Κατά την επίλυση, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ότι η επίλυση του προβλήματος της εύρεσης του εμβαδού ενός ορθογωνίου μόνο από το μήκος των πλευρών του ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟ.

Αυτό είναι εύκολο να επαληθευτεί. Έστω η περίμετρος του παραλληλογράμμου ίση με 20 εκ. Αυτό θα ισχύει αν οι πλευρές του είναι 1 και 9, 2 και 8, 3 και 7 εκ. Και τα τρία αυτά ορθογώνια θα έχουν την ίδια περίμετρο, ίση με είκοσι εκατοστά. (1 + 9) * 2 = 20 είναι ακριβώς το ίδιο με το (2 + 8) * 2 = 20 cm.
Όπως μπορείτε να δείτε, μπορούμε να επιλέξουμε ατελείωτος αριθμός επιλογώνοι διαστάσεις των πλευρών του ορθογωνίου, η περίμετρος του οποίου θα είναι ίση με την καθορισμένη τιμή.

Η περιοχή των ορθογωνίων με δεδομένη περίμετρο 20 cm, αλλά με διαφορετικές πλευρές, θα είναι διαφορετική. Για το παράδειγμα που δίνεται - 9, 16 και 21 τετραγωνικά εκατοστά, αντίστοιχα.
S 1 = 1 * 9 = 9 cm 2
S 2 = 2 * 8 = 16 cm 2
S 3 = 3 * 7 = 21 cm 2
Όπως μπορείτε να δείτε, υπάρχει άπειρος αριθμός επιλογών για το εμβαδόν ενός σχήματος για μια δεδομένη περίμετρο.

Σημείωση για τους περίεργους. Στην περίπτωση ενός ορθογωνίου με δεδομένη περίμετρο, το μέγιστο εμβαδόν θα είναι ένα τετράγωνο.

Έτσι, για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου από την περίμετρό του, πρέπει να γνωρίζετε είτε την αναλογία των πλευρών του είτε το μήκος μιας από αυτές. Το μόνο σχήμα που έχει μια σαφή εξάρτηση του εμβαδού του από την περίμετρό του είναι ένας κύκλος. Μόνο για κύκλοκαι μια λύση είναι πιθανή.


Σε αυτό το μάθημα:
  • Πρόβλημα 4. Αλλαγή του μήκους των πλευρών διατηρώντας την περιοχή του ορθογωνίου

Πρόβλημα 1. Βρείτε τις πλευρές ενός ορθογωνίου από το εμβαδόν

Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 32 εκατοστά και το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα σε κάθε πλευρά του είναι 260 τετραγωνικά εκατοστά. Βρείτε τις πλευρές του ορθογωνίου.
Λύση.

2(x+y)=32
Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που κατασκευάζονται σε κάθε πλευρά του (τέσσερα τετράγωνα, αντίστοιχα) θα είναι ίσο με
2x 2 +2y 2 =260
x+y=16
x=16-y
2 (16-y) 2 +2y 2 =260
2(256-32y+y 2)+2y 2 =260
512-64y+4y 2 -260=0
4y 2 -64y+252=0
D=4096-16x252=64
x 1 =9
x 2 =7
Τώρα ας λάβουμε υπόψη ότι με βάση το γεγονός ότι x+y=16 (βλ. παραπάνω) σε x=9, τότε y=7 και αντίστροφα, αν x=7, τότε y=9
Απάντηση: Οι πλευρές του ορθογωνίου είναι 7 και 9 εκατοστά

Πρόβλημα 2. Βρείτε τις πλευρές ενός παραλληλογράμμου από την περίμετρο

Η περίμετρος του ορθογωνίου είναι 26 cm και το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στις δύο παρακείμενες πλευρές του είναι 89 τετραγωνικά μέτρα. εκ. Να βρείτε τις πλευρές του παραλληλογράμμου.
Λύση.
Ας συμβολίσουμε τις πλευρές του ορθογωνίου ως x και y.
Τότε η περίμετρος του ορθογωνίου είναι:
2(x+y)=26
Το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα σε κάθε πλευρά του (υπάρχουν δύο τετράγωνα, αντίστοιχα, και αυτά είναι τετράγωνα πλάτους και ύψους, αφού οι πλευρές είναι γειτονικές) θα είναι ίσο με
x 2 +y 2 =89
Λύνουμε το προκύπτον σύστημα εξισώσεων. Από την πρώτη εξίσωση συμπεραίνουμε ότι
x+y=13
y=13-y
Τώρα κάνουμε αντικατάσταση στη δεύτερη εξίσωση, αντικαθιστώντας το x με το ισοδύναμό του.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Λύνουμε την τετραγωνική εξίσωση που προκύπτει.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Τώρα ας λάβουμε υπόψη ότι με βάση το γεγονός ότι x+y=13 (βλ. παραπάνω) σε x=5, τότε y=8 και αντίστροφα, αν x=8, τότε y=5
Απάντηση: 5 και 8 εκ

