Έχοντας την τυπική μορφή $P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, στην οποία η αριστερή πλευρά είναι το συνολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης $F \left( x,y\right)$ ονομάζεται συνολική διαφορική εξίσωση.

Η εξίσωση των συνολικών διαφορών μπορεί πάντα να ξαναγραφτεί ως $dF\left(x,y\right)=0$, όπου η $F\left(x,y\right)$ είναι μια συνάρτηση τέτοια που $dF\left(x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Ας ενσωματώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης $dF\left(x,y\right)=0$: $\int dF\left(x,y\right)=F\left(x,y\right) $; το ολοκλήρωμα της μηδενικής δεξιάς πλευράς είναι ίσο με μια αυθαίρετη σταθερά $C$. Έτσι, η γενική λύση αυτής της εξίσωσης σε σιωπηρή μορφή είναι $F\left(x,y\right)=C$.

Προκειμένου μια δεδομένη διαφορική εξίσωση να είναι εξίσωση σε ολικές διαφορικές, είναι απαραίτητο και αρκετό η συνθήκη $\frac(\μερική P)(\μερική y) =\frac(\μερική Q)(\μερική x) $ να είσαι ικανοποιημένος. Εάν πληρούται η καθορισμένη συνθήκη, τότε υπάρχει μια συνάρτηση $F\left(x,y\right)$, για την οποία μπορούμε να γράψουμε: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\ frac(\partial F)(\partial y)\cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, από την οποία λαμβάνουμε δύο σχέσεις : $\frac(\ partal F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ and $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right) )$.

Ενσωματώνουμε την πρώτη σχέση $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ πάνω από $x$ και παίρνουμε $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, όπου το $U\left(y\right)$ είναι μια αυθαίρετη συνάρτηση του $y$.

Ας το επιλέξουμε έτσι ώστε να ικανοποιηθεί η δεύτερη σχέση $\frac(\partial F)(\partial y) =Q\left(x,y\right)$. Για να γίνει αυτό, διαφοροποιούμε τη σχέση που προκύπτει για το $F\left(x,y\right)$ σε σχέση με το $y$ και εξισώνουμε το αποτέλεσμα σε $Q\left(x,y\right)$. Παίρνουμε: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left (x,y\δεξιά)$.

Η περαιτέρω λύση είναι:

  • από την τελευταία ισότητα βρίσκουμε $U"\left(y\right)$;
  • ενσωματώστε το $U"\left(y\right)$ και βρείτε το $U\left(y\right)$;
  • αντικαταστήστε το $U\left(y\right)$ στην ισότητα $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right) $ και τελικά λαμβάνουμε τη συνάρτηση $F\left(x,y\right)$.
\

Βρίσκουμε τη διαφορά:

Ενσωματώνουμε το $U"\left(y\right)$ πάνω από το $y$ και βρίσκουμε το $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Βρείτε το αποτέλεσμα: $F\left(x,y\right)=V\left(x,y\right)+U\left(y\right)=5\cdot x\cdot y^(2) +3\ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Γράφουμε τη γενική λύση με τη μορφή $F\left(x,y\right)=C$, δηλαδή:

Βρείτε μια συγκεκριμένη λύση $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, όπου $y_(0) =3$, $x_(0) = 2 $:

Η μερική λύση έχει τη μορφή: $5\cdot x\cdot y^(2) +3\cdot x\cdot y-2\cdot y=102$.

Ορισμός 8.4.Διαφορική εξίσωση της φόρμας

Οπου
ονομάζεται συνολική διαφορική εξίσωση.

Σημειώστε ότι η αριστερή πλευρά μιας τέτοιας εξίσωσης είναι το συνολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης
.

Γενικά, η εξίσωση (8.4) μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Αντί για την εξίσωση (8.5), μπορούμε να εξετάσουμε την εξίσωση

,

η λύση του οποίου είναι το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (8.4). Έτσι, για να λυθεί η εξίσωση (8.4) είναι απαραίτητο να βρεθεί η συνάρτηση
. Σύμφωνα με τον ορισμό της εξίσωσης (8.4), έχουμε

(8.6)

Λειτουργία
θα αναζητήσουμε μια συνάρτηση που ικανοποιεί μία από αυτές τις προϋποθέσεις (8.6):

Οπου - μια αυθαίρετη λειτουργία ανεξάρτητη από .

Λειτουργία
ορίζεται έτσι ώστε να ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη έκφρασης (8.6).

