ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ - μια αναπαράσταση ενός φαινομένου ή μιας διαδικασίας που μελετάται σε συγκεκριμένες επιστημονικές γνώσεις στη γλώσσα των μαθηματικών εννοιών. Σε αυτή την περίπτωση, ένας αριθμός ιδιοτήτων του υπό μελέτη φαινομένου αναμένεται να προκύψει μέσω της μελέτης των πραγματικών μαθηματικών χαρακτηριστικών του μοντέλου. Κατασκευή Μ.μ. τις περισσότερες φορές υπαγορεύεται από την ανάγκη να υπάρξει μια ποσοτική ανάλυση των φαινομένων και των διαδικασιών που μελετώνται, χωρίς την οποία, με τη σειρά της, είναι αδύνατο να γίνουν πειραματικά επαληθεύσιμες προβλέψεις για την πορεία τους.

Η διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης, κατά κανόνα, περνά από τα ακόλουθα στάδια. Στο πρώτο στάδιο, προσδιορίζονται οι συνδέσεις μεταξύ των κύριων παραμέτρων του μελλοντικού M.m. Μιλάμε πρωτίστως για ποιοτική ανάλυση των υπό μελέτη φαινομένων και διαμόρφωση προτύπων που συνδέουν τα κύρια αντικείμενα της έρευνας. Σε αυτή τη βάση, προσδιορίζονται αντικείμενα που μπορούν να περιγραφούν ποσοτικά. Το στάδιο τελειώνει με την κατασκευή ενός υποθετικού μοντέλου, με άλλα λόγια, καταγράφοντας στη γλώσσα των μαθηματικών εννοιών ποιοτικές ιδέες για τις σχέσεις μεταξύ των κύριων αντικειμένων του μοντέλου, οι οποίες μπορούν να χαρακτηριστούν ποσοτικά.

Στο δεύτερο στάδιο μελετώνται τα πραγματικά μαθηματικά προβλήματα στα οποία οδηγεί το κατασκευασμένο υποθετικό μοντέλο. Το κύριο πράγμα σε αυτό το στάδιο είναι να ληφθούν εμπειρικά επαληθεύσιμες θεωρητικές συνέπειες (λύση του άμεσου προβλήματος) ως αποτέλεσμα μαθηματικής ανάλυσης του μοντέλου. Ταυτόχρονα, δεν είναι λίγες οι περιπτώσεις που για την κατασκευή και μελέτη Μ.μ. σε διαφορετικούς τομείς συγκεκριμένης επιστημονικής γνώσης, χρησιμοποιείται η ίδια μαθηματική συσκευή (για παράδειγμα, διαφορικές εξισώσεις) και προκύπτουν μαθηματικά προβλήματα του ίδιου τύπου, αν και πολύ μη ασήμαντα σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση. Επιπλέον, σε αυτό το στάδιο, η χρήση υπολογιστών υψηλής ταχύτητας (υπολογιστές) αποκτά μεγάλη σημασία, γεγονός που καθιστά δυνατή την απόκτηση κατά προσέγγιση λύσεων σε προβλήματα, συχνά αδύνατη στο πλαίσιο των καθαρών μαθηματικών, με βαθμό ακρίβειας που προηγουμένως ήταν απρόσιτος ( χωρίς τη χρήση υπολογιστή).

Το τρίτο στάδιο χαρακτηρίζεται από δραστηριότητες εντοπισμού του βαθμού επάρκειας της κατασκευασμένης υποθετικής Μ.Μ. εκείνα τα φαινόμενα και τις διαδικασίες για τις οποίες προοριζόταν να μελετηθεί. Δηλαδή, εάν έχουν καθοριστεί όλες οι παράμετροι του μοντέλου, οι ερευνητές προσπαθούν να βρουν σε ποιο βαθμό, εντός των ορίων της παρατηρητικής ακρίβειας, τα αποτελέσματά τους είναι συνεπή με τις θεωρητικές συνέπειες του μοντέλου. Οι αποκλίσεις πέρα ​​από τα όρια της ακρίβειας παρατήρησης υποδηλώνουν την ανεπάρκεια του μοντέλου. Ωστόσο, υπάρχουν συχνά περιπτώσεις που, κατά την κατασκευή ενός μοντέλου, παραμένουν ορισμένες από τις παραμέτρους του

αβέβαιος. Τα προβλήματα στα οποία τα παραμετρικά χαρακτηριστικά του μοντέλου καθορίζονται με τέτοιο τρόπο ώστε οι θεωρητικές συνέπειες να είναι συγκρίσιμες, εντός των ορίων της παρατηρητικής ακρίβειας, με τα αποτελέσματα των εμπειρικών δοκιμών ονομάζονται αντίστροφα προβλήματα.

Στο τέταρτο στάδιο, λαμβάνοντας υπόψη τον προσδιορισμό του βαθμού επάρκειας του κατασκευασμένου υποθετικού μοντέλου και την εμφάνιση νέων πειραματικών δεδομένων για τα υπό μελέτη φαινόμενα, λαμβάνει χώρα μεταγενέστερη ανάλυση και τροποποίηση του μοντέλου. Εδώ η απόφαση που λαμβάνεται ποικίλλει από την άνευ όρων απόρριψη των εφαρμοσμένων μαθηματικών εργαλείων έως την αποδοχή του κατασκευασμένου μοντέλου ως θεμέλιο για την κατασκευή μιας θεμελιωδώς νέας επιστημονικής θεωρίας.

Πρώτη Μ.μ. εμφανίστηκε στην αρχαία επιστήμη. Έτσι, για να μοντελοποιήσει το ηλιακό σύστημα, ο Έλληνας μαθηματικός και αστρονόμος Εύδοξος έδωσε σε κάθε πλανήτη τέσσερις σφαίρες, ο συνδυασμός των κινήσεων των οποίων δημιούργησε έναν ιππόποδα - μια μαθηματική καμπύλη παρόμοια με την παρατηρούμενη κίνηση του πλανήτη. Επειδή, όμως, αυτό το μοντέλο δεν μπορούσε να εξηγήσει όλες τις παρατηρούμενες ανωμαλίες στην κίνηση των πλανητών, αντικαταστάθηκε αργότερα από το επικυκλικό μοντέλο του Απολλώνιου της Πέργας. Το τελευταίο μοντέλο χρησιμοποιήθηκε στις μελέτες του από τον Ίππαρχο και στη συνέχεια, αφού το υπέβαλε σε κάποια τροποποίηση, από τον Πτολεμαίο. Αυτό το μοντέλο, όπως και οι προκάτοχοί του, βασίστηκε στην πεποίθηση ότι οι πλανήτες υφίστανται ομοιόμορφες κυκλικές κινήσεις, η επικάλυψη των οποίων εξηγούσε τις φαινομενικές ανωμαλίες. Πρέπει να σημειωθεί ότι το μοντέλο του Κοπέρνικου ήταν θεμελιωδώς νέο μόνο με ποιοτική έννοια (αλλά όχι ως Μ.Μ.). Και μόνο ο Kepler, με βάση τις παρατηρήσεις του Tycho Brahe, κατασκεύασε ένα νέο M.M. Ηλιακό σύστημα, αποδεικνύοντας ότι οι πλανήτες κινούνται όχι σε κυκλικές, αλλά σε ελλειπτικές τροχιές.

Επί του παρόντος, τα πιο κατάλληλα θεωρούνται αυτά που κατασκευάζονται για να περιγράφουν μηχανικά και φυσικά φαινόμενα. Επί της επάρκειας του Μ.μ. εκτός της φυσικής μπορεί κανείς, με ορισμένες εξαιρέσεις, να μιλήσει με αρκετή προσοχή. Ωστόσο, η διόρθωση της υποθετικής φύσης, και συχνά απλώς ανεπάρκειας του Μ.μ. σε διάφορους γνωστικούς τομείς, δεν πρέπει να υποτιμάται ο ρόλος τους στην ανάπτυξη της επιστήμης. Υπάρχουν συχνά περιπτώσεις όπου ακόμη και μοντέλα που απέχουν πολύ από το να είναι επαρκή έχουν οργανώσει σημαντικά και υποκινήσουν περαιτέρω έρευνα, μαζί με λανθασμένα συμπεράσματα που περιείχαν επίσης κόκκους αλήθειας που δικαιολογούσαν πλήρως τις προσπάθειες που καταβλήθηκαν για την ανάπτυξη αυτών των μοντέλων.

Βιβλιογραφία:

Μαθηματική μοντελοποίηση. Μ., 1979;

Ruzavin G.I. Μαθηματοποίηση της επιστημονικής γνώσης. Μ., 1984;

Tutubalin V.N., Barabasheva Yu.M., Grigoryan A.A., Devyatkova G.N., Uger E.G. Διαφορικές εξισώσεις στην οικολογία: ιστορικός και μεθοδολογικός προβληματισμός // Ερωτήσεις της ιστορίας της φυσικής επιστήμης και τεχνολογίας. 1997. Νο 3.

Λεξικό φιλοσοφικών όρων. Επιστημονική έκδοση του Καθηγητή Β.Γ. Κουζνέτσοβα. Μ., INFRA-M, 2007, σελ. 310-311.

Σύμφωνα με το εγχειρίδιο των Sovetov και Yakovlev: «ένα μοντέλο (λατινικό modulus - μέτρο) είναι ένα αντικείμενο υποκατάστασης του αρχικού αντικειμένου, το οποίο εξασφαλίζει τη μελέτη ορισμένων ιδιοτήτων του πρωτοτύπου». (σελ. 6) "Η αντικατάσταση ενός αντικειμένου με ένα άλλο προκειμένου να ληφθούν πληροφορίες σχετικά με τις πιο σημαντικές ιδιότητες του αρχικού αντικειμένου χρησιμοποιώντας ένα αντικείμενο μοντέλου ονομάζεται μοντελοποίηση." (σελ. 6) «Με τη μαθηματική μοντελοποίηση κατανοούμε τη διαδικασία δημιουργίας μιας αντιστοιχίας σε ένα δεδομένο πραγματικό αντικείμενο με ένα συγκεκριμένο μαθηματικό αντικείμενο, που ονομάζεται μαθηματικό μοντέλο, και τη μελέτη αυτού του μοντέλου, που μας επιτρέπει να αποκτήσουμε τα χαρακτηριστικά του πραγματικού αντικείμενο υπό εξέταση. Ο τύπος του μαθηματικού μοντέλου εξαρτάται τόσο από τη φύση του πραγματικού αντικειμένου όσο και από τις εργασίες μελέτης του αντικειμένου και από την απαιτούμενη αξιοπιστία και ακρίβεια για την επίλυση αυτού του προβλήματος».

Τέλος, ο πιο συνοπτικός ορισμός ενός μαθηματικού μοντέλου: «Μια εξίσωση που εκφράζει μια ιδέα».

Ταξινόμηση μοντέλων

Επίσημη ταξινόμηση μοντέλων

Η επίσημη ταξινόμηση των μοντέλων βασίζεται στην ταξινόμηση των μαθηματικών εργαλείων που χρησιμοποιούνται. Συχνά κατασκευάζεται με τη μορφή διχοτομιών. Για παράδειγμα, ένα από τα δημοφιλή σύνολα διχοτομιών:

και ούτω καθεξής. Κάθε κατασκευασμένο μοντέλο είναι γραμμικό ή μη γραμμικό, ντετερμινιστικό ή στοχαστικό, ... Φυσικά, είναι δυνατοί και μικτές τύποι: συγκεντρωμένοι από μια άποψη (από άποψη παραμέτρων), κατανεμημένοι σε άλλη κ.λπ.

