Να βρείτε την προβολή του διανύσματος a στους άξονες συντεταγμένων. Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα. Διανυσματικά θεωρήματα προβολής

Η επίλυση προβλημάτων σχετικά με την ισορροπία των συγκλίνων δυνάμεων με την κατασκευή πολυγώνων κλειστής δύναμης περιλαμβάνει δυσκίνητες κατασκευές. Μια καθολική μέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι να προχωρήσουμε στον προσδιορισμό των προβολών των δεδομένων δυνάμεων στους άξονες συντεταγμένων και στη λειτουργία με αυτές τις προβολές. Ένας άξονας είναι μια ευθεία γραμμή στην οποία εκχωρείται μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένα βαθμωτό μέγεθος, το οποίο καθορίζεται από το τμήμα του άξονα που αποκόπτεται από τις κάθετες που πέφτουν πάνω του από την αρχή και το τέλος του διανύσματος.

Μια διανυσματική προβολή θεωρείται θετική εάν η κατεύθυνση από την αρχή της προβολής έως το τέλος της συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Μια διανυσματική προβολή θεωρείται αρνητική εάν η κατεύθυνση από την αρχή της προβολής έως το τέλος της είναι αντίθετη από τη θετική κατεύθυνση του άξονα.

Έτσι, η προβολή της δύναμης στον άξονα συντεταγμένων είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή δύναμης και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος δύναμης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Ας εξετάσουμε έναν αριθμό περιπτώσεων προβολής δυνάμεων σε έναν άξονα:

Διάνυσμα δύναμης φά(Εικ. 15) κάνει οξεία γωνία με τη θετική φορά του άξονα x.

Για να βρούμε την προβολή, από την αρχή και το τέλος του διανύσματος δύναμης χαμηλώνουμε τις κάθετες στον άξονα ω; παίρνουμε

1. Fx = φά cos α

Η προβολή του διανύσματος σε αυτή την περίπτωση είναι θετική

Δύναμη φά(Εικ. 16) είναι με τη θετική φορά του άξονα Χαμβλεία γωνία α.

Επειτα φά x = φά cos α, αλλά αφού α = 180 0 - φ,

φά x = φά cos α = φά cos180 0 - φ =- φά cos φ.

Προβολή δύναμης φάανά άξονα ωσε αυτή την περίπτωση είναι αρνητικό.

Δύναμη φά(Εικ. 17) κάθετα στον άξονα ω.

Προβολή της δύναμης F στον άξονα Χίσο με μηδέν

φά x = φά cos 90° = 0.

Δύναμη που βρίσκεται στο αεροπλάνο πώς(Εικ. 18), μπορεί να προβληθεί σε δύο άξονες συντεταγμένων ΩΚαι OU.

Δύναμη φάμπορούν να χωριστούν σε συστατικά: φά x και φά y. Διάνυσμα ενότητα φάΤο x είναι ίσο με την προβολή του διανύσματος φάανά άξονα βόδικαι το διανυσματικό μέτρο φάΤο y είναι ίσο με την προβολή του διανύσματος φάανά άξονα ω.

Από το Δ OAV: φά x = φά cos α, φά x = φάαμαρτία α.

Από το Δ ΟΑΣ: φά x = φά cos φ, φά x = φάαμαρτία φ.

Το μέγεθος της δύναμης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Η προβολή ενός διανυσματικού αθροίσματος ή ενός προκύπτοντος σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των προβολών των αθροισμάτων των διανυσμάτων στον ίδιο άξονα.

Εξετάστε τις συγκλίνουσες δυνάμεις φά 1 , φά 2 , φά 3, και φά 4, (Εικ. 19, α). Το γεωμετρικό άθροισμα, ή το αποτέλεσμα, αυτών των δυνάμεων φάκαθορίζεται από την πλευρά κλεισίματος του πολυγώνου δύναμης

Ας πέσουμε από τις κορυφές του πολυγώνου δύναμης στον άξονα Χκάθετες.

