Και κάτι ακόμα: υπάρχουν πάρα πολλοί τύποι μείωσης σε αριθμό και θα σας προειδοποιήσουμε αμέσως να μην τους απομνημονεύσετε όλους. Δεν υπάρχει απολύτως καμία ανάγκη για αυτό - υπάρχει, γεγονός που καθιστά εύκολη την εφαρμογή τύπων μείωσης.

Λοιπόν, ας γράψουμε όλους τους τύπους αναγωγής με τη μορφή πίνακα.


Αυτοί οι τύποι μπορούν να ξαναγραφτούν χρησιμοποιώντας μοίρες και ακτίνια. Για να το κάνετε αυτό, απλώς θυμηθείτε τη σχέση μεταξύ μοιρών και ακτίνων και αντικαταστήστε παντού το π κατά 180 μοίρες.

Παραδείγματα χρήσης τύπων χυτού

Ο σκοπός αυτής της ενότητας είναι να δείξει πώς οι τύποι αναγωγής χρησιμοποιούνται στην πράξη κατά την επίλυση παραδειγμάτων.

Αρχικά, αξίζει να πούμε ότι υπάρχει άπειρος αριθμός τρόπων αναπαράστασης της γωνίας κάτω από το πρόσημο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με τη μορφή και . Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η γωνία μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη γωνία κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης ίση με . Αυτή η γωνία μπορεί να αναπαρασταθεί ως , ή πώς , ή πώς , ή με πολλούς άλλους τρόπους.

Ας δούμε τώρα τι τύπους μείωσης πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ανάλογα με την παράσταση της γωνίας. Για παράδειγμα, ας πάρουμε .

Αν παραστήσουμε τη γωνία ως , τότε αυτή η αναπαράσταση αντιστοιχεί σε έναν τύπο αναγωγής της μορφής , από όπου λαμβάνουμε . Μπορούμε να καθορίσουμε την τιμή της τριγωνομετρικής συνάρτησης εδώ: .

Για παρουσίαση θα χρησιμοποιήσουμε ήδη έναν τύπο της φόρμας , που μας οδηγεί στο εξής αποτέλεσμα: .

Τέλος, , αφού ο αντίστοιχος τύπος αναγωγής έχει τη μορφή .

Για να ολοκληρώσουμε αυτή τη συζήτηση, αξίζει να τονίσουμε ότι υπάρχουν ορισμένες ευκολίες στη χρήση παραστάσεων γωνίας στις οποίες η γωνία έχει τιμή μεταξύ 0 και 90 μοιρών (0 έως pi σε μισά ακτίνια).

Εξετάστε ένα άλλο παράδειγμα χρήσης τύπων αναγωγής.

Παράδειγμα.

Χρησιμοποιώντας τους τύπους αναγωγής, αντιπροσωπεύστε μέσω του ημιτόνου, καθώς και μέσω του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας.

Λύση.

Για να εφαρμόσουμε τους τύπους μείωσης, πρέπει να αναπαραστήσουμε τη γωνία των 197 μοιρών στη μορφή ή , και ανάλογα με την κατάσταση του προβλήματος, η γωνία πρέπει να είναι οξεία. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: ή . Ετσι, ή .

Περνώντας στους αντίστοιχους τύπους αναγωγής και , λαμβάνουμε και .

Απάντηση:

Και .

Μνημονικός κανόνας

Όπως αναφέραμε παραπάνω, οι τύποι χύτευσης δεν χρειάζεται να απομνημονεύονται. Αν τα κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να προσδιορίσετε μοτίβα από τα οποία μπορείτε να λάβετε έναν κανόνα που σας επιτρέπει να λάβετε οποιονδήποτε από τους τύπους μείωσης. Ονομάζεται μνημονικός κανόνας(η μνημονική είναι η τέχνη της μνήμης).

Ο μνημονικός κανόνας περιλαμβάνει τρία βήματα:

Αξίζει να πούμε αμέσως ότι για να εφαρμόσετε τον μνημονικό κανόνα, πρέπει να είστε πολύ καλοί στον προσδιορισμό των σημείων του ημιτονοειδούς, του συνημιτονοειδούς, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης κατά τέταρτα, αφού θα πρέπει να το κάνετε αυτό συνεχώς.

Ας αναλύσουμε την εφαρμογή του μνημονικού κανόνα με παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Χρησιμοποιώντας τον μνημονικό κανόνα, γράψτε τους τύπους αναγωγής για Και , μετρώντας τη γωνία ως γωνία του πρώτου τετάρτου.

Λύση.

Δεν χρειάζεται να κάνουμε το πρώτο βήμα του κανόνα, αφού οι γωνίες κάτω από τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων έχουν ήδη γραφτεί στην επιθυμητή μορφή.

