Εισαγωγή
Συνάφεια του ερευνητικού θέματος.Οι κωνικές τομές ήταν ήδη γνωστές στους μαθηματικούς Αρχαία Ελλάδα(για παράδειγμα, Μεναίχμος, 4ος αιώνας π.Χ.). Με τη βοήθεια αυτών των καμπυλών, λύθηκαν ορισμένα κατασκευαστικά προβλήματα (διπλασιασμός κύβου κ.λπ.), τα οποία αποδείχθηκαν απρόσιτα όταν χρησιμοποιούσατε τα πιο απλά εργαλεία σχεδίασης - πυξίδες και χάρακες. Στις πρώτες μελέτες που έφτασαν σε εμάς, οι Έλληνες γεωμέτροι απέκτησαν κωνικές τομές σχεδιάζοντας ένα επίπεδο κοπής κάθετο σε μία από τις γεννήτριες και, ανάλογα με τη γωνία ανοίγματος στην κορυφή του κώνου (δηλαδή, τη μεγαλύτερη γωνία μεταξύ των γεννητριών μιας κοιλότητας), η γραμμή τομής αποδείχθηκε έλλειψη, εάν αυτή η γωνία είναι οξεία, παραβολή εάν είναι ορθή γωνία και υπερβολή εάν είναι αμβλεία. Το πιο ολοκληρωμένο έργο σε αυτές τις καμπύλες ήταν οι Κωνικές Τομές του Απολλώνιου της Πέργας (περίπου 200 π.Χ.). Περαιτέρω πρόοδος στη θεωρία των κωνικών τομών συνδέονται με τη δημιουργία τον 17ο αιώνα. νέες γεωμετρικές μέθοδοι: προβολικές (Γάλλοι μαθηματικοί J. Desargues, B. Pascal) και ιδιαίτερα συντεταγμένες (Γάλλοι μαθηματικοί R. Descartes, P. Fermat).
Το ενδιαφέρον για τις κωνικές τομές υποστηρίζεται πάντα από το γεγονός ότι αυτές οι καμπύλες απαντώνται συχνά σε διάφορα φυσικά φαινόμενα και σε ανθρώπινη δραστηριότητα. Στην επιστήμη, οι κωνικές τομές απέκτησαν ιδιαίτερη σημασία αφού ο Γερμανός αστρονόμος I. Kepler ανακάλυψε από παρατηρήσεις και ο Άγγλος επιστήμονας I. Newton τεκμηρίωσε θεωρητικά τους νόμους της κίνησης των πλανητών, ένας από τους οποίους αναφέρει ότι πλανήτες και κομήτες ηλιακό σύστημακινείται κατά μήκος κωνικών τμημάτων, σε μία από τις εστίες των οποίων βρίσκεται ο Ήλιος. Τα ακόλουθα παραδείγματα αναφέρονται σε ορισμένους τύπους κωνικών τομών: μια παραβολή περιγράφεται από ένα βλήμα ή μια πέτρα που ρίχνεται λοξά στον ορίζοντα ( σωστή φόρμαη καμπύλη παραμορφώνεται ελαφρώς από την αντίσταση του αέρα). ορισμένοι μηχανισμοί χρησιμοποιούν ελλειπτικά γρανάζια ("ελλειπτικά γρανάζια"). η υπερβολή χρησιμεύει ως γραφική παράσταση αντιστρόφου αναλογικότητας, που παρατηρείται συχνά στη φύση (για παράδειγμα, ο νόμος Boyle-Mariotte).
Στόχος της εργασίας:
Μελέτη της θεωρίας των κωνικών τομών.
Θέμα έρευνας:
Κωνικές τομές.
Σκοπός έρευνας:
Μελετήστε θεωρητικά τα χαρακτηριστικά των κωνικών τομών.
Αντικείμενο μελέτης:
Κωνικές τομές.
Αντικείμενο μελέτης:
Ιστορική εξέλιξη κωνικών τομών.
1. Σχηματισμός κωνικών τομών και τύποι τους
Οι κωνικές τομές είναι γραμμές που σχηματίζονται στην τομή ενός δεξιού κυκλικού κώνου με διαφορετικά επίπεδα.
Σημειώστε ότι μια κωνική επιφάνεια είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από την κίνηση μιας ευθείας γραμμής που διέρχεται πάντα από ένα σταθερό σημείο (την κορυφή του κώνου) και τέμνει συνεχώς μια σταθερή καμπύλη - έναν οδηγό (στην περίπτωσή μας, έναν κύκλο).
Με την ταξινόμηση αυτών των γραμμών σύμφωνα με τη φύση της θέσης των επιπέδων κοπής σε σχέση με τις γενετικές δομές του κώνου, προκύπτουν τρεις τύποι καμπυλών:
I. Καμπύλες που σχηματίζονται με την κοπή ενός κώνου με επίπεδα που δεν είναι παράλληλα σε καμία από τις γεννείες. Τέτοιες καμπύλες θα είναι διάφοροι κύκλοι και ελλείψεις. Αυτές οι καμπύλες ονομάζονται ελλειπτικές καμπύλες.
II. Καμπύλες που σχηματίζονται από μια τομή ενός κώνου από επίπεδα, καθένα από τα οποία είναι παράλληλο με ένα από τα γενετικά στοιχεία του κώνου (Εικ. 1 β). Μόνο παραβολές θα είναι τέτοιες καμπύλες.
III. Καμπύλες που σχηματίζονται από μια τομή ενός κώνου από επίπεδα, καθένα από τα οποία είναι παράλληλο σε δύο περίπου γεννήτριες (Εικ. 1 γ). τέτοιες καμπύλες θα είναι υπερβολές.
Δεν μπορεί πλέον να υπάρχει κανένας τύπος IV καμπυλών, αφού δεν μπορεί να υπάρχει ένα επίπεδο παράλληλο σε τρεις γεννείες του κώνου ταυτόχρονα, αφού δεν υπάρχουν τρεις γενεσιουργοί του ίδιου του κώνου δεν βρίσκονται πλέον στο ίδιο επίπεδο.
Σημειώστε ότι ο κώνος μπορεί να τέμνεται από επίπεδα έτσι ώστε η τομή να παράγει δύο ευθείες γραμμές. Για να γίνει αυτό, τα επίπεδα κοπής πρέπει να συρθούν μέσω της κορυφής του κώνου.
2. Έλειψη
Για τη μελέτη των ιδιοτήτων των κωνικών τομών, δύο θεωρήματα είναι σημαντικά:
Θεώρημα 1. Έστω ένας ευθύς κυκλικός κώνος, ο οποίος διατέμνεται από επίπεδα b 1, b 2, b 3, κάθετα στον άξονά του. Τότε όλα τα τμήματα των γεννητριών του κώνου μεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους κύκλων (που λαμβάνονται σε μια τομή με τα δεδομένα επίπεδα) είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ. A 1 B 1 = A 2 B 2 = κ.λπ. και B 1 C 1 = B 2 C 2 = κ.λπ. Θεώρημα 2. Αν δίνεται μια σφαιρική επιφάνεια και κάποιο σημείο S έξω από αυτήν, τότε τα εφαπτομενικά τμήματα που σχεδιάζονται από το σημείο S στη σφαιρική επιφάνεια θα είναι ίσα μεταξύ τους, δηλ. SA 1 =SA 2 =SA 3, κ.λπ.
2.1 Βασική ιδιότητα της έλλειψης
Ας ανακόψουμε έναν ευθύ κυκλικό κώνο με ένα επίπεδο που τέμνει όλα τα συστατικά του.Στην τομή παίρνουμε μια έλλειψη. Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο κάθετο στο επίπεδο διαμέσου του άξονα του κώνου.
Ας εγγράψουμε δύο μπάλες στον κώνο έτσι ώστε να βρίσκονται στις απέναντι πλευρές του επιπέδου και να ακουμπούν κωνική επιφάνεια, ο καθένας τους άγγιξε το αεροπλάνο κάποια στιγμή.
Αφήστε τη μια μπάλα να αγγίξει το επίπεδο στο σημείο F 1 και να αγγίξει τον κώνο κατά μήκος του κύκλου C 1 και η άλλη στο σημείο F 2 και να ακουμπήσει τον κώνο κατά μήκος του κύκλου C 2.
Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο P στην έλλειψη.
Αυτό σημαίνει ότι όλα τα συμπεράσματα που εξάγονται σχετικά θα ισχύουν για οποιοδήποτε σημείο της έλλειψης. Ας σχεδιάσουμε μια γεννήτρια του OP του κώνου και ας σημειώσουμε τα σημεία R 1 και R 2 στα οποία αγγίζει τις κατασκευασμένες μπάλες.
Ας συνδέσουμε το σημείο P με τα σημεία F 1 και F 2. Τότε РF 1 =РR 1 και РF 2 =РR 2, αφού τα РF 1, РR 1 είναι εφαπτομένες που σχεδιάζονται από το σημείο P σε μια σφαίρα και οι РF 2, РR 2 είναι εφαπτομένες από το σημείο P σε μια άλλη σφαίρα (Θεώρημα 2 ). Προσθέτοντας και τις δύο ισότητες ανά όρο, βρίσκουμε
РF 1 + РF 2 = РR 1 + РR 2 = R 1 R 2 (1)
Αυτή η σχέση δείχνει ότι το άθροισμα των αποστάσεων (РF 1 και РF 2) ενός αυθαίρετου σημείου P της έλλειψης σε δύο σημεία F 1 και F 2 είναι μια σταθερή τιμή για μια δεδομένη έλλειψη (δηλαδή, δεν εξαρτάται από το θέση του σημείου P στην έλλειψη).
Τα σημεία F 1 και F 2 ονομάζονται εστίες της έλλειψης. Τα σημεία στα οποία η ευθεία F 1 F 2 τέμνει την έλλειψη ονομάζονται κορυφές της έλλειψης. Το τμήμα μεταξύ των κορυφών ονομάζεται κύριος άξονας της έλλειψης.
Το μήκος του τμήματος γεννήτριας R 1 R 2 είναι ίσο με τον κύριο άξονα της έλλειψης. Στη συνέχεια, η κύρια ιδιότητα της έλλειψης διατυπώνεται ως εξής: το άθροισμα των αποστάσεων ενός αυθαίρετου σημείου P της έλλειψης στις εστίες F 1 και F 2 είναι μια σταθερή τιμή για μια δεδομένη έλλειψη, ίση με το μήκος του κύριου άξονά της .
Σημειώστε ότι αν οι εστίες της έλλειψης συμπίπτουν, τότε η έλλειψη είναι κύκλος, δηλ. κύκλος - ειδική περίπτωσηέλλειψη.
2.2 Εξίσωση έλλειψης
Για να κατασκευάσουμε την εξίσωση μιας έλλειψης, πρέπει να θεωρήσουμε την έλλειψη ως έναν τόπο σημείων που έχουν κάποια ιδιότητα που χαρακτηρίζει αυτόν τον τόπο. Ας πάρουμε την κύρια ιδιότητα της έλλειψης ως ορισμό της: Η έλλειψη είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο για τον οποίο το άθροισμα των αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία F 1 και F 2 αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι σταθερή τιμή ίσο με το μήκος του κύριου άξονά του.
Έστω το μήκος του τμήματος F 1 F 2 = 2c και το μήκος του κύριου άξονα ίσο με 2a. Για να εξαγάγουμε την κανονική εξίσωση της έλλειψης, επιλέγουμε την αρχή O του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων στο μέσο του τμήματος F 1 F 2 και κατευθύνουμε τους άξονες Ox και Oy όπως φαίνεται στο σχήμα 5. (Εάν οι εστίες συμπίπτουν, τότε Το O συμπίπτει με τα F 1 και F 2, και πέρα από τον άξονα Ox μπορεί να είναι οποιοσδήποτε άξονας που διέρχεται από το O). Στη συνέχεια, στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων τα σημεία F 1 (c, 0) και F 2 (-c, 0). Προφανώς, 2a>2c, δηλ. α>γ. Έστω M(x, y) ένα σημείο στο επίπεδο που ανήκει στην έλλειψη. Έστω MF 1 =r 1, MF 2 =r 2. Σύμφωνα με τον ορισμό της έλλειψης, η ισότητα
r 1 +r 2 =2a (2) είναι απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη θέση του σημείου M (x, y) σε μια δεδομένη έλλειψη. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, παίρνουμε
r 1 =, r 2 =. Ας επιστρέψουμε στην ισότητα (2):
Ας μετακινήσουμε μια ρίζα στη δεξιά πλευρά της ισότητας και ας την τετραγωνίσουμε:
Μειώνοντας, παίρνουμε:
Παρουσιάζουμε παρόμοια, μειώνουμε κατά 4 και αφαιρούμε το ριζικό:
Τετραγωνισμός
Ανοίξτε τις αγκύλες και συντομεύστε σε:
που φτάνουμε:
(a 2 -c 2) x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2). (3)
Σημειώστε ότι ένα 2 -c 2 >0. Πράγματι, το r 1 +r 2 είναι το άθροισμα δύο πλευρών του τριγώνου F 1 MF 2, και το F 1 F 2 είναι η τρίτη του πλευρά. Επομένως, r 1 +r 2 > F 1 F 2, ή 2a>2c, δηλ. α>γ. Ας συμβολίσουμε ένα 2 -c 2 =b 2. Η εξίσωση (3) θα μοιάζει με: b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2. Ας πραγματοποιήσουμε έναν μετασχηματισμό που φέρνει την εξίσωση έλλειψης στην κανονική (κυριολεκτικά: λαμβάνεται ως μοντέλο), δηλαδή, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με a 2 b 2:
(4) - κανονική εξίσωση μιας έλλειψης.
Εφόσον η εξίσωση (4) είναι αλγεβρική συνέπεια της εξίσωσης (2*), οι συντεταγμένες x και y οποιουδήποτε σημείου M της έλλειψης θα ικανοποιούν επίσης την εξίσωση (4). Δεδομένου ότι κατά τη διάρκεια αλγεβρικών μετασχηματισμών που σχετίζονται με την απαλλαγή από ρίζες, θα μπορούσαν να εμφανιστούν "επιπλέον ρίζες", είναι απαραίτητο να βεβαιωθείτε ότι οποιοδήποτε σημείο M, οι συντεταγμένες του οποίου ικανοποιούν την εξίσωση (4), βρίσκεται σε αυτήν την έλλειψη. Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδείξουμε ότι οι τιμές των r 1 και r 2 για κάθε σημείο ικανοποιούν τη σχέση (2). Άρα, έστω οι συντεταγμένες x και y του σημείου M ικανοποιούν την εξίσωση (4). Αντικαθιστώντας την τιμή του y 2 από το (4) στην παράσταση r 1, μετά από απλούς μετασχηματισμούς βρίσκουμε ότι r 1 =. Αφού, τότε r 1 =. Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο βρίσκουμε ότι r 2 =. Έτσι, για το εξεταζόμενο σημείο M r 1 =, r 2 =, δηλ. r 1 +r 2 =2a, άρα το σημείο M βρίσκεται στην έλλειψη. Τα μεγέθη a και b ονομάζονται μείζον και μικρότερο ημιάξονες της έλλειψης, αντίστοιχα.
2.3 Μελέτη του σχήματος μιας έλλειψης χρησιμοποιώντας την εξίσωσή της
Ας ορίσουμε το σχήμα της έλλειψης χρησιμοποιώντας το κανονική εξίσωση.
1. Η εξίσωση (4) περιέχει x και y μόνο σε ζυγές δυνάμεις, οπότε αν ένα σημείο (x, y) ανήκει σε έλλειψη, τότε περιέχει και σημεία (x, - y), (-x, y), (- x, - y). Από αυτό προκύπτει ότι η έλλειψη είναι συμμετρική ως προς τους άξονες Ox και Oy, καθώς και ως προς το σημείο O (0,0), το οποίο ονομάζεται κέντρο της έλλειψης.
2. Να βρείτε τα σημεία τομής της έλλειψης με τους άξονες συντεταγμένων. Θέτοντας y=0, βρίσκουμε δύο σημεία A 1 (a, 0) και A 2 (-a, 0), στα οποία ο άξονας Ox τέμνει την έλλειψη. Βάζοντας x=0 στην εξίσωση (4), βρίσκουμε τα σημεία τομής της έλλειψης με τον άξονα Oy: B 1 (0, b) και. B 2 (0, - β) Τα σημεία A 1, A 2, B 1, B 2 ονομάζονται κορυφές της έλλειψης.
3. Από την εξίσωση (4) προκύπτει ότι κάθε όρος στην αριστερή πλευρά δεν υπερβαίνει τον έναν, δηλ. οι ανισότητες και ή και λαμβάνουν χώρα. Κατά συνέπεια, όλα τα σημεία της έλλειψης βρίσκονται μέσα στο ορθογώνιο που σχηματίζεται από τις ευθείες γραμμές.
4. Στην εξίσωση (4), το άθροισμα των μη αρνητικών όρων και είναι ίσο με ένα. Κατά συνέπεια, όσο αυξάνεται ο ένας όρος, θα μειώνεται ο άλλος, δηλ. αν το x αυξάνεται, τότε το y μειώνεται και το αντίστροφο.
Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η έλλειψη έχει το σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 6 (οβάλ κλειστή καμπύλη).
Σημειώστε ότι αν a = b, τότε η εξίσωση (4) θα πάρει τη μορφή x 2 + y 2 = a 2 . Αυτή είναι η εξίσωση ενός κύκλου. Μια έλλειψη μπορεί να ληφθεί από έναν κύκλο με ακτίνα a εάν συμπιεστεί από έναν παράγοντα κατά μήκος του άξονα Oy. Με τέτοια συμπίεση, το σημείο (x; y) θα μετακινηθεί στο σημείο (x; y 1), όπου. Αντικαθιστώντας κύκλους στην εξίσωση, παίρνουμε την εξίσωση της έλλειψης: .
Ας εισαγάγουμε μια ακόμη ποσότητα που χαρακτηρίζει το σχήμα της έλλειψης.
Η εκκεντρότητα μιας έλλειψης είναι ο λόγος της εστιακής απόστασης 2c προς το μήκος 2a του κύριου άξονά της.
Η εκκεντρικότητα συνήθως συμβολίζεται με e: e=Αφού γ< a, то. Заметив, что c 2 = a 2 - b 2 , находим: , отсюда.
