Από σχολικό μάθημαΟι μαθηματικοί γνωρίζουν ότι ένα τετραγωνικό τριώνυμο νοείται ως έκφραση της μορφής

ax 2 + bx + c, όπου a ≠ 0.

Οι ρίζες αυτού του τριωνύμου υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον τύπο: X 1,2 = (-b ± √D) / (2a), όπου D = b 2 – 4ac.

Δ λέγεται διακριτική. Είναι υψίστης σημασίας για την επίλυση προβλημάτων σε αυτό το θέμα, καθώς καθορίζει τον αριθμό των ριζών ενός τριωνύμου.

Υπάρχουν δύο από αυτά - αν D > 0, ένα - εάν D = 0(μερικές φορές λένε ότι δύο είναι πανομοιότυπα, δηλ. x 1 = x 2 = -b/(2a)), και αν ρε< 0, то действительных корней нет.

Μια συνάρτηση της μορφής (*) y = ax 2 + bx + c, όπου το a ≠ 0 ονομάζεται τετραγωνικό. Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή, οι κλάδοι της οποίας κατευθύνονται προς τα πάνω αν a > 0 και προς τα κάτω αν α< 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Το σημείο τομής της παραβολής με τον άξονα ΟΥ είναι γ. Είναι εύκολο να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες της κορυφής της παραβολής (m ;n).

m = (x 1 + x 2)/2 ή (**) m = -b/(2a).

Το n μπορεί να υπολογιστεί αντικαθιστώντας την τιμή του m με το x στον τύπο

y = ax 2 + bx + c, ή χρησιμοποιήστε τον τύπο y = -D/(4a).

Αν σε τετραγωνικό τριώνυμο απομονώσουμε Τέλειο τετράγωνο, τότε τα m και n θα υπάρχουν στην εγγραφή σε ρητή μορφή: (***) y = a(x – m) 2 + n.

Σχεδόν όλα παρουσιάζονται εδώ υλικό αναφοράςαπαραίτητο για την επίλυση προβλημάτων στο αναφερόμενο θέμα. Ας δούμε μερικά παραδείγματα εργασιών.

Παράδειγμα 1.

Για ποιες τιμές του a βρίσκεται η κορυφή της παραβολής y = (x – 13a) 2 – a 2 + 6a + 16 στο δεύτερο τέταρτο του επιπέδου συντεταγμένων;

Λύση.

Η τετραγωνική συνάρτηση γράφεται με τη μορφή διακεκριμένου τέλειου τετραγώνου (***).

Τότε είναι σαφές ότι m = 13a και n = -a 2 + 6a + 16. Για μια κορυφή με συντεταγμένες (m; n) να βρίσκεται στο δεύτερο τέταρτο, είναι απαραίτητο το m< 0, n >0. Οι προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται ταυτόχρονα. Επομένως, λύνουμε το σύστημα των ανισοτήτων:

(13α< 0,
(-a 2 + 6a + 16 > 0

Από την πρώτη ανισότητα έχουμε α< 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).

Απάντηση: για όλα ένα Є(-2: 0) ή για -2< a < 0.

Παράδειγμα 2.

Σε ποιες τιμές της παραμέτρου α υψηλότερη τιμήσυνάρτηση y = ax 2 – 2x + 7a ισούται με 6;

Λύση.

Η τετραγωνική συνάρτηση θα έχει τη μεγαλύτερη τιμή μόνο εάν οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται προς τα κάτω (δηλ.< 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем

m = 2/2a. D = 4 – 28a 2 .

Τότε n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; ή 7a 2 – 1 = 6a.

Έχοντας λύσει την εξίσωση που προκύπτει, έχουμε a = 1 ή a = -1/7. Αλλά το a = 1 δεν ικανοποιεί την πρώτη συνθήκη.

Απάντηση: σε = -1/7.

Παράδειγμα 3.

