Οι ανισότητες και τα συστήματα ανισοτήτων είναι ένα από τα θέματα που καλύπτονται στην άλγεβρα στο γυμνάσιο. Όσον αφορά το επίπεδο δυσκολίας, δεν είναι και το πιο δύσκολο, αφού έχει απλούς κανόνες (περισσότερα για αυτούς λίγο αργότερα). Κατά κανόνα, οι μαθητές μαθαίνουν να επιλύουν συστήματα ανισοτήτων αρκετά εύκολα. Αυτό οφείλεται επίσης στο γεγονός ότι οι δάσκαλοι απλώς «εκπαιδεύουν» τους μαθητές τους σε αυτό το θέμα. Και δεν μπορούν παρά να το κάνουν αυτό, γιατί μελετάται στο μέλλον χρησιμοποιώντας άλλα μαθηματικά μεγέθη και δοκιμάζεται επίσης στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση. Στα σχολικά εγχειρίδια, το θέμα των ανισοτήτων και των συστημάτων ανισοτήτων καλύπτεται με μεγάλη λεπτομέρεια, οπότε αν πρόκειται να το μελετήσετε, είναι καλύτερο να καταφύγετε σε αυτά. Αυτό το άρθρο συνοψίζει μόνο μεγαλύτερο υλικό και ενδέχεται να υπάρχουν κάποιες παραλείψεις.

Η έννοια ενός συστήματος ανισοτήτων

Αν στραφούμε στην επιστημονική γλώσσα, μπορούμε να ορίσουμε την έννοια του «συστήματος ανισοτήτων». Αυτό είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που αντιπροσωπεύει πολλές ανισότητες. Αυτό το μοντέλο, φυσικά, απαιτεί μια λύση και αυτή θα είναι η γενική απάντηση για όλες τις ανισότητες του συστήματος που προτείνεται στην εργασία (συνήθως αυτό γράφεται σε αυτό, για παράδειγμα: «Λύστε το σύστημα ανισώσεων 4 x + 1 > 2 και 30 - x > 6... "). Ωστόσο, πριν προχωρήσετε στα είδη και τις μεθόδους λύσεων, πρέπει να καταλάβετε κάτι άλλο.

Συστήματα ανισώσεων και συστήματα εξισώσεων

Όταν μαθαίνετε ένα νέο θέμα, συχνά προκύπτουν παρεξηγήσεις. Από τη μία, όλα είναι ξεκάθαρα και θέλετε να ξεκινήσετε να λύνετε εργασίες το συντομότερο δυνατό, αλλά από την άλλη, κάποιες στιγμές παραμένουν στη «σκιά» και δεν γίνονται πλήρως κατανοητές. Επίσης, ορισμένα στοιχεία ήδη αποκτηθείσας γνώσης μπορεί να είναι συνυφασμένα με νέα. Ως αποτέλεσμα αυτής της «επικάλυψης», συμβαίνουν συχνά σφάλματα.

Επομένως, πριν αρχίσουμε να αναλύουμε το θέμα μας, θα πρέπει να θυμηθούμε τις διαφορές μεταξύ των εξισώσεων και των ανισοτήτων και των συστημάτων τους. Για να γίνει αυτό, πρέπει να εξηγήσουμε για άλλη μια φορά τι αντιπροσωπεύουν αυτές οι μαθηματικές έννοιες. Μια εξίσωση είναι πάντα ισότητα και είναι πάντα ίση με κάτι (στα μαθηματικά αυτή η λέξη συμβολίζεται με το σύμβολο "="). Η ανισότητα είναι ένα μοντέλο στο οποίο μια τιμή είναι είτε μεγαλύτερη είτε μικρότερη από μια άλλη, είτε περιέχει μια δήλωση ότι δεν είναι ίδιες. Έτσι, στην πρώτη περίπτωση, είναι σκόπιμο να μιλάμε για ισότητα και στη δεύτερη, όσο προφανές κι αν ακούγεται από το ίδιο το όνομα, για την ανισότητα των αρχικών δεδομένων. Τα συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων πρακτικά δεν διαφέρουν μεταξύ τους και οι μέθοδοι επίλυσής τους είναι οι ίδιες. Η μόνη διαφορά είναι ότι στην πρώτη περίπτωση χρησιμοποιούνται ισότητες και στη δεύτερη περίπτωση χρησιμοποιούνται ανισότητες.

Τύποι ανισοτήτων

Υπάρχουν δύο τύποι ανισώσεων: αριθμητικές και με άγνωστη μεταβλητή. Ο πρώτος τύπος αντιπροσωπεύει παρεχόμενες ποσότητες (αριθμούς) που είναι άνισες μεταξύ τους, για παράδειγμα, 8 > 10. Ο δεύτερος είναι ανισότητες που περιέχουν μια άγνωστη μεταβλητή (που συμβολίζεται με ένα γράμμα του λατινικού αλφαβήτου, πιο συχνά X). Αυτή η μεταβλητή πρέπει να βρεθεί. Ανάλογα με το πόσες υπάρχουν, το μαθηματικό μοντέλο διακρίνει μεταξύ ανισώσεων με μία (αποτελούν σύστημα ανισώσεων με μία μεταβλητή) ή πολλών μεταβλητών (απαρτίζουν ένα σύστημα ανισώσεων με πολλές μεταβλητές).

Οι δύο τελευταίοι τύποι, ανάλογα με το βαθμό κατασκευής τους και το επίπεδο πολυπλοκότητας της λύσης, χωρίζονται σε απλούς και σύνθετους. Οι απλές ονομάζονται και γραμμικές ανισότητες. Αυτοί, με τη σειρά τους, χωρίζονται σε αυστηρές και μη αυστηρές. Οι αυστηροί «λένε» συγκεκριμένα ότι μια ποσότητα πρέπει απαραίτητα να είναι είτε μικρότερη είτε μεγαλύτερη, άρα αυτό είναι καθαρή ανισότητα. Μπορούν να δοθούν διάφορα παραδείγματα: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, κ.λπ. Τα μη αυστηρά περιλαμβάνουν επίσης την ισότητα. Δηλαδή, μια τιμή μπορεί να είναι μεγαλύτερη ή ίση με μια άλλη τιμή (το πρόσημο «≥») ή μικρότερη ή ίση με μια άλλη τιμή (το πρόσημο «≤»). Ακόμη και στις γραμμικές ανισότητες, η μεταβλητή δεν είναι στη ρίζα, το τετράγωνο ή δεν διαιρείται με τίποτα, γι' αυτό ονομάζονται "απλή". Οι σύνθετες περιλαμβάνουν άγνωστες μεταβλητές που απαιτούν περισσότερα μαθηματικά για να βρεθούν. Συχνά βρίσκονται σε τετράγωνο, κύβο ή κάτω από μια ρίζα, μπορεί να είναι αρθρωτά, λογαριθμικά, κλασματικά κ.λπ. Επειδή όμως το καθήκον μας είναι η ανάγκη να κατανοήσουμε τη λύση συστημάτων ανισώσεων, θα μιλήσουμε για ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων . Ωστόσο, πριν από αυτό, θα πρέπει να ειπωθούν λίγα λόγια για τις ιδιότητές τους.

