Υπολογίστε τις προβολές του διανύσματος a στους άξονες συντεταγμένων. Προβολή δύναμης στον άξονα. Προβολή του διανυσματικού αθροίσματος δυνάμεων στον άξονα. Εάν η διανυθείσα απόσταση είναι μεγάλη, μπορεί η μονάδα μετατόπισης να είναι μικρή;

Αλγεβρική προβολή ενός διανύσματοςσε οποιονδήποτε άξονα είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του άξονα και του διανύσματος:

Pr a b = |b|cos(a,b) ή

Όπου a b είναι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων, |a| - μέτρο διανύσματος α.

Οδηγίες. Για να βρείτε την προβολή του διανύσματος Pr a b online, πρέπει να καθορίσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων a και b. Σε αυτή την περίπτωση, το διάνυσμα μπορεί να καθοριστεί στο επίπεδο (δύο συντεταγμένες) και στο διάστημα (τρεις συντεταγμένες). Η λύση που προκύπτει αποθηκεύεται σε ένα αρχείο Word. Εάν τα διανύσματα καθορίζονται μέσω των συντεταγμένων των σημείων, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε αυτήν την αριθμομηχανή.

Ταξινόμηση διανυσματικών προβολών

Τύποι προβολών εξ ορισμού διανυσματική προβολή

Η γεωμετρική προβολή του διανύσματος ΑΒ στον άξονα (διάνυσμα) ονομάζεται διάνυσμα Α"Β", η αρχή του οποίου Α' είναι η προβολή της αρχής Α στον άξονα (διάνυσμα), και το άκρο Β' είναι η προβολή. του άκρου Β στον ίδιο άξονα.
Η αλγεβρική προβολή του διανύσματος ΑΒ στον άξονα (διάνυσμα) ονομάζεται μήκος του διανύσματος Α"Β", που λαμβάνεται με πρόσημο + ή -, ανάλογα με το αν το διάνυσμα Α"Β" έχει την ίδια κατεύθυνση με τον άξονα ( διάνυσμα).

Τύποι προβολών σύμφωνα με το σύστημα συντεταγμένων

Διανυσματικές ιδιότητες προβολής

Η γεωμετρική προβολή ενός διανύσματος είναι διάνυσμα (έχει διεύθυνση).
Η αλγεβρική προβολή ενός διανύσματος είναι ένας αριθμός.

Διανυσματικά θεωρήματα προβολής

Θεώρημα 1. Η προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με την προβολή των αθροισμάτων των διανυσμάτων στον ίδιο άξονα.

AC" =AB" +B"C"

Θεώρημα 2. Η αλγεβρική προβολή ενός διανύσματος σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του άξονα και του διανύσματος:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Τύποι διανυσματικών προβολών

προβολή στον άξονα OX.
προβολή στον άξονα OY.
προβολή σε ένα διάνυσμα.

Προβολή στον άξονα ΟΧ	Προβολή στον άξονα OY	Προβολή στο διάνυσμα
Αν η κατεύθυνση του διανύσματος A’B’ συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα OX, τότε η προβολή του διανύσματος A’B’ έχει θετικό πρόσημο.	Αν η φορά του διανύσματος A’B’ συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα OY, τότε η προβολή του διανύσματος A’B’ έχει θετικό πρόσημο.	Εάν η κατεύθυνση του διανύσματος A'B' συμπίπτει με την κατεύθυνση του διανύσματος NM, τότε η προβολή του διανύσματος A'B' έχει θετικό πρόσημο.
Αν η φορά του διανύσματος είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα ΟΧ, τότε η προβολή του διανύσματος Α’Β’ έχει αρνητικό πρόσημο.	Αν η κατεύθυνση του διανύσματος Α'Β' είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα ΟΥ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' έχει αρνητικό πρόσημο.	Εάν η κατεύθυνση του διανύσματος Α'Β' είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του διανύσματος ΝΜ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' έχει αρνητικό πρόσημο.
Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι παράλληλο με τον άξονα ΟΧ, τότε η προβολή του διανύσματος Α’Β’ είναι ίση με την απόλυτη τιμή του διανύσματος ΑΒ.	Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι παράλληλο με τον άξονα ΟΥ, τότε η προβολή του διανύσματος Α’Β’ είναι ίση με την απόλυτη τιμή του διανύσματος ΑΒ.	Εάν το διάνυσμα ΑΒ είναι παράλληλο με το διάνυσμα NM, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' είναι ίση με την απόλυτη τιμή του διανύσματος ΑΒ.
Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι κάθετο στον άξονα ΟΧ, τότε η προβολή Α’Β’ ισούται με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα).	Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι κάθετο στον άξονα OY, τότε η προβολή A’B’ ισούται με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα).	Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι κάθετο στο διάνυσμα ΝΜ, τότε η προβολή Α’Β’ ισούται με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα).

