ένα πολύγωνο είναι μια απλή κλειστή διακεκομμένη γραμμή στην οποία οι γειτονικοί σύνδεσμοι δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Οι σύνδεσμοι και οι κορυφές του είναι, αντίστοιχα, οι πλευρές και οι κορυφές αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Μια απλή πολύγραμμη δεν πρέπει να έχει αυτοτομές.
Οι κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζονται γειτονικές αν αντιπροσωπεύουν τα άκρα μιας από τις πλευρές του. Ένα γεωμετρικό σχήμα που έχει τον ν-οστό αριθμό κορυφών, άρα και τον ν-οστό αριθμό πλευρών, ονομάζεται n-gon. Η ίδια η διακεκομμένη γραμμή ονομάζεται όριο ή περίγραμμα αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Ένα πολυγωνικό επίπεδο ή επίπεδο πολύγωνο είναι το πεπερασμένο τμήμα οποιουδήποτε επιπέδου που οριοθετείται από αυτό. Οι γειτονικές πλευρές αυτού του γεωμετρικού σχήματος είναι τμήματα μιας διακεκομμένης γραμμής που προέρχεται από μια κορυφή. Δεν θα είναι γειτονικά αν προέρχονται από διαφορετικές κορυφές του πολυγώνου.
Άλλοι ορισμοί κυρτών πολυγώνων
Στη στοιχειώδη γεωμετρία, υπάρχουν αρκετοί ακόμη ορισμοί ισοδύναμοι σε νόημα, που υποδεικνύουν ποιο πολύγωνο ονομάζεται κυρτό. Επιπλέον, όλες αυτές οι συνθέσεις είναι εξίσου σωστές. Ένα πολύγωνο θεωρείται κυρτό αν:
Κάθε τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία μέσα του βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα σε αυτό.
Όλες οι διαγώνιες του βρίσκονται μέσα σε αυτό.
Οποιαδήποτε εσωτερική γωνία δεν υπερβαίνει τις 180°.
Ένα πολύγωνο χωρίζει πάντα ένα επίπεδο σε 2 μέρη. Ένα από αυτά είναι περιορισμένο (μπορεί να περικλείεται σε κύκλο) και το άλλο είναι απεριόριστο. Η πρώτη ονομάζεται εσωτερική περιοχή και η δεύτερη είναι η εξωτερική περιοχή αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Αυτό το πολύγωνο είναι η τομή (με άλλα λόγια, η κοινή συνιστώσα) πολλών ημιεπίπεδων. Επιπλέον, κάθε τμήμα που έχει άκρα σε σημεία που ανήκουν στο πολύγωνο ανήκει πλήρως σε αυτό.
Ποικιλίες κυρτών πολυγώνων
Ο ορισμός ενός κυρτού πολυγώνου δεν δείχνει ότι υπάρχουν πολλοί τύποι. Επιπλέον, καθένα από αυτά έχει ορισμένα κριτήρια. Έτσι, τα κυρτά πολύγωνα που έχουν εσωτερική γωνία ίση με 180° ονομάζονται ασθενώς κυρτά. Ένα κυρτό γεωμετρικό σχήμα που έχει τρεις κορυφές ονομάζεται τρίγωνο, τέσσερις - τετράπλευρο, πέντε - πεντάγωνο, κ.λπ. Κάθε ένα από τα κυρτά n-γόνια πληροί την ακόλουθη πιο σημαντική απαίτηση: το n πρέπει να είναι ίσο ή μεγαλύτερο από 3. Κάθε των τριγώνων είναι κυρτό. Ένα γεωμετρικό σχήμα αυτού του τύπου, στο οποίο όλες οι κορυφές βρίσκονται στον ίδιο κύκλο, ονομάζεται εγγεγραμμένο σε κύκλο. Ένα κυρτό πολύγωνο ονομάζεται περιγεγραμμένο εάν όλες οι πλευρές του κοντά στον κύκλο το αγγίζουν. Δύο πολύγωνα λέγονται ότι είναι ίσα μόνο εάν μπορούν να ενωθούν με υπέρθεση. Επίπεδο πολύγωνο είναι ένα πολυγωνικό επίπεδο (τμήμα επιπέδου) που περιορίζεται από αυτό το γεωμετρικό σχήμα.
