Θεώρημα 3.1.Η ένωση οποιουδήποτε αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ένα ανοιχτό σύνολο.
Αφήνω Gk, όπου k О N είναι ανοιχτά σύνολα.
3 Επιλέξτε οποιοδήποτε σημείο ΧΟ ÎG. Εξ ορισμού της ένωσης συνόλων, το σημείο Χ o ανήκει σε ένα από τα σύνολα Gk. Επειδή η Gkείναι ένα ανοιχτό σύνολο, τότε υπάρχει μι-γειτονιά ενός σημείου x o, που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο σετ Γκ: U(x o, e)Ì G k Þ U(xo,e)Ì Γ.
Κατάλαβα κάτι τέτοιο x o ÎG– εσωτερικό, που σημαίνει ότι σολ– ανοιχτό σετ. 4
Θεώρημα 3.2 . Η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών μη κενών συνόλων είναι ένα ανοιχτό σύνολο.
Αφήνω Gk (k = 1,2, …,n) είναι ανοιχτά σύνολα.
Ας αποδείξουμε ότι είναι ένα ανοιχτό σύνολο.
3 Επιλέξτε οποιοδήποτε σημείο ΧΟ ÎG. Εξ ορισμού τομής συνόλων Χ o ανήκει σε καθένα από τα σύνολα Gk. Από κάθε σετ Gkανοιχτό, μετά σε οποιοδήποτε σετ Gkυπάρχει e k- γειτονιά ενός σημείου ΧΟ : U(Χο , ε κ)Ì G k. πολλά νούμερα ( μι 1 , ε 2 ,…, e n) είναι πεπερασμένο, άρα υπάρχει ένας αριθμός e = ελάχ{μι 1 ,μι 2 ,…,e n). Επειτα μι- γειτονιά ενός σημείου Χ o είναι σε κάθε e k- γειτονιά ενός σημείου ΧΟ : U(Χο , ε)M U e(Χο , ε κ) Þ U(Χο , ε)Ì Γ.
Το κατάλαβα Χ o – εσωτερικό σημείο του σετ σολ, το οποίο σημαίνει ότι σολ– ανοιχτό σετ. 4
Παρατήρηση 3.1.Η τομή ενός άπειρου αριθμού ανοιχτών συνόλων μπορεί να μην είναι ανοιχτό σύνολο.
Παράδειγμα 3.1. Αφήστε στο διάστημα R G k =(2 – 1/κ; 4+ 1/κ), Οπου k= 1,2,…,n,…. G 1 =(1;5), Ζ 2(1.5;4.5), Τμήμα Ì G kκαι δεν είναι ανοιχτό σετ, τα σημεία 2 και 4 δεν είναι εσωτερικά.
Θεώρημα 3.3 . Η τομή οποιασδήποτε συλλογής κλειστών μη κενών συνόλων είναι ένα κλειστό σύνολο.
Αφήνω Fk- κλειστά σετ.
Ας αποδείξουμε ότι το σετ είναι κλειστό, δηλ. περιέχει όλα τα οριακά του σημεία.
3 Αφήστε Χ ΦΑ.Από τον ορισμό της τομής των συνόλων προκύπτει ότι σε οποιαδήποτε μι- γειτονιά του σημείου Χ o υπάρχουν άπειροι πόντοι κάθε σετ Fk, το οποίο σημαίνει ότι Χ o – οριακό σημείο κάθε σετ Fk. Λόγω του κλειστού των σετ Fkτελεία
ΧΟ О F k "k Þ xΟ ΑΝ.Από το σημείο Χ φά, και αυτό σημαίνει πολλά φάκλειστό. 4
Θεώρημα 3.4.Η ένωση ενός πεπερασμένου αριθμού κλειστών συνόλων είναι ένα κλειστό σύνολο.
Αφήστε κάθε σετ Fkκλειστό.
Ας αποδείξουμε ότι το σύνολο είναι κλειστό, δηλ. αν Χ o – οριακό σημείο του συνόλου φά, Οτι ΧΟ О F.
3 Αφήστε Χ o – οποιοδήποτε οριακό σημείο του συνόλου φά, τότε σε οποιαδήποτε μι- γειτονιά ενός σημείου Χ o υπάρχουν άπειρα σημεία του συνόλου. Δεδομένου ότι ο αριθμός των σετ Fkπεπερασμένο, λοιπόν Χ o ανήκει σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα Fk, δηλ. Χ o είναι το οριακό σημείο για αυτό το σύνολο.
Λόγω απομόνωσης Fkτελεία Χ o ανήκει Fk, και επομένως πολλά. Από το σημείο ΧΤο o επιλέγεται αυθαίρετα, τότε όλα τα οριακά σημεία ανήκουν στο σύνολο φά, που σημαίνει πολλά φάκλειστό. 4
Παρατήρηση 3.2.Η ένωση ενός άπειρου αριθμού κλειστών συνόλων μπορεί να είναι ένα ανοιχτό σύνολο.
Παράδειγμα 3.2 . Στο διάστημα R: F k =
F 1 =; F 2 = ; …. Το διάστημα (2;5) είναι ένα ανοιχτό σύνολο.
Ας δεχθούμε χωρίς απόδειξη τα Θεωρήματα 3.5 και 3.6 που σχετίζονται με το συμπλήρωμα του συνόλου μισε πολλές X: C x E=CE.
Θεώρημα 3.5 . Αν το σετ μικλειστό, τότε το συμπλήρωμά του SEανοιχτό σετ.
Παράδειγμα 3.3 . Ε=, C R E =(- ¥, 2)È (5,+¥ ).
Θεώρημα 3.6 . Αν το σετ μιανοιχτό και μετά το συμπλήρωμά του SEκλειστό σετ.
Παράδειγμα 3.4 . Ε=(2,5), C R E =(-¥, 2]È[ 5, +¥ ).
Ένα από τα κύρια καθήκοντα της θεωρίας των συνόλων σημείων είναι η μελέτη των ιδιοτήτων διαφόρων τύπων συνόλων σημείων. Ας εξοικειωθούμε με αυτή τη θεωρία χρησιμοποιώντας δύο παραδείγματα και ας μελετήσουμε τις ιδιότητες των λεγόμενων κλειστών και ανοιχτών συνόλων.
Το σετ λέγεται κλειστό , εάν περιέχει όλα τα οριακά του σημεία. Αν ένα σύνολο δεν έχει ένα μόνο οριακό σημείο, τότε θεωρείται και κλειστό. Εκτός από τα οριακά του σημεία, ένα κλειστό σύνολο μπορεί επίσης να περιέχει μεμονωμένα σημεία. Το σετ λέγεται Άνοιξε , αν κάθε σημείο του είναι εσωτερικό για αυτό.
Ας δώσουμε παραδείγματα κλειστών και ανοιχτών συνόλων .
Κάθε τμήμα είναι ένα κλειστό σύνολο και κάθε διάστημα (a, b) είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Ακατάλληλα μισά διαστήματα και κλειστό, και ακατάλληλα διαστήματα και Άνοιξε. Ολόκληρη η σειρά είναι τόσο κλειστό όσο και ανοιχτό σετ. Είναι βολικό να θεωρείτε ότι το κενό σύνολο είναι ταυτόχρονα κλειστό και ανοιχτό. Οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο σημείων σε μια γραμμή είναι κλειστό, αφού δεν έχει οριακά σημεία.
Ένα σετ που αποτελείται από σημεία:
κλειστό; αυτό το σύνολο έχει ένα μοναδικό οριακό σημείο x=0, το οποίο ανήκει στο σύνολο.
Το κύριο καθήκον είναι να μάθετε πώς είναι δομημένο ένα αυθαίρετο κλειστό ή ανοιχτό σύνολο. Για να γίνει αυτό, θα χρειαστούμε μια σειρά από βοηθητικά στοιχεία, τα οποία θα δεχθούμε χωρίς απόδειξη.
