ČAROBNI KVADRAT
Kina se smatra rodnim mjestom čarobnih kvadrata. U Kini postoji Feng Shui učenje, prema kojem boja, oblik i fizički položaj svakog elementa u prostoru utječu na protok Qi-ja, usporavajući ga, preusmjeravajući ili ubrzavajući, što izravno utječe na razinu energije stanovnika. Da bi saznali tajne svijeta, bogovi su caru Yu (Yu) poslali najstariji simbol, trg Lo Shu (Lo - rijeka).
ČAROBNI KVADRAT LO SHU
Legenda kaže da je prije otprilike četiri tisuće godina velika kornjača Shu izašla iz uzburkanih voda rijeke Lo. Ljudi koji su prinosili žrtve rijeci vidjeli su kornjaču i odmah je prepoznali kao božanstvo. Razmišljanja drevnih mudraca činila su se tako razumnom caru Yuu da je naredio da se ovjekovječi lik kornjače na papiru i zapečatio ga svojim carskim pečatom. Inače, kako bismo znali za ovaj događaj?
Ova kornjača je zapravo bila posebna jer je na oklopu imala čudan uzorak točkica. Točke su aplicirane uredno, što je antičke filozofe navelo na ideju da kvadrat s brojevima na kornjačinom oklopu služi kao model prostora – karta svijeta koju je sastavio mitski utemeljitelj kineske civilizacije Huangdi. Doista, zbroj brojeva u stupcima, recima, obje dijagonale kvadrata je isti M=15 i jednak je broju dana u svakom od 24 ciklusa kineske solarne godine.
Parni i neparni brojevi se izmjenjuju: osim toga, 4 parna broja (napisana odozdo prema gore u silaznom redoslijedu) nalaze se u četiri kuta, a 5 neparnih brojeva (napisanih odozdo prema gore u rastućem redoslijedu) tvore križ u središtu kvadrata. Pet elemenata križa odražavaju zemlju, vatru, metal, vodu i drvo. Zbroj bilo koja dva broja odvojena središtem jednak je broju Ho Ti, tj. deset.
Parni brojevi (zemljani simboli) Luo Shua bili su ispisani na tijelu kornjače kao crne točke ili Yin simboli, a neparni brojevi (nebeski simboli) kao bijele točke ili Yang simboli. Zemlja 1 (ili voda) je ispod, vatra 9 (ili nebo) je iznad. Moguće je da je moderna slika broja 5, smještena u središte kompozicije, posljedica kineskog simbola dualnosti Yanga i Yina.
ČAROBNI KVADRAT IZ KHAJURAKHA
Istočna soba
Čarolija Josepha Rudyarda Kiplinga, koji je stvorio slike Mowglija, Bagheere, Balooa, Shere Khana i, naravno, Tobaccoa, započela je uoči dvadesetog stoljeća. Pola stoljeća ranije, u veljači 1838., mladi britanski časnik u Bengalskim inženjerima, T.S. Bert, zainteresiran za razgovor slugu koji su nosili njegovu palanku, skrenuo je s rute i naišao na drevne hramove u džunglama Indije.
Na stepenicama hrama Vishwanath, časnik je pronašao natpis koji svjedoči o drevnosti građevina. Nedugo kasnije, energični general bojnik A. Cunningham nacrtao je detaljne planove za Khajuraho. Počela su iskapanja koja su kulminirala senzacionalnim otkrićem 22 hrama. Hramove su podigli maharadži iz njihove dinastije Chandel. Nakon kolapsa njihovog kraljevstva, džungla je progutala zgrade na tisuću godina. Pronađen među slikama golih bogova i božica, kvadrat četvrtog reda zadivio je maštu.
Ne samo da je ovaj kvadrat imao isti zbroj u redovima, stupcima i dijagonalama te je bio jednak 34. Oni su se poklopili i u izlomljenim dijagonalama nastalim kada je kvadrat presavijen u torus, i to u oba smjera. Za takvo čarobnjaštvo brojeva takvi se kvadrati nazivaju "đavolski" (ili "pandiagonalni", ili "nasik").
Naravno, to je svjedočilo o neobičnim matematičkim sposobnostima njihovih tvoraca, superiornih u odnosu na kolonijaliste. Ono što su ljudi u bijelim kacigama od srži neizbježno osjećali.
DUREROV ČAROBNI KVADRAT
Poznati njemački umjetnik s početka 16. stoljeća, Albrecht Durer, napravio je prvi čarobni kvadrat 4x4 u europskoj umjetnosti. Zbroj brojeva u bilo kojem retku, stupcu, dijagonali i, iznenađujuće, u svakoj četvrtini (čak i na središnjem kvadratu), pa čak i zbroj brojeva uglova je 34. Dva srednja broja u donjem redu označavaju datum slika (1514.). Ispravci su napravljeni u srednjim kvadratima prvog stupca - brojevi su deformirani.
Na slici s okultnim krilatim mišem Saturnom, čarobni kvadrat je sastavljen od krilati uma Jupitera, koji se međusobno suprotstavljaju. Kvadrat je simetričan, budući da je zbroj bilo koja dva broja uključena u njega, smještena simetrično u odnosu na njegovo središte, 17. Ako zbrojite četiri broja dobivena potezom šahovskog viteza, bit će 34. Zaista, ovo kvadrat, svojim besprijekornim redom, odražava melankoliju koja je obuzela umjetnika.
Jutarnji san.
Europljane je s nevjerojatnim brojčanim kvadratima upoznao bizantski pisac i lingvist Moshopoulos. Njegov rad bio je poseban esej na tu temu i sadržavao je primjere autorovih čarobnih kvadrata.
ORGANIZACIJA ČAROBNIH KVADRATA
Sredinom XVI stoljeća. u Europi su se pojavila djela u kojima su se magični kvadrati pojavljivali kao predmeti matematičkih istraživanja. Slijedila su mnoga druga djela, posebice tako poznatih matematičara, utemeljitelja moderne znanosti, kao što su Stiefel, Basche, Pascal, Fermat, Bessie, Euler, Gauss.
Čarobno, ili čarobni kvadrat, je kvadratna tablica ispunjena s n 2 broja na takav način da je zbroj brojeva u svakom retku, svakom stupcu i obje dijagonale isti. Definicija je uvjetna, budući da su stari također pridavali važnost, na primjer, boji.
normalan zove se čarobni kvadrat ispunjen cijelim brojevima od 1 do n 2 . Normalni magični kvadrati postoje za sve redove osim n = 2, iako je slučaj n = 1 trivijalan - kvadrat se sastoji od jednog broja.
Zove se zbroj brojeva u svakom retku, stupcu i dijagonali magična konstanta M. Magična konstanta normalnog magičnog kvadrata ovisi samo o n i dana je s
M = n (n 2 + 1) / 2
Prve vrijednosti magičnih konstanti date su u tablici
Ako su zbroji brojeva u kvadratu jednaki samo u recima i stupcima, onda se zove polu-čarobni. Čarobni kvadrat se zove asocijativna ili simetrično, ako je zbroj bilo koja dva broja koja se nalaze simetrično oko središta kvadrata n 2 + 1.
Postoji samo jedan normalan kvadrat trećeg reda. Poznavali su ga mnogi narodi. Raspored brojeva na trgu Lo Shu sličan je simboličkim oznakama duhova u Kabali i znakovima indijske astrologije.
Također poznat kao kvadrat Saturna. Neka tajna društva u srednjem vijeku u tome su vidjela "Kabalu devet odaja". Za očuvanje njegovih slika nedvojbeno je mnogo značila nijansa zabranjene magije.