Ας ορίσουμε το πρόσημο των συναρτήσεων Και . Με την προϋπόθεση ότι - η γωνία του πρώτου τετάρτου, η γωνία είναι επίσης μια γωνία πρώτου τετάρτου, και η γωνία - γωνία του δεύτερου δεκαλέπτου. Το συνημίτονο στο πρώτο τέταρτο έχει πρόσημο συν και η εφαπτομένη στο δεύτερο τέταρτο έχει πρόσημο μείον. Σε αυτό το στάδιο, οι επιθυμητοί τύποι θα μοιάζουν με και . Καταλάβαμε τα σημάδια, μπορείτε να προχωρήσετε στο τελευταίο βήμα του μνημονικού κανόνα.

Αφού το όρισμα της συνημίτονος έχει τη μορφή , τότε το όνομα της συνάρτησης πρέπει να αλλάξει σε συνσυνάρτηση, δηλαδή σε ημιτονοειδές. Και το επιχείρημα της εφαπτομένης είναι , επομένως, το όνομα της συνάρτησης θα πρέπει να παραμείνει το ίδιο.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε Και . Μπορείτε να δείτε τον πίνακα των τύπων χυτεύσεως για να βεβαιωθείτε ότι τα αποτελέσματα είναι σωστά.

Απάντηση:

Και .

Για να εμπεδώσετε το υλικό, εξετάστε τη λύση του παραδείγματος με συγκεκριμένες γωνίες.

Παράδειγμα.

Χρησιμοποιώντας τον μνημονικό κανόνα, μετατρέψτε στις τριγωνομετρικές συναρτήσεις μιας οξείας γωνίας.

Λύση.

Αρχικά, ας αναπαραστήσουμε τη γωνία των 777 μοιρών με τη μορφή που απαιτείται για την εφαρμογή του μνημονικού κανόνα. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους: ή .

Η αρχική γωνία είναι η γωνία του πρώτου τετάρτου, το ημίτονο για αυτή τη γωνία έχει ένα σύμβολο συν.

Για την αναπαράσταση, το όνομα του ημιτόνου πρέπει να παραμείνει το ίδιο και για την αναπαράσταση του τύπου, το ημίτονο θα πρέπει να αλλάξει σε συνημίτονο.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε και .

Απάντηση:

Και .

Για να ολοκληρώσετε αυτήν την ενότητα, εξετάστε ένα παράδειγμα που δείχνει τη σημασία της σωστής αναπαράστασης της γωνίας κάτω από το πρόσημο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για την εφαρμογή του μνημονικού κανόνα: η γωνία πρέπει να είναι έντονη!

Να υπολογίσετε την εφαπτομένη της γωνίας. Κατ 'αρχήν, αναφερόμενοι στο υλικό του άρθρου τις τιμές του ημιτονοειδούς, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης, μπορούμε να απαντήσουμε αμέσως στην ερώτηση του προβλήματος: .

Αν αναπαραστήσουμε τη γωνία ως ή ως , τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον μνημονικό κανόνα: Και , που μας φέρνει στο ίδιο αποτέλεσμα.

Τι μπορεί όμως να συμβεί αν πάρουμε την αναπαράσταση της γωνίας, για παράδειγμα, την όψη. Σε αυτή την περίπτωση, ο μνημονικός κανόνας θα μας οδηγήσει σε αυτό το αποτέλεσμα. Αυτό το αποτέλεσμα είναι λανθασμένο και αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι δεν είχαμε το δικαίωμα να εφαρμόσουμε τον μνημονικό κανόνα για την αναπαράσταση, αφού η γωνία δεν είναι οξεία.

Τύποι απόδειξης μείωσης

Οι τύποι αναγωγής αντικατοπτρίζουν την περιοδικότητα, τη συμμετρία και τις ιδιότητες της μετατόπισης κατά γωνίες και . Σημειώνουμε αμέσως ότι όλοι οι τύποι μείωσης μπορούν να αποδειχθούν απορρίπτοντας τον όρο στα ορίσματα, καθώς σημαίνει αλλαγή της γωνίας κατά έναν ακέραιο αριθμό πλήρων στροφών και αυτό δεν αλλάζει την τιμή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Αυτός ο όρος χρησιμεύει ως αντανάκλαση της περιοδικότητας.

Το πρώτο μπλοκ των τύπων αναγωγής 16 απορρέει απευθείας από τις ιδιότητες του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης. Δεν χρειάζεται καν να σταματήσετε σε αυτά.

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο μπλοκ τύπων. Πρώτα αποδεικνύουμε τα δύο πρώτα από αυτά. Τα υπόλοιπα ακολουθούν από αυτούς. Ας αποδείξουμε λοιπόν τους τύπους αναγωγής της φόρμας Και .

