Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων. Άλγεβρα - ΟΓΕ. Εργασίες με λύση Επίλυση μη ολοκληρωμένων τετραγωνικών εξισώσεων

Ανάλυση του αριθμού εργασίας 4 σχετικά με το θέμα: "Επίλυση εξισώσεων διαφόρων τύπων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο διαδικτυακό κατάστημα Integral για την τάξη 9
Διαδραστικοί κανόνες και ασκήσεις άλγεβρας για την τάξη 9
Εγχειρίδιο πολυμέσων για την τάξη 9 "Άλγεβρα σε 10 λεπτά"

Ο αριθμός εργασίας 4 απαιτεί τη δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων διαφόρων τύπων. Παιδιά, πρέπει να μάθετε τις μεθόδους της σωστής λύσης τετραγωνικών εξισώσεων, κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων, συνηθισμένων γραμμικών εξισώσεων. Επίσης, πρέπει να είστε καλοί στο να κάνετε χειρισμούς με πολυώνυμα: πολλαπλασιάζοντας και διαιρώντας ένα πολυώνυμο με ένα πολυώνυμο. Πρέπει να είστε σε θέση να επιλέξετε τις ρίζες της εξίσωσης που περιλαμβάνονται στην περιοχή λύσης και να καθορίσετε ποιες ρίζες πρέπει να απορριφθούν και να αγνοηθούν;

Μαθήματα που θα σας βοηθήσουν στην προετοιμασία αυτής της εργασίας:

1. Βασικοί ορισμοί και παραδείγματα λύσεων γραμμικών συναρτήσεων.
2. Έννοια και τυπική μορφή ενός monomial.
3. Πολωνυμική, τυπική μορφή, μείωση, μετασχηματισμός.
4. Παραδείγματα αριθμητικών εκφράσεων. Αλγεβρικές εκφράσεις με μεταβλητές και ενέργειες μαζί τους.
5. Εξισώσεις, παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων.
6. Τετραγωνικές εξισώσεις. Μάθημα ανάπτυξης.
7. Κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις. Μάθημα ανάπτυξης.
8. Τετραγωνική ρίζα. Μάθημα ανάπτυξης.

Ας προχωρήσουμε στην ανάλυση παραδειγμάτων λύσεων.

Παράδειγμα 1.
Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης: $ 16x ^ 2-1 \u003d 0 $.

Απόφαση.
Σημειώστε ότι μας δίνεται μια τετραγωνική εξίσωση, αλλά δεν είναι πλήρης. Ο συντελεστής στο x είναι μηδέν. Τότε θα καθοδηγηθούμε από τον κανόνα: "εκείνες οι εκφράσεις στις οποίες υπάρχουν x τετράγωνα, θα φύγουμε στα αριστερά και θα μεταφέρουμε όλους τους αριθμούς προς τα δεξιά".
Ας μεταμορφώσουμε την έκφρασή μας: $ 16x ^ 2 \u003d 1 $.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το συντελεστή στο x τετράγωνο: $ x ^ 2 \u003d \\ frac (1) (16) $.

Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, χρειαζόμαστε τη γνώση της τετραγωνικής ρίζας. Ας εξαγάγουμε τη ρίζα, μην ξεχνάμε ότι πρέπει επίσης να λάβουμε υπόψη τον αρνητικό αριθμό: $ x \u003d ± \\ sqrt (\\ frac (1) (16)) \u003d ± \\ frac (1) (4) \u003d ± 0,25 $.
Απάντηση: $ x \u003d ± 0,25 $.

Παράδειγμα 2.
Λύστε την εξίσωση: $ x ^ 2 \u003d 18-7x $.

Απόφαση.
Μετακινήστε όλες τις εκφράσεις στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης: $ x ^ 2 + 7x-18 \u003d 0 $.

Μπορούμε να λύσουμε τη συνήθη τετραγωνική εξίσωση με δύο τρόπους:
1. "προχωρήστε", υπολογίζοντας τον διακριτικό ·
2. χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vietta.

1 τρόπος.
Ας γράψουμε όλους τους συντελεστές για την τετραγωνική εξίσωση: $ a \u003d 1 $, $ b \u003d 7 $, $ c \u003d -18 $.

Βρείτε τον διακριτικό: $ D \u003d b ^ 2-4ac \u003d (7) ^ 2-4 * 1 * (- 18) \u003d 49 + 72 \u003d 121 \u003d (11) ^ 2\u003e 0 $.
Έχουμε καταλάβει ότι η εξίσωση έχει 2 ρίζες.
Απομένει να βρούμε αυτές τις ρίζες:
$ x_1 \u003d \\ frac (-b + \\ sqrt (D)) (2a) \u003d \\ frac (-7 + 11) (2) \u003d 2 $.
$ x_2 \u003d \\ frac (-b- \\ sqrt (D)) (2a) \u003d \\ frac (-7-11) (2) \u003d - 9 $.

Μέθοδος 2.
Ας χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Vietta. Το θεώρημα του Vietta απλοποιεί συχνά τη λύση των τετραγωνικών εξισώσεων πολλές φορές, ειδικά όταν ο συντελεστής $ a \u003d 1 $. Σε αυτήν την περίπτωση, το προϊόν των ριζών της εξίσωσης ισούται με τον συντελεστή $ c $ και το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης ισούται με το μείον του συντελεστή στα $ b $:
$ x_1 + x_2 \u003d - \\ frac (b) (a) $.
$ x_1 * x_2 \u003d \\ frac (c) (a) $.

Στο παράδειγμά μας, $ c \u003d -18 $ και $ b \u003d 7 $. Αρχίζουμε να ταξινομούμε ζεύγη αριθμών, το προϊόν των οποίων ισούται με μείον δεκαοκτώ. Οι πρώτοι αριθμοί που έρχονται στο μυαλό είναι εννέα και δύο. Αφού εκτελέσουμε μερικούς απλούς πολλαπλασιασμούς και προσθήκες, μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι οι ρίζες $ x \u003d -9 $ και $ x \u003d 2 $ είναι κατάλληλες για εμάς.
$ x_1 * x_2 \u003d -9 * 2 \u003d -18 \u003d \\ frac (c) (a) $.
x $ _1 + x_2 \u003d -9 + 2 \u003d -7 \u003d - \\ frac (b) (a) $.
Απάντηση: $ x \u003d -9 $, $ x \u003d 2 $.

Παράδειγμα 3.
Λύστε την εξίσωση: $ x- \\ frac (x) (7) \u003d \\ frac (15) (7) $.

Απόφαση.
Μας δίνεται μια συνηθισμένη γραμμική εξίσωση με κλασματικούς συντελεστές. Για να λύσετε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να ενεργήσετε σωστά με τα συνηθισμένα κλάσματα.
Το πρώτο βήμα είναι να μετατρέψετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης, απλοποιώντας την: $ x- \\ frac (x) (7) \u003d \\ frac (7x) (7) - \\ frac (x) (7) \u003d \\ frac (6x) (7) $.
Πήραμε την εξίσωση: $ \\ frac (6x) (7) \u003d \\ frac (15) (7) $.
Διαιρέστε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το συντελεστή στο x: $ x \u003d \\ frac (\\ frac (15) (7)) (\\ frac (6) (7)) $.

Εξετάστε χωριστά τη διαίρεση: $ \\ frac (\\ frac (15) (7)) (\\ frac (6) (7)) \u003d \\ frac (15) (7) * \\ frac (7) (6) \u003d \\ frac (15 ) (6) \u003d 2 \\ frac (3) (6) \u003d 2 \\ frac (1) (2) \u003d 2,5 $.

Ελήφθη: $ x \u003d 2,5 $.
Απάντηση: $ x \u003d 2,5 $.

Παράδειγμα 4.
Λύστε την εξίσωση: $ (x + 2) ^ 2 \u003d (x-4) ^ 2 $.

Απόφαση.
Μέθοδος 1
Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το τετράγωνο του αθροίσματος: $ (x + 2) ^ 2 \u003d x ^ 2 + 4x + 4 $.
$ (x-4) ^ 2 \u003d x ^ 2-8x + 16 $.
Λήφθηκε: $ x ^ 2 + 4x + 4 \u003d x ^ 2-8x + 16 $.
Ας απλοποιήσουμε την εξίσωση μας:
$ x ^ 2 + 4x-x ^ 2 + 8x \u003d 16-4 $.
12x $ \u003d 12 $.
$ x \u003d 1 $.

Μέθοδος 2.
Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων. $ (x + 2) ^ 2- (x-4) ^ 2 \u003d 0 $.
$ (x + 2 + x-4) (x + 2-x + 4) \u003d 0 $.
$ (2x-2) * (6) \u003d 0 $.
$ 2x-2 \u003d 0 $.
$ 2x \u003d 2 $.
$ x \u003d 1 $.
Απάντηση: $ x \u003d 1 $.