Bio je važan u srednjovjekovnoj numerologiji, često se koristio kao amulet ili alat za proricanje. Svaka njegova ćelija odgovara mističnom slovu ili drugom simbolu. Čitajući zajedno duž određene crte, ovi znakovi su prenosili okultne poruke. Brojevi koji čine datum rođenja stavljeni su u ćelije kvadrata i potom dešifrirani ovisno o značenju i mjestu brojeva.
Među pandiagonalnim, kako ih još nazivaju, razlikuju se đavolski čarobni kvadrati, simetrični - idealni. Vražji kvadrat ostaje đavolski ako se okreće, reflektira, linija se preuređuje odozgo prema dolje i obrnuto, stupac se precrtava s desne ili lijeve strane i pripisuje mu na suprotnoj strani. Ukupno je pet transformacija, shema potonjeg prikazana je na slici.
Postoji 48 đavolskih kvadrata 4x4 do rotacija i refleksija. Ako uzmemo u obzir i simetriju pod toričkim paralelnim prijevodima, tada ostaju samo tri bitno različita đavolja kvadrata 4 × 4:
Claude F. Bragdon, poznati američki arhitekt, otkrio je da spajanjem jedne po jedne ćelije samo s parnim ili samo neparnim brojem polilinijskih čarobnih kvadrata u većini slučajeva dobivamo elegantan uzorak. Uzorak koji je izumio za ventilacijsku rešetku na stropu Trgovačke komore u Rochesteru u New Yorku, gdje je živio, izgrađen je od čarobnog slomljenog talismana Lo-Shu. Bragdon je koristio "čarobne linije" kao dizajnerske uzorke za tkanine, korice knjiga, arhitektonske ukrase i ukrasne glave.
Ako postavite mozaik od identičnih đavolskih kvadrata (svaki kvadrat mora biti blizu susjeda), tada ćete dobiti nešto poput parketa, u kojem će brojevi u bilo kojoj skupini ćelija 4x4 tvoriti đavolski kvadrat. Brojevi u četiri ćelije, koji slijede jedan za drugim, bez obzira na to kako su raspoređeni - okomito, vodoravno ili dijagonalno - u zbroju uvijek daju konstantu kvadrata. Moderni matematičari takve kvadrate nazivaju "savršenim".
LATINSKI TRG
Latinski kvadrat je vrsta nepravilnih matematičkih kvadrata ispunjenih s n različitih simbola na način da se svih n simbola pojavljuju u svakom retku i svakom stupcu (svaki jednom).
Latinski kvadrati postoje za bilo koje n. Svaki latinski kvadrat je tablica množenja (Cayleyjeva tablica) kvazigrupe. Naziv "latinski kvadrat" potječe od Leonharda Eulera, koji je umjesto brojeva u tablici koristio latinična slova.
Dva latinska kvadrata se zovu ortogonalni, ako su svi uređeni parovi simbola (a,b) različiti, gdje je a simbol u nekoj ćeliji prvog latinskog kvadrata, a b simbol u istoj ćeliji drugog latinskog kvadrata.
Ortogonalni latinski kvadrati postoje za bilo koji red osim 2 i 6. Za n kao prost stepen, postoji skup od n–1 ortogonalnih latinskih kvadrata u paru. Ako su svi elementi u svakoj dijagonali latinskog kvadrata različiti, onda se takav latinski kvadrat naziva dijagonala. Parovi ortogonalnih dijagonalnih latiničnih kvadrata postoje za sve redove osim 2, 3 i 6. Latinski kvadrat je uobičajen u problemima rasporeda jer nema ponovljenih brojeva u recima i stupcima.
Kvadrat parova elemenata dva ortogonalna latinska kvadrata naziva se grčko-latinski na kvadrat. Takvi se kvadrati često koriste za konstruiranje čarobnih kvadrata i u naprednim problemima rasporeda.
Proučavajući grčko-latinske kvadrate, Euler je dokazao da kvadrati drugog reda ne postoje, ali su pronađeni kvadrati od 3, 4 i 5 reda. Nije našao niti jedan kvadrat 6. reda. Pretpostavio je da ne postoje kvadrati parnih redova koji nisu djeljivi s 4 (tj. 6, 10, 14, itd.). 1901. godine, Gaston Terry brutalna sila potvrdio je hipotezu za 6. red. Ali 1959. godine hipotezu su pobili E. T. Parker, R. C. Bowes i C. S. Schrickhard, koji su otkrili grčko-latinski kvadrat reda 10.
ARTHUR CLARK'S POLIMINO
Polyomino - po svojoj složenosti, naravno, spada u kategoriju najtežih matematičkih kvadrata. Evo kako o njemu piše pisac znanstvene fantastike A. Clark - u nastavku donosimo ulomak iz knjige "Earthly Empire". Očito, Clark je, živeći na svom otoku, živio na Cejlonu – a njegova filozofija odvajanja od društva zanimljiva je sama po sebi, ponio ga je zabava koju podučava dječakova baka, te ju je prenio i na nas. Dajmo draže ovom živopisnom opisu nego dostupnim sistematizacijama koje prenose, možda, bit, ali ne i duh igre.
“Sada si dovoljno velik dječak, Duncane, da razumiješ ovu igru... ipak je to mnogo više od igre. Suprotno riječima njegove bake, igra nije impresionirala Duncana. Pa, što se može učiniti s pet bijelih plastičnih kvadrata?
“Prije svega”, nastavila je baka, “trebaš provjeriti koliko različitih uzoraka možeš sastaviti od kvadratića.
"Trebaju li biti na stolu?" upitao je Duncan.
- Da, trebali bi lagati, dodirujući se. Ne možete preklapati jedan kvadrat s drugim.
Duncan je počeo postavljati kvadrate.
"Pa, mogu ih sve rasporediti u pravu liniju", počeo je.
Dječak je brzo napravio pola tuceta kombinacija, pa još jednu i odjednom otkrio da ponavljaju postojeće.
Možda sam glup, ali to je sve.
Duncan je propustio najjednostavniji lik - križ, za stvaranje kojeg je bilo dovoljno položiti četiri kvadrata na strane petog, središnjeg.
“Većina ljudi počinje od križa”, nasmiješi se baka. “Po mom mišljenju, požurio si se proglasiti glupim. Bolje razmislite: može li biti još figura?
Usredotočivši se na pomicanje kvadratića, Duncan je pronašao još tri komada, nakon čega je prestao tražiti.
"Sada je to sve sigurno", rekao je samouvjereno.
Što možete reći o takvoj figuri?
Lagano pomičući kvadrate, baka ih je sastavila poput grbavog slova F.
- A evo još jednog.
Duncan se osjećao kao totalni idiot, a bakine riječi bile su melem za njegovu zbunjenu dušu:
- Baš si super. Zamislite samo, nedostajale su vam samo dvije brojke. A ukupan broj figura je dvanaest. Ni više ni manje. Sada ih sve poznaješ. Traži barem cijelu vječnost - drugu nećeš naći.
Baka je gurnula pet bijelih kvadrata u kut i položila desetak plastičnih komada jarkih boja na stol. To je bilo istih dvanaest figura, ali već u gotovom obliku, a svaka se sastojala od pet kvadrata. Duncan je već bio spreman priznati da nikakve druge figure zapravo ne postoje.
No budući da je baka postavila te raznobojne pruge, igra se nastavlja, a Duncana je čekalo još jedno iznenađenje.
“Sad, Duncane, slušaj pažljivo. Ovi komadi se nazivaju pentomino. Ime dolazi od grčke riječi "penta", što znači "pet". Sve figure su jednake po površini, budući da se svaka sastoji od pet identičnih kvadrata. Postoji dvanaest figura, pet kvadrata, dakle, ukupna površina će biti jednaka šezdeset kvadrata. Pravo?
- Hmm da.