Θεωρήστε έναν κύκλο μονάδας. Έστω το αρχικό σημείο Α, αφού στρίψει από μια γωνία, να πάει στο σημείο A 1 (x, y) , και αφού στρίψει από μια γωνία, στο σημείο A 2 . Ας σχεδιάσουμε A 1 H 1 και A 2 H 2 - κάθετες στην ευθεία Ox .

Είναι εύκολο να το δεις αυτό ορθογώνια τρίγωναΤο OA 1 H 1 και το OA 2 H 2 είναι ίσα στην υποτείνουσα και δύο γωνίες δίπλα σε αυτήν. Από την ισότητα των τριγώνων και τη θέση των σημείων Α 1 και Α 2 επί κύκλος μονάδαςγίνεται σαφές ότι αν το σημείο A 1 έχει συντεταγμένες x και y , τότε το σημείο A 2 έχει συντεταγμένες −y και x . Στη συνέχεια, οι ορισμοί του ημιτόνου και του συνημιτόνου μας επιτρέπουν να γράψουμε τις ισότητες και , από όπου προκύπτει ότι Και . Αυτό αποδεικνύει τους τύπους αναγωγής που εξετάζονται για οποιαδήποτε γωνία.

Δεδομένου ότι Και (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες), καθώς και τους τύπους που μόλις αποδείχθηκαν, λαμβάνουμε και . Αποδείξαμε λοιπόν τους παρακάτω δύο τύπους αναγωγής.

Για να αποδείξουμε αναγωγικούς τύπους με ένα όρισμα, αρκεί να το αναπαραστήσουμε ως , και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσουμε τους αποδεδειγμένους τύπους και τις ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με αντίθετα ορίσματα. Για παράδειγμα, .

Όλοι οι άλλοι τύποι μείωσης αποδεικνύονται ομοίως με βάση αυτούς που έχουν ήδη αποδειχθεί με διπλή εφαρμογή. Για παράδειγμα, εμφανίζεται ως , αλλά όπως . Και και - καθώς και αντίστοιχα.

Βιβλιογραφία.

  • Αλγεβρα: Proc. για 9 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Εκδ. S. A. Telyakovsky.- M.: Διαφωτισμός, 1990.- 272 σελ.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
  • Μπασμάκοφ Μ.Ι.Άλγεβρα και αρχή ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. μέσος όρος σχολείο - 3η έκδ. - Μ.: Διαφωτισμός, 1993. - 351 σελ.: εικ. - ISBN 5-09-004617-4.
  • Αλγεβρακαι η αρχή της ανάλυσης: Proc. για 10-11 κύτταρα. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn και άλλοι; Εκδ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 σελ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
  • Gusev V. A., Mordkovich A. G.Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές): Proc. επίδομα.- Μ.; Πιο ψηλά σχολείο, 1984.-351 σ., εικ.

Οι τύποι αναγωγής είναι λόγοι που σας επιτρέπουν να μεταβείτε από το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη με γωνίες `\frac (\pi)2 \pm \άλφα`, `\pi \pm \άλφα`, `\frac (3\pi)2 \pm \άλφα`, `2\pi \pm \άλφα` στις ίδιες συναρτήσεις της πρώτης γωνίας του τετάρτου του κύκλου `\ άλφα. Έτσι, οι τύποι μείωσης μας «οδηγούν» να δουλέψουμε με γωνίες στην περιοχή από 0 έως 90 μοίρες, κάτι που είναι πολύ βολικό.

Όλα μαζί υπάρχουν 32 τύποι μείωσης. Αναμφίβολα θα φανούν χρήσιμοι στις εξετάσεις, τις εξετάσεις, τις εξετάσεις. Θα σας προειδοποιήσουμε όμως αμέσως ότι δεν χρειάζεται να τα απομνημονεύσετε! Πρέπει να αφιερώσετε λίγο χρόνο και να κατανοήσετε τον αλγόριθμο για την εφαρμογή τους, τότε δεν θα σας είναι δύσκολο κατάλληλη στιγμήαντλήσουν την απαραίτητη ισότητα.