Πρόβλημα 3. Βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου από την αναλογία των πλευρών του

Βρείτε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου αν η περίμετρός του είναι 26 cm και οι πλευρές του είναι ανάλογες 2 προς 3.

Λύση.
Ας συμβολίσουμε τις πλευρές του ορθογωνίου με τον συντελεστή αναλογικότητας x.
Ως εκ τούτου, το μήκος μιας πλευράς θα είναι ίσο με 2x, η άλλη - 3x.

Επειτα:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Τώρα, με βάση τα δεδομένα που ελήφθησαν, προσδιορίζουμε την περιοχή του ορθογωνίου:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 cm 2

Πρόβλημα 4. Αλλαγή του μήκους των πλευρών διατηρώντας παράλληλα την περιοχή του ορθογωνίου

Το μήκος του ορθογωνίου αυξάνεται κατά 25%. Κατά πόσο πρέπει να μειωθεί το πλάτος για να μην αλλάξει το εμβαδόν του;

Λύση.
Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι
S = ab

Στην περίπτωσή μας, ένας από τους παράγοντες αυξήθηκε κατά 25%, που σημαίνει 2 = 1,25a. Έτσι το νέο εμβαδόν του ορθογωνίου πρέπει να είναι ίσο με
S2 = 1,25ab

Έτσι, για να επιστρέψετε το εμβαδόν του ορθογωνίου στην αρχική τιμή, τότε
S2 = S/1,25
S2 = 1,25ab / 1,25

Εφόσον το νέο μέγεθος a δεν μπορεί να αλλάξει, τότε
S 2 = (1,25a) b / 1,25

1 / 1,25 = 0,8
Έτσι, η τιμή της δεύτερης πλευράς πρέπει να μειωθεί κατά (1 - 0,8) * 100% = 20%

Απάντηση: το πλάτος πρέπει να μειωθεί κατά 20%.

Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος γνωρίζοντας την περίμετρό του; και πήρε την καλύτερη απάντηση

Απάντηση από τον Yeomen Arkadyevich[γκουρού]
Στο Compass 3D, σχεδιάστε ένα σχέδιο και υπολογίστε αυτόματα την περιοχή. Το εμβαδόν ενός αυθαίρετου πολυγώνου δεν μπορεί να υπολογιστεί κατά μήκος της περιμέτρου. Πρέπει ακόμα να το αναλύσετε σε ξεχωριστά σχήματα.
Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις, γράψτε στον πράκτορα.

Απάντηση από Yamis Sh[αρχάριος]
..


Απάντηση από Kiss (RUSS for all) ki (I)[γκουρού]
1.επιλέξτε κέντρο
2.μετρήστε την απόσταση από το κέντρο έως τις γωνίες
3.μετρήστε τις πλευρές του πολυγώνου σας
4.υπολογίστε τις περιμέτρους των Ν τριγώνων που προκύπτουν
5. Υπολογίστε τα εμβαδά όλων των τριγώνων χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron μέσω της ημιπεριμέτρου.
6.άθροισμα όλων των περιοχών
7. επιλέξτε την απάντησή μου ως την καλύτερη.
8.όλα


Απάντηση από Semrid[γκουρού]
δοκιμάστε να διαιρέσετε την περίμετρο με το 4 και στη συνέχεια να πολλαπλασιάσετε τα αποτελέσματα μεταξύ τους


Απάντηση από ScrAll[γκουρού]
Κόψτε το από χαρτί και ζυγίστε το.
Ή το σπάτε σε τρίγωνα.
Η μισή βάση μέχρι το ύψος...