Ιδιότητες των ανισοτήτων

Οι ιδιότητες των ανισοτήτων περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

  1. Το πρόσημο της ανισότητας αντιστρέφεται εάν χρησιμοποιηθεί μια πράξη για την αλλαγή της σειράς των πλευρών (για παράδειγμα, εάν t 1 ≤ t 2, τότε t 2 ≥ t 1).
  2. Και οι δύο πλευρές της ανισότητας σάς επιτρέπουν να προσθέσετε τον ίδιο αριθμό στον εαυτό της (για παράδειγμα, εάν t 1 ≤ t 2, τότε t 1 + αριθμός ≤ t 2 + αριθμός).
  3. Δύο ή περισσότερες ανισώσεις με πρόσημο στην ίδια κατεύθυνση επιτρέπουν την προσθήκη της αριστερής και της δεξιάς πλευράς τους (για παράδειγμα, εάν t 1 ≥ t 2, t 3 ≥ t 4, τότε t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
  4. Και τα δύο μέρη της ανίσωσης μπορούν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με τον ίδιο θετικό αριθμό (για παράδειγμα, αν t 1 ≤ t 2 και ένας αριθμός ≤ 0, τότε ο αριθμός · t 1 ≥ αριθμός · t 2).
  5. Δύο ή περισσότερες ανισώσεις που έχουν θετικούς όρους και πρόσημο στην ίδια κατεύθυνση επιτρέπουν τον πολλαπλασιασμό τους μεταξύ τους (για παράδειγμα, αν t 1 ≤ t 2, t 3 ≤ t 4, t 1, t 2, t 3, t 4 ≥ 0 μετά t 1 · t 3 ≤ t 2 · t 4).
  6. Και τα δύο μέρη της ανισότητας επιτρέπουν να πολλαπλασιαστούν ή να διαιρεθούν με τον ίδιο αρνητικό αριθμό, αλλά στην περίπτωση αυτή το πρόσημο της ανισότητας αλλάζει (για παράδειγμα, εάν t 1 ≤ t 2 και ένας αριθμός ≤ 0, τότε ο αριθμός · t 1 ≥ αριθμός · t 2).
  7. Όλες οι ανισότητες έχουν την ιδιότητα της μεταβατικότητας (για παράδειγμα, αν t 1 ≤ t 2 και t 2 ≤ t 3, τότε t 1 ≤ t 3).

Τώρα, αφού μελετήσουμε τις βασικές αρχές της θεωρίας που σχετίζονται με τις ανισότητες, μπορούμε να προχωρήσουμε απευθείας στην εξέταση των κανόνων για την επίλυση των συστημάτων τους.

Επίλυση συστημάτων ανισοτήτων. Γενικές πληροφορίες. Λύσεις

Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η λύση είναι οι τιμές της μεταβλητής που είναι κατάλληλες για όλες τις ανισότητες του δεδομένου συστήματος. Η επίλυση συστημάτων ανισοτήτων είναι η υλοποίηση μαθηματικών πράξεων που τελικά οδηγούν σε λύση ολόκληρου του συστήματος ή αποδεικνύουν ότι δεν έχει λύσεις. Σε αυτήν την περίπτωση, η μεταβλητή λέγεται ότι ανήκει σε ένα κενό αριθμητικό σύνολο (γραμμένο ως εξής: γράμμα που δηλώνει μια μεταβλητή∈ (σύμβολο «ανήκει») ø (σύμβολο «κενό σύνολο»), για παράδειγμα, x ∈ ø (διαβάστε: «Η μεταβλητή «x» ανήκει στο κενό σύνολο»). Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης συστημάτων ανισώσεων: γραφικός, αλγεβρικός, μέθοδος αντικατάστασης. Αξίζει να σημειωθεί ότι αναφέρονται σε εκείνα τα μαθηματικά μοντέλα που έχουν αρκετές άγνωστες μεταβλητές. Στην περίπτωση που υπάρχει μόνο ένα, η μέθοδος του διαστήματος είναι κατάλληλη.

Γραφική μέθοδος

Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισώσεων με πολλά άγνωστα μεγέθη (από δύο και πάνω). Χάρη σε αυτή τη μέθοδο, ένα σύστημα γραμμικών ανισοτήτων μπορεί να λυθεί αρκετά εύκολα και γρήγορα, επομένως είναι η πιο κοινή μέθοδος. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι η γραφική παράσταση ενός γραφήματος μειώνει τον όγκο της εγγραφής μαθηματικών πράξεων. Γίνεται ιδιαίτερα ευχάριστο να κάνετε ένα μικρό διάλειμμα από το στυλό, να πάρετε ένα μολύβι με ένα χάρακα και να ξεκινήσετε περαιτέρω ενέργειες με τη βοήθειά τους όταν έχει γίνει πολλή δουλειά και θέλετε λίγη ποικιλία. Ωστόσο, σε μερικούς ανθρώπους δεν αρέσει αυτή η μέθοδος επειδή πρέπει να ξεφύγουν από την εργασία και να αλλάξουν τη διανοητική τους δραστηριότητα στο σχέδιο. Ωστόσο, αυτή είναι μια πολύ αποτελεσματική μέθοδος.

Για την επίλυση ενός συστήματος ανισώσεων χρησιμοποιώντας μια γραφική μέθοδο, είναι απαραίτητο να μεταφερθούν όλοι οι όροι κάθε ανισότητας στην αριστερή τους πλευρά. Τα πρόσημα θα αντιστραφούν, το μηδέν θα πρέπει να γραφεί στα δεξιά, τότε κάθε ανισότητα πρέπει να γραφτεί ξεχωριστά. Ως αποτέλεσμα, οι συναρτήσεις θα ληφθούν από τις ανισότητες. Μετά από αυτό, μπορείτε να βγάλετε ένα μολύβι και έναν χάρακα: τώρα πρέπει να σχεδιάσετε ένα γράφημα για κάθε συνάρτηση που έχετε αποκτήσει. Ολόκληρο το σύνολο των αριθμών που θα βρίσκεται στο διάστημα της τομής τους θα είναι μια λύση στο σύστημα των ανισώσεων.

Αλγεβρικός τρόπος

Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων με δύο άγνωστες μεταβλητές. Επίσης, οι ανισότητες πρέπει να έχουν το ίδιο πρόσημο ανισότητας (δηλαδή να περιέχουν είτε μόνο το πρόσημο "μεγαλύτερο από" ή μόνο το πρόσημο "λιγότερο από" κ.λπ.) Παρά τους περιορισμούς της, αυτή η μέθοδος είναι επίσης πιο περίπλοκη. Εφαρμόζεται σε δύο στάδια.

Η πρώτη περιλαμβάνει ενέργειες για να απαλλαγούμε από μια από τις άγνωστες μεταβλητές. Πρώτα πρέπει να το επιλέξετε και μετά να ελέγξετε για την παρουσία αριθμών μπροστά από αυτήν τη μεταβλητή. Εάν δεν υπάρχουν (τότε η μεταβλητή θα μοιάζει με ένα μόνο γράμμα), τότε δεν αλλάζουμε τίποτα, εάν υπάρχει (ο τύπος της μεταβλητής θα είναι, για παράδειγμα, 5y ή 12y), τότε είναι απαραίτητο να γίνει βεβαιωθείτε ότι σε κάθε ανισότητα ο αριθμός μπροστά από την επιλεγμένη μεταβλητή είναι ο ίδιος. Για να γίνει αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο των ανισώσεων με έναν κοινό παράγοντα, για παράδειγμα, εάν γράφεται 3y στην πρώτη ανισότητα και 5y στη δεύτερη, τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλους τους όρους της πρώτης ανισότητας επί 5 , και το δεύτερο κατά 3. Το αποτέλεσμα είναι 15y και 15y, αντίστοιχα.

Δεύτερο στάδιο λύσης. Είναι απαραίτητο να μεταφέρουμε την αριστερή πλευρά κάθε ανισότητας στις δεξιές τους πλευρές, αλλάζοντας το πρόσημο κάθε όρου στο αντίθετο και να γράψουμε μηδέν στα δεξιά. Έπειτα έρχεται το διασκεδαστικό μέρος: να απαλλαγούμε από την επιλεγμένη μεταβλητή (αλλιώς γνωστή ως "μείωση") προσθέτοντας τις ανισότητες. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα μια ανισότητα με μία μεταβλητή που πρέπει να λυθεί. Μετά από αυτό, θα πρέπει να κάνετε το ίδιο πράγμα, μόνο με μια άλλη άγνωστη μεταβλητή. Τα αποτελέσματα που θα προκύψουν θα είναι η λύση του συστήματος.

Μέθοδος αντικατάστασης

Σας επιτρέπει να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων εάν είναι δυνατόν να εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή. Τυπικά, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται όταν η άγνωστη μεταβλητή σε έναν όρο της ανισότητας αυξάνεται στην τέταρτη δύναμη και στον άλλο όρο τετραγωνίζεται. Έτσι, αυτή η μέθοδος στοχεύει στη μείωση του βαθμού ανισοτήτων στο σύστημα. Η δειγματική ανισότητα x 4 - x 2 - 1 ≤ 0 λύνεται με αυτόν τον τρόπο. Εισάγεται μια νέα μεταβλητή, για παράδειγμα t. Γράφουν: "Έστω t = x 2", και στη συνέχεια το μοντέλο ξαναγράφεται σε νέα μορφή. Στην περίπτωσή μας, παίρνουμε t 2 - t - 1 ≤0. Αυτή η ανισότητα πρέπει να λυθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του διαστήματος (περισσότερα σχετικά λίγο αργότερα), στη συνέχεια να επιστρέψετε στη μεταβλητή X και μετά να κάνετε το ίδιο με την άλλη ανισότητα. Οι απαντήσεις που θα ληφθούν θα είναι η λύση του συστήματος.

Μέθοδος διαστήματος

Αυτός είναι ο απλούστερος τρόπος επίλυσης συστημάτων ανισοτήτων, και ταυτόχρονα είναι καθολικός και διαδεδομένος. Χρησιμοποιείται σε σχολεία δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και ακόμη και σε ανώτερα σχολεία. Η ουσία του έγκειται στο γεγονός ότι ο μαθητής αναζητά διαστήματα ανισότητας σε μια αριθμητική γραμμή, η οποία σχεδιάζεται σε ένα τετράδιο (αυτό δεν είναι γράφημα, αλλά απλώς μια συνηθισμένη γραμμή με αριθμούς). Όπου τέμνονται τα διαστήματα των ανισώσεων, βρίσκεται η λύση του συστήματος. Για να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο διαστήματος, πρέπει να ακολουθήσετε τα εξής βήματα:

  1. Όλοι οι όροι κάθε ανισότητας μεταφέρονται στην αριστερή πλευρά με το πρόσημο να αλλάζει στο αντίθετο (δεξιά γράφεται το μηδέν).
  2. Οι ανισότητες καταγράφονται χωριστά και προσδιορίζεται η λύση σε καθεμία από αυτές.
  3. Βρίσκονται οι τομές των ανισώσεων στην αριθμογραμμή. Όλοι οι αριθμοί που βρίσκονται σε αυτές τις διασταυρώσεις θα είναι μια λύση.

Ποια μέθοδο να χρησιμοποιήσω;

Προφανώς αυτό που φαίνεται πιο εύκολο και βολικό, αλλά υπάρχουν περιπτώσεις που οι εργασίες απαιτούν μια συγκεκριμένη μέθοδο. Τις περισσότερες φορές λένε ότι πρέπει να λύσετε είτε χρησιμοποιώντας ένα γράφημα είτε τη μέθοδο διαστήματος. Η αλγεβρική μέθοδος και η αντικατάσταση χρησιμοποιούνται εξαιρετικά σπάνια ή καθόλου, καθώς είναι αρκετά περίπλοκες και μπερδεμένες, και επιπλέον, χρησιμοποιούνται περισσότερο για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων παρά ανισώσεων, επομένως θα πρέπει να καταφύγετε στη σχεδίαση γραφημάτων και διαστημάτων. Φέρνουν σαφήνεια, η οποία δεν μπορεί παρά να συμβάλει στην αποτελεσματική και γρήγορη εκτέλεση των μαθηματικών πράξεων.

Αν κάτι δεν πάει καλά

Κατά τη μελέτη ενός συγκεκριμένου θέματος στην άλγεβρα, φυσικά, μπορεί να προκύψουν προβλήματα με την κατανόησή του. Και αυτό είναι φυσιολογικό, γιατί ο εγκέφαλός μας είναι σχεδιασμένος με τέτοιο τρόπο ώστε να μην μπορεί να κατανοήσει σύνθετο υλικό με μια κίνηση. Συχνά χρειάζεται να ξαναδιαβάσετε μια παράγραφο, να ζητήσετε βοήθεια από έναν δάσκαλο ή να εξασκηθείτε στην επίλυση τυπικών εργασιών. Στην περίπτωσή μας, φαίνονται, για παράδειγμα, ως εξής: «Λύστε το σύστημα των ανισώσεων 3 x + 1 ≥ 0 και 2 x - 1 > 3». Έτσι, η προσωπική επιθυμία, η βοήθεια από ξένους και η πρακτική βοηθούν στην κατανόηση οποιουδήποτε περίπλοκου θέματος.

Διαλύτης?

Ένα βιβλίο λύσεων είναι επίσης πολύ κατάλληλο, αλλά όχι για αντιγραφή εργασιών, αλλά για αυτοβοήθεια. Σε αυτά μπορείτε να βρείτε συστήματα ανισοτήτων με λύσεις, να τα δείτε (ως πρότυπα), να προσπαθήσετε να καταλάβετε ακριβώς πώς ο συγγραφέας της λύσης αντιμετώπισε την εργασία και στη συνέχεια να προσπαθήσετε να κάνετε το ίδιο μόνοι σας.