Αρχικά, ας γράψουμε όλους τους τύπους μείωσης:

Για γωνία (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) ή (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Για γωνία (`\pi \pm \alpha`) ή (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Για γωνία (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) ή (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Για γωνία (`2\pi \pm \alpha`) ή (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Μπορείτε συχνά να βρείτε τύπους αναγωγής με τη μορφή πίνακα, όπου οι γωνίες γράφονται σε ακτίνια:

Για να το χρησιμοποιήσετε, πρέπει να επιλέξετε τη γραμμή με τη συνάρτηση που χρειαζόμαστε και τη στήλη με το σωστό επιχείρημα. Για παράδειγμα, για να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα για να μάθετε τι θα είναι το `sin(\pi + \alpha)`, αρκεί να βρείτε την απάντηση στη διασταύρωση της σειράς `sin \beta` και της στήλης ` \pi + \alpha`. Παίρνουμε ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

Και ο δεύτερος, παρόμοιος πίνακας, όπου οι γωνίες γράφονται σε μοίρες:

Μνημονικός κανόνας των τύπων χύτευσης ή πώς να τις θυμάστε

Όπως ήδη αναφέραμε, δεν είναι απαραίτητο να απομνημονεύσετε όλες τις παραπάνω αναλογίες. Αν τα κοιτάξετε προσεκτικά, πιθανότατα προσέξατε κάποια μοτίβα. Μας επιτρέπουν να διατυπώσουμε έναν μνημονικό κανόνα (μνημονικό - απομνημόνευση), με τον οποίο μπορείτε εύκολα να λάβετε οποιονδήποτε από τους τύπους αναγωγής.

Σημειώνουμε αμέσως ότι για να εφαρμοστεί αυτός ο κανόνας, πρέπει κανείς να είναι σε θέση να προσδιορίσει (ή να θυμάται) τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε διαφορετικά τέταρτα του κύκλου μονάδας.
Το ίδιο το μόσχευμα περιλαμβάνει 3 στάδια:

    1. Το όρισμα συνάρτησης πρέπει να έχει τη μορφή `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` και απαιτείται `\alpha` αιχμηρή γωνία(από 0 έως 90 μοίρες).
    2. Για ορίσματα `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha` τριγωνομετρική συνάρτησητης μετατρεπόμενης έκφρασης αλλάζει σε συνσυνάρτηση, δηλαδή το αντίθετο (ημίτονο σε συνημίτονο, εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και αντίστροφα). Για τα ορίσματα `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` η συνάρτηση δεν αλλάζει.
    3. Καθορίζεται το πρόσημο της αρχικής λειτουργίας. Η συνάρτηση που προκύπτει στη δεξιά πλευρά θα έχει το ίδιο πρόσημο.

Για να δούμε πώς μπορεί να εφαρμοστεί αυτός ο κανόνας στην πράξη, ας μετατρέψουμε μερικές εκφράσεις:

1. `cos(\pi + \alpha)`.

Η λειτουργία δεν αντιστρέφεται. Η γωνία ` \pi + \alpha` βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο, το συνημίτονο σε αυτό το τεταρτημόριο έχει πρόσημο "-", επομένως η συνάρτηση που έχει μετατραπεί θα έχει επίσης πρόσημο "-".

Απάντηση: ` cos(\pi + \alpha)= - cos \alpha`

2. `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)`.

Σύμφωνα με τον μνημονικό κανόνα, η συνάρτηση θα αντιστραφεί. Η γωνία `\frac (3\pi)2 - \alpha` βρίσκεται στο τρίτο τεταρτημόριο, το ημίτονο εδώ έχει πρόσημο "-", οπότε το αποτέλεσμα θα είναι επίσης με πρόσημο "-".

Απάντηση: `sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)= - cos \alpha`

3. `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)`.

`cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (6\pi)2+\frac (\pi)2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac(\pi)2-\alpha))`. Ας αντιπροσωπεύσουμε το "3\pi" ως "2\pi+\pi". Το `2\pi` είναι η περίοδος της συνάρτησης.

Σημαντικό: Οι συναρτήσεις «cos \alpha» και «sin \alpha» έχουν περίοδο «2\pi» ή «360^\circ», οι τιμές τους δεν θα αλλάξουν εάν το όρισμα αυξηθεί ή μειωθεί από αυτές τις τιμές.

Με βάση αυτό, η έκφρασή μας μπορεί να γραφτεί ως εξής: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)`. Εφαρμόζοντας τον μνημονικό κανόνα δύο φορές, παίρνουμε: `cos (\pi+(\frac(\pi)2-\alpha)= - cos (\frac(\pi)2-\alpha)= - sin \alpha`.

Απάντηση: `cos(\frac (7\pi)2 - \alpha)=- sin \alpha`.

κανόνας αλόγων

Το δεύτερο σημείο του παραπάνω μνημονικού κανόνα ονομάζεται επίσης κανόνας αλόγου των τύπων αναγωγής. Αναρωτιέμαι γιατί άλογα;

Άρα, έχουμε συναρτήσεις με ορίσματα `\frac (\pi)2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac (3\pi)2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, σημεία `\frac (\pi)2`, `\pi`, `\frac (3\pi)2`, οι συντεταγμένες είναι οι συντεταγμένες 2\pi. Τα «\pi» και «2\pi» βρίσκονται στον οριζόντιο άξονα x και τα «\frac (\pi)2» και «\frac (3\pi)2» βρίσκονται στον κατακόρυφο άξονα y.