Λαμβάνοντας υπόψη τις λαμβανόμενες προβολές δυνάμεων απευθείας από την ολοκληρωμένη κατασκευή, έχουμε

φά= φά 1x+ φά 2x+ φά 3x+ φά 4x

όπου n είναι ο αριθμός των διανυσματικών όρων. Οι προβολές τους μπαίνουν στην παραπάνω εξίσωση με το αντίστοιχο πρόσημο.

Σε ένα επίπεδο, το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων μπορεί να προβληθεί σε δύο άξονες συντεταγμένων και στο διάστημα, αντίστοιχα, σε τρεις.

Αρχικά, ας θυμηθούμε τι είναι άξονα συντεταγμένων, προβολή ενός σημείου σε έναν άξοναΚαι συντεταγμένες ενός σημείου στον άξονα.

Άξονας συντεταγμένων- Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που της δίνεται κάποια κατεύθυνση. Μπορείτε να το σκεφτείτε ως ένα διάνυσμα με απείρως μεγάλο συντελεστή.

Άξονας συντεταγμένωνσυμβολίζεται με κάποιο γράμμα: X, Y, Z, s, t... Συνήθως επιλέγεται (αυθαίρετα) ένα σημείο στον άξονα, το οποίο ονομάζεται αρχή και, κατά κανόνα, συμβολίζεται με το γράμμα O. Από αυτό το σημείο το μετρώνται οι αποστάσεις από άλλα σημεία ενδιαφέροντος για εμάς.

Προβολή σημείου πάνω σε άξονα- αυτή είναι η βάση της καθέτου που έχει χαμηλώσει από αυτό το σημείο σε αυτόν τον άξονα (Εικ. 8). Δηλαδή, η προβολή ενός σημείου πάνω στον άξονα είναι ένα σημείο.

Σημείο συντεταγμένη στον άξονα- αυτός είναι ένας αριθμός του οποίου η απόλυτη τιμή ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περιέχεται μεταξύ της αρχής του άξονα και της προβολής του σημείου σε αυτόν τον άξονα. Ο αριθμός αυτός λαμβάνεται με πρόσημο συν αν η προβολή του σημείου βρίσκεται στην κατεύθυνση του άξονα από την αρχή του και με αρνητικό αν είναι στην αντίθετη κατεύθυνση.

Κλιμακωτή προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα- Αυτό αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του τερματικού σημείου του διανύσματος. Σπουδαίος! Συνήθως αντί της έκφρασης βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονααπλά λένε - προβολή του διανύσματος στον άξονα, δηλαδή η λέξη βαθμωτό μέγεθοςχαμηλωμένο. Διάνυσμα προβολήςσυμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με χαμηλότερο (κατά κανόνα) δείκτη του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα Χ ΕΝΑ,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x. Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε έναν άλλο άξονα, ας πούμε, στον άξονα Y, η προβολή του θα συμβολίζεται με y (Εικ. 9).

Να υπολογίσω προβολή του διανύσματος στον άξονα(για παράδειγμα, ο άξονας Χ), είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου εκκίνησης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή

a x = x k − x n.

Πρέπει να θυμόμαστε: η κλιμακωτή προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα (ή, απλά, η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα) είναι αριθμός (όχι διάνυσμα)!Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή x k είναι μεγαλύτερη από την τιμή x n, αρνητική εάν η τιμή x k είναι μικρότερη από την τιμή x n και ίση με μηδέν εάν το x k είναι ίση με x n (Εικ. 10).

