Μια εκφραστική γεωμετρική αναπαράσταση του συστήματος των ρητών αριθμών μπορεί να ληφθεί ως εξής.
Σε μια συγκεκριμένη ευθεία, τον «αριθμητικό άξονα», σημειώνουμε το τμήμα από το Ο έως το 1 (Εικ. 8). Αυτό ορίζει το μήκος ενός τμήματος μονάδας, το οποίο, σε γενικές γραμμές, μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα. Στη συνέχεια, οι θετικοί και οι αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί αντιπροσωπεύονται από ένα σύνολο σημείων σε ίση απόσταση στον αριθμητικό άξονα, δηλαδή οι θετικοί αριθμοί σημειώνονται στα δεξιά και οι αρνητικοί αριθμοί στα αριστερά του σημείου 0. Για να απεικονίσετε αριθμούς με παρονομαστή n, διαιρέστε τον καθένα από τους προκύπτοντα τμήματα μοναδιαίου μήκους κατά n ίσα μέρη; Τα σημεία διαίρεσης θα αντιπροσωπεύουν κλάσματα με παρονομαστή n. Αν το κάνουμε αυτό για τις τιμές του n που αντιστοιχούν σε όλους τους φυσικούς αριθμούς, τότε κάθε ρητός αριθμός θα απεικονίζεται από κάποιο σημείο στον άξονα των αριθμών. Θα συμφωνήσουμε να ονομάσουμε αυτά τα σημεία «ορθολογικά». Σε γενικές γραμμές, θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους «ορθολογικός αριθμός» και «ορθολογικό σημείο» ως συνώνυμα.
Στο Κεφάλαιο Ι, § 1, η σχέση ανισότητας Α ορίστηκε για οποιοδήποτε ζεύγος ορθολογικών σημείων, τότε είναι φυσικό να προσπαθήσουμε να γενικεύσουμε τη σχέση αριθμητικής ανισότητας με τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρηθεί αυτή η γεωμετρική τάξη για τα υπό εξέταση σημεία. Αυτό είναι δυνατό αν δεχθούμε τον ακόλουθο ορισμό: λένε ότι ένας ρητός αριθμός Α πιο λιγοαπό έναν ρητό αριθμό Β (το Α είναι μεγαλύτερο από τον αριθμό Α (Β>Α), αν διαφορά VAθετικός. Αυτό συνεπάγεται (για τον Α μεταξύ Α και Β είναι αυτά που είναι και >Α και τμήμα (ή τμήμα) και συμβολίζεται με [Α, Β] (και μόνο το σύνολο των ενδιάμεσων σημείων είναι διάστημα(ή ανάμεσα), συμβολίζεται (Α, Β)).
Η απόσταση ενός αυθαίρετου σημείου Α από την αρχή 0, που θεωρείται θετικός αριθμός, ονομάζεται απόλυτη τιμή A και υποδεικνύεται με το σύμβολο
Εννοια " απόλυτη τιμήΤο " ορίζεται ως εξής: αν A≥0, τότε |A| = A, αν A
|A + B|≤|A| + |B|,
το οποίο ισχύει ανεξάρτητα από τα σημεία του Α και του Β.
Ένα γεγονός θεμελιώδους σημασίας εκφράζεται με την ακόλουθη πρόταση: τα ορθολογικά σημεία βρίσκονται πυκνά παντού στην αριθμητική ευθεία. Το νόημα αυτής της δήλωσης είναι ότι κάθε διάστημα, όσο μικρό κι αν είναι, περιέχει ορθολογικά σημεία. Για να επαληθεύσετε την εγκυρότητα της δηλωμένης δήλωσης, αρκεί να πάρετε τον αριθμό n τόσο μεγάλο ώστε το διάστημα να είναι μικρότερο από το δεδομένο διάστημα (Α, Β). τότε τουλάχιστον ένα από τα σημεία προβολής θα βρίσκεται μέσα σε αυτό το διάστημα. Άρα, δεν υπάρχει τέτοιο διάστημα στην αριθμητική ευθεία (ακόμη και το μικρότερο που μπορεί να φανταστεί κανείς) εντός του οποίου δεν θα υπήρχαν ρητά σημεία. Αυτό οδηγεί σε ένα περαιτέρω συμπέρασμα: κάθε διάστημα περιέχει ένα άπειρο σύνολο ορθολογικών σημείων. Πράγματι, αν ένα συγκεκριμένο διάστημα περιείχε μόνο τελικός αριθμόςλογικά σημεία, τότε μέσα στο διάστημα που σχηματίζεται από δύο γειτονικά τέτοια σημεία, δεν θα υπάρχουν πλέον ορθολογικά σημεία, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με αυτό που μόλις αποδείχθηκε.
ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 1
Λογικόςαριθμοί – αριθμοί γραμμένοι με τη μορφή p/q, όπου q είναι φυσικός αριθμός. αριθμός και το p είναι ακέραιος αριθμός.
Δύο αριθμοί a=p1/q1 και b=p2/q2 ονομάζονται ίσοι αν p1q2=p2q1, και p2q1 και a>b εάν p1q2
ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 2
Μιγαδικοί αριθμοί.Μιγαδικοί αριθμοί
Μια αλγεβρική εξίσωση είναι μια εξίσωση της μορφής: P n ( Χ) = 0, όπου P n ( Χ) - πολυώνυμο n- ω πτυχίο. Κάποιοι πραγματικοί αριθμοί ΧΚαι στοΑς το ονομάσουμε διατεταγμένο αν αναγράφεται ποιο από αυτά θεωρείται πρώτο και ποιο δεύτερο. Σήμανση παραγγελίας ζευγαριού: ( Χ, y). Ένας μιγαδικός αριθμός είναι ένα αυθαίρετο διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών. z = (Χ, y)-μιγαδικός αριθμός.
Χ- πραγματικό μέρος z, y-φανταστικό μέρος z. Αν Χ= 0 και y= 0, λοιπόν z= 0. Θεωρούμε z 1 = (x 1 , y 1) και z 2 = (x 2 , y 2).
Ορισμός 1. z 1 = z 2 αν x 1 = x 2 και y 1 = y 2.
Έννοιες > και< для комплексных чисел не вводятся.
Γεωμετρική παράσταση και τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών.
Μ( Χ, y) « z = Χ + iy.
½ OM½ = r =½ z½ = .(εικόνα)
r ονομάζεται μέτρο συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού z.
Το j ονομάζεται όρισμα ενός μιγαδικού αριθμού z. Προσδιορίζεται με ακρίβεια ± 2p n.
Χ= rcosj, y= ρσίνι.
z= Χ+ iy= r(cosj + Εγώ sinj) είναι η τριγωνομετρική μορφή μιγαδικών αριθμών.
Δήλωση 3.
= (συν + Εγώαμαρτία),
= (συν + Εγώαμαρτία), τότε
= (cos( ) + Εγώ sin( + )),
= (cos( · )+ Εγώ sin( - )) στο ¹0.
Δήλωση 4.
Αν z=r(cosj+ Εγώ sinj), στη συνέχεια «φυσικό n:
= (συν nj + Εγώαμαρτία nj),
ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 3
Αφήνω Χ- ένα αριθμητικό σύνολο που περιέχει τουλάχιστον έναν αριθμό (μη κενό σύνολο).
ΧÎ Χ- Χπου περιέχονται σε Χ. ; ΧÏ Χ- Χδεν ανήκει Χ.
Ορισμός: Ενα μάτσο Χονομάζεται περιορισμένος πάνω (κάτω) αν υπάρχει αριθμός Μ(Μ) τέτοια ώστε για οποιαδήποτε Χ Î Χη ανισότητα ισχύει Χ £ Μ (Χ ³ Μ), ενώ ο αριθμός Μονομάζεται το άνω (κάτω) όριο του συνόλου Χ. Ενα μάτσο Χλέγεται ότι οριοθετείται παραπάνω αν $ Μ, " Χ Î Χ: Χ £ Μ. Ορισμόςαπεριόριστο σετ από πάνω. Ενα μάτσο Χλέγεται ότι είναι απεριόριστο από πάνω εάν " Μ $ Χ Î Χ: Χ> Μ. Ορισμόςένα μάτσο Χονομάζεται δεσμευμένο αν είναι φραγμένο πάνω και κάτω, δηλαδή $ Μ, Μτέτοιο που " Χ Î Χ: Μ £ Χ £ Μ.Ισοδύναμος ορισμός του ogre mn-va: Σύνολο Χονομάζεται περιορισμένη εάν $ ΕΝΑ > 0, " Χ Î Χ: ½ Χ½£ ΕΝΑ. Ορισμός: Το μικρότερο άνω όριο ενός συνόλου που οριοθετείται παραπάνω Χονομάζεται υπέρτατο του και συμβολίζεται Sup Χ
(υπέρτατο). =Sup Χ. Ομοίως, μπορεί κανείς να προσδιορίσει το ακριβές
κάτω άκρη. Ισοδύναμος ορισμόςακριβές άνω όριο:
Ο αριθμός ονομάζεται υπέρτατο του συνόλου Χ, Αν: 1) " Χ Î Χ: Χ£ (αυτή η συνθήκη δείχνει ότι είναι ένα από τα άνω όρια). 2) " < $ x Î Χ: Χ> (αυτή η συνθήκη δείχνει ότι -
το μικρότερο από τα πάνω πρόσωπα).
Γουλιά Χ= :
1. " ΧÎ Χ: Χ £ .
2. " < $ ΧÎ Χ: Χ> .
inf Χ(infimum) είναι το ακριβές infimum. Ας θέσουμε το ερώτημα: κάθε οριοθετημένο σύνολο έχει ακριβείς ακμές;
Παράδειγμα: Χ= {Χ: Χ>0) δεν έχει μικρότερο αριθμό.
Θεώρημα για την ύπαρξη ακριβούς άνω (κάτω) όψης. Οποιοδήποτε μη κενό άνω (κάτω) όριο xÎR έχει ακριβή άνω (κάτω) όψη.
Θεώρημα για τη διαχωρισιμότητα των αριθμητικών αριθμών:▀▀▄
ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 4
Αν σε κάθε φυσικό αριθμό n (n=1,2,3..) αποδοθεί ένας αντίστοιχος αριθμός Xn, τότε λένε ότι ορίζεται και δίνεται ακολουθία x1, x2..., γράψτε (Xn), (Xn) Παράδειγμα: Xn=(-1)^n: -1,1,-1,1,...Το όνομα του ορίου. από πάνω (από κάτω) αν το σύνολο των σημείων x=x1,x2,…xn που βρίσκεται στον αριθμητικό άξονα περιορίζεται από πάνω (από κάτω), δηλ. $C:Xn£C" Όριο ακολουθίας:αριθμός α ονομάζεται όριο της ακολουθίας αν για οποιοδήποτε ε>0 $ : N (N=N/(ε)). "n>N η ανισότητα |Xn-a|<ε. Т.е. – ε
στο n>N.
Μοναδικότητα του ορίουοριοθετημένη και συγκλίνουσα ακολουθία
Ιδιότητα 1: Μια συγκλίνουσα ακολουθία έχει μόνο ένα όριο.
Απόδειξη: κατά αντίφαση ας ΕΝΑΚαι σιόρια μιας συγκλίνουσας ακολουθίας (x n), και το a δεν είναι ίσο με το b. θεωρήστε απειροελάχιστες ακολουθίες (α n )=(x n -a) και (β n )=(x n -b). Επειδή όλα τα στοιχεία β.μ. οι αλληλουχίες (α n -β n ) έχουν την ίδια τιμή b-a, τότε με την ιδιότητα του b.m. αλληλουχίες b-a=0 δηλ. b=a και φτάσαμε σε μια αντίφαση.
Ιδιότητα 2: Μια συγκλίνουσα ακολουθία είναι οριοθετημένη.
Απόδειξη: Έστω a το όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας (x n), τότε α n =x n -a είναι στοιχείο του b.m. ακολουθίες. Ας πάρουμε οποιοδήποτε ε>0 και ας το χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε N ε: / x n -a/< ε при n>N ε . Ας συμβολίσουμε με b τον μεγαλύτερο από τους αριθμούς ε+/a/, /x1/, /x2/,…,/x N ε-1 /,x N ε. Είναι προφανές ότι / x n /
Σημείωση: η οριοθετημένη ακολουθία μπορεί να μην είναι συγκλίνουσα.
ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 6
Η ακολουθία a n ονομάζεται απειροελάχιστη, που σημαίνει ότι το όριο αυτής της ακολουθίας μετά είναι 0.
a n – απειροελάχιστο Û lim(n ® + ¥)a n =0 δηλαδή, για οποιοδήποτε ε>0 υπάρχει N τέτοιο ώστε για οποιοδήποτε n>N |a n |<ε
Θεώρημα.Το άθροισμα ενός απειροελάχιστου είναι απειροελάχιστο.
a n b n ®απειροελάχιστη Þ a n +b n – απειροελάχιστη.
Απόδειξη.
a n - απειροελάχιστο Û "ε>0 $ N 1:" n >N 1 Þ |a n |<ε
b n - απειροελάχιστο Û "ε>0 $ N 2:" n >N 2 Þ |b n |<ε
Ας ορίσουμε N=max(N 1 ,N 2 ), τότε για οποιαδήποτε n>N Þ ικανοποιούνται ταυτόχρονα και οι δύο ανισότητες:
|a n |<ε |a n +b n |£|a n |+|b n |<ε+ε=2ε=ε 1 "n>Ν
Ας ορίσουμε "ε 1 >0, ορίζουμε ε=ε 1 /2. Τότε για οποιαδήποτε ε 1 >0 $N=maxN 1 N 2: " n>N Þ |a n +b n |<ε 1 Û lim(n ® ¥)(a n +b n)=0, то
είναι a n + b n – απειροελάχιστο.
ΘεώρημαΤο γινόμενο ενός απειροελάχιστου είναι ένα απειροελάχιστο.
a n ,b n – απειροελάχιστο Þ a n b n – απειροελάχιστο.
Απόδειξη:
Ας ορίσουμε "ε 1 >0, βάλουμε ε=Öε 1, αφού τα a n και b n είναι απειροελάχιστα για αυτό το ε>0, τότε υπάρχει N 1: " n>N Þ |a n |<ε
$N 2: " n>N 2 Þ |b n |<ε
Ας πάρουμε N=max (N 1 ;N 2 ), μετά "n>N = |a n |<ε
|a n b n |=|a n ||b n |<ε 2 =ε 1
" ε 1 >0 $N:"n>N |a n b n |<ε 2 =ε 1
lim a n b n =0 Û a n b n – απειροελάχιστο, που είναι αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.
ΘεώρημαΤο γινόμενο μιας οριοθετημένης ακολουθίας και μιας απειροελάχιστης ακολουθίας είναι μια απειροελάχιστη ακολουθία
και το n είναι μια οριοθετημένη ακολουθία
a n – απειροελάχιστη ακολουθία Þ a n a n – απειροελάχιστη ακολουθία.
Απόδειξη: Εφόσον το ένα n περιορίζεται Û $С>0: "nО ΝÞ |a n |£C
Ας ορίσουμε "ε 1 >0; ορίστε ε=ε 1 /C; αφού ένα n είναι απειροελάχιστο, τότε ε>0 $N:"n>NÞ |a n |<εÞ |a n a n |=|a n ||a n | "ε 1 >0 $N: "n>N Þ |a n a n |=Cε=ε 1 Þ lim(n ® ¥) a n a n =0Û a n a n – απειροελάχιστη Η ακολουθία ονομάζεται BBP(με τη σειρά) αν γράφουν. Προφανώς, το BBP δεν είναι περιορισμένο. Η αντίθετη πρόταση είναι γενικά ψευδής (παράδειγμα). Αν για μεγάλα nμέλη, τότε γράψτε αυτό σημαίνει ότι μόλις. Η έννοια του λήμματος καθορίζεται με παρόμοιο τρόπο Απεριόριστες μεγάλες ακολουθίες a n =2 n ;
b n =(-1) n 2 n ;c n =-2 n Ορισμός(άπειρες μεγάλες ακολουθίες) 1) lim(n ® ¥)a n =+¥, εάν "ε>0$N:"n>N Þ a n >ε όπου το ε είναι αυθαίρετα μικρό. 2) lim(n ® ¥)a n =-¥, εάν "ε>0 $N:"n>N Þ a n<-ε 3) lim(n ® ¥)a n =¥ Û "ε>0 $N:"n>N Þ |a n |>ε ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 7 Θεώρημα «Περί της σύγκλισης της μονοτονίας. τελευταίος" Οποιαδήποτε μονοτονική ακολουθία είναι συγκλίνουσα, δηλ. έχει όρια. ΕγγραφοΈστω η ακολουθία (xn) μονότονα αύξουσα. και περιορίζεται από πάνω. X – ολόκληρο το σύνολο των αριθμών που δέχεται το στοιχείο αυτής της ακολουθίας σύμφωνα με τη σύμβαση. Τα θεωρήματα είναι περιορισμένα σε αριθμό, επομένως, σύμφωνα με Θεώρημα έχει ένα πεπερασμένο ακριβές ανώτερο όριο. face supX xn®supX (σημαίνει supX με x*). Επειδή x* ακριβής κορυφή. πρόσωπο, μετά xn£x* "n. " e >0 το νεύρο είναι έξω $ xm (έστω m είναι n με καπάκι): xm>x*-e με " n>m => από τις υποδεικνυόμενες 2 ανισότητες παίρνουμε η δεύτερη ανισότητα x*-e£xn£x*+e για n>m ισοδυναμεί με ½xn-x*1 ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 8 Εκθέτης ή αριθμός ε R-ρωμαϊκός αριθμός ακολουθία με κοινό όρο xn=(1+1/n)^n (στην ισχύ n)(1) . Αποδεικνύεται ότι η ακολουθία (1) αυξάνεται μονότονα, οριοθετείται από πάνω και είναι συγκλίνουσα· το όριο αυτής της ακολουθίας ονομάζεται εκθετική και συμβολίζεται με το σύμβολο e»2.7128... Αριθμός ε ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 9 Η αρχή των ένθετων τμημάτων Ας δοθεί στην αριθμητική γραμμή μια ακολουθία τμημάτων ,,...,,... Επιπλέον, αυτά τα τμήματα ικανοποιούν τα ακόλουθα. κατάσταση: 1) κάθε επόμενο είναι φωλιασμένο στο προηγούμενο, δηλ. М, "n=1,2,…; 2) Τα μήκη των τμημάτων ®0 όσο n αυξάνεται, δηλ. lim(n®¥)(bn-an)=0. Οι ακολουθίες με τους καθορισμένους αγίους ονομάζονται ένθετες. ΘεώρημαΟποιαδήποτε ακολουθία ένθετων τμημάτων περιέχει ένα μόνο t-ku που ανήκει σε όλα τα τμήματα της ακολουθίας ταυτόχρονα, με κοινό σημέιοόλων των τομέων στους οποίους έχουν συναφθεί. Εγγραφο(αν) - ακολουθία αριστερών άκρων τμημάτων φαινομένων. μονοτονικά μη φθίνουσα και οριοθετημένη πάνω από τον αριθμό b1. (bn) - η ακολουθία των δεξιών άκρων δεν αυξάνεται μονότονα, επομένως αυτές οι ακολουθίες φαινομένων. συγκλίνουσα, δηλ. υπάρχουν αριθμοί c1=lim(n®¥)an και c2=lim(n®¥)bn => c1=c2 => c - τους γενική σημασία. Πράγματι, έχει το όριο lim(n®¥)(bn-an)= lim(n®¥)(bn)- lim(n®¥)(an) λόγω της συνθήκης 2) o= lim(n®¥) (bn- an)=с2-с1=> с1=с2=с Είναι σαφές ότι το t.c είναι κοινό για όλα τα τμήματα, αφού "n an£c£bn. Τώρα θα αποδείξουμε ότι είναι ένα. Ας υποθέσουμε ότι το $ είναι ένα άλλο c' στο οποίο συστέλλονται όλα τα τμήματα. Αν πάρουμε οποιαδήποτε μη τέμνοντα τμήματα c και c', τότε στη μία πλευρά ολόκληρη η "ουρά" των ακολουθιών (an), (bn) θα πρέπει να βρίσκεται κοντά στο σημείο c'' (αφού τα an και bn συγκλίνουν σε γ και γ' ταυτόχρονα). Η αντίφαση είναι αληθινή. ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 10 Θεώρημα Bolzano-Weierstrass
Από οποιαδήποτε περικοπή. Στη συνέχεια, μπορείτε να επιλέξετε τη συγκέντρωση. Υποπρογράμματα 1. Εφόσον η ακολουθία είναι περιορισμένη, τότε $ m και M, έτσι ώστε " m£xn£M, " n. D1= – τμήμα στο οποίο βρίσκονται όλες οι ακολουθίες t-ki. Ας το χωρίσουμε στη μέση. Τουλάχιστον ένα από τα μισά θα περιέχει άπειρα αριθμός t-kμετά. D2 είναι το μισό όπου βρίσκεται ένας άπειρος αριθμός t-k ακολουθιών. Το χωρίζουμε στη μέση. Τουλάχιστον σε ένα από τα μισά αρνούνται. Το D2 έχει άπειρο αριθμό ακολουθιών. Αυτό το ημίχρονο είναι D3. Διαιρέστε το τμήμα Δ3... κ.λπ. λαμβάνουμε μια ακολουθία ένθετων τμημάτων, τα μήκη των οποίων τείνουν στο 0. Σύμφωνα με τον κανόνα για τα ένθετα τμήματα, μονάδες $. τ-κα Σ, κατ. που ανήκουν όλα τα τμήματα D1, οποιοδήποτε t-tu Dn1. Στο τμήμα D2 επιλέγω το σημείο xn2, έτσι ώστε n2>n1. Στο τμήμα Δ3... κ.λπ. Ως αποτέλεσμα, η τελευταία λέξη είναι xnkÎDk. ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 11 ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 12 θεμελιώδης Συμπερασματικά, εξετάζουμε το ερώτημα του κριτηρίου για τη σύγκλιση μιας αριθμητικής ακολουθίας. Έστω δηλαδή: Πήραμε την εξής δήλωση: Εάν η ακολουθία συγκλίνει, η συνθήκη ικανοποιείται Cauchy: Μια αριθμητική ακολουθία που ικανοποιεί τη συνθήκη Cauchy ονομάζεται θεμελιώδης. Μπορεί να αποδειχθεί ότι ισχύει και το αντίστροφο. Έτσι, έχουμε ένα κριτήριο (απαραίτητη και επαρκής συνθήκη) για τη σύγκλιση της ακολουθίας. Κριτήριο Cauchy. Για να έχει μια ακολουθία ένα όριο, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι θεμελιώδης. Η δεύτερη έννοια του κριτηρίου Cauchy.Μέλη ακολουθίας και πού nΚαι Μ– κάθε προσέγγιση χωρίς όριο στις . ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 13 Μονόπλευρα όρια. Ορισμός 13.11.Αριθμός ΕΝΑονομάζεται όριο της συνάρτησης y = f(x) στο Χ, προσπαθώντας για x 0αριστερά (δεξιά), εάν είναι τέτοια ώστε | f(x)-A|<ε при x 0 – x< δ
(x - x 0< δ
). Ονομασίες: Θεώρημα 13.1 (δεύτερος ορισμός ορίου).Λειτουργία y=f(x)έχει στο Χ,προσπαθώντας για Χ 0, όριο ίσο με ΕΝΑ, εάν και μόνο εάν και τα δύο μονόπλευρα όριά του σε αυτό το σημείο υπάρχουν και είναι ίσα ΕΝΑ. Απόδειξη. 1) Αν , τότε και για x 0 – x< δ, и для x - x 0< δ
|f(x) - Α|<ε, то есть 1) Αν , τότε υπάρχει δ 1: | f(x) - Α| < ε при x 0 – x< δ 1 и δ 2: |f(x) - Α| < ε при x - x 0<
δ2. Επιλέγοντας το μικρότερο από τους αριθμούς δ 1 και δ 2 και λαμβάνοντας το ως δ, προκύπτει ότι για | x - x 0| < δ |f(x) - Α| < ε, то есть . Теорема доказана. Σχόλιο. Εφόσον έχει αποδειχθεί η ισοδυναμία των απαιτήσεων που περιέχονται στον ορισμό του ορίου 13.7 και των προϋποθέσεων ύπαρξης και ισότητας μονόπλευρων ορίων, αυτή η συνθήκη μπορεί να θεωρηθεί ως ο δεύτερος ορισμός του ορίου. Ορισμός 4 (σύμφωνα με τον Heine) Αριθμός ΕΝΑονομάζεται όριο μιας συνάρτησης εάν οποιαδήποτε BBP τιμών ορίσματος, η ακολουθία των αντίστοιχων τιμών συνάρτησης συγκλίνει σε ΕΝΑ. Ορισμός 4 (σύμφωνα με τον Cauchy). Αριθμός ΕΝΑκαλείται αν . Αποδεικνύεται ότι αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι. ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 14 και 15 Ιδιότητες του ορίου συνάρτησης σε ένα σημείο 1) Αν υπάρχει όριο, τότε είναι το μόνο 2) Αν σε tka x0 το όριο της συνάρτησης f(x) lim(x®x0)f(x)=A lim(x®x0)g(x)£B=> τότε στην περίπτωση αυτή το $ είναι το όριο του αθροίσματος, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου. Διαχωρισμός αυτών των 2 λειτουργιών. α) lim(x®x0)(f(x)±g(x))=A±B β) lim(x®x0)(f(x)*g(x))=A*B γ) lim(x®x0)(f(x):g(x))=A/B δ) lim(x®x0)C=C ε) lim(x®x0)C*f(x)=C*A Θεώρημα 3. Αν ( αντιπ. Α ) στη συνέχεια $ η γειτονιά στην οποία ισχύει η ανισότητα >B (αντιστοιχ Υποθέτοντας στο Θεώρημα 3 Β=0, παίρνουμε: αν ( αντιστ), μετά $ , σε όλα τα σημεία, που θα είναι >0 (αντιστοιχ<0),
εκείνοι. η συνάρτηση διατηρεί το πρόσημο του ορίου της. Θεώρημα 4(στο πέρασμα στο όριο της ανισότητας). Αν σε κάποια γειτονιά ενός σημείου (εκτός ίσως από αυτό το ίδιο το σημείο) η συνθήκη ικανοποιείται και αυτές οι συναρτήσεις έχουν όρια στο σημείο, τότε . Στη γλώσσα και. Ας παρουσιάσουμε τη συνάρτηση. Είναι σαφές ότι στην περιοχή του τ. . Τότε, με το θεώρημα για τη διατήρηση μιας συνάρτησης, έχουμε την τιμή του ορίου της, αλλά Θεώρημα 5.(στο όριο μιας ενδιάμεσης συνάρτησης). (1) Εάν ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 16 Ορισμός 14.1.Λειτουργία y=α(x) ονομάζεται απειροελάχιστο στο x→x 0,Αν Ιδιότητες απειροελάχιστων. 1. Το άθροισμα δύο απειροελάχιστων είναι απειροελάχιστο. Απόδειξη. Αν α(x) Και β(χ) – απειροελάχιστο στο x→x 0, τότε υπάρχουν δ 1 και δ 2 τέτοια ώστε | α(x)|<ε/2 и |β(Χ)|<ε/2 для выбранного значения ε. Тогда |α(x)+β(x)|≤|α(x)|+|β(x)|<ε, то есть |(α(x)+β(x))-0|<ε. Следовательно, Σχόλιο. Από αυτό προκύπτει ότι το άθροισμα οποιουδήποτε πεπερασμένου αριθμού απειροελάχιστων είναι απειροελάχιστο. 2. Αν α( Χ) – απειροελάχιστο στο x→x 0, ΕΝΑ f(x) – συνάρτηση που οριοθετείται σε μια συγκεκριμένη γειτονιά x 0, Οτι α(x)f(x) – απειροελάχιστο στο x→x 0. Απόδειξη. Ας επιλέξουμε έναν αριθμό Μτέτοια που | f(x)| Συμπέρασμα 1. Το γινόμενο ενός απειροελάχιστου με έναν πεπερασμένο αριθμό είναι απειροελάχιστο. Συμπέρασμα 2. Το γινόμενο δύο ή περισσότερων απειροελάχιστων είναι απειροελάχιστο. Συμπέρασμα 3. Ένας γραμμικός συνδυασμός απειροελάχιστων είναι απειροελάχιστος. 3. (Τρίτος ορισμός ορίου). Αν , τότε απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για αυτό είναι η συνάρτηση f(x) μπορεί να αναπαρασταθεί στη φόρμα f(x)=A+α(x), Οπου α(x) – απειροελάχιστο στο x→x 0. Απόδειξη. 1)
Αφήστε Τότε | f(x)-A|<ε при x→x 0, αυτό είναι α(x)=f(x)-A– απειροελάχιστο στο x→x 0 .Ως εκ τούτου , f(x)=A+α(x). 2) Αφήστε f(x)=A+α(x). Επειτα Σχόλιο. Έτσι, προκύπτει ένας άλλος ορισμός του ορίου, αντίστοιχος με τους δύο προηγούμενους. Απεριόριστες μεγάλες λειτουργίες. Ορισμός 15.1. Η συνάρτηση f(x) λέγεται ότι είναι απείρως μεγάλη για x x 0 αν Για απείρως μεγάλες, μπορείτε να εισαγάγετε το ίδιο σύστημα ταξινόμησης με το απείρως μικρό, δηλαδή: 1. Απείρως μεγάλες f(x) και g(x) θεωρούνται ποσότητες ίδιας τάξης αν 2. Αν , τότε η f(x) θεωρείται απείρως μεγάλη μεγαλύτερης τάξης από την g(x). 3. Απείρως μεγάλο f(x) λέγεται ποσότητα kth τάξης σε σχέση με άπειρα μεγάλο g(x) αν . Σχόλιο. Σημειώστε ότι το x είναι απείρως μεγάλο (για a>1 και x) υψηλότερης τάξης από το x k για οποιοδήποτε k, και το log a x είναι άπειρα μεγάλο μικρότερης τάξης από οποιαδήποτε δύναμη x k. Θεώρημα 15.1. Αν το α(x) είναι απείρως μικρό ως x→x 0, τότε το 1/α(x) είναι απείρως μεγάλο ως x→x 0. Απόδειξη. Ας αποδείξουμε ότι για |x - x 0 |< δ. Для этого достаточно выбрать в качестве ε 1/M. Тогда при |x - x 0 | < δ |α(x)|<1/M, следовательно, |1/α(x)|>Μ. Αυτό σημαίνει ότι, δηλαδή, το 1/α(x) είναι απείρως μεγάλο ως x→x 0. ΕΙΣΙΤΗΡΙΟ 17 Θεώρημα 14.7 (πρώτο αξιοσημείωτο όριο). . Απόδειξη. Θεωρήστε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο στην αρχή και υποθέστε ότι η γωνία AOB είναι ίση με x (ακτίνια). Ας συγκρίνουμε τις περιοχές του τριγώνου AOB, του τομέα AOB και του τριγώνου AOC, όπου η ευθεία γραμμή OS εφάπτεται στον κύκλο που διέρχεται από το σημείο (1;0). Είναι προφανές ότι. Χρησιμοποιώντας τους αντίστοιχους γεωμετρικούς τύπους για τα εμβαδά των σχημάτων, παίρνουμε από αυτό ότι ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ II § 37 Γεωμετρική παράσταση ρητών αριθμών Αφήνω Δ
είναι ένα τμήμα που λαμβάνεται ως μονάδα μήκους, και μεγάλο
- αυθαίρετη ευθεία (Εικ. 51). Ας πάρουμε κάποιο σημείο πάνω του και ας το προσδιορίσουμε με το γράμμα Ο. Κάθε θετικός ρητός αριθμός Μ /
n
ας αντιστοιχίσουμε το σημείο σε μια ευθεία γραμμή μεγάλο
, που βρίσκεται στα δεξιά του Γ σε απόσταση από Μ /
n
μονάδες μήκους. Για παράδειγμα, ο αριθμός 2 θα αντιστοιχεί στο σημείο Α, που βρίσκεται στα δεξιά του Ο σε απόσταση 2 μονάδων μήκους, και ο αριθμός 5/4 θα αντιστοιχεί στο σημείο Β, που βρίσκεται στα δεξιά του Ο σε απόσταση 5 /4 μονάδες μήκους. Κάθε αρνητικός ρητός αριθμός κ /
μεγάλο
ας συσχετίσουμε ένα σημείο με μια ευθεία που βρίσκεται στα αριστερά του Ο σε απόσταση | κ /
μεγάλο
| μονάδες μήκους. Έτσι, ο αριθμός - 3 θα αντιστοιχεί στο σημείο C, που βρίσκεται στα αριστερά του O σε απόσταση 3 μονάδων μήκους, και ο αριθμός - 3/2 στο σημείο D, που βρίσκεται στα αριστερά του O σε απόσταση 3/ 2 μονάδες μήκους. Τέλος, συσχετίζουμε τον ρητό αριθμό «μηδέν» με το σημείο Ο. Προφανώς, με την επιλεγμένη αντιστοιχία, ίσοι ρητοί αριθμοί (για παράδειγμα, 1/2 και 2/4) θα αντιστοιχούν στο ίδιο σημείο και διαφορετικά σημεία της ευθείας δεν θα αντιστοιχούν σε ίσους αριθμούς. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός Μ /
n
αντιστοιχεί το σημείο P και ο αριθμός κ /
μεγάλο
σημείο Q. Τότε αν Μ /
n
> κ /
μεγάλο
, τότε το σημείο P θα βρίσκεται στα δεξιά του σημείου Q (Εικ. 52, α). αν Μ /
n
< κ /
μεγάλο
, τότε το σημείο P θα βρίσκεται στα αριστερά του σημείου Q (Εικ. 52, β). Έτσι, οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί γεωμετρικά ως ένα καλά καθορισμένο σημείο σε μια ευθεία. Αληθεύει η αντίθετη δήλωση; Μπορεί κάθε σημείο σε μια ευθεία να θεωρηθεί ως γεωμετρική εικόνα κάποιου ρητού αριθμού; Θα αναβάλουμε την απόφαση αυτού του θέματος μέχρι την § 44. Γυμνάσια
296. Σχεδιάστε τους παρακάτω ρητικούς αριθμούς ως σημεία σε μια ευθεία: 3; - 7 / 2 ; 0 ; 2,6. 297. Είναι γνωστό ότι το σημείο Α (Εικ. 53) χρησιμεύει ως γεωμετρική εικόνα του ρητού αριθμού 1/3. Ποιοι αριθμοί αντιπροσωπεύουν τα σημεία Β, Γ και Δ; 298. Δίνονται δύο σημεία σε μια ευθεία, τα οποία χρησιμεύουν ως γεωμετρική αναπαράσταση ρητών αριθμών ΕΝΑ
Και σι
α + β
Και α - β
. 299. Δίνονται δύο σημεία σε μια ευθεία, τα οποία χρησιμεύουν ως γεωμετρική αναπαράσταση ορθολογικών αριθμών α + β
Και α - β
. Βρείτε τα σημεία που αντιπροσωπεύουν αριθμούς σε αυτή τη γραμμή ΕΝΑ
Και σι
. Μια εκφραστική γεωμετρική αναπαράσταση του συστήματος των ρητών αριθμών μπορεί να ληφθεί ως εξής. Ρύζι. 8. Αριθμός άξονας Σε μια συγκεκριμένη ευθεία γραμμή, τον «αριθμητικό άξονα», σημειώνουμε το τμήμα από το 0 έως το 1 (Εικ. 8). Αυτό ορίζει το μήκος ενός τμήματος μονάδας, το οποίο, σε γενικές γραμμές, μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα. Στη συνέχεια, οι θετικοί και οι αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί απεικονίζονται από ένα σύνολο σημείων σε ίση απόσταση στον αριθμητικό άξονα, δηλαδή, οι θετικοί αριθμοί σημειώνονται στα δεξιά και οι αρνητικοί αριθμοί στα αριστερά του σημείου 0. Για να απεικονίσουμε αριθμούς με παρονομαστή, διαιρούμε τον καθένα τα προκύπτοντα τμήματα μοναδιαίου μήκους σε ίσα μέρη. Τα σημεία διαίρεσης θα αντιπροσωπεύουν κλάσματα με παρονομαστή. Θα συμφωνήσουμε να ονομάσουμε αυτά τα σημεία «ορθολογικά». Σε γενικές γραμμές, θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους «ορθολογικός αριθμός» και «ορθολογικό σημείο» ως συνώνυμα. Στο Κεφάλαιο Ι, § 1, ορίστηκε η σχέση ανισότητας για φυσικούς αριθμούς. Στον αριθμητικό άξονα αυτή η σχέση αντικατοπτρίζεται ως εξής: εάν ο φυσικός αριθμός Α είναι μικρότερος από τον φυσικό αριθμό Β, τότε το σημείο Α βρίσκεται στα αριστερά του σημείου Β. Εφόσον η υποδεικνυόμενη γεωμετρική σχέση καθορίζεται για οποιοδήποτε ζεύγος ορθολογικών σημείων, είναι φυσικό να προσπαθήσουμε να γενικεύσουμε τη σχέση αριθμητικής ανισότητας με αυτόν τον τρόπο, για να διατηρήσουμε αυτή τη γεωμετρική τάξη για τα εν λόγω σημεία. Αυτό είναι δυνατό εάν δεχθούμε τον ακόλουθο ορισμό: λέμε ότι ένας ρητός αριθμός Α είναι μικρότερος από έναν ρητό αριθμό ή ότι ένας αριθμός Β είναι μεγαλύτερος από έναν αριθμό εάν η διαφορά είναι θετική. Συνεπάγεται (στο ) ότι τα σημεία (αριθμοί) μεταξύ είναι αυτά που ταυτόχρονα Κάθε τέτοιο ζεύγος σημείων, μαζί με όλα τα μεταξύ τους σημεία, ονομάζεται τμήμα (ή τμήμα) και συμβολίζεται (και το σύνολο των ενδιάμεσων σημείων από μόνο του ονομάζεται διάστημα (ή διάστημα), δηλ. Η απόσταση ενός αυθαίρετου σημείου Α από την αρχή 0, που θεωρείται θετικός αριθμός, ονομάζεται απόλυτη τιμή του Α και συμβολίζεται με το σύμβολο Η έννοια της «απόλυτης τιμής» ορίζεται ως εξής: αν , τότε αν τότε Είναι σαφές ότι αν οι αριθμοί έχουν το ίδιο πρόσημο, τότε η ισότητα είναι αληθής· εάν έχουν διαφορετικά πρόσημα, τότε . Συνδυάζοντας αυτά τα δύο αποτελέσματα, καταλήγουμε στη γενική ανισότητα που ισχύει ανεξάρτητα από τα σημάδια Ένα γεγονός θεμελιώδους σημασίας εκφράζεται με την ακόλουθη πρόταση: τα ορθολογικά σημεία βρίσκονται πυκνά παντού στην αριθμητική ευθεία. Το νόημα αυτής της δήλωσης είναι ότι κάθε διάστημα, όσο μικρό κι αν είναι, περιέχει ορθολογικά σημεία. Για να επαληθεύσουμε την εγκυρότητα της δηλωμένης δήλωσης, αρκεί να πάρουμε έναν αριθμό τόσο μεγάλο ώστε το διάστημα ( θα είναι μικρότερο από το δεδομένο διάστημα· τότε τουλάχιστον ένα από τα σημεία της φόρμας θα βρίσκεται μέσα στο δεδομένο διάστημα. Άρα, υπάρχει δεν υπάρχει τέτοιο διάστημα στον αριθμητικό άξονα (ακόμα και ο μικρότερος, που μπορεί κανείς να φανταστεί), εντός του οποίου δεν θα υπήρχαν ορθολογικά σημεία. Από εδώ ακολουθεί ένα περαιτέρω συμπέρασμα: κάθε διάστημα περιέχει έναν άπειρο αριθμό ορθολογικών σημείων. Πράγματι, εάν ένα ορισμένο διάστημα περιείχε μόνο ένας πεπερασμένος αριθμός ορθολογικών σημείων, τότε μέσα στο διάστημα που σχηματίζεται από δύο γειτονικά τέτοια σημεία, δεν θα υπάρχουν πλέον ορθολογικά σημεία, και αυτό έρχεται σε αντίθεση με αυτό που μόλις αποδείχθηκε. Υπάρχουν οι ακόλουθες μορφές μιγαδικών αριθμών: αλγεβρικός(x+iy), τριγωνομετρική(r(cos+isin Οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός z=x+iy μπορεί να αναπαρασταθεί στο επίπεδο XOU ως σημείο A(x,y). Το επίπεδο στο οποίο απεικονίζονται μιγαδικοί αριθμοί ονομάζεται επίπεδο της μιγαδικής μεταβλητής z (βάζουμε το σύμβολο z στο επίπεδο). Ο άξονας OX είναι ο πραγματικός άξονας, δηλ. περιέχει πραγματικούς αριθμούς. Το OU είναι ένας φανταστικός άξονας με φανταστικούς αριθμούς. x+iy- αλγεβρική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού. Ας εξαγάγουμε την τριγωνομετρική μορφή της γραφής ενός μιγαδικού αριθμού. Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στην αρχική μορφή: , δηλ. r(cos Η εκθετική μορφή γραφής ενός μιγαδικού αριθμού προκύπτει από τον τύπο του Euler: z= σχετικά με Εγώ 1.
πρόσθεση. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2); 2
. αφαίρεση. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2); 3.
πολλαπλασιασμός. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1); 4
. διαίρεση. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]= Δύο μιγαδικοί αριθμοί που διαφέρουν μόνο στο πρόσημο της νοητής μονάδας, δηλ. z=x+iy (z=x-iy) λέγονται συζυγείς. Δουλειά. z1=r(συν Αυτό το γινόμενο z1*z2 μιγαδικών αριθμών βρίσκεται: , δηλ. το μέτρο του γινομένου είναι ίσο με το γινόμενο των συντελεστών και το όρισμα του γινομένου είναι ίσο με το άθροισμα των ορισμάτων των παραγόντων. Ιδιωτικός. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί δίνονται σε τριγωνομετρική μορφή. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί δίνονται σε εκθετική μορφή. Εκθεσιμότητα. 1.
Δίνεται μιγαδικός αριθμός αλγεβρικός
μορφή. z=x+iy, τότε το z n βρίσκεται με Ο διωνυμικός τύπος του Νεύτωνα: Αίτηση για μιγαδικούς αριθμούς. Στην έκφραση που προκύπτει, πρέπει να αντικαταστήσετε τις δυνάμεις i με τις τιμές τους: i 0 =1 Επομένως, στη γενική περίπτωση λαμβάνουμε: i 4k =1 i 1 =i i 4k+1 =i i 2 =-1 i 4k+2 =-1 i 3 =-i i 4k+3 =-i Παράδειγμα. i 31 = i 28 i 3 =-i i 1063 = i 1062 i=i 2.
τριγωνομετρική
μορφή. z=r(συν -
Η φόρμουλα του Moivre. Εδώ το n μπορεί να είναι είτε «+» ή «-» (ακέραιος). 3.
Αν δίνεται μιγαδικός αριθμός ενδεικτικός
μορφή: Εξαγωγή ριζών. Θεωρήστε την εξίσωση: Η λύση του θα είναι η ν η ρίζα του μιγαδικού αριθμού z: Η ν η ρίζα ενός μιγαδικού αριθμού z έχει ακριβώς n λύσεις (τιμές). Η ν η ρίζα ενός πραγματικού αριθμού έχει μόνο μία λύση. Σε σύνθετες υπάρχουν n λύσεις. Αν δίνεται μιγαδικός αριθμός τριγωνομετρική
μορφή: z=r(συν Έστω η μεταβλητή a να λάβει διαδοχικά τις τιμές a 1, a 2, a 3,…, a n. Ένα τέτοιο αναριθμημένο σύνολο αριθμών ονομάζεται ακολουθία. Είναι ατελείωτο. Αριθμητική σειρά είναι η παράσταση a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= Για παράδειγμα. και 1 είναι ο πρώτος όρος της σειράς. και n είναι ο ντος ή κοινός όρος της σειράς. Μια σειρά θεωρείται δεδομένη αν είναι γνωστός ο ντος (κοινός όρος της σειράς). Μια σειρά αριθμών έχει άπειρο αριθμό όρων. Αριθμητές - αριθμητική πρόοδος
(1,3,5,7…). Ο ντος όρος βρίσκεται με τον τύπο a n =a 1 +d(n-1); d=a n -a n-1 . Παρονομαστής - γεωμετρική πρόοδος. b n =b 1 q n-1; Θεωρήστε το άθροισμα των πρώτων n όρων της σειράς και συμβολίστε το Sn. Sn=a1+a2+…+a n. Το Sn είναι το ντο μερικό άθροισμα της σειράς. Σκεφτείτε το όριο: S είναι το άθροισμα της σειράς. Σειρά συγκεντρούμενος
, εάν αυτό το όριο είναι πεπερασμένο (υπάρχει πεπερασμένο όριο S). Σειρά αποκλίνων
, αν αυτό το όριο είναι άπειρο. Στο μέλλον, καθήκον μας είναι να καθορίσουμε ποια σειρά. Μία από τις απλούστερες αλλά πιο κοινές σειρές είναι η γεωμετρική πρόοδος. Γεωμετρική πρόοδος είναισυγκεντρούμενος
κοντά, Αν Επίσης βρέθηκε αρμονική σειρά(σειρά 
Μαζί με έναν φυσικό αριθμό, μπορούμε να αντικαταστήσουμε μια άλλη ανισότητα στην τελευταία ανισότητα φυσικός αριθμός 
,Επειτα
και σε κάποια γειτονιά του σημείου (εκτός ίσως από το ίδιο το σημείο) η συνθήκη (2) ικανοποιείται, τότε η συνάρτηση έχει ένα όριο στο σημείο και αυτό το όριο είναι ίσο με ΕΝΑ.με την προϋπόθεση (1) $ για (εδώ είναι η μικρότερη γειτονιά του σημείου ). Στη συνέχεια όμως, λόγω της συνθήκης (2), η τιμή θα βρίσκεται επίσης κοντά στο σημείο ΕΝΑ,εκείνοι. .
, αυτό είναι α(x)+β(x) – απειροελάχιστο.
σημαίνει | f(x)-A|<ε при |x - x 0| < δ(ε). Cледовательно, .
, ή sinx 
)),
ενδεικτικός(re i 
).
+ισιν
)
- τριγωνομετρική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού.
,Επειτα 
- εκθετική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού.Πράξεις σε μιγαδικούς αριθμούς.
+ισιν 
) z2=r(συν 
+ισιν 
).
;
;
- ο αριθμός των συνδυασμών n στοιχείων του m (ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούν να ληφθούν n στοιχεία από το m).
; n!=1*2*…*n; 0!=1; 
.
+ισιν 
), Οτι
.
.
+ισιν 
), τότε η ν η ρίζα του z βρίσκεται με τον τύπο:
, όπου k=0,1…n-1.Σειρές. Σειρά αριθμών.
. Οι αριθμοί a 1, a 2, a 3,... και n είναι μέλη της σειράς.
.
, C=const.
, και αποκλίνουσα αν 
.
). Αυτή η σειρά αποκλίνων
.