Κάνουμε το ερώτημα: «Η συνάρτηση αλλάζει σε συνάρτηση;». Για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση, πρέπει να μετακινήσετε το κεφάλι σας κατά μήκος του άξονα στον οποίο βρίσκεται το βασικό σημείο.

Δηλαδή, για επιχειρήματα με βασικά σημεία που βρίσκονται στον οριζόντιο άξονα, απαντάμε «όχι» κουνώντας το κεφάλι μας στα πλάγια. Και για γωνίες με βασικά σημεία που βρίσκονται στον κάθετο άξονα, απαντάμε «ναι» κουνώντας το κεφάλι μας από πάνω προς τα κάτω, σαν άλογο 🙂

Συνιστούμε να παρακολουθήσετε ένα εκπαιδευτικό βίντεο στο οποίο ο συγγραφέας εξηγεί λεπτομερώς πώς να απομνημονεύσετε τύπους μείωσης χωρίς να τους απομνημονεύσετε.

Πρακτικά παραδείγματα χρήσης τύπων χύτευσης

Η χρήση των τύπων μείωσης ξεκινά από την 9η και τη 10η τάξη. Πολλές εργασίες με τη χρήση τους υποβάλλονται στην εξέταση. Ακολουθούν ορισμένες από τις εργασίες στις οποίες θα χρειαστεί να εφαρμόσετε αυτούς τους τύπους:

  • εργασίες για την επίλυση ενός ορθογώνιου τριγώνου.
  • αριθμητικές και αλφαβητικές μετατροπές τριγωνομετρικές εκφράσεις, υπολογισμός των τιμών τους.
  • στερεομετρικά προβλήματα.

Παράδειγμα 1. Χρησιμοποιήστε τους τύπους αναγωγής για να υπολογίσετε α) `sin 600^\circ`, β) `tg 480^\circ`, γ) `cos 330^\circ`, δ) `sin 240^\circ`.

Λύση: α) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

β) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac(\sqrt 3)3`;

γ) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac(\sqrt 3)2`;

δ) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac(\sqrt 3)2`.

Παράδειγμα 2. Έχοντας εκφράσει το συνημίτονο μέσω του ημιτόνου χρησιμοποιώντας τους τύπους αναγωγής, συγκρίνετε τους αριθμούς: 1) `sin \frac (9\pi)8` και `cos \frac (9\pi)8`; 2) `sin \frac (\pi)8` και `cos \frac (3\pi)10`.

Λύση: 1)`sin \frac (9\pi)8=sin (\pi+\frac (\pi)8)=-sin \frac (\pi)8`

`cos \frac (9\pi)8=cos (\pi+\frac (\pi)8)=-cos \frac (\pi)8=-sin \frac (3\pi)8`

`-sin \frac (\pi)8> -sin \frac (3\pi)8`

`sin \frac (9\pi)8>cos \frac (9\pi)8`.

2) `cos \frac (3\pi)10=cos (\frac (\pi)2-\frac (\pi)5)=sin \frac (\pi)5`

`sin \frac (\pi)8

`sin \frac (\pi)8

Αρχικά αποδεικνύουμε δύο τύπους για το ημίτονο και το συνημίτονο του ορίσματος `\frac (\pi)2 + \alpha`: ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha` και ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Τα υπόλοιπα προέρχονται από αυτά.

Πάρτε ένα μοναδιαίο κύκλο και το σημείο Α με τις συντεταγμένες (1,0). Αφήστε μετά την ενεργοποίηση γωνία `\alpha` θα πάει στο σημείο `A_1(x, y)`, και αφού στρίψει από τη γωνία `\frac (\pi)2 + \alpha` στο σημείο `A_2(-y,x)`. Ρίχνοντας τις κάθετες από αυτά τα σημεία στην ευθεία ΟΧ, βλέπουμε ότι τα τρίγωνα 'ΟΑ_1Η_1' και 'ΟΑ_2Η_2' είναι ίσα, αφού οι υποτείνουσες και οι παρακείμενες γωνίες τους είναι ίσες. Στη συνέχεια, με βάση τους ορισμούς του ημιτόνου και του συνημιτόνου, μπορούμε να γράψουμε `sin \alpha=y`, `cos \alpha=x`, `sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=x`, `cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-y`. Από όπου μπορεί να γραφεί ότι ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \alpha` και ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \alpha`, που αποδεικνύει τους τύπους αναγωγής για το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Προερχόμενοι από τον ορισμό της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης, λαμβάνουμε ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (sin(\frac (\pi)2 + \alpha))(cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=\frac (cos \alpha)(-sin \alpha)(-sin \alpha)"=-\c\pid rac (cos(\frac (\pi)2 + \alpha))(sin(\frac (\pi)2 + \alpha))=\frac (-sin \alpha)(cos \alpha)=-tg \alpha`, που αποδεικνύει τους τύπους αναγωγής για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη της γωνίας `\frac (\pi)2 + \alpha`.