- 1. Η τομή οποιουδήποτε αριθμού κλειστών συνόλων είναι κλειστή.
- 2. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ένα ανοιχτό σύνολο.
- 3. Αν ένα κλειστό σύνολο οριοθετείται παραπάνω, τότε περιέχει το υπέρτατό του. Ομοίως, εάν ένα κλειστό σύνολο οριοθετείται από κάτω, τότε περιέχει το infimum του.
Έστω E ένα αυθαίρετο σύνολο σημείων σε μια ευθεία. Ας ονομάσουμε το συμπλήρωμα του συνόλου Ε και δηλώνουμε με CE το σύνολο όλων των σημείων της ευθείας που δεν ανήκουν στο σύνολο Ε. Είναι σαφές ότι αν το x είναι εξωτερικό σημείο για το Ε, τότε είναι εσωτερικό σημείο για το σετ CE και το αντίστροφο.
4. Αν ένα σύνολο F είναι κλειστό, τότε το συμπλήρωμά του CF είναι ανοιχτό και αντίστροφα.
Η πρόταση 4 δείχνει ότι υπάρχει μια πολύ στενή σύνδεση μεταξύ κλειστών και ανοιχτών συνόλων: μερικά είναι συμπληρωματικά άλλων. Εξαιτίας αυτού, αρκεί να μελετάτε μόνο κλειστά ή μόνο ανοιχτά σύνολα. Η γνώση των ιδιοτήτων των συνόλων ενός τύπου σάς επιτρέπει να μάθετε αμέσως τις ιδιότητες συνόλων άλλου τύπου. Για παράδειγμα, οποιοδήποτε ανοιχτό σύνολο λαμβάνεται αφαιρώντας κάποιο κλειστό σύνολο από μια γραμμή.
Ας αρχίσουμε να μελετάμε τις ιδιότητες των κλειστών συνόλων. Ας εισάγουμε έναν ορισμό. Έστω F ένα κλειστό σύνολο. Ένα διάστημα (a, b) που έχει την ιδιότητα ότι κανένα από τα σημεία του δεν ανήκει στο σύνολο F, αλλά τα σημεία a και b ανήκουν στο F, ονομάζεται γειτονικό διάστημα του συνόλου F.
Θα συμπεριλάβουμε επίσης ακατάλληλα διαστήματα μεταξύ γειτονικών διαστημάτων ή εάν το σημείο a ή το σημείο b ανήκει στο σύνολο F και τα ίδια τα διαστήματα δεν τέμνονται με το F. Ας δείξουμε ότι αν ένα σημείο x δεν ανήκει σε ένα κλειστό σύνολο F, τότε ανήκει σε ένα από τα διπλανά του διαστήματα.
Ας συμβολίσουμε με το μέρος του συνόλου F που βρίσκεται στα δεξιά του σημείου x. Εφόσον το ίδιο το σημείο x δεν ανήκει στο σύνολο F, μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή τομής:
Κάθε ένα από τα σετ είναι F και κλειστό. Επομένως, με την Πρόταση 1, το σύνολο είναι κλειστό. Αν το σύνολο είναι κενό, τότε ολόκληρο το μισό διάστημα δεν ανήκει στο σύνολο F. Ας υποθέσουμε τώρα ότι το σύνολο δεν είναι κενό. Δεδομένου ότι αυτό το σύνολο βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε ένα μισό διάστημα, οριοθετείται παρακάτω. Ας συμβολίσουμε το κάτω όριο του με b. Σύμφωνα με την Πρόταση 3, που σημαίνει. Επιπλέον, δεδομένου ότι το b είναι το άκρο του συνόλου, το μισό διάστημα (x, b) που βρίσκεται στα αριστερά του σημείου b δεν περιέχει σημεία του συνόλου και, επομένως, δεν περιέχει σημεία του συνόλου F. Άρα, έχουμε κατασκευάσει ένα μισό διάστημα (x, b) που δεν περιέχει σημεία του συνόλου F, και ένα ή το σημείο b ανήκει στο σύνολο F. Ομοίως, κατασκευάζεται ένα μισό διάστημα (a, x) που δεν περιέχει σημεία του συνόλου F, και είτε ή. Τώρα είναι σαφές ότι το διάστημα (a, b) περιέχει το σημείο x και είναι ένα γειτονικό διάστημα του συνόλου F. Είναι εύκολο να δούμε ότι αν και είναι δύο γειτονικά διαστήματα του συνόλου F, τότε αυτά τα διαστήματα είτε συμπίπτουν είτε δεν τέμνονται.
Από το προηγούμενο προκύπτει ότι οποιοδήποτε κλειστό σύνολο σε μια γραμμή προκύπτει αφαιρώντας έναν ορισμένο αριθμό διαστημάτων από τη γραμμή, δηλαδή γειτονικά διαστήματα του συνόλου F. Εφόσον κάθε διάστημα περιέχει τουλάχιστον ένα ορθολογικό σημείο και υπάρχει ένα μετρήσιμο σύνολο όλα τα ορθολογικά σημεία στη γραμμή, είναι εύκολο να βεβαιωθείτε ότι ο αριθμός όλων των γειτονικών διαστημάτων είναι το πολύ μετρήσιμος. Από εδώ βγάζουμε το τελικό συμπέρασμα. Κάθε κλειστό σύνολο σε μια γραμμή λαμβάνεται αφαιρώντας από τη γραμμή το πολύ ένα μετρήσιμο σύνολο ασύνδετων διαστημάτων.
Δυνάμει της Πρότασης 4, αμέσως προκύπτει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο σε μια γραμμή δεν είναι τίποτα άλλο από ένα μετρήσιμο άθροισμα ασύνδετων διαστημάτων. Δυνάμει των Προτάσεων 1 και 2, είναι επίσης σαφές ότι κάθε σύνολο που διατάσσεται όπως υποδεικνύεται παραπάνω είναι πράγματι κλειστό (ανοιχτό).
Όπως φαίνεται από το ακόλουθο παράδειγμα, τα κλειστά σύνολα μπορεί να έχουν πολύ περίπλοκη δομή.
Ανοιχτά και κλειστά σετ
Παράρτημα 1 . Ανοιχτά και κλειστά σετ
Ενα μάτσο Μσε ευθεία λέγεται Άνοιξε, αν κάθε σημείο του περιέχεται σε αυτό το σύνολο μαζί με ένα συγκεκριμένο διάστημα. Κλειστόείναι ένα σύνολο που περιέχει όλα τα οριακά του σημεία (δηλαδή, έτσι ώστε κάθε διάστημα που περιέχει αυτό το σημείο να τέμνει το σύνολο τουλάχιστον σε ένα ακόμη σημείο). Για παράδειγμα, ένα τμήμα είναι ένα κλειστό σύνολο, αλλά δεν είναι ανοιχτό, και ένα διάστημα, αντίθετα, είναι ένα ανοιχτό σύνολο, αλλά δεν είναι κλειστό. Υπάρχουν σύνολα που δεν είναι ούτε ανοιχτά ούτε κλειστά (για παράδειγμα, ένα μισό διάστημα). Υπάρχουν δύο σετ που είναι και κλειστά και ανοιχτά - αυτό είναι άδειο και τέλος Ζ(αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν άλλοι). Είναι εύκολο να δεις ότι αν Μανοιχτό, μετά [` Μ] (ή Ζ \ Μ- προσθήκη στο σετ Μπριν Ζ) είναι κλειστό. Πράγματι, εάν [` Μ] δεν είναι κλειστό, τότε δεν περιέχει κανένα δικό του οριακό σημείο Μ. Αλλά στη συνέχεια ΜΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Μ, και κάθε διάστημα που περιέχει Μ, τέμνεται με το σύνολο [` Μ], δηλ. έχει ένα σημείο που δεν βρίσκεται Μ, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι Μ- Άνοιξε. Ομοίως, επίσης απευθείας από τον ορισμό, αποδεικνύεται ότι αν Μείναι κλειστό, τότε [` Μ] ανοιχτό (έλεγχος!).
