Υπάρχουν περισσότερα μηδενικά στο googolplex από όσα σωματίδια στο γνωστό σύμπαν. Ποιο είναι το όνομα του μεγαλύτερου αριθμού στον κόσμο Υπάρχει αριθμός Google

Υπάρχουν αριθμοί που είναι τόσο απίστευτα, απίστευτα μεγάλοι που ακόμη και να τους γράψουμε θα απαιτούσε ολόκληρο το σύμπαν. Αλλά να τι σας τρελαίνει πραγματικά... μερικοί από αυτούς τους ασύλληπτα μεγάλους αριθμούς είναι εξαιρετικά σημαντικοί για την κατανόηση του κόσμου.

Όταν λέω «ο μεγαλύτερος αριθμός στο σύμπαν», εννοώ πραγματικά τον μεγαλύτερο σημαντικόςαριθμός, ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός που είναι χρήσιμος κατά κάποιο τρόπο. Υπάρχουν πολλοί διεκδικητές για αυτόν τον τίτλο, αλλά σας προειδοποιώ αμέσως: υπάρχει όντως ο κίνδυνος η προσπάθεια να τα κατανοήσετε όλα αυτά θα σας ανατινάξει. Και επιπλέον, με πάρα πολλά μαθηματικά, διασκεδάζεις ελάχιστα.

Googol και googolplex

Έντουαρντ Κάσνερ

Θα μπορούσαμε να ξεκινήσουμε με δύο, πιθανώς τους μεγαλύτερους αριθμούς που έχετε ακούσει ποτέ, και αυτοί είναι πράγματι οι δύο μεγαλύτεροι αριθμοί που έχουν γενικά αποδεκτούς ορισμούς στα αγγλικά. (Υπάρχει μια αρκετά ακριβής ονοματολογία που χρησιμοποιείται για να δηλώσει αριθμούς τόσο μεγάλους όσο θα θέλατε, αλλά αυτοί οι δύο αριθμοί δεν βρίσκονται αυτή τη στιγμή στα λεξικά.) Google, αφού έγινε παγκοσμίως γνωστή (αν και με λάθη, σημειώστε. στην πραγματικότητα είναι googol) με τη μορφή της Google, γεννήθηκε το 1920 ως ένας τρόπος να ενθαρρύνει τα παιδιά να ενδιαφέρονται για μεγάλους αριθμούς.

Για το σκοπό αυτό, ο Έντουαρντ Κάσνερ (φωτογραφία) πήρε τους δύο ανιψιούς του, τον Μίλτον και τον Έντουιν Σίροτ, για μια βόλτα στο Νιου Τζέρσεϊ Παλισάδες. Τους κάλεσε να υποβάλουν οποιεσδήποτε ιδέες και τότε ο εννιάχρονος Μίλτον πρότεινε το "googol". Από πού πήρε αυτή τη λέξη είναι άγνωστο, αλλά ο Κάσνερ το αποφάσισε ή ένας αριθμός στον οποίο υπάρχουν εκατό μηδενικά πίσω από τη μονάδα θα ονομάζεται στο εξής googol.

Αλλά ο νεαρός Milton δεν σταμάτησε εκεί, πρότεινε έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό, ένα googolplex. Αυτός είναι ένας αριθμός, σύμφωνα με τον Milton, στον οποίο υπάρχει το 1 στην πρώτη θέση, ακολουθούμενο από όσα μηδενικά μπορούσες να γράψεις πριν κουραστείς. Αν και αυτή η ιδέα είναι συναρπαστική, ο Kasner αποφάσισε ότι χρειαζόταν ένας πιο επίσημος ορισμός. Όπως εξήγησε στο βιβλίο του το 1940 Mathematics and the Imagination, ο ορισμός του Milton αφήνει ανοιχτή την επικίνδυνη πιθανότητα ο περιστασιακός γελωτοποιός να γίνει μαθηματικός ανώτερος από τον Albert Einstein απλώς και μόνο επειδή έχει περισσότερη αντοχή.

Έτσι ο Kasner αποφάσισε ότι το googolplex θα ήταν ίσο, ή 1, και μετά το googol των μηδενικών. Διαφορετικά, και σε συμβολισμό παρόμοιο με αυτούς με τους οποίους θα ασχοληθούμε για άλλους αριθμούς, θα πούμε ότι ένα googolplex είναι. Για να δείξει πόσο μαγευτικό είναι αυτό, ο Carl Sagan παρατήρησε κάποτε ότι είναι φυσικά αδύνατο να γράψουμε όλα τα μηδενικά ενός googolplex, επειδή απλά δεν υπάρχει αρκετός χώρος στο σύμπαν. Εάν γεμίσετε ολόκληρο τον όγκο του παρατηρήσιμου Σύμπαντος με λεπτά σωματίδια σκόνης μεγέθους περίπου 1,5 μικρομέτρων, τότε ο αριθμός των διαφορετικών τρόπων διάταξης αυτών των σωματιδίων θα είναι περίπου ίσος με ένα googolplex.

Γλωσσικά μιλώντας, το googol και το googolplex είναι πιθανώς οι δύο μεγαλύτεροι σημαντικοί αριθμοί (στα αγγλικά τουλάχιστον), αλλά, όπως θα διαπιστώσουμε τώρα, υπάρχουν άπειροι τρόποι για να ορίσουμε τη «σημασία».

Πραγματικό κόσμο

Αν μιλάμε για τον μεγαλύτερο σημαντικό αριθμό, υπάρχει ένα εύλογο επιχείρημα ότι αυτό σημαίνει πραγματικά ότι πρέπει να βρούμε τον μεγαλύτερο αριθμό με πραγματική τιμή στον κόσμο. Μπορούμε να ξεκινήσουμε με τον σημερινό ανθρώπινο πληθυσμό, που σήμερα είναι περίπου 6.920 εκατομμύρια. Το παγκόσμιο ΑΕΠ το 2010 υπολογίστηκε σε περίπου 61,96 δισεκατομμύρια δολάρια, αλλά και τα δύο νούμερα είναι ασήμαντα σε σύγκριση με τα περίπου 100 τρισεκατομμύρια κύτταρα που αποτελούν το ανθρώπινο σώμα. Φυσικά, κανένας από αυτούς τους αριθμούς δεν μπορεί να συγκριθεί με τον συνολικό αριθμό των σωματιδίων στο Σύμπαν, ο οποίος, κατά κανόνα, θεωρείται περίπου ίσος και αυτός ο αριθμός είναι τόσο μεγάλος που η γλώσσα μας δεν έχει αντίστοιχη λέξη.

Μπορούμε να παίξουμε λίγο με τα συστήματα μέτρων, κάνοντας τους αριθμούς όλο και μεγαλύτερους. Έτσι, η μάζα του Ήλιου σε τόνους θα είναι μικρότερη από ό,τι σε λίβρες. Ένας εξαιρετικός τρόπος για να γίνει αυτό είναι να χρησιμοποιήσετε το σύστημα μονάδων Planck, οι οποίες είναι οι μικρότερες δυνατές μονάδες για τις οποίες παραμένουν σε ισχύ οι νόμοι της φυσικής. Για παράδειγμα, η ηλικία του σύμπαντος στην εποχή του Planck είναι περίπου. Αν πάμε πίσω στην πρώτη μονάδα του χρόνου Planck μετά τη Μεγάλη Έκρηξη, θα δούμε ποια ήταν η πυκνότητα του σύμπαντος τότε. Γίνουμε όλο και περισσότεροι, αλλά δεν έχουμε φτάσει ακόμα στο googol.

Ο μεγαλύτερος αριθμός με οποιαδήποτε εφαρμογή πραγματικού κόσμου - ή, σε αυτήν την περίπτωση, μια εφαρμογή πραγματικού κόσμου - είναι πιθανώς μια από τις πιο πρόσφατες εκτιμήσεις για τον αριθμό των συμπάντων στο πολυσύμπαν. Αυτός ο αριθμός είναι τόσο μεγάλος που ο ανθρώπινος εγκέφαλος θα είναι κυριολεκτικά ανίκανος να αντιληφθεί όλα αυτά τα διαφορετικά σύμπαντα, αφού ο εγκέφαλος είναι ικανός μόνο για κατά προσέγγιση διαμορφώσεις. Στην πραγματικότητα, αυτός ο αριθμός είναι πιθανώς ο μεγαλύτερος αριθμός με οποιοδήποτε πρακτικό νόημα, εκτός εάν λάβετε υπόψη την ιδέα του πολυσύμπαντος στο σύνολό του. Ωστόσο, υπάρχουν ακόμα πολύ μεγαλύτεροι αριθμοί που κρύβονται εκεί. Αλλά για να τους βρούμε, πρέπει να μπούμε στη σφαίρα των καθαρών μαθηματικών και δεν υπάρχει καλύτερη αρχή από τους πρώτους αριθμούς.

Mersenne primes

Μέρος της δυσκολίας είναι να δοθεί ένας καλός ορισμός του τι είναι ένας "σημαντικός" αριθμός. Ένας τρόπος είναι να σκεφτόμαστε με όρους πρώτων και σύνθετων αριθμών. Πρώτος αριθμός, όπως ίσως θυμάστε από τα σχολικά μαθηματικά, είναι κάθε φυσικός αριθμός (σημείωση, όχι ίσος με ένα), που διαιρείται μόνο από τον εαυτό του. Έτσι, και είναι πρώτοι αριθμοί, και και είναι σύνθετοι αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι οποιοσδήποτε σύνθετος αριθμός μπορεί τελικά να αναπαρασταθεί από τους πρώτους διαιρέτες του. Κατά μία έννοια, ένας αριθμός είναι πιο σημαντικός από, ας πούμε, γιατί δεν υπάρχει τρόπος να τον εκφράσουμε με βάση το γινόμενο μικρότερων αριθμών.

Προφανώς, μπορούμε να πάμε λίγο παραπέρα. για παράδειγμα, είναι πραγματικά απλό, πράγμα που σημαίνει ότι σε έναν υποθετικό κόσμο όπου οι γνώσεις μας για τους αριθμούς περιορίζονται σε έναν αριθμό, ένας μαθηματικός μπορεί ακόμα να εκφράσει έναν αριθμό. Αλλά ο επόμενος αριθμός είναι ήδη πρώτος, πράγμα που σημαίνει ότι ο μόνος τρόπος να τον εκφράσουμε είναι να γνωρίζουμε άμεσα για την ύπαρξή του. Αυτό σημαίνει ότι οι μεγαλύτεροι γνωστοί πρώτοι αριθμοί παίζουν σημαντικό ρόλο, αλλά, ας πούμε, το googol - που είναι τελικά απλώς μια συλλογή αριθμών και πολλαπλασιάζονται μεταξύ τους - στην πραγματικότητα δεν παίζει. Και δεδομένου ότι οι πρώτοι είναι ως επί το πλείστον τυχαίοι, δεν υπάρχει γνωστός τρόπος να προβλέψουμε ότι ένας απίστευτα μεγάλος αριθμός θα είναι πραγματικά πρώτος. Μέχρι σήμερα, η ανακάλυψη νέων πρώτων είναι δύσκολη.

Οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί είχαν την ιδέα των πρώτων τουλάχιστον ήδη από το 500 π.Χ., και 2000 χρόνια αργότερα οι άνθρωποι γνώριζαν ακόμα ποιοι αριθμοί ήταν πρώτοι μόνο μέχρι το 750. Οι στοχαστές της εποχής του Ευκλείδη είδαν την πιθανότητα απλοποίησης, αλλά μέχρι την Αναγέννηση οι μαθηματικοί μπορούσαν Πραγματικά μην το κάνεις πράξη. Αυτοί οι αριθμοί είναι γνωστοί ως αριθμοί Mersenne και ονομάζονται από τη Γαλλίδα επιστήμονα του 17ου αιώνα Marina Mersenne. Η ιδέα είναι αρκετά απλή: ο αριθμός Mersenne είναι οποιοσδήποτε αριθμός της φόρμας. Έτσι, για παράδειγμα, και αυτός ο αριθμός είναι πρώτος, το ίδιο ισχύει και για.

Είναι πολύ πιο γρήγορο και πιο εύκολο να αναγνωρίσουμε τους πρώτους αριθμούς Mersenne από οποιοδήποτε άλλο είδος πρώτων, και οι υπολογιστές εργάζονται σκληρά για να τους βρουν τις τελευταίες έξι δεκαετίες. Μέχρι το 1952, ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός ήταν ένας αριθμός - ένας αριθμός με ψηφία. Την ίδια χρονιά, ένας υπολογιστής υπολόγισε ότι ο αριθμός είναι πρώτος και αυτός ο αριθμός αποτελείται από αριθμούς, γεγονός που τον κάνει πολύ μεγαλύτερο από ένα googol.

Οι υπολογιστές βρίσκονται στο κυνήγι από τότε και ο ντος αριθμός του Mersenne είναι επί του παρόντος ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που γνωρίζει η ανθρωπότητα. Ανακαλύφθηκε το 2008, είναι - ένας αριθμός με σχεδόν ένα εκατομμύριο ψηφία. Είναι ο μεγαλύτερος γνωστός αριθμός που δεν μπορεί να εκφραστεί με όρους μικρότερους αριθμούς και αν θέλετε να βοηθήσετε στην εύρεση ενός ακόμη μεγαλύτερου αριθμού Mersenne, εσείς (και ο υπολογιστής σας) μπορείτε πάντα να συμμετέχετε στην αναζήτηση στη διεύθυνση http://www.mersenne. org /.

Ο αριθμός του Skuse

Stanley Skewes

Ας επιστρέψουμε στους πρώτους αριθμούς. Όπως είπα, συμπεριφέρονται βασικά λάθος, πράγμα που σημαίνει ότι δεν υπάρχει τρόπος να προβλέψουμε ποιος θα είναι ο επόμενος πρώτος. Οι μαθηματικοί αναγκάστηκαν να στραφούν σε μερικές μάλλον φανταστικές μετρήσεις προκειμένου να βρουν κάποιο τρόπο να προβλέψουν τους μελλοντικούς πρώτους αριθμούς, ακόμη και με κάποιο σκοτεινό τρόπο. Η πιο επιτυχημένη από αυτές τις προσπάθειες είναι πιθανώς η συνάρτηση μέτρησης πρώτων, που εφευρέθηκε στα τέλη του 18ου αιώνα από τον θρυλικό μαθηματικό Karl Friedrich Gauss.

Θα σας εξοικονομήσω τα πιο περίπλοκα μαθηματικά - με τον έναν ή τον άλλον τρόπο, έχουμε ακόμα πολλά να έρθουμε - αλλά η ουσία της συνάρτησης είναι η εξής: για οποιονδήποτε ακέραιο, μπορείτε να υπολογίσετε πόσοι λιγότεροι πρώτοι υπάρχουν. Για παράδειγμα, εάν, η συνάρτηση προβλέπει ότι πρέπει να υπάρχουν πρώτοι, αν - πρώτοι, λιγότεροι και αν, τότε υπάρχουν λιγότεροι αριθμοί που είναι πρώτοι.

Η διάταξη των πρώτων είναι πράγματι ακανόνιστη και είναι απλώς μια προσέγγιση του πραγματικού αριθμού των πρώτων. Στην πραγματικότητα, γνωρίζουμε ότι υπάρχουν πρώτοι, λιγότεροι, πρώτοι λιγότεροι και πρώτοι. Αυτός είναι ένας άριστος βαθμός, σίγουρα, αλλά είναι πάντα μόνο μια αξιολόγηση ... και, πιο συγκεκριμένα, ένας ανώτερος βαθμός.

Σε όλες τις προηγούμενες γνωστές περιπτώσεις, η συνάρτηση μέτρησης πρώτων υπερβάλλει ελαφρώς τον πραγματικό αριθμό των λιγότερων πρώτων. Οι μαθηματικοί κάποτε πίστευαν ότι θα ήταν πάντα έτσι, άπειρα, ότι αυτό σίγουρα ισχύει για ορισμένους αφάνταστα τεράστιους αριθμούς, αλλά το 1914 ο John Edenzor Littlewood απέδειξε ότι για κάποιον άγνωστο, αφάνταστα τεράστιο αριθμό, αυτή η συνάρτηση θα άρχιζε να παράγει λιγότερους πρώτους αριθμούς, και τότε θα εναλλάσσεται μεταξύ άνω και κάτω ορίου άπειρες φορές.

Το κυνήγι ήταν στο σημείο εκκίνησης των αγώνων και εδώ εμφανίστηκε ο Stanley Skewes (βλ. φωτογραφία). Το 1933, απέδειξε ότι το άνω όριο όταν μια συνάρτηση που προσεγγίζει τον αριθμό των πρώτων αριθμών δίνει πρώτα μικρότερη τιμή είναι ένας αριθμός. Είναι δύσκολο να κατανοήσουμε πραγματικά, ακόμη και με την πιο αφηρημένη έννοια, τι αντιπροσωπεύει αυτός ο αριθμός, και από αυτή την άποψη, ήταν ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ σε σοβαρή μαθηματική απόδειξη. Από τότε, οι μαθηματικοί μπόρεσαν να μειώσουν το άνω φράγμα σε έναν σχετικά μικρό αριθμό, αλλά ο αρχικός αριθμός παρέμεινε γνωστός ως αριθμός Skuse.

Πόσο μεγάλος είναι λοιπόν ο αριθμός που κάνει ακόμη και το πανίσχυρο googolplex νάνο; Στο The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, ο David Wells περιγράφει έναν τρόπο με τον οποίο ο μαθηματικός Hardy μπόρεσε να κατανοήσει το μέγεθος του αριθμού του Skuse:

Ο Χάρντι σκέφτηκε ότι ήταν «ο μεγαλύτερος αριθμός που εξυπηρετούσε ποτέ κάποιον συγκεκριμένο σκοπό στα μαθηματικά» και πρότεινε ότι αν έπαιζες σκάκι με όλα τα σωματίδια του σύμπαντος ως κομμάτια, μια κίνηση θα ήταν να ανταλλάξεις δύο σωματίδια. και το παιχνίδι θα τελείωνε όταν η ίδια θέση θα επαναλαμβανόταν για τρίτη φορά, τότε ο αριθμός όλων των πιθανών παιχνιδιών θα ήταν περίπου ίσος με τον αριθμό του Skuse.''

Κάτι τελευταίο πριν προχωρήσουμε: μιλήσαμε για τον μικρότερο από τους δύο αριθμούς Skuse. Υπάρχει ένας άλλος αριθμός Skuse, τον οποίο βρήκε ο μαθηματικός το 1955. Ο πρώτος αριθμός λαμβάνεται με βάση ότι η λεγόμενη υπόθεση Riemann είναι αληθινή - αυτή είναι μια ιδιαίτερα δύσκολη υπόθεση των μαθηματικών, η οποία παραμένει αναπόδεικτη, πολύ χρήσιμη όταν πρόκειται για πρώτους αριθμούς. Ωστόσο, εάν η υπόθεση Riemann είναι εσφαλμένη, ο Skuse διαπίστωσε ότι το σημείο έναρξης των αλμάτων αυξάνεται σε.

Το πρόβλημα του μεγέθους

Πριν φτάσουμε στον αριθμό που ακόμη και ο αριθμός του Skuse φαίνεται μικροσκοπικός δίπλα, πρέπει να μιλήσουμε λίγο για την κλίμακα, γιατί διαφορετικά δεν έχουμε τρόπο να εκτιμήσουμε πού θα πάμε. Ας πάρουμε πρώτα έναν αριθμό - είναι ένας μικροσκοπικός αριθμός τόσο μικρός που οι άνθρωποι μπορούν πραγματικά να έχουν μια διαισθητική κατανόηση του τι σημαίνει. Υπάρχουν πολύ λίγοι αριθμοί που ταιριάζουν σε αυτήν την περιγραφή, αφού οι αριθμοί μεγαλύτεροι από έξι παύουν να είναι ξεχωριστοί αριθμοί και γίνονται "πολλοί", "πολλοί" κ.λπ.

Τώρα ας πάρουμε, δηλ. ... Αν και πραγματικά δεν μπορούμε διαισθητικά, όπως ήταν για έναν αριθμό, είναι πολύ εύκολο να καταλάβουμε τι είναι, να φανταστούμε τι είναι. Μέχρι εδώ καλά. Τι γίνεται όμως αν πάμε; Είναι ίσο με, ή. Είμαστε πολύ μακριά από το να μπορούμε να φανταστούμε αυτήν την αξία, όπως κάθε άλλη, πολύ μεγάλη - χάνουμε την ικανότητα να κατανοούμε μεμονωμένα μέρη κάπου γύρω στο ένα εκατομμύριο. (Αλήθεια, θα χρειαζόταν ένας τρελός χρόνος για να μετρήσουμε πραγματικά μέχρι ένα εκατομμύριο από οτιδήποτε, αλλά το θέμα είναι ότι μπορούμε ακόμα να αντιληφθούμε αυτόν τον αριθμό.)

Ωστόσο, ενώ δεν μπορούμε να φανταστούμε, είμαστε τουλάχιστον σε θέση να κατανοήσουμε σε γενικές γραμμές τι είναι τα 7,6 δισεκατομμύρια, ίσως συγκρίνοντάς τα με κάτι σαν το ΑΕΠ των ΗΠΑ. Έχουμε περάσει από τη διαίσθηση στην αναπαράσταση και στην απλή κατανόηση, αλλά τουλάχιστον έχουμε ακόμα κάποιο κενό στην κατανόηση του τι είναι ένας αριθμός. Αυτό πρόκειται να αλλάξει καθώς ανεβαίνουμε ένα βήμα στη σκάλα.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να πάμε σε μια σημειογραφία που εισήγαγε ο Donald Knuth, γνωστή ως σημειογραφία βέλους. Σε αυτούς τους χαρακτηρισμούς, μπορεί να γραφτεί ως. Όταν πάμε στη συνέχεια, ο αριθμός που παίρνουμε είναι ίσος με. Αυτό είναι ίσο με εκεί όπου υπάρχουν συνολικά τρία. Τώρα έχουμε ξεπεράσει πολύ και πραγματικά όλους τους άλλους αριθμούς για τους οποίους έχει ήδη αναφερθεί. Εξάλλου, ακόμη και ο μεγαλύτερος από αυτούς είχε μόνο τρεις ή τέσσερις όρους στη σειρά των δεικτών. Για παράδειγμα, ακόμη και ο υπερ-αριθμός του Skuse είναι "μόνο" - ακόμα κι αν προσαρμοστεί για το γεγονός ότι τόσο η βάση όσο και οι δείκτες είναι πολύ μεγαλύτεροι από αυτόν, δεν είναι τίποτα σε σύγκριση με το μέγεθος του πύργου αριθμών με ένα δισεκατομμύριο μέλη.

Προφανώς, δεν υπάρχει τρόπος να κατανοήσουμε τόσο τεράστιους αριθμούς ... και όμως, η διαδικασία με την οποία δημιουργούνται μπορεί ακόμα να γίνει κατανοητή. Δεν μπορούσαμε να καταλάβουμε τον πραγματικό αριθμό που δίνεται από έναν πύργο δυνάμεων, στον οποίο υπάρχουν δισεκατομμύρια τριπλάσια, αλλά μπορούμε βασικά να φανταστούμε έναν τέτοιο πύργο με πολλά μέλη, και ένας πραγματικά αξιοπρεπής υπερυπολογιστής μπορεί να αποθηκεύσει τέτοιους πύργους στη μνήμη ακόμα κι αν δεν μπορούν να υπολογίσουν τις πραγματικές τους τιμές.

Αυτό γίνεται όλο και πιο αφηρημένο, αλλά θα χειροτερεύει. Μπορεί να νομίζετε ότι είναι ένας πύργος δυνάμεων του οποίου το μήκος εκθέτη είναι (εξάλλου, στην προηγούμενη έκδοση αυτής της ανάρτησης έκανα ακριβώς αυτό το λάθος), αλλά είναι απλό. Με άλλα λόγια, φανταστείτε ότι έχετε τη δυνατότητα να υπολογίσετε την ακριβή αξία ενός πύργου δύναμης τριδύμων, που αποτελείται από στοιχεία, και μετά πήρατε αυτήν την τιμή και δημιουργήσατε έναν νέο πύργο με τόσες ... που δίνει.

Επαναλάβετε αυτή τη διαδικασία με κάθε διαδοχικό αριθμό ( Σημείωση.ξεκινώντας από τα δεξιά) μέχρι να το κάνετε μία φορά και μετά να το αποκτήσετε τελικά. Αυτός είναι ένας αριθμός που είναι απλά απίστευτα μεγάλος, αλλά τουλάχιστον τα βήματα για να τον αποκτήσετε φαίνονται κατανοητά, αν όλα γίνονται πολύ αργά. Δεν μπορούμε πλέον να κατανοήσουμε τον αριθμό ή να φανταστούμε τη διαδικασία με την οποία λαμβάνεται, αλλά τουλάχιστον μπορούμε να κατανοήσουμε τον βασικό αλγόριθμο, μόνο σε αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα.

Τώρα ας προετοιμάσουμε το μυαλό να το ανατινάξει πραγματικά.

Ο αριθμός του Γκράχαμ (Γκράχαμ)

Ρόναλντ Γκράχαμ

Έτσι παίρνετε τον αριθμό Graham, ο οποίος κατατάσσεται στο Βιβλίο των Παγκόσμιων Ρεκόρ Γκίνες ως ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ στη μαθηματική απόδειξη. Είναι εντελώς αδύνατο να φανταστεί κανείς πόσο σπουδαίο είναι και είναι εξίσου δύσκολο να εξηγήσει τι ακριβώς είναι. Βασικά, ο αριθμός του Γκράχαμ εμφανίζεται όταν έχουμε να κάνουμε με υπερκύβους, που είναι θεωρητικά γεωμετρικά σχήματα με περισσότερες από τρεις διαστάσεις. Ο μαθηματικός Ronald Graham (βλ. φωτογραφία) ήθελε να ανακαλύψει σε ποιο μικρό αριθμό διαστάσεων ορισμένες ιδιότητες του υπερκύβου θα παραμείνουν σταθερές. (Συγγνώμη για μια τόσο ασαφή εξήγηση, αλλά είμαι βέβαιος ότι όλοι πρέπει να ολοκληρώσουμε τουλάχιστον δύο πτυχία στα μαθηματικά για να είναι πιο ακριβές.)

Σε κάθε περίπτωση, ο αριθμός Graham είναι ένα ανώτερο όριο για αυτόν τον ελάχιστο αριθμό διαστάσεων. Πόσο μεγάλο είναι λοιπόν αυτό το άνω όριο; Ας επιστρέψουμε σε έναν αριθμό τόσο μεγάλο που μπορούμε μόνο αόριστα να κατανοήσουμε τον αλγόριθμο για την απόκτησή του. Τώρα, αντί να πηδήξουμε απλώς ένα ακόμη επίπεδο, θα μετρήσουμε τον αριθμό στον οποίο υπάρχουν βέλη μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου τριών. Τώρα είμαστε πολύ πέρα ​​από την παραμικρή κατανόηση του τι είναι αυτός ο αριθμός, ή ακόμα και τι πρέπει να γίνει για να τον υπολογίσουμε.

Τώρα επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία μία φορά ( Σημείωση.σε κάθε επόμενο βήμα, γράφουμε τον αριθμό των βελών ίσο με τον αριθμό που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα).

Αυτός, κυρίες και κύριοι, είναι ο αριθμός του Graham, ο οποίος είναι περίπου μια τάξη μεγέθους υψηλότερος από το σημείο της ανθρώπινης κατανόησης. Αυτός ο αριθμός, ο οποίος είναι πολύ μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αριθμό μπορείτε να φανταστείτε - πολύ περισσότερο από οποιοδήποτε άπειρο που θα μπορούσατε ποτέ να ελπίζετε να φανταστείτε - απλώς αψηφά ακόμη και την πιο αφηρημένη περιγραφή.

Αλλά εδώ είναι το περίεργο. Δεδομένου ότι ο αριθμός του Graham είναι βασικά απλώς τριπλασιασμένος μεταξύ τους, γνωρίζουμε μερικές από τις ιδιότητές του χωρίς να τον υπολογίσουμε πραγματικά. Δεν μπορούμε να αναπαραστήσουμε τον αριθμό του Γκράχαμ χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε σημειογραφία που γνωρίζουμε, ακόμα κι αν χρησιμοποιήσαμε ολόκληρο το σύμπαν για να τον γράψουμε, αλλά μπορώ να σας πω τα τελευταία δώδεκα ψηφία του αριθμού του Γκράχαμ αυτή τη στιγμή:. Και δεν είναι μόνο αυτό: γνωρίζουμε τουλάχιστον τα τελευταία ψηφία του αριθμού του Γκράχαμ.

Φυσικά, αξίζει να θυμόμαστε ότι αυτός ο αριθμός είναι μόνο το ανώτερο όριο στο αρχικό πρόβλημα Graham. Είναι πιθανό ότι ο πραγματικός αριθμός των μετρήσεων που απαιτούνται για την εκπλήρωση της επιθυμητής ιδιότητας είναι πολύ, πολύ μικρότερος. Στην πραγματικότητα, από τη δεκαετία του 1980, πιστεύεται, σύμφωνα με τους περισσότερους ειδικούς σε αυτόν τον τομέα, ότι στην πραγματικότητα ο αριθμός των διαστάσεων είναι μόνο έξι - ένας αριθμός τόσο μικρός που μπορούμε να τον καταλάβουμε διαισθητικά. Έκτοτε, το κάτω όριο έχει αυξηθεί σε, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει πολύ καλή πιθανότητα η λύση στο πρόβλημα του Graham να μην βρίσκεται δίπλα σε έναν αριθμό τόσο μεγάλο όσο ο αριθμός του Graham.

Στο άπειρο

Άρα υπάρχουν αριθμοί μεγαλύτεροι από τον αριθμό του Γκράχαμ; Υπάρχει, φυσικά, ο αριθμός Graham για αρχή. Όσον αφορά τον σημαντικό αριθμό ... καλά, υπάρχουν μερικοί διαβολικά πολύπλοκοι τομείς των μαθηματικών (ιδίως, της περιοχής που είναι γνωστή ως συνδυαστική) και της επιστήμης των υπολογιστών, στους οποίους εμφανίζονται αριθμοί ακόμη μεγαλύτεροι από τον αριθμό του Graham. Αλλά έχουμε σχεδόν φτάσει στο όριο αυτού που ελπίζω ότι μπορώ ποτέ να εξηγήσω εύλογα. Για όσους είναι αρκετά απερίσκεπτοι ώστε να προχωρήσουν ακόμη περισσότερο, η περαιτέρω ανάγνωση προσφέρεται με δική σας ευθύνη.

Λοιπόν, τώρα μια καταπληκτική φράση που αποδίδεται στον Ντάγκλας Ρέι ( Σημείωση.για να είμαι ειλικρινής, ακούγεται πολύ αστείο):

«Βλέπω συστάδες αόριστων αριθμών που κρύβονται εκεί, στο σκοτάδι, πίσω από ένα μικρό σημείο φωτός που δίνει το κερί του μυαλού. Ψιθυρίζουν ο ένας στον άλλον. συνωμοτούν ποιος ξέρει τι. Ίσως δεν μας αρέσουν πολύ που αιχμαλωτίζουμε τα αδερφάκια τους με το μυαλό μας. Ή, ίσως, απλώς οδηγούν έναν αδιαμφισβήτητο αριθμητικό τρόπο ζωής, εκεί, πέρα ​​από την κατανόησή μας».

Ως παιδί, με βασάνιζε η ερώτηση ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός, και βασάνιζα σχεδόν τους πάντες με αυτήν την ηλίθια ερώτηση. Έχοντας μάθει τον αριθμό ενός εκατομμυρίου, ρώτησα αν υπήρχε αριθμός μεγαλύτερος από ένα εκατομμύριο. Δισεκατομμύριο? Και πάνω από ένα δισεκατομμύριο; Τρισεκατομμύριο? Πάνω από ένα τρισεκατομμύριο; Τελικά, ήταν κάποιος έξυπνος που μου εξήγησε ότι η ερώτηση είναι ανόητη, αφού αρκεί να προσθέσω μόνο ένα στον μεγαλύτερο αριθμό, και αποδεικνύεται ότι δεν ήταν ποτέ ο μεγαλύτερος, αφού οι αριθμοί είναι ακόμη περισσότεροι.

Και τώρα, πολλά χρόνια αργότερα, αποφάσισα να κάνω μια άλλη ερώτηση, δηλαδή: ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που έχει το δικό του όνομα;Ευτυχώς, τώρα υπάρχει Διαδίκτυο και μπορούν να μπερδευτούν από υπομονετικές μηχανές αναζήτησης που δεν θα αποκαλούν τις ερωτήσεις μου ηλίθιες ;-). Στην πραγματικότητα, αυτό έκανα και αυτό ανακάλυψα ως αποτέλεσμα.

Υπάρχουν δύο συστήματα για την ονομασία αριθμών - αμερικανικό και αγγλικό.

Το αμερικανικό σύστημα είναι πολύ απλό. Όλα τα ονόματα των μεγάλων αριθμών κατασκευάζονται ως εξής: στην αρχή υπάρχει ένας λατινικός τακτικός αριθμός και στο τέλος προστίθεται το επίθημα-εκατομμύριο. Εξαίρεση αποτελεί το όνομα "million" που είναι το όνομα του αριθμού χίλια (lat. mille) και το αυξανόμενο επίθημα-εκατομμύριο (βλ. πίνακα). Με αυτόν τον τρόπο προκύπτουν οι αριθμοί - τρισεκατομμύριο, τετράδισεκατομο, κουϊντσελίον, εξάξιο, επτά εκατομμύριο, οκτίλιο, μη δισεκατομμύριο και δεκατσελιόν. Το αμερικανικό σύστημα χρησιμοποιείται στις ΗΠΑ, τον Καναδά, τη Γαλλία και τη Ρωσία. Μπορείτε να μάθετε τον αριθμό των μηδενικών σε έναν αριθμό που είναι γραμμένος στο αμερικανικό σύστημα χρησιμοποιώντας τον απλό τύπο 3 x + 3 (όπου x είναι λατινικός αριθμός).

Το αγγλικό σύστημα ονομασίας είναι το πιο διαδεδομένο στον κόσμο. Χρησιμοποιείται, για παράδειγμα, στη Μεγάλη Βρετανία και την Ισπανία, καθώς και στις περισσότερες πρώην αγγλικές και ισπανικές αποικίες. Τα ονόματα των αριθμών σε αυτό το σύστημα είναι χτισμένα ως εξής: έτσι: το επίθημα-εκατομμύριο προστίθεται στον λατινικό αριθμό, ο επόμενος αριθμός (1000 φορές μεγαλύτερος) κατασκευάζεται σύμφωνα με την αρχή - ο ίδιος λατινικός αριθμός, αλλά το επίθημα είναι ​- δισεκατομμύρια. Δηλαδή, μετά από ένα τρισεκατομμύριο στο αγγλικό σύστημα, υπάρχει ένα τρισεκατομμύριο, και μόνο τότε ένα τετράδισεκατομο, ακολουθούμενο από ένα τετράστιχο κ.λπ. Άρα, ένα τετράστιχο στο αγγλικό και το αμερικανικό σύστημα είναι εντελώς διαφορετικοί αριθμοί! Μπορείτε να μάθετε τον αριθμό των μηδενικών σε έναν αριθμό που γράφεται στο αγγλικό σύστημα και τελειώνει με το επίθημα-million με τον τύπο 6 x + 3 (όπου x είναι λατινικός αριθμός) και από τον τύπο 6 x + 6 για αριθμούς που τελειώνουν σε -δισεκατομμύριο.

Μόνο ο αριθμός δισεκατομμύριο (10 9) πέρασε από το αγγλικό σύστημα στη ρωσική γλώσσα, που θα ήταν πιο σωστό να τον ονομάσουμε όπως τον αποκαλούν οι Αμερικανοί - ένα δισεκατομμύριο, αφού είναι το αμερικανικό σύστημα που έχει υιοθετηθεί στη χώρα μας. Ποιος όμως στη χώρα μας κάνει κάτι σύμφωνα με τους κανόνες! ;-) Παρεμπιπτόντως, μερικές φορές η λέξη τρισεκατομμύριο χρησιμοποιείται και στα ρωσικά (μπορείτε να δείτε μόνοι σας κάνοντας μια αναζήτηση στο Googleή Yandex) και σημαίνει, προφανώς, 1000 τρισεκατομμύρια, δηλ. τετρακισεκατομμύριον.

Εκτός από τους αριθμούς που γράφονται με λατινικά προθέματα σύμφωνα με το αμερικανικό ή αγγλικό σύστημα, είναι γνωστοί και οι λεγόμενοι αριθμοί εκτός συστήματος, δηλ. αριθμοί που έχουν τα δικά τους ονόματα χωρίς λατινικά προθέματα. Υπάρχουν αρκετοί τέτοιοι αριθμοί, αλλά θα μιλήσω για αυτούς λεπτομερέστερα λίγο αργότερα.

Ας επιστρέψουμε στη γραφή χρησιμοποιώντας λατινικούς αριθμούς. Φαίνεται ότι μπορούν να γράψουν αριθμούς στο άπειρο, αλλά αυτό δεν είναι απολύτως αλήθεια. Επιτρέψτε μου να εξηγήσω γιατί. Ας δούμε πρώτα πώς λέγονται οι αριθμοί από το 1 έως το 10 33:

Και έτσι, τώρα τίθεται το ερώτημα, τι ακολουθεί. Τι κρύβεται πίσω από την πτώση; Κατ' αρχήν, φυσικά, είναι δυνατόν, φυσικά, συνδυάζοντας προθέματα να δημιουργηθούν τέτοια τέρατα όπως: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion και novemdecillion, αλλά αυτά θα είμαστε ήδη σύνθετα ενδιαφέρθηκαν για αριθμούς. Επομένως, σύμφωνα με αυτό το σύστημα, εκτός από τα παραπάνω, μπορείτε ακόμα να πάρετε μόνο τρία σωστά ονόματα - vigintillion (από το λατ. viginti- είκοσι), centillion (από λατ. centum- εκατό) και ένα εκατομμύριο (από λατ. mille- χίλια). Οι Ρωμαίοι δεν είχαν περισσότερα από χίλια δικά τους ονόματα για αριθμούς (όλοι οι αριθμοί άνω των χιλίων ήταν σύνθετοι). Για παράδειγμα, οι Ρωμαίοι κάλεσαν ένα εκατομμύριο (1.000.000) decies centena milia, δηλαδή «δεκακόσιες χιλιάδες». Και τώρα, στην πραγματικότητα, ο πίνακας:

Έτσι, σύμφωνα με ένα τέτοιο σύστημα, ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από 10 3003, που θα είχε τη δική του, μη σύνθετη ονομασία, είναι αδύνατο να ληφθεί! Ωστόσο, οι αριθμοί που ξεπερνούν το ένα εκατομμύριο είναι γνωστοί - αυτοί είναι οι αριθμοί πολύ εκτός συστήματος. Ας σας πούμε επιτέλους για αυτούς.

Ο μικρότερος τέτοιος αριθμός είναι μυριάδα(είναι ακόμη και στο λεξικό του Dahl), που σημαίνει εκατό εκατοντάδες, δηλαδή 10.000. Αυτή η λέξη, όμως, είναι ξεπερασμένη και πρακτικά δεν χρησιμοποιείται, αλλά είναι περίεργο ότι η λέξη «μύρια» χρησιμοποιείται ευρέως, η οποία δεν σημαίνει έναν ορισμένο αριθμό, αλλά ένα αμέτρητο, αμέτρητο σύνολο πραγμάτων. Πιστεύεται ότι η λέξη μυριάδα ήρθε στις ευρωπαϊκές γλώσσες από την αρχαία Αίγυπτο.

Γκούγκολ(από το αγγλικό googol) είναι ο αριθμός δέκα έως την εκατοστή δύναμη, δηλαδή ένα με εκατό μηδενικά. Το Googol γράφτηκε για πρώτη φορά το 1938 στο άρθρο "New Names in Mathematics" στο τεύχος Ιανουαρίου του Scripta Mathematica από τον Αμερικανό μαθηματικό Έντουαρντ Κάσνερ. Σύμφωνα με τον ίδιο, ο εννιάχρονος ανιψιός του Milton Sirotta πρότεινε να καλέσουν έναν μεγάλο αριθμό «googol». Αυτός ο αριθμός έγινε γνωστός χάρη στη μηχανή αναζήτησης που πήρε το όνομά του. Google... Σημειώστε ότι το "Google" είναι εμπορικό σήμα και το googol είναι ένας αριθμός.

Στη διάσημη βουδιστική πραγματεία της Jaina Sutra, που χρονολογείται από το 100 π.Χ., υπάρχει ένας αριθμός asankheya(από φάλαινα. asenci- αμέτρητο) ίσο με 10 140. Πιστεύεται ότι αυτός ο αριθμός είναι ίσος με τον αριθμό των κοσμικών κύκλων που απαιτούνται για να επιτευχθεί η νιρβάνα.

Googolplex(eng. googolplex) είναι ένας αριθμός που εφευρέθηκε επίσης από τον Κάσνερ με τον ανιψιό του και σημαίνει ένα με googol μηδενικά, δηλαδή 10 10 100. Έτσι περιγράφει ο ίδιος ο Κάσνερ αυτή την «ανακάλυψη»:

Λόγια σοφίας λέγονται από τα παιδιά τουλάχιστον τόσο συχνά όσο και από τους επιστήμονες. Το όνομα "googol" εφευρέθηκε από ένα παιδί (τον εννιάχρονο ανιψιό του Dr. Kasner) που του ζητήθηκε να βρει ένα όνομα για έναν πολύ μεγάλο αριθμό, δηλαδή, 1 με εκατό μηδενικά μετά από αυτό. Ήταν πολύ βέβαιος ότι αυτός ο αριθμός δεν ήταν άπειρος, και επομένως εξίσου βέβαιο ότι έπρεπε να έχει ένα όνομα.Την ίδια στιγμή που πρότεινε το "googol" έδωσε ένα όνομα για έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό: "Googolplex." Ένα googolplex είναι πολύ μεγαλύτερο από ένα googol, αλλά εξακολουθεί να είναι πεπερασμένο, όπως έσπευσε να επισημάνει ο εφευρέτης του ονόματος.

Μαθηματικά και Φαντασία(1940) των Kasner και James R. Newman.

Ένας ακόμη μεγαλύτερος αριθμός από το googolplex, ο αριθμός Skewes, προτάθηκε από τον Skewes το 1933 (Skewes. J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) στην απόδειξη της εικασίας Riemann σχετικά με τους πρώτους αριθμούς. Σημαίνει μιστο βαθμό μιστο βαθμό μιστην 79η δύναμη, δηλαδή, e e e 79. Αργότερα, ο Riele (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference Π(x) -Li (x)." Μαθηματικά. Υπολογιστής. 48 , 323-328, 1987) μείωσε τον αριθμό Skewes σε e e 27/4, που είναι περίπου 8.185 10 370. Είναι σαφές ότι αφού η τιμή του αριθμού του Skuse εξαρτάται από τον αριθμό μι, τότε δεν είναι ακέραιος, επομένως δεν θα το εξετάσουμε, διαφορετικά θα έπρεπε να ανακαλέσουμε άλλους μη φυσικούς αριθμούς - pi, e, τον αριθμό του Avogadro κ.λπ.

Αλλά πρέπει να σημειωθεί ότι υπάρχει ένας δεύτερος αριθμός Skuse, ο οποίος στα μαθηματικά συμβολίζεται ως Sk 2, ο οποίος είναι ακόμη μεγαλύτερος από τον πρώτο αριθμό Skuse (Sk 1). Δεύτερος αριθμός Skewes, εισήχθη από τον J. Skuse στο ίδιο άρθρο για να δηλώσει τον αριθμό μέχρι τον οποίο ισχύει η υπόθεση Riemann. Το Sk 2 είναι ίσο με 10 10 10 10 3, δηλαδή 10 10 10 1000.

Όπως καταλαβαίνετε, όσο περισσότεροι είναι ο αριθμός των βαθμών, τόσο πιο δύσκολο είναι να καταλάβετε ποιος από τους αριθμούς είναι μεγαλύτερος. Για παράδειγμα, κοιτάζοντας τους αριθμούς Skuse, χωρίς ειδικούς υπολογισμούς, είναι σχεδόν αδύνατο να καταλάβουμε ποιος από αυτούς τους δύο αριθμούς είναι μεγαλύτερος. Έτσι, καθίσταται άβολο να χρησιμοποιείτε δυνάμεις για πολύ μεγάλους αριθμούς. Επιπλέον, μπορείτε να σκεφτείτε τέτοιους αριθμούς (και έχουν ήδη εφευρεθεί) όταν οι βαθμοί μοιρών απλά δεν χωρούν στη σελίδα. Ναι, τι σελίδα! Δεν θα χωρέσουν, ούτε σε ένα βιβλίο στο μέγεθος ολόκληρου του Σύμπαντος! Σε αυτή την περίπτωση, τίθεται το ερώτημα πώς να τα καταγράψετε. Το πρόβλημα, όπως καταλαβαίνετε, είναι επιλύσιμο και οι μαθηματικοί έχουν αναπτύξει αρκετές αρχές για τη σύνταξη τέτοιων αριθμών. Είναι αλήθεια ότι κάθε μαθηματικός που έθεσε αυτό το πρόβλημα βρήκε τον δικό του τρόπο γραφής, ο οποίος οδήγησε στην ύπαρξη αρκετών άσχετων τρόπων γραφής αριθμών - αυτοί είναι οι συμβολισμοί των Knuth, Conway, Steinhouse κ.λπ.

Σκεφτείτε τη σημειογραφία του Hugo Steinhaus (H. Steinhaus. Μαθηματικά στιγμιότυπα, 3η έκδ. 1983), το οποίο είναι αρκετά απλό. Ο Stein House πρότεινε να γράψουμε μεγάλους αριθμούς μέσα σε γεωμετρικά σχήματα - ένα τρίγωνο, ένα τετράγωνο και έναν κύκλο:

Ο Steinhaus βρήκε δύο νέους υπερ-μεγάλους αριθμούς. Κάλεσε τον αριθμό - Megaκαι ο αριθμός είναι Μεγίστον.

Ο μαθηματικός Leo Moser βελτίωσε τη σημειογραφία του Stenhouse, η οποία περιοριζόταν από το γεγονός ότι αν απαιτούνταν να γραφτούν αριθμοί πολύ μεγαλύτεροι από το megiston, προέκυψαν δυσκολίες και ενοχλήσεις, καθώς ήταν απαραίτητο να σχεδιάσουμε πολλούς κύκλους ο ένας μέσα στον άλλο. Ο Moser πρότεινε να σχεδιάσετε όχι κύκλους, αλλά πεντάγωνα μετά τα τετράγωνα, μετά εξάγωνα και ούτω καθεξής. Πρότεινε επίσης μια επίσημη σημειογραφία για αυτά τα πολύγωνα, έτσι ώστε οι αριθμοί να μπορούν να καταγράφονται χωρίς να σχεδιάζονται πολύπλοκα σχέδια. Η σημειογραφία του Moser μοιάζει με αυτό:

Έτσι, σύμφωνα με τη σημείωση του Moser, το μέγα Steinhouse γράφεται ως 2 και το megiston ως 10. Επιπλέον, ο Leo Moser πρότεινε να καλέσουμε ένα πολύγωνο με τον αριθμό των πλευρών να είναι ίσος με ένα mega - megaagon. Και πρότεινε τον αριθμό "2 στο Megagon", δηλαδή 2. Αυτός ο αριθμός έγινε γνωστός ως αριθμός Moser (αριθμός Moser "s) ή απλά ως Moser.

Αλλά και ο Moser δεν είναι ο μεγαλύτερος αριθμός. Ο μεγαλύτερος αριθμός που χρησιμοποιήθηκε ποτέ στη μαθηματική απόδειξη είναι μια οριακή τιμή γνωστή ως Ο αριθμός του Γκράχαμ(αριθμός Graham), που χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1977 για να αποδείξει μια εκτίμηση στη θεωρία του Ramsey, συνδέεται με διχρωμικούς υπερκύβους και δεν μπορεί να εκφραστεί χωρίς το ειδικό σύστημα 64 επιπέδων ειδικών μαθηματικών συμβόλων που εισήγαγε ο Knuth το 1976.

Δυστυχώς, ο αριθμός που γράφτηκε στη σημειογραφία του Knuth δεν μπορεί να μεταφραστεί στο σύστημα Moser. Επομένως, θα πρέπει να εξηγήσουμε και αυτό το σύστημα. Κατ 'αρχήν, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο σε αυτό. Ο Donald Knuth (ναι, ναι, αυτός είναι ο ίδιος Knuth που έγραψε το "The Art of Programming" και δημιούργησε τον επεξεργαστή TeX) επινόησε την έννοια του superdegree, την οποία πρότεινε να γράψει με βέλη προς τα επάνω:

Σε γενικές γραμμές, μοιάζει με αυτό:

Νομίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα, οπότε ας επιστρέψουμε στον αριθμό του Graham. Ο Graham πρότεινε τους λεγόμενους αριθμούς G:

Ο αριθμός G 63 έγινε γνωστός ως Αριθμός Γκράχαμ(συχνά δηλώνεται απλώς ως G). Αυτός ο αριθμός είναι ο μεγαλύτερος γνωστός αριθμός στον κόσμο και μάλιστα περιλαμβάνεται στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες. Α, ορίστε ότι ο αριθμός του Γκράχαμ είναι μεγαλύτερος από αυτόν του Μόζερ.

ΥΣΤΕΡΟΓΡΑΦΟ.Για να αποφέρω μεγάλα οφέλη σε όλη την ανθρωπότητα και να γίνω διάσημος για αιώνες, αποφάσισα να καταλήξω και να ονομάσω τον μεγαλύτερο αριθμό ο ίδιος. Αυτός ο αριθμός θα κληθεί stasplexκαι ισούται με τον αριθμό G 100. Απομνημονεύστε το και όταν τα παιδιά σας ρωτήσουν ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός στον κόσμο, πείτε τους ότι ονομάζεται αυτός ο αριθμός stasplex.

Ενημέρωση (4.09.2003):Σας ευχαριστώ όλους για τα σχόλια. Αποδείχτηκε ότι έκανα αρκετά λάθη γράφοντας το κείμενο. Θα προσπαθήσω να το φτιάξω τώρα.

1. Έκανα πολλά λάθη ταυτόχρονα αναφέροντας απλώς τον αριθμό του Avogadro. Πρώτον, αρκετοί μου επεσήμαναν ότι στην πραγματικότητα το 6.022 · 10 23 είναι ο πιο φυσικός αριθμός. Και δεύτερον, υπάρχει μια άποψη, και μου φαίνεται σωστή, ότι ο αριθμός του Avogadro δεν είναι καθόλου αριθμός με τη σωστή, μαθηματική έννοια της λέξης, αφού εξαρτάται από το σύστημα των μονάδων. Τώρα εκφράζεται σε "mole -1", αλλά αν το εκφράσετε, για παράδειγμα, σε moles ή κάτι άλλο, θα εκφραστεί με έναν εντελώς διαφορετικό αριθμό, αλλά αυτό δεν θα σταματήσει να είναι ο αριθμός του Avogadro.
2. μου επέστησε την προσοχή στο γεγονός ότι οι αρχαίοι Σλάβοι έδιναν και τα ονόματά τους στους αριθμούς και δεν είναι καλό να τους ξεχνάμε. Λοιπόν, εδώ είναι μια λίστα με παλιά ρωσικά ονόματα αριθμών:
   10.000 - σκοτάδι
   100.000 - λεγεώνα
   1.000.000 - λεοδρ
   10.000.000 - ένα κοράκι ή ένα ψέμα
   100.000.000 - κατάστρωμα
   Είναι ενδιαφέρον ότι οι αρχαίοι Σλάβοι αγαπούσαν επίσης τους μεγάλους αριθμούς και ήξεραν πώς να μετρούν μέχρι το ένα δισεκατομμύριο. Επιπλέον, αποκαλούσαν έναν τέτοιο λογαριασμό «μικρό λογαριασμό». Σε ορισμένα χειρόγραφα, οι συγγραφείς θεώρησαν επίσης τη «μεγάλη βαθμολογία», φτάνοντας τον αριθμό των 10 50. Για αριθμούς πάνω από 10 50 ειπώθηκε: «Και ο ανθρώπινος νους δεν μπορεί να καταλάβει περισσότερα από αυτό». Τα ονόματα που χρησιμοποιήθηκαν στο «μικρό μέτρημα» μεταφέρθηκαν στο «μεγάλο μέτρημα», αλλά με διαφορετική σημασία. Έτσι, το σκοτάδι δεν σήμαινε πλέον 10.000, αλλά ένα εκατομμύριο, μια λεγεώνα σήμαινε σκοτάδι για αυτούς (ένα εκατομμύριο). leodr - λεγεώνα λεγεώνων (10 έως 24 μοίρες), τότε ειπώθηκε - δέκα leodr, εκατό leodr, ... και, τέλος, εκατό χιλιάδες leodr legion (10 έως 47). Το leodr leodr (10 στα 48) ονομαζόταν κοράκι και, τέλος, κατάστρωμα (10 στα 49).
3. Το θέμα των εθνικών ονομάτων για αριθμούς μπορεί να επεκταθεί αν θυμηθούμε το ξεχασμένο ιαπωνικό σύστημα ονοματοδοσίας αριθμών, το οποίο είναι πολύ διαφορετικό από τα αγγλικά και αμερικανικά συστήματα (δεν θα σχεδιάσω ιερογλυφικά, αν κάποιος ενδιαφέρεται, είναι):
   10 0 - ιχί
   10 1 - τζιούου
   10 2 - hyaku
   10 3 - sen
   10 4 - άνδρας
   10 8 - οκου
   10 12 - τσου
   10 16 - kei
   10 20 - γαϊ
   10 24 - τζιό
   10 28 - τζιού
   10 32 - κου
   10 36 - καν
   10 40 - sei
   10 44 - sai
   10 48 - goku
   10 52 - gougasya
   10 56 - ασούγι
   10 60 - nayuta
   10 64 - φουκασίγκι
   10 68 - muryoutaisuu
4. Σχετικά με τους αριθμούς του Hugo Steinhaus (στη Ρωσία, για κάποιο λόγο, το όνομά του μεταφράστηκε ως Hugo Steinhaus). botev διαβεβαιώνει ότι η ιδέα της γραφής υπερμεγάλων αριθμών με τη μορφή αριθμών σε κύκλους δεν ανήκει στον Steinhaus, αλλά στον Daniil Kharms, ο οποίος δημοσίευσε αυτή την ιδέα για τίποτα στο άρθρο "Raising the Number". Θέλω επίσης να ευχαριστήσω τον Evgeny Sklyarevsky, τον συγγραφέα του πιο ενδιαφέροντος ιστότοπου για ψυχαγωγικά μαθηματικά στο ρωσόφωνο Διαδίκτυο - Watermelon, για τις πληροφορίες ότι ο Steinhaus βρήκε όχι μόνο τους αριθμούς mega και megiston, αλλά πρότεινε και έναν άλλο αριθμό mezzon, ίσο (στη συμβολή του) με "3 σε κύκλο".
5. Τώρα για τον αριθμό μυριάδαή μύριοι. Υπάρχουν διαφορετικές απόψεις σχετικά με την προέλευση αυτού του αριθμού. Κάποιοι πιστεύουν ότι προέρχεται από την Αίγυπτο, ενώ άλλοι πιστεύουν ότι γεννήθηκε μόνο στην Αρχαία Ελλάδα. Όπως και να έχει στην πραγματικότητα, αλλά οι μυριάδες απέκτησαν φήμη χάρη στους Έλληνες. Myriad ήταν το όνομα για 10.000, αλλά δεν υπήρχαν ονόματα για αριθμούς πάνω από δέκα χιλιάδες. Ωστόσο, στη σημείωση «Ψαμμίτ» (δηλαδή ο λογισμός της άμμου), ο Αρχιμήδης έδειξε πώς μπορεί κανείς να κατασκευάζει και να ονομάζει αυθαίρετα μεγάλους αριθμούς συστηματικά. Συγκεκριμένα, τοποθετώντας 10.000 (μυριάδες) κόκκους άμμου σε έναν παπαρουνόσπορο, διαπιστώνει ότι στο Σύμπαν (μια σφαίρα με διάμετρο μυριάδων διαμέτρων της Γης) δεν θα χωρούσαν περισσότεροι από 1063 κόκκοι άμμου (στη συμβολή μας). Είναι περίεργο ότι οι σύγχρονοι υπολογισμοί του αριθμού των ατόμων στο ορατό Σύμπαν οδηγούν στον αριθμό 10 67 (μόλις μυριάδες φορές περισσότερο). Ο Αρχιμήδης πρότεινε τα ακόλουθα ονόματα για τους αριθμούς:
   1 μυριάδα = 10 4.
   1 d-myriad = μυριάδες μυριάδες = 10 8.
   1 τριμύρια = διμυριάδες διμυριάδες = 10 16.
   1 τετραμυριάδα = τρεις μυριάδες τρεις μυριάδες = 10 32.
   και τα λοιπά.

Εάν υπάρχουν σχόλια -

Ο Αμερικανός μαθηματικός Edward Kasner (1878 - 1955) στο πρώτο μισό του 20ου αιώνα πρότεινε να ονομάσειgoogol... Το 1938, ο Kasner περπάτησε στο πάρκο με τους δύο ανιψιούς του Milton και Edwin Sirottes και συζήτησε μεγάλους αριθμούς μαζί τους. Κατά τη διάρκεια της συνομιλίας μίλησαν για έναν αριθμό με εκατό μηδενικά, που δεν είχε το δικό του όνομα. Ο εννιάχρονος Milton, πρότεινε να καλέσετε αυτόν τον αριθμόgoogol (googol).

Το 1940, ο Κάσνερ, μαζί με τον Τζέιμς Νιούμαν, δημοσίευσαν το βιβλίο "Μαθηματικά και Φαντασία" (Μαθηματικά και Φαντασία ), όπου χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά αυτός ο όρος. Σύμφωνα με άλλες πηγές, έγραψε για πρώτη φορά για το googol το 1938 στο άρθρο " Νέα ονόματα στα Μαθηματικά«στο τεύχος Ιανουαρίου του περιοδικού Scripta Mathematica.

Ορος googolδεν έχει σοβαρή θεωρητική και πρακτική σημασία. Ο Kasner το πρότεινε για να απεικονίσει τη διαφορά μεταξύ ενός αφάνταστα μεγάλου αριθμού και του άπειρου, και για το σκοπό αυτό ο όρος χρησιμοποιείται μερικές φορές στη διδασκαλία των μαθηματικών.

Τέσσερις δεκαετίες μετά τον θάνατο του Έντουαρντ Κάσνερ, ο όρος googolχρησιμοποιείται για αυτοπροσδιορισμό από την παγκοσμίως γνωστή πλέον εταιρεία Google .

Κρίνετε μόνοι σας εάν το googol είναι καλό, είναι βολικό ως μονάδα μέτρησης μεγεθών που υπάρχουν στην πραγματικότητα εντός των ορίων του ηλιακού μας συστήματος:

• Η μέση απόσταση από τη Γη στον Ήλιο (1,49598 · 10 11 m) λαμβάνεται ως αστρονομική μονάδα (AU) - ένα ασήμαντο μικροσκοπικό στην κλίμακα ενός googol.
• Ο Πλούτωνας είναι ένας νάνος πλανήτης του ηλιακού συστήματος, μέχρι πρόσφατα - ο κλασικός πλανήτης που βρίσκεται πιο μακριά από τη Γη - έχει τροχιακή διάμετρο ίση με 80 AU. (12 10 13 m);
• Ο αριθμός των στοιχειωδών σωματιδίων που αποτελούν τα άτομα ολόκληρου του Σύμπαντος, οι φυσικοί υπολογίζουν ότι ο αριθμός δεν υπερβαίνει τα 10 88.

Για τις ανάγκες του μικρόκοσμου - τα στοιχειώδη σωματίδια του ατομικού πυρήνα - η μονάδα μήκους (εκτός συστήματος) είναι angstrom(Å = 10 -10 m). Εισήχθη το 1868 από τον Σουηδό φυσικό και αστρονόμο Anders Angström. Αυτή η μονάδα μέτρησης χρησιμοποιείται συχνά στη φυσική επειδή

10 -10 m = 0, 000 000 000 1 m

Αυτή είναι η κατά προσέγγιση διάμετρος μιας τροχιάς ηλεκτρονίου σε ένα μη διεγερμένο άτομο υδρογόνου. Η απόσταση του ατομικού πλέγματος στους περισσότερους κρυστάλλους είναι της ίδιας τάξης.

Αλλά ακόμη και σε αυτήν την κλίμακα, οι αριθμοί που εκφράζουν ακόμη και διαστρικές αποστάσεις απέχουν πολύ από ένα μόνο googol. Για παράδειγμα:

• η διάμετρος του Γαλαξία μας υποτίθεται ότι είναι 10 5 έτη φωτός, δηλ. ίσο με το γινόμενο του 10 5 της απόστασης που διανύει το φως σε ένα έτος. στα angstroms είναι απλά

10 31 · Å;

• η απόσταση από τους πιθανώς υπάρχοντες πολύ μακρινούς γαλαξίες δεν υπερβαίνει

10 40 Å.

Οι αρχαίοι στοχαστές ονόμασαν το σύμπαν χώρο περιορισμένο από μια ορατή αστρική σφαίρα πεπερασμένης ακτίνας. Οι αρχαίοι θεωρούσαν ότι το κέντρο αυτής της σφαίρας ήταν η Γη, ενώ ο Αρχιμήδης, ο Αρίσταρχος, το κέντρο της Σάμου του σύμπαντος έδωσαν τη θέση τους στον Ήλιο. Έτσι, αν αυτό το σύμπαν είναι γεμάτο με κόκκους άμμου, τότε, όπως δείχνουν οι υπολογισμοί που έκανε ο Αρχιμήδης στο " Ψαμμίτ" ("Ο λογισμός των κόκκων άμμου "), θα χρειαστούν περίπου 10 63 κομμάτια κόκκων άμμου - ο αριθμός που βρίσκεται

10 37 = 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

φορές λιγότερο googol.

Και όμως η ποικιλία των φαινομένων, ακόμη και μόνο στην επίγεια οργανική ζωή, είναι τόσο μεγάλη που βρέθηκαν φυσικές ποσότητες που ξεπέρασαν το ένα googol. Επιλύοντας το πρόβλημα της διδασκαλίας των ρομπότ να αντιλαμβάνονται τη φωνή και να κατανοούν λεκτικές εντολές, οι ερευνητές διαπίστωσαν ότι οι παραλλαγές στα χαρακτηριστικά των ανθρώπινων φωνών φτάνουν τον αριθμό

45 10 100 = 45 googol.

Υπάρχουν πολλά παραδείγματα γιγάντιων αριθμών στα ίδια τα μαθηματικά που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιοκτησία.Για παράδειγμα, σημειογραφία θέσηςο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός για τον Σεπτέμβριο του 2013,Αριθμοί Mersenne

2 57885161 - 1,

Περισσότερα από 17 εκατομμύρια ψηφία.

Παρεμπιπτόντως, ο Έντουαρντ Κάσνερ και ο ανιψιός του Μίλτον βρήκαν ένα όνομα για έναν ακόμη μεγαλύτερο αριθμό από το googol - για έναν αριθμό ίσο με το 10 της δύναμης του googol -

10 10 100 .

Αυτός ο αριθμός ονομάζεται - googolplex... Ας χαμογελάσουμε - ο αριθμός των μηδενικών μετά το ένα στον δεκαδικό συμβολισμό του googolplex υπερβαίνει τον αριθμό όλων των στοιχειωδών σωματιδίων στο Σύμπαν μας.

Η διάσημη μηχανή αναζήτησης, καθώς και η εταιρεία που δημιούργησε αυτό το σύστημα και πολλά άλλα προϊόντα, ονομάζονται από τον αριθμό googol - έναν από τους μεγαλύτερους αριθμούς στο άπειρο σύνολο των φυσικών αριθμών. Ωστόσο, ο μεγαλύτερος αριθμός δεν είναι καν το googol, αλλά το googolplex.

Ο αριθμός googolplex προτάθηκε για πρώτη φορά από τον Edward Kazner το 1938, αντιπροσωπεύει ένα και έναν απίστευτο αριθμό μηδενικών. Το όνομα προέρχεται από έναν άλλο αριθμό - googol - ένα με εκατό μηδενικά. Συνήθως ο αριθμός των googol γράφεται ως 10 100, ή 10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.

Το Googolplex, με τη σειρά του, είναι ο αριθμός δέκα στη δύναμη του googol. Συνήθως γράφεται ως εξής: 10 10 ^ 100, και αυτό είναι πολύ, πάρα πολλά μηδενικά. Υπάρχουν τόσα πολλά από αυτά που εάν αποφασίσατε να μετρήσετε τον αριθμό των μηδενικών χρησιμοποιώντας μεμονωμένα σωματίδια στο σύμπαν, τα σωματίδια θα εξαντλούνταν πριν από τα μηδενικά στο googolplex.

Σύμφωνα με τον Carl Sagan, είναι αδύνατο να γραφτεί αυτός ο αριθμός, γιατί θα χρειαστεί περισσότερος χώρος για να γραφτεί από ό,τι υπάρχει στο ορατό σύμπαν.

Πώς λειτουργεί το εγκεφαλικό ταχυδρομείο - η μετάδοση μηνυμάτων από εγκέφαλο σε εγκέφαλο μέσω του Διαδικτύου

10 μυστικά του κόσμου που επιτέλους αποκάλυψε η επιστήμη

Οι 10 κορυφαίες ερωτήσεις σχετικά με το σύμπαν στις οποίες οι επιστήμονες αναζητούν απαντήσεις αυτή τη στιγμή

2.500 χρόνια επιστημονικού μυστηρίου: γιατί χασμουριόμαστε

3 πιο ανόητα επιχειρήματα που χρησιμοποιούν οι αντίπαλοι της θεωρίας της εξέλιξης για να δικαιολογήσουν την άγνοιά τους

Είναι δυνατόν με τη βοήθεια της σύγχρονης τεχνολογίας να συνειδητοποιήσουμε τις ικανότητες των υπερηρώων;

Οποιαδήποτε δύο αντικείμενα στο κενό θα πέσουν με την ίδια ταχύτητα.