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα 11 είναι σαφές ότι a x = a Cos α

Δηλαδή, η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ κατεύθυνσης άξονα και διεύθυνσης διανύσματος. Αν η γωνία είναι οξεία, τότε Cos α > 0 και a x > 0, και αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο της αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

Οι γωνίες που μετρώνται από τον άξονα αριστερόστροφα θεωρούνται θετικές και οι γωνίες που μετρώνται κατά μήκος του άξονα είναι αρνητικές. Ωστόσο, δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή Cos α = Cos (− α), κατά τον υπολογισμό των προβολών, οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν τόσο δεξιόστροφα όσο και αριστερόστροφα.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, θα χρησιμοποιούνται συχνά οι ακόλουθες ιδιότητες των προβολών: αν

ΕΝΑ = σι + ντο +…+ ρε, τότε a x = b x + c x +…+ d x (παρόμοιο με άλλους άξονες),

ένα= m σι, τότε a x = mb x (ομοίως για άλλους άξονες).

Ο τύπος a x = a Cos α θα είναι Συχνάσυμβαίνουν κατά την επίλυση προβλημάτων, επομένως πρέπει οπωσδήποτε να το γνωρίζετε. Πρέπει να γνωρίζετε τον κανόνα για τον προσδιορισμό της προβολής απεξω!

Θυμάμαι!

Για να βρεθεί η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, το μέτρο αυτού του διανύσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και της διεύθυνσης του διανύσματος.

Για άλλη μια φορά - από καρδιάς!

Προβολήδιάνυσμα σε έναν άξονα είναι ένα διάνυσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε αυτόν τον άξονα και το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του άξονα. Για παράδειγμα, αν ένα x - κλιμακωτή προβολήδιάνυσμα ΕΝΑστον άξονα Χ και μετά ένα x Εγώ- η διανυσματική του προβολή σε αυτόν τον άξονα.

Ας υποδηλώσουμε διανυσματική προβολήτο ίδιο με το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με τον δείκτη του άξονα στον οποίο προβάλλεται το διάνυσμα. Άρα, η διανυσματική προβολή του διανύσματος ΕΝΑστον άξονα Χ που συμβολίζουμε ΕΝΑΧ ( Λίποςένα γράμμα που δηλώνει ένα διάνυσμα και έναν δείκτη του ονόματος του άξονα) ή (ένα μη έντονο γράμμα που δηλώνει ένα διάνυσμα, αλλά με ένα βέλος στην κορυφή (!) και έναν δείκτη του ονόματος του άξονα).

Σκαλική προβολήδιάνυσμα ανά άξονα ονομάζεται αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του τερματικού σημείου του διανύσματος. Συνήθως αντί της έκφρασης κλιμακωτή προβολήαπλά λένε - προβολή. Η προβολή συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με χαμηλότερο δείκτη (κατά κανόνα) του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα Χ ΕΝΑ,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x. Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε άλλο άξονα, εάν ο άξονας είναι Υ, η προβολή του θα συμβολίζεται με y.

Για να υπολογίσετε την προβολή διάνυσμασε έναν άξονα (για παράδειγμα, τον άξονα Χ), είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου εκκίνησης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή
a x = x k − x n.
Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένας αριθμός.Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή x k είναι μεγαλύτερη από την τιμή x n,

αρνητικό εάν η τιμή x k είναι μικρότερη από την τιμή x n

και ίσο με μηδέν αν το x k ισούται με το x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα είναι σαφές ότι a x = a Cos α

δηλαδή η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και του διανυσματική κατεύθυνση. Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε
Συν α > 0 και a x > 0, και, αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο της αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

Διανυσματικές συντεταγμένες— συντελεστές του μοναδικού δυνατού γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων βάσης στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων, ίσοι με το δεδομένο διάνυσμα.

όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος.

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων

Κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων[- σε πεπερασμένες διαστάσεις διανυσματικός χώροςορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων πανομοιότυπων συστατικών που πολλαπλασιάζονται φορείς.

Για παράδειγμα, το S.p.v. ένα = (ένα 1 , ..., a n) Και σι = (σι 1 , ..., b n):

(ένα , σι ) = ένα 1 σι 1 + ένα 2 σι 2 + ... + a n b n

Στη φυσική για την 9η τάξη (I.K.Kikoin, A.K.Kikoin, 1999),
έργο №5
στο κεφάλαιο " ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΥΚΛΟΦΟΡΙΑ».

