Ας συνεχίσουμε τη συζήτηση για ενέργειες με πίνακες. Δηλαδή, κατά τη διάρκεια της μελέτης αυτής της διάλεξης θα μάθετε πώς να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα. Μαθαίνω. Ακόμα κι αν τα μαθηματικά είναι δύσκολα.

Τι είναι ένας αντίστροφος πίνακας; Εδώ μπορούμε να κάνουμε μια αναλογία με αμοιβαίοι αριθμοί: Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τον αισιόδοξο αριθμό 5 και τον αντίστροφο αριθμό του. Το γινόμενο αυτών των αριθμών είναι ίσο με ένα: . Όλα είναι παρόμοια με τις μήτρες! Το γινόμενο ενός πίνακα και του αντίστροφου πίνακα του είναι ίσο με - μήτρα ταυτότητας, που είναι το ανάλογο μήτρας της αριθμητικής μονάδας. Ωστόσο, πρώτα πρώτα – ας λύσουμε πρώτα το σημαντικό. πρακτική ερώτηση, δηλαδή, θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε αυτόν τον πολύ αντίστροφο πίνακα.

Τι πρέπει να γνωρίζετε και να είστε σε θέση να κάνετε για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα; Πρέπει να μπορείς να αποφασίσεις προκριματικά. Πρέπει να καταλάβετε τι είναι μήτρακαι να μπορείτε να κάνετε κάποιες ενέργειες μαζί τους.

Υπάρχουν δύο κύριες μέθοδοι για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα:
με τη χρήση αλγεβρικές προσθήκεςΚαι χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Σήμερα θα μελετήσουμε την πρώτη, απλούστερη μέθοδο.

Ας ξεκινήσουμε με το πιο τρομερό και ακατανόητο. Ας σκεφτούμε τετράγωνομήτρα. Ο αντίστροφος πίνακας μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

Όπου είναι η ορίζουσα του πίνακα, είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Η έννοια του αντίστροφου πίνακα υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακες, πίνακες «δύο επί δύο», «τρία επί τρία» κ.λπ.

Ονομασίες: Όπως ίσως έχετε ήδη παρατηρήσει, ο αντίστροφος πίνακας συμβολίζεται με έναν εκθέτη

Ας ξεκινήσουμε με την απλούστερη περίπτωση - έναν πίνακα δύο προς δύο. Τις περισσότερες φορές, φυσικά, απαιτείται "τρία επί τρία", αλλά, ωστόσο, συνιστώ ανεπιφύλακτα να μελετήσετε μια απλούστερη εργασία για να κατακτήσετε γενική αρχήλύσεις.

Παράδειγμα:

Βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα

Ας αποφασίσουμε. Είναι βολικό να αναλύετε την ακολουθία των ενεργειών σημείο προς σημείο.

1) Πρώτα βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα.

Εάν δεν κατανοείτε καλά αυτήν την ενέργεια, διαβάστε το υλικό Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα;

Σπουδαίος!Εάν η ορίζουσα του πίνακα είναι ίση με ΜΗΔΕΝ– αντίστροφος πίνακας ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΕΙ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, όπως αποδείχθηκε, , που σημαίνει ότι όλα είναι εντάξει.

2) Βρείτε τον πίνακα των ανηλίκων.

Για να λύσουμε το πρόβλημά μας, δεν είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τι είναι ανήλικο, ωστόσο, καλό είναι να διαβάσετε το άρθρο Πώς να υπολογίσετε την ορίζουσα.

Ο πίνακας των ανηλίκων έχει τις ίδιες διαστάσεις με τον πίνακα, δηλαδή σε αυτήν την περίπτωση.
Το μόνο που μένει είναι να βρείτε τέσσερις αριθμούς και να τους βάλετε αντί για αστερίσκους.

Ας επιστρέψουμε στο matrix μας
Ας δούμε πρώτα το επάνω αριστερό στοιχείο:

Πώς να το βρείτε ανήλικος?
Και αυτό γίνεται ως εξής: Διαγράφετε ΝΟΗΤΙΚΑ τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται αυτό το στοιχείο:

Ο αριθμός που απομένει είναι ήσσονος σημασίας αυτού του στοιχείου, που γράφουμε στη μήτρα των ανηλίκων:

Εξετάστε το ακόλουθο στοιχείο μήτρας:

Διαγράψτε νοερά τη γραμμή και τη στήλη στην οποία εμφανίζεται αυτό το στοιχείο:

Αυτό που μένει είναι το ελάσσονα αυτού του στοιχείου, το οποίο γράφουμε στον πίνακα μας:

Ομοίως, εξετάζουμε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς και βρίσκουμε τα δευτερεύοντα στοιχεία τους:


Ετοιμος.

Είναι απλό. Στη μήτρα των ανηλίκων χρειάζεσαι ΑΛΛΑΞΤΕ ΣΗΜΑΔΙΑδύο αριθμοί:

Αυτοί είναι οι αριθμοί που κύκλωσα!

– πίνακας αλγεβρικών προσθηκών των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Και απλά...

4) Να βρείτε τον μετατιθέμενο πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών.

– μετατιθέμενος πίνακας αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

5) Απάντηση.

Ας θυμηθούμε τη φόρμουλα μας
Όλα βρέθηκαν!