1. Ερώτηση: Μπορεί η προβολή ενός διανύσματος να έχει αρνητικό πρόσημο; Απάντηση: Ναι, το διάνυσμα προβολής μπορεί να είναι αρνητική τιμή. Σε αυτήν την περίπτωση, το διάνυσμα έχει την αντίθετη κατεύθυνση (δείτε πώς κατευθύνονται ο άξονας OX και το διάνυσμα ΑΒ)
2. Ερώτηση: Μπορεί η προβολή ενός διανύσματος να συμπίπτει με την απόλυτη τιμή του διανύσματος; Απάντηση: Ναι, μπορεί. Στην περίπτωση αυτή, τα διανύσματα είναι παράλληλα (ή βρίσκονται στην ίδια ευθεία).
3. Ερώτηση: Μπορεί η προβολή ενός διανύσματος να είναι ίση με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα). Απάντηση: Ναι, μπορεί. Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσμα είναι κάθετο στον αντίστοιχο άξονα (διάνυσμα).

Παράδειγμα 1. Το διάνυσμα (Εικ. 1) σχηματίζει γωνία 60° με τον άξονα OX (καθορίζεται από το διάνυσμα α). Αν η ΟΕ είναι μονάδα κλίμακας, τότε |b|=4, άρα .

Πράγματι, το μήκος του διανύσματος (γεωμετρική προβολή b) είναι ίσο με 2, και η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα OX.

Παράδειγμα 2. Το διάνυσμα (Εικ. 2) σχηματίζει γωνία (a,b) = 120 o με τον άξονα OX (με διάνυσμα α). Μήκος |b| Το διάνυσμα b είναι ίσο με 4, άρα pr a b=4·cos120 o = -2.

Πράγματι, το μήκος του διανύσματος είναι 2 και η κατεύθυνση είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα.

Ο άξονας είναι η κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι η προβολή σε έναν άξονα ή σε μια κατευθυνόμενη γραμμή θεωρείται η ίδια. Η προβολή μπορεί να είναι αλγεβρική ή γεωμετρική. Σε γεωμετρικούς όρους, η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα νοείται ως διάνυσμα και σε αλγεβρικούς όρους ως αριθμός. Δηλαδή, χρησιμοποιούνται οι έννοιες της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα και της αριθμητικής προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα.

Αν έχουμε έναν άξονα L και ένα μη μηδενικό διάνυσμα A B →, τότε μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα διάνυσμα A 1 B 1 ⇀, δηλώνοντας τις προβολές των σημείων του A 1 και B 1.

Το A 1 B → 1 θα είναι η προβολή του διανύσματος A B → στο L.

Ορισμός 1

Προβολή του διανύσματος στον άξοναείναι ένα διάνυσμα του οποίου η αρχή και το τέλος είναι προβολές της αρχής και του τέλους ενός δεδομένου διανύσματος. n p L A B → → είναι συνηθισμένο να συμβολίζεται η προβολή A B → στο L. Για να κατασκευαστεί μια προβολή στο L, οι κάθετοι ρίχνονται στο L.

Παράδειγμα 1

Ένα παράδειγμα διανυσματικής προβολής σε άξονα.

Στο επίπεδο συντεταγμένων O x y, καθορίζεται το σημείο M 1 (x 1, y 1). Είναι απαραίτητο να κατασκευαστούν προβολές σε Ox και O y για να απεικονιστεί το διάνυσμα ακτίνας του σημείου M 1. Παίρνουμε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων (x 1, 0) και (0, y 1).

Αν μιλάμε για την προβολή του a → σε ένα μη μηδενικό b → ή για την προβολή του a → στην κατεύθυνση b → , τότε εννοούμε την προβολή του a → στον άξονα με τον οποίο συμπίπτει η διεύθυνση b →. Η προβολή του a → πάνω στη γραμμή που ορίζεται από το b → ορίζεται n p b → a → → . Είναι γνωστό ότι όταν η γωνία μεταξύ a → και b → , n p b → a → → και b → μπορεί να θεωρηθεί συμκατευθυντική. Στην περίπτωση που η γωνία είναι αμβλεία, τα n p b → a → → και b → βρίσκονται σε αντίθετες κατευθύνσεις. Σε μια κατάσταση καθετότητας a → και b →, και το a → είναι μηδέν, η προβολή του a → προς την κατεύθυνση b → είναι το μηδενικό διάνυσμα.

Το αριθμητικό χαρακτηριστικό της προβολής ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι η αριθμητική προβολή ενός διανύσματος σε έναν δεδομένο άξονα.

Ορισμός 2

Αριθμητική προβολή του διανύσματος στον άξοναείναι ένας αριθμός που ισούται με το γινόμενο του μήκους ενός δεδομένου διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του δεδομένου διανύσματος και του διανύσματος που καθορίζει την κατεύθυνση του άξονα.