Ταξινόμηση ανάλογα με τον τρόπο αναπαράστασης του αντικειμένου

Μαζί με την επίσημη ταξινόμηση, τα μοντέλα διαφέρουν στον τρόπο με τον οποίο αντιπροσωπεύουν ένα αντικείμενο:

• Δομικά ή λειτουργικά μοντέλα

Δομικά μοντέλααντιπροσωπεύουν ένα αντικείμενο ως σύστημα με τη δική του δομή και μηχανισμό λειτουργίας. Λειτουργικά μοντέλαμην χρησιμοποιείτε τέτοιες αναπαραστάσεις και αντικατοπτρίζουν μόνο την εξωτερικά αντιληπτή συμπεριφορά (λειτουργία) του αντικειμένου. Στην ακραία τους έκφραση, ονομάζονται και μοντέλα «μαύρου κουτιού». Είναι επίσης δυνατοί συνδυασμένοι τύποι μοντέλων, οι οποίοι μερικές φορές ονομάζονται " γκρι κουτί».

Περιεχόμενο και επίσημα μοντέλα

Σχεδόν όλοι οι συγγραφείς που περιγράφουν τη διαδικασία της μαθηματικής μοντελοποίησης υποδεικνύουν ότι πρώτα κατασκευάζεται μια ειδική ιδανική δομή, μοντέλο περιεχομένου. Δεν υπάρχει καθιερωμένη ορολογία εδώ, και άλλοι συγγραφείς αποκαλούν αυτό το ιδανικό αντικείμενο εννοιολογικό μοντέλο , κερδοσκοπικό μοντέλοή προμοντέλο. Στην περίπτωση αυτή καλείται η τελική μαθηματική κατασκευή επίσημο μοντέλοή απλώς ένα μαθηματικό μοντέλο που προκύπτει ως αποτέλεσμα της τυποποίησης ενός δεδομένου ουσιαστικού μοντέλου (προ-μοντέλο). Η κατασκευή ενός ουσιαστικού μοντέλου μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας ένα σύνολο έτοιμων εξιδανικεύσεων, όπως στη μηχανική, όπου τα ιδανικά ελατήρια, τα άκαμπτα σώματα, τα ιδανικά εκκρεμή, τα ελαστικά μέσα κ.λπ. παρέχουν έτοιμα δομικά στοιχεία για ουσιαστική μοντελοποίηση. Ωστόσο, σε τομείς γνώσης όπου δεν υπάρχουν πλήρως ολοκληρωμένες επισημοποιημένες θεωρίες (η αιχμή της φυσικής, της βιολογίας, της οικονομίας, της κοινωνιολογίας, της ψυχολογίας και των περισσότερων άλλων πεδίων), η δημιουργία ουσιαστικών μοντέλων γίνεται δραματικά πιο δύσκολη.

Ταξινόμηση περιεχομένου μοντέλων

Καμία υπόθεση στην επιστήμη δεν μπορεί να αποδειχθεί μια για πάντα. Ο Richard Feynman το διατύπωσε πολύ ξεκάθαρα:

«Έχουμε πάντα την ευκαιρία να διαψεύσουμε μια θεωρία, αλλά σημειώστε ότι δεν μπορούμε ποτέ να αποδείξουμε ότι είναι σωστή. Ας υποθέσουμε ότι έχετε υποβάλει μια επιτυχημένη υπόθεση, υπολογίσατε πού οδηγεί και διαπιστώσατε ότι όλες οι συνέπειές της επιβεβαιώνονται πειραματικά. Αυτό σημαίνει ότι η θεωρία σας είναι σωστή; Όχι, σημαίνει απλώς ότι δεν κατάφερες να το διαψεύσεις».

Εάν κατασκευαστεί ένα μοντέλο του πρώτου τύπου, αυτό σημαίνει ότι γίνεται προσωρινά αποδεκτό ως αλήθεια και μπορεί κανείς να επικεντρωθεί σε άλλα προβλήματα. Ωστόσο, αυτό δεν μπορεί να είναι ένα σημείο έρευνας, αλλά μόνο μια προσωρινή παύση: η κατάσταση ενός μοντέλου του πρώτου τύπου μπορεί να είναι μόνο προσωρινή.

Τύπος 2: Φαινομενολογικό μοντέλο (συμπεριφερόμαστε σαν…)

Ένα φαινομενολογικό μοντέλο περιέχει έναν μηχανισμό για την περιγραφή ενός φαινομένου. Ωστόσο, αυτός ο μηχανισμός δεν είναι αρκετά πειστικός, δεν μπορεί να επιβεβαιωθεί επαρκώς από τα διαθέσιμα δεδομένα ή δεν ταιριάζει καλά με τις υπάρχουσες θεωρίες και τη συσσωρευμένη γνώση για το αντικείμενο. Επομένως, τα φαινομενολογικά μοντέλα έχουν το καθεστώς των προσωρινών λύσεων. Πιστεύεται ότι η απάντηση είναι ακόμη άγνωστη και η αναζήτηση για τους «αληθινούς μηχανισμούς» πρέπει να συνεχιστεί. Το Peierls περιλαμβάνει, για παράδειγμα, το θερμιδικό μοντέλο και το μοντέλο κουάρκ των στοιχειωδών σωματιδίων ως δεύτερο τύπο.

Ο ρόλος του μοντέλου στην έρευνα μπορεί να αλλάξει με την πάροδο του χρόνου και μπορεί να συμβεί νέα δεδομένα και θεωρίες να επιβεβαιώσουν φαινομενολογικά μοντέλα και να προωθηθούν στην κατάσταση μιας υπόθεσης. Ομοίως, η νέα γνώση μπορεί σταδιακά να έρθει σε σύγκρουση με μοντέλα-υποθέσεις του πρώτου τύπου και να μεταφραστεί στο δεύτερο. Έτσι, το μοντέλο κουάρκ περνά σταδιακά στην κατηγορία των υποθέσεων. Ο ατομισμός στη φυσική προέκυψε ως προσωρινή λύση, αλλά με την πορεία της ιστορίας έγινε ο πρώτος τύπος. Αλλά τα μοντέλα αιθέρα έχουν περάσει από τον τύπο 1 στον τύπο 2 και πλέον είναι εκτός επιστήμης.

Η ιδέα της απλοποίησης είναι πολύ δημοφιλής κατά την κατασκευή μοντέλων. Αλλά η απλοποίηση έρχεται με διάφορες μορφές. Ο Peierls προσδιορίζει τρεις τύπους απλοποιήσεων στη μοντελοποίηση.

Τύπος 3: Προσέγγιση (θεωρούμε κάτι πολύ μεγάλο ή πολύ μικρό)

Εάν είναι δυνατό να κατασκευαστούν εξισώσεις που να περιγράφουν το υπό μελέτη σύστημα, αυτό δεν σημαίνει ότι μπορούν να λυθούν ακόμη και με τη βοήθεια υπολογιστή. Μια κοινή τεχνική σε αυτή την περίπτωση είναι η χρήση προσεγγίσεων (μοντέλα τύπου 3). Ανάμεσα τους γραμμικά μοντέλα απόκρισης. Οι εξισώσεις αντικαθίστανται από γραμμικές. Ένα τυπικό παράδειγμα είναι ο νόμος του Ohm.

Εδώ έρχεται ο Τύπος 8, ο οποίος είναι ευρέως διαδεδομένος σε μαθηματικά μοντέλα βιολογικών συστημάτων.

Τύπος 8: Επίδειξη χαρακτηριστικών (το κύριο πράγμα είναι να δείξουμε την εσωτερική συνέπεια της δυνατότητας)

Αυτά είναι επίσης πειράματα σκέψηςμε φανταστικές οντότητες που το αποδεικνύουν υποτιθέμενο φαινόμενοσυνεπής με βασικές αρχές και εσωτερικά συνεπής. Αυτή είναι η κύρια διαφορά από τα μοντέλα τύπου 7, τα οποία αποκαλύπτουν κρυφές αντιφάσεις.

Ένα από τα πιο διάσημα από αυτά τα πειράματα είναι η γεωμετρία του Lobachevsky (ο Lobachevsky την ονόμασε «φανταστική γεωμετρία»). Ένα άλλο παράδειγμα είναι η μαζική παραγωγή τυπικά κινητικών μοντέλων χημικών και βιολογικών κραδασμών, αυτοκυμάτων κ.λπ. Το παράδοξο Einstein-Podolsky-Rosen επινοήθηκε ως μοντέλο τύπου 7 για να καταδείξει την ασυνέπεια της κβαντικής μηχανικής. Με εντελώς απρογραμμάτιστο τρόπο, τελικά μετατράπηκε σε μοντέλο τύπου 8 - μια επίδειξη της δυνατότητας κβαντικής τηλεμεταφοράς πληροφοριών.

Παράδειγμα

Σκεφτείτε ένα μηχανικό σύστημα που αποτελείται από ένα ελατήριο, προσαρτημένο στο ένα άκρο, και μια μάζα μάζας, συνδεδεμένη στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου. Θα υποθέσουμε ότι το φορτίο μπορεί να κινηθεί μόνο προς την κατεύθυνση του άξονα του ελατηρίου (για παράδειγμα, η κίνηση συμβαίνει κατά μήκος της ράβδου). Ας φτιάξουμε ένα μαθηματικό μοντέλο αυτού του συστήματος. Θα περιγράψουμε την κατάσταση του συστήματος από την απόσταση από το κέντρο του φορτίου έως τη θέση ισορροπίας του. Ας περιγράψουμε την αλληλεπίδραση του ελατηρίου και του φορτίου χρησιμοποιώντας Ο νόμος του Χουκ() και μετά χρησιμοποιήστε τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για να τον εκφράσετε με τη μορφή διαφορικής εξίσωσης:

όπου σημαίνει η δεύτερη παράγωγος του ως προς το χρόνο: .

Η εξίσωση που προκύπτει περιγράφει το μαθηματικό μοντέλο του εξεταζόμενου φυσικού συστήματος. Αυτό το μοντέλο ονομάζεται «αρμονικός ταλαντωτής».

Σύμφωνα με την επίσημη ταξινόμηση, αυτό το μοντέλο είναι γραμμικό, ντετερμινιστικό, δυναμικό, συγκεντρωμένο, συνεχές. Στη διαδικασία κατασκευής του κάναμε πολλές υποθέσεις (για την απουσία εξωτερικών δυνάμεων, την απουσία τριβής, τη μικρότητα των αποκλίσεων κ.λπ.), οι οποίες στην πραγματικότητα μπορεί να μην ικανοποιούνται.

Σε σχέση με την πραγματικότητα, αυτό είναι συνήθως ένα μοντέλο τύπου 4 απλοποίηση(«θα παραλείψουμε κάποιες λεπτομέρειες για λόγους σαφήνειας»), καθώς ορισμένα βασικά καθολικά χαρακτηριστικά (για παράδειγμα, διασπορά) παραλείπονται. Σε κάποια προσέγγιση (ας πούμε, ενώ η απόκλιση του φορτίου από την ισορροπία είναι μικρή, με χαμηλή τριβή, για όχι πολύ χρόνο και υπόκειται σε ορισμένες άλλες συνθήκες), ένα τέτοιο μοντέλο περιγράφει αρκετά καλά ένα πραγματικό μηχανικό σύστημα, καθώς οι απορριφθέντες παράγοντες έχουν αμελητέα επίδραση στη συμπεριφορά του . Ωστόσο, το μοντέλο μπορεί να βελτιωθεί λαμβάνοντας υπόψη ορισμένους από αυτούς τους παράγοντες. Αυτό θα οδηγήσει σε ένα νέο μοντέλο, με ευρύτερο (αν και πάλι περιορισμένο) πεδίο εφαρμογής.