Παράδειγμα 5.
Λύστε την εξίσωση: $ \\ frac (9) (x-14) \u003d \\ frac (14) (x-9) $.

Απόφαση.
Μας παρουσιάζεται μια κλασματική λογική εξίσωση. Κατά την επίλυση αυτών των εξισώσεων, αξίζει να θυμάστε ότι δεν μπορείτε να διαιρέσετε με μηδέν. Επομένως, οι ρίζες της εξίσωσης πρέπει πάντα να ελέγχονται αντικαθιστώντας τις στον παρονομαστή της αρχικής εξίσωσης.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα cross-by-cross: $ 9 (x-9) \u003d 14 (x-14) $.
Έχουμε μια γραμμική εξίσωση:
9x-81 $ \u003d 14x-196 $.
9x-14x $ \u003d -196 + 81 $.
$ -5x \u003d -115 $.
$ x \u003d 23 $.
Αφού ελέγξουμε τη ρίζα μας, διασφαλίζουμε ότι οι παρονομαστές των κλασμάτων της αρχικής εξίσωσης δεν εξαφανίζονται.
Απάντηση: $ x \u003d 23 $.

Παράδειγμα 6.
Βρείτε λύσεις που ικανοποιούν το σύστημα: $ \\ begin (case) x ^ 2 + 9x-22 \u003d 0, \\\\ x≤1 \\ end (case) $.

Απόφαση.
Αρχικά, ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vietta. Το προϊόν των ριζών μας είναι $ 22 $ και το άθροισμα είναι $ -9 $.
Ας πάρουμε τις ρίζες:
$-11*2=-22$.
$-11+2=-9$.
Έχουμε δύο ρίζες: $ x_1 \u003d -11 $ και $ x_2 \u003d 2 $. Από αυτές τις ρίζες, η πρώτη ρίζα ικανοποιεί την ανισότητα $ x≤1 $ και θα είναι η απάντηση.
Απάντηση: $ x \u003d -11 $.

Παράδειγμα 7.
Λύστε την εξίσωση: $ 23x-60-x ^ 2 \u003d 0 $.
Στην απάντηση, υποδείξτε το συντελεστή της διαφοράς ρίζας.

Απόφαση.
Πολλαπλασιάστε την αρχική εξίσωση με $ -1 $: $ x ^ 2-23x + 60 \u003d 0 $.
Σε αυτήν τη μορφή, η εξίσωση φαίνεται πολύ πιο οικεία.
Ας χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Βίτα και ας παρουσιάσουμε την εξίσωση μας ως προϊόν δύο όρων:
$ (x-20) (x-3) \u003d 0 $.
Έχουμε δύο ρίζες $ x_1 \u003d $ 20 και $ x_2 \u003d $ 3.
Βρείτε το συντελεστή της διαφοράς: $ | x_1-x_2 | \u003d | 20-3 | \u003d | 17 | \u003d 17 $.
Απάντηση: 17.

Παράδειγμα 8.
Πόσες ρίζες έχει η εξίσωση $ x ^ 6-x ^ 2 \u003d 0;

Απόφαση.
Βρείτε τον μικρότερο βαθμό: $ x ^ 2 (x ^ 4-1) \u003d 0 $.
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τη διαφορά των τετραγώνων:
$ x ^ 2 (x ^ 2-1) (x ^ 2 + 1) \u003d 0 $.
Και πάλι θα χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο τύπο:
$ x ^ 2 (x-1) (x + 1) (x ^ 2 + 1) \u003d 0 $.
Αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο εξισώσεων: Έχουμε καταλάβει ότι αυτή η εξίσωση έχει τρεις ρίζες.
Απάντηση: 3.

Παράδειγμα 9.
Λύστε την εξίσωση: $ \\ frac ((x-2) (2x + 1)) (2-x) \u003d 0 $.
Εάν η εξίσωση έχει περισσότερες από μία ρίζες, γράψτε τη μεγαλύτερη από την απάντηση.

Απόφαση.
Η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με το ακόλουθο σύνολο: Ας λύσουμε κάθε εξίσωση: Δεδομένου ότι ο παρονομαστής του κλάσματος δεν μπορεί να είναι ίσος με μηδέν, δεν έχουμε καμία λύση. Λάβαμε μια ρίζα της εξίσωσης $ x \u003d -0,5 $.
Απάντηση: -0.5.

Αλέξανδρος Σαμπαλίν

Οι τετραγωνικές εξισώσεις μελετώνται στο βαθμό 8, οπότε δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ. Η ικανότητα επίλυσής τους είναι απολύτως απαραίτητη.

Μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής ax 2 + bx + c \u003d 0, όπου οι συντελεστές a, b και c είναι αυθαίρετοι αριθμοί και a ≠ 0.

Πριν μελετήσουμε συγκεκριμένες μεθόδους επίλυσης, παρατηρούμε ότι όλες οι τετραγωνικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν υπό όρους σε τρεις κατηγορίες:

Δεν έχετε ρίζες.
Έχετε ακριβώς μία ρίζα.
Έχουν δύο διαφορετικές ρίζες.

Αυτή είναι μια σημαντική διαφορά μεταξύ τετραγωνικών και γραμμικών εξισώσεων, όπου η ρίζα υπάρχει πάντα και είναι μοναδική. Πώς καθορίζετε πόσες ρίζες έχει μια εξίσωση; Υπάρχει ένα υπέροχο πράγμα για αυτό - μεροληπτική.

Διακριτικός

Αφήστε μια τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c \u003d 0. Στη συνέχεια, ο διακριτικός είναι μόνο ο αριθμός D \u003d b 2 - 4ac.

Πρέπει να γνωρίζετε αυτή τη φόρμουλα από καρδιάς. Από πού προέρχεται - δεν έχει σημασία τώρα. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό: με το σημάδι του διακριτικού, μπορείτε να προσδιορίσετε πόσες ρίζες έχει η εξίσωση του τετραγώνου. Και συγκεκριμένα:

Εάν Δ< 0, корней нет;
Εάν D \u003d 0, υπάρχει ακριβώς μία ρίζα.
Εάν D\u003e 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες.

Παρακαλώ σημειώστε: ο διακριτικός δηλώνει τον αριθμό των ριζών και όχι καθόλου τα σημάδια τους, όπως πολλοί πιστεύουν για κάποιο λόγο. Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα - και εσείς ο ίδιος θα καταλάβετε τα πάντα:

Εργο. Πόσες ρίζες έχουν οι τετραγωνικές εξισώσεις:

x 2 - 8x + 12 \u003d 0;

5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;

x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Ας γράψουμε τους συντελεστές για την πρώτη εξίσωση και βρείτε τον διακριτικό:
a \u003d 1, b \u003d −8, c \u003d 12;
D \u003d (−8) 2 - 4 1 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Έτσι, ο διακριτικός είναι θετικός, οπότε η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες. Αναλύουμε τη δεύτερη εξίσωση με παρόμοιο τρόπο:
a \u003d 5; b \u003d 3; c \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Ο διακριτικός είναι αρνητικός, δεν υπάρχουν ρίζες. Η τελευταία εξίσωση παραμένει:
a \u003d 1; b \u003d −6; c \u003d 9;
D \u003d (−6) 2 - 4 1 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Ο διακριτικός είναι μηδενικός - θα υπάρχει μια ρίζα.

Σημειώστε ότι οι συντελεστές έχουν γραφτεί για κάθε εξίσωση. Ναι, είναι μεγάλο, ναι, είναι βαρετό - αλλά δεν θα συνδυάσετε τους συντελεστές και δεν θα κάνετε ηλίθια λάθη. Επιλέξτε για τον εαυτό σας: ταχύτητα ή ποιότητα.

Παρεμπιπτόντως, εάν "γεμίσετε το χέρι σας", μετά από λίγο δεν θα χρειαστεί να γράψετε όλους τους συντελεστές. Θα εκτελέσετε τέτοιες λειτουργίες στο μυαλό σας. Οι περισσότεροι άνθρωποι αρχίζουν να το κάνουν κάπου μετά την επίλυση των εξισώσεων 50-70 - γενικά, όχι τόσο πολύ.