Κανονικά κυρτά πολύγωνα
Τα κανονικά πολύγωνα είναι γεωμετρικά σχήματα με ίσες γωνίες και πλευρές. Μέσα τους υπάρχει ένα σημείο 0, το οποίο βρίσκεται στην ίδια απόσταση από κάθε κορυφή του. Ονομάζεται κέντρο αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Τα τμήματα που συνδέουν το κέντρο με τις κορυφές αυτού του γεωμετρικού σχήματος ονομάζονται αποθέματα και αυτά που συνδέουν το σημείο 0 με τις πλευρές είναι ακτίνες.
Ένα κανονικό τετράπλευρο είναι ένα τετράγωνο. Ένα κανονικό τρίγωνο ονομάζεται ισόπλευρο. Για τέτοια σχήματα, υπάρχει ο ακόλουθος κανόνας: κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου είναι ίση με 180° * (n-2)/ n,
όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών αυτού του κυρτού γεωμετρικού σχήματος.
Το εμβαδόν οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου καθορίζεται από τον τύπο:
όπου p είναι ίσο με το μισό του αθροίσματος όλων των πλευρών ενός δεδομένου πολυγώνου και h ίσο με το μήκος του αποθέματος.
Ιδιότητες κυρτών πολυγώνων
Τα κυρτά πολύγωνα έχουν ορισμένες ιδιότητες. Έτσι, ένα τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε 2 σημεία ενός τέτοιου γεωμετρικού σχήματος βρίσκεται αναγκαστικά σε αυτό. Απόδειξη:
Ας υποθέσουμε ότι το P είναι ένα δεδομένο κυρτό πολύγωνο. Παίρνουμε 2 αυθαίρετα σημεία, για παράδειγμα, τα Α, Β, τα οποία ανήκουν στο Ρ. Σύμφωνα με τον υπάρχοντα ορισμό ενός κυρτού πολυγώνου, αυτά τα σημεία βρίσκονται στη μία πλευρά της ευθείας, η οποία περιέχει οποιαδήποτε πλευρά του P. Επομένως, το ΑΒ επίσης έχει αυτή την ιδιότητα και περιέχεται στο P. Ένα κυρτό πολύγωνο είναι πάντα δυνατό να το διαιρέσουμε σε πολλά τρίγωνα χρησιμοποιώντας απολύτως όλες τις διαγώνιες που έχουν σχεδιαστεί από μια από τις κορυφές του.
Γωνίες κυρτών γεωμετρικών σχημάτων
Οι γωνίες ενός κυρτού πολυγώνου είναι οι γωνίες που σχηματίζονται από τις πλευρές του. Οι εσωτερικές γωνίες βρίσκονται στην εσωτερική περιοχή ενός δεδομένου γεωμετρικού σχήματος. Η γωνία που σχηματίζεται από τις πλευρές του που συναντώνται σε μία κορυφή ονομάζεται γωνία κυρτού πολυγώνου. με εσωτερικές γωνίες ενός δεδομένου γεωμετρικού σχήματος ονομάζονται εξωτερικές. Κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου που βρίσκεται στο εσωτερικό του είναι ίση με:
όπου x το μέγεθος της εξωτερικής γωνίας. Αυτή η απλή φόρμουλα ισχύει για οποιαδήποτε γεωμετρικά σχήματα αυτού του τύπου.
Γενικά, για τις εξωτερικές γωνίες, ισχύει ο ακόλουθος κανόνας: κάθε γωνία ενός κυρτού πολυγώνου ισούται με τη διαφορά μεταξύ 180° και του μεγέθους της εσωτερικής γωνίας. Μπορεί να έχει τιμές που κυμαίνονται από -180° έως 180°. Επομένως, όταν η εσωτερική γωνία είναι 120°, η εξωτερική γωνία θα είναι 60°.
Άθροισμα γωνιών κυρτών πολυγώνων
Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου καθορίζεται από τον τύπο:
όπου n είναι ο αριθμός των κορυφών του n-γώνου.
Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου υπολογίζεται πολύ απλά. Σκεφτείτε οποιοδήποτε τέτοιο γεωμετρικό σχήμα. Για να προσδιορίσετε το άθροισμα των γωνιών μέσα σε ένα κυρτό πολύγωνο, πρέπει να συνδέσετε μία από τις κορυφές του με άλλες κορυφές. Ως αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας, προκύπτουν (n-2) τρίγωνα. Είναι γνωστό ότι το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι πάντα ίσο με 180°. Δεδομένου ότι ο αριθμός τους σε οποιοδήποτε πολύγωνο είναι (n-2), το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τέτοιου σχήματος είναι ίσο με 180° x (n-2).
