Setiap persamaan derajat pertama terhadap koordinat x, kamu, z

Kapak + Oleh + Cz +D = 0 (3.1)

mendefinisikan sebuah bidang, dan sebaliknya: bidang apa pun dapat direpresentasikan dengan persamaan (3.1), yang disebut persamaan bidang.

Vektor N(A, B, C) ortogonal terhadap bidang disebut vektor biasa pesawat. Pada persamaan (3.1), koefisien A, B, C tidak sama dengan 0 pada waktu yang bersamaan.

Kasus khusus persamaan (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - bidang melewati titik asal.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - bidang sejajar sumbu Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - bidang melewati sumbu Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - bidang sejajar dengan bidang Oyz.

Persamaan bidang koordinat: x = 0, y = 0, z = 0.

Garis lurus dalam ruang dapat ditentukan:

1) sebagai garis perpotongan dua bidang, yaitu. sistem persamaan:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) dengan dua titiknya M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2), maka garis lurus yang melaluinya diberikan oleh persamaan:

= ; (3.3)

3) titik M 1 (x 1, y 1, z 1) miliknya, dan vektor A(m, n, p), segaris dengannya. Maka garis lurus ditentukan dengan persamaan:

. (3.4)

Persamaan (3.4) disebut persamaan garis kanonik.

Vektor A ditelepon vektor arah lurus.

Kita memperoleh relasi parametrik dengan menyamakan setiap relasi (3.4) dengan parameter t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Memecahkan sistem (3.2) sebagai suatu sistem persamaan linear relatif tidak diketahui X Dan kamu, kita sampai pada persamaan garis masuk proyeksi atau untuk diberikan persamaan garis lurus:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Dari persamaan (3.6) kita dapat melanjutkan ke persamaan kanonik, mencari z dari setiap persamaan dan menyamakan nilai yang dihasilkan:

.

Dari persamaan umum (3.2) kita dapat beralih ke persamaan kanonik dengan cara lain, jika kita menemukan titik mana pun pada garis ini dan garis pengarahnya N= [N 1 , N 2 ], dimana N 1 (A 1, B 1, C 1) dan N 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - vektor normal dari bidang tertentu. Jika salah satu penyebutnya M N atau R pada persamaan (3.4) ternyata sama dengan nol, maka pembilang pecahan yang bersangkutan harus ditetapkan sama dengan nol, yaitu sistem

setara dengan sistem ; garis lurus tersebut tegak lurus terhadap sumbu Sapi.

Sistem ekuivalen dengan sistem x = x 1, y = y 1; garis lurus sejajar dengan sumbu Oz.

Contoh 1.15. Tuliskan persamaan bidang tersebut, dengan mengetahui bahwa titik A(1,-1,3) adalah alas garis tegak lurus yang ditarik dari titik asal ke bidang tersebut.

Larutan. Menurut kondisi masalah, vektor OA(1,-1,3) merupakan vektor normal bidang, maka persamaannya dapat dituliskan sebagai
x-y+3z+D=0. Substitusikan koordinat titik A(1,-1,3), milik pesawat, cari D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Jadi x-y+3z-11=0.

Contoh 1.16. Tuliskan persamaan bidang yang melalui sumbu Oz dan membentuk sudut 60° dengan bidang 2x+y-z-7=0.

Larutan. Bidang yang melalui sumbu Oz diberikan oleh persamaan Ax+By=0, dimana A dan B tidak hilang secara bersamaan. Jangan sampai B
sama dengan 0, A/Bx+y=0. Menggunakan rumus cosinus sudut antara dua bidang

.

Memutuskan persamaan kuadrat 3m 2 + 8m - 3 = 0, tentukan akar-akarnya
m 1 = 1/3, m 2 = -3, dari sini kita mendapatkan dua bidang 1/3x+y = 0 dan -3x+y = 0.

Contoh 1.17. Buatlah persamaan garis kanonik:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Larutan. Persamaan garis kanonik berbentuk:

Di mana m, n, hal- koordinat vektor pengarah garis lurus, x 1 , kamu 1 , z 1- koordinat titik mana pun yang termasuk dalam suatu garis. Garis lurus didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang. Untuk mencari titik yang termasuk dalam suatu garis, salah satu koordinatnya ditetapkan (cara termudah adalah dengan menetapkan, misalnya, x=0) dan sistem yang dihasilkan diselesaikan sebagai sistem persamaan linier dengan dua variabel yang tidak diketahui. Jadi, misalkan x=0, maka y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, maka y=-1, z=1. Kami menemukan koordinat titik M(x 1, y 1, z 1) yang termasuk dalam garis ini: M (0,-1,1). Vektor arah suatu garis lurus mudah dicari dengan mengetahui vektor-vektor normal bidang aslinya N 1 (5,1,1) dan N 2 (2,3,-2). Kemudian

Persamaan garis kanonik berbentuk: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Contoh 1.18. Pada balok yang dibatasi oleh bidang 2x-y+5z-3=0 dan x+y+2z+1=0, tentukan dua bidang tegak lurus yang salah satunya melalui titik M(1,0,1).

Larutan. Persamaan sinar yang didefinisikan oleh bidang-bidang ini berbentuk u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, di mana u dan v tidak hilang secara bersamaan. Mari kita tulis ulang persamaan balok sebagai berikut:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Untuk memilih bidang dari balok yang melewati titik M, kita substitusikan koordinat titik M ke dalam persamaan balok. Kita mendapatkan:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0, atau v = - u.

Kemudian kita cari persamaan bidang yang memuat M dengan mensubstitusikan v = - u ke dalam persamaan balok:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Karena kamu ¹0 (jika tidak v=0, dan ini bertentangan dengan definisi balok), maka kita mempunyai persamaan bidang x-2y+3z-4=0. Bidang kedua milik balok harus tegak lurus terhadapnya. Mari kita tuliskan syarat ortogonalitas bidang:

(2u+v) ×1 + (v - kamu) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0, atau v = - 19/5u.

Artinya persamaan bidang kedua berbentuk:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 atau 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Persamaan kanonik suatu garis dalam ruang adalah persamaan yang menentukan garis yang melaluinya titik tertentu segaris terhadap vektor arah.

Biarkan sebuah titik dan vektor arah diberikan. Suatu titik sembarang terletak pada suatu garis aku hanya jika vektor-vektornya dan adalah kolinear, yaitu, kondisinya terpenuhi:

.

Persamaan di atas merupakan persamaan kanonik garis lurus.

Angka M , N Dan P adalah proyeksi vektor arah ke sumbu koordinat. Karena vektornya bukan nol, maka semua bilangan M , N Dan P tidak bisa sekaligus sama dengan nol. Tapi satu atau dua di antaranya mungkin nol. Dalam geometri analitik, misalnya, entri berikut diperbolehkan:

,

yang artinya proyeksi vektor pada sumbu Oi Dan Ons sama dengan nol. Oleh karena itu, baik vektor maupun garis lurus yang ditentukan oleh persamaan kanonik tegak lurus terhadap sumbunya Oi Dan Ons, yaitu pesawat terbang kamu Oz .

Contoh 1. Tuliskan persamaan garis dalam ruang yang tegak lurus bidang dan melewati titik potong bidang ini dengan sumbunya Ons .

Larutan. Mari kita cari titik potong bidang ini dengan sumbunya Ons. Karena setiap titik terletak pada sumbunya Ons, memiliki koordinat , maka, dengan asumsi masuk persamaan yang diberikan pesawat x = kamu = 0, kita mendapatkan 4 z- 8 = 0 atau z= 2 . Oleh karena itu, titik potong bidang ini dengan sumbunya Ons memiliki koordinat (0; 0; 2) . Karena garis yang diinginkan tegak lurus terhadap bidang, maka garis tersebut sejajar dengan vektor normalnya. Oleh karena itu, vektor pengarah garis lurus dapat menjadi vektor normal pesawat yang diberikan.

Sekarang mari kita tuliskan persamaan garis lurus yang melalui suatu titik A= (0; 0; 2) searah vektor:

Persamaan garis yang melalui dua titik tertentu

Garis lurus dapat ditentukan oleh dua titik yang terletak diatasnya Dan Dalam hal ini, vektor pengarah garis lurus dapat berupa vektor . Kemudian persamaan garis kanonik mengambil bentuk

.

Persamaan di atas menentukan garis yang melalui dua titik tertentu.

Contoh 2. Tuliskan persamaan garis dalam ruang yang melalui titik dan .

Larutan. Mari kita tuliskan persamaan garis lurus yang diperlukan dalam bentuk yang diberikan di atas dalam referensi teoritis:

.

Karena , maka garis lurus yang diinginkan tegak lurus terhadap sumbu Oi .

Lurus seperti garis perpotongan bidang

Garis lurus dalam ruang dapat didefinisikan sebagai garis perpotongan dua bidang yang tidak sejajar dan, yaitu, sebagai himpunan titik yang memenuhi sistem dua persamaan linier.

Persamaan sistem disebut juga persamaan umum garis lurus dalam ruang.

Contoh 3. Buatlah persamaan kanonik suatu garis dalam ruang yang diberikan oleh persamaan umum

Larutan. Untuk menulis persamaan kanonik suatu garis atau, persamaan garis yang melalui dua titik tertentu, Anda perlu mencari koordinat dua titik mana pun pada garis tersebut. Misalnya, titik tersebut dapat berupa titik potong garis lurus dengan dua bidang koordinat kamu Oz Dan xOz .

Titik potong garis dan bidang kamu Oz memiliki absis X= 0 . Oleh karena itu, asumsikan dalam sistem persamaan ini X= 0, kita mendapatkan sistem dengan dua variabel:

Keputusannya kamu = 2 , z= 6 bersama dengan X= 0 mendefinisikan suatu titik A(0; 2; 6) garis yang diinginkan. Kemudian asumsikan dalam sistem persamaan yang diberikan kamu= 0, kita mendapatkan sistemnya

Keputusannya X = -2 , z= 0 bersama dengan kamu= 0 mendefinisikan suatu titik B(-2; 0; 0) perpotongan garis dengan bidang xOz .

Sekarang mari kita tuliskan persamaan garis yang melalui titik-titik tersebut A(0; 2; 6) dan B (-2; 0; 0) :

,

atau setelah membagi penyebutnya dengan -2:

,


Semua persamaan bidang yang dibahas pada paragraf berikut dapat diperoleh dari persamaan umum bidang, dan juga direduksi menjadi persamaan umum bidang tersebut. Jadi, ketika berbicara tentang persamaan bidang, yang mereka maksud adalah persamaan umum bidang, kecuali dinyatakan lain.

Persamaan bidang dalam segmen.

Lihat persamaan bidang , dimana a, b dan c bukan nol bilangan real, ditelepon persamaan bidang dalam segmen.

Nama ini bukan suatu kebetulan. Nilai-nilai mutlak bilangan a, b, dan c sama dengan panjang segmen yang dipotong oleh bidang pada sumbu koordinat Ox, Oy, dan Oz, dihitung dari titik asal. Tanda bilangan a, b dan c menunjukkan ke arah mana (positif atau negatif) segmen tersebut harus diplot pada sumbu koordinat.

Sebagai contoh, mari kita buat sebuah bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz, yang ditentukan oleh persamaan bidang dalam segmen . Caranya, tandai sebuah titik yang berjarak 5 satuan dari titik asal pada arah negatif sumbu absis, 4 satuan pada arah negatif sumbu ordinat, dan 4 satuan pada arah positif sumbu penerapan. Yang tersisa hanyalah menghubungkan titik-titik ini dengan garis lurus. Bidang segitiga yang dihasilkan adalah bidang yang bersesuaian dengan persamaan bidang dalam segmen-segmen bentuknya .

Untuk mendapatkan lebih banyak informasi lengkap simak artikel persamaan bidang dalam ruas-ruas, yang menunjukkan pengurangan persamaan bidang dalam ruas-ruas menjadi persamaan umum bidang, disana anda juga akan menemukan solusi terperinci contoh dan tugas yang khas.

Persamaan bidang normal.

Persamaan bidang umum bentuknya disebut persamaan biasa pesawat, Jika sama dengan satu, yaitu , Dan .

Anda sering melihat persamaan normal sebuah bidang ditulis sebagai . Berikut adalah cosinus arah dari vektor normal suatu bidang dengan satuan panjang tertentu, yaitu p adalah bilangan non-negatif, sama dengan jarak dari asal hingga pesawat.

Persamaan normal bidang dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz mendefinisikan bidang yang dipindahkan dari titik asal sejauh p dalam arah positif dari vektor normal bidang tersebut . Jika p=0, maka bidang melewati titik asal.

Mari kita beri contoh persamaan bidang normal.

Biarkan bidang ditentukan dalam sistem koordinat persegi panjang Oxyz dengan persamaan umum bentuk bidang . Persamaan umum bidang ini merupakan persamaan normal bidang. Memang, vektor normal bidang ini adalah memiliki panjang yang sama dengan satuan, karena .

Persamaan bidang dalam bentuk normal memungkinkan Anda mencari jarak dari suatu titik ke bidang.

Kami menyarankan Anda memahami jenis persamaan bidang ini secara lebih rinci, melihat solusi rinci dari contoh dan masalah umum, dan juga mempelajari cara mereduksi persamaan bidang umum ke bentuk normal. Anda dapat melakukan ini dengan merujuk pada artikel tersebut.

Bibliografi.

  • Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometri. Buku teks untuk kelas 10-11 sekolah menengah.
  • Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematika yang lebih tinggi. Jilid Satu: Elemen aljabar linier dan geometri analitik.
  • Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometri analitik.

Untuk memperoleh persamaan umum suatu bidang, mari kita analisis bidang yang melalui suatu titik tertentu.

Misalkan ada tiga sumbu koordinat yang sudah kita ketahui di luar angkasa - Sapi, Oi Dan Ons. Pegang lembaran kertas tersebut agar tetap rata. Bidang itu akan menjadi lembaran itu sendiri dan kelanjutannya ke segala arah.

Membiarkan P pesawat sewenang-wenang di luar angkasa. Setiap vektor yang tegak lurus terhadapnya disebut vektor biasa ke pesawat ini. Secara alami, kita berbicara tentang vektor bukan nol.

Jika ada titik di pesawat yang diketahui P dan suatu vektor normal terhadapnya, maka dengan kedua kondisi ini bidang dalam ruang terdefinisi sempurna(melalui suatu titik tertentu Anda dapat menggambar satu bidang yang tegak lurus terhadap vektor tertentu). Persamaan umum bidang tersebut adalah:

Jadi, syarat-syarat yang menentukan persamaan bidang tersebut adalah. Untuk mendapatkan dirimu sendiri persamaan bidang, memiliki formulir di atas, naik pesawat P sewenang-wenang titik M dengan koordinat variabel X, kamu, z. Titik ini hanya menjadi milik pesawat jika vektor tegak lurus terhadap vektor(Gbr. 1). Untuk itu, menurut syarat tegak lurus vektor, hasil kali skalar vektor-vektor tersebut perlu dan cukup sama dengan nol, yaitu

Vektor ditentukan oleh kondisi. Kami menemukan koordinat vektor menggunakan rumus :

.

Sekarang, menggunakan rumus perkalian skalar vektor , kita nyatakan hasil kali skalar dalam bentuk koordinat:

Sejak saat itu M(x; kamu; z) dipilih secara sembarang pada bidang, maka persamaan terakhir dipenuhi oleh koordinat titik mana pun yang terletak pada bidang tersebut P. Untuk satu hal N, tidak berbaring di pesawat tertentu, mis. kesetaraan (1) dilanggar.

Contoh 1. Tuliskan persamaan bidang yang melalui suatu titik dan tegak lurus terhadap vektor.

Larutan. Mari kita gunakan rumus (1) dan lihat lagi:

Dalam rumus ini angka-angkanya A , B Dan C koordinat vektor, dan angka X0 , kamu0 Dan z0 - koordinat titik.

Perhitungannya sangat sederhana: kita substitusikan angka-angka ini ke dalam rumus dan dapatkan

Kita kalikan semua yang perlu dikalikan dan tambahkan angka saja (yang tidak ada hurufnya). Hasil:

.

Persamaan bidang yang diperlukan dalam contoh ini ternyata dinyatakan dengan persamaan umum derajat pertama terhadap koordinat variabel x, kamu, z titik sembarang pesawat.

Jadi, persamaan bentuknya

ditelepon persamaan bidang umum .

Contoh 2. Bangunlah dalam sistem koordinat Kartesius persegi panjang sebuah bidang yang diberikan oleh persamaan .

Larutan. Untuk membangun sebuah bidang, perlu dan cukup mengetahui tiga titiknya yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, misalnya titik potong bidang tersebut dengan sumbu koordinat.

Bagaimana cara menemukan titik-titik tersebut? Untuk mencari titik potong dengan sumbu Ons, Anda perlu mengganti X dan Y dengan angka nol pada persamaan yang diberikan dalam rumusan masalah: X = kamu= 0 . Oleh karena itu kita mendapatkan z= 6. Dengan demikian, pesawat yang diberikan melintasi sumbu Ons pada intinya A(0; 0; 6) .

Dengan cara yang sama kita mencari titik potong bidang dengan sumbunya Oi. Pada X = z= 0 kita dapatkan kamu= −3, itulah intinya B(0; −3; 0) .

Dan terakhir, kita temukan titik potong bidang kita dengan sumbunya Sapi. Pada kamu = z= 0 kita dapatkan X= 2, yaitu satu poin C(2; 0; 0) . Berdasarkan tiga poin yang diperoleh dalam solusi kami A(0; 0; 6) , B(0; −3; 0) dan C(2; 0; 0) buatlah bidang yang diberikan.

Sekarang mari kita pertimbangkan kasus khusus dari persamaan bidang umum. Ini adalah kasus ketika koefisien tertentu dari persamaan (2) menjadi nol.