Τετραγωνικές ρίζες

Τώρα ας προχωρήσουμε στη λύση. Εάν ο διακριτικός D\u003e 0, οι ρίζες μπορούν να βρεθούν από τους τύπους:

Βασικός τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Όταν D \u003d 0, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε οποιονδήποτε από αυτούς τους τύπους - έχετε τον ίδιο αριθμό, που θα είναι η απάντηση. Τέλος, εάν D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Πρώτη εξίσωση:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d −2; c \u003d −3;
D \u003d (−2) 2 - 4 1 (−3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες. Ας τα βρούμε:

Δεύτερη εξίσωση:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d −1; b \u003d −2; γ \u003d 15;
D \u003d (−2) 2 - 4 (−1) 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ η εξίσωση έχει δύο ρίζες ξανά. Ας τα βρούμε

\\ [\\ begin (align) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ αριστερά (-1 \\ δεξιά)) \u003d 3. \\\\ \\ end (στοίχιση) \\]

Τέλος, η τρίτη εξίσωση:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; c \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ η εξίσωση έχει μία ρίζα. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί οποιοσδήποτε τύπος. Για παράδειγμα, το πρώτο:

Όπως μπορείτε να δείτε από τα παραδείγματα, όλα είναι πολύ απλά. Εάν γνωρίζετε τους τύπους και μπορείτε να μετρήσετε, δεν θα υπάρξουν προβλήματα. Τις περισσότερες φορές, παρουσιάζονται σφάλματα κατά την αντικατάσταση αρνητικών συντελεστών στον τύπο. Εδώ, πάλι, η τεχνική που περιγράφεται παραπάνω θα βοηθήσει: κοιτάξτε τον τύπο κυριολεκτικά, περιγράψτε κάθε βήμα - και πολύ σύντομα θα απαλλαγείτε από λάθη.

Μη ολοκληρωμένες τετραγωνικές εξισώσεις

Συμβαίνει ότι η τετραγωνική εξίσωση είναι κάπως διαφορετική από αυτή που δίνεται στον ορισμό. Για παράδειγμα:

x 2 + 9x \u003d 0;
x 2 - 16 \u003d 0.

Είναι εύκολο να δούμε ότι ένας από τους όρους λείπει σε αυτές τις εξισώσεις. Τέτοιες τετραγωνικές εξισώσεις είναι ακόμη πιο εύκολο να επιλυθούν από τις τυπικές: δεν χρειάζεται καν να υπολογίσουν τον διακριτικό. Ας παρουσιάσουμε λοιπόν μια νέα ιδέα:

Η εξίσωση ax 2 + bx + c \u003d 0 καλείται μη ολοκληρωμένη τετραγωνική εξίσωση εάν b \u003d 0 ή c \u003d 0, δηλ. ο συντελεστής στη μεταβλητή x ή το ελεύθερο στοιχείο είναι ίσος με μηδέν.

Φυσικά, μια πολύ δύσκολη περίπτωση είναι δυνατή, όταν και οι δύο αυτοί συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν: b \u003d c \u003d 0. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση έχει τη μορφή ax 2 \u003d 0. Προφανώς, μια τέτοια εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα: x \u003d 0.

Ας εξετάσουμε τις υπόλοιπες περιπτώσεις. Ας β \u003d 0, τότε έχουμε μια ατελή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0. Ας το μετατρέψουμε λίγο:

Δεδομένου ότι η αριθμητική τετραγωνική ρίζα υπάρχει μόνο από έναν μη αρνητικό αριθμό, η τελευταία ισότητα έχει νόημα μόνο για (−c / a) ≥ 0. Συμπέρασμα:

Εάν η ανισότητα (−c / a) ≥ 0 διατηρεί μια ελλιπή τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 + c \u003d 0, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Ο τύπος δίνεται παραπάνω.
Εάν (−c / a)< 0, корней нет.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο διακριτικός δεν απαιτείται - σε ελλιπείς τετραγωνικές εξισώσεις δεν υπάρχουν καθόλου περίπλοκοι υπολογισμοί. Στην πραγματικότητα, δεν είναι καν απαραίτητο να θυμόμαστε την ανισότητα (−c / a) ≥ 0. Αρκεί να εκφράσουμε την τιμή x 2 και να δούμε τι βρίσκεται στην άλλη πλευρά του ίσου σημείου. Εάν υπάρχει θετικός αριθμός, θα υπάρχουν δύο ρίζες. Εάν είναι αρνητικό, δεν θα υπάρχουν καθόλου ρίζες.

Τώρα ας εξετάσουμε τις εξισώσεις της μορφής ax 2 + bx \u003d 0, στις οποίες το ελεύθερο στοιχείο είναι μηδέν. Όλα είναι απλά εδώ: θα υπάρχουν πάντα δύο ρίζες. Αρκεί να ξεχωρίσουμε το πολυώνυμο:

Bracketing έναν κοινό παράγοντα

Το προϊόν ισούται με μηδέν όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν. Από εδώ είναι οι ρίζες. Εν κατακλείδι, θα αναλύσουμε αρκετές τέτοιες εξισώσεις:

Εργο. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων:

x 2 - 7x \u003d 0;

5x 2 + 30 \u003d 0;

4x 2-9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d −30 ⇒ x 2 \u003d −6. Δεν υπάρχουν ρίζες, γιατί ένα τετράγωνο δεν μπορεί να ισούται με αρνητικό αριθμό.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1.5; x 2 \u003d −1.5.

Δάσκαλος : Yurgenson Veronika Alexandrovna

Τάξη: 9

Θέμα: Αλγεβρα

Θέμα μαθήματος: Προετοιμασία μαθήματος για το OGE στην τάξη 9 "Τετραγωνικές εξισώσεις".

Στάδιο εκπαίδευσης σε αυτό το θέμα : προετοιμασία για τις εξετάσεις.

Τύπος μαθήματος: Μάθημα γενίκευση και συστηματοποίηση της γνώσης

Στόχος:

Δραστηριότητα: Σχηματισμός δεξιοτήτων μαθητών για την εφαρμογή ρυθμιστικών μεθόδων δράσης.

Περιεχόμενο: - ανάπτυξη μεθόδων για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων ·

Ανάπτυξη της ικανότητας επιλογής του πιο ορθολογικού τρόπου επίλυσης.

Ανάπτυξη: να διαμορφώσουν τις βασικές ικανότητες των μαθητών: ενημερωτική (ικανότητα ανάλυσης πληροφοριών, σύγκριση, εξαγωγή συμπερασμάτων), προβληματική (ικανότητα δημιουργίας προβλημάτων και χρήση της υπάρχουσας γνώσης για να βρει διέξοδο από την κατάσταση). επικοινωνιακή (η ικανότητα να δουλεύεις σε ομάδες, η ικανότητα να ακούς και να ακούς άλλους, να δεχτείς τις απόψεις των άλλων)

Καθήκοντα για τον καθηγητή:

Να συμβάλει στην ενημέρωση των γνώσεων των μαθητών σχετικά με την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων ·

Οργανώστε εκπαιδευτικές δραστηριότητες για να εξασκήσετε τρόπους επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων.

Δημιουργία προϋποθέσεων για τη δημιουργία δεξιοτήτων για την ανάπτυξη της ικανότητας επιλογής του πιο ορθολογικού τρόπου επίλυσης.

Για τη δημιουργία συνθηκών για τον σχηματισμό ρυθμιστικής ΕΠΕ: καθορισμός στόχων, αυτοαξιολόγηση και αυτοέλεγχος, σχεδιασμός.

Τεχνολογία: Πολυεπίπεδη μάθηση

ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ: Μια οπτική, λεκτική, αμοιβαία μέθοδος επαλήθευσης, μια μέθοδος από κοινού εύρεσης βέλτιστης λύσης, προσωρινής εργασίας σε ομάδες, δημιουργώντας μια προβληματική κατάσταση, αναπαραγωγική (διδασκαλία, απεικόνιση, εξήγηση, πρακτική εκπαίδευση). Μέθοδοι αυτοελέγχου.

Χρησιμοποιημένες μορφές οργάνωσης της γνωστικής δραστηριότητας των μαθητών:

Συλλογική μορφή εργασίας (μετωπική έρευνα, προφορική εργασία), ομάδα, ατομική εργασία (ανεξάρτητη εργασία). Εργασία σε ζευγάρια (ανάκριση).

Εξοπλισμός και κύριες πηγές πληροφοριών:

Υπολογιστής, προβολέας, οθόνη, παρουσίαση για το μάθημα, με θέμα "Μέθοδοι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων."

Φύλλο απόδοσης για παρακολούθηση και αυτοπαρακολούθηση.

Κάρτες εργασίας για πολυεπίπεδη ανεξάρτητη εργασία

Τεχνολογικός χάρτης μαθήματος:

Δραστηριότητες

μαθητής

Οργανωτικός

Χαιρετισμός μαθητών

Χαιρετισμός δασκάλου

Καθορισμός του στόχου και των στόχων του μαθήματος. Κίνητρα των εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων των μαθητών

Κατά την τελική πιστοποίηση, οι εργασίες συναντώνται συχνά όπου είναι απαραίτητο να είναι σε θέση να λύσουν τετραγωνικές εξισώσεις.