Η αριθμητική προβολή του A B → στο L συμβολίζεται n p L A B → , και a → στο b → - n p b → a → .

Με βάση τον τύπο, λαμβάνουμε n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , από όπου a → είναι το μήκος του διανύσματος a → , a ⇀ , b → ^ είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων a → και β → .

Λαμβάνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της αριθμητικής προβολής: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ισχύει για γνωστά μήκη a → και b → και τη γωνία μεταξύ τους. Ο τύπος ισχύει για γνωστές συντεταγμένες a → και b →, αλλά υπάρχει μια απλοποιημένη μορφή.

Παράδειγμα 2

Βρείτε την αριθμητική προβολή του a → σε μια ευθεία προς την κατεύθυνση b → με μήκος a → ίσο με 8 και γωνία μεταξύ τους 60 μοίρες. Με συνθήκη έχουμε a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Αυτό σημαίνει ότι αντικαθιστούμε τις αριθμητικές τιμές στον τύπο n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4.

Απάντηση: 4.

Με γνωστό cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , έχουμε a → , b → ως κλιμακωτό γινόμενο των a → και b → . Ακολουθώντας τον τύπο n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , μπορούμε να βρούμε την αριθμητική προβολή a → κατευθυνόμενη κατά μήκος του διανύσματος b → και να πάρουμε n p b → a → = a → , b → b → . Ο τύπος είναι ισοδύναμος με τον ορισμό που δίνεται στην αρχή της παραγράφου.

Ορισμός 3

Η αριθμητική προβολή του διανύσματος a → σε άξονα που συμπίπτει κατά διεύθυνση με το b → είναι ο λόγος του κλιμακωτού γινόμενου των διανυσμάτων a → και b → προς το μήκος b → . Ο τύπος n p b → a → = a → , b → b → ισχύει για την εύρεση της αριθμητικής προβολής του a → σε μια ευθεία που συμπίπτει σε κατεύθυνση με το b → , με γνωστές συντεταγμένες a → και b →.

Παράδειγμα 3

Δίνεται b → = (- 3 , 4) . Βρείτε την αριθμητική προβολή a → = (1, 7) στο L.

Λύση

Στο επίπεδο συντεταγμένων n p b → a → = a → , b → b → έχει τη μορφή n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , με a → = (a x , a y ) και b → = b x, b y. Για να βρείτε την αριθμητική προβολή του διανύσματος a → στον άξονα L, χρειάζεστε: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Απάντηση: 5.

Παράδειγμα 4

Βρείτε την προβολή του a → στο L, που συμπίπτει με την κατεύθυνση b →, όπου υπάρχουν a → = - 2, 3, 1 και b → = (3, - 2, 6). Καθορίζεται ο τρισδιάστατος χώρος.

Λύση

Δίνοντας a → = a x , a y , a z και b → = b x , b y , b z , υπολογίζουμε το κλιμακωτό γινόμενο: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Το μήκος b → βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Από αυτό προκύπτει ότι ο τύπος για τον προσδιορισμό της αριθμητικής προβολής a → θα είναι: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Αντικαταστήστε τις αριθμητικές τιμές: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Απάντηση: - 6 7.

Ας δούμε τη σύνδεση μεταξύ του a → στο L και του μήκους της προβολής a → στο L. Ας σχεδιάσουμε έναν άξονα L, προσθέτοντας ένα → και b → από ένα σημείο στο L, μετά από τον οποίο σχεδιάζουμε μια κάθετη γραμμή από το άκρο a → στο L και σχεδιάζουμε μια προβολή στο L. Υπάρχουν 5 παραλλαγές της εικόνας:

Πρώταη περίπτωση με a → = n p b → a → → σημαίνει a → = n p b → a → → , επομένως n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Δεύτεροςη περίπτωση συνεπάγεται τη χρήση του n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , που σημαίνει n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Τρίτοςη περίπτωση εξηγεί ότι όταν n p b → a → → = 0 → λαμβάνουμε n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , τότε n p b → a → → = 0 και n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Τέταρτοςη περίπτωση δείχνει n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , ακολουθεί n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Πέμπτοςη περίπτωση δείχνει a → = n p b → a → → , που σημαίνει a → = n p b → a → → , επομένως έχουμε n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

Ορισμός 4

Η αριθμητική προβολή του διανύσματος a → στον άξονα L, που κατευθύνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το b →, έχει την ακόλουθη τιμή:

το μήκος της προβολής του διανύσματος a → στο L, με την προϋπόθεση ότι η γωνία μεταξύ a → και b → είναι μικρότερη από 90 μοίρες ή ίση με 0: n p b → a → = n p b → a → → με τη συνθήκη 0 ≤ (a → , β →) ^< 90 ° ;
μηδέν υπό τον όρο ότι τα a → και b → είναι κάθετα: n p b → a → = 0, όταν (a → , b → ^) = 90 °;
το μήκος της προβολής a → στο L, πολλαπλασιασμένο με -1, όταν υπάρχει αμβλεία ή ευθεία γωνία των διανυσμάτων a → και b →: n p b → a → = - n p b → a → → με την συνθήκη 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Παράδειγμα 5

Δίνεται το μήκος της προβολής a → στο L, ίσο με 2. Να βρείτε την αριθμητική προβολή a → με την προϋπόθεση ότι η γωνία είναι 5 π 6 ακτίνια.

