Από το μάθημα στη γεωμετρία και τα μαθηματικά, οι μαθητές συνηθίζουν στην έννοια ενός παραγώγου που τους μεταφέρεται μέσω της περιοχής ενός σχήματος, διαφορών, ορίων λειτουργιών και επίσης ορίων. Ας προσπαθήσουμε να εξετάσουμε την έννοια ενός παραγώγου από διαφορετική γωνία και να προσδιορίσουμε πώς μπορούν να συνδεθούν οι παράγωγες και τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Λοιπόν, σκεφτείτε μια συγκεκριμένη αυθαίρετη καμπύλη, η οποία περιγράφεται από μια αφηρημένη συνάρτηση y \u003d f (x).

Ας φανταστούμε ότι το γράφημα είναι ένας χάρτης μιας τουριστικής διαδρομής. Η αύξηση Δx (δέλτα x) στο σχήμα είναι μια ορισμένη απόσταση της διαδρομής και η Δy είναι η αλλαγή στο ύψος της διαδρομής πάνω από την επιφάνεια της θάλασσας.
Τότε αποδεικνύεται ότι ο λόγος Δx / Δy θα χαρακτηρίσει την πολύπλοκη διαδρομή σε κάθε τμήμα της διαδρομής. Έχοντας μάθει αυτήν την τιμή, μπορούμε με βεβαιότητα να πούμε αν η ανάβαση / κατάβαση είναι απότομη, αν απαιτείται εξοπλισμός αναρρίχησης και αν οι τουρίστες χρειάζονται συγκεκριμένη φυσική προπόνηση. Αλλά αυτός ο δείκτης θα ισχύει μόνο για ένα μικρό διάστημα Δx.

Εάν ο διοργανωτής του ταξιδιού λάβει τιμές για τα σημεία έναρξης και λήξης του μονοπατιού, δηλαδή, το Δx είναι ίσο με το μήκος της διαδρομής, τότε δεν θα μπορεί να λάβει αντικειμενικά δεδομένα σχετικά με το βαθμό δυσκολίας του ταξιδιού. Επομένως, είναι απαραίτητο να οικοδομήσουμε ένα άλλο γράφημα που θα χαρακτηρίζει την ταχύτητα και την «ποιότητα» των αλλαγών στη διαδρομή, με άλλα λόγια, να καθορίζει την αναλογία Δx / Δy για κάθε «μέτρο» της διαδρομής.

Αυτό το γράφημα θα είναι ένα οπτικό παράγωγο για μια συγκεκριμένη διαδρομή και θα περιγράφει αντικειμενικά τις αλλαγές του σε κάθε διάστημα ενδιαφέροντος. Είναι πολύ εύκολο να το επαληθεύσετε αυτό, η τιμή Δx / Δy δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια διαφορά που λαμβάνεται για μια συγκεκριμένη τιμή των x και y. Ας εφαρμόσουμε τη διαφοροποίηση όχι σε ορισμένες συντεταγμένες, αλλά στη συνάρτηση στο σύνολό της:

Παράγωγες και τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνδέονται άρρηκτα με το παράγωγο. Μπορείτε να το καταλάβετε από το παρακάτω σχέδιο. Το σχήμα του άξονα συντεταγμένων δείχνει τη συνάρτηση Y \u003d f (x) - μπλε καμπύλη.

Το K (x0; f (x0)) είναι ένα αυθαίρετο σημείο, το x0 + Δx είναι μια αύξηση κατά μήκος του άξονα OX και το f (x0 + Δx) είναι μια αύξηση κατά μήκος του άξονα OY σε κάποιο σημείο L.

Σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή στα σημεία K και L και δημιουργήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο KLN. Εάν μετακινήσετε διανοητικά το τμήμα LN κατά μήκος του γραφήματος Y \u003d f (x), τότε τα σημεία L και N θα τείνουν στις τιμές K (x0; f (x0)). Ας το ονομάσουμε αυτό το σημείο την υπό όρους αρχή του γραφήματος - το όριο, αλλά εάν η συνάρτηση είναι άπειρη, τουλάχιστον σε ένα από τα διαστήματα, αυτή η αναρρόφηση θα είναι επίσης άπειρη και η οριακή τιμή της είναι κοντά στο 0.

Η φύση αυτής της τάσης μπορεί να περιγραφεί από την εφαπτομένη στο επιλεγμένο σημείο y \u003d kx + b ή από το γράφημα του παραγώγου της αρχικής συνάρτησης dy - την πράσινη γραμμή.