Μήνυμα στόχου μαθήματος :

Σήμερα στο μάθημα θα επαναλάβουμε, θα γενικεύσουμε, θα φέρουμε στο σύστημα τους μελετημένους τύπους, μεθόδους και τεχνικές για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Σύμφωνα με τα αποτελέσματα της εργασίας τους, δηλαδή, σύμφωνα με τον αριθμό των πόντων που θα σημειωθούν, όλοι θα λάβουν βαθμολογία.

Σύνθημα μαθήματος: "Σκεφτόμαστε, σκεφτόμαστε, δουλεύουμε και βοηθάμε ο ένας τον άλλον"

(Διαφάνεια 2 ).

Ακου τον δάσκαλο.

Ενημέρωση γνώσης.

Παιδιά, αρχίζουμε συνήθως το μάθημα ελέγχοντας την εργασία.

Ποιος μπορεί να πει ότι ήταν απαραίτητο να επαναληφθούν οι τετραγωνικές εξισώσεις;

Τι είναι οι τετραγωνικές εξισώσεις;

Τι είναι?

Ποιες μέθοδοι επίλυσης τετραγωνικών εξισώσεων γνωρίζετε;

Οι εκπαιδευτικοί απαντούν σε ερωτήσεις και διεξάγουν αυτοαξιολόγηση των γνώσεών τους.

Γενίκευση και συστηματοποίηση της γνώσης

1. Ρόλος αμοιβαίου ελέγχου.

Εδώ είναι οι εξισώσεις (διαφάνεια 3)

Χ 2 + 7 Χ – 18 = 0;

2 Χ 2 + 1 = 0;

Χ 2 –2 Χ + 9 = 0;

2 γ 2 – 3ε + 1 = 0;

2 γ 2 = 1;

–2 Χ 2 – Χ + 1 = 0;

Χ 2 + 6 Χ = 0;

4χ 2 =0;

– Χ 2 – 6 x \u003d 1

2 x + x 2 – 1=0

Έχετε μια κάρτα στο τραπέζι σας με ερωτήσεις που πρέπει να απαντήσετε (Παράρτημα 1).

(διαφάνεια 4 ) Έλεγχος των αποτελεσμάτων, ανταλλαγή καρτών με έναν γείτονα.

Απαντήστε σε ερωτήσεις

2. Μετωπική εργασία με την τάξη.

Επί(διαφάνεια 5) γράφονται τύποι με στοιχεία που λείπουν. Το καθήκον της τάξης είναι να ανακαλύψει τι είναι αυτός ο τύπος και τι λείπει στην καταγραφή αυτού του τύπου.

ρε = σι ² – * ένα * .

ρε > 0 , σημαίνει * root.

ρε * 0 , σημαίνει 1 ρίζα.

ρε * 0 που σημαίνει * ρίζες.

Απάντηση σε ερωτήσεις

σωστή γνώση.

Λύστε τις εξισώσεις από την κάρτα. Ένα από τα μέλη της ομάδας θα δείξει τη λύση στον πίνακα.

Συγκρίνετε τις απαντήσεις σας με τις σωστές, για κάθε σωστή απάντηση - 1 πόντο

Λύστε εξισώσεις

Εξηγήστε τη λύση.

Μετωπική εργασία με την τάξη

Πες μου, θα μπορούσατε αμέσως, χωρίς να κάνετε υπολογισμούς, να απαντήσετε στην ερώτησή μου: "Ποιο είναι το άθροισμα και το προϊόν των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης;" (Ένα άτομο στον πίνακα γράφει τους τύπους του θεωρήματος του Vieta).

(διαφάνεια6)

Η επόμενη εργασία: βρείτε προφορικά το άθροισμα και τη διαφορά των ριζών της εξίσωσης από το θεώρημα:

(Απαντήσεις: 5 και 6, 9 και 20, -3 και 2) Γνωριμία με την προφορική λύση ορισμένων τετραγωνικών εξισώσεων.

Το θεώρημα του Vieta βρίσκει ευρεία εφαρμογή σε εξισώσεις της φόρμαςέναΧ 2 + σιx + c \u003d 0.

Η χρήση ορισμένων ιδιοτήτων προσφέρει σημαντικά πλεονεκτήματα για γρήγορες απαντήσεις κατά την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων.

Εξετάστε αυτές τις ιδιότητες(διαφάνεια 7)

1) ένα + σι + c \u003d 0 x 1 \u003d 1, x 2 \u003d s / α.

5χ 2 + 4x - 9 \u003d 0; Χ 1 \u003d 1, x 2 = - 9/2.

2) α -σι + c \u003d 0 x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - s / a.

Για παράδειγμα: 4x 2 + 11x + 7 \u003d 0; Χ 1 \u003d - 1, x 2 = - 7/4.

(διαφάνεια8)

3) α γ + γ 0

Λύστε την εξίσωση προφορικά: x 2 + σιx + ac \u003d 0

Χωρίστε τις ρίζες του σε α.

α) 2x 2 - 11x + 5 \u003d 0.

Λύουμε την εξίσωση προφορικά: x 2 - 11x + 10 \u003d 0. Οι ρίζες του είναι 1 και 10. Διαιρέστε με 2.

Τότε x 1 \u003d, x 2 = 5.

Απάντηση:; πέντε.

(διαφάνεια 9)

γ) 6χ 2 –7x - 3 \u003d 0

Λύουμε την εξίσωση προφορικά: x 2 –7x - 18 \u003d 0. Οι ρίζες του είναι -2 και 9. Διαιρέστε με 6.

Τότε x 1 \u003d -, x 2 = .

Απάντηση: -; ...

Απαντήσεις σε ερωτήσεις. Πλήρωση κενών γνώσεων

Εργασία σε πολυεπίπεδες ομάδες

Υποδοχή "Συμμόρφωση"

Υποδοχή "Πιάσε το λάθος"

Λύστε εξισώσεις χρησιμοποιώντας αυτές τις ιδιότητες(διαφάνεια 10)

ΕγώΟμάδα.

1) βρείτε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης

2χ 2 - 3x + 1 \u003d 0

2) Βρείτε το προϊόν των ριζών της εξίσωσης

Χ 2 + 9x +20 \u003d 0

3) λύστε την εξίσωση

10χ 2 - 8x - 2 \u003d 0

ΙΙΟμάδα.

1) βρείτε το άθροισμα και το προϊόν των ριζών της εξίσωσης

3x 2 - 8x + 5 \u003d 0

Λύστε τις εξισώσεις

2) x 2 + 2x -24 \u003d 0

3) 2 x 2 -7x +5 \u003d 0

III Ομάδα

Λύστε το ουράνιο:

1) x 2 + 5x-6 \u003d 0

2) 5x 2 -7x + 2 \u003d 0

3) 100x 2 -99x-199 \u003d 0

Λύστε εξισώσεις

Ελέγξτε τη λύση.

Διόρθωση της γνώσης.

2. Συσχετίστε τετραγωνικές εξισώσεις και πώς να τις λύσετε:

(διαφάνεια 11)

2χ 2 - 3x + 11 \u003d 0

7 x 2 \u003d 8χ

Χ 2 - 10x + 100 \u003d 0

Χ 2 –5x –6 \u003d 0

– 2χ 2 + x + 14 \u003d 0

- αποχρωματισμός

- γενικός τύπος ρίζας

- Το θεώρημα της Βιέτα

3. Βρείτε λάθη στην επίλυση εξισώσεων \u003d

Οι φίλοι που ολοκλήρωσαν τη δουλειά γρήγορα μπορούν να λύσουν μια επιπλέον εργασία(διαφάνεια 14), γραμμένο στον πίνακα.

Ένας γρήγορος έλεγχος πραγματοποιείται μετά την ολοκλήρωση.(διαφάνεια15)

Τώρα υπολογίστε τον συνολικό αριθμό πόντων και δώστε στον εαυτό σας έναν βαθμό.(διαφάνεια16)

30-24 πόντοι - σκορ 5;

23-18 πόντοι - σκορ 4;

12-17 πόντοι -. σκορ4

Και όμως, ο καθένας δίνει μια αξιολόγηση από τον δάσκαλο, για δραστηριότητα, θάρρος, επιμονή. Λοιπόν, αν κάποιος, σήμερα, δεν κατάφερε να κερδίσει πόντους για μια θετική αξιολόγηση, τότε η επιτυχία είναι ακόμα μπροστά σας και σίγουρα θα είναι μαζί σας την επόμενη φορά.

Λύστε εξισώσεις

διεξαγάγετε αυτοαξιολόγηση.

Αντανάκλαση.

Ποιος μπορεί να πει τι κάναμε σήμερα στην τάξη;

Σας άρεσε πώς το κάναμε;

Συνέχεια φράσεων:

Τώρα ξέρω σίγουρα ...

Κατάλαβα …

Εμαθα …

Η γνώμη μου …

Καθένα από αυτά έχει χρωματιστές κάρτες στο τραπέζι.