Άρα ο αντίστροφος πίνακας είναι:

Είναι καλύτερα να αφήσετε την απάντηση ως έχει. ΔΕΝ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙΔιαιρέστε κάθε στοιχείο του πίνακα με το 2, όπως προκύπτει κλασματικοί αριθμοί. Αυτή η απόχρωση συζητείται λεπτομερέστερα στο ίδιο άρθρο. Δράσεις με πίνακες.

Πώς να ελέγξετε τη λύση;

Πρέπει να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό πίνακα ή

Εξέταση:

Έχει ήδη αναφερθεί μήτρα ταυτότηταςείναι ένας πίνακας με ένα από κύρια διαγώνιοκαι μηδενικά σε άλλα μέρη.

Έτσι, ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται σωστά.

Εάν πραγματοποιήσετε τη δράση, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένας πίνακας ταυτότητας. Αυτή είναι μια από τις λίγες περιπτώσεις όπου ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι ανταλλάξιμος, περισσότερες λεπτομέρειες μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Ιδιότητες πράξεων σε πίνακες. Εκφράσεις μήτρας. Σημειώστε επίσης ότι κατά τη διάρκεια του ελέγχου, η σταθερά (κλάσμα) μεταφέρεται προς τα εμπρός και υποβάλλεται σε επεξεργασία στο τέλος - μετά τον πολλαπλασιασμό του πίνακα. Αυτή είναι μια τυπική τεχνική.

Ας προχωρήσουμε σε μια πιο κοινή περίπτωση στην πράξη - τον πίνακα τρία προς τρία:

Παράδειγμα:

Βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα

Ο αλγόριθμος είναι ακριβώς ο ίδιος με την περίπτωση «δύο επί δύο».

Βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο: , όπου είναι ο μετατιθέμενος πίνακας των αλγεβρικών συμπληρωμάτων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

1) Να βρείτε την ορίζουσα του πίνακα.


Εδώ αποκαλύπτεται η καθοριστική στην πρώτη γραμμή.

Επίσης, μην ξεχνάτε αυτό, που σημαίνει ότι όλα είναι καλά - υπάρχει αντίστροφος πίνακας.

2) Βρείτε τον πίνακα των ανηλίκων.

Ο πίνακας των ανηλίκων έχει διάσταση "τρία επί τρία" , και πρέπει να βρούμε εννέα αριθμούς.

Θα ρίξω μια πιο προσεκτική ματιά σε μερικά ανήλικα:

Εξετάστε το ακόλουθο στοιχείο μήτρας:

Διαγράψτε ΝΟΗΤΙΚΑ τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται αυτό το στοιχείο:

Γράφουμε τους υπόλοιπους τέσσερις αριθμούς στην ορίζουσα «δύο επί δύο».

Αυτός ο καθοριστικός παράγοντας δύο προς δύο και είναι η ελάσσονα αυτού του στοιχείου. Πρέπει να υπολογιστεί:


Αυτό είναι όλο, το ανήλικο βρέθηκε, το γράφουμε στη μήτρα των ανηλίκων:

Όπως πιθανώς μαντέψατε, πρέπει να υπολογίσετε εννέα προσδιοριστές δύο προς δύο. Η διαδικασία, φυσικά, είναι κουραστική, αλλά η υπόθεση δεν είναι η πιο σοβαρή, μπορεί να είναι χειρότερη.

Λοιπόν, για να ενοποιήσουμε - βρίσκοντας ένα άλλο ανήλικο στις φωτογραφίες:

Προσπαθήστε να υπολογίσετε μόνοι σας τα υπόλοιπα ανήλικα.

Τελικό αποτέλεσμα:
– πίνακας ανηλίκων των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Το ότι όλοι οι ανήλικοι αποδείχθηκαν αρνητικοί είναι καθαρά ατύχημα.

3) Να βρείτε τον πίνακα των αλγεβρικών προσθηκών.

Στο matrix των ανηλίκων είναι απαραίτητο ΑΛΛΑΞΤΕ ΣΗΜΑΔΙΑαυστηρά για τα ακόλουθα στοιχεία:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Δεν εξετάζουμε το ενδεχόμενο να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα για έναν πίνακα «τέσσερα επί τέσσερα», καθώς μια τέτοια εργασία μπορεί να δοθεί μόνο από έναν σαδιστή δάσκαλο (για να υπολογίσει ο μαθητής μια ορίζουσα «τέσσερα επί τέσσερα» και 16 «τρία επί τρία» ορίζοντες ). Στην πρακτική μου, υπήρχε μόνο μία τέτοια περίπτωση, και ο πελάτης δοκιμαστική εργασίαπλήρωσα πολύ ακριβά το μαρτύριο μου =).

Σε πολλά εγχειρίδια και εγχειρίδια μπορείτε να βρείτε μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα, αλλά συνιστώ να χρησιμοποιήσετε τον αλγόριθμο λύσης που περιγράφεται παραπάνω. Γιατί; Γιατί η πιθανότητα σύγχυσης στους υπολογισμούς και τα σημάδια είναι πολύ μικρότερη.

1. Βρείτε την ορίζουσα του αρχικού πίνακα. Αν , τότε ο πίνακας είναι ενικός και δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας. Αν, τότε υπάρχει ένας μη εκφυλισμένος και αντίστροφος πίνακας.

2. Βρείτε τον πίνακα που μετατίθεται.

