Επιλύουμε προβλήματα Β14 από την Ενιαία Κρατική Εξέταση. Εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Οι μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης

Δήλωση προβλήματος 2:

Δίνεται μια συνάρτηση που είναι καθορισμένη και συνεχής σε ένα ορισμένο διάστημα. Πρέπει να βρείτε τη μεγαλύτερη (μικρότερη) τιμή της συνάρτησης σε αυτό το διάστημα.

Θεωρητική βάση.
Θεώρημα (δεύτερο θεώρημα Weierstrass):

Εάν μια συνάρτηση είναι καθορισμένη και συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα, τότε φτάνει τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές της σε αυτό το διάστημα.

Η συνάρτηση μπορεί να φτάσει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της είτε στα εσωτερικά σημεία του διαστήματος είτε στα όριά της. Ας δείξουμε όλες τις πιθανές επιλογές.

Εξήγηση:
1) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο αριστερό όριο του διαστήματος στο σημείο και την ελάχιστη τιμή της στο δεξιό όριο του διαστήματος στο σημείο .
2) Η συνάρτηση φτάνει στη μέγιστη τιμή της στο σημείο (αυτό είναι το μέγιστο σημείο) και στην ελάχιστη τιμή της στο δεξιό όριο του διαστήματος στο σημείο.
3) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο αριστερό όριο του διαστήματος στο σημείο , και την ελάχιστη τιμή της στο σημείο (αυτό είναι το ελάχιστο σημείο).
4) Η συνάρτηση είναι σταθερή στο διάστημα, δηλ. φτάνει τις ελάχιστες και τις μέγιστες τιμές του σε οποιοδήποτε σημείο του διαστήματος και οι ελάχιστες και μέγιστες τιμές είναι ίσες μεταξύ τους.
5) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο σημείο , και την ελάχιστη τιμή της στο σημείο (παρά το γεγονός ότι η συνάρτηση έχει και μέγιστο και ελάχιστο σε αυτό το διάστημα).
6) Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της σε ένα σημείο (αυτό είναι το μέγιστο σημείο) και την ελάχιστη τιμή της σε ένα σημείο (αυτό είναι το ελάχιστο σημείο).
Σχόλιο:

Η "μέγιστη" και η "μέγιστη τιμή" είναι διαφορετικά πράγματα. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του μέγιστου και τη διαισθητική κατανόηση της φράσης «μέγιστη τιμή».

Αλγόριθμος για την επίλυση προβλήματος 2.

4) Επιλέξτε τη μεγαλύτερη (μικρότερη) από τις λαμβανόμενες τιμές και σημειώστε την απάντηση.

Παράδειγμα 4:

Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης στο τμήμα.
Λύση:
1) Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.

2) Βρείτε σταθερά σημεία (και σημεία ύποπτα για ακρότατο) λύνοντας την εξίσωση. Δώστε προσοχή στα σημεία στα οποία δεν υπάρχει αμφίπλευρη πεπερασμένη παράγωγος.

3) Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε σταθερά σημεία και στα όρια του διαστήματος.

4) Επιλέξτε τη μεγαλύτερη (μικρότερη) από τις λαμβανόμενες τιμές και σημειώστε την απάντηση.

Η συνάρτηση σε αυτό το τμήμα φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο σημείο με τις συντεταγμένες .

Η συνάρτηση σε αυτό το τμήμα φτάνει την ελάχιστη τιμή της στο σημείο με συντεταγμένες .

Μπορείτε να επαληθεύσετε την ορθότητα των υπολογισμών κοιτάζοντας το γράφημα της υπό μελέτη συνάρτησης.

Σχόλιο:Η συνάρτηση φτάνει τη μέγιστη τιμή της στο μέγιστο σημείο και την ελάχιστη τιμή της στο όριο του τμήματος.

Ιδιαίτερη περίπτωση.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές κάποιας συνάρτησης σε ένα τμήμα. Μετά την ολοκλήρωση του πρώτου σημείου του αλγορίθμου, δηλ. Υπολογίζοντας την παράγωγο, γίνεται σαφές ότι, για παράδειγμα, παίρνει μόνο αρνητικές τιμές σε όλο το υπό εξέταση διάστημα. Θυμηθείτε ότι εάν η παράγωγος είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση μειώνεται. Βρήκαμε ότι η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο το τμήμα. Αυτή η κατάσταση φαίνεται στο γράφημα Νο. 1 στην αρχή του άρθρου.

Η συνάρτηση μειώνεται στο τμήμα, δηλ. δεν έχει ακραίους βαθμούς. Από την εικόνα μπορείτε να δείτε ότι η συνάρτηση θα λάβει τη μικρότερη τιμή στο δεξί όριο του τμήματος και τη μεγαλύτερη τιμή στα αριστερά. αν η παράγωγος στο τμήμα είναι θετική παντού, τότε η συνάρτηση αυξάνεται. Η μικρότερη τιμή βρίσκεται στο αριστερό περίγραμμα του τμήματος, η μεγαλύτερη βρίσκεται στα δεξιά.

Σε αυτό το άρθρο θα μιλήσω για αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμήςσυναρτήσεις, ελάχιστα και μέγιστα σημεία.

Από τη θεωρία σίγουρα θα μας φανεί χρήσιμο πίνακας παραγώγωνΚαι κανόνες διαφοροποίησης. Είναι όλα σε αυτό το πιάτο:

Αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης και της μικρότερης τιμής.

Είναι πιο βολικό για μένα να το εξηγήσω με ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Σκεφτείτε:

Παράδειγμα:Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης y=x^5+20x^3–65x στο τμήμα [–4;0].

Βήμα 1.Παίρνουμε την παράγωγο.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Βήμα 2.Εύρεση ακραίων σημείων.

Ακραίο σημείοονομάζουμε εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση φτάνει τη μεγαλύτερη ή την ελάχιστη τιμή της.

Για να βρείτε τα ακραία σημεία, πρέπει να εξισώσετε την παράγωγο της συνάρτησης με μηδέν (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Τώρα λύνουμε αυτήν τη διτετραγωνική εξίσωση και οι ρίζες που βρέθηκαν είναι τα ακραία σημεία μας.

Λύνω τέτοιες εξισώσεις αντικαθιστώντας t = x^2, μετά 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Ας μειώσουμε την εξίσωση κατά 5, παίρνουμε: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Κάνουμε την αντίστροφη αλλαγή x^2 = t:

X_(1 και 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 και 4) = ±sqrt(-13) (εξαιρούμε, δεν μπορούν να υπάρχουν αρνητικοί αριθμοί κάτω από τη ρίζα, εκτός φυσικά αν μιλάμε για μιγαδικούς αριθμούς)

Σύνολο: x_(1) = 1 και x_(2) = -1 - αυτά είναι τα ακραία σημεία μας.

Βήμα 3.Προσδιορίστε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη τιμή.

Μέθοδος αντικατάστασης.

Στην συνθήκη, μας δόθηκε το τμήμα [b][–4;0]. Το σημείο x=1 δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το τμήμα. Άρα δεν το εξετάζουμε. Αλλά εκτός από το σημείο x=-1, πρέπει επίσης να εξετάσουμε τα αριστερά και τα δεξιά όρια του τμήματός μας, δηλαδή τα σημεία -4 και 0. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε και τα τρία αυτά σημεία στην αρχική συνάρτηση. Σημειώστε ότι η αρχική είναι αυτή που δίνεται στη συνθήκη (y=x^5+20x^3–65x), μερικοί άνθρωποι αρχίζουν να την αντικαθιστούν στην παράγωγο...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Αυτό σημαίνει ότι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης είναι [b]44 και επιτυγχάνεται στο σημείο [b]-1, που ονομάζεται μέγιστο σημείο της συνάρτησης στο τμήμα [-4; 0].

Αποφασίσαμε και πήραμε απάντηση, είμαστε υπέροχοι, μπορείτε να χαλαρώσετε. Σταμάτα όμως! Δεν πιστεύετε ότι ο υπολογισμός του y(-4) είναι κατά κάποιο τρόπο πολύ δύσκολος; Σε συνθήκες περιορισμένου χρόνου, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μια άλλη μέθοδο, την ονομάζω ως εξής:

Μέσα από διαστήματα σταθερότητας πρόσημου.

Αυτά τα διαστήματα βρίσκονται για την παράγωγο της συνάρτησης, δηλαδή για τη διτετραγωνική μας εξίσωση.

Το κάνω έτσι. Σχεδιάζω ένα κατευθυνόμενο τμήμα. Τοποθετώ τα σημεία: -4, -1, 0, 1. Παρά το γεγονός ότι το 1 δεν περιλαμβάνεται στο συγκεκριμένο τμήμα, θα πρέπει να σημειωθεί για να προσδιορίζονται σωστά τα διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου. Ας πάρουμε έναν αριθμό πολλές φορές μεγαλύτερο από το 1, ας πούμε 100, και ας τον αντικαταστήσουμε νοερά στη διτετραγωνική μας εξίσωση 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Ακόμη και χωρίς να μετρήσουμε τίποτα, γίνεται προφανές ότι στο σημείο 100 η λειτουργία έχει το σύμβολο συν. Αυτό σημαίνει ότι για διαστήματα από 1 έως 100 έχει πρόσημο συν. Όταν περνάμε από το 1 (πηγαίνουμε από δεξιά προς τα αριστερά), η συνάρτηση θα αλλάξει πρόσημο σε μείον. Όταν διέρχεται από το σημείο 0, η συνάρτηση θα διατηρήσει το πρόσημά της, αφού αυτό είναι μόνο το όριο του τμήματος και όχι η ρίζα της εξίσωσης. Όταν περνάει από το -1, η συνάρτηση θα αλλάξει ξανά το πρόσημο σε συν.

Από τη θεωρία γνωρίζουμε ότι πού βρίσκεται η παράγωγος της συνάρτησης (και το σχεδιάσαμε ακριβώς γι' αυτήν) αλλάζει πρόσημο από συν σε πλην (σημείο -1 στην περίπτωσή μας)η λειτουργία φτάνει το τοπικό του μέγιστο (y(-1)=44, όπως υπολογίστηκε νωρίτερα)σε αυτό το τμήμα (αυτό είναι λογικά πολύ κατανοητό, η συνάρτηση σταμάτησε να αυξάνεται επειδή έφτασε στο μέγιστο και άρχισε να μειώνεται).

Αντίστοιχα, όπου η παράγωγος της συνάρτησης αλλάζει πρόσημο από μείον σε συν, επιτυγχάνεται τοπικό ελάχιστο μιας συνάρτησης. Ναι, ναι, βρήκαμε επίσης ότι το τοπικό ελάχιστο σημείο είναι 1, και το y(1) είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης στο τμήμα, ας πούμε από -1 έως +∞. Λάβετε υπόψη ότι αυτό είναι μόνο ένα ΤΟΠΙΚΟ ΕΛΑΧΙΣΤΟ, δηλαδή ένα ελάχιστο σε ένα συγκεκριμένο τμήμα. Αφού το πραγματικό (καθολικό) ελάχιστο της συνάρτησης θα φτάσει κάπου εκεί, στο -∞.

Κατά τη γνώμη μου, η πρώτη μέθοδος είναι πιο απλή θεωρητικά και η δεύτερη πιο απλή από την άποψη των αριθμητικών πράξεων, αλλά πολύ πιο σύνθετη από την άποψη της θεωρίας. Εξάλλου, μερικές φορές υπάρχουν περιπτώσεις που η συνάρτηση δεν αλλάζει πρόσημο όταν περνάει από τη ρίζα της εξίσωσης και γενικά μπορεί να μπερδευτείτε με αυτά τα τοπικά, καθολικά μέγιστα και ελάχιστα, αν και θα πρέπει να το καταλάβετε καλά αν σχεδιάζετε να εισέλθετε σε ένα τεχνικό πανεπιστήμιο (και γιατί αλλιώς να λάβετε το προφίλ Unified State Exam και να λύσετε αυτήν την εργασία). Αλλά η εξάσκηση και μόνο η εξάσκηση θα σας διδάξει να λύσετε τέτοια προβλήματα μια για πάντα. Και μπορείτε να προπονηθείτε στον ιστότοπό μας. Εδώ .

Εάν έχετε οποιεσδήποτε ερωτήσεις ή κάτι δεν είναι ξεκάθαρο, φροντίστε να ρωτήσετε. Θα χαρώ να σας απαντήσω και να κάνω αλλαγές και προσθήκες στο άρθρο. Θυμηθείτε ότι φτιάχνουμε αυτόν τον ιστότοπο μαζί!

Στην εργασία Β14 από την Εξέταση Ενιαίου Κράτους στα μαθηματικά, πρέπει να βρείτε τη μικρότερη ή μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης μιας μεταβλητής. Αυτό είναι ένα αρκετά ασήμαντο πρόβλημα από τη μαθηματική ανάλυση, και γι' αυτόν τον λόγο κάθε απόφοιτος λυκείου μπορεί και πρέπει να μάθει να το λύνει κανονικά. Ας δούμε μερικά παραδείγματα που έλυσαν οι μαθητές κατά τη διάρκεια διαγνωστικής εργασίας στα μαθηματικά, που πραγματοποιήθηκε στη Μόσχα στις 7 Δεκεμβρίου 2011.

Ανάλογα με το διάστημα στο οποίο θέλετε να βρείτε τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή μιας συνάρτησης, χρησιμοποιείται ένας από τους παρακάτω τυπικούς αλγόριθμους για την επίλυση αυτού του προβλήματος.

I. Αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης ή της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα:

Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
Επιλέξτε από τα σημεία που υπάρχουν υπόνοιες ότι είναι ακραία εκείνα που ανήκουν στο δεδομένο τμήμα και πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Υπολογίστε τιμές λειτουργίες(όχι παράγωγο!) σε αυτά τα σημεία.
Μεταξύ των λαμβανόμενων τιμών, επιλέξτε τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη, θα είναι η επιθυμητή.

Παράδειγμα 1.Βρείτε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης
y = Χ 3 – 18Χ 2 + 81Χ+ 23 στο τμήμα.

Λύση:Ακολουθούμε τον αλγόριθμο για την εύρεση της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα:

Το εύρος μιας συνάρτησης δεν περιορίζεται: Δ(ε) = R.
Η παράγωγος της συνάρτησης ισούται με: εσυ = 3Χ 2 – 36Χ+ 81. Το πεδίο ορισμού της παραγώγου μιας συνάρτησης επίσης δεν περιορίζεται: Δ(ε) = R.
Μηδενικά της παραγώγου: εσυ = 3Χ 2 – 36Χ+ 81 = 0, που σημαίνει Χ 2 – 12Χ+ 27 = 0, εξ ου και Χ= 3 και Χ= 9, το μεσοδιάστημά μας περιλαμβάνει μόνο Χ= 9 (ένας βαθμός ύποπτος για εξτρέμ).
Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης σε ένα σημείο ύποπτο για ένα άκρο και στα άκρα του διακένου. Για ευκολία υπολογισμού, παρουσιάζουμε τη συνάρτηση με τη μορφή: y = Χ 3 – 18Χ 2 + 81Χ + 23 = Χ(Χ-9) 2 +23:
- y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Άρα, από τις λαμβανόμενες τιμές, η μικρότερη είναι 23. Απάντηση: 23.

II. Αλγόριθμος για την εύρεση της μεγαλύτερης ή της μικρότερης τιμής μιας συνάρτησης:

Βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης.
Προσδιορίστε σημεία ύποπτα για ακρότατο (εκείνα τα σημεία στα οποία εξαφανίζεται η παράγωγος της συνάρτησης και σημεία στα οποία δεν υπάρχει πεπερασμένη παράγωγος δύο όψεων).
Σημειώστε αυτά τα σημεία και το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στην αριθμητική γραμμή και προσδιορίστε τα σημάδια παράγωγο(όχι συναρτήσεις!) στα διαστήματα που προκύπτουν.
Ορίστε τιμές λειτουργίες(όχι η παράγωγος!) στα ελάχιστα σημεία (εκείνα τα σημεία στα οποία το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από μείον σε συν), η μικρότερη από αυτές τις τιμές θα είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης. Εάν δεν υπάρχουν ελάχιστοι πόντοι, τότε η συνάρτηση δεν έχει ελάχιστη τιμή.
Ορίστε τιμές λειτουργίες(όχι η παράγωγος!) στα μέγιστα σημεία (εκείνα τα σημεία στα οποία το πρόσημο της παραγώγου αλλάζει από συν σε πλην), η μεγαλύτερη από αυτές τις τιμές θα είναι η μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης. Εάν δεν υπάρχουν μέγιστα σημεία, τότε η συνάρτηση δεν έχει τη μεγαλύτερη τιμή.

Παράδειγμα 2.Βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης.

Και για να το λύσετε θα χρειαστείτε ελάχιστη γνώση του θέματος. Άλλη μια σχολική χρονιά τελειώνει, όλοι θέλουν να πάνε διακοπές και για να φέρω αυτή τη στιγμή πιο κοντά, θα φτάσω αμέσως στο θέμα:

Ας ξεκινήσουμε με την περιοχή. Η περιοχή που αναφέρεται στην κατάσταση είναι περιορισμένος κλειστό σύνολο σημείων σε ένα επίπεδο. Για παράδειγμα, το σύνολο των σημείων που οριοθετούνται από ένα τρίγωνο, συμπεριλαμβανομένου ΟΛΟΚΛΗΡΟΥ του τριγώνου (αν από σύνορα«βγάλτε» τουλάχιστον ένα σημείο, τότε η περιοχή δεν θα είναι πλέον κλειστή). Στην πράξη, υπάρχουν επίσης περιοχές με ορθογώνια, στρογγυλά και ελαφρώς πιο πολύπλοκα σχήματα. Πρέπει να σημειωθεί ότι στη θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης δίνονται αυστηροί ορισμοί περιορισμοί, απομόνωση, όρια κ.λπ., αλλά νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν αυτές τις έννοιες σε διαισθητικό επίπεδο, και τώρα δεν χρειάζεται τίποτα περισσότερο.

Μια επίπεδη περιοχή υποδηλώνεται τυπικά με το γράμμα και, κατά κανόνα, προσδιορίζεται αναλυτικά - με πολλές εξισώσεις (όχι απαραίτητα γραμμικό); σπανιότερα ανισότητες. Τυπική λεξιλογία: "κλειστή περιοχή που οριοθετείται από γραμμές".

Αναπόσπαστο μέρος της εργασίας που εξετάζεται είναι η κατασκευή μιας περιοχής στο σχέδιο. Πως να το κάνεις? Πρέπει να σχεδιάσετε όλες τις γραμμές που αναφέρονται (σε αυτήν την περίπτωση 3 ευθεία) και αναλύστε τι συνέβη. Η περιοχή αναζήτησης είναι συνήθως ελαφρώς σκιασμένη και το περίγραμμά της σημειώνεται με μια παχιά γραμμή:

Μπορεί επίσης να ρυθμιστεί η ίδια περιοχή γραμμικές ανισότητες: , τα οποία για κάποιο λόγο συχνά γράφονται ως απαριθμημένη λίστα και όχι Σύστημα.
Εφόσον το όριο ανήκει στην περιοχή, τότε όλες οι ανισότητες, φυσικά, αμελής.

Και τώρα η ουσία του έργου. Φανταστείτε ότι ο άξονας βγαίνει κατευθείαν προς εσάς από την αρχή. Σκεφτείτε μια συνάρτηση που συνεχής σε κάθεσημείο περιοχής. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης αντιπροσωπεύει μερικά επιφάνεια, και η μικρή ευτυχία είναι ότι για να λύσουμε το σημερινό πρόβλημα δεν χρειάζεται να ξέρουμε πώς μοιάζει αυτή η επιφάνεια. Μπορεί να βρίσκεται ψηλότερα, χαμηλότερα, να τέμνει το επίπεδο - όλα αυτά δεν έχουν σημασία. Και είναι σημαντικό το εξής: σύμφωνα με Θεωρήματα Weierstrass, συνεχής V περιορισμένη κλειστήπεριοχή η συνάρτηση φτάνει τη μεγαλύτερη τιμή της (το υψηλότερο")και το λιγότερο (το χαμηλότερο")αξίες που πρέπει να βρεθούν. Τέτοιες αξίες επιτυγχάνονται ή V ακίνητα σημεία, που ανήκουν στην περιοχήρε , ήσε σημεία που βρίσκονται στα όρια αυτής της περιοχής. Αυτό οδηγεί σε έναν απλό και διαφανή αλγόριθμο λύσης:

Παράδειγμα 1

Σε περιορισμένο κλειστό χώρο

Λύση: Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να απεικονίσετε την περιοχή στο σχέδιο. Δυστυχώς, είναι τεχνικά δύσκολο για μένα να φτιάξω ένα διαδραστικό μοντέλο του προβλήματος και ως εκ τούτου θα παρουσιάσω αμέσως την τελική απεικόνιση, η οποία δείχνει όλα τα «ύποπτα» σημεία που βρέθηκαν κατά την έρευνα. Συνήθως παρατίθενται το ένα μετά το άλλο καθώς ανακαλύπτονται:

Με βάση το προοίμιο, η απόφαση μπορεί εύκολα να χωριστεί σε δύο σημεία:

Θ) Βρείτε ακίνητα σημεία. Αυτή είναι μια τυπική ενέργεια που πραγματοποιήσαμε επανειλημμένα στην τάξη. σχετικά με τα άκρα πολλών μεταβλητών:

Βρέθηκε ακίνητο σημείο ανήκειπεριοχές: (σημειώστε το στο σχέδιο), που σημαίνει ότι πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο:

- όπως στο άρθρο Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα, θα τονίσω σημαντικά αποτελέσματα με έντονους χαρακτήρες. Είναι βολικό να τα εντοπίσετε σε ένα σημειωματάριο με ένα μολύβι.

Δώστε προσοχή στη δεύτερη ευτυχία μας - δεν έχει νόημα να ελέγξουμε επαρκής συνθήκη για εξτρέμ. Γιατί; Ακόμα κι αν σε ένα σημείο η συνάρτηση φτάσει, για παράδειγμα, τοπικό ελάχιστο, τότε αυτό ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι η τιμή που προκύπτει θα είναι ελάχιστοςσε όλη την περιοχή (δείτε την αρχή του μαθήματος για ακραίες άνευ όρων) .

Τι να κάνετε αν το ακίνητο σημείο ΔΕΝ ανήκει στην περιοχή; Σχεδόν τίποτα! Θα πρέπει να σημειωθεί ότι και να προχωρήσουμε στο επόμενο σημείο.

ΙΙ) Εξερευνούμε τα σύνορα της περιοχής.

Δεδομένου ότι το περίγραμμα αποτελείται από τις πλευρές ενός τριγώνου, είναι βολικό να χωρίσετε τη μελέτη σε 3 υποενότητες. Αλλά είναι καλύτερα να μην το κάνετε έτσι κι αλλιώς. Από την άποψή μου, είναι πρώτα πιο πλεονεκτικό να εξετάσουμε τα τμήματα παράλληλα με τους άξονες συντεταγμένων και πρώτα απ 'όλα αυτά που βρίσκονται στους ίδιους τους άξονες. Για να κατανοήσετε ολόκληρη τη σειρά και τη λογική των ενεργειών, προσπαθήστε να μελετήσετε το τέλος "σε μια ανάσα":

1) Ας ασχοληθούμε με την κάτω πλευρά του τριγώνου. Για να το κάνετε αυτό, αντικαταστήστε απευθείας στη συνάρτηση:

Εναλλακτικά, μπορείτε να το κάνετε ως εξής:

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο συντεταγμένων (που δίνεται και από την εξίσωση)«χαράζει» έξω από επιφάνειεςμια «χωρική» παραβολή, η κορυφή της οποίας τίθεται αμέσως υπό υποψία. Ας ανακαλύψουμε που βρίσκεται:

– η προκύπτουσα τιμή "έπεσε" στην περιοχή και μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι στο σημείο (σημειώνεται στο σχέδιο)η συνάρτηση φτάνει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή σε ολόκληρη την περιοχή. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, ας κάνουμε τους υπολογισμούς:

Οι άλλοι «υποψήφιοι» είναι φυσικά τα άκρα του τμήματος. Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία (σημειώνεται στο σχέδιο):

Εδώ, παρεμπιπτόντως, μπορείτε να εκτελέσετε έναν προφορικό μίνι έλεγχο χρησιμοποιώντας μια "απογυμνωμένη" έκδοση:

2) Για να μελετήσετε τη δεξιά πλευρά του τριγώνου, αντικαταστήστε τη στη συνάρτηση και «βάλτε τα πράγματα σε τάξη»:

Εδώ θα εκτελέσουμε αμέσως έναν πρόχειρο έλεγχο, «κουδουνίζοντας» το ήδη επεξεργασμένο άκρο του τμήματος:
, Εξαιρετική.

Η γεωμετρική κατάσταση σχετίζεται με το προηγούμενο σημείο:

– η προκύπτουσα τιμή «μπήκε επίσης στη σφαίρα των ενδιαφερόντων μας», πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να υπολογίσουμε τι ισούται με τη συνάρτηση στο εμφανιζόμενο σημείο:

Ας εξετάσουμε το δεύτερο τέλος του τμήματος:

Χρησιμοποιώντας τη λειτουργία , ας κάνουμε έναν έλεγχο ελέγχου:

3) Μάλλον όλοι μπορούν να μαντέψουν πώς να εξερευνήσουν την υπόλοιπη πλευρά. Το αντικαθιστούμε στη συνάρτηση και πραγματοποιούμε απλοποιήσεις:

Τα άκρα του τμήματος έχουν ήδη ερευνηθεί, αλλά στο προσχέδιο εξακολουθούμε να ελέγχουμε αν βρήκαμε σωστά τη συνάρτηση :
– συνέπεσε με το αποτέλεσμα του 1ου εδαφίου·
– συνέπεσε με το αποτέλεσμα του 2ου εδαφίου.

Μένει να μάθουμε αν υπάρχει κάτι ενδιαφέρον μέσα στο τμήμα:

- Υπάρχει! Αντικαθιστώντας την ευθεία στην εξίσωση, παίρνουμε την τεταγμένη αυτής της «ενδιαφέροντος»:

Σημειώνουμε ένα σημείο στο σχέδιο και βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης:

Ας ελέγξουμε τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας την έκδοση «προϋπολογισμού». :
, Σειρά.

Και το τελευταίο βήμα: Εξετάζουμε ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΑ όλους τους «τολμηρούς» αριθμούς, συνιστώ στους αρχάριους να κάνουν ακόμη και μια ενιαία λίστα:

από το οποίο επιλέγουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές. ΑπάντησηΑς γράψουμε στο ύφος του προβλήματος της εύρεσης οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα:

Για κάθε ενδεχόμενο, θα σχολιάσω για άλλη μια φορά τη γεωμετρική σημασία του αποτελέσματος:
– εδώ είναι το υψηλότερο σημείο της επιφάνειας στην περιοχή.
– εδώ είναι το χαμηλότερο σημείο της επιφάνειας στην περιοχή.

Στην εργασία που αναλύθηκε, εντοπίσαμε 7 «ύποπτα» σημεία, αλλά ο αριθμός τους διαφέρει από εργασία σε εργασία. Για μια τριγωνική περιοχή, το ελάχιστο «σύνολο έρευνας» αποτελείται από τρία σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν η συνάρτηση, για παράδειγμα, καθορίζει επίπεδο– είναι απολύτως σαφές ότι δεν υπάρχουν ακίνητα σημεία και η συνάρτηση μπορεί να φτάσει τις μέγιστες/μικρότερες τιμές της μόνο στις κορυφές του τριγώνου. Αλλά υπάρχουν μόνο ένα ή δύο παρόμοια παραδείγματα - συνήθως πρέπει να αντιμετωπίσετε μερικά επιφάνεια 2ης τάξης.

Εάν λύσετε λίγο τέτοιες εργασίες, τότε τα τρίγωνα μπορούν να κάνουν το κεφάλι σας να γυρίζει και γι' αυτό σας έχω ετοιμάσει ασυνήθιστα παραδείγματα για να το κάνετε τετράγωνο :))

Παράδειγμα 2

Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε κλειστή περιοχή που οριοθετείται από γραμμές

Παράδειγμα 3

Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε μια περιορισμένη κλειστή περιοχή.

Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην ορθολογική σειρά και τεχνική μελέτης του ορίου της περιοχής, καθώς και στην αλυσίδα των ενδιάμεσων ελέγχων, που θα αποφύγουν σχεδόν πλήρως τα υπολογιστικά λάθη. Σε γενικές γραμμές, μπορείτε να το λύσετε με όποιον τρόπο θέλετε, αλλά σε ορισμένα προβλήματα, για παράδειγμα, στο Παράδειγμα 2, υπάρχει κάθε πιθανότητα να κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο δύσκολη. Ένα κατά προσέγγιση δείγμα των τελικών εργασιών στο τέλος του μαθήματος.

Ας συστηματοποιήσουμε τον αλγόριθμο λύσης, αλλιώς με την επιμέλειά μου ως αράχνη, κάπως χάθηκε στο μακρύ νήμα των σχολίων του 1ου παραδείγματος:

– Στο πρώτο βήμα χτίζουμε μια περιοχή, καλό είναι να την σκιάσουμε και να τονίσουμε το περίγραμμα με έντονη γραμμή. Κατά τη διάρκεια της λύσης θα εμφανιστούν σημεία που πρέπει να σημειωθούν στο σχέδιο.

– Βρείτε σταθερά σημεία και υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης μόνο σε αυτάπου ανήκουν στην περιοχή. Επισημαίνουμε τις τιμές που προκύπτουν στο κείμενο (για παράδειγμα, κυκλώστε τις με ένα μολύβι). Εάν ένα ακίνητο σημείο ΔΕΝ ανήκει στην περιοχή, τότε σημειώνουμε αυτό το γεγονός με εικονίδιο ή προφορικά. Αν δεν υπάρχουν καθόλου ακίνητα σημεία, τότε βγάζουμε γραπτό συμπέρασμα ότι απουσιάζουν. Σε κάθε περίπτωση, αυτό το σημείο δεν μπορεί να παραλειφθεί!

– Εξερευνούμε τα σύνορα της περιοχής. Πρώτον, είναι ωφέλιμο να κατανοήσουμε τις ευθείες γραμμές που είναι παράλληλες με τους άξονες συντεταγμένων (αν υπάρχουν). Επισημαίνουμε επίσης τις τιμές συναρτήσεων που υπολογίζονται σε "ύποπτα" σημεία. Πολλά έχουν ειπωθεί παραπάνω για την τεχνική της λύσης και κάτι άλλο θα ειπωθεί παρακάτω - διαβάστε, ξαναδιαβάστε, εμβαθύνετε σε αυτό!

– Από τους επιλεγμένους αριθμούς, επιλέξτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές και δώστε την απάντηση. Μερικές φορές συμβαίνει ότι μια συνάρτηση φτάνει σε τέτοιες τιμές σε πολλά σημεία ταυτόχρονα - σε αυτήν την περίπτωση, όλα αυτά τα σημεία πρέπει να αντικατοπτρίζονται στην απάντηση. Ας, για παράδειγμα, και αποδείχθηκε ότι αυτή είναι η μικρότερη τιμή. Μετά το γράφουμε

Τα τελευταία παραδείγματα καλύπτουν άλλες χρήσιμες ιδέες που θα σας φανούν χρήσιμες στην πράξη:

Παράδειγμα 4

Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε μια κλειστή περιοχή .

Διατήρησα τη διατύπωση του συγγραφέα, στην οποία το εμβαδόν δίνεται με τη μορφή διπλής ανισότητας. Αυτή η συνθήκη μπορεί να γραφτεί από ένα ισοδύναμο σύστημα ή σε μια πιο παραδοσιακή μορφή για αυτό το πρόβλημα:

Σας θυμίζω ότι με μη γραμμικόσυναντήσαμε ανισότητες και αν δεν καταλαβαίνετε τη γεωμετρική σημασία της σημειογραφίας, τότε μην καθυστερείτε και διευκρινίζετε την κατάσταση αυτή τη στιγμή;-)

Λύση, όπως πάντα, ξεκινά με την κατασκευή μιας περιοχής που αντιπροσωπεύει ένα είδος «σόλας»:

Χμ, μερικές φορές πρέπει να μασήσεις όχι μόνο τον γρανίτη της επιστήμης...

I) Βρείτε ακίνητα σημεία:

Το σύστημα είναι το όνειρο ενός ηλίθιου :)

Ένα ακίνητο σημείο ανήκει στην περιοχή, δηλαδή, βρίσκεται στα όριά της.

Και έτσι, δεν πειράζει... το μάθημα πήγε καλά - αυτό σημαίνει να πίνεις το σωστό τσάι =)

ΙΙ) Εξερευνούμε τα σύνορα της περιοχής. Χωρίς περαιτέρω καθυστέρηση, ας ξεκινήσουμε με τον άξονα x:

1) Αν, τότε

Ας βρούμε πού είναι η κορυφή της παραβολής:
– εκτιμήστε τέτοιες στιγμές – έχετε «χτυπήσει» ακριβώς στο σημείο από το οποίο όλα είναι ήδη ξεκάθαρα. Αλλά εξακολουθούμε να μην ξεχνάμε τον έλεγχο:

Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος:

2) Ας ασχοληθούμε με το κάτω μέρος της "σόλας" "σε μία θέση" - χωρίς κανένα σύμπλεγμα το αντικαθιστούμε στη συνάρτηση και θα μας ενδιαφέρει μόνο το τμήμα:

Ελεγχος:

Αυτό φέρνει ήδη κάποιο ενθουσιασμό στη μονότονη οδήγηση κατά μήκος της στριμωγμένης διαδρομής. Ας βρούμε κρίσιμα σημεία:

Ας αποφασίσουμε τετραγωνική εξίσωση, θυμάσαι κάτι άλλο για αυτό; ...Ωστόσο, να θυμάστε, φυσικά, διαφορετικά δεν θα διαβάζατε αυτές τις γραμμές =) Αν στα δύο προηγούμενα παραδείγματα ήταν βολικοί υπολογισμοί σε δεκαδικά κλάσματα (που, παρεμπιπτόντως, είναι σπάνιος), τότε εδώ τα συνηθισμένα συνηθισμένα κλάσματα μας περιμένουν. Βρίσκουμε τις ρίζες «Χ» και χρησιμοποιούμε την εξίσωση για να προσδιορίσουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες «παιχνιδιού» των «υποψήφιων» σημείων:

Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία που βρέθηκαν:

Ελέγξτε τη λειτουργία μόνοι σας.

Τώρα μελετάμε προσεκτικά τα τρόπαια που κατακτήθηκαν και γράφουμε απάντηση:

Αυτοί είναι «υποψήφιοι», αυτοί είναι «υποψήφιοι»!

Για να το λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 5

Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε κλειστό χώρο

Μια καταχώρηση με σγουρά τιράντες έχει ως εξής: "ένα σύνολο σημείων έτσι ώστε."

Μερικές φορές σε τέτοια παραδείγματα χρησιμοποιούν Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange, αλλά είναι απίθανο να υπάρχει πραγματική ανάγκη χρήσης του. Έτσι, για παράδειγμα, εάν δοθεί μια συνάρτηση με την ίδια περιοχή "de", τότε μετά από αντικατάσταση σε αυτήν - με την παράγωγο από καμία δυσκολία. Επιπλέον, όλα συντάσσονται σε "μία γραμμή" (με σημάδια) χωρίς να χρειάζεται να ληφθούν υπόψη τα άνω και κάτω ημικύκλια ξεχωριστά. Αλλά, φυσικά, υπάρχουν και πιο σύνθετες περιπτώσεις, όπου χωρίς τη λειτουργία Lagrange (όπου, για παράδειγμα, είναι η ίδια εξίσωση ενός κύκλου)Είναι δύσκολο να τα βγάλεις πέρα – όπως είναι δύσκολο να τα βγάλεις πέρα χωρίς καλή ξεκούραση!

Καλά να περάσετε όλοι και τα λέμε σύντομα την επόμενη σεζόν!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2: Λύση: Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:

Αφήστε τη λειτουργία y =φά(Χ)είναι συνεχής στο διάστημα [ α, β]. Όπως είναι γνωστό, μια τέτοια συνάρτηση φτάνει τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές της σε αυτό το τμήμα. Η συνάρτηση μπορεί να λάβει αυτές τις τιμές είτε στο εσωτερικό σημείο του τμήματος [ α, β] ή στο όριο του τμήματος.

Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης στο τμήμα [ α, β] απαραίτητη:

1) βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στο διάστημα ( α, β);

2) υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα κρίσιμα σημεία που βρέθηκαν.

3) υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος, δηλαδή πότε Χ=ΕΝΑκαι x = σι;

4) από όλες τις υπολογισμένες τιμές της συνάρτησης, επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη.

Παράδειγμα.Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης

στο τμήμα.

Εύρεση κρίσιμων σημείων:

Αυτά τα σημεία βρίσκονται μέσα στο τμήμα. y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

στο σημείο Χ= 3 και στο σημείο Χ= 0.

Μελέτη συνάρτησης κυρτότητας και σημείου καμπής.

Λειτουργία y = φά (Χ) που ονομάζεται κυρτόανάμεσα (ένα, σι) , αν η γραφική παράσταση του βρίσκεται κάτω από την εφαπτομένη που σχεδιάζεται σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του διαστήματος, και καλείται κυρτό προς τα κάτω (κοίλο), αν η γραφική παράσταση του βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη.

Το σημείο μέσω του οποίου η κυρτότητα αντικαθίσταται από την κοιλότητα ή το αντίστροφο ονομάζεται σημείο καμπής.

Αλγόριθμος για την εξέταση της κυρτότητας και του σημείου καμπής:

1. Να βρείτε κρίσιμα σημεία του δεύτερου είδους, δηλαδή σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.

2. Σχεδιάστε τα κρίσιμα σημεία στην αριθμογραμμή, χωρίζοντάς την σε διαστήματα. Βρείτε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου σε κάθε διάστημα. αν , τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω, εάν, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω.

3. Αν κατά τη διέλευση από ένα κρίσιμο σημείο του δεύτερου είδους αλλάζει το πρόσημο και στο σημείο αυτό η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με μηδέν, τότε το σημείο αυτό είναι η τετμημένη του σημείου καμπής. Βρείτε την τεταγμένη του.

Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Μελέτη συνάρτησης για ασύμπτωτες.

Ορισμός.Η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ονομάζεται ευθεία, το οποίο έχει την ιδιότητα ότι η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος σε αυτή τη γραμμή τείνει στο μηδέν καθώς το σημείο του γραφήματος μετακινείται επ' αόριστον από την αρχή.

Υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων: κάθετα, οριζόντια και κεκλιμένα.

Ορισμός.Η ευθεία λέγεται κάθετη ασύμπτωτηγραφικά λειτουργίας y = f(x), αν τουλάχιστον ένα από τα μονόπλευρα όρια της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι ίσο με το άπειρο, δηλαδή

όπου είναι το σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης, δηλαδή δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού.

Παράδειγμα.

Δ ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

Χ= 2 – σημείο διακοπής.

Ορισμός.Ευθεία y =ΕΝΑπου ονομάζεται οριζόντια ασύμπτωτηγραφικά λειτουργίας y = f(x)στο , εάν

Παράδειγμα.

Χ
y

Ορισμός.Ευθεία y =κx +σι (κ≠ 0) καλείται λοξή ασύμπτωτηγραφικά λειτουργίας y = f(x)εκεί όπου

Γενικό σχήμα μελέτης συναρτήσεων και κατασκευή γραφημάτων.

Αλγόριθμος Έρευνας Συναρτήσεωνy = f(x) :

1. Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης ρε (y).

2. Βρείτε (αν είναι δυνατόν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων (αν Χ= 0 και σε y = 0).

3. Εξετάστε την ομαλότητα και την περιττότητα της συνάρτησης ( y (‒ Χ) = y (Χ) ‒ ισοτιμία; y(‒ Χ) = ‒ y (Χ) ‒ Περιττός).

4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.

5. Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.

6. Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.

7. Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας (κοίλης) και καμπής του γραφήματος συνάρτησης.

8. Με βάση την έρευνα που έγινε να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης.

Παράδειγμα.Εξερευνήστε τη συνάρτηση και κατασκευάστε τη γραφική παράσταση της.

1) ρε (y) =

Χ= 4 – σημείο διακοπής.

2) Πότε Χ = 0,

(0; ‒ 5) – σημείο τομής με ω.

Στο y = 0,

3) y(‒ Χ)= συνάρτηση γενικής μορφής (ούτε ζυγός ούτε περιττός).

4) Εξετάζουμε για ασύμπτωτες.

α) κάθετη

β) οριζόντια

γ) να βρείτε τις πλάγιες ασύμπτωτες όπου

‒λοξή ασυμπτωτική εξίσωση

5) Στην εξίσωση αυτή δεν είναι απαραίτητο να βρεθούν διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.

Αυτά τα κρίσιμα σημεία διαιρούν ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στο διάστημα (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) και (10; +∞). Είναι βολικό να παρουσιαστούν τα αποτελέσματα που προέκυψαν με τη μορφή του παρακάτω πίνακα: