Ekspansi ke pangkat bilangan prima. Faktor. Memfaktorkan suatu bilangan Faktorisasi. Memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima

Mari kita faktorkan bilangan 120 menjadi faktor prima

120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Larutan
Mari kita perbesar angka 120

120: 2 = 60
60: 2 = 30 - habis dibagi bilangan prima 2
30: 2 = 15 - habis dibagi bilangan prima 2
15: 3 = 5
Kita selesaikan pembagiannya karena 5 adalah bilangan prima

Jawab : 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 5

Mari kita faktorkan bilangan 246 menjadi faktor prima

246 = 2 ∙ 3 ∙ 41

Larutan
Mari kita uraikan angka 246 menjadi faktor prima dan menyorotnya dengan warna hijau. Kita mulai memilih pembagi dari bilangan prima, dimulai dari bilangan prima terkecil 2, hingga hasil bagi menjadi bilangan prima

246: 2 = 123 - habis dibagi bilangan prima 2
123: 3 = 41 - habis dibagi bilangan prima 3.
Kita selesaikan pembagiannya karena 41 adalah bilangan prima

Jawaban: 246 = 2 ∙ 3 ​​​​∙ 41

Mari kita faktorkan bilangan 1463 menjadi faktor prima

1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Larutan
Mari kita perbesar angka 1463 menjadi faktor prima dan menyorotnya dengan warna hijau. Kita mulai memilih pembagi dari bilangan prima, dimulai dari bilangan prima terkecil 2, hingga hasil bagi menjadi bilangan prima

1463: 7 = 209 - habis dibagi bilangan prima 7
209: 11 = 19
Kita selesaikan pembagiannya karena 19 adalah bilangan prima

Jawaban: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Mari kita faktorkan bilangan 1268 menjadi faktor prima

1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Larutan
Mari kita perbesar angka 1268 menjadi faktor prima dan menyorotnya dengan warna hijau. Kita mulai memilih pembagi dari bilangan prima, dimulai dari bilangan prima terkecil 2, hingga hasil bagi menjadi bilangan prima

1268: 2 = 634 - habis dibagi bilangan prima 2
634: 2 = 317 - habis dibagi bilangan prima 2.
Kita selesaikan pembagiannya karena 317 adalah bilangan prima

Jawaban: 1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Mari kita faktorkan bilangan 442464 menjadi faktor prima

442464

Larutan
Mari kita perbesar angka 442464 menjadi faktor prima dan menyorotnya dengan warna hijau. Kita mulai memilih pembagi dari bilangan prima, dimulai dari bilangan prima terkecil 2, hingga hasil bagi menjadi bilangan prima

442464: 2 = 221232 - habis dibagi bilangan prima 2
221232: 2 = 110616 - habis dibagi bilangan prima 2
110616: 2 = 55308 - habis dibagi bilangan prima 2
55308: 2 = 27654 - habis dibagi bilangan prima 2
27654: 2 = 13827 - habis dibagi bilangan prima 2
13827: 3 = 4609 - habis dibagi bilangan prima 3
4609: 11 = 419 - habis dibagi bilangan prima 11.
Kita selesaikan pembagiannya karena 419 adalah bilangan prima

Jawaban: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419

Artikel ini memberikan jawaban atas pertanyaan memfaktorkan suatu bilangan pada selembar kertas. Mari kita lihat gambaran umum dekomposisi dengan contoh. Mari kita menganalisis bentuk kanonik perluasan dan algoritmanya. Semua metode alternatif akan dipertimbangkan dengan menggunakan tanda habis dibagi dan tabel perkalian.

Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima?

Mari kita lihat konsep faktor prima. Diketahui bahwa setiap faktor prima adalah bilangan prima. Pada hasil kali bentuk 2 · 7 · 7 · 23 kita mempunyai 4 faktor prima dalam bentuk 2, 7, 7, 23.

Faktorisasi melibatkan representasinya dalam bentuk produk bilangan prima. Jika kita perlu menguraikan angka 30, maka kita mendapatkan 2, 3, 5. Entrinya akan berbentuk 30 = 2 · 3 · 5. Ada kemungkinan bahwa pengganda dapat terulang. Bilangan seperti 144 mempunyai 144 = 2 2 2 2 3 3.

Tidak semua angka rentan terhadap peluruhan. Bilangan yang lebih besar dari 1 dan merupakan bilangan bulat dapat difaktorkan. Bilangan prima, jika difaktorkan, hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri, sehingga bilangan-bilangan tersebut tidak mungkin direpresentasikan sebagai suatu hasil kali.

Jika z mengacu pada bilangan bulat, maka z direpresentasikan sebagai hasil kali a dan b, dimana z dibagi dengan a dan b. Bilangan komposit difaktorkan menggunakan teorema dasar aritmatika. Jika bilangan tersebut lebih besar dari 1, maka faktorisasinya p 1, p 2, ..., p n berbentuk a = p 1 , p 2 , … , p n . Dekomposisinya diasumsikan dalam satu varian.

Faktorisasi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima

Selama ekspansi, faktor-faktor dapat terulang. Mereka ditulis secara kompak menggunakan derajat. Jika pada saat penguraian bilangan a kita mempunyai faktor p 1 yang muncul s 1 kali dan seterusnya p n – s n kali. Dengan demikian perluasan akan terwujud a=p 1 s 1 · a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Entri ini disebut faktorisasi kanonik suatu bilangan menjadi faktor prima.

Jika bilangan 609840 diekspansi, diperoleh 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, bentuk kanoniknya menjadi 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Dengan menggunakan ekspansi kanonik, Anda dapat menemukan semua pembagi suatu bilangan dan bilangannya.

Untuk memfaktorkan dengan benar, Anda perlu memahami bilangan prima dan komposit. Maksudnya adalah memperoleh bilangan urut pembagi yang berbentuk p 1, p 2, ..., p n angka sebuah , sebuah 1 , sebuah 2 , … , sebuah n - 1, ini memungkinkan untuk didapat a = hal 1 a 1, dimana a 1 = a: p 1 , a = p 1 · a 1 = p 1 · p 2 · a 2 , dimana a 2 = a 1: p 2 , … , a = p 1 · p 2 · … · p n · sebuah , di mana an = an - 1: p n. Setelah menerima sebuah = 1, lalu kesetaraan a = hal 1 · hal 2 · … · hal n kita memperoleh penguraian bilangan a yang diperlukan menjadi faktor prima. perhatikan itu p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Untuk mencari faktor persekutuan terkecil, Anda perlu menggunakan tabel bilangan prima. Hal ini dilakukan dengan menggunakan contoh mencari pembagi prima terkecil dari bilangan z. Saat mengambil bilangan prima 2, 3, 5, 11 dan seterusnya, dan membagi bilangan z dengan bilangan tersebut. Karena z bukan bilangan prima, perlu diperhatikan bahwa pembagi prima terkecil tidak akan lebih besar dari z. Terlihat tidak ada pembagi dari z, maka jelas bahwa z adalah bilangan prima.

Contoh 1

Mari kita lihat contoh angka 87. Kalau dibagi 2, didapat 87: 2 = 43 dengan sisa 1. Oleh karena itu, 2 tidak bisa menjadi pembagi; pembagian harus dilakukan seluruhnya. Jika dibagi 3, didapat 87:3 = 29. Maka kesimpulannya adalah 3 adalah pembagi prima terkecil dari bilangan 87.

Saat memfaktorkan faktor prima, Anda harus menggunakan tabel bilangan prima, dimana a. Saat memfaktorkan 95, Anda harus menggunakan sekitar 10 bilangan prima, dan saat memfaktorkan 846653, sekitar 1000.

Mari kita pertimbangkan algoritma dekomposisi menjadi faktor prima:

• mencari faktor pembagi terkecil p 1 suatu bilangan A dengan rumus a 1 = a : p 1, bila a 1 = 1, maka a bilangan prima dan termasuk dalam faktorisasi, bila tidak sama dengan 1, maka a = p 1 · a 1 dan ikuti poin di bawah ini;
• mencari pembagi prima p 2 dari suatu bilangan a 1 dengan menghitung bilangan prima secara berurutan menggunakan a 2 = a 1 : p 2 , ketika 2 = 1 , maka pemuaian berbentuk a = p 1 p 2 , bila a 2 = 1, maka a = p 1 p 2 a 2 , dan kita melanjutkan ke langkah berikutnya;
• mencari bilangan prima dan menemukan pembagi prima hal 3 angka sebuah 2 menurut rumus a 3 = a 2: p 3 bila a 3 = 1 , maka kita mendapatkan bahwa a = p 1 p 2 p 3 , bila tidak sama dengan 1, maka a = p 1 p 2 p 3 a 3 dan lanjutkan ke langkah berikutnya;
• pembagi prima ditemukan hal angka sebuah n - 1 dengan menghitung bilangan prima dengan hal - 1, Dan an = an - 1: p n, dimana a n = 1, langkahnya final, hasilnya a = p 1 · p 2 · … · p n .

Hasil algoritma ditulis dalam bentuk tabel dengan faktor-faktor yang didekomposisi dengan garis vertikal yang berurutan dalam satu kolom. Perhatikan gambar di bawah ini.

Algoritma yang dihasilkan dapat diterapkan dengan menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Saat memfaktorkan menjadi faktor prima, algoritma dasar harus diikuti.

Contoh 2

Faktorkan bilangan 78 menjadi faktor prima.

Larutan

Untuk mencari pembagi prima terkecil, Anda harus menelusuri semua bilangan prima di 78. Yaitu 78 : 2 = 39. Pembagian tanpa sisa berarti ini adalah pembagi sederhana pertama, yang kita nyatakan sebagai p 1. Kita mendapatkan bahwa a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Kita sampai pada persamaan bentuk a = p 1 · a 1 , dimana 78 = 2 39. Maka a 1 = 39, artinya kita harus melanjutkan ke langkah berikutnya.

Mari kita fokus mencari pembagi prima hal2 angka sebuah 1 = 39. Anda harus melalui bilangan prima yaitu 39: 2 = 19 (sisa 1). Karena pembagian dengan sisa maka 2 bukan merupakan pembagi. Saat memilih angka 3, kita mendapatkan 39:3 = 13. Artinya p 2 = 3 adalah pembagi prima terkecil dari 39 dengan a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Kami memperoleh persamaan bentuk a = hal 1 hal 2 a 2 dalam bentuk 78 = 2 3 13. Kita mengetahui bahwa 2 = 13 tidak sama dengan 1, maka kita harus melanjutkan.

Pembagi prima terkecil dari bilangan a 2 = 13 ditemukan dengan mencari bilangan yang dimulai dari 3. Kita peroleh bahwa 13:3 = 4 (sisa 1). Dari sini terlihat bahwa 13 tidak habis dibagi 5, 7, 11, karena 13:5 = 2 (sisa 3), 13:7 = 1 (sisa 6) dan 13:11 = 1 (sisa 2) . Dapat dilihat bahwa 13 adalah bilangan prima. Menurut rumusnya seperti ini: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Kami menemukan bahwa 3 = 1, yang berarti penyelesaian algoritma. Sekarang faktornya ditulis sebagai 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Menjawab: 78 = 2 3 13.

Contoh 3

Faktorkan bilangan 83.006 menjadi faktor prima.

Larutan

Langkah pertama melibatkan anjak piutang hal 1 = 2 Dan a 1 = a: p 1 = 83,006: 2 = 41,503, dimana 83.006 = 2 · 41.503.

Langkah kedua mengasumsikan 2, 3 dan 5 bukan pembagi prima untuk bilangan a 1 = 41,503, tetapi 7 merupakan pembagi prima, karena 41,503: 7 = 5,929. Kita peroleh bahwa p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41,503: 7 = 5,929. Jelasnya, 83.006 = 2 7 5 929.

Mencari pembagi prima terkecil dari p 4 ke bilangan a 3 = 847 adalah 7. Terlihat a 4 = a 3 : p 4 = 847 : 7 = 121, jadi 83.006 = 2 7 7 7 121.

Untuk mencari pembagi prima bilangan a 4 = 121 kita menggunakan bilangan 11 yaitu p 5 = 11. Kemudian kita mendapatkan ekspresi bentuk a 5 = a 4: hal 5 = 121: 11 = 11, dan 83.006 = 2 7 7 7 11 11.

Untuk nomor sebuah 5 = 11 nomor hal 6 = 11 adalah pembagi prima terkecil. Jadi a 6 = a 5: p 6 = 11: 11 = 1. Maka 6 = 1. Hal ini menunjukkan selesainya algoritma. Faktornya akan ditulis sebagai 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Notasi kanonik jawabannya akan berbentuk 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Menjawab: 83.006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Contoh 4

Faktorkan bilangan 897.924.289.

