Άξονας συμμετρίας κανονικού τριγώνου. Μάθημα μαθηματικών. Θέμα: «Άξονας συμμετρίας». Εργασία για το σπίτι

Η αξονική συμμετρία είναι η συμμετρία ως προς μια ευθεία γραμμή.

Ας δοθεί κάποια ευθεία γραμμή σολ.

Να κατασκευάσει ένα σημείο συμμετρικό σε κάποιο σημείο Α σε σχέση με μια ευθεία σολ, απαραίτητη:

1) Σχεδιάστε από το σημείο Α σε ευθεία γραμμή σολκάθετη στην ΑΟ.

2) Στη συνέχεια της κάθετου στην άλλη πλευρά της ευθείας σολπαραμερίζουμε το τμήμα ΟΑ1 ίσο με το τμήμα ΑΟ: ΟΑ1=ΑΟ.

Το σημείο Α1 που προκύπτει είναι συμμετρικό με το σημείο Α σε σχέση με την ευθεία σολ.

Ευθεία σολπου ονομάζεται άξονας συμμετρίας.

Ετσι, Τα σημεία Α και Α1 είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία g αν αυτή η ευθεία διέρχεται από το μέσο του τμήματος ΑΑ1 και είναι κάθετο σε αυτό.

Αν ένα σημείο Α βρίσκεται σε μια ευθεία g, τότε το συμμετρικό σημείο σε αυτό είναι το ίδιο το σημείο Α.

Μετατροπή του σχήματος F σε σχήμα F1, στο οποίο κάθε σημείο του Α πηγαίνει στο σημείο Α1, συμμετρικό ως προς μια δεδομένη ευθεία σολ, ονομάζεται μετασχηματισμός συμμετρίας γύρω από μια ευθεία σολ.

Τα σχήματα F και F1 ονομάζονται σχήματα συμμετρικά ως προς μια ευθεία γραμμή σολ.

Να κατασκευάσει ένα τρίγωνο συμμετρικό σε ένα δεδομένο ως προς μια ευθεία σολ, αρκεί να κατασκευάσουμε σημεία συμμετρικά με τις κορυφές του τριγώνου και να τα συνδέσουμε με τμήματα.

Για παράδειγμα, τα τρίγωνα ABC και A1B1C1 είναι συμμετρικά ως προς μια ευθεία γραμμή σολ.

Αν ο μετασχηματισμός συμμετρίας είναι σχετικός με την ευθεία σολμεταφράζει ένα σχήμα στον εαυτό του, τότε ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται συμμετρικό σε σχέση με μια ευθεία γραμμή σολ, και την ευθεία σολονομάζεται άξονας συμμετρίας του.

Ένα συμμετρικό σχήμα χωρίζεται από τον άξονα συμμετρίας του σε δύο ίσα μισά. Εάν σχεδιάσετε ένα συμμετρικό σχήμα σε χαρτί, το κόψετε και το λυγίσετε κατά μήκος του άξονα συμμετρίας, τότε αυτά τα μισά θα συμπέσουν.

Παραδείγματα σχημάτων που είναι συμμετρικά ως προς μια ευθεία γραμμή.

1) Ορθογώνιο.

Ένα ορθογώνιο έχει 2 άξονες συμμετρίας: ευθείες γραμμές που διέρχονται από το σημείο τομής των διαγωνίων παράλληλες προς τις πλευρές.

Ένας ρόμβος έχει δύο άξονες συμμετρίας:

τις γραμμές στις οποίες βρίσκονται οι διαγώνιοί του.

3) Ένα τετράγωνο, όπως ένας ρόμβος και ένα ορθογώνιο, έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας: ευθείες γραμμές που περιέχουν τις διαγώνιές του και ευθείες που διέρχονται από το σημείο τομής των διαγωνίων παράλληλες προς τις πλευρές.

4) Κύκλος.

Ένας κύκλος έχει άπειρο αριθμό αξόνων συμμετρίας:

οποιαδήποτε ευθεία που περιέχει τη διάμετρο είναι ο άξονας συμμετρίας του κύκλου.

Μια ευθεία έχει επίσης έναν άπειρο αριθμό αξόνων συμμετρίας: κάθε ευθεία γραμμή που είναι κάθετη σε αυτήν είναι άξονας συμμετρίας για μια δεδομένη ευθεία.

6) Ισοσκελές τραπεζοειδές.

Ένα ισοσκελές τραπεζοειδές είναι ένα σχήμα που είναι συμμετρικό ως προς μια ευθεία γραμμή, κάθετο στις βάσεις και διέρχεται από τα μέσα τους.

7) Ισοσκελές τρίγωνο.

Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει έναν άξονα συμμετρίας:

μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από το ύψος (διάμεσος, διχοτόμος) που τραβιέται στη βάση.

8) Ισόπλευρο τρίγωνο.

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συμμετρίας:

Γωνία είναι ένα σχήμα που είναι συμμετρικό ως προς την ευθεία που περιέχει τη διχοτόμο της.

Η αξονική συμμετρία είναι κίνηση.

Συμμετρία

Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι προσπαθούσαν να οργανώσουν τον κόσμο γύρω τους. Ως εκ τούτου, μερικά πράγματα θεωρούνται όμορφα, και άλλα όχι τόσο πολύ. Από αισθητικής άποψης, οι χρυσές και ασημένιες αναλογίες θεωρούνται ελκυστικές, όπως φυσικά και η συμμετρία. Αυτός ο όρος είναι ελληνικής προέλευσης και κυριολεκτικά σημαίνει «αναλογικότητα». Φυσικά, δεν μιλάμε μόνο για σύμπτωση σε αυτή τη βάση, αλλά και για κάποιες άλλες. Με μια γενική έννοια, η συμμετρία είναι μια ιδιότητα ενός αντικειμένου όταν, ως αποτέλεσμα ορισμένων σχηματισμών, το αποτέλεσμα είναι ίσο με τα αρχικά δεδομένα. Βρίσκεται τόσο στη ζωντανή όσο και στην άψυχη φύση, καθώς και σε αντικείμενα φτιαγμένα από τον άνθρωπο.

Πρώτα απ 'όλα, ο όρος "συμμετρία" χρησιμοποιείται στη γεωμετρία, αλλά βρίσκει εφαρμογή σε πολλά επιστημονικά πεδία και η σημασία του παραμένει γενικά αμετάβλητη. Αυτό το φαινόμενο εμφανίζεται αρκετά συχνά και θεωρείται ενδιαφέρον, αφού αρκετά από τα είδη του, καθώς και στοιχεία, διαφέρουν. Η χρήση της συμμετρίας είναι επίσης ενδιαφέρουσα, γιατί δεν βρίσκεται μόνο στη φύση, αλλά και σε σχέδια σε ύφασμα, περιγράμματα κτιρίων και πολλά άλλα τεχνητά αντικείμενα. Αξίζει να εξετάσουμε αυτό το φαινόμενο με περισσότερες λεπτομέρειες, γιατί είναι εξαιρετικά συναρπαστικό.

Χρήση του όρου σε άλλα επιστημονικά πεδία

Στη συνέχεια, η συμμετρία θα εξεταστεί από την άποψη της γεωμετρίας, αλλά αξίζει να αναφέρουμε ότι αυτή η λέξη χρησιμοποιείται όχι μόνο εδώ. Βιολογία, ιολογία, χημεία, φυσική, κρυσταλλογραφία - όλα αυτά είναι μια ελλιπής λίστα τομέων στους οποίους αυτό το φαινόμενο μελετάται από διαφορετικές οπτικές γωνίες και υπό διαφορετικές συνθήκες. Για παράδειγμα, η ταξινόμηση εξαρτάται από την επιστήμη στην οποία αναφέρεται αυτός ο όρος. Έτσι, η διαίρεση σε τύπους ποικίλλει πολύ, αν και ορισμένοι βασικοί, ίσως, παραμένουν αμετάβλητοι καθ' όλη τη διάρκεια.

Ταξινόμηση

Υπάρχουν διάφοροι κύριοι τύποι συμμετρίας, από τους οποίους τρεις είναι οι πιο συνηθισμένοι:

Επιπλέον, οι ακόλουθοι τύποι διακρίνονται επίσης στη γεωμετρία· είναι πολύ λιγότερο συνηθισμένοι, αλλά όχι λιγότερο ενδιαφέροντες:

ολίσθηση;
περιστροφικός;
σημείο;
προοδευτικός;
βίδα;
φράκταλ?
και τα λοιπά.

Στη βιολογία, όλα τα είδη ονομάζονται ελαφρώς διαφορετικά, αν και στην ουσία μπορεί να είναι τα ίδια. Η διαίρεση σε ορισμένες ομάδες γίνεται με βάση την παρουσία ή την απουσία, καθώς και την ποσότητα ορισμένων στοιχείων, όπως κέντρα, επίπεδα και άξονες συμμετρίας. Θα πρέπει να εξεταστούν χωριστά και με περισσότερες λεπτομέρειες.

Βασικά στοιχεία

Το φαινόμενο έχει ορισμένα χαρακτηριστικά, ένα από τα οποία είναι αναγκαστικά παρόν. Τα λεγόμενα βασικά στοιχεία περιλαμβάνουν επίπεδα, κέντρα και άξονες συμμετρίας. Ο τύπος καθορίζεται ανάλογα με την παρουσία, την απουσία και την ποσότητα τους.

Το κέντρο συμμετρίας είναι το σημείο μέσα σε ένα σχήμα ή κρύσταλλο στο οποίο συγκλίνουν οι γραμμές που συνδέουν σε ζεύγη όλες τις πλευρές παράλληλες μεταξύ τους. Φυσικά, δεν υπάρχει πάντα. Εάν υπάρχουν πλευρές στις οποίες δεν υπάρχει παράλληλο ζεύγος, τότε δεν μπορεί να βρεθεί τέτοιο σημείο, αφού δεν υπάρχει. Σύμφωνα με τον ορισμό, είναι προφανές ότι το κέντρο συμμετρίας είναι αυτό μέσω του οποίου ένα σχήμα μπορεί να αντανακλάται στον εαυτό του. Ένα παράδειγμα θα ήταν, για παράδειγμα, ένας κύκλος και ένα σημείο στη μέση του. Αυτό το στοιχείο συνήθως ορίζεται ως C.

Το επίπεδο συμμετρίας, φυσικά, είναι φανταστικό, αλλά είναι ακριβώς αυτό που χωρίζει το σχήμα σε δύο μέρη ίσα μεταξύ τους. Μπορεί να περάσει από μία ή περισσότερες πλευρές, να είναι παράλληλη με αυτήν ή να τις χωρίσει. Για το ίδιο σχήμα, πολλά επίπεδα μπορούν να υπάρχουν ταυτόχρονα. Αυτά τα στοιχεία συνήθως ορίζονται ως P.