Λύση

Από τη συνθήκη είναι σαφές ότι αυτή η γωνία είναι αμβλεία: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Απάντηση: - 2.

Παράδειγμα 6

Δίνεται ένα επίπεδο O x y z με μήκος διανύσματος a → ίσο με 6 3, b → (- 2, 1, 2) με γωνία 30 μοιρών. Να βρείτε τις συντεταγμένες της προβολής a → στον άξονα L.

Λύση

Αρχικά, υπολογίζουμε την αριθμητική προβολή του διανύσματος a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Κατά συνθήκη, η γωνία είναι οξεία, τότε η αριθμητική προβολή a → = το μήκος της προβολής του διανύσματος a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Αυτή η περίπτωση δείχνει ότι τα διανύσματα n p L a → → και b → είναι συνκατευθυνόμενα, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει ένας αριθμός t για τον οποίο ισχύει η ισότητα: n p L a → → = t · b → . Από εδώ βλέπουμε ότι n p L a → → = t · b → , που σημαίνει ότι μπορούμε να βρούμε την τιμή της παραμέτρου t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Τότε n p L a → → = 3 · b → με τις συντεταγμένες της προβολής του διανύσματος a → στον άξονα L ίσο με b → = (- 2 , 1 , 2) , όπου είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν οι τιμές με 3. Έχουμε n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Απάντηση: (- 6, 3, 6).

Είναι απαραίτητο να επαναλάβουμε τις προηγούμενες πληροφορίες σχετικά με την κατάσταση της συγγραμμικότητας των διανυσμάτων.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Αρχικά, ας θυμηθούμε τι είναι άξονα συντεταγμένων, προβολή ενός σημείου σε έναν άξοναΚαι συντεταγμένες ενός σημείου στον άξονα.

Άξονας συντεταγμένων- Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που της δίνεται κάποια κατεύθυνση. Μπορείτε να το σκεφτείτε ως ένα διάνυσμα με απείρως μεγάλο συντελεστή.

Άξονας συντεταγμένωνσυμβολίζεται με κάποιο γράμμα: X, Y, Z, s, t... Συνήθως επιλέγεται (αυθαίρετα) ένα σημείο στον άξονα, το οποίο ονομάζεται αρχή και, κατά κανόνα, συμβολίζεται με το γράμμα O. Από αυτό το σημείο το μετρώνται οι αποστάσεις από άλλα σημεία ενδιαφέροντος για εμάς.

Προβολή σημείου πάνω σε άξονα- αυτή είναι η βάση της καθέτου που έχει χαμηλώσει από αυτό το σημείο σε αυτόν τον άξονα (Εικ. 8). Δηλαδή, η προβολή ενός σημείου πάνω στον άξονα είναι ένα σημείο.

Σημείο συντεταγμένη στον άξονα- αυτός είναι ένας αριθμός του οποίου η απόλυτη τιμή ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περιέχεται μεταξύ της αρχής του άξονα και της προβολής του σημείου σε αυτόν τον άξονα. Ο αριθμός αυτός λαμβάνεται με πρόσημο συν αν η προβολή του σημείου βρίσκεται στην κατεύθυνση του άξονα από την αρχή του και με αρνητικό αν βρίσκεται στην αντίθετη κατεύθυνση.

Κλιμακωτή προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα- Αυτό αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του τερματικού σημείου του διανύσματος. Σπουδαίος! Συνήθως αντί της έκφρασης βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονααπλά λένε - προβολή του διανύσματος στον άξονα, δηλαδή η λέξη βαθμωτό μέγεθοςχαμηλωμένο. Διάνυσμα προβολήςσυμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με χαμηλότερο (κατά κανόνα) δείκτη του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα Χ ΕΝΑ,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x. Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε έναν άλλο άξονα, ας πούμε, στον άξονα Y, η προβολή του θα συμβολίζεται με y (Εικ. 9).

Να υπολογίσω προβολή του διανύσματος στον άξονα(για παράδειγμα, ο άξονας Χ), είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου εκκίνησης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή

a x = x k − x n.

Πρέπει να θυμόμαστε: η κλιμακωτή προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα (ή, απλά, η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα) είναι αριθμός (όχι διάνυσμα)!Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή x k είναι μεγαλύτερη από την τιμή x n, αρνητική εάν η τιμή x k είναι μικρότερη από την τιμή x n και ίση με μηδέν εάν x k είναι ίση με x n (Εικ. 10).