Ωστόσο, κατά τη βελτίωση του μοντέλου, η πολυπλοκότητα της μαθηματικής του έρευνας μπορεί να αυξηθεί σημαντικά και να καταστήσει το μοντέλο ουσιαστικά άχρηστο. Συχνά, ένα απλούστερο μοντέλο επιτρέπει την καλύτερη και βαθύτερη εξερεύνηση ενός πραγματικού συστήματος από ένα πιο σύνθετο (και, τυπικά, «πιο σωστό»).

Εάν εφαρμόσουμε το μοντέλο του αρμονικού ταλαντωτή σε αντικείμενα μακριά από τη φυσική, η ουσιαστική του κατάσταση μπορεί να είναι διαφορετική. Για παράδειγμα, κατά την εφαρμογή αυτού του μοντέλου σε βιολογικούς πληθυσμούς, πιθανότατα θα πρέπει να ταξινομηθεί ως τύπος 6 αναλογία("ας λάβουμε υπόψη μόνο ορισμένα χαρακτηριστικά").

Σκληρά και μαλακά μοντέλα

Ο αρμονικός ταλαντωτής είναι ένα παράδειγμα του λεγόμενου «σκληρού» μοντέλου. Λαμβάνεται ως αποτέλεσμα μιας ισχυρής εξιδανίκευσης ενός πραγματικού φυσικού συστήματος. Για να επιλυθεί το ζήτημα της εφαρμογής του, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε πόσο σημαντικοί είναι οι παράγοντες που έχουμε παραμελήσει. Με άλλα λόγια, είναι απαραίτητο να μελετηθεί το «μαλακό» μοντέλο, το οποίο προκύπτει από μια μικρή διαταραχή του «σκληρού». Μπορεί να δοθεί, για παράδειγμα, από την ακόλουθη εξίσωση:

Εδώ είναι μια συνάρτηση που μπορεί να λάβει υπόψη τη δύναμη τριβής ή την εξάρτηση του συντελεστή ακαμψίας του ελατηρίου από το βαθμό τάνυσης του - κάποια μικρή παράμετρος. Αυτή τη στιγμή δεν μας ενδιαφέρει η ρητή μορφή της συνάρτησης. Εάν αποδείξουμε ότι η συμπεριφορά του μαλακού μοντέλου δεν διαφέρει θεμελιωδώς από τη συμπεριφορά του σκληρού (ανεξάρτητα από τον ρητό τύπο των παραγόντων που διαταράσσουν, αν είναι αρκετά μικροί), το πρόβλημα θα περιοριστεί στη μελέτη του σκληρού μοντέλου. Διαφορετικά, η εφαρμογή των αποτελεσμάτων που προέκυψαν από τη μελέτη του άκαμπτου μοντέλου θα απαιτήσει πρόσθετη έρευνα. Για παράδειγμα, η λύση της εξίσωσης ενός αρμονικού ταλαντωτή είναι συναρτήσεις της μορφής, δηλαδή ταλαντώσεις με σταθερό πλάτος. Από αυτό προκύπτει ότι ένας πραγματικός ταλαντωτής θα ταλαντώνεται επ' αόριστον με σταθερό πλάτος; Όχι, γιατί θεωρώντας ένα σύστημα με αυθαίρετα μικρές τριβές (πάντα παρόν σε πραγματικό σύστημα), έχουμε απόσβεση ταλαντώσεων. Η συμπεριφορά του συστήματος έχει αλλάξει ποιοτικά.

Εάν ένα σύστημα διατηρεί την ποιοτική του συμπεριφορά κάτω από μικρές διαταραχές, λέγεται ότι είναι δομικά σταθερό. Ένας αρμονικός ταλαντωτής είναι ένα παράδειγμα δομικά ασταθούς (μη τραχύ) συστήματος. Ωστόσο, αυτό το μοντέλο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη διαδικασιών για περιορισμένες χρονικές περιόδους.

Ευελιξία μοντέλων

Τα πιο σημαντικά μαθηματικά μοντέλα έχουν συνήθως τη σημαντική ιδιότητα ευστροφία: Θεμελιωδώς διαφορετικά πραγματικά φαινόμενα μπορούν να περιγραφούν από το ίδιο μαθηματικό μοντέλο. Για παράδειγμα, ένας αρμονικός ταλαντωτής περιγράφει όχι μόνο τη συμπεριφορά ενός φορτίου σε ένα ελατήριο, αλλά και άλλες ταλαντωτικές διεργασίες, συχνά εντελώς διαφορετικής φύσης: μικρές ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς, διακυμάνσεις στη στάθμη ενός υγρού σε ένα δοχείο σχήματος Α. , ή μια αλλαγή στην ισχύ του ρεύματος σε ένα κύκλωμα ταλάντωσης. Έτσι, μελετώντας ένα μαθηματικό μοντέλο, μελετάμε αμέσως μια ολόκληρη κατηγορία φαινομένων που περιγράφονται από αυτό. Είναι αυτός ο ισομορφισμός των νόμων που εκφράζεται από μαθηματικά μοντέλα σε διάφορα τμήματα της επιστημονικής γνώσης που ενέπνευσε τον Ludwig von Bertalanffy να δημιουργήσει τη «Γενική Θεωρία των Συστημάτων».

Άμεσα και αντίστροφα προβλήματα μαθηματικής μοντελοποίησης

Υπάρχουν πολλά προβλήματα που σχετίζονται με τη μαθηματική μοντελοποίηση. Πρώτα, πρέπει να καταλήξετε σε ένα βασικό διάγραμμα του μοντελοποιημένου αντικειμένου, να το αναπαράγετε στο πλαίσιο των εξιδανικεύσεων αυτής της επιστήμης. Έτσι, ένα βαγόνι τρένου μετατρέπεται σε ένα σύστημα πλακών και πιο πολύπλοκων σωμάτων από διαφορετικά υλικά, κάθε υλικό καθορίζεται ως η τυπική μηχανική εξιδανίκευση του (πυκνότητα, συντελεστές ελαστικότητας, τυπικά χαρακτηριστικά αντοχής), μετά την οποία συντάσσονται εξισώσεις και στην πορεία ορισμένες λεπτομέρειες απορρίπτονται ως ασήμαντες, γίνονται υπολογισμοί, συγκρίνονται με μετρήσεις, το μοντέλο βελτιώνεται κ.λπ. Ωστόσο, για να αναπτυχθούν τεχνολογίες μαθηματικής μοντελοποίησης, είναι χρήσιμο να αποσυναρμολογηθεί αυτή η διαδικασία στα κύρια συστατικά της.

Παραδοσιακά, υπάρχουν δύο κύριες κατηγορίες προβλημάτων που σχετίζονται με τα μαθηματικά μοντέλα: άμεσα και αντίστροφα.

Άμεση εργασία: η δομή του μοντέλου και όλες οι παράμετροί του θεωρούνται γνωστές, το κύριο καθήκον είναι η διεξαγωγή μελέτης του μοντέλου για την εξαγωγή χρήσιμης γνώσης για το αντικείμενο. Τι στατικό φορτίο θα αντέξει η γέφυρα; Πώς θα αντιδράσει σε ένα δυναμικό φορτίο (για παράδειγμα, στην πορεία μιας ομάδας στρατιωτών ή στο πέρασμα ενός τρένου με διαφορετικές ταχύτητες), πώς το αεροπλάνο θα ξεπεράσει το ηχητικό φράγμα, εάν θα διαλυθεί από το φτερούγισμα - αυτά είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα άμεσου προβλήματος. Η ρύθμιση του σωστού άμεσου προβλήματος (κάνοντας τη σωστή ερώτηση) απαιτεί ιδιαίτερη δεξιότητα. Εάν δεν τεθούν οι σωστές ερωτήσεις, μια γέφυρα μπορεί να καταρρεύσει, ακόμα κι αν έχει κατασκευαστεί ένα καλό μοντέλο για τη συμπεριφορά της. Έτσι, το 1879, μια μεταλλική γέφυρα πέρα ​​από τον ποταμό Tay κατέρρευσε στη Μεγάλη Βρετανία, οι σχεδιαστές της οποίας κατασκεύασαν ένα μοντέλο της γέφυρας, υπολόγισαν ότι έχει 20πλάσιο συντελεστή ασφαλείας για τη δράση του ωφέλιμου φορτίου, αλλά ξέχασαν τους ανέμους φυσάει συνεχώς σε εκείνα τα μέρη. Και μετά από ενάμιση χρόνο κατέρρευσε.

Στην απλούστερη περίπτωση (μια εξίσωση ταλαντωτή, για παράδειγμα), το άμεσο πρόβλημα είναι πολύ απλό και ανάγεται σε μια ρητή λύση αυτής της εξίσωσης.

Αντίστροφο πρόβλημα: πολλά πιθανά μοντέλα είναι γνωστά, ένα συγκεκριμένο μοντέλο πρέπει να επιλεγεί με βάση πρόσθετα δεδομένα σχετικά με το αντικείμενο. Τις περισσότερες φορές, η δομή του μοντέλου είναι γνωστή και πρέπει να προσδιοριστούν ορισμένες άγνωστες παράμετροι. Οι πρόσθετες πληροφορίες μπορεί να αποτελούνται από πρόσθετα εμπειρικά δεδομένα ή απαιτήσεις για το αντικείμενο ( πρόβλημα σχεδιασμού). Πρόσθετα δεδομένα μπορούν να φτάσουν ανεξάρτητα από τη διαδικασία επίλυσης του αντιστρόφου προβλήματος ( παθητική παρατήρηση) ή είναι αποτέλεσμα πειράματος ειδικά σχεδιασμένου κατά τη διάρκεια της λύσης ( ενεργητική επιτήρηση).

Ένα από τα πρώτα παραδείγματα αριστοτεχνικής λύσης σε ένα αντίστροφο πρόβλημα με την πληρέστερη χρήση των διαθέσιμων δεδομένων ήταν η μέθοδος που κατασκεύασε ο I. Newton για την ανακατασκευή των δυνάμεων τριβής από τις παρατηρούμενες αποσβεσμένες ταλαντώσεις.

Ένα άλλο παράδειγμα είναι η μαθηματική στατιστική. Το καθήκον αυτής της επιστήμης είναι να αναπτύξει μεθόδους για την καταγραφή, την περιγραφή και την ανάλυση παρατηρητικών και πειραματικών δεδομένων προκειμένου να χτίσει πιθανολογικά μοντέλα μαζικών τυχαίων φαινομένων. Εκείνοι. το σύνολο των πιθανών μοντέλων περιορίζεται σε πιθανοτικά μοντέλα. Σε συγκεκριμένες εργασίες, το σύνολο των μοντέλων είναι πιο περιορισμένο.

Συστήματα προσομοίωσης υπολογιστών

Για την υποστήριξη της μαθηματικής μοντελοποίησης, έχουν αναπτυχθεί συστήματα μαθηματικών υπολογιστών, για παράδειγμα, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim κ.λπ. Σας επιτρέπουν να δημιουργείτε επίσημα και να μπλοκάρετε μοντέλα απλών και πολύπλοκων διαδικασιών και συσκευών και να αλλάζετε εύκολα τις παραμέτρους του μοντέλου κατά τη διάρκεια πρίπλασμα. Μπλοκ μοντέλααντιπροσωπεύονται από μπλοκ (τις περισσότερες φορές γραφικά), το σύνολο και η σύνδεση των οποίων καθορίζονται από το διάγραμμα μοντέλου.

Πρόσθετα παραδείγματα

Το μοντέλο του Μάλθους

Ο ρυθμός ανάπτυξης είναι ανάλογος με το σημερινό μέγεθος του πληθυσμού. Περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση

όπου καθορίζεται μια ορισμένη παράμετρος από τη διαφορά μεταξύ του ποσοστού γεννήσεων και του ποσοστού θνησιμότητας. Η λύση αυτής της εξίσωσης είναι μια εκθετική συνάρτηση. Εάν το ποσοστό γεννήσεων υπερβαίνει το ποσοστό θνησιμότητας (), το μέγεθος του πληθυσμού αυξάνεται απεριόριστα και πολύ γρήγορα. Είναι σαφές ότι στην πραγματικότητα αυτό δεν μπορεί να συμβεί λόγω περιορισμένων πόρων. Όταν επιτευχθεί ένα ορισμένο κρίσιμο μέγεθος πληθυσμού, το μοντέλο παύει να είναι επαρκές, καθώς δεν λαμβάνει υπόψη περιορισμένους πόρους. Μια βελτίωση του μοντέλου Malthus μπορεί να είναι ένα λογιστικό μοντέλο, το οποίο περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση Verhulst

πού είναι το μέγεθος του πληθυσμού «ισορροπίας», στο οποίο το ποσοστό γεννήσεων αντισταθμίζεται ακριβώς από το ποσοστό θνησιμότητας. Το μέγεθος του πληθυσμού σε ένα τέτοιο μοντέλο τείνει σε μια τιμή ισορροπίας και αυτή η συμπεριφορά είναι δομικά σταθερή.

Σύστημα αρπακτικών-θηραμάτων

Ας πούμε ότι δύο είδη ζώων ζουν σε μια συγκεκριμένη περιοχή: κουνέλια (τρώγοντας φυτά) και αλεπούδες (τρώγοντας κουνέλια). Αφήστε τον αριθμό των κουνελιών, τον αριθμό των αλεπούδων. Χρησιμοποιώντας το μοντέλο Malthus με τις απαραίτητες τροποποιήσεις για να ληφθεί υπόψη η κατανάλωση κουνελιών από αλεπούδες, φτάνουμε στο ακόλουθο σύστημα, που ονομάζεται μοντέλα Δίσκοι - Volterra:

Αυτό το σύστημα έχει μια κατάσταση ισορροπίας όταν ο αριθμός των κουνελιών και των αλεπούδων είναι σταθερός. Η απόκλιση από αυτή την κατάσταση έχει ως αποτέλεσμα διακυμάνσεις στον αριθμό των κουνελιών και των αλεπούδων, παρόμοιες με τις διακυμάνσεις ενός αρμονικού ταλαντωτή. Όπως και με τον αρμονικό ταλαντωτή, αυτή η συμπεριφορά δεν είναι δομικά σταθερή: μια μικρή αλλαγή στο μοντέλο (για παράδειγμα, λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμένους πόρους που απαιτούνται από τα κουνέλια) μπορεί να οδηγήσει σε ποιοτική αλλαγή στη συμπεριφορά. Για παράδειγμα, η κατάσταση ισορροπίας μπορεί να γίνει σταθερή και οι διακυμάνσεις στους αριθμούς θα εξαφανιστούν. Η αντίθετη κατάσταση είναι επίσης πιθανή, όταν οποιαδήποτε μικρή απόκλιση από τη θέση ισορροπίας θα οδηγήσει σε καταστροφικές συνέπειες, μέχρι την πλήρη εξαφάνιση ενός από τα είδη. Το μοντέλο Volterra-Lotka δεν απαντά στο ερώτημα ποιο από αυτά τα σενάρια υλοποιείται: απαιτείται πρόσθετη έρευνα εδώ.

Σημειώσεις

1. «Μια μαθηματική αναπαράσταση της πραγματικότητας» (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Για φιλοσοφικά ζητήματα της κυβερνητικής μοντελοποίησης. Μ., Γνώση, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Μοντελοποίηση συστημάτων: Proc. για πανεπιστήμια - 3η έκδ., αναθεωρημένη. και επιπλέον - Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 2001. - 343 σελ. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P.Μαθηματική μοντελοποίηση. Ιδέες. Μέθοδοι. Παραδείγματα. - 2η έκδ., αναθ. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Μύσκης Α. Δ., Στοιχεία της θεωρίας των μαθηματικών μοντέλων. - 3η έκδ., αναθ. - M.: KomKniga, 2007. - 192 με ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Μοντελοποίηση τεχνολογικών διαδικασιών: σχολικό βιβλίο / Α.Γ. Sevostyanov, P.A. Σεβοστιάνοφ. – Μ.: Ελαφριά και βιομηχανία τροφίμων, 1984. - 344 σελ.
7. Βικιλεξικό: μαθηματικό μοντέλο
8. CliffsNotes.com. Γλωσσάρι Επιστήμης της Γης. 20 Σεπτεμβρίου 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. «Μια θεωρία θεωρείται γραμμική ή μη γραμμική ανάλογα με το είδος της μαθηματικής συσκευής - γραμμικής ή μη- και τι είδους γραμμικά ή μη μαθηματικά μοντέλα χρησιμοποιεί. ...χωρίς να αρνούμαι το τελευταίο. Ένας σύγχρονος φυσικός, αν έπρεπε να ξαναδημιουργήσει τον ορισμό μιας τόσο σημαντικής οντότητας όπως η μη γραμμικότητα, πιθανότατα θα ενεργούσε διαφορετικά και, δίνοντας προτίμηση στη μη γραμμικότητα ως το πιο σημαντικό και διαδεδομένο από τα δύο αντίθετα, θα όριζε τη γραμμικότητα ως «όχι μη γραμμικότητα». Danilov Yu. A., Διαλέξεις για τη μη γραμμική δυναμική. Στοιχειώδης εισαγωγή. Σειρά "Συνέργεια: από το παρελθόν στο μέλλον". Έκδοση 2. - Μ.: URSS, 2006. - 208 σελ. ISBN 5-484-00183-8
11. «Τα δυναμικά συστήματα που μοντελοποιούνται από έναν πεπερασμένο αριθμό συνηθισμένων διαφορικών εξισώσεων ονομάζονται συγκεντρωμένα ή σημειακά συστήματα. Περιγράφονται χρησιμοποιώντας έναν πεπερασμένο χώρο φάσης και χαρακτηρίζονται από έναν πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας. Το ίδιο σύστημα υπό διαφορετικές συνθήκες μπορεί να θεωρηθεί είτε συγκεντρωμένο είτε κατανεμημένο. Τα μαθηματικά μοντέλα κατανεμημένων συστημάτων είναι μερικές διαφορικές εξισώσεις, ολοκληρωτικές εξισώσεις ή συνηθισμένες εξισώσεις καθυστέρησης. Ο αριθμός των βαθμών ελευθερίας ενός κατανεμημένου συστήματος είναι άπειρος και απαιτείται άπειρος αριθμός δεδομένων για να προσδιοριστεί η κατάστασή του.» Anishchenko V. S., Δυναμικά συστήματα, εκπαιδευτικό περιοδικό Soros, 1997, Αρ. 11, σελ. 77-84.
12. «Ανάλογα με τη φύση των διαδικασιών που μελετώνται στο σύστημα S, όλοι οι τύποι μοντελοποίησης μπορούν να χωριστούν σε ντετερμινιστικές και στοχαστικές, στατικές και δυναμικές, διακριτές, συνεχείς και διακριτές-συνεχείς. Η ντετερμινιστική μοντελοποίηση αντανακλά ντετερμινιστικές διεργασίες, δηλαδή διαδικασίες στις οποίες υποτίθεται ότι δεν υπάρχουν τυχαίες επιρροές. Η στοχαστική μοντελοποίηση απεικονίζει πιθανολογικές διαδικασίες και γεγονότα. ... Η στατική μοντελοποίηση χρησιμεύει για την περιγραφή της συμπεριφοράς ενός αντικειμένου σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή και η δυναμική μοντελοποίηση αντανακλά τη συμπεριφορά ενός αντικειμένου με την πάροδο του χρόνου. Η διακριτή μοντελοποίηση χρησιμοποιείται για να περιγράψει διαδικασίες που υποτίθεται ότι είναι διακριτές, αντίστοιχα, η συνεχής μοντελοποίηση μας επιτρέπει να αντικατοπτρίζουμε συνεχείς διεργασίες σε συστήματα και η διακριτή-συνεχής μοντελοποίηση χρησιμοποιείται για περιπτώσεις που θέλουν να τονίσουν την παρουσία τόσο διακριτών όσο και συνεχών διεργασιών. ” Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Συνήθως, ένα μαθηματικό μοντέλο αντικατοπτρίζει τη δομή (συσκευή) του μοντελοποιημένου αντικειμένου, τις ιδιότητες και τις σχέσεις των στοιχείων αυτού του αντικειμένου που είναι απαραίτητα για τους σκοπούς της έρευνας. ένα τέτοιο μοντέλο ονομάζεται δομικό. Εάν το μοντέλο αντικατοπτρίζει μόνο το πώς λειτουργεί το αντικείμενο - για παράδειγμα, πώς αντιδρά σε εξωτερικές επιρροές - τότε ονομάζεται λειτουργικό ή, μεταφορικά, μαύρο κουτί. Είναι επίσης δυνατά συνδυασμένα μοντέλα. Μύσκης Α. Δ. ISBN 978-5-484-00953-4
14. «Το προφανές, αλλά πιο σημαντικό αρχικό στάδιο της κατασκευής ή της επιλογής ενός μαθηματικού μοντέλου είναι η απόκτηση όσο το δυνατόν σαφέστερης εικόνας για το αντικείμενο που μοντελοποιείται και η τελειοποίηση του ουσιαστικού μοντέλου του, με βάση ανεπίσημες συζητήσεις. Δεν πρέπει να αφιερώσετε χρόνο και προσπάθεια σε αυτό το στάδιο· η επιτυχία ολόκληρης της μελέτης εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από αυτό. Έχει συμβεί περισσότερες από μία φορές σημαντική εργασία που δαπανήθηκε για την επίλυση ενός μαθηματικού προβλήματος να αποδειχθεί αναποτελεσματική ή ακόμη και χαμένη λόγω της ανεπαρκούς προσοχής σε αυτήν την πλευρά του θέματος». Μύσκης Α. Δ., Στοιχεία της θεωρίας των μαθηματικών μοντέλων. - 3η έκδ., αναθ. - Μ.: KomKniga, 2007. - 192 με ISBN 978-5-484-00953-4, σελ. 35.
15. « Περιγραφή του εννοιολογικού μοντέλου του συστήματος.Σε αυτό το υποστάδιο της οικοδόμησης ενός μοντέλου συστήματος: α) το εννοιολογικό μοντέλο M περιγράφεται με αφηρημένους όρους και έννοιες. β) δίνεται περιγραφή του μοντέλου χρησιμοποιώντας τυπικά μαθηματικά σχήματα. γ) οι υποθέσεις και οι υποθέσεις γίνονται τελικά αποδεκτές. δ) δικαιολογείται η επιλογή της διαδικασίας για την προσέγγιση πραγματικών διεργασιών κατά την κατασκευή ενός μοντέλου.» Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Μοντελοποίηση συστημάτων: Proc. για πανεπιστήμια - 3η έκδ., αναθεωρημένη. και επιπλέον - Μ.: Πιο ψηλά. σχολείο, 2001. - 343 σελ. ISBN 5-06-003860-2, σελ. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