Τώρα θα αποδείξουμε το ακόλουθο σημαντικό θεώρημα.
Θεώρημα. Οποιοδήποτε ανοιχτό σετ Μμπορεί να αναπαρασταθεί ως ένωση διαστημάτων με ορθολογικά άκρα (δηλαδή με άκρα σε ορθολογικά σημεία).
Απόδειξη . Σκεφτείτε την ένωση Uόλα τα διαστήματα με ορθολογικά άκρα που είναι υποσύνολα του συνόλου μας. Ας αποδείξουμε ότι αυτή η ένωση συμπίπτει με ολόκληρο το σύνολο. Πράγματι, αν Μ- κάποιο σημείο από Μ, τότε υπάρχει ένα διάστημα ( Μ 1 , Μ 2) Μ Μπου περιέχει Μ(αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι Μ- Άνοιξε). Σε οποιοδήποτε διάστημα μπορείτε να βρείτε ένα ορθολογικό σημείο. άσε ( Μ 1 , Μ) - Αυτό Μ 3, στις ( Μ, Μ 2) – αυτό είναι Μ 4 . Στη συνέχεια, τοποθετήστε το δείκτη Μκαλύπτονται από την ένωση U, δηλαδή, το διάστημα ( Μ 3 , Μ 4). Έτσι, έχουμε αποδείξει ότι κάθε σημείο Μαπό Μκαλύπτονται από την ένωση U. Εξάλλου, όπως προφανώς προκύπτει από την κατασκευή U, κανένα σημείο δεν περιέχεται σε Μ, δεν καλύπτεται U. Που σημαίνει, UΚαι Μταιριάξει.
Μια σημαντική συνέπεια αυτού του θεωρήματος είναι το γεγονός ότι οποιοδήποτε ανοιχτό σύνολο είναι αριθμητόςσυνδυάζοντας διαστήματα.
Πουθενά πυκνά σύνολα και σύνολα μέτρου μηδέν. Σύνολο Cantor>
Παράρτημα 2 . Πουθενά πυκνά σύνολα και σύνολα μέτρου μηδέν. Σετ Cantor
Ενα μάτσο ΕΝΑπου ονομάζεται πουθενά πυκνό, εάν υπάρχουν διαφορετικά σημεία έναΚαι σιυπάρχει ένα τμήμα [ ντο, ρε] Μ [ ένα, σι], που δεν τέμνεται με ΕΝΑ. Για παράδειγμα, το σύνολο των σημείων της ακολουθίας ένα n = [ 1/(n)] δεν είναι πουθενά πυκνό, αλλά το σύνολο των ρητών αριθμών δεν είναι.
Θεώρημα Baire. Ένα τμήμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια αριθμήσιμη ένωση από πουθενά πυκνά σύνολα.
Απόδειξη . Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια σειρά ΕΝΑ κπουθενά πυκνά σύνολα τέτοια που Και Εγώ ΕΝΑ Εγώ = [ένα, σι]. Ας κατασκευάσουμε την ακόλουθη ακολουθία τμημάτων. Αφήνω Εγώ 1 – κάποιο τμήμα ενσωματωμένο σε [ ένα, σι] και δεν τέμνεται με ΕΝΑ 1 . Εξ ορισμού, ένα πουθενά πυκνό σύνολο σε ένα διάστημα Εγώ 1 υπάρχει ένα τμήμα που δεν τέμνεται με το σύνολο ΕΝΑ 2. Ας τον φωνάξουμε Εγώ 2. Περαιτέρω, στο τμήμα Εγώ 2, πάρτε ομοίως το τμήμα Εγώ 3, δεν διασταυρώνεται με ΕΝΑ 3 κλπ. Ακολουθία Εγώ κΤα ένθετα τμήματα έχουν ένα κοινό σημείο (αυτή είναι μια από τις κύριες ιδιότητες των πραγματικών αριθμών). Κατασκευαστικά, αυτό το σημείο δεν βρίσκεται σε κανένα από τα σύνολα ΕΝΑ κ, πράγμα που σημαίνει ότι αυτά τα σύνολα δεν καλύπτουν ολόκληρο το τμήμα [ ένα, σι].
Ας καλέσουμε το σετ Μ έχοντας μέτρο μηδέν, εάν για οποιοδήποτε θετικό e υπάρχει ακολουθία Εγώ κδιαστήματα με συνολικό μήκος μικρότερο από e, καλύπτοντας Μ. Προφανώς, κάθε μετρήσιμο σύνολο έχει μέτρο μηδέν. Ωστόσο, υπάρχουν και αμέτρητα σύνολα που έχουν μέτρο μηδέν. Ας φτιάξουμε ένα, πολύ διάσημο, που λέγεται Cantor's.
|
|
| Ρύζι. έντεκα |
Ας πάρουμε ένα τμήμα. Ας το χωρίσουμε σε τρία ίσα μέρη. Ας πετάξουμε το μεσαίο τμήμα (Εικ. 11, ΕΝΑ). Θα υπάρχουν δύο τμήματα συνολικού μήκους [2/3]. Θα εκτελέσουμε ακριβώς την ίδια λειτουργία με καθένα από αυτά (Εικ. 11, σι). Θα απομείνουν τέσσερα τμήματα με συνολικό μήκος [ 4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Συνεχίζοντας έτσι (Εικ. 11, V–μι) στο άπειρο, λαμβάνουμε ένα σύνολο που έχει μέτρο μικρότερο από οποιοδήποτε προκαθορισμένο θετικό μέτρο, δηλ. μέτρο μηδέν. Είναι δυνατό να δημιουργηθεί μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των σημείων αυτού του συνόλου και των άπειρων ακολουθιών μηδενικών και μονάδων. Εάν κατά την πρώτη "ρίψη" το σημείο μας πέσει στο δεξί τμήμα, θα βάλουμε 1 στην αρχή της ακολουθίας, αν στο αριστερό - 0 (Εικ. 11, ΕΝΑ). Στη συνέχεια, μετά την πρώτη "ρίψη έξω", παίρνουμε ένα μικρό αντίγραφο του μεγάλου τμήματος, με το οποίο κάνουμε το ίδιο πράγμα: αν το σημείο μας μετά το ρίξιμο πέσει στο δεξί τμήμα, βάζουμε 1, αν είναι στο αριστερό. – 0, κ.λπ. (ελέγξτε τη σχέση ένας προς έναν) , ρύζι. έντεκα, σι, V. Δεδομένου ότι το σύνολο των ακολουθιών των μηδενικών και των μονάδων έχει συνεχή καρδινικότητας, το σύνολο του Cantor έχει επίσης συνεχές καρδινικότητας. Επιπλέον, είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι δεν είναι πυκνό πουθενά. Ωστόσο, δεν είναι αλήθεια ότι έχει αυστηρό μέτρο μηδέν (δείτε τον ορισμό του αυστηρού μέτρου). Η ιδέα της απόδειξης αυτού του γεγονότος είναι η εξής: πάρτε τη σειρά ένα n, τείνει στο μηδέν πολύ γρήγορα. Για παράδειγμα, η σειρά ένα n = [ 1/(2 2 n)]. Τότε θα αποδείξουμε ότι αυτή η ακολουθία δεν μπορεί να καλύψει το σύνολο Cantor (κάντε το!).