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί επίσης να βρεθεί γνωρίζοντας το μέτρο του διανύσματος και τη γωνία που κάνει με αυτόν τον άξονα.

Από το σχήμα 11 είναι σαφές ότι a x = a Cos α

Δηλαδή, η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ κατεύθυνσης άξονα και διεύθυνσης διανύσματος. Αν η γωνία είναι οξεία, τότε Cos α > 0 και a x > 0, και αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο της αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

Οι γωνίες που μετρώνται από τον άξονα αριστερόστροφα θεωρούνται θετικές και οι γωνίες που μετρώνται κατά μήκος του άξονα είναι αρνητικές. Ωστόσο, δεδομένου ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, δηλαδή Cos α = Cos (− α), κατά τον υπολογισμό των προβολών, οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν τόσο δεξιόστροφα όσο και αριστερόστροφα.

Κατά την επίλυση προβλημάτων, θα χρησιμοποιούνται συχνά οι ακόλουθες ιδιότητες των προβολών: αν

ΕΝΑ = σι + ντο +…+ ρε, τότε a x = b x + c x +…+ d x (παρόμοιο με άλλους άξονες),

ένα= m σι, τότε a x = mb x (ομοίως για άλλους άξονες).

Ο τύπος a x = a Cos α θα είναι Συχνάσυμβαίνουν κατά την επίλυση προβλημάτων, επομένως πρέπει οπωσδήποτε να το γνωρίζετε. Πρέπει να γνωρίζετε τον κανόνα για τον προσδιορισμό της προβολής απεξω!

Θυμάμαι!

Για να βρεθεί η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα, το μέτρο αυτού του διανύσματος πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και της διεύθυνσης του διανύσματος.

Για άλλη μια φορά - από καρδιάς!

Η επίλυση προβλημάτων σχετικά με την ισορροπία των συγκλίνων δυνάμεων με την κατασκευή πολυγώνων κλειστής δύναμης περιλαμβάνει δυσκίνητες κατασκευές. Μια καθολική μέθοδος για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι να προχωρήσουμε στον προσδιορισμό των προβολών των δεδομένων δυνάμεων στους άξονες συντεταγμένων και στη λειτουργία με αυτές τις προβολές. Ένας άξονας είναι μια ευθεία γραμμή στην οποία εκχωρείται μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένα βαθμωτό μέγεθος, το οποίο καθορίζεται από το τμήμα του άξονα που αποκόπτεται από τις κάθετες που πέφτουν πάνω του από την αρχή και το τέλος του διανύσματος.

Μια διανυσματική προβολή θεωρείται θετική εάν η κατεύθυνση από την αρχή της προβολής έως το τέλος της συμπίπτει με τη θετική κατεύθυνση του άξονα. Μια διανυσματική προβολή θεωρείται αρνητική εάν η κατεύθυνση από την αρχή της προβολής έως το τέλος της είναι αντίθετη από τη θετική κατεύθυνση του άξονα.

Έτσι, η προβολή της δύναμης στον άξονα συντεταγμένων είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή δύναμης και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του διανύσματος δύναμης και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα.

Ας εξετάσουμε έναν αριθμό περιπτώσεων προβολής δυνάμεων σε έναν άξονα:

Διάνυσμα δύναμης φά(Εικ. 15) κάνει οξεία γωνία με τη θετική φορά του άξονα x.

Για να βρούμε την προβολή, από την αρχή και το τέλος του διανύσματος δύναμης χαμηλώνουμε τις κάθετες στον άξονα ω; παίρνουμε

1. F x = φά cos α

Η προβολή του διανύσματος σε αυτή την περίπτωση είναι θετική

Δύναμη φά(Εικ. 16) είναι με τη θετική φορά του άξονα Χαμβλεία γωνία α.

Επειτα φά x = φά cos α, αλλά αφού α = 180 0 - φ,

φά x = φά cos α = φά cos180 0 - φ =- φά cos φ.

Προβολή δύναμης φάανά άξονα ωσε αυτή την περίπτωση είναι αρνητικό.

Δύναμη φά(Εικ. 17) κάθετα στον άξονα ω.

Προβολή της δύναμης F στον άξονα Χίσο με μηδέν

φά x = φά cos 90° = 0.

Δύναμη που βρίσκεται στο αεροπλάνο πώς(Εικ. 18), μπορεί να προβληθεί σε δύο άξονες συντεταγμένων ΩΚαι OU.

Δύναμη φάμπορούν να χωριστούν σε συστατικά: φά x και φά y. Διάνυσμα ενότητα φάΤο x είναι ίσο με την προβολή του διανύσματος φάανά άξονα βόδικαι το διανυσματικό μέτρο φάΤο y είναι ίσο με την προβολή του διανύσματος φάανά άξονα ω.