Για να αποδείξετε τύπους με το όρισμα `\frac (\pi)2 - \alpha`, αρκεί να το αναπαραστήσετε ως `\frac (\pi)2 + (-\alpha)` και να ακολουθήσετε την ίδια διαδρομή όπως παραπάνω. Για παράδειγμα, `cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos(\frac (\pi)2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Οι γωνίες `\pi + \alpha` και `\pi - \alpha` μπορούν να αναπαρασταθούν ως `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2+\alpha)` και `\frac (\pi)2 +(\frac (\pi)2-\alpha)` αντίστοιχα.

Και `\frac (3\pi)2 + \alpha` και `\frac (3\pi)2 - \alpha` ως `\pi +(\frac (\pi)2+\alpha)` και `\pi +(\frac (\pi)2-\alpha)`.

Πώς να θυμάστε τους τύπους για τη μείωση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων; Είναι εύκολο αν χρησιμοποιείς έναν συσχετισμό. Αυτός ο συσχετισμός δεν επινοήθηκε από εμένα. Όπως ήδη αναφέρθηκε, μια καλή σχέση πρέπει να «κολλάει», δηλαδή να προκαλεί ζωηρά συναισθήματα. Δεν μπορώ να ονομάσω θετικά τα συναισθήματα που προκαλεί αυτή η συσχέτιση. Αλλά δίνει ένα αποτέλεσμα - σας επιτρέπει να θυμάστε τους τύπους μείωσης, πράγμα που σημαίνει ότι έχει το δικαίωμα να υπάρχει. Άλλωστε, αν δεν σας αρέσει, δεν χρειάζεται να το χρησιμοποιήσετε, σωστά;

Οι τύποι αναγωγής είναι: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Θυμόμαστε ότι το +α δίνει αριστερόστροφη κίνηση, - α - δεξιόστροφη κίνηση.

Για να εργαστείτε με τους τύπους μείωσης, χρειάζονται δύο σημεία:

1) βάζουμε το πρόσημο που έχει η αρχική συνάρτηση (στα σχολικά βιβλία γράφουν: αναγώγιμη. Αλλά, για να μην μπερδευτούμε, καλύτερα να την ονομάσουμε αρχική), αν θεωρήσουμε α ως γωνία του πρώτου τετάρτου, δηλαδή μικρή.

2) Οριζόντια διάμετρος - π ± α, 2π ± α, 3π ± α ... - γενικά, όταν δεν υπάρχει κλάσμα, το όνομα της συνάρτησης δεν αλλάζει. Κατακόρυφο π / 2 ± α, 3π / 2 ± α, 5π / 2 ± α ... - όταν υπάρχει κλάσμα, το όνομα της συνάρτησης αλλάζει: ημίτονο - σε συνημίτονο, συνημίτονο - σε ημίτονο, εφαπτομένη - σε συνεφαπτομένη και συνεφαπτομένη - σε εφαπτομένη.

Τώρα, στην πραγματικότητα, η ένωση:

κατακόρυφη διάμετρος (υπάρχει ένα κλάσμα) -

μεθυσμένες στάσεις. Τι θα του γίνει νωρίς

ή αργά; Σωστά, θα πέσει.

Το όνομα της συνάρτησης θα αλλάξει.

Εάν η διάμετρος είναι οριζόντια, ο μεθυσμένος είναι ήδη ξαπλωμένος. Μάλλον κοιμάται. Δεν θα του συμβεί τίποτα, έχει ήδη πάρει οριζόντια θέση. Κατά συνέπεια, το όνομα της συνάρτησης δεν αλλάζει.

Δηλαδή sin(π/2±α), sin(3π/2±α), sin(5π/2±α) κ.λπ. δίνω ±cosα,

και sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … — ±sinα.

Όπως ήδη γνωρίζουμε.

Πως δουλεύει? Ας δούμε παραδείγματα.

1) cos(π/2+α)=?

Γινόμαστε στο π/2. Αφού +α σημαίνει πάμε μπροστά, αριστερόστροφα. Πέφτουμε στο ΙΙ τέταρτο, όπου το συνημίτονο έχει το πρόσημο «-». Το όνομα της συνάρτησης αλλάζει («μεθυσμένος στέκεται», που σημαίνει ότι θα πέσει). Ετσι,

cos(π/2+α)=-sina.