Οδηγίες

Η μέθοδος της στατιστικής μοντελοποίησης (statistical testing) είναι ευρέως γνωστή ως μέθοδος Monte Carlo. Η μέθοδος αυτή αποτελεί ειδική περίπτωση μαθηματικής μοντελοποίησης και βασίζεται στη δημιουργία πιθανοτικών μοντέλων τυχαίων φαινομένων. Η βάση κάθε τυχαίας είναι μια τυχαία μεταβλητή ή μια τυχαία διαδικασία. Σε αυτή την περίπτωση, μια τυχαία διαδικασία από πιθανολογική άποψη περιγράφεται ως n-διάστατη τυχαία μεταβλητή. Η πλήρης πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής δίνεται από την πυκνότητα πιθανοτήτων της. Η γνώση αυτού του νόμου κατανομής επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει ψηφιακά μοντέλα τυχαίων διεργασιών σε έναν υπολογιστή, αντί για πειράματα πλήρους κλίμακας με αυτά. Όλα αυτά είναι δυνατά μόνο σε διακριτή μορφή και σε διακριτό χρόνο, ο οποίος πρέπει να λαμβάνεται υπόψη κατά τη δημιουργία στατικών μοντέλων.

Στη στατική μοντελοποίηση, θα πρέπει κανείς να απομακρυνθεί από την εξέταση ενός συγκεκριμένου φαινομένου, εστιάζοντας μόνο στα πιθανοτικά του χαρακτηριστικά. Αυτό καθιστά δυνατή τη χρήση απλών φαινομένων για μοντελοποίηση που έχουν πιθανολογικούς δείκτες παρόμοιους με το φαινόμενο που μοντελοποιείται. Για παράδειγμα, οποιαδήποτε γεγονότα συμβαίνουν με πιθανότητα 0,5 μπορούν να προσομοιωθούν με απλή ρίψη ενός συμμετρικού νομίσματος. Κάθε μεμονωμένο βήμα της στατιστικής μοντελοποίησης ονομάζεται κλήρωση. Έτσι, για να καθοριστεί η εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας, θα απαιτηθούν N σχέδια της τυχαίας μεταβλητής (SV) X.

Το κύριο εργαλείο μοντελοποίησης υπολογιστή είναι οι αισθητήρες τυχαίων αριθμών ομοιόμορφοι στο διάστημα (0, 1). Έτσι, στο περιβάλλον Pascal, ένας τέτοιος τυχαίος αριθμός καλείται χρησιμοποιώντας την εντολή Random. Οι αριθμομηχανές διαθέτουν ένα κουμπί RND για αυτήν την περίπτωση. Υπάρχουν επίσης πίνακες τέτοιων τυχαίων αριθμών (έως 1.000.000 σε όγκο). Η τιμή της στολής στο (0, 1) SV Z συμβολίζεται με z.

Εξετάστε μια τεχνική για τη μοντελοποίηση μιας αυθαίρετης τυχαίας μεταβλητής χρησιμοποιώντας έναν μη γραμμικό μετασχηματισμό της συνάρτησης κατανομής. Αυτή η μέθοδος δεν έχει μεθοδολογικά σφάλματα. Έστω ο νόμος κατανομής του συνεχούς SV X από την πυκνότητα πιθανότητας W(x). Εδώ ξεκινάτε να προετοιμάζεστε και να εφαρμόζετε τη μοντελοποίηση.

Βρείτε τη συνάρτηση κατανομής X - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Πάρτε το Z=z και λύστε την εξίσωση z=F(x) για το x (αυτό είναι πάντα δυνατό αφού τόσο το Z όσο και το F(x) έχουν τιμές που κυμαίνονται από μηδέν έως ένα). Γράψτε τη λύση x=F^(-1 )( z). Αυτός είναι ο αλγόριθμος μοντελοποίησης. Το F^(-1) είναι το αντίστροφο F. Το μόνο που απομένει είναι να λαμβάνετε με συνέπεια τις τιμές xi του ψηφιακού μοντέλου X* CD X χρησιμοποιώντας αυτόν τον αλγόριθμο.

Παράδειγμα. Το SV καθορίζεται από την πυκνότητα πιθανότητας W(x)=λexp(-λx), x≥0 (εκθετική κατανομή). Να βρείτε το ψηφιακό μοντέλο.Λύση.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1- exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Δεδομένου ότι τόσο το z όσο και το 1-z έχουν τιμές από το διάστημα (0, 1) και είναι ομοιόμορφες, τότε το (1-z) μπορεί να αντικατασταθεί από το z. 3. Η διαδικασία μοντελοποίησης εκθετικής SV εκτελείται σύμφωνα με τον τύπο x=(-1/λ)∙lnz. Πιο συγκεκριμένα, xi=(-1/λ)ln(zi).

Τι είναι ένα μαθηματικό μοντέλο;

Η έννοια του μαθηματικού μοντέλου.

Ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια πολύ απλή έννοια. Και πολύ σημαντικό. Είναι τα μαθηματικά μοντέλα που συνδέουν τα μαθηματικά με την πραγματική ζωή.

Με απλά λόγια, ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια μαθηματική περιγραφή οποιασδήποτε κατάστασης.Αυτό είναι όλο. Το μοντέλο μπορεί να είναι πρωτόγονο ή μπορεί να είναι εξαιρετικά περίπλοκο. Όποια και αν είναι η κατάσταση, τέτοιο είναι το μοντέλο.)

Σε οποιαδήποτε (επαναλαμβάνω - σε κάθε!) σε περίπτωση που πρέπει να μετρήσετε και να υπολογίσετε κάτι - ασχολούμαστε με τη μαθηματική μοντελοποίηση. Ακόμα κι αν δεν το υποπτευόμαστε.)

P = 2 CB + 3 CM

Αυτή η καταχώρηση θα είναι ένα μαθηματικό μοντέλο του κόστους των αγορών μας. Το μοντέλο δεν λαμβάνει υπόψη το χρώμα της συσκευασίας, την ημερομηνία λήξης, την ευγένεια των ταμείων κ.λπ. Γι' αυτό μοντέλο,όχι μια πραγματική αγορά. Τα έξοδα όμως, δηλ. αυτό που χρειαζόμαστε-θα μάθουμε σίγουρα. Αν το μοντέλο είναι σωστό, φυσικά.

Είναι χρήσιμο να φανταστούμε τι είναι ένα μαθηματικό μοντέλο, αλλά δεν είναι αρκετό. Το πιο σημαντικό είναι να μπορείς να φτιάξεις αυτά τα μοντέλα.

Σχεδίαση (κατασκευή) μαθηματικού μοντέλου του προβλήματος.

Το να δημιουργήσεις ένα μαθηματικό μοντέλο σημαίνει να μεταφράσεις τις συνθήκες του προβλήματος σε μαθηματική μορφή. Εκείνοι. μετατρέψτε τις λέξεις σε εξίσωση, τύπο, ανισότητα κ.λπ. Επιπλέον, μετατρέψτε το έτσι ώστε αυτά τα μαθηματικά να ανταποκρίνονται αυστηρά στο κείμενο πηγής. Διαφορετικά, θα καταλήξουμε σε ένα μαθηματικό μοντέλο κάποιου άλλου προβλήματος άγνωστο σε εμάς.)

Πιο συγκεκριμένα, χρειάζεστε

Υπάρχει ένας ατελείωτος αριθμός εργασιών στον κόσμο. Επομένως, προσφέρετε σαφείς οδηγίες βήμα προς βήμα για την κατάρτιση ενός μαθηματικού μοντέλου όποιοςτα καθήκοντα είναι αδύνατα.

Υπάρχουν όμως τρία βασικά σημεία που πρέπει να προσέξεις.

1. Οποιοδήποτε πρόβλημα περιέχει κείμενο, παραδόξως.) Αυτό το κείμενο, κατά κανόνα, περιέχει ρητές, ανοιχτές πληροφορίες.Αριθμοί, τιμές κ.λπ.

2. Οποιοδήποτε πρόβλημα έχει κρυφές πληροφορίες.Αυτό είναι ένα κείμενο που προϋποθέτει πρόσθετες γνώσεις στο μυαλό σας. Δεν υπάρχει τρόπος χωρίς αυτούς. Επιπλέον, οι μαθηματικές πληροφορίες συχνά κρύβονται πίσω από απλές λέξεις και... ξεφεύγουν από την προσοχή.

3. Οποιαδήποτε εργασία πρέπει να δοθεί σύνδεση δεδομένων μεταξύ τους.Αυτή η σύνδεση μπορεί να δοθεί σε απλό κείμενο (κάτι ισούται με κάτι), ή μπορεί να κρυφτεί πίσω από απλές λέξεις. Αλλά τα απλά και ξεκάθαρα γεγονότα συχνά παραβλέπονται. Και το μοντέλο δεν συντάσσεται με κανέναν τρόπο.

Θα πω αμέσως: για να εφαρμόσετε αυτά τα τρία σημεία, πρέπει να διαβάσετε το πρόβλημα (και προσεκτικά!) αρκετές φορές. Το συνηθισμένο.

Και τώρα - παραδείγματα.

Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό πρόβλημα:

Ο Πέτροβιτς επέστρεψε από το ψάρεμα και παρουσίασε περήφανα τα αλιεύματά του στην οικογένεια. Μετά από προσεκτικότερη εξέταση, αποδείχθηκε ότι 8 ψάρια προέρχονταν από τις βόρειες θάλασσες, το 20% όλων των ψαριών προέρχονταν από τις νότιες θάλασσες και ούτε ένα προερχόταν από τον τοπικό ποταμό όπου ψάρευε ο Πέτροβιτς. Πόσα ψάρια αγόρασε ο Πέτροβιτς στο κατάστημα Seafood;

Όλες αυτές οι λέξεις πρέπει να μετατραπούν σε κάποιου είδους εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό χρειάζεστε, επαναλαμβάνω, δημιουργήστε μια μαθηματική σύνδεση μεταξύ όλων των δεδομένων στο πρόβλημα.

Από πού να αρχίσω? Αρχικά, ας εξαγάγουμε όλα τα δεδομένα από την εργασία. Ας ξεκινήσουμε με τη σειρά:

Ας προσέξουμε το πρώτο σημείο.

Ποιο είναι εδώ; σαφήςμαθηματικές πληροφορίες; 8 ψάρια και 20%. Όχι πολλά, αλλά δεν χρειαζόμαστε πολλά.)

Ας προσέξουμε το δεύτερο σημείο.

Ψάχνουν για κρυμμένοςπληροφορίες. Ειναι εδω. Αυτές είναι οι λέξεις: «Το 20% όλων των ψαριών«Εδώ πρέπει να καταλάβετε ποια είναι τα ποσοστά και πώς υπολογίζονται. Διαφορετικά, το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Αυτή ακριβώς είναι η πρόσθετη πληροφορία που πρέπει να έχετε στο μυαλό σας.

Υπάρχει επίσης μαθηματικόςπληροφορίες που είναι εντελώς αόρατες. Αυτό ερώτηση εργασίας: "Πόσα ψάρια αγόρασα...»Είναι κι αυτός ένας αριθμός. Και χωρίς αυτό δεν θα διαμορφωθεί κανένα μοντέλο. Επομένως, ας υποδηλώσουμε αυτόν τον αριθμό με το γράμμα "Χ".Δεν γνωρίζουμε ακόμη με τι ισούται το x, αλλά αυτός ο προσδιορισμός θα μας είναι πολύ χρήσιμος. Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με το τι πρέπει να πάρετε για το Χ και πώς να το χειριστείτε γράφονται στο μάθημα Πώς να λύσετε προβλήματα στα μαθηματικά; Ας το γράψουμε αμέσως:

x κομμάτια - συνολικός αριθμός ψαριών.

Στο πρόβλημά μας τα ψάρια του νότου δίνονται ως ποσοστά. Πρέπει να τα μετατρέψουμε σε κομμάτια. Για τι? Τότε τι μέσα όποιοςπρέπει να συνταχθεί το πρόβλημα του μοντέλου στον ίδιο τύπο ποσοτήτων.Κομμάτια - έτσι όλα είναι κομμάτια. Αν δοθούν, ας πούμε, ώρες και λεπτά, μεταφράζουμε τα πάντα σε ένα πράγμα - είτε μόνο ώρες, είτε μόνο λεπτά. Δεν έχει σημασία τι είναι. Είναι σημαντικό ότι όλες οι τιμές ήταν του ίδιου τύπου.

Ας επιστρέψουμε στην αποκάλυψη πληροφοριών. Όποιος δεν ξέρει τι είναι το ποσοστό δεν θα το αποκαλύψει ποτέ, ναι... Αλλά όποιος ξέρει θα πει αμέσως ότι τα ποσοστά εδώ βασίζονται στον συνολικό αριθμό των ψαριών. Και δεν γνωρίζουμε αυτόν τον αριθμό. Τίποτα δεν θα λειτουργήσει!

Δεν είναι για τίποτα που γράφουμε τον συνολικό αριθμό των ψαριών (σε κομμάτια!) "Χ"ορίζεται. Δεν θα είναι δυνατό να μετρήσουμε τον αριθμό των ψαριών του Νότου, αλλά μπορούμε να τα γράψουμε; Σαν αυτό:

0,2 x κομμάτια - ο αριθμός των ψαριών από τις νότιες θάλασσες.

Τώρα έχουμε κατεβάσει όλες τις πληροφορίες από την εργασία. Και φανερό και κρυφό.

Ας προσέξουμε το τρίτο σημείο.

Ψάχνουν για μαθηματική σύνδεσημεταξύ των δεδομένων εργασιών. Αυτή η σύνδεση είναι τόσο απλή που πολλοί δεν την προσέχουν... Αυτό συμβαίνει συχνά. Εδώ είναι χρήσιμο να γράψετε απλώς τα συλλεγμένα δεδομένα σε ένα σωρό και να δείτε τι είναι.

Τι έχουμε; Τρώω 8 τεμάχιαβόρεια ψάρια, 0,2 x τεμάχια- ψάρια του νότου και x ψάρι- συνολικό ποσό. Είναι δυνατόν να συνδεθούν αυτά τα δεδομένα με κάποιο τρόπο; Ναι Εύκολα! Συνολικός αριθμός ψαριών ισοδυναμείτο άθροισμα του νότου και του βορρά! Λοιπόν, ποιος θα το φανταζόταν...) Το γράφουμε λοιπόν:

x = 8 + 0,2x

Αυτή είναι η εξίσωση μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος μας.

Σημειώστε ότι σε αυτό το πρόβλημα Δεν μας ζητείται να διπλώσουμε τίποτα!Ήμασταν εμείς οι ίδιοι, έξω από τα κεφάλια μας, που καταλάβαμε ότι το άθροισμα των ψαριών του νότου και του βορρά θα μας έδινε τον συνολικό αριθμό. Το πράγμα είναι τόσο προφανές που περνά απαρατήρητο. Αλλά χωρίς αυτά τα στοιχεία, δεν μπορεί να δημιουργηθεί ένα μαθηματικό μοντέλο. Σαν αυτό.

Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την πλήρη δύναμη των μαθηματικών για να λύσετε αυτήν την εξίσωση). Γι' αυτό ακριβώς συντάχθηκε το μαθηματικό μοντέλο. Λύνουμε αυτή τη γραμμική εξίσωση και παίρνουμε την απάντηση.

Απάντηση: x=10

Ας δημιουργήσουμε ένα μαθηματικό μοντέλο ενός άλλου προβλήματος:

Ρώτησαν τον Πέτροβιτς: «Έχεις πολλά χρήματα;» Ο Πέτροβιτς άρχισε να κλαίει και απάντησε: "Ναι, λίγο. Αν ξοδέψω τα μισά από όλα τα χρήματα και τα μισά από τα υπόλοιπα, τότε θα μου μείνει μόνο ένα σακουλάκι με χρήματα..." Πόσα χρήματα έχει ο Πέτροβιτς ?

Και πάλι δουλεύουμε σημείο προς σημείο.

1. Αναζητούμε ρητές πληροφορίες. Δεν θα το βρείτε αμέσως! Οι ρητές πληροφορίες είναι έναςτσάντα χρημάτων. Υπάρχουν μερικά άλλα μισά... Λοιπόν, θα το εξετάσουμε στη δεύτερη παράγραφο.

2. Ψάχνουμε για κρυφές πληροφορίες. Αυτά είναι τα μισά. Τι? Όχι πολύ σαφές. Κοιτάμε παραπέρα. Υπάρχει ακόμη μια ερώτηση: «Πόσα χρήματα έχει ο Πέτροβιτς;Ας υποδηλώσουμε το χρηματικό ποσό με το γράμμα "Χ":

Χ- όλα τα λεφτά

Και πάλι διαβάζουμε το πρόβλημα. Γνωρίζοντας ήδη ότι ο Πέτροβιτς Χχρήματα. Εδώ θα λειτουργήσουν τα μισά! Καταγράφουμε:

0,5 x- τα μισά από όλα τα χρήματα.

Το υπόλοιπο θα είναι επίσης το μισό, δηλ. 0,5 x.Και το μισό του μισού μπορεί να γραφτεί ως εξής:

0,5 0,5 x = 0,25x- το μισό από το υπόλοιπο.

Τώρα όλες οι κρυφές πληροφορίες έχουν αποκαλυφθεί και καταγραφεί.

3. Αναζητούμε σύνδεση μεταξύ των καταγεγραμμένων δεδομένων. Εδώ μπορείτε απλά να διαβάσετε τα βάσανα του Πέτροβιτς και να τα γράψετε μαθηματικά):

Αν ξοδέψω τα μισά λεφτά...

Ας καταγράψουμε αυτή τη διαδικασία. Ολα τα λεφτά - Χ.Ήμισυ - 0,5 x. Το να ξοδεύεις είναι να αφαιρείς. Η φράση μετατρέπεται σε ηχογράφηση:

x - 0,5 x

ναι τα μισα υπολοιπα...

Ας αφαιρέσουμε το άλλο μισό από το υπόλοιπο:

x - 0,5 x - 0,25x

τότε θα μου μείνει μόνο ένα σακουλάκι λεφτά...

Και εδώ βρήκαμε την ισότητα! Μετά από όλες τις αφαιρέσεις, μένει ένα σακί με χρήματα:

x - 0,5 x - 0,25 x = 1

Εδώ είναι, ένα μαθηματικό μοντέλο! Αυτή είναι πάλι μια γραμμική εξίσωση, τη λύνουμε, παίρνουμε:

Ερώτηση προς εξέταση. Τι είναι τέσσερα; Ρούβλι, δολάριο, γιουάν; Και σε ποιες μονάδες γράφονται τα χρήματα στο μαθηματικό μας μοντέλο; Σε τσάντες!Αυτό σημαίνει τέσσερα τσάνταχρήματα από τον Πέτροβιτς. Καλό επίσης.)

Τα καθήκοντα είναι φυσικά στοιχειώδη. Αυτό γίνεται ειδικά για να συλλάβει την ουσία της κατάρτισης ενός μαθηματικού μοντέλου. Ορισμένες εργασίες μπορεί να περιέχουν πολύ περισσότερα δεδομένα, στα οποία μπορεί να χαθείτε εύκολα. Αυτό συμβαίνει συχνά στο λεγόμενο. καθήκοντα ικανότητας. Ο τρόπος εξαγωγής μαθηματικού περιεχομένου από ένα σωρό λέξεων και αριθμών παρουσιάζεται με παραδείγματα

Μια ακόμη σημείωση. Σε κλασικά σχολικά προβλήματα (σωλήνες που γεμίζουν μια πισίνα, βάρκες που επιπλέουν κάπου κ.λπ.), όλα τα δεδομένα, κατά κανόνα, επιλέγονται πολύ προσεκτικά. Υπάρχουν δύο κανόνες:
- υπάρχουν αρκετές πληροφορίες στο πρόβλημα για την επίλυσή του,
- Δεν υπάρχουν περιττές πληροφορίες σε ένα πρόβλημα.

Αυτό είναι μια υπόδειξη. Εάν έχει μείνει κάποια τιμή αχρησιμοποίητη στο μαθηματικό μοντέλο, σκεφτείτε αν υπάρχει κάποιο σφάλμα. Εάν δεν υπάρχουν αρκετά δεδομένα, πιθανότατα δεν έχουν εντοπιστεί και καταγραφεί όλες οι κρυφές πληροφορίες.

Σε εργασίες που σχετίζονται με τις ικανότητες και σε άλλες εργασίες ζωής, αυτοί οι κανόνες δεν τηρούνται αυστηρά. Δεν έχω ιδέα. Αλλά τέτοια προβλήματα μπορούν επίσης να λυθούν. Εάν, φυσικά, εξασκηθείτε στα κλασικά.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Ας μάθουμε - με ενδιαφέρον!)

Μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Φανταστείτε ένα αεροπλάνο: φτερά, άτρακτο, ουρά, όλα αυτά μαζί - ένα πραγματικό τεράστιο, τεράστιο, ολόκληρο αεροπλάνο. Ή μπορείτε να φτιάξετε ένα μοντέλο αεροπλάνου, μικρό, αλλά όπως στην πραγματική ζωή, τα ίδια φτερά κ.λπ., αλλά συμπαγές. Το ίδιο και το μαθηματικό μοντέλο. Υπάρχει ένα πρόβλημα κειμένου, δυσκίνητο, μπορείτε να το κοιτάξετε, να το διαβάσετε, αλλά να μην το καταλάβετε καλά, και ακόμη περισσότερο δεν είναι σαφές πώς να το λύσετε. Τι γίνεται αν κάνετε ένα μικρό μοντέλο ενός μεγάλου προβλήματος λέξης, ένα μαθηματικό μοντέλο; Τι σημαίνει μαθηματικά; Αυτό σημαίνει, χρησιμοποιώντας τους κανόνες και τους νόμους της μαθηματικής σημειογραφίας, να μετατρέψετε το κείμενο σε μια λογικά σωστή αναπαράσταση χρησιμοποιώντας αριθμούς και αριθμητικά σημάδια. Ετσι, ένα μαθηματικό μοντέλο είναι μια αναπαράσταση μιας πραγματικής κατάστασης χρησιμοποιώντας μαθηματική γλώσσα.

Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό: Ο αριθμός είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό κατά. Πρέπει να το γράψουμε αυτό χωρίς να χρησιμοποιήσουμε λέξεις, αλλά μόνο τη γλώσσα των μαθηματικών. Αν είναι περισσότερο από, τότε αποδεικνύεται ότι αν αφαιρέσουμε από, τότε η ίδια διαφορά αυτών των αριθμών θα παραμείνει ίση. Εκείνοι. ή. Καταλαβαίνετε την ουσία;

Τώρα είναι πιο δύσκολο, τώρα θα υπάρχει ένα κείμενο που θα πρέπει να προσπαθήσετε να αναπαραστήσετε με τη μορφή μαθηματικού μοντέλου, μην διαβάσετε ακόμα πώς θα το κάνω, δοκιμάστε το μόνοι σας! Υπάρχουν τέσσερις αριθμοί: , και. Το προϊόν είναι διπλάσιο από το προϊόν.

Τι συνέβη?

Με τη μορφή μαθηματικού μοντέλου θα μοιάζει με αυτό:

Εκείνοι. το προϊόν σχετίζεται με δύο προς ένα, αλλά αυτό μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω:

Λοιπόν, εντάξει, με απλά παραδείγματα καταλαβαίνεις το νόημα, νομίζω. Ας περάσουμε σε ολοκληρωμένα προβλήματα στα οποία πρέπει να λυθούν και αυτά τα μαθηματικά μοντέλα! Εδώ είναι η πρόκληση.

Μαθηματικό μοντέλο στην πράξη

Πρόβλημα 1

Μετά τη βροχή, η στάθμη του νερού στο πηγάδι μπορεί να ανέβει. Το αγόρι μετρά τον χρόνο των μικρών βότσαλων που πέφτουν στο πηγάδι και υπολογίζει την απόσταση από το νερό χρησιμοποιώντας τον τύπο, όπου είναι η απόσταση σε μέτρα και ο χρόνος πτώσης σε δευτερόλεπτα. Πριν από τη βροχή, ο χρόνος πτώσης των βότσαλων ήταν s. Πόσο πρέπει να ανέβει η στάθμη του νερού μετά τη βροχή για να αλλάξει ο μετρημένος χρόνος σε s; Εκφράστε την απάντησή σας σε μέτρα.

Ω Θεέ μου! Τι φόρμουλες, τι πηγάδι, τι συμβαίνει, τι να κάνουμε; Διάβασα το μυαλό σου; Χαλαρώστε, σε προβλήματα αυτού του τύπου υπάρχουν ακόμη πιο τρομερές συνθήκες, το κύριο πράγμα είναι να θυμάστε ότι σε αυτό το πρόβλημα ενδιαφέρεστε για τύπους και σχέσεις μεταξύ μεταβλητών και αυτό που σημαίνει όλα αυτά στις περισσότερες περιπτώσεις δεν είναι πολύ σημαντικό. Τι θεωρείτε χρήσιμο εδώ; Το βλέπω προσωπικά. Η αρχή για την επίλυση αυτών των προβλημάτων είναι η εξής: παίρνετε όλες τις γνωστές ποσότητες και τις αντικαθιστάτε.ΑΛΛΑ, μερικές φορές χρειάζεται να σκεφτείς!

Ακολουθώντας την πρώτη μου συμβουλή και αντικαθιστώντας όλα τα γνωστά στην εξίσωση, παίρνουμε:

Ήμουν εγώ που αντικατέστησα τον χρόνο του δεύτερου και βρήκα το ύψος που πέταξε η πέτρα πριν τη βροχή. Τώρα πρέπει να μετρήσουμε μετά τη βροχή και να βρούμε τη διαφορά!

Τώρα ακούστε τη δεύτερη συμβουλή και σκεφτείτε το, η ερώτηση διευκρινίζει «πόσο πρέπει να ανέβει η στάθμη του νερού μετά τη βροχή για να αλλάξει ο μετρημένος χρόνος σε s». Πρέπει αμέσως να καταλάβετε ότι μετά τη βροχή η στάθμη του νερού ανεβαίνει, πράγμα που σημαίνει ότι ο χρόνος που η πέτρα πέφτει στη στάθμη του νερού είναι μικρότερος, και εδώ η περίτεχνη φράση "έτσι ώστε να αλλάξει ο μετρημένος χρόνος" παίρνει ένα συγκεκριμένο νόημα: η πτώση ο χρόνος δεν αυξάνεται, αλλά μειώνεται κατά τα υποδεικνυόμενα δευτερόλεπτα. Αυτό σημαίνει ότι στην περίπτωση μιας ρίψης μετά τη βροχή, πρέπει απλώς να αφαιρέσουμε το c από τον αρχικό χρόνο c και παίρνουμε την εξίσωση για το ύψος που θα πετάξει η πέτρα μετά τη βροχή:

Και τέλος, για να βρείτε πόσο πρέπει να ανέβει η στάθμη του νερού μετά τη βροχή για να αλλάξει ο μετρημένος χρόνος σε s., απλά πρέπει να αφαιρέσετε το δεύτερο από το πρώτο ύψος πτώσης!

Παίρνουμε την απάντηση: ανά μέτρο.

Όπως καταλαβαίνετε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο, το κυριότερο είναι, μην ασχολείστε πολύ με το από πού προήλθε μια τόσο ακατανόητη και μερικές φορές πολύπλοκη εξίσωση στις συνθήκες και τι σημαίνουν όλα σε αυτήν, πάρτε το λόγο μου, τα περισσότερα Αυτές οι εξισώσεις είναι παρμένες από τη φυσική, και εκεί η ζούγκλα είναι χειρότερη από ό,τι στην άλγεβρα. Μερικές φορές μου φαίνεται ότι αυτά τα καθήκοντα επινοήθηκαν για να εκφοβίσουν τον μαθητή στην Ενιαία Κρατική Εξέταση με μια πληθώρα πολύπλοκων τύπων και όρων και στις περισσότερες περιπτώσεις δεν απαιτούν σχεδόν καμία γνώση. Απλώς διαβάστε προσεκτικά τη συνθήκη και αντικαταστήστε τις γνωστές ποσότητες στη φόρμουλα!

Εδώ υπάρχει ένα άλλο έργο, όχι πλέον στη φυσική, αλλά από τον κόσμο της οικονομικής θεωρίας, αν και δεν απαιτείται και πάλι γνώση επιστημών εκτός από τα μαθηματικά.

Πρόβλημα 2

Η εξάρτηση του όγκου της ζήτησης (μονάδες ανά μήνα) για τα προϊόντα μιας μονοπωλιακής επιχείρησης από την τιμή (χιλιάδες ρούβλια) δίνεται από τον τύπο

Τα έσοδα της επιχείρησης για το μήνα (σε χιλιάδες ρούβλια) υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο. Προσδιορίστε την υψηλότερη τιμή στην οποία τα μηνιαία έσοδα θα είναι τουλάχιστον χιλιάδες ρούβλια. Δώστε την απάντησή σας σε χιλιάδες ρούβλια.

Μαντέψτε τι θα κάνω τώρα; Ναι, θα αρχίσω να συνδέω ό,τι γνωρίζουμε, αλλά, πάλι, θα πρέπει ακόμα να σκεφτώ λίγο. Ας πάμε από το τέλος, πρέπει να βρούμε σε ποιο. Άρα, υπάρχει, είναι ίσο με κάτι, βρίσκουμε με τι άλλο είναι ίσο αυτό, και είναι ίσο με αυτό, οπότε το γράφουμε. Όπως μπορείτε να δείτε, δεν ασχολούμαι πραγματικά με το νόημα όλων αυτών των ποσοτήτων, κοιτάζω μόνο από τις συνθήκες για να δω τι είναι ίσο με τι, αυτό πρέπει να κάνετε. Ας επιστρέψουμε στο πρόβλημα, το έχετε ήδη, αλλά όπως θυμάστε από μια εξίσωση με δύο μεταβλητές, δεν μπορείτε να βρείτε καμία από αυτές, τι πρέπει να κάνετε; Ναι, έχουμε ακόμα ένα αχρησιμοποίητο κομμάτι στην κατάσταση. Τώρα, υπάρχουν ήδη δύο εξισώσεις και δύο μεταβλητές, που σημαίνει ότι τώρα μπορούν να βρεθούν και οι δύο μεταβλητές - υπέροχο!

– μπορείτε να λύσετε ένα τέτοιο σύστημα;

Λύνουμε με αντικατάσταση· έχει ήδη εκφραστεί, οπότε ας το αντικαταστήσουμε στην πρώτη εξίσωση και ας την απλοποιήσουμε.

Παίρνουμε αυτήν την τετραγωνική εξίσωση: , λύνουμε, οι ρίζες είναι έτσι, . Η εργασία απαιτεί την εύρεση της υψηλότερης τιμής στην οποία θα πληρούνται όλες οι προϋποθέσεις που λάβαμε υπόψη κατά τη δημιουργία του συστήματος. Α, αποδεικνύεται ότι αυτό ήταν το τίμημα. Cool, οπότε βρήκαμε τις τιμές: και. Η υψηλότερη τιμή, λέτε; Εντάξει, το μεγαλύτερο από αυτά, προφανώς, το γράφουμε ως απάντηση. Λοιπόν, είναι δύσκολο; Νομίζω ότι όχι, και δεν χρειάζεται να εμβαθύνουμε πολύ σε αυτό!

Και εδώ είναι κάποια τρομακτική φυσική, ή μάλλον ένα άλλο πρόβλημα:

Πρόβλημα 3

Για τον προσδιορισμό της αποτελεσματικής θερμοκρασίας των άστρων, χρησιμοποιείται ο νόμος Stefan-Boltzmann, σύμφωνα με τον οποίο, όπου είναι η ισχύς ακτινοβολίας του άστρου, είναι σταθερά, είναι η επιφάνεια του άστρου και είναι η θερμοκρασία. Είναι γνωστό ότι η επιφάνεια ενός συγκεκριμένου αστεριού είναι ίση και η ισχύς της ακτινοβολίας του είναι ίση με W. Βρείτε τη θερμοκρασία αυτού του αστεριού σε βαθμούς Κέλβιν.

Πώς είναι ξεκάθαρο; Ναι, η συνθήκη λέει τι ισούται με τι. Προηγουμένως, συνιστούσα την αντικατάσταση όλων των αγνώστων ταυτόχρονα, αλλά εδώ είναι καλύτερα να εκφράσουμε πρώτα το άγνωστο που αναζητείται. Κοιτάξτε πόσο απλό είναι: υπάρχει ένας τύπος και σε αυτόν ξέρουμε, και (αυτό είναι το ελληνικό γράμμα «σίγμα». Γενικά, οι φυσικοί αγαπούν τα ελληνικά γράμματα, συνηθίστε το). Και η θερμοκρασία είναι άγνωστη. Ας το εκφράσουμε με τη μορφή ενός τύπου. Ελπίζω να ξέρετε πώς να το κάνετε αυτό; Τέτοιες εργασίες για τη Δοκιμή Κρατικών Εξετάσεων στην 9η τάξη δίνονται συνήθως:

Τώρα το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσετε αριθμούς αντί για γράμματα στη δεξιά πλευρά και να απλοποιήσετε:

Εδώ είναι η απάντηση: βαθμούς Κέλβιν! Και τι τρομερό έργο ήταν αυτό!

Συνεχίζουμε να βασανίζουμε προβλήματα φυσικής.

Πρόβλημα 4

Το ύψος πάνω από το έδαφος μιας πεταμένης μπάλας αλλάζει σύμφωνα με το νόμο, όπου είναι το ύψος σε μέτρα και είναι ο χρόνος σε δευτερόλεπτα που έχει περάσει από τη στιγμή της ρίψης. Πόσα δευτερόλεπτα θα παραμείνει η μπάλα σε ύψος τουλάχιστον τριών μέτρων;

Όλες αυτές ήταν εξισώσεις, αλλά εδώ πρέπει να προσδιορίσουμε πόσο μακριά ήταν η μπάλα σε ύψος τουλάχιστον τριών μέτρων, που σημαίνει σε ύψος. Τι θα φτιάξουμε; Ανισότητα, ακριβώς! Έχουμε μια λειτουργία που περιγράφει πώς πετάει η μπάλα, πού - αυτό είναι ακριβώς το ίδιο ύψος σε μέτρα, χρειαζόμαστε το ύψος. Που σημαίνει

Και τώρα απλά λύνετε την ανισότητα, το κύριο πράγμα είναι να μην ξεχάσετε να αλλάξετε το πρόσημο της ανισότητας από περισσότερο ή ίσο σε μικρότερο ή ίσο όταν πολλαπλασιάσετε και με τις δύο πλευρές της ανισότητας για να απαλλαγείτε από το μείον μπροστά.

Αυτές είναι οι ρίζες, κατασκευάζουμε διαστήματα για την ανισότητα:

Μας ενδιαφέρει το διάστημα όπου βρίσκεται το πρόσημο μείον, καθώς η ανισότητα παίρνει αρνητικές τιμές εκεί, αυτό είναι από και προς τα δύο. Τώρα ας ενεργοποιήσουμε τον εγκέφαλό μας και ας σκεφτούμε προσεκτικά: για την ανισότητα χρησιμοποιήσαμε μια εξίσωση που περιγράφει την πτήση της μπάλας, με κάποιο τρόπο πετά κατά μήκος μιας παραβολής, δηλ. απογειώνεται, φτάνει σε μια κορυφή και πέφτει, πώς να καταλάβουμε πόσο καιρό θα παραμείνει σε υψόμετρο τουλάχιστον μέτρων; Βρήκαμε 2 σημεία καμπής, δηλ. τη στιγμή που πετάει πάνω από μέτρα και τη στιγμή που, πέφτοντας, φτάνει στο ίδιο σημείο, αυτά τα δύο σημεία εκφράζονται με τη μορφή χρόνου, δηλ. γνωρίζουμε σε ποιο δευτερόλεπτο πτήσης μπήκε στη ζώνη που μας ενδιαφέρει (πάνω από μέτρα) και σε ποιο δευτερόλεπτο την άφησε (έπεσε κάτω από το σήμα του μέτρου). Πόσα δευτερόλεπτα ήταν σε αυτή τη ζώνη; Είναι λογικό να παίρνουμε τον χρόνο εξόδου από τη ζώνη και να αφαιρούμε από αυτόν τον χρόνο εισόδου σε αυτή τη ζώνη. Αντίστοιχα: - ήταν στη ζώνη πάνω από μέτρα για τόσο καιρό, αυτή είναι η απάντηση.

Είστε τυχεροί που τα περισσότερα από τα παραδείγματα σε αυτό το θέμα μπορούν να ληφθούν από την κατηγορία των προβλημάτων φυσικής, οπότε πιάστε ένα ακόμη, είναι το τελευταίο, οπότε πιέστε τον εαυτό σας, μένει μόνο λίγο!

Πρόβλημα 5

Για το στοιχείο θέρμανσης μιας συγκεκριμένης συσκευής, ελήφθη πειραματικά η εξάρτηση της θερμοκρασίας από το χρόνο λειτουργίας:

Πού είναι ο χρόνος σε λεπτά, . Είναι γνωστό ότι εάν η θερμοκρασία του θερμαντικού στοιχείου είναι υψηλότερη, η συσκευή μπορεί να επιδεινωθεί, επομένως πρέπει να απενεργοποιηθεί. Βρείτε τον μεγαλύτερο χρόνο μετά την έναρξη της εργασίας που χρειάζεστε για να απενεργοποιήσετε τη συσκευή. Εκφράστε την απάντησή σας σε λίγα λεπτά.

Ενεργούμε σύμφωνα με ένα καλά καθιερωμένο σχέδιο, πρώτα γράφουμε όλα όσα δίνονται:

Τώρα παίρνουμε τον τύπο και τον εξισώνουμε με την τιμή θερμοκρασίας στην οποία μπορεί να θερμανθεί η συσκευή όσο το δυνατόν περισσότερο μέχρι να καεί, δηλαδή:

Τώρα αντικαθιστούμε αριθμούς όπου είναι γνωστοί αντί για γράμματα:

Όπως μπορείτε να δείτε, η θερμοκρασία κατά τη λειτουργία της συσκευής περιγράφεται από μια τετραγωνική εξίσωση, που σημαίνει ότι κατανέμεται κατά μήκος μιας παραβολής, δηλ. Η συσκευή θερμαίνεται σε μια συγκεκριμένη θερμοκρασία και στη συνέχεια κρυώνει. Λάβαμε απαντήσεις και, ως εκ τούτου, σε και σε λεπτά θέρμανσης η θερμοκρασία είναι ίση με κρίσιμη, αλλά μεταξύ και λεπτών - είναι ακόμη υψηλότερη από το όριο!

Αυτό σημαίνει ότι πρέπει να απενεργοποιήσετε τη συσκευή μετά από λίγα λεπτά.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. ΣΥΝΤΟΜΗ ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΑ ΚΥΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ

Τις περισσότερες φορές, τα μαθηματικά μοντέλα χρησιμοποιούνται στη φυσική: πιθανότατα έπρεπε να απομνημονεύσετε δεκάδες φυσικούς τύπους. Και ο τύπος είναι μια μαθηματική αναπαράσταση της κατάστασης.

Στο OGE και στην Ενιαία Κρατική Εξέταση υπάρχουν εργασίες ακριβώς σε αυτό το θέμα. Στο Unified State Exam (προφίλ) αυτή είναι η εργασία με αριθμό 11 (πρώην B12). Στο OGE - αριθμός εργασίας 20.

Το σχέδιο λύσης είναι προφανές:

1) Από το κείμενο της συνθήκης είναι απαραίτητο να "απομονωθούν" χρήσιμες πληροφορίες - τι γράφουμε στα προβλήματα φυσικής κάτω από τη λέξη "Δεδομένο". Αυτές οι χρήσιμες πληροφορίες είναι:

• Τύπος
• Γνωστά φυσικά μεγέθη.

Δηλαδή, κάθε γράμμα από τον τύπο πρέπει να συσχετίζεται με έναν συγκεκριμένο αριθμό.

2) Πάρτε όλες τις γνωστές ποσότητες και αντικαταστήστε τις στον τύπο. Η άγνωστη ποσότητα παραμένει σε μορφή γράμματος. Τώρα πρέπει απλώς να λύσετε την εξίσωση (συνήθως αρκετά απλή) και η απάντηση είναι έτοιμη.

Λοιπόν, το θέμα τελείωσε. Εάν διαβάζετε αυτές τις γραμμές, σημαίνει ότι είστε πολύ κουλ.

Επειδή μόνο το 5% των ανθρώπων είναι σε θέση να κατακτήσουν κάτι μόνοι τους. Και αν διαβάσεις μέχρι το τέλος, τότε είσαι σε αυτό το 5%!

Τώρα το πιο σημαντικό.

Έχετε καταλάβει τη θεωρία για αυτό το θέμα. Και, επαναλαμβάνω, αυτό... αυτό είναι απλά σούπερ! Είστε ήδη καλύτεροι από τη συντριπτική πλειοψηφία των συνομηλίκων σας.

Το πρόβλημα είναι ότι αυτό μπορεί να μην είναι αρκετό...

Για τι?

Για επιτυχή επιτυχία στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους, για εισαγωγή στο κολέγιο με προϋπολογισμό και, ΤΟ ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ, για τη ζωή.

Δεν θα σε πείσω για τίποτα, ένα μόνο θα πω…

Οι άνθρωποι που έχουν λάβει καλή εκπαίδευση κερδίζουν πολύ περισσότερα από εκείνους που δεν την έχουν λάβει. Αυτά είναι στατιστικά στοιχεία.

Αλλά αυτό δεν είναι το κύριο πράγμα.

Το κυριότερο είναι ότι είναι ΠΙΟ ΕΥΤΥΧΙΣΜΕΝΟΙ (υπάρχουν τέτοιες μελέτες). Ίσως επειδή ανοίγονται πολλές περισσότερες ευκαιρίες μπροστά τους και η ζωή γίνεται πιο φωτεινή; Δεν ξέρω...

Σκέψου όμως και μόνος σου...

Τι χρειάζεται για να είσαι σίγουρος ότι θα είσαι καλύτερος από άλλους στις Εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και τελικά θα είσαι... πιο ευτυχισμένος;

ΚΕΡΔΙΣΤΕ ΤΟ ΧΕΡΙ ΣΑΣ ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΑΥΤΟ ΤΟ ΘΕΜΑ.

Δεν θα σας ζητηθεί θεωρία κατά τη διάρκεια της εξέτασης.

Θα χρειαστείτε λύνει προβλήματα με το χρόνο.

Και, αν δεν τα έχετε λύσει (ΠΟΛΥ!), σίγουρα θα κάνετε ένα ηλίθιο λάθος κάπου ή απλά δεν θα έχετε χρόνο.

Είναι όπως στον αθλητισμό - πρέπει να το επαναλάβετε πολλές φορές για να κερδίσετε σίγουρα.

Βρείτε τη συλλογή όπου θέλετε, αναγκαστικά με λύσεις, αναλυτική ανάλυσηκαι αποφασίστε, αποφασίστε, αποφασίστε!

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εργασίες μας (προαιρετικά) και φυσικά τις προτείνουμε.

Προκειμένου να βελτιωθείτε στη χρήση των εργασιών μας, πρέπει να συμβάλετε στην παράταση της διάρκειας ζωής του εγχειριδίου YouClever που διαβάζετε αυτήν τη στιγμή.

Πως? Υπάρχουν δύο επιλογές:

1. Ξεκλειδώστε όλες τις κρυφές εργασίες σε αυτό το άρθρο -
2. Ξεκλειδώστε την πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες και στα 99 άρθρα του σχολικού βιβλίου - Αγοράστε ένα σχολικό βιβλίο - 899 RUR

Ναι, έχουμε 99 τέτοια άρθρα στο σχολικό μας βιβλίο και η πρόσβαση σε όλες τις εργασίες και όλα τα κρυφά κείμενα σε αυτά μπορεί να ανοίξει αμέσως.

Παρέχεται πρόσβαση σε όλες τις κρυφές εργασίες για ΟΛΗ τη ζωή του ιστότοπου.

Συμπερασματικά...

Αν δεν σας αρέσουν οι εργασίες μας, βρείτε άλλες. Απλά μην σταματάς στη θεωρία.

Το «Κατανοούμενο» και το «Μπορώ να λύσω» είναι εντελώς διαφορετικές δεξιότητες. Χρειάζεσαι και τα δύο.

Βρείτε προβλήματα και λύστε τα!