Έστω η θέση οποιουδήποτε σημείου στο επίπεδο καθορίζεται μοναδικά από δύο αριθμούς, όπου

.

Αφήνω
μη αρνητικό, συνεχές στο τμήμα
λειτουργία,
.

Εξετάστε ένα σύνολο σημείων

που μπορεί να ερμηνευθεί ως καμπύλο τρίγωνο

Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τριγώνου, χωρίζουμε αυτό το τρίγωνο σε στοιχειώδη καμπυλόγραμμα τρίγωνα.

Ας αντικαταστήσουμε τα στοιχειώδη καμπυλόγραμμα τρίγωνα με ορθογώνια τρίγωνα.

Αφήστε τα ύψη αυτών των τριγώνων να είναι ίσα,

και οι βάσεις αντίστοιχα είναι .

τετράγωνο το ου στοιχειώδες τρίγωνο θα είναι προφανώς ίσο με

.

Εμβαδόν καμπυλόγραμμου τριγώνου θα είναι περίπου ίσα

. (1)

Η έκφραση (1) μπορεί να θεωρηθεί ως αναπόσπαστο άθροισμα για τη συνάρτηση
στο τμήμα
.

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία
.- αυτό είναι ασήμαντο

χωρίσματα
.

Στη συνέχεια, η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τριγώνου

λαμβάνουμε όταν περνάμε στην έκφραση (1) στο όριο στο

=
. (2)

Έτσι, το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος στο σύστημα πολικών συντεταγμένων είναι ίσο με

.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΥπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που περικλείεται από μια καμπύλη (καρδιοειδές)

.

Λύση.Ας σχεδιάσουμε ένα γράφημα ενός καρδιοειδούς

Όπως μπορούμε να δούμε, το καρδιοειδές είναι μια γραμμή συμμετρική ως προς τον άξονα
.

P 15. Υπολογισμός μήκους καμπύλης

Αφήστε την καμπύλη καθορίζεται παραμετρικά

,
.

Ας χωρίσουμε το τμήμα
επί μέρη με τελείες.

Ας υποδηλώσουμε με
αντίστοιχα σημεία στην καμπύλη . Ας συνδέσουμε αυτά τα σημεία με ευθείες γραμμές.

Το προκύπτον σπασμένο
ονομάζεται διακεκομμένη γραμμή εγγεγραμμένη σε καμπύλη .

Στοιχειώδες μήκος συνδέσμου
ίσο με

Μήκος γραμμής
σε αυτή την περίπτωση θα είναι ίσο

. (1)

Ας υποδηλώσουμε με
. Στη συνέχεια το μήκος της καμπύλης λαμβάνουμε περνώντας στην έκφραση (1) στο όριο στο

. (2)

Άρα το μήκος της καμπύλης σύμφωνα με την έκφραση (2) προσδιορίζεται από τον τύπο

. (3)

Μήκος χωρικής καμπύλης , προσδιορίζεται παραμετρικά

,
,

θα είναι ίσοι

.

Αν η επίπεδη καμπύλη δίνεται ρητά

,
,

τότε οι παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης

μπορεί σε αυτή την περίπτωση να αναπαρασταθεί στη μορφή

,
,
.

Ως αποτέλεσμα, η έκφραση (3) λαμβάνεται στη μορφή

.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρείτε το μήκος μιας καμπύλης που δίνεται παραμετρικά.

Λύση.Ας σχεδιάσουμε μια δεδομένη καμπύλη

Δεδομένου ότι η καμπύλη είναι συμμετρική ως προς τους άξονες συντεταγμένων, αρκεί να βρεθεί .

Επομένως, το μήκος της καμπύλης θα είναι ίσο με

.

Σ 16. Λανθασμένο ολοκλήρωμα πρώτου είδους. Κριτήριο Cauchy. Σημάδια σύγκρισης.

Ο μαθητής κρατήθηκε ενώ προσπαθούσε να πάρει

ακατάλληλο ολοκλήρωμα. Ο ιδιοκτήτης του ολοκληρώματος διευκρινίζεται.

Ο ορισμός του ολοκληρώματος Riemann που εισήχθη νωρίτερα δεν ισχύει εάν η συνάρτηση f(x) είναι απεριόριστη στο διάστημα ή το διάστημα ολοκλήρωσης είναι άπειρο. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος μπορεί να γενικευτεί και να εισαχθεί η έννοια του ακατάλληλου ολοκληρώματος.

Έστω η συνάρτηση f(x) να οριστεί σε ένα άπειρο μισό διάστημα V x≥a. Τότε έχουμε τη συνάρτηση F(x) που ορίζεται από το ολοκλήρωμα

(1)

με μεταβλητό ανώτατο όριο.

Ας πάμε στο όριο του (1) ως x→+∞ και ας εισαγάγουμε επίσημα τον ακόλουθο συμβολισμό

F(x)=
(2)

Σύμβολο
ονομάζεται ακατάλληλο ολοκλήρωμα πρώτου είδους. Επιπλέον, εάν υπάρχει όριο (2), τότε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα ονομάζεται συγκλίνον. Αν το όριο δεν υπάρχει ή είναι ίσο με ∞, τότε το ακατάλληλο ολοκλήρωμα ονομάζεται αποκλίνον.

Ακατάλληλα ολοκληρώματα πρώτου είδους στα (-∞, b] και

,

(3)

Σημειώστε ότι στο (3) τα α και β τείνουν στο άπειρο ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.

Σημειώστε επίσης ότι αν η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο . Δηλαδή, δεν λαμβάνονται υπόψη γραμμές όπως το κόψιμο ενός μανιταριού, το στέλεχος του οποίου ταιριάζει καλά σε αυτό το τμήμα και το καπάκι είναι πολύ ευρύτερο.

Τα πλευρικά τμήματα μπορούν να εκφυλιστούν σε σημεία . Αν δείτε ένα τέτοιο σχήμα στο σχέδιο, αυτό δεν πρέπει να σας μπερδέψει, καθώς αυτό το σημείο έχει πάντα την τιμή του στον άξονα «x». Αυτό σημαίνει ότι όλα είναι εντάξει με τα όρια της ολοκλήρωσης.

Τώρα μπορείτε να προχωρήσετε σε τύπους και υπολογισμούς. Η περιοχή λοιπόν μικρόΤο καμπύλο τραπεζοειδές μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Αν φά(Χ) ≤ 0 (η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα Βόδι), Οτι περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούςμπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις που τόσο τα άνω όσο και τα κάτω όρια του σχήματος είναι συναρτήσεις, αντίστοιχα y = φά(Χ) Και y = φ (Χ) , τότε το εμβαδόν ενός τέτοιου αριθμού υπολογίζεται με τον τύπο

. (3)

Επίλυση προβλημάτων από κοινού

Ας ξεκινήσουμε με περιπτώσεις όπου το εμβαδόν ενός σχήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (1).

Παράδειγμα 1.Βόδι) και ευθεία Χ = 1 , Χ = 3 .

Λύση. Επειδή y = 1/Χ> 0 στο τμήμα , τότε η περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο (1):

.

Παράδειγμα 2.Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, γραμμή Χ= 1 και άξονας x ( Βόδι ).

Λύση. Το αποτέλεσμα της εφαρμογής του τύπου (1):

Αν τότε μικρό= 1/2 ; αν τότε μικρό= 1/3, κ.λπ.

Παράδειγμα 3.Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, τον άξονα της τετμημένης ( Βόδι) και ευθεία Χ = 4 .

Λύση. Το σχήμα που αντιστοιχεί στις συνθήκες του προβλήματος είναι ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο στο οποίο το αριστερό τμήμα έχει εκφυλιστεί σε ένα σημείο. Τα όρια ολοκλήρωσης είναι 0 και 4. Αφού , χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) βρίσκουμε την περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς:

.

Παράδειγμα 4.Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , και βρίσκεται στο 1ο τέταρτο.

Λύση. Για να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (1), ας φανταστούμε το εμβαδόν του σχήματος που δίνεται από τις συνθήκες του παραδείγματος ως το άθροισμα των εμβαδών του τριγώνου ΟΑΒκαι κυρτό τραπεζοειδές αλφάβητο. Κατά τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου ΟΑΒτα όρια της ολοκλήρωσης είναι τα τετμημένα των σημείων ΟΚαι ΕΝΑ, και για το σχήμα αλφάβητο- τετμημένα σημεία ΕΝΑΚαι ντο (ΕΝΑείναι το σημείο τομής της ευθείας Ο.Α.και παραβολές, και ντο- το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα Βόδι). Λύνοντας από κοινού (ως σύστημα) τις εξισώσεις ευθείας γραμμής και παραβολής, παίρνουμε (την τετμημένη του σημείου ΕΝΑ) και (η τετμημένη άλλου σημείου τομής της ευθείας και της παραβολής, που δεν χρειάζεται για τη λύση). Ομοίως λαμβάνουμε , (τετμήματα πόντων ντοΚαι ρε). Τώρα έχουμε όλα όσα χρειαζόμαστε για να βρούμε το εμβαδόν μιας φιγούρας. Βρίσκουμε:

Παράδειγμα 5.Βρείτε την περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς ACDB, αν η εξίσωση της καμπύλης CDκαι τετμημένα ΕΝΑΚαι σι 1 και 2 αντίστοιχα.

Λύση. Ας εκφράσουμε αυτή την εξίσωση της καμπύλης μέσω του παιχνιδιού: Το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς βρίσκεται με τον τύπο (1):

.

Ας προχωρήσουμε σε περιπτώσεις όπου το εμβαδόν ενός σχήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (2).

Παράδειγμα 6.Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από την παραβολή και τον άξονα x ( Βόδι ).

Λύση. Αυτό το σχήμα βρίσκεται κάτω από τον άξονα x. Επομένως, για να υπολογίσουμε το εμβαδόν του, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (2). Τα όρια ολοκλήρωσης είναι η τετμημένη και τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα Βόδι. Ως εκ τούτου,

Παράδειγμα 7.Βρείτε την περιοχή που περικλείεται μεταξύ του άξονα της τετμημένης ( Βόδι) και δύο γειτονικά ημιτονοειδή κύματα.

Λύση. Η περιοχή αυτού του σχήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (2):

.

Ας βρούμε κάθε όρο ξεχωριστά:

.

.

Τελικά βρίσκουμε την περιοχή:

.

Παράδειγμα 8.Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται μεταξύ της παραβολής και της καμπύλης.

Λύση. Ας εκφράσουμε τις εξισώσεις των γραμμών μέσα από το παιχνίδι:

Η περιοχή σύμφωνα με τον τύπο (2) λαμβάνεται ως

,

Οπου έναΚαι σι- τετμημένα σημεία ΕΝΑΚαι σι. Ας τα βρούμε λύνοντας μαζί τις εξισώσεις:

Τελικά βρίσκουμε την περιοχή:

Και τέλος, περιπτώσεις όπου το εμβαδόν ενός σχήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο (3).

Παράδειγμα 9.Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που περικλείεται μεταξύ των παραβολών Και .

Ορισμένο ολοκλήρωμα. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός σχήματος

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση των εφαρμογών του ολοκληρωτικού λογισμού. Σε αυτό το μάθημα θα αναλύσουμε την τυπική και πιο συνηθισμένη εργασία – πώς να χρησιμοποιήσετε ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος. Τέλος, όσοι αναζητούν νόημα στα ανώτερα μαθηματικά - μακάρι να το βρουν. Ποτέ δεν ξέρεις. Στην πραγματική ζωή, θα πρέπει να προσεγγίσετε ένα οικόπεδο dacha χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις συναρτήσεις και να βρείτε την περιοχή του χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.

Για να κατακτήσετε με επιτυχία το υλικό, πρέπει:

1) Κατανοήστε το αόριστο ολοκλήρωμα τουλάχιστον σε ενδιάμεσο επίπεδο. Έτσι, τα ανδρείκελα θα πρέπει πρώτα να διαβάσουν το μάθημα Δεν.

2) Να είναι σε θέση να εφαρμόσει τον τύπο Newton-Leibniz και να υπολογίσει το οριστικό ολοκλήρωμα. Μπορείτε να δημιουργήσετε ζεστές φιλικές σχέσεις με ορισμένα ολοκληρώματα στη σελίδα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.

Στην πραγματικότητα, για να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος, δεν χρειάζεστε τόση γνώση του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Η εργασία "υπολογισμός του εμβαδού χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, έτσι οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο θα είναι ένα πολύ πιο πιεστικό ζήτημα. Από αυτή την άποψη, είναι χρήσιμο να ανανεώσετε τη μνήμη σας από τα γραφήματα των βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων και, τουλάχιστον, να μπορείτε να κατασκευάσετε μια ευθεία γραμμή, παραβολή και υπερβολή. Αυτό μπορεί να γίνει (για πολλούς, είναι απαραίτητο) με τη βοήθεια μεθοδολογικού υλικού και ενός άρθρου για γεωμετρικούς μετασχηματισμούς γραφημάτων.

Στην πραγματικότητα, όλοι είναι εξοικειωμένοι με το έργο της εύρεσης της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα από το σχολείο, και δεν θα προχωρήσουμε πολύ περισσότερο από το σχολικό πρόγραμμα σπουδών. Αυτό το άρθρο μπορεί να μην υπήρχε καθόλου, αλλά το γεγονός είναι ότι το πρόβλημα εμφανίζεται σε 99 περιπτώσεις στις 100, όταν ένας μαθητής υποφέρει από ένα μισητό σχολείο και κατέχει με ενθουσιασμό ένα μάθημα στα ανώτερα μαθηματικά.

Τα υλικά αυτού του εργαστηρίου παρουσιάζονται απλά, αναλυτικά και με ελάχιστη θεωρία.

Ας ξεκινήσουμε με ένα καμπύλο τραπεζοειδές.

Καμπυλόγραμμο τραπεζοειδέςείναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από έναν άξονα, ευθείες γραμμές και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συνεχούς σε ένα διάστημα που δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αφήστε αυτό το σχήμα να βρίσκεται όχι λιγότεροάξονας x:

Επειτα το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία. Στο μάθημα Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεωνΕίπα ότι οριστικό ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός. Και τώρα ήρθε η ώρα να αναφέρουμε ένα άλλο χρήσιμο γεγονός. Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ΠΕΡΙΟΧΗ.

Αυτό είναι, το οριστικό ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν ενός συγκεκριμένου σχήματος. Για παράδειγμα, θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα (όσοι επιθυμούν μπορούν να κάνουν ένα σχέδιο) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Παράδειγμα 1

Αυτή είναι μια τυπική δήλωση ανάθεσης. Το πρώτο και πιο σημαντικό σημείο στην απόφαση είναι η κατασκευή ενός σχεδίου. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.

Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, προτείνω την ακόλουθη σειρά: αρχικάείναι προτιμότερο να κατασκευάζονται όλες οι ευθείες (αν υπάρχουν) και μόνο Επειτα– παραβολές, υπερβολές, γραφικές παραστάσεις άλλων συναρτήσεων. Είναι πιο κερδοφόρο να δημιουργείτε γραφήματα συναρτήσεων σημείο προς σημείο, η τεχνική κατασκευής σημείο προς σημείο βρίσκεται στο υλικό αναφοράς Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Εκεί μπορείτε επίσης να βρείτε πολύ χρήσιμο υλικό για το μάθημά μας - πώς να φτιάξετε γρήγορα μια παραβολή.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας σχεδιάσουμε το σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα):

Δεν θα σκιάσω το καμπύλο τραπεζοειδές· εδώ είναι προφανές για ποια περιοχή μιλάμε. Η λύση συνεχίζεται ως εξής:

Στο τμήμα, βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης πάνω από τον άξονα, Να γιατί:

Απάντηση:

Ποιος έχει δυσκολίες με τον υπολογισμό του οριστικού ολοκληρώματος και την εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz , ανατρέξτε στη διάλεξη Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων.

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο "με το μάτι" - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές , και άξονα

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Τι να κάνετε εάν βρίσκεται το καμπύλο τραπεζοειδές κάτω από τον άξονα;

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές και άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Αν εντοπίζεται καμπύλο τραπεζοειδές κάτω από τον άξονα(ή τουλάχιστον όχι υψηλότεραδεδομένου άξονα), τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
Σε αυτήν την περίπτωση:

Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:

1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, .

Λύση: Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:

Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι, το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι.
Εάν είναι δυνατόν, είναι καλύτερα να μην χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο..

Είναι πολύ πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Η τεχνική κατασκευής σημείο προς σημείο για διάφορα γραφήματα συζητείται λεπτομερώς στη βοήθεια Γραφήματα και ιδιότητες στοιχειωδών συναρτήσεων. Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Και θα εξετάσουμε επίσης ένα τέτοιο παράδειγμα.

Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο:

Επαναλαμβάνω ότι κατά την κατασκευή σημειακών, τα όρια της ολοκλήρωσης ανακαλύπτονται τις περισσότερες φορές «αυτόματα».

Και τώρα η φόρμουλα εργασίας: Εάν υπάρχει κάποια συνεχής συνάρτηση στο τμήμα μεγαλύτερο ή ίσο μεκάποια συνεχή συνάρτηση , τότε η περιοχή του σχήματος που οριοθετείται από τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και τις γραμμές , , μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκέφτεστε πού βρίσκεται η φιγούρα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα και, χοντρικά, σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία κάτω.
Στο τμήμα, σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Στην πραγματικότητα, ο σχολικός τύπος για το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς στο κάτω μισό επίπεδο (βλ. απλό παράδειγμα Νο. 3) είναι μια ειδική περίπτωση του τύπου . Δεδομένου ότι ο άξονας καθορίζεται από την εξίσωση, και το γράφημα της συνάρτησης βρίσκεται όχι υψηλότερατσεκούρια, λοιπόν

Και τώρα μερικά παραδείγματα για τη δική σας λύση

Παράδειγμα 5

Παράδειγμα 6

Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, .

Κατά την επίλυση προβλημάτων που αφορούν τον υπολογισμό της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μερικές φορές συμβαίνει ένα αστείο περιστατικό. Το σχέδιο έγινε σωστά, οι υπολογισμοί ήταν σωστοί, αλλά από απροσεξία... βρέθηκε η περιοχή της λάθος φιγούρας, έτσι ακριβώς τα χάλασε πολλές φορές ο ταπεινός σου υπηρέτης. Εδώ είναι μια πραγματική περίπτωση:

Παράδειγμα 7

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , , , .

Λύση: Αρχικά, ας κάνουμε ένα σχέδιο:

...Ε, το σχέδιο βγήκε χάλια, αλλά όλα δείχνουν να είναι ευανάγνωστα.

Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε(κοιτάξτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένος ο αριθμός!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, εμφανίζεται συχνά ένα "σφάλμα" που πρέπει να βρείτε την περιοχή μιας φιγούρας που είναι σκιασμένη με πράσινο χρώμα!

Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα. Πραγματικά:

1) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα γράφημα μιας ευθείας γραμμής.

2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει μια γραφική παράσταση μιας υπερβολής.

Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:

Απάντηση:

Ας προχωρήσουμε σε μια άλλη ουσιαστική εργασία.

Παράδειγμα 8

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές,
Ας παρουσιάσουμε τις εξισώσεις σε «σχολική» μορφή και ας κάνουμε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:

Από το σχέδιο είναι ξεκάθαρο ότι το ανώτερο όριο μας είναι «καλό»: .
Ποιο είναι όμως το κατώτερο όριο;! Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι ακέραιος, αλλά τι είναι; Μπορεί ? Αλλά πού είναι η εγγύηση ότι το σχέδιο γίνεται με τέλεια ακρίβεια, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι... Ή τη ρίζα. Τι γίνεται αν κατασκευάσαμε λάθος το γράφημα;

Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να αφιερώσετε επιπλέον χρόνο και να ξεκαθαρίσετε αναλυτικά τα όρια της ολοκλήρωσης.

Ας βρούμε τα σημεία τομής μιας ευθείας γραμμής και μιας παραβολής.
Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση:


,

Πραγματικά, .

Η περαιτέρω λύση είναι ασήμαντη, το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε σε αντικαταστάσεις και σημάδια· οι υπολογισμοί εδώ δεν είναι οι απλούστεροι.

Στο τμήμα , σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Λοιπόν, για να ολοκληρώσουμε το μάθημα, ας δούμε δύο πιο δύσκολες εργασίες.

Παράδειγμα 9

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, ,

Λύση: Ας απεικονίσουμε αυτή τη φιγούρα στο σχέδιο.

Διάολε, ξέχασα να υπογράψω το πρόγραμμα και, συγγνώμη, δεν ήθελα να ξανακάνω την εικόνα. Δεν είναι μέρα ζωγραφικής, με λίγα λόγια, σήμερα είναι η μέρα =)

Για την κατασκευή σημείο προς σημείο, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε την εμφάνιση ενός ημιτονοειδούς (και γενικά είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε γραφήματα όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων), καθώς και ορισμένες ημιτονοειδείς τιμές, μπορούν να βρεθούν σε τριγωνομετρικός πίνακας. Σε ορισμένες περιπτώσεις (όπως σε αυτήν την περίπτωση), είναι δυνατή η κατασκευή ενός σχηματικού σχεδίου, στο οποίο τα γραφήματα και τα όρια ολοκλήρωσης θα πρέπει να εμφανίζονται βασικά σωστά.

Δεν υπάρχουν προβλήματα με τα όρια ολοκλήρωσης εδώ· προκύπτουν απευθείας από την συνθήκη: το "x" αλλάζει από μηδέν σε "pi". Ας πάρουμε μια περαιτέρω απόφαση:

Στο τμήμα, η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται πάνω από τον άξονα, επομένως:

Υπολογισμός του εμβαδού ενός σχήματος- Αυτό είναι ίσως ένα από τα πιο δύσκολα προβλήματα στη θεωρία περιοχών. Στη σχολική γεωμετρία διδάσκονται να βρίσκουν τις περιοχές των βασικών γεωμετρικών σχημάτων όπως, για παράδειγμα, τρίγωνο, ρόμβος, ορθογώνιο, τραπέζιο, κύκλος κ.λπ. Ωστόσο, συχνά πρέπει να ασχοληθείτε με τον υπολογισμό των περιοχών των πιο περίπλοκων αριθμών. Κατά την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι πολύ βολικό να χρησιμοποιείται ο ολοκληρωτικός λογισμός.

Ορισμός.

Καμπυλόγραμμο τραπεζοειδέςκαλέστε κάποιο σχήμα G που οριοθετείται από τις ευθείες y = f(x), y = 0, x = a και x = b, και η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής στο τμήμα [a; β] και δεν αλλάζει το πρόσημά του σε αυτό (Εικ. 1).Η περιοχή ενός κυρτού τραπεζοειδούς μπορεί να συμβολιστεί με S(G).

Ένα οριστικό ολοκλήρωμα ʃ a b f(x)dx για τη συνάρτηση f(x), η οποία είναι συνεχής και μη αρνητική στο διάστημα [a; β], και είναι το εμβαδόν του αντίστοιχου κυρτού τραπεζοειδούς.

Δηλαδή, για να βρεθεί το εμβαδόν ενός σχήματος G που οριοθετείται από τις ευθείες y = f(x), y = 0, x = a και x = b, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το οριστικό ολοκλήρωμα ʃ a b f(x)dx .

Ετσι, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Αν η συνάρτηση y = f(x) δεν είναι θετική στο [a; b], τότε η περιοχή ενός καμπυλωμένου τραπεζοειδούς μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Παράδειγμα 1.

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές y = x 3. y = 1; x = 2.

Λύση.

Οι δεδομένες γραμμές σχηματίζουν το σχήμα ABC, το οποίο φαίνεται με την εκκόλαψη ρύζι. 2.

Το απαιτούμενο εμβαδόν ισούται με τη διαφορά μεταξύ των περιοχών του κυρτού τραπεζοειδούς DACE και του τετραγώνου DABE.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a), βρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης. Για να γίνει αυτό, λύνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:

(y = x 3,
(y = 1.

Έτσι, έχουμε x 1 = 1 – το κατώτερο όριο και x = 2 – το ανώτερο όριο.

Άρα, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (τετρ. μονάδες).

Απάντηση: 11/4 τ. μονάδες

Παράδειγμα 2.

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = √x. y = 2; x = 9.

Λύση.

Οι δοθείσες γραμμές σχηματίζουν το σχήμα ABC, το οποίο περιορίζεται παραπάνω από το γράφημα της συνάρτησης

y = √x, και παρακάτω είναι μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 2. Το σχήμα που προκύπτει εμφανίζεται με εκκόλαψη σε ρύζι. 3.

Η απαιτούμενη περιοχή είναι S = ʃ a b (√x – 2). Ας βρούμε τα όρια της ολοκλήρωσης: b = 9, για να βρούμε το a, λύνουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων:

(y = √x,
(y = 2.

Έτσι, έχουμε ότι x = 4 = a - αυτό είναι το κατώτερο όριο.

Άρα, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (τετρ. μονάδες).

Απάντηση: S = 2 2/3 τετρ. μονάδες

Παράδειγμα 3.

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες y = x 3 – 4x. y = 0; x ≥ 0.

Λύση.

Ας σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y = x 3 – 4x για x ≥ 0. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε την παράγωγο y’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 σε x = ±2/√3 ≈ 1,1 – κρίσιμα σημεία.

Αν σχεδιάσουμε τα κρίσιμα σημεία στην αριθμητική ευθεία και τακτοποιήσουμε τα πρόσημα της παραγώγου, διαπιστώνουμε ότι η συνάρτηση μειώνεται από το μηδέν στο 2/√3 και αυξάνεται από το 2/√3 στο συν άπειρο. Τότε x = 2/√3 είναι το ελάχιστο σημείο, η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης y min = -16/(3√3) ≈ -3.

Ας προσδιορίσουμε τα σημεία τομής του γραφήματος με τους άξονες συντεταγμένων:

αν x = 0, τότε y = 0, που σημαίνει ότι το A(0; 0) είναι το σημείο τομής με τον άξονα Oy.

αν y = 0, τότε x 3 – 4x = 0 ή x(x 2 – 4) = 0, ή x(x – 2)(x + 2) = 0, από όπου x 1 = 0, x 2 = 2, x 3 = -2 (δεν είναι κατάλληλο, γιατί x ≥ 0).

Τα σημεία A(0; 0) και B(2; 0) είναι τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τον άξονα Ox.

Οι δεδομένες γραμμές σχηματίζουν το σχήμα OAB, το οποίο φαίνεται με την εκκόλαψη ρύζι. 4.

Εφόσον η συνάρτηση y = x 3 – 4x παίρνει αρνητική τιμή στο (0; 2), τότε

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Έχουμε: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, από όπου S = 4 τετρ. μονάδες

Απάντηση: S = 4 τετρ. μονάδες

Παράδειγμα 4.

Βρείτε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από την παραβολή y = 2x 2 – 2x + 1, τις ευθείες x = 0, y = 0 και την εφαπτομένη αυτής της παραβολής στο σημείο με την τετμημένη x 0 = 2.

Λύση.

Αρχικά, ας δημιουργήσουμε μια εξίσωση για την εφαπτομένη της παραβολής y = 2x 2 – 2x + 1 στο σημείο με την τετμημένη x₀ = 2.

Εφόσον η παράγωγος y’ = 4x – 2, τότε για x 0 = 2 παίρνουμε k = y’(2) = 6.

Ας βρούμε την τεταγμένη του εφαπτομένου σημείου: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Επομένως, η εφαπτομενική εξίσωση έχει τη μορφή: y – 5 = 6 (x ∙ – 2) ή y = 6x – 7.

Ας φτιάξουμε ένα σχήμα που οριοθετείται από γραμμές:

y = 2x 2 – 2x + 1, y = 0, x = 0, y = 6x – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – παραβολή. Σημεία τομής με τους άξονες συντεταγμένων: A(0; 1) – με τον άξονα Oy. με τον άξονα Ox - δεν υπάρχουν σημεία τομής, γιατί η εξίσωση 2x 2 – 2x + 1 = 0 δεν έχει λύσεις (Δ< 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, δηλαδή η κορυφή του σημείου της παραβολής Β έχει συντεταγμένες B(1/2; 1/2).

Έτσι, το σχήμα του οποίου το εμβαδόν πρέπει να προσδιοριστεί εμφανίζεται με εκκόλαψη ρύζι. 5.

Έχουμε: S O A B D = S OABC – S ADBC.

Ας βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Δ από την συνθήκη:

6x – 7 = 0, δηλ. x = 7/6, που σημαίνει DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Βρίσκουμε την περιοχή του τριγώνου DBC χρησιμοποιώντας τον τύπο S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. Ετσι,

S ADBC ​​= 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 τετρ. μονάδες

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2x + 1)dx = (2x 3 /3 – 2x 2 /2 + x)| 0 2 = 10/3 (τετρ. μονάδες).

Τελικά παίρνουμε: S O A B D = S OABC – S ADBC ​​· = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (τετρ. μονάδες).

Απάντηση: S = 1 1/4 τετρ. μονάδες

Εξετάσαμε παραδείγματα βρίσκοντας τα εμβαδά των σχημάτων που οριοθετούνται από δεδομένες γραμμές. Για να επιλύσετε με επιτυχία τέτοια προβλήματα, πρέπει να είστε σε θέση να κατασκευάζετε γραμμές και γραφήματα συναρτήσεων σε ένα επίπεδο, να βρίσκετε τα σημεία τομής των γραμμών, να εφαρμόζετε έναν τύπο για να βρείτε την περιοχή, που υποδηλώνει τη δυνατότητα υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων.

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.