1. Kapan D= 0 persamaan mendefinisikan bidang yang melalui titik asal, karena koordinat titiknya 0 (0; 0; 0) memenuhi persamaan ini.

2. Kapan SEBUAH= 0 persamaan mendefinisikan bidang yang sejajar dengan sumbu Sapi, karena vektor normal bidang ini tegak lurus terhadap sumbu Sapi(proyeksinya ke sumbu Sapi sama dengan nol). Demikian pula kapan B= 0 pesawat sejajar dengan sumbu Oi, dan kapan C= 0 pesawat sejajar dengan sumbu Ons.

3. Kapan SEBUAH=D= Persamaan 0 mendefinisikan bidang yang melalui sumbu Sapi, karena sejajar dengan sumbu Sapi (SEBUAH=D= 0). Demikian pula, pesawat melewati porosnya Oi, dan bidang melalui sumbu Ons.

4. Kapan SEBUAH=B= Persamaan 0 mendefinisikan bidang yang sejajar dengan bidang koordinat xOy, karena sejajar dengan sumbu Sapi (A= 0) dan Oi (B= 0). Begitu pula dengan bidang yang sejajar dengan bidang tersebut kamu Oz, dan pesawat adalah pesawat xOz.

5. Kapan SEBUAH=B=D= 0 persamaan (atau z = 0) mendefinisikan bidang koordinat xOy, karena sejajar dengan bidang xOy (SEBUAH=B= 0) dan melewati titik asal ( D= 0). Demikian pula, Persamaan. kamu = 0 di ruang angkasa mendefinisikan bidang koordinat xOz, dan persamaannya x = 0 - bidang koordinat kamu Oz.

Contoh 3. Buatlah persamaan bidang tersebut P, melewati sumbu Oi dan titik.

Larutan. Jadi pesawat melewati porosnya Oi. Oleh karena itu, dalam persamaannya kamu= 0 dan persamaan ini berbentuk . Untuk menentukan koefisien A Dan C mari kita manfaatkan fakta bahwa titik tersebut milik pesawat P .

Oleh karena itu, diantara koordinatnya ada yang dapat disubstitusikan ke dalam persamaan bidang yang telah kita turunkan (). Mari kita lihat kembali koordinat titiknya:

M0 (2; −4; 3) .

Diantara mereka X = 2 , z= 3 . Kami menggantinya ke dalam persamaan umum dan mendapatkan persamaan untuk kasus khusus kami:

2A + 3C = 0 .

Tinggalkan 2 A di sisi kiri persamaan, pindahkan 3 C ke sisi kanan dan kita dapatkan

A = −1,5C .

Mengganti nilai yang ditemukan A ke dalam persamaan, kita dapatkan

atau .

Ini adalah persamaan yang diperlukan dalam kondisi contoh.

Selesaikan sendiri soal persamaan bidang, lalu lihat solusinya

Contoh 4. Definisikan sebuah bidang (atau bidang-bidang, jika lebih dari satu) terhadap sumbu koordinat atau bidang koordinat jika bidang-bidang tersebut diberikan oleh persamaan.

Solusi untuk masalah umum yang terjadi di tes- dalam manualnya "Masalah bidang: paralelisme, tegak lurus, perpotongan tiga bidang pada satu titik".

Persamaan bidang yang melalui tiga titik

Sebagaimana telah disebutkan, syarat perlu dan cukup untuk membuat sebuah bidang, selain satu titik dan vektor normal, juga terdapat tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama.

Misalkan tiga titik berbeda , dan , tidak terletak pada garis yang sama, diberikan. Karena ketiga titik tersebut tidak terletak pada garis yang sama, maka vektor-vektornya tidak segaris, sehingga setiap titik pada bidang tersebut terletak pada bidang yang sama dengan titik-titik tersebut, dan jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut , dan koplanar, yaitu saat itu dan hanya kapan produk campuran dari vektor-vektor ini sama dengan nol.

Menggunakan ekspresi produk campuran dalam koordinat, kita memperoleh persamaan bidang

(3)

Setelah determinannya terungkap, persamaan ini menjadi persamaan bentuk (2), yaitu. persamaan umum bidang.

Contoh 5. Tuliskan persamaan bidang yang melalui tiga titik tertentu yang tidak terletak pada garis lurus yang sama:

dan menentukan kasus spesial persamaan umum garis lurus, jika ada.

Larutan. Menurut rumus (3) kita memiliki:

Persamaan bidang normal. Jarak dari titik ke bidang

Persamaan normal suatu bidang adalah persamaannya, ditulis dalam bentuk