Παράρτημα 3 . Καθήκοντα
Ορισμός Λειτουργιών
Σκηνικά ΕΝΑΚαι σιλέγονται ίσος, εάν κάθε στοιχείο του συνόλου ΕΝΑανήκει στο σύνολο σι, και αντίστροφα. Ονομασία: ΕΝΑ = σι.
Ενα μάτσο ΕΝΑπου ονομάζεται υποσύνολοσκηνικά σι, εάν κάθε στοιχείο του συνόλου ΕΝΑανήκει στο σύνολο σι. Ονομασία: ΕΝΑΜ σι.
1.
Για κάθε δύο από τα ακόλουθα σύνολα, υποδείξτε εάν το ένα είναι υποσύνολο του άλλου:
|
2. Αποδείξτε ότι το σύνολο ΕΝΑεάν και μόνο εάν είναι υποσύνολο του συνόλου σι, όταν κάθε στοιχείο που δεν ανήκει σι, δεν ανήκει ΕΝΑ.
3. Αποδείξτε ότι για αυθαίρετα σύνολα ΕΝΑ, σιΚαι ντο
ΕΝΑ) ΕΝΑΜ ΕΝΑ; β) εάν ΕΝΑΜ σιΚαι σιΜ ντο, Οτι ΕΝΑΜ ντο;
V) ΕΝΑ = σι, αν και μόνο αν ΕΝΑΜ σιΚαι σιΜ ΕΝΑ.
Το σετ λέγεται αδειάζω, εάν δεν περιέχει στοιχεία. Ονομασία: F.
4.
Πόσα στοιχεία έχει καθένα από τα παρακάτω σύνολα:
|
5. Πόσα υποσύνολα έχει ένα σύνολο τριών στοιχείων;
6. Μπορεί ένα σύνολο να έχει ακριβώς α) 0; β*) 7; γ) 16 υποσύνολα;
Σχέσησκηνικά ΕΝΑΚαι σι Χ, Τι ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΕΝΑή ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ σι. Ονομασία: ΕΝΑΚΑΙ σι.
Με τη διέλευσησκηνικά ΕΝΑΚαι σιονομάζεται ένα σύνολο που αποτελείται από τέτοια Χ, Τι ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΕΝΑΚαι ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ σι. Ονομασία: ΕΝΑΖ σι.
Με διαφοράσκηνικά ΕΝΑΚαι σιονομάζεται ένα σύνολο που αποτελείται από τέτοια Χ, Τι ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΕΝΑΚαι ΧΠ σι. Ονομασία: ΕΝΑ \ σι.
7. Δοσμένα σετ ΕΝΑ = {1,3,7,137}, σι = {3,7,23}, ντο = {0,1,3, 23}, ρε= (0,7,23,1998). Βρείτε τα σετ:
| ΕΝΑ) ΕΝΑΚΑΙ σι; | σι) ΕΝΑΖ σι; | V) ( ΕΝΑΖ σι)ΚΑΙ ρε; |
| ΣΟΛ) ντοΖ ( ρεΖ σι); | δ) ( ΕΝΑΚΑΙ σι)Ζ ( ντοΚΑΙ ρε); | ε) ( ΕΝΑΚΑΙ ( σιΖ ντο))Ζ ρε; |
| και) ( ντοΖ ΕΝΑ)ΚΑΙ (( ΕΝΑΚΑΙ ( ντοΖ ρε))Ζ σι); | η) ( ΕΝΑΚΑΙ σι) \ (ντοΖ ρε); | Και) ΕΝΑ \ (σι \ (ντο \ ρε)); |
| Προς την) (( ΕΝΑ \ (σιΚΑΙ ρε)) \ ντο)ΚΑΙ σι. |
8. Αφήνω ΕΝΑείναι το σύνολο των ζυγών αριθμών, και σι– σύνολο αριθμών που διαιρούνται με το 3. Βρείτε ΕΝΑΖ σι.
9. Αποδείξτε ότι για οποιαδήποτε σύνολα ΕΝΑ, σι, ντο
ΕΝΑ) ΕΝΑΚΑΙ σι = σιΚΑΙ ΕΝΑ, ΕΝΑΖ σι = σιΖ ΕΝΑ;
σι) ΕΝΑΚΑΙ ( σιΚΑΙ ντο) = (ΕΝΑΚΑΙ σι)ΚΑΙ ντο, ΕΝΑΖ ( σιΖ ντο) = (ΕΝΑΖ σι) Ζ ντο;
V) ΕΝΑΖ ( σιΚΑΙ ντο) = (ΕΝΑΖ σι)ΚΑΙ ( ΕΝΑΖ ντο), ΕΝΑΚΑΙ ( σιΖ ντο) = (ΕΝΑΚΑΙ σι)Ζ ( ΕΝΑΚΑΙ ντο);
ΣΟΛ) ΕΝΑ \ (σιΚΑΙ ντο) = (ΕΝΑ \ σι)Ζ ( ΕΝΑ \ ντο), ΕΝΑ \ (σιΖ ντο) = (ΕΝΑ \ σι)ΚΑΙ ( ΕΝΑ \ ντο).
10. Είναι αλήθεια ότι για οποιαδήποτε σετ ΕΝΑ, σι, ντο
| ΕΝΑ) ΕΝΑ Z ZH = F, ΕΝΑ I F = ΕΝΑ; | σι) ΕΝΑΚΑΙ ΕΝΑ = ΕΝΑ, ΕΝΑΖ ΕΝΑ = ΕΝΑ; | V) ΕΝΑΖ σι = ΕΝΑΥ ΕΝΑΜ σι; |
| Ζ) ( ΕΝΑ \ σι)ΚΑΙ σι = ΕΝΑ; 7 δ) ΕΝΑ \ (ΕΝΑ \ σι) = ΕΝΑΖ σι; | μι) ΕΝΑ \ (σι \ ντο) = (ΕΝΑ \ σι)ΚΑΙ ( ΕΝΑΖ ντο); | |
| και) ( ΕΝΑ \ σι)ΚΑΙ ( σι \ ΕΝΑ) = ΕΝΑΚΑΙ σι? |
Ορισμός αντιστοιχίσεων
Αν κάθε στοιχείο Χσκηνικά Χαντιστοιχεί ακριβώς ένα στοιχείο φά(Χ) σκηνικά Υ, τότε λένε ότι δίνεται απεικόνιση φάαπό πολλούς Χμέσα στο πλήθος Υ. Ταυτόχρονα, αν φά(Χ) = y, μετά το στοιχείο yπου ονομάζεται τρόποςστοιχείο Χόταν εμφανίζεται φά, και το στοιχείο Χπου ονομάζεται πρωτότυποστοιχείο yόταν εμφανίζεται φά. Ονομασία: φά: Χ ® Υ.
11. Σχεδιάστε όλες τις πιθανές αντιστοιχίσεις από το σύνολο (7,8,9) στο σύνολο (0,1).
Αφήνω φά: Χ ® Υ, yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Υ, ΕΝΑΜ Χ, σιΜ Υ. Πλήρες πρωτότυπο του στοιχείου y όταν εμφανίζεται φάονομάζεται σύνολο ( ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ | φά(Χ) = y). Ονομασία: φά - 1 (y). Η εικόνα του πλήθους ΕΝΑΜ Χ όταν εμφανίζεται φάονομάζεται σύνολο ( φά(Χ) | ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΕΝΑ). Ονομασία: φά(ΕΝΑ). Το πρωτότυπο του σετ σιΜ Υ ονομάζεται σύνολο ( ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ | φά(Χ) ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ σι). Ονομασία: φά - 1 (σι).
12. Για εμφάνιση φά: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), που δίνεται από την εικόνα, βρείτε φά({0,3}), φά({1,3,4}), φά - 1 (2), φά - 1 ({2,5}), φά - 1 ({5,18}).
| α Β Γ) |
13. Αφήνω φά: Χ ® Υ, ΕΝΑ 1 , ΕΝΑ 2 Μ Χ, σι 1 , σι 2 Μ Υ. Είναι πάντα αλήθεια αυτό
ΕΝΑ) φά(Χ) = Υ;
σι) φά - 1 (Υ) = Χ;
V) φά(ΕΝΑ 1 Ι ΕΝΑ 2) = φά(ΕΝΑ 1) Και φά(ΕΝΑ 2);
ΣΟΛ) φά(ΕΝΑ 1 W ΕΝΑ 2) = φά(ΕΝΑ 1)Ζ φά(ΕΝΑ 2);
ρε) φά - 1 (σι 1 Ι σι 2) = φά - 1 (σι 1) Και φά - 1 (σι 2);
μι) φά - 1 (σι 1 W σι 2) = φά - 1 (σι 1)Ζ φά - 1 (σι 2);
ζ) εάν φά(ΕΝΑ 1 Μ φά(ΕΝΑ 2), τότε ΕΝΑ 1 Μ ΕΝΑ 2 ;
η) εάν φά - 1 (σι 1 Μ φά - 1 (σι 2), τότε σι 1 Μ σι 2 ?
Σύνθεσηχαρτογραφήσεις φά: Χ ® ΥΚαι σολ: Υ ® Ζονομάζεται αντιστοίχιση που συσχετίζει ένα στοιχείο Χσκηνικά Χστοιχείο σολ(φά(Χ)) σκηνικά Ζ. Ονομασία: σολ° φά.
14. Αποδείξτε ότι για αυθαίρετες αντιστοιχίσεις φά: Χ ® Υ, σολ: Υ ® ΖΚαι η: Ζ ® Wγίνεται το εξής: η° ( σολ° φά) = (η° σολ)° φά.
15. Αφήνω φά: (1,2,3,5) ® (0,1,2), σολ: (0,1,2) ® (3,7,37,137), η: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – αντιστοιχίσεις που φαίνονται στο σχήμα:
| φά: σολ: η: |
Σχεδιάστε εικόνες για τις ακόλουθες οθόνες:
ΕΝΑ) σολ° φά; σι) η° σολ; V) φά° η° σολ; ΣΟΛ) σολ° η° φά.
Απεικόνιση φά: Χ ® Υπου ονομάζεται δισκοπικός, αν για καθένα yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Υυπάρχει ακριβώς ένα ΧΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χτέτοια που φά(Χ) = y.
16. Αφήνω φά: Χ ® Υ, σολ: Υ ® Ζ. Είναι αλήθεια ότι αν φάΚαι σολείναι διστακτικές, λοιπόν σολ° φάδιστακτικά;
17. Αφήνω φά: (1,2,3) ® (1,2,3), σολ: (1,2,3) ® (1,2,3), – αντιστοιχίσεις που φαίνονται στο σχήμα:
18. Για κάθε δύο από τα ακόλουθα σύνολα, βρείτε αν υπάρχει διχοτόμηση από το πρώτο στο δεύτερο (υποθέτοντας ότι το μηδέν είναι ένας φυσικός αριθμός):
α) το σύνολο των φυσικών αριθμών.
β) το σύνολο των ζυγών φυσικών αριθμών.
γ) το σύνολο των φυσικών αριθμών χωρίς τον αριθμό 3.
Μετρικός χώροςονομάζεται σετ Χμε δεδομένο μετρικός r: Χ× Χ ® Ζ
1) " Χ,yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ r ( Χ,y) i 0, και r ( Χ,y) = 0 αν και μόνο αν Χ = y (μη αρνητικότητα ); 2) " Χ,yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ r ( Χ,y) = r ( y,Χ) (συμμετρία ); 3) " Χ,y,zΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ r ( Χ,y) + r ( y,z) εγώ είμαι ( Χ,z) (τριγωνική ανισότητα ). 19 19. Χ
ΕΝΑ) Χ = Ζ, r ( Χ,y) = | Χ - y| ;
σι) Χ = Ζ 2, r 2 (( Χ 1 ,y 1),(Χ 2 ,y 2)) = C (( Χ 1 - Χ 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) Χ = ντο[ένα,σιένα,σι] λειτουργίες,
Ανοιξε(αντίστοιχα, κλειστό) μπάλα ακτίνας rστο διάστημα Χμε κέντρο σε ένα σημείο Χονομάζεται σετ U r (Χ) = {yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ:r ( Χ,y) < r) (αντίστοιχα, σι r (Χ) = {yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ:r ( Χ,y) Ј r}).
Εσωτερικό σημείοσκηνικά UΜ Χ U
Άνοιξε περιβαλλοντας ΧΩΡΟΣαυτό το σημείο.
Οριακό σημείοσκηνικά φάΜ Χ φά.
κλειστό
20. Αποδείξτε το
21. Αποδείξτε το
β) ένωση ενός συνόλου ΕΝΑ βραχυκύκλωμα ΕΝΑ
Απεικόνιση φά: Χ ® Υπου ονομάζεται συνεχής
22.
23. Αποδείξτε το
φά (Χ) = επ yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ φά r ( Χ,y
φά.
24. Αφήνω φά: Χ ® Υ– . Είναι αλήθεια ότι το αντίστροφό του είναι συνεχές;
Συνεχής χαρτογράφηση ένας προς έναν φά: Χ ® Υ ομοιομορφισμός. Χώροι Χ, Υομοιομορφική.
25.
26. Για ποια ζευγάρια; Χ, Υ φά: Χ ® Υ, οι οποίες δεν κολλάει μεταξύ τουςσημεία (δηλ. φά(Χ) № φά(y) στο Χ № y επενδύσεις)?
27*. τοπικός ομοιομορφισμός(δηλαδή σε κάθε σημείο Χαεροπλάνο και φά(Χ) torus υπάρχουν τέτοιες γειτονιές UΚαι V, Τι φάομοιομορφικά χάρτες Uεπί V).
Μετρικοί χώροι και συνεχείς αντιστοιχίσεις
Μετρικός χώροςονομάζεται σετ Χμε δεδομένο μετρικός r: Χ× Χ ® Ζ, ικανοποιώντας τα ακόλουθα αξιώματα:
1) " Χ,yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ r ( Χ,y) i 0, και r ( Χ,y) = 0 αν και μόνο αν Χ = y (μη αρνητικότητα ); 2) " Χ,yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ r ( Χ,y) = r ( y,Χ) (συμμετρία ); 3) " Χ,y,zΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ r ( Χ,y) + r ( y,z) εγώ είμαι ( Χ,z) (τριγωνική ανισότητα ). 28. Να αποδείξετε ότι τα παρακάτω ζεύγη ( Χ,r ) είναι μετρικοί χώροι:
ΕΝΑ) Χ = Ζ, r ( Χ,y) = | Χ - y| ;
σι) Χ = Ζ 2, r 2 (( Χ 1 ,y 1),(Χ 2 ,y 2)) = C (( Χ 1 - Χ 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };
V) Χ = ντο[ένα,σι] – σύνολο συνεχών σε [ ένα,σι] λειτουργίες,
Ανοιξε(αντίστοιχα, κλειστό) μπάλα ακτίνας rστο διάστημα Χμε κέντρο σε ένα σημείο Χονομάζεται σετ U r (Χ) = {yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ:r ( Χ,y) < r) (αντίστοιχα, σι r (Χ) = {yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ Χ:r ( Χ,y) Ј r}).
Εσωτερικό σημείοσκηνικά UΜ Χείναι ένα σημείο που περιέχεται σε Uμαζί με κάποια μπάλα μη μηδενικής ακτίνας.
Ένα σύνολο του οποίου όλα τα σημεία είναι εσωτερικά ονομάζεται Άνοιξε. Καλείται ένα ανοιχτό σύνολο που περιέχει ένα δεδομένο σημείο περιβαλλοντας ΧΩΡΟΣαυτό το σημείο.
Οριακό σημείοσκηνικά φάΜ Χείναι ένα σημείο τέτοιο ώστε οποιαδήποτε γειτονιά του περιέχει άπειρα πολλά σημεία του συνόλου φά.
Ένα σύνολο που περιέχει όλα τα οριακά του σημεία ονομάζεται κλειστό(συγκρίνετε αυτόν τον ορισμό με αυτόν που δίνεται στο Παράρτημα 1).
29. Αποδείξτε το
α) ένα σύνολο είναι ανοιχτό εάν και μόνο εάν το συμπλήρωμά του είναι κλειστό.
β) η πεπερασμένη ένωση και η μετρήσιμη τομή των κλειστών συνόλων είναι κλειστή.
γ) η μετρήσιμη ένωση και η πεπερασμένη τομή των ανοιχτών συνόλων είναι ανοιχτές.
30. Αποδείξτε το
α) το σύνολο των οριακών σημείων οποιουδήποτε συνόλου είναι ένα κλειστό σύνολο.
β) ένωση ενός συνόλου ΕΝΑκαι το σύνολο των οριακών σημείων του ( βραχυκύκλωμα ΕΝΑ) είναι ένα κλειστό σύνολο.
Απεικόνιση φά: Χ ® Υπου ονομάζεται συνεχής, εάν η αντίστροφη εικόνα κάθε ανοιχτού συνόλου είναι ανοιχτή.
31. Αποδείξτε ότι αυτός ο ορισμός είναι συνεπής με τον ορισμό της συνέχειας των συναρτήσεων σε μια γραμμή.
32. Αποδείξτε το
α) απόσταση για να ορίσετε r φά (Χ) = επ yΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ φά r ( Χ,y) είναι μια συνεχής συνάρτηση.
β) το σύνολο των μηδενικών της συνάρτησης στο στοιχείο α) συμπίπτει με το κλείσιμο φά.
33. Αφήνω φά: Χ ® Υ
Συνεχής χαρτογράφηση ένας προς έναν φά: Χ ® Υ, το αντίστροφο του οποίου είναι επίσης συνεχές λέγεται ομοιομορφισμός. Χώροι Χ, Υ, για τα οποία υπάρχει τέτοια αντιστοίχιση, καλούνται ομοιομορφική.
34. Για κάθε ζεύγος των παρακάτω συνόλων, προσδιορίστε εάν είναι ομοιομορφικά:
35. Για ποια ζευγάρια; Χ, Υδιαστήματα από το προηγούμενο πρόβλημα υπάρχει συνεχής αντιστοίχιση φά: Χ ® Υ, οι οποίες δεν κολλάει μεταξύ τουςσημεία (δηλ. φά(Χ) № φά(y) στο Χ № y– τέτοιες αντιστοιχίσεις ονομάζονται επενδύσεις)?
36*. Καταλήξτε σε μια συνεχή χαρτογράφηση από ένα αεροπλάνο σε έναν τόρο που θα ήταν τοπικός ομοιομορφισμός(δηλαδή σε κάθε σημείο Χαεροπλάνο και φά(Χ) torus υπάρχουν τέτοιες γειτονιές UΚαι V, Τι φάομοιομορφικά χάρτες Uεπί V).
Πληρότητα. Θεώρημα Baire
Αφήνω Χ– μετρικός χώρος. Ακολουθία Χ nτα στοιχεία του λέγονται θεμελιώδης, Αν
|
37. Να αποδείξετε ότι η συγκλίνουσα ακολουθία είναι θεμελιώδης. Αληθεύει η αντίθετη δήλωση;
Ο μετρικός χώρος ονομάζεται πλήρης, εάν κάθε θεμελιώδης ακολουθία συγκλίνει σε αυτήν.
38. Είναι αλήθεια ότι ένας χώρος ομοιομορφικός προς έναν πλήρη είναι πλήρης;
39. Να αποδείξετε ότι ένας κλειστός υποχώρος ενός πλήρους χώρου είναι ο ίδιος πλήρης. ο πλήρης υποχώρος ενός αυθαίρετου χώρου είναι κλειστός σε αυτόν.
40. Να αποδείξετε ότι σε έναν πλήρη μετρικό χώρο μια ακολουθία ένθετων κλειστών σφαιρών με ακτίνες που τείνουν στο μηδέν έχει ένα κοινό στοιχείο.
41. Είναι δυνατόν στο προηγούμενο πρόβλημα να αφαιρεθεί η συνθήκη της πληρότητας του χώρου ή η τάση των ακτίνων των σφαιρών στο μηδέν;
Απεικόνιση φάμετρικός χώρος Χκαλείται στον εαυτό του συμπιεστικός, Αν
|
42. Να αποδείξετε ότι ο χάρτης συστολής είναι συνεχής.
43. α) Να αποδείξετε ότι μια αντιστοίχιση συστολής ενός πλήρους μετρικού χώρου στον εαυτό του έχει ακριβώς ένα σταθερό σημείο.
β) Τοποθετήστε έναν χάρτη της Ρωσίας σε κλίμακα 1:20.000.000 σε χάρτη της Ρωσίας σε κλίμακα 1:5.000.000. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα σημείο του οποίου οι εικόνες και στους δύο χάρτες συμπίπτουν.
44*. Υπάρχει ένας ημιτελής μετρικός χώρος στον οποίο η δήλωση του προβλήματος eh είναι αληθής;
Ένα υποσύνολο ενός μετρικού χώρου ονομάζεται πυκνό παντού, εάν το κλείσιμό του συμπίπτει με ολόκληρο τον χώρο. πουθενά πυκνό– εάν το κλείσιμό του δεν έχει μη κενά ανοιχτά υποσύνολα (συγκρίνετε αυτόν τον ορισμό με αυτόν που δίνεται στο Παράρτημα 2).
45. α) Αφήστε ένα, σι, α , β Ο ΖΚαι ένα < a < b < σι. Να αποδείξετε ότι το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων σε [ ένα,σι], μονοτονικό σε , πουθενά πυκνό στο χώρο όλων των συνεχών συναρτήσεων στο [ ένα,σι] με ομοιόμορφη μετρική.
β) Αφήστε ένα, σι, ντο, ε Ο ΖΚαι ένα < σι, ντο> 0, e > 0. Τότε το σύνολο συνεχών συναρτήσεων στο [ ένα,σι], έτσι ώστε
|
46. (Γενικευμένο θεώρημα Baire .) Αποδείξτε ότι ένας πλήρης μετρικός χώρος δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως η ένωση ενός αριθμήσιμου αριθμού συνόλων πουθενά πυκνά.
47. Αποδείξτε ότι το σύνολο των συνεχών, μη μονότονων σε οποιοδήποτε μη κενό διάστημα και πουθενά διαφοροποιήσιμων συναρτήσεων που ορίζονται στο διάστημα είναι παντού πυκνό στο χώρο όλων των συνεχών συναρτήσεων ενεργών με μια ομοιόμορφη μετρική.
48*. Αφήνω φά– διαφοροποιήσιμη συνάρτηση στο διάστημα. Να αποδείξετε ότι η παράγωγός της είναι συνεχής σε ένα παντού πυκνό σύνολο σημείων. Αυτός είναι ο ορισμός Lebesgueμετρά μηδέν. Εάν ο μετρήσιμος αριθμός διαστημάτων αντικατασταθεί από ένα πεπερασμένο, παίρνουμε τον ορισμό Jordanovaμετρά μηδέν.
Ας αποδείξουμε τώρα μερικές ειδικές ιδιότητες κλειστών και ανοιχτών συνόλων.