Larutan

Untuk mencari faktor prima pertama, carilah bilangan prima yang dimulai dari 2. Akhir pencarian terjadi di nomor 937. Maka p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 dan 897 924 289 = 937 958 297.

Langkah kedua dari algoritma ini adalah melakukan iterasi pada bilangan prima yang lebih kecil. Artinya, kita mulai dengan angka 937. Bilangan 967 tergolong bilangan prima karena merupakan pembagi prima dari bilangan a 1 = 958.297. Dari sini didapat p 2 = 967, maka a 2 = a 1 : p 1 = 958 297 : 967 = 991 dan 897 924 289 = 937 967 991.

Langkah ketiga menyatakan bahwa 991 adalah bilangan prima, karena tidak mempunyai satu faktor prima pun yang tidak melebihi 991. Perkiraan nilai ekspresi radikal adalah 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . Hal ini menunjukkan bahwa p 3 = 991 dan a 3 = a 2 : p 3 = 991 : 991 = 1. Diketahui bahwa penguraian bilangan 897 924 289 menjadi faktor prima diperoleh 897 924 289 = 937 967 991.

Menjawab: 897 924 289 = 937 967 991.

Menggunakan uji pembagian untuk faktorisasi prima

Untuk memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima, Anda perlu mengikuti suatu algoritma. Bila bilangannya kecil, diperbolehkan menggunakan tabel perkalian dan tanda habis dibagi. Mari kita lihat ini dengan contoh.

Contoh 5

Jika perlu memfaktorkan 10, maka tabel menunjukkan: 2 · 5 = 10. Bilangan 2 dan 5 yang dihasilkan merupakan bilangan prima, sehingga merupakan faktor prima dari bilangan 10.

Contoh 6

Jika perlu menguraikan bilangan 48, maka tabelnya menunjukkan: 48 = 6 8. Namun 6 dan 8 bukan faktor prima karena keduanya juga dapat diperluas menjadi 6 = 2 3 dan 8 = 2 4. Maka pemuaian sempurna dari sini diperoleh 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Notasi kanoniknya akan berbentuk 48 = 2 4 · 3.

Contoh 7

Saat menguraikan angka 3400, Anda dapat menggunakan tanda-tanda habis dibagi. Dalam hal ini, tanda-tanda habis dibagi 10 dan 100 adalah relevan. Dari sini didapat 3,400 = 34 · 100, dimana 100 habis dibagi 10, yaitu ditulis 100 = 10 · 10, artinya 3,400 = 34 · 10 · 10. Berdasarkan uji habis dibagi, diperoleh 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Semua faktor adalah prima. Ekspansi kanonik mengambil bentuknya 3 400 = 2 3 5 2 17.

Saat kita menemukan faktor prima, kita perlu menggunakan tes pembagian dan tabel perkalian. Jika Anda membayangkan bilangan 75 sebagai hasil kali faktor, maka Anda perlu memperhitungkan aturan habis dibagi 5. Kita peroleh bahwa 75 = 5 15, dan 15 = 3 5. Artinya pemuaian yang diinginkan adalah contoh bentuk hasil kali 75 = 5 · 3 · 5.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

(kecuali 0 dan 1) mempunyai paling sedikit dua pembagi: 1 dan dirinya sendiri. Bilangan yang tidak mempunyai pembagi lain disebut sederhana angka. Bilangan yang mempunyai pembagi lain disebut gabungan(atau kompleks) angka. Ada bilangan prima yang jumlahnya tak terhingga. Berikut bilangan prima yang tidak melebihi 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Perkalian- salah satu dari empat operasi aritmatika dasar, operasi matematika biner di mana satu argumen ditambahkan sebanyak argumen lainnya. Dalam aritmatika, perkalian adalah bentuk singkat penjumlahan sejumlah suku identik tertentu.

Misalnya, notasi 5*3 berarti “tambahkan tiga angka lima”, yaitu 5+5+5. Hasil perkalian disebut bekerja, dan bilangan yang akan dikalikan adalah pengganda atau faktor. Faktor pertama kadang-kadang disebut " perkalian».

Setiap bilangan komposit dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Dengan metode apa pun, perluasan yang sama diperoleh jika Anda tidak memperhitungkan urutan penulisan faktor.

Memfaktorkan suatu bilangan (Faktorisasi).

Faktorisasi (faktorisasi)- enumerasi pembagi - suatu algoritma untuk memfaktorkan atau menguji keutamaan suatu bilangan dengan menghitung secara lengkap semua kemungkinan pembagi potensial.

Artinya, secara sederhana, faktorisasi adalah nama proses pemfaktoran bilangan yang dinyatakan dalam bahasa ilmiah.

Urutan tindakan saat memfaktorkan faktor prima:

1. Periksa apakah bilangan yang diusulkan adalah bilangan prima.

2. Jika tidak, maka dengan berpedoman pada tanda pembagian, kita pilih pembagi dari bilangan prima, dimulai dari yang terkecil (2, 3, 5…).

3. Kita ulangi tindakan ini sampai hasil bagi menjadi bilangan prima.

Apa yang dimaksud dengan anjak piutang? Bagaimana cara melakukannya? Apa yang dapat kamu pelajari dari memfaktorkan suatu bilangan menjadi faktor prima? Jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini diilustrasikan dengan contoh-contoh spesifik.

Definisi:

Bilangan yang mempunyai tepat dua pembagi yang berbeda disebut bilangan prima.

Bilangan yang mempunyai lebih dari dua pembagi disebut bilangan komposit.

Memfaktorkan bilangan asli berarti menyatakannya sebagai hasil kali bilangan asli.

Memfaktorkan suatu bilangan asli menjadi faktor prima berarti menyatakannya sebagai hasil kali bilangan prima.

Catatan:

• Dalam penguraian suatu bilangan prima, salah satu faktornya sama dengan satu, dan faktor lainnya sama dengan bilangan itu sendiri.
• Tidak masuk akal membicarakan kesatuan pemfaktoran.
• Suatu bilangan komposit dapat difaktorkan menjadi faktor-faktor yang masing-masing faktornya berbeda dari 1.

Saat memfaktorkan bilangan besar menjadi faktor prima, gunakan notasi kolom:

	Bilangan prima terkecil yang habis dibagi 216 adalah 2. Bagilah 216 dengan 2. Kita mendapat 108.
	Angka yang dihasilkan 108 dibagi 2. Mari kita lakukan pembagiannya. Hasilnya adalah 54.
	Berdasarkan uji habis dibagi 2, bilangan 54 habis dibagi 2. Setelah membagi, kita mendapatkan 27.
	Angka 27 diakhiri dengan angka ganjil 7. Dia Tidak habis dibagi 2. Bilangan prima berikutnya adalah 3. Bagilah 27 dengan 3. Kita mendapatkan 9. Prima terkecil Bilangan yang habis dibagi 9 adalah 3. Tiga sendiri merupakan bilangan prima, habis dibagi satu dan satu. Mari kita bagi 3 sendiri. Pada akhirnya kami mendapat 1.

• Suatu bilangan hanya habis dibagi oleh bilangan prima yang merupakan bagian dari penguraiannya.
• Suatu bilangan hanya habis dibagi menjadi bilangan-bilangan komposit yang penguraiannya menjadi faktor-faktor prima terkandung seluruhnya di dalamnya.

Mari kita lihat contohnya:

Tentukan hasil bagi pembagian bilangan a dengan bilangan b, jika bilangan-bilangan tersebut didekomposisi menjadi faktor prima sebagai berikut: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliografi

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika kelas 6. - Gimnasium. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Di balik halaman buku teks matematika. - M.: Pendidikan, 1989.
4. Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Tugas mata kuliah matematika untuk kelas 5-6. - M.: ZSh MEPHI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematika 5-6. Panduan untuk siswa kelas 6 di sekolah korespondensi MEPHI. - M.: ZSh MEPHI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Buku teks-teman bicara untuk kelas 5-6 sekolah menengah. - M.: Pendidikan, Perpustakaan Guru Matematika, 1989.

1. Portal internet Matematika-na.ru ().
2. Portal internet Math-portal.ru ().

Pekerjaan rumah

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012. No.127, No.129, No.141.
2. Tugas lainnya : No.133, No.144.