- Slušaj dalje. Šezdeset je prekrasan okrugli broj koji se može formirati na nekoliko načina. Najlakše je pomnožiti deset sa šest. Ova kutija ima takvo područje: deset kvadrata stane vodoravno, a šest okomito. Stoga bi u njega trebalo stati svih dvanaest figura. Baš kao složena slika - zagonetka.
Duncan je očekivao trik. Baka je obožavala verbalne i matematičke paradokse, a nisu svi bili koncept njezine desetogodišnje žrtve. Ali ovaj put paradoksa nije bilo. Dno kutije je uvučeno u šezdeset kvadrata, što znači ... Stani! Područje je područje, ali brojke imaju različite obrise. Pokušajte ih staviti u kutiju!
"Ovaj zadatak ostavljam vama da odlučite sami", objavila je baka, vidjevši kako utučeno pomiče pentomine po dnu kutije. "Vjerujte mi, mogu se skupiti.
Ubrzo je Duncan počeo snažno sumnjati u bakine riječi. Lako je uspio ubaciti deset figura u kutiju, a jednom je uspio ugurati i jedanaestu. Ali obrisi praznog prostora nisu se podudarali s obrisima dvanaeste figure koju je dječak okretao u rukama. Postojao je križ, a preostali lik je podsjećao na slovo Z ...
Za pola sata Duncan je već bio na rubu očaja. Baka je bila uronjena u dijalog sa svojim računalom, ali s vremena na vrijeme ga je sa zanimanjem pogledala, kao da je htjela reći: "Nije tako lako kao što ste mislili."
U dobi od deset godina, Duncan je bio nevjerojatno tvrdoglav. Većina njegovih vršnjaka odavno bi odustala od pokušaja. (Tek nekoliko godina kasnije shvatio je da mu je baka graciozno izvršila psihološki test.) Duncan je izdržao gotovo četrdeset minuta bez pomoći...
Tada je baka ustala od kompjutera i sagnula se nad slagalicu. Njezini su prsti pomicali U, X i L oblike...
Dno kutije je bilo potpuno ispunjeno! Svi dijelovi slagalice su na pravim mjestima.
Naravno da ste već znali odgovor! rekao je Duncan ogorčeno.
- Odgovoriti? Baka je upitala: "Što misliš na koliko načina možeš staviti pentomino u ovu kutiju?"
Evo je, zamka. Duncan je petljao gotovo sat vremena ne pronalazeći rješenje, iako je za to vrijeme isprobao najmanje stotinu opcija. Mislio je da postoji samo jedan način. Može li ih biti... dvanaest? Ili više?
"Pa što mislite koliko načina može postojati?" ponovno je upitala baka.
“Dvadeset”, ispali Duncan, misleći da baka sada neće imati ništa protiv.
- Pokušajte ponovno.
Duncan je osjetio opasnost. Zabava se pokazala mnogo lukavijom nego što je mislio, a dječak je mudro odlučio ne riskirati.
"Zapravo, ne znam", rekao je, odmahujući glavom.
"A ti si prijemčiv dječak", baka se ponovno nasmiješila. "Intuicija je opasan dirigent, ali ponekad nemamo drugog. Mogu vas zadovoljiti: ovdje je nemoguće pogoditi točan odgovor. Postoji preko 2000 različitih načina stavljanja pentomina u ovu kutiju. Točnije, dvije tisuće tristo trideset devet. I što kažete na to?
Malo je vjerojatno da ga je baka prevarila. Ali Duncan je bio toliko shrvan svojom nesposobnošću da pronađe rješenje da se nije mogao suzdržati i izlanuo je:
- Ne vjerujem!
Helen je rijetko pokazivala iritaciju. Kad ju je Duncan na neki način uvrijedio, jednostavno je postala hladna i distancirana. Međutim, sada se baka samo nacerila i kuckala nešto po tipkovnici računala.
"Pogledaj ovdje", predložila je.
Na ekranu se pojavio skup od dvanaest pentomina u boji koji je ispunjavao pravokutnik veličine deset puta šest. Nekoliko sekundi kasnije zamijenjena je drugom slikom, gdje su se dijelovi, najvjerojatnije, nalazili na drugačiji način (Duncan nije mogao reći sa sigurnošću, jer se nije sjećao prve kombinacije). Ubrzo se slika opet promijenila, pa još jedna i još jedna... To se nastavilo sve dok baka nije zaustavila program.
"Čak i pri velikoj brzini, kompjuteru će trebati pet sati da prođe sve puteve", objasnila je baka. "Možete mi vjerovati na riječ: svi su različiti. Da nije bilo računala, sumnjam da bi ljudi pronašli sve načine jednostavnim prebiranjem opcija.
Duncan je dugo promatrao dvanaest varljivo jednostavnih figura. Polako je probavljao bakine riječi. Bilo je to prvo matematičko otkriće u njegovu životu. Ono što je tako neoprezno smatrao običnom dječjom igrom odjednom su se pred njim počeli otvarati beskrajni putovi i horizonti, iako bi i najdarovitije desetogodišnje dijete teško da bi moglo osjetiti bezgraničnost ovog svemira.
Ali tada su Duncanovo oduševljenje i strahopoštovanje bili pasivni. Prava eksplozija intelektualnog užitka dogodila se kasnije, kada je samostalno pronašao svoj prvi način slaganja pentomina. Duncan je nekoliko tjedana svuda sa sobom nosio plastičnu kutiju. Sve svoje slobodno vrijeme provodio je samo na pentominu. Brojke se pretvaraju u Duncanove osobne prijatelje. Zvao ih je slovima na koja su nalikovali, iako je u nekim slučajevima sličnost bila i više nego udaljena. Pet cifara - F, I, L, P, N otišlo je nasumično, ali preostalih sedam ponovilo je slijed latinične abecede: T, U, V, W, X, Y, Z.
Jednog dana, u stanju geometrijskog transa ili geometrijskog zanosa koji se nikada više nije ponovio, Duncan je pronašao pet stilskih opcija u manje od sat vremena. Možda čak ni Newton, Einstein ili Chen Tzu, u svojim trenucima istine, nisu osjećali više srodnosti s bogovima matematike nego Duncan Mackenzie.
Ubrzo je shvatio, i to sam, bez bakinih nagovještaja, da se pentomino mogu polagati u pravokutnik s različitim veličinama stranica. Duncan je vrlo lako pronašao nekoliko opcija za pravokutnike 5 x 12 i 4 x 15. Zatim se cijeli tjedan mučio pokušavajući uklopiti dvanaest oblika u duži i uži pravokutnik 3 x 20. Iznova i iznova počeo je ispunjavati podmukli prostor i ... dobit će rupe u pravokutniku i "dodatne" figure.
Shrvan, Duncan je posjetio svoju baku, gdje ga je čekalo novo iznenađenje.
"Drago mi je zbog vaših pokusa", rekla je Helen. "Istražili ste sve mogućnosti, pokušavajući zaključiti opći obrazac. To matematičari uvijek rade. Ali varate se: postoje rješenja za pravokutnik tri puta dvadeset. Ima ih samo dva, a ako nađete jednu, moći ćete pronaći i drugu.
Nadahnut bakinim pohvalama, Duncan je s novom snagom nastavio "lov na pentomino". Tjedan dana kasnije počeo je shvaćati kakav je nepodnošljiv teret stavio na svoja ramena. Broj načina na koje se dvanaest komada moglo posložiti bio je ogroman za Duncana. Štoviše, nakon svega, svaka je figura imala četiri pozicije!
I opet se ukazao svojoj baki, iznijevši joj sve svoje poteškoće. Da postoje samo dvije opcije za pravokutnik 3x20, koliko bi vremena trebalo da ih se pronađe?