Το άθροισμα των γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου, δηλαδή οποιωνδήποτε δύο εσωτερικών και γειτονικών εξωτερικών γωνιών, για ένα δεδομένο κυρτό γεωμετρικό σχήμα θα είναι πάντα ίσο με 180°. Με βάση αυτό, μπορούμε να προσδιορίσουμε το άθροισμα όλων των γωνιών του:
Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι 180° * (n-2). Με βάση αυτό, το άθροισμα όλων των εξωτερικών γωνιών ενός δεδομένου σχήματος καθορίζεται από τον τύπο:
180° * n-180°-(n-2)= 360°.
Το άθροισμα των εξωτερικών γωνιών οποιουδήποτε κυρτού πολυγώνου θα είναι πάντα 360° (ανεξάρτητα από τον αριθμό των πλευρών).
Η εξωτερική γωνία ενός κυρτού πολυγώνου αντιπροσωπεύεται γενικά από τη διαφορά μεταξύ 180° και της τιμής της εσωτερικής γωνίας.
Άλλες ιδιότητες ενός κυρτού πολυγώνου
Εκτός από τις βασικές ιδιότητες αυτών των γεωμετρικών σχημάτων, έχουν και άλλες που προκύπτουν κατά τον χειρισμό τους. Έτσι, οποιοδήποτε από τα πολύγωνα μπορεί να χωριστεί σε πολλά κυρτά n-γώνια. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να συνεχίσετε κάθε πλευρά του και να κόψετε αυτό το γεωμετρικό σχήμα κατά μήκος αυτών των ευθειών γραμμών. Είναι επίσης δυνατό να διαιρέσουμε οποιοδήποτε πολύγωνο σε πολλά κυρτά μέρη με τέτοιο τρόπο ώστε οι κορυφές κάθε κομματιού να συμπίπτουν με όλες τις κορυφές του. Από ένα τέτοιο γεωμετρικό σχήμα, μπορείτε πολύ απλά να κάνετε τρίγωνα σχεδιάζοντας όλες τις διαγώνιους από μια κορυφή. Έτσι, οποιοδήποτε πολύγωνο μπορεί τελικά να χωριστεί σε έναν ορισμένο αριθμό τριγώνων, κάτι που αποδεικνύεται πολύ χρήσιμο για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων που σχετίζονται με τέτοια γεωμετρικά σχήματα.
Περίμετρος κυρτού πολυγώνου
Τα τμήματα διακεκομμένης γραμμής, που ονομάζονται πλευρές ενός πολυγώνου, υποδηλώνονται συχνότερα με τα ακόλουθα γράμματα: ab, bc, cd, de, ea. Αυτές είναι οι πλευρές ενός γεωμετρικού σχήματος με κορυφές a, b, c, d, e. Το άθροισμα των μηκών όλων των πλευρών αυτού του κυρτού πολυγώνου ονομάζεται περίμετρός του.
Κύκλος πολυγώνου
Τα κυρτά πολύγωνα μπορούν να είναι εγγεγραμμένα ή περιγεγραμμένα. Ένας κύκλος που αγγίζει όλες τις πλευρές αυτού του γεωμετρικού σχήματος ονομάζεται εγγεγραμμένος σε αυτόν. Ένα τέτοιο πολύγωνο ονομάζεται περιγεγραμμένο. Το κέντρο ενός κύκλου που είναι εγγεγραμμένο σε ένα πολύγωνο είναι το σημείο τομής των διχοτόμων όλων των γωνιών μέσα σε ένα δεδομένο γεωμετρικό σχήμα. Το εμβαδόν ενός τέτοιου πολυγώνου είναι ίσο με:
όπου r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου και p είναι η ημιπερίμετρος του δεδομένου πολυγώνου.
Ένας κύκλος που περιέχει τις κορυφές ενός πολυγώνου ονομάζεται περιγεγραμμένος γύρω του. Στην περίπτωση αυτή, αυτό το κυρτό γεωμετρικό σχήμα ονομάζεται εγγεγραμμένο. Το κέντρο του κύκλου, που περιγράφεται γύρω από ένα τέτοιο πολύγωνο, είναι το σημείο τομής των λεγόμενων κάθετων διχοτόμων όλων των πλευρών.
