Ας εξετάσουμε τις μεταβατικές διεργασίες σε κυκλώματα RLC χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός κυκλώματος σειράς ταλαντευόμενου κυκλώματος στο Σχήμα. 4.3α, οι απώλειες στις οποίες θα ληφθούν υπόψη με τη συμπερίληψη μιας αντίστασης R στο κύκλωμα.

Εικ.4.3. Κύκλωμα RLC (α) και μεταβατικές διεργασίες σε αυτό (β) και (γ).

Μεταβατικές διεργασίες σε σειριακό ταλαντευόμενο κύκλωμα σε μηδενικές αρχικές συνθήκες. Ας θέσουμε το πλήκτρο K στη θέση 1 και ας συνδέσουμε την επιρροή εισόδου στο κύκλωμα. Υπό την επίδραση της συνδεδεμένης πηγής u, το ρεύμα i θα ρέει στο κύκλωμα, το οποίο θα δημιουργήσει τάσεις uR, uL, uC.

Με βάση τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff, η ακόλουθη εξίσωση μπορεί να γραφτεί για αυτό το κύκλωμα:

.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι θα έχουμε

. (4.34)

Θα αναζητήσουμε μια γενική λύση της εξίσωσης (4.34) με τη μορφή του αθροίσματος των ελεύθερων συνιστωσών uС st και εξαναγκασμένου uС pr:

. (4.35)

Το ελεύθερο συστατικό προσδιορίζεται από το διάλυμα του ομογενούς διαφορική εξίσωση, το οποίο λαμβάνεται από το (4.34) στο u = 0

. (4.36)

Η λύση (4.36) εξαρτάται από τις ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης, η οποία προκύπτει από το (4.36) και έχει τη μορφή

. (4.37)

Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης καθορίζονται μόνο από τις παραμέτρους του κυκλώματος R, L, C και είναι ίσες με

, (4.38)

όπου α = R/2L - συντελεστής εξασθένησης κυκλώματος.

Συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος.

Από την (4.38) είναι σαφές ότι οι ρίζες p1 και p2 εξαρτώνται από τη χαρακτηριστική αντίσταση του κυκλώματος και μπορούν να είναι:

για R > 2ρ πραγματικό και διαφορετικό.

στο R< 2ρ комплексно-сопряженными;

για R = 2ρ πραγματικό και ίσο.

Για R > 2ρ, το ελεύθερο συστατικό θα είναι ίσο με:

. (4.39)

Έστω η ενέργεια εισόδου u = U = const, τότε η εξαναγκασμένη συνιστώσα upr = U. Λαμβάνοντας υπόψη την έκφραση (4.39) και αυτήν την upr = U, η έκφραση (4.35) θα λάβει τη μορφή:

Γνωρίζοντας το uС βρίσκουμε το ρεύμα στο κύκλωμα

. (4.41)

Για να προσδιορίσουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης A1 και A2, γράφουμε τις αρχικές συνθήκες για uC και i στο t = 0:

(4.42)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (4.42) παίρνουμε:

;

Αντικαθιστώντας τα Α1 και Α2 στις εξισώσεις (4.40) και (4.41) και λαμβάνοντας υπόψη ότι σύμφωνα με το (4.38) p1 p2=1/LC θα έχουμε:

; (4.43)

. (4.44)

Από τότε

. (4.45)

Οι γραφικές παραστάσεις των αλλαγών στα uС, i, uL σε ένα σειριακό ταλαντευόμενο κύκλωμα υπό την προϋπόθεση R > 2ρ φαίνονται στο Σχήμα. 4.3, β).

Οι στιγμές του χρόνου t1 και t2 προσδιορίζονται αντίστοιχα από τις συνθήκες

; .

Η ανάλυση των γραφημάτων που περιγράφονται με τις εκφράσεις (4.43 - 4.45) δείχνει ότι όταν R > 2ρ (σε μεγάλες απώλειες) εμφανίζονται απεριοδικές διεργασίες στο κύκλωμα.

Ας εξετάσουμε τις διαδικασίες στο κύκλωμα στο R< 2ρ. В этом случае из (4.38) имеем:

Οπου - συχνότητα ελεύθερων αποσβεσμένων ταλαντώσεων. Η λύση της εξίσωσης (4.36) έχει τη μορφή

όπου τα Α και θ είναι σταθερές ολοκλήρωσης

Λαμβάνοντας υπόψη το (4.47) και ότι upr = U, βρίσκουμε τον νόμο για την αλλαγή της τάσης στην χωρητικότητα

Υπό την επίδραση του uC, το ρεύμα ρέει στο κύκλωμα

Υποθέτοντας t = 0 στις (4.48) και (4.49) και λαμβάνοντας υπόψη τους νόμους μετατροπής, λαμβάνουμε

(4.50)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (4.50) βρίσκουμε

Αντικαθιστώντας το A στις (4.48) και (4.49) και λαμβάνοντας υπόψη ότι βρίσκουμε εξισώσεις που περιγράφουν αλλαγές στο uC, i, uL στο περίγραμμα για την περίπτωση R< 2ρ:

. (4.51)

. (4.52)

. (4.53)

Το γράφημα των μεταβολών της τάσης uС, που προσδιορίζεται από την έκφραση (4.51) φαίνεται στο Σχ. 4,3β με διακεκομμένη γραμμή. Από το σχήμα και την έκφραση (4.51) είναι σαφές ότι εάν το κύκλωμα σειράς έχει χαμηλές απώλειες (R< 2ρ), то при подключении к нему источника постоянного напряжения в контуре возникает затухающий колебательный процесс.

Μεταβατικές διεργασίες σε ένα σειριακό ταλαντευόμενο κύκλωμα υπό μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Ας εγκαταστήσουμε το κλειδί Κ στο κύκλωμα Εικ. 4.3,a στη θέση 2. Σε αυτήν την περίπτωση, η επιρροή εισόδου από το κύκλωμα θα αποσυνδεθεί και το κύκλωμα θα κλείσει. Δεδομένου ότι πριν από την ενεργοποίηση του κυκλώματος ο πυκνωτής φορτίστηκε σε τάση uC = U, τότε τη στιγμή που το κύκλωμα είναι κλειστό θα αρχίσει να εκφορτίζεται και μια ελεύθερη μεταβατική διαδικασία θα συμβεί στο κύκλωμα.

Εάν η συνθήκη R> 2ρ ικανοποιείται στο περίγραμμα, τότε οι ρίζες p1 και p2 στο (4.38) θα είναι πραγματικές και διαφορετικές και η λύση της εξίσωσης (4.36) θα έχει τη μορφή

Η τάση uC δημιουργεί ρεύμα στο κύκλωμα

. (4.55)

Για να προσδιορίσουμε τις σταθερές ολοκλήρωσης A1 και A2, θέτουμε t = 0 και λαμβάνουμε υπόψη ότι τη στιγμή της μετάθεσης uC = U, i = 0, τότε από τις (4.54) και (4.55) προκύπτει

(4.56)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (4.56) βρίσκουμε

Αντικαθιστώντας τα Α1 και Α2 στα (4.54) και (4.55) λαμβάνουμε εξισώσεις για την τάση uC και το ρεύμα i στο κύκλωμα του κυκλώματος

. (4.57)

. (4.58)

Από τις εκφράσεις (4.57) και (4.58) είναι σαφές ότι όταν η επιρροή εισόδου αποσυνδεθεί από το κύκλωμα του κυκλώματος, το οποίο έχει μεγάλη εξασθένηση (R > 2ρ), εμφανίζεται μια απεριοδική εκφόρτιση της χωρητικότητας C. Η ενέργεια που αποθηκεύεται στο WC χωρητικότητας = CU2/2 πριν την αποσύνδεση, το εφέ εισόδου δαπανάται για την κάλυψη θερμικών απωλειών στην αντίσταση R και τη δημιουργία μαγνητικό πεδίοστην επαγωγή L. Τότε η ενέργεια ηλεκτρικό πεδίοΗ χωρητικότητα WC και η μαγνητική ενέργεια της επαγωγής WL δαπανάται στον αντιστάτη R.

Ας βρούμε τον νόμο των μεταβολών της τάσης uC και του ρεύματος i στο κύκλωμα όταν το κύκλωμα έχει μικρές απώλειες, δηλ. υπόκειται στο R< 2ρ. В этом случае корни р1 и р2 носят комплексно-сопряженный характер (4.46) и решение уравнения (4.36) имеет вид:

Υπό την επίδραση του uC, το ρεύμα ρέει στο κύκλωμα

Για τον προσδιορισμό των σταθερών ολοκλήρωσης Α και θ, λαμβάνουμε υπόψη ότι τη στιγμή της μετάθεσης t = 0, uC = U, i = 0 και αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές σε (4.59) και (4.60) λαμβάνουμε

(4.61)

Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (4.61) βρίσκουμε

Αντικαθιστώντας τα Α και θ στα (4.59) και (4.60) και λαμβάνοντας υπόψη ότι λαμβάνουμε εξισώσεις που καθορίζουν το νόμο της μεταβολής της τάσης και του ρεύματος σε ένα κύκλωμα με χαμηλές απώλειες

(4.62)

Η ανάλυση των εξισώσεων (4.62) δείχνει ότι όταν η επιρροή εισόδου αποσυνδέεται από ένα κύκλωμα με χαμηλές απώλειες (R< 2ρ) в нем возникают затухающие колебания с частотой ωС, которая определяется параметрами R, L, C цепи. Графики изменения uC и i изображены на рис. 4.3,в.