1. Τι λέγεται η προβολή ενός διανύσματος στον άξονα των συντεταγμένων;

1. Η προβολή του διανύσματος a στον άξονα συντεταγμένων είναι το μήκος του τμήματος μεταξύ των προβολών της αρχής και του τέλους του διανύσματος a (κάθετοι που πέφτουν από αυτά τα σημεία στον άξονα) σε αυτόν τον άξονα συντεταγμένων.

2. Πώς σχετίζεται το διάνυσμα μετατόπισης ενός σώματος με τις συντεταγμένες του;

2. Οι προβολές του διανύσματος μετατόπισης s στους άξονες των συντεταγμένων είναι ίσες με τη μεταβολή των αντίστοιχων συντεταγμένων του σώματος.

3. Αν η συντεταγμένη ενός σημείου αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου, τότε τι πρόσημο έχει η προβολή του διανύσματος μετατόπισης στον άξονα των συντεταγμένων; Κι αν μειωθεί;

3. Εάν η συντεταγμένη ενός σημείου αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου, τότε η προβολή του διανύσματος μετατόπισης στον άξονα συντεταγμένων θα είναι θετική, επειδή σε αυτή την περίπτωση θα πάμε από την προβολή της αρχής στην προβολή του τέλους του διανύσματος προς την κατεύθυνση του ίδιου του άξονα.

Εάν η συντεταγμένη ενός σημείου μειωθεί με την πάροδο του χρόνου, τότε η προβολή του διανύσματος μετατόπισης στον άξονα συντεταγμένων θα είναι αρνητική, επειδή σε αυτή την περίπτωση θα πάμε από την προβολή της αρχής στην προβολή του τέλους του διανύσματος ενάντια στον οδηγό του ίδιου του άξονα.

4. Αν το διάνυσμα μετατόπισης είναι παράλληλο με τον άξονα Χ, τότε ποιο είναι το μέτρο προβολής του διανύσματος στον άξονα αυτό; Και τι γίνεται με το μέτρο της προβολής του ίδιου διανύσματος στον άξονα Υ;

4. Εάν το διάνυσμα μετατόπισης είναι παράλληλο με τον άξονα Χ, τότε το μέτρο της προβολής του διανύσματος σε αυτόν τον άξονα είναι ίσο με το μέτρο του ίδιου του διανύσματος και η προβολή του στον άξονα Υ είναι μηδέν.

5. Προσδιορίστε τα σημάδια των προεξοχών στον άξονα Χ των διανυσμάτων μετατόπισης που φαίνονται στο σχήμα 22. Πώς αλλάζουν οι συντεταγμένες του σώματος κατά τη διάρκεια αυτών των μετατοπίσεων;

5. Σε όλες τις ακόλουθες περιπτώσεις, η συντεταγμένη Υ του σώματος δεν αλλάζει και η συντεταγμένη Χ του σώματος θα αλλάξει ως εξής:

α) s 1;

η προβολή του διανύσματος s 1 στον άξονα Χ είναι αρνητική και ισούται σε απόλυτη τιμή με το μήκος του διανύσματος s 1 . Με μια τέτοια κίνηση, η συντεταγμένη Χ του σώματος θα μειωθεί κατά το μήκος του διανύσματος s 1.

β) s 2 ;

η προβολή του διανύσματος s 2 στον άξονα Χ είναι θετική και ίση σε μέγεθος με το μήκος του διανύσματος s 1 . Με μια τέτοια κίνηση, η συντεταγμένη Χ του σώματος θα αυξηθεί κατά το μήκος του διανύσματος s 2.

γ) s 3 ;

η προβολή του διανύσματος s 3 στον άξονα Χ είναι αρνητική και ίση σε μέγεθος με το μήκος του διανύσματος s 3 . Με μια τέτοια κίνηση, η συντεταγμένη Χ του σώματος θα μειωθεί κατά το μήκος του διανύσματος s 3.