"Ako hoćete, odgovorit ću vam", rekla je baka. "Kad biste se ponašali kao računalo bez mozga, radeći jednostavno nabrajanje kombinacija i utrošivši na svaku jednu sekundu, trebali biste..." Ovdje je namjerno zastala. " Trebalo bi vam više od šest milijuna... da, više od šest milijuna godina.
Zemlja ili Titan? Pitanje je odmah palo u Duncanovu glavu. Međutim, koja je razlika?
"Ali ti se razlikuješ od kompjutera bez mozga", nastavila je baka. "Odmah vidiš očito neprikladne kombinacije i stoga ne moraš gubiti vrijeme na njihovu provjeru. Pokušajte ponovno.
Duncan je poslušao, već bez entuzijazma i vjere u uspjeh. A onda mu je pala na pamet briljantna ideja.
Carl se odmah zainteresirao za pentomino i prihvatio je izazov. Uzeo je kutiju s figurama od Duncana i nestao na nekoliko sati.
Kad ga je Carl nazvao, prijatelj je izgledao pomalo uznemireno.
"Jeste li sigurni da ovaj problem stvarno ima rješenje?" - upitao.
- Apsolutno siguran. Ima ih dvoje. Zar još niste našli barem jednu? Mislio sam da si odličan u matematici.
“Zamislite samo, razumijem i stoga znam kakvog rada vrijedi vaš zadatak. Moramo testirati... milijun milijardi mogućih kombinacija.
"Kako ste znali da ih je toliko?" upita Duncan, zadovoljan što je barem nekako uspio natjerati prijatelja da se zbunjeno počeše po glavi.
Carl je zaškiljio na list papira ispunjen dijagramima i brojkama.
“Ako izuzmete nevažeće kombinacije i uzmete u obzir simetriju i mogućnost rotacije ... dobivate faktorijel ... ukupan broj permutacija ... još uvijek ne razumijete. Pokazat ću vam sam broj.
Pred kameru je podigao još jedan list papira na kojem je bio prikazan impresivan niz brojeva u velikoj veličini:
1 004 539 160 000 000.
Duncan nije znao ništa o faktorijalima, ali Karla nije sumnjala u točnost njegovih izračuna. Dugi broj mu se jako svidio.
"Dakle, namjeravao si napustiti ovaj zadatak?" upita Duncan oprezno.
- Što još! Samo sam ti htio pokazati koliko je to teško.
Carlovo lice odavalo je mračnu odlučnost. Nakon što je izgovorio te riječi, onesvijestio se.
Sljedećeg dana Duncan je doživio jedan od najvećih šokova svog dječaštva. Karlovo iznemoglo lice, s upaljenim očima, gledalo ga je s ekrana. Činilo se da je imao neprospavanu noć.
"Pa, to je sve", objavio je umornim, ali pobjedničkim glasom.
Duncan je jedva vjerovao svojim očima. Činilo mu se da su šanse za uspjeh zanemarive. U to se čak i sam uvjerio. I odjednom... Pred njim je ležao pravokutnik veličine tri puta dvadeset ispunjen svih dvanaest komada pentomina.
Tada je Carl zamijenio i preokrenuo dijelove na krajevima, ostavljajući središnji dio netaknutim. Prsti su mu lagano drhtali od umora.
"To je drugo rješenje", objasnio je. "A sada idem u krevet. Dakle, laku noć ili dobro jutro, kako god želite.
Poniženi Duncan dugo je zurio u prazan ekran. Nije znao u kojem smjeru se Carl kreće, pipajući tražeći rješenje zagonetke. Ali znao je da je njegov prijatelj izašao kao pobjednik. Protiv svega.
Nije zavidio na pobjedi svog prijatelja. Duncan je previše volio Karla i uvijek se radovao njegovim uspjesima, iako se i sam često pokazao kao autsajder. Ali u večerašnjem trijumfu njegovog prijatelja bilo je nešto drugačije, nešto gotovo čarobno.
Duncan je prvi put vidio moć intuicije. Bio je suočen s tajanstvenom sposobnošću uma da probije granice činjenica i odbaci logiku koja se miješa. U nekoliko sati, Carl je napravio ogroman posao, nadmašivši najbrže računalo.
Nakon toga, Duncan je saznao da svi ljudi imaju takve sposobnosti, ali ih koriste iznimno rijetko - možda jednom u životu. Kod Karla je ovaj dar bio iznimno razvijen... Od tog trenutka Duncan je počeo ozbiljno shvaćati argumente svog prijatelja, čak i one najsmješnije i najnečuvenije sa stajališta zdravog razuma.
To je bilo prije dvadeset godina. Duncan se nije sjećao kamo su nestali plastični komadi pentomina. Možda su ostali s Karlom.
Bakin dar postao je njihova nova inkarnacija, sada u obliku komada raznobojnog kamena. Nevjerojatna, blijedoružičasta nijansa granita bila je s brda Galilea, opsidijana - s Huygensove visoravni, a pseudo-mramora - s grebena Herschel. A među njima... Duncan je isprva mislio da je pogriješio. Ne, to je tako: to je bio najrjeđi i najtajanstveniji mineral Titana. Baka je od titanita napravila kameni pentomino križ. Ovaj plavo-crni, sa zlatnim inkluzijama mineral ne može se zamijeniti ni s čim. Duncan nikada nije vidio tako velike komade i mogao je samo nagađati kolika je njihova vrijednost.
"Ne znam što bih rekao", promrmljao je. "Kakva ljepota. Ovo je prvi put da vidim ovo.
Zagrlio je bakina mršava ramena i odjednom osjetio da ona drhte i da ona ne može zaustaviti ovo drhtanje. Duncan ju je pažljivo držao u naručju sve dok joj ramena nisu prestala drhtati. U takvim trenucima riječi nisu potrebne. Duncan je jasnije nego prije shvatio: on je posljednja ljubav u razorenom životu Helen Mackenzie. A sada odleti, ostavljajući je samu sa svojim sjećanjima.
VELIKI ČAROBNI KVADRAT
Kineski matematičar Yang Hui iz 13. stoljeća bio je upoznat s Pascalovim trokutom (aritmetičkim trokutom). Ostavio je prikaz metoda rješavanja jednadžbi 4. i višeg stupnja, postoje pravila za rješavanje potpune kvadratne jednadžbe, zbrajanje progresija i tehnike građenja magičnih kvadrata. Uspio je konstruirati čarobni kvadrat šestog reda, a potonji se pokazao gotovo asocijativnim (samo dva para centralno suprotnih brojeva u njemu ne zbrajaju 37).
Benjamin Franklin dizajnirao je kvadrat 16x16 koji je, osim što je imao konstantan zbroj od 2056 u svim recima, stupcima i dijagonalama, imao još jedno dodatno svojstvo. Ako iz lista papira izrežemo kvadrat 4×4 i položimo ovaj list na veliki kvadrat tako da 16 ćelija većeg kvadrata upadne u ovaj utor, tada će se zbroj brojeva koji se pojavljuju u tom utoru, gdje god stavite to će biti isto - 2056.
Najvrednije kod ovog kvadrata je to što ga je prilično lako pretvoriti u savršeni čarobni kvadrat, dok izgradnja savršenih čarobnih kvadrata nije lak zadatak. Franklin je ovaj trg nazvao "najšarmantnijom magijom od svih čarobnih kvadrata koje su čarobnjaci ikada stvorili".
Durer (Durer) Albrecht (1471-1528), njemački slikar, crtač, graver, teoretičar umjetnosti.
studirao sa svojim ocem.
Otac, zlatar, želio je uključiti sina u rad u juvelirskoj radionici, ali Albrecht nije izrazio nikakvu želju. Volio je i privlačio ga slikanje.
Kod nirnberškog umjetnika Wolgemuta Durer je savladao ne samo slikarstvo, već i graviranje na drvetu.
Inspiriran djelima umjetnika Martina Schongauera, kojeg nikad nije upoznao, Albrecht je puno putovao i svugdje učio, učio, učio...
Ali došlo je vrijeme kada se Albrecht trebao oženiti. A onda je odabrao Agnes Frey, kćer očevog prijatelja, iz stare i cijenjene nürnberške obitelji. Brak s Agnesom bio je bez djece, a supružnici su bili različitog karaktera, zbog čega obitelj nije bila baš sretna.
Ipak, otvorio je vlastiti obrt i u svojoj radionici izradio značajan dio svojih gravura.
U Veneciji su kružile glasine o njegovoj ljubavi prema oba spola... Možda je Dürer prakticirao istospolnu ljubav sa srdačnim prijateljem, poznavateljem antičke književnosti Pirkheimerom.
Duga, vruće uvijena kosa, satovi plesa, strah od sifilisa u Veneciji i kupnje lijeka za ovu bolest u Nizozemskoj, elegantna odjeća, sitna taština u svemu što se tiče njegove ljepote i izgleda, melankolija, narcizam i egzibicionizam, Kristov kompleks , brak bez djece, pokornost svojoj ženi, nježno prijateljstvo s libertinom Pirkheimerom, kojeg je on sam u listopadu iz 1506. godine u šali predložio kastrirati -
sve je to u Düreru spojeno s nježnom brigom za majku i braću, s dugogodišnjim napornim radom, čestim pritužbama na siromaštvo, bolest, nesreću, koje ga navodno progone.
Budite vjerni Bogu!
Budite zdravi
I vječni život na nebu
Poput Blažene Djevice Marije.
Albrecht Dürer vam kaže -
Pokajte se za grijehe
Do posljednjeg dana posta,
I začepi đavolska usta
Pobijedite nečiste.
Neka ti pomogne Gospodin Isus Krist
Budite sigurni da ste dobri!
Razmislite više o smrti
O pokopu vaših tijela.
Užasava dušu
Odvraća od zla
I grešni svijet
Od tlačenja tijela
I đavolski poticaji...
Kad je 1498. Koberger objavio"Apokalipsa",
Durer je izradio 15 drvoreza koji su mu donijeli europsku slavu.Upoznavanje s venecijanskom školom snažno je utjecalo na umjetnikov slikarski stil.
U Veneciji je umjetnik pogubljen po nalogu njemačkih trgovaca "Festival ružinih vijenaca" a zatim su se pojavili i drugi prijedlozi, slike koje su ostavile neizbrisiv dojam raznovrsnošću boja i tema.
sam car Maksimilijan I
bio zadivljen umjetnošću Albrechta Dürera.
Durer se držao stajališta “ikonoklasta, međutim, u kasnijim djelima A. Durera neki istraživači nalaze simpatije prema protestantizmu.
Na kraju života Dürer je puno radio kao slikar, u tom razdoblju stvorio je najdublja djela u kojima se očituje poznavanje nizozemske umjetnosti.
Jedna od najvažnijih slika posljednjih godina - diptih "Četiri apostola", koju je umjetnik 1526. godine predstavio Gradskom vijeću.
U Nizozemskoj je Dürer pao žrtvom nepoznate bolesti (moguće malarije), od koje je bolovao do kraja života.
Albrech je napravio takozvani čarobni kvadrat, prikazan na jednoj od njegovih najsavršenijih gravura -"Melankolija". Zasluge Durera leži u činjenici da je mogao u nacrtani kvadrat upisati brojeve od 1 do 16 na način da se zbroj 34 dobije ne samo zbrajanjem brojeva okomito, vodoravno i dijagonalno, već i u sve četiri četvrtine, u središnjem četverokut, pa čak i kada se dodaju četiri kutne ćelije. Dürer je također uspio zaključiti u tablici godinu nastanka gravure "» (1514.).
U djelima Albrechta Dürera postoje tri poznata drvoreza, koja prikazuju karte južne i sjeverne hemisfere zvjezdanog neba i istočne Zemljine polutke, koje su postale prve u povijesti tiskane na tipografski način.
Godine 1494. knjiga Sebastiana Branta izlazi pod simboličnim naslovom"Brod budala"
(Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
Tijekom putovanja duž Rajne, koja su obavezna za radioničkog šegrta, Dürer je izradio nekoliko štafelajnih gravura u duhu kasne gotike, ilustracije za "Brod budala" S. Branta,
na kojoj flota prelazi more. Puno je budala okolo. Ovdje se smiju glupim mornarima i brodovima Carstva.
Vjeruje se da je osim A. Durera, na projektu istovremeno radilo nekoliko crtača-rezbara ... Slika "Brod budala"- napisao poznati umjetnikHijeronim Bosch.
Durerov crtež "Brod budala"
Gore desno su budale na kolima, dolje plovi brod po moru okružen čamcima, a na brodu i u čamcima sve budale.
Mnoge ilustracije za "Brod budala", kako primjećuju komentatori, IMAJU MALO ODNOSA SA SADRŽAJEM SAME KNJIGE.
Kako se doznaje, sama Brantova knjiga odabrana je samo kao povod, povod, za objavljivanje velikog broja gravura (sto šesnaest) na temu "Broda budala".
Imati Albrecht Dürer i takva slika kao
"Blagdan Svih Svetih"
(Landauer Oltarpiece) 1511. Kunsthistorisches Museum, Beč. Ova je slika također donijela veliku slavu umjetniku.
Bakrorez "Melanholija I" poznatog umjetnika iz doba zapadnoeuropske renesanse Albrecht Dürer obavijen misterijom, pun simbola i alegorija. U nevjerojatno maloj veličini svoje kreacije, nenadmašni majstor graviranja uspio je šifrirati toliko tajnih značenja i poruka koje još uvijek zbunjuju likovne kritičare. Različite verzije tragova ovih misterija nalaze se dalje u pregledu.
Albrecht Dürer (njem. Albrecht Dürer, 1471.-1528.) - njemački slikar i grafičar, prvi teoretičar umjetnosti, jedan od najvećih majstora sjeverne renesanse, bio je treće dijete u obitelji od osamnaestero rođene i osmero preživjele djece. Otac, zlatar, od djetinjstva je pokušavao sina uvesti u zlatarski zanat od kojeg je i sam zarađivao za život.
No, suprotno njegovim očekivanjima, u dobi od petnaest godina, mladi Albrecht postaje učenik Michaela Wolgemutha, vodećeg nürnberškog umjetnika, slikara i vrsnog gravera. Od njega je vrijedni student dobio znanja i vještine koje je koristio tijekom svoje karijere. Osim toga, prvi uspjeh mladom umjetniku donijeli su drvorezi i bakrorezi. Nakon toga je postao inovator u ovoj tehnici. A o Dürerovim slikama ne treba govoriti - to su remek-djela svjetske umjetnosti.
Dürerovo znanje iz astronomije, matematike i prirodnih znanosti bilo je nevjerojatno. Stvorio je karte zvjezdanog neba, prateći nebeska tijela s krova vlastite kuće, na kojoj se nalazila mala zvjezdarnica. Izračunao je vrijednosti za čarobni kvadrat, koji je prvi put nastao u Europi, i stvorio teorijske radove o umjetnosti.
"Melankolija I"
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-006.jpg" alt="(!LANG: Ulomak gravure "Melankolija I". Autor: A. Dürer. ¦ Fotografija: kaplyasveta.ru." title="Ulomak gravure "Melankolija I".
U središtu kompozicije vidimo ženu s krilima i u vijencu, koja personificira logiku - ovo je Dürerova muza. Sjedeći nepomično na trijemu, uronjena je u melankoličnu zamišljenost i tugu: žena, iako ima krila, ne može prodrijeti kroz veo misterija svemira. Sve što se događa oko - prolazi bez njenog sudjelovanja. To je deprimira i stvara melankolično raspoloženje.
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-007.jpg" alt="Ulomak gravure "Melankolija I". Autor: A. Durer. ¦ Fotografija: kaplyasveta.ru." title="Ulomak gravure "Melankolija I".
Gravura dimenzija 23,9 x 18,8 centimetara prezasićena je detaljima i predmetima. Ovdje možete vidjeti pješčani sat i sunčani sat, vagu, zvono, šestar, kuglu, poliedar, uklesani čarobni kvadrat, kao i građevinske alate.
A najzanimljivija pretpostavka ruske umjetničke kritičarke Paole Volkove je verzija: gravura ne prikazuje krilatu ženu, već samog Albrechta Durera s anđeoskim krilima, što je, usput rečeno, sasvim prirodno.
čarobni kvadrat
https://static.kulturologia.ru/files/u21941/durer-004.jpg" alt="Ulomak gravure "Melankolija I". Autor: A. Durer. ¦ Fotografija: kaplyasveta.ru." title="Ulomak gravure "Melankolija I".
Prva od verzija: umjetnik je odlučio stvoriti nekoliko djela koja odražavaju melankoliju, te je stoga počeo numerirati svoja djela. No, kao što znate, Dürer više nije imao nastavak niza gravura posvećenih Melankoliji.
Druga verzija temeljila se na psihološkim učenjima tog vremena, koja su govorila da postoje tri vrste melankolika. Neki od njih bili su kreativni ljudi s razvijenom maštom, drugi su bili političari i znanstvenici s razvijenim umom, a treći su bili ljudi religije i filozofi s razvijenom intuicijom. Stoga Dürer, koji je sebe smatrao melankolikom, na gravuri piše: MELENCOLIA I.
Prema trećoj verziji: "I" uopće nije rimski broj, već latinsko slovo "i". I u sprezi s melankolijom - znači "Daleko, melankolija".
A posljednje je najvjerojatnije. Budući da se tehnika graviranja izvodi u zrcalnoj slici, Dürer je pogriješio pri pisanju imena, što nije bio prvi slučaj u njegovoj praksi. Umjesto pisma"А" - конечной буквы, он начал писать букву "М". И чтобы исправить свою ошибку, он решил таким образом выйти из сложившейся ситуации.!}
"Melankolija I" - posljednja je u nizu od tri čuvene Dürerove "majstorske gravure" i njegovo najomiljenije djelo. Prva dva su Jeronim u ćeliji i Vitez, smrt i vrag.
U sva tri je lik: vitez, sveti Jeronim, krilata žena. Prema mnogim povjesničarima umjetnosti, u ova tri djela umjetnik je opisao različita stanja ljudske duše.
Više o djelu "Vitez, smrt i vrag" možete saznati u recenziji:
XIII znanstveno-praktični skup školaraca
"Čarobni kvadrati"
Učenici 8 "A" razreda
VTP Licej
Šolohova Ana
Voditeljica Anokhina M.N.
Povijest nastanka mog djela………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………
Čarobni kvadrat ................................................................ ........................................................3
Povijesno značajni magični kvadrati..................................4-5
TRG PRONAĐEN U KHAJURAKHO (INDIJA).........6
Čarobni trg Yang Huija (Kina)........................................ ......7
Trg Albrechta Dürera.................................................. ........................8
Kvadrati Henry E. Dudeney i Allan W. Johnson Jr.....9
Đavolji čarobni trg .................................................. 10-11 (prikaz, stručni).
PRAVILA ZA IZGRADNJU ČAROBNOG KVADRATA.....12
SASTAV ČAROBNOG KVADRATA.....................................13-15
Stvaranje čarobnog kvadrata Albrechta Dürera. .....17-18
Sudoku ................................................ ................................................19- 21 Kakuro................................................ ..............................22-23
BANKA ZADATAKA.................................................. ...............24-25
Zaključci ................................................................ ............................... 26 Književnost ................. ................................................................ ........27
Povijest mog rada .
Prije nisam ni pomišljao da se to može učiniti. Prvi put kad sam u prvom razredu u udžbeniku susreo čarobne kvadrate, bili su najjednostavniji.
Nekoliko godina kasnije, s roditeljima sam otišao na more i upoznao djevojku koja je voljela sudoku. I ja sam htio učiti, a ona mi je objasnila kako se to radi. Jako mi se svidjela ova aktivnost i postala mi je takozvani hobi.
Nakon što su mi ponudili sudjelovanje na znanstveno-praktičnom skupu, odmah sam odabrao temu “Čarobni kvadrati”. U ovaj rad uključio sam povijesni materijal, sorte, pravila za izradu puzzle igre.
Čarobni kvadrat.
Čarobni ili čarobni kvadrat je kvadratna tablica ispunjena n brojeva na način da je zbroj brojeva u svakom retku, u svakom stupcu i na obje dijagonale isti. Čarobni kvadrat se naziva normalnim ako je ispunjen cijeli brojevi od 1 do n.
Magični kvadrati postoje za sve redove osim n=2, iako je slučaj n=1 trivijalan - kvadrat se sastoji od jednog broja.
Zbroj brojeva u svakom retku, stupcu i na dijagonalama. pozvao magična konstanta, M. Magična konstanta normalnog magičnog kvadrata ovisi samo o n i određena je formulom.
| Naredba br |
|||||||||||
Prve vrijednosti magičnih konstanti date su u sljedećoj tablici.
Povijesno značajni čarobni kvadrati.
U starokineskoj knjizi Zhe-kim (Knjiga permutacija) postoji legenda da je car Nu, koji je živio prije 4000 godina, vidio svetu kornjaču na obali rijeke. Na njezinoj školjci bio je uzorak bijelih i crnih krugova (slika 1). Ako svaki oblik zamijenimo brojem koji pokazuje koliko krugova ima, dobit ćemo tablicu.
Ova tablica ima izvanredno svojstvo. Zbrojimo brojeve prvog stupca: 4+3+8=15. Isti rezultat dobit ćemo zbrajanjem brojeva drugog, kao i trećeg stupca. Također se dobiva zbrajanjem brojeva bilo kojeg od tri retka. I ne samo to, isti odgovor 15 dobiva se zbrajanjem brojeva svake od dvije dijagonale: 4+5+6=8+5+2=15.
Vjerojatno su Kinezi smislili ovu legendu kada su pronašli raspored brojeva od 1 do 9 s tako divnim svojstvom. Crtež su nazvali "lo-shu" i počeli ga smatrati čarobnim simbolom i koristiti ga za čarolije. Stoga se sada zove svaka kvadratna tablica sastavljena od brojeva i koja ima ovo svojstvo čarobni kvadrat.
Sl. 1
TRG PRONAĐEN U KHAJURAKHO (INDIJA).
Najraniji jedinstveni čarobni kvadrat pronađen je u natpisu iz 11. stoljeća u indijskom gradu Khajuraho.
Ovo je prvi čarobni kvadrat koji pripada nizu takozvanih "đavolskih" kvadrata.
Čarobni trg Yang Hui (Kina)
U 13. stoljeću matematičar Yang Hui se bavio problemom metoda za konstruiranje čarobnih kvadrata. Njegovo istraživanje potom su nastavili i drugi kineski matematičari. Yang Hui smatrao je čarobne kvadrate ne samo trećeg, već i višeg reda.
Neki od njegovih kvadrata bili su prilično složeni, ali je uvijek davao pravila za njihovu konstrukciju. Uspio je konstruirati čarobni kvadrat šestog reda.