Διαγώνιες κυρτών γεωμετρικών σχημάτων
Οι διαγώνιοι ενός κυρτού πολυγώνου είναι τμήματα που συνδέουν μη γειτονικές κορυφές. Κάθε ένα από αυτά βρίσκεται μέσα σε αυτό το γεωμετρικό σχήμα. Ο αριθμός των διαγωνίων ενός τέτοιου n-gon καθορίζεται από τον τύπο:
N = n (n - 3)/ 2.
Ο αριθμός των διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου παίζει σημαντικό ρόλο στη στοιχειώδη γεωμετρία. Ο αριθμός των τριγώνων (K) στα οποία μπορεί να διαιρεθεί κάθε κυρτό πολύγωνο υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
Ο αριθμός των διαγωνίων ενός κυρτού πολυγώνου εξαρτάται πάντα από τον αριθμό των κορυφών του.
Διαμέριση ενός κυρτού πολυγώνου
Σε ορισμένες περιπτώσεις, για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων είναι απαραίτητο να διαιρεθεί ένα κυρτό πολύγωνο σε πολλά τρίγωνα με μη τέμνουσες διαγώνιες. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με την εξαγωγή ενός συγκεκριμένου τύπου.
Ορισμός του προβλήματος: ας ονομάσουμε σωστή μια ορισμένη κατάτμηση ενός κυρτού n-γώνου σε πολλά τρίγωνα με διαγώνιες που τέμνονται μόνο στις κορυφές αυτού του γεωμετρικού σχήματος.
Λύση: Έστω ότι τα P1, P2, P3..., Pn είναι οι κορυφές αυτού του n-γώνου. Ο αριθμός Xn είναι ο αριθμός των κατατμήσεων του. Ας εξετάσουμε προσεκτικά την προκύπτουσα διαγώνιο του γεωμετρικού σχήματος Pi Pn. Σε οποιοδήποτε από τα κανονικά διαμερίσματα το P1 Pn ανήκει σε ένα συγκεκριμένο τρίγωνο P1 Pi Pn, το οποίο έχει 1 Έστω i = 2 μια ομάδα κανονικών διαμερισμάτων, που περιέχει πάντα τη διαγώνιο P2 Pn. Ο αριθμός των κατατμήσεων που περιλαμβάνονται σε αυτό συμπίπτει με τον αριθμό των κατατμήσεων του (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Με άλλα λόγια, ισούται με Xn-1. Εάν i = 3, τότε αυτή η άλλη ομάδα κατατμήσεων θα περιέχει πάντα τις διαγώνιες P3 P1 και P3 Pn. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των κανονικών κατατμήσεων που περιέχονται σε αυτήν την ομάδα θα συμπίπτει με τον αριθμό των κατατμήσεων του (n-2)-gon P3 P4... Pn. Με άλλα λόγια, θα είναι ίσο με Xn-2. Έστω i = 4, τότε μεταξύ των τριγώνων το σωστό διαμέρισμα θα περιέχει σίγουρα το τρίγωνο P1 P4 Pn, το οποίο θα είναι δίπλα στο τετράπλευρο P1 P2 P3 P4, το (n-3)-gon P4 P5... Pn. Ο αριθμός των κανονικών διαμερισμάτων ενός τέτοιου τετράπλευρου είναι X4 και ο αριθμός των διαμερισμάτων ενός (n-3)-gon είναι Xn-3. Με βάση όλα τα παραπάνω, μπορούμε να πούμε ότι ο συνολικός αριθμός των κανονικών κατατμήσεων που περιέχονται σε αυτή την ομάδα είναι ίσος με Xn-3 X4. Άλλες ομάδες για τις οποίες i = 4, 5, 6, 7... θα περιέχουν Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... κανονικές κατατμήσεις. Έστω i = n-2, τότε ο αριθμός των σωστών κατατμήσεων σε αυτήν την ομάδα θα συμπίπτει με τον αριθμό των κατατμήσεων στην ομάδα για την οποία i=2 (με άλλα λόγια, ίσος με Xn-1). Εφόσον X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., τότε ο αριθμός όλων των διαμερισμάτων ενός κυρτού πολυγώνου είναι ίσος με: Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1. X5 = X4 + X3 + X4 = 5 X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14 