Από την τελευταία ισότητα είναι εύκολο να ληφθεί μια γεωμετρική ερμηνεία της εκκεντρότητας της έλλειψης. Όταν είναι πολύ μικροί, οι αριθμοί a και b είναι σχεδόν ίσοι, δηλαδή η έλλειψη είναι κοντά σε έναν κύκλο. Αν είναι κοντά στο ένα, τότε ο αριθμός b είναι πολύ μικρός σε σύγκριση με τον αριθμό a και η έλλειψη είναι έντονα επιμήκης κατά μήκος του κύριου άξονα. Έτσι, η εκκεντρότητα της έλλειψης χαρακτηρίζει το μέτρο της επιμήκυνσης της έλλειψης.
3. Υπερβολία
3.1 Η κύρια ιδιότητα μιας υπερβολής
Μελετώντας την υπερβολή χρησιμοποιώντας κατασκευές παρόμοιες με αυτές που πραγματοποιήθηκαν για τη μελέτη της έλλειψης, θα διαπιστώσουμε ότι η υπερβολή έχει ιδιότητες παρόμοιες με αυτές της έλλειψης.
Ας ανατέμνουμε έναν ευθύ κυκλικό κώνο με το επίπεδο b να τέμνει και τα δύο του επίπεδα, δηλ. παράλληλα με τις δύο γεννήτριές του. Η διατομή θα οδηγήσει σε υπερβολή. Ας σχεδιάσουμε το επίπεδο ASB διαμέσου του άξονα ST του κώνου, κάθετο στο επίπεδο b.
Ας εγγράψουμε δύο μπάλες στον κώνο - η μία στη μία κοιλότητα του, η άλλη στην άλλη, έτσι ώστε καθεμία από αυτές να αγγίζει την κωνική επιφάνεια και το επίπεδο τομής. Αφήστε την πρώτη μπάλα να αγγίξει το επίπεδο b στο σημείο F 1 και να αγγίξει την κωνική επιφάνεια κατά μήκος του κύκλου UґVґ. Αφήστε τη δεύτερη μπάλα να αγγίξει το επίπεδο b στο σημείο F 2 και να αγγίξει την κωνική επιφάνεια κατά μήκος του κύκλου UV.
Ας επιλέξουμε ένα αυθαίρετο σημείο M στην υπερβολή. Σχεδιάστε μια γενεαλογική διάταξη του κώνου MS μέσα από αυτό και σημειώστε τα σημεία d και D στα οποία αγγίζει την πρώτη και τη δεύτερη σφαίρα. Ας συνδέσουμε το σημείο Μ με τα σημεία F 1, F 2, που θα ονομάσουμε εστίες της υπερβολής. Τότε MF 1 =Md, αφού και τα δύο τμήματα εφάπτονται στην πρώτη μπάλα, που έχει τραβηχτεί από το σημείο M. Ομοίως, MF 2 =MD. Αφαιρώντας τον δεύτερο όρο ισότητας ανά όρο από τον πρώτο, βρίσκουμε
MF 1 -MF 2 =Md-MD=dD,
όπου dD είναι μια σταθερή τιμή (ως γεννήτρια κώνου με βάσεις UґVґ και UV), ανεξάρτητα από την επιλογή του σημείου M στην υπερβολή. Ας συμβολίσουμε με P και Q τα σημεία στα οποία η ευθεία F 1 F 2 τέμνει την υπερβολή. Αυτά τα σημεία P και Q ονομάζονται κορυφές της υπερβολής. Το τμήμα PQ ονομάζεται πραγματικός άξονας της υπερβολής. Στο μάθημα της στοιχειώδους γεωμετρίας αποδεικνύεται ότι dD=PQ. Επομένως MF 1 -MF 2 =PQ.
Αν το σημείο M βρίσκεται στον κλάδο της υπερβολής κοντά στον οποίο βρίσκεται η εστία F 1, τότε MF 2 -MF 1 = PQ. Τότε τελικά παίρνουμε MF 1 -MF 2 =PQ.
Το μέτρο της διαφοράς μεταξύ των αποστάσεων ενός αυθαίρετου σημείου M μιας υπερβολής από τις εστίες F 1 και F 2 είναι μια σταθερή τιμή ίση με το μήκος του πραγματικού άξονα της υπερβολής.
3.2 Εξίσωση υπερβολής
Ας πάρουμε την κύρια ιδιότητα μιας υπερβολής ως ορισμό της: Υπερβολή είναι ο τόπος των σημείων σε ένα επίπεδο για τον οποίο το μέτρο της διαφοράς αποστάσεων σε δύο σταθερά σημεία F 1 και F 2 αυτού του επιπέδου, που ονομάζονται εστίες, είναι ένα σταθερή τιμή ίση με το μήκος του πραγματικού του άξονα.
Έστω το μήκος του τμήματος F 1 F 2 = 2c και το μήκος του πραγματικού άξονα ίσο με 2a. Για να εξαγάγουμε την κανονική εξίσωση υπερβολής, επιλέγουμε την αρχή O του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων στο μέσο του τμήματος F 1 F 2 και κατευθύνουμε τους άξονες Ox και Oy όπως φαίνεται στο σχήμα 5. Στη συνέχεια, στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων τα σημεία F 1 (c, 0) και F2 (-s, 0). Προφανώς 2α<2с, т.е. а<с. Пусть М (х, у) - точка плоскости, принадлежащая гиперболе. Пусть МF 1 =r 1 , МF 2 =r 2 . Согласно определению гиперболы равенство
r 1 -r 2 =2a (5) είναι απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για τη θέση του σημείου M (x, y) σε μια δεδομένη υπερβολή. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων, παίρνουμε
r 1 =, r 2 =. Ας επιστρέψουμε στην ισότητα (5):
Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας
(x+c) 2 +y 2 =4a 2 ±4a+(x-c) 2 +y 2
Μειώνοντας, παίρνουμε:
2 xc=4a 2 ±4a-2 xc
±4a=4a 2 -4 xc
a 2 x 2 -2a 2 xc+a 2 c 2 +a 2 y 2 =a 4 -2a 2 xc+x 2 c 2
x 2 (c 2 -a 2) - a 2 y 2 = a 2 (c 2 -a 2) (6)
Σημειώστε ότι με 2 -a 2 >0. Ας συμβολίσουμε c 2 -a 2 =b 2 . Η εξίσωση (6) θα μοιάζει με: b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2. Ας εκτελέσουμε έναν μετασχηματισμό που φέρνει την εξίσωση της υπερβολής σε κανονική μορφή, δηλαδή, διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με a 2 b 2: (7) - η κανονική εξίσωση μιας υπερβολής, τα μεγέθη a και b είναι οι πραγματικοί και φανταστικοί ημιάξονες της υπερβολής, αντίστοιχα.
Πρέπει να βεβαιωθούμε ότι η εξίσωση (7), που προκύπτει από αλγεβρικούς μετασχηματισμούς της εξίσωσης (5*), δεν έχει αποκτήσει νέες ρίζες. Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε σημείο M, οι συντεταγμένες x και y του οποίου ικανοποιούν την εξίσωση (7), οι τιμές r 1 και r 2 ικανοποιούν τη σχέση (5). Πραγματοποιώντας επιχειρήματα παρόμοια με αυτά που έγιναν κατά την εξαγωγή του τύπου έλλειψης, βρίσκουμε τις ακόλουθες εκφράσεις για τα r 1 και r 2:
Έτσι, για το σημείο M που εξετάζουμε έχουμε r 1 -r 2 =2a, και επομένως βρίσκεται στην υπερβολή.
3.3 Μελέτη της εξίσωσης υπερβολής
Τώρα ας προσπαθήσουμε, με βάση την εξέταση της εξίσωσης (7), να πάρουμε μια ιδέα για τη θέση της υπερβολής.