Εάν είστε ικανοποιημένοι και ικανοποιημένοι με το μάθημα, σηκώστε την πράσινη κάρτα.

Εάν το μάθημα είναι ενδιαφέρον και έχετε δουλέψει ενεργά, σηκώνετε μια κίτρινη κάρτα.

διεξαγάγετε αυτοαξιολόγηση.

Εργασία για το σπίτι

(διαφάνεια 17) Λύστε τις εξισώσεις από το βιβλίο προβλημάτων

Κατάσταση τελικής πιστοποίησης

Απόφοιτοι 9ης τάξης.

Α.Β. Semenov, A.S. Trepalin, I.V. Yashchenko

ανά επίπεδο

Επιλέξτε εργασίες ανάλογα με το επίπεδό τους

! Από τη θεωρία στην πράξη

! Από απλό σε πολύπλοκο

MAOU "Γυμνάσιο Platoshinskaya",

καθηγητής μαθηματικών, Melekhina G.V.

Γενική άποψη της γραμμικής εξίσωσης: τσεκούρι + σι = 0 ,

Οπου ένα και σι - αριθμοί (συντελεστές).

αν α \u003d 0 και b \u003d 0 έπειτα 0x + 0 = 0 - απείρως πολλές ρίζες.
αν α \u003d 0 και β ≠ 0 έπειτα 0x + b \u003d 0 - χωρίς λύσεις.
αν a ≠ 0 και σι = 0 έπειτα τσεκούρι + 0 = 0 - μία ρίζα, x \u003d 0;
αν a ≠ 0 και σι ≠ 0 έπειτα τσεκούρι + σι = 0 - μία ρίζα,

! Εάν το X είναι στον πρώτο βαθμό και δεν περιλαμβάνεται στον παρονομαστή, τότε αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση

! Και αν η γραμμική εξίσωση - περίπλοκος :

! Όροι με X προς τα αριστερά, χωρίς X προς τα δεξιά.

! Αυτές οι εξισώσεις είναι - επίσης γραμμικό .

! Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας (σταυρωτά).

! Αναπτύξτε τις αγκύλες, με X προς τα αριστερά, χωρίς X προς τα δεξιά.

εάν ο συντελεστής α \u003d 1 , τότε καλείται η εξίσωση δεδομένος :

εάν ο συντελεστής σι = 0 ή (και) c \u003d 0 , τότε καλείται η εξίσωση ατελής :

! Βασικοί τύποι

! Περισσότερες φόρμουλες

Διφασική εξίσωση - ονομάζεται εξίσωση της φόρμας τσεκούρι 4 + bx 2 + γ \u003d 0 .

Η δικαταστατική εξίσωση μειώνεται σε τετραγωνική εξίσωση με αντικατάσταση, τότε

Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση:

Ας βρούμε τις ρίζες και επιστρέψουμε στην αντικατάσταση:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση x 4 + 5χ 2 – 36 = 0.

Απόφαση:

Αντικατάσταση: x 2 \u003d t.

t 2 + 5t - 36 \u003d 0. Οι ρίζες της εξίσωσης είναι t 1 \u003d -9 και t 2 \u003d 4.

x 2 \u003d -9 ή x 2 \u003d 4.

Απάντηση: Στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχουν ρίζες, από τη δεύτερη: x \u003d ± 2.

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση (2x - 1) 4 - 25 (2x - 1) 2 + 144 = 0.

Απόφαση:

Αντικατάσταση: (2x - 1) 2 \u003d t.

t 2 - 25t + 144 \u003d 0. Οι ρίζες της εξίσωσης t 1 \u003d 9 και t 2 \u003d 16.

(2x - 1) 2 \u003d 9 ή (2x - 1) 2 \u003d 16.

2x - 1 \u003d ± 3 ή 2x - 1 \u003d ± 4.

Υπάρχουν δύο ρίζες από την πρώτη εξίσωση: x \u003d 2 και x \u003d -1, από τη δεύτερη υπάρχουν επίσης δύο ρίζες: x \u003d 2.5 και x \u003d -1.5.

Απάντηση: -1.5; -1; 2; 2.5.

1) Χ 4 - 9 Χ 2 = 0; 2) 4 Χ 4 - x 2 \u003d 0;

1) Χ 4 + x 2 - 2 = 0;

2) Χ 4 - 3 Χ 2 - 4 = 0; 3) 9 Χ 4 + 8 Χ 2 - 1 = 0; 4) 20 Χ 4 - Χ 2 - 1 = 0.

Λύστε εξισώσεις επιλέγοντας από την αριστερή πλευρά πλήρης πλατεία :

1) Χ 4 - 20 Χ 2 + 64 = 0; 2) Χ 4 - 13 Χ 2 + 36 = 0; 3) Χ 4 - 4 Χ 2 + 1 = 0; 4) Χ 4 + 2 Χ 2 +1 = 0.

! Θυμηθείτε το τετράγωνο του αθροίσματος και το τετράγωνο της διαφοράς

Ορθολογική έκφραση είναι μια αλγεβρική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς και μια μεταβλητή Χ χρησιμοποιώντας λειτουργίες προσθήκης, αφαίρεσης, πολλαπλασιασμού, διαίρεσης και εκτόνωσης με ένα φυσικό εκθέτη.

Αν ένα r (x) είναι μια λογική έκφραση, τότε η εξίσωση r (x) \u003d 0 ονομάζεται λογική εξίσωση.

Αλγόριθμος για την επίλυση μιας λογικής εξίσωσης:

1. Μετακινήστε όλους τους όρους της εξίσωσης σε ένα μέρος.

2. Μετατροπή αυτού του μέρους της εξίσωσης σε αλγεβρικό κλάσμα p (x) / q (x)

3. Λύστε την εξίσωση p (x) \u003d 0

4. Για κάθε ρίζα της εξίσωσης p (x) \u003d 0 ελέγξτε εάν πληροί την προϋπόθεση q (x) ≠ 0 ή όχι. Εάν ναι, τότε αυτή είναι η ρίζα της δεδομένης εξίσωσης. αν όχι, τότε αυτή είναι μια ξένη ρίζα και δεν πρέπει να συμπεριληφθεί στην απόκριση.

! Θυμηθείτε τη λύση στην κλασματική ορθολογική εξίσωση:

! Για την επίλυση εξισώσεων, είναι χρήσιμο να θυμάστε τους συντομευμένους τύπους πολλαπλασιασμού:

Εάν στην εξίσωση η μεταβλητή περιέχεται κάτω από το σύμβολο τετραγωνικής ρίζας, τότε καλείται η εξίσωση παράλογος .

Τετράγωνο και των δύο πλευρών της εξίσωσης - η κύρια μέθοδος επίλυσης παράλογων εξισώσεων.

Έχοντας λύσει την προκύπτουσα λογική εξίσωση, είναι επιτακτική έλεγχος , κοσκινίζοντας πιθανές ξένες ρίζες.

Απάντηση: 5; 4

Ενα άλλο παράδειγμα:

Επαλήθευση:

Η έκφραση δεν έχει νόημα.

Απάντηση: χωρίς λύσεις.

Στον όρο "τετραγωνική εξίσωση" η λέξη κλειδί είναι "τετραγωνική". Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση πρέπει να έχει μια μεταβλητή (το ίδιο x) τετράγωνο και δεν πρέπει να υπάρχει x στον τρίτο (ή μεγαλύτερο) βαθμό.

Η λύση πολλών εξισώσεων μειώνεται στη λύση τετραγωνικών εξισώσεων.

Ας μάθουμε να καθορίζουμε ότι έχουμε μια τετραγωνική εξίσωση και όχι κάποια άλλη.

Παράδειγμα 1.

Ας απαλλαγούμε από τον παρονομαστή και πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο στην εξίσωση με

Μετακινήστε τα πάντα στην αριστερή πλευρά και τακτοποιήστε τους όρους με φθίνουσα σειρά των βαθμών x

Τώρα μπορούμε να πούμε με ασφάλεια ότι αυτή η εξίσωση είναι τετραγωνική!

Παράδειγμα 2.

Ας πολλαπλασιάσουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά με:

Αυτή η εξίσωση, αν και ήταν αρχικά σε αυτήν, δεν είναι τετράγωνη!

Παράδειγμα 3.

Ας πολλαπλασιάσουμε τα πάντα με:

Τρομακτικός? Τέταρτος και δεύτερος βαθμός ... Ωστόσο, εάν κάνουμε μια υποκατάσταση, θα δούμε ότι έχουμε μια απλή τετραγωνική εξίσωση:

Παράδειγμα 4.

Φαίνεται να είναι εκεί, αλλά ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά. Μετακινήστε τα πάντα στην αριστερή πλευρά:

Βλέπετε, συρρικνώθηκε - και τώρα είναι μια απλή γραμμική εξίσωση!