Γινόμαστε 2π. Αφού -α - πηγαίνουμε πίσω, δηλαδή δεξιόστροφα. Πέφτουμε στο τέταρτο IV, όπου η εφαπτομένη έχει πρόσημο "-". Το όνομα της συνάρτησης δεν αλλάζει (η διάμετρος είναι οριζόντια, "ο μεθυσμένος είναι ήδη ψέματα"). Έτσι, tg(2π-α)=- tgα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Παραδείγματα στα οποία η συνάρτηση αυξάνεται σε ομοιόμορφη ισχύ είναι ακόμη πιο εύκολο να επιλυθούν. Ο ζυγός βαθμός "-" καταργείται, δηλαδή, απλά πρέπει να μάθετε εάν το όνομα της συνάρτησης αλλάζει ή παραμένει. Η διάμετρος είναι κάθετη (υπάρχει ένα κλάσμα, "ο μεθυσμένος στέκεται", θα πέσει), το όνομα της συνάρτησης αλλάζει. Παίρνουμε: ctg²(3π/2-α)= tg²α.

Ορισμός. Οι τύποι αναγωγής ονομάζονται τύποι που σας επιτρέπουν να μετακινηθείτε από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις της φόρμας σε συναρτήσεις ορίσματος. Με τη βοήθειά τους, το ημίτονο, το συνημίτονο, η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη μιας αυθαίρετης γωνίας μπορούν να μειωθούν στο ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη μιας γωνίας από 0 έως 90 μοίρες (από 0 έως ακτίνια). Έτσι, οι τύποι μείωσης μας επιτρέπουν να προχωρήσουμε στην εργασία με γωνίες εντός 90 μοιρών, κάτι που είναι αναμφίβολα πολύ βολικό.

Φόρμουλες Cast:


Υπάρχουν δύο κανόνες για τη χρήση τύπων χυτού.

1. Εάν η γωνία μπορεί να παρασταθεί ως (π/2 ±a) ή (3*π/2 ±a), τότε αλλάζει το όνομα της συνάρτησης sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Εάν η γωνία μπορεί να παρασταθεί ως (π ±a) ή (2*π ±a), τότε το όνομα της συνάρτησης παραμένει αμετάβλητο.

Κοιτάξτε το παρακάτω σχήμα, δείχνει σχηματικά πότε πρέπει να αλλάξει το σύμβολο και πότε όχι.

2. Σήμα μειωμένης λειτουργίας παραμένει το ίδιο. Εάν η αρχική συνάρτηση είχε πρόσημο συν, τότε η μειωμένη συνάρτηση έχει επίσης πρόσημο συν. Εάν η αρχική συνάρτηση είχε πρόσημο μείον, τότε η μειωμένη συνάρτηση έχει επίσης πρόσημο μείον.

Το παρακάτω σχήμα δείχνει τα σημάδια των κύριων τριγωνομετρικών συναρτήσεων ανάλογα με το τέταρτο.

Παράδειγμα:

Υπολογίζω

Ας χρησιμοποιήσουμε τους τύπους μείωσης:

Το Sin(150˚) βρίσκεται στο δεύτερο τέταρτο, μπορούμε να δούμε από το σχήμα ότι το πρόσημο της αμαρτίας σε αυτό το τέταρτο είναι ίσο με "+". Αυτό σημαίνει ότι η παραπάνω συνάρτηση θα έχει και σύμβολο «+». Εφαρμόσαμε τον δεύτερο κανόνα.

Τώρα 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ είναι π/2. Δηλαδή, έχουμε να κάνουμε με την περίπτωση π / 2 + 60, επομένως, σύμφωνα με τον πρώτο κανόνα, αλλάζουμε τη συνάρτηση από sin σε cos. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Ανήκουν στην ενότητα «τριγωνομετρία» των μαθηματικών. Η ουσία τους είναι να φέρουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις των γωνιών σε μια πιο «απλή» μορφή. Πολλά μπορούν να γραφτούν για τη σημασία της γνώσης τους. Υπάρχουν 32 από αυτούς τους τύπους!

Μην ανησυχείτε, δεν χρειάζεται να τα μάθετε, όπως πολλοί άλλοι τύποι στο μάθημα των μαθηματικών. Δεν χρειάζεται να γεμίσετε το κεφάλι σας με περιττές πληροφορίες, πρέπει να απομνημονεύσετε τα «κλειδιά» ή τους νόμους και η απομνημόνευση ή η εξαγωγή του επιθυμητού τύπου δεν θα είναι πρόβλημα. Παρεμπιπτόντως, όταν γράφω σε άρθρα "... πρέπει να μάθετε !!!" - αυτό σημαίνει ότι είναι πραγματικά απαραίτητο να το μάθεις.

Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με τους τύπους αναγωγής, τότε η απλότητα της παραγωγής τους θα σας εκπλήξει ευχάριστα - υπάρχει ένας "νόμος" με τον οποίο είναι εύκολο να το κάνετε αυτό. Και θα γράψετε οποιονδήποτε από τους 32 τύπους σε 5 δευτερόλεπτα.

Θα αναφέρω μόνο μερικές από τις εργασίες που θα είναι στις εξετάσεις στα μαθηματικά, όπου χωρίς γνώση αυτών των τύπων υπάρχει μεγάλη πιθανότητα αποτυχίας στη λύση. Για παράδειγμα:

- προβλήματα για την επίλυση ενός ορθογώνιου τριγώνου, όπου μιλάμε για μια εξωτερική γωνία, και προβλήματα για τις εσωτερικές γωνίες, μερικοί από αυτούς τους τύπους είναι επίσης απαραίτητοι.

- εργασίες για τον υπολογισμό των τιμών των τριγωνομετρικών παραστάσεων. μετασχηματισμοί αριθμητικών τριγωνομετρικών παραστάσεων. μετασχηματισμοί κυριολεκτικών τριγωνομετρικών εκφράσεων.

- εργασίες σχετικά με την εφαπτομένη και τη γεωμετρική σημασία της εφαπτομένης, απαιτείται τύπος αναγωγής για την εφαπτομένη, καθώς και άλλες εργασίες.

- στερεομετρικά προβλήματα, κατά τη διάρκεια της επίλυσης είναι συχνά απαραίτητο να προσδιοριστεί το ημίτονο ή το συνημίτονο μιας γωνίας που βρίσκεται στην περιοχή από 90 έως 180 μοίρες.

Και αυτά είναι μόνο εκείνα τα σημεία που σχετίζονται με τις εξετάσεις. Και στην πορεία της ίδιας της άλγεβρας υπάρχουν πολλά προβλήματα, η επίλυση των οποίων, χωρίς γνώση των τύπων αναγωγής, είναι απλά αδύνατο να γίνει.

Σε τι οδηγεί λοιπόν και πώς οι προβλεπόμενοι τύποι απλοποιούν τη λύση των προβλημάτων για εμάς;

Για παράδειγμα, πρέπει να προσδιορίσετε το ημίτονο, το συνημίτονο, την εφαπτομένη ή την συνεφαπτομένη οποιασδήποτε γωνίας μεταξύ 0 και 450 μοιρών:

Η γωνία άλφα κυμαίνεται από 0 έως 90 μοίρες

* * *

Επομένως, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε τον "νόμο" που λειτουργεί εδώ:

1. Να προσδιορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης στο αντίστοιχο τέταρτο.

Να τους θυμίσω:

2. Θυμηθείτε τα ακόλουθα:

η λειτουργία αλλάζει σε συνλειτουργία

η λειτουργία δεν αλλάζει σε συνλειτουργία

Τι σημαίνει η έννοια - μια συνάρτηση αλλάζει σε συνσυνάρτηση;

Απάντηση: το ημίτονο μεταβάλλεται σε συνημίτονο ή αντίστροφα, εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη ή αντίστροφα.

Αυτό είναι όλο!

Τώρα, σύμφωνα με τον παρουσιαζόμενο νόμο, γράφουμε διάφορους τύπους μείωσης ανεξάρτητα:

Αυτή η γωνία βρίσκεται στο τρίτο τέταρτο, το συνημίτονο στο τρίτο τέταρτο είναι αρνητικό. Δεν αλλάζουμε τη συνάρτηση για τη συνλειτουργία, αφού έχουμε 180 μοίρες, που σημαίνει:

Η γωνία βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο, το ημίτονο στο πρώτο τέταρτο είναι θετικό. Δεν αλλάζουμε τη συνάρτηση σε συνάρτηση, αφού έχουμε 360 μοίρες, που σημαίνει:

Εδώ είναι μια άλλη πρόσθετη επιβεβαίωση ότι τα ημίτονο των γειτονικών γωνιών είναι ίσα:

Η γωνία βρίσκεται στο δεύτερο τέταρτο, το ημίτονο στο δεύτερο τέταρτο είναι θετικό. Δεν αλλάζουμε τη συνάρτηση σε συνάρτηση, αφού έχουμε 180 μοίρες, που σημαίνει:

Δουλέψτε κάθε φόρμουλα νοερά ή γραπτά και θα δείτε ότι δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο.

***

Στο άρθρο σχετικά με τη λύση, σημειώθηκε ένα τέτοιο γεγονός - το ημίτονο μιας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ίσο με το συνημίτονο μιας άλλης οξείας γωνίας σε αυτό.