Το άρθρο παρέχει μια λεπτομερή εξήγηση των ορισμών, τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου με γραφικές σημειώσεις. Η εξίσωση μιας εφαπτομένης ευθείας θα εξεταστεί με παραδείγματα, θα βρεθούν οι εξισώσεις μιας εφαπτομένης σε καμπύλες 2ης τάξης.

Ορισμός 1

Η γωνία κλίσης της ευθείας y = k x + b ονομάζεται γωνία α, η οποία μετράται από τη θετική φορά του άξονα x στην ευθεία y = k x + b στη θετική κατεύθυνση.

Στο σχήμα, η κατεύθυνση x υποδεικνύεται με ένα πράσινο βέλος και ένα πράσινο τόξο και η γωνία κλίσης με ένα κόκκινο τόξο. Η μπλε γραμμή αναφέρεται στην ευθεία γραμμή.

Ορισμός 2

Η κλίση της ευθείας y = k x + b ονομάζεται αριθμητικός συντελεστής k.

Ο γωνιακός συντελεστής είναι ίσος με την εφαπτομένη της ευθείας, με άλλα λόγια k = t g α.

  • Η γωνία κλίσης μιας ευθείας είναι ίση με 0 μόνο αν είναι παράλληλη περίπου x και η κλίση είναι ίση με μηδέν, επειδή η εφαπτομένη του μηδέν είναι ίση με 0. Αυτό σημαίνει ότι η μορφή της εξίσωσης θα είναι y = b.
  • Αν η γωνία κλίσης της ευθείας y = k x + b είναι οξεία, τότε ικανοποιούνται οι συνθήκες 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, και υπάρχει αύξηση στο γράφημα.
  • Αν α = π 2, τότε η θέση της ευθείας είναι κάθετη στο x. Η ισότητα καθορίζεται από το x = c με την τιμή c να είναι πραγματικός αριθμός.
  • Αν η γωνία κλίσης της ευθείας y = k x + b είναι αμβλεία, τότε αντιστοιχεί στις συνθήκες π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Ορισμός 3

Τομή είναι μια ευθεία που διέρχεται από 2 σημεία της συνάρτησης f (x). Με άλλα λόγια, μια τομή είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από οποιαδήποτε δύο σημεία στο γράφημα μιας δεδομένης συνάρτησης.

Το σχήμα δείχνει ότι το A B είναι μια τομή και η f (x) είναι μια μαύρη καμπύλη, το α είναι ένα κόκκινο τόξο, που δείχνει τη γωνία κλίσης της τομής.

Όταν ο γωνιακός συντελεστής μιας ευθείας είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης, είναι σαφές ότι η εφαπτομένη ενός ορθογωνίου τριγώνου A B C μπορεί να βρεθεί από τον λόγο της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή.

Ορισμός 4

Λαμβάνουμε έναν τύπο για την εύρεση μιας τομής της φόρμας:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, όπου τα τετμημένα των σημείων A και B είναι οι τιμές x A, x B και f (x A), f (x Β) είναι οι συναρτήσεις τιμών σε αυτά τα σημεία.

Προφανώς, ο γωνιακός συντελεστής της τομής προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας την ισότητα k = f (x B) - f (x A) x B - x A ή k = f (x A) - f (x B) x A - x B , και η εξίσωση πρέπει να γραφεί ως y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ή
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Η τομή διαιρεί το γράφημα οπτικά σε 3 μέρη: στα αριστερά του σημείου Α, από το Α στο Β, στα δεξιά του Β. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ότι υπάρχουν τρεις διατομές που θεωρούνται συμπίπτουσες, δηλαδή ορίζονται χρησιμοποιώντας ένα παρόμοια εξίσωση.

Εξ ορισμού, είναι σαφές ότι η ευθεία γραμμή και η τομή της σε αυτήν την περίπτωση συμπίπτουν.

Μια τομή μπορεί να τέμνει το γράφημα μιας δεδομένης συνάρτησης πολλές φορές. Αν υπάρχει εξίσωση της μορφής y = 0 για μια τομή, τότε ο αριθμός των σημείων τομής με το ημιτονοειδές είναι άπειρος.

Ορισμός 5

Εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) στο σημείο x 0 ; f (x 0) είναι μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο x 0. f (x 0), με την παρουσία ενός τμήματος που έχει πολλές τιμές x κοντά στο x 0.

Παράδειγμα 1

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο παρακάτω παράδειγμα. Τότε είναι σαφές ότι η ευθεία που ορίζεται από τη συνάρτηση y = x + 1 θεωρείται εφαπτομένη στο y = 2 x στο σημείο με συντεταγμένες (1; 2). Για λόγους σαφήνειας, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη γραφήματα με τιμές κοντά στο (1; 2). Η συνάρτηση y = 2 x εμφανίζεται με μαύρο χρώμα, η μπλε γραμμή είναι η εφαπτομένη και η κόκκινη κουκκίδα είναι το σημείο τομής.

Προφανώς, το y = 2 x συγχωνεύεται με την ευθεία y = x + 1.

Για να προσδιορίσουμε την εφαπτομένη, θα πρέπει να εξετάσουμε τη συμπεριφορά της εφαπτομένης Α Β καθώς το σημείο Β πλησιάζει το σημείο Α άπειρα, για λόγους σαφήνειας, παρουσιάζουμε ένα σχέδιο.

Η τομή A B, που υποδεικνύεται από την μπλε γραμμή, τείνει στη θέση της ίδιας της εφαπτομένης και η γωνία κλίσης της τομής α θα αρχίσει να τείνει προς τη γωνία κλίσης της ίδιας της εφαπτομένης α x.

Ορισμός 6

Η εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) στο σημείο Α θεωρείται ως η οριακή θέση της τομής Α Β καθώς το Β τείνει στο Α, δηλαδή Β → Α.

Τώρα ας προχωρήσουμε στην εξέταση της γεωμετρικής σημασίας της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο.

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση της διατομής A B για τη συνάρτηση f (x), όπου τα A και B με συντεταγμένες x 0, f (x 0) και x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), και το ∆ x είναι συμβολίζεται ως η προσαύξηση του επιχειρήματος . Τώρα η συνάρτηση θα πάρει τη μορφή ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Για λόγους σαφήνειας, ας δώσουμε ένα παράδειγμα σχεδίου.

Θεωρούμε το ορθογώνιο τρίγωνο που προκύπτει A B C. Χρησιμοποιούμε τον ορισμό της εφαπτομένης για να λύσουμε, δηλαδή παίρνουμε τη σχέση ∆ y ∆ x = t g α . Από τον ορισμό της εφαπτομένης προκύπτει ότι lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Σύμφωνα με τον κανόνα της παραγώγου σε ένα σημείο, έχουμε ότι η παράγωγος f (x) στο σημείο x 0 ονομάζεται όριο του λόγου της αύξησης της συνάρτησης προς την αύξηση του ορίσματος, όπου Δ x → 0 , τότε το συμβολίζουμε ως f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Έπεται ότι f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, όπου το k x συµβολίζεται ως η κλίση της εφαπτοµένης.

Δηλαδή, βρίσκουμε ότι η f ' (x) μπορεί να υπάρχει στο σημείο x 0, και όπως η εφαπτομένη σε μια δεδομένη γραφική παράσταση της συνάρτησης στο σημείο εφαπτομένης ίσο με x 0, f 0 (x 0), όπου η τιμή του η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο είναι ίση με την παράγωγο στο σημείο x 0 . Τότε παίρνουμε ότι k x = f " (x 0) .

Η γεωμετρική σημασία της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ότι δίνει την έννοια της ύπαρξης εφαπτομένης στη γραφική παράσταση στο ίδιο σημείο.

Για να γράψουμε την εξίσωση οποιασδήποτε ευθείας σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο να έχουμε γωνιακό συντελεστή με το σημείο από το οποίο διέρχεται. Ο συμβολισμός του λαμβάνεται ως x 0 στη διασταύρωση.

Η εφαπτομένη εξίσωση στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = f (x) στο σημείο x 0, f 0 (x 0) παίρνει τη μορφή y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Αυτό σημαίνει ότι η τελική τιμή της παραγώγου f "(x 0) μπορεί να καθορίσει τη θέση της εφαπτομένης, δηλαδή, κατακόρυφα, με την προϋπόθεση lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ και lim x → x 0 - 0 f "(x) = ∞ ή καθόλου υπό την προϋπόθεση lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Η θέση της εφαπτομένης εξαρτάται από την τιμή του γωνιακού της συντελεστή k x = f "(x 0). Όταν είναι παράλληλη με τον άξονα o x, λαμβάνουμε ότι k k = 0, όταν είναι παράλληλη με o y - k x = ∞, και τη μορφή του Η εφαπτομένη εξίσωση x = x 0 αυξάνεται με k x > 0, μειώνεται ως k x< 0 .

Παράδειγμα 2

Να συντάξετε μια εξίσωση για την εφαπτομένη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 στο σημείο με συντεταγμένες (1; 3) και προσδιορίστε τη γωνία κλίσης.

Λύση

Με προϋπόθεση, έχουμε ότι η συνάρτηση ορίζεται για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Βρίσκουμε ότι το σημείο με τις συντεταγμένες που καθορίζονται από τη συνθήκη, (1; 3) είναι ένα σημείο εφαπτομένης, τότε x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Είναι απαραίτητο να βρείτε την παράγωγο στο σημείο με τιμή - 1. Το καταλαβαίνουμε

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Η τιμή του f' (x) στο σημείο της εφαπτομένης είναι η κλίση της εφαπτομένης, η οποία είναι ίση με την εφαπτομένη της κλίσης.

Τότε k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Έπεται ότι α x = a r c t g 3 3 = π 6

Απάντηση:η εφαπτομενική εξίσωση παίρνει τη μορφή

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Για λόγους σαφήνειας, δίνουμε ένα παράδειγμα σε μια γραφική απεικόνιση.

Το μαύρο χρώμα χρησιμοποιείται για το γράφημα της αρχικής συνάρτησης, το μπλε χρώμα είναι η εικόνα της εφαπτομένης και η κόκκινη κουκκίδα είναι το σημείο εφαπτομένης. Το σχήμα στα δεξιά δείχνει μια μεγεθυμένη προβολή.

Παράδειγμα 3

Να προσδιορίσετε την ύπαρξη εφαπτομένης στη γραφική παράσταση μιας δεδομένης συνάρτησης
y = 3 · x - 1 5 + 1 στο σημείο με συντεταγμένες (1 ; 1) . Γράψτε μια εξίσωση και προσδιορίστε τη γωνία κλίσης.

Λύση

Υπό την προϋπόθεση, έχουμε ότι το πεδίο ορισμού μιας δεδομένης συνάρτησης θεωρείται ότι είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση της παραγώγου

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Αν x 0 = 1, τότε η f' (x) δεν έχει οριστεί, αλλά τα όρια γράφονται ως lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ και lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , που σημαίνει ύπαρξη κάθετης εφαπτομένης στο σημείο (1; 1).

Απάντηση:η εξίσωση θα πάρει τη μορφή x = 1, όπου η γωνία κλίσης θα είναι ίση με π 2.

Για λόγους σαφήνειας, ας το απεικονίσουμε γραφικά.

Παράδειγμα 4

Βρείτε τα σημεία στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, όπου

  1. Δεν υπάρχει εφαπτομένη.
  2. Η εφαπτομένη είναι παράλληλη στο x.
  3. Η εφαπτομένη είναι παράλληλη στην ευθεία y = 8 5 x + 4.

Λύση

Είναι απαραίτητο να δοθεί προσοχή στο εύρος του ορισμού. Με προϋπόθεση, έχουμε ότι η συνάρτηση ορίζεται στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Επεκτείνουμε την ενότητα και λύνουμε το σύστημα με διαστήματα x ∈ - ∞ ; 2 και [-2; + ∞) . Το καταλαβαίνουμε

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Είναι απαραίτητο να διαφοροποιηθεί η συνάρτηση. Το έχουμε αυτό

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 ", x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Όταν x = − 2, τότε η παράγωγος δεν υπάρχει γιατί τα μονόπλευρα όρια δεν είναι ίσα σε αυτό το σημείο:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης στο σημείο x = - 2, όπου και προκύπτει

  1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, δηλαδή η εφαπτομένη στο σημείο ( - 2; - 2) δεν θα υπάρχει.
  2. Η εφαπτομένη είναι παράλληλη στο x όταν η κλίση είναι μηδέν. Τότε k x = t g α x = f "(x 0). Δηλαδή, είναι απαραίτητο να βρεθούν οι τιμές αυτού του x όταν η παράγωγος της συνάρτησης τη μηδενίσει. Δηλαδή, οι τιμές του f ' (x) θα είναι τα σημεία εφαπτομένης, όπου η εφαπτομένη είναι παράλληλη στο x .

Όταν x ∈ - ∞ ; - 2, μετά - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, και για x ∈ (- 2; + ∞) παίρνουμε 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Υπολογίστε τις αντίστοιχες τιμές συνάρτησης

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Ως εκ τούτου - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 θεωρούνται τα απαιτούμενα σημεία του γραφήματος συνάρτησης.

Ας δούμε μια γραφική αναπαράσταση της λύσης.

Η μαύρη γραμμή είναι το γράφημα της συνάρτησης, οι κόκκινες τελείες είναι τα σημεία εφαπτομένης.

  1. Όταν οι ευθείες είναι παράλληλες, οι γωνιακοί συντελεστές είναι ίσοι. Στη συνέχεια, είναι απαραίτητο να αναζητήσετε σημεία στο γράφημα συνάρτησης όπου η κλίση θα είναι ίση με την τιμή 8 5. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να λύσετε μια εξίσωση της μορφής y "(x) = 8 5. Τότε, αν x ∈ - ∞; - 2, λαμβάνουμε ότι - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, και αν x ∈ ( - 2 ; + ∞), τότε 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Η πρώτη εξίσωση δεν έχει ρίζες αφού η διάκριση είναι μικρότερη από το μηδέν. Ας το γράψουμε αυτό

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Μια άλλη εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες, λοιπόν

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση των τιμών της συνάρτησης. Το καταλαβαίνουμε

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Πόντοι με τιμές - 1; 4 15, 5; 8 3 είναι τα σημεία στα οποία οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στην ευθεία y = 8 5 x + 4.

Απάντηση:μαύρη γραμμή – γράφημα της συνάρτησης, κόκκινη γραμμή – γράφημα του y = 8 5 x + 4, μπλε γραμμή – εφαπτομένες στα σημεία - 1; 4 15, 5; 8 3.

Μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός εφαπτομένων για δεδομένες συναρτήσεις.

Παράδειγμα 5

Να γράψετε τις εξισώσεις όλων των διαθέσιμων εφαπτομένων της συνάρτησης y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, οι οποίες βρίσκονται κάθετα στην ευθεία y = - 2 x + 1 2.

Λύση

Για τη σύνταξη της εφαπτομενικής εξίσωσης, είναι απαραίτητο να βρούμε τον συντελεστή και τις συντεταγμένες του εφαπτομενικού σημείου, με βάση την συνθήκη της καθετότητας των ευθειών. Ο ορισμός είναι ο εξής: το γινόμενο των γωνιακών συντελεστών που είναι κάθετοι σε ευθείες είναι ίσο με - 1, δηλαδή γράφεται ως k x · k ⊥ = - 1. Από την προϋπόθεση ότι ο γωνιακός συντελεστής βρίσκεται κάθετα στην ευθεία και είναι ίσος με k ⊥ = - 2, τότε k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Τώρα πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων επαφής. Πρέπει να βρείτε το x και μετά την τιμή του για μια δεδομένη συνάρτηση. Σημειώστε ότι από τη γεωμετρική σημασία της παραγώγου στο σημείο
x 0 παίρνουμε ότι k x = y "(x 0). Από αυτή την ισότητα βρίσκουμε τις τιμές του x για τα σημεία επαφής.

Το καταλαβαίνουμε

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - αμαρτία 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 αμαρτία 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 αμαρτία 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 αμαρτία 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ αμαρτία 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Αυτή η τριγωνομετρική εξίσωση θα χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των τεταγμένων των εφαπτομένων σημείων.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ή 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk ή 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ή x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Το Z είναι ένα σύνολο ακεραίων.

x σημεία επαφής έχουν βρεθεί. Τώρα πρέπει να προχωρήσετε στην αναζήτηση των τιμών του y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ή y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ή y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ή y 0 = - 4 5 + 1 3

Από αυτό προκύπτει ότι 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 είναι τα σημεία εφαπτομένης.

Απάντηση:οι απαραίτητες εξισώσεις θα γραφούν ως

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Για μια οπτική αναπαράσταση, θεωρήστε μια συνάρτηση και μια εφαπτομένη σε μια γραμμή συντεταγμένων.

Το σχήμα δείχνει ότι η συνάρτηση βρίσκεται στο διάστημα [ - 10 ; 10 ], όπου η μαύρη γραμμή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης, οι μπλε γραμμές είναι εφαπτομένες, οι οποίες βρίσκονται κάθετα στη δεδομένη ευθεία της μορφής y = - 2 x + 1 2. Οι κόκκινες κουκκίδες είναι σημεία επαφής.

Οι κανονικές εξισώσεις των καμπυλών 2ης τάξης δεν είναι συναρτήσεις μονής τιμής. Οι εφαπτομενικές εξισώσεις για αυτές καταρτίζονται σύμφωνα με γνωστά σχήματα.

Εφαπτομένη σε κύκλο

Να ορίσετε έναν κύκλο με κέντρο στο σημείο x c e n t e r ; y c e n t e r και την ακτίνα R, εφαρμόστε τον τύπο x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Αυτή η ισότητα μπορεί να γραφτεί ως ένωση δύο συναρτήσεων:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Η πρώτη λειτουργία βρίσκεται στο επάνω μέρος και η δεύτερη στο κάτω μέρος, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Να συντάξετε την εξίσωση ενός κύκλου στο σημείο x 0; y 0 , που βρίσκεται στο επάνω ή κάτω ημικύκλιο, θα πρέπει να βρείτε την εξίσωση της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης της μορφής y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ή y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r στο υποδεικνυόμενο σημείο.

Όταν στα σημεία x c e n t e r ; y c e n t e r + R και x c e n t e r ; Οι εφαπτομένες y c e n t e r - R μπορούν να δοθούν από τις εξισώσεις y = y c e n t e r + R και y = y c e n t e r - R , και στα σημεία x c e n t e r + R ; y c e n t e r και
x c e n t e r - R ; Το y c e n t e r θα είναι παράλληλο με το o y, τότε λαμβάνουμε εξισώσεις της μορφής x = x c e n t e r + R και x = x c e n t e r - R .

Εφαπτομένη σε έλλειψη

Όταν η έλλειψη έχει κέντρο στο x c e n t e r ; y c e n t e r με ημιάξονες a και b, τότε μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την εξίσωση x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

Μια έλλειψη και ένας κύκλος μπορούν να υποδηλωθούν συνδυάζοντας δύο συναρτήσεις, δηλαδή την άνω και κάτω μισή έλλειψη. Τότε το καταλαβαίνουμε

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Αν οι εφαπτομένες βρίσκονται στις κορυφές της έλλειψης, τότε είναι παράλληλες περίπου x ή περίπου y. Παρακάτω, για λόγους σαφήνειας, εξετάστε το σχήμα.

Παράδειγμα 6

Γράψτε την εξίσωση της εφαπτομένης στην έλλειψη x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 σε σημεία με τιμές x ίσες με x = 2.

Λύση

Είναι απαραίτητο να βρεθούν τα εφαπτομενικά σημεία που αντιστοιχούν στην τιμή x = 2. Αντικαθιστούμε την υπάρχουσα εξίσωση της έλλειψης και το βρίσκουμε

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Τότε 2 ; 5 3 2 + 5 και 2; - 5 3 2 + 5 είναι τα εφαπτομενικά σημεία που ανήκουν στην άνω και κάτω μισή έλλειψη.

Ας προχωρήσουμε στην εύρεση και επίλυση της εξίσωσης της έλλειψης ως προς το y. Το καταλαβαίνουμε

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Προφανώς, η άνω μισή έλλειψη καθορίζεται χρησιμοποιώντας μια συνάρτηση της μορφής y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, και η κάτω μισή έλλειψη y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Ας εφαρμόσουμε έναν τυπικό αλγόριθμο για να δημιουργήσουμε μια εξίσωση για μια εφαπτομένη στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης σε ένα σημείο. Ας γράψουμε ότι η εξίσωση για την πρώτη εφαπτομένη στο σημείο 2; Το 5 3 2 + 5 θα μοιάζει

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Βρίσκουμε ότι η εξίσωση της δεύτερης εφαπτομένης με τιμή στο σημείο
2 ; - Το 5 3 2 + 5 παίρνει τη μορφή

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Γραφικά, οι εφαπτομένες ορίζονται ως εξής:

Εφαπτομένη στην υπερβολή

Όταν μια υπερβολή έχει κέντρο στο x c e n t e r ; y c e n t e r και κορυφές x c e n t e r + α ; y c e n t e r and x c e n t e r - α ; y c e n t e r , λαμβάνει χώρα η ανισότητα x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1, αν με κορυφές x c e n t e r ; y c e n t e r + b και x c e n t e r ; y c e n t e r - b , στη συνέχεια προσδιορίζεται χρησιμοποιώντας την ανισότητα x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Μια υπερβολή μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύο συνδυασμένες συναρτήσεις της φόρμας

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ή y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 t e r (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Στην πρώτη περίπτωση έχουμε ότι οι εφαπτομένες είναι παράλληλες στο y και στη δεύτερη είναι παράλληλες στο x.

Επομένως, για να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης σε μια υπερβολή, είναι απαραίτητο να βρεθεί σε ποια συνάρτηση ανήκει το σημείο εφαπτομένης. Για να προσδιοριστεί αυτό, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τις εξισώσεις και να ελέγξετε την ταυτότητα.

Παράδειγμα 7

Γράψτε μια εξίσωση για την εφαπτομένη στην υπερβολή x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 στο σημείο 7; - 3 3 - 3 .

Λύση

Είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί η εγγραφή λύσης για την εύρεση υπερβολής χρησιμοποιώντας 2 συναρτήσεις. Το καταλαβαίνουμε

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 και y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί σε ποια συνάρτηση ανήκει ένα δεδομένο σημείο με συντεταγμένες 7. - 3 3 - 3 .

Προφανώς, για να ελέγξετε την πρώτη συνάρτηση είναι απαραίτητο y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, τότε το σημείο δεν ανήκει στη γραφική παράσταση, αφού η ισότητα δεν ισχύει.

Για τη δεύτερη συνάρτηση έχουμε ότι y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, που σημαίνει ότι το σημείο ανήκει στη δεδομένη γραφική παράσταση. Από εδώ θα πρέπει να βρείτε την πλαγιά.

Το καταλαβαίνουμε

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Απάντηση:η εφαπτομενική εξίσωση μπορεί να παρασταθεί ως

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Απεικονίζεται ξεκάθαρα ως εξής:

Εφαπτομένη σε παραβολή

Για να δημιουργήσετε μια εξίσωση για την εφαπτομένη στην παραβολή y = a x 2 + b x + c στο σημείο x 0, y (x 0), πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν τυπικό αλγόριθμο, τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0) Μια τέτοια εφαπτομένη στην κορυφή είναι παράλληλη προς το x.

Θα πρέπει να ορίσετε την παραβολή x = a y 2 + b y + c ως ένωση δύο συναρτήσεων. Επομένως, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση για το y. Το καταλαβαίνουμε

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Ας το απεικονίσουμε γραφικά ως εξής:

Για να μάθετε εάν ένα σημείο x 0, y (x 0) ανήκει σε μια συνάρτηση, προχωρήστε απαλά σύμφωνα με τον τυπικό αλγόριθμο. Μια τέτοια εφαπτομένη θα είναι παράλληλη στο o y σε σχέση με την παραβολή.

Παράδειγμα 8

Να γράψετε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση x - 2 y 2 - 5 y + 3 όταν έχουμε γωνία εφαπτομένης 150 °.

Λύση

Ξεκινάμε τη λύση αναπαραστώντας την παραβολή ως δύο συναρτήσεις. Το καταλαβαίνουμε

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

Η τιμή της κλίσης είναι ίση με την τιμή της παραγώγου στο σημείο x 0 αυτής της συνάρτησης και είναι ίση με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης.

Παίρνουμε:

k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Από εδώ προσδιορίζουμε την τιμή x για τα σημεία επαφής.

Η πρώτη συνάρτηση θα γραφτεί ως

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Προφανώς δεν υπάρχουν πραγματικές ρίζες, αφού πήραμε αρνητική τιμή. Συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη με γωνία 150° για μια τέτοια συνάρτηση.

Η δεύτερη συνάρτηση θα γραφτεί ως

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Έχουμε ότι τα σημεία επαφής είναι 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Απάντηση:η εφαπτομενική εξίσωση παίρνει τη μορφή

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Ας το απεικονίσουμε γραφικά ως εξής:

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Μια ευθεία που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο ονομάζεται εφαπτομένη στον κύκλο και το κοινό σημείο τους ονομάζεται εφαπτομένη της ευθείας και του κύκλου.

Θεώρημα (ιδιότητα εφαπτομένης σε κύκλο)

Μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο είναι κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης.

Δεδομένος

Α – σημείο επαφής

Αποδεικνύω:p ΟΑ

Απόδειξη.

Ας το αποδείξουμε με αντίφαση.

Ας υποθέσουμε ότι το p είναι ΟΑ, τότε το ΟΑ κλίνει στην ευθεία p.

Αν από το σημείο Ο τραβήξουμε μια κάθετη ΟΗ στην ευθεία p, τότε το μήκος της θα είναι μικρότερο από την ακτίνα: ΟΗ< ОА=r

Διαπιστώνουμε ότι η απόσταση από το κέντρο του κύκλου στην ευθεία p (OH) είναι μικρότερη από την ακτίνα (r), που σημαίνει ότι η ευθεία p είναι τέμνουσα (δηλαδή έχει δύο κοινά σημεία με τον κύκλο), που έρχεται σε αντίθεση με τις συνθήκες του θεωρήματος (το p είναι εφαπτομένη).

Αυτό σημαίνει ότι η υπόθεση είναι λανθασμένη, επομένως η ευθεία p είναι κάθετη στην ΟΑ.

Θεώρημα (Ιδιότητα των εφαπτομένων τμημάτων που σχεδιάζονται από ένα σημείο)

Τα τμήματα των εφαπτομένων σε έναν κύκλο που τραβιέται από ένα σημείο είναι ίσα και κάνουν ίσες γωνίες με μια ευθεία που διέρχεται από αυτό το σημείο και το κέντρο του κύκλου.

Δεδομένος: περ. (Ή)

Το AB και το AC εφάπτονται στο περιβάλλον. (Ή)

Αποδεικνύω: AB=AC

Απόδειξη

1) OB AB, OS AC, ως ακτίνες που έλκονται στο σημείο της εφαπτομένης (ιδιότητα εφαπτομένης)

2) Σκεφτείτε το tr. AOB, κλπ. AOS – p/u

JSC - στρατηγός

OB=OS (ως ακτίνες)

Αυτό σημαίνει ABO = AOS (με υποτείνουσα και πόδι). Ως εκ τούτου,

AB = AC,<3 = < 4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.

Θεώρημα (εφαπτομενική δοκιμή)

Εάν μια γραμμή διέρχεται από το άκρο μιας ακτίνας που βρίσκεται σε έναν κύκλο και είναι κάθετη σε αυτήν την ακτίνα, τότε είναι εφαπτομένη.

Δεδομένος: ΟΑ – ακτίνα του κύκλου

Αποδεικνύω: p- εφαπτομένη στον κύκλο

Απόδειξη

OA – ακτίνα του κύκλου (σύμφωνα με την συνθήκη) (OA=r)

OA – κάθετη από το O στην ευθεία p (OA =d)

Αυτό σημαίνει r=OA=d, που σημαίνει ότι η ευθεία p και ο κύκλος έχουν ένα κοινό σημείο.

Επομένως, η ευθεία p εφάπτεται στον κύκλο. και τα λοιπά.

3.Ιδιότητες συγχορδιών και τμημάτων.

Ιδιότητες εφαπτομένης και τομής

ΟΡΙΣΜΟΣ

Περιφέρειαείναι ο τόπος των σημείων που ισαπέχουν από ένα σημείο, που ονομάζεται κέντρο του κύκλου.

Ένα ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο ονομάζεται χορδή(στο σχήμα αυτό είναι ένα τμήμα). Μια χορδή που διέρχεται από το κέντρο ενός κύκλου ονομάζεται διάμετροςκύκλους.

1. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής.

2. Τα εφαπτομενικά τμήματα που σχεδιάζονται από ένα σημείο είναι ίσα.

3. Αν μια εφαπτομένη και μια τομή σχεδιάζονται από ένα σημείο που βρίσκεται εκτός του κύκλου, τότε το τετράγωνο του μήκους της εφαπτομένης είναι ίσο με το γινόμενο της τομής και του εξωτερικού της τμήματος.

Στόχοι μαθήματος

  • Εκπαιδευτικό – επανάληψη, γενίκευση και δοκιμή γνώσεων με θέμα: «Εφαπτομένη σε κύκλο». ανάπτυξη βασικών δεξιοτήτων.
  • Αναπτυξιακή – ανάπτυξη της προσοχής, της επιμονής, της επιμονής, της λογικής σκέψης, της μαθηματικής ομιλίας των μαθητών.
  • Εκπαιδευτικό - μέσα από το μάθημα, καλλιεργήστε μια προσεκτική στάση ο ένας προς τον άλλον, ενσταλάξτε την ικανότητα να ακούτε τους συντρόφους, την αμοιβαία βοήθεια και την ανεξαρτησία.
  • Εισάγετε την έννοια της εφαπτομένης, ενός σημείου επαφής.
  • Εξετάστε την ιδιότητα μιας εφαπτομένης και το πρόσημο της και δείξτε την εφαρμογή τους στην επίλυση προβλημάτων στη φύση και την τεχνολογία.

Στόχοι μαθήματος

  • Αναπτύξτε δεξιότητες κατασκευής εφαπτομένων χρησιμοποιώντας χάρακα κλίμακας, μοιρογνωμόνιο και τρίγωνο σχεδίασης.
  • Δοκιμάστε τις δεξιότητες επίλυσης προβλημάτων των μαθητών.
  • Εξασφαλίστε γνώση των βασικών αλγοριθμικών τεχνικών για την κατασκευή μιας εφαπτομένης σε έναν κύκλο.
  • Αναπτύξτε την ικανότητα εφαρμογής της θεωρητικής γνώσης στην επίλυση προβλημάτων.
  • Αναπτύξτε τη σκέψη και το λόγο των μαθητών.
  • Εργαστείτε για την ανάπτυξη των δεξιοτήτων για την παρατήρηση, την παρατήρηση μοτίβων, τη γενίκευση και τον λόγο κατ' αναλογία.
  • Ενθάρρυνση του ενδιαφέροντος για τα μαθηματικά.

Πλάνο μαθήματος

  1. Η εμφάνιση της έννοιας της εφαπτομένης.
  2. Η ιστορία της εφαπτομένης.
  3. Γεωμετρικοί ορισμοί.
  4. Βασικά θεωρήματα.
  5. Κατασκευή εφαπτομένης σε κύκλο.
  6. Ενοποίηση.

Η εμφάνιση της έννοιας της εφαπτομένης

Η έννοια της εφαπτομένης είναι μια από τις παλαιότερες στα μαθηματικά. Στη γεωμετρία, μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο ορίζεται ως μια ευθεία που έχει ακριβώς ένα σημείο τομής με αυτόν τον κύκλο. Οι αρχαίοι, χρησιμοποιώντας πυξίδες και χάρακες, ήταν σε θέση να σχεδιάσουν εφαπτόμενες σε έναν κύκλο και αργότερα σε κωνικές τομές: ελλείψεις, υπερβολές και παραβολές.

Η ιστορία της εφαπτομένης

Το ενδιαφέρον για τις εφαπτομένες αναβίωσε στη σύγχρονη εποχή. Τότε ανακαλύφθηκαν καμπύλες που ήταν άγνωστες στους αρχαίους επιστήμονες. Για παράδειγμα, ο Γαλιλαίος εισήγαγε το κυκλοειδές και ο Ντεκάρτ και ο Φερμά κατασκεύασαν μια εφαπτομένη σε αυτό. Στο πρώτο τρίτο του 17ου αιώνα. Άρχισαν να καταλαβαίνουν ότι μια εφαπτομένη είναι μια ευθεία γραμμή, «πιο κοντά» σε μια καμπύλη σε μια μικρή γειτονιά ενός δεδομένου σημείου. Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς μια κατάσταση όπου είναι αδύνατο να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη στην καμπύλη σε ένα δεδομένο σημείο (σχήμα).

Γεωμετρικοί ορισμοί

Κύκλος- ο γεωμετρικός τόπος των σημείων στο επίπεδο που ισαπέχει από ένα δεδομένο σημείο, που ονομάζεται κέντρο του.

κύκλος.

Σχετικοί ορισμοί

  • Ένα τμήμα που συνδέει το κέντρο ενός κύκλου με οποιοδήποτε σημείο του (καθώς και το μήκος αυτού του τμήματος) ονομάζεται ακτίνα κύκλουκύκλους.
  • Το τμήμα του επιπέδου που οριοθετείται από κύκλο ονομάζεται ολόγυρα.
  • Ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία σε έναν κύκλο ονομάζεται του χορδή. Μια χορδή που διέρχεται από το κέντρο ενός κύκλου ονομάζεται διάμετρος.
  • Οποιαδήποτε δύο αποκλίνοντα σημεία σε έναν κύκλο τον χωρίζουν σε δύο μέρη. Κάθε ένα από αυτά τα μέρη ονομάζεται τόξοκύκλους. Το μέτρο ενός τόξου μπορεί να είναι το μέτρο της αντίστοιχης κεντρικής γωνίας του. Ένα τόξο ονομάζεται ημικύκλιο εάν το τμήμα που συνδέει τα άκρα του έχει διάμετρο.
  • Μια ευθεία που έχει ακριβώς ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο ονομάζεται εφαπτομένη γραμμήσε έναν κύκλο, και το κοινό τους σημείο ονομάζεται σημείο εφαπτομένης της ευθείας και του κύκλου.
  • Μια ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία ενός κύκλου ονομάζεται διατέμνων.
  • Μια κεντρική γωνία σε έναν κύκλο είναι μια επίπεδη γωνία με μια κορυφή στο κέντρο της.
  • Μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται σε έναν κύκλο και της οποίας οι πλευρές τέμνουν αυτόν τον κύκλο ονομάζεται εγγεγραμένη γωνία.
  • Καλούνται δύο κύκλοι που έχουν κοινό κέντρο ομόκεντρος.

Εφαπτόμενη γραμμή- μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο σε μια καμπύλη και συμπίπτει με αυτό σε αυτό το σημείο μέχρι την πρώτη τάξη.

Εφαπτομένη σε κύκλοείναι μια ευθεία που έχει ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο.

Μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο σε έναν κύκλο στο ίδιο επίπεδο κάθετο στην ακτίνα που σύρεται σε αυτό το σημείο που ονομάζεται εφαπτομένη. Σε αυτή την περίπτωση, αυτό το σημείο του κύκλου ονομάζεται σημείο εφαπτομένης.

Όπου στις περιπτώσεις μας το "a" είναι μια ευθεία που εφάπτεται σε έναν δεδομένο κύκλο, το σημείο "Α" είναι το σημείο εφαπτομένης. Σε αυτή την περίπτωση, a⊥OA (η ευθεία a είναι κάθετη στην ακτίνα OA).

Λένε ότι δύο κύκλοι αγγίζουν, εάν έχουν ένα μόνο κοινό σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται σημείο επαφής των κύκλων. Μέσω του σημείου εφαπτομένης, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη σε έναν από τους κύκλους, η οποία είναι επίσης εφαπτομένη στον άλλο κύκλο. Οι κύκλοι επαφής μπορεί να είναι εσωτερικοί ή εξωτερικοί.

Μια εφαπτομένη ονομάζεται εσωτερική αν τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται στην ίδια πλευρά της εφαπτομένης.

Μια εφαπτομένη ονομάζεται εξωτερική αν τα κέντρα των κύκλων βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές της εφαπτομένης

a είναι η κοινή εφαπτομένη στους δύο κύκλους, K είναι το σημείο εφαπτομένης.

Βασικά θεωρήματα

Θεώρημασχετικά με την εφαπτομένη και την τέμνουσα

Αν μια εφαπτομένη και μια τομή σχεδιάζονται από ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, τότε το τετράγωνο του μήκους της εφαπτομένης είναι ίσο με το γινόμενο της τομής και του εξωτερικού της τμήματος: MC 2 = MA MB.

Θεώρημα.Η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης του κύκλου είναι κάθετη στην εφαπτομένη.

Θεώρημα.Αν η ακτίνα είναι κάθετη σε μια ευθεία στο σημείο που τέμνει έναν κύκλο, τότε αυτή η ευθεία εφάπτεται σε αυτόν τον κύκλο.

Απόδειξη.

Για να αποδείξουμε αυτά τα θεωρήματα, πρέπει να θυμόμαστε τι είναι η κάθετη από ένα σημείο σε μια ευθεία. Αυτή είναι η μικρότερη απόσταση από αυτό το σημείο σε αυτή τη γραμμή. Ας υποθέσουμε ότι η ΟΑ δεν είναι κάθετη στην εφαπτομένη, αλλά υπάρχει μια ευθεία ΟΣ κάθετη στην εφαπτομένη. Το μήκος OS περιλαμβάνει το μήκος της ακτίνας και ένα ορισμένο τμήμα BC, το οποίο είναι σίγουρα μεγαλύτερο από την ακτίνα. Έτσι, μπορεί κανείς να το αποδείξει για οποιαδήποτε γραμμή. Συμπεραίνουμε ότι η ακτίνα, η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο επαφής, είναι η μικρότερη απόσταση στην εφαπτομένη από το σημείο Ο, δηλ. Το OS είναι κάθετο στην εφαπτομένη. Στην απόδειξη του θεωρήματος της αντίστροφης, θα προχωρήσουμε από το γεγονός ότι η εφαπτομένη έχει μόνο ένα κοινό σημείο με τον κύκλο. Ας έχει αυτή η ευθεία ένα ακόμη κοινό σημείο Β με τον κύκλο. Το τρίγωνο ΑΟΒ είναι ορθογώνιο και οι δύο πλευρές του είναι ίσες με ακτίνες, κάτι που δεν μπορεί να ισχύει. Έτσι, διαπιστώνουμε ότι αυτή η ευθεία δεν έχει άλλα κοινά σημεία με τον κύκλο εκτός από το σημείο Α, δηλ. είναι εφαπτομένη.

Θεώρημα.Τα εφαπτόμενα τμήματα που σχεδιάζονται από ένα σημείο στον κύκλο είναι ίσα και η ευθεία γραμμή που συνδέει αυτό το σημείο με το κέντρο του κύκλου διαιρεί τη γωνία μεταξύ των εφαπτομένων.

Απόδειξη.

Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο θεώρημα, βεβαιώνουμε ότι το OB είναι κάθετο στο AB και το OS είναι κάθετο στο AC. Τα ορθογώνια τρίγωνα ABO και ACO είναι ίσα ως προς το σκέλος και την υποτείνουσα (OB=OS - ακτίνες, AO - σύνολο). Επομένως, οι πλευρές τους AB=AC και οι γωνίες OAC και OAB είναι ίσες.

Θεώρημα.Το μέγεθος της γωνίας που σχηματίζεται από μια εφαπτομένη και μια χορδή που έχουν κοινό σημείο σε έναν κύκλο είναι ίσο με το μισό του γωνιακού μεγέθους του τόξου που περικλείεται μεταξύ των πλευρών του.

Απόδειξη.

Θεωρήστε τη γωνία NAB που σχηματίζεται από μια εφαπτομένη και μια χορδή. Ας σχεδιάσουμε τη διάμετρο του AC. Η εφαπτομένη είναι κάθετη στη διάμετρο που τραβιέται στο σημείο επαφής, επομένως, ∠CAN=90 o. Γνωρίζοντας το θεώρημα, βλέπουμε ότι η γωνία άλφα (α) ισούται με το ήμισυ της γωνιακής τιμής του τόξου BC ή το μισό της γωνίας BOS. ∠NAB=90 o -a, από εδώ παίρνουμε ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB ή = το ήμισυ της γωνιακής τιμής του τόξου BA. και τα λοιπά.

Θεώρημα.Εάν μια εφαπτομένη και μια τέμνουσα σχεδιάζονται από ένα σημείο σε έναν κύκλο, τότε το τετράγωνο του εφαπτομένου τμήματος από ένα δεδομένο σημείο στο σημείο της εφαπτομένης είναι ίσο με το γινόμενο των μηκών των τέμνων τμημάτων από ένα δεδομένο σημείο στα σημεία της τομής του με τον κύκλο.

Απόδειξη.

Στο σχήμα, αυτό το θεώρημα μοιάζει με αυτό: MA 2 = MV * MC. Ας το αποδείξουμε. Σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, η γωνία MAC είναι ίση με το ήμισυ της γωνιακής τιμής του τόξου AC, αλλά και η γωνία ABC είναι ίση με το μισό της γωνιακής τιμής του τόξου AC σύμφωνα με το θεώρημα, επομένως, αυτές οι γωνίες είναι ίσες με κάθε άλλα. Λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι τα τρίγωνα AMC και BMA έχουν κοινή γωνία στην κορυφή Μ, δηλώνουμε την ομοιότητα αυτών των τριγώνων σε δύο γωνίες (δεύτερο πρόσημο). Από την ομοιότητα έχουμε: MA/MB=MC/MA, από την οποία παίρνουμε MA 2 =MB*MC

Κατασκευή εφαπτομένων σε κύκλο

Τώρα ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε και να μάθουμε τι πρέπει να γίνει για να κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο.

Σε αυτή την περίπτωση, κατά κανόνα, το πρόβλημα δίνει έναν κύκλο και ένα σημείο. Και εσείς και εγώ πρέπει να κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη στον κύκλο έτσι ώστε αυτή η εφαπτομένη να περνά από ένα δεδομένο σημείο.

Σε περίπτωση που δεν γνωρίζουμε τη θέση ενός σημείου, τότε ας εξετάσουμε περιπτώσεις πιθανών θέσεων σημείων.

Πρώτον, ένα σημείο μπορεί να βρίσκεται μέσα σε έναν κύκλο, ο οποίος περιορίζεται από έναν δεδομένο κύκλο. Σε αυτήν την περίπτωση, δεν είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια εφαπτομένη μέσω αυτού του κύκλου.

Στη δεύτερη περίπτωση, το σημείο βρίσκεται σε έναν κύκλο, και μπορούμε να κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη σχεδιάζοντας μια κάθετη γραμμή στην ακτίνα, η οποία σύρεται στο σημείο που μας είναι γνωστό.

Τρίτον, ας υποθέσουμε ότι το σημείο βρίσκεται έξω από τον κύκλο, ο οποίος περιορίζεται από τον κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση, πριν κατασκευάσουμε μια εφαπτομένη, είναι απαραίτητο να βρούμε ένα σημείο στον κύκλο από το οποίο πρέπει να περάσει η εφαπτομένη.

Με την πρώτη περίπτωση, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα για εσάς, αλλά για να λύσουμε τη δεύτερη επιλογή πρέπει να κατασκευάσουμε ένα τμήμα στην ευθεία γραμμή στην οποία βρίσκεται η ακτίνα. Αυτό το τμήμα πρέπει να είναι ίσο με την ακτίνα και το τμήμα που βρίσκεται στον κύκλο στην απέναντι πλευρά.



Εδώ βλέπουμε ότι ένα σημείο σε έναν κύκλο είναι το μέσο ενός τμήματος που ισούται με τη διπλάσια ακτίνα. Το επόμενο βήμα θα είναι η κατασκευή δύο κύκλων. Οι ακτίνες αυτών των κύκλων θα είναι ίσες με τη διπλάσια ακτίνα του αρχικού κύκλου, με κέντρα στα άκρα του τμήματος, που είναι ίση με τη διπλάσια ακτίνα. Τώρα μπορούμε να σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή μέσω οποιουδήποτε σημείου τομής αυτών των κύκλων και ενός δεδομένου σημείου. Μια τέτοια ευθεία είναι η μέση κάθετη στην ακτίνα του κύκλου που σχεδιάστηκε αρχικά. Έτσι, βλέπουμε ότι αυτή η ευθεία είναι κάθετη στον κύκλο και από αυτό προκύπτει ότι είναι εφαπτομένη στον κύκλο.

Στην τρίτη επιλογή, έχουμε ένα σημείο που βρίσκεται έξω από τον κύκλο, το οποίο περιορίζεται από έναν κύκλο. Σε αυτή την περίπτωση, κατασκευάζουμε πρώτα ένα τμήμα που θα συνδέει το κέντρο του παρεχόμενου κύκλου και το δεδομένο σημείο. Και μετά βρίσκουμε τη μέση του. Αλλά για αυτό είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια κάθετη διχοτόμος. Και ξέρετε ήδη πώς να το φτιάξετε. Στη συνέχεια, πρέπει να σχεδιάσουμε έναν κύκλο, ή τουλάχιστον ένα μέρος του. Τώρα βλέπουμε ότι το σημείο τομής του δεδομένου κύκλου και του νεοκατασκευασμένου είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται η εφαπτομένη. Περνάει και από το σημείο που προσδιορίστηκε σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος. Και τέλος, μέσα από τα δύο σημεία που γνωρίζετε, μπορείτε να σχεδιάσετε μια εφαπτομένη.

Και τέλος, για να αποδείξουμε ότι η ευθεία γραμμή που κατασκευάσαμε είναι εφαπτομένη, πρέπει να δώσουμε προσοχή στη γωνία που σχηματίστηκε από την ακτίνα του κύκλου και το τμήμα που είναι γνωστό από τη συνθήκη και συνδέει το σημείο τομής των κύκλων με το σημείο που δίνει η συνθήκη του προβλήματος. Τώρα βλέπουμε ότι η γωνία που προκύπτει στηρίζεται σε ένα ημικύκλιο. Και από αυτό προκύπτει ότι αυτή η γωνία είναι σωστή. Κατά συνέπεια, η ακτίνα θα είναι κάθετη στη νέα γραμμή, και αυτή η ευθεία είναι η εφαπτομένη.

Κατασκευή εφαπτομένης.

Η κατασκευή των εφαπτομένων είναι ένα από εκείνα τα προβλήματα που οδήγησαν στη γέννηση του διαφορικού λογισμού. Η πρώτη δημοσιευμένη εργασία σχετικά με τον διαφορικό λογισμό, που γράφτηκε από τον Leibniz, είχε τον τίτλο «Μια νέα μέθοδος μεγίστων και ελαχίστων, καθώς και εφαπτομένων, για τις οποίες δεν αποτελούν εμπόδιο ούτε τα κλασματικά ούτε τα παράλογα μεγέθη, ούτε ένας ειδικός τύπος λογισμού».

Γεωμετρικές γνώσεις των αρχαίων Αιγυπτίων.

Αν δεν λάβουμε υπόψη την πολύ μέτρια συμβολή των αρχαίων κατοίκων της κοιλάδας μεταξύ του Τίγρη και του Ευφράτη και της Μικράς Ασίας, τότε η γεωμετρία ξεκίνησε στην Αρχαία Αίγυπτο πριν από το 1700 π.Χ. Κατά την περίοδο των τροπικών βροχών, ο Νείλος αναπλήρωσε τα αποθέματα νερού του και ξεχείλισε. Το νερό κάλυπτε εκτάσεις καλλιεργούμενης γης και για φορολογικούς λόγους ήταν απαραίτητο να καθοριστεί πόση γη χάθηκε. Οι τοπογράφοι χρησιμοποίησαν ένα σφιχτά τεντωμένο σχοινί ως εργαλείο μέτρησης. Ένα άλλο κίνητρο για τη συσσώρευση γεωμετρικών γνώσεων από τους Αιγύπτιους ήταν οι δραστηριότητές τους όπως η κατασκευή πυραμίδων και οι καλές τέχνες.

Το επίπεδο της γεωμετρικής γνώσης μπορεί να κριθεί από αρχαία χειρόγραφα, τα οποία είναι ειδικά αφιερωμένα στα μαθηματικά και είναι κάτι σαν σχολικά βιβλία, ή μάλλον, προβληματικά βιβλία, όπου δίνονται λύσεις σε διάφορα πρακτικά προβλήματα.

Το παλαιότερο μαθηματικό χειρόγραφο των Αιγυπτίων αντιγράφηκε από κάποιον μαθητή μεταξύ 1800 - 1600. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. από παλαιότερο κείμενο. Ο πάπυρος βρέθηκε από τον Ρώσο Αιγυπτιολόγο Βλαντιμίρ Σεμένοβιτς Γκολενίστσεφ. Φυλάσσεται στη Μόσχα - στο Μουσείο Καλών Τεχνών που φέρει το όνομα του A.S. Πούσκιν, και ονομάζεται πάπυρος της Μόσχας.

Ένας άλλος μαθηματικός πάπυρος, γραμμένος διακόσια έως τριακόσια χρόνια αργότερα από αυτόν της Μόσχας, φυλάσσεται στο Λονδίνο. Ονομάζεται: «Οδηγίες για το πώς να επιτύχετε τη γνώση όλων των σκοτεινών πραγμάτων, όλα τα μυστικά που κρύβουν τα πράγματα από μόνα τους... Σύμφωνα με παλιά μνημεία, ο γραμματέας Ahmes το έγραψε αυτό το χειρόγραφο ονομάζεται «πάπυρος Αχμές». ο πάπυρος Rhind - από το όνομα του Άγγλου που βρήκε και αγόρασε αυτόν τον πάπυρο στην Αίγυπτο. Ο πάπυρος Ahmes παρέχει λύσεις σε 84 προβλήματα που περιλαμβάνουν διάφορους υπολογισμούς που μπορεί να χρειαστούν στην πράξη.

Μια ευθεία γραμμή σε σχέση με έναν κύκλο μπορεί να βρίσκεται στις ακόλουθες τρεις θέσεις:

  1. Η απόσταση από το κέντρο του κύκλου στην ευθεία είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα.Στην περίπτωση αυτή, όλα τα σημεία της ευθείας βρίσκονται εκτός του κύκλου.

  2. Η απόσταση από το κέντρο του κύκλου στην ευθεία είναι μικρότερη από την ακτίνα.Στην περίπτωση αυτή, η ευθεία έχει σημεία που βρίσκονται μέσα στον κύκλο και εφόσον η ευθεία είναι άπειρη και στις δύο κατευθύνσεις, τέμνεται από τον κύκλο σε 2 σημεία.

  3. Η απόσταση από το κέντρο του κύκλου στην ευθεία είναι ίση με την ακτίνα.Η ευθεία είναι εφαπτομένη.

Μια ευθεία που έχει μόνο ένα κοινό σημείο με έναν κύκλο ονομάζεται εφαπτομένη γραμμήστον κύκλο.

Το κοινό σημείο ονομάζεται σε αυτή την περίπτωση σημείο επαφής.

Η πιθανότητα ύπαρξης μιας εφαπτομένης και, επιπλέον, που σύρεται από οποιοδήποτε σημείο του κύκλου, ως σημείο εφαπτομένης, αποδεικνύεται από το ακόλουθο θεώρημα.

Θεώρημα. Αν μια ευθεία είναι κάθετη στην ακτίνα στο άκρο της που βρίσκεται στον κύκλο, τότε αυτή η ευθεία είναι εφαπτομένη.

Έστω Ο (εικ) το κέντρο κάποιου κύκλου και ΟΑ κάποια από την ακτίνα του. Μέσα από το άκρο του Α τραβάμε ΜΝ ^ ΟΑ.

Απαιτείται να αποδειχθεί ότι η ευθεία ΜΝ είναι εφαπτομένη, δηλ. ότι αυτή η ευθεία έχει μόνο ένα κοινό σημείο Α με τον κύκλο.

Ας υποθέσουμε το αντίθετο: ας έχει το MN ένα άλλο κοινό σημείο με τον κύκλο, για παράδειγμα το B.

Τότε η ευθεία ΟΒ θα ήταν μια ακτίνα και επομένως ίση με την ΟΑ.

Αλλά αυτό δεν μπορεί να είναι, αφού αν το ΟΑ είναι κάθετο, τότε το ΟΒ πρέπει να είναι κεκλιμένο στο ΜΝ, και το κεκλιμένο είναι μεγαλύτερο από την κάθετο.

Θεώρημα αντιστροφής. Εάν μια ευθεία εφάπτεται σε έναν κύκλο, τότε η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης είναι κάθετη σε αυτόν.

Έστω MN η εφαπτομένη του κύκλου, A το σημείο εφαπτομένης και O το κέντρο του κύκλου.

Απαιτείται να αποδειχθεί ότι ο ΟΑ^ΜΝ.

Ας υποθέσουμε το αντίθετο, δηλ. Ας υποθέσουμε ότι η κάθετη που έπεσε από το Ο στο ΜΝ δεν θα είναι ΟΑ, αλλά κάποια άλλη ευθεία, για παράδειγμα, ΟΒ.

Ας πάρουμε BC = AB και ας πραγματοποιήσουμε OS.

Τότε το ΟΑ και το ΟΣ θα είναι κεκλιμένα, εξίσου απομακρυσμένα από την κάθετη ΟΒ, και επομένως ΟΣ = ΟΑ.

Από αυτό προκύπτει ότι ο κύκλος, λαμβάνοντας υπόψη την υπόθεσή μας, θα έχει δύο κοινά σημεία με την ευθεία ΜΝ: Α και Γ, δηλ. Το MN δεν θα είναι μια εφαπτομένη, αλλά μια διατομή, η οποία έρχεται σε αντίθεση με την προϋπόθεση.

Συνέπεια. Μέσα από οποιοδήποτε δεδομένο σημείο ενός κύκλου μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια εφαπτομένη σε αυτόν τον κύκλο, και μόνο μία, αφού μέσω αυτού του σημείου μπορεί κανείς να σχεδιάσει μια κάθετη, και μόνο μια, στην ακτίνα που σύρεται σε αυτόν.

Θεώρημα. Μια εφαπτομένη παράλληλη σε μια χορδή διαιρεί το τόξο που υποτάσσεται από τη χορδή στο μισό στο σημείο επαφής.

Αφήστε την ευθεία ΑΒ (εικ.) να αγγίξει τον κύκλο στο σημείο Μ και να είναι παράλληλη με τη χορδή CD.

Πρέπει να αποδείξουμε ότι ÈCM = ÈMD.

Σχεδιάζοντας τη διάμετρο ME από το σημείο εφαπτομένης, λαμβάνουμε: EM ^ AB, και επομένως EM ^ CB.

Επομένως CM=MD.

Εργο.Μέσα από ένα δεδομένο σημείο σχεδιάστε μια εφαπτομένη σε έναν δεδομένο κύκλο.

Εάν ένα δεδομένο σημείο βρίσκεται σε έναν κύκλο, τότε σχεδιάστε μια ακτίνα μέσω αυτού και μια κάθετη ευθεία γραμμή στο άκρο της ακτίνας. Αυτή η γραμμή θα είναι η επιθυμητή εφαπτομένη.

Ας εξετάσουμε την περίπτωση που το σημείο δίνεται εκτός του κύκλου.

Έστω ότι απαιτείται (Εικ.) να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο με κέντρο το Ο έως το σημείο Α.

Για να γίνει αυτό, από το σημείο Α, ως κέντρο, περιγράφουμε ένα τόξο με ακτίνα ΑΟ και από το σημείο Ο, ως κέντρο, τέμνουμε αυτό το τόξο στα σημεία Β και Γ με ένα άνοιγμα πυξίδας ίσο με τη διάμετρο του δεδομένου κύκλου. .

Έχοντας στη συνέχεια σχεδιάσει τις συγχορδίες ΟΒ και ΟΣ, συνδέουμε το σημείο Α με τα σημεία Δ και Ε, στα οποία αυτές οι συγχορδίες τέμνονται με τον δεδομένο κύκλο.

Οι ευθείες AD και AE εφάπτονται στον κύκλο O.

Πράγματι, από την κατασκευή είναι σαφές ότι οι σωλήνες AOB και AOC είναι ισοσκελές (AO = AB = AC) με τις βάσεις OB και OS ίσες με τη διάμετρο του κύκλου O.

Δεδομένου ότι το OD και το OE είναι ακτίνες, τότε το D είναι το μέσο του OB και το E είναι το μέσο του OS, που σημαίνει ότι το AD και το AE είναι διάμεσοι που έλκονται στις βάσεις των ισοσκελές σωλήνων και επομένως είναι κάθετες σε αυτές τις βάσεις. Αν οι ευθείες DA και EA είναι κάθετες στις ακτίνες OD και OE, τότε είναι εφαπτομένες.

Συνέπεια. Δύο εφαπτομένες που σχεδιάζονται από ένα σημείο σε έναν κύκλο είναι ίσες και σχηματίζουν ίσες γωνίες με την ευθεία που συνδέει αυτό το σημείο με το κέντρο.

Άρα AD=AE και ÐOAD = ÐOAE (Σχ.), επειδή τα ορθογώνια tr-ki AOD και AOE, που έχουν κοινή υποτείνουσα AO και ίσα σκέλη OD και OE (ως ακτίνες), είναι ίσα.

Σημειώστε ότι εδώ η λέξη "εφαπτομένη" σημαίνει το πραγματικό "εφαπτόμενο τμήμα" από ένα δεδομένο σημείο στο σημείο επαφής.

Εργο.Σχεδιάστε μια εφαπτομένη σε δεδομένο κύκλο O παράλληλη σε μια δεδομένη ευθεία ΑΒ (Εικ.).

Κατεβάζουμε μια κάθετη ΟΣ στην ΑΒ από το κέντρο Ο και μέσω του σημείου Δ, στο οποίο αυτή η κάθετη τέμνει τον κύκλο, σχεδιάζουμε EF || ΑΒ.

Η εφαπτομένη που αναζητούμε θα είναι η ΕΦ.


Πράγματι, αφού OS ^ AB και EF || AB, μετά EF ^ OD, και η ευθεία κάθετη στην ακτίνα στο άκρο της που βρίσκεται στον κύκλο είναι μια εφαπτομένη.

Εργο.Σχεδιάστε μια κοινή εφαπτομένη σε δύο κύκλους O και O 1 (Εικ.).

Ανάλυση. Ας υποθέσουμε ότι το πρόβλημα έχει λυθεί.

Έστω ΑΒ η κοινή εφαπτομένη, Α και Β τα σημεία εφαπτομένης.

Προφανώς, αν βρούμε ένα από αυτά τα σημεία, για παράδειγμα, το Α, τότε μπορούμε εύκολα να βρούμε το άλλο.

Ας σχεδιάσουμε τις ακτίνες OA και O 1 B. Αυτές οι ακτίνες, όντας κάθετες στην κοινή εφαπτομένη, είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Επομένως, αν από το O 1 αντλήσουμε O 1 C || BA, τότε ο αγωγός OCO 1 θα είναι ορθογώνιος στην κορυφή C.

Ως αποτέλεσμα, εάν περιγράψουμε έναν κύκλο από το Ο ως το κέντρο με ακτίνα OS, τότε θα αγγίξει την ευθεία O 1 C στο σημείο C.

Η ακτίνα αυτού του βοηθητικού κύκλου είναι γνωστή: είναι ίση με OA – CA = OA - O 1 B, δηλ. ισούται με τη διαφορά μεταξύ των ακτίνων αυτών των κύκλων.

Κατασκευή.Από το κέντρο Ο περιγράφουμε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με τη διαφορά αυτών των ακτίνων.

Από το O 1 σχεδιάζουμε μια εφαπτομένη O 1 C σε αυτόν τον κύκλο (με τον τρόπο που υποδεικνύεται στο προηγούμενο πρόβλημα).

Μέσω του εφαπτομενικού σημείου C σχεδιάζουμε την ακτίνα OS και τη συνεχίζουμε μέχρι να συναντήσει τον δοσμένο κύκλο στο σημείο Α. Τέλος, από το Α τραβάμε το ΑΒ παράλληλο στο CO 1.

Με τον ίδιο ακριβώς τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε μια άλλη κοινή εφαπτομένη A 1 B 1 (Εικ.). Οι ευθείες γραμμές ΑΒ και Α 1 Β 1 ονομάζονται εξωτερικόςκοινές εφαπτομένες.

Μπορείτε να ξοδέψετε άλλα δύο εσωτερικόςεφαπτομένες ως εξής:

Ανάλυση.Ας υποθέσουμε ότι το πρόβλημα έχει λυθεί (Εικ.). Έστω ΑΒ η επιθυμητή εφαπτομένη.

Ας σχεδιάσουμε τις ακτίνες OA και O 1 B στα εφαπτομενικά σημεία A και B. Επειδή αυτές οι ακτίνες είναι και οι δύο κάθετες στην κοινή εφαπτομένη, είναι παράλληλες μεταξύ τους.

Επομένως, αν από το O 1 αντλήσουμε O 1 C || BA και συνεχίστε το OA στο σημείο C, τότε το OS θα είναι κάθετο στο O 1 C.

Ως αποτέλεσμα, ο κύκλος που περιγράφεται από την ακτίνα OS από το σημείο O ως κέντρο θα αγγίξει την ευθεία γραμμή O 1 C στο σημείο C.

Η ακτίνα αυτού του βοηθητικού κύκλου είναι γνωστή: είναι ίση με OA+AC = OA+O 1 B, δηλ. ισούται με το άθροισμα των ακτίνων των δοσμένων κύκλων.

Κατασκευή.Από το Ο ως κέντρο, περιγράφουμε έναν κύκλο με ακτίνα ίση με το άθροισμα αυτών των ακτίνων.

Από το O 1 σχεδιάζουμε μια εφαπτομένη O 1 C σε αυτόν τον κύκλο.

Συνδέουμε το σημείο επαφής Γ με Ο.

Τέλος, μέσω του σημείου Α, στο οποίο το OS τέμνει τον δεδομένο κύκλο, σχεδιάζουμε AB = O 1 C.

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να κατασκευάσουμε μια άλλη εσωτερική εφαπτομένη A 1 B 1.

Γενικός ορισμός της εφαπτομένης

Έστω μια εφαπτομένη AT και μια τέμνουσα AM να συρθούν μέσω του σημείου Α σε έναν κύκλο με κέντρο (Εικ.).

Ας περιστρέψουμε αυτήν την τομή γύρω από το σημείο Α έτσι ώστε το άλλο σημείο τομής Β να πλησιάζει όλο και πιο κοντά στο Α.

Τότε η κάθετη OD, χαμηλωμένη από το κέντρο προς την τομή, θα πλησιάζει την ακτίνα OA όλο και περισσότερο και η γωνία AOD μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιαδήποτε μικρή γωνία.

Η γωνία ΜΑΤ που σχηματίζεται από την τέμνουσα και την εφαπτομένη είναι ίση με τη γωνία AOD (λόγω της καθετότητας των πλευρών τους).

Επομένως, καθώς το σημείο Β πλησιάζει το Α επ' αόριστον, η γωνία ΜΑΤ μπορεί επίσης να γίνει αυθαίρετα μικρή.

Αυτό εκφράζεται με άλλα λόγια ως εξής:

εφαπτομένη είναι η οριακή θέση στην οποία τείνει μια τομή που σύρεται μέσω ενός σημείου εφαπτομένης όταν το δεύτερο σημείο τομής πλησιάζει το σημείο της εφαπτομένης επ' αόριστον.

Αυτή η ιδιότητα λαμβάνεται ως ο ορισμός μιας εφαπτομένης όταν μιλάμε για οποιαδήποτε καμπύλη.

Έτσι, η εφαπτομένη στην καμπύλη ΑΒ (Εικ.) είναι η οριακή θέση ΜΤ προς την οποία τείνει η τέμνουσα ΜΝ όταν το σημείο τομής Ρ πλησιάζει το Μ χωρίς όριο.

Σημειώστε ότι η εφαπτομένη που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο μπορεί να έχει περισσότερα από ένα κοινά σημεία με την καμπύλη (όπως φαίνεται στο Σχ.).

\[(\Large(\text(Κεντρικές και εγγεγραμμένες γωνίες)))\]

Ορισμοί

Κεντρική γωνία είναι μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται στο κέντρο του κύκλου.

Μια εγγεγραμμένη γωνία είναι μια γωνία της οποίας η κορυφή βρίσκεται σε έναν κύκλο.

Το μέτρο μοίρας ενός τόξου ενός κύκλου είναι το μέτρο μοίρας της κεντρικής γωνίας που το υποτάσσει.

Θεώρημα

Το μέτρο μοίρας μιας εγγεγραμμένης γωνίας είναι ίσο με το μισό του μέτρου του τόξου στο οποίο στηρίζεται.

Απόδειξη

Θα πραγματοποιήσουμε την απόδειξη σε δύο στάδια: πρώτον, θα αποδείξουμε την εγκυρότητα της δήλωσης για την περίπτωση που μία από τις πλευρές της εγγεγραμμένης γωνίας περιέχει διάμετρο. Έστω το σημείο \(B\) η κορυφή της εγγεγραμμένης γωνίας \(ABC\) και \(BC\) η διάμετρος του κύκλου:

Το τρίγωνο \(AOB\) είναι ισοσκελές, \(AO = OB\) , \(\γωνία AOC\) είναι εξωτερικό, τότε \(\γωνία AOC = \γωνία OAB + \γωνία ABO = 2\γωνία ABC\), που \(\γωνία ABC = 0,5\cdot\γωνία AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Τώρα εξετάστε μια αυθαίρετη εγγεγραμμένη γωνία \(ABC\) . Ας σχεδιάσουμε τη διάμετρο του κύκλου \(BD\) από την κορυφή της εγγεγραμμένης γωνίας. Υπάρχουν δύο πιθανές περιπτώσεις:

1) η διάμετρος κόβει τη γωνία σε δύο γωνίες \(\γωνία ABD, \γωνία CBD\) (για καθεμία από τις οποίες το θεώρημα είναι αληθές όπως αποδείχθηκε παραπάνω, επομένως ισχύει και για την αρχική γωνία, που είναι το άθροισμα αυτών δύο και επομένως ίσο με το ήμισυ του αθροίσματος των τόξων στα οποία στηρίζεται, δηλαδή ίσο με το μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται). Ρύζι. 1.

2) η διάμετρος δεν έκοψε τη γωνία σε δύο γωνίες, τότε έχουμε δύο ακόμη νέες εγγεγραμμένες γωνίες \(\γωνία ABD, \γωνία CBD\), των οποίων η πλευρά περιέχει τη διάμετρο, επομένως, το θεώρημα ισχύει για αυτές, τότε ισχύει και για την αρχική γωνία (η οποία είναι ίση με τη διαφορά αυτών των δύο γωνιών, που σημαίνει ότι είναι ίση με τη μισή διαφορά των τόξων στα οποία στηρίζονται, δηλαδή ίση με το μισό του τόξου στο οποίο στηρίζεται) . Ρύζι. 2.


Συνέπειες

1. Οι εγγεγραμμένες γωνίες που υποτείνουν το ίδιο τόξο είναι ίσες.

2. Μια εγγεγραμμένη γωνία που υποτείνεται από ένα ημικύκλιο είναι μια ορθή γωνία.

3. Μια εγγεγραμμένη γωνία ισούται με το ήμισυ της κεντρικής γωνίας που υποτάσσεται από το ίδιο τόξο.

\[(\Large(\text(Εφαπτομένη στον κύκλο)))\]

Ορισμοί

Υπάρχουν τρεις τύποι σχετικών θέσεων μιας γραμμής και ενός κύκλου:

1) η ευθεία \(a\) τέμνει τον κύκλο σε δύο σημεία. Μια τέτοια γραμμή ονομάζεται διατομή. Σε αυτή την περίπτωση, η απόσταση \(d\) από το κέντρο του κύκλου στην ευθεία είναι μικρότερη από την ακτίνα \(R\) του κύκλου (Εικ. 3).

2) η ευθεία \(b\) τέμνει τον κύκλο σε ένα σημείο. Μια τέτοια ευθεία ονομάζεται εφαπτομένη και το κοινό τους σημείο \(B\) ονομάζεται σημείο εφαπτομένης. Σε αυτή την περίπτωση \(d=R\) (Εικ. 4).


Θεώρημα

1. Μια εφαπτομένη σε έναν κύκλο είναι κάθετη στην ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης.

2. Αν μια ευθεία διέρχεται από το άκρο της ακτίνας ενός κύκλου και είναι κάθετη σε αυτή την ακτίνα, τότε εφάπτεται στον κύκλο.

Συνέπεια

Τα εφαπτόμενα τμήματα που σχεδιάζονται από ένα σημείο σε έναν κύκλο είναι ίσα.

Απόδειξη

Ας σχεδιάσουμε δύο εφαπτομένες \(KA\) και \(KB\) στον κύκλο από το σημείο \(K\):


Αυτό σημαίνει ότι τα \(OA\perp KA, OB\perp KB\) είναι σαν ακτίνες. Τα ορθογώνια τρίγωνα \(\τρίγωνο KAO\) και \(\τρίγωνο KBO\) είναι ίσα ως προς το σκέλος και την υποτείνουσα, επομένως, \(KA=KB\) .

Συνέπεια

Το κέντρο του κύκλου \(O\) βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας \(AKB\) που σχηματίζεται από δύο εφαπτόμενες από το ίδιο σημείο \(K\) .

\[(\Large(\text(Θεωρήματα που σχετίζονται με γωνίες)))\]

Θεώρημα για τη γωνία μεταξύ τμημάτων

Η γωνία μεταξύ δύο τμημάτων που τραβήχτηκαν από το ίδιο σημείο είναι ίση με τη μισή διαφορά στα μέτρα βαθμών των μεγαλύτερων και μικρότερων τόξων που κόβουν.

Απόδειξη

Έστω \(M\) το σημείο από το οποίο αντλούνται δύο διατομές όπως φαίνεται στο σχήμα:


Ας το δείξουμε \(\γωνία DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

Το \(\γωνία DAB\) είναι η εξωτερική γωνία του τριγώνου \(MAD\), τότε \(\γωνία DAB = \γωνία DMB + \γωνία MDA\), που \(\γωνία DMB = \γωνία DAB - \γωνία MDA\), αλλά οι γωνίες \(\γωνία DAB\) και \(\γωνία MDA\) είναι εγγεγραμμένες, τότε \(\γωνία DMB = \γωνία DAB - \γωνία MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί.

Θεώρημα για τη γωνία μεταξύ τεμνόμενων χορδών

Η γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων χορδών είναι ίση με το ήμισυ του αθροίσματος των βαθμών των τόξων που κόβουν: \[\γωνία CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Απόδειξη

\(\γωνία BMA = \γωνία CMD\) ως κατακόρυφο.


Από το τρίγωνο \(AMD\) : \(\γωνία AMD = 180^\circ - \γωνία BDA - \γωνία CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Αλλά \(\γωνία AMD = 180^\circ - \γωνία CMD\), από το οποίο συμπεραίνουμε ότι \[\γωνία CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ χαμόγελο\πάνω (CD)).\]

Θεώρημα για τη γωνία μεταξύ χορδής και εφαπτομένης

Η γωνία μεταξύ της εφαπτομένης και της χορδής που διέρχεται από το σημείο εφαπτομένης είναι ίση με το ήμισυ του βαθμού μέτρου του τόξου που υποτάσσεται από τη χορδή.

Απόδειξη

Αφήστε την ευθεία \(a\) να αγγίξει τον κύκλο στο σημείο \(A\), \(AB\) είναι η χορδή αυτού του κύκλου, \(O\) είναι το κέντρο του. Έστω η γραμμή που περιέχει το \(OB\) τέμνει το \(a\) στο σημείο \(M\) . Ας το αποδείξουμε \(\γωνία BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).


Ας συμβολίσουμε \(\γωνία OAB = \άλφα\) . Εφόσον τα \(OA\) και \(OB\) είναι ακτίνες, τότε \(OA = OB\) και \(\γωνία OBA = \γωνία OAB = \άλφα\). Ετσι, \(\buildrel\smile\over(AB) = \γωνία AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Εφόσον \(OA\) είναι η ακτίνα που τραβιέται στο σημείο εφαπτομένης, τότε \(OA\perp a\), δηλαδή \(\γωνία OAM = 90^\circ\), επομένως, \(\γωνία BAM = 90^\circ - \γωνία OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Θεώρημα για τόξα που υποβάλλονται από ίσες χορδές

Οι ίσες χορδές υποτάσσονται σε ίσα τόξα μικρότερα από τα ημικύκλια.

Και το αντίστροφο: ίσα τόξα υποτάσσονται από ίσες συγχορδίες.

Απόδειξη

1) Έστω \(AB=CD\) . Ας αποδείξουμε ότι τα μικρότερα ημικύκλια του τόξου .


Σε τρεις πλευρές, επομένως, \(\γωνία AOB=\γωνία COD\) . Αλλά επειδή \(\γωνία AOB, \γωνία COD\) - κεντρικές γωνίες που υποστηρίζονται από τόξα \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\)ανάλογα λοιπόν \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Αν \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Οτι \(\τρίγωνο AOB=\τρίγωνο COD\)σε δύο πλευρές \(AO=BO=CO=DO\) και τη γωνία μεταξύ τους \(\γωνία AOB=\γωνία COD\) . Επομένως, και \(AB=CD\) .

Θεώρημα

Αν η ακτίνα διχοτομεί τη χορδή, τότε είναι κάθετη σε αυτήν.

Ισχύει και το αντίστροφο: αν η ακτίνα είναι κάθετη στη χορδή, τότε στο σημείο τομής τη διχοτομεί.


Απόδειξη

1) Έστω \(AN=NB\) . Ας αποδείξουμε ότι \(OQ\perp AB\) .

Θεωρήστε \(\τρίγωνο AOB\) : είναι ισοσκελές, γιατί \(OA=OB\) – ακτίνες του κύκλου. Επειδή Το \(ON\) είναι η διάμεσος που τραβιέται στη βάση, μετά είναι και το ύψος, επομένως, \(ON\perp AB\) .

2) Έστω \(OQ\perp AB\) . Ας αποδείξουμε ότι \(AN=NB\) .

Ομοίως, το \(\τρίγωνο AOB\) είναι ισοσκελές, το \(ON\) είναι το ύψος, επομένως το \(ON\) είναι η διάμεσος. Επομένως, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Θεωρήματα που σχετίζονται με τα μήκη των τμημάτων)))\]

Θεώρημα για το γινόμενο τμημάτων χορδής

Αν δύο χορδές ενός κύκλου τέμνονται, τότε το γινόμενο των τμημάτων της μιας χορδής είναι ίσο με το γινόμενο των τμημάτων της άλλης χορδής.

Απόδειξη

Αφήστε τις συγχορδίες \(AB\) και \(CD\) να τέμνονται στο σημείο \(E\) .

Θεωρήστε τα τρίγωνα \(ADE\) και \(CBE\) . Σε αυτά τα τρίγωνα, οι γωνίες \(1\) και \(2\) είναι ίσες, αφού είναι εγγεγραμμένες και στηρίζονται στο ίδιο τόξο \(BD\), και οι γωνίες \(3\) και \(4\) είναι ίσες ως κάθετη. Τα τρίγωνα \(ADE\) και \(CBE\) είναι παρόμοια (βάσει του πρώτου κριτηρίου ομοιότητας των τριγώνων).

Επειτα \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), από το οποίο \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Θεώρημα εφαπτομένης και τέμνουσας

Το τετράγωνο ενός εφαπτομένου τμήματος είναι ίσο με το γινόμενο μιας τομής και του εξωτερικού τμήματός της.

Απόδειξη

Αφήστε την εφαπτομένη να περάσει από το σημείο \(M\) και αγγίξτε τον κύκλο στο σημείο \(A\) . Αφήστε την τομή να περάσει από το σημείο \(M\) και τέμνετε τον κύκλο στα σημεία \(B\) και \(C\) έτσι ώστε \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .


Θεωρήστε τα τρίγωνα \(MBA\) και \(MCA\) : Η \(\γωνία M\) είναι κοινή, \(\γωνία BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Σύμφωνα με το θεώρημα για τη γωνία μεταξύ εφαπτομένης και τομής, \(\γωνία BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \γωνία BCA\). Έτσι, τα τρίγωνα \(MBA\) και \(MCA\) είναι παρόμοια σε δύο γωνίες.

Από την ομοιότητα των τριγώνων \(MBA\) και \(MCA\) έχουμε: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), που ισοδυναμεί με \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Συνέπεια

Το γινόμενο μιας τομής που σύρεται από το σημείο \(O\) από το εξωτερικό της μέρος δεν εξαρτάται από την επιλογή της τομής που λαμβάνεται από το σημείο \(O\) .