Από το Δ OAV: φά x = φά cos α, φά x = φάαμαρτία α.

Από το Δ ΟΑΣ: φά x = φά cos φ, φά x = φάαμαρτία φ.

Το μέγεθος της δύναμης μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Η προβολή ενός διανυσματικού αθροίσματος ή ενός προκύπτοντος σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των προβολών των αθροισμάτων των διανυσμάτων στον ίδιο άξονα.

Εξετάστε τις συγκλίνουσες δυνάμεις φά 1 , φά 2 , φά 3, και φά 4, (Εικ. 19, α). Το γεωμετρικό άθροισμα, ή το αποτέλεσμα, αυτών των δυνάμεων φάκαθορίζεται από την πλευρά κλεισίματος του πολυγώνου δύναμης

Ας πέσουμε από τις κορυφές του πολυγώνου δύναμης στον άξονα Χκάθετες.

Λαμβάνοντας υπόψη τις λαμβανόμενες προβολές δυνάμεων απευθείας από την ολοκληρωμένη κατασκευή, έχουμε

φά= φά 1x+ φά 2x+ φά 3x+ φά 4x

όπου n είναι ο αριθμός των διανυσματικών όρων. Οι προβολές τους μπαίνουν στην παραπάνω εξίσωση με το αντίστοιχο πρόσημο.

Σε ένα επίπεδο, το γεωμετρικό άθροισμα των δυνάμεων μπορεί να προβληθεί σε δύο άξονες συντεταγμένων και στο διάστημα, αντίστοιχα, σε τρεις.

Εισαγωγή…………………………………………………………………………………………3

1. Τιμή διανύσματος και κλιμακωτή…………………………………….4

2. Ορισμός προβολής, άξονα και συντεταγμένων σημείου…………………….5

3. Προβολή του διανύσματος στον άξονα…………………………………………………………………………………………

4. Βασικός τύπος διανυσματικής άλγεβρας……………………………..8

5. Υπολογισμός του μέτρου ενός διανύσματος από τις προβολές του…………………………9

Συμπέρασμα………………………………………………………………………………………11

Λογοτεχνία………………………………………………………………………………………….12

Εισαγωγή:

Η φυσική είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά δίνουν στη φυσική τα μέσα και τις τεχνικές για μια γενική και ακριβή έκφραση της σχέσης μεταξύ φυσικών μεγεθών που ανακαλύπτονται ως αποτέλεσμα πειραμάτων ή θεωρητικής έρευνας.Τελικά, η κύρια μέθοδος έρευνας στη φυσική είναι η πειραματική. Αυτό σημαίνει ότι ένας επιστήμονας αποκαλύπτει υπολογισμούς χρησιμοποιώντας μετρήσεις. Δηλώνει τη σχέση μεταξύ διαφόρων φυσικών μεγεθών. Στη συνέχεια, όλα μεταφράζονται στη γλώσσα των μαθηματικών. Σχηματίζεται ένα μαθηματικό μοντέλο. Η φυσική είναι μια επιστήμη που μελετά τους απλούστερους και ταυτόχρονα τους πιο γενικούς νόμους. Το καθήκον της φυσικής είναι να δημιουργήσει στο μυαλό μας μια εικόνα του φυσικού κόσμου που να αντικατοπτρίζει πλήρως τις ιδιότητές του και να διασφαλίζει τέτοιες σχέσεις μεταξύ των στοιχείων του μοντέλου που υπάρχουν μεταξύ των στοιχείων.

Έτσι, η φυσική δημιουργεί ένα μοντέλο του κόσμου γύρω μας και μελετά τις ιδιότητές του. Αλλά οποιοδήποτε μοντέλο είναι περιορισμένο. Κατά τη δημιουργία μοντέλων ενός συγκεκριμένου φαινομένου, λαμβάνονται υπόψη μόνο ιδιότητες και συνδέσεις που είναι απαραίτητες για ένα δεδομένο φάσμα φαινομένων. Αυτή είναι η τέχνη ενός επιστήμονα - να επιλέγει το κύριο πράγμα από όλη την ποικιλομορφία.

Τα φυσικά μοντέλα είναι μαθηματικά, αλλά τα μαθηματικά δεν είναι η βάση τους. Οι ποσοτικές σχέσεις μεταξύ φυσικών μεγεθών καθορίζονται ως αποτέλεσμα μετρήσεων, παρατηρήσεων και πειραματικών μελετών και εκφράζονται μόνο στη γλώσσα των μαθηματικών. Ωστόσο, δεν υπάρχει άλλη γλώσσα για την κατασκευή φυσικών θεωριών.

1. Έννοια του διανύσματος και του βαθμωτού.