3. Να βρείτε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων και να συνθέσετε από αυτά τον παρακείμενο πίνακα.

4. Συνθέτουμε τον αντίστροφο πίνακα χρησιμοποιώντας τον τύπο.

5. Ελέγχουμε την ορθότητα του υπολογισμού του αντίστροφου πίνακα, με βάση τον ορισμό του:.

Παράδειγμα.Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα αυτού: .

Λύση.

1) Ορίζουσα μήτρας

.

2) Βρείτε τα αλγεβρικά συμπληρώματα των στοιχείων του πίνακα και συνθέστε από αυτά τον παρακείμενο πίνακα:

3) Υπολογίστε τον αντίστροφο πίνακα:

,

4) Ελέγξτε:

№4Κατάταξη μήτρας. Γραμμική ανεξαρτησία σειρών μήτρας

Να λύσει και να μελετήσει πλήθος μαθηματικών και εφαρμοσμένα προβλήματαΗ έννοια της κατάταξης μήτρας είναι σημαντική.

Σε έναν πίνακα μεγέθους, διαγράφοντας οποιεσδήποτε σειρές και στήλες, μπορείτε να απομονώσετε τετράγωνους υπομήτρες ης τάξης, όπου. Οι ορίζουσες τέτοιων υποπίνακες ονομάζονται ανήλικοι της σειράς matrix .

Για παράδειγμα, από πίνακες μπορείτε να αποκτήσετε υποπίνακες 1ης, 2ης και 3ης τάξης.

Ορισμός.Η κατάταξη ενός πίνακα είναι η υψηλότερη τάξη από τα μη μηδενικά δευτερεύοντα στοιχεία αυτού του πίνακα. Ονομασία: ή.

Από τον ορισμό προκύπτει:

1) Η κατάταξη του πίνακα δεν υπερβαίνει τη μικρότερη από τις διαστάσεις του, δηλ.

2) εάν και μόνο εάν όλα τα στοιχεία του πίνακα είναι ίσα με μηδέν, δηλ.

3) Για τετράγωνο πίνακα νης τάξης εάν και μόνο εάν ο πίνακας δεν είναι ενικός.

Δεδομένου ότι η απευθείας απαρίθμηση όλων των πιθανών δευτερευόντων του πίνακα, ξεκινώντας από το μεγαλύτερο μέγεθος, είναι δύσκολη ( χρονοβόρα), χρησιμοποιούν στοιχειώδεις μετασχηματισμούς πίνακα που διατηρούν την κατάταξη του πίνακα.

Μετασχηματισμοί στοιχειώδους πίνακα:

1) Απόρριψη της μηδενικής σειράς (στήλης).

2) Πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων μιας σειράς (στήλης) με έναν αριθμό.

3) Αλλαγή της σειράς των γραμμών (στηλών) του πίνακα.

4) Προσθέτοντας σε κάθε στοιχείο μιας σειράς (στήλης) τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης), πολλαπλασιαζόμενα με οποιοδήποτε αριθμό.

5) Μεταφορά μήτρας.

Ορισμός.Ένας πίνακας που λαμβάνεται από έναν πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς ονομάζεται ισοδύναμος και συμβολίζεται ΕΝΑ ΣΕ.

Θεώρημα.Η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει κατά τους μετασχηματισμούς στοιχειώδους πίνακα.

Χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, μπορείτε να μειώσετε τον πίνακα στη λεγόμενη φόρμα βήματος, όταν ο υπολογισμός της κατάταξής του δεν είναι δύσκολος.

Ένας πίνακας ονομάζεται κλιμάκιο εάν έχει τη μορφή:

Προφανώς, η κατάταξη ενός πίνακα βήματος είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών σειρών, αφού υπάρχει μια δευτερεύουσα σειρά που δεν είναι ίση με μηδέν:

.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε την κατάταξη ενός πίνακα χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς.

Η κατάταξη του πίνακα είναι ίση με τον αριθμό των μη μηδενικών σειρών, δηλ. .

№5Γραμμική ανεξαρτησία σειρών μήτρας

Δίνεται ένας πίνακας μεγεθών

Ας συμβολίσουμε τις σειρές του πίνακα ως εξής:

Οι δύο γραμμές λέγονται ίσος , αν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα. .

Ας εισαγάγουμε τις πράξεις του πολλαπλασιασμού μιας συμβολοσειράς με έναν αριθμό και της προσθήκης συμβολοσειρών ως πράξεις που εκτελούνται στοιχείο προς στοιχείο:

Ορισμός.Μια σειρά ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός σειρών ενός πίνακα αν είναι ίση με το άθροισμα των γινομένων αυτών των σειρών με αυθαίρετους πραγματικούς αριθμούς (οποιοιδήποτε αριθμοί):

Ορισμός.Οι σειρές του πίνακα καλούνται γραμμικά εξαρτώμενη , εάν υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι ταυτόχρονα ίσοι με μηδέν, έτσι ώστε ένας γραμμικός συνδυασμός σειρών μήτρας να είναι ίσος με τη μηδενική σειρά:

Οπου . (1.1)

Η γραμμική εξάρτηση των σειρών μήτρας σημαίνει ότι τουλάχιστον 1 σειρά του πίνακα είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των υπολοίπων.

Ορισμός.Εάν ένας γραμμικός συνδυασμός σειρών (1.1) είναι ίσος με μηδέν εάν και μόνο εάν όλοι οι συντελεστές είναι , τότε οι σειρές καλούνται γραμμικά ανεξάρτητη .

Θεώρημα κατάταξης πίνακα . Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ίση με τον μέγιστο αριθμό των γραμμικά ανεξάρτητων σειρών ή στηλών του μέσω των οποίων εκφράζονται γραμμικά όλες οι άλλες σειρές (στήλες).

Το θεώρημα παίζει θεμελιώδη ρόλο στην ανάλυση πινάκων, ιδιαίτερα στη μελέτη συστημάτων γραμμικές εξισώσεις.

№6Επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους

Τα συστήματα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιούνται ευρέως στα οικονομικά.

Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων με μεταβλητές έχει τη μορφή:

,

όπου () καλούνται αυθαίρετοι αριθμοί συντελεστές για μεταβλητές Και ελεύθεροι όροι των εξισώσεων , αντίστοιχα.

Σύντομη καταχώρηση: ().

Ορισμός.Η λύση του συστήματος είναι ένα τέτοιο σύνολο τιμών, με την αντικατάσταση του οποίου κάθε εξίσωση του συστήματος μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα.

1) Το σύστημα των εξισώσεων λέγεται άρθρωση , εάν έχει τουλάχιστον μία λύση, και μη άρθρωση, αν δεν έχει λύσεις.

2) Το ταυτόχρονο σύστημα εξισώσεων λέγεται βέβαιος αν έχει μόνη απόφαση, Και αβέβαιος , εάν έχει περισσότερες από μία λύσεις.

3) Λέγονται δύο συστήματα εξισώσεων ισοδύναμος (ισοδύναμος ) , εάν έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων (για παράδειγμα, μία λύση).

Παρόμοιο με το αντίστροφο σε πολλές ιδιότητες.

Εγκυκλοπαιδικό YouTube

    1 / 5

    ✪ Αντίστροφος πίνακας (2 τρόποι εύρεσης)

    ✪ Πώς να βρείτε το αντίστροφο μιας μήτρας - bezbotvy

    ✪ Αντίστροφος πίνακας #1

    ✪ Επίλυση συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα - bezbotvy

    ✪ Αντίστροφη μήτρα

    Υπότιτλοι

Ιδιότητες αντίστροφου πίνακα

  • det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Οπου det (\displaystyle \\det )δηλώνει την ορίζουσα.
  • (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1))για δύο τετράγωνους αντιστρέψιμους πίνακες A (\displaystyle A)Και B (\displaystyle B).
  • (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Οπου (. . .) T (\displaystyle (...)^(T))υποδηλώνει έναν μετατιθέμενο πίνακα.
  • (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1))για οποιοδήποτε συντελεστή k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
  • E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
  • Εάν είναι απαραίτητο να λυθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων, (b είναι μη μηδενικό διάνυσμα) όπου x (\displaystyle x)είναι το επιθυμητό διάνυσμα, και αν A − 1 (\displaystyle A^(-1))υπάρχει λοιπόν x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Διαφορετικά, είτε η διάσταση του χώρου λύσης είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, είτε δεν υπάρχουν καθόλου λύσεις.

Μέθοδοι εύρεσης του αντίστροφου πίνακα

Εάν ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος, τότε για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία από τις ακόλουθες μεθόδους:

Ακριβείς (άμεσες) μέθοδοι

Μέθοδος Gauss-Jordan

Ας πάρουμε δύο πίνακες: το ΕΝΑκαι single μι. Ας παρουσιάσουμε τη μήτρα ΕΝΑστον πίνακα ταυτότητας χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss-Jordan, εφαρμόζοντας μετασχηματισμούς κατά μήκος των γραμμών (μπορείτε επίσης να εφαρμόσετε μετασχηματισμούς κατά μήκος των στηλών, αλλά όχι αναμεμειγμένους). Αφού εφαρμόσετε κάθε πράξη στον πρώτο πίνακα, εφαρμόστε την ίδια πράξη στον δεύτερο. Όταν ολοκληρωθεί η αναγωγή του πρώτου πίνακα σε μορφή μονάδας, ο δεύτερος πίνακας θα είναι ίσος με A−1.

Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gaussian, ο πρώτος πίνακας θα πολλαπλασιαστεί στα αριστερά με έναν από τους στοιχειώδεις πίνακες Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(μετατομή ή διαγώνιος πίνακας με μονάδες στην κύρια διαγώνιο, εκτός από μία θέση):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Δεξί βέλος \Λάμδα =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Λάμδα _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\dots &&&\\0&\dots &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&1/a_(mm)&0&\dots &0\\0&\dots &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\dots &0\\&&&\dots &&&\\0&\dots &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\dots &1\end(bmatrix))).

Ο δεύτερος πίνακας μετά την εφαρμογή όλων των πράξεων θα είναι ίσος με Λ (\displaystyle \Lambda), δηλαδή θα είναι το επιθυμητό. Πολυπλοκότητα αλγορίθμου - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Χρησιμοποιώντας τον αλγεβρικό συμπληρωματικό πίνακα

Πίνακας αντίστροφος πίνακας A (\displaystyle A), μπορεί να αναπαρασταθεί στη μορφή

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Οπου adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- πρόσθετος πίνακας.

Η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου εξαρτάται από την πολυπλοκότητα του αλγορίθμου για τον υπολογισμό της ορίζουσας O det και είναι ίση με O(n²)·O det.

Χρήση αποσύνθεσης LU/LUP

Εξίσωση μήτρας A X = I n (\displaystyle AX=I_(n))για τον αντίστροφο πίνακα X (\displaystyle X)μπορεί να θεωρηθεί ως συλλογή n (\displaystyle n)συστήματα της μορφής A x = b (\displaystyle Ax=b). Ας υποδηλώσουμε i (\displaystyle i)η στήλη του πίνακα X (\displaystyle X)διά μέσου X i (\displaystyle X_(i)); Επειτα A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),επειδή η i (\displaystyle i)η στήλη του πίνακα I n (\displaystyle I_(n))είναι το μοναδιαίο διάνυσμα e i (\displaystyle e_(i)). Με άλλα λόγια, η εύρεση του αντίστροφου πίνακα καταλήγει στην επίλυση n εξισώσεων με τον ίδιο πίνακα και διαφορετικές δεξιές πλευρές. Μετά την εκτέλεση της αποσύνθεσης LUP (χρόνος O(n³), η επίλυση καθεμίας από τις n εξισώσεις απαιτεί χρόνο O(n²), επομένως αυτό το μέρος της εργασίας απαιτεί επίσης χρόνο O(n³).

Εάν ο πίνακας Α είναι μη μοναδικός, τότε η αποσύνθεση LUP μπορεί να υπολογιστεί γι' αυτόν P A = L U (\displaystyle PA=LU). Αφήνω P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Τότε από τις ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα μπορούμε να γράψουμε: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Εάν πολλαπλασιάσετε αυτήν την ισότητα με U και L, μπορείτε να πάρετε δύο ισότητες της φόρμας U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1))Και D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Η πρώτη από αυτές τις ισότητες είναι ένα σύστημα n² γραμμικών εξισώσεων για n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))από το οποίο είναι γνωστές οι δεξιές πλευρές (από τις ιδιότητες των τριγωνικών πινάκων). Το δεύτερο αντιπροσωπεύει επίσης ένα σύστημα n² γραμμικών εξισώσεων για n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))από το οποίο είναι γνωστές οι δεξιές πλευρές (επίσης από τις ιδιότητες των τριγωνικών πινάκων). Μαζί αντιπροσωπεύουν ένα σύστημα n² ισοτήτων. Χρησιμοποιώντας αυτές τις ισότητες, μπορούμε να προσδιορίσουμε αναδρομικά όλα τα στοιχεία n² του πίνακα D. Στη συνέχεια από την ισότητα (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. λαμβάνουμε την ισότητα A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Στην περίπτωση χρήσης της αποσύνθεσης LU, δεν απαιτείται μετάθεση των στηλών του πίνακα D, αλλά η λύση μπορεί να αποκλίνει ακόμα κι αν ο πίνακας Α είναι μη μοναδικός.

Η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου είναι O(n³).

Επαναληπτικές μέθοδοι

Μέθοδοι Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\άθροισμα _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end (περιπτώσεις)))

Εκτίμηση σφάλματος

Επιλογή αρχικής προσέγγισης

Το πρόβλημα της επιλογής της αρχικής προσέγγισης στις διαδικασίες αναστροφής επαναληπτικού πίνακα που εξετάζονται εδώ δεν μας επιτρέπει να τις αντιμετωπίσουμε ως ανεξάρτητες καθολικές μεθόδους που ανταγωνίζονται τις μεθόδους άμεσης αναστροφής που βασίζονται, για παράδειγμα, στην αποσύνθεση πινάκων LU. Υπάρχουν ορισμένες συστάσεις για την επιλογή U 0 (\displaystyle U_(0)), διασφαλίζοντας την εκπλήρωση της προϋπόθεσης ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (η φασματική ακτίνα του πίνακα είναι μικρότερη από τη μονάδα), η οποία είναι απαραίτητη και επαρκής για τη σύγκλιση της διαδικασίας. Ωστόσο, σε αυτήν την περίπτωση, καταρχάς, απαιτείται να γνωρίζουμε από πάνω την εκτίμηση για το φάσμα του αντιστρέψιμου πίνακα Α ή του πίνακα A A T (\displaystyle AA^(T))(δηλαδή, εάν το Α είναι ένας συμμετρικός θετικός καθορισμένος πίνακας και ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), τότε μπορείτε να πάρετε U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Οπου ; αν το Α είναι ένας αυθαίρετος μη ενικός πίνακας και ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), τότε πιστεύουν U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), όπου επίσης α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Μπορείτε, φυσικά, να απλοποιήσετε την κατάσταση και να επωφεληθείτε από το γεγονός ότι ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), βάζω U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Δεύτερον, όταν προσδιορίζεται η αρχική μήτρα με αυτόν τον τρόπο, δεν υπάρχει καμία εγγύηση ότι ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|)θα είναι μικρό (ίσως και να αποδειχτεί ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), Και υψηλή τάξηη ταχύτητα της σύγκλισης δεν θα αποκαλυφθεί αμέσως.

Παραδείγματα

Matrix 2x2

Δεν είναι δυνατή η ανάλυση της έκφρασης (σφάλμα σύνταξης): (\displaystyle \mathbf(A)^(-1) = \begin(bmatrix) a & b \\ c & d \\ \end(bmatrix)^(-1) = \ frac (1)(\det(\mathbf(A))) \begin& \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end(bmatrix) = \frac(1)(ad - bc) \ αρχή (bmatrix) \,\,\,d & \!\!-b\\ -c & \,a \\ \end(bmatrix).)

Η αντιστροφή ενός πίνακα 2x2 είναι δυνατή μόνο υπό την προϋπόθεση ότι a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Συνήθως, οι αντίστροφες πράξεις χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση σύνθετων αλγεβρικών εκφράσεων. Για παράδειγμα, εάν το πρόβλημα περιλαμβάνει τη λειτουργία της διαίρεσης με ένα κλάσμα, μπορείτε να το αντικαταστήσετε με τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού με το αντίστροφο ενός κλάσματος, που είναι η αντίστροφη πράξη. Επιπλέον, οι πίνακες δεν μπορούν να διαιρεθούν, επομένως πρέπει να πολλαπλασιάσετε με τον αντίστροφο πίνακα. Ο υπολογισμός του αντίστροφου ενός πίνακα 3x3 είναι αρκετά κουραστικός, αλλά πρέπει να μπορείτε να το κάνετε χειροκίνητα. Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο χρησιμοποιώντας μια καλή αριθμομηχανή γραφημάτων.

Βήματα

Χρησιμοποιώντας τον προσαρτημένο πίνακα

Μεταφέρετε τον αρχικό πίνακα.Η μεταφορά είναι η αντικατάσταση των σειρών με στήλες σε σχέση με την κύρια διαγώνιο του πίνακα, δηλαδή, πρέπει να ανταλλάξετε τα στοιχεία (i,j) και (j,i). Σε αυτήν την περίπτωση, τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου (ξεκινά από την επάνω αριστερή γωνία και τελειώνουν στην κάτω δεξιά γωνία) δεν αλλάζουν.

  • Για να αλλάξετε τις γραμμές σε στήλες, γράψτε τα στοιχεία της πρώτης σειράς στην πρώτη στήλη, τα στοιχεία της δεύτερης σειράς στη δεύτερη στήλη και τα στοιχεία της τρίτης σειράς στην τρίτη στήλη. Η σειρά αλλαγής της θέσης των στοιχείων φαίνεται στο σχήμα, στο οποίο τα αντίστοιχα στοιχεία κυκλώνονται με έγχρωμους κύκλους.

  • Βρείτε τον ορισμό κάθε πίνακα 2x2.Κάθε στοιχείο οποιουδήποτε πίνακα, συμπεριλαμβανομένου ενός μεταφερόμενου, σχετίζεται με έναν αντίστοιχο πίνακα 2x2. Για να βρείτε έναν πίνακα 2x2 που αντιστοιχεί σε ένα συγκεκριμένο στοιχείο, διαγράψτε τη γραμμή και τη στήλη στην οποία βρίσκεται το δεδομένο στοιχείο, δηλαδή, πρέπει να διαγράψετε πέντε στοιχεία του αρχικού πίνακα 3x3. Τέσσερα στοιχεία θα παραμείνουν χωρίς διασταύρωση, τα οποία είναι στοιχεία του αντίστοιχου πίνακα 2x2.

    • Για παράδειγμα, για να βρείτε έναν πίνακα 2x2 για το στοιχείο που βρίσκεται στη διασταύρωση της δεύτερης σειράς και της πρώτης στήλης, διαγράψτε τα πέντε στοιχεία που βρίσκονται στη δεύτερη σειρά και στην πρώτη στήλη. Τα υπόλοιπα τέσσερα στοιχεία είναι στοιχεία του αντίστοιχου πίνακα 2x2.
    • Βρείτε την ορίζουσα κάθε πίνακα 2x2. Για να γίνει αυτό, αφαιρέστε το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου από το γινόμενο των στοιχείων της κύριας διαγωνίου (βλ. σχήμα).
    • Λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με πίνακες 2x2 που αντιστοιχούν σε συγκεκριμένα στοιχεία μιας μήτρας 3x3 μπορούν να βρεθούν στο Διαδίκτυο.

  • Δημιουργήστε μια μήτρα συμπαράγοντα.Γράψτε τα αποτελέσματα που λήφθηκαν νωρίτερα με τη μορφή ενός νέου πίνακα συμπαράγοντα. Για να γίνει αυτό, γράψτε την ευρεθείσα ορίζουσα κάθε πίνακα 2x2 όπου βρισκόταν το αντίστοιχο στοιχείο του πίνακα 3x3. Για παράδειγμα, εάν σκέφτεστε έναν πίνακα 2x2 για το στοιχείο (1,1), γράψτε την ορίζοντή του στη θέση (1,1). Στη συνέχεια, αλλάξτε τα σημάδια των αντίστοιχων στοιχείων σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σχήμα, το οποίο φαίνεται στο σχήμα.

    • Σχέδιο αλλαγής πινακίδων: το πρόσημο του πρώτου στοιχείου της πρώτης γραμμής δεν αλλάζει. το πρόσημο του δεύτερου στοιχείου της πρώτης γραμμής αντιστρέφεται. το πρόσημο του τρίτου στοιχείου της πρώτης γραμμής δεν αλλάζει, και ούτω καθεξής γραμμή προς γραμμή. Λάβετε υπόψη ότι τα σημάδια «+» και «-» που φαίνονται στο διάγραμμα (βλ. σχήμα) δεν υποδεικνύουν ότι το αντίστοιχο στοιχείο θα είναι θετικό ή αρνητικό. Σε αυτήν την περίπτωση, το σύμβολο «+» υποδηλώνει ότι το πρόσημο του στοιχείου δεν αλλάζει και το σύμβολο «-» υποδηλώνει αλλαγή στο πρόσημο του στοιχείου.
    • Λεπτομερείς πληροφορίες σχετικά με τους πίνακες συμπαράγοντα μπορούν να βρεθούν στο Διαδίκτυο.
    • Με αυτόν τον τρόπο θα βρείτε τον συνημμένο πίνακα του αρχικού πίνακα. Μερικές φορές ονομάζεται σύνθετος συζευγμένος πίνακας. Ένας τέτοιος πίνακας συμβολίζεται ως adj(M).

  • Διαιρέστε κάθε στοιχείο του παρακείμενου πίνακα με την ορίζουσα του.Η ορίζουσα του πίνακα M υπολογίστηκε στην αρχή για να ελεγχθεί ότι υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας. Τώρα διαιρέστε κάθε στοιχείο του πρόσθετου πίνακα με αυτήν την ορίζουσα. Γράψτε το αποτέλεσμα κάθε πράξης διαίρεσης όπου βρίσκεται το αντίστοιχο στοιχείο. Με αυτόν τον τρόπο θα βρείτε τη μήτρα αντίστροφη από την αρχική.

    • Η ορίζουσα του πίνακα που φαίνεται στο σχήμα είναι 1. Έτσι, εδώ ο πρόσθετος πίνακας είναι ο αντίστροφος πίνακας (γιατί όταν οποιοσδήποτε αριθμός διαιρείται με το 1, δεν αλλάζει).
    • Σε ορισμένες πηγές, η λειτουργία διαίρεσης αντικαθίσταται από την πράξη πολλαπλασιασμού με 1/det(M). Ωστόσο, το τελικό αποτέλεσμα δεν αλλάζει.

  • Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα.Γράψτε τα στοιχεία που βρίσκονται στο δεξί μισό του μεγάλου πίνακα ως ξεχωριστό πίνακα, ο οποίος είναι ο αντίστροφος πίνακας.

    Χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή

      Επιλέξτε μια αριθμομηχανή που λειτουργεί με πίνακες.Δεν είναι δυνατό να βρεθεί το αντίστροφο μιας μήτρας χρησιμοποιώντας απλές αριθμομηχανές, αλλά μπορεί να γίνει σε μια καλή αριθμομηχανή γραφικών όπως το Texas Instruments TI-83 ή TI-86.

      Εισαγάγετε τον αρχικό πίνακα στη μνήμη της αριθμομηχανής.Για να το κάνετε αυτό, κάντε κλικ στο κουμπί Matrix, εάν είναι διαθέσιμο. Για μια αριθμομηχανή Texas Instruments, ίσως χρειαστεί να πατήσετε τα κουμπιά 2nd και Matrix.

      Επιλέξτε το μενού Επεξεργασία.Κάντε αυτό χρησιμοποιώντας τα κουμπιά βέλους ή το κατάλληλο κουμπί λειτουργίας που βρίσκεται στο επάνω μέρος του πληκτρολογίου της αριθμομηχανής (η θέση του κουμπιού ποικίλλει ανάλογα με το μοντέλο της αριθμομηχανής).

      Εισαγάγετε τη σημείωση του πίνακα.Οι περισσότεροι αριθμομηχανές γραφικών μπορούν να λειτουργήσουν με 3-10 πίνακες, οι οποίοι μπορούν να οριστούν γράμματα A-J. Συνήθως, απλώς επιλέξτε [A] για να ορίσετε τον αρχικό πίνακα. Στη συνέχεια, πατήστε το κουμπί Enter.

      Εισαγάγετε το μέγεθος του πίνακα.Αυτό το άρθρο μιλά για πίνακες 3x3. Αλλά οι αριθμομηχανές γραφικών μπορούν να λειτουργήσουν με μεγάλους πίνακες. Εισαγάγετε τον αριθμό των σειρών, πατήστε Enter, μετά πληκτρολογήστε τον αριθμό των στηλών και πατήστε ξανά Enter.

      Εισαγάγετε κάθε στοιχείο μήτρας.Στην οθόνη της αριθμομηχανής θα εμφανιστεί ένας πίνακας. Εάν έχετε εισαγάγει προηγουμένως μια μήτρα στην αριθμομηχανή, θα εμφανιστεί στην οθόνη. Ο κέρσορας θα επισημάνει το πρώτο στοιχείο του πίνακα. Εισαγάγετε την τιμή για το πρώτο στοιχείο και πατήστε Enter. Ο κέρσορας θα μετακινηθεί αυτόματα στο επόμενο στοιχείο μήτρας.

    Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας νης τάξης

    Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφη μήτρασε σχέση με τον πίνακα A, εάν A*A -1 = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης.

    Μήτρα ταυτότητας- ένας τέτοιος τετράγωνος πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία κατά μήκος της κύριας διαγωνίου, που περνούν από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, είναι ένα και τα υπόλοιπα είναι μηδενικά, για παράδειγμα:

    αντίστροφη μήτραμπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακεςεκείνοι. για εκείνους τους πίνακες στους οποίους ο αριθμός των γραμμών και των στηλών συμπίπτει.

    Θεώρημα συνθήκης ύπαρξης αντίστροφου πίνακα

    Προκειμένου ένας πίνακας να έχει αντίστροφο πίνακα, είναι απαραίτητο και αρκετό να είναι μη ενικός.

    Ο πίνακας A = (A1, A2,...A n) ονομάζεται μη εκφυλισμένος, εάν τα διανύσματα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης ενός πίνακα ονομάζεται κατάταξη του πίνακα. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι για να υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με τη διάστασή του, δηλ. r = n.

    Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

    1. Γράψτε τον πίνακα Α στον πίνακα για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian και αντιστοιχίστε τον πίνακα Ε σε αυτόν στα δεξιά (στη θέση των δεξιών πλευρών των εξισώσεων).
    2. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, ανάγετε τον πίνακα A σε έναν πίνακα που αποτελείται από μοναδιαίες στήλες. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί ταυτόχρονα ο πίνακας Ε.
    3. Εάν είναι απαραίτητο, αναδιατάξτε τις σειρές (εξισώσεις) του τελευταίου πίνακα έτσι ώστε κάτω από τον πίνακα A του αρχικού πίνακα να λάβετε τον πίνακα ταυτότητας E.
    4. Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα A -1, ο οποίος βρίσκεται στον τελευταίο πίνακα κάτω από τον πίνακα E του αρχικού πίνακα.
    Παράδειγμα 1

    Για τον πίνακα A, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα A -1

    Λύση: Γράφουμε τον πίνακα A και εκχωρούμε τον πίνακα ταυτότητας E στα δεξιά. Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, ανάγουμε τον πίνακα A στον πίνακα ταυτότητας E. Οι υπολογισμοί δίνονται στον Πίνακα 31.1.

    Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα Α και τον αντίστροφο πίνακα Α -1.

    Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού της μήτρας, ελήφθη η μήτρα ταυτότητας. Επομένως, οι υπολογισμοί έγιναν σωστά.

    Απάντηση:

    Επίλυση εξισώσεων μήτρας

    Οι εξισώσεις μήτρας μπορεί να μοιάζουν με:

    AX = B, HA = B, AXB = C,

    όπου A, B, C είναι οι καθορισμένοι πίνακες, X είναι ο επιθυμητός πίνακας.

    Οι εξισώσεις μήτρας λύνονται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με αντίστροφους πίνακες.

    Για παράδειγμα, για να βρείτε τον πίνακα από την εξίσωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτήν την εξίσωση επί στα αριστερά.

    Επομένως, για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να τον πολλαπλασιάσετε με τον πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

    Ομοίως λύνονται και άλλες εξισώσεις.

    Παράδειγμα 2

    Να λύσετε την εξίσωση AX = B αν

    Λύση: Δεδομένου ότι ο αντίστροφος πίνακας είναι ίσος με (βλ. παράδειγμα 1)

    Μέθοδος matrix στην οικονομική ανάλυση

    Μαζί με άλλα χρησιμοποιούνται και αυτά μεθόδους μήτρας. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε γραμμική άλγεβρα και διανυσματική μήτρα. Τέτοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της ανάλυσης πολύπλοκων και πολυδιάστατων οικονομικών φαινομένων. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητο να γίνει μια συγκριτική αξιολόγηση της λειτουργίας των οργανισμών και των δομικών τους τμημάτων.

    Κατά τη διαδικασία εφαρμογής μεθόδων ανάλυσης μήτρας, μπορούν να διακριθούν διάφορα στάδια.

    Στο πρώτο στάδιοσχηματίζεται ένα σύστημα οικονομικών δεικτών και στη βάση του καταρτίζεται ένας πίνακας αρχικών δεδομένων, ο οποίος είναι ένας πίνακας στον οποίο εμφανίζονται οι αριθμοί του συστήματος στις επιμέρους σειρές του (i = 1,2,....,n), και σε κάθετες στήλες - αριθμοί δεικτών (j = 1,2,....,m).

    Στο δεύτερο στάδιοΓια κάθε κάθετη στήλη, προσδιορίζεται η μεγαλύτερη από τις διαθέσιμες τιμές δείκτη, η οποία λαμβάνεται ως μία.

    Μετά από αυτό, όλα τα ποσά που αντικατοπτρίζονται σε αυτήν τη στήλη διαιρούνται με υψηλότερη τιμήκαι σχηματίζεται ένας πίνακας τυποποιημένων συντελεστών.

    Στο τρίτο στάδιοόλα τα συστατικά του πίνακα είναι τετράγωνα. Εάν έχουν διαφορετική σημασία, τότε σε κάθε δείκτη μήτρας εκχωρείται ένας συγκεκριμένος συντελεστής βάρους κ. Η αξία του τελευταίου καθορίζεται από τη γνώμη των ειδικών.

    Στο τελευταίο, τέταρτο στάδιοβρέθηκαν τιμές αξιολόγησης Rjομαδοποιούνται κατά σειρά αύξησης ή μείωσης τους.

    Οι μέθοδοι μήτρας που περιγράφονται πρέπει να χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, όταν συγκριτική ανάλυσηδιάφορα επενδυτικά σχέδια, καθώς και κατά την αξιολόγηση άλλων οικονομικών δεικτών οργανισμών.