Βρείτε τον αριθμό των ακεραίων τιμών της παραμέτρου a για την οποία η εξίσωση
α) |x 2 – 8x + 7| = a 2 ; β) |x 2 – 6|x| – 16| = ένα 2 + 9 έχει 4 ρίζες.

Λύση.

α) Εδώ ο συντομότερος τρόπος επίλυσης είναι ο γραφικός. Το σχέδιο είναι:

1. Να φτιάξετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y = x 2 – 8x + 7 (παραβολή).

2. Τότε y = |x 2 – 8x + 7| (εμφανίστε το κάτω μέρος του γραφήματος σε σχέση με το OX).

Η περαιτέρω πορεία της λύσης φαίνεται από το σχήμα. Η ευθεία γραμμή θα τέμνει το γράφημα σε τέσσερα σημεία αν είναι 0< a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.

Απάντηση: 4.

β) Η λύση σε αυτό το παράδειγμα πραγματοποιείται σύμφωνα με το ίδιο σχήμα. Η μόνη διαφορά είναι ότι κατά τη σχεδίαση της συνάρτησης y = |x 2 – 6|x| – 16| θα πρέπει να δημιουργήσετε δύο οθόνες: σε σχέση με το OX του κάτω μέρους του γραφήματος και σε σχέση με το OU - στα δεξιά. Αν σχεδιάσετε σωστά το γράφημα, θα βρείτε εύκολα 7 λύσεις:
a = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;

Παράδειγμα 4.

Για ποιες τιμές του a βρίσκεται η γραφική παράσταση του τετραγωνικού τριωνύμου y = ax 2 + (a – 3)x + a βρίσκεται πάνω από τον άξονα x;

Λύση.

Ας κάνουμε τον ακόλουθο συλλογισμό. Η γραφική παράσταση ενός τετραγωνικού τριωνύμου θα βρίσκεται πάνω από τον άξονα OX μόνο εάν οι κλάδοι της παραβολής είναι στραμμένοι προς τα πάνω, δηλ.

a > 0 (*), και η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα OX, δηλ. ρε< 0 или

(α – 3) 2 – 4α 2< 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) >0 → a Є (-∞; -3) ή (1; ∞). Λαμβάνοντας υπόψη την συνθήκη (*), λαμβάνουμε ένα Є (1; ∞).

Απάντηση: a Є (1; ∞).

Παράδειγμα 5.

Για ποιες τιμές του a έχει η γραφική παράσταση του τετραγωνικού τριωνύμου y = ax 2 + (a – 3)x + a δύο κοινά σημεία με το θετικό μέρος του άξονα OX;

Λύση.

Ας δούμε τις προϋποθέσεις για τους συντελεστές: (δείτε το παρακάτω σχήμα)

1. Παίρνουμε δύο σημεία τομής με τον άξονα ΟΧ αν
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0

2. Τα σημεία θα βρίσκονται στην ίδια πλευρά του μηδενός εάν οι κλάδοι είναι στραμμένοι προς τα πάνω και f(0) = a > 0 ή στην περίπτωση που οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα κάτω και f(0) = a< 0

3. Και οι δύο ρίζες θα είναι θετικές αν η συντεταγμένη x της κορυφής είναι θετική, δηλ. m = -(a – 3)/(2a) > 0.

Με βάση τα παραπάνω, οι συνθήκες μας θα περιοριστούν στην επίλυση δύο συστημάτων:

Πρώτο σύστημα:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(α > 0,
(-(a – 3)/(2a) > 0

Απλοποιώντας, παίρνουμε:

((3a – 3)(a + 3)< 0,
(α > 0,
((α – 3)< 0

(α Є (-3; 1),
(a Є (0; ∞),
(a Є (-∞; 3)

και η γενική λύση του συστήματος a Є(0; 1).

