Εκπαιδευτική ερευνητική εργασία για τη μαθηματική λογική. Δείγματα θεμάτων για μαθήματα στον κλάδο «Μαθηματική Λογική. Τα προβλήματα λύθηκαν από το τέλος

Για να προβάλετε αυτό το αρχείο PDF με μορφοποίηση και σήμανση, κατεβάστε το και ανοίξτε το στον υπολογιστή σας.
Υπουργείο Παιδείας της Περιφέρειας Όρενμπουργκ

Κρατικό Αυτόνομο Επαγγελματικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα
"Orsk Mechanical Engineering College"

Orsk, περιοχή Orenburg

Ερευνα

μαθηματικά

«
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΩΡΙΣ
ΤΥΠΟΛΟΙ, ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ
ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
»

Ετοιμος
:
Θορίκ Αικατερίνα
,

ομαδικός μαθητής
15 LP

Επόπτης:
Marchenko O.V.
.,

μαθηματικός
ματική

Μαθηματικά
–

αυτός είναι ένας ιδιαίτερος κόσμος στον οποίο οι φόρμουλες παίζουν πρωταγωνιστικό ρόλο,
σύμβολα και γεωμετρικά αντικείμενα. Στην έρευνα
Στη δουλειά αποφασίσαμε
μάθετε τι συμβαίνει εάν αφαιρέσετε τύπους, εξισώσεις και
ανισότητα?

Η συνάφεια αυτής της μελέτης είναι ότι

από χρόνο σε χρόνο
Έχασε το ενδιαφέρον για τα μαθηματικά. Δεν τους αρέσουν τα μαθηματικά, ειδικά επειδή
-
για φόρμουλες.
Σε αυτό

Στη δουλειά μας δεν θέλουμε μόνο να δείξουμε την ομορφιά των μαθηματικών, αλλά και
να ξεπεράσουν τις αναδυόμενες ιδέες για την «ξηρότητα» στο μυαλό των μαθητών,
επίσημος χαρακτήρας, απομόνωση αυτής της επιστήμης από τη ζωή και την πράξη.

Σκοπός της εργασίας: να αποδείξει ότι τα μαθηματικά θα παραμείνουν ολοκληρωμένα
προηγμένη επιστήμη, με
αυτό είναι ενδιαφέρον και πολύπλευρο, αν αφαιρέσετε τύπους, εξισώσεις και
ανισότητες.

Στόχοι εργασίας:
δείχνουν εκείνον τον μαθηματικό
ΕΝΑ

χωρίς τύπους, εξισώσεις και
ανισότητες
είναι μια πλήρης επιστήμη
; κάνω μια έρευνα
και τα δυο
cha
Yu
εργαζόμενος; μελέτη
ενημερωτική
ηλεκτρονικές πηγές? εξοικειωθείτε με τις κύριες λύσεις
λογικά προβλήματα.

Υποθέτοντας ότι οι μαθηματικοί τύποι
-

απλά μια βολική γλώσσα
να παρουσιάσουμε τις ιδέες και τις μεθόδους των μαθηματικών, τότε αυτές οι ίδιες οι ιδέες μπορούν να περιγραφούν,
χρησιμοποιώντας οικείες και οπτικές εικόνες από
περιβάλλουσα ζωή.

Αντικείμενο της έρευνάς μας ήταν μέθοδοι επίλυσης μαθηματικών
προβλήματα χωρίς τύπους, εξισώσεις και ανισότητες.

Οι φοιτητές μας κλήθηκαν να απαντήσουν στην ερώτηση: τι
τι θα γίνει με τα μαθηματικά εάν τύποι, εξισώσεις και άλλα
ισότητα?
επιλέγοντας μία απάντηση από τις παρακάτω επιλογές:

α) θα μείνουν αριθμοί, αριθμοί, γράμματα β) θα μείνει μόνο η θεωρία

γ) τα θεωρήματα και οι αποδείξεις θα παραμείνουν δ) οι γραφικές παραστάσεις

ε) τα μαθηματικά θα γίνουν λογοτεχνία ζ) δεν θα μείνει τίποτα

Τα αποτελέσματα αυτού
έρευνα έδειξε ότι η πλειοψηφία των μαθητών έχει αυτοπεποίθηση χωρίς
τύποι, εξισώσεις και ανισώσεις, τα μαθηματικά θα γίνουν λογοτεχνία. Αποφασίσαμε
διαψεύδουν αυτή την άποψη. Χωρίς τύπους, εξισώσεις και ανισώσεις στα μαθηματικά, σε
πρώτα απ' όλα θα υπάρξουν λογικά καθήκοντα που
ε τις περισσότερες φορές αποτελούν
τις περισσότερες από τις εργασίες στην Ολυμπιάδα των Μαθηματικών. Ποικιλία λογικών
τα καθήκοντα είναι πολύ μεγάλα. Υπάρχουν επίσης πολλοί τρόποι επίλυσής τους. Αλλά το μεγαλύτερο
Έχουν διαδοθεί ευρέως: η μέθοδος του συλλογισμού, η μέθοδος των πινάκων, η μέθοδος
γραφήματα, κύκλοι Γεια
Lera, μέθοδος μπλοκ
-
συστήματα

Μέθοδος συλλογισμού

τον πιο πρωτόγονο τρόπο. Με αυτόν τον τρόπο
λύνονται τα πιο απλά λογικά προβλήματα. Η ιδέα του είναι ότι εμείς
εκτελούν συλλογισμό χρησιμοποιώντας διαδοχικά όλες τις συνθήκες του προβλήματος και
καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι
θα είναι η απάντηση στο πρόβλημα.
Με αυτόν τον τρόπο
συνήθως λύνουν απλά λογικά προβλήματα.

Η κύρια τεχνική που χρησιμοποιείται κατά την επίλυση λογικής κειμένου
καθήκοντα είναι
οικοδομικά τραπέζια
. Οι πίνακες όχι μόνο σας επιτρέπουν να οπτικοποιείτε
παρούσα κατάσταση η
προβλήματα ή την απάντησή της, αλλά βοηθούν πολύ
βγάζουν σωστά λογικά συμπεράσματα όταν λύνουν ένα πρόβλημα.

Μέθοδος γραφήματος.
Γραφική παράσταση
-

είναι μια συλλογή αντικειμένων με συνδέσεις μεταξύ τους.
Τα αντικείμενα αναπαρίστανται ως κορυφές ή κόμβοι ενός γραφήματος (σημειώνονται
Οτι
γυαλιά) και συνδέσεις
-

σαν τόξα ή νευρώσεις. Εάν η σύνδεση είναι μονής κατεύθυνσης
υποδεικνύεται στο διάγραμμα με γραμμές με βέλη, εάν η σύνδεση μεταξύ αντικειμένων
διπλής όψης υποδεικνύεται στο διάγραμμα με γραμμές χωρίς βέλη.

Μέθοδος κύκλου Euler.
Τα διαγράμματα Euler χρησιμοποιούνται για την επίλυση

μια μεγάλη ομάδα λογικών προβλημάτων. Συμβατικά, όλες αυτές οι εργασίες μπορούν να χωριστούν σε τρεις
τύπος. Σε προβλήματα του πρώτου τύπου είναι απαραίτητο να εκφραστούν συμβολικά πολλά
χειρονομίες,
σκιάζονται σε διαγράμματα Euler χρησιμοποιώντας το σύμβολο
ki των εργασιών διασταύρωσης,
συνδυασμούς και προσθήκες.
Σε προβλήματα δεύτερου τύπου, διαγράμματα Euler
χρησιμοποιούνται για την ανάλυση καταστάσεων που σχετίζονται με τον ορισμό της τάξης. Τρίτου τύπου
προβλήματα για τα οποία χρησιμοποιούνται διαγράμματα Euler,
-

εργασίες για
λογικός λογαριασμός.

Μέθοδος αποκλεισμού
-
συστήματα
.
Αυτός ο τύπος λογικής επίλυσης προβλημάτων
περιλαμβάνονται στο μάθημα
διδασκαλία μαθημάτων επιστήμης υπολογιστών σε φοιτητές γενικής εκπαίδευσης.
Προγραμματισμός στη γλώσσα
Πασκάλ
.

Εκτός από τα λογικά προβλήματα στα μαθηματικά,
ory για να λυθεί απλό
μαθηματικά προβλήματα πρέπει να κάνεις παράλογα πράγματα που ξεπερνούν
ra
τους περιορισμούς της λογικής μας, της σκέψης μας.
Παράλογος
–

στα μαθηματικά και τη λογική,
Τι σημαίνει
-
τότε το στοιχείο δεν έχει νόημα μέσα στο δεδομένο
θεωρίες,

συστήματα ή

πεδία, θεμελιωδώς ασύμβατα με αυτά, αν και το στοιχείο
που είναι παράλογο σε αυτό το σύστημα
μπορεί να έχει νόημα με άλλο τρόπο.

Στα μαθηματικά, οι σοφισμοί (δεξιότητα, δεξιότητα) κατατάσσονται σε ξεχωριστή ομάδα.
-

ένα σύνθετο συμπέρασμα, το οποίο, ωστόσο, μετά από επιφανειακή εξέταση
φαίνεται σωστό.

Χωρίς τύπους στα μαθηματικά, μπορεί να προκύψει μια κατάσταση όπου
ο άλλος μπορεί
υπάρχουν στην πραγματικότητα, αλλά δεν έχει λογική εξήγηση. Τέτοια κατάσταση
ονομάζεται παράδοξο. Η ανάδυση των παραδόξων δεν είναι κάτι
-
Οτι
ακανόνιστο, απροσδόκητο, τυχαίο στην ιστορία της ανάπτυξης της επιστήμης
σκέψη. Η εμφάνισή τους σηματοδοτείται
μιλά για την ανάγκη αναθεώρησης του προηγούμενου
θεωρητικές ιδέες, προβάλλοντας πιο κατάλληλες έννοιες, αρχές
και ερευνητικές μεθόδους.

Ο κόσμος μιας επιστήμης όπως τα μαθηματικά δεν περιορίζεται μόνο στην επίλυση
ειδικού τύπου εργασίες. Εκτός από όλες τις δυσκολίες,

έχει κάτι όμορφο και ενδιαφέρον,
μερικές φορές ακόμη και αστείο. Το μαθηματικό χιούμορ, καθώς και ο μαθηματικός κόσμος,
εκλεπτυσμένο και ιδιαίτερο.

Έτσι, χωρίς τύπους, εξισώσεις και ανισότητες, τα μαθηματικά θα παραμείνουν
μια επιστήμη πλήρης, ταυτόχρονα ενδιαφέρουσα και πολύπλευρη.

Βιβλιογραφικός κατάλογος.

Agafonova, I. G. Μαθαίνοντας να σκέφτομαι: Ψυχαγωγικές λογικές εργασίες,
τεστ και ασκήσεις για παιδιά. Εκμάθηση [Tex] /
I. G. Agafonova

Αγία Πετρούπολη
IKF MiM
–

express, 1996.
–

Balayan E.N. Ολυμπιάδα 1001 και ψυχαγωγικά προβλήματα
και από
μαθηματικά
[Tex]

/ Ε.Ν. Μπαλαγιάν.
-

3
-
ε ed.
-

Rostov n/d: Phoenix, 2008.
-

Farkov, A.V. Μαθηματικές Ολυμπιάδες στο σχολείο. 5
-
11η τάξη.
[Tex]/

A. V. Farkov.
-

8
-
εκδ., αναθ. και επιπλέον
-

Μ.: Ίρις
-
Τύπος, 2009.
-

http://www.arhimedes.org/

Τουρνουά που πήρε το όνομά του M. V. Lomonosova (Μόσχα)
http://olympiads.mccme.ru/turlom/

Συνημμένα αρχεία

XI ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑ “KOLMOGOROV READINGS”

Ενότητα "Μαθηματικά"

Θέμα

«Επίλυση Λογικών Προβλημάτων»

Δημοτικός προϋπολογισμός γενικής εκπαίδευσης

σχολείο Νο 2 στ. Arkhonskaya,

7η τάξη.

Επιστημονικός Διευθυντής

καθηγήτρια μαθηματικών ΜΒΟΥ λυκείου Νο 2 στ. Arkhonskaya

Trimasova N.I.

«Επίλυση Λογικών Προβλημάτων»

7η τάξη

δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

σχολείο Νο 2, στ. Arkhonskaya.

σχόλιο

Αυτή η εργασία συζητά διαφορετικούς τρόπους επίλυσης λογικών προβλημάτων και μια ποικιλία τεχνικών. Κάθε ένα από αυτά έχει τη δική του περιοχή εφαρμογής. Επιπλέον, στο έργο μπορείτε να εξοικειωθείτε με τις βασικές έννοιες της κατεύθυνσης των "μαθηματικών χωρίς τύπους" - μαθηματική λογική και να μάθετε για τους δημιουργούς αυτής της επιστήμης. Μπορείτε επίσης να δείτε τα αποτελέσματα του διαγνωστικού «επίλυση λογικών προβλημάτων μεταξύ μαθητών μεσαίου επιπέδου».

Περιεχόμενο

1. Εισαγωγή_____________________________________________________ 4

2. Οι θεμελιωτές της επιστήμης της «λογικής»________________________ 6

3. Πώς να μάθετε να λύνετε λογικά προβλήματα;_____________________ _8

4. Τύποι και μέθοδοι επίλυσης λογικών προβλημάτων_____________________ 9

4.1 Προβλήματα του τύπου «Ποιος είναι Ποιος;». 9

α) Γραφική μέθοδος_________________________________________________ 9

β) Πίνακας μέθοδος________________________________________________ 11

4.2 Τακτικές εργασίες________________________________________________ 13

α) τρόπος συλλογισμού_________________________________________________ 13

4.3 Προβλήματα εύρεσης τομής ή ένωσης συνόλων________________________________________________ 14

α) Κύκλοι Euler________________________________________________ 14

4.5 Προβλήματα αλήθειας________________________________________________ 17

4.6 Προβλήματα τύπου «καπέλο»_________________________________________________ 18

5. Πρακτικό μέρος________________________________________________________________ 19

5.1 Μελέτη του επιπέδου λογικής σκέψης των μαθητών μέσης εκπαίδευσης________________________________________________________________ 19

6. Συμπέρασμα_________________________________________________________________ 23

7. Λογοτεχνία_________________________________________________________________ 24

«Επίλυση Λογικών Προβλημάτων»

Krutogolova Diana Alexandrovna

7η τάξη

Δημοτικός προϋπολογισμός γενικής εκπαίδευσης

δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

σχολείο Νο 2, στ. Arkhonskaya.

1. Εισαγωγή

Η ανάπτυξη δημιουργικής δραστηριότητας, πρωτοβουλίας, περιέργειας και εφευρετικότητας διευκολύνεται με την επίλυση μη τυπικών προβλημάτων.Παρά το γεγονός ότι το μάθημα των σχολικών μαθηματικών περιέχει μεγάλο αριθμό ενδιαφέροντων προβλημάτων, πολλά χρήσιμα προβλήματα δεν καλύπτονται. Αυτές οι εργασίες περιλαμβάνουν λογικές εργασίες.

Η επίλυση λογικών προβλημάτων είναι πολύ συναρπαστική. Φαίνεται να μην υπάρχουν μαθηματικά σε αυτά - ούτε αριθμοί, ούτε συναρτήσεις, ούτε τρίγωνα, ούτε διανύσματα, αλλά υπάρχουν μόνο ψεύτες και σοφοί, αλήθεια και ψέματα. Ταυτόχρονα, το πνεύμα των μαθηματικών γίνεται πιο καθαρά αισθητό σε αυτά - η μισή λύση σε οποιοδήποτε μαθηματικό πρόβλημα (και μερικές φορές πολύ περισσότερο από το μισό) είναι να κατανοήσουμε σωστά την κατάσταση, να ξεδιαλύνουμε όλες τις συνδέσεις μεταξύ των συμμετεχόντων αντικειμένων.

Ένα μαθηματικό πρόβλημα βοηθά πάντα στην ανάπτυξη σωστών μαθηματικών εννοιών, στην καλύτερη κατανόηση διαφόρων πτυχών των σχέσεων στη γύρω ζωή και καθιστά δυνατή την εφαρμογή των θεωρητικών αρχών που μελετώνται. Ταυτόχρονα, η επίλυση προβλημάτων συμβάλλει στην ανάπτυξη της λογικής σκέψης.

Κατά την προετοιμασία αυτής της εργασίας, έστησαστόχος - αναπτύξτε την ικανότητά σας να συλλογίζεστε και να βγάζετε σωστά συμπεράσματα. Μόνο η επίλυση ενός δύσκολου, μη τυπικού προβλήματος φέρνει τη χαρά της νίκης. Όταν λύνετε λογικά προβλήματα, έχετε την ευκαιρία να σκεφτείτε μια ασυνήθιστη συνθήκη και λόγο. Αυτό μου προκαλεί και διατηρεί το ενδιαφέρον μου για τα μαθηματικά. Μια λογική απόφαση είναι ο καλύτερος τρόπος για να απελευθερώσετε τη δημιουργικότητά σας.

Συνάφεια. Στις μέρες μας, πολύ συχνά η επιτυχία ενός ατόμου εξαρτάται από την ικανότητά του να σκέφτεται καθαρά, να συλλογίζεται λογικά και να εκφράζει ξεκάθαρα τις σκέψεις του.

Καθήκοντα: 1) εξοικείωση με τις έννοιες της «λογικής» και της «μαθηματικής λογικής». 2) μελέτη βασικών μεθόδων για την επίλυση λογικών προβλημάτων. 3) διεξαγωγή διαγνωστικών για τον προσδιορισμό του επιπέδου λογικής σκέψης των μαθητών στις τάξεις 5-8.

Ερευνητικές μέθοδοι: συλλογή, μελέτη, γενίκευση πειραματικού και θεωρητικού υλικού

2. Οι ιδρυτές της επιστήμης της «λογικής»

Θεμελιωτής της λογικής ως επιστήμης είναι ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και επιστήμονας Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.). Πρώτα ανέπτυξε τη θεωρία της εξαγωγής, δηλαδή τη θεωρία της λογικής συμπερασμάτων. Ήταν αυτός που επέστησε την προσοχή στο γεγονός ότι στη συλλογιστική συνάγουμε άλλες από ορισμένες δηλώσεις, με βάση όχι το συγκεκριμένο περιεχόμενο των δηλώσεων, αλλά μια ορισμένη σχέση μεταξύ των μορφών και των δομών τους.

Ακόμη και τότε δημιουργήθηκαν σχολεία στην Αρχαία Ελλάδα στα οποία οι άνθρωποι μάθαιναν να συζητούν. Οι μαθητές αυτών των σχολείων έμαθαν την τέχνη να αναζητούν την αλήθεια και να πείθουν τους άλλους ότι είχαν δίκιο. Έμαθαν να επιλέγουν τα απαραίτητα από μια ποικιλία γεγονότων, να χτίζουν αλυσίδες συλλογισμών που συνδέουν μεμονωμένα γεγονότα μεταξύ τους και να βγάζουν τα σωστά συμπεράσματα.
Ήδη από τότε, ήταν γενικά αποδεκτό ότι η λογική είναι μια επιστήμη για τη σκέψη και όχι για αντικείμενα αντικειμενικής αλήθειας.

Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ευκλείδης (330-275 π.Χ.) ήταν ο πρώτος που επιχείρησε να οργανώσει τις εκτενείς πληροφορίες για τη γεωμετρία που είχαν συσσωρευτεί μέχρι εκείνη την εποχή. Έθεσε τα θεμέλια για την κατανόηση της γεωμετρίας ως αξιωματικής θεωρίας και όλων των μαθηματικών ως συνόλου αξιωματικών θεωριών.
Κατά τη διάρκεια πολλών αιώνων, διάφοροι φιλόσοφοι και ολόκληρες φιλοσοφικές σχολές συμπλήρωσαν, βελτίωσαν και άλλαξαν τη λογική του Αριστοτέλη. Αυτό ήταν το πρώτο, προ-μαθηματικό, στάδιο στην ανάπτυξη της τυπικής λογικής. Το δεύτερο στάδιο συνδέεται με τη χρήση μαθηματικών μεθόδων στη λογική, η οποία ξεκίνησε από τον Γερμανό φιλόσοφο και μαθηματικό G. W. Leibniz (1646-1716). Προσπάθησε να οικοδομήσει μια καθολική γλώσσα με τη βοήθεια της οποίας θα επιλύονταν οι διαφορές μεταξύ των ανθρώπων και στη συνέχεια «να αντικαταστήσει πλήρως όλες τις ιδέες με υπολογισμούς».
Μια σημαντική περίοδος στη διαμόρφωση της μαθηματικής λογικής ξεκινά με το έργο του Άγγλου μαθηματικού και λογικού George Boole (1815-1864) «Mathematical Analysis of Logic» (1847) και «Investigations into the Laws of Thought» (1854). Εφάρμοσε στη λογική τις μεθόδους της σύγχρονης άλγεβρας - τη γλώσσα των συμβόλων και των τύπων, τη σύνθεση και τη λύση των εξισώσεων. Δημιούργησε ένα είδος άλγεβρας - την άλγεβρα της λογικής. Την περίοδο αυτή διαμορφώθηκε ως προτασιακή άλγεβρα και αναπτύχθηκε σημαντικά στα έργα του Σκωτσέζου λογικού A. de Morgan (1806-1871), του αγγλικού - W. Jevons (1835-1882), του αμερικανικού - C. Pierce και άλλοι.Η δημιουργία της άλγεβρας της λογικής ήταν ο τελικός κρίκος στην ανάπτυξη της τυπικής λογικής.

Σημαντική ώθηση σε μια νέα περίοδο στην ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής έδωσε η δημιουργία στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα από τον μεγάλο Ρώσο μαθηματικό N. I. Lobachevsky (1792-1856) και ανεξάρτητα από τον Ούγγρο μαθηματικό J. Bolyai (1802- 1860) μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Επιπλέον, η δημιουργία της ανάλυσης των απειροελάχιστων οδήγησε στην ανάγκη να τεκμηριωθεί η έννοια του αριθμού ως θεμελιώδης έννοια όλων των μαθηματικών. Τα παράδοξα που ανακαλύφθηκαν στα τέλη του 19ου αιώνα στη θεωρία συνόλων συμπλήρωναν την εικόνα: έδειχναν ξεκάθαρα ότι οι δυσκολίες τεκμηρίωσης των μαθηματικών ήταν δυσκολίες λογικής και μεθοδολογικής φύσης. Έτσι, η μαθηματική λογική αντιμετώπισε προβλήματα που δεν προέκυψαν πριν από τη λογική του Αριστοτέλη. Στην ανάπτυξη της μαθηματικής λογικής διαμορφώθηκαν τρεις κατευθύνσεις στην τεκμηρίωση των μαθηματικών, στις οποίες οι δημιουργοί προσπάθησαν με διαφορετικούς τρόπους να ξεπεράσουν τις δυσκολίες που προέκυψαν.

3. Πώς να μάθετε να λύνετε λογικά προβλήματα;

Πολλοί άνθρωποι σκέφτονται μόνο αυτό που σκέφτονται.

Θεωρούν δυσάρεστη τη διαδικασία σκέψης:

αυτό απαιτεί δεξιότητες και κάποια προσπάθεια,

Γιατί να ασχολείσαι όταν μπορείς να το κάνεις χωρίς αυτό.

Όγκντεν Νας

Λογικό ήμη αριθμητική Τα προβλήματα αποτελούν μια ευρεία κατηγορία μη τυπικών προβλημάτων. Αυτό περιλαμβάνει, πρώτα απ 'όλα, προβλήματα λέξεων στα οποία είναι απαραίτητο να αναγνωρίσουμε αντικείμενα ή να τα τακτοποιήσουμε με μια συγκεκριμένη σειρά σύμφωνα με τις υπάρχουσες ιδιότητες. Σε αυτήν την περίπτωση, ορισμένες από τις δηλώσεις των συνθηκών του προβλήματος μπορεί να έχουν διαφορετικές τιμές αλήθειας (να είναι true ή false).

Τα προβλήματα λογικής κειμένου μπορούν να χωριστούν στους ακόλουθους τύπους:

Συνιστάται να εξασκηθείτε στην επίλυση κάθε είδους προβλήματος σταδιακά, βήμα προς βήμα.

Έτσι, θα μάθουμε πώς τα λογικά προβλήματα μπορούν να λυθούν με διαφορετικούς τρόπους. Αποδεικνύεται ότι υπάρχουν πολλές τέτοιες τεχνικές, είναι ποικίλες και καθεμία από αυτές έχει τη δική της περιοχή εφαρμογής. Αφού εξοικειωθούμε λεπτομερώς, θα καταλάβουμε σε ποιες περιπτώσεις είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσετε μία ή άλλη μέθοδο.

4. Είδη και μέθοδοι επίλυσης λογικών προβλημάτων

4.1 Προβλήματα τύπου «Ποιος είναι ποιος;».

Προβλήματα όπως «Ποιος είναι ποιος;» πολύ διαφορετικά σε πολυπλοκότητα, περιεχόμενο και ικανότητα επίλυσης. Σίγουρα έχουν ενδιαφέρον.

α) Γραφική μέθοδος

Ένας τρόπος είναι να λύσετε χρησιμοποιώντας γραφήματα. Ένα γράφημα είναι πολλά σημεία, μερικά από τα οποία συνδέονται μεταξύ τους με τμήματα ή βέλη (στην περίπτωση αυτή, το γράφημα ονομάζεται προσανατολισμένο). Ας πρέπει να δημιουργήσουμε μια αντιστοιχία μεταξύ δύο τύπων αντικειμένων (συνόλων). Οι τελείες δηλώνουν στοιχεία συνόλων και την αντιστοιχία μεταξύ τους - τμήματα. Η διακεκομμένη γραμμή θα συγχωνεύσει δύο στοιχεία που δεν αντιστοιχούν μεταξύ τους.

Πρόβλημα 1 . Τρεις φίλοι Belova, Krasnova και Chernova συναντήθηκαν. Ο ένας φορούσε μαύρο φόρεμα, ο άλλος κόκκινο φόρεμα και ο τρίτος λευκό. Ένα κορίτσι με λευκό φόρεμα λέει στην Τσέρνοβα: «Πρέπει να αλλάξουμε φορέματα, διαφορετικά το χρώμα των φορεμάτων μας δεν ταιριάζει με τα επώνυμά μας». Ποιος φορούσε τι φόρεμα;

Λύση. Η επίλυση του προβλήματος είναι απλή εάν λάβετε υπόψη ότι:

Κάθε στοιχείο ενός συνόλου αντιστοιχεί απαραίτητα σε ένα στοιχείο άλλου συνόλου, αλλά μόνο ένα

Εάν ένα στοιχείο κάθε συνόλου συνδέεται με όλα τα στοιχεία (εκτός από ένα) ενός άλλου συνόλου με διακεκομμένα τμήματα, τότε συνδέεται με το τελευταίο με ένα συμπαγές τμήμα.

Αντί για τμήματα συμπαγούς γραμμής, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε χρωματιστά, οπότε η λύση είναι πιο πολύχρωμη,

Ας υποδηλώσουμε τα επώνυμα των κοριτσιών στην εικόνα με τα γράμματα B, Ch, K και συνδέσουμε το γράμμα B και το λευκό φόρεμα με μια διακεκομμένη γραμμή, που θα σημαίνει: "Η Belova δεν είναι με λευκό φόρεμα". Στη συνέχεια, έχουμε τρεις ακόμη διακεκομμένες γραμμές που αντιστοιχούν στα μείον του πίνακα. Ένα λευκό φόρεμα μπορεί να φορεθεί μόνο από την Krasnova - θα συνδέσουμε το γράμμα K και το λευκό φόρεμα με μια συμπαγή γραμμή, που θα σημαίνει "Krasnova με λευκό φόρεμα" κ.λπ.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να βρείτε αντιστοιχία μεταξύ τριών σετ.

Εργασία 2. Τρεις φίλοι συναντήθηκαν σε ένα καφέ: ο γλύπτης Belov, ο βιολονίστας Chernov και ο καλλιτέχνης Ryzhov. «Είναι υπέροχο που ένας από εμάς έχει άσπρα μαλλιά, ο άλλος έχει μαύρα και ο τρίτος έχει κόκκινα μαλλιά, αλλά κανένα από τα χρώματα των μαλλιών μας δεν ταιριάζει με το επώνυμό μας», παρατήρησε ο μαυρομάλλης. «Έχεις δίκιο», είπε ο Μπέλοφ. Τι χρώμα είναι τα μαλλιά του καλλιτέχνη;

Λύση. Πρώτον, όλες οι συνθήκες απεικονίζονται στο διάγραμμα. Η λύση καταλήγει στην εύρεση τριών συμπαγών τριγώνων με κορυφές σε διαφορετικά σύνολα (Εικ. 2.).

Belov Chernov Ryzhov

γλύπτης βιολιστής καλλιτέχνης

λευκό μαύρο κόκκινο

Ο καλλιτέχνης είναι μαυρομάλλης

Όταν λύνουμε, μπορούμε να πάρουμε τρίγωνα τριών τύπων:

α) όλες οι πλευρές είναι συνεχή τμήματα (λύση του προβλήματος).

β) η μία πλευρά είναι συμπαγές τμήμα και οι άλλες είναι διακεκομμένες.

γ) όλες οι πλευρές είναι διακεκομμένα τμήματα.

Έτσι, είναι αδύνατο να ληφθεί ένα τρίγωνο στο οποίο οι δύο πλευρές είναι συμπαγή τμήματα και η τρίτη είναι ένα διακεκομμένο τμήμα.

Εργασία 3. Ποιος που?

Δρυς,σφενδάμι, πεύκο, σημύδα, κούτσουρο!

Κρύβονται πίσω τους, καραδοκούν

Κάστορας, λαγός, σκίουρος, λύγκας, ελάφι.

Ποιος που? Προσπάθησε να το καταλάβεις».

Πού είναι ο λύγκας, ούτε λαγός ούτε κάστορας

Ούτε στα αριστερά ούτε στα δεξιά - είναι ξεκάθαρο.

ΚΑΙδίπλα στον σκίουρο - αυτό είναι πονηρό -

Μην τα ψάχνεις και μάταια.

Δίπλα στο ελάφι δεν υπάρχει λύγκας.

Και δεν υπάρχει λαγός δεξιά και αριστερά.

Και ο σκίουρος στα δεξιά είναι εκεί που είναι το ελάφι!

Τώρα ξεκινήστε την αναζήτησή σας με σιγουριά.

Και θέλει να σας δώσει συμβουλές

Ένα ψηλό κούτσουρο καλυμμένο με βρύα:

- Ποιος που? Βρείτε το σωστό μονοπάτι

Ένας σκίουρος και ένα ελάφι θα βοηθήσουν.

Λύση. Ας βρούμε την απάντηση χρησιμοποιώντας γραφήματα, δηλώνοντας κάθε ζώο με μια τελεία και την τοποθέτησή του με βέλη. Το μόνο που μένει είναι να μετρήσουμε τα βέλη (Εικ.)

Λαγός Λυγξ

Squirrel Hare Beaver Deer Squirrel Lynx

Κουτσούνι σημύδας από σφένδαμο πεύκο ελαφιού

κάστορας

β) Πίνακας μέθοδος

Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης λογικών προβλημάτων - χρησιμοποιώντας πίνακες - είναι επίσης απλός και διαισθητικός, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο όταν είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια αντιστοιχία μεταξύ δύο συνόλων. Είναι πιο βολικό όταν τα σετ έχουν πέντε ή έξι στοιχεία.

Εργασία 4. Μια μέρα, επτά παντρεμένα ζευγάρια μαζεύτηκαν σε μια οικογενειακή γιορτή. Τα επώνυμα των ανδρών: Vladimirov, Fedorov, Nazarov, Viktorov, Stepanov, Matveev και Tarasov. Τα ονόματα των γυναικών είναι: Tonya, Lyusya, Lena, Sveta, Masha, Olya και Galya.

Λύση. Όταν λύνουμε το πρόβλημα, γνωρίζουμε ότι κάθε άντρας έχει ένα επίθετο και μία γυναίκα.

Κανόνας 1: Κάθε γραμμή και κάθε στήλη του πίνακα μπορεί να περιέχει μόνο ένα σύμβολο που ταιριάζει (για παράδειγμα, "+").

Κανόνας 2: Εάν σε μια σειρά (ή στήλη) όλες οι "θέσεις", εκτός από μία, καταλαμβάνονται από μια στοιχειώδη απαγόρευση (ένα σύμβολο ασυμφωνίας, για παράδειγμα "-"), τότε πρέπει να βάλετε ένα σύμβολο "+" στον ελεύθερο χώρο. εάν υπάρχει ήδη ένα σύμβολο "+" σε μια σειρά (ή στήλη), τότε οι υπόλοιπες θέσεις θα πρέπει να καταλαμβάνονται από ένα σύμβολο "-".

Έχοντας σχεδιάσει έναν πίνακα, πρέπει να τοποθετήσετε γνωστές απαγορεύσεις σε αυτό με βάση τις συνθήκες του προβλήματος. Έχοντας συμπληρώσει τον πίνακα σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, λαμβάνουμε αμέσως λύσεις: (Εικ. 3).

Τόνια

Λούσι

Λένα

Σβέτα

Μάσα

Olya

Galya

Βλαντιμίροφ

Φεντόροφ

Ναζάροφ

Βικτόροφ

Στεπάνοφ

Matveev

Ταράσοφ

4.2 Τακτικά καθήκοντα

Η επίλυση προβλημάτων τακτικής και θεωρητικών συνόλων περιλαμβάνει την κατάρτιση ενός σχεδίου δράσης που οδηγεί στη σωστή απάντηση. Η δυσκολία είναι ότι η επιλογή πρέπει να γίνει από έναν πολύ μεγάλο αριθμό επιλογών, δηλ. αυτές οι δυνατότητες δεν είναι γνωστές, πρέπει να εφευρεθούν.

α) Τα προβλήματα μετακίνησης ή σωστής τοποθέτησης κομματιών μπορούν να λυθούν με δύο τρόπους: πρακτικό (ενέργειες σε κινούμενα κομμάτια, επιλογή) και νοητικό (σκέφτομαι μια κίνηση, πρόβλεψη του αποτελέσματος, μαντεύοντας μια λύση -μέθοδος συλλογισμού ).

Στη μέθοδο συλλογισμού βοηθούν κατά την επίλυση: διαγράμματα, σχέδια, σύντομες σημειώσεις, δυνατότητα επιλογής πληροφοριών, δυνατότητα χρήσης του κανόνα απαρίθμησης.

Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση απλών λογικών προβλημάτων.

Πρόβλημα 5 . Η Lena, η Olya, η Tanya συμμετείχαν στον αγώνα των 100 μ. Η Lena έτρεξε 2 δευτερόλεπτα νωρίτερα από την Olya, η Olya έτρεξε 1 δευτερόλεπτο αργότερα από την Tanya. Ποιος ήρθε νωρίτερα: η Τάνια ή η Λένα και σε πόσα δευτερόλεπτα;

Λύση. Ας κάνουμε ένα διάγραμμα:

Λένα Όλια Τάνια

Απάντηση. Νωρίτερα, η Λένα έφτασε στην 1η.

Ας εξετάσουμε ένα απλό πρόβλημα.

Πρόβλημα 6 . Θυμούμενοι τον σταυρό του φθινοπώρου, οι σκίουροι διαφωνούν για δύο ώρες:

Ο λαγός κέρδισε τον αγώνα.ΕΝΑο δεύτερος ήταν αλεπού!

- Όχι, λέει ένας άλλος σκίουρος,

- Εσύ για μένααστεία

Το πρώτο, θυμάμαι, ήταν άλκες!

- «Εγώ», είπε η σημαντική κουκουβάγια,

- Δεν θα εμπλακώ στη διαμάχη κάποιου άλλου.

Αλλά σε κάθε σου λέξη

Υπάρχει ένα λάθος.

Οι σκίουροι βούρκωσαν θυμωμένα.

Τους έγινε δυσάρεστο.

Αφού ζυγίσεις τα πάντα, αποφασίζεις

Ποιος ήταν πρώτος, ποιος δεύτερος.

Λύση.

Λαγός - 1 2

Αλεπού - 2

Άλκες - 1

Αν υποθέσουμε ότι η σωστή πρόταση είναι ο λαγός ήρθε 1, τότε η αλεπού 2 δεν είναι αληθής, δηλ. στη δεύτερη ομάδα δηλώσεων, και οι δύο επιλογές παραμένουν λανθασμένες, αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση. Απάντηση: Άλκη - 1, Αλεπού - 2, Λαγός - 3.

4.3 Προβλήματα εύρεσης τομής ή ένωσης συνόλων (κύκλοι Eulerian)

Ένας άλλος τύπος προβλήματος είναι αυτό στο οποίο είναι απαραίτητο να βρεθεί κάποια τομή συνόλων ή η ένωσή τους, παρατηρώντας τις συνθήκες του προβλήματος.

Ας λύσουμε το πρόβλημα 7:

Από τους 52 μαθητές, οι 23 συγκεντρώνουν κονκάρδες, οι 35 συλλέγουν γραμματόσημα και οι 16 συγκεντρώνουν και κονκάρδες και γραμματόσημα. Οι υπόλοιποι δεν ενδιαφέρονται να εισπράξουν. Πόσοι μαθητές δεν ενδιαφέρονται να συλλέξουν;

Λύση. Οι συνθήκες αυτού του προβλήματος δεν είναι τόσο εύκολο να κατανοηθούν. Αν προσθέσετε 23 και 35, παίρνετε περισσότερα από 52. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι μετρήσαμε δύο μαθητές εδώ, δηλαδή αυτούς που συλλέγουν και κονκάρδες και γραμματόσημα.Για να διευκολύνουμε τη συζήτηση, ας χρησιμοποιήσουμε τους κύκλους Euler

Υπάρχει ένας μεγάλος κύκλος στην εικόναυποδηλώνει τους 52 εν λόγω μαθητές· Ο κύκλος 3 απεικονίζει μαθητές να συλλέγουν κονκάρδες και ο κύκλος Μ απεικονίζει μαθητές να συλλέγουν γραμματόσημα.

Ο μεγάλος κύκλος χωρίζεται από τους κύκλους 3 και M σε πολλές περιοχές. Η διασταύρωση των κύκλων 3 και Μ αντιστοιχεί σε μαθητές που συλλέγουν τόσο κονκάρδες όσο και γραμματόσημα (Εικ.). Το τμήμα του κύκλου 3 που δεν ανήκει στον κύκλο Μ αντιστοιχεί σε μαθητές που συλλέγουν μόνο κονκάρδες και το τμήμα του κύκλου Μ που δεν ανήκει στον κύκλο 3 αντιστοιχεί σε μαθητές που συλλέγουν μόνο γραμματόσημα. Το ελεύθερο μέρος του μεγάλου κύκλου αντιπροσωπεύει μαθητές που δεν ενδιαφέρονται να συλλέξουν.

Θα συμπληρώσουμε διαδοχικά το διάγραμμα μας, εισάγοντας τον αντίστοιχο αριθμό σε κάθε περιοχή. Σύμφωνα με την προϋπόθεση, τόσο τα διακριτικά όσο και τα γραμματόσημα συλλέγονται από 16 άτομα, οπότε στη διασταύρωση των κύκλων 3 και M θα γράψουμε τον αριθμό 16 (Εικ.).

Εφόσον 23 μαθητές συλλέγουν κονκάρδες και 16 μαθητές συλλέγουν και κονκάρδες και γραμματόσημα, τότε 23 - 16 = 7 άτομα συλλέγουν κονκάρδες μόνοι τους. Με τον ίδιο τρόπο συγκεντρώνονται μόνο γραμματόσημα από 35 - 16 = 19 άτομα. Ας γράψουμε τους αριθμούς 7 και 19 στις αντίστοιχες περιοχές του διαγράμματος.

Από την εικόνα φαίνεται ξεκάθαρα πόσα άτομα ασχολούνται με τη συλλογή. Για να το μάθετε αυτόπρέπει να προσθέσετε τους αριθμούς 7, 9 και 16. Παίρνουμε 42 άτομα. Αυτό σημαίνει ότι 52 - 42 = 10 μαθητές παραμένουν αδιάφοροι για τη συλλογή. Αυτή είναι η απάντηση στο πρόβλημα· μπορεί να εισαχθεί στο ελεύθερο πεδίο του μεγάλου κύκλου.

Η μέθοδος του Euler είναι απαραίτητη για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων και επίσης απλοποιεί σε μεγάλο βαθμό τη συλλογιστική.

4.4 Γρίφοι γραμμάτων και προβλήματα με αστερίσκους

Παζλ γραμμάτων και παραδείγματα με αστερίσκους λύνονται επιλέγοντας και εξετάζοντας διάφορες επιλογές.

Τέτοια προβλήματα ποικίλλουν ως προς την πολυπλοκότητα και το σχήμα λύσης. Ας δούμε ένα τέτοιο παράδειγμα.

Πρόβλημα 8 Λύστε ένα παζλ αριθμών

CIS

KSI

ISK

Λύση. Ποσό ΚΑΙ+ Γ (στη θέση των δεκάδων) τελειώνει σε C, αλλά I ≠ 0 (βλ. το μέρος των μονάδων). Αυτό σημαίνει ότι I = 9 και 1 δέκα στη θέση των μονάδων θυμάται. Τώρα είναι εύκολο να βρείτε το Κ στη θέση των εκατοντάδων: K = 4. Για το C απομένει μόνο μία πιθανότητα: C = 5.

4.5 Προβλήματα αλήθειας

Θα ονομάσουμε προβλήματα αλήθειας στα οποία είναι απαραίτητο να διαπιστωθεί η αλήθεια ή το ψεύδος των δηλώσεων.

Πρόβλημα 9 . Τρεις φίλοι Kolya, Oleg και Petya έπαιζαν στην αυλή και ένας από αυτούς έσπασε κατά λάθος το τζάμι του παραθύρου με μια μπάλα. Ο Κόλια είπε: «Δεν ήμουν εγώ που έσπασα το τζάμι». Ο Όλεγκ είπε: «Η Πέτια έσπασε το ποτήρι». Αργότερα ανακαλύφθηκε ότι μία από αυτές τις δηλώσεις ήταν αληθινή και η άλλη ψευδής. Ποιο αγόρι έσπασε το τζάμι;

Λύση. Ας υποθέσουμε ότι ο Όλεγκ είπε την αλήθεια, τότε ο Κόλια είπε επίσης την αλήθεια, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες του προβλήματος. Ως εκ τούτου, ο Oleg είπε ένα ψέμα και ο Kolya είπε την αλήθεια. Από τις δηλώσεις τους προκύπτει ότι ο Όλεγκ έσπασε το τζάμι.

Πρόβλημα 10 Τέσσερις μαθητές - Vitya, Petya, Yura και Sergei - πήραν τέσσερις πρώτες θέσεις στη Μαθηματική Ολυμπιάδα. Όταν ρωτήθηκαν ποια μέρη πήραν, δόθηκαν οι ακόλουθες απαντήσεις:

α) Petya - δεύτερη, Vitya - τρίτη.

β) Σεργκέι - δεύτερος, Petya - πρώτος.

γ) Yura - δεύτερος, Vitya - τέταρτος.

Υποδείξτε ποιος πήρε ποια θέση, αν μόνο ένα μέρος κάθε απάντησης είναι σωστό.

Λύση. Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση "Peter - II" είναι αληθινή, τότε και οι δύο δηλώσεις του δεύτερου προσώπου είναι λανθασμένες και αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες του προβλήματος.

Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση "Sergey - II" είναι αληθινή, τότε και οι δύο δηλώσεις του πρώτου προσώπου είναι λανθασμένες και αυτό έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες του προβλήματος.

Ας υποθέσουμε ότι η δήλωση "Jura - II" είναι σωστή, τότε η πρώτη δήλωση του πρώτου προσώπου είναι ψευδής και η δεύτερη είναι αληθινή. Και η πρώτη δήλωση του δεύτερου προσώπου είναι λανθασμένη, αλλά η δεύτερη είναι σωστή.

Απάντηση: πρώτη θέση - Petya, δεύτερη θέση - Yura, τρίτη θέση - Vitya, τέταρτη θέση Sergey.

4.6 Προβλήματα τύπου «καπέλα».

Το πιο διάσημο πρόβλημα αφορά τους σοφούς που πρέπει να καθορίσουν το χρώμα του καπέλου στο κεφάλι τους. Για να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα, πρέπει να επαναφέρετε την αλυσίδα του λογικού συλλογισμού.

Πρόβλημα 11 . «Τι χρώμα είναι οι μπερέδες;»

Τρεις φίλοι, η Anya, η Shura και η Sonya, κάθισαν στο αμφιθέατρο η μία μετά την άλλη χωρίς μπιρέτες. Η Sonya και η Shura δεν μπορούν να κοιτάξουν πίσω. Η Shura βλέπει μόνο το κεφάλι της Sonya να κάθεται από κάτω της και η Anya βλέπει τα κεφάλια και των δύο φίλων. Από ένα κουτί που περιείχε 2 λευκούς και 3 μαύρους μπερέδες (και οι τρεις φίλοι το γνωρίζουν), έβγαλαν τρεις και τους έβαλαν στο κεφάλι, για να μην πω τι χρώμα ήταν ο μπερές. δύο μπερέδες έμειναν στο κουτί. Όταν η Anya ρωτήθηκε για το χρώμα του μπερέ που της έβαλαν, δεν μπόρεσε να απαντήσει. Η Shura άκουσε την απάντηση της Anya και είπε ότι επίσης δεν μπορούσε να προσδιορίσει το χρώμα του μπερέ της. Με βάση τις απαντήσεις των φίλων της, μπορεί η Sonya να καθορίσει το χρώμα του μπερέ της;

Λύση. Μπορείτε να συλλογιστείτε με αυτόν τον τρόπο. Από τις απαντήσεις της Anya, και οι δύο φίλες κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι και οι δύο δεν μπορούσαν να έχουν δύο λευκούς μπερέδες στο κεφάλι τους. (Διαφορετικά η Anya θα έλεγε αμέσως ότι είχε μαύρο μπερέ στο κεφάλι της). Έχουν είτε δύο μαύρα, είτε άσπρο και μαύρο. Ωστόσο, αν η Sonya είχε ένα λευκό μπερέ στο κεφάλι της, τότε η Shura είπε επίσης ότι δεν ήξερε ποιο μπερέ είχε στο κεφάλι της, τότε, επομένως, η Sonya είχε ένα μαύρο μπερέ στο κεφάλι της.

5. Πρακτικό μέρος

1. Μελέτη του επιπέδου λογικής σκέψης μαθητών Γυμνασίου.

Στο πρακτικό μέρος της ερευνητικής εργασίας επέλεξα λογικά προβλήματα όπως:Ποιος είναι ποιος?

Οι εργασίες αντιστοιχούσαν στο επίπεδο γνώσεων της Ε' και ΣΤ', Ζ' και 8ης τάξης αντίστοιχα. Οι μαθητές έλυσαν αυτά τα προβλήματα και εγώ ανέλυσα τα αποτελέσματα. Ας εξετάσουμε τα αποτελέσματα που προέκυψαν με περισσότερες λεπτομέρειες.

Οι ακόλουθες εργασίες προτάθηκαν για τις τάξεις 5 και 6:

Πρόβλημα 1. Θυμούμενοι τον σταυρό του φθινοπώρου, οι σκίουροι διαφωνούν για δύο ώρες:

Ο λαγός κέρδισε τον αγώνα.ΕΝΑο δεύτερος ήταν αλεπού!

- Όχι, λέει ένας άλλος σκίουρος,

- Εσύ για μένααστείαπετάξτε αυτά. Ο λαγός ήταν δεύτερος, φυσικά,

Το πρώτο, θυμάμαι, ήταν άλκες!

- «Εγώ», είπε η σημαντική κουκουβάγια,

- Δεν θα εμπλακώ στη διαμάχη κάποιου άλλου.

Αλλά σε κάθε σου λέξη

Υπάρχει ένα λάθος.

Οι σκίουροι βούρκωσαν θυμωμένα.

Τους έγινε δυσάρεστο.

Αφού ζυγίσεις τα πάντα, αποφασίζεις

Ποιος ήταν πρώτος, ποιος δεύτερος.

Εργασία 2. Τρεις φίλοι της Μπέλοβα, ο Κράσνοβα και ο Τσέρνοβα συναντήθηκαν. Ο ένας φορούσε μαύρο φόρεμα, ο άλλος κόκκινο φόρεμα και ο τρίτος λευκό. Ένα κορίτσι με λευκό φόρεμα λέει στην Τσέρνοβα: «Πρέπει να αλλάξουμε φορέματα, διαφορετικά το χρώμα των φορεμάτων μας δεν ταιριάζει με τα επώνυμά μας». Ποιος φορούσε τι φόρεμα;

Μεταξύ των μαθητών στις τάξεις 5 και 6, υπήρχαν 25 άτομα με προτεινόμενες εργασίες όπως "Ποιος είναι ποιος;" Το ολοκλήρωσαν 11 άτομα, μεταξύ των οποίων 5 κορίτσια και 6 αγόρια. Τα αποτελέσματα της επίλυσης λογικών προβλημάτων από τους μαθητές των τάξεων 5 και 6 παρουσιάζονται στο σχήμα:

Το σχήμα δείχνει ότι το 44% έλυσε με επιτυχία και τα δύο προβλήματα «Ποιος είναι ποιος;». Σχεδόν όλοι οι μαθητές αντιμετώπισαν την πρώτη εργασία· η δεύτερη εργασία, χρησιμοποιώντας γραφήματα ή πίνακες, προκάλεσε δυσκολίες στα παιδιά.

Συνοψίζοντας, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι, γενικά, οι μαθητές της 5ης και της 6ης τάξης αντιμετωπίζουν απλούστερες εργασίες, αλλά αν προστεθούν λίγο περισσότερα στοιχεία στη συλλογιστική, τότε δεν αντιμετωπίζουν όλοι τέτοιες εργασίες.

Προτάθηκαν οι ακόλουθες εργασίες για την 7η και την 8η τάξη:

Πρόβλημα 1. Η Lena, η Olya, η Tanya συμμετείχαν στον αγώνα των 100 m. Η Lena έτρεξε 2 δευτερόλεπτα νωρίτερα από την Olya, η Olya έτρεξε 1 δευτερόλεπτο αργότερα από την Tanya. Ποιος ήρθε νωρίτερα: η Τάνια ή η Λένα και σε πόσα δευτερόλεπτα;

Πρόβλημα 2. Τρεις φίλοι συναντήθηκαν σε ένα καφέ: ο γλύπτης Belov, ο βιολονίστας Chernov και ο καλλιτέχνης Ryzhov. «Είναι υπέροχο που ένας από εμάς έχει άσπρα μαλλιά, ο άλλος έχει μαύρα και ο τρίτος έχει κόκκινα μαλλιά, αλλά κανένα από τα χρώματα των μαλλιών μας δεν ταιριάζει με το επώνυμό μας», παρατήρησε ο μαυρομάλλης. «Έχεις δίκιο», είπε ο Μπέλοφ. Τι χρώμα είναι τα μαλλιά του καλλιτέχνη;

Πρόβλημα 3. Μια φορά κι έναν καιρό μαζεύονταν επτά παντρεμένα ζευγάρια σε οικογενειακές διακοπές. Τα επώνυμα των ανδρών: Vladimirov, Fedorov, Nazarov, Viktorov, Stepanov, Matveev και Tarasov. Τα ονόματα των γυναικών είναι: Tonya, Lyusya, Lena, Sveta, Masha, Olya και Galya.Το βράδυ, ο Vladimirov χόρεψε με τη Lena και τη Sveta, ο Nazarov - με τη Masha και τη Sveta, ο Tarasov - με τη Lena και την Olya, ο Viktorov - με τη Lena, ο Stepanov - με τη Sveta, ο Matveev - με την Olya. Μετά άρχισαν να παίζουν χαρτιά. Πρώτα, οι Viktorov και Vladimirov έπαιξαν με τους Olya και Galya, μετά οι Stepanov και Nazarov αντικατέστησαν τους άνδρες και οι γυναίκες συνέχισαν το παιχνίδι. Και τέλος, ο Stepanov και ο Nazarov έπαιξαν ένα παιχνίδι με την Tonya και τη Lena.

Προσπαθήστε να προσδιορίσετε ποιος είναι παντρεμένος με ποιον, αν είναι γνωστό ότι το βράδυ δεν χόρεψε ούτε ένας άντρας με τη γυναίκα του και ούτε ένα παντρεμένο ζευγάρι δεν κάθισε ταυτόχρονα στο τραπέζι κατά τη διάρκεια του παιχνιδιού.

Στην 7η και 8η τάξη ανάμεσα σε 33 άτομα με όλα τα προβλήματα όπως «Ποιος είναι ποιος;» Το ολοκλήρωσαν 18 άτομα, μεταξύ των οποίων 8 κορίτσια και 10 αγόρια.

Τα αποτελέσματα της επίλυσης λογικών προβλημάτων από μαθητές της 7ης και της 8ης τάξης παρουσιάζονται στο σχήμα:

Το σχήμα δείχνει ότι το 55% των μαθητών αντιμετώπισε όλες τις εργασίες, το 91% ολοκλήρωσε την πρώτη εργασία, το 67% έλυσε με επιτυχία τη δεύτερη εργασία και η τελευταία εργασία αποδείχθηκε η πιο δύσκολη για τα παιδιά και μόνο το 58% την ολοκλήρωσε.

Αναλύοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν, γενικά μπορούμε να πούμε ότι οι μαθητές της 7ης και της 8ης τάξης αντιμετώπισαν καλύτερα την επίλυση λογικών προβλημάτων. Οι μαθητές της 5ης και της 6ης τάξης παρουσίασαν χειρότερα αποτελέσματα, ίσως ο λόγος για αυτό είναι ότι η επίλυση αυτού του τύπου προβλήματος απαιτεί καλή γνώση των μαθηματικών· οι μαθητές της Ε' τάξης δεν έχουν ακόμη εμπειρία στην επίλυση τέτοιων προβλημάτων.

Έκανα και κοινωνικά. έρευνα μεταξύ των μαθητών των τάξεων 5-8. Έθεσα σε όλους την ερώτηση: «Ποια προβλήματα επιλύονται πιο εύκολα: μαθηματικά ή λογικά; Στην έρευνα συμμετείχαν 15 άτομα. 10 άτομα απάντησαν - μαθηματικά, 3-λογικά, 2 - δεν μπορούν να λύσουν τίποτα. Τα αποτελέσματα της έρευνας φαίνονται στο σχήμα:

Το σχήμα δείχνει ότι τα μαθηματικά προβλήματα επιλύονται ευκολότερα για το 67% των ερωτηθέντων, τα λογικά προβλήματα για το 20% και το 13% δεν θα είναι σε θέση να λύσει κανένα πρόβλημα.

6. Συμπέρασμα

Σε αυτή την εργασία εξοικειωθείτε με λογικά προβλήματα. Με τι λογική είναι. Έχουμε φέρει στην προσοχή σας διάφορες λογικές εργασίες που βοηθούν στην ανάπτυξη λογικής και ευφάνταστης σκέψης.

Κάθε φυσιολογικό παιδί έχει μια επιθυμία για γνώση, μια επιθυμία να δοκιμάσει τον εαυτό του. Τις περισσότερες φορές, οι ικανότητες των μαθητών παραμένουν ανεξερεύνητες για τον εαυτό τους, δεν είναι σίγουροι για τις ικανότητές τους και αδιαφορούν για τα μαθηματικά.

Για τέτοιους μαθητές, προτείνω τη χρήση λογικών εργασιών. Αυτές οι εργασίες μπορούν να εξεταστούν σε τάξεις συλλόγου και σε μαθήματα επιλογής.

Πρέπει να είναι προσβάσιμα, να αφυπνίζουν τη νοημοσύνη τους, να τραβούν την προσοχή τους, να εκπλήσσουν, να τους αφυπνίζουν σε ενεργή φαντασία και ανεξάρτητες αποφάσεις.

Πιστεύω επίσης ότι η λογική μας βοηθά να ανταπεξέλθουμε σε όποιες δυσκολίες στη ζωή μας, και ότι κάνουμε θα πρέπει να κατανοείται και να δομείται λογικά.

Λογικά και λογικά προβλήματα δεν συναντάμε μόνο στο σχολείο στα μαθήματα των μαθηματικών, αλλά και σε άλλα μαθήματα.

7. Βιβλιογραφία

Dorofeev G.V. Μαθηματικά Στ ́ τάξη.-Διαφωτισμός,: 2013.

Matveeva G. Λογικά προβλήματα // Μαθηματικά. - 1999. Αρ. 25. - Σ. 4-8.

Orlova E. Μέθοδοι λύσης λογικά προβλήματα και προβλήματα αριθμών //

Μαθηματικά. - 1999. Αρ. 26. - Σ. 27-29.

4. Sharygin I.F. , Shevkin E.A. Καθήκοντα για εφευρετικότητα.-Μόσχα,: Εκπαίδευση, 1996.-65 σελ.

Προσοχή μαθητές! Το μάθημα ολοκληρώνεται ανεξάρτητα σε αυστηρή συμφωνία με το επιλεγμένο θέμα. Δεν επιτρέπονται διπλότυπα θέματα! Σας παρακαλούμε να ενημερώσετε τον καθηγητή για το επιλεγμένο θέμα με οποιονδήποτε βολικό τρόπο, είτε μεμονωμένα είτε σε λίστα που να αναφέρει το πλήρες όνομά σας, τον αριθμό της ομάδας και τον τίτλο της εργασίας του μαθήματος.

Δείγματα θεμάτων για μαθήματα στον κλάδο
«Μαθηματική λογική»

1. Η μέθοδος επίλυσης και η εφαρμογή της στην προτασιακή άλγεβρα και στην κατηγομένη άλγεβρα.

2. Αξιωματικά συστήματα.

3. Ελάχιστα και συντομότερα CNF και DNF.

4. Εφαρμογή μεθόδων μαθηματικής λογικής στη θεωρία των τυπικών γλωσσών.

5. Οι τυπικές γραμματικές ως λογικοί λογισμοί.

6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων λογικής κειμένου.

7. Συστήματα λογικού προγραμματισμού.

8. Παιχνίδι λογικής.

9. Αναποφασιστικότητα της λογικής πρώτης τάξης.

10. Μη τυποποιημένα μοντέλα αριθμητικής.

11. Μέθοδος διαγωνοποίησης στη μαθηματική λογική.

12. Μηχανές Turing και διατριβή του Church.

13. Υπολογισιμότητα στον άβακα και αναδρομικές συναρτήσεις.

14. Αναπαραστασιμότητα αναδρομικών συναρτήσεων και αρνητικών αποτελεσμάτων μαθηματικής λογικής.

15. Επιλυτότητα αριθμητικής πρόσθεσης.

16. Λογική δεύτερης τάξης και ορισμός στην αριθμητική.

17. Η μέθοδος των υπερπροϊόντων στη θεωρία μοντέλων.

18. Το θεώρημα του Gödel για την ατελότητα της τυπικής αριθμητικής.

19. Επιλύσιμες και αναποφάσιστες αξιωματικές θεωρίες.

20. Το λήμμα παρεμβολής του Craig και οι εφαρμογές του.

21. Οι απλούστεροι μετατροπείς πληροφοριών.

22. Κυκλώματα μεταγωγής.

24. Δομές επαφής.

25. Εφαρμογή συναρτήσεων Boolean σε κυκλώματα επαφής αναμετάδοσης.

26. Εφαρμογή Boolean συναρτήσεων στη θεωρία αναγνώρισης προτύπων.

27. Μαθηματική λογική και συστήματα τεχνητής νοημοσύνης.

Η εργασία του μαθήματος πρέπει να αποτελείται από 2 μέρη: το θεωρητικό περιεχόμενο του θέματος και ένα σύνολο προβλημάτων σχετικά με το θέμα (τουλάχιστον 10) με λύσεις. Επιτρέπεται επίσης η συγγραφή μιας εργασίας όρου ερευνητικού τύπου, αντικαθιστώντας το δεύτερο μέρος (επίλυση προβλημάτων) με μια ανεξάρτητη ανάπτυξη (για παράδειγμα, έναν αλγόριθμο εργασίας, πρόγραμμα, δείγμα κ.λπ.) που δημιουργήθηκε με βάση το θεωρητικό υλικό που συζητήθηκε στο πρώτο μέρος της εργασίας.

1) Barwise J. (επιμ.) Βιβλίο αναφοράς για τη μαθηματική λογική. - Μ.: Nauka, 1982.

2) Αδέρφια των γλωσσών προγραμματισμού. - Μ.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., computability and logic. - Μ.: Μιρ, 1994.

4) Χίντικιν λογική στα προβλήματα. - Μ., 1972.

5), Λογική Palyutin. - Μ.: Nauka, 1979.

6) Επιλυτότητα Ershov και εποικοδομητικά μοντέλα. - Μ.: Nauka, 1980.

7), θεωρία Taitslin // Uspekhi Mat. Nauk, 1965, 20, No. 4, p. 37-108.

8) Igoshin - εργαστήριο για τη μαθηματική λογική. - Μ.: Εκπαίδευση, 1986.

9) Λογική Igoshin και θεωρία αλγορίθμων. - Saratov: Εκδοτικός οίκος Sarat. Πανεπιστήμιο, 1991.

10) Στο Ts., χρησιμοποιώντας Turbo Prolog. - Μ.: Μιρ, 1993.

11) εισαγωγή στα μεταμαθηματικά. - Μ., 1957.

12) αθηματική λογική. - Μ.: Μιρ, 1973.

13) ogics στην επίλυση προβλημάτων. - Μ.: Nauka, 1990.

14) Λογική Kolmogorov: ένα εγχειρίδιο για τα πανεπιστήμια μαθηματικά. ειδικότητες /, - M.: Publishing house URSS, 2004. - 238 p.

15) ιστορία με κόμπους / Μετάφρ. από τα Αγγλικά - Μ., 1973.

16) λογικό παιχνίδι / Μτφρ. από τα Αγγλικά - Μ., 1991.

17), Maksimov για τη θεωρία συνόλων, τη μαθηματική λογική και τη θεωρία των αλγορίθμων. - 4η έκδ. - Μ., 2001.

18), λογική Σουκάτσεβα. Μάθημα διάλεξης. Βιβλίο πρακτικών προβλημάτων και λύσεις: Οδηγός μελέτης. 3η έκδ., αναθ. - Αγία Πετρούπολη.

19) Εκδοτικός οίκος "Λαν", 2008. - 288 σελ.

20) Lyskova στην επιστήμη των υπολογιστών / , . - Μ.: Εργαστήριο Βασικής Γνώσης, 2001. - 160 σελ.

21) Μαθηματική λογική / Υπό τη γενική έκδοση και άλλα - Μινσκ: Ανώτατο Σχολείο, 1991.

22) εισαγωγή στη μαθηματική λογική. - Μ.: Nauka, 1984.

23) Moshchensky για τη μαθηματική λογική. - Μινσκ, 1973.

24) Νικόλσκαγια με μαθηματική λογική. - Μ.: Ψυχολογικό και Κοινωνικό Ινστιτούτο Μόσχας: Flint, 1998. - 128 σελ.

25) Νικολσκαγια λογικη. - Μ., 1981.

26) Novikov μαθηματική λογική. - Μ.: Nauka, 1973.

27) Θεωρία Rabin. Στο βιβλίο: Βιβλίο αναφοράς για τη μαθηματική λογική, μέρος 3. Θεωρία αναδρομής. - Μ.: Nauka, 1982. - Σελ. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. et al. Λογική προσέγγιση στην τεχνητή νοημοσύνη. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. et al. Λογική προσέγγιση στην τεχνητή νοημοσύνη. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Μαθηματική λογική και αυτόματη απόδειξη θεωρημάτων. - Μ.: Nauka, 1983.

31) εισαγωγή στη μαθηματική λογική. - Μ.: Μιρ, 1960.

32) Λογική Shabunin. Προτασιακή λογική και προστακτική λογική: σχολικό βιβλίο /, ρεπ. εκδ. ; Κράτος Τσουβάς Πανεπιστήμιο που πήρε το όνομά του . - Cheboksary: Εκδοτικός Οίκος Τσουβάς. Πανεπιστήμιο, 2003. - 56 σελ.

Εισαγωγή. 3

1. Μαθηματική λογική (λογική χωρίς νόημα) και λογική «κοινή λογική» 4

2. Μαθηματικές κρίσεις και συμπεράσματα. 6

3. Μαθηματική λογική και «κοινή λογική» στον 21ο αιώνα. έντεκα

4. Αφύσικη λογική στα θεμέλια των μαθηματικών. 12

Συμπέρασμα. 17

Παραπομπές… 18

Η επέκταση της περιοχής των λογικών ενδιαφερόντων συνδέεται με γενικές τάσεις στην ανάπτυξη της επιστημονικής γνώσης. Έτσι, η εμφάνιση της μαθηματικής λογικής στα μέσα του 19ου αιώνα ήταν το αποτέλεσμα αιώνων φιλοδοξιών μαθηματικών και λογικών να οικοδομήσουν μια καθολική συμβολική γλώσσα, απαλλαγμένη από τα «ελαττώματα» της φυσικής γλώσσας (κυρίως την πολυσημία της, δηλ. την πολυσημία). .

Η περαιτέρω ανάπτυξη της λογικής συνδέεται με τη συνδυασμένη χρήση κλασικής και μαθηματικής λογικής σε εφαρμοσμένα πεδία. Οι μη κλασικές λογικές (δεοντολογική, σχετική, νομική λογική, λογική λήψης αποφάσεων κ.λπ.) συχνά ασχολούνται με την αβεβαιότητα και τη ασάφεια των υπό μελέτη αντικειμένων, με τη μη γραμμική φύση της ανάπτυξής τους. Έτσι, όταν αναλύονται μάλλον πολύπλοκα προβλήματα σε συστήματα τεχνητής νοημοσύνης, προκύπτει το πρόβλημα της συνέργειας μεταξύ διαφορετικών τύπων συλλογισμών κατά την επίλυση του ίδιου προβλήματος. Οι προοπτικές για την ανάπτυξη της λογικής σύμφωνα με τη σύγκλιση με την επιστήμη των υπολογιστών συνδέονται με τη δημιουργία μιας ορισμένης ιεραρχίας πιθανών μοντέλων συλλογισμού, συμπεριλαμβανομένου του συλλογισμού στη φυσική γλώσσα, του εύλογου συλλογισμού και των επίσημων απαγωγικών συμπερασμάτων. Αυτό μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας κλασική, μαθηματική και μη κλασική λογική. Έτσι, δεν μιλάμε για διαφορετικές «λογικές», αλλά για διαφορετικούς βαθμούς επισημοποίησης της σκέψης και τη «διάσταση» των λογικών σημασιών (λογική δύο αξιών, πολλών αξιών κ.λπ.).

Προσδιορισμός των κύριων κατευθύνσεων της σύγχρονης λογικής:

1. γενική ή κλασική λογική.

2. συμβολική ή μαθηματική λογική.

3. μη κλασική λογική.

Η μαθηματική λογική είναι μια μάλλον ασαφής έννοια, λόγω του γεγονότος ότι υπάρχουν επίσης άπειρες μαθηματικές λογικές. Εδώ θα συζητήσουμε μερικά από αυτά, αποτίοντας περισσότερο φόρο τιμής στην παράδοση παρά στην κοινή λογική. Επειδή, πολύ πιθανόν, αυτό είναι κοινή λογική... Λογικό;

Η μαθηματική λογική σας διδάσκει να συλλογίζεστε λογικά όχι περισσότερο από οποιονδήποτε άλλο κλάδο των μαθηματικών. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η «λογικότητα» του συλλογισμού στη λογική καθορίζεται από την ίδια τη λογική και μπορεί να χρησιμοποιηθεί σωστά μόνο στην ίδια τη λογική. Στη ζωή, όταν σκεφτόμαστε λογικά, κατά κανόνα, χρησιμοποιούμε διαφορετικές λογικές και διαφορετικές μεθόδους λογικού συλλογισμού, ανακατεύοντας ξεδιάντροπα την έκπτωση με την επαγωγή... Επιπλέον, στη ζωή χτίζουμε το συλλογισμό μας με βάση αντιφατικές προϋποθέσεις, για παράδειγμα, «Ντον «Αναβάλετε για αύριο αυτό που μπορεί να γίνει σήμερα» και «Θα κάνετε τους ανθρώπους να γελούν βιαστικά». Συμβαίνει συχνά ένα λογικό συμπέρασμα που δεν μας αρέσει να οδηγεί σε αναθεώρηση των αρχικών υποθέσεων (αξιώματα).

Ίσως ήρθε η ώρα να πούμε για τη λογική, ίσως το πιο σημαντικό: η κλασική λογική δεν ασχολείται με το νόημα. Ούτε υγιής ούτε κανένα άλλο! Για τη μελέτη της κοινής λογικής, παρεμπιπτόντως, υπάρχει ψυχιατρική. Αλλά στην ψυχιατρική, η λογική είναι μάλλον επιβλαβής.

Φυσικά, όταν διαφοροποιούμε τη λογική από την αίσθηση, εννοούμε πρώτα από όλα την κλασική λογική και την καθημερινή κατανόηση της κοινής λογικής. Δεν υπάρχουν απαγορευμένες κατευθύνσεις στα μαθηματικά, επομένως η μελέτη του νοήματος με τη λογική, και αντίστροφα, σε διάφορες μορφές είναι παρούσα σε πολλούς σύγχρονους κλάδους της λογικής επιστήμης.

(Η τελευταία πρόταση λειτούργησε καλά, αν και δεν θα προσπαθήσω να ορίσω τον όρο «λογική επιστήμη» ούτε κατά προσέγγιση). Το νόημα, ή η σημασιολογία, αν θέλετε, αντιμετωπίζεται, για παράδειγμα, από τη θεωρία μοντέλων. Και γενικά ο όρος σημασιολογία συχνά αντικαθίσταται από τον όρο ερμηνεία. Και αν συμφωνούμε με τους φιλοσόφους ότι η ερμηνεία (εμφάνιση!) ενός αντικειμένου είναι η κατανόησή του σε κάποια δεδομένη πτυχή, τότε οι οριακές σφαίρες των μαθηματικών, που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να επιτεθούν στο νόημα στη λογική, γίνονται ακατανόητες!

Σε πρακτικούς όρους, ο θεωρητικός προγραμματισμός αναγκάζεται να ενδιαφέρεται για τη σημασιολογία. Και σε αυτό, εκτός από την απλή σημασιολογία, υπάρχει και λειτουργική, και δηλωτική, και διαδικαστική κ.λπ. και ούτω καθεξής. σημασιολογία...

Ας αναφέρουμε απλώς την αποθέωση - Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΚΑΤΗΓΟΡΙΩΝ, η οποία έφερε τη σημασιολογία σε μια τυπική, σκοτεινή σύνταξη, όπου το νόημα είναι ήδη τόσο απλό - τοποθετημένο στα ράφια που είναι εντελώς αδύνατο για έναν απλό θνητό να φτάσει στο κάτω μέρος της ... Αυτό είναι για την ελίτ.

Τι κάνει λοιπόν η λογική; Τουλάχιστον στο πιο κλασικό του κομμάτι; Η λογική κάνει μόνο αυτό που κάνει. (Και το ορίζει εξαιρετικά αυστηρά). Το κύριο πράγμα στη λογική είναι να το ορίσουμε αυστηρά! Ορίστε τα αξιωματικά. Και τότε τα λογικά συμπεράσματα θα έπρεπε να είναι (!) σε μεγάλο βαθμό αυτόματα...

Η συλλογιστική για αυτά τα συμπεράσματα είναι άλλο θέμα! Όμως αυτά τα επιχειρήματα ξεπερνούν ήδη τα όρια της λογικής! Επομένως, απαιτούν αυστηρή μαθηματική αίσθηση!

Μπορεί να φαίνεται ότι πρόκειται για μια απλή λεκτική πράξη εξισορρόπησης. ΟΧΙ! Ως παράδειγμα ενός συγκεκριμένου λογικού (αξιωματικού) συστήματος, ας πάρουμε το γνωστό παιχνίδι 15. Ας ορίσουμε (ανακατεύουμε) την αρχική διάταξη των τετράγωνων μαρκών. Στη συνέχεια, το παιχνίδι (λογικό συμπέρασμα!), και συγκεκριμένα η μετακίνηση των μαρκών σε έναν κενό χώρο, μπορεί να χειριστεί κάποια μηχανική συσκευή και μπορείτε να παρακολουθήσετε υπομονετικά και να χαρείτε όταν, ως αποτέλεσμα πιθανών κινήσεων, μια ακολουθία από το 1 έως το 15 Κανείς όμως δεν απαγορεύει τη μηχανική συσκευή ελέγχου και την προτρέπει, ΒΑΣΕΙ ΚΟΙΝΗΣ ΛΟΓΗΣ, με τις σωστές κινήσεις των τσιπ για να επιταχύνει τη διαδικασία. Ή ίσως ακόμη και να αποδείξετε, χρησιμοποιώντας για λογικό συλλογισμό, για παράδειγμα, έναν κλάδο των μαθηματικών όπως η ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ, ότι με μια δεδομένη αρχική διάταξη τσιπ είναι αδύνατο να αποκτήσετε καθόλου τον απαιτούμενο τελικό συνδυασμό!

Δεν υπάρχει πιο κοινή λογική σε εκείνο το τμήμα της λογικής που ονομάζεται ΛΟΓΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Εδώ εισάγονται ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ και ορίζονται οι ιδιότητές τους. Όπως έχει δείξει η πρακτική, σε ορισμένες περιπτώσεις οι νόμοι αυτής της άλγεβρας μπορεί να αντιστοιχούν στη λογική της ζωής, αλλά σε άλλες όχι. Λόγω μιας τέτοιας ασυνέπειας, οι νόμοι της λογικής δεν μπορούν να θεωρηθούν νόμοι από την άποψη της πρακτικής της ζωής. Η γνώση και η μηχανική χρήση τους μπορεί όχι μόνο να βοηθήσει, αλλά και να βλάψει. Ειδικά ψυχολόγοι και δικηγόροι. Η κατάσταση περιπλέκεται από το γεγονός ότι, μαζί με τους νόμους της άλγεβρας της λογικής, που μερικές φορές αντιστοιχούν ή δεν αντιστοιχούν στη λογική της ζωής, υπάρχουν λογικοί νόμοι που ορισμένοι λογικοί κατηγορηματικά δεν αναγνωρίζουν. Αυτό ισχύει πρωτίστως για τους λεγόμενους νόμους της ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗΣ ΤΡΙΤΗΣ και ΑΝΤΙΦΑΣΗΣ.

2. Μαθηματικές κρίσεις και συμπεράσματα

Στη σκέψη, οι έννοιες δεν εμφανίζονται χωριστά· συνδέονται μεταξύ τους με έναν συγκεκριμένο τρόπο. Η μορφή σύνδεσης των εννοιών μεταξύ τους είναι μια κρίση. Σε κάθε κρίση, εδραιώνεται κάποια σύνδεση ή κάποια σχέση μεταξύ των εννοιών, και αυτό επιβεβαιώνει έτσι την ύπαρξη μιας σύνδεσης ή σχέσης μεταξύ των αντικειμένων που καλύπτονται από τις αντίστοιχες έννοιες. Εάν οι κρίσεις αντικατοπτρίζουν σωστά αυτές τις αντικειμενικά υπάρχουσες εξαρτήσεις μεταξύ πραγμάτων, τότε τις ονομάζουμε αληθείς, διαφορετικά οι κρίσεις θα είναι ψευδείς. Έτσι, για παράδειγμα, η πρόταση "κάθε ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο" είναι μια αληθινή πρόταση. η πρόταση «κάθε παραλληλόγραμμο είναι ρόμβος» είναι ψευδής πρόταση.

Έτσι, η κρίση είναι μια μορφή σκέψης που αντανακλά την παρουσία ή την απουσία του ίδιου του αντικειμένου (την παρουσία ή την απουσία οποιουδήποτε από τα χαρακτηριστικά και τις συνδέσεις του).

Το να σκέφτεσαι σημαίνει να κάνεις κρίσεις. Με τη βοήθεια των κρίσεων, η σκέψη και η έννοια λαμβάνουν την περαιτέρω ανάπτυξή τους.

Δεδομένου ότι κάθε έννοια αντανακλά μια συγκεκριμένη κατηγορία αντικειμένων, φαινομένων ή σχέσεων μεταξύ τους, οποιαδήποτε κρίση μπορεί να θεωρηθεί ως συμπερίληψη ή μη (μερική ή πλήρης) μιας έννοιας στην κατηγορία μιας άλλης έννοιας. Για παράδειγμα, η πρόταση «κάθε τετράγωνο είναι ένας ρόμβος» υποδηλώνει ότι η έννοια «τετράγωνο» περιλαμβάνεται στην έννοια «ρόμβος». Η πρόταση «οι τεμνόμενες ευθείες δεν είναι παράλληλες» υποδηλώνει ότι οι τεμνόμενες γραμμές δεν ανήκουν στο σύνολο των γραμμών που ονομάζονται παράλληλες.

Μια κρίση έχει το δικό της γλωσσικό κέλυφος - μια πρόταση, αλλά δεν είναι κάθε πρόταση κρίση.

Χαρακτηριστικό γνώρισμα μιας κρίσης είναι η υποχρεωτική παρουσία αλήθειας ή ψεύδους στην πρόταση που την εκφράζει.

Για παράδειγμα, η πρόταση "το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές" εκφράζει κάποια κρίση. η πρόταση "Θα είναι το ABC ισοσκελές;" δεν εκφράζει κρίση.

Κάθε επιστήμη ουσιαστικά αντιπροσωπεύει ένα ορισμένο σύστημα κρίσεων για τα αντικείμενα που αποτελούν το αντικείμενο της μελέτης της. Κάθε μια από τις κρίσεις επισημοποιείται με τη μορφή μιας συγκεκριμένης πρότασης, που εκφράζεται με όρους και σύμβολα που είναι εγγενείς σε αυτή την επιστήμη. Τα μαθηματικά αντιπροσωπεύουν επίσης ένα ορισμένο σύστημα κρίσεων που εκφράζεται σε μαθηματικές προτάσεις μέσω μαθηματικών ή λογικών όρων ή των αντίστοιχων συμβόλων τους. Οι μαθηματικοί όροι (ή σύμβολα) δηλώνουν εκείνες τις έννοιες που συνθέτουν το περιεχόμενο μιας μαθηματικής θεωρίας, οι λογικοί όροι (ή σύμβολα) δηλώνουν λογικές πράξεις με τη βοήθεια των οποίων κατασκευάζονται άλλες μαθηματικές προτάσεις από ορισμένες μαθηματικές προτάσεις, από ορισμένες κρίσεις σχηματίζονται άλλες κρίσεις , το σύνολο του οποίου συνιστά τα μαθηματικά ως επιστήμη.

Σε γενικές γραμμές, οι κρίσεις σχηματίζονται στη σκέψη με δύο βασικούς τρόπους: άμεσα και έμμεσα. Στην πρώτη περίπτωση, το αποτέλεσμα της αντίληψης εκφράζεται με τη βοήθεια μιας κρίσης, για παράδειγμα, "αυτό το σχήμα είναι ένας κύκλος". Στη δεύτερη περίπτωση, η κρίση προκύπτει ως αποτέλεσμα μιας ειδικής νοητικής δραστηριότητας που ονομάζεται συμπέρασμα. Για παράδειγμα, «το σύνολο των δεδομένων σημείων σε ένα επίπεδο είναι τέτοιο ώστε η απόστασή τους από ένα σημείο να είναι ίδια. Αυτό σημαίνει ότι αυτό το σχήμα είναι ένας κύκλος».

Στη διαδικασία αυτής της νοητικής δραστηριότητας, συνήθως γίνεται μια μετάβαση από μία ή περισσότερες αλληλένδετες κρίσεις σε μια νέα κρίση, η οποία περιέχει νέα γνώση για το αντικείμενο μελέτης. Αυτή η μετάβαση είναι το συμπέρασμα, το οποίο αντιπροσωπεύει την υψηλότερη μορφή σκέψης.

Έτσι, το συμπέρασμα είναι η διαδικασία λήψης ενός νέου συμπεράσματος από μία ή περισσότερες δεδομένες κρίσεις. Για παράδειγμα, η διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα (πρώτη πρόταση).

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 2d (δεύτερη πρόταση).

Το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός παραλληλογράμμου είναι ίσο με 4d (νέο συμπέρασμα).

Η γνωστική αξία των μαθηματικών συμπερασμάτων είναι εξαιρετικά μεγάλη. Διευρύνουν τα όρια της γνώσης μας για αντικείμενα και φαινόμενα του πραγματικού κόσμου, λόγω του γεγονότος ότι οι περισσότερες μαθηματικές προτάσεις αποτελούν συμπέρασμα από έναν σχετικά μικρό αριθμό βασικών κρίσεων, οι οποίες λαμβάνονται, κατά κανόνα, μέσω άμεσης εμπειρίας και οι οποίες αντικατοπτρίζουν απλούστερες και πιο γενικές γνώσεις για τα αντικείμενά του.

Το συμπέρασμα διαφέρει (ως μορφή σκέψης) από τις έννοιες και τις κρίσεις στο ότι είναι μια λογική λειτουργία μεμονωμένων σκέψεων.

Κάθε συνδυασμός κρίσεων μεταξύ τους δεν συνιστά συμπέρασμα: πρέπει να υπάρχει μια ορισμένη λογική σύνδεση μεταξύ των κρίσεων, που να αντικατοπτρίζει την αντικειμενική σύνδεση που υπάρχει στην πραγματικότητα.

Για παράδειγμα, δεν μπορεί κανείς να βγάλει συμπέρασμα από τις προτάσεις «το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών ενός τριγώνου είναι 2d» και «2*2=4».

Είναι σαφές τι σημασία έχει στο σύστημα των μαθηματικών μας γνώσεων η ικανότητα να κατασκευάζουμε σωστά διάφορες μαθηματικές προτάσεις ή να βγάζουμε συμπεράσματα στη διαδικασία του συλλογισμού. Ο προφορικός λόγος δεν είναι κατάλληλος για την έκφραση ορισμένων κρίσεων, πολύ λιγότερο για τον προσδιορισμό της λογικής δομής του συλλογισμού. Επομένως, είναι φυσικό να υπήρχε ανάγκη βελτίωσης της γλώσσας που χρησιμοποιήθηκε στη διαδικασία συλλογισμού. Η μαθηματική (ή μάλλον, συμβολική) γλώσσα αποδείχθηκε η πιο κατάλληλη για αυτό. Το ειδικό πεδίο της επιστήμης που εμφανίστηκε τον 19ο αιώνα, η μαθηματική λογική, όχι μόνο έλυσε πλήρως το πρόβλημα της δημιουργίας μιας θεωρίας μαθηματικής απόδειξης, αλλά είχε επίσης μεγάλη επιρροή στην ανάπτυξη των μαθηματικών στο σύνολό τους.

Η τυπική λογική (η οποία προέκυψε στα αρχαία χρόνια στα έργα του Αριστοτέλη) δεν ταυτίζεται με τη μαθηματική λογική (η οποία προέκυψε τον 19ο αιώνα στα έργα του Άγγλου μαθηματικού J. Boole). Αντικείμενο της τυπικής λογικής είναι η μελέτη των νόμων της σχέσης κρίσεων και εννοιών σε συμπεράσματα και κανόνες απόδειξης. Η μαθηματική λογική διαφέρει από την τυπική λογική στο ότι, με βάση τους βασικούς νόμους της τυπικής λογικής, διερευνά τα πρότυπα των λογικών διαδικασιών που βασίζονται στη χρήση μαθηματικών μεθόδων: «Οι λογικές συνδέσεις που υπάρχουν μεταξύ κρίσεων, εννοιών κ.λπ., εκφράζονται σε τύπους, η ερμηνεία των οποίων είναι απαλλαγμένη από ασάφειες που θα μπορούσαν εύκολα να προκύψουν από τη λεκτική έκφραση. Έτσι, η μαθηματική λογική χαρακτηρίζεται από επισημοποίηση των λογικών πράξεων, πληρέστερη αφαίρεση από το συγκεκριμένο περιεχόμενο των προτάσεων (εκφράζοντας οποιαδήποτε κρίση).

Ας το ερμηνεύσουμε αυτό με ένα παράδειγμα. Εξετάστε το ακόλουθο συμπέρασμα: «Αν όλα τα φυτά είναι κόκκινα και όλα τα σκυλιά είναι φυτά, τότε όλα τα σκυλιά είναι κόκκινα».

Καθεμία από τις κρίσεις που χρησιμοποιήθηκαν εδώ και η κρίση που λάβαμε ως αποτέλεσμα συγκρατημένων συμπερασμάτων φαίνεται να είναι ανοησία. Ωστόσο, από τη σκοπιά της μαθηματικής λογικής, εδώ έχουμε να κάνουμε με μια αληθή πρόταση, αφού στη μαθηματική λογική το αληθές ή το ψεύδος ενός συμπεράσματος εξαρτάται μόνο από την αλήθεια ή το ψεύδος των συνιστωσών του και όχι από το συγκεκριμένο περιεχόμενό τους. Επομένως, εάν μία από τις βασικές έννοιες της τυπικής λογικής είναι μια κρίση, τότε η ανάλογη έννοια της μαθηματικής λογικής είναι η έννοια μιας δήλωσης-δήλωσης, για την οποία έχει νόημα μόνο να πούμε αν είναι αλήθεια ή ψευδές. Δεν πρέπει να πιστεύει κανείς ότι κάθε δήλωση χαρακτηρίζεται από έλλειψη «κοινής λογικής» στο περιεχόμενό της. Απλώς το σημαντικό μέρος της πρότασης που συνθέτει αυτή ή εκείνη τη δήλωση ξεθωριάζει στο παρασκήνιο στη μαθηματική λογική και είναι ασήμαντο για τη λογική κατασκευή ή ανάλυση αυτού ή εκείνου του συμπεράσματος. (Αν και, φυσικά, είναι απαραίτητο για την κατανόηση του περιεχομένου αυτού που συζητείται κατά την εξέταση αυτού του θέματος.)

Είναι σαφές ότι στα ίδια τα μαθηματικά λαμβάνονται υπόψη σημαντικές δηλώσεις. Καθιερώνοντας διάφορες συνδέσεις και σχέσεις μεταξύ των εννοιών, οι μαθηματικές κρίσεις επιβεβαιώνουν ή αρνούνται οποιεσδήποτε σχέσεις μεταξύ αντικειμένων και φαινομένων της πραγματικότητας.

3. Μαθηματική λογική και «κοινή λογική» στον 21ο αιώνα.

Η λογική δεν είναι μόνο μια καθαρά μαθηματική, αλλά και μια φιλοσοφική επιστήμη. Στον 20ο αιώνα, αυτές οι δύο αλληλένδετες υποστάσεις της λογικής αποδείχτηκαν χωρισμένες σε διαφορετικές κατευθύνσεις. Από τη μια πλευρά, η λογική νοείται ως η επιστήμη των νόμων της σωστής σκέψης και από την άλλη, παρουσιάζεται ως ένα σύνολο χαλαρά συνδεδεμένων τεχνητών γλωσσών, οι οποίες ονομάζονται επίσημα λογικά συστήματα.

Για πολλούς είναι προφανές ότι η σκέψη είναι μια σύνθετη διαδικασία με τη βοήθεια της οποίας λύνονται καθημερινά, επιστημονικά ή φιλοσοφικά προβλήματα και γεννιούνται λαμπρές ιδέες ή μοιραίες αυταπάτες. Η γλώσσα κατανοείται από πολλούς απλώς ως ένα μέσο με το οποίο τα αποτελέσματα της σκέψης μπορούν να μεταδοθούν στους σύγχρονους ή να αφεθούν στους απογόνους. Όμως, έχοντας συνδέσει στη συνείδησή μας τη σκέψη με την έννοια της «διαδικασίας» και τη γλώσσα με την έννοια του «μέσου», ουσιαστικά σταματάμε να παρατηρούμε το αμετάβλητο γεγονός ότι σε αυτή την περίπτωση το «μέσο» δεν υποτάσσεται πλήρως στη «διαδικασία». , αλλά ανάλογα με τη σκόπιμη ή ασυνείδητη επιλογή μας ορισμένων ή λεκτικών κλισέ έχει ισχυρή επιρροή στην πορεία και το αποτέλεσμα της ίδιας της «διαδικασίας». Επιπλέον, υπάρχουν πολλές περιπτώσεις όπου μια τέτοια «αντίστροφη επιρροή» αποδεικνύεται όχι μόνο εμπόδιο στη σωστή σκέψη, αλλά μερικές φορές ακόμη και ως καταστροφέας της.

Από φιλοσοφική άποψη, το έργο που τέθηκε στο πλαίσιο του λογικού θετικισμού δεν ολοκληρώθηκε ποτέ. Συγκεκριμένα, στις μεταγενέστερες μελέτες του, ένας από τους ιδρυτές αυτής της τάσης, ο Λούντβιχ Βιτγκενστάιν, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η φυσική γλώσσα δεν μπορεί να μεταρρυθμιστεί σύμφωνα με το πρόγραμμα που ανέπτυξαν οι θετικιστές. Ακόμη και η γλώσσα των μαθηματικών στο σύνολό της αντιστάθηκε στην ισχυρή πίεση του «λογικισμού», αν και πολλοί όροι και δομές της γλώσσας που πρότειναν οι θετικιστές μπήκαν σε ορισμένα τμήματα διακριτών μαθηματικών και τα συμπλήρωσαν σημαντικά. Η δημοτικότητα του λογικού θετικισμού ως φιλοσοφικής τάσης στο δεύτερο μισό του 20ου αιώνα μειώθηκε αισθητά - πολλοί φιλόσοφοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η απόρριψη πολλών «παραλογισμών» της φυσικής γλώσσας, μια προσπάθεια συμπίεσης της στο πλαίσιο των θεμελιωδών αρχών Ο λογικός θετικισμός συνεπάγεται την απανθρωποποίηση της διαδικασίας της γνώσης και ταυτόχρονα την απανθρωποποίηση του ανθρώπινου πολιτισμού στο σύνολό του.

Πολλές συλλογιστικές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται στη φυσική γλώσσα είναι συχνά πολύ δύσκολο να αντιστοιχιστούν με σαφήνεια στη γλώσσα της μαθηματικής λογικής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μια τέτοια χαρτογράφηση οδηγεί σε σημαντική παραμόρφωση της ουσίας του φυσικού συλλογισμού. Και υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι αυτά τα προβλήματα είναι συνέπεια της αρχικής μεθοδολογικής θέσης της αναλυτικής φιλοσοφίας και του θετικισμού σχετικά με το παράλογο της φυσικής γλώσσας και την ανάγκη για ριζική μεταρρύθμισή της. Το πολύ πρωτότυπο μεθοδολογικό σκηνικό του θετικισμού επίσης δεν αντέχει στην κριτική. Το να κατηγορείς τον προφορικό λόγο ότι είναι παράλογο είναι απλώς παράλογο. Στην πραγματικότητα, η παραλογικότητα δεν χαρακτηρίζει την ίδια τη γλώσσα, αλλά πολλοί χρήστες αυτής της γλώσσας που απλά δεν ξέρουν ή δεν θέλουν να χρησιμοποιήσουν τη λογική και αντισταθμίζουν αυτό το ελάττωμα με ψυχολογικές ή ρητορικές τεχνικές επηρεασμού του κοινού ή στη συλλογιστική τους. ως λογική ένα σύστημα που λέγεται λογική μόνο από παρανόηση. Ταυτόχρονα, υπάρχουν πολλοί άνθρωποι των οποίων η ομιλία διακρίνεται από σαφήνεια και λογική, και αυτές οι ιδιότητες δεν καθορίζονται από τη γνώση ή την άγνοια των θεμελίων της μαθηματικής λογικής.

Στο σκεπτικό όσων μπορούν να ταξινομηθούν ως νομοθέτες ή οπαδοί της επίσημης γλώσσας της μαθηματικής λογικής, συχνά αποκαλύπτεται ένα είδος «τύφλωσης» σε σχέση με στοιχειώδη λογικά λάθη. Ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς, ο Henri Poincaré, επέστησε την προσοχή σε αυτή την τύφλωση στα θεμελιώδη έργα των G. Cantor, D. Hilbert, B. Russell, J. Peano και άλλων στις αρχές του αιώνα μας.

Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας παράλογης προσέγγισης στο συλλογισμό είναι η διατύπωση του περίφημου παραδόξου Russell, στο οποίο δύο καθαρά ετερογενείς έννοιες «στοιχείο» και «σύνολο» συγχέονται αδικαιολόγητα. Σε πολλά σύγχρονα έργα για τη λογική και τα μαθηματικά, στα οποία είναι αισθητή η επίδραση του προγράμματος του Χίλμπερτ, δεν εξηγούνται πολλές δηλώσεις που είναι σαφώς παράλογες από την άποψη της φυσικής λογικής. Η σχέση μεταξύ «στοιχείου» και «συνόλου» είναι το απλούστερο παράδειγμα αυτού του είδους. Πολλά έργα προς αυτή την κατεύθυνση υποστηρίζουν ότι ένα συγκεκριμένο σύνολο (ας το ονομάσουμε Α) μπορεί να είναι στοιχείο ενός άλλου συνόλου (ας το ονομάσουμε Β).

Για παράδειγμα, σε ένα πολύ γνωστό εγχειρίδιο για τη μαθηματική λογική θα βρούμε την ακόλουθη φράση: «Τα σύνολα μπορούν να είναι στοιχεία συνόλων, έτσι, για παράδειγμα, το σύνολο όλων των συνόλων ακεραίων αριθμών έχει σύνολα ως στοιχεία». Σημειώστε ότι αυτή η δήλωση δεν είναι απλώς μια αποποίηση ευθύνης. Περιέχεται ως «κρυμμένο» αξίωμα στην τυπική θεωρία συνόλων, την οποία πολλοί ειδικοί θεωρούν το θεμέλιο των σύγχρονων μαθηματικών, καθώς και στο επίσημο σύστημα που έχτισε ο μαθηματικός K. Gödel όταν απέδειξε το περίφημο θεώρημά του για την ατελότητα των τυπικών συστημάτων. Αυτό το θεώρημα αναφέρεται σε μια μάλλον στενή κατηγορία τυπικών συστημάτων (περιλαμβάνουν την επίσημη θεωρία συνόλων και την τυπική αριθμητική), η λογική δομή των οποίων σαφώς δεν αντιστοιχεί στη λογική δομή του φυσικού συλλογισμού και αιτιολόγησης.

Ωστόσο, για περισσότερο από μισό αιώνα αποτελεί αντικείμενο έντονης συζήτησης μεταξύ λογικών και φιλοσόφων στο πλαίσιο της γενικής θεωρίας της γνώσης. Με μια τόσο ευρεία γενίκευση αυτού του θεωρήματος, αποδεικνύεται ότι πολλές στοιχειώδεις έννοιες είναι θεμελιωδώς άγνωστες. Αλλά με μια πιο νηφάλια προσέγγιση, αποδεικνύεται ότι το θεώρημα του Gödel έδειξε μόνο την ασυνέπεια του προγράμματος επίσημης αιτιολόγησης των μαθηματικών που πρότεινε ο D. Hilbert και το οποίο υιοθετήθηκε από πολλούς μαθηματικούς, λογικούς και φιλοσόφους. Η ευρύτερη μεθοδολογική πτυχή του θεωρήματος του Γκέντελ δύσκολα μπορεί να θεωρηθεί αποδεκτή μέχρι να απαντηθεί το ακόλουθο ερώτημα: είναι το πρόγραμμα του Χίλμπερτ για την αιτιολόγηση των μαθηματικών το μόνο δυνατό; Για να κατανοήσουμε την ασάφεια της δήλωσης "το σύνολο Α είναι στοιχείο του συνόλου Β", αρκεί να θέσουμε μια απλή ερώτηση: "Από ποια στοιχεία σχηματίζεται το σύνολο Β σε αυτήν την περίπτωση;" Από την άποψη της φυσικής λογικής, μόνο δύο αλληλοαποκλειόμενες εξηγήσεις είναι δυνατές. Εξήγηση πρώτη. Τα στοιχεία του συνόλου Β είναι τα ονόματα ορισμένων συνόλων και, ειδικότερα, το όνομα ή ο προσδιορισμός του συνόλου Α. Για παράδειγμα, το σύνολο όλων των ζυγών αριθμών περιέχεται ως στοιχείο στο σύνολο όλων των ονομάτων (ή ονομασιών) των συνόλων που χωρίζονται από ορισμένα χαρακτηριστικά από το σύνολο όλων των ακεραίων. Για να δώσουμε ένα πιο ξεκάθαρο παράδειγμα: το σύνολο όλων των καμηλοπαρδάλεων περιέχεται ως στοιχείο στο σύνολο όλων των γνωστών ζωικών ειδών. Σε ένα ευρύτερο πλαίσιο, το σύνολο Β μπορεί επίσης να διαμορφωθεί από εννοιολογικούς ορισμούς συνόλων ή αναφορές σε σύνολα. Εξήγηση δύο. Τα στοιχεία του συνόλου Β είναι τα στοιχεία κάποιων άλλων συνόλων και, ειδικότερα, όλα τα στοιχεία του συνόλου Α. Για παράδειγμα, κάθε ζυγός αριθμός είναι στοιχείο του συνόλου όλων των ακεραίων ή κάθε καμηλοπάρδαλη είναι στοιχείο του σύνολο όλων των ζώων. Αλλά στη συνέχεια αποδεικνύεται ότι και στις δύο περιπτώσεις η έκφραση "το σύνολο Α είναι στοιχείο του συνόλου Β" δεν έχει νόημα. Στην πρώτη περίπτωση, αποδεικνύεται ότι το στοιχείο του συνόλου Β δεν είναι το ίδιο το σύνολο Α, αλλά το όνομά του (ή ο προσδιορισμός ή η αναφορά σε αυτό). Σε αυτή την περίπτωση, δημιουργείται σιωπηρά μια σχέση ισοδυναμίας μεταξύ του συνόλου και της ονομασίας του, η οποία είναι απαράδεκτη ούτε από την άποψη της κοινής λογικής, ούτε από την άποψη της μαθηματικής διαίσθησης, η οποία είναι ασυμβίβαστη με τον υπερβολικό φορμαλισμό. Στη δεύτερη περίπτωση, αποδεικνύεται ότι το σύνολο Α περιλαμβάνεται στο σύνολο Β, δηλ. είναι υποσύνολο του, αλλά όχι στοιχείο. Και εδώ υπάρχει μια προφανής υποκατάσταση των εννοιών, αφού η σχέση συμπερίληψης συνόλων και η σχέση μέλους (που είναι στοιχείο ενός συνόλου) στα μαθηματικά έχουν θεμελιωδώς διαφορετικές σημασίες. Το περίφημο παράδοξο του Russell, το οποίο υπονόμευσε την εμπιστοσύνη των λογικών στην έννοια ενός συνόλου, βασίζεται σε αυτόν τον παραλογισμό - το παράδοξο βασίζεται στη διφορούμενη υπόθεση ότι ένα σύνολο μπορεί να είναι στοιχείο ενός άλλου συνόλου.

Μια άλλη πιθανή εξήγηση είναι δυνατή. Έστω ένα σύνολο A να ορίζεται με μια απλή απαρίθμηση των στοιχείων του, για παράδειγμα, A = (a, b). Το σύνολο Β, με τη σειρά του, καθορίζεται απαριθμώντας ορισμένα σύνολα, για παράδειγμα, B = ((a, b), (a, c)). Σε αυτή την περίπτωση, φαίνεται προφανές ότι το στοιχείο του Β δεν είναι το όνομα του συνόλου Α, αλλά το ίδιο το σύνολο Α. Αλλά και σε αυτήν την περίπτωση, τα στοιχεία του συνόλου Α δεν είναι στοιχεία του συνόλου Β και το σύνολο Το Α θεωρείται εδώ ως μια αχώριστη συλλογή, η οποία μπορεί κάλλιστα να αντικατασταθεί από το όνομά της. Αλλά αν θεωρούσαμε όλα τα στοιχεία των συνόλων που περιέχονται σε αυτό ως στοιχεία του Β, τότε στην περίπτωση αυτή το σύνολο Β θα ήταν ίσο με το σύνολο (a, b, c), και το σύνολο Α σε αυτήν την περίπτωση δεν θα ήταν στοιχείο του Β, αλλά ένα υποσύνολο αυτού. Έτσι, αποδεικνύεται ότι αυτή η εκδοχή της εξήγησης, ανάλογα με την επιλογή μας, καταλήγει στις επιλογές που αναφέρονται προηγουμένως. Και αν δεν προσφέρεται επιλογή, τότε προκύπτει στοιχειώδης ασάφεια, η οποία συχνά οδηγεί σε «ανεξήγητα» παράδοξα.

Θα ήταν δυνατό να μην δοθεί ιδιαίτερη προσοχή σε αυτές τις ορολογικές αποχρώσεις εάν όχι για μία περίσταση. Αποδεικνύεται ότι πολλά από τα παράδοξα και τις ασυνέπειες της σύγχρονης λογικής και των διακριτών μαθηματικών είναι άμεση συνέπεια ή μίμηση αυτής της ασάφειας.

Για παράδειγμα, στη σύγχρονη μαθηματική συλλογιστική, χρησιμοποιείται συχνά η έννοια της «αυτο-εφαρμοσσιμότητας», η οποία βρίσκεται κάτω από το παράδοξο του Russell. Στη διατύπωση αυτού του παραδόξου, η αυτο-εφαρμογή συνεπάγεται την ύπαρξη συνόλων που είναι στοιχεία του εαυτού τους. Αυτή η δήλωση οδηγεί αμέσως σε ένα παράδοξο. Αν λάβουμε υπόψη το σύνολο όλων των συνόλων "μη αυτο-εφαρμόσιμο", αποδεικνύεται ότι είναι και "αυτοεφαρμόσιμο" και "μη αυτο-εφαρμόσιμο".

Η μαθηματική λογική συνέβαλε πολύ στην ταχεία ανάπτυξη της τεχνολογίας της πληροφορίας τον 20ο αιώνα, αλλά η έννοια της «κρίσης», που εμφανίστηκε στη λογική στην εποχή του Αριστοτέλη και πάνω στην οποία, ως θεμέλιο, στηρίζεται η λογική βάση της φυσικής γλώσσας , έπεσε έξω από το οπτικό του πεδίο. Μια τέτοια παράλειψη δεν συνέβαλε καθόλου στην ανάπτυξη μιας λογικής κουλτούρας στην κοινωνία και μάλιστα δημιούργησε την ψευδαίσθηση σε πολλούς ότι οι υπολογιστές δεν μπορούν να σκέφτονται χειρότερα από τους ίδιους τους ανθρώπους. Πολλοί δεν ντρέπονται καν από το γεγονός ότι στο πλαίσιο της γενικής μηχανογράφησης στις παραμονές της τρίτης χιλιετίας, οι λογικοί παραλογισμοί εντός της ίδιας της επιστήμης (για να μην αναφέρουμε την πολιτική, τη νομοθεσία και την ψευδοεπιστήμη) είναι ακόμη πιο συνηθισμένοι από ό,τι στα τέλη του 19ου αιώνα. . Και για να κατανοήσουμε την ουσία αυτών των παραλογών, δεν χρειάζεται να στραφούμε σε πολύπλοκες μαθηματικές δομές με σχέσεις πολλαπλών τόπων και αναδρομικές συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στη μαθηματική λογική. Αποδεικνύεται ότι για να κατανοήσουμε και να αναλύσουμε αυτούς τους παραλογισμούς, αρκεί να εφαρμόσουμε μια πολύ απλούστερη μαθηματική δομή κρίσης, η οποία όχι μόνο δεν έρχεται σε αντίθεση με τα μαθηματικά θεμέλια της σύγχρονης λογικής, αλλά κατά κάποιο τρόπο τα συμπληρώνει και τα διευρύνει.

Βιβλιογραφία

1. Vasiliev N. A. Φανταστική λογική. Επιλεγμένα έργα. - Μ.: Επιστήμη. 1989; - σελ. 94-123.

2. Kulik B.A. Βασικές αρχές της φιλοσοφίας της κοινής λογικής (γνωστική πτυχή) // Artificial Intelligence News, 1996, No. 3, p. 7-92.

3. Kulik B.A. Λογικές βάσεις της κοινής λογικής / Επιμέλεια Δ.Α. Ποσπελόφ. - Αγία Πετρούπολη, Πολυτεχνείο, 1997. 131 σελ.

4. Kulik B.A. Η λογική της κοινής λογικής. - Common Sense, 1997, Αρ. 1(5), σελ. 44 - 48.

5. Styazhkin N.I. Σχηματισμός μαθηματικής λογικής. Μ.: Nauka, 1967.

6. Soloviev A. Διακριτά μαθηματικά χωρίς τύπους. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html

Στείλτε την καλή δουλειά σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα

Φοιτητές, μεταπτυχιακοί φοιτητές, νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές και την εργασία τους θα σας είναι πολύ ευγνώμονες.

Δημοσιεύτηκε στις http://www.allbest.ru/

ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Θέμα διατριβής

«Χρήση στοιχείων μαθηματικής λογικής στα μαθήματα μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο»

μαθηματική λογική στοιχειώδες

Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1. Θεωρητικές βάσεις για τη μελέτη των στοιχείων της μαθηματικής λογικής στο δημοτικό σχολείο

1.1 Κατανόηση της λογικής δομής των μαθηματικών εννοιών και προτάσεων

1.2 Μελέτη της λογικής ως κλάδου των μαθηματικών

1.3 Λογικός συλλογισμός

Συμπεράσματα για το κεφάλαιο 1

Κεφάλαιο 2. Χρήση στοιχείων μαθηματικής λογικής στα μαθήματα μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο

2.1 Χρήση στοιχείων λογικής σε ένα αρχικό μάθημα μαθηματικών

2.2 Ψυχολογικές και παιδαγωγικές βάσεις χρήσης στοιχείων μαθηματικής λογικής σύμφωνα με το εκπαιδευτικό συγκρότημα «Προοπτικό Δημοτικό Σχολείο»

2.3 Ένα σύστημα εργασιών που στοχεύει στην ανάπτυξη της έννοιας των «στοιχείων μαθηματικής λογικής» μεταξύ των μαθητών μετά την ολοκλήρωση του δημοτικού σχολείου

Συμπεράσματα για το Κεφάλαιο 2

συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

Εφαρμογές

Εισαγωγή

Επί του παρόντος, η χώρα αναζητά ενεργά τρόπους βελτίωσης της μαθηματικής εκπαίδευσης. Με βάση το ομοσπονδιακό κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο της Νέας Γενικής Εκπαίδευσης, οι μαθητές πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης πρέπει να συμμορφώνονται με τις απαιτήσεις για τα αποτελέσματα της κατοχής του βασικού εκπαιδευτικού προγράμματος της πρωτοβάθμιας γενικής εκπαίδευσης στο μάθημα των μαθηματικών:

1) χρησιμοποιεί βασικές μαθηματικές γνώσεις για να περιγράψει και να εξηγήσει γύρω αντικείμενα, διαδικασίες, φαινόμενα, καθώς και να αξιολογήσει τις ποσοτικές και χωρικές σχέσεις τους.

2) να κατέχει τα βασικά της λογικής και αλγοριθμικής σκέψης, της χωρικής φαντασίας και της μαθηματικής ομιλίας, της μέτρησης, του επανυπολογισμού, της εκτίμησης και της αξιολόγησης, της οπτικής αναπαράστασης δεδομένων και διαδικασιών, της καταγραφής και της εκτέλεσης αλγορίθμων.

3) να είναι σε θέση να εκτελεί προφορικές και γραπτές αριθμητικές πράξεις με αριθμούς και αριθμητικές εκφράσεις, να λύνει προβλήματα λέξεων, να μπορεί να ενεργεί σύμφωνα με έναν αλγόριθμο και να δημιουργεί απλούς αλγόριθμους, να εξερευνά, να αναγνωρίζει και να απεικονίζει γεωμετρικά σχήματα, να εργάζεται με πίνακες, διαγράμματα, γραφήματα και διαγράμματα, αλυσίδες, συσσωματώματα, παρουσίαση, ανάλυση και ερμηνεία δεδομένων.

Σήμερα, η μαθηματική εκπαίδευση είναι μέρος του συστήματος δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και ταυτόχρονα ένα είδος ανεξάρτητου σταδίου εκπαίδευσης. Το νέο περιεχόμενο της μαθηματικής εκπαίδευσης επικεντρώνεται κυρίως στη διαμόρφωση κουλτούρας και ανεξαρτησίας σκέψης των νεότερων μαθητών, στοιχείων εκπαιδευτικής δραστηριότητας με μέσα και μεθόδους μαθηματικών. Κατά τη διάρκεια της εκπαίδευσης, τα παιδιά πρέπει να μάθουν γενικές μεθόδους δράσης, να διεξάγουν βήμα-βήμα έλεγχο και αυτοαξιολόγηση των ολοκληρωμένων δραστηριοτήτων προκειμένου να διαπιστωθεί η συμμόρφωση των ενεργειών τους με το επιδιωκόμενο σχέδιο.

Γι' αυτό, δεν είναι τυχαίο ότι στα προγράμματα μαθηματικών δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στον σχηματισμό αλγοριθμικών, λογικών και συνδυαστικών γραμμών, οι οποίες αναπτύσσονται στη διαδικασία μελέτης των αριθμητικών, αλγεβρικών και γεωμετρικών τμημάτων του προγράμματος.

Στα έργα των μαθηματικών Α.Ν. Kolmogorov, A.I. Μαρκούσεβιτς Α.Σ. Stolyara, Α.Μ. Pyshkalo, Π.Μ. Ο Erdnieva και άλλοι υπογραμμίζουν τα θεμελιώδη ζητήματα της βελτίωσης της σχολικής μαθηματικής εκπαίδευσης, ιδίως ζητήματα που σχετίζονται με την ενίσχυση της λογικής βάσης του σχολικού μαθήματος, συμπεριλαμβανομένων στοιχείων μαθηματικής λογικής σε αυτό.

Την τελευταία δεκαετία, όταν το σχολείο μπήκε στη διαδικασία εκσυγχρονισμού, εισάγονται στην πράξη νέα πρότυπα, τεχνολογίες, μέθοδοι και διάφορα διδακτικά βοηθήματα, το ζήτημα της συνέχειας στην εκπαίδευση μεταξύ πρωτοβάθμιας και βασικής βαθμίδας γίνεται πιο σημαντικό. Η παρουσία ενός συνόλου σχολικών βιβλίων αποτελεί σημαντικό συστατικό της συνέχειας μεταξύ αυτών των επιπέδων. Σύμφωνα με τον Α.Α. Stolyar «χρειάζεται ένα νοητικό, λογικό πρόγραμμα, το οποίο θα πρέπει να εφαρμοστεί στην πρωτοβάθμια και δευτεροβάθμια τάξη του σχολείου».

Έρευνα από ψυχολόγους και δασκάλους V.V. Vygotsky, L.V. Zankov, V.V. Οι Davydova, N.M. Skatkina και άλλοι δείχνουν ότι υπό ορισμένες συνθήκες είναι δυνατό να επιτευχθεί όχι μόνο υψηλό επίπεδο γνώσεων, δεξιοτήτων και ικανοτήτων, αλλά και γενικής ανάπτυξης. Στην παραδοσιακή διδασκαλία, η ανάπτυξη εμφανίζεται ως ένα επιθυμητό, αλλά μακριά από προβλέψιμο προϊόν μάθησης.

Κατά τη γνώμη μας, στην ψυχολογική και μεθοδολογική βιβλιογραφία το πρόβλημα της διαμόρφωσης στοιχείων μαθηματικής λογικής στους μαθητές εξετάζεται εν μέρει σε σχέση με τη διδασκαλία των μαθηματικών στο γυμνάσιο.

Έτσι, το αριθμητικό σύνολο, ξεκινώντας από τις πρώτες τάξεις ενός σχολείου γενικής εκπαίδευσης, αντιπροσωπεύει το εργαστήριο όπου είναι δυνατό να αναπτυχθούν πιο ξεκάθαρα στους μαθητές δεξιότητες συλλογισμού, οι οποίες αποτελούν τη βάση για τον προσδιορισμό του αληθούς ή του ψεύδους μιας συγκεκριμένης προσέγγισης. συγκεκριμένη διατύπωση ενός προβλήματος. Τίθεται το ερώτημα: «Είναι μια τέτοια εργασία ο κύριος στόχος της διαδικασίας διδασκαλίας των μαθηματικών στο σχολείο και ποιο μερίδιο αυτού του προβλήματος εμφανίζεται στο δημοτικό;» Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα μπορεί να ληφθεί μόνο μετά από ενδελεχή ανάλυση του προγράμματος και των σχολικών βιβλίων στα μαθηματικά για τις τάξεις I-IV.

Το επείγον του προβλήματος είναι να βελτιωθεί το περιεχόμενο της διδασκαλίας των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο με στόχο τη διαμόρφωση στοιχείων μαθηματικής λογικής σε νεότερους μαθητές.

Ο σκοπός της μελέτηςεξετάστε τη μελέτη στοιχείων της μαθηματικής λογικής στο πλαίσιο ενός μαθήματος μαθηματικών κατά τη διδασκαλία των μαθηματικών στις τάξεις 1-4 και αναπτύξτε εκπαιδευτικά και μεθοδολογικά εργαλεία για την υλοποίησή του.

Αντικείμενο μελέτης- η διαδικασία μελέτης στοιχείων της μαθηματικής λογικής κατά τη διδασκαλία των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο.

Είδος- μέθοδοι και μέσα σχηματισμού στοιχείων μαθηματικής λογικής μεταξύ των μαθητών των τάξεων 1-4.

Ερευνητική υπόθεσηείναι ότι είναι δυνατή η οργάνωση της διαδικασίας διδασκαλίας των μαθηματικών, η οποία, παράλληλα με την προετοιμασία των μαθηματικών γνώσεων και δεξιοτήτων, θα αναπτύξουμε συνειδητά και συστηματικά τις λογικές δεξιότητες.

Για την επίτευξη του στόχου και την υλοποίηση της υπόθεσης, προσδιορίστηκαν τα ακόλουθα: ερευνητικούς στόχους:

1. Δώστε την έννοια της λογικής δομής των μαθηματικών εννοιών και προτάσεων.

2. Μελετήστε τη λογική ως επιστήμη και κλάδο των μαθηματικών.

3. Μάθετε τι είναι ο λογικός συλλογισμός και δώστε τους ορισμούς του.

4. Αναλύστε τα εκπαιδευτικά πρότυπα, τα προγράμματα σπουδών και τα τρέχοντα σχολικά εγχειρίδια στα μαθηματικά από την άποψη της λογικής ανάπτυξης των μαθητών.

5. Να εντοπίσει τα ψυχολογικά, παιδαγωγικά και μεθοδολογικά θεμέλια για το σχηματισμό στοιχείων μαθηματικής λογικής στα παιδιά στη διαδικασία διδασκαλίας των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο.

6. Διεξάγετε μια πειραματική μελέτη για να ελέγξετε την αποτελεσματικότητα των μεθόδων που αναπτύχθηκαν σε ένα περιβάλλον δημοτικού σχολείου.

Η θεωρητική και μεθοδολογική βάση της μελέτης αποτελούνταν από: τις βασικές αρχές της διαλεκτικο-υλιστικής φιλοσοφίας και το δόγμα της προσωπικής-ενεργητικής προσέγγισης της μάθησης που αναπτύχθηκε στη βάση τους (A.S. Vygotsky, A.N. Leontiev, S.L. Rubinstein, κ.λπ.). τα σημεία εκκίνησης της θεωρίας της αναπτυξιακής μάθησης (V.V. Davydov, L.V. Zankov, N.A. Menchinskaya, D.B. Elkonin, N.V. Yakimanskaya, κ.λπ.); θεμελιώδεις ιδέες μεθοδολογικών μαθηματικών (A.M. Pyshkalo, P.M. Erdniev).

Κεφάλαιο 1. Θεωρητικές βάσεις για τη μελέτη των στοιχείων της μαθηματικής λογικής στο δημοτικό σχολείο

1.1 Κατανόηση της λογικής δομής των μαθηματικών εννοιών και προτάσεων

Όταν μελετάτε μαθηματικά στο σχολείο, είναι απαραίτητο να κυριαρχήσετε ένα συγκεκριμένο σύστημα εννοιών, προτάσεων και αποδείξεων, αλλά για να κατακτήσετε αυτό το σύστημα και στη συνέχεια να εφαρμόσετε με επιτυχία τις αποκτηθείσες γνώσεις και δεξιότητες, διδάσκοντας νεότερους μαθητές και λύνοντας το πρόβλημα της ανάπτυξής τους χρησιμοποιώντας μαθηματικά , πρέπει να κατανοήσετε ποια είναι τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών εννοιών, πώς είναι δομημένοι ορισμοί, προτάσεις που εκφράζουν τις ιδιότητες των εννοιών και στοιχεία.

Ένας δάσκαλος πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης χρειάζεται τέτοιες γνώσεις επειδή είναι ο πρώτος που εισάγει τα παιδιά στον κόσμο της μαθηματικής γνώσης και η στάση του παιδιού απέναντι στη μελέτη των μαθηματικών στο μέλλον εξαρτάται από το πόσο ικανά και επιτυχώς το κάνει αυτό.

Η μελέτη αυτού του υλικού συνδέεται με την κατάκτηση της γλώσσας της θεωρίας συνόλων, η οποία θα χρησιμοποιηθεί όχι μόνο κατά την εξέταση της λογικής δομής των μαθηματικών εννοιών, προτάσεων και αποδείξεων, αλλά και κατά την κατασκευή ολόκληρου του μαθήματος.

Οι έννοιες που διδάσκονται σε ένα εισαγωγικό μάθημα μαθηματικών παρουσιάζονται συνήθως σε τέσσερις ομάδες. Το πρώτο περιλαμβάνει έννοιες που σχετίζονται με αριθμούς και πράξεις σε αυτούς: αριθμός, πρόσθεση, όρος, μεγαλύτερος κ.λπ. Αυτό περιλαμβάνει αλγεβρικές έννοιες: έκφραση, ισότητα, εξίσωση κ.λπ. Η τρίτη ομάδα αποτελείται από γεωμετρικές έννοιες: ευθεία γραμμή, τμήμα, τρίγωνο κ.λπ. Η τέταρτη ομάδα αποτελείται από έννοιες που σχετίζονται με τις ποσότητες και τη μέτρησή τους.

Για να μελετήσουμε μια τέτοια αφθονία πολύ διαφορετικών εννοιών, είναι απαραίτητο να έχουμε μια ιδέα για την έννοια ως λογική κατηγορία και τα χαρακτηριστικά των μαθηματικών εννοιών.

Στη λογική, οι έννοιες θεωρούνται ως μια μορφή σκέψης που αντανακλά αντικείμενα (αντικείμενα ή φαινόμενα) στις ουσιαστικές και γενικές τους ιδιότητες. Η γλωσσική μορφή μιας έννοιας είναι μια λέξη ή ομάδα λέξεων.

Το να κάνεις μια σκέψη για ένα αντικείμενο σημαίνει να μπορείς να το ξεχωρίσεις από άλλα παρόμοια αντικείμενα. Οι μαθηματικές έννοιες έχουν μια σειρά από χαρακτηριστικά. Το κυριότερο είναι ότι τα μαθηματικά αντικείμενα σε σχέση με τα οποία σχηματίζονται οι έννοιες δεν υπάρχουν στην πραγματικότητα. Όλα τα μαθηματικά αντικείμενα δημιουργούνται από το ανθρώπινο μυαλό. Ιδανικό για αντικείμενα που αντανακλούν πραγματικά αντικείμενα ή φαινόμενα.

Για παράδειγμα, στη γεωμετρία μελετούν το σχήμα και το μέγεθος των αντικειμένων χωρίς να λαμβάνουν υπόψη άλλες ιδιότητες: χρώμα, μάζα, σκληρότητα κ.λπ. Αποσπώνται από όλα αυτά, αφηρημένα. Επομένως, στη γεωμετρία, αντί για τη λέξη «αντικείμενο» λένε «γεωμετρικό σχήμα».

Το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι μαθηματικές έννοιες όπως «αριθμός» και «μέγεθος».

Γενικά, τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν μόνο στην ανθρώπινη σκέψη και σε εκείνα τα σημεία και σύμβολα που σχηματίζουν τη μαθηματική γλώσσα.

Μελετώντας τις χωρικές μορφές και τις ποσοτικές σχέσεις του υλικού κόσμου, τα μαθηματικά όχι μόνο χρησιμοποιούν διάφορες τεχνικές αφαίρεσης, αλλά η ίδια η αφαίρεση λειτουργεί ως μια διαδικασία πολλαπλών σταδίων.

Η εμφάνιση στα μαθηματικά νέων εννοιών, άρα και νέων όρων που δηλώνουν αυτές τις έννοιες, προϋποθέτει τον ορισμό τους.

Ένας ορισμός είναι συνήθως μια πρόταση που εξηγεί την ουσία ενός νέου όρου (ή προσδιορισμού). Κατά κανόνα, αυτό γίνεται με βάση τις έννοιες που εισήχθησαν προηγουμένως.

Δεδομένου ότι ο ορισμός μιας έννοιας μέσω του γένους και της ειδικής διαφοράς είναι ουσιαστικά μια συμφωνία υπό όρους για την εισαγωγή ενός νέου όρου ή την αντικατάσταση οποιουδήποτε συνόλου γνωστών όρων, δεν μπορεί να ειπωθεί για τον ορισμό εάν είναι σωστός ή εσφαλμένος. ούτε αποδεικνύεται ούτε διαψεύδεται. Αλλά όταν διατυπώνουν ορισμούς, τηρούν ορισμένους κανόνες:

· Ο προσδιορισμός πρέπει να είναι αναλογικός. Αυτό σημαίνει ότι οι όγκοι των καθορισμένων και καθοριστικών εννοιών πρέπει να συμπίπτουν. Αυτός ο κανόνας προκύπτει από το γεγονός ότι οι καθορισμένες και καθοριστικές έννοιες είναι εναλλάξιμες.

· Δεν πρέπει να υπάρχει φαύλος κύκλος στον ορισμό (ή στο σύστημά τους). Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορείτε να ορίσετε μια έννοια από μόνη της (ο καθοριστικός όρος δεν πρέπει να περιέχει τον όρο που ορίζεται) ή να την ορίσετε μέσω μιας άλλης, η οποία, με τη σειρά της, ορίζει μέσω αυτής. Γιατί στα μαθηματικά δεν εξετάζουν μόνο μεμονωμένες έννοιες. Και το σύστημά τους, τότε αυτός ο κανόνας απαγορεύει τον φαύλο κύκλο στο σύστημα των ορισμών.

· Ο ορισμός πρέπει να είναι σαφής. Αυτό δεν είναι ένας προφανής κανόνας με την πρώτη ματιά, αλλά σημαίνει πολλά. Πρώτα απ 'όλα, απαιτείται η έννοια των όρων που περιλαμβάνονται στην καθοριστική έννοια να είναι γνωστή μέχρι την εισαγωγή του ορισμού της νέας έννοιας. Οι προϋποθέσεις για τη σαφήνεια του ορισμού περιλαμβάνουν επίσης τη σύσταση να συμπεριληφθούν στη συγκεκριμένη διαφορά μόνο όσες ιδιότητες είναι απαραίτητες και επαρκείς για την απομόνωση των καθορισμένων αντικειμένων από το πεδίο εφαρμογής της γενικής έννοιας.

Κατά τη μελέτη των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο, οι ορισμοί μέσω της διάκρισης γένους και είδους χρησιμοποιούνται σπάνια. Υπάρχουν πολλές έννοιες στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών.

Κατά τη μελέτη των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο, χρησιμοποιούνται συχνότερα οι λεγόμενοι σιωπηροί ορισμοί. Στη δομή τους είναι αδύνατο να διακρίνει κανείς το καθοριστικό και το καθοριστικό. Ανάμεσά τους διακρίνονται τα συμφραζόμενα και τα εμφατικά.

Στους συμφραζόμενους ορισμούς, το περιεχόμενο μιας νέας έννοιας αποκαλύπτεται μέσα από ένα απόσπασμα κειμένου, μέσα από το πλαίσιο, μέσα από μια ανάλυση μιας συγκεκριμένης κατάστασης. Περιγραφή της έννοιας της εισαγόμενης έννοιας. Μέσα από το πλαίσιο, εδραιώνεται μια σύνδεση μεταξύ της καθορισμένης έννοιας και άλλων γνωστών εννοιών, και έτσι αποκαλύπτεται έμμεσα το περιεχόμενό της. Ένα παράδειγμα ενός ορισμού με βάση τα συμφραζόμενα θα ήταν ο ορισμός μιας εξίσωσης και η επίλυσή της.

Οι επιδεικτικοί ορισμοί είναι ορισμοί με επίδειξη. Χρησιμοποιούνται για την εισαγωγή όρων επιδεικνύοντας τα αντικείμενα στα οποία αναφέρονται οι όροι. Για παράδειγμα, με αυτόν τον τρόπο μπορούν να οριστούν οι έννοιες της ισότητας και της ανισότητας στο δημοτικό σχολείο.

Η μελέτη πραγματικών διεργασιών, οι μαθηματικές περιγραφές, χρησιμοποιούνται ως φυσική λεκτική γλώσσα και συμβολικό νόημα. Οι περιγραφές κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας προτάσεις. Αλλά για να είναι η μαθηματική γνώση μια ακριβής, επαρκής αντανάκλαση της πραγματικότητας που μας περιβάλλει, αυτές οι προτάσεις πρέπει να είναι αληθινές. Κάθε μαθηματική διατριβή χαρακτηρίζεται από περιεχόμενο και λογική μορφή (δομή) και το περιεχόμενο είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με τη μορφή και είναι αδύνατο να κατανοήσουμε την πρώτη χωρίς να κατανοήσουμε τη δεύτερη.

1) Ο αριθμός 12 είναι ζυγός.

Βλέπουμε ότι οι προτάσεις που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά μπορούν να γραφτούν τόσο σε φυσική (ρωσική) γλώσσα όσο και σε μαθηματική γλώσσα, χρησιμοποιώντας σύμβολα. Σχετικά με τις προτάσεις 1,4,5 και 6 μπορούμε να πούμε ότι περιέχουν αληθείς πληροφορίες και για την πρόταση 2 - ψευδές. Σχετικά με την πρόταση x +5 = 8, είναι γενικά αδύνατο να πούμε αν είναι σωστή ή λάθος. Η εξέταση μιας πρότασης από τη σκοπιά του αληθούς ή του ψευδούς οδήγησε στην έννοια της δήλωσης.

1.2 Η μελέτη της λογικής ως κλάδος των μαθηματικών

Η λογική είναι μια από τις αρχαιότερες επιστήμες. Επί του παρόντος δεν είναι δυνατό να προσδιοριστεί ακριβώς ποιος, πότε και πού στράφηκε για πρώτη φορά σε εκείνες τις πτυχές της σκέψης που αποτελούν το αντικείμενο της λογικής. Όπως επισημαίνει ο Ivin A.A. , μερικές από τις απαρχές της λογικής διδασκαλίας βρίσκονται στην Ινδία, στα τέλη της 2ης χιλιετίας π.Χ. Ωστόσο, αν μιλάμε για την ανάδειξη της λογικής ως επιστήμης, δηλαδή για ένα περισσότερο ή λιγότερο συστηματοποιημένο σύνολο γνώσεων, τότε θα ήταν δίκαιο να θεωρήσουμε τον μεγάλο πολιτισμό της Αρχαίας Ελλάδας ως γενέτειρα της λογικής. Ήταν εδώ τον 5ο - 4ο αιώνα π.Χ. Κατά την περίοδο της ραγδαίας ανάπτυξης της δημοκρατίας και της συναφούς πρωτοφανούς αναβίωσης της κοινωνικοπολιτικής ζωής, τα θεμέλια αυτής της επιστήμης τέθηκαν από τα έργα του Δημόκριτου, του Πλάτωνα και του Σωκράτη. Ο γενάρχης, ο «πατέρας» της λογικής, θεωρείται δικαίως ο μεγαλύτερος στοχαστής της αρχαιότητας. Μαθητής του Πλάτωνα είναι ο Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.). Ήταν αυτός που, στα έργα του, ενώθηκε υπό τον γενικό τίτλο «Όργανον» (εργαλείο γνώσης), για πρώτη φορά ανέλυσε διεξοδικά και περιέγραψε τις βασικές λογικές μορφές και κανόνες συλλογισμού, δηλαδή: τις μορφές των συμπερασμάτων από την ονόμασε κατηγορικές κρίσεις - τον κατηγορηματικό συλλογισμό ("First Analytics"), διατύπωσε τις βασικές αρχές της επιστημονικής απόδειξης ("Second Analytics"), έδωσε μια ανάλυση της σημασίας ορισμένων τύπων δηλώσεων ("On Interpretation") και περιέγραψε τις κύριες προσεγγίσεις για την ανάπτυξη του δόγματος των εννοιών («Κατηγορίες»). Ο Αριστοτέλης έδωσε επίσης σοβαρή προσοχή στην αποκάλυψη διαφόρων ειδών λογικών λαθών και σοφιστικών τεχνικών σε διαφωνίες («Περί σοφιστικών διαψεύσεων»).

Η λογική έχει μακρά και πλούσια ιστορία, άρρηκτα συνδεδεμένη με την ιστορία της εξέλιξης του κοινωνικού συνόλου.

Της εμφάνισης της λογικής ως θεωρίας είχε προηγηθεί η πρακτική της σκέψης που πηγαίνει πίσω χιλιάδες χρόνια. Με την ανάπτυξη των εργασιακών, υλικών και παραγωγικών δραστηριοτήτων των ανθρώπων, υπήρξε σταδιακή βελτίωση και ανάπτυξη των ικανοτήτων σκέψης τους, ιδιαίτερα της ικανότητας αφαίρεσης και συμπερασμάτων. Και αυτό, αργά ή γρήγορα, αλλά αναπόφευκτα θα έπρεπε να είχε οδηγήσει στο γεγονός ότι το αντικείμενο της έρευνας έγινε η ίδια η σκέψη με τις μορφές και τους νόμους της.

Όπως επισημαίνει ο Ivin A.A. , η ιστορία δείχνει ότι μεμονωμένα λογικά προβλήματα εμφανίστηκαν στο ανθρώπινο μυαλό πριν από 2,5 χιλιάδες χρόνια - πρώτα στην Αρχαία Ινδία και στην Αρχαία Κίνα. Στη συνέχεια λαμβάνουν πληρέστερη ανάπτυξη στην Αρχαία Ελλάδα και τη Ρώμη. Μόνο σταδιακά διαμορφώνεται ένα περισσότερο ή λιγότερο συνεκτικό σύστημα λογικής γνώσης και διαμορφώνεται μια ανεξάρτητη επιστήμη.

Ποιοι είναι οι λόγοι για την εμφάνιση της λογικής; Ivin A.A. πιστεύει ότι υπάρχουν δύο βασικές. Ένα από αυτά είναι η προέλευση και η αρχική ανάπτυξη των επιστημών, ιδιαίτερα των μαθηματικών. Η διαδικασία αυτή χρονολογείται από τον 6ο αιώνα. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. και λαμβάνει την πληρέστερη ανάπτυξή του στην Αρχαία Ελλάδα. Γεννημένη στον αγώνα ενάντια στη μυθολογία και τη θρησκεία, η επιστήμη βασίστηκε στη θεωρητική σκέψη, που περιελάμβανε συμπεράσματα και στοιχεία. Εξ ου και η ανάγκη μελέτης της φύσης της ίδιας της σκέψης ως μέσου γνώσης.

Σύμφωνα με τον Kurbatov V.I. , η λογική προέκυψε, καταρχάς, ως μια προσπάθεια εντοπισμού και αιτιολόγησης εκείνων των απαιτήσεων που πρέπει να ικανοποιεί η επιστημονική σκέψη προκειμένου τα αποτελέσματά της να ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα.

Ένας άλλος, ίσως ακόμη πιο σημαντικός λόγος είναι η ανάπτυξη της ρητορικής, συμπεριλαμβανομένης της δικαστικής τέχνης, που άκμασε υπό τις συνθήκες της αρχαίας ελληνικής δημοκρατίας. Ο μεγαλύτερος Ρωμαίος ρήτορας και επιστήμονας Κικέρων (106-43 π.Χ.), μιλώντας για τη δύναμη του ρήτορα, ιδιοκτήτη του «θεϊκού δώρου» της ευγλωττίας, τόνισε: «Μπορεί να παραμείνει με ασφάλεια ακόμη και ανάμεσα σε ένοπλους εχθρούς, προστατευμένος όχι τόσο από το προσωπικό του, πόσο από τον τίτλο του ομιλητή? Μπορεί, με τον λόγο του, να προκαλέσει την αγανάκτηση των συμπολιτών του και να τιμωρήσει τους ένοχους εγκλήματος και εξαπάτησης και να σώσει τους αθώους από τη δίκη και την τιμωρία με τη δύναμη του ταλέντου του. Είναι σε θέση να παρακινήσει τους δειλούς και αναποφάσιστους ανθρώπους στον ηρωισμό, είναι σε θέση να τους οδηγήσει έξω από το λάθος, είναι σε θέση να τους εξάψει εναντίον των απατεώνων και να ηρεμήσει τη γκρίνια ενάντια στους άξιους ανθρώπους. Ξέρει πώς, επιτέλους, με μια λέξη μπορεί και να διεγείρει και να κατευνάσει τα ανθρώπινα πάθη όταν το απαιτούν οι περιστάσεις της υπόθεσης».

Σύμφωνα με τον Ivin A.A., ο ιδρυτής της λογικής -ή, όπως λένε μερικές φορές, «ο πατέρας της λογικής» - θεωρείται ο μεγαλύτερος αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος και εγκυκλοπαιδιστής Αριστοτέλης (384-322 π.Χ.). Θα πρέπει, ωστόσο, να ληφθεί υπόψη ότι η πρώτη αρκετά λεπτομερής και συστηματική παρουσίαση των λογικών προβλημάτων έγινε στην πραγματικότητα από τον παλαιότερο αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο και φυσιοδίφη Δημόκριτο (460 - περίπου 370 π.Χ.). Ανάμεσα στα πολυάριθμα έργα του ήταν μια εκτενής πραγματεία σε τρία βιβλία, «Περί λογικής ή περί κανόνων». Εδώ δεν αποκαλύφθηκε μόνο η ουσία της γνώσης, οι κύριες μορφές και τα κριτήρια αλήθειας της, αλλά και ο τεράστιος ρόλος του λογικού συλλογισμού στη γνώση, και δόθηκε μια ταξινόμηση των κρίσεων. Μερικοί τύποι συμπερασματικής γνώσης επικρίθηκαν έντονα και έγινε προσπάθεια να αναπτυχθεί η επαγωγική λογική - η λογική της πειραματικής γνώσης. Δυστυχώς, αυτή η πραγματεία του Δημόκριτου, όπως όλες οι άλλες, δεν έφτασε σε εμάς.

Ένα νέο, υψηλότερο στάδιο στην ανάπτυξη της λογικής ξεκινά τον 17ο αιώνα. Αυτό το στάδιο συνδέεται οργανικά με τη δημιουργία στο πλαίσιο του, μαζί με την απαγωγική λογική, της επαγωγικής λογικής. Αντανακλά τις ποικίλες διαδικασίες απόκτησης γενικής γνώσης που βασίζεται σε όλο και περισσότερο συσσωρευμένο εμπειρικό υλικό. Η ανάγκη για απόκτηση τέτοιας γνώσης έγινε πλήρως αντιληπτή και εκφράστηκε στα έργα του από τον εξέχοντα Άγγλο φιλόσοφο και φυσολόγο F. Bacon (1561-1626). Έγινε ο ιδρυτής της επαγωγικής λογικής. «...η λογική που υπάρχει τώρα είναι άχρηστη για την ανακάλυψη της γνώσης», είπε η σκληρή ετυμηγορία του. Επομένως, σαν σε αντίθεση με το παλιό «Όργανον» του Αριστοτέλη, ο Μπέικον έγραψε «Το Νέο Όργανον...», όπου σκιαγράφησε την επαγωγική λογική. Έδωσε την κύρια προσοχή του στην ανάπτυξη επαγωγικών μεθόδων για τον προσδιορισμό της αιτιακής εξάρτησης των φαινομένων. Αυτή είναι η μεγάλη αξία του Μπέικον. Ωστόσο, το δόγμα της επαγωγής που δημιούργησε, κατά ειρωνικό τρόπο, αποδείχθηκε ότι δεν ήταν άρνηση της προηγούμενης λογικής. Και ο περαιτέρω εμπλουτισμός και ανάπτυξή του. Συνέβαλε στη δημιουργία μιας γενικευμένης θεωρίας συμπερασμάτων. Και αυτό είναι φυσικό, γιατί, όπως θα φανεί παρακάτω, η επαγωγή και η έκπτωση δεν αποκλείουν, αλλά προϋποθέτουν η μία την άλλη και βρίσκονται σε οργανική ενότητα.

Οι Ρώσοι επιστήμονες είχαν μια πολύ γνωστή συμβολή στην ανάπτυξη της παραδοσιακής τυπικής λογικής. Έτσι, ήδη στις πρώτες πραγματείες για τη λογική, ξεκινώντας γύρω στον 10ο αι. έγιναν προσπάθειες να σχολιαστούν ανεξάρτητα τα έργα του Αριστοτέλη και άλλων επιστημόνων. Οι πρωτότυπες λογικές έννοιες στη Ρωσία αναπτύχθηκαν τον 18ο αιώνα. και συνδέονται κυρίως με τα ονόματα των M. Lomonosov (1711-1765) και A. Radishchev (1749-1802). Η ακμή της λογικής έρευνας στη χώρα μας χρονολογείται από τα τέλη του 19ου αιώνα.

Μια μεγαλειώδης προσπάθεια ανάπτυξης ενός ολοκληρωμένου συστήματος νέας, διαλεκτικής λογικής έγινε από τον Γερμανό φιλόσοφο G. Hegel (1770-1831). Στο θεμελιώδες έργο του «Η Επιστήμη της Λογικής», πρώτα απ 'όλα, αποκάλυψε τη θεμελιώδη αντίφαση μεταξύ των υπαρχουσών λογικών θεωριών και της πραγματικής πρακτικής της σκέψης, η οποία μέχρι τότε είχε φτάσει σε σημαντικά ύψη.

Όπως επισημαίνει ο Kurbatov V.I., ο Χέγκελ επανεξέτασε τη φύση της σκέψης, τους νόμους και τις μορφές της. Από αυτή την άποψη, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι «η διαλεκτική αποτελεί τη φύση της ίδιας της σκέψης, ότι ως λόγος πρέπει να πέφτει σε αυτοάρνηση, σε αντίφαση». Ο στοχαστής είδε το καθήκον του να βρει έναν τρόπο να επιλύσει αυτές τις αντιφάσεις. Ο Χέγκελ επέκρινε αυστηρά την παλιά, συνηθισμένη λογική για τη σύνδεσή της με τη μεταφυσική μέθοδο της γνώσης. Αλλά σε αυτή την κριτική έφτασε τόσο μακριά που απέρριψε τις αρχές της που βασίζονται στο νόμο της ταυτότητας και στο νόμο της αντίφασης.

Ivin A.A. λέει ότι τα προβλήματα της διαλεκτικής λογικής, η σχέση της με την τυπική λογική βρήκαν περαιτέρω συγκεκριμενοποίηση και ανάπτυξη στα έργα των Γερμανών φιλοσόφων και επιστημόνων Κ. Μαρξ) 1818-1883) και Φ. Ένγκελς (1820-1895). Χρησιμοποιώντας το πλουσιότερο πνευματικό υλικό που συσσωρεύτηκε από τη φιλοσοφία, τις φυσικές και κοινωνικές επιστήμες, δημιούργησαν ένα ποιοτικό νέο, διαλεκτικό-υλιστικό σύστημα, το οποίο ενσωματώθηκε σε έργα όπως το «Κεφάλαιο» του Κ. Μαρξ, το «Αντί Ντύρινγκ» και το «Διαλεκτική της Φύσης». ” του Φ. Ένγκελς. Από αυτές τις γενικές φιλοσοφικές θέσεις, ο Μαρξ και ο Ένγκελς αξιολόγησαν την ειδική «διδασκαλία της σκέψης και τους νόμους της» - τη λογική και τη διαλεκτική. Δεν αρνήθηκαν τη σημασία της τυπικής λογικής, δεν τη θεώρησαν «ανοησία», αλλά τόνισαν τον ιστορικό της χαρακτήρα. Έτσι, ο Ένγκελς σημείωσε ότι η θεωρητική σκέψη κάθε εποχής είναι ένα ιστορικό προϊόν, το οποίο σε διαφορετικούς χρόνους παίρνει πολύ διαφορετικές μορφές και ταυτόχρονα πολύ διαφορετικό περιεχόμενο. «Συνεπώς, η επιστήμη της σκέψης, όπως κάθε άλλη επιστήμη, είναι μια ιστορική επιστήμη, η επιστήμη της ιστορικής ανάπτυξης της ανθρώπινης σκέψης».

Τις τελευταίες δεκαετίες έχουν γίνει πολλές γόνιμες προσπάθειες στη χώρα μας για συστηματική παρουσίαση της διαλεκτικής λογικής. Οι εξελίξεις προχωρούν σε δύο βασικές κατευθύνσεις. Από τη μια, αυτή είναι η αποκάλυψη των προτύπων αντανάκλασης της αναπτυσσόμενης πραγματικότητας στην ανθρώπινη σκέψη, των αντικειμενικών της αντιφάσεων και, από την άλλη, η αποκάλυψη των προτύπων ανάπτυξης της ίδιας της σκέψης, της δικής της διαλεκτικής.

Στις συνθήκες της επιστημονικής και τεχνολογικής επανάστασης, όταν οι επιστήμες περνούν σε νέα, βαθύτερα επίπεδα γνώσης και όταν ο ρόλος της διαλεκτικής σκέψης αυξάνεται, η ανάγκη για διαλεκτική λογική εντείνεται ολοένα και περισσότερο. Λαμβάνει νέα κίνητρα για την περαιτέρω ανάπτυξή της.

Μια πραγματική επανάσταση στη λογική έρευνα προκλήθηκε από τη δημιουργία της μαθηματικής λογικής στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα, η οποία ονομάστηκε επίσης συμβολική και σηματοδότησε ένα νέο, σύγχρονο στάδιο στην ανάπτυξη της λογικής.

Οι απαρχές αυτής της λογικής μπορούν να εντοπιστούν ήδη στον Αριστοτέλη, καθώς και στους οπαδούς του, τους Στωικούς, με τη μορφή στοιχείων της κατηγορηματικής λογικής και της θεωρίας των τροπικών συμπερασμάτων, καθώς και της προτασιακής λογικής. Ωστόσο, η συστηματική ανάπτυξη των προβλημάτων του ανάγεται σε πολύ μεταγενέστερο χρόνο.

Όπως επισημαίνει ο Ivin A.A., οι αυξανόμενες επιτυχίες στην ανάπτυξη των μαθηματικών και η διείσδυση των μαθηματικών μεθόδων σε άλλες επιστήμες ήδη από το δεύτερο μισό του 17ου αιώνα έθεσαν επειγόντως δύο θεμελιώδη προβλήματα. Από τη μια πλευρά, αυτή είναι η χρήση της λογικής για την ανάπτυξη των θεωρητικών θεμελίων των μαθηματικών, και από την άλλη, η μαθηματικοποίηση της ίδιας της λογικής ως επιστήμης. Η πιο βαθιά και γόνιμη προσπάθεια επίλυσης των προβλημάτων που προέκυψαν έγινε από τον μεγαλύτερο Γερμανό φιλόσοφο και μαθηματικό G. Leibniz (1646-1416). Έτσι, έγινε ουσιαστικά ο θεμελιωτής της μαθηματικής λογικής. Ο Leibniz ονειρευόταν μια εποχή που οι επιστήμονες δεν θα ασχολούνταν με την εμπειρική έρευνα, αλλά με τον λογισμό με ένα μολύβι στο χέρι. Προσπάθησε να εφεύρει για το σκοπό αυτό μια καθολική συμβολική γλώσσα μέσω της οποίας θα μπορούσε να εξορθολογιστεί οποιαδήποτε εμπειρική επιστήμη. Η νέα γνώση, κατά τη γνώμη του, θα είναι το αποτέλεσμα λογικού υπολογισμού - λογισμού.

Σύμφωνα με τον V.I. Kurbatov, οι ιδέες του Leibniz έλαβαν κάποια ανάπτυξη τον 18ο αιώνα και το πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Ωστόσο, οι πιο ευνοϊκές συνθήκες για την ισχυρή ανάπτυξη της συμβολικής λογικής προέκυψαν μόλις στο δεύτερο μισό του 19ου αιώνα. Μέχρι εκείνη τη στιγμή, η μαθηματοποίηση των επιστημών είχε σημειώσει ιδιαίτερα σημαντική πρόοδο και νέα θεμελιώδη προβλήματα αιτιολόγησής της προέκυψαν στα ίδια τα μαθηματικά. Άγγλος επιστήμονας, μαθηματικός και λογικός Railway. Ο Boole (1815-1864) εφάρμοσε κυρίως τα μαθηματικά στη λογική στα έργα του. Έδωσε μια μαθηματική ανάλυση της θεωρίας των συμπερασμάτων και ανέπτυξε λογικό λογισμό («Άλγεβρα Μπουλ»). Ο Γερμανός λογικός και μαθηματικός G. Frege (1848-1925) εφάρμοσε τη λογική στη μελέτη των μαθηματικών. Μέσω του εκτεταμένου κατηγορηματικού λογισμού κατασκεύασε ένα επισημοποιημένο σύστημα αριθμητικής.

Έτσι άνοιξε ένα νέο, σύγχρονο στάδιο στην ανάπτυξη της λογικής έρευνας. Ίσως το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό αυτού του σταδίου είναι η ανάπτυξη και η χρήση νέων μεθόδων για την επίλυση παραδοσιακών λογικών προβλημάτων. Αυτή είναι η ανάπτυξη και η χρήση μιας τεχνητής, λεγόμενης επισημοποιημένης γλώσσας - μιας γλώσσας συμβόλων, δηλ. αλφαβητικά και άλλα σημάδια (εξ ου και η πιο κοινή ονομασία για τη σύγχρονη λογική - "συμβολική").

Όπως επισημαίνει ο Ivin A.A. , υπάρχουν δύο τύποι λογικού λογισμού: ο προτασιακός λογισμός και ο κατηγόρημα λογισμός. Με την πρώτη επιτρέπεται η αφαίρεση από την εσωτερική, εννοιολογική δομή των κρίσεων και με τη δεύτερη λαμβάνεται υπόψη αυτή η δομή και, κατά συνέπεια, η συμβολική γλώσσα εμπλουτίζεται και συμπληρώνεται με νέα σημεία.

Η σημασία των συμβολικών γλωσσών στη λογική είναι δύσκολο να υπερεκτιμηθεί. Ο G. Frege το συνέκρινε με την έννοια του τηλεσκοπίου και του μικροσκοπίου. Και ο Γερμανός φιλόσοφος G. Klaus (1912-1974) πίστευε ότι η δημιουργία μιας επισημοποιημένης γλώσσας είχε την ίδια σημασία για την τεχνολογία των λογικών συμπερασμάτων με τη μετάβαση από τη χειρωνακτική εργασία στη μηχανική εργασία στη σφαίρα της παραγωγής. Αναδυόμενη στη βάση της παραδοσιακής τυπικής λογικής, η συμβολική λογική, αφενός, διευκρινίζει, εμβαθύνει και γενικεύει προηγούμενες ιδέες για λογικούς νόμους και μορφές, ιδίως στη θεωρία των συμπερασμάτων, και αφετέρου, διευρύνει και εμπλουτίζει όλο και περισσότερο τα λογικά προβλήματα. . Η σύγχρονη λογική είναι ένα πολύπλοκο και πολύ ανεπτυγμένο σύστημα γνώσης. Περιλαμβάνει πολλές κατευθύνσεις, ξεχωριστές, σχετικά ανεξάρτητες «λογικές», εκφράζοντας ολοένα και πληρέστερα τις ανάγκες της πρακτικής και εν τέλει αντικατοπτρίζει την ποικιλομορφία της πολυπλοκότητας του περιβάλλοντος κόσμου, την ενότητα και την ποικιλομορφία της σκέψης για αυτόν τον ίδιο τον κόσμο.

Η συμβολική λογική χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο σε άλλες επιστήμες - όχι μόνο στα μαθηματικά, αλλά και στη φυσική, τη βιολογία, την κυβερνητική, τα οικονομικά και τη γλωσσολογία. Οδηγεί στην εμφάνιση νέων κλάδων γνώσης (μαθηματικά). Ο ρόλος της λογικής στη σφαίρα της παραγωγής είναι ιδιαίτερα εντυπωσιακός και ξεκάθαρος. Ανοίγοντας τη δυνατότητα αυτοματοποίησης της διαδικασίας συλλογισμού, καθιστά δυνατή τη μεταφορά ορισμένων λειτουργιών σκέψης σε τεχνικές συσκευές. Τα αποτελέσματά του χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην τεχνολογία: στη δημιουργία κυκλωμάτων επαφής ρελέ, υπολογιστών, πληροφοριακών λογικών συστημάτων κ.λπ. Σύμφωνα με τη μεταφορική έκφραση ενός από τους επιστήμονες, η σύγχρονη λογική δεν είναι μόνο το «εργαλείο» της ακριβούς σκέψης, αλλά και η «σκέψη» ενός ακριβούς οργάνου, ενός ηλεκτρονικού αυτόματου. Τα επιτεύγματα της σύγχρονης λογικής χρησιμοποιούνται και στη νομική σφαίρα. Έτσι, στην εγκληματολογική επιστήμη, σε διαφορετικά στάδια της μελέτης, πραγματοποιείται λογική και μαθηματική επεξεργασία των συλλεγόμενων πληροφοριών.

Οι αυξανόμενες ανάγκες της επιστημονικής και τεχνολογικής προόδου καθορίζουν την περαιτέρω εντατική ανάπτυξη της σύγχρονης λογικής.

Μένει να πούμε ότι οι Ρώσοι επιστήμονες συνέβαλαν σημαντικά στην ανάπτυξη συστημάτων συμβολικής λογικής. Ανάμεσά τους ξεχωρίζει ιδιαίτερα ο Π. Πορέτσκι (1846-1907). Ήταν ο πρώτος στη Ρωσία που άρχισε να δίνει διαλέξεις για τη μαθηματική λογική. Η μαθηματική λογική συνεχίζει να αναπτύσσεται σήμερα.

Σύμφωνα με τον V.I. Kurbatov, η μελέτη της μαθηματικής λογικής πειθαρχεί το μυαλό. Θυμόμαστε τη διάσημη ρήση του M.V. Lomonosov για τα μαθηματικά, μπορούμε να πούμε ότι η μαθηματική λογική, περισσότερο από οποιαδήποτε άλλη μαθηματική επιστήμη, «βάζει το μυαλό σε τάξη».

Η γλώσσα οποιασδήποτε άλγεβρας αποτελείται από ένα σύνολο σημείων που ονομάζεται αλφάβητο αυτής της γλώσσας.

Τα σημάδια του αλφαβήτου, κατ' αναλογία με τα σημάδια του αλφαβήτου της φυσικής γλώσσας, ονομάζονται γράμματα.

Φυσικά προκύπτει το ερώτημα: ποια γράμματα πρέπει να περιέχει το αλφάβητο της γλώσσας της αριθμητικής άλγεβρας;

Πρώτα απ 'όλα, προφανώς, πρέπει να έχουμε γράμματα για να δηλώσουμε τα στοιχεία ενός συνόλου - τον φορέα της άλγεβρας, στην περίπτωση αυτή για να δηλώσουμε αριθμούς, και μεταβλητές για τα στοιχεία αυτού του συνόλου.

Χρησιμοποιώντας το δεκαδικό σύστημα αριθμών για να ορίσουμε αριθμούς, πρέπει να συμπεριλάβουμε στο αλφάβητο της αριθμητικής άλγεβρας δέκα γράμματα που ονομάζονται αριθμοί: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, με τη βοήθεια των οποίων, σύμφωνα με σε ορισμένους κανόνες, τα ονόματα οποιωνδήποτε αριθμών.

Ως αριθμητικές μεταβλητές (μεταβλητές για αριθμούς οποιουδήποτε από τα σύνολα N, N0, Z, Q ή R) χρησιμοποιούνται γράμματα του λατινικού αλφαβήτου a, b, c, x, y, z ή ένα από αυτά τα γράμματα με ευρετήριο, για παράδειγμα X1, X2, Xn.

Μερικές φορές τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου χρησιμοποιούνται και ως αριθμητικές σταθερές, δηλαδή ως ονόματα αριθμών (όταν μιλάμε για συγκεκριμένο, αλλά δεν έχει σημασία ποιος συγκεκριμένος αριθμός). Στην περίπτωση αυτή, τα αρχικά γράμματα του λατινικού αλφαβήτου a, b, c χρησιμοποιούνται συνήθως ως σταθερές και τα τελευταία γράμματα x, y, z χρησιμοποιούνται ως μεταβλητές.

Χρειαζόμαστε επίσης γράμματα για να αναπαραστήσουμε λειτουργίες. Για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό χρησιμοποιούνται τα γνωστά πρόσημα (γράμματα) + και * αντίστοιχα.

Επιπλέον, ο ρόλος των σημείων στίξης στη γλώσσα της άλγεβρας παίζεται από αγκύλες (αριστερά και δεξιά).

Έτσι, το αλφάβητο μιας γλώσσας στην οποία περιγράφεται οποιαδήποτε αριθμητική άλγεβρα πρέπει να περιλαμβάνει ένα σύνολο που αποτελείται από τέσσερις κατηγορίες γραμμάτων: I - αριθμοί από τους οποίους κατασκευάζονται τα ονόματα των αριθμών. II - γράμματα του λατινικού αλφαβήτου - αριθμητικές μεταβλητές ή σταθερές. III - πινακίδες λειτουργίας. IV -- παρενθέσεις.

Τα σημάδια αφαίρεσης (--) και διαίρεσης (:) μπορούν να εισαχθούν με ορισμούς των αντίστοιχων πράξεων.

Σταδιακά, το αλφάβητο της αριθμητικής άλγεβρας συμπληρώνεται με άλλα "γράμματα", ειδικότερα, εισάγονται σημάδια δυαδικών σχέσεων "ίσο", "λιγότερο από", "μεγαλύτερο".

Όλα τα σημεία που αναφέρονται περιλαμβάνονται στο αλφάβητο της μαθηματικής γλώσσας, μιας τεχνητής γλώσσας που προέκυψε σε σχέση με την ανάγκη για ακριβείς, συνοπτικές και αδιαμφισβήτητα κατανοητές διατυπώσεις μαθηματικών νόμων, κανόνων και αποδείξεων.

Ιστορικά, ο συμβολισμός των μαθηματικών δημιουργήθηκε στο πέρασμα των αιώνων με τη συμμετοχή πολλών εξαιρετικών επιστημόνων. Έτσι, πιστεύεται ότι ο προσδιορισμός άγνωστων ποσοτήτων με γράμματα χρησιμοποιήθηκε από τον Διόφαντο (3ος αιώνας) και η ευρεία χρήση των κεφαλαίων γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου στην άλγεβρα ξεκίνησε με τον Vieta (16ος αιώνας). Τα πεζά γράμματα αυτού του αλφαβήτου εισήχθησαν για προσδιορισμό από τον R. Descartes (XVII αιώνας). το σύμβολο ίσου (=) εμφανίστηκε για πρώτη φορά στα έργα του Άγγλου επιστήμονα R. Record (XVI αιώνας), αλλά χρησιμοποιήθηκε συνήθως μόνο τον XVIII αιώνα. Σημάδια ανισότητας (< , >) εμφανίστηκαν στις αρχές του 17ου αιώνα, εισήχθησαν από τον Άγγλο μαθηματικό Gariot. Και παρόλο που τα σημάδια "=", ">", "<» появились не так давно, сами понятия равенства и неравенства возникли в глубокой древности .

Μια δήλωση στα μαθηματικά είναι μια πρόταση για την οποία η ερώτηση έχει νόημα: είναι αλήθεια ή λάθος.

Μπορούν να γίνουν διάφορες κρίσεις σχετικά με τις έννοιες και τις σχέσεις μεταξύ τους. Η γλωσσική μορφή των κρίσεων είναι οι αφηγηματικές προτάσεις. Για παράδειγμα. Σε ένα βασικό μάθημα μαθηματικών μπορείτε να βρείτε τις ακόλουθες προτάσεις:

1) Ο αριθμός 12 είναι ζυγός.

4) Ο αριθμός 15 περιέχει ένα δέκα και 5 ένα.

5) Το προϊόν δεν αλλάζει από την αναδιάταξη των παραγόντων.

6) Μερικοί αριθμοί διαιρούνται με το 3.

Εάν δίνονται οι προτάσεις Α και Β, τότε μπορούν να γίνουν νέες δηλώσεις από αυτές χρησιμοποιώντας συνδέσμους "και", "ή", "εάν ... τότε ...", "είτε ... ή ...", "εάν και μόνο εάν», καθώς και το σωματίδιο «όχι». Για παράδειγμα, έστω το Α σημαίνει τη δήλωση "Τώρα έχει λιακάδα" και το Β σημαίνει τη δήλωση "Τώρα έχει αέρα". Τότε η δήλωση «Α και Β» σημαίνει: «Τώρα έχει λιακάδα και άνεμο», η δήλωση «Αν δεν είναι Α, τότε δεν είναι Β» σημαίνει «Αν δεν έχει ήλιο τώρα, τότε δεν φυσάει».

Τέτοιες προτάσεις ονομάζονται σύνθετες και οι προτάσεις Α και Β που περιλαμβάνονται σε αυτές ονομάζονται στοιχειώδεις προτάσεις. Δύο σύνθετες προτάσεις Α και Β λέγονται ισοδύναμες εάν είναι και οι δύο σωστές και ταυτόχρονα ψευδείς κάτω από οποιεσδήποτε υποθέσεις σχετικά με την αλήθεια των στοιχειωδών δηλώσεων που περιλαμβάνονται σε αυτές. Στην περίπτωση αυτή γράφουν: Α=Β.

Ήδη από το πρώτο μάθημα των μαθηματικών, οι μαθητές του δημοτικού σχολείου συναντούν δηλώσεις, ως επί το πλείστον αληθινές. Εξοικειώνονται με τις ακόλουθες προτάσεις: 2 > 1, 1< 2, 3 > 2, 2 + 1 = 3, 3 - 1= 2.

Εάν το Α είναι κάποια πρόταση, τότε βεβαιώνοντας ότι είναι ψευδής, λαμβάνουμε μια νέα πρόταση, η οποία ονομάζεται άρνηση της δήλωσης Α και δηλώνεται με το σύμβολο Β.

Έτσι, εάν μια πρόταση είναι αληθής, τότε η άρνησή της είναι ψευδής και το αντίστροφο. Αυτό το συμπέρασμα μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα στον οποίο το «I» σημαίνει μια αληθινή πρόταση και το «L» μια ψευδή. Οι πίνακες αυτού του τύπου ονομάζονται πίνακες αλήθειας (βλ. Παράρτημα 2, Εικ. 1).

Έστω Α και Β δύο στοιχειώδεις προτάσεις. Συνδέοντάς τα με τον σύνδεσμο "και", παίρνουμε μια νέα δήλωση που ονομάζεται σύνδεση δεδομένα δηλώσεις και ορίζεται Α; Β. Καταχώριση Α; Το Β διάβαζε: «Α και Β».

Εξ ορισμού, ένας συνδυασμός δύο δηλώσεων είναι αληθής εάν και μόνο εάν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς. Εάν τουλάχιστον ένα από αυτά είναι ψευδές, τότε ο σύνδεσμος είναι ψευδής (βλ. Παράρτημα 2, Εικ. 2).

Εξετάστε τη δήλωση "7 - 4 = 3 και το 4 είναι ένας ζυγός αριθμός." Είναι ο συνδυασμός δύο δηλώσεων: «7 - 4 = 3» και «4 είναι ζυγός αριθμός». Εφόσον και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς, τότε ο συνδυασμός τους είναι αληθής.

Αν σε συνδυασμό Α; Αν ανταλλάξουμε τις προτάσεις Α και Β, τότε παίρνουμε έναν σύνδεσμο της μορφής Β; Α. Από τον πίνακα αλήθειας είναι σαφές ότι οι τύποι Α; Β και Β; Και για διαφορετικές σημασίες των προτάσεων το Α και το Β είναι είτε ταυτόχρονα αληθές είτε ταυτόχρονα ψευδές.

Κατά συνέπεια, είναι ισοδύναμα και για τυχόν προτάσεις Α και Β έχουμε: Α; Β = Β; ΕΝΑ

Αυτή η σημείωση εκφράζει τη μεταθετική ιδιότητα ενός συνδέσμου, η οποία επιτρέπει την ανταλλαγή μελών του συνδέσμου.

Έχοντας συντάξει πίνακες αλήθειας για (A? B) ; S και A; (B? C), λαμβάνουμε ότι για οποιεσδήποτε τιμές αλήθειας των δηλώσεων A, B, C, οι τιμές αλήθειας των δηλώσεων (A? B) ? S και A; (Β? Γ) ταίριασμα.

Έτσι, (Α? Β) ? Γ = Α; (ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ).

Αυτή η ισότητα εκφράζει τη συνειρμική ιδιότητα ενός συνδέσμου. Ένας τέτοιος συνδυασμός είναι αληθής εάν και μόνο εάν όλες οι δηλώσεις που περιλαμβάνονται σε αυτόν είναι αληθείς.

Συνδέοντας δύο στοιχειώδεις προτάσεις Α και Β με τον σύνδεσμο «ή», παίρνουμε μια νέα πρόταση που ονομάζεται διαχώριση δεδομένα δηλώσεις . Ο διαχωρισμός των προτάσεων Α και Β συμβολίζεται με Α;Β και διαβάζεται «Α ή Β». Ένας διαχωρισμός είναι ψευδής μόνο εάν και οι δύο προτάσεις από τις οποίες σχηματίστηκε είναι ψευδείς. σε όλες τις άλλες περιπτώσεις ο διαχωρισμός είναι αληθής. Ο πίνακας αλήθειας του διαχωρισμού έχει τη μορφή (βλ. Παράρτημα 2, Εικ. 3).

Για τον διαχωρισμό, καθώς και για τον σύνδεσμο, μπορεί να υποδειχθεί ένας αριθμός ισοδυναμιών. Για οποιαδήποτε Α, Β και Γ έχουμε:

ΕΝΑ? Β = Β; Α (ανταλλαγή διαχωρισμού)

(Ε; Β) ? Γ = Α; (Β? Γ) (συνειρμότητα διαχωρισμού).

Η συνειρμική ιδιότητα του διαχωρισμού μας επιτρέπει να παραλείψουμε τις παρενθέσεις και να γράψουμε Α; ΣΕ? C αντί για (A? B) ? ΜΕ.

Χρησιμοποιώντας πίνακες αλήθειας είναι εύκολο να το διαπιστώσεις αυτό

(Ε; Β) ? C = (A? C) ? (ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ)

Η πρώτη ισότητα εκφράζει τον κατανεμητικό νόμο της σύνδεσης σε σχέση με τη διάζευξη και η δεύτερη ισότητα εκφράζει τον κατανεμητικό νόμο της διάστασης σε σχέση με τη σύνδεση.

Οι πράξεις σύνδεσης, διαχωρισμού και άρνησης συνδέονται με τις ακόλουθες σχέσεις, η εγκυρότητα των οποίων μπορεί να εξακριβωθεί χρησιμοποιώντας πίνακες αλήθειας:

Αυτές οι σχέσεις ονομάζονται τύποι του de Morgan.

Ας εξετάσουμε μια σύνθετη πρόταση, η οποία σχηματίζεται από δύο στοιχειώδεις χρησιμοποιώντας τις λέξεις "αν ... τότε ...".

Ας δοθούν, για παράδειγμα, δηλώσεις Α: «Χθες ήταν Κυριακή» και Β: «Δεν ήμουν στη δουλειά». Τότε η σύνθετη δήλωση «Αν χθες ήταν Κυριακή, τότε δεν ήμουν στη δουλειά» έχει τον τύπο «Αν Α, τότε Β».

Καλείται η πρόταση «Αν Α, τότε Β». επίπτωση των δηλώσεων Τα Α, Β και με τη βοήθεια συμβόλων γράφονται ως εξής: Α => Β. Η πρόταση Α, που περιλαμβάνεται στο υπονοούμενο Α => Β, ονομάζεται συνθήκη της υπονοούμενης, και η πρόταση Β είναι το συμπέρασμά της.

Επομένως, ο πίνακας αλήθειας του υπονοούμενου «Αν Α, τότε Β» μοιάζει με (βλ. Παράρτημα 2, Εικ. 4).

Από δύο δηλώσεις Α και Β, μπορείτε να κάνετε μια νέα δήλωση, η οποία έχει ως εξής: «Και εάν και μόνο εάν Β». Αυτή η δήλωση ονομάζεται ισοδύναμες δηλώσεις Α και Β και δηλώνετε: Α Β. Η πρόταση Α Β θεωρείται αληθής εάν και οι δύο προτάσεις Α και Β είναι σωστές ή και οι δύο προτάσεις Α και Β είναι ψευδείς. Σε άλλες περιπτώσεις (δηλαδή, εάν μια πρόταση είναι σωστή και η άλλη πρόταση είναι ψευδής), η ισοδυναμία θεωρείται ψευδής. Έτσι, ο πίνακας αλήθειας για την ισοδυναμία των Α και Β έχει τη μορφή (βλ. Παράρτημα 2, Εικ. 5).

1.3 Λογικός συλλογισμός

Οποιοσδήποτε συλλογισμός αποτελείται από μια αλυσίδα δηλώσεων που ακολουθούν η μία από την άλλη σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Η ικανότητα να αιτιολογεί κανείς και να τεκμηριώνει σωστά τα συμπεράσματά του είναι απαραίτητη για άτομα οποιουδήποτε επαγγέλματος. Ένα άτομο μαθαίνει να συλλογίζεται από τη στιγμή που αρχίζει να μιλάει, αλλά η στοχευμένη εκπαίδευση στη λογική του συλλογισμού ξεκινά από το σχολείο. Ήδη το αρχικό μάθημα των μαθηματικών προϋποθέτει την ανάπτυξη των δεξιοτήτων των μαθητών στη σύγκριση, την ταξινόμηση αντικειμένων, την ανάλυση γεγονότων και την απόδειξη των απλούστερων δηλώσεων. Ο λογικός συλλογισμός απαιτείται όχι μόνο για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων, αλλά και για τη γραμματική ανάλυση, τον έλεγχο των αρχών της φυσικής ιστορίας κ.λπ. Επομένως, ένας δάσκαλος πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης πρέπει να είναι εξοικειωμένος με τη λογική, δηλ. με την επιστήμη των νόμων και των μορφών σκέψης, των γενικών προτύπων συλλογισμού.

Οι κύριοι τύποι κρίσεων και συμπερασμάτων εξετάζονται στην κλασική λογική, που δημιουργήθηκε από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Αριστοτέλη (384-322 π.Χ.).

Στη λογική, ο συλλογισμός χωρίζεται σε:

1. σωστό?

2. λάθος.

Ο σωστός συλλογισμός είναι ο συλλογισμός στον οποίο τηρούνται όλοι οι κανόνες και οι νόμοι της λογικής. Λανθασμένος συλλογισμός είναι ο συλλογισμός στον οποίο γίνονται λογικά σφάλματα λόγω παραβίασης των κανόνων ή των νόμων της λογικής.

Υπάρχουν δύο τύποι λογικών σφαλμάτων:

1. παραλογισμοί.

2. σοφιστεία.

Οι παραλογισμοί είναι λογικά λάθη που γίνονται άθελά τους (από άγνοια) στις συλλογιστικές διαδικασίες.

Οι σοφισμοί είναι λογικά λάθη που γίνονται σε διαδικασίες συλλογιστικής σκόπιμα με σκοπό να παραπλανήσουν τον αντίπαλο, να δικαιολογήσουν μια ψευδή δήλωση, τι ανοησίες κ.λπ.

Οι σοφισμοί είναι γνωστοί από τα αρχαία χρόνια. Οι σοφιστές χρησιμοποιούσαν ευρέως τέτοιες σκέψεις στην πρακτική τους. Από αυτούς προέρχεται η ονομασία «σοφισμός».Πολλά παραδείγματα συλλογισμού που χρησιμοποιούσαν οι σοφιστές σε διάφορες διαμάχες έχουν επιβιώσει μέχρι την εποχή μας. Ας απαριθμήσουμε μερικά από αυτά.

Ο πιο διάσημος αρχαίος σοφισμός είναι ένας συλλογισμός που ονομάζεται "Κερασοφόρος".

Φανταστείτε μια κατάσταση: ένα άτομο θέλει να πείσει ένα άλλο ότι έχει κέρατα. Η αιτιολόγηση για αυτό δίνεται: «Ό,τι δεν έχασες, το έχεις. Δεν έχασες τα κέρατά σου. Άρα έχεις κέρατα».

Με την πρώτη ματιά, αυτή η σκέψη φαίνεται σωστή. Αλλά περιέχει ένα λογικό σφάλμα που ένα άτομο που δεν καταλαβαίνει τη λογική είναι απίθανο να μπορέσει να βρει αμέσως.

Ας δώσουμε ένα άλλο παράδειγμα. Ο Πρωταγόρας (ιδρυτής της σχολής των σοφιστών) ήταν μαθητής του Ευαθλού. Ο δάσκαλος και ο μαθητής συνήψαν συμφωνία σύμφωνα με την οποία ο Evatl θα πλήρωνε δίδακτρα μόνο αφού κέρδιζε την πρώτη του δίκη. Αλλά, έχοντας ολοκληρώσει τις σπουδές του, ο Evatl δεν βιαζόταν να εμφανιστεί στο δικαστήριο. Η υπομονή του δασκάλου εξαντλήθηκε και κατέθεσε μήνυση κατά του μαθητή του: «Σε κάθε περίπτωση, ο Εύαθλος θα πρέπει να με πληρώσει», σκέφτηκε ο Πρωταγόρας. - Ή θα κερδίσει αυτή τη δοκιμασία ή θα τη χάσει. Εάν κερδίσει, πληρώστε όπως έχει συμφωνηθεί. αν χάσει, θα πληρώσει σύμφωνα με την απόφαση του δικαστηρίου». «Τίποτα τέτοιο», αντέτεινε ο Έβατλ. - Πράγματι, ή θα κερδίσω τη δοκιμασία ή θα τη χάσω.

Αν κερδίσω, η δικαστική απόφαση θα με απαλλάξει από την πληρωμή, αλλά αν χάσω, δεν θα πληρώσω σύμφωνα με τη συμφωνία μας *.

Υπάρχει επίσης μια λογική πλάνη σε αυτό το παράδειγμα. Και ποιο ακριβώς - θα μάθουμε περαιτέρω.

Το κύριο καθήκον της λογικής είναι η ανάλυση των σωστών θεωρήσεων. Οι λογικοί προσπαθούν να εντοπίσουν και να εξερευνήσουν πρότυπα τέτοιων θεωρήσεων, να ορίσουν τους διαφορετικούς τύπους τους κ.λπ. Ο λανθασμένος συλλογισμός στη λογική αναλύεται μόνο από την άποψη των λαθών που έγιναν σε αυτούς.

Πρέπει να σημειωθεί ότι η ορθότητα ενός συλλογισμού δεν σημαίνει την αλήθεια των υποθέσεων και του πορίσματος του. Γενικά, η λογική δεν ασχολείται με τον προσδιορισμό της αλήθειας ή της ανακρίβειας των υποθέσεων και των συμπερασμάτων των εκτιμήσεων. Αλλά στη λογική υπάρχει ένας τέτοιος κανόνας: εάν η θεώρηση έχει κατασκευαστεί σωστά (σύμφωνα με τους κανόνες και τους νόμους της λογικής) και ταυτόχρονα βασίζεται σε αληθινές προϋποθέσεις, τότε το συμπέρασμα ενός τέτοιου συλλογισμού θα είναι πάντα άνευ όρων αληθές. Σε άλλες περιπτώσεις, η αλήθεια του συμπεράσματος δεν μπορεί να διασφαλιστεί.

Έτσι, εάν ένας συλλογισμός έχει κατασκευαστεί λανθασμένα, τότε, ακόμη και παρά το γεγονός ότι οι προϋποθέσεις του είναι αληθείς, το συμπέρασμα αυτού του συλλογισμού μπορεί να είναι αληθές στη μία περίπτωση και ψευδές στη δεύτερη.

Ας εξετάσουμε, για παράδειγμα, τις ακόλουθες δύο σκέψεις, οι οποίες κατασκευάζονται σύμφωνα με το ίδιο εσφαλμένο σχήμα:

(1) Η λογική είναι επιστήμη.

Η αλχημεία δεν είναι λογική.

Η αλχημεία δεν είναι επιστήμη.

(2) Η λογική είναι επιστήμη.

Ο νόμος δεν είναι λογική.

Το δίκαιο δεν είναι επιστήμη.

Είναι προφανές ότι στην πρώτη συλλογιστική το συμπέρασμα είναι αληθές, αλλά στη δεύτερη είναι εσφαλμένο, αν και οι προϋποθέσεις και στις δύο περιπτώσεις είναι αληθείς δηλώσεις.

Είναι επίσης αδύνατο να διασφαλιστεί η αλήθεια του συμπεράσματος ενός επιχειρήματος όταν τουλάχιστον μία από τις θέσεις του είναι εσφαλμένη, ακόμη και αν αυτός ο συλλογισμός είναι σωστός.

Ο σωστός συλλογισμός είναι ο συλλογισμός στον οποίο ορισμένες σκέψεις (συμπεράσματα) απορρέουν απαραίτητα από άλλες απόψεις (προθέσεις).

Ένα παράδειγμα σωστής συλλογιστικής θα μπορούσε να είναι το ακόλουθο συμπέρασμα: «Κάθε πολίτης της Ουκρανίας πρέπει να αναγνωρίσει το Σύνταγμά της. Όλοι οι λαϊκοί βουλευτές της Ουκρανίας είναι πολίτες της Ουκρανίας. Άρα, ο καθένας τους πρέπει να αναγνωρίσει το Σύνταγμα του κράτους του» και παράδειγμα αληθινής σκέψης είναι η κρίση: «Υπάρχουν πολίτες της Ουκρανίας που δεν αναγνωρίζουν τουλάχιστον ορισμένα άρθρα του Συντάγματος του κράτους τους».

Το ακόλουθο σκεπτικό θα πρέπει να θεωρηθεί λανθασμένο: «Εφόσον η οικονομική κρίση στην Ουκρανία γίνεται σαφώς αισθητή μετά τη διακήρυξη της ανεξαρτησίας της, η τελευταία είναι η αιτία αυτής της κρίσης». Αυτός ο τύπος λογικού σφάλματος ονομάζεται "μετά από αυτό - εξαιτίας αυτού". Βρίσκεται στο γεγονός ότι η χρονική ακολουθία των γεγονότων σε τέτοιες περιπτώσεις ταυτίζεται με την αιτιότητα. Παράδειγμα αναληθούς άποψης θα μπορούσε να είναι οποιαδήποτε θέση που δεν ανταποκρίνεται στην πραγματικότητα, ας πούμε, η δήλωση ότι το ουκρανικό έθνος δεν υπάρχει καθόλου.

Ο σκοπός της γνώσης είναι να αποκτήσει αληθινή γνώση. Για να αποκτήσεις τέτοια γνώση μέσω του συλλογισμού, πρέπει, πρώτον, να έχεις αληθινές προϋποθέσεις και, δεύτερον, να τις συνδυάσεις σωστά, να συλλογιστείς σύμφωνα με τους νόμους της λογικής. Όταν χρησιμοποιούν ψευδείς υποθέσεις, κάνουν πραγματικά λάθη και όταν παραβιάζουν τους νόμους της λογικής, τους κανόνες κατασκευής θεωρήσεων, κάνουν λογικά λάθη. Τα πραγματικά λάθη, φυσικά, πρέπει να αποφεύγονται, κάτι που δεν είναι πάντα δυνατό. Όσο για τα λογικά, ένα άτομο υψηλής πνευματικής κουλτούρας μπορεί να αποφύγει αυτά τα λάθη, αφού οι βασικοί νόμοι της λογικά σωστής σκέψης, οι κανόνες για την κατασκευή συλλογισμών, ακόμη και τα ουσιαστικά τυπικά λάθη στη συλλογιστική έχουν διαμορφωθεί εδώ και καιρό.

Η λογική σας διδάσκει να συλλογίζεστε σωστά, να αποφεύγετε τα λογικά λάθη και να διακρίνετε τον σωστό συλλογισμό από τον εσφαλμένο συλλογισμό. Ταξινομεί τις σωστές εκτιμήσεις προκειμένου να τις κατανοήσει συστηματικά. Σε αυτό το πλαίσιο, μπορεί να προκύψει ένα ερώτημα: αφού υπάρχουν πολλές σκέψεις, είναι δυνατόν, σύμφωνα με τα λόγια του Κόζμα Προύτκοφ, να αγκαλιάσουμε το απεριόριστο; Ναι, είναι δυνατό, αφού η λογική διδάσκει να συλλογίζεται, εστιάζοντας όχι στο συγκεκριμένο περιεχόμενο των σκέψεων που αποτελούν μέρος του συλλογισμού, αλλά στο σχήμα, τη δομή του συλλογισμού, τη μορφή συνδυασμού αυτών των σκέψεων. Ας πούμε μια μορφή συλλογισμού όπως «Κάθε x είναι y, και αυτό το z είναι x. Κατά συνέπεια, το δεδομένο r είναι σωστό και η γνώση της ορθότητάς του περιλαμβάνει πολύ πλουσιότερες πληροφορίες από τη γνώση της ορθότητας ενός ξεχωριστού σημαντικού επιχειρήματος παρόμοιας μορφής. Και η μορφή συλλογισμού σύμφωνα με το σχήμα "Κάθε x είναι y, και το z είναι επίσης y. επομένως, το z είναι x» αναφέρεται στα λανθασμένα. Όπως η γραμματική μελετά τις μορφές των λέξεων και τους συνδυασμούς τους σε μια πρόταση, αφαιρώντας από το συγκεκριμένο περιεχόμενο των γλωσσικών εκφράσεων, έτσι και η λογική μελετά τις μορφές των απόψεων και τους συνδυασμούς τους, αφαιρώντας από το συγκεκριμένο περιεχόμενο αυτών των σκέψεων.

Για να αποκαλυφθεί η μορφή μιας σκέψης ή σκέψης, πρέπει να επισημοποιηθεί.

Συμπεράσματα για το κεφάλαιο 1

Με βάση τα παραπάνω, μπορούν να εξαχθούν τα ακόλουθα συμπεράσματα:

1. Η λογική προέκυψε ως κλάδος της φιλοσοφικής γνώσης. Οι κύριοι λόγοι για την εμφάνισή του είναι η ανάπτυξη των επιστημών και της ρητορικής. Δεδομένου ότι η επιστήμη βασίζεται στη θεωρητική σκέψη, η οποία περιλαμβάνει την κατασκευή συμπερασμάτων και αποδεικτικών στοιχείων, υπάρχει ανάγκη να μελετηθεί η ίδια η σκέψη ως μια μορφή γνώσης.

2. Στη σύγχρονη επιστήμη η σημασία της συμβολικής λογικής είναι πολύ μεγάλη. Βρίσκει εφαρμογή στην κυβερνητική, τη νευροφυσιολογία και τη γλωσσολογία. Η συμβολική λογική είναι ένα σύγχρονο στάδιο στην ανάπτυξη της τυπικής λογικής. Μελετά τις διαδικασίες συλλογισμού και απόδειξης μέσω της αναπαράστασής του σε λογικά συστήματα. Έτσι, στο θέμα της αυτή η επιστήμη είναι η λογική και στη μέθοδο της είναι τα μαθηματικά.

Αφού μελετήσαμε τα υλικά, ξεκαθαρίσαμε τις ιδέες μας για τις μαθηματικές έννοιες:

Αυτές είναι έννοιες ιδανικών αντικειμένων.

Κάθε μαθηματική έννοια έχει έναν όρο, το πεδίο εφαρμογής και το περιεχόμενο.

Δίνονται ορισμοί στις έννοιες. μπορεί να είναι ρητές ή σιωπηρές. Οι σιωπηροί περιλαμβάνουν ορισμούς με βάση τα συμφραζόμενα και εμφανείς.

Η εκμάθηση εννοιών γίνεται από τάξη σε τάξη με εκτεταμένη εξερεύνηση του θέματος.

Κατά τη μελέτη της ύλης, εξοικειωθήκαμε με έννοιες με τη βοήθεια των οποίων διευκρινίσαμε τη σημασία των συνδέσμων «και», «ή», του σωματιδίου «όχι», των λέξεων «κάθε», «υπάρχει», «άρα» και «ισοδύναμα» που χρησιμοποιείται στα μαθηματικά. Αυτές είναι οι έννοιες:

Δήλωση;

Στοιχειώδεις δηλώσεις;

Λογικές συνδέσεις;

Σύνθετες δηλώσεις;

Συνδυασμός δηλώσεων;

Διαχωρισμός δηλώσεων;

Άρνηση δηλώσεων.

Εξέτασε τους κανόνες:

Προσδιορισμός της τιμής αλήθειας μιας σύνθετης πρότασης.

Κατασκευές άρνησης προτάσεων διαφόρων δομών.

Κεφάλαιο 2. Χρήση στοιχείων μαθηματικής λογικής στα μαθήματα μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο

2.1 Χρήσηστοιχεία λογικής στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών

Τα μαθηματικά παρέχουν πραγματικές προϋποθέσεις για την ανάπτυξη της λογικής σκέψης· καθήκον του δασκάλου είναι να αξιοποιήσει πληρέστερα αυτές τις ευκαιρίες όταν διδάσκει στα παιδιά μαθηματικά. Ωστόσο, δεν υπάρχει συγκεκριμένο πρόγραμμα για την ανάπτυξη τεχνικών λογικής σκέψης που θα πρέπει να διατυπωθεί κατά τη μελέτη αυτού του θέματος. Ως αποτέλεσμα, οι εργασίες για την ανάπτυξη της λογικής σκέψης προχωρούν χωρίς γνώση του συστήματος των απαραίτητων τεχνικών, χωρίς γνώση του περιεχομένου και της αλληλουχίας σχηματισμού τους.

Barakina V.T. τονίζει τις ακόλουθες απαιτήσεις για τις γνώσεις, τις δεξιότητες και τις ικανότητες των μαθητών κατά τη μελέτη των στοιχείων της λογικής στο δημοτικό σχολείο:

1. Στοιχεία της θεωρίας συνόλων:

Εξοικειωθείτε με σύνολα διαφόρων φύσεων χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα και τρόπους γραφής τους (με απαρίθμηση).

Μάθετε να αναγνωρίζετε στοιχεία ενός συνόλου.

Εξοικειωθείτε με τους κύριους τύπους σχέσεων μεταξύ συνόλων και τον τρόπο αναπαράστασής τους χρησιμοποιώντας κύκλους Euler-Venn.

Μάθετε να εκτελείτε ορισμένες πράξεις σε σύνολα (ένωση, διασταύρωση).

2. Στοιχεία θεωρίας προτάσεων:

Εξοικειωθείτε με τη δήλωση σε επίπεδο ιδεών.

Μάθετε να διακρίνετε προτάσεις από άλλες προτάσεις.

Εξοικειωθείτε με τους κύριους τύπους δηλώσεων.

Μάθετε να εκτελείτε ορισμένες πράξεις σε προτάσεις (άρνηση, σύνδεσμος, διαχωρισμός).

3. Στοιχεία συνδυαστικής:

Εξοικειωθείτε με αυτήν την έννοια σε επίπεδο ιδεών.

Μάθετε να διακρίνετε τα συνδυαστικά προβλήματα από άλλους τύπους λεκτικών προβλημάτων που καλύπτονται στα μαθήματα των μαθηματικών.

Μάθετε να λύνετε προβλήματα για να προσδιορίζετε τον αριθμό των τοποθετήσεων n στοιχείων ανά m στοιχεία.

Στοιχεία λογικής στο δημοτικό σχολείο καλύπτονται τόσο στα μαθηματικά όσο και στα μαθήματα πληροφορικής. Ταυτόχρονα, το επίπεδο των απαιτήσεων για τις γνώσεις, τις δεξιότητες και τις ικανότητες των μαθητών, καθώς και το περιεχόμενο της εκπαίδευσης σε αυτή την ενότητα, διαφέρει κάπως σε διαφορετικά προγράμματα. Αυτό οφείλεται, πρώτα απ 'όλα, στο γεγονός ότι επί του παρόντος το Ομοσπονδιακό Κρατικό Εκπαιδευτικό Πρότυπο για την Πρωτοβάθμια Γενική Εκπαίδευση δεν απαιτεί υποχρεωτική εξέταση αυτού του θέματος στις τάξεις 1-4.

Επί του παρόντος, όλα τα μαθήματα μαθηματικών στοχεύουν στην ανάπτυξη των μαθητών. Για παράδειγμα, το μάθημα της Ιστομίνας Ν.Β. κύριος στόχος του είναι η ανάπτυξη μεθόδων διανοητικής δραστηριότητας των μαθητών, νοητικές λειτουργίες: ανάλυση, σύνθεση, σύγκριση, ταξινόμηση, αναλογία, γενίκευση.

...

Παρόμοια έγγραφα

Μελετώντας το μάθημα της μαθηματικής λογικής. Η βάση της λογικής είναι η επίγνωση της δομής της μαθηματικής επιστήμης και των θεμελιωδών εννοιών της. Ιστορικό σκίτσο. Ισοδυναμία προτάσεων. Άρνηση δηλώσεων. Λογική συνέχεια.

διατριβή, προστέθηκε 08/08/2007

Οι εξωσχολικές δραστηριότητες ως μία από τις μορφές εργασίας. Παιδαγωγικές βάσεις για τη μελέτη της μαθηματικής λογικής στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση ως μέρος εξωσχολικών δραστηριοτήτων. Ανάλυση υφιστάμενων μεθόδων για την ανάπτυξη γενικών λογικών και λογικών δεξιοτήτων σε μαθητές σχολείου.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 19/11/2012

Βασικές αρχές μεθόδων μελέτης μαθηματικών εννοιών. Μαθηματικές έννοιες, το περιεχόμενο και το εύρος τους, ταξινόμηση εννοιών. Ψυχολογικά και παιδαγωγικά χαρακτηριστικά της διδασκαλίας των μαθηματικών στις τάξεις 5-6. Ψυχολογικές όψεις του σχηματισμού έννοιας.

διατριβή, προστέθηκε 08/08/2007

Γλωσσικές βάσεις μαθησιακών επιθέτων στο δημοτικό σχολείο. Ψυχολογικές και παιδαγωγικές βάσεις μαθησιακών επιθέτων στο δημοτικό σχολείο. Μεθοδολογία για την εργασία σε επίθετα σύμφωνα με το σύστημα αναπτυξιακής εκπαίδευσης L.V. Ζάνκοβα.

διατριβή, προστέθηκε 04/03/2007

Θεωρητικά θεμέλια προετοιμασίας των παιδιών για την εκμάθηση των μαθηματικών στο σχολείο. Ζητήματα προετοιμασίας των παιδιών για το σχολείο στην ψυχολογική, παιδαγωγική και μεθοδολογική βιβλιογραφία. Η έννοια, η ουσία, η έννοια της μαθηματικής ετοιμότητας για μάθηση στο σχολείο. Ερευνητικό πρόγραμμα.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 23/10/2008

Χαρακτηριστικά της μελέτης των μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο σύμφωνα με το ομοσπονδιακό κρατικό εκπαιδευτικό πρότυπο για την πρωτοβάθμια γενική εκπαίδευση. Περιεχόμενο μαθήματος. Ανάλυση βασικών μαθηματικών εννοιών. Η ουσία μιας ατομικής προσέγγισης στη διδακτική.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 29/09/2016

Ψυχολογικές και παιδαγωγικές βάσεις για την ανάπτυξη της λογικής σκέψης σε παιδιά δημοτικού. Ανάπτυξη μεθοδολογίας για την επίλυση του προβλήματος της ανάπτυξης του λογικού γραμματισμού των μαθητών στα μαθήματα μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο, παραδείγματα επίλυσης μη τυπικών αριθμητικών προβλημάτων.

διατριβή, προστέθηκε 31/03/2012

Θεωρητικές και μεθοδολογικές βάσεις των εργασιών δοκιμής και τα είδη τους. Ψυχολογικά και παιδαγωγικά θεμέλια. Τεστ στα μαθήματα των μαθηματικών. Ανάλυση της εμπειρίας των εκπαιδευτικών στη χρήση τεστ. Σύντομη περιγραφή των πλεονεκτημάτων της χρήσης μιας δοκιμαστικής μορφής ελέγχου.

εργασία μαθήματος, προστέθηκε 17/04/2017

Ψυχολογικά χαρακτηριστικά ενός μικρού μαθητή. Τεχνικές και μέθοδοι χρήσης στοιχείων ετυμολογικής ανάλυσης στα μαθήματα του δημοτικού. Χαρακτηριστικά της διδασκαλίας ικανής γραφής σε μαθητές κατώτερου σχολείου. Ανάλυση του εκπαιδευτικού συγκροτήματος "Ρωσική γλώσσα" στις δημοτικές τάξεις.

διατριβή, προστέθηκε 24/03/2015

Ανάπτυξη του λόγου των μαθητών στα μαθήματα των μαθηματικών. Τεχνικές ανάπτυξης μαθηματικού λόγου. Συνδέσεις μεταξύ λόγου, σκέψης και γλώσσας. Ανάπτυξη λογικής, εκφραστικότητας, τεκμηρίωσης και ακρίβειας του μαθηματικού λόγου. Αύξηση του επιπέδου της νοοτροπίας του μαθητή.