Zbroj brojeva na bilo kojoj vodoravnoj, okomitoj i dijagonali je 34. Ovaj zbroj se također javlja u svim kutnim poljima 2x2, u središnjem polju (10+11+6+7), u kvadratu kutnih ćelija (16+13+4+1), u poljima izgrađenim "viteškim potezom" (2+8 +9+15 i 3+5+12+14), pravokutnici formirani od parova srednjih ćelija na suprotnim stranama (3+2+15+14 i 5+8+9+12). Većina dodatnih simetrije su posljedica činjenice da je zbroj bilo koja dva centralno simetrično smještena broja jednak 17.
Squares Henry E. Dudeney i Allan W. Johnson Jr.
Ako se u kvadratnu matricu n x n unese nestrogo prirodan niz brojeva, tada je taj čarobni kvadrat netradicionalan. Ispod su dva takva čarobna kvadrata ispunjena većinom prostim brojevima. Prvi (slika 3) ima red n=3 (Dyudenyjev kvadrat); drugi (slika 4) (veličine 4x4) je Johnsonov kvadrat. Oba su razvijena početkom dvadesetog stoljeća.
sl.3 sl.4
Vražji magični trg- čarobni kvadrat, u kojem se zbroj brojeva duž izlomljenih dijagonala također poklapa s magičnom konstantom (dijagonalama koje nastaju kada se kvadrat presavije u torus) u oba smjera.
Takvi kvadrati se također nazivaju pandiagonalni .
Postoji 48 đavolskih magičnih kvadrata 4x4, točnih za rotacije i refleksije. Ako uzmemo u obzir i njihovu dodatnu simetriju - toričke paralelne translacije, tada ostaju samo 3 bitno različita kvadrata:
Riža. 5 sl. 6
Međutim, dokazano je da se (slika 7) prva dva kvadrata dobivaju najjednostavnijim permutacijama brojeva (sl. 5; 6). Odnosno, treća opcija je osnovni đavolji kvadrat, od kojeg se raznim transformacijama mogu graditi svi ostali.
Pandijagonalni kvadrati postoje za neparni red n>3, za bilo koji dvostruki paritetni red n=4k (k=1,2,3…) i ne postoje za jednostruki paritetni red n=4k+2 (k=1,2,3… ) .
Pandijagonalni kvadrati četvrtog reda imaju niz dodatnih svojstava zbog kojih se nazivaju savršen. Ne postoje savršeni pandiagonalni kvadrati neparnog reda. Među pandiagonalnim kvadratima pariteta većim od 4 postoje savršeni.
Pandiagonalnih kvadrata petog reda ima 3600. Uzimajući u obzir toričke paralelne translacije, postoje 144 različita pandiagonalna kvadrata. Jedan od njih prikazan je u nastavku.
PRAVILA ZA IZGRADNJU ČAROBNIH KVADRATA
Pravila za izradu čarobnih kvadrata dijele se u tri kategorije, ovisno o tome je li redoslijed kvadrata neparan, jednak dvaput neparnom broju ili jednak četiri puta neparnom broju. Opća metoda za konstruiranje svih kvadrata je nepoznata, iako se naširoko koriste različite sheme.
Moguće je pronaći sve magične kvadrate reda n samo za n=3,4, stoga su od velikog interesa posebni postupci za konstruiranje čarobnih kvadrata za n>4. Najjednostavnija konstrukcija je za magični kvadrat neparnog reda. U ćeliju je potrebno staviti broj s koordinatama (x, y).
Još je lakše konstruirati konstrukciju na sljedeći način, uzima se matrica n x n. Unutar nje je ugrađen stepenasti romb. U njemu su ćelije slijeva prema gore dijagonalno ispunjene uzastopnim redom brojeva. Određuje se vrijednost središnje ćelije C.
Tada će u kutovima čarobnog kvadrata vrijednosti biti sljedeće: gornja desna ćelija C-1; donja lijeva ćelija C+1; donja desna ćelija C-n; gornja lijeva ćelija C+n.
SASTAV ČAROBNOG KVADRATA.
Kako se sastavljaju čarobni kvadrati?
Stvaranje čarobnog kvadrata "Lo-Shu".
Zadatak: Kvadrat 3x3, sastavljen od brojeva od 1 do 9, tako da su zbroji brojeva u svakom retku, stupcu i dijagonali jednaki.
Riješenje: Riješimo problem bez pribjegavanja nabrajanju jedne po jedne svih permutacija 9 znamenki u 9 ćelija (broj takvih permutacija je 362880). Ajmo se ovako svađati. Zbroj svih brojeva od 1 do 9 je 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. To znači da u svakom retku i svakom stupcu zbroj brojeva treba biti jednak: 45:3=15. Ali ako zbrojite sve brojeve u drugom stupcu i retku i u obje dijagonale, tada će svaki broj ući jednom, s izuzetkom središnjeg broja koji će ući četiri puta. Dakle, ako središnji broj označimo s x, tada mora biti zadovoljena jednakost 4 * 15 \u003d 3x + 3 * 15. Dakle, x = 5, to jest, broj 5 bi trebao biti u središtu tablice.
Sada imajte na umu da broj 9 ne može biti u kutu tablice, recimo u gornjem lijevom kutu. Uostalom, tada bi broj 1 bio u suprotnom kutu, a jedna kombinacija bi ostala u prvom retku i stupcu - brojevi 4 i 2. To znači da je 9 u sredini nekih ekstremnih redaka ili stupaca (imamo u sredina prvog reda). Druga dva broja u ovom redu su 4 i 2, a treći broj u srednjem stupcu trebao bi biti 15-9-5=1. Brojevi 8 i 6 trebaju biti na istoj liniji kao i 1. Tako je čarobni kvadrat gotovo popunjen i lako je pronaći mjesto za preostale brojeve. Rezultat je "Lo-Shu" kvadrat.
Naravno, možete odabrati još tri mjesta za 9, a nakon što odaberete mjesto za ovaj broj, postoje dvije mogućnosti postavljanja brojeva 4 i 2. Ukupno ima 4 * 2 = 8 različitih čarobnih kvadrata iz tri reda i tri stupca (ili, kako matematičari kažu, kvadrati trećeg reda). Svi ovi kvadrati se mogu dobiti na "Lo-Shu" ili okretanjem kvadrata za 180,90 ili 270. Moguća je i opcija zrcalne slike.
Kvadrat
"Lo-Shu"
| 4 |
9 |
2 |
| 3 |
5 |
7 |
| 8 |
1 |
6 |
Stvaranje čarobnog kvadrata
Albrecht Durer.
Zadatak : Napravite čarobni kvadrat 4x4, od brojeva od 1 do 16, tako da su zbroji brojeva u svakom retku, stupcu i dijagonali jednaki.
Riješenje: Zbroj svih brojeva od 1 do 16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136. To znači da bi u svakom retku i svakom stupcu zbroj brojeva trebao biti: 136:4=34. Ali ako zbrojite sve brojeve, drugo, u stupcu i retku i u obje dijagonale, tada će svaki broj ući jednom, s iznimkom središnjih, koji će ući dvaput. Ovi brojevi će biti 10,11,6,7. Zatim ćemo isporučiti preostale brojeve 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 u preostale ćelije
Trg Albrechta Dürera
Sudoku.
U prijevodu s japanskog, "su" znači "broj", a "doku" znači "stajati odvojeno".
Nema potrebe nagađati ili kopati po knjigama - samo logika i pažnja!
Zadatak: ispunite prazne ćelije brojevima od 1 do 9 tako da se u bilo kojem retku, bilo kojem stupcu i u svakom od 9 blokova 3x3 broj ne ponavlja.
Riješenje: korak 1
Pogledajmo istaknuti red. Nedostaju mu samo dva broja: 1 i 2. Pogledajmo prvu praznu ćeliju s desne strane. Možemo li staviti 1 unutra? Ne. Jer u ovom stupcu već postoji 1, a ti se brojevi ne mogu ponoviti u stupcu. To znači da u ovu ćeliju možemo unijeti samo 2. Dakle, učinimo to. Sada samo trebamo unijeti broj 1 u praznu, posljednju ćeliju u ovom retku, i red je popunjen.
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
8 |
7 |
||||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
3 |
1 |
|||||
| 3 |
7 |
4 |
5 |
2 |
Pogledajmo odabrani stupac: njemu također nedostaju samo dvije znamenke - 2 i 7. Ne možemo unijeti broj 7 u prvu praznu ćeliju s vrha ovog stupca, jer već postoji broj 7 u retku koji prelazi stupac. Ali možemo u njega unijeti broj 2, što i radimo! A za broj 7 samo je jedan prazan
ćelija u ovom stupcu je druga ćelija odozdo. U njega slobodno upišite broj 7 – kolona je puna!
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Pa, sada pogledajmo središnji blok ćelija: u njemu je ostala samo jedna prazna ćelija, odnosno nedostaje samo jedna znamenka. Pogledajmo pažljivo - ovo je broj 9, budući da su svi ostali brojevi već na mjestu. Ponovno upisujemo broj 9 u ćeliju ... i opet "gledamo okolo" - i opet imamo jedan red i jedan stupac. Nedostaju dvije znamenke. Što je sljedeće? Odgovor ćemo pronaći sami - korak 1, korak 2...
| 9 |
2 |
3 |
7 |
4 |
5 |
|||
| 8 |
3 |
1 |
4 |
6 |
7 |
|||
| 6 |
8 |
5 |
3 |
|||||
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
|||
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
7 |
|||
| 6 |
5 |
1 |
8 |
4 |
||||
| 4 |
8 |
7 |
3 |
1 |
||||
| 3 |
7 |
9 |
4 |
5 |
2 |
Podaci o brojevima.
| 1 |
9 |
2 |
3 |
6 |
7 |
8 |
4 |
5 |
| 8 |
3 |
5 |
1 |
2 |
4 |
6 |
9 |
7 |
| 6 |
4 |
7 |
8 |
9 |
5 |
2 |
3 |
1 |
| 7 |
8 |
3 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
9 |
| 9 |
2 |
6 |
4 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
| 5 |
1 |
4 |
2 |
8 |
9 |
7 |
6 |
3 |
| 2 |
6 |
9 |
5 |
1 |
8 |
3 |
7 |
4 |
| 4 |
5 |
8 |
7 |
3 |
2 |
9 |
1 |
6 |
| 3 |
DUREROV ČAROBNI KVADRAT
Čarobni kvadrat, koji je reproducirao njemački umjetnik Albrecht Dürer na gravuri “Melankolija”, poznat je svim istraživačima čarobnih kvadrata.
Ovaj kvadrat je detaljno opisan ovdje. Najprije ću pokazati gravuru “Melankolija” (slika 1) i čarobni kvadrat koji je na njoj prikazan (slika 2).
Riža. jedan
Riža. 2
Sada ću pokazati ovaj kvadrat u njegovom uobičajenom obliku (slika 3):
|
16 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
Riža. 3
Zanimljivo je da dva srednja broja u posljednjem redu kvadrata (istaknuti su) čine godinu graviranja - 1514.
Vjeruje se da je ovaj trg, koji je toliko fascinirao Albrechta Dürera, u zapadnu Europu došao iz Indije na početku XVIstoljeća. U Indiji je ovaj trg bio poznat u jastoljeća poslije Krista. Vjeruje se da su čarobne kvadrate izmislili Kinezi, budući da ih se najranije spominje u kineskom rukopisu napisanom između 4000-5000 pr. Toliko su stari čarobni kvadrati!
Razmotrite sada sva svojstva ovog nevjerojatnog trga. Ali to ćemo učiniti na drugom kvadratu, u čiju skupinu spada i Durerov trg. To znači da je Dürerov kvadrat dobiven iz kvadrata koji ćemo sada razmatrati jednom od sedam osnovnih transformacija čarobnih kvadrata, odnosno rotacijom od 180 stupnjeva. Svih 8 kvadrata koji čine ovu grupu imaju svojstva koja će sada biti navedena, samo će u svojstvu 8 za neke kvadrate riječ "red" biti zamijenjena riječju "stupac" i obrnuto.
Glavni trg ove grupe može se vidjeti na Sl. 4.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
Riža. 4
Sada navodimo sva svojstva ovog poznatog trga.
Svojstvo 1 . Ovaj kvadrat je asocijativan, odnosno svaki par brojeva simetrično smješten u odnosu na središte kvadrata daje ukupno 17=1+ n 2 .
Svojstvo 2. Zbroj brojeva koji se nalaze u kutnim ćelijama kvadrata jednak je magičnoj konstanti kvadrata - 34.
Svojstvo 3. Zbroj brojeva u svakom kutu kvadrata 2x2, kao iu središnjem kvadratu 2x2, jednak je magičnoj konstanti kvadrata.
Svojstvo 4. Magična konstanta kvadrata je zbroj brojeva na suprotnim stranama dvaju središnjih pravokutnika 2x4, i to: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Svojstvo 5. Magična konstanta polja jednaka je zbroju brojeva u ćelijama označenim potezom šahovskog viteza, i to: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+ 2+12=34 i 4+10+13 +7=34.
Svojstvo 6. Magična konstanta kvadrata jednaka je zbroju brojeva u odgovarajućim dijagonalama kutnih kvadrata 2x2 koji su susjedni suprotnim vrhovima kvadrata. Na primjer, u kutnim kvadratima 2x2, koji su istaknuti na Sl. 4, zbroj brojeva u prvom paru odgovarajućih dijagonala: 1+7+10+16=34 (to je razumljivo, jer se ti brojevi nalaze na glavnoj dijagonali samog kvadrata). Zbroj brojeva u drugom paru odgovarajućih dijagonala: 14+12+5+3=34.
Svojstvo 7. Magična konstanta kvadrata je zbroj brojeva u ćelijama označenim potezom sličnim potezu šahovskog konja, ali s izduženim slovom G. Prikazujem ove brojeve: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34,4+3+14+13=34.
svojstvo 8. U svakom retku kvadrata nalazi se par susjednih brojeva, čiji je zbroj 15, i još jedan par susjednih brojeva, koji su također susjedni, čiji je zbroj 19. U svakom stupcu kvadrata nalazi se par susjednih brojeva, čiji je zbroj 13, i drugog para susjednih brojeva, čiji je zbroj 21.
Svojstvo 9. Zbroji kvadrata brojeva u dva krajnja retka međusobno su jednaki. Isto se može reći i za zbrojeve kvadrata brojeva u dva srednja reda. Vidjeti:
1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438
12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310
Slično svojstvo imaju i brojevi u stupcima kvadrata.
Svojstvo 10. Ako je kvadrat s vrhovima u središtima stranica upisan u razmatrani kvadrat (slika 5), tada:
a) zbroj brojeva uz jedan par suprotnih strana upisanog kvadrata jednak je zbroju brojeva uz drugi par suprotnih strana, a svaki od tih zbroja jednak je magijskoj konstanti kvadrata;
b) zbroji kvadrata i zbroji kubova navedenih brojeva jednaki su:
12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374
12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624
Riža. pet
Ovo su svojstva čarobnog kvadrata na sl. 4.
Treba napomenuti da se u asocijativnom kvadratu, koji je kvadrat koji se razmatra, mogu izvesti i takve transformacije kao što je permutacija simetričnih redaka i/ili stupaca. Na primjer, na sl. 6 prikazuje kvadrat dobiven iz kvadrata na sl. 4 zamjenom dva srednja stupca.
Publikacije |