Δεύτερο σύστημα:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(ένα< 0,
(-(a – 3)/(2a) > 0

Απλοποιώντας, παίρνουμε:

((3a – 3)(a + 3)< 0,
(ένα< 0,
((a – 3) > 0

Λύσεις για καθεμία από τις ανισότητες:

(α Є (-3; 1)
(a Є (-∞; 0)
(α Є (3; ∞)

και το σύστημα δεν έχει λύσεις

Έτσι μας η παραβολή έχει δύο κοινά σημεία με τη θετική φορά του άξονα OX εάν η παράμετρος a Є (0; 1).

Παράδειγμα 6.

Για ποιες τιμές του a είναι οι ρίζες της εξίσωσης 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2 = 0 μεγαλύτερες από 3;

Θεωρήστε τη γραφική παράσταση του τετραγωνικού τριωνύμου y = 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2.

Θα φτιάξουμε ένα σχέδιο για την επίλυση αυτής της εργασίας με βάση το προηγούμενο παράδειγμα.

1. Λαμβάνουμε δύο σημεία τομής με τον άξονα OX αν D > 0 και a ≠ 0.

2. Τα κλαδιά εδώ κατευθύνονται πάντα μόνο προς τα πάνω
(για ≠ 0, 4a 2 > 0).

3. Τα σημεία θα βρίσκονται στην ίδια πλευρά του 3 εάν f(3) > 0.
(36a 2 – 24a + 4 – 9a 2 > 0).

4. Και οι δύο ρίζες θα είναι μεγαλύτερες (στα δεξιά) του τριών, αν η συντεταγμένη x της κορυφής είναι μεγαλύτερη (στα δεξιά) του τριών, δηλ. m = 8a/(8a 2) > 3.

Εάν χρησιμοποιείτε σωστά αυτές τις συνθήκες, τότε απάντηση Πάρε αυτό: a Є(0;2/9). Τσέκαρέ το.

Ελπίζω να γίνει πλέον σαφές στον αναγνώστη πόσο σημαντικό είναι να μπορεί κανείς να δει καθαρά τις ιδιότητες μιας παραβολής κατά την επίλυση προβλημάτων αυτού του τύπου.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τετραγωνικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Ορισμός

Παραβολήονομάζεται γράφημα τετραγωνική λειτουργία$y = ax^(2) + bx + c$, όπου $a \neq 0$.

Γράφημα της συνάρτησης $y = x^2$.

Για να σχεδιάσουμε σχηματικά τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y = x^2$, θα βρούμε αρκετά σημεία που ικανοποιούν αυτή την ισότητα. Για ευκολία, γράφουμε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων με τη μορφή πίνακα:

Γράφημα της συνάρτησης $y = ax^2$.

Εάν ο συντελεστής $a > 0$, τότε το γράφημα $y = ax^2$ προκύπτει από το γράφημα $y = x^2$ είτε με κάθετη διάταση (για $a > 1$) είτε με συμπίεση στο $x$ άξονα (για 0 ​​$< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$ $y = \dfrac(x^2)(2)$


Αν $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$ $y = -2x^2$ $y = - \dfrac(x^2)(2)$



Γράφημα τετραγωνικής συνάρτησης.

Για να σχεδιάσετε τη συνάρτηση $y = ax^2 + bx + c$, πρέπει να απομονώσετε ένα πλήρες τετράγωνο από το τετραγωνικό τριώνυμο $ax^2 + bx + c$, δηλαδή να το παραστήσετε με τη μορφή $a(x - x_0)^2 + y_0$ . Το γράφημα της συνάρτησης $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ προκύπτει από το αντίστοιχο γράφημα $y = ax^2$ μετατοπίζοντας κατά $x_0$ κατά μήκος του άξονα $x$ και κατά $y_0$ κατά μήκος του άξονα $y$. Ως αποτέλεσμα, το σημείο $(0;0)$ θα μετακινηθεί στο σημείο $(x_0;y_0)$.

Ορισμός

Η κορυφήη παραβολή $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ είναι το σημείο με συντεταγμένες $(x_0;y_0)$.

Ας κατασκευάσουμε μια παραβολή $y = 2x^2 - 4x - 6$. Επιλέγοντας το πλήρες τετράγωνο, παίρνουμε $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

Ας σχηματίσουμε γραφική παράσταση $y = 2x^2$ Ας το μετακινήσουμε προς τα δεξιά κατά 1 Και κάτω κατά 8



Το αποτέλεσμα είναι μια παραβολή με την κορυφή της στο σημείο $(1;-8)$.

Η γραφική παράσταση της τετραγωνικής συνάρτησης $y = ax^2 + bx + c$ τέμνει τον άξονα $y$ στο σημείο $(0; c)$ και τον άξονα $x$ στα σημεία $(x_(1,2) ;0)$, όπου $ x_(1,2)$ είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης $ax^2 + bx + c = 0$ (και αν η εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε η αντίστοιχη παραβολή δεν τέμνει το $ άξονας x$).

Για παράδειγμα, η παραβολή $y = 2x^2 - 4x - 6$ τέμνει τους άξονες στα σημεία $(0; -6)$, $(-1; 0)$ και $(3; 0)$.

Γράφημα τετραγωνικού τριωνύμου

2019-04-19

Τετράγωνο τριώνυμο

Ονομάσαμε ένα τετράγωνο τριώνυμο μια ολόκληρη λογική συνάρτηση δεύτερου βαθμού:

$y = ax^2 + bx + c$, (1)

όπου $a \neq 0$. Ας αποδείξουμε ότι η γραφική παράσταση ενός τετραγωνικού τριωνύμου είναι μια παραβολή που προκύπτει από παράλληλες μετατοπίσεις (στις κατευθύνσεις των αξόνων συντεταγμένων) από την παραβολή $y = ax^2$. Για να γίνει αυτό, παρουσιάζουμε την έκφραση (1) χρησιμοποιώντας simple μετασχηματισμοί ταυτότηταςστο μυαλό

$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)

Οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί, που γράφονται παρακάτω, είναι γνωστοί ως "εξαγωγή ακριβούς τετραγώνου":

$y = x^2 + bx + c = a \αριστερά (x^2 + \frac(b)(a) x \right) + c = a \αριστερά (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \right) - \frac (b^2)(4a) + c = a \αριστερά (x + \frac(b)(2a) \δεξιά)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")

Μειώσαμε το τετραγωνικό τριώνυμο στον σχηματισμό (2). εν

$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$

(αυτές οι εκφράσεις δεν πρέπει να απομνημονεύονται· είναι πιο βολικό να μετατρέπετε το τριώνυμο (1) στη μορφή (2) απευθείας κάθε φορά).

Τώρα είναι σαφές ότι η γραφική παράσταση του τριωνύμου (1) είναι μια παραβολή ίση με την παραβολή $y = ax^2$ και προκύπτει μετατοπίζοντας την παραβολή $y = ax^2$ στις κατευθύνσεις των αξόνων συντεταγμένων κατά $\ alpha$ και $\beta$ (λαμβάνοντας υπόψη το σύμβολο $\alpha$ και $\beta$) αντίστοιχα. Η κορυφή αυτής της παραβολής βρίσκεται στο σημείο $(- \alpha, \beta)$, ο άξονάς της είναι η ευθεία γραμμή $x = - \alpha$. Για $a > 0$, η κορυφή είναι το χαμηλότερο σημείο της παραβολής, για $a
Ας κάνουμε τώρα μια μελέτη του τετραγωνικού τριωνύμου, δηλαδή, θα μάθουμε τις ιδιότητές του ανάλογα με τις αριθμητικές τιμές των συντελεστών $a, b, c$ στην έκφρασή του (1).

Στην ισότητα (2") συμβολίζουμε την τιμή $b^2- 4ac$ με $d$:

$y = a \αριστερά (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ ονομάζεται ο διαχωριστής ενός τετραγωνικού τριωνύμου. Οι ιδιότητες του τριωνύμου (1) (και η θέση της γραφικής του παράστασης) καθορίζονται από τα πρόσημα της διακριτικής τιμής $d$ και του προπορευόμενου συντελεστή $a$.


1) $a > 0, d 0$; αφού $a > 0$, τότε το γράφημα βρίσκεται πάνω από την κορυφή $O^( \prime)$; βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο ($y > 0$ - Εικ. α.).

2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Η κορυφή $O^( \prime)$ βρίσκεται κάτω από τον άξονα $Ox$, η παραβολή τέμνει τον άξονα $Ox$ σε δύο σημεία $x_1, x_2$ (Εικ. γ.).

4) $ a 0 $. Η κορυφή $O^( \prime)$ βρίσκεται πάνω από τον άξονα $Ox$, η παραβολή τέμνει πάλι τον άξονα $Ox$ σε δύο σημεία $x_1, x_2$ (Εικ. δ).

5) $a > 0, d = 0$. Η κορυφή βρίσκεται στον ίδιο τον άξονα $Ox$, η παραβολή βρίσκεται στο άνω μισό επίπεδο (Εικ. ε).

6) $a
συμπεράσματα. Εάν $d 0$), ή χαμηλότερα (εάν $a
Εάν $d > 0$, τότε η συνάρτηση εναλλάσσεται (το γράφημα βρίσκεται εν μέρει κάτω και εν μέρει πάνω από τον άξονα $Ox$). Ένα τετράγωνο τριώνυμο με $d > 0$ έχει δύο ρίζες (μηδενικά) $x_1, x_2$. Για $a > 0$ είναι αρνητικό στο διάστημα μεταξύ των ριζών (Εικ. γ) και θετικό εκτός αυτού του διαστήματος. Σε $a

Μάθημα: Πώς να κατασκευάσετε μια παραβολή ή μια τετραγωνική συνάρτηση;

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

Η παραβολή είναι μια γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που περιγράφεται με τον τύπο ax 2 +bx+c=0.
Για να φτιάξετε μια παραβολή πρέπει να ακολουθήσετε έναν απλό αλγόριθμο:

1) Τύπος παραβολής y=ax 2 +bx+c,
Αν α>0τότε κατευθύνονται οι κλάδοι της παραβολής πάνω,
διαφορετικά οι κλάδοι της παραβολής κατευθύνονται κάτω.
Δωρεάν μέλος ντοΑυτό το σημείο τέμνει την παραβολή με τον άξονα OY.

2), βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο x=(-b)/2a, αντικαθιστούμε το ευρεθέν x στην εξίσωση της παραβολής και βρίσκουμε y;

3)Συναρτήσεις μηδενικάή, με άλλα λόγια, τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα ΟΧ, ονομάζονται και ρίζες της εξίσωσης. Για να βρούμε τις ρίζες εξισώνουμε την εξίσωση με 0 ax 2 +bx+c=0;

Τύποι εξισώσεων:

ένα ολόκληρο τετραγωνική εξίσωσημοιάζει με ax 2 +bx+c=0και λύνεται από το διακριτικό?
β) Ημιτελής δευτεροβάθμια εξίσωση της φόρμας τσεκούρι 2 +bx=0.Για να το λύσετε, πρέπει να βγάλετε το x από αγκύλες και, στη συνέχεια, να εξισώσετε κάθε παράγοντα με 0:
τσεκούρι 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 και ax+b=0;
γ) Ημιτελής δευτεροβάθμια εξίσωση της φόρμας τσεκούρι 2 +γ=0.Για να το λύσετε, πρέπει να μετακινήσετε τα άγνωστα στη μία πλευρά και τα γνωστά στην άλλη. x =±√(c/a);

4) Βρείτε πολλά επιπλέον σημεία για να κατασκευάσετε τη συνάρτηση.

ΠΡΑΚΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

Και έτσι τώρα, χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα, θα αναλύσουμε τα πάντα βήμα προς βήμα:
Παράδειγμα #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 σημαίνει ότι η παραβολή τέμνει το OY στο σημείο x=0 y=3. Οι κλάδοι της παραβολής κοιτάζουν προς τα πάνω αφού a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 κορυφή βρίσκεται στο σημείο (-2;-1)
Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 +4x+3=0
Χρησιμοποιώντας το διακριτικό βρίσκουμε τις ρίζες
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Ας πάρουμε πολλά αυθαίρετα σημεία που βρίσκονται κοντά στην κορυφή x = -2

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

Αντικαταστήστε αντί του x στην εξίσωση y=x 2 +4x+3 τιμές
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Από τις τιμές της συνάρτησης φαίνεται ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x = -2

Παράδειγμα #2:
y=-x 2 +4x
c=0 σημαίνει ότι η παραβολή τέμνει το OY στο σημείο x=0 y=0. Οι κλάδοι της παραβολής κοιτούν προς τα κάτω αφού a=-1 -1 Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης -x 2 +4x=0
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +bx=0. Για να το λύσετε, πρέπει να βγάλετε το x από αγκύλες και μετά να εξισώσετε κάθε παράγοντα με 0.
x(-x+4)=0, x=0 και x=4.

Ας πάρουμε πολλά αυθαίρετα σημεία που βρίσκονται κοντά στην κορυφή x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Αντικαταστήστε αντί του x στην εξίσωση y=-x 2 +4x τιμές
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Από τις τιμές της συνάρτησης φαίνεται ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x = 2

Παράδειγμα Νο. 3
y=x 2 -4
c=4 σημαίνει ότι η παραβολή τέμνει το OY στο σημείο x=0 y=4. Οι κλάδοι της παραβολής κοιτάζουν προς τα πάνω αφού a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 η κορυφή βρίσκεται στο σημείο (0;- 4 )
Ας βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης x 2 -4=0
Ημιτελής τετραγωνική εξίσωση της μορφής ax 2 +c=0. Για να το λύσετε, πρέπει να μετακινήσετε τα άγνωστα στη μία πλευρά και τα γνωστά στην άλλη. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Ας πάρουμε πολλά αυθαίρετα σημεία που βρίσκονται κοντά στην κορυφή x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Αντικαταστήστε αντί του x στην εξίσωση y= x 2 -4 τιμές
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Από τις τιμές της συνάρτησης φαίνεται ότι η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x=0

Εγγραφείτε στο κανάλι στο YOUTUBEγια να ενημερώνεστε για όλα τα νέα προϊόντα και να προετοιμαστείτε μαζί μας για εξετάσεις.

Ορίζεται από τον τύπο $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Οι αριθμοί $a, b$ και $c$ είναι οι συντελεστές ενός τετραγωνικού τριωνύμου, είναι συνήθως ονομάζεται: α - ο κορυφαίος, β - δεύτερος ή μέσος συντελεστής, γ - ελεύθερο μέλος. Μια συνάρτηση της μορφής y = ax 2 + bx + c ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Όλες αυτές οι παραβολές έχουν την κορυφή τους στην αρχή. για a > 0 αυτό είναι το χαμηλότερο σημείο του γραφήματος (η μικρότερη τιμή της συνάρτησης) και για a< 0, наоборот, το ΨΗΛΟΤΕΡΟ ΣΗΜΕΙΟ(υψηλότερη τιμή συνάρτησης). Ο άξονας Oy είναι ο άξονας συμμετρίας καθεμιάς από αυτές τις παραβολές.

Όπως φαίνεται, για a > 0 η παραβολή κατευθύνεται προς τα πάνω, για a< 0 - вниз.

Υπάρχει μια απλή και βολική γραφική μέθοδος που σας επιτρέπει να κατασκευάσετε οποιοδήποτε αριθμό σημείων της παραβολής y = ax 2 χωρίς υπολογισμούς, εάν είναι γνωστό ένα σημείο της παραβολής εκτός από την κορυφή. Έστω το σημείο M(x 0 , y 0) στην παραβολή y = ax 2 (Εικ. 2). Αν θέλουμε να κατασκευάσουμε n επιπλέον n σημεία μεταξύ των σημείων O και M, τότε διαιρούμε το τμήμα ON του άξονα της τετμημένης με n + 1 ίσα μέρηκαι στα σημεία διαίρεσης σχεδιάζουμε κάθετες στον άξονα Ox. Διαιρούμε το τμήμα NM σε ίσα μέρη και συνδέουμε τα σημεία διαίρεσης με ακτίνες στην αρχή των συντεταγμένων. Τα απαιτούμενα σημεία της παραβολής βρίσκονται στη τομή των καθέτων και των ακτίνων με τους ίδιους αριθμούς (στο Σχ. 2 ο αριθμός των σημείων διαίρεσης είναι 9).

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ax 2 + bx + c διαφέρει από τη γραφική παράσταση y = ax 2 μόνο στη θέση της και μπορεί να ληφθεί απλώς μετακινώντας την καμπύλη στο σχέδιο. Αυτό προκύπτει από την παράσταση του τετραγωνικού τριωνύμου στη μορφή

από το οποίο είναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = ax 2 + bx + c είναι παραβολή y = ax 2, η κορυφή της οποίας μετακινείται στο σημείο

και ο άξονας συμμετρίας του παρέμεινε παράλληλος με τον άξονα Oy (Εικ. 3). Από την προκύπτουσα έκφραση για ένα τετραγωνικό τριώνυμο, εύκολα ακολουθούν όλες οι βασικές του ιδιότητες. Η έκφραση D = b 2 − 4ac ονομάζεται διάκριση του τετραγωνικού τριωνύμου ax 2 + bx + c και διακρίνουσα της συσχετισμένης τετραγωνικής εξίσωσης ax 2 + bx + c = 0. Το πρόσημο της διακρίνουσας καθορίζει αν η γραφική παράσταση του το τετραγωνικό τριώνυμο τέμνει τον άξονα x ή βρίσκεται στην ίδια πλευρά από αυτήν. Δηλαδή, εάν ο Δ< 0, то парабола не имеет κοινά σημείαμε τον άξονα Ox, στην περίπτωση αυτή: αν a > 0, τότε η παραβολή βρίσκεται πάνω από τον άξονα Ox, και αν α< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 η γραφική παράσταση ενός τετραγωνικού τριωνύμου τέμνει τον άξονα x σε δύο σημεία x 1 και x 2, τα οποία είναι οι ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης ax 2 + bx + c = 0 και είναι ίσα, αντίστοιχα

Στο D = 0 η παραβολή αγγίζει τον άξονα Ox στο σημείο

Οι ιδιότητες του τετραγωνικού τριωνύμου αποτελούν τη βάση για την επίλυση τετραγωνικών ανισώσεων. Ας το εξηγήσουμε αυτό με ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρούμε όλες τις λύσεις στην ανισότητα 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, τότε η αντίστοιχη τετραγωνική εξίσωση 3x 2 − 2x − 1 = 0 έχει δύο διαφορετικές ρίζες, προσδιορίζονται από τους τύπους που δόθηκαν προηγουμένως:

x 1 = −1/3 και x 2 = 1.

Στο εξεταζόμενο τετραγωνικό τριώνυμο, a = 3 > 0, που σημαίνει ότι οι κλάδοι του γραφήματος του κατευθύνονται προς τα πάνω και οι τιμές του τετραγωνικού τριωνύμου είναι αρνητικές μόνο στο διάστημα μεταξύ των ριζών. Άρα, όλες οι λύσεις στην ανισότητα ικανοποιούν την συνθήκη

−1/3 < x < 1.

ΠΡΟΣ ΤΗΝ τετραγωνικές ανισότητεςδιάφορες ανισότητες μπορούν να μειωθούν με τις ίδιες αντικαταστάσεις με τις οποίες διάφορες εξισώσεις ανάγονται σε μια δευτεροβάθμια εξίσωση.