δ)s 4;

η προβολή του διανύσματος s 4 στον άξονα Χ είναι θετική και ίση σε μέγεθος με το μήκος του διανύσματος s 4 . Με μια τέτοια κίνηση, η συντεταγμένη Χ του σώματος θα αυξηθεί κατά το μήκος του διανύσματος s 4.

ε) s 5;

η προβολή του διανύσματος s 5 στον άξονα Χ είναι αρνητική και ίση σε μέγεθος με το μήκος του διανύσματος s 5 . Με μια τέτοια κίνηση, η συντεταγμένη Χ του σώματος θα μειωθεί κατά το μήκος του διανύσματος s 5.

6. Εάν η τιμή της διανυθείσας απόστασης είναι μεγάλη, τότε η μονάδα μετατόπισης μπορεί να είναι μικρή;

6. Ίσως. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η μετατόπιση (διάνυσμα μετατόπισης) είναι ένα διανυσματικό μέγεθος, δηλ. είναι ένα κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει την αρχική θέση του σώματος με τις επόμενες θέσεις του. Και η τελική θέση του σώματος (ανεξάρτητα από την απόσταση που διανύθηκε) μπορεί να είναι όσο πιο κοντά επιθυμείτε στην αρχική θέση του σώματος. Εάν η τελική και η αρχική θέση του σώματος συμπίπτουν, η μονάδα μετατόπισης θα είναι ίση με μηδέν.

7. Γιατί το διάνυσμα κίνησης ενός σώματος είναι πιο σημαντικό στη μηχανική από το μονοπάτι που έχει διανύσει;

7. Το κύριο καθήκον της μηχανικής είναι να προσδιορίζει τη θέση του σώματος ανά πάσα στιγμή. Γνωρίζοντας το διάνυσμα κίνησης του σώματος, μπορούμε να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του σώματος, δηλ. τη θέση του σώματος σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή, και γνωρίζοντας μόνο την απόσταση που διανύθηκε, δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε τις συντεταγμένες του σώματος, επειδή Δεν έχουμε πληροφορίες για την κατεύθυνση της κίνησης, αλλά μπορούμε να κρίνουμε μόνο το μήκος της διαδρομής που διανύθηκε σε μια δεδομένη στιγμή.

Ο άξονας είναι η κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι η προβολή σε έναν άξονα ή σε μια κατευθυνόμενη γραμμή θεωρείται η ίδια. Η προβολή μπορεί να είναι αλγεβρική ή γεωμετρική. Σε γεωμετρικούς όρους, η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα νοείται ως διάνυσμα και σε αλγεβρικούς όρους ως αριθμός. Δηλαδή, χρησιμοποιούνται οι έννοιες της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα και της αριθμητικής προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα.

Αν έχουμε έναν άξονα L και ένα μη μηδενικό διάνυσμα A B →, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα A 1 B 1 ⇀, δηλώνοντας τις προβολές των σημείων του A 1 και B 1.

Το A 1 B → 1 θα είναι η προβολή του διανύσματος A B → στο L.

Ορισμός 1

Προβολή του διανύσματος στον άξοναείναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος είναι προβολές της αρχής και του τέλους ενός δεδομένου διανύσματος. n p L A B → → είναι συνηθισμένο να συμβολίζεται η προβολή A B → στο L. Για να κατασκευαστεί μια προβολή στο L, οι κάθετοι ρίχνονται στο L.

Παράδειγμα 1

Ένα παράδειγμα διανυσματικής προβολής σε άξονα.

Στο επίπεδο συντεταγμένων O x y, καθορίζεται ένα σημείο M 1 (x 1, y 1). Είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν προβολές σε Ox και O y για να απεικονιστεί το διάνυσμα ακτίνας του σημείου M 1. Παίρνουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων (x 1, 0) και (0, y 1).

