Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικά στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι πολύ "όχι πολύ..."
Και για όσους «πολύ…»)
Τι συνέβη «τετραγωνική ανισότητα»;Καμία ερώτηση!) Αν πάρεις όποιοςτετραγωνική εξίσωση και αντικαταστήστε το πρόσημο σε αυτήν "=" (ίσο) με οποιοδήποτε πρόσημο ανισότητας ( > ≥ < ≤ ≠ ), παίρνουμε μια τετραγωνική ανισότητα. Για παράδειγμα:
1. x 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Λοιπόν, καταλαβαίνεις...)
Δεν είναι για τίποτα που συνέδεσα εξισώσεις και ανισότητες εδώ. Το θέμα είναι ότι το πρώτο βήμα για την επίλυση όποιοςτετραγωνική ανισότητα - να λύσετε την εξίσωση από την οποία προκύπτει αυτή η ανισότητα.Για το λόγο αυτό, η αδυναμία επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων οδηγεί αυτόματα σε πλήρη αποτυχία στις ανισώσεις. Είναι σαφής η υπόδειξη;) Αν μη τι άλλο, κοιτάξτε πώς να λύσετε οποιεσδήποτε δευτεροβάθμιες εξισώσεις. Εκεί περιγράφονται όλα αναλυτικά. Και σε αυτό το μάθημα θα ασχοληθούμε με τις ανισότητες.
Η έτοιμη για λύση ανισότητα έχει τη μορφή: αριστερά - τετραγωνικό τριώνυμο τσεκούρι 2 +bx+c, στα δεξιά - μηδέν.Το σημάδι της ανισότητας μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε. Τα δύο πρώτα παραδείγματα είναι εδώ είναι ήδη έτοιμοι να πάρουν μια απόφαση.Το τρίτο παράδειγμα χρειάζεται ακόμη προετοιμασία.
Αν σας αρέσει αυτό το site...
Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)
Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)
Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.
Αριθμός μιείναι μια σημαντική μαθηματική σταθερά που αποτελεί τη βάση του φυσικού λογάριθμου. Αριθμός μιπερίπου ίσο με 2,71828 με όριο (1 + 1/n)n στο n τείνει στο άπειρο.
Εισαγάγετε την τιμή του x για να βρείτε την τιμή της εκθετικής συνάρτησης πρώην
Να υπολογίζει αριθμούς με γράμμα μιχρησιμοποιήστε τον υπολογιστή μετατροπής εκθετικού σε ακέραιο
Αναφορά σφάλματος
'; setTimeout(function() ( $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').css(('display ':'inline-block')); $("#boxadno").remove(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').click(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit: first').css(('display':'none')); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first: submit:first').parent().prepend(); ), 32000); ) Σας βοήθησε αυτή η αριθμομηχανή;
Μοιραστείτε αυτήν την αριθμομηχανήμε τους φίλους σας στο φόρουμ ή στο διαδίκτυο.
Εκ τούτου Εσείςθα βοηθήσεις Μαςστην ανάπτυξη νέες αριθμομηχανέςκαι διύλιση παλαιών.
Υπολογισμός Αριθμομηχανής Άλγεβρας
Ο αριθμός e είναι μια σημαντική μαθηματική σταθερά που βρίσκεται κάτω από τον φυσικό λογάριθμο.
0,3 σε ισχύ x επί 3 σε ισχύ x είναι το ίδιο
Ο αριθμός e είναι περίπου 2,71828 με όριο (1 + 1/n)n για n που πηγαίνει στο άπειρο.
Αυτός ο αριθμός ονομάζεται επίσης αριθμός Euler ή αριθμός Napier.
Εκθετική - εκθετική συνάρτηση f (x) = exp (x) = ex, όπου e είναι ο αριθμός του Euler.
Εισαγάγετε την τιμή του x για να βρείτε την τιμή της εκθετικής συνάρτησης ex
Υπολογισμός της τιμής μιας εκθετικής συνάρτησης σε ένα δίκτυο.
Όταν ο αριθμός Euler (ε) αυξάνεται στο μηδέν, η απάντηση είναι 1.
Όταν ανεβείτε σε περισσότερα από ένα επίπεδα, η απάντηση θα είναι μεγαλύτερη από την αρχική. Εάν η ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από το μηδέν αλλά μικρότερη από 1 (για παράδειγμα, 0,5), η απάντηση θα είναι μεγαλύτερη από 1 αλλά μικρότερη από την αρχική (σημείωση Ε). Όταν ο δείκτης αυξάνεται σε αρνητική ισχύ, το 1 πρέπει να διαιρεθεί με τον αριθμό e ανά δεδομένη ισχύ, αλλά με πρόσημο συν.
Ορισμοί
εκθέτηςΑυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση y (x) = e x, η παράγωγος της οποίας συμπίπτει με την ίδια τη συνάρτηση.
Η ένδειξη επισημαίνεται ως ή.
Αριθμός ε
Η βάση του εκθέτη είναι ο αριθμός e.
Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός. Είναι περίπου το ίδιο
μι ≈ 2,718281828459045 …
Ο αριθμός e καθορίζεται πέρα από τα όρια της ακολουθίας. Αυτό είναι το λεγόμενο άλλο εξαιρετικό όριο:
.
Ο αριθμός e μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως σειρά:
.
Εκθετικό γράφημα
Το γράφημα δείχνει τον εκθέτη, μισε εξέλιξη Χ.
y(x) = π.χ
Το γράφημα δείχνει ότι αυξάνεται μονοτονικά εκθετικά.
τύπος
Οι βασικοί τύποι είναι οι ίδιοι όπως για την εκθετική συνάρτηση με επίπεδο βάσης e.
Έκφραση εκθετικών συναρτήσεων με αυθαίρετη βάση a με την έννοια της εκθετικής:
.
επίσης τμήμα «Εκθετική συνάρτηση» >>>
Ιδιωτικές αξίες
Έστω y(x) = e x.
5 σε δύναμη x και ισούται με 0
Εκθετικές ιδιότητες
Ο δείκτης έχει τις ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση το βαθμό μι> πρώτα
Πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών
Για το x προσδιορίζεται ο δείκτης y (x) = e x.
Ο όγκος του:
— ∞ < x + ∞.
Η σημασία του:
0 < Y < + ∞.
Άκρα, αύξηση, μείωση
Η εκθετική είναι μια μονότονη αύξουσα συνάρτηση, άρα δεν έχει ακρότατα.
Οι κύριες ιδιότητές του φαίνονται στον πίνακα.
Αντίστροφη συνάρτηση
Το αντίστροφο είναι ο φυσικός λογάριθμος.
;
.
Παράγωγα δεικτών
παράγωγο μισε εξέλιξη ΧΑυτό μισε εξέλιξη Χ
:
.
Προκύπτουσα N-τάξη:
.
Εκτέλεση τύπων > > >
αναπόσπαστο
επίσης ενότητα "Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων" >>>
Μιγαδικοί αριθμοί
Λειτουργίες με μιγαδικοί αριθμοίεκτελούνται χρησιμοποιώντας Ο τύπος του Euler:
,
πού είναι η φανταστική μονάδα:
.
Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων
Εκφράσεις με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Επέκταση της σειράς ισχύος
Πότε το x είναι μηδέν;
Κανονική ή διαδικτυακή αριθμομηχανή
Κανονική αριθμομηχανή
Το Standard Calculator σάς παρέχει απλές λειτουργίες αριθμομηχανής όπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια γρήγορη μαθηματική αριθμομηχανή
Η επιστημονική αριθμομηχανή σάς επιτρέπει να εκτελείτε πιο περίπλοκες λειτουργίες καθώς και αριθμομηχανή όπως ημιτόνου, συνημίτονου, αντίστροφου ημιτόνου, αντίστροφου συνημίτονος που είναι εφαπτομένη, εφαπτομένη, εκθέτης, εκθέτης, λογάριθμος, ενδιαφέρον και επίσης υπολογιστής μνήμης ιστού.
Μπορείτε να εισέλθετε απευθείας από το πληκτρολόγιο, πρώτα κάντε κλικ στην περιοχή χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή.
Εκτελεί πράξεις απλών αριθμών καθώς και πιο σύνθετες όπως π.χ
ηλεκτρονική αριθμομηχανή μαθηματικών.
0 + 1 = 2.
Εδώ είναι δύο αριθμομηχανές:
- Υπολογίστε το πρώτο ως συνήθως
- Άλλος το υπολογίζει ως μηχανικό
Οι κανόνες ισχύουν για την αριθμομηχανή που υπολογίζεται στον διακομιστή
Κανόνες εισαγωγής όρων και συναρτήσεων
Γιατί χρειάζομαι αυτήν την ηλεκτρονική αριθμομηχανή;
Ηλεκτρονική αριθμομηχανή - σε τι διαφέρει από μια κανονική αριθμομηχανή;
Πρώτον, η τυπική αριθμομηχανή δεν είναι κατάλληλη για μεταφορά και, δεύτερον, τώρα το Διαδίκτυο είναι σχεδόν παντού, αυτό δεν σημαίνει ότι υπάρχουν προβλήματα, μεταβείτε στον ιστότοπό μας και χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή Ιστού.
Ηλεκτρονική αριθμομηχανή - σε τι διαφέρει από μια αριθμομηχανή java, καθώς και από άλλες αριθμομηχανές για λειτουργικά συστήματα;
- πάλι - κινητικότητα. Εάν χρησιμοποιείτε διαφορετικό υπολογιστή, δεν χρειάζεται να τον εγκαταστήσετε ξανά
Λοιπόν, χρησιμοποιήστε αυτόν τον ιστότοπο!
Οι εκφράσεις μπορούν να αποτελούνται από συναρτήσεις (σημειώνονται με αλφαβητική σειρά):
απόλυτη (x)Απόλυτη τιμή Χ
(μονάδα μέτρησης Χή | x |) arccos(x)Λειτουργία - αρκοξίνη από Χarccosh(x)Η Arxosine είναι μια υπερβολική του Χarcsin(x)Χωριστός γιος Χarcsinh(x)Υπερβολικό HyperX Χarctan(x)Η συνάρτηση είναι η εφαπτομένη του Χarctgh(x)Το τόξο είναι υπερβολικό Χμιμιαριθμός - περίπου 2,7 exp(x)Λειτουργία - ένδειξη Χ(Πως μι^Χ) ημερολόγιο (x)ή ln(x)Φυσικός λογάριθμος Χ
(Ναί log7(x)Πρέπει να εισαγάγετε log(x)/log(7) (ή για παράδειγμα, log10(x)= log(x)/log(10)) πιΟ αριθμός "Pi", που είναι περίπου 3,14 αμαρτία (x)Συνάρτηση - Ημιτόνου Χcos(x)Συνάρτηση - Κώνος από Χsinh(x)Συνάρτηση - Υπερβολικό ημίτονο Χcosh(x)Συνάρτηση - συνημιτονική-υπερβολική Χsqrt(x)Η συνάρτηση είναι Τετραγωνική ρίζααπό Χsqr(x)ή x^2Λειτουργία - τετράγωνο Χtg(x)Συνάρτηση - Εφαπτομένη από Χtgh(x)Η συνάρτηση είναι μια υπερβολική εφαπτομένη από Χcbrt(x)Η συνάρτηση είναι η κυβική ρίζα Χχώμα (x)Λειτουργία στρογγυλοποίησης Χστην κάτω πλευρά (παράδειγμα εδάφους (4.5) == 4.0) χαρακτήρας (x)Λειτουργία - σύμβολο Χerf(x)Συνάρτηση σφάλματος (Laplace ή ολοκλήρωμα πιθανότητας)
Οι ακόλουθες λειτουργίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν με όρους:
Πραγματικοί αριθμοίεισάγετε στη φόρμα 7,5 , Δεν 7,5 2*x- πολλαπλασιασμός 3/x- διαχωρισμός x^3— eksponentiacija x+7- Εκτός, x - 6- αντίστροφη μέτρηση
Λήψη PDF
Οι εκθετικές εξισώσεις είναι εξισώσεις της μορφής
Το x είναι ένας άγνωστος εκθέτης,
έναΚαι σι- κάποιοι αριθμοί.
Παραδείγματα εκθετικής εξίσωσης:
Και οι εξισώσεις:
δεν θα είναι πλέον ενδεικτικό.
Ας δούμε παραδείγματα επίλυσης εκθετικών εξισώσεων:
Παράδειγμα 1.
Βρείτε τη ρίζα της εξίσωσης:
Ας μειώσουμε τους βαθμούς σε ίδια βάσηνα εκμεταλλευτείτε την ιδιότητα ισχύος με πραγματικό εκθέτη
Τότε θα είναι δυνατό να αφαιρέσουμε τη βάση του βαθμού και να προχωρήσουμε στην ισότητα των εκθετών.
Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης:
Ας μετατρέψουμε τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης:
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του πτυχίου
Απάντηση: 4.5.
Παράδειγμα 2.
Λύστε την ανισότητα:
Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με
Αντίστροφη αντικατάσταση:
Απάντηση: x=0.
Λύστε την εξίσωση και βρείτε τις ρίζες στο δεδομένο διάστημα:
Μειώνουμε όλους τους όρους στην ίδια βάση:
Αντικατάσταση:
Αναζητούμε τις ρίζες της εξίσωσης επιλέγοντας πολλαπλάσια του ελεύθερου όρου:
– κατάλληλο, γιατί
η ισότητα ικανοποιείται.
– κατάλληλο, γιατί
Πώς να λύσετε; e^(x-3) = 0 e στην ισχύ x-3
η ισότητα ικανοποιείται.
– κατάλληλο, γιατί η ισότητα ικανοποιείται.
– δεν είναι κατάλληλο, γιατί η ισότητα δεν ικανοποιείται.
Αντίστροφη αντικατάσταση:
Ένας αριθμός γίνεται 1 αν ο εκθέτης του είναι 0
Δεν είναι κατάλληλο γιατί
Η δεξιά πλευρά είναι ίση με 1, γιατί
Από εδώ:
Λύστε την εξίσωση:
Αντικατάσταση: , τότε
Αντίστροφη αντικατάσταση:
1 εξίσωση:
αν οι βάσεις των αριθμών είναι ίσες, τότε οι εκθέτες τους θα είναι ίσοι, τότε
2 εξίσωση:
Ας λογαριθμήσουμε και τις δύο πλευρές στη βάση 2:
Ο εκθέτης έρχεται πριν από την έκφραση, γιατί
Η αριστερή πλευρά είναι 2x, γιατί
Από εδώ:
Λύστε την εξίσωση:
Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά:
Πολλαπλασιάζουμε τους βαθμούς χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Ας το απλοποιήσουμε: σύμφωνα με τον τύπο:
Ας το παρουσιάσουμε με τη μορφή:
Αντικατάσταση:
Ας μετατρέψουμε το κλάσμα σε ακατάλληλο:
α2 - δεν είναι κατάλληλο, γιατί
Αντίστροφη αντικατάσταση:
Πάμε στο γενικό σημείο:
Αν
Απάντηση: x=20.
Λύστε την εξίσωση:
Ο Ο.Δ.Ζ.
Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Αντικατάσταση:
Υπολογίζουμε τη ρίζα της διάκρισης:
α2-δεν είναι κατάλληλο, γιατί
αλλά δεν δέχεται αρνητικές τιμές
Πάμε στο γενικό σημείο:
Αν
Τετραγωνίζουμε και τις δύο πλευρές:
Συντάκτες του άρθρου: Gavrilina Anna Viktorovna, Ageeva Lyubov Aleksandrovna
Επιστροφή στα θέματα
Μετάφραση του μεγάλου άρθρου “An Intuitive Guide To Exponential Functions & e”
Ο αριθμός ε με ενθουσίαζε πάντα - όχι ως γράμμα, αλλά ως μαθηματική σταθερά.
Τι σημαίνει πραγματικά ο αριθμός e;
Διάφορα μαθηματικά βιβλία, ακόμη και η αγαπημένη μου Wikipedia περιγράφουν αυτή τη μεγαλειώδη σταθερά με εντελώς ηλίθια επιστημονική ορολογία:
Η μαθηματική σταθερά e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου.
Αν αναρωτιέστε τι είναι φυσικός λογάριθμος, θα βρείτε αυτόν τον ορισμό:
Ο φυσικός λογάριθμος, παλαιότερα γνωστός ως υπερβολικός λογάριθμος, είναι ένας λογάριθμος με βάση e, όπου e είναι μια παράλογη σταθερά περίπου ίση με 2,718281828459.
Οι ορισμοί είναι φυσικά σωστοί.
Όμως είναι εξαιρετικά δύσκολο να τα καταλάβουμε. Φυσικά, η Wikipedia δεν φταίει για αυτό: συνήθως οι μαθηματικές εξηγήσεις είναι στεγνές και τυπικές, που συντάσσονται σύμφωνα με την πλήρη αυστηρότητα της επιστήμης. Αυτό καθιστά δύσκολο για τους αρχάριους να κατακτήσουν το θέμα (και όλοι ήταν αρχάριοι σε ένα σημείο).
Το ξεπέρασα! Σήμερα μοιράζομαι τις πολύ έξυπνες σκέψεις μου για... ποιος είναι ο αριθμός ε, και γιατί είναι τόσο ωραίο! Αφήστε τα χοντρά, τρομακτικά βιβλία μαθηματικών στην άκρη!
Ο αριθμός e δεν είναι απλώς ένας αριθμός
Η περιγραφή του e ως "μια σταθερά περίπου ίση με 2,71828..." είναι σαν να καλούμε τον αριθμό pi " παράλογος αριθμός, περίπου ίσο με 3,1415...».
Αυτό είναι αναμφίβολα αλήθεια, αλλά το θέμα εξακολουθεί να μας διαφεύγει.
Pi είναι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο, ο ίδιος για όλους τους κύκλους. Είναι μια θεμελιώδης αναλογία κοινή σε όλους τους κύκλους και ως εκ τούτου εμπλέκεται στον υπολογισμό της περιφέρειας, του εμβαδού, του όγκου και της επιφάνειας για κύκλους, σφαίρες, κυλίνδρους κ.λπ.
Το Pi δείχνει ότι όλοι οι κύκλοι είναι συνδεδεμένοι, για να μην αναφέρουμε τριγωνομετρικές συναρτήσεις, που προέρχεται από κύκλους (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη).
Ο αριθμός e είναι ο βασικός λόγος ανάπτυξης για όλες τις συνεχώς αναπτυσσόμενες διαδικασίες.Ο αριθμός e σάς επιτρέπει να πάρετε έναν απλό ρυθμό ανάπτυξης (όπου η διαφορά είναι ορατή μόνο στο τέλος του έτους) και να υπολογίσετε τις συνιστώσες αυτού του δείκτη, την κανονική ανάπτυξη, στην οποία με κάθε νανοδευτερόλεπτο (ή ακόμα πιο γρήγορα) όλα μεγαλώνουν λίγο περισσότερο.
Ο αριθμός e εμπλέκεται και σε συστήματα εκθετικής και σταθερής ανάπτυξης: πληθυσμός, ραδιενεργή διάσπαση, υπολογισμός ποσοστού και πολλά, πολλά άλλα.
Ακόμη και συστήματα βημάτων που δεν αναπτύσσονται ομοιόμορφα μπορούν να προσεγγιστούν χρησιμοποιώντας τον αριθμό e.
Ακριβώς όπως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως μια "κλιμακούμενη" έκδοση του 1 (η βασική μονάδα), οποιοσδήποτε κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως "κλιμακούμενη" έκδοση κύκλος μονάδας(με ακτίνα 1).
Δίνεται η εξίσωση: e στη δύναμη x = 0. Με τι ισούται το x;
Και οποιοσδήποτε αυξητικός παράγοντας μπορεί να θεωρηθεί ως μια "κλιμακούμενη" έκδοση του e (ο παράγοντας ανάπτυξης "μονάδας").
Άρα ο αριθμός e δεν είναι ένας τυχαίος αριθμός που λαμβάνεται τυχαία. Ο αριθμός e ενσωματώνει την ιδέα ότι όλα τα συνεχώς αναπτυσσόμενα συστήματα είναι κλιμακωμένες εκδόσεις της ίδιας μέτρησης.
Έννοια της εκθετικής ανάπτυξης
Ας ξεκινήσουμε εξετάζοντας ένα βασικό σύστημα που διπλασιάζεται σε μια χρονική περίοδο.
Για παράδειγμα:
- Τα βακτήρια διαιρούνται και «διπλασιάζονται» σε αριθμό κάθε 24 ώρες
- Παίρνουμε διπλάσια noodles αν τα σπάσουμε στη μέση
- Τα χρήματά σας διπλασιάζονται κάθε χρόνο αν έχετε 100% κέρδος (τυχερός!)
Και μοιάζει κάπως έτσι:
Η διαίρεση με δύο ή ο διπλασιασμός είναι μια πολύ απλή εξέλιξη. Φυσικά, μπορούμε να τριπλασιάσουμε ή να τετραπλασιάσουμε, αλλά ο διπλασιασμός είναι πιο βολικός για εξήγηση.
Μαθηματικά, αν έχουμε x διαιρέσεις, καταλήγουμε με 2^x φορές περισσότερες καλές από ό,τι ξεκινήσαμε.
Αν γίνει μόνο 1 κατάτμηση, παίρνουμε 2^1 φορές περισσότερο. Αν υπάρχουν 4 κατατμήσεις, παίρνουμε 2^4=16 μέρη. Ο γενικός τύπος μοιάζει με αυτό:
Με άλλα λόγια, ο διπλασιασμός είναι 100% αύξηση.
Μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτόν τον τύπο ως εξής:
ύψος = (1+100%)x
Αυτή είναι η ίδια ισότητα, απλώς χωρίσαμε το "2" στα συστατικά μέρη του, που στην ουσία είναι αυτός ο αριθμός: η αρχική τιμή (1) συν 100%. Έξυπνο, σωστά;
Φυσικά, μπορούμε να αντικαταστήσουμε οποιονδήποτε άλλο αριθμό (50%, 25%, 200%) αντί για 100% και να πάρουμε τον τύπο ανάπτυξης για αυτόν τον νέο συντελεστή.
Ο γενικός τύπος για x περιόδους της χρονοσειράς θα είναι:
ανάπτυξη = (1+ανάπτυξη)x
Αυτό σημαίνει απλά ότι χρησιμοποιούμε το ποσοστό επιστροφής, (1 + κέρδος), "x" φορές στη σειρά.
Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά
Ο τύπος μας υποθέτει ότι η ανάπτυξη συμβαίνει σε διακριτά βήματα. Τα βακτήρια μας περιμένουν και περιμένουν, και μετά μπαμ!, και την τελευταία στιγμή διπλασιάζονται σε αριθμό. Το κέρδος μας από τους τόκους της κατάθεσης εμφανίζεται ως δια μαγείας ακριβώς μετά από 1 χρόνο.
Με βάση τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, τα κέρδη αυξάνονται σταδιακά. Οι πράσινες κουκκίδες εμφανίζονται ξαφνικά.
Όμως ο κόσμος δεν είναι πάντα έτσι.
Εάν κάνουμε μεγέθυνση, μπορούμε να δούμε ότι οι βακτηριδακοί φίλοι μας διαιρούνται συνεχώς:
Ο πράσινος τύπος δεν προκύπτει από το τίποτα: μεγαλώνει σιγά σιγά από τον μπλε γονιό. Μετά από 1 χρονικό διάστημα (24 ώρες στην περίπτωσή μας), ο πράσινος φίλος είναι ήδη πλήρως ώριμος. Έχοντας ωριμάσει, γίνεται ένα πλήρες μπλε μέλος της αγέλης και μπορεί να δημιουργήσει ο ίδιος νέα πράσινα κύτταρα.
Θα αλλάξει αυτή η πληροφορία την εξίσωσή μας με οποιονδήποτε τρόπο;
Στην περίπτωση των βακτηρίων, τα μισοσχηματισμένα πράσινα κύτταρα εξακολουθούν να μην μπορούν να κάνουν τίποτα μέχρι να μεγαλώσουν και να χωριστούν εντελώς από τους μπλε γονείς τους. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.
Στο επόμενο άρθρο θα δούμε ένα παράδειγμα εκθετικής αύξησης των χρημάτων σας.
Σε μια κυβική εξίσωση, ο υψηλότερος εκθέτης είναι 3, μια τέτοια εξίσωση έχει 3 ρίζες (λύσεις) και έχει τη μορφή . Μερικές κυβικές εξισώσεις δεν είναι τόσο εύκολο να λυθούν, αλλά αν χρησιμοποιήσετε τη σωστή μέθοδο (με καλή θεωρητική εκπαίδευση), μπορείτε να βρείτε τις ρίζες ακόμα και των πιο πολύπλοκων κυβική εξίσωση- για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο επίλυσης τετραγωνική εξίσωση, βρείτε ολόκληρες ρίζες ή υπολογίστε τη διάκριση.
Βήματα
Πώς να λύσετε μια κυβική εξίσωση χωρίς ελεύθερο όρο
- Στο παράδειγμά μας, αντικαταστήστε τις τιμές των συντελεστών a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) στον τύπο: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2)^(2 )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14)))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168)))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
- Πρώτη ρίζα: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
- Δεύτερη ρίζα: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))
-
Χρησιμοποιήστε το μηδέν και τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης ως λύσεις σε μια κυβική εξίσωση.Οι τετραγωνικές εξισώσεις έχουν δύο ρίζες, ενώ οι κυβικές εξισώσεις τρεις. Έχετε ήδη βρει δύο λύσεις - αυτές είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης. Εάν βγάλατε το "x" από αγκύλες, η τρίτη λύση θα ήταν .
Πώς να βρείτε ολόκληρες ρίζες χρησιμοποιώντας παράγοντες
-
Βεβαιωθείτε ότι υπάρχει μια τομή στην κυβική εξίσωση ρε (\displaystyle d) . Αν σε μια εξίσωση της μορφής a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0)έχετε ένα δωρεάν μέλος d (\displaystyle d)(το οποίο δεν είναι μηδέν), η τοποθέτηση του "x" εκτός παρενθέσεων δεν θα λειτουργήσει. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιήστε τη μέθοδο που περιγράφεται σε αυτήν την ενότητα.
Καταγράψτε τους συντελεστές συντελεστών ένα (\displaystyle a) και ελεύθερο μέλος ρε (\displaystyle d) . Να βρείτε δηλαδή τους συντελεστές του αριθμού όταν x 3 (\displaystyle x^(3))και αριθμοί πριν από το σύμβολο ίσου. Θυμηθείτε ότι οι συντελεστές ενός αριθμού είναι οι αριθμοί που, όταν πολλαπλασιαστούν, παράγουν αυτόν τον αριθμό.
Διαχωρίστε κάθε παράγοντα ένα (\displaystyle a) για κάθε πολλαπλασιαστή ρε (\displaystyle d) . Το τελικό αποτέλεσμα είναι πολλά κλάσματα και λίγοι ακέραιοι αριθμοί. Οι ρίζες μιας κυβικής εξίσωσης θα είναι ένας από τους ακέραιους αριθμούς ή η αρνητική τιμή ενός από τους ακέραιους αριθμούς.
- Στο παράδειγμά μας, διαιρέστε τους παράγοντες a (\displaystyle a) (1 Και 2 ) από παράγοντες d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 Και 6 ). Θα πάρεις: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2)Και . Τώρα προσθέστε τις αρνητικές τιμές των κλασμάτων και των αριθμών που προκύπτουν σε αυτήν τη λίστα: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3)))Και − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Οι ακέραιες ρίζες μιας κυβικής εξίσωσης είναι μερικοί αριθμοί από αυτήν τη λίστα.
-
Αντικαταστήστε τους ακέραιους αριθμούς στην κυβική εξίσωση.Εάν η ισότητα ικανοποιείται, ο αντικατασταμένος αριθμός είναι η ρίζα της εξίσωσης. Για παράδειγμα, αντικαταστήστε την εξίσωση 1 (\displaystyle 1):
Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο διαίρεσης πολυωνύμων με Το σχήμα του Χόρνεργια να βρείτε γρήγορα τις ρίζες της εξίσωσης.Κάντε αυτό εάν δεν θέλετε να συνδέσετε με μη αυτόματο τρόπο αριθμούς στην εξίσωση. Στο σχήμα του Horner, οι ακέραιοι αριθμοί διαιρούνται με τις τιμές των συντελεστών της εξίσωσης a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)Και d (\displaystyle d). Αν οι αριθμοί διαιρούνται με έναν ακέραιο (δηλαδή το υπόλοιπο είναι), ο ακέραιος είναι η ρίζα της εξίσωσης.
-
Βρείτε αν μια κυβική εξίσωση έχει επεξηγηματικό όρο ρε (\displaystyle d) . Η κυβική εξίσωση έχει τη μορφή a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). Για να θεωρηθεί μια εξίσωση κυβική, αρκεί να περιέχει μόνο τον όρο x 3 (\displaystyle x^(3))(δηλαδή μπορεί να μην υπάρχουν καθόλου άλλα μέλη).
Στήριγμα έξω Χ (\displaystyle x) . Δεδομένου ότι δεν υπάρχει ελεύθερος όρος στην εξίσωση, κάθε όρος της εξίσωσης περιλαμβάνει μια μεταβλητή x (\displaystyle x). Αυτό σημαίνει ότι ένα x (\displaystyle x)μπορεί να αφαιρεθεί από αγκύλες για να απλοποιηθεί η εξίσωση. Έτσι, η εξίσωση θα γραφτεί ως εξής: x (a x 2 + b x + c) (\style display x(ax^(2)+bx+c)).
Συντελεστής (το γινόμενο δύο διωνύμων) την τετραγωνική εξίσωση (αν είναι δυνατόν).Πολλές τετραγωνικές εξισώσεις της μορφής a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0)μπορεί να παραγοντοποιηθεί. Αυτή η εξίσωση θα προκύψει αν βγάλουμε x (\displaystyle x)εκτός παρενθέσεων. Στο παράδειγμά μας:
Λύστε μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν ειδικό τύπο.Κάντε αυτό εάν η τετραγωνική εξίσωση δεν μπορεί να συνυπολογιστεί. Για να βρείτε δύο ρίζες μιας εξίσωσης, τις τιμές των συντελεστών a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c)υποκατάστατο στον τύπο.