(8.7)

Από την έκφραση (8.7) προσδιορίζεται η συνάρτηση
. Αντικαθιστώντας το στην έκφραση για
και να λάβετε το γενικό ολοκλήρωμα της αρχικής εξίσωσης.

Πρόβλημα 8.3.Ολοκληρώστε την εξίσωση

Εδώ
.

Επομένως, αυτή η εξίσωση ανήκει στον τύπο των διαφορικών εξισώσεων σε ολικά διαφορικά. Λειτουργία
θα το ψάξουμε στη φόρμα

.

Στην άλλη πλευρά,

.

Σε ορισμένες περιπτώσεις η κατάσταση
μπορεί να μην εκπληρωθεί.

Στη συνέχεια, τέτοιες εξισώσεις ανάγονται στον υπό εξέταση τύπο πολλαπλασιάζοντας με τον λεγόμενο συντελεστή ολοκλήρωσης, ο οποίος, στη γενική περίπτωση, είναι μόνο συνάρτηση ή .

Αν κάποια εξίσωση έχει συντελεστή ολοκλήρωσης που εξαρτάται μόνο από , τότε προσδιορίζεται από τον τύπο

που είναι η σχέση πρέπει να είναι μόνο συνάρτηση .

Ομοίως, ο παράγοντας ολοκλήρωσης εξαρτάται μόνο από , καθορίζεται από τον τύπο

που είναι η σχέση
πρέπει να είναι μόνο συνάρτηση .

Απουσία στις δεδομένες σχέσεις, στην πρώτη περίπτωση, της μεταβλητής , και στο δεύτερο - η μεταβλητή , είναι σημάδι ύπαρξης συντελεστή ολοκλήρωσης για μια δεδομένη εξίσωση.

Πρόβλημα 8.4.Μειώστε αυτήν την εξίσωση σε εξίσωση σε ολικά διαφορικά.

.

Εξετάστε τη σχέση:

.

Θέμα 8.2. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις

Ορισμός 8.5. Διαφορική εξίσωση
ονομάζεται γραμμικό εάν είναι γραμμικό ως προς την επιθυμητή συνάρτηση , το παράγωγό του και δεν περιέχει το γινόμενο της επιθυμητής συνάρτησης και της παραγώγου της.

Η γενική μορφή μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης αντιπροσωπεύεται από την ακόλουθη σχέση:

(8.8)

Αν σε σχέση (8.8) η δεξιά πλευρά
, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται γραμμική ομοιογενής. Στην περίπτωση που η δεξιά πλευρά
, τότε μια τέτοια εξίσωση ονομάζεται γραμμική ανομοιογενής.

Ας δείξουμε ότι η εξίσωση (8.8) μπορεί να ενσωματωθεί σε τετράγωνα.

Στο πρώτο στάδιο, εξετάζουμε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση.

Μια τέτοια εξίσωση είναι μια εξίσωση με χωριστές μεταβλητές. Πραγματικά,

;

/

Η τελευταία σχέση καθορίζει τη γενική λύση μιας γραμμικής ομοιογενούς εξίσωσης.

Για να βρεθεί μια γενική λύση σε μια γραμμική ανομοιογενή εξίσωση, χρησιμοποιείται η μέθοδος μεταβολής της παραγώγου μιας σταθεράς. Η ιδέα της μεθόδου είναι ότι η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης είναι στην ίδια μορφή με τη λύση της αντίστοιχης ομοιογενούς εξίσωσης, αλλά μια αυθαίρετη σταθερά αντικαθίσταται από κάποια λειτουργία
να καθοριστεί. Έχουμε λοιπόν:

(8.9)

Αντικαθιστώντας στη σχέση (8.8) τις εκφράσεις που αντιστοιχούν
Και
, παίρνουμε

Αντικαθιστώντας την τελευταία έκφραση στη σχέση (8.9), παίρνουμε το γενικό ολοκλήρωμα της γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης.

Έτσι, η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης καθορίζεται από δύο τεταρτημόρια: τη γενική λύση μιας γραμμικής ομογενούς εξίσωσης και μια συγκεκριμένη λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης.

Πρόβλημα 8.5.Ολοκληρώστε την εξίσωση

Έτσι, η αρχική εξίσωση ανήκει στον τύπο των γραμμικών ανομοιογενών διαφορικών εξισώσεων.

Στο πρώτο στάδιο, θα βρούμε μια γενική λύση σε μια γραμμική ομοιογενή εξίσωση.