Στη φυσική και τα μαθηματικά, ένα διάνυσμα είναι ένα μέγεθος που χαρακτηρίζεται από την αριθμητική του τιμή και κατεύθυνση. Στη φυσική, υπάρχουν πολλά σημαντικά μεγέθη που είναι διανύσματα, για παράδειγμα, δύναμη, θέση, ταχύτητα, επιτάχυνση, ροπή, ορμή, ένταση ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. Μπορούν να αντιπαραβληθούν με άλλες ποσότητες όπως μάζα, όγκος, πίεση, θερμοκρασία και πυκνότητα, που μπορούν να περιγραφούν με έναν συνηθισμένο αριθμό και ονομάζονται " σκαλοπάτια".

Γράφονται είτε με κανονικά γράμματα γραμματοσειράς είτε με αριθμούς (a, b, t, G, 5, −7....). Οι βαθμωτές ποσότητες μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές. Ταυτόχρονα, ορισμένα αντικείμενα μελέτης μπορεί να έχουν τέτοιες ιδιότητες, για μια πλήρη περιγραφή των οποίων η γνώση μόνο ενός αριθμητικού μέτρου είναι ανεπαρκής· είναι επίσης απαραίτητο να χαρακτηριστούν αυτές οι ιδιότητες με κατεύθυνση στο χώρο. Τέτοιες ιδιότητες χαρακτηρίζονται από διανυσματικές ποσότητες (διανύσματα). Τα διανύσματα, σε αντίθεση με τους βαθμωτούς, σημειώνονται με έντονα γράμματα: a, b, g, F, C....
Συχνά ένα διάνυσμα υποδηλώνεται με ένα γράμμα με κανονική (μη έντονη) γραμματοσειρά, αλλά με ένα βέλος πάνω από αυτό:

Επιπλέον, ένα διάνυσμα συχνά υποδηλώνεται με ένα ζεύγος γραμμάτων (συνήθως με κεφαλαία), με το πρώτο γράμμα να δείχνει την αρχή του διανύσματος και το δεύτερο το τέλος του.

Το μέτρο ενός διανύσματος, δηλαδή το μήκος ενός κατευθυνόμενου ευθύγραμμου τμήματος, συμβολίζεται με τα ίδια γράμματα με το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με κανονική (όχι έντονη) γραφή και χωρίς βέλος από πάνω τους ή με τον ίδιο ακριβώς τρόπο ως διάνυσμα (δηλαδή με έντονη γραφή ή κανονικό, αλλά με βέλος), αλλά στη συνέχεια ο προσδιορισμός του διανύσματος περικλείεται σε κάθετες παύλες.
Ένα διάνυσμα είναι ένα σύνθετο αντικείμενο που χαρακτηρίζεται ταυτόχρονα από το μέγεθος και την κατεύθυνση.

Επίσης δεν υπάρχουν θετικά και αρνητικά διανύσματα. Αλλά τα διανύσματα μπορεί να είναι ίσα μεταξύ τους. Αυτό συμβαίνει όταν, για παράδειγμα, τα a και b έχουν τις ίδιες μονάδες και κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση. Σε αυτή την περίπτωση, ο συμβολισμός είναι αληθής ένα= β. Θα πρέπει επίσης να ληφθεί υπόψη ότι το σύμβολο του διανύσματος μπορεί να προηγείται από ένα σύμβολο μείον, για παράδειγμα - c, ωστόσο, αυτό το σύμβολο υποδηλώνει συμβολικά ότι το διάνυσμα -c έχει την ίδια ενότητα με το διάνυσμα c, αλλά κατευθύνεται στο αντίθετο κατεύθυνση.

Το διάνυσμα -c ονομάζεται αντίθετο (ή αντίστροφο) του διανύσματος c.
Στη φυσική, κάθε διάνυσμα είναι γεμάτο με συγκεκριμένο περιεχόμενο και κατά τη σύγκριση διανυσμάτων του ίδιου τύπου (για παράδειγμα, δυνάμεις), τα σημεία εφαρμογής τους μπορεί επίσης να είναι σημαντικά.

2. Προσδιορισμός της προβολής, του άξονα και της συντεταγμένης του σημείου.

Αξονας- Αυτή είναι μια ευθεία γραμμή που της δίνεται κάποια κατεύθυνση.
Ένας άξονας ορίζεται με κάποιο γράμμα: X, Y, Z, s, t... Συνήθως επιλέγεται (αυθαίρετα) ένα σημείο στον άξονα, το οποίο ονομάζεται αρχή και, κατά κανόνα, ορίζεται με το γράμμα Ο. Από αυτό το σημείο μετρώνται οι αποστάσεις από άλλα σημεία που μας ενδιαφέρουν.

Προβολή σημείουσε έναν άξονα είναι η βάση μιας κάθετης που τραβιέται από αυτό το σημείο σε έναν δεδομένο άξονα. Δηλαδή, η προβολή ενός σημείου πάνω στον άξονα είναι ένα σημείο.

Συντεταγμένη σημείουσε έναν δεδομένο άξονα είναι ένας αριθμός του οποίου η απόλυτη τιμή ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περιέχεται μεταξύ της αρχής του άξονα και της προβολής του σημείου σε αυτόν τον άξονα. Ο αριθμός αυτός λαμβάνεται με πρόσημο συν αν η προβολή του σημείου βρίσκεται στην κατεύθυνση του άξονα από την αρχή του και με αρνητικό αν βρίσκεται στην αντίθετη κατεύθυνση.

3. Προβολή του διανύσματος στον άξονα.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένα διάνυσμα που προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τη βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος σε αυτόν τον άξονα και το μοναδιαίο διάνυσμα αυτού του άξονα. Για παράδειγμα, αν a x είναι η βαθμιδωτή προβολή του διανύσματος a στον άξονα Χ, τότε το x ·i είναι η διανυσματική του προβολή σε αυτόν τον άξονα.

Ας υποδηλώσουμε τη διανυσματική προβολή με τον ίδιο τρόπο όπως το ίδιο το διάνυσμα, αλλά με τον δείκτη του άξονα στον οποίο προβάλλεται το διάνυσμα. Έτσι, συμβολίζουμε τη διανυσματική προβολή του διανύσματος a στον άξονα Χ ως x (ένα έντονο γράμμα που δηλώνει το διάνυσμα και τον δείκτη του ονόματος του άξονα) ή

(ένα γράμμα με χαμηλά έντονα γράμματα που δηλώνει ένα διάνυσμα, αλλά με ένα βέλος στην κορυφή (!) και έναν δείκτη για το όνομα του άξονα).

Σκαλική προβολήδιάνυσμα ανά άξονα ονομάζεται αριθμός, η απόλυτη τιμή του οποίου ισούται με το μήκος του τμήματος άξονα (στην επιλεγμένη κλίμακα) που περικλείεται μεταξύ των προβολών του σημείου έναρξης και του τερματικού σημείου του διανύσματος. Συνήθως αντί της έκφρασης κλιμακωτή προβολήαπλά λένε - προβολή. Η προβολή συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα με το προβαλλόμενο διάνυσμα (σε κανονική, μη έντονη γραφή), με χαμηλότερο δείκτη (κατά κανόνα) του ονόματος του άξονα στον οποίο προβάλλεται αυτό το διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν ένα διάνυσμα προβάλλεται στον άξονα Χ ΕΝΑ,τότε η προβολή του συμβολίζεται με x. Όταν προβάλλεται το ίδιο διάνυσμα σε άλλο άξονα, εάν ο άξονας είναι Υ, η προβολή του θα συμβολίζεται με y.

Για να υπολογίσετε την προβολή διάνυσμασε έναν άξονα (για παράδειγμα, τον άξονα Χ), είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου εκκίνησης από τη συντεταγμένη του τελικού σημείου του, δηλαδή

a x = x k − x n.

Η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα είναι ένας αριθμός.Επιπλέον, η προβολή μπορεί να είναι θετική εάν η τιμή x k είναι μεγαλύτερη από την τιμή x n,

αρνητικό εάν η τιμή x k είναι μικρότερη από την τιμή x n

και ίσο με μηδέν αν το x k ισούται με το x n.

Από το σχήμα είναι σαφές ότι a x = a Cos α

Δηλαδή, η προβολή του διανύσματος στον άξονα είναι ίση με το γινόμενο του συντελεστή του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ της διεύθυνσης του άξονα και του διανυσματική κατεύθυνση. Εάν η γωνία είναι οξεία, τότε
Συν α > 0 και a x > 0, και, αν είναι αμβλεία, τότε το συνημίτονο της αμβλείας γωνίας είναι αρνητικό και η προβολή του διανύσματος στον άξονα θα είναι επίσης αρνητική.

4. Βασικός τύπος διανυσματικής άλγεβρας.

Ας προβάλουμε το διάνυσμα a στους άξονες X και Y του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων. Ας βρούμε τις διανυσματικές προβολές του διανύσματος a σε αυτούς τους άξονες:

a x = a x ·i, και y = a y ·j.

Αλλά σύμφωνα με τον κανόνα της διανυσματικής πρόσθεσης

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Έτσι, εκφράσαμε ένα διάνυσμα ως προς τις προβολές του και διανύσματα του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων (ή ως προς τις διανυσματικές προβολές του).

Οι διανυσματικές προβολές a x και a y ονομάζονται συνιστώσες ή συνιστώσες του διανύσματος α. Η πράξη που πραγματοποιήσαμε ονομάζεται αποσύνθεση ενός διανύσματος κατά μήκος των αξόνων ενός ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων.

Αν το διάνυσμα δίνεται στο χώρο, τότε

a = a x i + a y j + a z k.

Αυτός ο τύπος ονομάζεται βασικός τύπος της διανυσματικής άλγεβρας. Φυσικά, μπορεί να γραφτεί και έτσι.