Απάντηση από Αλεξέι Ζάιτσεφ[γκουρού]
Είναι πιο εύκολο και χωρίς σφάλματα να σχεδιάσετε ένα σκίτσο - μια κάτοψη με διαστάσεις. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτό το σκίτσο, χωρίστε το εμβαδόν σε ορθογώνια, υπολογίστε και αθροίστε τα εμβαδά τους


Απάντηση από Μαρία Κέμπελ[ενεργός]
φανταστικός


Απάντηση από Nemo[γκουρού]
Φανταστικός. Κατά μήκος της περιμέτρου, υπολογίζεται το εμβαδόν μόνο των ΤΑΚΤΩΝ ψηφίων. Προτείνω τη μέθοδο τμηματικά


Απάντηση από Jon[γκουρού]
είναι καλύτερο να χωρίσετε ένα σύνθετο σχήμα σε πολλά απλά και να υπολογίσετε την περιοχή ξεχωριστά και μετά να προσθέσετε


Απάντηση από Lavavoth[γκουρού]
Εξωπραγματικό... Είναι καλύτερα να δημοσιεύσετε την κάτοψη της αίθουσας, υπάρχουν και άλλοι τρόποι μέτρησης, αλλά πρέπει να δείτε το σχέδιο.


Απάντηση από 3 απαντήσεις[γκουρού]

Γειά σου! Ακολουθεί μια επιλογή θεμάτων με απαντήσεις στην ερώτησή σας: Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος γνωρίζοντας την περίμετρό του;

Η Petya θέλει να σχεδιάσει μια φιγούρα με περίμετρο 12 cm και επιφάνεια 12 τετραγωνικών μέτρων. δείτε Αποδείξτε ότι δεν θα τα καταφέρει
Το μέγιστο εμβαδόν περιμέτρου ενός σχήματος είναι Κύκλος.
Εάν το εμβαδόν ενός κύκλου με μεγάλη περιφέρεια είναι 12

Η γεωμετρία κατανοεί τις ιδιότητες και τους συνδυασμούς δισδιάστατων και χωρικών σχημάτων. Οι αριθμητικές τιμές που χαρακτηρίζουν τέτοιες δομές είναι τετράγωνοκαι περίμετρο, ο υπολογισμός των οποίων πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας διάσημους τύπους ή εκφράζεται ο ένας μέσω του άλλου.

Οδηγίες

1. Ορθογώνιο.Εργασία: υπολογισμός τετράγωνοένα ορθογώνιο, αν γνωρίζουμε ότι η περίμετρός του είναι 40 και το μήκος του b είναι 1,5 φορές μεγαλύτερο από το πλάτος του α.

2. Λύση: Χρησιμοποιήστε τον περίφημο τύπο της περιμέτρου, ισούται με το άθροισμα όλων των πλευρών του σχήματος. Στην περίπτωση αυτή P = 2 a + 2 b. Από τα αρχικά δεδομένα του προβλήματος, γνωρίζετε ότι b = 1,5 a, επομένως, P = 2 a + 2 1,5 a = 5 a, από όπου a = 8. Βρείτε το μήκος b = 1,5 8 = 12.

3. Γράψτε τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου: S = a b, Αντικαταστήστε τις γνωστές ποσότητες: S = 8 * 12 = 96.

4. Τετράγωνο.Εργασία: ανακαλύψτε τετράγωνοτετράγωνο αν η περίμετρος είναι 36.

5. Λύση: Ένα τετράγωνο είναι μια ειδική περίπτωση ενός ορθογωνίου, όπου όλες οι πλευρές του είναι ίσες, επομένως, η περίμετρός του είναι 4 a, από όπου a = 8. Προσδιορίστε το εμβαδόν του τετραγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο S = a; = 64.

6. Τρίγωνο.Πρόβλημα: δίνεται ένα αυθαίρετο τρίγωνο ABC, του οποίου η περίμετρος είναι 29. Βρείτε την τιμή του εμβαδού του αν είναι γνωστό ότι το ύψος BH, χαμηλωμένο στην πλευρά AC, το χωρίζει σε τμήματα με μήκη 3 και 4 cm.

7. Λύση: Αρχικά, θυμηθείτε τον τύπο εμβαδού για ένα τρίγωνο: S = 1/2 c h, όπου c είναι η βάση και h το ύψος του σχήματος. Στην περίπτωσή μας, η βάση θα είναι η πλευρά AC, η οποία είναι γνωστή από την συνθήκη του προβλήματος: AC = 3+4 = 7, μένει να βρούμε το ύψος BH.