Αλλά πού είναι εδώ η τριγωνομετρία ;! Όλα είναι πολύ απλά, σκεφτείτε το ορθογώνιο τρίγωνο KLN. Η τιμή της διαφοράς για ένα συγκεκριμένο σημείο K είναι η εφαπτομένη της γωνίας α ή ∠K:

Έτσι, μπορείτε να περιγράψετε τη γεωμετρική έννοια του παραγώγου και τη σχέση του με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Παράγωγοι τύποι τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Οι μετασχηματισμοί ημιτονοειδούς, συνημίτονου, εφαπτομένου και συντεταγμένου κατά τον προσδιορισμό του παραγώγου πρέπει να απομνημονεύονται.

Οι δύο τελευταίοι τύποι δεν αποτελούν σφάλμα, το θέμα είναι ότι υπάρχει μια διαφορά μεταξύ του ορισμού ενός παραγώγου ενός απλού επιχειρήματος και μιας συνάρτησης στην ίδια ικανότητα.

Εξετάστε έναν συγκριτικό πίνακα με τύπους παραγώγων κόλπων, συνημίτονο, εφαπτομένου και ομοιομορφίας:

Παράγονται επίσης οι τύποι για τα παράγωγα του arcsine, arccosine, arctangent και arccotangent, αν και σπάνια χρησιμοποιούνται:

Πρέπει να σημειωθεί ότι οι παραπάνω τύποι είναι σαφώς ανεπαρκείς για την επιτυχή επίλυση τυπικών εργασιών USE, οι οποίες θα καταδειχθούν κατά την επίλυση ενός συγκεκριμένου παραδείγματος εύρεσης του παραγώγου μιας τριγωνομετρικής έκφρασης.

Το έργο: Είναι απαραίτητο να βρείτε το παράγωγο της συνάρτησης και να βρείτε την τιμή του για π / 4:

Απόφαση: Για να βρείτε y είναι απαραίτητο να ανακαλέσετε τους βασικούς τύπους για τη μετατροπή της αρχικής συνάρτησης σε ένα παράγωγο, δηλαδή.

Οι πιο συχνές ερωτήσεις

Είναι δυνατόν να φτιάξετε μια σφραγίδα σε ένα έγγραφο σύμφωνα με το παρεχόμενο δείγμα; Απάντηση Ναι είναι δυνατόν. Στείλτε ένα σαρωμένο αντίγραφο ή μια φωτογραφία καλής ποιότητας στη διεύθυνση email μας και θα δημιουργήσουμε το απαραίτητο αντίγραφο.

Ποιοι τύποι πληρωμής δέχεστε; Απάντηση Μπορείτε να πληρώσετε για το έγγραφο τη στιγμή της παραλαβής στα χέρια του ταχυμεταφορέα, αφού ελέγξετε την ορθότητα της πλήρωσης και την ποιότητα εκτέλεσης του διπλώματος. Μπορείτε επίσης να το κάνετε αυτό στο γραφείο των ταχυδρομικών εταιρειών που προσφέρουν υπηρεσίες παράδοσης μετρητών.
Όλοι οι όροι παράδοσης και πληρωμής των εγγράφων περιγράφονται στην ενότητα "Πληρωμή και παράδοση". Είμαστε επίσης έτοιμοι να ακούσουμε τις προτάσεις σας σχετικά με τους όρους παράδοσης και πληρωμής του εγγράφου.

Μπορώ να είμαι σίγουρος ότι μετά την παραγγελία δεν θα εξαφανιστεί με τα χρήματά μου; Απάντηση Έχουμε πολύ μεγάλη εμπειρία στον τομέα της παραγωγής διπλωμάτων. Έχουμε αρκετούς ιστότοπους που ενημερώνονται συνεχώς. Οι ειδικοί μας εργάζονται σε διάφορα μέρη της χώρας, προετοιμάζοντας πάνω από 10 έγγραφα την ημέρα. Με τα χρόνια, τα έγγραφά μας βοήθησαν πολλούς ανθρώπους να λύσουν προβλήματα απασχόλησης ή να μεταβούν σε μια εργασία με υψηλότερες αποδοχές. Έχουμε κερδίσει εμπιστοσύνη και αναγνώριση μεταξύ των πελατών μας, οπότε δεν έχουμε απολύτως κανένα λόγο να το κάνουμε αυτό. Επιπλέον, είναι απλώς αδύνατο να το κάνετε φυσικά: πληρώνετε για την παραγγελία σας τη στιγμή που την λαμβάνετε, δεν υπάρχει προπληρωμή.