συμπεράσματα

Η άλγεβρα είναι ένα από τα πιο δύσκολα μαθήματα στο σχολείο. Λοιπόν, τι μπορείτε να κάνετε; Τα μαθηματικά ήταν πάντα έτσι: για άλλους είναι εύκολα, αλλά για άλλους είναι δύσκολα. Αλλά σε κάθε περίπτωση, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι το πρόγραμμα γενικής εκπαίδευσης είναι δομημένο με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε μαθητής να μπορεί να το αντιμετωπίσει. Επιπλέον, πρέπει να έχει κανείς υπόψη του τον τεράστιο αριθμό των βοηθών. Μερικοί από αυτούς έχουν αναφερθεί παραπάνω.

Επίλυση ανισότητας σε δύο μεταβλητές, και ακόμη περισσότερο συστήματα ανισοτήτων με δύο μεταβλητές, φαίνεται να είναι αρκετά δύσκολο έργο. Ωστόσο, υπάρχει ένας απλός αλγόριθμος που βοηθά στην επίλυση φαινομενικά πολύ περίπλοκων προβλημάτων αυτού του είδους εύκολα και χωρίς ιδιαίτερη προσπάθεια. Ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε.

Ας έχουμε μια ανισότητα με δύο μεταβλητές ενός από τους παρακάτω τύπους:

y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).

Για να απεικονίσετε το σύνολο των λύσεων σε μια τέτοια ανισότητα στο επίπεδο συντεταγμένων, προχωρήστε ως εξής:

1. Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f(x), η οποία χωρίζει το επίπεδο σε δύο περιοχές.

2. Επιλέγουμε οποιαδήποτε από τις περιοχές που προκύπτουν και εξετάζουμε ένα αυθαίρετο σημείο σε αυτό. Ελέγχουμε τη σκοπιμότητα της αρχικής ανισότητας για αυτό το σημείο. Εάν η δοκιμή καταλήξει σε σωστή αριθμητική ανισότητα, τότε συμπεραίνουμε ότι η αρχική ανισότητα ικανοποιείται σε ολόκληρη την περιοχή στην οποία ανήκει το επιλεγμένο σημείο. Έτσι, το σύνολο των λύσεων στην ανισότητα είναι η περιοχή στην οποία ανήκει το επιλεγμένο σημείο. Εάν το αποτέλεσμα του ελέγχου είναι μια εσφαλμένη αριθμητική ανισότητα, τότε το σύνολο των λύσεων της ανισότητας θα είναι η δεύτερη περιοχή στην οποία δεν ανήκει το επιλεγμένο σημείο.

3. Αν η ανισότητα είναι αυστηρή, τότε τα όρια της περιοχής, δηλαδή τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x), δεν περιλαμβάνονται στο σύνολο των λύσεων και το όριο απεικονίζεται με διακεκομμένη γραμμή. Αν η ανισότητα δεν είναι αυστηρή, τότε τα όρια της περιοχής, δηλαδή τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = f(x), περιλαμβάνονται στο σύνολο των λύσεων αυτής της ανισότητας και το όριο σε αυτή την περίπτωση απεικονίζεται ως συμπαγής γραμμή.
Τώρα ας δούμε πολλά προβλήματα σε αυτό το θέμα.

Εργασία 1.

Ποιο σύνολο σημείων δίνεται από την ανίσωση x · y ≤ 4;

Λύση.

1) Κατασκευάζουμε μια γραφική παράσταση της εξίσωσης x · y = 4. Για να γίνει αυτό, πρώτα τη μετασχηματίζουμε. Προφανώς, το x σε αυτή την περίπτωση δεν μετατρέπεται σε 0, αφού διαφορετικά θα είχαμε 0 · y = 4, το οποίο είναι λάθος. Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να διαιρέσουμε την εξίσωσή μας με το x. Παίρνουμε: y = 4/x. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι υπερβολή. Χωρίζει ολόκληρο το επίπεδο σε δύο περιοχές: τη μία ανάμεσα στους δύο κλάδους της υπερβολής και την έξω από αυτές.

2) Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετο σημείο από την πρώτη περιοχή, έστω το σημείο (4; 2).
Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 4 · 2 ≤ 4 – false.

Αυτό σημαίνει ότι τα σημεία αυτής της περιοχής δεν ικανοποιούν την αρχική ανισότητα. Τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το σύνολο των λύσεων της ανισότητας θα είναι η δεύτερη περιοχή στην οποία δεν ανήκει το επιλεγμένο σημείο.

3) Εφόσον η ανίσωση δεν είναι αυστηρή, σχεδιάζουμε τα οριακά σημεία, δηλαδή τα σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y = 4/x, με συμπαγή γραμμή.

Ας ζωγραφίσουμε το σύνολο των σημείων που ορίζει την αρχική ανισότητα με κίτρινο χρώμα (Εικ. 1).

Εργασία 2.

Σχεδιάστε την περιοχή που ορίζεται στο επίπεδο συντεταγμένων από το σύστημα
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Λύση.

Αρχικά, κατασκευάζουμε γραφήματα των παρακάτω συναρτήσεων (Εικ. 2):

y = x 2 + 2 – παραβολή,

y + x = 1 – ευθεία γραμμή

x 2 + y 2 = 9 – κύκλος.

1) y > x 2 + 2.

Παίρνουμε το σημείο (0; 5), το οποίο βρίσκεται πάνω από το γράφημα της συνάρτησης.
Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 5 > 0 2 + 2 – αληθές.

Συνεπώς, όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω από τη δεδομένη παραβολή y = x 2 + 2 ικανοποιούν την πρώτη ανισότητα του συστήματος. Ας τα βάψουμε κίτρινα.

2) y + x > 1.

Παίρνουμε το σημείο (0; 3), το οποίο βρίσκεται πάνω από το γράφημα της συνάρτησης.
Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 3 + 0 > 1 – αληθές.

Κατά συνέπεια, όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω από την ευθεία y + x = 1 ικανοποιούν τη δεύτερη ανισότητα του συστήματος. Ας τα βάψουμε με πράσινη σκίαση.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Πάρτε το σημείο (0; -4), που βρίσκεται έξω από τον κύκλο x 2 + y 2 = 9.
Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – λάθος.

Επομένως, όλα τα σημεία που βρίσκονται έξω από τον κύκλο x 2 + y 2 = 9, δεν ικανοποιούν την τρίτη ανισότητα του συστήματος. Τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι όλα τα σημεία που βρίσκονται μέσα στον κύκλο x 2 + y 2 = 9 ικανοποιούν την τρίτη ανισότητα του συστήματος. Ας τα βάψουμε με μωβ σκίαση.

Μην ξεχνάτε ότι εάν η ανισότητα είναι αυστηρή, τότε η αντίστοιχη οριακή γραμμή θα πρέπει να σχεδιάζεται με μια διακεκομμένη γραμμή. Παίρνουμε την παρακάτω εικόνα (Εικ. 3).

(Εικ. 4).

Εργασία 3.

Σχεδιάστε την περιοχή που ορίζεται στο επίπεδο συντεταγμένων από το σύστημα:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Λύση.

Αρχικά, χτίζουμε γραφήματα των παρακάτω συναρτήσεων:

x 2 + y 2 = 16 – κύκλος,

x = -y – ευθεία γραμμή

x 2 + y 2 = 4 – κύκλος (Εικ. 5).

Τώρα ας δούμε κάθε ανισότητα ξεχωριστά.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Πάρτε το σημείο (0; 0), που βρίσκεται μέσα στον κύκλο x 2 + y 2 = 16.
Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – αληθές.

Επομένως, όλα τα σημεία που βρίσκονται μέσα στον κύκλο x 2 + y 2 = 16 ικανοποιούν την πρώτη ανισότητα του συστήματος.
Ας τα βάψουμε με κόκκινη σκίαση.

Παίρνουμε το σημείο (1; 1), το οποίο βρίσκεται πάνω από το γράφημα της συνάρτησης.
Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 1 ≥ -1 – αληθές.

Κατά συνέπεια, όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω από την ευθεία x = -y ικανοποιούν τη δεύτερη ανισότητα του συστήματος. Ας τα βάψουμε με μπλε σκίαση.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Πάρτε το σημείο (0; 5), που βρίσκεται έξω από τον κύκλο x 2 + y 2 = 4.
Ας ελέγξουμε την ανισότητα: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – αληθές.

Κατά συνέπεια, όλα τα σημεία που βρίσκονται έξω από τον κύκλο x 2 + y 2 = 4 ικανοποιούν την τρίτη ανισότητα του συστήματος. Ας τα βάψουμε μπλε.

Σε αυτό το πρόβλημα, όλες οι ανισότητες δεν είναι αυστηρές, πράγμα που σημαίνει ότι σχεδιάζουμε όλα τα όρια με μια σταθερή γραμμή. Παίρνουμε την παρακάτω εικόνα (Εικ. 6).

Η περιοχή αναζήτησης είναι η περιοχή όπου και οι τρεις χρωματιστές περιοχές τέμνονται μεταξύ τους (Εικόνα 7).

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε ένα σύστημα ανισοτήτων με δύο μεταβλητές;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Συστήματα ανισοτήτων. Παραδείγματα λύσεων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τις κριτικές, τις επιθυμίες σας! Όλα τα υλικά έχουν ελεγχθεί από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Εκπαιδευτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα Integral για την 9η τάξη
Διαδραστικό εγχειρίδιο για την 9η τάξη "Κανόνες και ασκήσεις στη γεωμετρία"
Ηλεκτρονικό εγχειρίδιο «Εννοητή Γεωμετρία» για τις τάξεις 7-9

Σύστημα ανισοτήτων

Παιδιά, έχετε μελετήσει γραμμικές και τετραγωνικές ανισότητες και μάθετε πώς να επιλύετε προβλήματα σε αυτά τα θέματα. Τώρα ας προχωρήσουμε σε μια νέα έννοια στα μαθηματικά - ένα σύστημα ανισοτήτων. Ένα σύστημα ανισοτήτων είναι παρόμοιο με ένα σύστημα εξισώσεων. Θυμάστε συστήματα εξισώσεων; Σπουδάσατε συστήματα εξισώσεων στην έβδομη δημοτικού, προσπαθήστε να θυμηθείτε πώς τα λύσατε.

Ας εισαγάγουμε τον ορισμό ενός συστήματος ανισοτήτων.
Πολλές ανισώσεις με κάποια μεταβλητή x σχηματίζουν ένα σύστημα ανισώσεων, εάν πρέπει να βρείτε όλες τις τιμές του x για τις οποίες καθεμία από τις ανισώσεις σχηματίζει μια σωστή αριθμητική έκφραση.

Οποιαδήποτε τιμή του x για την οποία κάθε ανισότητα παίρνει τη σωστή αριθμητική έκφραση είναι μια λύση στην ανισότητα. Μπορεί επίσης να ονομαστεί ιδιωτική λύση.
Τι είναι μια ιδιωτική λύση; Για παράδειγμα, στην απάντηση λάβαμε την έκφραση x>7. Τότε x=8, ή x=123, ή οποιοσδήποτε άλλος αριθμός μεγαλύτερος από επτά είναι μια συγκεκριμένη λύση και η έκφραση x>7 είναι μια γενική λύση. Η γενική λύση διαμορφώνεται από πολλές ιδιωτικές λύσεις.

Πώς συνδυάσαμε το σύστημα των εξισώσεων; Αυτό είναι σωστό, ένα σγουρό στήριγμα, και έτσι κάνουν το ίδιο με τις ανισότητες. Ας δούμε ένα παράδειγμα συστήματος ανισοτήτων: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Εάν το σύστημα των ανισοτήτων αποτελείται από πανομοιότυπες εκφράσεις, για παράδειγμα, $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Λοιπόν, τι σημαίνει: να βρεθεί μια λύση σε ένα σύστημα ανισοτήτων;
Μια λύση σε μια ανισότητα είναι ένα σύνολο μερικών λύσεων σε μια ανισότητα που ικανοποιούν και τις δύο ανισότητες του συστήματος ταυτόχρονα.

Γράφουμε τη γενική μορφή του συστήματος των ανισοτήτων ως $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Ας συμβολίσουμε το $Х_1$ ως τη γενική λύση της ανίσωσης f(x)>0.
Το $X_2$ είναι η γενική λύση της ανισότητας g(x)>0.
Το $X_1$ και το $X_2$ είναι ένα σύνολο συγκεκριμένων λύσεων.
Η λύση στο σύστημα των ανισοτήτων θα είναι αριθμοί που ανήκουν τόσο στο $X_1$ όσο και στο $X_2$.
Ας θυμηθούμε τις πράξεις στα σετ. Πώς βρίσκουμε στοιχεία ενός συνόλου που ανήκουν και στα δύο σύνολα ταυτόχρονα; Σωστά, υπάρχει μια λειτουργία διασταύρωσης για αυτό. Άρα, η λύση στην ανισότητα μας θα είναι το σύνολο $A= X_1∩ X_2$.

Παραδείγματα λύσεων σε συστήματα ανισοτήτων

Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης συστημάτων ανισοτήτων.

Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων.
α) $\begin(περιπτώσεις)3x-1>2\\5x-10 β) $\begin(περιπτώσεις)2x-4≤6\\-x-4
Λύση.
α) Λύστε κάθε ανίσωση χωριστά.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Ας σημειώσουμε τα διαστήματα μας σε μία γραμμή συντεταγμένων.

Η λύση του συστήματος θα είναι το τμήμα τομής των διαστημάτων μας. Η ανισότητα είναι αυστηρή, τότε το τμήμα θα είναι ανοιχτό.
Απάντηση: (1;3).

Β) Θα λύσουμε επίσης κάθε ανισότητα ξεχωριστά.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


Η λύση του συστήματος θα είναι το τμήμα τομής των διαστημάτων μας. Η δεύτερη ανισότητα είναι αυστηρή, τότε το τμήμα θα είναι ανοιχτό στα αριστερά.
Απάντηση: (-5; 5].

Ας συνοψίσουμε αυτά που μάθαμε.
Ας υποθέσουμε ότι είναι απαραίτητο να λυθεί το σύστημα των ανισώσεων: $\begin(περιπτώσεις)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end (περιπτώσεις)$.
Τότε, το διάστημα ($x_1; x_2$) είναι η λύση στην πρώτη ανισότητα.
Το διάστημα ($y_1; y_2$) είναι η λύση στη δεύτερη ανισότητα.
Η λύση σε ένα σύστημα ανισώσεων είναι η τομή των λύσεων σε κάθε ανισότητα.

Τα συστήματα ανισοτήτων μπορούν να αποτελούνται όχι μόνο από ανισότητες πρώτης τάξης, αλλά και από οποιοδήποτε άλλο είδος ανισοτήτων.

Σημαντικοί κανόνες για την επίλυση συστημάτων ανισοτήτων.
Αν μια από τις ανισότητες του συστήματος δεν έχει λύσεις, τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχει λύσεις.
Εάν μία από τις ανισώσεις ικανοποιηθεί για οποιεσδήποτε τιμές της μεταβλητής, τότε η λύση του συστήματος θα είναι η λύση της άλλης ανισότητας.

Παραδείγματα.
Λύστε το σύστημα ανισώσεων:$\αρχή(περίπτωση)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(περιπτώσεις)$
Λύση.
Ας λύσουμε κάθε ανισότητα ξεχωριστά.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.



Ας λύσουμε τη δεύτερη ανισότητα.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Η λύση στην ανισότητα είναι το διάστημα.
Ας σχεδιάσουμε και τα δύο διαστήματα στην ίδια ευθεία και ας βρούμε την τομή.
Η τομή των διαστημάτων είναι το τμήμα (4; 6].
Απάντηση: (4;6].

Λύστε το σύστημα των ανισοτήτων.
α) $\begin(περιπτώσεις)3x+3>6\\2x^2+4x+4 β) $\begin(περιπτώσεις)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end (περιπτώσεις )$.

Λύση.
α) Η πρώτη ανίσωση έχει λύση x>1.
Ας βρούμε τη διάκριση για τη δεύτερη ανισότητα.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Ας θυμηθούμε τον κανόνα: όταν μια από τις ανισότητες δεν έχει λύσεις, τότε ολόκληρο το σύστημα δεν έχει λύσεις.
Απάντηση: Δεν υπάρχουν λύσεις.

Β) Η πρώτη ανίσωση έχει λύση x>1.
Η δεύτερη ανισότητα είναι μεγαλύτερη από το μηδέν για όλα τα x. Τότε η λύση του συστήματος συμπίπτει με τη λύση της πρώτης ανισότητας.
Απάντηση: x>1.

Προβλήματα σε συστήματα ανισοτήτων για ανεξάρτητη λύση

Επίλυση συστημάτων ανισοτήτων:
α) $\begin(περιπτώσεις)4x-5>11\\2x-12 β) $\begin(περιπτώσεις)-3x+1>5\\3x-11 γ) $\begin(περιπτώσεις)x^2-25 δ) $\begin(περιπτώσεις)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(περιπτώσεις)$
ε) $\begin(περιπτώσεις)x^2+36

Το άρθρο καλύπτει το θέμα των ανισοτήτων, συζητούνται οι ορισμοί των συστημάτων και οι λύσεις τους. Θα εξεταστούν συχνά παραδείγματα επίλυσης συστημάτων εξισώσεων στο σχολείο στην άλγεβρα.

Ορισμός συστήματος ανισοτήτων

Τα συστήματα ανισώσεων καθορίζονται από τους ορισμούς των συστημάτων εξισώσεων, πράγμα που σημαίνει ότι δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στις εγγραφές και το νόημα της ίδιας της εξίσωσης.

Ορισμός 1

Σύστημα ανισοτήτωνονομάζεται εγγραφή εξισώσεων σε συνδυασμό με σγουρό άγκιστρο με ένα σύνολο λύσεων ταυτόχρονα για όλες τις ανισότητες που περιλαμβάνονται στο σύστημα.

Παρακάτω είναι παραδείγματα ανισοτήτων. Δίνονται δύο ανισώσεις: 2 x − 3 > 0 και 5 − x ≥ 4 x − 11. Είναι απαραίτητο να γράψετε τη μια εξίσωση κάτω από την άλλη και στη συνέχεια να τη συνδυάσετε χρησιμοποιώντας ένα σγουρό στήριγμα:

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Με τον ίδιο τρόπο, οι ορισμοί των συστημάτων ανισοτήτων παρουσιάζονται στα σχολικά εγχειρίδια τόσο για τη χρήση μιας μεταβλητής όσο και για δύο.

Κύριοι τύποι συστημάτων ανισοτήτων

Δημιουργείται άπειρος αριθμός συστημάτων ανισοτήτων. Ταξινομούνται σε ομάδες που διαφέρουν ως προς ορισμένα χαρακτηριστικά. Οι ανισότητες χωρίζονται σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια:

  • αριθμός ανισοτήτων συστήματος·
  • αριθμός μεταβλητών εγγραφής·
  • τύπος ανισοτήτων.

Ο αριθμός των εισερχόμενων ανισοτήτων μπορεί να είναι δύο ή περισσότερες. Η προηγούμενη παράγραφος εξέτασε ένα παράδειγμα επίλυσης συστήματος με δύο ανισότητες.

2 x - 3 > 0, 5 - x ≥ 4 x - 11

Ας εξετάσουμε την επίλυση ενός συστήματος με τέσσερις ανισότητες.

x ≥ - 2 , y ≤ 5 , x + y + z ≥ 3 , z ≤ 1 - x 2 - 4 y 2

Η επίλυση μιας ανισότητας χωριστά δεν υποδεικνύει τη λύση του συστήματος στο σύνολό του. Για την επίλυση του συστήματος, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν όλες οι υπάρχουσες ανισότητες.

Τέτοια συστήματα ανισοτήτων μπορεί να έχουν μία, δύο, τρεις ή περισσότερες μεταβλητές. Στο τελευταίο απεικονιζόμενο σύστημα αυτό είναι καθαρά ορατό· εκεί έχουμε τρεις μεταβλητές: x, y, z. Οι εξισώσεις μπορεί να περιέχουν μία μεταβλητή, όπως στο παράδειγμα, ή πολλές. Με βάση τα παραδείγματα, η ανισότητα x + 0 · y + 0 · z ≥ − 2 και 0 · x + y + 0 · z ≤ 5 δεν θεωρούνται ισοδύναμες. Τα σχολικά προγράμματα επικεντρώνονται στην επίλυση των ανισοτήτων σε μία μεταβλητή.

Κατά τη σύνταξη ενός συστήματος, μπορούν να εμπλέκονται εξισώσεις διαφορετικών τύπων και με διαφορετικούς αριθμούς μεταβλητών. Τις περισσότερες φορές υπάρχουν ολόκληρες ανισότητες διαφορετικούς βαθμούς. Κατά την προετοιμασία για εξετάσεις, μπορεί να συναντήσετε συστήματα με παράλογες, λογαριθμικές, εκθετικές εξισώσεις της μορφής:

544 - 4 - x 32 - 2 - x ≥ 17 , ημερολόγιο x 2 16 x + 20 16 ≤ 1

Ένα τέτοιο σύστημα περιλαμβάνει μια εκθετική και λογαριθμική εξίσωση.

Επίλυση του συστήματος των ανισοτήτων

Ορισμός 2

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης συστημάτων εξισώσεων με μία μεταβλητή.

x > 7, 2 - 3 x ≤ 0

Αν η τιμή x = 8, τότε η λύση του συστήματος είναι προφανής, αφού ισχύουν 8 > 7 και 2 − 3 8 ≤ 0. Στο x = 1, το σύστημα δεν θα λυθεί, αφού η πρώτη αριθμητική ανισότητα κατά την αντικατάσταση έχει 1 > 7. Ένα σύστημα με δύο ή περισσότερες μεταβλητές επιλύεται με τον ίδιο τρόπο.

Ορισμός 3

Επίλυση συστήματος ανισώσεων με δύο ή περισσότερες μεταβλητέςονομάστε τις τιμές που είναι η λύση όλων των ανισώσεων όταν η καθεμία μετατρέπεται σε σωστή αριθμητική ανισότητα.

Αν x = 1 και y = 2 θα είναι η λύση της ανίσωσης x + y< 7 x - y < 0 , потому как выражения 1 + 2 < 7 и 1 − 2 < 0 верны. Если подставить числовую пару (3 , 5 , 3) , тогда система не даст значения переменных и неравенство будет неверным 3 , 5 − 3 < 0 .

Όταν λύνουν συστήματα ανισώσεων, μπορούν να δώσουν έναν ορισμένο αριθμό απαντήσεων ή μπορούν να δώσουν έναν άπειρο αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν πολλές λύσεις σε ένα τέτοιο σύστημα. Αν δεν υπάρχουν λύσεις, λέμε ότι έχει ένα κενό σύνολο λύσεων. Εάν μια λύση έχει έναν συγκεκριμένο αριθμό, τότε το σύνολο λύσεων έχει έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Εάν υπάρχουν πολλές λύσεις, τότε το σύνολο λύσεων περιέχει άπειρο αριθμό αριθμών.

Ορισμένα σχολικά βιβλία δίνουν έναν ορισμό μιας συγκεκριμένης λύσης σε ένα σύστημα ανισοτήτων, που νοείται ως ξεχωριστή λύση. Και η γενική λύση ενός συστήματος ανισοτήτων θεωρείται ότι είναι όλες οι ιδιαίτερες λύσεις του. Αυτός ο ορισμός χρησιμοποιείται σπάνια, έτσι λένε "λύοντας ένα σύστημα ανισοτήτων".

Αυτοί οι ορισμοί συστημάτων ανισοτήτων και λύσεων θεωρούνται ως τομές συνόλων λύσεων σε όλες τις ανισότητες του συστήματος. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί στην ενότητα που είναι αφιερωμένη στις ισοδύναμες ανισότητες.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter


Αυτό το άρθρο παρέχει αρχικές πληροφορίες σχετικά με συστήματα ανισοτήτων. Εδώ είναι ένας ορισμός ενός συστήματος ανισοτήτων και ένας ορισμός μιας λύσης σε ένα σύστημα ανισοτήτων. Παρατίθενται επίσης οι κύριοι τύποι συστημάτων με τους οποίους πρέπει να δουλέψουμε πιο συχνά στα μαθήματα άλγεβρας στο σχολείο και δίνονται παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι είναι ένα σύστημα ανισοτήτων;

Είναι βολικό να ορίζουμε συστήματα ανισοτήτων με τον ίδιο τρόπο που εισαγάγαμε τον ορισμό ενός συστήματος εξισώσεων, δηλαδή από τον τύπο της σημειογραφίας και το νόημα που είναι ενσωματωμένο σε αυτό.

Ορισμός.

Σύστημα ανισοτήτωνείναι μια εγγραφή που αντιπροσωπεύει έναν ορισμένο αριθμό ανισοτήτων γραμμένων η μία κάτω από την άλλη, ενωμένη στα αριστερά με ένα σγουρό άγκιστρο και υποδηλώνει το σύνολο όλων των λύσεων που είναι ταυτόχρονα λύσεις σε κάθε ανισότητα του συστήματος.

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα ενός συστήματος ανισοτήτων. Ας πάρουμε δύο αυθαίρετα, για παράδειγμα, 2 x−3>0 και 5−x≥4 x−11, γράψτε το ένα κάτω από το άλλο
2 x−3>0,
5−x≥4 x−11
και ενώστε με ένα σύμβολο συστήματος - ένα σγουρό στήριγμα, ως αποτέλεσμα λαμβάνουμε ένα σύστημα ανισοτήτων της ακόλουθης μορφής:

Παρόμοια ιδέα δίνεται για συστήματα ανισοτήτων στα σχολικά εγχειρίδια. Αξίζει να σημειωθεί ότι οι ορισμοί τους δίνονται πιο στενά: για ανισότητες με μία μεταβλητή ή με δύο μεταβλητές.

Κύριοι τύποι συστημάτων ανισοτήτων

Είναι σαφές ότι είναι δυνατό να δημιουργηθούν άπειρα πολλά διαφορετικά συστήματα ανισοτήτων. Για να μην χαθείτε σε αυτή την ποικιλομορφία, καλό είναι να τα εξετάζετε σε ομάδες που έχουν τα δικά τους διακριτικά χαρακτηριστικά. Όλα τα συστήματα ανισοτήτων μπορούν να χωριστούν σε ομάδες σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια:

  • από τον αριθμό των ανισοτήτων στο σύστημα.
  • από τον αριθμό των μεταβλητών που εμπλέκονται στην καταγραφή·
  • από το είδος των ίδιων των ανισοτήτων.

Με βάση τον αριθμό των ανισοτήτων που περιλαμβάνονται στην εγγραφή, διακρίνονται συστήματα δύο, τριών, τεσσάρων κ.λπ. ανισότητες Στην προηγούμενη παράγραφο δώσαμε ένα παράδειγμα συστήματος, το οποίο είναι ένα σύστημα δύο ανισοτήτων. Ας δείξουμε ένα άλλο παράδειγμα συστήματος τεσσάρων ανισοτήτων .

Ξεχωριστά, θα πούμε ότι δεν έχει νόημα να μιλάμε μόνο για ένα σύστημα ανισότητας· στην περίπτωση αυτή, στην ουσία, μιλάμε για την ίδια την ανισότητα και όχι για το σύστημα.

Αν κοιτάξετε τον αριθμό των μεταβλητών, τότε υπάρχουν συστήματα ανισοτήτων με μία, δύο, τρεις κ.λπ. μεταβλητές (ή, όπως λένε επίσης, άγνωστοι). Κοιτάξτε το τελευταίο σύστημα ανισοτήτων που γράφτηκε δύο παραγράφους παραπάνω. Είναι ένα σύστημα με τρεις μεταβλητές x, y και z. Σημειώστε ότι οι δύο πρώτες ανισότητες της δεν περιέχουν και τις τρεις μεταβλητές, αλλά μόνο μία από αυτές. Στο πλαίσιο αυτού του συστήματος, θα πρέπει να νοούνται ως ανισώσεις με τρεις μεταβλητές της μορφής x+0·y+0·z≥−2 και 0·x+y+0·z≤5, αντίστοιχα. Σημειώστε ότι το σχολείο εστιάζει στις ανισότητες με μία μεταβλητή.

Μένει να συζητήσουμε ποιοι τύποι ανισοτήτων εμπλέκονται στα συστήματα καταγραφής. Στο σχολείο, εξετάζουν κυρίως συστήματα δύο ανισοτήτων (λιγότερο συχνά - τρεις, ακόμα λιγότερο - τέσσερις ή περισσότερες) με μία ή δύο μεταβλητές και οι ίδιες οι ανισότητες είναι συνήθως ολόκληρες ανισότητεςπρώτου ή δεύτερου βαθμού (λιγότερο συχνά - υψηλότεροι βαθμοί ή κλασματικά ορθολογικοί). Αλλά μην εκπλαγείτε αν στο υλικό προετοιμασίας σας για τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους συναντήσετε συστήματα ανισώσεων που περιέχουν παράλογες, λογαριθμικές, εκθετικές και άλλες ανισότητες. Ως παράδειγμα, δίνουμε το σύστημα των ανισοτήτων , έχει ληφθεί από .

Ποια είναι η λύση σε ένα σύστημα ανισοτήτων;

Ας εισαγάγουμε έναν άλλο ορισμό που σχετίζεται με συστήματα ανισοτήτων - τον ορισμό μιας λύσης σε ένα σύστημα ανισοτήτων:

Ορισμός.

Επίλυση συστήματος ανισώσεων με μία μεταβλητήονομάζεται μια τέτοια τιμή μιας μεταβλητής που μετατρέπει καθεμία από τις ανισότητες του συστήματος σε αληθή, με άλλα λόγια, είναι μια λύση σε κάθε ανισότητα του συστήματος.

Ας εξηγήσουμε με ένα παράδειγμα. Ας πάρουμε ένα σύστημα δύο ανισοτήτων με μία μεταβλητή. Ας πάρουμε την τιμή της μεταβλητής x ίση με 8, είναι εξ ορισμού λύση στο σύστημα των ανισώσεων μας, αφού η αντικατάστασή της στις ανισώσεις του συστήματος δίνει δύο σωστές αριθμητικές ανισώσεις 8>7 και 2−3·8≤0. Αντίθετα, η ενότητα δεν είναι λύση στο σύστημα, αφού όταν αντικατασταθεί με τη μεταβλητή x, η πρώτη ανισότητα θα μετατραπεί σε λανθασμένη αριθμητική ανισότητα 1>7.

Ομοίως, μπορείτε να εισαγάγετε τον ορισμό μιας λύσης σε ένα σύστημα ανισοτήτων με δύο, τρεις ή περισσότερες μεταβλητές:

Ορισμός.

Επίλυση συστήματος ανισώσεων με δύο, τρία κ.λπ. μεταβλητέςονομάζεται ένα ζευγάρι, τρία, κ.λπ. Τιμές αυτών των μεταβλητών, που ταυτόχρονα αποτελεί λύση σε κάθε ανισότητα του συστήματος, μετατρέπει δηλαδή κάθε ανισότητα του συστήματος σε σωστή αριθμητική ανισότητα.

Για παράδειγμα, ένα ζεύγος τιμών x=1, y=2 ή σε άλλη σημείωση (1, 2) είναι μια λύση σε ένα σύστημα ανισώσεων με δύο μεταβλητές, αφού 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Τα συστήματα ανισώσεων μπορεί να μην έχουν λύσεις, μπορεί να έχουν πεπερασμένο αριθμό λύσεων ή μπορεί να έχουν άπειρο αριθμό λύσεων. Οι άνθρωποι συχνά μιλούν για ένα σύνολο λύσεων σε ένα σύστημα ανισοτήτων. Όταν ένα σύστημα δεν έχει λύσεις, τότε υπάρχει ένα κενό σύνολο λύσεων του. Όταν υπάρχει ένας πεπερασμένος αριθμός λύσεων, τότε το σύνολο των λύσεων περιέχει έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων και όταν υπάρχουν άπειρες λύσεις, τότε το σύνολο των λύσεων αποτελείται από άπειρο αριθμό στοιχείων.

Ορισμένες πηγές εισάγουν ορισμούς μιας συγκεκριμένης και γενικής λύσης σε ένα σύστημα ανισοτήτων, όπως, για παράδειγμα, στα σχολικά βιβλία του Mordkovich. Κάτω από ιδιωτική λύση του συστήματος των ανισοτήτωνκαταλάβετε τη μοναδική της απόφαση. Με τη σειρά του γενική λύση στο σύστημα των ανισοτήτων- αυτές είναι όλες οι ιδιωτικές της αποφάσεις. Ωστόσο, αυτοί οι όροι έχουν νόημα μόνο όταν είναι απαραίτητο να τονιστεί συγκεκριμένα για ποιο είδος λύσης μιλάμε, αλλά συνήθως αυτό είναι ήδη ξεκάθαρο από τα συμφραζόμενα, τόσο πιο συχνά λένε απλώς «μια λύση σε ένα σύστημα ανισοτήτων».

Από τους ορισμούς ενός συστήματος ανισώσεων και τις λύσεις του που εισάγονται σε αυτό το άρθρο, προκύπτει ότι μια λύση σε ένα σύστημα ανισώσεων είναι η τομή των συνόλων λύσεων σε όλες τις ανισότητες αυτού του συστήματος.

Βιβλιογραφία.

  1. Αλγεβρα:εγχειρίδιο για την 8η τάξη. γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2008. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-019243-9.
  2. Αλγεβρα: 9η τάξη: εκπαιδευτικά. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα / [Γιού. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; επεξεργάστηκε από S. A. Telyakovsky. - 16η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 2009. - 271 σελ. : Εγώ θα. - ISBN 978-5-09-021134-5.
  3. Mordkovich A. G.Αλγεβρα. 9η τάξη. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2011. - 222 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01752-3.
  4. Mordkovich A. G.Άλγεβρα και αρχή μαθηματικής ανάλυσης. Βαθμός 11. Σε 2 ώρες Μέρος 1. Εγχειρίδιο για μαθητές ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης (επίπεδο προφίλ) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2η έκδ., σβησμένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2008. - 287 σελ.: εικ. ISBN 978-5-346-01027-2.
  5. Ενιαία Κρατική Εξέταση-2013. Μαθηματικά: τυπικές επιλογές εξετάσεων: 30 επιλογές / εκδ. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – Μ.: Εκδοτικός Οίκος «Εθνική Παιδεία», 2012. – 192 σελ. – (ΧΡΗΣΗ-2013. FIPI - σχολείο).