8. Το υψόμετρο είναι μια κάθετη που τραβιέται προς την πλευρά από την αντίθετη κορυφή, επομένως, χωρίζει το τρίγωνο ABC σε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Γνωρίζοντας αυτή την ιδιότητα, κοιτάξτε το τρίγωνο ABH. Θυμηθείτε τον Πυθαγόρειο τύπο, σύμφωνα με τον οποίο: ΑΒ; = BH; +ΑΧ; = BH; + 9 ? AB = ?(h? + 9) Στο τρίγωνο BHC, σύμφωνα με την ίδια διατριβή, να γράψετε: BC; = BH; +HC; = BH; + 16 ? π.Χ. = ?(η? + 16).

9. Εφαρμόστε τον τύπο της περιμέτρου: P = AB + BC + AC Αντικαταστήστε τις τιμές που εκφράζονται ως προς το ύψος: P = 29 = ?(h? + 9) + ?(h? + 16) + 7.

10. Λύστε την εξίσωση:?(η? + 9) + ?(η? + 16) = 22; [αντικατάσταση τ; = η; + 9]:?(t? + 7) = 22 – t, τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:t? + 7 = 484 – 44 t + t; ? t?10,84h? + 9 = 117,5; η; 10.42

11. Ανακαλύπτω τετράγωνοτρίγωνο ABC:S = 1/2 7 10,42 = 36,47.

Ο προσδιορισμός της περιμέτρου και του εμβαδού των γεωμετρικών σχημάτων είναι ένα σημαντικό έργο που προκύπτει κατά την επίλυση πολλών πρακτικών ή καθημερινών προβλημάτων. Εάν πρέπει να κρεμάσετε ταπετσαρία, να εγκαταστήσετε έναν φράχτη, να υπολογίσετε την κατανάλωση χρώματος ή πλακιδίων, τότε σίγουρα θα πρέπει να ασχοληθείτε με γεωμετρικούς υπολογισμούς.

Για να λύσετε τα αναφερόμενα καθημερινά προβλήματα, θα χρειαστεί να εργαστείτε με μια ποικιλία γεωμετρικών σχημάτων. Σας παρουσιάζουμε έναν κατάλογο διαδικτυακών αριθμομηχανών που σας επιτρέπουν να υπολογίσετε τις παραμέτρους των πιο δημοφιλών φιγούρων αεροπλάνου. Ας τους δούμε.

Κύκλος

Ειδικές περιπτώσεις

Ένα τετράπλευρο με ίσες πλευρές. Ένα παραλληλόγραμμο γίνεται ρόμβος όταν οι διαγώνιες του τέμνονται υπό γωνία 90 μοιρών και είναι διχοτόμοι των γωνιών τους.

Αυτό είναι ένα παραλληλόγραμμο με ορθές γωνίες. Επιπλέον, ένα παραλληλόγραμμο θεωρείται ορθογώνιο αν οι πλευρές και οι διαγώνιοι του πληρούν τις προϋποθέσεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Αυτό είναι ένα παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες και όλες οι γωνίες είναι ίσες. Οι διαγώνιοι ενός τετραγώνου επαναλαμβάνουν πλήρως τις ιδιότητες των διαγωνίων ενός ορθογωνίου και ενός ρόμβου, γεγονός που καθιστά το τετράγωνο μοναδικό σχήμα, το οποίο χαρακτηρίζεται από μέγιστη συμμετρία.

Πολύγωνο

Ένα κανονικό πολύγωνο είναι ένα κυρτό σχήμα σε ένα επίπεδο που έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Ανάλογα με τον αριθμό των πλευρών, τα πολύγωνα έχουν τα δικά τους ονόματα:

  • - Πεντάγωνο
  • - εξάγωνο
  • οκτώ - οκτάγωνο.
  • το δώδεκα είναι ένα δωδεκάγωνο.

Και ούτω καθεξής. Οι γεωμέτροι αστειεύονται ότι ένας κύκλος είναι ένα πολύγωνο με άπειρο αριθμό γωνιών. Η αριθμομηχανή μας είναι προγραμματισμένη να προσδιορίζει τις περιμέτρους και τις περιοχές μόνο κανονικών πολυγώνων. Χρησιμοποιεί γενικούς τύπους για όλα τα έγκυρα πολύγωνα. Για να υπολογίσετε την περίμετρο, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών του πολυγώνου, a το μήκος της πλευράς.