Αν μιλάμε για την προβολή του a → σε ένα μη μηδενικό b → ή για την προβολή του a → στην κατεύθυνση b → , τότε εννοούμε την προβολή του a → στον άξονα με τον οποίο συμπίπτει η διεύθυνση b →. Η προβολή του a → πάνω στη γραμμή που ορίζεται από το b → ορίζεται n p b → a → → . Είναι γνωστό ότι όταν η γωνία μεταξύ a → και b → , n p b → a → → και b → μπορεί να θεωρηθεί συμκατευθυντική. Στην περίπτωση που η γωνία είναι αμβλεία, τα n p b → a → → και b → βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Σε μια κατάσταση καθετότητας a → και b →, και το a → είναι μηδέν, η προβολή του a → προς την κατεύθυνση b → είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Το αριθμητικό χαρακτηριστικό της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι η αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε έναν δεδομένο άξονα.

Ορισμός 2

Αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξοναείναι ένας αριθμός που ισούται με το γινόμενο του μήκους ενός δεδομένου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του δεδομένου διανύσματος και του διανύσματος που καθορίζει την κατεύθυνση του άξονα.

Η αριθμητική προβολή του A B → στο L συμβολίζεται n p L A B → , και a → στο b → - n p b → a → .

Με βάση τον τύπο, λαμβάνουμε n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , από όπου a → είναι το μήκος του διανύσματος a → , a ⇀ , b → ^ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων a → και β → .

Λαμβάνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της αριθμητικής προβολής: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ισχύει για γνωστά μήκη a → και b → και τη γωνία μεταξύ τους. Ο τύπος ισχύει για γνωστές συντεταγμένες a → και b →, αλλά υπάρχει μια απλοποιημένη μορφή.

Παράδειγμα 2

Βρείτε την αριθμητική προβολή του a → σε μια ευθεία προς την κατεύθυνση b → με μήκος a → ίσο με 8 και γωνία μεταξύ τους 60 μοίρες. Με συνθήκη έχουμε a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Αυτό σημαίνει ότι αντικαθιστούμε τις αριθμητικές τιμές στον τύπο n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4.

Απάντηση: 4.

Με γνωστό cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , έχουμε a → , b → ως κλιμακωτό γινόμενο των a → και b → . Ακολουθώντας τον τύπο n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , μπορούμε να βρούμε την αριθμητική προβολή a → κατευθυνόμενη κατά μήκος του διανύσματος b → και να πάρουμε n p b → a → = a → , b → b → . Ο τύπος είναι ισοδύναμος με τον ορισμό που δίνεται στην αρχή της παραγράφου.

Ορισμός 3

Η αριθμητική προβολή του διανύσματος a → σε άξονα που συμπίπτει κατά διεύθυνση με το b → είναι ο λόγος του κλιμακωτού γινόμενου των διανυσμάτων a → και b → προς το μήκος b → . Ο τύπος n p b → a → = a → , b → b → ισχύει για την εύρεση της αριθμητικής προβολής του a → σε μια ευθεία που συμπίπτει σε κατεύθυνση με το b → , με γνωστές συντεταγμένες a → και b →.

Παράδειγμα 3

Δίνεται b → = (- 3 , 4) . Βρείτε την αριθμητική προβολή a → = (1, 7) στο L.

Λύση

Στο επίπεδο συντεταγμένων n p b → a → = a → , b → b → έχει τη μορφή n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , με a → = (a x , a y ) και b → = b x, b y. Για να βρείτε την αριθμητική προβολή του διανύσματος a → στον άξονα L, χρειάζεστε: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Απάντηση: 5.

Παράδειγμα 4

Βρείτε την προβολή του a → στο L, που συμπίπτει με την κατεύθυνση b →, όπου υπάρχουν a → = - 2, 3, 1 και b → = (3, - 2, 6). Καθορίζεται ο τρισδιάστατος χώρος.