Μπορώ να παραγγείλω δίπλωμα από οποιοδήποτε πανεπιστήμιο; Απάντηση Γενικά, ναι. Δουλεύουμε σε αυτόν τον τομέα για σχεδόν 12 χρόνια. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, δημιουργήθηκε μια σχεδόν πλήρης βάση δεδομένων εγγράφων που εκδόθηκαν από σχεδόν όλα τα πανεπιστήμια της χώρας και για διαφορετικά έτη έκδοσης. Το μόνο που χρειάζεστε είναι να επιλέξετε πανεπιστήμιο, ειδικότητα, έγγραφο και να συμπληρώσετε τη φόρμα παραγγελίας.

Τι πρέπει να κάνετε εάν υπάρχουν τυπογραφικά λάθη και σφάλματα στο έγγραφο; Απάντηση Όταν λαμβάνετε ένα έγγραφο από την εταιρεία ταχυμεταφορών ή ταχυμεταφορών, σας συνιστούμε να ελέγξετε προσεκτικά όλες τις λεπτομέρειες. Εάν εντοπιστεί τυπογραφικό λάθος, λάθος ή ανακρίβεια, έχετε το δικαίωμα να μην πάρετε το δίπλωμα και πρέπει να αναφέρετε προσωπικά τις διαπιστωθείσες ελλείψεις στον ταχυμεταφορέα ή γραπτώς στέλνοντας ένα e-mail.
Το συντομότερο δυνατό, θα διορθώσουμε το έγγραφο και θα το στείλουμε ξανά στην καθορισμένη διεύθυνση. Φυσικά, η αποστολή θα πληρωθεί από την εταιρεία μας.
Για να αποφύγουμε τέτοιες παρεξηγήσεις, πριν συμπληρώσουμε την αρχική φόρμα, αποστέλλουμε ένα mock-up του μελλοντικού εγγράφου στον πελάτη μέσω ταχυδρομείου για να ελέγξουμε και να εγκρίνουμε την τελική έκδοση. Πριν από την αποστολή του εγγράφου μέσω ταχυμεταφορών ή αλληλογραφίας, λαμβάνουμε επίσης επιπλέον φωτογραφίες και βίντεο (συμπεριλαμβανομένου του υπεριώδους φωτός), ώστε να έχετε μια σαφή ιδέα για το τι θα λάβετε στο τέλος.

Τι πρέπει να κάνετε για να παραγγείλετε δίπλωμα στην εταιρεία σας; Απάντηση Για να παραγγείλετε ένα έγγραφο (πιστοποιητικό, δίπλωμα, ακαδημαϊκό αντίγραφο κ.λπ.), πρέπει να συμπληρώσετε την ηλεκτρονική φόρμα παραγγελίας στον ιστότοπό μας ή να στείλετε το e-mail σας, ώστε να σας στείλουμε ένα έντυπο ερωτηματολογίου που πρέπει να συμπληρώσετε και να μας στείλετε ξανά.
Εάν δεν ξέρετε τι να υποδείξετε σε οποιοδήποτε πεδίο της φόρμας παραγγελίας / ερωτηματολογίου, αφήστε τα κενά. Επομένως, θα διευκρινίσουμε όλες τις πληροφορίες που λείπουν τηλεφωνικώς.

Τελευταίες Κριτικές

Torywild:

Αποφάσισα να αγοράσω ένα δίπλωμα στην εταιρεία σας όταν μετακόμισα σε άλλη πόλη και μεταξύ των πραγμάτων μου δεν μπορούσα να βρω το δίπλωμά μου. Χωρίς αυτόν, δεν θα είχα προσληφθεί για μια καλή, πολύ αμειβόμενη δουλειά. Ο σύμβουλός μου με διαβεβαίωσε ότι αυτές οι πληροφορίες δεν αποκαλύφθηκαν και κανείς δεν μπορούσε να διακρίνει το έγγραφο από το πρωτότυπο. Οι αμφιβολίες δεν έφυγαν, αλλά έπρεπε να αναλάβω τον κίνδυνο. Μου άρεσε που δεν απαιτείται προπληρωμή. Γενικά, έλαβα το δίπλωμά μου εγκαίρως και δεν εξαπατήθηκα. Ευχαριστώ!

Οξάνα Ιβάνοβνα:

Όταν το δίπλωμά μου κλέφτηκε, ήμουν τρομερά αναστατωμένος. Σε τελική ανάλυση, με απολύθηκε εκείνη τη στιγμή, και τώρα είναι σχεδόν αδύνατο να βρω καλή δουλειά χωρίς δίπλωμα τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Ευτυχώς, ένας γείτονας πρότεινε να επικοινωνήσω με τον οργανισμό σας. Αρχικά αντέδρασα με δυσπιστία, αλλά αποφάσισα να αναλάβω τον κίνδυνο. Κάλεσα τον διευθυντή της εταιρείας, εξήγησα την κατάστασή μου. Και ήμουν τυχερός! Όλα έγιναν αμέσως, και το πιο σημαντικό, υποσχέθηκαν να μην αποκαλύψουν το μυστικό μου. Ανησυχούσα ότι το γεγονός ότι αγόρασα δίπλωμα δεν θα αποκαλυφθεί αργότερα.

Masha Kutenkova:

Ευχαριστώ για τη δουλειά σας! Διέταξα δίπλωμα το 1991. Όταν άρχισαν να συγκεντρώνουν έγγραφα, αποδείχθηκε ότι δεν υπήρχε αρκετή εμπειρία και χρειάστηκε επίσης ένα έγγραφο που να επιβεβαιώνει την εκπαίδευση. Δεν το είχα, και το αφεντικό το ήξερε, και η ίδια συνέστησε την εταιρεία σας (βλέπετε, είμαι υπάλληλος, τίποτα τέτοιο). Στο έγγραφο μου επεσήμανε τις λεπτομέρειες - λένε, σε ποια χρόνια χρησιμοποιείται μελάνι ή μελάνι, το πάχος της υπογραφής κ.λπ. Σας ευχαριστούμε για την σχολαστικότητα και την ποιότητά σας!

ΛΕΝΟΚ:

Αφού διάβασα τις ιστορίες για τις επαίσχυντες απολύσεις υπαλλήλων των οποίων τα διπλώματα εκτυπώθηκαν σε έγχρωμο εκτυπωτή, πήγα να υποβάλω αίτηση στο πανεπιστήμιο. Δυστυχώς, δεν υπάρχει προϋπολογισμός, ούτε χρήματα για να σπουδάσω και να πληρώσω για συνεδρίες, έπρεπε να αναλάβω κινδύνους. Αν και είμαι πολύ χαρούμενος που γνώρισα την παρέα σας. Αν και δεν προσλήφθηκα με το δίπλωμά σας, λόγω της αποτυχίας να ολοκληρώσω το πρακτικό μπλοκ, αυτό δεν είναι δικό σας λάθος. Πώς να βρείτε ένα νέο μέρος - απευθείας σε εσάς, χωρίς καθυστέρηση!

Τζέρι Τέρι:

Βλέποντας την αμηχανία με την οποία ο συνάδελφός μου πέταξε από τη δουλειά για ένα ψεύτικο δίπλωμα, ήταν τρομακτικό να ακολουθήσει το παράδειγμά του. Εάν δεν ήταν για τον νονό που διέταξε από εσάς, δεν θα το ρισκάρω. Διαβεβαίωσε ότι όλα είναι ομαλά εδώ, και το όνομά μου θα είναι όπου είναι απαραίτητο. Είχα 4 μέρες για τα πάντα. Σας ευχαριστούμε για την ταχύτητα - το κάναμε στο 3 και καταφέραμε επίσης να μελετήσουμε σχολαστικά τις μεθόδους πλαστογράφησης εγγράφων, αλλά η φόρμα σας δεν ταιριάζει με ένα ψεύτικο, πράγμα που σημαίνει ότι θα περάσει για το πρωτότυπο.

Ανδρέας:

Ποτέ δεν θα πίστευα ότι θα έπρεπε να αγοράσω δίπλωμα. Μετά το σχολείο, η κόρη μου έφυγε από την Πολωνία για να εργαστεί, όταν επέστρεψε μετά από 5 χρόνια, ήθελε να βρει δουλειά ως σχεδιαστής ρούχων σε ένα τοπικό σπίτι μόδας. Κανείς δεν ήθελε να την προσλάβει χωρίς δίπλωμα. Κατάλαβε ότι αν δεν πήρε αυτή τη δουλειά, θα φύγει ξανά. Το βράδυ πέρασε στο Διαδίκτυο και το πρωί ήμουν ήδη στο γραφείο με τα έγγραφα της κόρης μου. Μια εβδομάδα αργότερα, πήρε ένα δίπλωμα μαζί της και τελικά έμεινε για να εργαστεί στην πόλη της στην επιθυμητή θέση. Δεν μπορείτε να φανταστείτε πόσο ευγνώμων είμαι σε εσάς!

Το παράγωγο x του συντεταγμένου x είναι ίσο με το μείον ένα διαιρούμενο με το ημιτονοειδές τετράγωνο του x:
(ctg x) ′ \u003d.

Παράγωγο του συνδυασμού παραγώγων τύπου

Για να αντλήσουμε τον τύπο για το παράγωγο συντεταγμένων, θα χρησιμοποιήσουμε τα ακόλουθα μαθηματικά γεγονότα:
1) Έκφραση της συντεταγμένης ως προς το συνημίτονο και το ημίτονο:
(1) ;
2) Η αξία του παραγώγου του συνημίτονου:
(2) ;
3) Παράγωγη τιμή ημιτονοειδούς:
(3) ;
4) Με τον τύπο για το παράγωγο του πηλίκου:
(4) ;
5) Τριγωνομετρικός τύπος:
(5) .

Εφαρμόζουμε αυτούς τους τύπους και κανόνες στο παράγωγο της συντεταγμένης.

.

Έτσι, έχουμε αποκτήσει τον τύπο για το παράγωγο συντεταγμένων.

Ο τύπος για το παράγωγο ενός κλάσματος (4) ισχύει για εκείνες τις τιμές της μεταβλητής x για τις οποίες υπάρχουν τα παράγωγα των συναρτήσεων και για τις οποίες ο παρονομαστής του κλάσματος δεν εξαφανίζεται:
.
Στην περίπτωσή μας
,. Δεδομένου ότι τα παράγωγα του συνημίτονου και του ημιτονοειδούς ορίζονται για όλες τις τιμές της μεταβλητής x, ο τύπος του παραγώγου της συντεταγμένης ισχύει για όλα τα x, εκτός από τα σημεία στα οποία το ημίτονο είναι ίσο με μηδέν. Δηλαδή, εκτός από τα σημεία
,
που είναι ακέραιος.
Η συνάρτηση y \u003d ctg x ορίζεται για όλα τα x εκτός από τα σημεία
.
επομένως το παράγωγο της συντεταγμένης ορίζεται σε ολόκληρη την περιοχή της συνάρτησης συν-παράγοντα.

Παράγωγα υψηλότερης τάξης

Ένας απλός τύπος για το παράγωγο nth τάξης της συντεταγμένης y \u003d ctg x, όχι. Ωστόσο, ο υπολογισμός των παραγώγων υψηλότερων παραγγελιών μπορεί να απλοποιηθεί. Μπορείτε να μειώσετε την ίδια τη διαδικασία διαφοροποίηση του πολυωνύμου.

Για να το κάνουμε αυτό, εκφράζουμε το παράγωγο της συντεταγμένης μέσω της ίδιας της συντεταγμένης:
.
Βρήκαμε λοιπόν:
(6) .

Ας βρούμε τα παράγωγα της αριστεράς και της δεξιάς πλευράς της εξίσωσης (6) και να εφαρμόσουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης. Παίρνουμε παράγωγο δεύτερης τάξης:
.
Αναπληρωτής (6):
(7) .

Βρείτε το παράγωγο τρίτης τάξης... Για να γίνει αυτό, διαφοροποιούμε την εξίσωση (7), εφαρμόζουμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης και χρησιμοποιούμε την έκφραση (6) για το πρώτο παράγωγο:
.

Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε παράγωγα της τέταρτης και πέμπτης τάξης:

;

.

Γενικά, παράγωγο της 9ης τάξης, στη μεταβλητή x της συντεταγμένης συνάρτησης ,, μπορεί να αναπαρασταθεί ως πολυώνυμο στις δυνάμεις της συντεταγμένης:
.
Οι συντελεστές αυτού του πολυωνύμου σχετίζονται με τη σχέση υποτροπής:
,
Οπου
; ;
.

Γενικός τύπος

Ας παρουσιάσουμε τη διαδικασία διαφοροποίησης με έναν τύπο. Για να το κάνετε αυτό, σημειώστε ότι
.
Στη συνέχεια, το ένατο παράγωγο της συντεταγμένης έχει την ακόλουθη μορφή:
,
όπου.