1. Πρώτα απ 'όλα, η εξίσωση (7) δείχνει ότι η υπερβολή είναι συμμετρική και ως προς τους δύο άξονες. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι η εξίσωση της καμπύλης περιλαμβάνει μόνο ζυγές δυνάμεις συντεταγμένων. 2. Ας σημειώσουμε τώρα την περιοχή του επιπέδου όπου θα βρίσκεται η καμπύλη. Η εξίσωση μιας υπερβολής, που επιλύεται ως προς το y, έχει τη μορφή:
Δείχνει ότι το y υπάρχει πάντα όταν x 2; Α2. Αυτό σημαίνει ότι στο x; a και για x; - a η τεταγμένη y θα είναι πραγματική, και για - a Περαιτέρω, καθώς το x αυξάνεται (και το a είναι μεγαλύτερο), η τεταγμένη y θα αυξάνεται επίσης συνεχώς (ιδίως, είναι σαφές από εδώ ότι η καμπύλη δεν μπορεί να είναι κυματιστή, δηλ., έτσι ώστε καθώς η τετμημένη x αυξάνεται, η τεταγμένη y είτε αυξάνεται είτε μειώνεται) . Η. Το κέντρο μιας υπερβολής είναι ένα σημείο σε σχέση με το οποίο κάθε σημείο της υπερβολής έχει ένα σημείο πάνω του που είναι συμμετρικό με τον εαυτό του. Το σημείο O(0,0), η αρχή, όπως και για την έλλειψη, είναι το κέντρο της υπερβολής που ορίζεται από την κανονική εξίσωση. Αυτό σημαίνει ότι κάθε σημείο της υπερβολής έχει ένα συμμετρικό σημείο στην υπερβολή σε σχέση με το σημείο Ο. Αυτό προκύπτει από τη συμμετρία της υπερβολής σε σχέση με τους άξονες Ox και Oy. Κάθε χορδή μιας υπερβολής που διέρχεται από το κέντρο της ονομάζεται διάμετρος της υπερβολής. 4. Τα σημεία τομής μιας υπερβολής με την ευθεία στην οποία βρίσκονται οι εστίες της ονομάζονται κορυφές της υπερβολής και το τμήμα μεταξύ τους ονομάζεται πραγματικός άξονας της υπερβολής. Σε αυτή την περίπτωση, ο πραγματικός άξονας είναι ο άξονας Ox. Σημειώστε ότι ο πραγματικός άξονας μιας υπερβολής ονομάζεται συχνά και το τμήμα 2a και η ίδια η ευθεία (άξονας Ox) στην οποία βρίσκεται. Ας βρούμε τα σημεία τομής της υπερβολής με τον άξονα Oy. Η εξίσωση για τον άξονα Oy είναι x=0. Αντικαθιστώντας το x = 0 στην εξίσωση (7), βρίσκουμε ότι η υπερβολή δεν έχει σημεία τομής με τον άξονα Oy. Αυτό είναι κατανοητό, αφού σε μια λωρίδα πλάτους 2a, που καλύπτει τον άξονα Oy, δεν υπάρχουν σημεία υπερβολής. Η ευθεία που είναι κάθετη στον πραγματικό άξονα της υπερβολής και διέρχεται από το κέντρο της ονομάζεται νοητός άξονας της υπερβολής. Στην περίπτωση αυτή συμπίπτει με τον άξονα Oy. Άρα, οι παρονομαστές των όρων με x 2 και y 2 στην εξίσωση υπερβολής (7) περιέχουν τα τετράγωνα του πραγματικού και του φανταστικού ημιάξονα της υπερβολής. 5. Η υπερβολή τέμνει την ευθεία y = kx στο k< в двух точках. Если k то общих точек у прямой и гиперболы нет. Απόδειξη Για να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες των σημείων τομής της υπερβολής και της ευθείας y = kx, πρέπει να λύσετε το σύστημα εξισώσεων Εξαλείφοντας το y, παίρνουμε ή Για b 2 -k 2 a 2 0 δηλαδή για k η εξίσωση που προκύπτει, άρα και το σύστημα, δεν έχει λύσεις. Ευθείες με εξισώσεις y= και y= ονομάζονται ασύμπτωτες υπερβολής. Για b 2 -k 2 a 2 >0 δηλαδή για k< система имеет два решения: Κατά συνέπεια, κάθε ευθεία που διέρχεται από την αρχή, με κλίση k< пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения (a; 0) и (- a; 0) - вершины гиперболы. 6. Οπτική ιδιότητα μιας υπερβολής: οι οπτικές ακτίνες που προέρχονται από μια εστία της υπερβολής, που ανακλώνται από αυτήν, φαίνονται να προέρχονται από τη δεύτερη εστία. Η εκκεντρότητα μιας υπερβολής είναι ο λόγος της εστιακής απόστασης 2c προς το μήκος 2a του πραγματικού άξονά της; = Αφού c > a, τότε e > 1, που σημαίνει ότι οι εστίες της υπερβολής, όπως στην περίπτωση μιας έλλειψης, είναι που βρίσκεται μέσα στην καμπύλη, 3.4 Συζυγής υπερβολή Μαζί με την υπερβολή (7), θεωρείται το λεγόμενο συζυγές υπερβολής. Η συζυγής υπερβολή ορίζεται από την κανονική εξίσωση. Στο Σχ. Το 10 δείχνει την υπερβολή (7) και τη συζευγμένη υπερβολή. Η συζευγμένη υπερβολή έχει τις ίδιες ασύμπτωτες με τη δεδομένη, αλλά F 1 (0, c), 4. Παραβολή
4.1 Βασική ιδιότητα παραβολής Ας καθορίσουμε τις βασικές ιδιότητες μιας παραβολής. Ας ανακόψουμε έναν ευθύ κυκλικό κώνο με κορυφή S κατά ένα επίπεδο παράλληλο σε μία από τις γεννήτριές του. Στην διατομή παίρνουμε παραβολή. Ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο ASB διαμέσου του άξονα ST του κώνου, κάθετο στο επίπεδο (Εικ. 11). Το generatrix SA που βρίσκεται σε αυτό θα είναι παράλληλο με το επίπεδο. Ας εγγράψουμε μια σφαιρική επιφάνεια στον κώνο, εφαπτομένη στον κώνο κατά μήκος του κύκλου UV και εφαπτομένη στο επίπεδο στο σημείο F. Ας τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή μέσω του σημείου F παράλληλη στη γεννήτρια SA. Ας υποδηλώσουμε το σημείο τομής του με τη γεννήτρια SB με P. Το σημείο F λέγεται εστία της παραβολής, το σημείο P είναι η κορυφή της και η ευθεία γραμμή PF που διέρχεται από την κορυφή και την εστία (και παράλληλη με τη γεννήτρια SA ) ονομάζεται άξονας της παραβολής. Η παραβολή δεν θα έχει δεύτερη κορυφή - το σημείο τομής του άξονα PF με τη γεννήτρια SA: αυτό το σημείο "πάει στο άπειρο". Ας ονομάσουμε κατευθυντήριο (μεταφρασμένο ως "οδηγός") την ευθεία q 1 q 2 τομής του επιπέδου με το επίπεδο στο οποίο βρίσκεται ο κύκλος UV. Πάρτε ένα αυθαίρετο σημείο M στην παραβολή και συνδέστε το με την κορυφή του κώνου S. Η ευθεία γραμμή MS ακουμπά τη μπάλα στο σημείο D που βρίσκεται στον κύκλο UV. Ας συνδέσουμε το σημείο Μ με την εστία F και ας χαμηλώσουμε την κάθετη ΜΚ από το σημείο Μ στην ευθεία. Τότε αποδεικνύεται ότι οι αποστάσεις ενός αυθαίρετου σημείου Μ μιας παραβολής προς την εστία (MF) και προς την ευθεία (MK) είναι ίσες μεταξύ τους (η κύρια ιδιότητα μιας παραβολής), δηλ. MF=MK. Απόδειξη: MF=MD (ως εφαπτομένες σε μπάλα από ένα σημείο). Ας υποδηλώσουμε τη γωνία μεταξύ οποιασδήποτε από τις γεννείες του κώνου και του άξονα ST ως c. Ας προβάλουμε τα τμήματα MD και MK στον άξονα ST. Το τμήμα MD σχηματίζει μια προβολή στον άξονα ST ίση με το MDcosc, αφού το MD βρίσκεται στη γεννήτρια του κώνου. το τμήμα MK σχηματίζει μια προβολή στον άξονα ST ίση με το MKsosc, αφού το τμήμα MK είναι παράλληλο στη γεννήτρια SA. (Πράγματι, η ευθεία q 1 q 1 είναι κάθετη στο επίπεδο ASB. Κατά συνέπεια, η ευθεία γραμμή PF τέμνει την ευθεία γραμμή στο σημείο L σε ορθή γωνία. Αλλά οι ευθείες MK και PF βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, και η MK είναι επίσης κάθετη στην ευθεία). Οι προβολές και των δύο τμημάτων MK και MD στον άξονα ST είναι ίσες μεταξύ τους, αφού ένα από τα άκρα τους - το σημείο M - είναι κοινό και τα άλλα δύο D και K βρίσκονται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα ST (Εικ.) . Τότε MDcosc = MKcosc ή MD = MK. Επομένως, MF=MK. Ιδιοκτησία 1.(Εστιακή ιδιότητα παραβολής). Η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο της παραβολής μέχρι το μέσο της κύριας χορδής είναι ίση με την απόστασή της από τη διεύθυνση. Απόδειξη. Το σημείο F είναι το σημείο τομής της ευθείας QR και της κύριας χορδής. Αυτό το σημείο βρίσκεται στον άξονα συμμετρίας Oy. Πράγματι, τα τρίγωνα RNQ και ROF είναι ίσα, όπως τα ορθογώνια τρίγωνα τρίγωνα με πληγωμένα πόδια (NQ=OF, OR=RN). Επομένως, ανεξάρτητα από το σημείο N που πάρουμε, η ευθεία γραμμή QR που κατασκευάζεται από αυτό θα τέμνει την κύρια χορδή στο μέσο F. Τώρα είναι σαφές ότι το τρίγωνο FMQ είναι ισοσκελές. Πράγματι, το τμήμα MR είναι και η διάμεσος και το ύψος αυτού του τριγώνου. Από αυτό προκύπτει ότι MF=MQ. Ιδιοκτησία 2.(Οπτική ιδιότητα παραβολής). Κάθε εφαπτομένη σε μια παραβολή κάνει ίσες γωνίες με την εστιακή ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης και η ακτίνα που διέρχεται από το σημείο εφαπτομένης και συνκατευθύνεται με τον άξονα (ή, οι ακτίνες που αναδύονται από μια ενιαία εστία, που ανακλώνται από την παραβολή, θα είναι παράλληλες προς τον άξονα). Απόδειξη. Για ένα σημείο N που βρίσκεται στην ίδια την παραβολή, ισχύει η ισότητα |FN|=|NH|, και για ένα σημείο N" που βρίσκεται στην εσωτερική περιοχή της παραβολής, |FN"|<|N"H"|. Если теперь провести биссектрису l угла FМК, то для любой отличной от М точки M" прямой l найдём: |FM"|=|M"K"|>|M"K"|, δηλαδή, το σημείο Μ" βρίσκεται σε εξωτερική περιοχήπαραβολές. Έτσι, ολόκληρη η ευθεία l, εκτός από το σημείο Μ, βρίσκεται στην εξωτερική περιοχή, δηλαδή η εσωτερική περιοχή της παραβολής βρίσκεται στη μία πλευρά του l, που σημαίνει ότι το l είναι εφαπτομένη στην παραβολή. Αυτό παρέχει απόδειξη της οπτικής ιδιότητας μιας παραβολής: γωνία 1 ίσο με γωνία 2, αφού l είναι η διχοτόμος της γωνίας FMC. 4.2 Εξίσωση παραβολής Με βάση την κύρια ιδιότητα μιας παραβολής, διατυπώνουμε τον ορισμό της: παραβολή είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου, καθένα από τα οποία απέχει εξίσου από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται εστία, και μια δεδομένη ευθεία, που ονομάζεται κατευθυντήριος άξονας . Η απόσταση από την εστία F στον προσανατολισμό ονομάζεται παράμετρος της παραβολής και συμβολίζεται με p (p > 0). Για να εξαγάγουμε την εξίσωση της παραβολής, επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων Oxy έτσι ώστε ο άξονας Ox να διέρχεται από την εστία F κάθετη προς την ευθεία προς την κατεύθυνση από την ευθεία προς την F, και η αρχή των συντεταγμένων O να βρίσκεται στη μέση μεταξύ των εστίαση και τον προσανατολισμό (Εικ. 12). Στο επιλεγμένο σύστημα, η εστίαση είναι F(, 0), και η εξίσωση του κατευθυντηρίου έχει τη μορφή x = - ή x + = 0. Έστω m (x, y) ένα αυθαίρετο σημείο της παραβολής. Ας συνδέσουμε το σημείο M με το F. Σχεδιάστε το τμήμα MH κάθετο στην ευθεία. Σύμφωνα με τον ορισμό της παραβολής MF = MN. Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων βρίσκουμε: Επομένως, τετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, παίρνουμε εκείνοι. (8) Η εξίσωση (8) ονομάζεται κανονική εξίσωση μιας παραβολής. 4.3 Μελέτη των σχημάτων μιας παραβολής χρησιμοποιώντας την εξίσωσή της 1. Στην εξίσωση (8) η μεταβλητή y εμφανίζεται σε άρτιο βαθμό, που σημαίνει ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς τον άξονα Ox. Ο άξονας Ox είναι ο άξονας συμμετρίας της παραβολής. 2. Εφόσον c > 0, από το (8) προκύπτει ότι x>0. Κατά συνέπεια, η παραβολή βρίσκεται στα δεξιά του άξονα Oy. 3. Έστω x = 0, τότε y = 0. Επομένως, η παραβολή διέρχεται από την αρχή. 4. Καθώς το x αυξάνεται επ' αόριστον, η ενότητα y αυξάνεται επίσης επ' αόριστον. Η παραβολή y 2 =2 px έχει τη μορφή (σχήμα) που φαίνεται στο σχήμα 13. Το σημείο O (0; 0) ονομάζεται κορυφή της παραβολής, το τμήμα FM = r ονομάζεται εστιακή ακτίνα του σημείου M. Εξισώσεις y 2 = -2 px, x 2 = - 2 py, x 2 =2 py (p>0) ορίζουν επίσης παραβολές. 1.5. Διευθυντική ιδιότητα κωνικών τομών .
Εδώ θα αποδείξουμε ότι κάθε μη κυκλική (μη εκφυλισμένη) κωνική τομή μπορεί να οριστεί ως ένα σύνολο σημείων M έτσι ώστε ο λόγος της απόστασης MF από ένα σταθερό σημείο F προς την απόσταση MP από μια σταθερή γραμμή d που δεν διέρχεται από το σημείο F είναι ίσο με τη σταθερή τιμή e: όπου F - η εστία της κωνικής τομής, η ευθεία γραμμή d είναι η ευθεία και ο λόγος e είναι η εκκεντρότητα. (Αν το σημείο F ανήκει στην ευθεία d, τότε η συνθήκη ορίζει ένα σύνολο σημείων που είναι ένα ζεύγος γραμμών, δηλ. μια εκφυλισμένη κωνική τομή· για e = 1, αυτό το ζεύγος γραμμών συγχωνεύεται σε μία ευθεία. Για να το αποδείξετε, λάβετε υπόψη ένας κώνος που σχηματίζεται περιστρέφοντας την ευθεία l γύρω από το σημείο που την τέμνει στο σημείο Ο μιας ευθείας γραμμής p δημιουργώντας μια γωνία b με l< 90є; пусть плоскость р не проходит через вершину конуса и образует с его осью p угол в < 90є (если в = 90є, то плоскость р пересекает конус по окружности). Ας εγγράψουμε μια μπάλα K στον κώνο, εφαπτομένη στο επίπεδο p στο σημείο F και εφαπτομένη στον κώνο κατά μήκος του κύκλου S. Σημειώνουμε την ευθεία τομής του επιπέδου p με το επίπεδο y του κύκλου S με d. Τώρα συνδέουμε ένα αυθαίρετο σημείο Μ που βρίσκεται στην ευθεία Α της τομής του επιπέδου p και του κώνου με την κορυφή Ο του κώνου και με το σημείο F και χαμηλώνουμε την κάθετη MP από το M στην ευθεία d. Ας συμβολίσουμε επίσης με Ε το σημείο τομής της γενεαλογίας MO του κώνου με τον κύκλο S. Σε αυτήν την περίπτωση, MF = ME, ως τμήματα δύο εφαπτομένων στη σφαίρα K που σύρεται από ένα σημείο M. Επιπλέον, το τμήμα ME σχηματίζει μια σταθερή γωνία b με τον άξονα p του κώνου (δηλαδή, ανεξάρτητα από την επιλογή του σημείου M), και το τμήμα MP σχηματίζει μια σταθερή γωνία c. Επομένως, οι προβολές αυτών των δύο τμημάτων στον άξονα p είναι αντίστοιχα ίσες με ME cos b και MP cos c. Αλλά αυτές οι προβολές συμπίπτουν, καθώς τα τμήματα ME και MP έχουν κοινή αρχή M και τα άκρα τους βρίσκονται στο επίπεδο y κάθετο στον άξονα p. Επομένως, ME cos b = MP cos c, ή, αφού ME = MF, MF cos b = MP cos c, από το οποίο προκύπτει ότι Είναι επίσης εύκολο να δείξουμε ότι αν ένα σημείο Μ του επιπέδου p δεν ανήκει σε κώνο, τότε. Έτσι, κάθε τμήμα ενός δεξιού κυκλικού κώνου μπορεί να περιγραφεί ως ένα σύνολο σημείων στο επίπεδο για το οποίο. Από την άλλη, αλλάζοντας τις τιμές των γωνιών b και c, μπορούμε να δώσουμε στην εκκεντρότητα οποιαδήποτε τιμή e > 0. Επιπλέον, από εκτιμήσεις ομοιότητας δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε ότι η απόσταση FQ από την εστία προς την κατεύθυνση είναι ευθέως ανάλογη με την ακτίνα r της μπάλας K (ή την απόσταση d του επιπέδου p από την κορυφή O του κώνος). Μπορεί να φανεί ότι, έτσι, επιλέγοντας την απόσταση d κατάλληλα, μπορούμε να δώσουμε στην απόσταση FQ οποιαδήποτε τιμή. Επομένως, κάθε σύνολο σημείων M για τα οποία ο λόγος των αποστάσεων από το M σε ένα σταθερό σημείο F και σε μια σταθερή ευθεία γραμμή d έχει σταθερή τιμή μπορεί να περιγραφεί ως καμπύλη που λαμβάνεται στην τομή ενός δεξιού κυκλικού κώνου από ένα επίπεδο . Έτσι, αποδεικνύεται ότι οι (μη εκφυλισμένες) κωνικές τομές μπορούν επίσης να οριστούν από την ιδιότητα που συζητείται σε αυτήν την παράγραφο. Αυτή η ιδιότητα των κωνικών τομών ονομάζεται αυτές διευθυντική ιδιοκτησία. Είναι σαφές ότι αν c > b, τότε e< 1; если в = б, то е = 1; наконец, если в < б, то е >1. Από την άλλη πλευρά, είναι εύκολο να δούμε ότι αν β > b, τότε το επίπεδο p τέμνει τον κώνο κατά μήκος μιας κλειστής οριοθετημένης γραμμής. αν β = b, τότε το επίπεδο p τέμνει τον κώνο κατά μήκος μιας απεριόριστης γραμμής. αν μέσα< б, то плоскость р пересекает обе полы конуса и, следовательно, линия пересечения этой плоскости и конуса состоит из двух (неограниченных) частей или ветвей (рис. 17). Κωνική τομή για την οποία π< 1, называется эллипсом; коническое сечение с эксцентриситетом е = 1 называется параболой; коническое сечение, для которого е >Το 1 ονομάζεται υπερβολή. Οι ελλείψεις περιλαμβάνουν επίσης έναν κύκλο, ο οποίος δεν μπορεί να προσδιοριστεί από την ιδιότητα διεύθυνσης. Εφόσον για έναν κύκλο ο λόγος γίνεται 0 (αφού στην περίπτωση αυτή β = 90є), θεωρείται συμβατικά ότι ο κύκλος είναι μια κωνική τομή με εκκεντρότητα 0. 6. Έλειψη, υπερβολή και παραβολή ως κωνικές τομές υπερβολή έλλειψης κωνικής τομής Ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Μεναίχμος, ο οποίος ανακάλυψε την έλλειψη, την υπερβολή και την παραβολή, τα όρισε ως τμήματα ενός κυκλικού κώνου από ένα επίπεδο κάθετο σε μία από τις γενετικές. Ονόμασε τις καμπύλες που προέκυψαν τμήματα οξέων, ορθογώνιων και αμβλέων κώνων, ανάλογα με την αξονική γωνία του κώνου. Το πρώτο, όπως θα δούμε παρακάτω, είναι μια έλλειψη, το δεύτερο είναι μια παραβολή, το τρίτο είναι ένας κλάδος μιας υπερβολής. Τα ονόματα «έλλειψη», «υπέρβολα» και «παραβολή» εισήχθησαν από τον Απολλώνιο. Σχεδόν ολοκληρωτικά (7 στα 8 βιβλία) έφτασε σε εμάς το έργο του Απολλώνιου «Περί κωνικών τομών». Σε αυτό το έργο, ο Απολλώνιος εξετάζει και τα δύο μισά του κώνου και τέμνει τον κώνο με επίπεδα που δεν είναι απαραίτητα κάθετα σε ένα από τα γενέθλια. Θεώρημα.Κόβοντας οποιονδήποτε ευθύ κυκλικό κώνο με ένα επίπεδο (που δεν διέρχεται από την κορυφή του), προσδιορίζεται μια καμπύλη, η οποία μπορεί να είναι μόνο υπερβολή (Εικ. 4), παραβολή (Εικ. 5) ή έλλειψη (Εικ. 6). Επιπλέον, εάν το επίπεδο τέμνει μόνο ένα επίπεδο του κώνου και κατά μήκος μιας κλειστής καμπύλης, τότε αυτή η καμπύλη είναι έλλειψη. Εάν ένα επίπεδο τέμνει μόνο ένα επίπεδο κατά μήκος μιας ανοιχτής καμπύλης, τότε αυτή η καμπύλη είναι παραβολή. αν το επίπεδο κοπής τέμνει και τα δύο επίπεδα του κώνου, τότε σχηματίζεται υπερβολή στην τομή. Μια κομψή απόδειξη αυτού του θεωρήματος προτάθηκε το 1822 από τον Dandelin, ο οποίος χρησιμοποίησε σφαίρες που σήμερα ονομάζονται συνήθως σφαίρες Dandelin. Ας εξετάσουμε αυτή την απόδειξη. Ας εγγράψουμε δύο σφαίρες στον κώνο, εφαπτόμενες στο επίπεδο τομής P με διαφορετικές πλευρές. Ας συμβολίσουμε με F1 και F2 τα σημεία επαφής αυτού του επιπέδου με τις σφαίρες. Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο M στη γραμμή τομής του κώνου με το επίπεδο P. Σημειώνουμε στη γενεαλογική διάταξη του κώνου που διέρχεται από το M τα σημεία P1 και P2 που βρίσκονται στους κύκλους k1 και k2 κατά μήκος των οποίων οι σφαίρες αγγίζουν τον κώνο. Είναι σαφές ότι MF1=MP1 ως τμήματα δύο εφαπτομένων στην πρώτη σφαίρα που βγαίνει από το M. ομοίως, MF2=MP2. Επομένως, MF1 + MF2 = MP1 + MP2 = Р1Р2. Το μήκος του τμήματος P1P2 είναι το ίδιο για όλα τα σημεία M της τομής μας: αυτή είναι η γενεαλογία ενός κόλουρου κώνου, που περιορίζεται από παράλληλα επίπεδα 1 και 11, στο οποίο βρίσκονται οι κύκλοι k1 και k2. Κατά συνέπεια, η γραμμή τομής του κώνου κατά το επίπεδο P είναι μια έλλειψη με εστίες F1 και F2. Η εγκυρότητα αυτού του θεωρήματος μπορεί επίσης να διαπιστωθεί με βάση το γεγονός γενική θέσηότι η τομή μιας επιφάνειας δεύτερης τάξης με ένα επίπεδο είναι μια γραμμή δεύτερης τάξης. Βιβλιογραφία
1. Atanasyan L.S., Bazylev V.T. Γεωμετρία. Σε 2 μέρη Μέρος 1. Φροντιστήριογια φοιτητές φυσικής και μαθηματικών. πεδ. Στο - σύντροφος-Μ.: Διαφωτισμός, 1986. 2. Bazylev V.T. και άλλα.Γεωμετρία. Σχολικό βιβλίο εγχειρίδιο για μαθητές 1ου έτους φυσικής. - χαλάκι. fak-tov πεντ. σε. - Σύντροφος-Μ.: Διαφωτισμός, 1974. 3. Pogorelov A.V. Γεωμετρία. Σχολικό βιβλίο για 7-11 τάξεις. μέσος όρος σχολείο - 4η έκδ. - Μ.: Εκπαίδευση, 1993. 4. Ιστορία των μαθηματικών από την αρχαιότητα έως αρχές XIXαιώνες. Yushkevich A.P. - Μ.: Nauka, 1970. 5. Boltyansky V.G. Οπτικές ιδιότητες έλλειψης, υπερβολής και παραβολής. // Κβαντική. - 1975. - Νο. 12. - Με. 19 - 23. 6. Efremov N.V. Σύντομο μάθημααναλυτική γεωμετρία. - M: Science, 6th edition, 1967. - 267 p. Η έννοια των κωνικών τομών. Οι κωνικές τομές είναι οι τομές επιπέδων και κώνων. Τύποι κωνικών τομών. Κατασκευή κωνικών τομών. Μια κωνική τομή είναι ο τόπος των σημείων που ικανοποιούν μια εξίσωση δεύτερης τάξης. περίληψη, προστέθηκε 10/05/2008 «Κωνικές τομές» του Απολλώνιου. Παραγωγή της εξίσωσης καμπύλης για το τμήμα ενός ορθογώνιου κώνου περιστροφής. Παραγωγή της εξίσωσης για μια παραβολή, για μια έλλειψη και μια υπερβολή. Αμετάβλητο κωνικών τομών. Περαιτέρω ανάπτυξη της θεωρίας των κωνικών τομών στα έργα του Απολλώνιου. περίληψη, προστέθηκε 02/04/2010 Έννοια και ιστορική αναφοράσχετικά με τον κώνο, χαρακτηριστικά των στοιχείων του. Χαρακτηριστικά του σχηματισμού κώνου και τύποι κωνικών τμημάτων. Κατασκευή της σφαίρας Dandelin και οι παράμετροί της. Εφαρμογή ιδιοτήτων κωνικών τομών. Υπολογισμοί επιφανειών κώνου. παρουσίαση, προστέθηκε 04/08/2012 Μαθηματική έννοια της καμπύλης. Γενική εξίσωση καμπύλης δεύτερης τάξης. Εξισώσεις κύκλου, έλλειψης, υπερβολής και παραβολής. Άξονες συμμετρίας υπερβολής. Μελέτη του σχήματος μιας παραβολής. Καμπύλες τρίτης και τέταρτης τάξης. Ανέσι μπούκλα, καρτεσιανό φύλλο. διατριβή, προστέθηκε 14/10/2011 Ανασκόπηση και χαρακτηριστικά διαφόρων μεθόδων κατασκευής τομών πολυεδρών, προσδιορισμός των δυνατών και των αδυναμιών τους. Η μέθοδος των βοηθητικών τομών ως καθολική μέθοδος κατασκευής τμημάτων πολυεδρών. Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στο ερευνητικό θέμα. παρουσίαση, προστέθηκε 19/01/2014 Γενική εξίσωση καμπύλης δεύτερης τάξης. Σχεδίαση εξισώσεων έλλειψης, κύκλου, υπερβολής και παραβολής. Εκκεντρικότητα μιας υπερβολής. Εστίαση και διεύθυνση παραβολής. Μετατροπή γενική εξίσωσηστην κανονική μορφή. Εξάρτηση του τύπου της καμπύλης από αμετάβλητα. παρουσίαση, προστέθηκε 10/11/2014 Στοιχεία γεωμετρίας τριγώνου: ισογωνική και ισοτομική σύζευξη, αξιόλογα σημεία και γραμμές. Κωνικά που σχετίζονται με τρίγωνο: ιδιότητες κωνικών τομών. κωνικά περιγεγραμμένα γύρω από ένα τρίγωνο και εγγεγραμμένα σε αυτό. εφαρμογή στην επίλυση προβλημάτων. εργασία μαθήματος, προστέθηκε 17/06/2012 Έλειψη, υπερβολή, παραβολή ως καμπύλες δεύτερης τάξης που χρησιμοποιούνται στα ανώτερα μαθηματικά. Η έννοια της καμπύλης δεύτερης τάξης είναι μια γραμμή σε ένα επίπεδο, η οποία σε κάποιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων καθορίζεται από την εξίσωση. Το θεώρημα του Pascample και το θεώρημα του Brianchon. περίληψη, προστέθηκε 26/01/2011 Για την προέλευση του προβλήματος του διπλασιασμού του κύβου (ένα από τα πέντε διάσημα προβλήματα της αρχαιότητας). Η πρώτη γνωστή προσπάθεια επίλυσης του προβλήματος, η λύση του Αρχύτα του Τάρεντου. Επίλυση του προβλήματος στην Αρχαία Ελλάδα μετά τον Αρχύτα. Λύσεις με χρήση κωνικών τομών Μεναίχμου και Ερατοσθένη. περίληψη, προστέθηκε 13/04/2014 Κύριοι τύποι τμημάτων κώνου. Ένα τμήμα που σχηματίζεται από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα ενός κώνου (αξονικό) και από την κορυφή του (τρίγωνο). Σχηματισμός τμήματος από επίπεδο παράλληλο (παραβολή), κάθετο (κύκλος) και όχι κάθετο (έλλειψη) σε άξονα. V κύλινδρος = S κύριος. ∙η Παράδειγμα 2.Δίνεται ένας δεξιός κυκλικός κώνος ABC, ισόπλευρος, BO = 10. Βρείτε τον όγκο του κώνου. Λύση Ας βρούμε την ακτίνα της βάσης του κώνου. C=60 0, B=30 0, Έστω OS = ΕΝΑ, τότε BC = 2 ΕΝΑ. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα: Απάντηση: . Παράδειγμα 3. Υπολογίστε τους όγκους των σχημάτων που σχηματίζονται από περιστρεφόμενες περιοχές που οριοθετούνται από τις υποδεικνυόμενες γραμμές. Όρια ολοκλήρωσης a = 0, b = 4. V= Καθήκοντα Επιλογή 1 1. Το αξονικό τμήμα του κυλίνδρου είναι ένα τετράγωνο, η διαγώνιος του οποίου είναι 4 dm. Βρείτε τον όγκο του κυλίνδρου. 2. Η εξωτερική διάμετρος μιας κούφιας μπάλας είναι 18 εκ., το πάχος των τοιχωμάτων είναι 3 εκ. Βρείτε τον όγκο των τοιχωμάτων της μπάλας. Χ
φιγούρες, περιορίζεται από γραμμές y 2 =x, y=0, x=1, x=2. Επιλογή 2 1. Οι ακτίνες τριών σφαιρών είναι 6 εκ., 8 εκ., 10 εκ. Να προσδιορίσετε την ακτίνα μιας μπάλας της οποίας ο όγκος είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων αυτών των σφαιρών. 2. Το εμβαδόν της βάσης του κώνου είναι 9 cm 2, εμβαδόν πλήρη επιφάνειαείναι 24 cm 2. Βρείτε τον όγκο του κώνου. 3. Να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από τον άξονα Ο Χένα σχήμα που οριοθετείται από τις ευθείες y 2 = 2x, y = 0, x = 2, x = 4. 1. Γράψτε τις ιδιότητες των όγκων των σωμάτων. 2. Γράψτε έναν τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός σώματος περιστροφής γύρω από τον άξονα Oy. Η διαγνωστική εργασία αποτελείται από δύο μέρη, συμπεριλαμβανομένων 19 εργασιών. Το Μέρος 1 περιέχει 8 εργασίες βασικού επιπέδου δυσκολίας με μια σύντομη απάντηση. Το Μέρος 2 περιέχει 4 εργασίες υψηλότερο επίπεδοδυσκολίες με μια σύντομη απάντηση και 7 εργασίες προχωρημένων και υψηλά επίπεδαδυσκολίες με αναλυτική απάντηση. ΚΕΙΜΕΝΟ ΜΕΤΑΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Συνεχίζουμε να μελετάμε την ενότητα της στερεομετρίας «Σώματα περιστροφής». Τα σώματα περιστροφής περιλαμβάνουν: κύλινδρους, κώνους, μπάλες. Ας θυμηθούμε τους ορισμούς. Ύψος είναι η απόσταση από την κορυφή μιας φιγούρας ή σώματος μέχρι τη βάση της φιγούρας (σώμα). Διαφορετικά, ένα τμήμα που συνδέει την κορυφή και τη βάση του σχήματος και κάθετα σε αυτό. Θυμηθείτε, για να βρείτε το εμβαδόν ενός κύκλου, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το pi με το τετράγωνο της ακτίνας. Το εμβαδόν του κύκλου είναι ίσο. Ας θυμηθούμε πώς να βρούμε την περιοχή ενός κύκλου γνωρίζοντας τη διάμετρο; Επειδή Ας το αντικαταστήσουμε στον τύπο: Ένας κώνος είναι επίσης ένα σώμα επανάστασης. Ένας κώνος (ακριβέστερα, ένας κυκλικός κώνος) είναι ένα σώμα που αποτελείται από έναν κύκλο - τη βάση του κώνου, ένα σημείο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο αυτού του κύκλου - την κορυφή του κώνου και όλα τα τμήματα που συνδέουν την κορυφή του κώνου με τα σημεία βάσης. Ας εξοικειωθούμε με τον τύπο για την εύρεση του όγκου ενός κώνου. Θεώρημα. Ο όγκος ενός κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους. Ας αποδείξουμε αυτό το θεώρημα. Δίνονται: κώνος, S - περιοχή της βάσης του, h - ύψος κώνου Απόδειξη: V= Απόδειξη: Θεωρήστε έναν κώνο με όγκο V, ακτίνα βάσης R, ύψος h και κορυφή στο σημείο O. Ας εισάγουμε τον άξονα Ox μέσω του OM - τον άξονα του κώνου. Μια αυθαίρετη τομή ενός κώνου από ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα Ox είναι ένας κύκλος με κέντρο στο σημείο M1 - το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Ox. Ας συμβολίσουμε την ακτίνα αυτού του κύκλου με R1 και την περιοχή διατομής με S(x), όπου x είναι η τετμημένη του σημείου M1. Από την ομοιότητα ορθογώνια τρίγωνα OM1A1 και OMA (ے OM1A1 = ے OMA είναι ευθείες γραμμές, ے MOA είναι κοινό, που σημαίνει ότι τα τρίγωνα είναι παρόμοια σε δύο γωνίες) προκύπτει ότι Το σχήμα δείχνει ότι OM1=x, OM=h ή από όπου, με την ιδιότητα της αναλογίας, βρίσκουμε R1 = . Εφόσον η διατομή είναι κύκλος, τότε S(x)=πR12, αντικαταστήστε την προηγούμενη έκφραση αντί για R1, το εμβαδόν της διατομής είναι ίσο με το λόγο του γινομένου του τετραγώνου pier κατά το τετράγωνο του x προς το τετράγωνο του ύψους: Ας εφαρμόσουμε τον βασικό τύπο Υπολογίζοντας τους όγκους των σωμάτων, με a=0, b=h, παίρνουμε την έκφραση (1) Δεδομένου ότι η βάση του κώνου είναι ένας κύκλος, το εμβαδόν S της βάσης του κώνου θα είναι ίσο με το τετράγωνο pier στον τύπο για τον υπολογισμό του όγκου ενός σώματος, αντικαθιστούμε την τιμή του τετραγώνου pier με το εμβαδόν της βάσης και βρίσκουμε ότι ο όγκος του κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού του βάση και το ύψος Το θεώρημα έχει αποδειχθεί. Συμπέρασμα του θεωρήματος (τύπος για τον όγκο ενός κόλουρου κώνου) Ο όγκος V ενός κόλουρου κώνου, του οποίου το ύψος είναι h και το εμβαδόν των βάσεων S και S1, υπολογίζεται με τον τύπο Το Ve ισούται με το ένα τρίτο του τσεκούρι πολλαπλασιασμένο με το άθροισμα των εμβαδών των βάσεων και την τετραγωνική ρίζα του γινομένου των εμβαδών της βάσης. Επίλυση προβλήματος Ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη 3 cm και 4 cm περιστρέφεται γύρω από την υποτείνουσα. Προσδιορίστε τον όγκο του σώματος που προκύπτει. Όταν περιστρέφουμε ένα τρίγωνο γύρω από την υποτείνουσα, παίρνουμε έναν κώνο. Κατά την επίλυση αυτού του προβλήματος, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι είναι δυνατές δύο περιπτώσεις. Σε καθένα από αυτά χρησιμοποιούμε τον τύπο για να βρούμε τον όγκο ενός κώνου: ο όγκος ενός κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου της βάσης και του ύψους Στην πρώτη περίπτωση, το σχέδιο θα μοιάζει με αυτό: δίνεται ένας κώνος. Έστω ακτίνα r = 4, ύψος h = 3 Το εμβαδόν της βάσης είναι ίσο με π επί το τετράγωνο της ακτίνας Τότε ο όγκος του κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του π στο τετράγωνο της ακτίνας και του ύψους. Ας αντικαταστήσουμε την τιμή στον τύπο, αποδεικνύεται ότι ο όγκος του κώνου είναι 16π. Στη δεύτερη περίπτωση, ως εξής: δίνεται ένας κώνος. Έστω ακτίνα r = 3, ύψος h = 4 Ο όγκος ενός κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του εμβαδού της βάσης και του ύψους: Το εμβαδόν της βάσης είναι ίσο με π επί το τετράγωνο της ακτίνας: Τότε ο όγκος του κώνου είναι ίσος με το ένα τρίτο του γινομένου του π στο τετράγωνο της ακτίνας και του ύψους: Αντικαθιστώντας την τιμή στον τύπο, αποδεικνύεται ότι ο όγκος του κώνου είναι 12π. Απάντηση: Ο όγκος ενός κώνου V είναι 16 π ή 12 π Πρόβλημα 2. Δίνεται ορθός κυκλικός κώνος με ακτίνα 6 cm, γωνία BCO = 45. Βρείτε τον όγκο του κώνου. Λύση: Παρέχεται ένα έτοιμο σχέδιο για αυτό το πρόβλημα. Ας γράψουμε τον τύπο για την εύρεση του όγκου ενός κώνου: Ας το εκφράσουμε μέσω της ακτίνας της βάσης R: Βρίσκουμε h =BO κατά κατασκευή - ορθογώνιο, γιατί γωνία BOC = 90 (άθροισμα των γωνιών του τριγώνου), οι γωνίες στη βάση είναι ίσες, που σημαίνει ότι το τρίγωνο ΔBOC είναι ισοσκελές και BO = OC = 6 cm. Έστω ένας δεξιός κυκλικός κύλινδρος, το οριζόντιο επίπεδο προβολής είναι παράλληλο στη βάση του. Όταν ένας κύλινδρος τέμνεται από ένα επίπεδο σε γενική θέση (υποθέτουμε ότι το επίπεδο δεν τέμνει τις βάσεις του κυλίνδρου), η γραμμή τομής είναι έλλειψη, το ίδιο το τμήμα έχει σχήμα έλλειψης, η οριζόντια προβολή του συμπίπτει με το προβολή της βάσης του κυλίνδρου, και η μπροστινή έχει επίσης το σχήμα έλλειψης. Αν όμως το επίπεδο τομής σχηματίζει γωνία 45° με τον άξονα του κυλίνδρου, τότε το τμήμα, που έχει σχήμα έλλειψης, προβάλλεται με κύκλο στο επίπεδο προβολής προς το οποίο το τμήμα έχει κλίση στην ίδια γωνία. Εάν το επίπεδο κοπής τέμνει την πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου και μια από τις βάσεις του (Εικ. 8.6), τότε η γραμμή τομής έχει το σχήμα ατελούς έλλειψης (τμήμα έλλειψης). Η οριζόντια προβολή του τμήματος σε αυτή την περίπτωση είναι μέρος ενός κύκλου (προβολή της βάσης), και η μετωπική προβολή είναι μέρος μιας έλλειψης. Το επίπεδο μπορεί να βρίσκεται κάθετα σε οποιοδήποτε επίπεδο προβολής, τότε το τμήμα θα προβάλλεται σε αυτό το επίπεδο προβολής ως ευθεία γραμμή (τμήμα του ίχνους του επιπέδου τομής). Εάν ο κύλινδρος τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο προς τη γεννήτρια, τότε οι γραμμές τομής με την πλευρική επιφάνεια είναι ευθείες και το ίδιο το τμήμα έχει σχήμα ορθογωνίου εάν ο κύλινδρος είναι ευθύγραμμο ή παραλληλόγραμμο εάν ο κύλινδρος είναι κεκλιμένος. Όπως είναι γνωστό, τόσο ο κύλινδρος όσο και ο κώνος σχηματίζονται από επιφάνειες με προσανατολισμό. Η γραμμή τομής (γραμμή τομής) μιας διαμορφωμένης επιφάνειας και ενός επιπέδου στη γενική περίπτωση είναι μια ορισμένη καμπύλη, η οποία κατασκευάζεται από τα σημεία τομής των γενετικών στοιχείων με το επίπεδο κοπής. Ας δοθεί ίσιος κυκλικός κώνος.Όταν διασχίζεται από επίπεδο, η γραμμή τομής μπορεί να έχει το σχήμα: τριγώνου, έλλειψης, κύκλου, παραβολής, υπερβολής (Εικ. 8.7) ανάλογα με τη θέση του επιπέδου. Ένα τρίγωνο προκύπτει όταν ένα επίπεδο κοπής, που τέμνει έναν κώνο, διέρχεται από την κορυφή του. Στην περίπτωση αυτή, οι γραμμές τομής με την πλευρική επιφάνεια είναι ευθείες γραμμές που τέμνονται στην κορυφή του κώνου, οι οποίες μαζί με τη γραμμή τομής της βάσης σχηματίζουν ένα τρίγωνο που προβάλλεται στα επίπεδα προβολής με παραμόρφωση. Εάν το επίπεδο τέμνει τον άξονα του κώνου, τότε η τομή παράγει ένα τρίγωνο του οποίου η γωνία με την κορυφή που συμπίπτει με την κορυφή του κώνου θα είναι μέγιστη για τμήματα τριγώνου ενός δεδομένου κώνου. Στην περίπτωση αυτή, το τμήμα προβάλλεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής (είναι παράλληλο στη βάση του) από ένα ευθύγραμμο τμήμα. Η τομή ενός επιπέδου και ενός κώνου θα είναι έλλειψη εάν το επίπεδο δεν είναι παράλληλο σε καμία από τις γενετικές δομές του κώνου. Αυτό ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το επίπεδο τέμνει όλες τις γεννήτριες (όλη την πλευρική επιφάνεια του κώνου). Εάν το επίπεδο τομής είναι παράλληλο στη βάση του κώνου, τότε η γραμμή τομής είναι κύκλος, το ίδιο το τμήμα προβάλλεται στο οριζόντιο επίπεδο προβολής χωρίς παραμόρφωση και στο μετωπικό επίπεδο ως ευθύγραμμο τμήμα. Η γραμμή τομής θα είναι παραβολή όταν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο σε μία μόνο γεννήτρια του κώνου. Εάν το επίπεδο κοπής είναι παράλληλο σε δύο γεννήτριες ταυτόχρονα, τότε η γραμμή τομής είναι υπερβολή. Ένας κόλουρος κώνος προκύπτει εάν ένας ευθύς κυκλικός κώνος τέμνεται από ένα επίπεδο παράλληλο στη βάση και κάθετο στον άξονα του κώνου και το πάνω μέρος απορρίπτεται. Στην περίπτωση που το οριζόντιο επίπεδο των προεξοχών είναι παράλληλο με τις βάσεις ενός κόλουρου κώνου, αυτές οι βάσεις προβάλλονται στο οριζόντιο επίπεδο προεξοχών χωρίς παραμόρφωση από ομόκεντρους κύκλους και η μετωπική προβολή είναι τραπεζοειδής. Όταν ένας κόλουρος κώνος τέμνεται από ένα επίπεδο, ανάλογα με τη θέση του, η γραμμή κοπής μπορεί να έχει το σχήμα τραπεζοειδούς, έλλειψης, κύκλου, παραβολής, υπερβολής ή τμήματος μιας από αυτές τις καμπύλες, τα άκρα των οποίων συνδέονται με ευθεία.
εκείνοι. από την πλευρά του κοίλου του.Παρόμοια έγγραφα
y 2 = 4x; y = 0; x = 4.
|
=32π
Για εκτέλεση διαγνωστική εργασίαστα μαθηματικά κατανέμονται 3 ώρες 55 λεπτά (235 λεπτά).
Οι απαντήσεις στις εργασίες 1-12 γράφονται ως ακέραιος ή πεπερασμένος αριθμός δεκαδικός. Γράψτε τους αριθμούς στα πεδία απαντήσεων στο κείμενο της εργασίας και, στη συνέχεια, μεταφέρετέ τους στη φόρμα απάντησης Νο. 1. Όταν ολοκληρώνετε τις εργασίες 13-19, πρέπει να σημειώσετε την πλήρη λύση και να απαντήσετε στη φόρμα απάντησης Νο. 2.
Όλες οι φόρμες πρέπει να συμπληρωθούν με φωτεινό μαύρο μελάνι. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τζελ, τριχοειδή ή στυλό.
Όταν ολοκληρώνετε εργασίες, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα προσχέδιο. Οι εγγραφές στο προσχέδιο δεν λαμβάνονται υπόψη κατά τη βαθμολόγηση της εργασίας.
Οι βαθμοί που λαμβάνετε για ολοκληρωμένες εργασίες συνοψίζονται.
Σας ευχόμαστε επιτυχία!Προβληματικές συνθήκες
β) Να βρείτε όλες τις ρίζες αυτής της εξίσωσης που ανήκουν στο τμήμα
α) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο που προκύπτει σε διατομή είναι αμβλύ.
β) Να βρείτε την απόσταση από το κέντρο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕη βάση του κώνου στο επίπεδο τομής.
α) Να το αποδείξετε MN = AC.
β) Βρείτε ΛΣ,αν οι πλευρές ενός τριγώνου αλφάβητοείναι ίσα με 5, 5 και 8.
έχει μια μοναδική λύση
α) Μπορεί το παιχνίδι να διαρκέσει ακριβώς τρεις στροφές;
β) Υπάρχουν δύο αρχικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε το παιχνίδι να διαρκεί τουλάχιστον 9 κινήσεις;
γ) Η Anya έκανε την πρώτη κίνηση στο παιχνίδι. Βρείτε τη μεγαλύτερη δυνατή αναλογία του γινομένου των δύο αριθμών που προέκυψαν προς το γινόμενο