Αλλά ίσως το πιο συνηθισμένο είναι αυτό που ονομάζεται «άξονας συμμετρίας». Αυτό είναι ένα κοινό φαινόμενο που μπορεί να παρατηρηθεί τόσο στη γεωμετρία όσο και στη φύση. Και αξίζει ξεχωριστής εξέτασης.

Άξονες

Συχνά το στοιχείο σε σχέση με το οποίο ένα σχήμα μπορεί να ονομαστεί συμμετρικό είναι

εμφανίζεται μια ευθεία γραμμή ή τμήμα. Σε κάθε περίπτωση, δεν μιλάμε για σημείο ή επίπεδο. Στη συνέχεια εξετάζονται οι άξονες συμμετρίας των σχημάτων. Μπορεί να υπάρχουν πολλά από αυτά και μπορούν να εντοπιστούν με οποιονδήποτε τρόπο: να χωρίζουν τις πλευρές ή να είναι παράλληλες με αυτές, καθώς και να τέμνονται γωνίες ή να μην το κάνουν. Οι άξονες συμμετρίας συνήθως ορίζονται ως L.

Παραδείγματα περιλαμβάνουν ισοσκελή και ισόπλευρα τρίγωνα. Στην πρώτη περίπτωση, θα υπάρχει ένας κατακόρυφος άξονας συμμετρίας, στις δύο πλευρές του οποίου υπάρχουν ίσες όψεις και στη δεύτερη, οι γραμμές θα τέμνουν κάθε γωνία και θα συμπίπτουν με όλες τις διχοτόμους, τις διάμεσες και τα υψόμετρα. Τα συνηθισμένα τρίγωνα δεν έχουν αυτό.

Παρεμπιπτόντως, το σύνολο όλων των παραπάνω στοιχείων στην κρυσταλλογραφία και τη στερεομετρία ονομάζεται βαθμός συμμετρίας. Αυτός ο δείκτης εξαρτάται από τον αριθμό των αξόνων, των επιπέδων και των κέντρων.

Παραδείγματα στη γεωμετρία

Συμβατικά, μπορούμε να χωρίσουμε ολόκληρο το σύνολο των αντικειμένων μελέτης των μαθηματικών σε σχήματα που έχουν άξονα συμμετρίας και σε εκείνα που δεν έχουν. Όλα τα κανονικά πολύγωνα, κύκλοι, οβάλ, καθώς και κάποιες ειδικές περιπτώσεις εμπίπτουν αυτόματα στην πρώτη κατηγορία, ενώ τα υπόλοιπα στη δεύτερη ομάδα.

Όπως και στην περίπτωση που μιλήσαμε για τον άξονα συμμετρίας ενός τριγώνου, αυτό το στοιχείο δεν υπάρχει πάντα για ένα τετράπλευρο. Για ένα τετράγωνο, ορθογώνιο, ρόμβο ή παραλληλόγραμμο είναι, αλλά για ένα ακανόνιστο σχήμα, κατά συνέπεια, δεν είναι. Για έναν κύκλο, οι άξονες συμμετρίας είναι το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από το κέντρο του.

Επιπλέον, είναι ενδιαφέρον να εξετάσουμε τρισδιάστατα σχήματα από αυτή την άποψη. Εκτός από όλα τα κανονικά πολύγωνα και τη σφαίρα, ορισμένοι κώνοι, καθώς και πυραμίδες, παραλληλόγραμμα και κάποιοι άλλοι, θα έχουν τουλάχιστον έναν άξονα συμμετρίας. Κάθε περίπτωση πρέπει να εξετάζεται χωριστά.

Παραδείγματα στη φύση

Η συμμετρία καθρέφτη στη ζωή ονομάζεται διμερής, είναι πιο κοινή
συχνά. Κάθε άτομο και πολλά ζώα είναι ένα παράδειγμα αυτού. Η αξονική ονομάζεται ακτινωτή και απαντάται πολύ σπανιότερα, κατά κανόνα, στον φυτικό κόσμο. Κι όμως υπάρχουν. Για παράδειγμα, αξίζει να σκεφτούμε πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα αστέρι και έχει καθόλου; Φυσικά, μιλάμε για θαλάσσια ζωή και όχι για το αντικείμενο μελέτης των αστρονόμων. Και η σωστή απάντηση θα ήταν: εξαρτάται από τον αριθμό των ακτίνων του αστεριού, για παράδειγμα πέντε, αν είναι πεντάκτινο.

Επιπλέον, η ακτινική συμμετρία παρατηρείται σε πολλά λουλούδια: μαργαρίτες, αραβοσίτου, ηλίανθους κ.λπ. Υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός παραδειγμάτων, υπάρχουν κυριολεκτικά παντού.

Αρρυθμία

Αυτός ο όρος, πρώτα απ 'όλα, θυμίζει περισσότερο την ιατρική και την καρδιολογία, αλλά αρχικά έχει μια ελαφρώς διαφορετική σημασία. Σε αυτή την περίπτωση, το συνώνυμο θα είναι η «ασυμμετρία», δηλαδή η απουσία ή η παραβίαση της κανονικότητας με τη μία ή την άλλη μορφή. Μπορεί να θεωρηθεί ως ατύχημα, και μερικές φορές μπορεί να γίνει μια υπέροχη τεχνική, για παράδειγμα στην ένδυση ή την αρχιτεκτονική. Άλλωστε, υπάρχουν πολλά συμμετρικά κτίρια, αλλά ο περίφημος Πύργος της Πίζας είναι ελαφρώς κεκλιμένος και παρόλο που δεν είναι ο μοναδικός, είναι το πιο διάσημο παράδειγμα. Είναι γνωστό ότι αυτό συνέβη τυχαία, αλλά αυτό έχει τη δική του γοητεία.

Επιπλέον, είναι προφανές ότι ούτε τα πρόσωπα και τα σώματα των ανθρώπων και των ζώων είναι απολύτως συμμετρικά. Έχουν γίνει ακόμη και μελέτες που δείχνουν ότι τα «σωστά» πρόσωπα κρίνονται ως άψυχα ή απλά μη ελκυστικά. Ωστόσο, η αντίληψη της συμμετρίας και αυτό το φαινόμενο από μόνο του είναι εκπληκτικά και δεν έχουν ακόμη μελετηθεί πλήρως, και ως εκ τούτου είναι εξαιρετικά ενδιαφέροντα.

Γεωμετρική συμμετρία

Όταν εφαρμόζεται σε ένα γεωμετρικό σχήμα, η συμμετρία σημαίνει ότι εάν αυτό το σχήμα μετασχηματιστεί - για παράδειγμα, περιστραφεί - ορισμένες από τις ιδιότητές του θα παραμείνουν ίδιες.

Η πιθανότητα τέτοιων μετασχηματισμών ποικίλλει από σχήμα σε σχήμα. Για παράδειγμα, ένας κύκλος μπορεί να περιστραφεί όσο θέλετε γύρω από ένα σημείο που βρίσκεται στο κέντρο του, θα παραμείνει κύκλος, τίποτα δεν θα αλλάξει γι 'αυτόν.

Η έννοια της συμμετρίας μπορεί να εξηγηθεί χωρίς να καταφύγουμε στην περιστροφή. Αρκεί να τραβήξετε μια ευθεία γραμμή στο κέντρο του κύκλου και να κατασκευάσετε ένα τμήμα κάθετο σε αυτό οπουδήποτε στο σχήμα, συνδέοντας δύο σημεία του κύκλου. Το σημείο τομής με τη γραμμή θα χωρίσει αυτό το τμήμα σε δύο μέρη, τα οποία θα είναι ίσα μεταξύ τους.

Με άλλα λόγια, η ευθεία χώριζε το σχήμα σε δύο ίσα μέρη. Τα σημεία των τμημάτων του σχήματος που βρίσκονται σε ευθείες κάθετες στη δεδομένη βρίσκονται σε ίση απόσταση από αυτό. Αυτή η ευθεία θα ονομαστεί άξονας συμμετρίας. Η συμμετρία αυτού του είδους - σχετικά ευθεία - ονομάζεται αξονική συμμετρία.

Αριθμός αξόνων συμμετρίας

Για διαφορετικά σχήματα, ο αριθμός των αξόνων συμμετρίας θα είναι διαφορετικός. Για παράδειγμα, ένας κύκλος και μια μπάλα έχουν πολλούς τέτοιους άξονες. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει έναν άξονα συμμετρίας που είναι κάθετος σε κάθε πλευρά, επομένως έχει τρεις άξονες. Ένα τετράγωνο και ένα ορθογώνιο μπορούν να έχουν τέσσερις άξονες συμμετρίας. Δύο από αυτά είναι κάθετα στις πλευρές των τετράπλευρων και οι άλλες δύο είναι διαγώνιες. Αλλά ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει μόνο έναν άξονα συμμετρίας, που βρίσκεται ανάμεσα στις ίσες πλευρές του.

Η αξονική συμμετρία εμφανίζεται επίσης στη φύση. Μπορεί να παρατηρηθεί σε δύο εκδοχές.

Ο πρώτος τύπος είναι η ακτινική συμμετρία, η οποία περιλαμβάνει την παρουσία πολλών αξόνων. Είναι χαρακτηριστικό, για παράδειγμα, για τους αστερίες. Οι πιο ανεπτυγμένοι οργανισμοί χαρακτηρίζονται από αμφίπλευρη ή αμφίπλευρη συμμετρία με έναν μόνο άξονα που χωρίζει το σώμα σε δύο μέρη.

Το ανθρώπινο σώμα έχει επίσης αμφίπλευρη συμμετρία, αλλά δεν μπορεί να ονομαστεί ιδανικό. Τα πόδια, τα χέρια, τα μάτια, οι πνεύμονες βρίσκονται συμμετρικά, αλλά όχι η καρδιά, το συκώτι ή ο σπλήνας. Οι αποκλίσεις από τη διμερή συμμετρία είναι αισθητές ακόμη και εξωτερικά. Για παράδειγμα, είναι εξαιρετικά σπάνιο ένα άτομο να έχει πανομοιότυπους σπίλους και στα δύο μάγουλα.

Στόχοι:

εκπαιδευτικός:
- δώστε μια ιδέα για τη συμμετρία.
- εισαγάγετε τους κύριους τύπους συμμετρίας στο επίπεδο και στο διάστημα.
- να αναπτύξουν ισχυρές δεξιότητες στην κατασκευή συμμετρικών μορφών.
- διευρύνετε την κατανόησή σας για διάσημες φιγούρες εισάγοντας ιδιότητες που σχετίζονται με τη συμμετρία.
- Δείξτε τις δυνατότητες χρήσης συμμετρίας στην επίλυση διαφόρων προβλημάτων.
- εδραίωση της αποκτηθείσας γνώσης·
γενική εκπαίδευση:
- διδάξτε τον εαυτό σας πώς να προετοιμαστεί για τη δουλειά.
- διδάξτε πώς να ελέγχετε τον εαυτό σας και τον γείτονά σας στο γραφείο.
- διδάξτε να αξιολογείτε τον εαυτό σας και τον γείτονά σας στο γραφείο.
ανάπτυξη:
- εντατικοποίηση της ανεξάρτητης δραστηριότητας·
- ανάπτυξη γνωστικής δραστηριότητας.
- μάθουν να συνοψίζουν και να συστηματοποιούν τις πληροφορίες που λαμβάνονται.
εκπαιδευτικός:
- να αναπτύξουν μια «αίσθηση ώμου» στους μαθητές.
- καλλιεργούν δεξιότητες επικοινωνίας?
- ενσταλάξει μια κουλτούρα επικοινωνίας.

ΚΑΤΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Μπροστά από κάθε άτομο υπάρχει ψαλίδι και ένα φύλλο χαρτί.

Ασκηση 1(3 λεπτά).

- Ας πάρουμε ένα φύλλο χαρτιού, το διπλώσουμε σε κομμάτια και ας κόψουμε μια φιγούρα. Τώρα ας ξεδιπλώσουμε το φύλλο και ας δούμε τη γραμμή δίπλωσης.

Ερώτηση:Τι λειτουργία εξυπηρετεί αυτή η γραμμή;

Προτεινόμενη απάντηση:Αυτή η γραμμή χωρίζει το σχήμα στο μισό.

Ερώτηση:Πώς βρίσκονται όλα τα σημεία του σχήματος στα δύο μισά που προκύπτουν;

Προτεινόμενη απάντηση:Όλα τα σημεία των μισών βρίσκονται σε ίση απόσταση από τη γραμμή δίπλωσης και στο ίδιο επίπεδο.

– Αυτό σημαίνει ότι η γραμμή διπλώματος διαιρεί το σχήμα στη μέση, έτσι ώστε το 1 μισό να είναι αντίγραφο 2 μισών, δηλ. αυτή η ευθεία δεν είναι απλή, έχει μια αξιοσημείωτη ιδιότητα (όλα τα σημεία σε σχέση με αυτήν βρίσκονται στην ίδια απόσταση), αυτή η ευθεία είναι ένας άξονας συμμετρίας.

Εργασία 2 (2 λεπτά).

– Κόψτε μια νιφάδα χιονιού, βρείτε τον άξονα συμμετρίας, χαρακτηρίστε την.

Εργασία 3 (5 λεπτά).

– Σχεδιάστε έναν κύκλο στο τετράδιό σας.

Ερώτηση:Προσδιορίστε πώς πηγαίνει ο άξονας συμμετρίας;

Προτεινόμενη απάντηση:Διαφορετικά.

Ερώτηση:Πόσους άξονες συμμετρίας έχει λοιπόν ένας κύκλος;

Προτεινόμενη απάντηση:Πολλά απο.

– Σωστά, ένας κύκλος έχει πολλούς άξονες συμμετρίας. Μια εξίσου αξιοσημείωτη φιγούρα είναι μια μπάλα (χωρική φιγούρα)

Ερώτηση:Ποια άλλα σχήματα έχουν περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας;

Προτεινόμενη απάντηση:Τετράγωνο, ορθογώνιο, ισοσκελές και ισόπλευρο τρίγωνο.

– Εξετάστε τρισδιάστατες φιγούρες: κύβος, πυραμίδα, κώνος, κύλινδρος κ.λπ. Αυτά τα σχήματα έχουν και άξονα συμμετρίας Να προσδιορίσετε πόσους άξονες συμμετρίας έχουν το τετράγωνο, το ορθογώνιο, το ισόπλευρο τρίγωνο και τα προτεινόμενα τρισδιάστατα σχήματα;

Μοιράζω στους μαθητές μισές φιγούρες από πλαστελίνη.

Εργασία 4 (3 λεπτά).

– Χρησιμοποιώντας τις πληροφορίες που λάβατε, συμπληρώστε το μέρος του σχήματος που λείπει.

Σημείωση: το σχήμα μπορεί να είναι τόσο επίπεδο όσο και τρισδιάστατο. Είναι σημαντικό οι μαθητές να καθορίσουν πώς τρέχει ο άξονας συμμετρίας και να συμπληρώσουν το στοιχείο που λείπει. Η ορθότητα της εργασίας καθορίζεται από τον γείτονα στο γραφείο και αξιολογεί πόσο σωστά έγινε η εργασία.

Μια γραμμή (κλειστή, ανοιχτή, με αυτοτομή, χωρίς αυτοτομή) απλώνεται από μια δαντέλα του ίδιου χρώματος στην επιφάνεια εργασίας.

Εργασία 5 (ομαδική εργασία 5 λεπτά).

– Προσδιορίστε οπτικά τον άξονα συμμετρίας και, σε σχέση με αυτόν, συμπληρώστε το δεύτερο μέρος από μια δαντέλα διαφορετικού χρώματος.

Η ορθότητα της εργασίας που εκτελείται καθορίζεται από τους ίδιους τους μαθητές.

Στοιχεία σχεδίων παρουσιάζονται στους μαθητές

Εργασία 6 (2 λεπτά).

– Βρείτε τα συμμετρικά μέρη αυτών των σχεδίων.

Για την ενοποίηση του καλυπτόμενου υλικού, προτείνω τις ακόλουθες εργασίες, προγραμματισμένες για 15 λεπτά:

Ονομάστε όλα τα ίσα στοιχεία του τριγώνου ΚΟΡ και ΚΟΜ. Τι είδους τρίγωνα είναι αυτά;

2. Σχεδιάστε στο τετράδιό σας πολλά ισοσκελή τρίγωνα με κοινή βάση 6 cm.

3. Σχεδιάστε ένα τμήμα ΑΒ. Κατασκευάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ κάθετο και που διέρχεται από το μέσο του. Σημειώστε τα σημεία C και D έτσι ώστε το τετράπλευρο ACBD να είναι συμμετρικό ως προς την ευθεία ΑΒ.

– Οι αρχικές μας ιδέες για τη φόρμα χρονολογούνται από την πολύ μακρινή εποχή της αρχαίας Λίθινης Εποχής - την Παλαιολιθική. Για εκατοντάδες χιλιάδες χρόνια αυτής της περιόδου, οι άνθρωποι ζούσαν σε σπηλιές, σε συνθήκες ελάχιστα διαφορετικές από τη ζωή των ζώων. Οι άνθρωποι κατασκεύασαν εργαλεία για κυνήγι και ψάρεμα, ανέπτυξαν μια γλώσσα για να επικοινωνούν μεταξύ τους και κατά την ύστερη Παλαιολιθική εποχή κοσμούσαν την ύπαρξή τους δημιουργώντας έργα τέχνης, ειδώλια και σχέδια που αποκαλύπτουν μια αξιοσημείωτη αίσθηση της φόρμας.
Όταν έγινε η μετάβαση από την απλή συλλογή της τροφής στην ενεργό παραγωγή της, από το κυνήγι και το ψάρεμα στη γεωργία, η ανθρωπότητα εισήλθε σε μια νέα Λίθινη Εποχή, τη Νεολιθική.
Ο νεολιθικός άνθρωπος είχε μια έντονη αίσθηση της γεωμετρικής μορφής. Το ψήσιμο και το βάψιμο πήλινων αγγείων, η κατασκευή ψάθες από καλάμια, καλάθια, υφάσματα και αργότερα η επεξεργασία μετάλλων ανέπτυξαν ιδέες για επίπεδες και χωρικές μορφές. Τα νεολιθικά στολίδια ήταν ευχάριστα στο μάτι, αποκαλύπτοντας ισότητα και συμμετρία.
– Πού εμφανίζεται η συμμετρία στη φύση;

Προτεινόμενη απάντηση:φτερά από πεταλούδες, σκαθάρια, φύλλα δέντρων...

– Συμμετρία μπορεί να παρατηρηθεί και στην αρχιτεκτονική. Κατά την κατασκευή κτιρίων, οι κατασκευαστές τηρούν αυστηρά τη συμμετρία.

Γι' αυτό τα κτίρια βγαίνουν τόσο όμορφα. Επίσης παράδειγμα συμμετρίας είναι οι άνθρωποι και τα ζώα.

Εργασία για το σπίτι:

1. Σκεφτείτε το δικό σας στολίδι, σχεδιάστε το σε ένα φύλλο Α4 (μπορείτε να το σχεδιάσετε σε μορφή χαλιού).
2. Σχεδιάστε πεταλούδες, σημειώστε πού υπάρχουν στοιχεία συμμετρίας.

Αν όλες οι γωνίες σε ένα τετράπλευρο είναι ορθές, τότε λέγεται ορθογώνιο.

Το σχήμα 125 δείχνει ορθογώνιο ABCD.

Οι πλευρές ΑΒ και ΒΓ έχουν κοινή κορυφή Β. Ονομάζονται γειτονικόςπλευρές ορθογωνίου ABCD. Επίσης γειτονικά είναι, για παράδειγμα, οι πλευρές BC και CD.

Οι διπλανές πλευρές ενός ορθογωνίου ονομάζονται μήκοςΚαι πλάτος.

Οι πλευρές AB και CD δεν έχουν κοινές κορυφές. Ονομάζονται απέναντι πλευρές του ορθογωνίου ABCD. Επίσης απέναντι είναι οι πλευρές π.Χ. και μ.Χ.

Οι απέναντι πλευρές ενός ορθογωνίου είναι ίσες.

Στο Σχήμα 125, AB = CD, BC = AD. Εάν το μήκος ενός ορθογωνίου είναι a και το πλάτος του είναι b, τότε η περίμετρός του υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ήδη γνωστό σε εσάς τύπο:

P = 2 a + 2 b

Ονομάζεται ορθογώνιο με όλες τις πλευρές ίσες τετράγωνο(Εικ. 126).

Ας σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή l που διέρχεται από τα μέσα δύο αντίθετων πλευρών του ορθογωνίου (Εικ. 127). Εάν ένα φύλλο χαρτιού διπλωθεί κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής l, τότε τα δύο μέρη του ορθογωνίου που βρίσκονται στις απέναντι πλευρές της ευθείας γραμμής l θα συμπίπτουν.

Τα σχήματα που φαίνονται στο Σχήμα 128 έχουν παρόμοια ιδιότητα. Τέτοια στοιχεία ονομάζονται συμμετρικά ως προς μια ευθεία γραμμή . Η ευθεία l ονομάζεται άξονα συμμετρίας του σχήματος .

Έτσι, ένα ορθογώνιο είναι ένα σχήμα που έχει άξονα συμμετρίας. Επίσης, ο άξονας συμμετρίας έχει ισοσκελές τρίγωνο (Εικ. 129).

Ένα σχήμα μπορεί να έχει περισσότερους από έναν άξονες συμμετρίας. Για παράδειγμα, ένα ορθογώνιο εκτός από ένα τετράγωνο έχει δύο άξονες συμμετρίας (Εικ. 130) και ένα τετράγωνο έχει τέσσερις άξονες συμμετρίας (Εικ. 131). Ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συμμετρίας (Εικ. 132).

Κατά τη μελέτη του κόσμου γύρω μας, συναντάμε συχνά συμμετρία. Παραδείγματα συμμετρίας στη φύση φαίνονται στο Σχήμα 133.

Τα αντικείμενα που έχουν άξονα συμμετρίας είναι εύκολα αντιληπτά και ευχάριστα στο μάτι. Δεν είναι αδικαιολόγητο ότι στην Αρχαία Ελλάδα η λέξη «συμμετρία» χρησίμευε ως συνώνυμο των λέξεων «αρμονία» και «ομορφιά».

Η ιδέα της συμμετρίας χρησιμοποιείται ευρέως στις καλές τέχνες και την αρχιτεκτονική (Εικ. 134).

Οι ζωές των ανθρώπων είναι γεμάτες συμμετρία. Είναι βολικό, όμορφο και δεν χρειάζεται να εφεύρουμε νέα πρότυπα. Τι είναι όμως πραγματικά και είναι τόσο όμορφο στη φύση όσο πιστεύεται συνήθως;

Συμμετρία

Χρήση του όρου σε άλλα επιστημονικά πεδία

Ταξινόμηση

Υπάρχουν διάφοροι κύριοι τύποι συμμετρίας, από τους οποίους τρεις είναι οι πιο συνηθισμένοι:

ολίσθηση;
περιστροφικός;
σημείο;
προοδευτικός;
βίδα;
φράκταλ?
και τα λοιπά.

Βασικά στοιχεία

Άξονες

Συχνά το στοιχείο σε σχέση με το οποίο ένα σχήμα μπορεί να ονομαστεί συμμετρικό είναι

εμφανίζεται μια ευθεία γραμμή ή τμήμα. Σε κάθε περίπτωση, δεν μιλάμε για σημείο ή επίπεδο. Στη συνέχεια εξετάζονται τα στοιχεία. Μπορεί να υπάρχουν πολλά από αυτά και μπορούν να εντοπιστούν με οποιονδήποτε τρόπο: να χωρίζουν τις πλευρές ή να είναι παράλληλες με αυτές, καθώς και να τέμνονται γωνίες ή να μην το κάνουν. Οι άξονες συμμετρίας συνήθως ορίζονται ως L.

Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν ισοσκελές και Στην πρώτη περίπτωση, θα υπάρχει ένας κατακόρυφος άξονας συμμετρίας, στις δύο πλευρές του οποίου υπάρχουν ίσες όψεις, και στη δεύτερη, οι γραμμές θα τέμνουν κάθε γωνία και θα συμπίπτουν με όλες τις διχοτόμους, τις διάμεσους και τα υψόμετρα. Τα συνηθισμένα τρίγωνα δεν έχουν αυτό.

Παραδείγματα στη γεωμετρία

Συμβατικά, μπορούμε να χωρίσουμε ολόκληρο το σύνολο των αντικειμένων μελέτης των μαθηματικών σε σχήματα που έχουν άξονα συμμετρίας και σε εκείνα που δεν έχουν. Όλοι οι κύκλοι, τα οβάλ, καθώς και κάποιες ειδικές θήκες εμπίπτουν αυτόματα στην πρώτη κατηγορία, ενώ οι υπόλοιποι στη δεύτερη ομάδα.

Όπως και στην περίπτωση που μιλήσαμε για τον άξονα συμμετρίας ενός τριγώνου, αυτό το στοιχείο δεν υπάρχει πάντα για ένα τετράπλευρο. Για ένα τετράγωνο, ορθογώνιο, ρόμβο ή παραλληλόγραμμο είναι, αλλά για ένα ακανόνιστο σχήμα, κατά συνέπεια, δεν είναι. Για έναν κύκλο, ο άξονας συμμετρίας είναι το σύνολο των ευθειών που διέρχονται από το κέντρο του.

Παραδείγματα στη φύση

Στη ζωή λέγεται διμερής, εμφανίζεται περισσότερο
συχνά. Κάθε άτομο και πολλά ζώα είναι ένα παράδειγμα αυτού. Η αξονική ονομάζεται ακτινωτή και απαντάται πολύ σπανιότερα, κατά κανόνα, στον φυτικό κόσμο. Κι όμως υπάρχουν. Για παράδειγμα, αξίζει να σκεφτούμε πόσους άξονες συμμετρίας έχει ένα αστέρι και έχει καθόλου; Φυσικά, μιλάμε για θαλάσσια ζωή και όχι για το αντικείμενο μελέτης των αστρονόμων. Και η σωστή απάντηση θα ήταν: εξαρτάται από τον αριθμό των ακτίνων του αστεριού, για παράδειγμα πέντε, αν είναι πεντάκτινο.

Αρρυθμία

Αυτός ο όρος, πρώτα απ 'όλα, θυμίζει περισσότερο την ιατρική και την καρδιολογία, αλλά αρχικά έχει μια ελαφρώς διαφορετική σημασία. Σε αυτή την περίπτωση, το συνώνυμο θα είναι η «ασυμμετρία», δηλαδή η απουσία ή η παραβίαση της κανονικότητας με τη μία ή την άλλη μορφή. Μπορεί να θεωρηθεί ως ατύχημα, και μερικές φορές μπορεί να γίνει μια υπέροχη τεχνική, για παράδειγμα στην ένδυση ή την αρχιτεκτονική. Άλλωστε, υπάρχουν πολλά συμμετρικά κτίρια, αλλά το περίφημο έχει ελαφρώς κλίση, και αν και δεν είναι το μόνο, είναι το πιο διάσημο παράδειγμα. Είναι γνωστό ότι αυτό συνέβη τυχαία, αλλά αυτό έχει τη δική του γοητεία.

Υπάρχουν δύο τύποι συμμετρίας: η κεντρική και η αξονική. Με κεντρική συμμετρία, κάθε ευθεία γραμμή που διασχίζεται από το κέντρο του σχήματος το χωρίζει σε δύο απολύτως πανομοιότυπα μέρη που είναι εντελώς συμμετρικά. Με απλά λόγια, είναι κατοπτρικά είδωλα το ένα του άλλου. Ένας άπειρος αριθμός τέτοιων γραμμών μπορεί να σχεδιαστεί γύρω από έναν κύκλο· σε κάθε περίπτωση, θα τον χωρίσουν σε δύο συμμετρικά μέρη.

ΑΞΟΝΑΣ συμμετριας

Τα περισσότερα γεωμετρικά σχήματα δεν έχουν τέτοια χαρακτηριστικά. Μόνο ο άξονας συμμετρίας μπορεί να σχεδιαστεί σε αυτά, και όχι για όλους. Ένας άξονας είναι επίσης μια ευθεία γραμμή που χωρίζει ένα σχήμα σε συμμετρικά μέρη. Αλλά για τον άξονα συμμετρίας υπάρχει μόνο μια συγκεκριμένη θέση και αν αλλάξει ελαφρώς, η συμμετρία θα σπάσει.

Είναι λογικό κάθε τετράγωνο να έχει άξονα συμμετρίας, γιατί όλες οι πλευρές του είναι ίσες και κάθε γωνία είναι ενενήντα μοίρες. Τα τρίγωνα είναι διαφορετικά. Τα τρίγωνα, στα οποία όλες οι πλευρές είναι διαφορετικές, δεν μπορούν να έχουν ούτε άξονα ούτε κέντρο συμμετρίας. Αλλά σε ισοσκελή τρίγωνα μπορείτε να σχεδιάσετε έναν άξονα συμμετρίας. Θυμηθείτε ότι ένα ισοσκελές τρίγωνο θεωρείται ότι έχει δύο ίσες πλευρές και, κατά συνέπεια, δύο ίσες γωνίες δίπλα στην τρίτη πλευρά - τη βάση. Για ένα ισοσκελές τρίγωνο, ο άξονας θα είναι μια ευθεία γραμμή που περνά από την κορυφή του τριγώνου στη βάση. Σε αυτή την περίπτωση, αυτή η γραμμή θα είναι και διάμεσος και διχοτόμος, αφού θα διαιρέσει τη γωνία στο μισό και θα φτάσει ακριβώς στη μέση της τρίτης πλευράς. Εάν διπλώσετε ένα τρίγωνο κατά μήκος αυτής της ευθείας γραμμής, οι φιγούρες που θα προκύψουν θα αντιγραφούν πλήρως το ένα το άλλο. Ωστόσο, σε ένα ισοσκελές τρίγωνο μπορεί να υπάρχει μόνο ένας άξονας συμμετρίας. Αν τραβήξουμε μια άλλη ευθεία στο κέντρο του, δεν θα τη χωρίσει σε δύο συμμετρικά μέρη.

Ειδικό τρίγωνο

Το ισόπλευρο τρίγωνο είναι μοναδικό. Αυτό είναι ένα ειδικό είδος τριγώνου, το οποίο είναι επίσης ισοσκελές. Είναι αλήθεια ότι κάθε πλευρά του μπορεί να θεωρηθεί βάση, αφού όλες οι πλευρές του είναι ίσες και κάθε γωνία είναι εξήντα μοίρες. Επομένως, ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις άξονες συμμετρίας. Αυτές οι γραμμές συγκλίνουν σε ένα σημείο στο κέντρο του τριγώνου. Αλλά και αυτό το χαρακτηριστικό δεν μετατρέπει ένα ισόπλευρο τρίγωνο σε σχήμα με κεντρική συμμετρία. Ακόμη και ένα ισόπλευρο τρίγωνο δεν έχει κέντρο συμμετρίας, αφού μέσα από το υποδεικνυόμενο σημείο μόνο τρεις ευθείες χωρίζουν το σχήμα σε ίσα μέρη. Εάν σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή σε διαφορετική κατεύθυνση, τότε το τρίγωνο δεν θα έχει πλέον συμμετρία. Αυτό σημαίνει ότι αυτά τα σχήματα έχουν μόνο αξονική συμμετρία.