Τώρα προσπαθήστε να προσδιορίσετε μόνοι σας ποιες από τις ακόλουθες εξισώσεις είναι τετραγωνικές και ποιες δεν είναι:

Παραδείγματα:

Απαντήσεις:

τετράγωνο;
τετράγωνο;
όχι τετράγωνο
όχι τετράγωνο
όχι τετράγωνο
τετράγωνο;
όχι τετράγωνο
τετράγωνο.

Οι μαθηματικοί διαιρούν συμβατικά όλες τις τετραγωνικές εξισώσεις στην ακόλουθη μορφή:

Πλήρης τετραγωνικές εξισώσεις - εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές και, καθώς και ο ελεύθερος όρος με δεν είναι μηδέν (όπως στο παράδειγμα). Επιπλέον, μεταξύ των πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων, υπάρχουν δεδομένος είναι εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής (η εξίσωση από το παράδειγμα δεν είναι μόνο πλήρης, αλλά και μειωμένη!)

Ατελείς τετραγωνικές εξισώσεις - εξισώσεις στις οποίες ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι μηδέν:
Είναι ελλιπείς επειδή δεν διαθέτουν κάποιο στοιχείο. Αλλά στην εξίσωση πρέπει πάντα να υπάρχει ένα τετράγωνο x !!! Διαφορετικά, δεν θα είναι πλέον τετράγωνο, αλλά κάποια άλλη εξίσωση.

Γιατί καταλήξατε σε μια τέτοια διαίρεση; Φαίνεται ότι υπάρχει ένα x τετράγωνο, και εντάξει. Αυτή η διαίρεση οφείλεται στις μεθόδους λύσης. Ας εξετάσουμε καθένα από αυτά με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επίλυση ελλιπών τετραγωνικών εξισώσεων

Αρχικά, ας επικεντρωθούμε στην επίλυση ελλιπών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι πολύ πιο εύκολο!

Οι ελλιπείς τετραγωνικές εξισώσεις είναι των ακόλουθων τύπων:

, σε αυτήν την εξίσωση ο συντελεστής είναι.
, σε αυτήν την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι.
, σε αυτήν την εξίσωση ο συντελεστής και η τομή είναι ίσοι.

1. και Εφόσον ξέρουμε πώς να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα, ας εκφράσουμε από αυτήν την εξίσωση

Η έκφραση μπορεί να είναι είτε αρνητική είτε θετική. Ο αριθμός τετράγωνο δεν μπορεί να είναι αρνητικός, επειδή όταν πολλαπλασιάζετε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικός αριθμός, οπότε: εάν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

Και αν, τότε έχουμε δύο ρίζες. Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονευθούν. Το κύριο πράγμα είναι ότι πρέπει να γνωρίζετε και να θυμάστε πάντα ότι δεν μπορεί να υπάρχουν λιγότερα.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 5:

Λύστε την εξίσωση

Τώρα απομένει να εξαχθεί η ρίζα από την αριστερή και τη δεξιά πλευρά. Θυμάστε πώς να εξαγάγετε τις ρίζες;

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις αρνητικές ρίζες !!!

Παράδειγμα 6:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 7:

Λύστε την εξίσωση

Ω! Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες!

Για τέτοιες εξισώσεις που δεν έχουν ρίζες, οι μαθηματικοί έχουν βρει ένα ειδικό εικονίδιο - (κενό σύνολο). Και η απάντηση μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες. Δεν υπάρχουν περιορισμοί εδώ, καθώς δεν εξαγάγαμε τη ρίζα.
Παράδειγμα 8:

Λύστε την εξίσωση

Ας πάρουμε τον κοινό παράγοντα από τις παρενθέσεις:

Με αυτόν τον τρόπο,

Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Απάντηση:

Ο απλούστερος τύπος ατελών τετραγωνικών εξισώσεων (αν και είναι όλες απλές, έτσι δεν είναι;). Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μία μόνο ρίζα:

Θα κάνουμε χωρίς παραδείγματα εδώ.

Επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων

Σας υπενθυμίζουμε ότι μια πλήρης τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της εξίσωσης φόρμας όπου

Η λύση για την ολοκλήρωση των τετραγωνικών εξισώσεων είναι λίγο πιο δύσκολη (λίγο) από αυτές που δίνονται.

Θυμάμαι, οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το διακριτικό! Ακόμα και ελλιπής.

Οι υπόλοιπες μέθοδοι θα σας βοηθήσουν να το κάνετε αυτό γρηγορότερα, αλλά εάν έχετε προβλήματα με τετραγωνικές εξισώσεις, μάθετε πρώτα τη λύση χρησιμοποιώντας το διακριτικό.

1. Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το διακριτικό.

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι πολύ απλή, το κύριο πράγμα είναι να θυμόμαστε την ακολουθία ενεργειών και μερικούς τύπους.

Εάν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα Πρέπει να δώσετε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα. Ο διακριτικός () μας δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

Εάν, τότε ο τύπος στο βήμα θα μειωθεί σε. Έτσι, η εξίσωση θα έχει ολόκληρη τη ρίζα.
Εάν, τότε δεν θα μπορέσουμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από το διακριτικό στο βήμα. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Ας επιστρέψουμε στις εξισώσεις μας και ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 9:

Λύστε την εξίσωση

Βήμα 1 παραλείπω.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τον διακριτικό:

Έτσι η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Βήμα 3.

Απάντηση:

Παράδειγμα 10:

Λύστε την εξίσωση

Επομένως, η εξίσωση παρουσιάζεται στην τυπική μορφή Βήμα 1 παραλείπω.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τον διακριτικό:

Έτσι η εξίσωση έχει μια ρίζα.

Απάντηση:

Παράδειγμα 11:

Λύστε την εξίσωση

Επομένως, η εξίσωση παρουσιάζεται στην τυπική μορφή Βήμα 1 παραλείπω.

Βήμα 2.

Βρίσκουμε τον διακριτικό:

Επομένως, δεν μπορούμε να εξαγάγουμε τη ρίζα από τον διακριτικό. Δεν υπάρχουν ρίζες της εξίσωσης.

Τώρα ξέρουμε πώς να γράψουμε σωστά αυτές τις απαντήσεις.

Απάντηση:Χωρίς ρίζες

2. Λύση τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.

Εάν θυμάστε, υπάρχει ένας τύπος εξισώσεων που ονομάζεται μειωμένος (όταν ο συντελεστής α είναι ίσος):

Τέτοιες εξισώσεις είναι πολύ εύκολο να επιλυθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta:

Σύνολο ριζών δεδομένος η τετραγωνική εξίσωση είναι, και το προϊόν των ριζών είναι.

Παράδειγμα 12:

Λύστε την εξίσωση

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για επίλυση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, δεδομένου ότι ...

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο, δηλαδή παίρνουμε την πρώτη εξίσωση:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας συνθέσουμε και λύσουμε το σύστημα:

και. Το ποσό είναι ίσο.
και. Το ποσό είναι ίσο.
και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Απάντηση: ; .

Παράδειγμα 13:

Λύστε την εξίσωση

Απάντηση:

Παράδειγμα 14:

Λύστε την εξίσωση

Η εξίσωση μειώνεται, πράγμα που σημαίνει:

Απάντηση:

ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ. ΜΕΣΑΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Τι είναι μια τετραγωνική εξίσωση;

Με άλλα λόγια, μια τετραγωνική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι μερικοί αριθμοί, και.

Ο αριθμός καλείται ανώτερος ή πρώτες αποδόσεις τετραγωνική εξίσωση, - δεύτερες αποδόσεις, και - δωρεάν μέλος.

Γιατί; Επειδή εάν, η εξίσωση γίνεται αμέσως γραμμική, επειδή θα εξαφανιστεί.

Επιπλέον, και μπορεί να είναι ίσο με μηδέν. Σε αυτήν την καρέκλα, η εξίσωση ονομάζεται ημιτελής. Εάν ισχύουν όλοι οι όροι, δηλαδή η εξίσωση έχει ολοκληρωθεί.

Λύσεις σε διάφορους τύπους τετραγωνικών εξισώσεων

Μέθοδοι επίλυσης ελλιπών τετραγωνικών εξισώσεων:

Καταρχάς, ας αναλύσουμε τις μεθόδους επίλυσης ελλιπών τετραγωνικών εξισώσεων - είναι απλούστερες.

Μπορούν να διακριθούν οι ακόλουθοι τύποι εξισώσεων:

I., σε αυτήν την εξίσωση ο συντελεστής και η τομή είναι ίσοι.

ΙΙ. , σε αυτήν την εξίσωση ο συντελεστής είναι.

III. , σε αυτήν την εξίσωση ο ελεύθερος όρος είναι.

Τώρα ας δούμε μια λύση σε καθέναν από αυτούς τους υπότυπους.