X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42 X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132 Κατά τον έλεγχο ειδικών περιπτώσεων, μπορεί κανείς να υποθέσει ότι ο αριθμός των διαγωνίων των κυρτών n-γώνων είναι ίσος με το γινόμενο όλων των διαμερισμάτων αυτού του σχήματος στο (n-3). Απόδειξη αυτής της υπόθεσης: φανταστείτε ότι P1n = Xn * (n-3), τότε οποιοδήποτε n-gon μπορεί να χωριστεί σε (n-2)-τρίγωνα. Επιπλέον, από αυτά μπορεί να σχηματιστεί ένα (n-3)-τετράγωνο. Μαζί με αυτό, κάθε τετράπλευρο θα έχει μια διαγώνιο. Εφόσον σε αυτό το κυρτό γεωμετρικό σχήμα μπορούν να σχεδιαστούν δύο διαγώνιοι, αυτό σημαίνει ότι μπορούν να σχεδιαστούν επιπλέον (n-3) διαγώνιοι σε οποιαδήποτε (n-3)-τετράπλευρα. Με βάση αυτό, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι σε οποιοδήποτε κανονικό διαμέρισμα είναι δυνατό να σχεδιάσουμε (n-3)-διαγώνιους που πληρούν τις προϋποθέσεις αυτού του προβλήματος. Συχνά, κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων στοιχειώδους γεωμετρίας, καθίσταται απαραίτητο να προσδιοριστεί η περιοχή ενός κυρτού πολυγώνου. Έστω ότι (Xi. Yi), i = 1,2,3... n είναι μια ακολουθία συντεταγμένων όλων των γειτονικών κορυφών ενός πολυγώνου που δεν έχει αυτοτομές. Στην περίπτωση αυτή, το εμβαδόν του υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο: S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)), όπου (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1). Πολύγωνο – Μαθηματικά 1η τάξη (Moro) Σύντομη περιγραφή:Αριθμός κανονικών χωρισμάτων που τέμνονται κατά μία διαγώνιο εσωτερικά
Εμβαδόν κυρτών πολυγώνων
Γνωρίζετε ήδη πολλά για τη γεωμετρία, αλλά μάλλον θέλετε να μάθετε ακόμα περισσότερα. Επομένως, το ταξίδι μας στην καταπληκτική χώρα της Γεωμετρίας συνεχίζεται. Είστε πολύ εξοικειωμένοι με ένα τέτοιο σχήμα ως τμήμα. Τι συμβαίνει εάν τρία τμήματα συνδέονται μεταξύ τους; Αυτό είναι σωστό, θα αποδειχθεί ότι είναι μια σπασμένη γραμμή. Φυσικά, θυμάστε ότι οι σπασμένες γραμμές μπορεί να είναι κλειστές ή ανοιχτές. Αν συνδέσετε τρία τμήματα σε μια κλειστή πολυγραμμή, θα έχετε... Το μαντέψατε; Θα πάρετε ένα τρίγωνο. Είναι δυνατόν να ληφθούν άλλα σχήματα από μια διακεκομμένη γραμμή; Φυσικά μπορείτε να! Όλα εξαρτώνται από τον αριθμό των συνδέσμων της διακεκομμένης γραμμής. Έτσι, για παράδειγμα, εάν υπάρχουν τέσσερις σύνδεσμοι, παίρνετε ένα τετράγωνο, πέντε συνδέσμους - ένα πεντάγωνο, και ούτω καθεξής. Τώρα σκεφτείτε πώς μπορούμε να ονομάσουμε με μία λέξη τις φιγούρες που σχηματίζονται από μια κλειστή διακεκομμένη γραμμή; Πάρτε μια υπόδειξη: όλα αυτά τα σχήματα έχουν συνδέσμους που σχηματίζουν διαφορετικό αριθμό γωνιών. Τέτοια σχήματα ονομάζουμε πολύγωνα. Τα πολύγωνα σε συναντούν σε κάθε βήμα. Έτσι, το καπάκι του γραφείου είναι ένα τετράγωνο, ορισμένα οδικά σήματα είναι τρίγωνα, τα παρτέρια μπορεί να είναι πεντάγωνα ή εξάγωνα. Το θέμα «Πολύγωνα» είναι ανεξάντλητο. Θα τη γνωρίσεις όχι μόνο στην πρώτη δημοτικού, αλλά θα τη συναντάς συνεχώς καθ’ όλη τη διάρκεια της παραμονής σου στο σχολείο. Κάντε φίλους με πολύγωνα! 