Για τον προσδιορισμό της περιοχής, χρησιμοποιείται η έκφραση:

S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n).

Αντικαθιστώντας το κατάλληλο n, μπορούμε να βρούμε έναν τύπο για οποιοδήποτε κανονικό πολύγωνο, ο οποίος περιλαμβάνει επίσης ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο.

Τα πολύγωνα είναι πολύ συνηθισμένα στην πραγματική ζωή. Έτσι, το κτίριο του Υπουργείου Άμυνας των ΗΠΑ - το Πεντάγωνο - έχει το σχήμα ενός πενταγώνου, ενός εξαγώνου - μιας κηρήθρας ή κρυστάλλων νιφάδας χιονιού, ενός οκτάγωνου - οδικών πινακίδων. Επιπλέον, πολλά πρωτόζωα, όπως τα ραδιολάρια, έχουν το σχήμα κανονικών πολυγώνων.

Παραδείγματα πραγματικής ζωής

Ας δούμε μερικά παραδείγματα χρήσης της αριθμομηχανής μας σε πραγματικούς υπολογισμούς.

Βάψιμο του φράχτη

Το βάψιμο επιφανειών και ο υπολογισμός της βαφής είναι μερικές από τις πιο προφανείς καθημερινές εργασίες που απαιτούν ελάχιστους μαθηματικούς υπολογισμούς. Αν χρειαστεί να βάψουμε έναν φράχτη του οποίου το ύψος είναι 1,5 μέτρο και το μήκος 20 μέτρα, τότε πόσα κουτάκια χρώματος θα χρειαστούν; Για να γίνει αυτό, πρέπει να μάθετε τη συνολική επιφάνεια του φράχτη και την κατανάλωση χρωμάτων και βερνικιών ανά 1 τετραγωνικό μέτρο. Γνωρίζουμε ότι η κατανάλωση σμάλτου είναι 130 γραμμάρια ανά μέτρο. Τώρα ας προσδιορίσουμε την περιοχή του φράχτη χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή για να υπολογίσουμε την περιοχή ενός ορθογωνίου. Θα είναι S = 30 τετραγωνικά μέτρα. Φυσικά, θα βάψουμε τον φράχτη και από τις δύο πλευρές, οπότε η περιοχή για το βάψιμο θα αυξηθεί στα 60 τετραγωνικά μέτρα. Τότε θα χρειαστούμε 60 × 0,13 = 7,8 κιλά χρώματος ή τρία τυπικά κουτιά των 2,8 κιλών.

Διακοσμητικό κρόσσι

Η ραπτική είναι ένας άλλος κλάδος που απαιτεί εκτεταμένες γεωμετρικές γνώσεις. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να κόψουμε ένα φουλάρι με κρόσσι, το οποίο είναι ένα ισοσκελές τραπεζοειδές με πλευρές 150, 100, 75 και 75 εκ. Για να υπολογίσουμε την κατανάλωση κρόσσιας, πρέπει να γνωρίζουμε την περίμετρο του τραπεζοειδούς. Εδώ είναι χρήσιμο μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Ας εισαγάγουμε αυτά τα δεδομένα κυψέλης και ας λάβουμε την απάντηση:

Έτσι, θα χρειαστούμε 4 m κρόσσι για να τελειώσουμε το κασκόλ.

συμπέρασμα

Επίπεδες φιγούρες συνθέτουν τον πραγματικό κόσμο γύρω μας. Συχνά αναρωτιόμασταν στο σχολείο αν η γεωμετρία θα μας ήταν χρήσιμη στο μέλλον; Τα παραπάνω παραδείγματα δείχνουν ότι τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται συνεχώς στην καθημερινή ζωή. Και αν το εμβαδόν ενός ορθογωνίου είναι οικείο σε εμάς, τότε ο υπολογισμός του εμβαδού ενός δωδεκάγωνου μπορεί να είναι δύσκολο έργο. Χρησιμοποιήστε τον κατάλογό μας με αριθμομηχανές για να λύσετε σχολικές εργασίες ή καθημερινά θέματα.