Προφανώς, αυτή η εξίσωση έχει πάντα μία μόνο ρίζα:

Ένας τετραγωνικός αριθμός δεν μπορεί να είναι αρνητικός, επειδή όταν πολλαπλασιάζετε δύο αρνητικούς ή δύο θετικούς αριθμούς, το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικός αριθμός. Επομένως:

εάν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις.

αν, έχουμε δύο ρίζες

Αυτοί οι τύποι δεν χρειάζεται να απομνημονευθούν. Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι δεν μπορεί να είναι λιγότερο.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Μην ξεχνάτε ποτέ τις αρνητικές ρίζες!

Το τετράγωνο ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι η εξίσωση

χωρίς ρίζες.

Για να καταγράψουμε εν συντομία ότι το πρόβλημα δεν έχει λύσεις, χρησιμοποιούμε το κενό εικονίδιο.

Απάντηση:

Έτσι, αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Απάντηση:

Τραβήξτε τον κοινό παράγοντα από τις παρενθέσεις:

Το προϊόν είναι ίσο με μηδέν εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση έχει μια λύση όταν:

Έτσι, αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ρίζες: και.

Παράδειγμα:

Λύστε την εξίσωση.

Απόφαση:

Συνυπολογίστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης και βρείτε τις ρίζες:

Απάντηση:

Μέθοδοι επίλυσης πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων:

1. Διακριτικός

Η επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο είναι εύκολη, το κύριο πράγμα είναι να θυμόμαστε την ακολουθία των ενεργειών και μερικούς τύπους. Θυμηθείτε, οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας το διακριτικό! Ακόμα και ελλιπής.

Έχετε παρατηρήσει τη ρίζα του διακριτικού στον ριζικό τύπο; Αλλά ο διακριτικός μπορεί να είναι αρνητικός. Τι να κάνω? Πρέπει να δώσετε ιδιαίτερη προσοχή στο βήμα 2. Ο διακριτικός μας δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης.

Εάν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα:
Εάν, τότε η εξίσωση έχει την ίδια ρίζα, αλλά στην πραγματικότητα, μία ρίζα:
Αυτές οι ρίζες ονομάζονται διπλές ρίζες.
Εάν, τότε δεν εξάγεται η ρίζα του διακριτικού. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Γιατί υπάρχει διαφορετικός αριθμός ριζών; Ας στραφούμε στη γεωμετρική έννοια της τετραγωνικής εξίσωσης. Το γράφημα συνάρτησης είναι μια παραβολή:

Στην ειδική περίπτωση, που είναι μια τετραγωνική εξίσωση ,. Και αυτό σημαίνει ότι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα σημεία τομής με τον άξονα της τετμημένης (άξονας). Το parabola μπορεί να μην τέμνει καθόλου τον άξονα, ή να το τέμνει σε ένα (όταν η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στον άξονα) ή δύο σημεία.

Επιπλέον, ο συντελεστής είναι υπεύθυνος για την κατεύθυνση των κλαδιών της παραβολής. Εάν, τότε τα κλαδιά της παραβολής κατευθύνονται προς τα πάνω και εάν - τότε προς τα κάτω.

Παραδείγματα:

Λύσεις:

Απάντηση:

Απάντηση:.

Απάντηση:

Δεν υπάρχουν λοιπόν λύσεις.

Απάντηση:.

2. Το θεώρημα του Vieta

Είναι πολύ εύκολο να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα του Vieta: απλώς πρέπει να επιλέξετε ένα ζευγάρι αριθμών, το προϊόν του οποίου είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο της εξίσωσης και το άθροισμα είναι ο δεύτερος συντελεστής, με το αντίθετο σύμβολο.

Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι το θεώρημα του Vieta μπορεί να εφαρμοστεί μόνο μειωμένες τετραγωνικές εξισώσεις ().

Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα # 1:

Λύστε την εξίσωση.

Απόφαση:

Αυτή η εξίσωση είναι κατάλληλη για επίλυση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, δεδομένου ότι ... Άλλοι συντελεστές :; ...

Το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι:

Και το προϊόν ισούται με:

Ας πάρουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το προϊόν των οποίων είναι ίσο και ελέγξτε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και. Το ποσό είναι ίσο.
και. Το ποσό είναι ίσο.
και. Το ποσό είναι ίσο.

και είναι η λύση του συστήματος:

Έτσι, και είναι οι ρίζες της εξίσωσης μας.

Απάντηση:; ...

Παράδειγμα # 2:

Απόφαση:

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο προϊόν και, στη συνέχεια, ελέγξτε αν το άθροισμά τους είναι ίσο:

και: δώστε το άθροισμα.

και: δώστε το άθροισμα. Για να το πάρετε, απλά πρέπει να αλλάξετε τα σημάδια των υποτιθέμενων ριζών: και, τελικά, το έργο.

Απάντηση:

Παράδειγμα # 3:

Απόφαση:

Ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης είναι αρνητικός, πράγμα που σημαίνει ότι το προϊόν των ριζών είναι αρνητικός αριθμός. Αυτό είναι δυνατό μόνο εάν η μία από τις ρίζες είναι αρνητική και η άλλη είναι θετική. Επομένως, το άθροισμα των ριζών είναι διαφορά των ενοτήτων τους.

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών που δίνουν στο προϊόν και η διαφορά των οποίων είναι ίση με:

και: η διαφορά τους είναι ίση - δεν ταιριάζει.

και: - δεν ταιριάζει.

και: ταιριάζει. Απομένει μόνο να θυμόμαστε ότι μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Εφόσον το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, τότε η ρίζα της μικρότερης σε απόλυτη τιμή πρέπει να είναι αρνητική :. Ελέγχουμε:

Απάντηση:

Παράδειγμα # 4:

Λύστε την εξίσωση.

Απόφαση:

Η εξίσωση μειώνεται, πράγμα που σημαίνει:

Ο ελεύθερος όρος είναι αρνητικός, και ως εκ τούτου το προϊόν των ριζών είναι αρνητικό. Και αυτό είναι δυνατό μόνο όταν η μία ρίζα της εξίσωσης είναι αρνητική και η άλλη είναι θετική.

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το προϊόν των οποίων είναι ίσο και, στη συνέχεια, προσδιορίστε ποιες ρίζες πρέπει να έχουν αρνητικό σημάδι:

Προφανώς, μόνο οι ρίζες και είναι κατάλληλες για την πρώτη κατάσταση:

Απάντηση:

Παράδειγμα # 5:

Λύστε την εξίσωση.

Απόφαση:

Η εξίσωση μειώνεται, πράγμα που σημαίνει:

Το άθροισμα των ριζών είναι αρνητικό, πράγμα που σημαίνει ότι τουλάχιστον μία από τις ρίζες είναι αρνητική. Επειδή όμως το προϊόν τους είναι θετικό, τότε και οι δύο ρίζες έχουν αρνητικό πρόσημο.

Ας επιλέξουμε τέτοια ζεύγη αριθμών, το προϊόν των οποίων είναι ίσο με:

Προφανώς, οι ρίζες είναι αριθμοί και.

Απάντηση:

Συμφωνώ, είναι πολύ βολικό να βρούμε ρίζες από το στόμα, αντί να μετράμε αυτόν τον άσχημο διακριτικό. Προσπαθήστε να χρησιμοποιείτε το θεώρημα του Vieta όσο πιο συχνά γίνεται.

Αλλά το θεώρημα του Vieta είναι απαραίτητο για να διευκολυνθεί και να επιταχυνθεί η εύρεση των ριζών. Για να το χρησιμοποιήσετε κερδοφόρα, πρέπει να φέρετε τις ενέργειες στον αυτοματισμό. Και για αυτό, αποφασίστε για πέντε ακόμη παραδείγματα. Αλλά μην εξαπατάτε: δεν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το διακριτικό! Το θεώρημα του Vieta μόνο:

Επίλυση εργασιών για ανεξάρτητη εργασία:

Εργασία 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Από το θεώρημα του Vieta:

Ως συνήθως, ξεκινάμε την επιλογή με ένα κομμάτι:

Δεν είναι κατάλληλο επειδή το ποσό?

: το ποσό είναι αυτό που χρειάζεστε.

Απάντηση:; ...

Εργασία 2.

Και πάλι, το αγαπημένο μας θεώρημα Vieta: το άθροισμα πρέπει να λειτουργεί, αλλά το προϊόν είναι ίσο.

Αλλά επειδή δεν θα έπρεπε, αλλά αλλάζουμε τα σημάδια των ριζών: και (συνολικά).

Απάντηση:; ...

Εργασία 3.

Χμμ ... Πού είναι αυτό;

Είναι απαραίτητο να μεταφέρετε όλους τους όρους σε ένα μέρος:

Το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με το προϊόν.