Θεώρημα 1. Το άθροισμα ενός πεπερασμένου ή μετρήσιμου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Το γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ένα ανοιχτό σύνολο,
Θεωρήστε το άθροισμα ενός πεπερασμένου ή μετρήσιμου αριθμού ανοιχτών συνόλων:
Αν , τότε το P ανήκει σε τουλάχιστον ένα από το Let Since είναι ανοιχτό σύνολο, τότε ανήκει και κάποια -γειτονιά του P. Η ίδια -γειτονιά του P ανήκει επίσης στο άθροισμα g, από το οποίο προκύπτει ότι το g είναι ένα ανοιχτό σύνολο. Ας εξετάσουμε τώρα το τελικό προϊόν
και έστω το P ανήκει στο g. Ας αποδείξουμε, όπως παραπάνω, ότι κάποια -γειτονιά του Π ανήκει και στο ζ. Αφού το P ανήκει στο g, τότε το P ανήκει σε όλους. Αφού - είναι ανοιχτά σύνολα, τότε για οποιοδήποτε υπάρχει κάποια -γειτονιά του σημείου που ανήκει στο . Αν ο αριθμός ληφθεί ίσος με τον μικρότερο του οποίου ο αριθμός είναι πεπερασμένος, τότε η -γειτονιά του σημείου P θα ανήκει σε όλους και, κατά συνέπεια, στο g. Σημειώστε ότι δεν μπορούμε να ισχυριστούμε ότι το γινόμενο ενός μετρήσιμου αριθμού ανοιχτών συνόλων είναι ένα ανοιχτό σύνολο.
Θεώρημα 2. Το σύνολο CF είναι ανοιχτό και το σύνολο CO είναι κλειστό.
Ας αποδείξουμε την πρώτη δήλωση. Έστω το P ανήκει στο CF. Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι κάποια γειτονιά P ανήκει στο CF. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι αν υπήρχαν σημεία F σε οποιαδήποτε γειτονιά του P, το σημείο P, που δεν ανήκει κατά συνθήκη, θα ήταν οριακό σημείο για το F και, λόγω της κλειστότητάς του, θα έπρεπε να ανήκει, κάτι που οδηγεί σε αντίφαση.
Θεώρημα 3. Το γινόμενο ενός πεπερασμένου ή μετρήσιμου αριθμού κλειστών συνόλων είναι ένα κλειστό σύνολο. Το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού κλειστών συνόλων είναι ένα κλειστό σύνολο.
Ας αποδείξουμε, για παράδειγμα, ότι το σύνολο
κλειστό. Προχωρώντας σε επιπλέον σύνολα, μπορούμε να γράψουμε
Σύμφωνα με το θεώρημα, τα σύνολα είναι ανοιχτά και, σύμφωνα με το Θεώρημα 1, το σύνολο είναι επίσης ανοιχτό, και έτσι το πρόσθετο σύνολο g είναι κλειστό. Σημειώστε ότι το άθροισμα ενός μετρήσιμου αριθμού κλειστών συνόλων μπορεί επίσης να αποδειχθεί ανοιχτό σύνολο.
Θεώρημα 4. Ένα σύνολο είναι ένα ανοιχτό σύνολο και ένα κλειστό σύνολο.
Είναι εύκολο να ελέγξετε τις ακόλουθες ισότητες:
Από αυτά, δυνάμει των προηγούμενων θεωρημάτων, προκύπτει το Θεώρημα 4.
Θα πούμε ότι ένα σύνολο g καλύπτεται από ένα σύστημα M ορισμένων συνόλων αν κάθε σημείο g περιλαμβάνεται σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα του συστήματος M.
Θεώρημα 5 (Borel). Εάν ένα κλειστό οριοθετημένο σύνολο F καλύπτεται από ένα άπειρο σύστημα a ανοιχτών συνόλων O, τότε από αυτό το άπειρο σύστημα είναι δυνατό να εξαχθεί ένας πεπερασμένος αριθμός ανοιχτών συνόλων που καλύπτουν επίσης το F.
Αυτό το θεώρημα το αποδεικνύουμε αντίστροφα. Ας υποθέσουμε ότι κανένας πεπερασμένος αριθμός ανοιχτών συνόλων από το σύστημα a καλύπτει και το φέρνουμε σε αντίφαση. Εφόσον το F είναι ένα οριοθετημένο σύνολο, τότε όλα τα σημεία του F ανήκουν σε κάποιο πεπερασμένο δισδιάστατο διάστημα. Ας χωρίσουμε αυτό το κλειστό διάστημα σε τέσσερα ίσα μέρη, διαιρώντας τα διαστήματα στη μέση. Θα κλείσουμε καθένα από τα τέσσερα διαστήματα που προκύπτουν. Αυτά τα σημεία του F που εμπίπτουν σε ένα από αυτά τα τέσσερα κλειστά διαστήματα, δυνάμει του Θεωρήματος 2, αντιπροσωπεύουν ένα κλειστό σύνολο, και τουλάχιστον ένα από αυτά τα κλειστά σύνολα δεν μπορεί να καλυφθεί από έναν πεπερασμένο αριθμό ανοιχτών συνόλων από το σύστημα α. Παίρνουμε ένα από τα τέσσερα κλειστά διαστήματα που αναφέρονται παραπάνω όπου συμβαίνει αυτή η περίσταση. Χωρίζουμε πάλι αυτό το διάστημα σε τέσσερα ίσα μέρη και αιτιολογούμε με τον ίδιο τρόπο όπως παραπάνω. Έτσι, λαμβάνουμε ένα σύστημα ένθετων διαστημάτων από τα οποία κάθε επόμενο αντιπροσωπεύει ένα τέταρτο μέρος του προηγούμενου και ισχύει η ακόλουθη περίσταση: το σύνολο των σημείων F που ανήκει σε οποιοδήποτε k δεν μπορεί να καλυφθεί από έναν πεπερασμένο αριθμό ανοιχτών συνόλων από το σύστημα ένα. Με μια άπειρη αύξηση στο k, τα διαστήματα θα συρρικνωθούν άπειρα σε ένα ορισμένο σημείο P, το οποίο ανήκει σε όλα τα διαστήματα. Εφόσον για κάθε k περιέχουν άπειρο αριθμό σημείων, το σημείο P είναι οριακό σημείο για και επομένως ανήκει στο F, αφού το F είναι ένα κλειστό σύνολο. Έτσι, το σημείο P καλύπτεται από κάποιο ανοιχτό σύνολο που ανήκει στο σύστημα α. Κάποια γειτονιά του σημείου P θα ανήκει επίσης στο ανοιχτό σύνολο O. Για αρκετά μεγάλες τιμές του k, τα διαστήματα D θα εμπίπτουν στην παραπάνω γειτονιά του σημείου P. Έτσι, αυτά θα καλύπτονται εξ ολοκλήρου από ένα μόνο ανοιχτό σύνολο O του συστήματος a, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με το γεγονός ότι τα σημεία που ανήκουν σε οποιοδήποτε k δεν μπορούν να καλυφθούν από έναν πεπερασμένο αριθμό ανοιχτών συνόλων που ανήκουν στο a. Έτσι το θεώρημα αποδεικνύεται.
Θεώρημα 6. Ένα ανοιχτό σύνολο μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ενός μετρήσιμου αριθμού μισάνοιχτων διαστημάτων σε ζεύγη χωρίς κοινά σημεία.
Θυμηθείτε ότι ονομάζουμε μισάνοιχτο διάστημα σε ένα επίπεδο ένα πεπερασμένο διάστημα που ορίζεται από ανισώσεις της μορφής .
Ας σχεδιάσουμε στο επίπεδο ένα πλέγμα τετραγώνων με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και με μήκος πλευράς ίσο με ένα. Το σύνολο αυτών των τετραγώνων είναι ένα αριθμήσιμο σύνολο. Από αυτά τα τετράγωνα, ας επιλέξουμε εκείνα τα τετράγωνα των οποίων όλα τα σημεία ανήκουν σε ένα δεδομένο ανοιχτό σύνολο Ο. Ο αριθμός τέτοιων τετραγώνων μπορεί να είναι πεπερασμένος ή μετρήσιμος ή ίσως να μην υπάρχουν καθόλου τέτοια τετράγωνα. Χωρίζουμε καθένα από τα υπόλοιπα τετράγωνα του πλέγματος σε τέσσερα όμοια τετράγωνα και από τα τετράγωνα που λήφθηκαν επιλέγουμε ξανά εκείνα των οποίων τα σημεία ανήκουν όλα στο Ο. Χωρίζουμε πάλι κάθε ένα από τα υπόλοιπα τετράγωνα σε τέσσερα ίσα μέρη και επιλέγουμε εκείνα τα τετράγωνα των οποίων όλα τα σημεία ανήκουν στο Ο κλπ. Ας δείξουμε ότι κάθε σημείο P του συνόλου Ο θα πέφτει σε ένα από τα επιλεγμένα τετράγωνα, του οποίου όλα τα σημεία ανήκουν στο Ο. Πράγματι, έστω d η θετική απόσταση από το P στο όριο του Ο. Όταν φτάσουμε σε τετράγωνα των οποίων η διαγώνιος είναι μικρότερη από , τότε μπορούμε, προφανώς, να υποστηρίξουμε ότι το σημείο P έχει ήδη πέσει σε ένα τετράγωνο, όλοι οι όγκοι του οποίου ανήκουν στο Ο. Εάν τα επιλεγμένα τετράγωνα θεωρηθούν μισάνοιχτα, τότε δεν θα έχουν κοινά σημεία σε ζεύγη, και το θεώρημα αποδεικνύεται. Ο αριθμός των επιλεγμένων τετραγώνων θα είναι αναγκαστικά μετρήσιμος, αφού το πεπερασμένο άθροισμα των μισάνοιχτων διαστημάτων προφανώς δεν είναι ανοιχτό σύνολο. Δηλώνοντας με DL αυτά τα μισάνοιχτα τετράγωνα που αποκτήσαμε ως αποτέλεσμα της παραπάνω κατασκευής, μπορούμε να γράψουμε
Απόδειξη.
1) Πράγματι, αν το σημείο ΕΝΑανήκει στην ένωση ανοιχτών συνόλων, τότε ανήκει σε τουλάχιστον ένα από αυτά τα σύνολα, το οποίο, σύμφωνα με τις συνθήκες του θεωρήματος, είναι ανοιχτό. Αυτό σημαίνει ότι ανήκει σε συγκεκριμένη γειτονιά Ο(α) του σημείου ΕΝΑ, αλλά τότε και αυτή η γειτονιά ανήκει στην ένωση όλων των ανοιχτών συνόλων. Ως εκ τούτου, το σημείο ΕΝΑείναι το σημείο εσωτερικής ένωσης. Επειδή ΕΝΑείναι ένα αυθαίρετο σημείο ένωσης, τότε αποτελείται μόνο από εσωτερικά σημεία, και επομένως, εξ ορισμού, είναι ένα ανοιχτό σύνολο.
2) Αφήστε τώρα Χ– τομή πεπερασμένου αριθμού ανοιχτών συνόλων. Αν ΕΝΑείναι ένα καθορισμένο σημείο Χ, τότε ανήκει σε καθένα από τα ανοιχτά σύνολα και, επομένως, είναι ένα εσωτερικό σημείο καθενός από τα ανοιχτά σύνολα. Με άλλα λόγια, υπάρχουν διαστήματα που περιέχονται εξ ολοκλήρου στα σετ, αντίστοιχα. Ας συμβολίσουμε με τον μικρότερο από τους αριθμούς. Τότε το διάστημα θα περιέχεται ταυτόχρονα σε όλα τα διαστήματα, δηλ. θα περιέχεται εξ ολοκλήρου σε , και σε ,..., και σε , δηλ. . Από εδώκαι συμπεραίνουμε ότι οποιοδήποτε σημείο είναι εσωτερικό σημείο του συνόλου Χ, δηλ. ένα μάτσο Χείναι ανοιχτό.
Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι η τομή ενός πεπερασμένου αριθμού γειτονιών ενός σημείου α είναι και πάλι γειτονιά αυτού του σημείου. Σημειώστε ότι η τομή ενός άπειρου αριθμού ανοιχτών συνόλων δεν είναι πάντα ανοιχτό σύνολο. Για παράδειγμα, η τομή των διαστημάτων ,... είναι ένα σύνολο που αποτελείται από ένα σημείο a, το οποίο δεν είναι ανοιχτό σύνολο (γιατί;).
Ένα σημείο α ονομάζεται οριακό σημείο ενός συνόλου X εάν σε οποιαδήποτε διάτρητη γειτονιά αυτού του σημείου υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο του συνόλου X.
Άρα, το σημείο είναι το οριακό σημείο του τμήματος , αφού σε οποιοδήποτε διάτρητο διάστημα ενός σημείου υπάρχει ένα σημείο που ανήκει σε αυτό το τμήμα. Για παράδειγμα, ένα σημείο που ικανοποιεί την ανισότητα . Και προφανώς υπάρχουν πολλά τέτοια σημεία.
Είναι εύκολο να αποδείξουμε ότι κάθε σημείο του τμήματος [ 0, 1] είναι τελικόςσημείο αυτού του τμήματος. Με άλλα λόγια, το τμήμα αποτελείται εξ ολοκλήρου από τα οριακά του σημεία. Μια παρόμοια δήλωση ισχύει για οποιοδήποτε τμήμα. Σημειώστε εδώ ότι όλα τα οριακά σημεία του συνόλου ανήκουν σε αυτό το τμήμα. Είναι επίσης προφανές ότι όλα τα σημεία του τμήματος θα είναι οριακά σημεία για το διάστημα (0, 1 ) (απόδειξε το!). Ωστόσο, υπάρχουν ήδη δύο περιοριστικά σημεία 0 και 1δεν ανήκουν στο διάστημα (0, 1). Σε αυτά τα παραδείγματα βλέπουμε ότι
τα οριακά σημεία ενός συνόλου μπορεί να ανήκουν ή να μην ανήκουν σε αυτό. Μπορεί να αποδειχθεί ότι σε οποιαδήποτε διάτρητη γειτονιά ενός οριακού σημείου α ενός συνόλου Χ υπάρχουν άπειρα πολλά σημεία του συνόλου Χ.
Ένα σύνολο Χ ονομάζεται κλειστό σύνολο εάν περιέχει όλα τα οριακά του σημεία.
Ετσι, κάθε τμήμα είναι ένα κλειστό σύνολο. Διάστημα (0, 1) δεν είναι κλειστό σύνολο, αφού τα δύο οριακά του σημεία δεν ανήκουν σε αυτό 0 και 1. Το σύνολο όλων των ρητών αριθμών Qδεν είναι κλειστό, αφού δεν περιέχει κάποια από τα οριακά του σημεία. Συγκεκριμένα, ο αριθμός είναι το οριακό σημείο του συνόλου Q(αποδείξτε το!), αλλά Q.
Αφού κάθε σημείο του σετ Rείναι το οριακό σημείο αυτού του συνόλου και ανήκει σε αυτό, λοιπόν R – κλειστό σετ.
Κάθε πεπερασμένο σύνολο είναι κλειστό,αφού το σύνολο των οριακών σημείων του είναι το κενό σύνολο Æ , που ανήκει στο ίδιο το σύνολο.
Τα κλειστά σύνολα μπορούν να είναι οριοθετημένα, για παράδειγμα, το τμήμα, και απεριόριστα, για παράδειγμα, το σύνολο των πραγματικών αριθμών R. True