Ο ρυθμός εξασθένησης μιας περιοδικής διεργασίας χαρακτηρίζεται από τη μείωση της εξασθένησης, η οποία ορίζεται ως ο λόγος δύο γειτονικών πλατών ρεύματος ή τάσης του ίδιου πρόσημου

. (4.63)

Σε λογαριθμική μορφή, η μείωση της απόσβεσης έχει τη μορφή

. (4.64)

Από την (4.64) είναι σαφές ότι όσο μεγαλύτερη είναι η εξασθένηση, τόσο μεγαλύτερες είναι οι απώλειες στο κύκλωμα, οι οποίες καθορίζονται από την τιμή του R. Όταν R ≥ 2ρ, η μεταβατική διαδικασία στο κύκλωμα γίνεται απεριοδική. Στο R = 0, υπάρχει μη απόσβεση αρμονική ταλάντωσημε συχνότητα . Σε πραγματικά κυκλώματα R ≠ 0, επομένως λαμβάνουν χώρα απόσβεση ταλαντώσεων σε αυτά.

Μεταβατικά κυκλώματα RLC

Τα γραμμικά κυκλώματα 2ης τάξης περιέχουν δύο διαφορετικούς τύπους αντιδρώντων στοιχείων L και C. Παραδείγματα τέτοιων κυκλωμάτων είναι τα σειριακά και τα παράλληλα κυκλώματα συντονισμού (Εικ. 1).

Ρύζι. 1. Γραμμικά κυκλώματα δεύτερης τάξης: α - κύκλωμα συντονισμού σειράς. β - κύκλωμα παράλληλου συντονισμού

Οι μεταβατικές διεργασίες σε ταλαντωτικά κυκλώματα περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις 2ης τάξης. Ας εξετάσουμε την περίπτωση μιας εκφόρτισης χωρητικότητας σε ένα κύκλωμα RL (Εικ. 2). Ας συνθέσουμε την εξίσωση αλυσίδας σύμφωνα με τον πρώτο νόμο του Kirchhoff:

Μετά τη διαφοροποίηση (1) παίρνουμε

Ρύζι. 2.

Η λύση U c (t) της εξίσωσης (2) βρίσκεται ως το άθροισμα των ελεύθερων συνιστωσών U st (t) και του εξαναγκασμένου U pr

U c =U St +U Ave. (3)

Το U pr εξαρτάται από το E και το U st (t) προσδιορίζεται με την επίλυση μιας ομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης της μορφής

Η χαρακτηριστική εξίσωση για το (4) έχει τη μορφή

LCpІ + RCp + 1 = 0, (5)

Ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης

Η τιμή R/2L = b ονομάζεται συντελεστής εξασθένησης, η συχνότητα συντονισμού του κυκλώματος. Εν

Η φύση των μεταβατικών διεργασιών στο κύκλωμα εξαρτάται από τον τύπο των ριζών p 1 και p 2. Μπορεί να είναι:

1) πραγματικό, διαφορετικό για R > 2с, Q< 0,5;

2) πραγματικό και ίσο σε R = 2c, Q = 0,5;

3) σύνθετο συζυγές στο R< 2с, Q > 0,5.

Εδώ είναι η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση, Q = c/R είναι ο συντελεστής ποιότητας του κυκλώματος.

Στο διάγραμμα του Σχ. 2 πριν από τη μετάβαση στο t<0 емкость заряжена до напряжения U c (0 -) = E. После коммутации емкость начинает разряжаться и в контуре возникает переходный процесс. В случае 1 при Q < 0,5 решение уравнения (2) имеет вид

Για να βρούμε τις σταθερές ολοκλήρωσης A 1 και A 2, γράφουμε την παράσταση για το ρεύμα στο κύκλωμα

Χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες U c (0 -) = E και i(0 -) = 0, λαμβάνουμε ένα σύστημα εξισώσεων

Από τη λύση του συστήματος έχουμε

Ως αποτέλεσμα, για το ρεύμα και την τάση στο κύκλωμα λαμβάνουμε

Μεταβατικές διεργασίες σε κυκλώματα δεύτερης τάξης

Ορισμός της ανεξάρτητης μεταβλητής.

I L - ανεξάρτητη μεταβλητή

Συνθέτουμε μια διαφορική εξίσωση για τη μεταβατική διαδικασία στο κύκλωμα και γράφουμε τη γενική λύση.

I L (t)=i st (t)+i pr

Ας προσδιορίσουμε τις αρχικές συνθήκες.

IL(0)=E/R=19,799Α

Ας γράψουμε τη λύση του διαφορικού. εξισώσεις για το ελεύθερο συστατικό.

i st (t)=A*e bt *sin(wt+i)

Είσοδος Z =2R+jwL+1/jwC

p=-883.833-7.016i*10 3

f=1/|b|=1,131*10 -3

T=2р/w=8,956*10 -4

Ας προσδιορίσουμε τις αναγκασμένες συνιστώσες στο t=;

Ας προσδιορίσουμε τη σταθερά ολοκλήρωσης Ai και

U L (t)=LAbwe bt *sin(wt+i)

i L (t)=Ae bt *sin(wt+i)

LAb*sin και+ LAw*cosand =0

p Acos u=2.494

tg και=19.799/Acos και=7.938

Φασματική αναπαράσταση περιοδικών διεργασιών σε ηλεκτρικά κυκλώματα

Σε πολλές περιπτώσεις, σε σταθερή κατάσταση, οι καμπύλες του περιοδικού emf, των τάσεων και των ρευμάτων στα ηλεκτρικά κυκλώματα μπορεί να διαφέρουν από τα ημιτονοειδή. Σε αυτή την περίπτωση, η άμεση χρήση της συμβολικής μεθόδου για τον υπολογισμό των κυκλωμάτων εναλλασσόμενου ρεύματος καθίσταται αδύνατη. Για γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα, το πρόβλημα υπολογισμού μπορεί να λυθεί με βάση τη μέθοδο υπέρθεσης χρησιμοποιώντας τη φασματική αποσύνθεση μη ημιτονικών τάσεων και ρευμάτων σε σειρά Fourier. Στη γενική περίπτωση, η σειρά Fourier περιέχει μια σταθερή συνιστώσα, την πρώτη αρμονική, η συχνότητα της οποίας συμπίπτει με τη συχνότητα u 1 = 2p/T ενός περιοδικού ρεύματος ή τάσης με περίοδο T και ένα σύνολο υψηλότερων αρμονικών με συχνότητες u n = n 1, πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας u 1. Για τις περισσότερες περιοδικές συναρτήσεις, η σειρά Fourier περιέχει έναν άπειρο αριθμό όρων. Στην πράξη, περιορίζονται σε έναν πεπερασμένο αριθμό όρων της σειράς. Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχική περιοδική συνάρτηση θα αναπαρασταθεί χρησιμοποιώντας μια σειρά Fourier με κάποιο σφάλμα.

Έστω ένα περιοδικό emf με περίοδο T. e(t)=e(t±nT), ικανοποιώντας τις συνθήκες Dirichlet (μια συνάρτηση στο διάστημα T έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών και ακρών). Μια τέτοια συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί από το άθροισμα αρμονικών συνιστωσών με διαφορετικά πλάτη E n , συχνότητες u n =n 1 και αρχικές φάσεις u n με τη μορφή μιας σειράς Fourier

Η σειρά Fourier μπορεί να αναπαρασταθεί με άλλη μορφή:

Η σταθερή συνιστώσα E 0 και οι συντελεστές της σειράς Fourier B n και C n υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους

Για περιττές συναρτήσεις e(t) οι συντελεστές С n =0, και για άρτιες συναρτήσεις B n =0. Η σχέση μεταξύ των συντελεστών B n, C n και των πλάτη Ε n και των φάσεων σ n των αρμονικών καθορίζεται από τις σχέσεις

Το διάγραμμα που δείχνει την εξάρτηση του πλάτους των αρμονικών E n από τη συχνότητα u n = n u 1 ονομάζεται φάσμα.

Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο υπέρθεσης και τη φασματική αναπαράσταση του περιοδικού emf. με τη μορφή μιας σειράς Fourier, το ηλεκτρικό κύκλωμα μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την ακόλουθη μέθοδο:

1. Μη ημιτονοειδής περιοδική εμφ. Το e(t) επεκτείνεται σε μια σειρά Fourier και προσδιορίζονται τα πλάτη E n και οι φάσεις q n όλων των αρμονικών του emf.

2. Στον κλάδο ενδιαφέροντος υπολογίζονται τα ρεύματα i 0 , i 1 ,...i n που δημιουργούνται από κάθε αρμονική emf.

3. Το απαιτούμενο ρεύμα στον κλάδο βρίσκεται ως το άθροισμα των ρευμάτων

Δεδομένου ότι τα συστατικά του ρεύματος i(t) είναι είτε σταθερή τιμή i 0 είτε ημιτονοειδή ρεύματα i n , χρησιμοποιούνται γνωστές μέθοδοι υπολογισμού κυκλωμάτων συνεχών και εναλλασσόμενων ημιτονοειδών ρευμάτων για τον προσδιορισμό τους.

Ας εξετάσουμε δύο περιπτώσεις παροδικών διεργασιών διαδοχικά Κυκλώματα RLC:

ακολουθητικός Κύκλωμα RLCσυνδέεται με μια πηγή σταθερού E.M.F. ΜΙ;

Ο προφορτισμένος πυκνωτής αποφορτίζεται από Κύκλωμα RLC.

1) Κατά τη σύνδεση σειριακής Κυκλώματα RLCβούρτσα σταθερού Ε.Μ.Φ. μι(Εικ. 6.3.α) η εξίσωση ηλεκτρικής ισορροπίας του κυκλώματος σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff έχει τη μορφή:

U L +U R +U C =E (6.10)

λαμβάνοντας υπόψη τις αναλογίες

U R = R i=R C (dU C/dt);

U L =L (di/dt)=L C (d 2 U C /dt 2)

την εξίσωση (6.10) μπορεί να γραφτεί ως:

L C (d 2 U C /dt 2) + R C (dU C /dt) + U C = E (6.11)

ΕΝΑ	σι	V
Ρύζι. 6.3

Λύση ανομοιογενούς διαφορικής εξίσωσης (6.11) καθορίζεται από τη χαρακτηριστική εξίσωση: LCp 2 +RCp+1=0,

που έχει ρίζες

δ=R/2L -συντελεστής εξασθένησης,

Συχνότητα συντονισμού.

Ανάλογα με την αναλογία δ2και ω 2 είναι δυνατοί τρεις κύριοι τύποι μεταβατικών διεργασιών:

α) δ 2 > ω 2ή Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι αρνητικές πραγματικές. Η διαδικασία μετάβασης είναι απεριοδικής φύσης (Εικ. 6.3.β).

σι) δ2< ω 2 ή Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικές και συζυγείς. Η φύση της διαδικασίας μετάβασης είναι ταλαντωτική και απόσβεση (Εικ. 6.3.γ)

V) δ 2 = ω 2ή Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και ίσες p 1 =p 2 =-R/2L.Η φύση της διαδικασίας μετάβασης είναι απεριοδική και αποσβεσμένη (κρίσιμη περίπτωση). Ο χρόνος μετάβασης είναι ελάχιστος.

Για τις δύο πρώτες περιπτώσεις, η λύση της εξίσωσης έχει τη μορφή:

(6.13)

V=U C (0) -τάση στον πυκνωτή τη στιγμή της μεταγωγής.

Για την περίσταση δ2< ω 2 την εξίσωση (6.13) ανάγεται στη μορφή:

, (6.14)

- συχνότητα απόσβεσης ταλαντώσεων.

Από την εξ. (6.14) προκύπτει ότι η διαδικασία μετάβασης U c (t)έχει χαρακτήρα ταλαντώσεων με γωνιακή συχνότητα ω και περίοδος Т=2π/ω, τα οποία διασπώνται με χρονική σταθερά τ=2L/R=1/δ.

Για τον προσδιορισμό της χρονικής σταθεράς τ μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το περίβλημα της ταλαντευτικής καμπύλης U c (t),με εκθετική μορφή:

exp(-δt)=exp(-t/τ).

Για την τρίτη περίπτωση δ=ω 0 λύση της εξίσωσης (6.11) έχει τη μορφή:

. (6.15)

Η ιδιαιτερότητα αυτού του τρόπου λειτουργίας είναι ότι όταν μειώνεται RΚάτω από αυτή την τιμή η μεταβατική διαδικασία γίνεται ταλαντωτική.

2. Όταν ο πυκνωτής εκφορτίζεται σε κύκλωμα RL(Εικόνα 6.4.α) και οι τρεις τρόποι είναι δυνατοί, συζητήθηκαν παραπάνω και προσδιορίζονται από την αναλογία των ποσοτήτων δ και ω 0 .Οι μεταβατικές διεργασίες σε αυτούς τους τρόπους λειτουργίας περιγράφονται από τις εξισώσεις (6.13), (6.14), (6.15) στο Ε=0.Για παράδειγμα, για την υπόθεση δ<ω 0 την εξίσωση (6.14) με μια ταλαντωτική εκφόρτιση ενός πυκνωτή έχει τη μορφή:

(6.16)

Παροδική καμπύλη U c (t)φαίνεται στο (Εικ. 6. 4.β). Καμπύλη φακέλου U c (t)είναι μια συνάρτηση exp(-δt)=exp(-t/τ),που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό της χρονικής σταθεράς τ και συντελεστή εξασθένησης δ=1/τ.

Σε κάθε κύκλωμα, όταν γίνεται προσπάθεια αλλαγής της ενεργειακής του κατάστασης, εμφανίζεται τουλάχιστον μια βραχυπρόθεσμη παροδική διαδικασία. Ως παράδειγμα στο Σχ. Το σχήμα 6.1 δείχνει ένα κύκλωμα με πηγή τάσης 1 V, ένα κλειδί (την αρχική στιγμή που είναι κλειστό), μια αντίσταση Rκαι επαγωγέας ΜΕΓΑΛΟ.Ας δούμε τι θα συμβεί αμέσως μετά το κλείσιμο του κλειδιού. Από το μάθημα της θεωρητικής ηλεκτρολογίας είναι γνωστό ότι το ρεύμα θα φτάσει σε μια σταθερή τιμή V|Rόχι αμέσως, αυξάνεται εκθετικά. Χρονική σταθερά ανόδου τ= L|Rαντιπροσωπεύει το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει το ρεύμα στο 63,2% της τιμής του σε σταθερή κατάσταση. Σε 5τ! το ρεύμα θα φτάσει σχεδόν την τιμή σταθερής κατάστασης, διαφέροντας από αυτήν κατά όχι περισσότερο από 1%.

Ρύζι. 6.1. Κλείσιμο του κλειδιού RL- αλυσίδες

Στο PSpice, εξερευνούμε αυτό το μεταβατικό χρησιμοποιώντας μια πηγή με τμηματικά γραμμική τάση εξόδου PWL(τμηματικά γραμμικό).

Θα δοθεί από μια εντολή που περιγράφει την εφαρμοζόμενη τάση ως εξής:

V 1 0 PWL (0,0 10 us, 1V 10ms, 1V)

Η εντολή δείχνει ότι εφαρμόζεται τάση μεταξύ κόμβων 1 Και 0 και το σχήμα του δίνεται από ευθύγραμμα τμήματα ( PWL). Οι παράμετροι σε παρένθεση αντιπροσωπεύουν ένα ζεύγος τιμών: σημείο σε χρόνο - τάση. Σε αυτό το παράδειγμα, αυτή τη στιγμή t= 0V= 0; τότε στο t= 10 μs V= 1 V; στα 10 ms V= 1 V. Η αλλαγή τάσης μεταξύ δύο γειτονικών χρονικών στιγμών πραγματοποιείται κατά μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος. Δείτε πώς φαίνεται η συνάρτηση χρόνου της τάσης. Τώρα μπορείτε να γράψετε το αρχείο εισόδου:

V 1 0 PWL (0,01 us, 1V 10ms, 1V)

Η πρώτη τιμή εμφανίζεται στην εντολή .TRAN,είναι η τιμή βήματος στην εκτύπωση. Επιλέξτε το ίσο με περίπου το ένα δέκατο της δεύτερης τιμής, η οποία υποδεικνύει τη διάρκεια της διαδικασίας που αναλύεται.

Εκτελέστε την ανάλυση και λάβετε το διάγραμμα I(R). Σημειώστε ότι το ρεύμα αυξάνεται εκθετικά, όπως αναμενόταν, φτάνοντας σε μια τιμή σταθερής κατάστασης 10 mA. Χρησιμοποιήστε τη λειτουργία δρομέα για να προσδιορίσετε τον αρχικό ρυθμό μεταβολής του ρεύματος Δ Εγώ|Δ t.Για να προσδιορίσετε την αναλογία αύξησης, μπορείτε να επιλέξετε ένα χρονικό διάστημα περίπου 50 µs. Βεβαιωθείτε ότι στην αρχή της διαδικασίας Δ Εγώ|Δ t= 10 A/s. Εάν το ρεύμα αυξηθεί με αυτόν τον ρυθμό μέχρι μια τιμή σταθερής κατάστασης 10 mA, πότε θα φτάσει σε αυτήν την τιμή;

Όπως γνωρίζετε, μετά από χρόνο ίσο με τη σταθερά χρόνου τ, το ρεύμα θα πρέπει να φτάσει το 0,632 της τιμής σταθερής κατάστασης. Ελέγξτε από το γράφημα ότι αυτή η τιμή (6,32 mA) επιτυγχάνεται μετά t=1 ms. Ελέγξτε το γράφημα που λάβατε με το Σχ. 6.2.

Ρύζι. 6.2. Γράφημα ρεύματος για το κύκλωμα στο Σχ. 6.1

Εάν είστε νέοι στην έννοια της χρονικής σταθεράς, λάβετε ένα γράφημα χρησιμοποιώντας διαφορετικές παραμέτρους για να σας βοηθήσει να κατανοήσετε καλύτερα την έννοια. Αφαιρέστε το γράφημα ρεύματος και λάβετε γραφήματα τριών τάσεων: V(1), (V)2 και V(1,2). Η τάση V(1,2) είναι συντομότερος όρος για τη διαφορά V(1)–V(2). Ρυθμίζοντας την αρχική καθυστέρηση κατά μήκος του άξονα του χρόνου στα 10 ms αντί για 1 ms, μπορούμε να δούμε καλύτερα το αρχικό μέρος της διαδικασίας μετά το κλείσιμο του κλειδιού. Τι αντιπροσωπεύουν οι καμπύλες;

Η εφαρμοζόμενη τάση V(1) ανεβαίνει αμέσως από το μηδέν στο 1 V και η τάση κατά μήκος του επαγωγέα V(2) ξεκινά από 1 V τη στιγμή t=0. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff (που καθιερώνει τη σχέση μεταξύ των τάσεων) για να εξηγήσετε γιατί; Η πτώση τάσης στην αντίσταση V(1, 2) έχει προφανώς ένα γράφημα παρόμοιο με το τρέχον γράφημα, αφού v R=Ri.Οπως πάντα v R +v L =V (V- εφαρμοζόμενη τάση), μετά τα γραφήματα vR(t)Και vL(t)είναι εικόνες καθρέφτη. Τα γραφήματα αυτών των εξαρτήσεων φαίνονται στο Σχ. 6.3.

Ρύζι. 6.3. Γραφήματα τάσης σε στοιχεία κυκλώματος στο Σχ. 6.1

Διαδικασία μετάβασης με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες

Στο διάγραμμα του Σχ. 6.4 έως tΤο κλειδί =0 είναι ανοιχτό. Αφού κλείσει το κλειδί, η διαδικασία μετάβασης ξεκινά με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Για τον υπολογισμό της μεταβατικής διαδικασίας στο PSpice και σε αυτήν την περίπτωση, χρειάζεται να γίνει κάποια προκαταρκτική εργασία.

Ρύζι. 6.4. Σχέδιο με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες

Για παράδειγμα, ας πραγματοποιήσουμε τον υπολογισμό με τις ακόλουθες τιμές των παραμέτρων του στοιχείου: R 1 = 15 Ohm, R=5 Ohm, μεγάλο=0,5 mH και V= 10 V. Πριν κλείσει το κλειδί, το ρεύμα είναι

Μετά το κλείσιμο του κλειδιού, το ρεύμα αυξάνεται εκθετικά, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Με αρχικό ρεύμα 0,5 A, το αρχείο εισόδου μοιάζει με αυτό:

Μεταβατικό με μη μηδενικό αρχικό ρεύμα

V 1 0 PWL(0, 2,5V 1us, 10V 1ms, 10V)

Σημειώστε ότι η εντολή για μεγάλοπεριέχει μια καταχώρηση IC= 0,5 A, με το οποίο ρυθμίζεται η αρχική τιμή του ρεύματος στο πηνίο. Ωστόσο, αυτό δεν αρκεί για να εμφανιστεί σωστά η διαδικασία. Σημειώστε ότι η καταχώρηση για την τάση εξόδου δίνει ένα αρχικό ζεύγος τιμών για PWL 0; 2.5 V. Τι σημαίνει αυτό; Στο ρεύμα Εγώ=0,5 A τάση στην αντίσταση Rανέρχεται σε v R =Ri= 0,5 5 = 2,5 V. Όταν το κλειδί είναι κλειστό, η αντίσταση R 1 εξαιρείται από το κύκλωμα, αλλά δεδομένου ότι το ρεύμα στο κύκλωμα (και η τάση κατά μήκος R) δεν μπορεί να αλλάξει αμέσως, τότε, σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff, η τάση στο πηνίο αλλάζει αμέσως. Ωστόσο, το PSpice σάς επιτρέπει να λαμβάνετε υπόψη μόνο το αρχικό ρεύμα στο πηνίο και η τάση σε αυτό είναι πάντα μηδέν στην αρχή της ανάλυσης. Για να παρέχουμε ρεύμα 0,5 A, πρέπει αρχικά να πάρουμε την τάση στην πηγή ίση με 2,5 V, κάτι που έγινε κατά την περιγραφή της πηγής PWL.

Τώρα μπορεί να γίνει η ανάλυση και να ληφθούν οι τρέχουσες καμπύλες. Βεβαιωθείτε ότι η αρχική τιμή του ρεύματος είναι 0,5 A και η τιμή της σταθερής κατάστασης είναι 2 A. Σε ποια χρονική σταθερά θα φτάσει το ρεύμα στη σταθερή του τιμή; Η συνολική μεταβολή του ρεύματος είναι 1,5 A. Και πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσει η διαφορά 0,632·1,5 = 0,948; Προσθέτοντας αυτήν την τιμή στην αρχική τιμή των 0,5 A, παίρνετε το ρεύμα Εγώ=1,448 A. Ελέγξτε αυτό στο γράφημα χρησιμοποιώντας τον κέρσορα. Ελέγξτε το γράφημά σας με αυτό που φαίνεται στο Σχ. 6.5.

Ρύζι. 6.5. Γράφημα ρεύματος για το κύκλωμα στο Σχ. 6.4

Στον πυκνωτή που φαίνεται στο Σχ. 6.6, όταν το κλειδί είναι κλειστό, εμφανίζεται ένα αρχικό κύμα ρεύματος. Αρχείο εισαγωγής για αυτήν την περίπτωση:

Ρύζι. 6.6. Κλείσιμο του κλειδιού στο κύκλωμα RC

Πραγματοποιήστε την ανάλυση και λάβετε το γράφημα I(R). Ποια είναι η τρέχουσα τιμή όταν ο διακόπτης είναι ανοιχτός; Πώς θα είναι t=τ αν το ρεύμα συνεχίζει να μειώνεται με τον αρχικό ρυθμό αφού γίνει μηδέν; Ελέγξτε το αποτέλεσμά σας με αυτό που φαίνεται στο Σχ. 6.7.

Ρύζι. 6.7. Γράφημα ρεύματος για το κύκλωμα στο Σχ. 6.6

Αφαιρέστε το γράφημα ρεύματος και λάβετε γραφήματα της εφαρμοζόμενης τάσης V(1) και των τάσεων κατά μήκος του πυκνωτή V(2) και κατά μήκος της αντίστασης V(1, 2). Παρατηρήστε την εκθετική αύξηση της τάσης κατά μήκος του πυκνωτή και την εκθετική μείωση της τάσης κατά μήκος της αντίστασης. Αυτή η φύση της αλλαγής τάσης επιβεβαιώνεται από τις καμπύλες στο Σχ. 6.8.

Κυκλώματα με δύο συσκευές αποθήκευσης ενέργειας

Τα κυκλώματα με δύο διαφορετικές συσκευές αποθήκευσης ενέργειας περιέχουν έναν επαγωγέα μεγάλοκαι πυκνωτή ΜΕμαζί με μία ή περισσότερες αντιστάσεις R.Όταν το κύκλωμα περιέχει σειριακά συνδεδεμένο R, LΚαι ΜΕ, υπάρχουν τρεις τύποι μεταβατικών διεργασιών. Με ασθενή απόσβεση, η διαδικασία ονομάζεται ταλαντωτική, με υπερβολική απόσβεση - απεριοδική και με κρίσιμη απόσβεση - κρίσιμη περίπτωση. Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη περίπτωση.

Απεριοδική παροδική διαδικασία σε RLC-αλυσίδες

Στο Σχ. Το σχήμα 6.9 δείχνει ένα κύκλωμα με πηγή τάσης 12 V. Το κλειδί κλείνει όταν t=0, μετά την οποία ξεκινά η διαδικασία μετάβασης. Τιμές παραμέτρων: ΜΕ=1,56 µF, μεγάλο=10 mH και R= 200 Ohm. Αλλαγή της τιμής Rπεραιτέρω παρουσίαση θα μας οδηγήσει σε δύο άλλους τύπους παροδικών διαδικασιών, αλλά για R=200 Ohm, το αποτέλεσμα είναι μια περίπτωση απεριοδικής διεργασίας με υπερβολική εξασθένηση. Σε μια περίοδο 1 ms, το ρεύμα αυξάνεται στο μέγιστο και στη συνέχεια μειώνεται εκθετικά.

Ρύζι. 6.9. Κύκλωμα με δύο συσκευές αποθήκευσης ενέργειας με υπερβολική εξασθένηση

Η μαθηματική ανάλυση αυτού του κυκλώματος δείχνει ότι το ρεύμα είναι το άθροισμα δύο εκθετικών συναρτήσεων, οι οποίες θα πρέπει να είναι ορατές στο γράφημα. Αρχείο εισαγωγής:

Κύκλωμα διπλής ενέργειας, Υπεραπόσβεση

V 1 0 PWL (0,0 1us,12V 10ms,12V)

Κάντε την ανάλυση και μετά λάβετε την γραφική παράσταση I(R). Βεβαιωθείτε ότι το μέγιστο ρεύμα Εγώ=47,4 mA επιτυγχάνεται σε t=125 µs. Το γράφημα για την περίπτωση με υψηλή εξασθένηση φαίνεται στο Σχ. 6.10.

Ρύζι. 6.10. Γράφημα ρεύματος για το κύκλωμα στο Σχ. 6.9

Είναι επίσης ενδιαφέρον να δούμε πώς αλλάζουν οι τάσεις στα εξαρτήματα του κυκλώματος. Αφαιρέστε το τρέχον γράφημα και λαμβάνετε γραφήματα V(1), V(3), V(2,3) και V(1,2). Οι αντίστοιχοι κόμβοι φαίνονται στο διάγραμμα στο Σχ. 6.9. Βεβαιωθείτε ότι η τάση στην αντίσταση φτάνει στο μέγιστο v R=9,46 V τη στιγμή t=125 μs, και η τάση στο πηνίο τη στιγμή που ο διακόπτης είναι κλειστός αυξάνεται απότομα - σχεδόν στο vL=11,8 V, στη συνέχεια πέφτει στο μηδέν και φτάνει στο ελάχιστο vL=-1,201 V σε t=226 µs. Αυτά τα γραφήματα φαίνονται στο Σχ. 6.11.

Ρύζι. 6.11. Χρονικά διαγράμματα τάσεων στα στοιχεία του κυκλώματος στο Σχ. 6.9

Κρίσιμη διαδικασία μετάβασης σε RLC-αλυσίδες

Ας στραφούμε ξανά στο διάγραμμα στο Σχ. 6.9. Η ανάλυση δείχνει ότι σε κρίσιμη απόσβεση

Αν αφήσεις τις τιμές μεγάλοΚαι ΜΕτο ίδιο, τότε πληρούται η προϋπόθεση του κρίσιμου καθεστώτος στο R=160 Ohm. Για να δείτε τα αποτελέσματα, απλώς αλλάξτε την τιμή Rστο αρχείο εισόδου και εκτελέστε ξανά την ανάλυση.

Βεβαιωθείτε ότι το ρεύμα φτάνει τη μέγιστη τιμή Εγώ=55,36 mA σε Εγώ=125 µs. Αφαιρέστε το διάγραμμα ρεύματος και λάβετε γραφήματα διαφορετικών τάσεων όπως στην προηγούμενη ανάλυση. Αυτές οι καμπύλες θα έχουν την ίδια εμφάνιση όπως στην απεριοδική διαδικασία (Εικ. 6.12).

Ρύζι. 6.12. Γραφήματα τάσης στο κύκλωμα (Εικ. 6.9) σε κρίσιμη εξασθένηση

Ταλαντωτική διαδικασία σε RLC-κυκλώματα με χαμηλή εξασθένηση

Για να μελετήσουμε τη διαδικασία με ασθενή εξασθένηση, μειώνουμε την αντίσταση σε τιμή μικρότερη από την κρίσιμη (160 Ohms). Ας κάνουμε την ανάλυση πότε R= 60 Ohm. Ας αλλάξουμε την τιμή Rστο αρχείο εισόδου και εξετάστε το τρέχον γράφημα I(R). Βεβαιωθείτε ότι το ρεύμα φτάνει στο μέγιστο Εγώ=92,7 mA σε t=111 µs και γίνεται πρώτα αρνητικό και μετά πάλι θετικό. Αυτή η ταλαντωτική φύση της διεργασίας είναι χαρακτηριστική για την περίπτωση ασθενούς απόσβεσης. Στο Σχ. Το σχήμα 6.13 δείχνει ένα γράφημα του ρεύματος κατά τη διάρκεια μιας ταλαντωτικής διαδικασίας. Μπορείτε να προσπαθήσετε να αναλύσετε τη διαδικασία σε χαμηλότερες τιμές αντίστασης και να μάθετε την επίδραση της αντίστασης στην παροδική διαδικασία. Θα το βρείτε για μικρότερες τιμές Rη περίοδος ταλάντωσης αυξάνεται.

Ρύζι. 6.13. Γράφημα ρεύματος στο κύκλωμα (Εικ. 6.9) σε χαμηλή εξασθένηση

Τώρα αφαιρέστε το γράφημα ρεύματος και λάβετε τα γραφήματα τάσης V(1), V(3), V(2,3) και V(1,2). Αυτά τα γραφήματα φαίνονται στο Σχ. 6.14. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι η μέγιστη τάση κατά μήκος του πυκνωτή είναι υψηλότερη από την εφαρμοζόμενη τάση των 12 V και επιτυγχάνεται τη στιγμή της ελάχιστης τάσης κατά μήκος του επαγωγέα. Παρατηρώντας τη διαδικασία σε άλλες τιμές R,μπορείτε να δείτε διάφορες επιλογές για την αλληλεπίδραση των στοιχείων τάσης, ενώ, φυσικά, τηρείται πάντα ο δεύτερος νόμος του Kirchhoff.

Ρύζι. 6.14. Γραφήματα τάσης για λειτουργία χαμηλής εξασθένησης

Απόκριση στα εφέ βημάτων σε ενισχυτές

Ας προσδιορίσουμε πόσο παρόμοιο είναι το σχήμα της τάσης εξόδου με το σχήμα της τάσης εισόδου όταν εφαρμόζεται ένα βήμα τάσης στον ενισχυτή. Θα θεωρήσουμε τον ενισχυτή ως ένα χαμηλοπερατό φίλτρο, το κύκλωμα του οποίου φαίνεται στο Σχ. 6.15.

Ρύζι. 6.15. Εφαρμογή βήματος τάσης εισόδου σε χαμηλοπερατό φίλτρο

Η τάση εξόδου αλλάζει εκθετικά στην άκρη και την ουρά του παλμού. Στο μπροστινό μέρος, η τάση εξόδου αλλάζει σύμφωνα με τον τύπο

v o = V(1 – e –t/RC).

Ώρα ανόδου t rδείχνει πόσο γρήγορα η τάση εξόδου μπορεί να φτάσει στο μέγιστο σε απόκριση σε ένα βήμα στην τάση εισόδου. Επειδή η

χρόνος ανόδου

Για να αποφύγετε περιττές παραμορφώσεις, προτείνουμε να επιλέξετε fH=1/tp, Οπου tp- πλάτος παλμού. Αυτό σημαίνει ότι t r = 0,35tp.

Για να εμφανίσετε αυτές τις ιδιότητες όταν fH=20 kHz, επιλέξτε τις ακόλουθες παραμέτρους του μοντέλου φίλτρου χαμηλής διέλευσης: R=10 kOhm, ΜΕ=796 pF. Από τις εξισώσεις που βρίσκουμε tp=50 µs και t r=17,5 µs. Μάθετε πόσο κοντινές είναι αυτές οι τιμές με αυτές που λαμβάνονται από την ανάλυση PSpice. Αρχείο εισαγωγής:

V 1 0 PWL(0,0 0,5 us, 1V 50us, 1V 50,5us,0)

Εκτελέστε την ανάλυση και λάβετε γραφήματα των τάσεων εισόδου v(1) και εξόδου v(2) στο Probe. Ελέγξτε το γράφημα της τάσης εξόδου για να δείτε αν t 0,1 = 1,1 µs και t 0,9 = 18,6 µs. Αντιπροσωπεύουν τους χρόνους που η τάση εξόδου είναι 0,1 και 0,9 της μέγιστης τιμής. Η διαφορά μεταξύ τους είναι ένας χρόνος ανόδου ίσος με tr = 17,5 μs, ο οποίος είναι συνεπής με τα αποτελέσματα των προκαταρκτικών υπολογισμών μας. Αυτό το γράφημα φαίνεται στο Σχ. 6.16.

Ρύζι. 6.16. Τάσεις εισόδου και εξόδου για το κύκλωμα στο Σχ. 6.15

Τι θα συμβεί αν διπλασιάσουμε τη χωρητικότητα από το συνιστώμενο μέγιστο; Εκτελέστε ανάλυση με νέα τιμή ΜΕ=1,592 nF. Βεβαιωθείτε ότι η τάση εξόδου δεν φτάνει το 1V και είναι επίσης πιο παραμορφωμένη.

Το σήμα μεταδίδεται πολύ καλύτερα όταν η χωρητικότητα είναι μικρότερη από τη συνιστώμενη τιμή. Εκτελέστε ανάλυση στο ΜΕ=398 pF. Θα δείτε ότι σε αυτή την περίπτωση η τάση εξόδου αναπαράγει την τάση εισόδου τετραγωνικού κύματος με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια.

Απόκριση σε επιρροή χαμηλής συχνότητας στους ενισχυτές

Σε χαμηλή συχνότητα και, κατά συνέπεια, μεγάλη διάρκεια παλμών εισόδου, ο ενισχυτής αντικαθίσταται από ένα φίλτρο υψηλής διέλευσης (Εικ. 6.17) για την προσομοίωση της απόκρισης χαμηλής συχνότητας του ενισχυτή. Εξίσωση για την τάση εξόδου:

v o = Ve -t|RC.

Ρύζι. 6.17. Κύκλωμα για τη μελέτη της απόκρισης χαμηλής συχνότητας

Όταν η χρονική σταθερά τ= R.C.πολύ χαμηλή, η τάση εξόδου έχει ανεπιθύμητη πτώση. Γιατί η αξία Rκαθορίζεται από την σύνθετη αντίσταση εισόδου της βαθμίδας του ενισχυτή και δεν μπορεί να αλλάξει, η τιμή ΜΕπρέπει να επιλεγεί αρκετά μεγάλο για να αποφευχθεί η υπερβολική κλίση. Ας επιλέξουμε, για παράδειγμα, R= 1,59 Ohm και ΜΕ= 10 µF και χρησιμοποιήστε μια τάση τετραγωνικού κύματος με συχνότητα 50 Hz ως είσοδο. Αρχείο εισόδου για αυτήν την ανάλυση:

Tilt of Square Wave για απόκριση χαμηλής συχνότητας

V 1 0 PWL(0.0 1us, 1V 10ms, 1V 10.001ms,-12V 20ms,-1V

Εκτελέστε την ανάλυση και, στη συνέχεια, λάβετε τα διαγράμματα των v(1) και v(2). Βρείτε την κλίση της τάσης εξόδου συγκρίνοντας τις τιμές στο μπροστινό και το πτωτικό άκρο του παλμού. Ελέγξτε ότι αυτές οι τιμές είναι αντίστοιχα 1 και 0,533 V, δημιουργώντας πτώση 46,7%. Συχνά είναι επιθυμητό η μείωση να μην υπερβαίνει το 10%. Προφανώς, για αυτό είναι απαραίτητο να αυξηθεί η τιμή χωρητικότητας. Ορισμός τιμής ΜΕ=50 µF και εκτελέστε ξανά την ανάλυση. Ελέγξτε ότι η πτώση δεν είναι μικρότερη από 12%. Αυτό το γράφημα φαίνεται στο Σχ. 6.18.

Ρύζι. 6.18. Τάση εισόδου και εξόδου για μελέτη απόκρισης χαμηλής συχνότητας

Στο εργαστήριο, η αντίδραση θα παρατηρηθεί χρησιμοποιώντας έναν παλμογράφο συνδεδεμένο στην έξοδο του ενισχυτή όταν εφαρμόζεται τετράγωνη τάση της κατάλληλης συχνότητας στην είσοδό του.

Κυκλώματα φόρτισης πυκνωτών

Σχέδιο στο Σχ. Το 6.19 περιέχει έναν πυκνωτή στον έναν κλάδο και έναν επαγωγέα στον άλλο. Μια πηγή τάσης συνδέεται για τη φόρτιση του πυκνωτή και στη συνέχεια βραχυκυκλώνεται.

Ρύζι. 6.19. Κύκλωμα με επαγωγικούς και χωρητικούς κλάδους

Πριν πραγματοποιήσετε μια ανάλυση στο PSpice, είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε τις αρχικές τάσεις και τα ρεύματα στα οποία θα πραγματοποιηθεί. Στην εντολή περιγραφής για v sυποδεικνύεται ότι η εφαρμοζόμενη τάση είναι σταθερή και ίση με 6 V στο t< 0. Σε ένα ισοδύναμο κύκλωμα για εξαρτήματα συνεχούς ρεύματος, ο πυκνωτής αντιπροσωπεύει ένα ανοιχτό κύκλωμα και ο επαγωγέας αντιπροσωπεύει ένα βραχυκύκλωμα. Το ρεύμα από μια πηγή 6 V είναι 6 V/3 Ohm = 2 A και η τάση κόμβου 1 ισούται με 4 V και αντιπροσωπεύει την τάση κατά μήκος του πυκνωτή στο t=0. Διέρχεται ρεύμα 2 Α R 1 , R 2, και μεγάλο. Στο t=0 εφαρμοζόμενη τάση v s = 0 V και το κύκλωμα παίρνει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 6.20. Αυτό το κύκλωμα αναλύεται στο PSpice. Το αρχείο εισόδου σε αυτήν την περίπτωση

Ρύζι. 6.20. Ισοδύναμο κύκλωμα για ροπή t = 0

Το αρχείο εισόδου περιέχει την εντολή εισαγωγής πυκνωτή ΜΕτιμή IC=4 V, η οποία ορίζει την αρχική τάση στον πυκνωτή. στην εντολή εισαγωγής μεγάλουπάρχει μια καταχώρηση IC = 2 A, η οποία ορίζει το αρχικό ρεύμα ΜΕΓΑΛΟ.Σημειώστε ότι μόνο η αρχική τάση μπορεί να καθοριστεί για τον πυκνωτή και μόνο το αρχικό ρεύμα για τον επαγωγέα. Στην ομάδα .ΤΡΑΝκαταχώρηση προστέθηκε UIC, πράγμα που σημαίνει ότι η μεταβατική ανάλυση πρέπει να ξεκινά από ορισμένες αρχικές τιμές.

Εκτελέστε την ανάλυση και λάβετε γραφήματα της τάσης κατά μήκος του πυκνωτή και του επαγωγέα. Βεβαιωθείτε ότι όταν t=0,5 s, vc(0,5 s)=–0,860 V και vL(0,5 s) = -3,49 V. Τα γραφήματα φαίνονται στο Σχ. 6.21.

Ρύζι. 6.21. Γραφήματα τάσης στον πυκνωτή και το πηνίο στο κύκλωμα στο Σχ. 6.20

Ως πρόσθετη άσκηση, λάβετε γραφήματα των ρευμάτων πυκνωτή και πηνίου. Σιγουρέψου ότι iC(0)=–6 Α. Αφού R 1 = 1 Ohm και R 2 =2 Ohm, πρέπει να περάσουμε το αρχικό ρεύμα R 1 διπλάσιο από το ρεύμα R 2. Ας ορίσουμε το αρχικό ρεύμα στα 4 A έως R 1 και ρεύμα 2 Α έως R 2. Σχεδιάστε ένα διάγραμμα και δείξτε τις κατευθύνσεις των ρευμάτων σε διάφορους κλάδους. Αφού λάβετε τα τρέχοντα γραφήματα, βεβαιωθείτε ότι πότε t=0,5 δευτ t γ(0,5s)=–0,457 και εγώ Λ(0,5s)=1,316 A. Λάβετε υπόψη ότι εάν εμφανίζονται δύο καμπύλες στο ίδιο γράφημα, μπορείτε να ρυθμίσετε τον κέρσορα να κινείται κατά μήκος μιας από αυτές επιλέγοντας Δρομέαςκαι μετά κάνοντας κλικ στον δείκτη της επιλεγμένης καμπύλης. Για παράδειγμα, μπορείτε να κάνετε κλικ στο εικονίδιο μπροστά από το v(2) κάτω από τον άξονα Χγια να επιλέξετε τη δεύτερη καμπύλη.

Πριν βγείτε από το Probe, λάβετε γραφήματα των ρευμάτων και των δύο αντιστάσεων. Βεβαιωθείτε ότι όταν t= 0 Εγώ R1 (0)=–4 A και Εγώ R2 (0)=2 A. Εξετάστε τις κατευθύνσεις των ρευμάτων στο Σχ. 6.20 για να προσδιορίσετε τα πρόσημά τους (θετικά και αρνητικά). Γραφήματα τάσης σε στοιχεία κυκλώματος στο Σχ. 6.20 φαίνονται στο Σχ. 6.21.

Το LC κυκλώνει όταν ανοίγει το κλειδί

Ένα άλλο κύκλωμα στο οποίο η πηγή τάσης αφαιρείται από το κύκλωμα όταν t=0, φαίνεται στο Σχ. 6.22. Πριν πραγματοποιήσουμε την ανάλυση στο PSpice, θα βρούμε τις αρχικές συνθήκες. Διαθέσιμη τάση DC V s = 6 V που εφαρμόζονται στο κύκλωμα στο t<0. При этом условии схемой замещения является параллельное соединение R 1 και R 2. Κατά τη διαίρεση του ρεύματος μεταξύ των κλάδων, λαμβάνονται οι τρέχουσες τιμές Εγώ R1 =3 A και Εγώ R2 =2 A. Το τελευταίο ρεύμα περνά και από το πηνίο ΜΕΓΑΛΟ.Τρέχοντας μέσω RΤο 2 δημιουργεί μια τάση σε αυτήν την αντίσταση:

V(1,2) = R 2 Εγώ R2 = 3 Ohm · 2 A = 6 V.

Ρύζι. 6.22. Κύκλωμα με κλειδί που ανοίγει όταν t = 0

Αυτή είναι η αρχική τάση στον πυκνωτή. Σημειώστε την πολικότητα αυτής της τάσης και την κατεύθυνση του αρχικού ρεύματος του επαγωγέα. Το ισοδύναμο κύκλωμα, λαμβάνοντας υπόψη τις αρχικές συνθήκες, που προκύπτουν μετά το κλείσιμο του κλειδιού, φαίνεται στο Σχ. 6.23. Στη συνέχεια, το αρχείο εισόδου παίρνει τη μορφή:

Κύκλωμα διακόπτη ανοίγματος με L, C

Ρύζι. 6.23. Ισοδύναμο κύκλωμα μετά το άνοιγμα του κλειδιού

Κάντε μια ανάλυση και βεβαιωθείτε ότι πότε t=0, με ανοιχτό διακόπτη vc(0) = 6 V και εγώ Λ(B) = 2 A σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες που έχουν καταγραφεί στο αρχείο εισόδου. Αφού έχετε το γράφημα του v(2), ελέγξτε και αυτό vL(0)=-10Β και εγώ Λ(0)=0.

Πώς μπορείτε να προσδιορίσετε vL(0) μετά το άνοιγμα του διακόπτη χρησιμοποιώντας απλή ανάλυση κυκλώματος; Δεδομένου ότι το ρεύμα μέσω του επαγωγέα τη στιγμή της μεταγωγής είναι σταθερό, το ρεύμα διέρχεται RΤο 1 γίνεται αμέσως ίσο με 2 Α (κατευθυνόμενο προς τα πάνω, προς τον κόμβο 1 ), αν και πριν ανοίξει το κλειδί είναι ίσο με 3 A και κατευθύνεται από τον κόμβο 1 (κάτω). Ένα ρεύμα 2 Α δημιουργεί πτώση τάσης 4 V με την πολικότητα που φαίνεται στο Σχ. 6.23. Εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Kirchhoff σε ένα περίγραμμα που περιέχει R 1 , Γ και Λ,δίνει vL(0)=-10 V, επιβεβαιώνοντας τα αποτελέσματα που ελήφθησαν στο PSpice. Στο Σχ. Το σχήμα 6.24 δείχνει την τάση v(1, 2), η οποία είναι η τάση κατά μήκος του πυκνωτή vc.

Ρύζι. 6.24. Γράφημα τάσης για το R 2 στο κύκλωμα στο Σχ. 6.23

Πριν βγείτε από το πρόγραμμα Probe, βεβαιωθείτε ότι τα ρεύματα και οι τάσεις αυτή τη στιγμή t=2 s έχουν τις ακόλουθες έννοιες:

vc(2 s) = 5,2778 V;

vL(2 s) = –3,94 V;

i γ(2 s) = –2,428 A;

εγώ Λ(2 s) = –0,675 A.

Τα ρεύματα φαίνονται στο Σχ. 6.25.

Ρύζι. 6.25. Γραφήματα ρευμάτων στους κλάδους του κυκλώματος στο Σχ. 6.23

Στο Σχ. Το σχήμα 6.26 δείχνει ένα κύκλωμα με πηγή ρεύματος που παρέχει μια τιμή σταθερής κατάστασης στο AC όταν t<0. В момент t=0, το ρεύμα γίνεται ίσο με 0. Πριν προχωρήσουμε στην ανάλυση στο PSpice, προσδιορίζουμε τις αρχικές συνθήκες για μεγάλοΚαι ΜΕ. Μέχρι στιγμής t=0 ρεύμα μέσω R=3 A, ενώ το ρεύμα μέσω του άλλου κλάδου είναι μηδέν, αφού ο πυκνωτής ΜΕείναι μια ασυνέχεια για συνεχές ρεύμα. Ετσι εγώ Λ(0)=0. Πτώση τάσης ανά Rείναι 2×3 = 6 V, με την πολικότητα που φαίνεται στο Σχ. 6.27. Δεδομένου ότι σε σταθερό ρεύμα η τάση στο μεγάλοίση με μηδέν, τάση vc(0)=6 V. Οι πληροφορίες που παρέχονται είναι επαρκείς για την εκτέλεση της ανάλυσης στο PSpice. Αρχείο εισαγωγής:

Αρχικές συνθήκες από την τρέχουσα πηγή

Ρύζι. 6.26. Κύκλωμα με πηγή ρεύματος

Ρύζι. 6.27. Ισοδύναμο κύκλωμα για ροπή t = 0

Εκτελέστε την ανάλυση και λάβετε γραφήματα των τάσεων κατά μήκος της αντίστασης και του πυκνωτή. Ελέγξτε τις αρχικές συνθήκες και για τις δύο τάσεις. Ως άσκηση, βεβαιωθείτε ότι για τη στιγμή t 1 =4 s τάση vc(t 1)=4,2095 V και v R(t 1)=4,5476 V. Μπορείτε να πείτε ποια θα είναι η τάση vL(t 1), μη λήψη γραφήματος τάσης vL?

Χρησιμοποιήστε τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff για να βρείτε αυτήν την τιμή. Οι τάσεις κατά μήκος της αντίστασης και του πυκνωτή φαίνονται στο Σχ. 6.28. Τώρα πάρτε το γράφημα iC(t). Παρατηρήστε ότι αυτό το ρεύμα αυξάνεται από τη μηδενική αρχική τιμή στην τιμή του ρεύματος στο πηνίο. Σιγουρέψου ότι iC(4 s) = –2,2738 A. Αυτό το ρεύμα διαρρέει κάθε στοιχείο αριστερόστροφα. Βεβαιωθείτε επίσης ότι το μέγιστο (modulo) ρεύμα i max =-2.313 επιτυγχάνεται σε t= 3,48 δ.

Κυκλώματα γεφύρωσης με μη μηδενικό αρχικό ρεύμα

Στο διάγραμμα στο Σχ. 6.29 το κλειδί ανοίγει όταν t=0. Το ισοδύναμο κύκλωμα πριν από το άνοιγμα φαίνεται στο Σχ. 6.30. Σε αυτό, το πηνίο του επαγωγέα αντικαθίσταται από βραχυκύκλωμα, ενώ η τάση είναι R 1 και RΤο 3 ισούται με 6 V, το οποίο έχει ως αποτέλεσμα να περνάει ρεύμα 2 Α R 1 και ρεύμα των 3 A μέσω R 3. Εφόσον δεν υπάρχει ρεύμα στο πόδι του πυκνωτή, το ρεύμα στον επαγωγέα πρέπει επίσης να είναι ίσο με 3 A. Εφόσον η τάση V(1,3) είναι μηδέν, τότε vcισούται με μηδέν. Αυτές οι πληροφορίες μας επιτρέπουν να ορίσουμε τις αρχικές συνθήκες για ανάλυση στο PSpice, με αποτέλεσμα το ακόλουθο αρχείο εισόδου:

Άνοιγμα διακόπτη στο κύκλωμα γέφυρας

Ρύζι. 6.29. Κύκλωμα με το κλειδί ανοιχτό αυτή τη στιγμή t = 0

Ρύζι. 6.30. Ισοδύναμο κύκλωμα για τη στιγμή ανοίγματος του κλειδιού ( t < 0)

Αναλύστε και ελέγξτε τα ακόλουθα: iC(0)=–2,5 A, i L ( 0)=3 Α, Εγώ R3 (0)=0,5 A, v 12 (0)=–2,5 V, v 23 (0)=0 και v 13 (0)=–2,5 V (εδώ v 12 (0) σημαίνει v(1, 2) στο t= 0). Τα τρέχοντα γραφήματα φαίνονται στο Σχ. 6.31, και τα γραφήματα τάσης είναι στο Σχ. 6.32.

Ρύζι. 6.31. Γραφήματα ρεύματος στο κύκλωμα στο Σχ. 6.29

Ρύζι. 6.32. Γραφήματα τάσης στο κύκλωμα στο Σχ. 6.29

Ως άσκηση, καθορίστε iCστο t=0, χρησιμοποιώντας τον δεύτερο νόμο του Kirchhoff για ένα περίγραμμα που περιέχει R 1 , R 2 , R 3 και ΜΕ.

Κύκλωμα κουδουνίσματος

Ας προσδιορίσουμε την απόκριση σε μια ορθογώνια τάση εισόδου του κυκλώματος που φαίνεται στο Σχ. 6.33. Η τάση εισόδου αλλάζει απότομα από 0 σε 1 V, τότε αυτή τη στιγμή t=2 ms μειώνεται κατά 2 V, φτάνοντας σε τιμή -1 V, στη συνέχεια, κάθε φορά t=4 ms και πάλι αλλάζει απότομα σε 1 V. Η εργασία είναι. για να προσδιορίσετε με ακρίβεια την τάση R Lαναπαράγει την τάση τετραγωνικού κύματος εισόδου. Αρχείο εισαγωγής:

έναντι 1 0 PWL (0s, 0V 0,01ms, 1V 2ms, 1V 2,01ms, -1V 4ms, -1V 4,01ms, 1V)

Ρύζι. 6.33. Κύκλωμα κουδουνίσματος

Η γραφική παράσταση του V(3) που λήφθηκε στο Probe φαίνεται στο Σχ. 6.34. Μπορείτε επίσης να πάρετε ένα γράφημα V Sγια να δείτε τη διαφορά στα δύο γραφήματα. Πριν βγείτε από το Probe, αφαιρέστε τα διαγράμματα τάσης και λάβετε γραφήματα για καθένα από τα ρεύματα. Αν σε ενδιαφέρει, πάρε και το I(C). Τα τρέχοντα γραφήματα θα πρέπει να σας δώσουν μια καλύτερη κατανόηση των διαδικασιών στο κύκλωμα. Εκτελέστε ξανά την ανάλυση, μειώνοντας τη χωρητικότητα κατά μια τάξη μεγέθους ΜΕκαι συγκρίνετε τα αποτελέσματα.

Ρύζι. 6.34. Γραφήματα τάσης εξόδου σε κύκλωμα κουδουνίσματος

Καθήκοντα

6.1. Παράμετροι των στοιχείων του κυκλώματος που φαίνονται στο Σχ. 6.35: V= 10 Β, R 1 =R=1 kOhm και από C= 200 µF. Λάβετε το πρόγραμμα vc(t)στο διάστημα από τη στιγμή που ανοίγει το κλειδί μέχρι να μηδενιστεί η τάση στον πυκνωτή. Πραγματοποιήστε την απαραίτητη ανάλυση στο PSpice και λάβετε ένα γράφημα στο Probe vc.

Ρύζι. 6.35

6.2. Παράμετροι στοιχείων για το κύκλωμα στο Σχ. 6.36: V=10 V, R 1 =R=100 Ohm και μεγάλο=2 Γν. Λάβετε το πρόγραμμα vL(t)για το διάστημα από τη στιγμή που ανοίγει το κλειδί έως ότου η τάση στο πηνίο πέσει στο μηδέν. Εκτελέστε ανάλυση στο PSpice και λάβετε ένα γράφημα στο Probe vL.

Ρύζι. 6.36

6.3. Παράμετροι στοιχείων για ένα κύκλωμα με δύο διαφορετικές συσκευές αποθήκευσης ενέργειας που φαίνονται στο Σχ. 6.37: V= 20 V, R=100 Ohm, μεγάλο=20 mH και C= 2 μF. Λάβετε τη χρονική εξάρτηση του ρεύματος μετά το άνοιγμα του διακόπτη. Γιατί η αξία Rσε αυτό το σχήμα αντιστοιχεί σε ασθενή εξασθένηση, το γράφημα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον μία πλήρη περίοδο ταλάντωσης.

Ρύζι. 6.37

6.4. α) Αυξήστε την τιμή Rστο Πρόβλημα 6.3 για να δημιουργήσετε κρίσιμη απόσβεση και να λάβετε γραφήματα των ρευμάτων και των στοιχείων τάσης. Βρείτε τα μέγιστα θετικά και αρνητικά ρεύματα.

β) Ρύθμιση της τιμής R= 250 Ohm, επαναλάβετε την προηγούμενη εργασία α). Βρείτε τις μέγιστες θετικές και αρνητικές τιμές όλων των στοιχείων τάσης.

6.5. Σε υψηλές συχνότητες, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η χωρητικότητα στην έξοδο του ενισχυτή τάσης. Στο Σχ. 6,38 χωρητικότητα εξόδου είναι ΜΕ=1 nF και R= 10 kOhm. Με εύρος εφαρμοζόμενης τάσης 1 V και t p =Η τάση εξόδου των 100 µs θα πρέπει να είναι ένα αρκετά κοντινό αντίγραφο του παλμού εισόδου.

α) Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο που περιγράφεται στην ενότητα «Απόκριση μονής κρούσης σε ενισχυτές» για να προσδιορίσετε το μοτίβο της τάσης εξόδου. Χρησιμοποιήστε το Probe για να μάθετε εάν ο παλμός της τάσης εξόδου στον πυκνωτή C είναι αρκετά κοντινό αντίγραφο του παλμού εισόδου.

β) Εάν θέλετε ένα πιο ακριβές αντίγραφο της τάσης εισόδου, δοκιμάστε να αλλάξετε την τιμή tpκαι εκτελέστε ξανά την ανάλυση. Ποιες είναι οι έννοιες t Hγια τα σημεία α) και β) της εργασίας;

Ρύζι. 6.38

6.6. Κατά τη συζήτηση της απόκρισης χαμηλής συχνότητας ενισχυτή σε αυτό το κεφάλαιο, διαπιστώσαμε ότι είναι γενικά επιθυμητό η πτώση τάσης στο τέλος ενός παλμού να μην υπερβαίνει το 10%. Κατά προσέγγιση τύπος για τον προσδιορισμό της ύφεσης:

Οπου t L=1/(2π R.C.), ΕΝΑ φά- συχνότητα ορθογώνιας τάσης. Χρησιμοποιήστε την τεχνική που περιγράφεται στο κείμενο για να βρείτε τα ακόλουθα όταν εκτεθείτε σε τάση τετραγωνικού κύματος 60 Hz:

α) σχετική πτώση της τάσης εξόδου στο R= 1,59 Ohm και ΜΕ=10 μF;

β) αξία ΜΕτι απαιτείται για να δημιουργηθεί μια σχετική πτώση της τάξης του 10% περίπου;

Ελέγξτε τις απαντήσεις σας χρησιμοποιώντας το γράφημα που παρέχεται στο Probe.

Οι μεταβατικές διεργασίες στο κύκλωμα R, L, C περιγράφονται από μια διαφορική εξίσωση 2ης τάξης. Οι συνιστώσες σταθερής κατάστασης των ρευμάτων και των τάσεων προσδιορίζονται από τον τύπο της πηγής ενέργειας και προσδιορίζονται με γνωστές μεθόδους για τον υπολογισμό των συνθηκών σταθερής κατάστασης. Τα ελεύθερα συστατικά έχουν μεγαλύτερο θεωρητικό ενδιαφέρον, καθώς η φύση της ελεύθερης διαδικασίας αποδεικνύεται ότι είναι σημαντικά διαφορετική ανάλογα με το αν οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές ή σύνθετες συζυγείς.

Ας αναλύσουμε τη μεταβατική διαδικασία στο κύκλωμα R, L, C όταν είναι συνδεδεμένο σε μια πηγή σταθερού EMF (Εικ. 70.1).

Γενική μορφή της λύσης για το ρεύμα: i(t)=iy(t)+iсв(t)=Iy+A1ep2t+A2ep2t

Συνιστώσα σταθερής κατάστασης: Iy=0

Χαρακτηριστική εξίσωση και οι ρίζες της:

Διαφορική εξίσωση:

Ανεξάρτητες αρχικές συνθήκες: i(0)=0; uc(0)=0.

Εξαρτημένη αρχική κατάσταση:

Οι σταθερές ολοκλήρωσης προσδιορίζονται από την ταυτόχρονη λύση του συστήματος εξισώσεων:

Τελική λύση για το ρεύμα:

Ας μελετήσουμε τη μορφή της συνάρτησης i(t) για διαφορετικές τιμές των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης.

α) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και όχι ίσες μεταξύ τους.

Αυτή είναι η περίπτωση που προβλέπεται:

Καθώς το t αλλάζει από 0 σε ∞, οι επιμέρους συναρτήσεις ep1t και ep2t μειώνονται εκθετικά από 1 σε 0, και η δεύτερη από αυτές μειώνεται ταχύτερα, ενώ η διαφορά τους ep1t - ep2t ≥ 0. Από αυτό προκύπτει ότι η επιθυμητή συνάρτηση ροής i(t ) στα ακραία σημεία στο t = 0 και στο t = ∞ είναι ίσο με μηδέν, και στο χρονικό διάστημα 0< t < ∞ - всегда положительна, достигая при некотором значении времени tm своего максимального значения Imax. Найдем этот момент времени:

Ένα γραφικό διάγραμμα της συνάρτησης i(t) για την περίπτωση πραγματικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης φαίνεται στο Σχ. 70.2.

Η διάρκεια της διαδικασίας μετάβασης σε αυτή την περίπτωση καθορίζεται από τη μικρότερη ρίζα: Tп=4/|pmin|.

Η φύση της διαδικασίας μετάβασης με πραγματικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ονομάζεται απόσβεση ή απεριοδική.

β) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι μιγαδικές συζυγείς.

Αυτό συμβαίνει όταν οι παράμετροι είναι:

συντελεστής εξασθένησης:

γωνιακή συχνότητα φυσικών δονήσεων:

Η λύση για την αρχική συνάρτηση μπορεί να μετατραπεί σε άλλη μορφή:

Έτσι, στην περίπτωση μιγαδικών συζυγών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης, η επιθυμητή συνάρτηση i(t) μεταβάλλεται χρονικά σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο Imsinω0t με απόσβεση του πλάτους Im(t)=A·e-bt. Ένα γραφικό διάγραμμα της συνάρτησης φαίνεται στο Σχ. 70.3.

Η περίοδος ταλάντωσης είναι T0=2π/ω0, η διάρκεια της διαδικασίας μετάβασης καθορίζεται από τον συντελεστή εξασθένησης: Tπ=4/b.

Η φύση της διαδικασίας μετάβασης με σύνθετες συζυγείς ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ονομάζεται ταλαντωτική ή περιοδική.

Στην περίπτωση σύνθετων συζυγών ριζών, χρησιμοποιείται μια συγκεκριμένη μορφή για τον προσδιορισμό του ελεύθερου συστατικού:

όπου οι συντελεστές Α και ψ ή Β και Γ είναι νέες σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες προσδιορίζονται μέσω των αρχικών συνθηκών για την επιθυμητή συνάρτηση.

γ) Οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πραγματικές και ίσες μεταξύ τους.

Αυτή είναι η περίπτωση που προβλέπεται:

Η προηγουμένως ληφθείσα λύση για την επιθυμητή συνάρτηση i(t) σε αυτή την περίπτωση γίνεται αβέβαιη, αφού ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος γίνονται μηδέν. Ας αποκαλύψουμε αυτή την αβεβαιότητα χρησιμοποιώντας τον κανόνα του L'Hopital, λαμβάνοντας υπόψη p2=p=const και p1=var, που τείνει στο p. Τότε παίρνουμε:

Η φύση της διαδικασίας μετάβασης με ίσες ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης ονομάζεται κρίσιμη. Η κρίσιμη φύση της διαδικασίας μετάβασης είναι οριακή μεταξύ αποσβεσμένης και ταλαντευόμενης και η μορφή δεν διαφέρει από την απόσβεση. Διάρκεια της διαδικασίας μετάβασης Tп=4/p. Όταν αλλάζετε μόνο την αντίσταση της αντίστασης R=var=0…∞, η απόσβεση της μεταβατικής διαδικασίας αντιστοιχεί στο εύρος τιμών Rvar (Rkp< Rvar < ∞), колебательный характер - также области значений (0 < Rvar < Rkp), а критический характер – одной точке Rvar = Rкр. Поэтому на практике случай равных корней характеристического уравнения встречается крайне редко.

Στην περίπτωση ίσων ριζών, χρησιμοποιείται μια συγκεκριμένη μορφή για τον προσδιορισμό του ελεύθερου συστατικού:

όπου οι συντελεστές Α1 και Α2 είναι νέες σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες προσδιορίζονται μέσω των αρχικών συνθηκών για την επιθυμητή συνάρτηση.

Ο κρίσιμος τρόπος της διαδικασίας μετάβασης χαρακτηρίζεται από το γεγονός ότι η διάρκειά της είναι ελάχιστη. Αυτή η ιδιότητα χρησιμοποιείται στην ηλεκτρική μηχανική.