Σταμάτα λοιπόν! Η εξίσωση δεν δίνεται. Αλλά το θεώρημα του Vieta ισχύει μόνο στις παραπάνω εξισώσεις. Έτσι πρώτα πρέπει να φέρετε την εξίσωση. Εάν δεν μπορείτε να το φέρετε, εγκαταλείψτε αυτό το εγχείρημα και λύστε το με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διακριτικού). Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι το να φέρετε μια τετραγωνική εξίσωση σημαίνει να κάνετε τον αρχικό συντελεστή ίσο με:

Εξοχος. Στη συνέχεια, το άθροισμα των ριζών είναι ίσο, και το προϊόν.

Είναι εύκολο να παραλάβετε εδώ: είναι ένας πρώτος αριθμός (συγγνώμη για την ταυτολογία).

Απάντηση:; ...

Εργασία 4.

Ο δωρεάν όρος είναι αρνητικός. Τι είναι τόσο ξεχωριστό; Και το γεγονός ότι οι ρίζες θα είναι διαφορετικών σημείων. Και τώρα, κατά τη διάρκεια της επιλογής, δεν ελέγχουμε το άθροισμα των ριζών, αλλά τη διαφορά των ενοτήτων τους: αυτή η διαφορά είναι ίση, αλλά το προϊόν.

Έτσι, οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Το θεώρημα του Vieta μας λέει ότι το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή με το αντίθετο σημάδι, δηλαδή. Αυτό σημαίνει ότι η μικρότερη ρίζα θα έχει μείον: και, από τότε.

Απάντηση:; ...

Εργασία 5.

Ποιο είναι το πρώτο πράγμα που πρέπει να κάνετε; Αυτό είναι σωστό, δώστε την εξίσωση:

Και πάλι: επιλέγουμε τους παράγοντες του αριθμού και η διαφορά τους πρέπει να είναι:

Οι ρίζες είναι ίσες και, αλλά μία από αυτές είναι μείον. Ποιό απ'όλα? Το άθροισμά τους πρέπει να είναι ίσο, πράγμα που σημαίνει ότι με το μείον θα υπάρχει μεγαλύτερη ρίζα.

Απάντηση:; ...

Να συνοψίσουμε:

Το θεώρημα του Vieta χρησιμοποιείται μόνο στις δεδομένες τετραγωνικές εξισώσεις.
Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta, μπορείτε να βρείτε τις ρίζες κατά επιλογή, προφορικά.
Εάν η εξίσωση δεν δοθεί ή δεν υπάρχει κατάλληλο ζεύγος πολλαπλασιαστών ελεύθερου όρου, τότε δεν υπάρχουν ολόκληρες ρίζες και πρέπει να το λύσετε με άλλο τρόπο (για παράδειγμα, μέσω του διακριτικού).

3. Μέθοδος επιλογής ενός πλήρους τετραγώνου

Εάν όλοι οι όροι που περιέχουν το άγνωστο παρουσιάζονται με τη μορφή όρων από τους συντετμημένους τύπους πολλαπλασιασμού - το τετράγωνο του αθροίσματος ή τη διαφορά - τότε μετά την αλλαγή των μεταβλητών, η εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια ατελής τετραγωνική εξίσωση του τύπου.

Για παράδειγμα:

Παράδειγμα 1:

Λύστε την εξίσωση :.

Απόφαση:

Απάντηση:

Παράδειγμα 2:

Λύστε την εξίσωση :.

Απόφαση:

Απάντηση:

Γενικά, ο μετασχηματισμός θα έχει την εξής μορφή:

Αυτό υπονοεί: .

Δεν μοιάζει με τίποτα; Αυτό είναι διακριτικό! Σωστά, έχουμε τη διακριτική φόρμουλα.

ΤΕΧΝΙΚΑ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ. ΣΥΝΟΠΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΑ ΚΥΡΙΑ

Τετραγωνική εξίσωσηείναι μια εξίσωση της μορφής, όπου είναι το άγνωστο, είναι οι συντελεστές της τετραγωνικής εξίσωσης, είναι ο ελεύθερος όρος.

Πλήρης τετραγωνική εξίσωση - μια εξίσωση στην οποία οι συντελεστές δεν είναι ίσοι με το μηδέν.

Μειωμένη τετραγωνική εξίσωση - μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής, δηλαδή:

Ατελής τετραγωνική εξίσωση - μια εξίσωση στην οποία ο συντελεστής και ή ο ελεύθερος όρος c είναι μηδέν:

εάν ο συντελεστής, η εξίσωση έχει τη μορφή:
εάν ο ελεύθερος όρος, η εξίσωση έχει τη μορφή:
εάν και, η εξίσωση έχει τη μορφή :.

1. Αλγόριθμος για την επίλυση ελλιπών τετραγωνικών εξισώσεων

1.1. Ατελής τετραγωνική εξίσωση της φόρμας, όπου,:

1) Ας εκφράσουμε το άγνωστο:

2) Ελέγξτε το σύμβολο της έκφρασης:

αν, τότε η εξίσωση δεν έχει λύσεις,
αν, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

1.2. Ατελής τετραγωνική εξίσωση της φόρμας, όπου,:

1) Τραβήξτε τον κοινό παράγοντα από τις αγκύλες:

2) Το προϊόν είναι μηδέν αν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν. Επομένως, η εξίσωση έχει δύο ρίζες:

1.3. Ατελής τετραγωνική εξίσωση της φόρμας, όπου:

Αυτή η εξίσωση έχει πάντα μία μόνο ρίζα :.

2. Αλγόριθμος για την επίλυση πλήρων τετραγωνικών εξισώσεων της φόρμας όπου

2.1. Διακριτική λύση

1) Ας φέρουμε την εξίσωση στην τυπική μορφή:

2) Υπολογίστε τον διακριτικό με τον τύπο :, που δείχνει τον αριθμό των ριζών της εξίσωσης:

3) Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης:

αν, τότε η εξίσωση έχει ρίζες, οι οποίες βρίσκονται στον τύπο:
εάν, τότε η εξίσωση έχει μια ρίζα, η οποία βρίσκεται στον τύπο:
αν, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες.

2.2. Λύση χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta

Το άθροισμα των ριζών της μειωμένης τετραγωνικής εξίσωσης (μια εξίσωση της μορφής, όπου) είναι ίσο και το προϊόν των ριζών είναι ίσο, δηλ. , και.

2.3. Πλήρης τετραγωνική λύση

Εάν μια τετραγωνική εξίσωση της φόρμας έχει ρίζες, τότε μπορεί να γραφτεί με τη μορφή :.

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, τότε είστε πολύ δροσεροί.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κυριαρχήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσετε μέχρι το τέλος, τότε είστε σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό πράγμα.

Καταλάβατε τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, πάλι, αυτό είναι ... είναι απλώς σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό ...

Για τι?

Για την επιτυχή περάτωση των εξετάσεων, για εισαγωγή στο ινστιτούτο με τον προϋπολογισμό και, το πιο σημαντικό, για τη ζωή.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, θα πω μόνο ένα πράγμα ...

Τα άτομα που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από αυτά που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά.

Αλλά ούτε αυτό είναι το κύριο πράγμα.

Το κύριο πράγμα είναι ότι είναι ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΕΥΧΑΡΙΣΤΕΣ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή υπάρχουν πολλές περισσότερες ευκαιρίες που ανοίγονται μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Αλλά σκεφτείτε τον εαυτό σας ...

Τι χρειάζεται για να είμαστε σίγουρα καλύτεροι από τους άλλους στις εξετάσεις και τελικά να είμαστε ... πιο χαρούμενοι;

Λάβετε ένα χέρι, λύνοντας τα προβλήματα σε αυτό το θέμα.

Κατά την εξέταση, δεν θα σας ζητηθεί θεωρία.

Θα χρειαστείτε επίλυση εργασιών για λίγο.

Και αν δεν τα λύσατε (Πολύ!), Σίγουρα θα πάτε κάπου ανόητα λάθος ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι σαν στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε μια συλλογή όπου θέλετε, απαραίτητα με λύσεις, λεπτομερή ανάλυση και αποφασίζω, αποφασίζω, αποφασίζουμε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και, φυσικά, τις προτείνουμε.

Για να γεμίσετε το χέρι σας με τη βοήθεια των καθηκόντων μας, πρέπει να βοηθήσετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του βιβλίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

Μοιραστείτε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο -
Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σεμιναρίου - Αγοράστε ένα βιβλίο - 899 ρούβλια

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο βιβλίο μας και η πρόσβαση για όλες τις εργασίες και όλα τα κρυμμένα κείμενα σε αυτά μπορούν να ανοίξουν αμέσως.

Η πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες παρέχεται για όλη τη διάρκεια ζωής του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Εάν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλους. Απλά μην βασίζεσαι στη θεωρία.

Το «Καταλαβαίνω» και «μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεστε και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε!