U geometriji, figura lik je jedna od glavnih numeričkih karakteristika ravnog tijela. Kakvo je područje, kako ga identificirati iz raznih figura, a koja svojstva ima - mi ćemo razmotriti sva ta pitanja u ovom članku.

Što je područje: definicija

Područje slike je broj pojedinačnih kvadrata na ovoj slici; Neformalno izražavanje, to je veličina slike. Najčešće, brojka slike je označena kao "S". Može se mjeriti pomoću blijede ili instrument plana metra. Također, lik slike se također može izračunati, znajući svoje glavne veličine. Na primjer, područje trokuta može se izračunati u tri različite formule:

Područje pravokutnika jednak je proizvodu njegove širine, a područje kruga je jednak proizvodu trga radijusa po broju π \u003d 3.14.

Svojstva kvadratne figure

  • područje je jednako jednake brojke;
  • područje je uvijek ne-negativno;
  • jedinica mjerenja površine je kvadrat kvadrata jednake 1 jedinici duljine;
  • ako je brojka podijeljena u dva dijela, ukupna površina slike jednaka je zbroju područja komponenti njegovih dijelova;
  • brojke, jednaki u području, nazivaju se izometrijski;
  • ako jedan broj pripada drugoj figuri, područje je prvo ne može premašiti drugo područje.

Izračun kvadratnog kvadrata - Ovo je možda jedna od najsloženijih zadataka teorije prostora. U školi geometriji, to se uči pronaći područja glavnih geometrijskih oblika kao što su, na primjer, trokut, romb, pravokutnik, trapez, krug i slično. Međutim, često je potrebno nositi se s izračunom kvadrata složenijih figura. Prilikom rješavanja takvih zadataka vrlo je pogodan za korištenje integralnog računa.

Definicija.

Curvilinear trapez Oni pozivaju neke slike g, ograničene linije y \u003d f (X), y \u003d 0, X \u003d a i x \u003d b, a funkcija F (x) je kontinuirana na segmentu [a; b] i ne mijenja svoj znak na njega (Sl. 1).Područje curvilinear trapeza može se označiti s (g).

Specifični integralni ʃ A B F (X) DX za funkciju F (X), koja je kontinuirana i ne-negativna na segmentu [a; b] i postoji područje odgovarajućeg curvilinear trapeza.

To jest, pronaći područje slike g, ograničeno linijama y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a i x \u003d b, potrebno je izračunati određeni integral ʃ ab f (x ) Dx.

Na ovaj način, S (g) \u003d ʃ a b f (x) dx.

U slučaju da funkcija y \u003d f (x) nije pozitivna na [a; b], zatim se površina curvilinear trapezije može naći u formuli S (g) \u003d -ʃ a b f (x) dx.

Primjer 1.

Izračunajte područje slike povezane linije Y \u003d X3; y \u003d 1; x \u003d 2.

Odluka.

Navedene linije tvore ABC lik, koja se prikazuje izlaženje sl. 2.

Željeno područje je jednako razlikovnosti između docy Curvilinear Trapezium područja i DABE trga.

Korištenje formule S \u003d ʃ A B F (X) DX \u003d S (b) - S (a), naći ćemo granice integracije. Da biste to učinili, riješite sustav dviju jednadžbi:

(y \u003d x 3,
(Y \u003d 1.

Dakle, imamo X 1 \u003d 1 - donju granicu i x \u003d 2 - gornju granicu.

Dakle, s \u003d s dace - s dabe \u003d ʃ 1 2 x 3 dx - 1 \u003d x 4/4 | 1 2 - 1 \u003d (16-1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (sq).

Odgovor: 11/4 kV. jedinice.

Primjer 2.

Izračunajte područje slike ograničene linije y \u003d .h; y \u003d 2; x \u003d 9.

Odluka.

Navedene linije čine lik ABC-a, koji je ograničen iznad grafikona

y \u003d √h, i ispod grafikona funkcije y \u003d 2. rezultirajuća figura se prikazuje izleganjem na sl. 3.

Željeno područje je S \u003d ʃ A B (√X - 2). Ograničenja integracije naći ćemo: B \u003d 9, za pronalaženje, rješavajući sustav dviju jednadžbi:

(y \u003d √h,
(Y \u003d 2.

Dakle, imamo to x \u003d 4 \u003d a je donja granica.

Dakle, s \u003d ∫ 9 (x - 2) DX \u003d 4 9 inx DX-4 9 2DX \u003d 2/3 x√ X | 4 9 - 2x | 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18-8) \u003d 2 2/3 (sq).

Odgovor: S \u003d 2 2/3 četvornih metara. jedinice.

Primjer 3.

Izračunajte područje slike, ograničena linijama Y \u003d X3 - 4X; y \u003d 0; x ≥ 0.

Odluka.

Konstruiramo grafikon funkcije Y \u003d X 3 - 4X na X ≥ 0. Da biste to učinili, pronađite derivaciju ":

y '\u003d 3x 2 - 4, Y' \u003d 0 na x \u003d ± 2 / √3 ≈ 1.1 - kritične točke.

Ako opisujete kritične točke na numeričkoj osi i postavite znakove derivata, dobivamo da se funkcija smanjuje od nule do 2 / √3 i povećava se od 2 / √3 do plus beskonačnost. Zatim x \u003d 2 / √3 je minimalna točka, minimalna vrijednost funkcije u min \u003d -16 / (3√3) ≈ -3.

Definiramo presječne točke grafikona s osi koordinata:

ako X \u003d 0, onda y \u003d 0, i stoga, i (0; 0) - točka raskrižja s OU osi;

ako y \u003d 0, zatim x 3 - 4x \u003d 0 ili X (x 2 - 4) \u003d 0 ili X (X - 2) (X + 2) \u003d 0, gdje X 1 \u003d 0, X 2 \u003d 2, X 3 \u003d -2 (nije prikladno, jer X ≥ 0).

Točke a (0; 0) iu (2; 0) - raskrižju grafikona s osi OH.

Navedene linije čine lik OAV, koji se prikazuje izlaženje sl. četiri.

Budući da je funkcija Y \u003d X 3 - 4X preuzima (0; 2) negativnu vrijednost, zatim

S \u003d | ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx |

Imamo: ʃ 0 2 (x 3 - 4x) dx \u003d (x 4/4 - 4x 2/2) | 0 2 \u003d -4, odakle je s \u003d 4 četvornih metara. jedinice.

Odgovor: s \u003d 4 četvornih metara. jedinice.

Primjer 4.

Pronađite područje lik Limited Parabola Y \u003d 2x 2 - 2x + 1, ravno x \u003d 0, y \u003d 0 i tangenta ovog parabola na točki s apbsissa x 0 \u003d 2.

Odluka.

Prvo, jednadžba je tangenta na parabole y \u003d 2x 2 - 2x + 1 na mjestu apscisa X₀ \u003d 2.

Od derivata y '\u003d 4x - 2, zatim na x 0 \u003d 2, dobivamo k \u003d y' (2) \u003d 6.

Utvrđujemo da je ordinatna točka dodira: na 0 \u003d 2 · 2 2 - 2 · 2 + 1 \u003d 5.

Prema tome, jednadžba tangenta ima oblik: Y - 5 \u003d 6 (X - 2) ili Y \u003d 6x - 7.

Izgradite lik ograničene linije:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, Y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

G Y y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabola. Raskrižje točke s koordinatnim osi: a (0; 1) - s OU osi; s osi oh - nema mjesta raskrižja, jer Jednadžba 2x 2 - 2x + 1 \u003d 0 nema rješenja (D< 0). Найдем вершину параболы:

x B \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y B \u003d 1/2, to jest, točka parabole B ima koordinate u (1/2; 1/2).

Dakle, brojka čije je područje potrebno za određivanje prikazano izleganjem sl. pet.

Imamo: s o u d \u003d s oabc - s adbc.

Naći ćemo koordinate točke D iz stanja:

6x - 7 \u003d 0, tj. X \u003d 7/6, to znači DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Područje DBC trokuta nalazi se prema formuli s adbc \u003d 1/2 · DC · prije Krista. Na ovaj način,

S adbc \u003d 1/2 · 5/6 · 5 \u003d 25/12 kV. jedinice.

S oabc \u003d ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1) DX \u003d (2x 3/3 - 2x 2/2 + x) | 0 2 \u003d 10/3 (sq. Hrana.).

Konačno smo dobili: s o u d \u003d s OABC - s adbc \u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (sq. M. Uzh).

Odgovor: S \u003d 1 1/4 kV. jedinice.

Rastavili smo primjere pronalaženje kvadrata brojki ograničenih navedenim linijama, Da biste uspješno riješili takve zadatke, morate biti u mogućnosti graditi na ravnini linije i grafikona funkcija, pronaći točke sjecišta linija, primjenjuju formulu za pronalaženje područja, što podrazumijeva prisutnost vještina i vještina za izračunavanje određenih integrali.

potrebna je stranica, s punim ili djelomičnim kopiranjem materijala na izvornom izvoru.

Kako pronaći područje lik?


Znati i moći brojati kvadrat različitih figura ne samo da je potrebno samo za rješavanje jednostavnih geometrijski zadaci, Nemojte činiti bez tih znanja i pri izradi ili provjeru procjena za popravak prostora, izračunavanje broja potrebnih potrošnih materijala. Stoga ćemo shvatiti kako pronaći područja različitih figura.

Dio aviona koji je zaključen unutar zatvorenog kruga naziva se područje ovog ravnina. Trg se izražava brojem kvadratnih jedinica zatvorenika u njoj.

Da bi se izračunao područje glavnih geometrijskih slika, potrebno je koristiti ispravnu formulu.

Područje trokuta

Oznake:

  1. Ako je H, A je poznato, područje željenog trokuta definira se kao produkt bočne duljine i visine trokuta, spuštena na ovu stranu, podijeljena s pola: s \u003d (a · h) / 2
  2. Ako je a, B, C je poznat, tada se željeno područje izračunava pomoću geron formule: kvadratni korijen uzet iz rada pola perimetra trokuta i tri razlike u pola perimetra i svaku stranu trokuta: s \u003d √ (p · (p - a) · (p-b) · (p - c)).
  3. Ako je, B, γ je poznat, onda je područje trokuta definirano kao polovica proizvoda od 2 strane, pomnoženo s vrijednosti kuta između tih strana: s \u003d (a · b · sin γ) / 2
  4. Ako je, B, C, R je poznat, tada se željeno područje definira kao podjelu produkta duljine svih strana trokuta s četiri radijusa opisanog kruga: s \u003d (a · b) / 4r
  5. Ako je P, R je poznat, tada se željeni trokutni prostor određuje množenjem polovice perimetra na radijusu upisanoj u njoj: S \u003d p ^

Kvadratni prostor

Oznake:

  1. Ako je poznata strana, područje ove brojke se definira kao kvadrat njegove duljine: s \u003d a 2
  2. Ako je D poznat, kvadrat trga je definiran kao pola kvadrata svoje duljine dijagonale: s \u003d d 2/2

Kvadratni pravokutnik

Oznake:

  • S - definirano područje,
  • a, b - duljina strane pravokutnika.
  1. Ako je, B je poznat, površina ovog pravokutnika određeno je proizvodom njegovih duljina njegovih strana: s \u003d A · b
  2. Ako su duljine strane nepoznate, površina pravokutnika mora biti podijeljeno na trokute. U tom slučaju, područje pravokutnika se definira kao zbroj područja komponenti njegovih trokuta.

Četvornik

Oznake:

  • S - željeno područje,
  • a, b - dužina stranaka,
  • h - duljina visine ovog paralelograma,
  • d1, d2 - duljina dvije dijagonale,
  • α - kut smješten između stranaka
  • γ je kut između dijagonala.
  1. Ako je A, H je poznato, onda je željeno područje određeno da umnožava duljine bočne i visine, spuštena na ovu stranu: s \u003d A · h
  2. Ako je, B, α je poznat, tada se područje paralelograma određuje množenjem duljine paralelograma i vrijednosti kuta između tih strana: s \u003d A · b · grijeh α
  3. Ako je poznat D1, d2, γ, područje paralelograma definira se kao pola produkta duljine dijagonala i vrijednost kuta kuta između ovih dijagonala: s \u003d (d1 · d2 · genγ) / 2

Romba kvadrat

Oznake:

  • S - željeno područje,
  • a - duljina,
  • h - duljina visine,
  • α je manji kut između dviju strana,
  • d1, D2 - duljina dvije dijagonale.
  1. Ako je
  2. Ako je, α poznat, tada je područje ROBBUS-a odlučno umnožiti stranu strane strane strane kupe između stranaka: s \u003d a 2 · sin α
  3. Ako su poznati D1 i D2, željeno područje je definirano kao pola produkta duljine dijagonala romb: S \u003d (D1 · d2) / 2

Kvadrat trapez

Oznake:

  1. Ako je A, B, C, D je poznat, tada se željeno područje određuje formulom: s \u003d (A + B) / 2 x .√.
  2. S poznatim a, B, h, željeno područje se definira kao proizvod od pola količine baze i visine trapezoida: s \u003d (A + B) / 2 · h

Područje konveksnog četverokuta

Oznake:

  1. Ako je D1, d2, α poznat, područje konveksnog četverokuta je definirano kao pola produkta dijagonala četverokala, pomnoženi sinom veličine kuta između ovih dijagonala: s \u003d (d1 · d 2 · sin α) / 2
  2. S poznatim p, R, područje konveksnog četverokuta definirano je kao proizvod polu-versira četverokuta na radijusu kruga, uvršten u ovaj četverokut: s \u003d p · r
  3. Ako je A, B, C, D, θ je poznat, a zatim je područje konveksnog četverokuta definirano kao korijen kvadrata od proizvoda izbora pola mjere i duljine svake strane minus duljine duljine svih strana i kosinus kvadrat od pola zbroja dvaju suprotnih kutova: s 2 \u003d (p-a) (p-b) (p - c) (p-d) - ABCD · COS 2 ((α) + β) / 2)

Područje kruga

Oznake:

Ako je R poznat, tada se željeno područje definira kao proizvod broja π na radijusu na trgu: s \u003d π R2

Ako je D poznat, onda je područje kruga definiran kao proizvod broja π po kvadratu promjera podijeljen na četiri: s \u003d (π · d2) / 4

Kvadratna složena slika

Kompleks se može razbiti geometrijske figure, Područje složene slike definira se kao količina ili razlika komponenti područja. Razmotrite, na primjer, prsten.

Oznaka:

  • S - prsten trg,
  • R, r - radijus vanjskog kruga i unutarnje, odnosno,
  • D, D - promjeri vanjskog kruga i unutarnje, odnosno.

Kako bi se pronašli područje prstena, potrebno je uzeti područje s područja većeg kruga manji krug. S \u003d S1-S2 \u003d πR 2-6 \u003d π (R2-R2).

Prema tome, ako su R i R poznati, tada se područje prstena definira kao razlika u kvadratima radijusa vanjskih i unutarnjih krugova, pomnoženih s brojem PI: S \u003d π (R2-R2).

Ako su poznati d i D, tada se područje prstena definira kao četvrtina razlike u kvadratima promjera vanjskih i unutarnjih krugova pomnoženih s brojem PI: s \u003d (1/4) (d2 - D 2) π.

Kvadratna slika

Pretpostavimo da je unutar jednog kvadrata (a) još jedan (b) (manji), i moramo pronaći obojenu šupljinu između slika "A" i "B". Recimo samo, "okvir" malog trga. Za ovo:

  1. Područje slike "A" (izračunate formulom mjesta trga).
  2. Slično tome, nalazimo područje slike "B".
  3. Odustajemo od područja "A" kvadrat "B". I tako dobivamo područje oslikane figure.

Sada znate kako pronaći područja različitih figura.

Ako planirate popraviti sebe, onda ćete morati napraviti procjenu za izgradnju i završne materijale. Da biste to učinili, morat ćete izračunati područje prostorije u kojem planirate proizvoditi popravak. Glavni asistent u ovome je posebno razvijena formula. Područje sobe, naime, njegov izračun će vam omogućiti da uštedite znatan novac na građevinskim materijalima i slanje izdanih novčanih sredstava na potrebniji smjer.

Geometrijski oblik sobe

Formula za izračunavanje područja prostorije izravno ovisi o njegovom obliku. Najtipičnije za domaće strukture su pravokutne i kvadratne sobe. Međutim, tijekom redevelopcije, standardni oblik može biti iskrivljen. Sobe su:

  • Pravokutan.
  • Kvadrat.
  • Složena konfiguracija (na primjer, okrugli).
  • S nišama i izbočinama.

Svaki od njih ima vlastite karakteristike izračuna, ali se u pravilu koristi ista formula. Izračunava se područje prostorije bilo kojeg oblika i veličine, na ovaj ili onaj način.

Pravokutni ili kvadratni

Da biste izračunali područje prostorije pravokutnog ili kvadratnog oblika, dovoljno je prisjetiti lekcije o školi geometrije. Stoga vam ne bi trebalo biti teško odrediti područje prostorije. Formula za izračun ima oblik:

S sobom \u003d a * b, gdje

A - duljina sobe.

B - Širina prostorije.

Da biste izmjerili te vrijednosti, trebat će vam običan rulet. Da biste dobili najtočnije izračune, vrijedi mjeriti zid s obje strane. Ako se vrijednosti ne približavaju, uzmite prosječnu vrijednost podataka. Ali zapamtite da svi izračuni imaju svoje pogreške, tako da je materijal vrijedan kupnje s marginom.

Soba za konfiguraciju

Ako vaša soba ne padne pod definiciju "tipičnog", tj. Ima oblik kruga, trokut, poligon, onda će možda trebati još jednu formulu za izračune. Područje sobe s takvom karakteristikom može se potaknuti da bude uvjetno podijeljeno na pravokutne elemente i napraviti izračune standardnim putem. Ako nemate takvu priliku, onda koristite sljedeće tehnike:

  • Formula kvadrata kruga:

S comn. \u003d Π * r 2, gdje

R je radijus sobe.

  • Formula kvadrata trokuta:

S comn \u003d √ (p (p-a) X (p - c) X (p - c)), gdje

P je polu-verzija trokuta.

A, b, c - duljina njegovih strana.

Dakle, r \u003d a + b + c / 2

Ako imate poteškoća u procesu obračuna, bolje se ne miješate i okrenite se profesionalcima.

Područje sobe s izbočinama i nišama

Često su zidovi ukrašeni ukrasnim elementima u obliku svih vrsta niša ili izbočina. Također, njihova prisutnost može biti posljedica potrebe da se sakriti neke neesterentne elemente vaše sobe. Prisutnost izbočina ili niša na vašem zidu znači da se izračun treba provesti u fazama. Oni. Isprva se nalazi područje ravnog dijela zida, a zatim se dodaje područje niše ili izbočine.

Zidno područje se nalazi po formuli:

S zidovima \u003d r x s, gdje

P - perimetar

C - visina

Također je potrebno uzeti u obzir dostupnost prozora i vrata. Njihovo područje mora biti oduzeto od rezultirajuće vrijednosti.

Soba s više razina stropa

Višestruki strop ne komplicira izračune, kao što se čini na prvi pogled. Ako ima jednostavan dizajn, možete napraviti izračune na načelu pronalaženja područja zidova kompliciranih nišama i izbočinama.

Međutim, ako je dizajn vašeg stropa ima arc i valne elemente, to je prikladnije odrediti njegovo područje uz pomoć podne površine. Za ovo trebate:

  1. Pronađite dimenzije svih izravnih dijelova zidova.
  2. Pronađite površinu.
  3. Pomnožite duljinu i visinu vertikalnih mjesta.
  4. Sažimanje rezultirajuće vrijednosti s površinom.

Upute za korak po korak za definiciju opće

kvadrat sobe

  1. Osloboditi sobu od nepotrebnih stvari. U procesu mjerenja, trebat će vam slobodan pristup svim dijelovima vaše sobe, tako da se morate riješiti svega što ga može ometati.
  2. Vizualno podijelite sobu na parcele ispravne i pogrešan oblik, Ako vaša soba ima strogo kvadratni ili pravokutni oblik, onda se ovaj korak može preskočiti.
  3. Napraviti proizvoljnu shemu sobe. Ovaj crtež je potreban tako da svi podaci uvijek imate pri ruci. Također, neće vam dati priliku da se zbuni u brojnim mjerenjima.
  4. Mjerenja moraju biti nekoliko puta. Ovo je važno pravilo za uklanjanje pogrešaka u brojenju. Također, ako koristite, provjerite je li snop glatko na površini zida.
  5. Pronađite ukupnu površinu sobe. Formula za ukupnu površinu prostorije je pronaći zbroj svih područja pojedinih dijelova prostorije. Oni. Zajednički. \u003d S Walls + S kat + S strop

U prethodnom odjeljku posvećenom katastrofi geometrijsko značenje određeni integralniImamo brojne formule za izračunavanje područja curvilinear trapeza:

S (g) \u003d ∫ a b f (X) D X za kontinuirane i ne-negativne funkcije Y \u003d F (X) na segmentu [a; b]

S (g) \u003d - ∫ a b f (X) D X za kontinuiranu i ne pozitivnu funkciju Y \u003d F (X) na segmentu [a; b].

Ove formule se primjenjuju na rješavanje jednostavne zadatke, Zapravo, najčešće ćemo morati raditi s složenijim brojkama. U tom smislu, ovaj odjeljak mi posvećujemo analizi algoritama za izračunavanje područja brojki, koje su izričito ograničene funkcijama, tj. Kao y \u003d f (x) ili x \u003d g (y).

Teorema

Neka funkcije Y \u003d F 1 (X) i Y \u003d F 2 (X) se određuju i kontinuirani na sučelju [A; b], s F1 (X) ≤ F 2 (X) za bilo koju vrijednost X iz [A; b]. Zatim se formula za izračunavanje površine slike G, ograničena linijama X \u003d A, X \u003d B, Y \u003d F 1 (X) i Y \u003d F (X) će se pregledati S (g) \u003d ∫ ABF 2 (x) - F 1 (x) DX.

Slična formula primjenjivat će se na područje slike, ograničena linijama Y \u003d C, Y \u003d D, X \u003d G1 (y) i X \u003d G2 (Y): S (g) \u003d CD (G2 (y) - g 1 (y) dy.

Dokaz

Analizirat ćemo tri slučaja za koje će formula biti poštena.

U prvom slučaju, s obzirom na imovinu aditivnosti tog područja, zbroj područja izvorne slike G i curvilinear trapez g 1 je jednak površinu slike G2. To znači da

Stoga, S (g) \u003d S (g 2) - S (G1) \u003d ∫ ABF 2 (X) DX-X - ∫ ABF 1 (X) DX \u003d ∫ ab (F2 (X) - F 1 (X)) Dx.

Izvršite posljednji tranziciju možemo koristiti treće svojstvo određenog integrala.

U drugom slučaju, jednakost je istinita: s (g) \u003d S (G2) + s (G1) \u003d ∫ abf 2 (x) DX + ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f2 (x) ) - F 1 (x)) DX

Grafička ilustracija će izgledati:

Ako obje funkcije su ne pozitivne, dobivamo: s (g) \u003d S (g 2) - s (G1) \u003d - ∫ abf 2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - F 1 (x)) DX. Grafička ilustracija će izgledati:

Okrenimo se razmatranju općeg slučaja kada Y \u003d F 1 (X) i Y \u003d F 2 (X) prelazi Ox Ox.

Mjesto raskrižje koje označavamo kao X I, i \u003d 1, 2 ,. , , , N - 1. Ove točke razbijaju segment [a; b] na n dijelovima X i - 1; x i, i \u003d 1, 2 ,. , , , n, gdje je α \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Stoga,

S (g) \u003d σ i \u003d 1 N S (g i) \u003d σ i \u003d 1 n ∫ Xixif 2 (X) - F 1 (X)) DX \u003d \u003d ∫ X 0 XN (F 2 (X) - F (x ) dx \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx

Možemo implementirati posljednji prijelaz pomoću pete svojstva određenog integrala.

Mi ilustriramo na grafikonu općenito.

Formula S (g) \u003d ∫ A B F2 (X) - F 1 (X) D X može se smatrati dokazanim.

A sada prelazimo na analizu primjera izračunavanja površine brojki, koji su ograničeni na linije Y \u003d F (X) i X \u003d G (Y).

Razmatranje bilo kojeg od primjera ćemo početi s izgradnjom rasporeda. Slika će nam omogućiti da predstavljamo složene brojke kao kombiniranje jednostavnijih figura. Ako je izgradnja grafikona i brojki otežano za njih, možete istražiti odjeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, geometrijskom konverziji grafova funkcija, kao i građevinske grafove tijekom istraživanja funkcija.

Primjer 1.

Potrebno je odrediti područje lik, koji je ograničen na parabolu y \u003d - x 2 + 6 x - 5 i ravne linije Y \u003d - 1 3 X - 1, X \u003d 1, X \u003d 4 ,

Odluka

Prikaži linije na grafikonu u kartusijanskom koordinatnom sustavu.

Na segmentu [1; 4] Grafikon parabole Y \u003d - X 2 + 6 x - 5 se nalazi iznad ravnog y \u003d - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, da biste dobili odgovor, koristimo formulu ranije, kao i metodu za izračunavanje određenog integrala prema Newton-Leibantsi formuli:

S (g) \u003d 1 4 + 6 x - 5 - 1 3 X - 1 2 DX \u003d \u003d 1 4 x 2 + 19 3 X - 9 2 DX \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 X 2 - 9 2 x 1 \u003d \u003d - 1 3 · 4 3 + 19 6 · 4 2 - 9 2 · 4 - - 1 3 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

Odgovor: s (g) \u003d 13

Razmotrite složeniji primjer.

Primjer 2.

Potrebno je izračunati područje slike, koje je ograničeno na linije Y \u003d X + 2, Y \u003d X, X \u003d 7.

Odluka

U tom slučaju imamo samo jednu ravnomjernu liniju koja se nalazi paralelna s Abscisa osi. Ovo je x \u003d 7. Zahtijevamo da pronađemo drugu granicu integracije sami.

Konstruiramo raspored i donosimo linije, podatke o stanju zadataka.

Imati grafikon ispred očiju, lako možemo utvrditi da će donja granica integracije biti apscisa na mjestu raskrižja rasporeda Y \u003d X i pod parabole y \u003d X + 2. Da biste pronašli apscissu, koristite jednakost:

y \u003d X + 2 O D Z: X ≥ - 2 x 2 \u003d X + 2 2 X 2 - X - 2 \u003d 0 D \u003d (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ o dzx 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ ODZ

Ispada da je apscisa točke raskrižje X \u003d 2.

Skrećemo vašu pozornost na činjenicu da opći primjer Na crtežu linije Y \u003d X + 2, Y \u003d X presijecaju na točki (2; 2), tako da se takvi detaljni izračuni mogu činiti nepotrebnim. Odlučili smo takve detaljne odluke samo zato što je više složeni slučajevi Odluka ne može biti tako očita. To znači da su koordinate raskrižja linija bolje uvijek izračunati analitički.

Na intervalu [2; 7] Grafikon funkcije Y \u003d X nalazi se iznad grafikona funkcije Y \u003d X + 2. Nanesite formulu za izračunavanje kvadrata:

S (g) \u003d 27 (X-X + 2) DX \u003d X 2 2 - 2 3 · (X + 2) 3 2 2 7 \u003d 7 2 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 · 2 + 2 3 2 \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

Odgovor: s (g) \u003d 59 6

Primjer 3.

Potrebno je izračunati područje slike, koje je ograničeno grafikonima funkcija Y \u003d 1 X i Y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

Odluka

Primijenite linije na raspored.

Odrediti s granicama integracije. Da bismo to učinili, definiramo koordinate raskrižja točaka linija, izjednačenih izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uvjetom da X nije nula, jednakost 1 x \u003d x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednadžba trećeg stupnja - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 s cijelim koeficijentima. Da biste osvježili algoritam u sjećanju rješavanjem takvih jednadžbi, možemo kontaktirati odjeljak "otopinu kubičnih jednadžbi".

Korijen ove jednadžbe je X \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1 2 - 2 · 1 - 1 \u003d 0.

Dijeljenje ekspresije - X 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 po odskočju X - 1, dobivamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (X - 1) (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0.

Preostali korijeni možemo pronaći iz jednadžbe x 2 - 3 x - 1 \u003d 0:

x 2 - 3 X - 1 \u003d 0 D \u003d (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3.

Pronašli smo interval X ∈ 1; 3 + 13 2, na kojem se nalazi slika G iznad plave i ispod crvene linije. Pomaže nam da odredimo područje slike:

S (g) \u003d 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 XDX \u003d - X 3 3 + 2 x 2 x 2 x - ln X 1 3 + 13 2 \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - lN 3 + 13 2 - - 1 3 3 + 2 · l 2 - 2 · ln 1 \u003d 7 + 13 3 - lN 3 + 13 2 ,

Odgovor: S (g) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Primjer 4.

Potrebno je izračunati područje slike, koje je ograničeno na krivulje y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 i os apscisa.

Odluka

Primijenit ćemo sve linije na raspored. Možemo dobiti funkciju funkcije y \u003d - log 2 x + 1 iz grafikona y \u003d log 2 x, ako ga stavimo simetrično u odnosu na Abscissu os i podignite jednu jedinicu prema gore. Jednadžba Abscisa osi y \u003d 0.

Označavaju presječne točke linija.

Kao što se može vidjeti s figure, grafikoni funkcija Y \u003d X 3 i Y \u003d 0 se sijeku u točki (0; 0). To se dobiva jer je X \u003d 0 jedini valjani korijen jednadžbe x 3 \u003d 0.

x \u003d 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 \u003d 0, tako da grafikoni funkcija y \u003d - log 2 x + 1 i y \u003d 0 presijecaju u točki (2; 0).

x \u003d 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 \u003d - log 2 x + 1. S tim u vezi, grafikoni funkcija y \u003d x 3 i y \u003d - log 2 x + 1 sijeku se na točki (1; 1). Posljednja izjava može biti nejasna, ali jednadžba x 3 \u003d - log 2 x + 1 ne mogu imati više od jednog korijena, jer je funkcija y \u003d x 3 strogo raste, a funkcija y \u003d - dnevnik 2 x + 1 strogo se smanjuje ,

Daljnje rješenje uključuje nekoliko opcija.

Broj opcije 1

Slika g Možemo zamisliti kao zbroj dva curvilinear trapeza nalazi iznad Abscisa osi, od kojih se prvi nalazi ispod središnje linije na segmentu X ∈ 0; 1, a drugi ispod crvene linije na segmentu X ∈ 1; 2. To znači da će područje biti jednak S (g) \u003d 0 1 x 3 d x + 1 2 (- dnevnik 2 x + 1) d x.

Opcija broj 2.

Slika G može biti predstavljen kao razlika od dvije figure, od kojih se prvi nalazi iznad Assissa osi i ispod plave linije na segmentu X ∈ 0; 2, a druga između crvenih i plavih linija na segmentu X ∈ 1; 2. To nam omogućuje da pronađemo područje na sljedeći način:

S (g) \u003d \u003d 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

U tom slučaju, da biste pronašli područje će morati koristiti formulu obrasca S (g) \u003d ∫C d (g 2 (Y) - g 1 (y)) d y. U stvari, linije koje ograničavaju brojku mogu biti predstavljene kao funkcije argumenta.

Dopustili su jednadžbe y \u003d x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na X:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

Dobivamo željeno područje:

S (g) \u003d \u003d 0 1 (2 l - y - y3) d \u003d - 2 l - y ln 2 - y 4 4 \u003d - 2 1 - 1 lNN 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 \u003d 1 lNN 2 - 1 4 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 1 4

Odgovor: s (g) \u003d 1 ln 2 - 1 4

Primjer 5.

Potrebno je izračunati područje slike, koje je ograničeno na linije Y \u003d X, Y \u003d 2 3 x - 3, Y \u003d - 1 2 x + 4.

Odluka

S crvenom linijom, primijenit ćemo liniju na grafu koji je odredio funkcija y \u003d x. Plava s linijom Y \u003d - 1 2 x + 4, u crnom, označavamo liniju Y \u003d 2 3 x - 3.

Zabilježite točke raskrižja.

Pronađite točke raskrižja grafova funkcija Y \u003d X i Y \u003d - 1 2 x + 4:

x \u003d - 1 2 X + 4 O D Z: X ≥ 0 X \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ X \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 d \u003d (- 20) 2 - 4 · 1 · 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; X 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 P O u E P: X 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 · 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ X 1 \u003d 16 N Ja sam u Li Jeo XP i u N i IX 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 · 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 Ja sam u LieSirenemura u n i ni ⇒ (4; 2) tohkaperesen i i y \u003d x i y \u003d - 1 2 x + 4

Točka sjecišta grafova funkcija Y \u003d X i Y \u003d 2 3 X - 3:

x \u003d 2 3 X - 3 O D Z: X ≥ 0 X \u003d 2 3 X - 3 2 ⇔ X \u003d 4 9 X 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 d \u003d (- 45) 2 - 4 · 4 · 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, X 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 P r O e: X 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ X 1 \u003d 9 Ja sam u LieMiraneni ⇒ (9; 3) toh do apereciy \u003d X i Y \u003d 2 3 X - 3 X 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4 n e i l i e t s i r e m u r a u n e n i

Naći ćemo mjesto raskrižja linije y \u003d - 1 2 x + 4 i y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 \u003d 4 x - 18 x 7 x \u003d 42 42 \u003d 6 - 1 2 · 6 + 4 \u003d 2 3 · 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6 ; 1) t o hkanereceniy \u003d - 1 2 x + 4 i y \u003d 2 3 x - 3

Broj metode 1.

Zamislite područje željene figure kao zbroj područja pojedinih figura.

Tada je lik slike jednak:

S (g) \u003d 4 X + 4 DX + 6 9 X - 2 3 X - 3 DX \u003d 2 3 x 3 2 + X 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d 2 3 2 + 6 2 4 - 4 - 6 - 2 3 · 4 3 2 + 4 2 4 4 4 - 4 · 4 + + 2 3 · 9 3 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d - 25 3 + 4 6 + 4 6 + 12 \u003d 11 3

Broj metode 2.

Područje izvorne figure može biti predstavljeno kao zbroj dviju drugih figura.

Tada ćemo riješiti jednadžbu linije u odnosu na X, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje lik slike.

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 do r i s n i i l i i y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ X \u003d 3 2 y + 9 2 h e r n i l i i y \u003d - l x + 4 ⇒ x \u003d - 2 y + 8 s i nil i ni

Dakle, područje je jednako:

S (g) \u003d 1 2 3 2 Y + 9 2 - 2 - 2 Y + 8 DY + 2 3 2 Y + 9 2 - Y 2 DY \u003d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 DY + 2 3 3 2 Y + 9 2 - 2 DY \u003d 7 4 Y 2 - 7 4 Y 1 2 + - Y 3 3 + 3 Y 2 4 + 9 2 Y 2 3 \u003d 7 4 · 2 2 - 7 4 · 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3

Kao što možete vidjeti, vrijednosti se podudaraju.

Odgovor: s (g) \u003d 11 3

Rezultati

Da biste pronašli područje lik, koji je ograničen na navedene linije, moramo izgraditi linije u ravnini, pronaći točke njihovog raskrižja, primijeniti formulu za pronalaženje područja. U ovom odjeljku razmotrili smo najčešće opcije zadataka.

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite ga i pritisnite Ctrl + Enter