;

Στο δεύτερο στάδιο, προσδιορίζουμε τη γενική λύση της γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης, η οποία βρίσκεται στη μορφή

,

Οπου
- η λειτουργία που θα καθοριστεί.

Έχουμε λοιπόν:

Αντικατάσταση των σχέσεων για Και στην αρχική γραμμική ανομοιογενή εξίσωση λαμβάνουμε:

;

;

.

Η γενική λύση μιας γραμμικής ανομοιογενούς εξίσωσης θα έχει τη μορφή:

.

Δήλωση του προβλήματος στη δισδιάστατη περίπτωση

Ανακατασκευή συνάρτησης πολλών μεταβλητών από το συνολικό διαφορικό της

9.1. Δήλωση του προβλήματος στη δισδιάστατη περίπτωση. 72

9.2. Περιγραφή της λύσης. 72

Αυτή είναι μια από τις εφαρμογές ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος δεύτερου είδους.

Η έκφραση για το συνολικό διαφορικό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών δίνεται:

Βρείτε τη συνάρτηση.

1. Αφού δεν είναι κάθε έκφραση της φόρμας πλήρης διαφορική κάποιας συνάρτησης U(Χ,y), τότε είναι απαραίτητο να ελέγξουμε την ορθότητα της δήλωσης προβλήματος, δηλαδή να ελέγξουμε την απαραίτητη και επαρκή συνθήκη για το συνολικό διαφορικό, το οποίο για μια συνάρτηση 2 μεταβλητών έχει τη μορφή . Αυτή η συνθήκη προκύπτει από την ισοδυναμία των προτάσεων (2) και (3) στο θεώρημα της προηγούμενης ενότητας. Εάν πληρούται η υποδεικνυόμενη συνθήκη, τότε το πρόβλημα έχει λύση, δηλαδή συνάρτηση U(Χ,y) μπορεί να αποκατασταθεί. αν δεν πληρούται η συνθήκη, τότε το πρόβλημα δεν έχει λύση, δηλαδή δεν μπορεί να αποκατασταθεί η λειτουργία.

2. Μπορείτε να βρείτε μια συνάρτηση από το ολικό της διαφορικό, για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους, υπολογίζοντάς το κατά μήκος μιας γραμμής που συνδέει ένα σταθερό σημείο ( Χ 0 ,y 0) και μεταβλητό σημείο ( x;y) (Ρύζι. 18):

Έτσι, προκύπτει ότι το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους του συνολικού διαφορικού dU(Χ,y) ισούται με τη διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης U(Χ,y) στο τέλος και τα σημεία έναρξης της γραμμής ολοκλήρωσης.

Γνωρίζοντας αυτό το αποτέλεσμα τώρα, πρέπει να αντικαταστήσουμε dUστην καμπυλόγραμμη ολοκληρωτική έκφραση και υπολογίστε το ολοκλήρωμα κατά μήκος της διακεκομμένης γραμμής ( ACB), δεδομένης της ανεξαρτησίας του από το σχήμα της γραμμής ολοκλήρωσης:

επί ( ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ.): επί ( ΒΑ) :

(1)

Έτσι, έχει ληφθεί ένας τύπος με τη βοήθεια του οποίου αποκαθίσταται μια συνάρτηση 2 μεταβλητών από το συνολικό διαφορικό της.

3. Είναι δυνατή η επαναφορά μιας συνάρτησης από το συνολικό της διαφορικό μόνο μέχρι έναν σταθερό όρο, αφού ρε(U+ const) = dU. Επομένως, ως αποτέλεσμα της επίλυσης του προβλήματος, λαμβάνουμε ένα σύνολο συναρτήσεων που διαφέρουν μεταξύ τους κατά έναν σταθερό όρο.

Παραδείγματα (ανακατασκευή μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών από το συνολικό διαφορικό της)

1. Βρείτε U(Χ,y), Αν dU = (Χ 2 – y 2)dx – 2xydy.

Ελέγχουμε την συνθήκη για το συνολικό διαφορικό μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών:

Ικανοποιείται η πλήρης διαφορική συνθήκη, που σημαίνει η λειτουργία U(Χ,y) μπορεί να αποκατασταθεί.

Έλεγχος: – σωστό.

Απάντηση: U(Χ,y) = Χ 3 /3 – xy 2 + ντο.

2. Βρείτε μια συνάρτηση τέτοια ώστε

Ελέγχουμε τις απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες για την πλήρη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης τριών μεταβλητών: , , , αν δίνεται η έκφραση.



Στο πρόβλημα που λύνεται

πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις για μια πλήρη διαφορά, επομένως, η λειτουργία μπορεί να αποκατασταθεί (το πρόβλημα έχει διατυπωθεί σωστά).

Θα επαναφέρουμε τη συνάρτηση χρησιμοποιώντας ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους, υπολογίζοντάς το κατά μήκος μιας συγκεκριμένης γραμμής που συνδέει ένα σταθερό σημείο και ένα μεταβλητό σημείο, αφού

(αυτή η ισότητα προκύπτει με τον ίδιο τρόπο όπως στη δισδιάστατη περίπτωση).

Από την άλλη πλευρά, ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του δεύτερου είδους από μια συνολική διαφορική δεν εξαρτάται από το σχήμα της γραμμής ολοκλήρωσης, επομένως είναι ευκολότερο να υπολογιστεί κατά μήκος μιας διακεκομμένης γραμμής που αποτελείται από τμήματα παράλληλα με τους άξονες συντεταγμένων. Σε αυτήν την περίπτωση, ως σταθερό σημείο, μπορείτε απλά να πάρετε ένα σημείο με συγκεκριμένες αριθμητικές συντεταγμένες, παρακολουθώντας μόνο ότι σε αυτό το σημείο και σε ολόκληρη τη γραμμή ολοκλήρωσης ικανοποιείται η προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος (δηλαδή, έτσι ώστε οι συναρτήσεις και είναι συνεχείς). Λαμβάνοντας υπόψη αυτή την παρατήρηση, σε αυτό το πρόβλημα μπορούμε να πάρουμε, για παράδειγμα, το σημείο M 0 ως σταθερό σημείο. Στη συνέχεια, σε κάθε έναν από τους συνδέσμους της διακεκομμένης γραμμής θα έχουμε

10.2. Υπολογισμός επιφανειακού ολοκληρώματος πρώτου είδους. 79

10.3. Μερικές εφαρμογές του επιφανειακού ολοκληρώματος του πρώτου είδους. 81

Δείχνει τον τρόπο αναγνώρισης μιας διαφορικής εξίσωσης σε συνολικές διαφορικές. Δίνονται μέθοδοι επίλυσής του. Δίνεται ένα παράδειγμα επίλυσης μιας εξίσωσης σε ολικά διαφορικά με δύο τρόπους.

Περιεχόμενο

Εισαγωγή

Μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης σε ολικά διαφορικά είναι μια εξίσωση της μορφής:
(1) ,
όπου η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι το συνολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης U (x, y)από τις μεταβλητές x, y:
.
Όπου .

Αν βρεθεί μια τέτοια συνάρτηση U (x, y), τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή:
dU (x, y) = 0.
Το γενικό του ολοκλήρωμα είναι:
U (x, y) = C,
όπου το C είναι σταθερά.

Αν μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης γραφτεί ως προς την παράγωγό της:
,
τότε είναι εύκολο να το φέρεις σε σχήμα (1) . Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την εξίσωση με dx. Επειτα . Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε μια εξίσωση που εκφράζεται σε όρους διαφορών:
(1) .

Ιδιότητα διαφορικής εξίσωσης σε ολικές διαφορικές

Για την εξίσωση (1) ήταν μια εξίσωση σε ολικά διαφορικά, είναι απαραίτητο και αρκετό για να ισχύει η σχέση:
(2) .

Απόδειξη

Υποθέτουμε περαιτέρω ότι όλες οι συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται στην απόδειξη είναι καθορισμένες και έχουν αντίστοιχες παραγώγους σε κάποιο εύρος τιμών των μεταβλητών x και y. Σημείο x 0 , y 0ανήκει επίσης σε αυτή την περιοχή.

Ας αποδείξουμε την αναγκαιότητα της συνθήκης (2).
Έστω η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (1) είναι το διαφορικό κάποιας συνάρτησης U (x, y):
.
Επειτα
;
.
Εφόσον η δεύτερη παράγωγος δεν εξαρτάται από τη σειρά διαφοροποίησης, τότε
;
.
Από αυτό προκύπτει ότι . Προϋπόθεση αναγκαιότητας (2) αποδεδειγμένος.

Ας αποδείξουμε την επάρκεια της συνθήκης (2).
Ας ικανοποιηθεί η προϋπόθεση (2) :
(2) .
Ας δείξουμε ότι είναι δυνατό να βρεθεί μια τέτοια συνάρτηση U (x, y)ότι η διαφορά του είναι:
.
Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση U (x, y), που ικανοποιεί τις εξισώσεις:
(3) ;
(4) .
Ας βρούμε μια τέτοια συνάρτηση. Ας ενσωματώσουμε την εξίσωση (3) κατά x από x 0 στο x, υποθέτοντας ότι το y είναι σταθερά:
;
;
(5) .
Διαφοροποιούμε ως προς το y, υποθέτοντας ότι το x είναι σταθερά και ισχύει (2) :

.
Η εξίσωση (4) θα εκτελεστεί εάν
.
Ενσωματώστε πάνω από y από y 0 προς y:
;
;
.
Αντικατάσταση σε (5) :
(6) .
Έτσι, βρήκαμε μια συνάρτηση της οποίας το διαφορικό
.
Η επάρκεια έχει αποδειχθεί.

Στη φόρμουλα (6) , U (x 0 , y 0)είναι μια σταθερά - η τιμή της συνάρτησης U (x, y)στο σημείο x 0 , y 0. Μπορεί να του εκχωρηθεί οποιαδήποτε τιμή.

Πώς να αναγνωρίσετε μια διαφορική εξίσωση σε ολικά διαφορικά

Εξετάστε τη διαφορική εξίσωση:
(1) .
Για να προσδιορίσετε εάν αυτή η εξίσωση είναι σε ολικές διαφορικές, πρέπει να ελέγξετε τη συνθήκη (2) :
(2) .
Αν ισχύει, τότε αυτή η εξίσωση είναι σε ολικές διαφορικές. Εάν όχι, τότε αυτή δεν είναι μια συνολική διαφορική εξίσωση.

Παράδειγμα

Ελέγξτε αν η εξίσωση είναι σε ολικές διαφορικές:
.

Εδώ
, .
Διαφοροποιούμε ως προς το y, θεωρώντας το x σταθερά:


.
Ας διαφοροποιηθούμε


.
Επειδή η:
,
τότε η δεδομένη εξίσωση είναι σε ολικές διαφορικές.

Μέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων σε ολικά διαφορικά

Μέθοδος διαδοχικής διαφορικής εξαγωγής

Η απλούστερη μέθοδος για την επίλυση μιας εξίσωσης σε ολικά διαφορικά είναι η μέθοδος της διαδοχικής απομόνωσης του διαφορικού. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τύπους διαφοροποίησης γραμμένους σε διαφορική μορφή:
du ± dv = d (u ± v);
v du + u dv = d (uv);
;
.
Σε αυτούς τους τύπους, το u και το v είναι αυθαίρετες εκφράσεις που αποτελούνται από οποιονδήποτε συνδυασμό μεταβλητών.

Παράδειγμα 1

Λύστε την εξίσωση:
.

Προηγουμένως βρήκαμε ότι αυτή η εξίσωση είναι σε ολικές διαφορικές. Ας το μεταμορφώσουμε:
(P1) .
Λύνουμε την εξίσωση απομονώνοντας διαδοχικά το διαφορικό.
;
;
;
;

.
Αντικατάσταση σε (P1):
;
.

Μέθοδος διαδοχικής ολοκλήρωσης

Σε αυτή τη μέθοδο αναζητούμε τη συνάρτηση U (x, y), ικανοποιώντας τις εξισώσεις:
(3) ;
(4) .

Ας ενσωματώσουμε την εξίσωση (3) στο x, θεωρώντας το y σταθερά:
.
Εδώ φ (y)- μια αυθαίρετη συνάρτηση του y που πρέπει να προσδιοριστεί. Είναι η σταθερά της ολοκλήρωσης. Αντικαταστήστε στην εξίσωση (4) :
.
Από εδώ:
.
Ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε φ (y)και, έτσι, U (x, y).

Παράδειγμα 2

Λύστε την εξίσωση σε ολικά διαφορικά:
.

Προηγουμένως βρήκαμε ότι αυτή η εξίσωση είναι σε ολικές διαφορικές. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:
, .
Αναζήτηση για τη συνάρτηση U (x, y), το διαφορικό του οποίου είναι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης:
.
Επειτα:
(3) ;
(4) .
Ας ενσωματώσουμε την εξίσωση (3) στο x, θεωρώντας το y σταθερά:
(P2)
.
Διαφοροποίηση ως προς το y:

.
Ας αντικαταστήσουμε (4) :
;
.
Ας ενσωματώσουμε:
.
Ας αντικαταστήσουμε (P2):

.
Γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης:
U (x, y) = συνεχ.
Συνδυάζουμε δύο σταθερές σε μία.

Μέθοδος ολοκλήρωσης κατά μήκος καμπύλης

Η συνάρτηση U ορίζεται από τη σχέση:
dU = p (x, y) dx + q(x, y) dy,
μπορεί να βρεθεί ενσωματώνοντας αυτήν την εξίσωση κατά μήκος της καμπύλης που συνδέει τα σημεία (x 0 , y 0)Και (x, y):
(7) .
Επειδή η
(8) ,
τότε το ολοκλήρωμα εξαρτάται μόνο από τις συντεταγμένες του αρχικού (x 0 , y 0)και τελικό (x, y)σημεία και δεν εξαρτάται από το σχήμα της καμπύλης. Από (7) Και (8) βρίσκουμε:
(9) .
Εδώ x 0 και y 0 - μόνιμη. Επομένως το U (x 0 , y 0)- επίσης σταθερό.

Ένα παράδειγμα ενός τέτοιου ορισμού του U ελήφθη στην απόδειξη:
(6) .
Εδώ η ολοκλήρωση εκτελείται πρώτα κατά μήκος ενός τμήματος παράλληλου προς τον άξονα y από το σημείο (x 0 , y 0 )μέχρι κάποιο σημείο (x 0 , y). Στη συνέχεια, η ολοκλήρωση πραγματοποιείται κατά μήκος ενός τμήματος παράλληλου προς τον άξονα x από το σημείο (x 0 , y)μέχρι κάποιο σημείο (x, y) .

Γενικότερα, πρέπει να αναπαραστήσετε την εξίσωση μιας καμπύλης που συνδέει τα σημεία (x 0 , y 0 )Και (x, y)σε παραμετρική μορφή:
Χ 1 = s(t 1); y 1 = r(t 1);
Χ 0 = s(t 0); y 0 = r(t 0);
x = s (t); y = r (t);
και ενσωματώνουν πάνω από t 1 από τ 0 προς τ.

Ο ευκολότερος τρόπος για να πραγματοποιηθεί η ολοκλήρωση είναι μέσω σημείων σύνδεσης τμήματος (x 0 , y 0 )Και (x, y). Σε αυτήν την περίπτωση:
Χ 1 = x 0 + (x - x 0) t 1; y 1 = y 0 + (y - y 0) t 1;
t 0 = 0 ; t = 1 ;
dx 1 = (x - x 0) dt 1; dy 1 = (y - y 0) dt 1.
Μετά την αντικατάσταση, λαμβάνουμε το ολοκλήρωμα πάνω από t του 0 πριν 1 .
Αυτή η μέθοδος, ωστόσο, οδηγεί σε μάλλον δυσκίνητους υπολογισμούς.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
V.V. Stepanov, Μάθημα διαφορικών εξισώσεων, "LKI", 2015.

Μπορεί να συμβεί ότι η αριστερή πλευρά της διαφορικής εξίσωσης

είναι το συνολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης:

και επομένως, η εξίσωση (7) παίρνει τη μορφή .

Εάν η συνάρτηση είναι λύση της εξίσωσης (7), τότε και, επομένως,

όπου είναι μια σταθερά, και αντίστροφα, εάν κάποια συνάρτηση μετατρέπει την πεπερασμένη εξίσωση (8) σε ταυτότητα, τότε, διαφοροποιώντας την προκύπτουσα ταυτότητα, λαμβάνουμε , και επομένως, όπου είναι μια αυθαίρετη σταθερά, είναι το γενικό ολοκλήρωμα του αρχικού εξίσωση.

Εάν δίνονται αρχικές τιμές, τότε η σταθερά προσδιορίζεται από το (8) και

είναι το επιθυμητό μερικό ολοκλήρωμα. Αν στο σημείο , τότε η εξίσωση (9) ορίζεται ως άρρητη συνάρτηση του .

Για να είναι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (7) ένα πλήρες διαφορικό κάποιας συνάρτησης, είναι απαραίτητο και αρκετό

Εάν αυτή η συνθήκη που καθορίζεται από τον Euler ικανοποιείται, τότε η εξίσωση (7) μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί. Πραγματικά, . Στην άλλη πλευρά, . Ως εκ τούτου,

Κατά τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, η ποσότητα θεωρείται ως σταθερά, επομένως είναι αυθαίρετη συνάρτηση του . Για να προσδιορίσουμε τη συνάρτηση, διαφοροποιούμε τη συνάρτηση που βρέθηκε σε σχέση με και, αφού , λαμβάνουμε

Από αυτή την εξίσωση προσδιορίζουμε και, ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε .

Όπως είναι γνωστό από την πορεία της μαθηματικής ανάλυσης, είναι ακόμη πιο απλό να προσδιοριστεί μια συνάρτηση από το συνολικό της διαφορικό, λαμβάνοντας το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα μεταξύ ενός συγκεκριμένου σταθερού σημείου και ενός σημείου με μεταβλητές συντεταγμένες σε οποιαδήποτε διαδρομή:

Τις περισσότερες φορές, ως διαδρομή ολοκλήρωσης, είναι βολικό να παίρνουμε μια διακεκομμένη γραμμή που αποτελείται από δύο συνδέσμους παράλληλους στους άξονες συντεταγμένων. σε αυτήν την περίπτωση

Παράδειγμα. .

Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης είναι το συνολικό διαφορικό κάποιας συνάρτησης, αφού

Επομένως, το γενικό ολοκλήρωμα έχει τη μορφή

Μια άλλη μέθοδος για τον ορισμό μιας συνάρτησης μπορεί να χρησιμοποιηθεί:

Επιλέγουμε, για παράδειγμα, την αρχή των συντεταγμένων ως σημείο εκκίνησης και μια διακεκομμένη γραμμή ως διαδρομή ολοκλήρωσης. Επειτα

και το γενικό ολοκλήρωμα έχει τη μορφή

Το οποίο συμπίπτει με το προηγούμενο αποτέλεσμα, οδηγώντας σε έναν κοινό παρονομαστή.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, όταν η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (7) δεν είναι πλήρες διαφορικό, είναι εύκολο να επιλέξετε μια συνάρτηση, αφού πολλαπλασιαστεί με την οποία η αριστερή πλευρά της εξίσωσης (7) μετατρέπεται σε πλήρες διαφορικό. Αυτή η συνάρτηση καλείται συντελεστής ολοκλήρωσης. Σημειώστε ότι ο πολλαπλασιασμός με έναν συντελεστή ολοκλήρωσης μπορεί να οδηγήσει στην εμφάνιση περιττών μερικών λύσεων που μηδενίζουν αυτόν τον παράγοντα.

Παράδειγμα. .

Προφανώς, μετά τον πολλαπλασιασμό με έναν παράγοντα, η αριστερή πλευρά μετατρέπεται σε ολικό διαφορικό. Πράγματι, αφού πολλαπλασιάσουμε με παίρνουμε

ή, ενσωμάτωση, . Πολλαπλασιάζοντας με 2 και δυναμώνοντας, έχουμε .


Φυσικά, ο παράγοντας ολοκλήρωσης δεν επιλέγεται πάντα τόσο εύκολα. Στη γενική περίπτωση, για να βρεθεί ο συντελεστής ολοκλήρωσης, είναι απαραίτητο να επιλεγεί τουλάχιστον μία μερική λύση της εξίσωσης σε μερικές παραγώγους ή σε διευρυμένη μορφή, που δεν είναι ταυτόσημη μηδέν

που μετά τη διαίρεση και τη μεταφορά ορισμένων όρων σε άλλο μέρος της ισότητας, ανάγεται στη μορφή

Στη γενική περίπτωση, η ολοκλήρωση αυτής της μερικής διαφορικής εξίσωσης δεν είναι καθόλου απλούστερη από την ολοκλήρωση της αρχικής εξίσωσης, αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις η επιλογή μιας συγκεκριμένης λύσης στην εξίσωση (11) δεν είναι δύσκολη.

Επιπλέον, λαμβάνοντας υπόψη ότι ο συντελεστής ολοκλήρωσης είναι συνάρτηση μόνο ενός ορίσματος (για παράδειγμα, είναι συνάρτηση μόνο ή μόνο , ή συνάρτηση μόνο , ή μόνο κ.λπ.), μπορεί κανείς εύκολα να ενσωματώσει την εξίσωση (11) και υποδεικνύουν τις συνθήκες υπό τις οποίες υπάρχει ένας συντελεστής ολοκλήρωσης του υπό εξέταση τύπου. Αυτό προσδιορίζει κατηγορίες εξισώσεων για τις οποίες μπορεί να βρεθεί εύκολα ο συντελεστής ολοκλήρωσης.

Για παράδειγμα, ας βρούμε τις συνθήκες υπό τις οποίες η εξίσωση έχει έναν συντελεστή ολοκλήρωσης που εξαρτάται μόνο από , δηλ. . Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση (11) απλοποιεί και παίρνει τη μορφή , από την οποία, θεωρώντας ως συνεχή συνάρτηση του , παίρνουμε

Αν είναι συνάρτηση μόνο του , τότε συντελεστής ολοκλήρωσης που εξαρτάται μόνο από , υπάρχει και ισούται με (12), διαφορετικά δεν υπάρχει συντελεστής ολοκλήρωσης της μορφής.

Η προϋπόθεση για την ύπαρξη συντελεστή ολοκλήρωσης που εξαρτάται μόνο από ικανοποιείται, για παράδειγμα, για μια γραμμική εξίσωση ή . Πράγματι, και ως εκ τούτου. Με εντελώς παρόμοιο τρόπο μπορούν να βρεθούν προϋποθέσεις ύπαρξης συντελεστών ολοκλήρωσης της μορφής κ.λπ.

Παράδειγμα.Έχει η εξίσωση συντελεστή ολοκλήρωσης της μορφής;

Ας υποδηλώσουμε . Η εξίσωση (11) at παίρνει τη μορφή , από όπου ή

Για την ύπαρξη ενός συντελεστή ολοκλήρωσης ενός δεδομένου τύπου, είναι απαραίτητο και, υπό την παραδοχή της συνέχειας, αρκεί να είναι μόνο συνάρτηση. Στην περίπτωση αυτή λοιπόν ο συντελεστής ολοκλήρωσης υπάρχει και είναι ίσος με (13). Όταν λαμβάνουμε. Πολλαπλασιάζοντας την αρχική εξίσωση με , τη μειώνουμε στη μορφή

Ενσωματώνοντας, λαμβάνουμε , και μετά την ενίσχυση θα έχουμε , ή σε πολικές συντεταγμένες - μια οικογένεια λογαριθμικών σπειρών.

Παράδειγμα. Βρείτε το σχήμα ενός καθρέφτη που αντανακλά παράλληλα προς μια δεδομένη κατεύθυνση όλες οι ακτίνες που προέρχονται από ένα δεδομένο σημείο.

Ας τοποθετήσουμε την αρχή των συντεταγμένων σε ένα δεδομένο σημείο και ας κατευθύνουμε τον άξονα της τετμημένης παράλληλα προς την κατεύθυνση που καθορίζεται στις συνθήκες του προβλήματος. Αφήστε τη δέσμη να πέσει στον καθρέφτη στο σημείο . Ας εξετάσουμε ένα τμήμα του κατόπτρου από ένα επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα της τετμημένης και το σημείο . Ας σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη στο τμήμα της επιφάνειας του καθρέφτη που εξετάζουμε στο σημείο . Εφόσον η γωνία πρόσπτωσης της ακτίνας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης, το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Ως εκ τούτου,

Η προκύπτουσα ομοιογενής εξίσωση ενσωματώνεται εύκολα αλλάζοντας μεταβλητές, αλλά είναι ακόμα πιο εύκολο, απαλλαγμένη από τον παραλογισμό στον παρονομαστή, να την ξαναγράψουμε στη μορφή . Αυτή η εξίσωση έχει έναν προφανή συντελεστή ολοκλήρωσης , , , (οικογένεια παραβολών).

Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί ακόμα πιο απλά σε συντεταγμένες και , όπου , και η εξίσωση για το τμήμα των απαιτούμενων επιφανειών παίρνει τη μορφή .

Είναι δυνατόν να αποδειχθεί η ύπαρξη συντελεστή ολοκλήρωσης ή, το ίδιο πράγμα, η ύπαρξη μη μηδενικής λύσης στη μερική διαφορική εξίσωση (11) σε κάποιο πεδίο, εάν οι συναρτήσεις και έχουν συνεχείς παραγώγους και τουλάχιστον μία από αυτές λειτουργίες δεν εξαφανίζονται. Επομένως, η μέθοδος του συντελεστή ολοκλήρωσης μπορεί να θεωρηθεί ως μια γενική μέθοδος για την ολοκλήρωση εξισώσεων της μορφής, ωστόσο, λόγω της δυσκολίας εύρεσης του συντελεστή ολοκλήρωσης, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται συχνότερα σε περιπτώσεις όπου ο συντελεστής ολοκλήρωσης είναι προφανής.