Λύση

Δίνοντας a → = a x , a y , a z και b → = b x , b y , b z , υπολογίζουμε το κλιμακωτό γινόμενο: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Το μήκος b → βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Από αυτό προκύπτει ότι ο τύπος για τον προσδιορισμό της αριθμητικής προβολής a → θα είναι: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Αντικαταστήστε τις αριθμητικές τιμές: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Απάντηση: - 6 7.

Ας δούμε τη σύνδεση μεταξύ του a → στο L και του μήκους της προβολής a → στο L. Ας σχεδιάσουμε έναν άξονα L, προσθέτοντας ένα → και b → από ένα σημείο στο L, μετά από τον οποίο σχεδιάζουμε μια κάθετη γραμμή από το άκρο a → στο L και σχεδιάζουμε μια προβολή στο L. Υπάρχουν 5 παραλλαγές της εικόνας:

Πρώταη περίπτωση με a → = n p b → a → → σημαίνει a → = n p b → a → → , επομένως n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Δεύτεροςη περίπτωση συνεπάγεται τη χρήση του n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , που σημαίνει n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Τρίτοςη περίπτωση εξηγεί ότι όταν n p b → a → → = 0 → λαμβάνουμε n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , τότε n p b → a → → = 0 και n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Τέταρτοςη περίπτωση δείχνει n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , ακολουθεί n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Πέμπτοςη περίπτωση δείχνει a → = n p b → a → → , που σημαίνει a → = n p b → a → → , επομένως έχουμε n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Ορισμός 4

Η αριθμητική προβολή του διανύσματος a → στον άξονα L, που κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το b →, έχει την ακόλουθη τιμή:

το μήκος της προβολής του διανύσματος a → στο L, με την προϋπόθεση ότι η γωνία μεταξύ a → και b → είναι μικρότερη από 90 μοίρες ή ίση με 0: n p b → a → = n p b → a → → με τη συνθήκη 0 ≤ (a → , β →) ^< 90 ° ;
μηδέν υπό τον όρο ότι τα a → και b → είναι κάθετα: n p b → a → = 0, όταν (a → , b → ^) = 90 °;
το μήκος της προβολής a → στο L, πολλαπλασιασμένο με -1, όταν υπάρχει αμβλεία ή ευθεία γωνία των διανυσμάτων a → και b →: n p b → a → = - n p b → a → → με την συνθήκη 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Παράδειγμα 5

Δίνεται το μήκος της προβολής a → στο L, ίσο με 2. Να βρείτε την αριθμητική προβολή a → με την προϋπόθεση ότι η γωνία είναι 5 π 6 ακτίνια.

Λύση

Από τη συνθήκη είναι σαφές ότι αυτή η γωνία είναι αμβλεία: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Απάντηση: - 2.

Παράδειγμα 6

Δίνεται ένα επίπεδο O x y z με μήκος διανύσματος a → ίσο με 6 3, b → (- 2, 1, 2) με γωνία 30 μοιρών. Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής a → στον άξονα L.

Λύση

Αρχικά, υπολογίζουμε την αριθμητική προβολή του διανύσματος a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Κατά συνθήκη, η γωνία είναι οξεία, τότε η αριθμητική προβολή a → = το μήκος της προβολής του διανύσματος a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Αυτή η περίπτωση δείχνει ότι τα διανύσματα n p L a → → και b → είναι συνκατευθυνόμενα, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ένας αριθμός t για τον οποίο ισχύει η ισότητα: n p L a → → = t · b → . Από εδώ βλέπουμε ότι n p L a → → = t · b → , που σημαίνει ότι μπορούμε να βρούμε την τιμή της παραμέτρου t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Τότε n p L a → → = 3 · b → με τις συντεταγμένες της προβολής του διανύσματος a → στον άξονα L ίσο με b → = (- 2 , 1 , 2) , όπου είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν οι τιμές με 3. Έχουμε n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Απάντηση: (- 6, 3, 6).

Είναι απαραίτητο να επαναλάβουμε τις προηγούμενες πληροφορίες σχετικά με την κατάσταση της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter