Ο Λομπατσέφσκι σε παράλληλες γραμμές. Νικολάι Λομπατσέφσκι: οι παράλληλες γραμμές εξακολουθούν να τέμνονται! Νέα γεωμετρία - παλιά προβλήματα

Καθόλου. Εξ ορισμού, οι παράλληλες γραμμές δεν έχουν σημεία τομής.

Τώρα ας μιλήσουμε για γεωμετρίες και παρανοήσεις. Τα "αεροπλάνα" θα ληφθούν υπόψη καθ' όλη τη διάρκεια, ό,τι κι αν σημαίνει αυτό.

Γεωμετρία του Ευκλείδη. Αυτό που διδάσκεται στο σχολείο είναι αυτό που είναι πιο οικείο και σχεδόν ακριβώς εκτελείται στην καθημερινή ζωή. Θα επισημάνω δύο γεγονότα που θα είναι σημαντικά στη συνέχεια. Πρώτον: σε αυτή τη γεωμετρία υπάρχει μια απόσταση· μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων υπάρχει μια συντομότερη διαδρομή και μόνο ένα (ένα ευθύγραμμο τμήμα). Δεύτερον: μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, μπορείτε να σχεδιάσετε μια γραμμή παράλληλη με τη δεδομένη και μόνο μία.

Αυτό αντιστοιχεί σε κάποιο ζευγάρι αξιωμάτων από το εγχειρίδιο του Pogorelov, οπότε θα είναι πιο βολικό για μένα να βασιστώ σε αυτό.

Γεωμετρία του Λομπατσέφσκι. Όλα είναι καλά με την απόσταση, αλλά είναι δύσκολο για εμάς να το φανταστούμε λόγω της συνεχούς αρνητικής καμπυλότητας (αν δεν καταλαβαίνουμε, δεν είναι τρομακτικό). Ο παραλληλισμός είναι πιο δύσκολος. Μέσα από ένα σημείο έξω από μια γραμμή μπορείτε πάντα να σχεδιάσετε όχι μόνο μία, αλλά άπειρες παράλληλες γραμμές.

Σφαιρική γεωμετρία. Πρώτον, τι θεωρούμε «στρέιτ». Ευθείες γραμμές σε μια σφαίρα - μεγάλοι κύκλοι = κύκλοι που κόβονται στη σφαίρα από ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο = κύκλοι ακτίνας ίσοι με την ακτίνα της σφαίρας. Πρόκειται για ευθείες γραμμές με την έννοια ότι πρόκειται για το συντομότερο μονοπάτι ανάμεσα σε όχι πολύ μακρινά (λίγο αργότερα θα φανεί ποια) σημεία. Κάποιοι μπορεί να έχουν παρατηρήσει ότι αν οι πόλεις βρίσκονται στον ίδιο παράλληλο, τότε το αεροπλάνο δεν πετά κατά μήκος αυτής της παράλληλης, αλλά κατά μήκος μιας κυρτής τροχιάς προς τα βόρεια στο βόρειο ημισφαίριο. Αν σχεδιάσετε, θα παρατηρήσετε ότι ο μεγάλος κύκλος που συνδέει τα δύο σημεία εκτείνεται βόρεια της παραλλήλου.

Γιατί η απόσταση σε μια σφαίρα είναι κακή; Ας πάρουμε διαμετρικά αντίθετα σημεία στη σφαίρα· γι' αυτά υπάρχουν άπειρα πολλά συντομότερα μονοπάτια. Πιο ξεκάθαρα: Θα κοιτάξω τον βόρειο και τον νότιο πόλο. Όλοι οι Μεριλιάνοι περνούν από αυτά, όλοι έχουν τα ίδια μήκη, οποιοδήποτε άλλο μονοπάτι θα είναι μεγαλύτερο.

Δεν υπάρχουν παράλληλες ευθείες, οποιεσδήποτε δύο ευθείες τέμνονται σε διαμετρικά αντίθετα σημεία.

Προβολικό επίπεδο. Η πιο σημαντική και πρώτη διαφορά: δεν υπάρχει απόσταση και δεν μπορεί να είναι. Κατ' αρχήν, δεν μπορεί να εισαχθεί έτσι ώστε να ικανοποιεί κάποιες φυσικές συνθήκες (που διατηρούνται κατά τις «κινήσεις» του αεροπλάνου). Έτσι, η ίδια η γεωμετρία δεν γνωρίζει για οποιεσδήποτε «άπειρα μακρινές ευθείες γραμμές»· όλα αυτά εφευρέθηκαν από ανθρώπους για να κατανοήσουν με κάποιο τρόπο το προβολικό επίπεδο. Ο πιο "απλός" τρόπος: φανταστείτε το επίπεδο στο οποίο έχουμε συνηθίσει (το λεγόμενο "affine map") και προσθέστε σε αυτό μια γραμμή που είναι "άπειρα μακρινή" και όλες τις γραμμές που ήταν παράλληλες με αυτήν στο επίπεδο που παρουσιάστηκε θα τέμνονται σε ένα σημείο σε αυτή την «άπειρα μακρινή» γραμμή. Αυτή η περιγραφή είναι αρκετά απλή: έγραψα κάτι σε δύο προτάσεις και κάποιος έχει ήδη υποβάλει κάτι. Αλλά είναι παραπλανητικό· δεν υπάρχει διακεκριμένη ευθεία γραμμή στην προβολική γεωμετρία. Αλλά αυτή η περιγραφή δείχνει ήδη αυτές τις παράλληλες γραμμές

Πρόσφατα, σε μια ανάρτηση για ψευδοεπιστημονικά θέματα, ένας από τους σχολιαστές ξεκίνησε μια συζήτηση για τη γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (ότι δεν την καταλαβαίνει) και φαινόταν να ζητά εξήγηση. Στη συνέχεια περιορίστηκα να ισχυριστώ ότι καταλαβαίνω. Μου φάνηκε αδύνατο να εξηγήσω αυτή τη θεωρία μέσα στο περιορισμένο πλαίσιο ενός σχολίου και ενός κειμένου (χωρίς σχέδια).

Ωστόσο, αφού το σκέφτηκα, αποφάσισα να προσπαθήσω να κάνω μια σύντομη λαϊκή εξόρμηση σε αυτή τη θεωρία.

Λίγο φόντο. Από την εποχή του Ευκλείδη, η γεωμετρία έχει γίνει μια αξιωματική θεωρία στην οποία οι περισσότερες δηλώσεις αποδείχθηκαν με βάση πολλά αξιώματα (αξιώματα). Θεωρήθηκε ότι αυτά τα αξιώματα ήταν «προφανή», δηλ. αντικατοπτρίζουν τις ιδιότητες του πραγματικού (φυσικού) χώρου.

Ένα από αυτά τα αξιώματα προκάλεσε υποψίες στους επιστήμονες: δεν θα μπορούσε να συναχθεί από τα άλλα αξιώματα; Η σύγχρονη διατύπωση αυτού του αξιώματος έχει ως εξής:

«Μέσα από ένα σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη γραμμή, μπορείτε να σχεδιάσετε το πολύ μία γραμμή παράλληλη σε αυτήν». Το γεγονός ότι μπορεί να σχεδιαστεί μια ευθεία γραμμή δεν είναι αξίωμα, αλλά θεώρημα.

Σε αυτή την περίπτωση, μια ευθεία που δεν τέμνει μια δεδομένη ονομάζεται «παράλληλη». Άρα, η ουσία του αξιώματος είναι ότι υπάρχει μόνο μία τέτοια ευθεία γραμμή!

(Η ευρέως διαδεδομένη δήλωση "Ο Λομπατσέφσκι απέδειξε ότι οι παράλληλες γραμμές μπορούν να τέμνονται" είναι, φυσικά, κατάφωρα λανθασμένη! Άλλωστε, αυτό θα έρχονταν σε αντίθεση με τον ορισμό τους!)

Ο Λομπατσέφσκι, όπως πολλοί πριν από αυτόν, αποφάσισε να αποδείξει ότι αυτή η δήλωση μπορεί να συναχθεί από άλλα αξιώματα. Για να το κάνει αυτό, όπως γίνεται συχνά στα μαθηματικά, επέλεξε τη μέθοδο «κατά αντίθεση», δηλ. υπέθεσε ότι υπάρχουν περισσότερες από μία ευθείες που δεν τέμνουν μια δεδομένη και προσπάθησε να συναγάγει από αυτό μια αντίφαση με άλλα γεγονότα. Όσο όμως ανέπτυξε τη θεωρία, τόσο περισσότερο έπειθε ότι δεν προβλεπόταν καμία αντίφαση! Εκείνοι. αποδείχθηκε ότι μια θεωρία με "λάθος" αξιόλογο έχει επίσης δικαίωμα ύπαρξης!

Φυσικά, στην αρχή δεν αναγνώρισαν τους υπολογισμούς του και τον γελούσαν. Γι' αυτό και ο μεγάλος Γκάους (που κατέληξε στα ίδια συμπεράσματα) δεν τόλμησε να δημοσιεύσει τα αποτελέσματά του. Αλλά με την πάροδο του χρόνου, έπρεπε να παραδεχτώ ότι η θεωρία του Λομπατσέφσκι ΚΑΘΑΡΑ ΛΟΓΙΚΑ δεν είναι χειρότερη από αυτή του Ευκλείδειου.

Ένας από τους έξυπνους τρόπους για να το επαληθεύσετε αυτό είναι να βρείτε τέτοιους «άμεσους» που συμπεριφέρονται όπως οι «άμεσοι» του Λομπατσέφσκι. Και οι μαθηματικοί βρήκαν ένα τέτοιο παράδειγμα, και περισσότερα από ένα.

Ίσως το πιο απλό είναι το μοντέλο Πουανκαρέ. Μπορείτε να το κατασκευάσετε μόνοι σας χρησιμοποιώντας απλό εξοπλισμό.

Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή σε ένα κομμάτι χαρτί. Πάρτε μια πυξίδα και, τοποθετώντας τη βελόνα της σε αυτή την ευθεία γραμμή, σχεδιάστε ημικύκλια που βρίσκονται στη μία πλευρά της ευθείας γραμμής. Τώρα διαγράψτε την ευθεία (και μαζί της τα τελικά σημεία των ημικυκλίων). Έτσι, αυτά τα ημικύκλια «χωρίς άκρα» θα συμπεριφέρονται σαν ευθείες γραμμές στη γεωμετρία του Lobachevsky!

Πράγματι, ας επιλέξουμε ένα ημικύκλιο και ένα σημείο έξω από αυτό. Υπάρχουν αρκετά ημικύκλια που δεν τέμνονται με το αρχικό και περνούν όλα από αυτό το σημείο. Ανάμεσά τους ξεχωρίζουν δύο: αγγίζουν την αρχική μας «ευθεία γραμμή» στα τελικά σημεία (την οποία, όπως θυμάστε, σβήσαμε) δηλ. δεν υπάρχει πραγματική διασταύρωση. Αυτοί οι δύο κύκλοι ορίζουν τα "όρια" μεταξύ των οποίων υπάρχουν όλες οι γραμμές που δεν τέμνονται με αυτήν. Υπάρχει άπειρος αριθμός από αυτούς.

Μπορείτε να παρατηρήσετε ότι τα τρίγωνα σε αυτό το μοντέλο δεν είναι ίδια με αυτά του επιπέδου (Ευκλείδειο): το άθροισμα των γωνιών τους είναι μικρότερο από 180 μοίρες! Ωστόσο, όσο μικρότερο είναι το τρίγωνο, τόσο μεγαλύτερο είναι το άθροισμα των γωνιών του. Στο «μικρό», σε μικρές αποστάσεις, η γεωμετρία του Λομπατσέφσκι πρακτικά συμπίπτει με τη γεωμετρία του Ευκλείδη. Επομένως, μιλώντας γενικά, δεν θα μπορούμε να διακρίνουμε «πειραματικά» το ένα από το άλλο εάν αποδειχτεί ότι οι (κοσμικές) αποστάσεις που έχουμε στη διάθεσή μας είναι μικρές για αυτόν τον σκοπό.

Ωστόσο, στην εποχή μας, ούτε οι φυσικοί, ούτε, ιδιαίτερα, οι μαθηματικοί, προσπαθούν να αντιληφθούν τη γεωμετρία του Lobachevsky ως μοντέλο «πραγματικού» φυσικού χώρου. Οι μαθηματικοί συνειδητοποίησαν ότι το μόνο που μπορούσαν να πουν ήταν: αν τα τάδε αξιώματα είναι αληθή, τότε τα τέτοια θεωρήματα είναι αληθινά. Λοιπόν, τι είναι τα «σύνολα», «σημεία», «ευθείες γραμμές», «γωνίες», «αποστάσεις» κ.λπ. - δεν το ξέρουμε αυτό! Ακριβώς όπως ο Stanislaw Lem: «Τα τάματα είναι αντικείμενα που πρέπει να αποσπαστούν»

«Ο Μπέρτραντ Ράσελ λέγεται ότι όρισε τα μαθηματικά ως την επιστήμη στην οποία ποτέ δεν ξέρουμε για τι μιλάμε ή αν αυτό που λέμε είναι σωστό. Είναι γνωστό ότι τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται ευρέως σε πολλούς άλλους τομείς της επιστήμης. [...] Έτσι, μια από τις κύριες λειτουργίες της μαθηματικής απόδειξης είναι να παρέχει μια αξιόπιστη βάση για την κατανόηση της ουσίας των πραγμάτων».

(από το βιβλίο «Οι φυσικοί αστειεύονται»)

Ενδιαφέρουσες πληροφορίες σχετικά με τη σχέση μεταξύ μαθηματικών και εμπειρικών μπορούν να αντληθούν από

Η ιστορία της δημιουργίας της γεωμετρίας του Lobachevsky είναι ταυτόχρονα η ιστορία των προσπαθειών να αποδειχθεί το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη. Αυτό το αξίωμα είναι ένα από τα αξιώματα που έθεσε ο Ευκλείδης ως βάση για την παρουσίαση της γεωμετρίας του (βλ. Ο Ευκλείδης και τα «Στοιχεία» του). Το πέμπτο αξίωμα είναι η τελευταία και πιο περίπλοκη από τις προτάσεις που περιέλαβε ο Ευκλείδης στην αξιωματική της γεωμετρίας. Ας θυμηθούμε τη διατύπωση του πέμπτου αξιώματος: εάν δύο ευθείες γραμμές τέμνονται από μια τρίτη έτσι ώστε σε οποιαδήποτε πλευρά της το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών να είναι μικρότερο από δύο ορθές γωνίες, τότε στην ίδια πλευρά τέμνονται οι αρχικές ευθείες. Για παράδειγμα, εάν στο Σχ. 1 γωνία είναι μια ορθή γωνία και η γωνία είναι ελαφρώς μικρότερη από μια ορθή γωνία, τότε οι ευθείες γραμμές σίγουρα θα τέμνονται και στα δεξιά της ευθείας. Πολλά από τα θεωρήματα του Ευκλείδη (για παράδειγμα, "σε ένα ισοσκελές τρίγωνο, οι γωνίες της βάσης είναι ίσες") εκφράζουν πολύ πιο απλά γεγονότα από το πέμπτο αξίωμα. Επιπλέον, είναι αρκετά δύσκολο να επαληθευτεί πειραματικά το πέμπτο αξίωμα. Αρκεί να πούμε ότι αν στο Σχ. 1 απόσταση θεωρείται ίση με 1 m και η γωνία διαφέρει από την ευθεία κατά ένα τόξο δευτερόλεπτο, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε ότι οι ευθείες γραμμές τέμνονται σε απόσταση μεγαλύτερη από 200 km από την ευθεία.

Πολλοί μαθηματικοί που έζησαν μετά τον Ευκλείδη προσπάθησαν να αποδείξουν ότι αυτό το αξίωμα (πέμπτο αξίωμα) είναι περιττό, δηλ. μπορεί να αποδειχθεί ως θεώρημα που βασίζεται στα υπόλοιπα αξιώματα. Έτσι, τον 5ο αι. Ο μαθηματικός Πρόκλος (ο πρώτος σχολιαστής των έργων του Ευκλείδη) έκανε μια τέτοια προσπάθεια. Ωστόσο, στην απόδειξή του, ο Πρόκλος, απαρατήρητος για τον εαυτό του, χρησιμοποίησε την ακόλουθη δήλωση: δύο κάθετες σε μια ευθεία σε όλο το μήκος τους βρίσκονται σε περιορισμένη απόσταση μεταξύ τους (δηλαδή, δύο ευθείες ευθείες κάθετες στην τρίτη δεν μπορούν να απομακρυνθούν από την καθεμία άλλα επ' αόριστον, όπως γραμμές στο Σχ. 2). Όμως, παρ' όλη την φαινομενική οπτική «προφανή», αυτή η δήλωση απαιτεί αιτιολόγηση σε μια αυστηρή αξιωματική παρουσίαση της γεωμετρίας. Στην πραγματικότητα, η δήλωση που χρησιμοποιεί ο Πρόκλος είναι το ισοδύναμο του πέμπτου αξιώματος. Με άλλα λόγια, εάν προστεθεί στα υπόλοιπα αξιώματα του Ευκλείδη ως άλλο νέο αξίωμα, τότε το πέμπτο αξίωμα μπορεί να αποδειχθεί (αυτό που έκανε ο Πρόκλος) και εάν το πέμπτο αξίωμα γίνει αποδεκτό, τότε η δήλωση που διατύπωσε ο Πρόκλος μπορεί να είναι αποδεδειγμένος.

Μια κριτική ανάλυση περαιτέρω προσπαθειών να αποδειχθεί το πέμπτο αξίωμα αποκάλυψε έναν μεγάλο αριθμό παρόμοιων «προφανών» δηλώσεων που μπορούν να αντικαταστήσουν το πέμπτο αξίωμα στην αξιωματική του Ευκλείδη. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα τέτοιων ισοδυνάμων του πέμπτου αξιώματος.

1) Μέσα από ένα σημείο μέσα σε μια γωνία μικρότερη από την ξεδιπλωμένη, μπορείτε πάντα να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή που τέμνει τις πλευρές του, δηλ. Οι ευθείες γραμμές σε ένα επίπεδο δεν μπορούν να εντοπιστούν όπως φαίνεται στο Σχ. 3. 2) Υπάρχουν δύο όμοια τρίγωνα που δεν είναι ίσα μεταξύ τους. 3) Τρία σημεία που βρίσκονται στη μία πλευρά μιας γραμμής σε ίση απόσταση από αυτήν (Εικ. 4) βρίσκονται στην ίδια ευθεία. 4) Για κάθε τρίγωνο υπάρχει ένας περιγεγραμμένος κύκλος.

Σταδιακά, οι «αποδείξεις» γίνονται όλο και πιο περίπλοκες και λεπτές ισοδύναμα του πέμπτου αξιώματος κρύβονται όλο και πιο βαθιά μέσα τους. Παραδεχόμενοι ότι το πέμπτο αξίωμα ήταν ψευδές, οι μαθηματικοί προσπάθησαν να καταλήξουν σε μια λογική αντίφαση. Κατέληξαν σε δηλώσεις που έρχονταν σε τερατώδη αντίφαση με τη γεωμετρική μας διαίσθηση, αλλά δεν επιτεύχθηκε καμία λογική αντίφαση. Ή μήπως δεν θα έρθουμε ποτέ σε αντίφαση σε αυτό το μονοπάτι; Μήπως αντικαθιστώντας το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη με την άρνησή του (διατηρώντας τα υπόλοιπα αξιώματα του Ευκλείδη), θα φτάσουμε σε μια νέα, μη Ευκλείδεια γεωμετρία, η οποία από πολλές απόψεις δεν συμφωνεί με τις συνηθισμένες οπτικές αναπαραστάσεις μας, αλλά εντούτοις συμφωνεί δεν περιέχει λογικές αντιφάσεις; Οι μαθηματικοί δεν μπορούσαν να υποφέρουν από αυτή την απλή αλλά πολύ τολμηρή ιδέα για δύο χιλιάδες χρόνια μετά την εμφάνιση των Στοιχείων του Ευκλείδη.

Ο πρώτος που παραδέχτηκε την πιθανότητα ύπαρξης της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας, στην οποία το πέμπτο αξίωμα αντικαθίσταται από την άρνησή της, ήταν ο K. F. Gauss. Το γεγονός ότι ο Γκάους κατείχε τις ιδέες της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας ανακαλύφθηκε μόνο μετά το θάνατο του επιστήμονα, όταν άρχισαν να μελετώνται τα αρχεία του. Ο λαμπρός Gauss, του οποίου οι απόψεις άκουγαν όλοι, δεν τόλμησε να δημοσιεύσει τα αποτελέσματά του για τη μη Ευκλείδεια γεωμετρία, από φόβο μήπως παρεξηγηθεί και παρασυρθεί σε διαμάχες.

XIX αιώνα έφερε μια λύση στο αίνιγμα του πέμπτου αξιώματος. Ο συμπατριώτης μας, καθηγητής του Πανεπιστημίου του Καζάν, Ν. Ι. Λομπατσέφσκι, ήρθε επίσης σε αυτήν την ανακάλυψη ανεξάρτητα από τον Γκάους. Όπως και οι προκάτοχοί του, ο Λομπατσέφσκι προσπάθησε αρχικά να αντλήσει διάφορες συνέπειες από την άρνηση του πέμπτου αξιώματος, ελπίζοντας ότι αργά ή γρήγορα θα ερχόταν σε μια αντίφαση. Ωστόσο, απέδειξε πολλές δεκάδες θεωρήματα χωρίς να αποκαλύπτει λογικές αντιφάσεις. Και τότε ο Λομπατσέφσκι κατέληξε σε μια εικασία σχετικά με τη συνέπεια της γεωμετρίας, στην οποία το πέμπτο αξίωμα αντικαταστάθηκε από την άρνησή του. Ο Λομπατσέφσκι ονόμασε αυτή τη γεωμετρία φανταστική. Ο Λομπατσέφσκι περιέγραψε την έρευνά του σε μια σειρά έργων, ξεκινώντας από το 1829. Όμως ο μαθηματικός κόσμος δεν αποδέχτηκε τις ιδέες του Λομπατσέφσκι. Οι επιστήμονες δεν ήταν προετοιμασμένοι για την ιδέα ότι θα μπορούσε να υπάρξει μια γεωμετρία διαφορετική από την Ευκλείδεια. Και μόνο ο Γκάους εξέφρασε τη στάση του για το επιστημονικό κατόρθωμα του Ρώσου επιστήμονα: πέτυχε την εκλογή του Ν. Ι. Λομπατσέφσκι ως αντεπιστέλλοντος μέλους της Βασιλικής Επιστημονικής Εταιρείας του Γκότινγκεν το 1842. Αυτή είναι η μόνη επιστημονική τιμή που έλαβε ο Λομπατσέφσκι όσο ζούσε. Πέθανε χωρίς να επιτύχει την αναγνώριση των ιδεών του.

Μιλώντας για τη γεωμετρία του Lobachevsky, είναι αδύνατο να μην αναφέρουμε έναν άλλο επιστήμονα που, μαζί με τον Gauss και τον Lobachevsky, μοιράζεται την αξία της ανακάλυψης της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας. Ήταν ο Ούγγρος μαθηματικός J. Bolyai (1802-1860). Ο πατέρας του, ο διάσημος μαθηματικός F. Bolyai, που εργάστηκε όλη του τη ζωή στη θεωρία των παραλλήλων, πίστευε ότι η λύση σε αυτό το πρόβλημα ήταν πέρα ​​από τις ανθρώπινες δυνάμεις και ήθελε να προστατεύσει τον γιο του από αποτυχίες και απογοητεύσεις. Σε μια από τις επιστολές του, του έγραφε: «Πέρασα μέσα από όλο το απελπιστικό σκοτάδι αυτής της νύχτας και έθαψα κάθε φως, κάθε χαρά της ζωής σε αυτό... μπορεί να σου στερήσει όλο τον χρόνο σου, την υγεία, την ειρήνη, τα πάντα. την ευτυχία της ζωής σου...» Όμως ο Ιανός δεν άκουσε τις προειδοποιήσεις του πατέρα του. Σύντομα ο νεαρός επιστήμονας, ανεξάρτητα από τον Γκάους και τον Λομπατσέφσκι, κατέληξε στις ίδιες ιδέες. Στο παράρτημα του βιβλίου του πατέρα του, που δημοσιεύτηκε το 1832, ο J. Bolyai έκανε μια ανεξάρτητη παρουσίαση της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας.

Η γεωμετρία Lobachevsky (ή η γεωμετρία Lobachevsky Bolyai, όπως αποκαλείται μερικές φορές) διατηρεί όλα τα θεωρήματα που στην Ευκλείδεια γεωμετρία μπορούν να αποδειχθούν χωρίς τη χρήση του πέμπτου αξιώματος (ή του παράλληλου αξιώματος ενός από τα ισοδύναμα του πέμπτου αξιώματος - περιλαμβάνονται στα σχολικά εγχειρίδια ημέρες). Για παράδειγμα: οι κατακόρυφες γωνίες είναι ίσες. οι γωνίες στη βάση ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Από ένα δεδομένο σημείο μόνο μία κάθετη μπορεί να χαμηλώσει σε μια δεδομένη ευθεία. διατηρούνται και τα σημεία ισότητας τριγώνων κλπ. Τροποποιούνται όμως τα θεωρήματα στην απόδειξη των οποίων χρησιμοποιείται το αξίωμα του παραλληλισμού. Το θεώρημα για το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι το πρώτο θεώρημα του σχολικού μαθήματος, η απόδειξη του οποίου χρησιμοποιεί το αξίωμα του παραλληλισμού. Εδώ μας περιμένει η πρώτη «έκπληξη»: στη γεωμετρία του Lobachevsky, το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου είναι μικρότερο από 180°.

Αν δύο γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με δύο γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε στην Ευκλείδεια γεωμετρία και οι τρίτες γωνίες είναι ίσες (τέτοια τρίγωνα είναι παρόμοια). Δεν υπάρχουν τέτοια τρίγωνα στη γεωμετρία Lobachevsky. Επιπλέον, στη γεωμετρία του Lobachevsky υπάρχει ένα τέταρτο κριτήριο για την ισότητα των τριγώνων: αν οι γωνίες ενός τριγώνου είναι αντίστοιχα ίσες με τις γωνίες ενός άλλου τριγώνου, τότε αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα.

Η διαφορά μεταξύ 180° και του αθροίσματος των γωνιών ενός τριγώνου στη γεωμετρία Lobachevsky είναι θετική. λέγεται ελάττωμα αυτού του τριγώνου. Αποδεικνύεται ότι σε αυτή τη γεωμετρία το εμβαδόν ενός τριγώνου σχετίζεται αξιοσημείωτα με το ελάττωμά του: , όπου και σημαίνει το εμβαδόν και το ελάττωμα του τριγώνου, και ο αριθμός εξαρτάται από την επιλογή των μονάδων για τη μέτρηση περιοχών και γωνιών.

Έστω τώρα κάποια οξεία γωνία (Εικ. 5). Στη γεωμετρία Lobachevsky, μπορείτε να επιλέξετε ένα σημείο στην πλευρά έτσι ώστε η κάθετη προς την πλευρά να μην τέμνεται με την άλλη πλευρά της γωνίας. Αυτό το γεγονός απλώς επιβεβαιώνει ότι το πέμπτο αξίωμα δεν ικανοποιείται: το άθροισμα των γωνιών και είναι μικρότερο από την ξεδιπλωμένη γωνία, αλλά οι ευθείες γραμμές δεν τέμνονται. Εάν αρχίσετε να πλησιάζετε το σημείο στο , τότε θα υπάρχει ένα τόσο «κρίσιμο» σημείο που η κάθετη προς την πλευρά εξακολουθεί να μην τέμνεται με την πλευρά, αλλά για οποιοδήποτε σημείο βρίσκεται μεταξύ και , η αντίστοιχη κάθετη τέμνεται με την πλευρά. Είναι ευθεία και όλο και πιο κοντά ο ένας στον άλλο, αλλά δεν έχουν κοινά σημεία. Στο Σχ. 6 Αυτές οι γραμμές εμφανίζονται χωριστά. Ο Λομπατσέφσκι ονομάζει ακριβώς τέτοιες ευθείες που πλησιάζουν η μία την άλλη χωρίς όρια ως παράλληλες στη γεωμετρία του. Και ο Λομπατσέφσκι καλεί δύο κάθετες σε μία ευθεία (που απομακρύνονται απεριόριστα η μία από την άλλη, όπως στο Σχ. 2) αποκλίνουσες ευθείες γραμμές. Αποδεικνύεται ότι αυτό περιορίζει όλες τις δυνατότητες για τη διάταξη δύο γραμμών στο επίπεδο Lobachevsky: δύο αποκλίνουσες ευθείες είτε τέμνονται σε ένα σημείο είτε είναι παράλληλες (Εικ. 6) είτε αποκλίνουν (στην περίπτωση αυτή έχουν μια κοινή κάθετη, Εικ. 2).

Στο Σχ. 7, η κάθετη προς την πλευρά της γωνίας δεν τέμνεται με την πλευρά και οι ευθείες γραμμές είναι συμμετρικές προς τις ευθείες σε σχέση με το . Περαιτέρω, , έτσι είναι κάθετο στο τμήμα στη μέση του και ομοίως, κάθετο στο τμήμα στη μέση του. Αυτές οι κάθετοι δεν τέμνονται, και επομένως δεν υπάρχει σημείο εξίσου απομακρυσμένο από τα σημεία, δηλ. ένα τρίγωνο δεν έχει κύκλο.

Στο Σχ. Το σχήμα 8 δείχνει μια ενδιαφέρουσα παραλλαγή της διάταξης τριών ευθειών στο επίπεδο Lobachevsky: κάθε δύο από αυτές είναι παράλληλες (μόνο σε διαφορετικές κατευθύνσεις). Και στο Σχ. 9 όλες οι ευθείες είναι παράλληλες μεταξύ τους στην ίδια κατεύθυνση (μια δέσμη από παράλληλες ευθείες). Κόκκινη γραμμή στο σχ. Το 9 είναι «κάθετο» σε όλες τις τραβηγμένες ευθείες (δηλαδή, η εφαπτομένη σε αυτήν την ευθεία σε οποιοδήποτε σημείο είναι κάθετη στην ευθεία που διέρχεται από ). Αυτή η γραμμή ονομάζεται οριακός κύκλος ή ορόκυκλος. Οι ευθείες γραμμές της εξεταζόμενης δέσμης είναι, λες, οι «ακτίνες» της και το «κέντρο» του οριακού κύκλου βρίσκεται στο άπειρο, αφού οι «ακτίνες» είναι παράλληλες. Ταυτόχρονα, ο οριακός κύκλος δεν είναι μια ευθεία γραμμή, είναι "καμπύλη". Και άλλες ιδιότητες που έχει μια ευθεία γραμμή στην Ευκλείδεια γεωμετρία, στη γεωμετρία του Lobachevsky αποδεικνύεται ότι είναι εγγενείς σε άλλες γραμμές. Για παράδειγμα, ένα σύνολο σημείων που βρίσκονται στη μία πλευρά μιας δεδομένης γραμμής σε μια δεδομένη απόσταση από αυτήν, στη γεωμετρία Lobachevsky, είναι μια καμπύλη γραμμή (ονομάζεται ισαπέχουσα).

Αγγίσαμε εν συντομία μόνο ορισμένα γεγονότα της γεωμετρίας του Lobachevsky, χωρίς να αναφέρουμε πολλά άλλα πολύ ενδιαφέροντα και σημαντικά θεωρήματα (για παράδειγμα, η περιφέρεια και το εμβαδόν ενός κύκλου ακτίνας εδώ μεγαλώνουν ανάλογα με τον εκθετικό νόμο). Υπάρχει η πεποίθηση ότι αυτή η θεωρία, πλούσια σε πολύ ενδιαφέροντα και ουσιαστικά γεγονότα, είναι στην πραγματικότητα συνεπής. Αλλά αυτή η πεποίθηση (την οποία συμμερίστηκαν και οι τρεις δημιουργοί της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας) δεν αντικαθιστά την απόδειξη της συνέπειας.

Για να αποκτηθεί μια τέτοια απόδειξη, ήταν απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα μοντέλο. Και ο Λομπατσέφσκι το κατάλαβε καλά και προσπάθησε να τη βρει.

Αλλά ο ίδιος ο Λομπατσέφσκι δεν μπορούσε πλέον να το κάνει αυτό. Η κατασκευή ενός τέτοιου μοντέλου (δηλαδή της απόδειξης της συνέπειας της γεωμετρίας του Lobachevsky) έπεσε στους μαθηματικούς της επόμενης γενιάς.

Το 1868, ο Ιταλός μαθηματικός E. Beltrami εξέτασε μια κοίλη επιφάνεια που ονομάζεται ψευδόσφαιρα (Εικ. 10) και απέδειξε ότι η γεωμετρία Lobachevsky λειτουργεί σε αυτήν την επιφάνεια! Εάν σχεδιάσουμε τις μικρότερες γραμμές ("γεωδαισίες") σε αυτήν την επιφάνεια και μετρήσουμε αποστάσεις κατά μήκος αυτών των γραμμών, κάνουμε τρίγωνα από τα τόξα αυτών των γραμμών κ.λπ., τότε αποδεικνύεται ότι όλοι οι τύποι της γεωμετρίας Lobachevsky εφαρμόζονται ακριβώς (ιδίως , το άθροισμα των γωνιών οποιουδήποτε τριγώνου μικρότερη από 180°). Είναι αλήθεια ότι δεν υλοποιείται ολόκληρο το αεροπλάνο Lobachevsky στην ψευδόσφαιρα, αλλά μόνο ένα περιορισμένο κομμάτι του, αλλά και πάλι αυτό ήταν το πρώτο ρήγμα στον κενό τοίχο της μη αναγνώρισης του Lobachevsky. Και δύο χρόνια αργότερα, ο Γερμανός μαθηματικός F. Klein (1849-1925) πρότεινε ένα άλλο μοντέλο του αεροπλάνου Lobachevsky.

Ο Klein παίρνει έναν κύκλο και εξετάζει τους προβολικούς μετασχηματισμούς του επιπέδου (βλ. Προβολική γεωμετρία) που χαρτογραφούν τον κύκλο στον εαυτό του. Ο Klein αποκαλεί το εσωτερικό ενός κύκλου «επίπεδο» και θεωρεί ότι οι υποδεικνυόμενοι προβολικοί μετασχηματισμοί είναι «κινήσεις» αυτού του «επίπεδου». Επιπλέον, ο Klein θεωρεί κάθε χορδή του κύκλου (χωρίς άκρα, αφού λαμβάνονται μόνο τα εσωτερικά σημεία του κύκλου) ως «ευθεία γραμμή». Δεδομένου ότι οι «κινήσεις» είναι προβολικοί μετασχηματισμοί, οι «άμεσες» μετατρέπονται σε «άμεσες» κατά τη διάρκεια αυτών των «κινήσεων». Τώρα σε αυτό το «επίπεδο» μπορούμε να εξετάσουμε τμήματα, τρίγωνα κ.λπ. Δύο φιγούρες ονομάζονται «ίσα» εάν το ένα από αυτά μπορεί να μεταφερθεί στο άλλο με κάποια «κίνηση». Έτσι, εισάγονται όλες οι έννοιες που αναφέρονται στα αξιώματα της γεωμετρίας και είναι δυνατό να ελεγχθεί η εκπλήρωση των αξιωμάτων σε αυτό το μοντέλο. Για παράδειγμα, είναι προφανές ότι υπάρχει μόνο μία «ευθεία γραμμή» που διέρχεται από οποιαδήποτε δύο σημεία (Εικ. 11). Μπορεί επίσης να φανεί ότι από ένα σημείο που δεν ανήκει σε μια «γραμμή» διέρχεται άπειρος αριθμός «γραμμών» που δεν τέμνονται. Περαιτέρω επαλήθευση δείχνει ότι στο μοντέλο Klein όλα τα άλλα αξιώματα της γεωμετρίας Lobachevsky ικανοποιούνται επίσης. Συγκεκριμένα, για οποιαδήποτε «ευθεία γραμμή» (δηλαδή χορδή κύκλου) και οποιοδήποτε σημείο αυτής της «ευθείας γραμμής» υπάρχει μια «κίνηση» που τη μεταφέρει σε μια άλλη δεδομένη ευθεία με ένα σημείο σημειωμένο πάνω της. Αυτό μας επιτρέπει να ελέγξουμε την εκπλήρωση όλων των αξιωμάτων της γεωμετρίας Lobachevsky.

Ένα άλλο μοντέλο γεωμετρίας Lobachevsky προτάθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό A. Poincaré (1854-1912). Θεωρεί επίσης το εσωτερικό ενός συγκεκριμένου κύκλου. Θεωρεί «ίσια» τόξα κύκλων που αγγίζουν τις ακτίνες στα σημεία τομής με το όριο του κύκλου (Εικ. 12). Χωρίς να μιλήσουμε λεπτομερώς για τις «κινήσεις» στο μοντέλο Πουανκαρέ (θα είναι κυκλικοί μετασχηματισμοί, ιδιαίτερα αναστροφές σε σχέση με «ευθείες γραμμές», μετατρέποντας τον κύκλο στον εαυτό του), θα περιοριστούμε να δείξουμε το Σχ. 13, δείχνοντας ότι σε αυτό το μοντέλο το Ευκλείδειο αξίωμα του παραλληλισμού δεν έχει θέση. Είναι ενδιαφέρον ότι σε αυτό το μοντέλο ένας κύκλος (Ευκλείδειος) που βρίσκεται μέσα σε έναν κύκλο αποδεικνύεται ότι είναι ένας «κύκλος» με την έννοια της γεωμετρίας Lobachevsky. κύκλος που αγγίζει το όριο. Στη συνέχεια, το φως (σύμφωνα με την αρχή του Fermat σχετικά με τον ελάχιστο χρόνο κίνησης κατά μήκος της τροχιάς του φωτός) θα διαδοθεί ακριβώς κατά μήκος των «ευθειών γραμμών» του υπό εξέταση μοντέλου. Το φως δεν μπορεί να φτάσει στο όριο σε έναν πεπερασμένο χρόνο (καθώς η ταχύτητά του μειώνεται στο μηδέν εκεί), και ως εκ τούτου αυτός ο κόσμος θα γίνει αντιληπτός από τους «κατοίκους» του ως άπειρος και στις μετρήσεις και τις ιδιότητες του που συμπίπτουν με το επίπεδο Lobachevsky.

Στη συνέχεια, προτάθηκαν άλλα μοντέλα γεωμετρίας Lobachevsky. Αυτά τα μοντέλα καθιέρωσαν τελικά τη συνέπεια της γεωμετρίας του Lobachevsky. Έτσι, αποδείχθηκε ότι η γεωμετρία του Ευκλείδη δεν είναι η μόνη δυνατή. Αυτό είχε μεγάλη προοδευτική επίδραση στην περαιτέρω ανάπτυξη της γεωμετρίας και των μαθηματικών γενικότερα.

Και στον 20ο αιώνα. ανακαλύφθηκε ότι η γεωμετρία Lobachevsky δεν είναι μόνο σημαντική για τα αφηρημένα μαθηματικά, ως μία από τις πιθανές γεωμετρίες, αλλά σχετίζεται επίσης άμεσα με τις εφαρμογές των μαθηματικών στη φυσική. Αποδείχθηκε ότι η σχέση μεταξύ χώρου και χρόνου, που ανακαλύφθηκε στα έργα των H. Lorentz, A. Poincaré, A. Einstein, G. Minkowski και περιγράφεται στο πλαίσιο της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, σχετίζεται άμεσα με τη γεωμετρία του Lobachevsky. Για παράδειγμα, στους υπολογισμούς των σύγχρονων συγφασοτρονίων, χρησιμοποιούνται τύποι γεωμετρίας Lobachevsky.

Σημάδια παραλληλισμού δύο ευθειών

Θεώρημα 1. Αν, όταν δύο ευθείες τέμνονται με μια τομή:

οι διασταυρωμένες γωνίες είναι ίσες ή

οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες ή

το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°, λοιπόν

οι γραμμές είναι παράλληλες(Εικ. 1).

Απόδειξη. Περιοριζόμαστε στην απόδειξη της περίπτωσης 1.

Έστω οι τεμνόμενες ευθείες a και b εγκάρσια και οι γωνίες ΑΒ ίσες. Για παράδειγμα, ∠ 4 = ∠ 6. Ας αποδείξουμε ότι a || σι.

Ας υποθέσουμε ότι οι ευθείες α και β δεν είναι παράλληλες. Τότε τέμνονται σε κάποιο σημείο Μ και, επομένως, μία από τις γωνίες 4 ή 6 θα είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου ΑΒΜ. Για βεβαιότητα, έστω ∠ 4 η εξωτερική γωνία του τριγώνου ABM, και ∠ 6 η εσωτερική. Από το θεώρημα για την εξωτερική γωνία ενός τριγώνου προκύπτει ότι το ∠ 4 είναι μεγαλύτερο από το ∠ 6, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με την συνθήκη, που σημαίνει ότι οι ευθείες a και 6 δεν μπορούν να τέμνονται, άρα είναι παράλληλες.

Συμπέρασμα 1. Δύο διαφορετικές ευθείες σε ένα επίπεδο κάθετο στην ίδια ευθεία είναι παράλληλες(Εικ. 2).

Σχόλιο. Ο τρόπος που μόλις αποδείξαμε την περίπτωση 1 του Θεωρήματος 1 ονομάζεται μέθοδος απόδειξης με αντίφαση ή αναγωγή σε παραλογισμό. Αυτή η μέθοδος έλαβε το πρώτο της όνομα επειδή στην αρχή του επιχειρήματος γίνεται μια υπόθεση που είναι αντίθετη (αντίθετα) με αυτό που πρέπει να αποδειχθεί. Ονομάζεται οδήγηση στον παραλογισμό λόγω του γεγονότος ότι, συλλογίζοντας με βάση την υπόθεση που έγινε, καταλήγουμε σε ένα παράλογο συμπέρασμα (στο παράλογο). Η λήψη ενός τέτοιου συμπεράσματος μας αναγκάζει να απορρίψουμε την υπόθεση που έγινε στην αρχή και να αποδεχτούμε αυτήν που έπρεπε να αποδειχθεί.

Εργασία 1.Κατασκευάστε μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο Μ και είναι παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία α, που δεν διέρχεται από το σημείο Μ.

Λύση. Σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή p μέσα από το σημείο Μ κάθετο στην ευθεία α (Εικ. 3).

Στη συνέχεια σχεδιάζουμε μια ευθεία b στο σημείο M κάθετη στην ευθεία p. Η ευθεία b είναι παράλληλη στην ευθεία a σύμφωνα με το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1.

Ένα σημαντικό συμπέρασμα προκύπτει από το εξεταζόμενο πρόβλημα:
μέσω ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, είναι πάντα δυνατό να τραβήξουμε μια γραμμή παράλληλη προς τη δεδομένη.

Η κύρια ιδιότητα των παράλληλων ευθειών είναι η εξής.

Αξίωμα παράλληλων ευθειών. Μέσα από ένα δεδομένο σημείο που δεν βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία, διέρχεται μόνο μία ευθεία παράλληλη προς τη δεδομένη.

Ας εξετάσουμε μερικές ιδιότητες των παράλληλων ευθειών που προκύπτουν από αυτό το αξίωμα.

1) Αν μια ευθεία τέμνει μια από δύο παράλληλες ευθείες, τότε τέμνει και την άλλη (Εικ. 4).

2) Εάν δύο διαφορετικές ευθείες είναι παράλληλες με μια τρίτη γραμμή, τότε είναι παράλληλες (Εικ. 5).

Το παρακάτω θεώρημα είναι επίσης αληθές.

Θεώρημα 2. Αν δύο παράλληλες ευθείες τέμνονται από ένα εγκάρσιο, τότε:

οι εγκάρσιες γωνίες είναι ίσες.

οι αντίστοιχες γωνίες είναι ίσες.

το άθροισμα των μονόπλευρων γωνιών είναι 180°.

Συμπέρασμα 2. Εάν μια ευθεία είναι κάθετη σε μία από τις δύο παράλληλες ευθείες, τότε είναι κάθετη και στην άλλη(βλ. Εικ. 2).

Σχόλιο. Το θεώρημα 2 ονομάζεται αντίστροφο του Θεωρήματος 1. Το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1 είναι η συνθήκη του Θεωρήματος 2. Και η συνθήκη του Θεωρήματος 1 είναι το συμπέρασμα του Θεωρήματος 2. Δεν έχει κάθε θεώρημα αντίστροφο, δηλαδή εάν ένα δεδομένο θεώρημα είναι αληθές, τότε το αντίστροφο θεώρημα μπορεί να είναι ψευδές.

Ας το εξηγήσουμε αυτό χρησιμοποιώντας το παράδειγμα του θεωρήματος για τις κατακόρυφες γωνίες. Αυτό το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: αν δύο γωνίες είναι κάθετες, τότε είναι ίσες. Το αντίστροφο θεώρημα θα ήταν: αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε είναι κάθετες. Και αυτό, φυσικά, δεν είναι αλήθεια. Δύο ίσες γωνίες δεν χρειάζεται να είναι κάθετες.

Παράδειγμα 1.Δύο παράλληλες γραμμές διασχίζονται από μια τρίτη. Είναι γνωστό ότι η διαφορά μεταξύ δύο εσωτερικών μονόπλευρων γωνιών είναι 30°. Βρείτε αυτές τις γωνίες.

Λύση. Αφήστε το Σχήμα 6 να πληροί την προϋπόθεση.

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε δικαστικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικούς φορείς στη Ρωσική Ομοσπονδία - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.